Modelos Matemáticos de Sistemas de Control

7/26/2019 Modelos Matemticos de Sistemas de Control

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FUNDAMENTOS Y MODELOS

MATEMTICOS DE SISTEMAS DE CONTROL

INTRODUCCIN

En las ltimas dcadas, los sistemas de control han desempeado un rol vital en el

desarrollo y avance tecnolgico de la ciencia y la ingeniera, y por ende de la sociedad moderna.

En la ltima dcada se han convertido en componentes esenciales en el control de vehculos

espaciales, sistemas robticos, y ms indispensables an, en el procesamiento de productos

alimenticios, combustibles, industria petroqumica, generacin y distribucin de energa elctrica,

distribucin y tratamiento de aguas residuales y servidas, electrnica de automviles,

electrodomsticos, etc. Los sistemas de control estn involucrados de manera implcita en todos

los aspectos de la vida diaria, siendo su objetivo fundamental el de mantener los ms altos

estndares de calidad de los productos (composicin, pureza, color, etc.), manteniendo los niveles

de produccin a mnimo costo y proporcionando adems las condiciones de trabajo adecuadas

para satisfacer la seguridad industrial y ambiental, con la menor intervencin del ser humano.

En este captulo se tratarn los aspectos relacionados con el desarrollo del modelo

matemtico, las estructuras tpicas, los componentes fsicos y dems elementos indispensables

para el anlisis de un sistema de control en tiempo continuo. Utilizando como herramienta la

transformada de Laplace, se aplicar el concepto de funcin de transferencia para modelar el

comportamiento dinmico del sistema, estableciendo su relacin con la respuesta impulso. La

representacin grfica del sistema utilizando diagrama de bloques, facilitar el modelado de cada

uno de los componentes del sistema de control. A partir del diagrama de bloques se desarrollar

el grfico de flujo de seales, que permitir el uso de la frmula de ganancia de Mason, como

herramienta para evaluar la funcin de transferencia de un sistema con varios lazos de control.

Finalmente, utilizando el concepto de variables fsicas fundamentales para establecer

analoga entre sistemas fsicos, se desarrollar el modelo matemtico de un conjunto de sistemas

tpicos, asociados con sistemas elctricos, sistemas mecnicos de traslacin, sistemas mecnicos

de rotacin, sistemas electromecnicos, sistemas trmicos y sistemas hidrulicos.

1.1 CONCEPTOS BSICOS DE SISTEMAS DE CONTROL

En esta seccin se presentar una visin global y un conjunto de aspectos fundamentales

relacionados con el propsito, definicin, componentes, estrategias, seales caractersticas

y campos de aplicacin de los sistemas de control.

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1-2 Captulo 1 FUNDAMENTOS Y MODELOS MATEMTICOS DE SISTEMAS DE CONTROL

ANALISIS Y DISEO DE SISTEMAS DE CONTROL CON APLICACIONES EN MATLAB Carlos Alberto Rey Soto - 2009

As mismo se formular el problema de control, con el propsito de identificar los

elementos que deben considerarse en el diseo del controlador, as como otros aspectos

adicionales que intervienen en la solucin de este problema.

Definiciones bsicas

Aunque existen diferentes definiciones clsicas relacionadas con el objetivo y propsito de

un sistema de control, [Dorf05], [Ogata03a], [Kuo95], [Franklin91], [Phillips00], la

siguiente definicin incluye dos condiciones que caracterizan a un sistema de control:

DEFINICION 1.1 Propsito del sistema de control

Conjunto de componentes interconectados, de modo que puedan ser

comandados, o regulados por s mismos o por otro sistema en forma

automtica, para lograr una condicin deseadade una variable fsica.

Condiciones mnimas de un sistema de control:

Segn esta definicin, existen dos condiciones mnimasque debe satisfacer un sistema de

control: la primera se refiere a la capacidad de regulacin de sus componentes

interconectados, para responder a las especificaciones de uso de acuerdo con la variable

fsica a controlar o variable controlada. La segunda establece que la regulacin debe ser

automtica, lo cual implica que no es necesaria la intervencin del ser humano.

Podramos imaginarnos las consecuencias de tener a una persona ajustando manualmente la

vlvula de vapor de un sistema de control de temperatura que utiliza un intercambiador decalor. En primer lugar, el alto nivel de riesgo por descuido del operador podra elevar la

temperatura a valores peligrosos. En segundo lugar, la calidad en la regulacin del sistema

sera muy pobre, por la imposibilidad de garantizar que el operador est pendiente de las

variaciones en la temperatura del vapor, todas las horas del da y todos los das del ao.

Diagrama funcional y modelo del sistema:

Permite identificar la relacin causa efecto asociada con la seal fsica a regular ovariable controlada, y la condicin esperada para esta variable o valor deseado(setpoint).

Esta identificacin permite formular la relacin entrada salidadel sistema tal como semuestra en la figura 1.1, la cual establece a su vez el propsito del sistema de control.

SISTEMADE CONTROL

Valor deseado

Causa (entrada)

Variable controlada

Efecto (salida)

Figura 1.1Diagrama funcionalasociado con elpropsito delsistema de control.


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1.1 CONCEPTOS BSICOS DE SISTEMAS DE CONTROL 1-3


El planteamiento anterior es consistente con la siguiente definicin [Carlson98]:

DEFINICION 1.2 Sistema dinmico

Proceso en el cual existe una relacin causa efecto y es posibleformular en forma algebraica o grfica una relacin entrada salida,para evaluar su comportamiento en el tiempo.

La formulacin de la relacin entrada salida conduce al desarrollo del modelo delsistema, el cual puede ser analtico o grfico y es el elemento bsico para el anlisis y

diseo del sistema de control.

Anlisis y diseo:

El problema de anlisis se refiere a la evaluacin de la respuesta dinmica del sistema

(salida) para una entrada conocida, referida generalmente como seal de prueba,

asumiendo que se conoce el modelo del sistema. Por otro lado, el problema de diseo se

refiere a determinar el modelo del sistema para satisfacer condiciones especficas de una

relacin entrada salida, referida normalmente como requerimientos de diseo.

