Modelos Matemáticos

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AULA 2 - Solução de Problemas Usando AULA 2 - Solução de Problemas Usando Modelos Matemáticos Modelos Matemáticos O Enfoque da Pesquisa Operacional Exemplo de motivação - Modelo EOQ Construindo Modelos Matemáticos Resolvendo Modelos Matemáticos Solução factível e solução ótima Solução analítica ou fechada Analisando os Resultados Validação do Modelo Ainda sobre Métodos de Resolução - Busca Heurística 2-1
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    10-Dec-2015
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Desenvolvimento de modelos matemáticos para diversas aplicações.

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  • AULA 2 - Soluo de Problemas Usando Modelos MatemticosO Enfoque da Pesquisa OperacionalExemplo de motivao - Modelo EOQConstruindo Modelos MatemticosResolvendo Modelos MatemticosSoluo factvel e soluo timaSoluo analtica ou fechadaAnalisando os ResultadosValidao do ModeloAinda sobre Mtodos de Resoluo - Busca Heurstica

    2-1

  • 2-2O Enfoque da Pesquisa Operacional

    2-2

  • Exemplo de Motivao - Modelo EOQA empresa H. Intern comercializa diamantes. Ela viaja regularmente para Anturpia (Blgica) para se reabastecer e no pode comprar menos que 100 quilates/viagem a um custo de $700/quilate. O lucro no Brasil de $200/quilate. Cada viagem demora 1 semana e custa $2000. Manter estoques no Brasil lhe custa $3,50/quilate.semana (capital empatado e seguros). Se falta produto para vender, ela perde o lucro esperado. Os custos do ano passado foram:

    custos de viagens=$24.000manter estoques=$38.409lucros no-realizados=$31.600Total de custos=$94.009.

    Este custo pode ser diminudo?

    2-3

  • H. Intern - Decises do ano passado2-4

  • Construindo um modelo matemticoIdentificar quais decises efetivamente resolvem o problemaIdentificar quais as restries que limitam as decises a tomarDefinir objetivos capazes de indicar que uma deciso prefervel a outras

    DECISESQuando reabastecer o estoque (quando viajar)Quanto comprar em cada viagem

    RESTRIESComprar lotes no menores que 100 quilates

    OBJETIVOSMinimizar os custos de viagens + manter estoque + lucros no-realizados

    2-5

  • Construindo um modelo matemticoDECISES:q := quantidade a ser adquirida em cada reabastecimento(tamanho do lote)r := ponto de reabastecimento(nvel de estoque que determina o reabastecimento)

    RESTRIES: (at o momento)q >= 100r >= 0

    OBJETIVOS: (apenas um, minimizar o custo total anual)c(q,r) := custo total em funo de q e r

    2-6

  • Construindo um modelo matemticoConstruindo modelos, sempre aparece a questo de compromisso entre:

    A: Construir um modelo complexo (prximo do problema real), mas de difcil resoluoouB: Construir um modelo simples (perda de realismo), mas fcil de resolver

    Em geral, recorre-se a hipteses simplificadoras:

    No problema da H. Intern, a demanda ser considerada constante

    d := demanda semanal mdia = 55 quilates/semana

    2-7

  • Construindo um modelo matemticociclo = q/55 semanas

    hiptese 1:com estoque de seguranadficit no permitido

    hiptese 2:sem estoque de seguranadficit no permitido2-8

  • Construindo um modelo matemtico

    hiptese 3:- dficit permitido2-9

  • Construindo um modelo matemticoAinda tentando simplificar o modelo:Ser que podemos descartar o custo de lucro no-realizado (hiptese 3)?

    Perceba que descartar este custo equivale a atribuir uma alta penalidade falta de produto.

    Ou seja, estaremos compensando a falta de produto por um aumento nos estoques. Ser que esta simplificao razovel?Ser que o custo de estoque j bastante alto comparado ao de perdas?Custo de perda = $200/quilateCusto estoque = $3,5/quilate.semana 200/3,5 = 57,1 semanasOu seja: adquirindo um quilate a mais, os 200$ economizados d para estocar 1 quilate por 57,1 semanas! Como em mdia um lote fica 4 ou 5 semanas em estoque (pg. 2-4), no parece necessrio considerar o custo de perda explicitamente no modelo. 2-10

  • Construindo um modelo matemtico

    O nosso modelo segue ento a figura b, j que o estoque de segurana fica desnecessrio devido s hipteses de demanda constante e perda nula.