Sistemas SISO y sistemas MIMO:

Aunque el diagrama de la figura 1.1 muestra un sistema de 1-entrada y 1-salida o SISO

(Single-Input-Single-Output), la mayor parte de las aplicaciones prcticas corresponden a

sistemas multivariables o MIMO (Multiple-Input-Multiple-Output), cuyo diagrama

funcional se muestra en la figura 1.2. La flecha doble se usa para indicar que existen varias

entradas (causas) y salidas (varios efectos) en el proceso de regulacin del controlador.

Un ejemplo tpico de un sistema de control multivariable es el caso del sistema de

regulacin de velocidad de un automvil, mostrado en la figura 1.3, donde la velocidad

final depende del par mecnico o torque mT ejercido por la inercia total del vehculo y elngulo de posicin del acelerador

acel fijado por el conductor.

Figura 1.2Diagrama funcionalde un sistema desistema de controlmultivariable (MIMO).

SISTEMA DECONTROL

MULTIVARIABLE

Entradas Salidas

Valoresdeseados

Variablescontroladas

CONTROL DEVELOCIDADVEHICULO

mT

acel

Velocidad

Figura 1.3Diagrama funcional delsistema de regulacinde velocidad de unvehculo.


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Campos de aplicacin de los sistemas de contro l

Aunque existe una gran variedad de sistemas de control que se pueden encontrar en

aplicaciones domsticas, comerciales e industriales, es frecuente clasificarlos en dos

grandes categoras [Johnson02], segn la naturaleza de variable fsica a regular:

- control de procesos

- servomecanismos

El control de procesostrata de forzar a que una variable fsica mantenga un valor constante

en el tiempo, respecto de un valor deseadoo setpoint. De este modo el control de procesos

se aplica generalmente en operaciones automticas de control de nivel, temperatura, flujo,

presin, posicin, relacionadas con procesos domsticos, comerciales e industriales.

Los servomecanismosobedecen a otro tipo de sistema de control, donde el objetivo es el

seguimiento o rastreo de una seal fsica, forzando a que se mantenga cercana a valor

especfico o target. El trmino servomecanismo se debe a la clase de componentes que

utiliza para lograr el propsito del sistema de control. Ejemplos tpicos son: el control de

posicin de una antena de un radar, el control de la direccin de un vehculo y el uso de

robots en aplicaciones industriales y biomedicina, para lograr movimientos precisos en el

espacio como una funcin del tiempo.

Otras clasificaciones hacen referencia a aplicaciones ms especficas como el control

secuencial, utilizado en sistemas electrodomsticos y en procesos de manufactura de

productos que utilizan mquinas herramientas computarizadas. El control analgicodondela funcin de regulacin es realizada por dispositivos analgicos electrnicos, neumticos o

hidrulicos y el control digitalque utiliza un microprocesador como unidad de control.

1.2 ESTRUCTURAS TPICAS DE LOS SISTEMAS DE CONTROL

En esta seccin se har una descripcin de las estrategias utilizadas para satisfacer el

requisito de regulacin automticadel sistema de control, sus estructuras, componentes y

caractersticas. Se har nfasis en elprincipio de control por realimentacin(feedback) por

su caracterstica de regulacin del error del sistema de control, adems de otras efectos ensu comportamiento dinmico como: estabilidad, capacidad de rechazo a las perturbaciones

y baja sensibilidadpor cambio en sus parmetros.

Estrategias de control

La condicin de regulacin automtica del sistema se puede lograr utilizando diversas

estrategias de control. Estas estrategias se desarrollan a travs de esquemas de controlque


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1.2 ESTRUCTURAS TPICAS DE LOS SISTEMAS DE CONTROL 1-5


ofrecen caractersticas particulares. Los esquemas clsicos utilizados con mayor frecuencia

en aplicaciones prcticas, son:

- sistema de control de lazo abierto

- sistema de control de lazo cerrado o realimentado (feedback)- sistema de control de accin precalculada

- sistema de control en cascada

Sistema de control de lazo abierto:

La figura 1.4 muestra los elementos bsicos de un sistema de control de lazo abierto, donde

se ha introducido el trmino de compensador, ampliamente utilizado en la teora clsica de

sistemas de control para hacer referencia al controlador.

Segn la definicin 1.1, el sistema debe ser capaz de regular la seal de salida o variable

controlada ( )y t dentro de lmites aceptables del valor deseadoo setpoint, establecido por

la seal de entrada ( )r t . La seal de control ( )m t es determinada por la accin del

controlador o compensador y se encarga de ajustar el proceso o planta para garantizar quela variable controlada se mantenga cerca del valor deseado.

La seal ( )m t acta sobre un componente del proceso referido como el elemento final de

control (EFC), para regular su funcionamiento, tal como se muestra en la figura 1.4.

Ejemplos tpicos del EFC son: vlvulas, fuentes de potencia, reguladores, servomotores,

etc. En esquemas posteriores para efecto de simplificacin del esquema se omitir el EFC.

La seal ( )p t en la figura 1.4 se utiliza para simular la presencia de perturbacionesen el

proceso, entendida como una seal o seales que pueden modificar la variable controlada

o salida del sistema ( )y t . Para cada sistema en particular es posible identificar este tipo de

seales. Por ejemplo, la temperatura ambiente, la temperatura de entrada del fluido de

control y la masa de fluido cuya temperatura se desea regular, son ejemplos tpicos de

perturbacin en un sistema de control de temperatura de un proceso.

Si el sistema de regulacin de velocidad de un vehculo mostrado en la figura 1.3 es de lazo

abierto, la perturbacin puede ocurrir cuando se presenta una pendiente en la trayectoria del

Figura 1.4Componentes de unsistema de control delazo abierto.

COMPENSADOR OCONTROLADOR

( )r t ( )m t PROCESOO PLANTA

( )y t

( )p t

EFC


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vehculo, la cual reduce de inmediato la velocidad . A menos que el conductor ajustemanualmenteel ngulo de posicin del acelerador

acel (seal de referencia o setpoint), la

variable controlada seguira la trayectoria mostrada en la figura 1.5. Luego, el sistema en

lazo abierto no es regulado, dado que no es capaz de ajustar automticamente la entrada

( )r t para responder a las perturbaciones del proceso ( )p t .

En este orden de ideas, las caractersticas del sistema de control de lazo abierto, son:

- es simple y econmico.

- no responde a cambios en la variable controlada por efecto de perturbaciones.

- es un sistema no regulado.

Sistema de control de lazo cerrado:

Para lograr un sistema regulado, es necesario modificar el esquema de la figura 1.4,

insertando un lazo de realimentacina travs del cual se pueda informar continuamente al

controlador o compensador de los cambios que ocurren en la variable controlada por efectode perturbaciones en el proceso. Esta estrategia se logra con el esquema mostrado en la

figura 1.6, conocido como sistema de control de lazo cerradoo control realimentado.

En el esquema de la figura 1.6, los cambios en la variable controlada ( )y t por efecto de

perturbaciones en el proceso ( )p t son transmitidos al controlador a travs de la seal de

realimentacin ( )b t . El controlador, segn la magnitud de estos cambios ajusta

aplicacin dem

T

t

Figura 1.5Respuesta de unsistema de control delazo abierto ante unaperturbacin.

Figura 1.6Sistema de control delazo cerrado o controlrealimentado.

COMPENSADORCONTROLADOR


( )y t

( )p t

TRANSMISORMEDIDOR

( )b t


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automticamente la seal de control ( )m t para lograr que la variable controlada ( )y t se

mantenga cerca del valor deseado ( )r t ,

Retomando el ejemplo del sistema de regulacin de velocidad del automvil de la figura

1.3, podemos asumir que se instala un sensor de velocidad y un regulador que ajustaautomticamente el ngulo de posicin

acel del acelerador, cada vez que ocurra un cambio

en la velocidad del motor. La figura 1.7 muestra la respuesta dinmica de este sistema ante

una perturbacin, originada por un aumento en torque mecnicom

T .

Las caractersticas de un sistema de control de lazo cerrado , se pueden resumir en:

- transmite continuamente al controlador la informacin sobre el estado actual de la

variable controlada ( )y t .

- determina la accin de control ( )m t en funcin de los cambios de la variable

controlada, respecto del valor deseado ( )r t .

- es un sistema regulado, porque responde a los cambios en la variable controlada, porefecto de perturbaciones en el proceso.

- ms complejo y costoso que un sistema de control de lazo abierto.

- puede ser lento en la respuesta.

El esquema de la figura 1.6 es el fundamento de los sistemas realimentados de controlo

feedback y ser el modelo clsico a utilizar en los captulos posteriores relacionados con

el anlisis y diseo del sistema de control. Sus caractersticas y propiedades sern

analizadas con detalle ms adelante.

Sistema de control por accin precalculada:

Una forma de mejorar la velocidad de reaccin del sistema de control en lazo cerrado, es

utilizar el esquema de control por accin precalculada, mostrado en la figura 1.8. En esta

estrategia, el controlador recibe continuamente informacin relacionada con el estado

actual de las variables de perturbacin del proceso ( )p t . De este modo, el sistema

determina la accin de control ( )m t necesaria para ajustar el funcionamiento del proceso,

aplicacin de

mT

t

Figura 1.7

Respuesta dinmica deun sistema de controlde lazo cerrado.


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antes de que ocurran los cambios en la variable controlada ( )y t , mejorando la velocidad de

respuestadel sistema de control. Esta caracterstica es fundamental en sistemas de control

de temperatura, donde las constantes de tiempo del proceso son elevadas.

Sin embargo, el clculo de la accin de control ( )m t es complejo y generalmente se recurre

a registros histricos del comportamiento de la variable controlada ( )y t respecto de lasvariables de perturbacin ( )p t .

Las caractersticas del control por accin precalculada, pueden resumirse en:

- evala continuamente las variables de perturbacin del proceso, para determinar la

accin de control ( )m t .

- es ms rpido en la respuesta, que el sistema de control en lazo cerrado.

- es ms complejo y ms costoso de implementar.

- no utiliza realimentacin de la variable controlada.

Sistema de control en cascada:

El esquema tpico se muestra en la figura 1.9, donde se muestran 2 lazos de control que

utilizan el principio de realimentacin. El propsito de este esquema es regular una de las

variables de perturbacin que pueden tener mayor efecto en las alteraciones de la variable

controlada del proceso. A partir de esta variable se establece el lazo secundario de control,

logrando as minimizar su efecto sobre la variable controlada del sistema ( )y t .

Un caso prctico de control en cascada es el sistema mostrado en la figura 1.18, que utiliza

un intercambiador de calor para regular la temperatura de un fluido. El fluido de controles

vapor y una de las variables de perturbacin que tienen mayor incidencia en la variable

controlada (temperatura), son las posibles variaciones en el flujo de vapor aguas arriba de la

vlvula de control.

Una forma de minimizar el efecto de estas variaciones de flujo, es instalar un lazo

secundario de control de flujo, que regule la cantidad de vapor que llega al intercambiador,

COMPENSADORCONTROLADOR


( )y t

( )p t

Figura 1.8Sistema de control poraccin precalculada.


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tal como se muestra en la figura 1.9. Otra perturbacin, como la temperatura ambiente

puede minimizarse usando revestimiento trmico apropiado en el intercambiador de calor.

De acuerdo con la figura 1.9, el sistema de control en cascada utiliza un lazo de control

primario, cuya accin de control ( )pm t se convierte en el setpoint del controlador

secundario, el cual responder a su vez con una accin de control ( )s

m t para regular la

variable controlada o variable del proceso ( )y t . En aplicaciones prcticas el controlador

primario se denomina como control maestro y el controlador secundario como control

esclavoy el conjunto global como sistema de control maestro-esclavo.

Caractersticas del sistema control realimentado (feedback)

La razn de utilizar el principio de realimentacincomo estrategia de control se present

en el sistema de regulacin de velocidad de un automvil, mostrado en la figura 1.3. En

esta estrategia de control podemos identificar 3 operaciones bsicas que debe realizar el

sistema de control:

1. Detectar el valor actual de la variable controlada ( )y t , a travs del sistema de

medicin y transmitirla al controlador.

2. Comparar la seal de realimentacin ( )b t

con el valor deseado ( )r t

de la variablecontrolada. El resultado de esta comparacin establece el error del sistema, como

( ) ( ) ( )e t r t b t (1.1)

3. A partir del error del sistema ( )e testablecer la accin de control ( )m t necesaria para

corregir la desviacin de la variable controlada ( )y t .

Figura 1.9Sistema de control encascada.