    RESTRIES:

    Como cada viagem demora 1 semana, a demanda de 55/semana e no se admite falta do produto,

    r >= 55 (restrio que impede que falte produto; r >=0 torna-se redundante e eliminada)q >= 100(compra mnima em Anturpia)

    2-11

  • Construindo um modelo matemticoOBJETIVO: minimizar o custo mdio/semana = custo de manter estoque /semana + custo de reabastecimento/semanaCusto de manter estoque por semana:Im = estoque mdio do ciclo = rea do tringulo cicloCusto de manter estoque/ciclo = h . Im . Tpois: h ($/unid.semana) . Im (unid./ciclo) . T (semanas) = h.Im.T ($/ciclo)Custo de manter estoque/semana = Custo de manter estoque/ciclo T = h . Im = 3,5 . q /2

    Custo de reabastecimento por semana:2000 q/55 = 2000 . 55/q 2-11

  • Construindo um modelo matemtico

    O modelo matemtico (chamado de EOQ - Economic Order Quantity) fica:

    minimizar c(q,r) = 3,5 q/2 + 2000 . 55/q

    sujeito a q >= 100, r >= 55

    Vamos agora resolver o modelo

    2-12

  • Resolvendo modelos matemticos - soluo factvel e soluo tima

    Resolver um modelo achar uma soluo (valores para as variveis de deciso) que no viole as restries e que otimize (max ou mim) a funo objetivo.

    Esta soluo chamada de soluo tima do modelo.

    Uma soluo que apenas no viola as restries dita soluo factvel.

    Modelos so resolvidos atravs de:

    Mtodos (algoritmos) Matemticos Programao Matemtica ouFrmulas fechadas (soluo analtica), quando possvel

    2-13

  • Resolvendo modelos matemticosO modelo EOQ tem uma soluo analtica:

    Reescrevendo o modelo em funo dos parmetrosq := tamanho do loted := demanda semanal (55)f := custo fixo de reabastecimento (2000)h := custo unitrio semanal para manter estoque (3,5)l := tempo decorrido entre o ponto de reabastecimento e o recebimento do novo lote (1 semana) - lead timem := lote mnimo (100)

    OBJETIVO: MIN c(q,r) = h . q/2 + f . (d/q), que tem soluo analtica

    q* = r* = l . d= 55, desde que q* >= m 2-14

  • Resolvendo modelos matemticosO modelo EOQ tambm admite soluo grfica:

    2-15

  • Resolvendo modelos matemticos

    O custo da soluo fica:

    c(q*,r*) = $ 877,5 por semana ou $ 45.630,00 por ano

    contra os$ 94.009,00 do ano passado!

    2-16

  • Analisando os resultados - Validao do modelo

    Modelos e suas solues precisam ser validados, ou seja

    As solues obtidas aderem realidade?Tais solues so confiveis para que decises baseadas nelas sejam tomadas?Como a soluo tima reage anlise de sensibilidade sobre os parmetros?

    De particular importncia a anlise de sensibilidade :

    2-17

  • Analisando os resultados - Validao do modelo

    Suponha que o custo de viagem varie de $1000 a $3000/viagemComo varia a soluo tima no modelo EOQ?

    2-18

  • Analisando os resultados - Validao do modeloOs resultados timos do modelo podem tambm ser analisados atravs da sua comparao com uma SIMULAO do que ocorreu no ano passado.

    Vamos construir um programa de computador (simulador) que a cada semana determine a ao a tomar e calcule o custo real incorrido, considerando os dados de demanda do ano passado e os resultados timos q* e r* obtidos pelo modelo matemtico.No incio de cada semana:Cheque se o estoque chegou ao nvel de reabastecimento r*;se sim, mande algum para Anturpia.Cheque se algum chegou de viagem com um novo lote q*;se sim, atualize o nvel de estoque.No incio de cada semana atualize o estoque, subtraindo a demanda ocorrida na semana.Calcule o custo total real anual = estoque + viagens + perda de lucro 2-19

  • Analisando os resultados - Validao do modelo2-20

  • Analisando os resultados - Validao do modeloOs resultados da simulao depois de 52 semanas deu que a soluo tima do modelo EOQ (q* = 251; r* = 55) tem um custo total real de

    $ 108.621 (sendo $ 67.000 o custo de perda)

    contra

    $ 94.009 do ano passado

    Ou seja, se no ano passado H. Intern tivesse adotado a soluo tima EOQ teria tido um custo adicional de 108.621 - 94.009 = $14.621!

    Concluso: o modelo EOQ est muito simples e precisa ser refeito.

    Note que o custo de perda foi o vilo da estria, indicando que a hiptese de estoque de segurana nulo e/ou perda nula so inadequadas na prtica e que um modelo melhor (mais aderente) deve ser construdo. 2-21

  • Ainda sobre mtodos de soluo - Busca HeursticaPara solucionar um problema de otimizao nem sempre precisamos construir um modelo matemtico.

    Certos mtodos de soluo prescindem de modelos matemticos.

    o caso dos mtodos de busca heurstica.

    Ache uma soluo factvel inicial;Repita k vezes:Perturbe esta soluo, obtendo outra factvel e calcule o seu custo;Se melhorou, guarde essa soluo e volte ao passo anterior.2-22

  • Ainda sobre mtodos de soluo - Busca Heurstica

    Vamos perturbar a soluo tima q = 251 r = 55 somando ou subtraindo 10 unidades em cada iterao.

    Calcular o custo real das solues usando o programa de simulao j descrito.2-23

  • Ainda sobre mtodos de soluo - Busca Heurstica

    Vamos reiniciar de uma outra soluo:Custo simulado da melhor soluo da busca: $ 54.193 ! (ano passado $ 94.009) 2-24