CONTROLADORPRIMARIO

( )r t ( )pm t PROCESOO PLANTA

( )y t

( )p t

MEDIDOR

PRIMARIO

CONTROLADORSECUNDARIO

( )s

m t

MEDIDORSECUNDARIO

[Flujo]

[Temperatura]


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La figura 1.10 muestra los componentes y las seales que intervienen en el desarrollo de las

3 operaciones que realiza el sistema de control realimentado. La lnea punteada permite

identificar al controlador o compensador mostrado en la figura 1.6. Esta similitud entre el

diagrama de las figuras 1.10 y 1.6, hace que el sistema de control con realimentacin, se

reconozca tambin como sistema de control de lazo cerrado.

La estrategia para el anlisis del sistema de control mostrado en la figura 1.10 consiste en

modelar la relacin entrada salida de cada componente por un bloque funcional, usandolas seales que se describen a continuacin:

( )y t : variable controlada o variable del proceso, la cual establece el propsito del

sistema de control.

( )r t : valor deseado de la variable controlada ( )y t , seal de referencia, o setpoint.( )b t: valor medido de la variable controlada ( )y t o seal de realimentacin.

( )e t: seal de error, como una medida de la desviacin que sufre la variable controlada

( )y t , respecto del valor deseado ( )r t .

( )m t : seal de control, calculada a partir de la seal de error ( )e t, de acuerdo con el

modo de accindel controlador.

( )p t: perturbacin del proceso, razn de uso del principio de realimentacin.

El sumador mostrado en la figura 1.10 para evaluar la seal de error, se reconoce como el

detector de error.

El problema de control

Es posible formular el problema de control, en trminos de la siguiente definicin:

DEFINICION 1.3 El problema de control

Controlar con un mnimo de precisin un proceso o planta, utilizando el

principio de realimentacin, a travs del esquema de lazo cerrado.

Figura 1.10Componentes delsistema de controlrealimentado o de lazocerrado.

+ MODO DECONTROL


( )y t

( )p t

MEDICIN

( )e t

( )b t

CONTROLADOR


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De este modo, el propsito de la realimentacin es el de minimizar el error, y su magnitud

es una medida de la precisinlograda por el sistema de control. La figura 1.11 muestra la

seal de error en dos sistemas de control que puede utilizarse para comparar su exactitud.

La figura 1.12 muestra las 4 etapas [Bishop97] que se utilizan en la Ingeniera de Control

para la solucin del problema.

La descripcin detallada de cada etapa se presenta a continuacin:

t

( )e t baja exactitudalta exactitud

Figura 1.11Exactitud de dossistemas de control apartir de la seal deerror.

Figura 1.12Fases en la solucindel problema decontrol.

Propsito del sistema de control:- variables a ser reguladas- variables de perturbacin- requerimientos del sistema

Modelo del sistema de control:- esquema de control- modelo del sensor y actuador- modelo del proceso o planta

Diseo del sistema de control:- especificaciones de diseo- ajuste de parmetros- modelo del controlador

Se cumplen especificaciones?SNo Documentacin

del proyecto

Verificacin de resultados:- comprobar especificaciones- anlisis de sensibilidad

- rechazo a perturbaciones

1

2

3

4


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Fase 1: Establecimiento del propsito del sistema de control

En esta etapa es necesario identificar las seales a ser reguladas y las seales de

perturbacin, las cuales establecen el propsito del sistema de control. As mismo es

necesario formular los requerimientos del sistema en trminos de valores caractersticos

esperados para la respuesta transitoria y permanente.

Fase2: Desarrollo del modelo del sistema de control

Esta fase es la que presenta mayor complejidad en la solucin del problema y se inicia

estableciendo la estrategia de control y el esquema a ser utilizado: lazo abierto, lazo

cerrado, cascada, accin precalculada, etc. donde la experiencia prctica del diseador es

fundamental para lograr una estrategia de control sencilla pero efectiva, segn los

requerimientos del sistema. Un segundo elemento a considerar en esta fase, es la seleccin

de sensores para medicin de la seal de campo y de actuadores para modificar el proceso.

A continuacin es necesario desarrollar el modelo del procesoo planta, del actuador y del

sensor, aplicando criterios prcticos para lograr una abstraccin del modelo fsico,

mediante el uso de elementos conceptuales de fsica, qumica, mecnica, etc. para lograr un

modelo matemtico simplificado, pero que a su vez sea una adecuada representacin de los

componentes fsicos del proceso o planta.

Fase 3: Diseo del sistema de control

Esta fase se inicia formulando las especificaciones de diseoa partir de lo requerimientos

del sistema presentados en la fase 1. De acuerdo con el esquema de control seleccionado en

la fase 2, es posible establecer el modelo matemtico del controlador o compensador a

utilizar y a partir de este calcular el ajuste de sus parmetros, aplicando mtodos clsicos o

modernos de diseo.

Fase 4: Verificacin de resultados y documentacin del proyecto

Una vez diseado el controlador, es necesario verificar el resultadoobtenido, evaluando la

respuesta dinmica del sistema a la luz de las especificaciones de diseo. En esta fase

generalmente se recurre al uso de herramientas de simulacin. Adems de verificar el

cumplimiento de las especificaciones de diseo, se deben evaluar otros aspectos

relacionados con la sensibilidad por cambio en parmetrosdel sistema y el rechazo a las

perturbaciones.

Si el resultado del diseo no es satisfactorio es necesario retornar a la fase 2, para la

revisin del esquema seleccionado y de las simplificaciones hechas en el desarrollo del

modelo de los componentes del proceso, hasta lograr un resultado que se ajuste a los

requerimientos del sistema, formulados en la fase 1.


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Una vez logrado un resultado satisfactorio, la etapa final consiste en la documentacin del

proyecto, usando tcnicas y herramientas de la ingeniera de detallepara la descripcin de

las especificaciones de cada componente del sistema de control, el desarrollo de planos y

diagramas de control usando simbologa ISA (Instrument Society of America) [ISA92].

1.3 EJEMPLOS TIPICOS DE SISTEMAS DE CONTROL

A continuacin se presentar la descripcin de de casos prcticos de sistemas de control,

algunos de los cuales sern utilizados en los ejemplos de anlisis y diseo en captulos

posteriores, con el objeto de identificar las 3 acciones operaciones bsicas, la accin de

control y posible perturbaciones.

Sistema de control de nivel de un tanque

La figura 1.13 muestra los componentes de un sistema de control de nivel de lazo cerrado

para regular el nivel de un tanque que contiene un fluido. Se desea mantener constante el

nivel (variable controlada), usando como elemento final de control (EFC) la vlvula de

entrada (VE). La vlvula de salida (VS) se asume que est abierta en una posicin fija.

Si se presenta un aumento en el caudal de salida ( )sq tel nivel disminuye, generando una

seal de error ( )e trespecto del valor deseadoo setpoint(SP). La seal de error es utilizada

por el controlador para generar la seal de control ( )m t que se encarga de abrir la vlvula

de controlVE, para aumentar el caudal de entrada ( )q ty recuperar as el nivel ( )h t del

tanque. En este ejemplo la accin de controlconsiste en abrir o cerrar la vlvula VEsi baja

o sube el nivel del tanque. Una posible perturbacin en este sistema es el cambio en elcaudal del fluido de control, aguas arriba de la vlvula de control: VE.

Sistema de contro l de temperatura de una cmara de cultivo

La figura 1.14 muestra el caso tpico de un sistema de control de temperatura de lazo

cerrado[Phillips00], cuyo propsito es regular la temperatura de una cmara utilizada para

el cultivo orgnico de plantas. La variable controladaes la temperatura de la cmara y para

Figura 1.13Sistema de controlde nivel.

VE

VS

SP

( )sq t

( )q t

( )h t


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medirla se usa una resistencia RTD (Resistive Thermal Device), cuyas variaciones ( )ohms

se convierten en una seal de voltaje ( )mVa travs de un puente de Wheatstone.

Como la seal de salida del puente suele ser de pocos milivoltios, se usa un amplificador de

voltaje para acondicionarla a un nivel de 1-5V. La salida del amplificador se compara con

el valor deseado o setpoint (SP) para generar la seal de error ( )e t, que es utilizada por el

controlador o compensador para generar la seal de control ( )m t , necesaria para modificar

la salida de la fuente de potencia que alimenta la resistencia de calefaccin. De este modo,

la accin de control se traduce en aumentar o disminuir la potencia suministrada a la

resistencia de calefaccin, cada vez que disminuya o aumente la temperatura interior de la

cmara de cultivo. Unaposible perturbacinen este sistema de control es la apertura de la

puerta de entrada, tal como se analizar en el ejemplo 1.4.

Sistema de control de posicin de una antena

La figura 1.15 los componentes de este sistema de control, cuyo propsito es regular el

ngulo de posicin de una antena. El controlador genera una seal de voltaje que es

utilizada para posicionar el eje de un servomotor, el cual a travs de una caja de engranajes

regula la posicin de la antena. El sensor reporta una seal de voltaje como una medida del

ngulo de posicin de la antena, que es utilizada para compararla con el SP para generar la

seal de error ( )e tentregada a controlador. La accin de controlse reduce a establecer la

posicin del eje del servomotor y unaposible perturbacines la presin del viento sobre la

superficie de la antena.

Figura 1.14Sistema de controlde temperatura.

Controlador ocompensador

Servomotor

Sensor deposicin

Caja deengranajes

SP

+

voltios grados

( )e t ( )m t

Figura 1.15Sistema de controlde posicin.

Controlador ocompensador Fuente depotencia

Cmara decultivo

Puente deWheatstone

K

Resistencia

RTD

SP

Amplificador

+

- mV Puerta deacceso

( )e t

( )m t


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1.3 EJEMPLOS TIPICOS DE SISTEMAS DE CONTROL 1-15


Sistema de control digital

Los ejemplos presentados hasta este momento utilizan y procesan seales continuas y en

este sentido se reconocen como sistemas analgicos de control. Sin embargo, el desarrollo

de los microprocesadores ha tenido una fuerte incidencia en los sistemas de control,

permitiendo que la funcin de control pueda efectuarse en forma digital.

La figura 1.16 muestra los componentes de un sistema de control digital de lazo cerrado

donde la funcin del controlador analgico se ha sustituido por un microcontrolador ( C).La accin de control [ ]m kse establece a travs de un algoritmo de controlalmacenado en

el C. En este esquema es necesario incluir un convertidor anlogo digital (A/D) y unconvertidor digital analgico (D/A) como dispositivos de interfase. Detalles relacionados

con el anlisis y diseo de este modo de control sern tratados en los captulos 5 y 6.

Sistema de control multivariable

Los ejemplos anteriores se han referido a sistemas de una entrada y una salida o sistemas

SISO. Sin embargo, en aplicaciones prcticas, los sistemas de control pueden incluir varios

lazos de control, que se identifican a travs de la variable controlada de cada uno.

La figura 1.17 muestra el caso tpico del control de lazo cerrado de un turbogenerador,

formado por tres componentes: una calderapara la produccin de vapor, una turbinapara

convertir la energa trmica en energa cintica y un generador de corriente alterna o

alternador, para transformar la energa cintica en energa elctrica. En este sistema es

necesario regular simultneamente cuatro variables:

- composicin de la mezcla en la caldera.

- temperatura de salida del valor.

- presin de salida del vapor.

- frecuencia del voltaje de salida del generador.

Figura 1.16Sistema de controldigital.

+( ) [ ]m kC Proceso

y(t)(t)

Sensor oTransmisor

A/D D/A

Controlador

( )m t


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De acuerdo con la estrategia de lazo cerrado, es necesario medir cada una de estas variables

y enviar su estado actual al controlador, que en este caso en un microprocesador, el cual se

encarga de generar la respectiva seal de control en funcin de cada seal de error y delmodo de control establecido para regular cada una de las variables controladas.

Para regular cada una de las variables anteriores es necesario establecer una variable

manipulada ( )m t para cada lazo de control, que sea capaz mantener su respectiva variable

controlada cerca del setpoint. Segn la figura 1.17 se identifican cuatro lazos de control:

- flujo de entrada de aire a la caldera.

- flujo de entrada de combustible a la caldera.

- flujo de entrada de agua a la caldera.

- velocidad nde la turbina en revoluciones por minuto (rpm)

Para facilitar la identificacin de los lazos de control, en la figura 1.17 las seales

correspondientes a la accin de control se han dibujado en lneas punteadas. De este modo

se identifican cuatro lazos de control y se reconoce como un sistema de control

multivariableo sistema MIMO.

Figura 1.17Sistema de controlmultivariable para laregulacin de unturbogenerador.

Combustible

Aire

Agua

Caldera Turbina Generador

Reguladorde velocidad

Medidor demezcla

Medidor detemperatura

Medidor defrecuencia

Medidor depresin

C

Setpoint de cada lazo de control

n


17/71

1.3 EJEMPLOS TIPICOS DE SISTEMAS DE CONTROL 1-17


Simbologa estndar en sistemas de control de procesos

En los ejemplos anteriores se han utilizando diagramas funcionales, para identificar los

componentes de cada sistema de control. Sin embargo, en aplicaciones prcticas, en

particular en los sistemas de control de procesos, se utiliza una simbologa estndar

[ISA92] desarrollada y aprobada en julio de 1992 entre el American National Standard

Institute (ANSI) y la Instrument System and Automation Society (ISA), conocida como

ANSI-ISA S5.1-1984 (R1992).

Esta simbologa se utiliza en los planos de la ingeniera de detalle del proyecto y la figura

1.18 muestra el caso de un sistema de control en cascada similar al esquema de la figura

1.9, para controlar la temperatura de salida2( )T tde un fluido, usando como actuador un

intercambiador de calor.

El sistema utiliza un lazo secundario de control para regular el flujo de vapor con el objeto

de contrarrestar sus posibles variaciones, aguas arriba de la vlvula de control. En el

apndice F se presenta un resumen de los smbolos y letras utilizadas en este diagrama.

Intercambiador decalor

TT25

TRC

25

FY25

FRC

25

FT25

T

Vapor

1( )T t 2( )T t

SP

Figura 1.18Sistema de controlen cascada usandosimbologa ISA.


18/71

1.4 FUNCION DETRANSFERENCIA Y RESPUESTA IMPULSO 1 - 18

1 - 18

1.4 FUNCIN DE TRANSFERENCIA Y RESPUESTA IMPULSO

En las secciones anteriores se presentaron los elementos necesarios para comprender el

funcionamiento de un sistema de control. En esta seccin se har referencia a los tres

modelos clsicosusados en el anlisis y diseo del sistema de control en tiempo continuo:ecuacin diferencial (ED), la respuesta impulso ( )h t y la funcin de transferencia (FT).

Para el desarrollo del modelo de FT se utilizar como herramienta la transformada de

Laplace(TL), cuyos fundamentos bsicos se presentan en el apndice B.

Respuesta dinmica como solucin de una ecuacin d iferencial

Los 3 modelos clsicos utilizados en el anlisis de un sistema de control se derivan de la

teora de sistemas lineales y se reconocen como [ReySoto08]:

- ecuacin diferencial- respuesta impulso

- funcin de transferencia

La ecuacin diferencial ordinaria de coeficientes constantes (ED) permite formular la

relacin entrada-salida representada simblicamente como ( ) ( )x t y t , del sistema linealinvariante en el tiempo (LIT) mostrado en la figura 1.19.

Asumiendo que el sistema es de orden-2, la ED normalizada se formula como

2

1 0 1 02

d y dy dx a a y b b x

dt dt dt (1.2)

En el sistema anterior 2n y 1m . Como m n se puede demostrar [ReySoto08] que es

causal o realizable. Si el sistema LIT es modelado por una ED, su solucin permite obtener

la respuesta dinmica del sistema ( )y t a una entrada arbitraria ( )x t. Aunque existen

mtodos clsicos para esto [ReySoto08], es preferible utilizar mtodos de transformacin

basados en la transformada de Laplace, tal como se muestra en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 1.1: Obtener la respuesta dinmica de un sistema LIT modelado por la siguiente

ED, ante una entrada escaln unitario.

SISTEMA

CONTINUO

( )x t ( )y tFigura 1.19Relacin entrada

salida de un sistemaLIT continuo.

Respuesta

dinmica como

solucin de la ED

de un sistema LIT


19/71

1.4 FUNCIN DE TRANSFERENCIA Y RESPUESTA IMPULSO 1-19


2

2

(0) 12 6 4 10 ( )

'(0) 2

yd y dy y x t

ydt dt

Solucin: Comenzamos normalizando la ED

2

2 3 2 ( ) 5 ( )d y dy y t x t

dt dt

Llevando al dominio-spara ( ) ( )x t u t y aplicando la tabla B.1, obtenemos

2 ( ) (0) '(0) 3[ ( ) (0)] 2 ( ) ( )s Y s sy y sY s y Y s X s

Resolviendo para ( )Y s

2

2 2

5 1 5( ) ( )

( 3 2) 3 2 ( 1)( 2)

s s sY s X s

s s s s s s s

respuesta naturalrespuesta forzada

La expresin anterior permite identificar las 2 componentes de la solucin: la

respuesta natural ( )NY s o respuesta a entrada cero y la respuesta forzada

( )FY so respuesta a estado cero.

Para la respuesta natural ( )N

y t, usando la tabla B.1, obtenemos

21 1( ) ( ) , 0

( 1)( 2) 2

t

N N

sY s y t e t

s s s

Para la respuesta forzada, descomponemos ( )FY sen fracciones parciales

5 2.5 5 2.5( )

( 1)( 2) 1 2FY s

s s s s s s

que puede verificarse usando matemtica simblica de MATLAB

:

syms s, Ys=5/ s/ ( s 2+3*s+2) ; FPYFs=di f f ( i nt ( Ys) )

FPYFs = 5/ 2/ s- 5/ ( s+1) +5/ 2/ ( s+2)

Utilizando la tabla B.1, obtenemos finalmente,

2( ) 2.5 5 2.5 , 0t tF

y t e e t

Luego la respuesta completa es

2( ) ( ) ( ) 2.5 5 1.5 , 0t t

N Fy t y t y t e e t

La solucin completa y las dos componentes pueden obtenerse usando la

funcin dsolve() del Toolbox de Matemtica Simblica (TBMS) de

MATLAB:

yF=dsol ve( ' D2y+3*Dy+2*y=5, y( 0) =0, Dy( 0)=0' )


20/71



yF = 5/ 2+5/ 2*exp( - 2*t ) - 5*exp( - t )

yN=dsol ve( ' D2y+3*Dy+2*y=0, y( 0)=- 1, Dy( 0)=2' )

yN = - exp( - 2*t )

y=dsol ve( ' D2y+3*Dy+2*y=5, y( 0)=- 1, Dy( 0)=2' )

y = 5/ 2+3/ 2*exp( - 2*t ) - 5*exp( - t )

Respuesta impulso

El segundo modelo de un sistema LIT es la respuesta impulso: ( )h t, que se obtiene

[ReySoto08] asumiendo que la entrada del sistema de la figura 1.19 es ( ) ( )x t t . Comoen este caso la entrada ( ) 0x t para 0t , no es posible incluir condiciones iniciales en lasolucin de la ED y se reconoce como un sistema en reposo. (Respuesta forzada).

EJEMPLO 1.2: Obtener la respuesta impulso del sistema LIT de ejemplo 1.1, cuya ED es

2

2 3 2 5 ( )

d y dy y x t

dt dt

(0) 1

'(0) 2

y

y

Solucin: Como se asume que el sistema est en reposo, llevamos la ED al dominio-s,

asumiendo (0) '(0) 0y y , para ( ) ( )x t t y ( ) ( )y t h t :

2 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 5s H s sH s H s

Resolviendo para ( )H s, obtenemos ( )h tcomo

2

2

5 5 5( ) ( ) 5 5 , 0

3 2 1 2

t tH s h t e e t

s s s s

Usando convolucin lineales posible [ReySoto08] obtener la respuesta del sistema a una

entrada arbitraria como

( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t h x t d h t x t

(1.3)

Desplazando la funcin ( )h tse obtiene una expresin alterna para la convolucin

( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t x h t d x t h t

(1.4)

Por lo tanto ( ) ( ) ( ) ( )h t x t x t h t que se reconoce como lapropiedad conmutativa.

Respuesta

impulso a partir

de la ED de un

sistema LIT


21/71



Si el sistema y la seal de entrada son causales solo existen para 0t y las expresiones(1.3) y (1.4) se reducen a

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

t t

y t h x t d x h t d (1.5)

Como la respuesta impulso implica que el sistema est en reposo, la convolucin (1.3),

(1.4) o (1.5) conducen a la respuesta forzada del sistema, suficiente para el anlisis y

diseo del sistema de control.

De este modo, un sistema de control LIT puede ser modelado a travs de la respuesta

impulso ( )h t, tal como se muestra en la figura 1.20, para evaluar su respuesta dinmica

ante una entrada arbitraria ( )x t.

Existen tres aspectos importantes en el uso de este modelo:

1. Como el sistema est en reposo, la solucin ( )y t corresponde a la respuesta forzada.

2. El uso de la convolucin lineal para obtener la respuesta del sistema puede presentar

dificultades algebraicas.

3. Para facilitar la evaluacin de la respuesta se recurre a mtodos de transformacin.

Funcin de transferencia

Aunque es posible utilizar la ED o la respuesta impulso para evaluar la respuesta dinmica

de un sistema de control, es ms prctico recurrir al tercer modelo conocido como la

funcin de transferencia(FT), representando el sistema de la figura 1.20 en el dominio de

Laplace, asumiendo condiciones iniciales cero (reposo).

Si el sistema se modela en funcin de su respuesta impulso ( )h t, aplicando la propiedad de

convolucin de la transformada de Laplace (tabla B.2), obtenemos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t h t x t Y s H s X s (1.6)

Por lo tanto, el problema se reduce a resolver la ecuacin algebraica (1.6), donde ( )H ses

la transformada de Laplace de la respuesta impulso ( )h t, es decir

1( ) ( )} ( ) { ( )}H s h t h t H s L { L (1.7)

( )h t( )x t ( )y t

(Reposo)

( )X s ( )Y s

Figura 1.20Respuesta impulsocomo modelo de unsistema continuo enreposo.


22/71



Despejando ( )H sen la ecuacin (1.6) es posible definir la FT en los siguientes trminos.

DEFINICION 1.4 Funcin de transferencia

La funcin de transferencia (FT) es la funcin caracterstica de un

sistema LIT en reposo en el dominio-sy se obtiene como la relacin entre

la TL de la salida ( )y t y TL de la entrada ( )x t:

( )( )

( )reposo

Y sH s

X s (1.8)

El siguiente ejemplo muestra el clculo de la FT y de la respuesta impulso, a partir del

modelo bsico de ED de un sistema LIT, y su aplicacin para obtener la respuesta dinmica

del sistema ante una entrada escaln.

EJEMPLO 1.3: Obtener la respuesta escaln del sistema LIT del ejemplo 1.2, cuya ED es

2

2 3 2 5 ( )

d y dy y x t

dt dt

Solucin: Para obtener la FT llevamos la ED al dominio-s, asumiendo el sistema en reposo

2 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 5 ( )s Y s sY s Y s X s

Utilizando la definicin (1.8) de FT

2

( ) 5( )

( ) 3 2

Y sH s

X s s s

Para obtener la respuesta escaln aplicamos (1.6), asumiendo ( ) 1/X s s

2

5 1 5( )

3 2 ( 1)( 2)Y s

s s s s s s

Usando fracciones parciales obtenemos la TIL

22.5 5 2.5( ) ( ) 2.5 5 2.5 , 01 2

t tY s y t e e t

s s s

FT y respuesta

escaln de

sistema LIT.

Figura 1.21Respuesta escalnde un sistemacontinuo en reposo.


23/71



La grfica de ( )y t se muestra en la figura 1.21 y corresponde a la respuesta

forzadade la solucin que se obtuvo en el ejemplo 1.1.

Estabilidad a partir de la respuesta impulso y la FT

El resultado del ejemplo 1.3 muestra que la respuesta escaln es suficiente para evaluar la

estabilidad de un sistema LIT. Lo anterior se basa en el concepto de estabilidad acotada

que se define a continuacin:

DEFINICION 1.5 Estabilidad acotada o estabilidad BIBO

Un sistema LIT se considera que posee estabilidad acotada, si para una

entrada ( )x tacotada, su salida ( )y t tambin es cotada. Esta condicin se

define como estabilidad BIBO (Bounded-Input Bounded-Output) la cual

establece que para todo valor de t, debe existir un valor finito M, tal que

( ) ( )x t M y t M (1.9)

Un sistema LIT que satisface (1.9) se dice que es absolutamente estable. Como

consecuencia de lo anterior, si el sistema es modelado por su respuesta impulso ( )h t,

aplicando convolucin (1.3) para ( ) ( )x t t se puede demostrar [ReySoto08] que elsistema tiene estabilidad absoluta, si ( )h tes absolutamente integrable, es decir

0

( )h t dt M

(1.10)

De acuerdo con (1.7), la respuesta impulso ( )h t puede evaluarse como la transformada

inversa de la FT ( )H s. Para esto, asumiendo que ( )H ses causaly tiene npolos simples,

reales o complejos conjugados, aplicando el mtodo de fracciones parciales obtenemos:

1 21 21 2

1 2

( ) ( ) np t p t p t nn

n

k k kH s h t k e k e k e

s p s p s p

(1.11)

Luego, cada polokp a jb genera en (1.11) un trmino de la forma ( )a jb t at jbt ke ke e .

Por lo tanto, para lograr la condicin de estabilidad absoluta (1.10) todos los trminos en(1.11) deben tener parte real negativa, es decir

0kp R e (1.12)

Lo anterior se consigue si los polos de ( )H sse ubican en el semiplano izquierdo (SPI) del

plano-s. La expresin algebraica que permite evaluar los polos del sistema se reconoce

como la ecuacin caractersticay se obtiene a partir del denominador de la FT.


24/71



EJEMPLO 1.4: Evaluar la estabilidad del sistema LIT del ejemplo 1.3, donde

2

5( )

3 2H s

s s

Solucin: Para evaluar los polos de ( )H sdebemos resolver la ecuacin caracterstica:

23 2 0s s

El resultado es 1 21, 2p p , que se ubican en el semiplano izquierdo (SPI)del plano-s y por lo tanto el sistema es absolutamente estable. Tambin es

posible evaluar la estabilidad a partir de la respuesta impulso ( )h t, que

corresponde a la TIL de ( )H s. Utilizando el resultado del ejemplo 1.2:

2( ) 5 5 , 0t th t e e t

Considerando que ( )h ten (1.10) es real

2 20 0

0 0

( ) 5 5 5 5 2.5t t t t

h t dt e e dt e e

El resultado anterior se puede verificar utilizando MATLAB:

pk=r oot s( [ 1 3 2] )

pk = - 2 - 1

syms t , ht =5*exp( - t ) - 5*exp( - 2*t ) ; Sh=i nt ( abs( ht ) , 0, i nf )

Sh = 5/ 2

Propiedades de la func in de transferencia

El anlisis anterior nos permite enumerar las siguientes propiedades de la funcin de

transferencia (FT) cuando se utiliza para modelar un sistema LIT:

P1.La FT es la transformada de Laplace de la respuesta impulso de un sistema LIT.

P2.Es posible obtener la ED del sistema LIT a partir de su FT, aplicando la propiedad

de derivacin de la transformada de Laplace, asumiendo condiciones iniciales cero.

P3.Los componentes de un sistema de control pueden ser modelados por una FT

obtenida a partir de su ED, asumiendo condiciones iniciales cero.

Aplicando la propiedad P3 al esquema de la figura 1.10, obtenemos el modelo del sistema

de control de lazo cerradomostrado en la figura 1.22.

Estabilidad a

partir de la FT y

la respuesta

impulso.


25/71



Los componentes de este modelo son:

( )c

G s: FT del controlador o compensador, segn el modo de control utilizado.

( )pG s: FT del proceso o planta.

( )H s: FT del sistema de medicin y transmisin.

La figura 1.22 constituye la base de la teora de diagramas de bloque, cuyos fundamentos

sern presentados en la seccin 1.5. Las seales que intervienen en este modelo son:

( )Y s: variable controlada. Establece el propsito del sistema de control.

( )B s: seal de realimentacin. Es una medida de la variable controlada.

( )R s: seal de referencia, setpoint o valor deseado de la variable controlada.

( ):E s seal de error. Es una medida de las desviaciones de la variable controlada.

( )M s: accin de control. Calculada en funcin de la seal de error.

En algunas aplicaciones prcticas ( ) 1H s y se refiere como un sistema de control conrealimentacin unitariasimplemente de lazo cerrado unitario.

EJEMPLO 1.5: Obtener la ED del proceso del sistema de control de lazo cerrado de la

figura 1.22, asumiendo que su FT es:

2

3 2 ( )( )

2 5 ( )p

s Y sG s

s s M s

Solucin: Utilizando descomposicin directa de la FT, obtenemos

2( 2 5) ( ) (3 2) ( )s s Y s s M s

Como el concepto de FT implica que el sistema est en reposo, aplicamos la

propiedad de la derivada, llevamos la expresin anterior al dominio-t,

asumiendo condiciones iniciales cero:

2

2 2 5 ( ) 3 2 ( )

d y dy dm y t m t

dt dt dt

que es la ED del proceso del sistema de control de lazo cerrado.

Figura 1.22Componentes de unsistema de control

de lazo cerrado.

+( )c

G s( )R s ( )M s

( )pG s( )Y s

( )H s

( )E s

( )B s

ED asociada

con una FT.


26/71

1.5 FUNCION DE MATLABEN SISTEMAS DE CONTROL 1 - 26

1 - 26

1.5 FUNCIONES DE MATLABEN SISTEMAS DE CONTROL

Utilizando una estrategia similar a la del ejemplo 1.5, podra obtenerse la ED a partir de la

FT de cada componente del esquema de control de lazo cerrado de la figura 1.22. Sin

embargo, es conveniente revisar antes los comandos y funciones que ofrece MATLAB

parala representacin y manipulacin algebraica de una funcin racional de variable compleja

( )G s, las cuales se incluyen como parte del Toolbox de Control [MWorks92].

Creacin de objetos LIT

La versin 4.2 del Toolbox de Control (TBC) de MATLAB incorpora el uso de objetos

para la creacin de modelos de sistemas LIT. Se trata de una estructura basada en arreglos

de celdas, que permite encapsular en una sola variable diferentes tipos de datos de un

modelo continuo o discreto. Existen tres tipos de objeto LIT [Hanselman97]:

- tipo TF: modelo de FT representada por la relacin de dos polinomios.

- tipo ZPK: modelo de FT en forma de factores de polos, ceros y constante de ganancia.

- tipo SS: modelo de estado (ME).

Estos tres tipos de objetos LIT pueden crearse usando las siguientes funciones:

Gs=t f ( nGs, dGs)

donde nGsy dGsson arreglos del polinomio del numerador y denominador de ( )G s.

Gs=zpk(z, p, k)

donde zy pson arreglos de los ceros y polos; el escalar kes la constante de ganancia de ( )G s. meC=ss( A, B, C, D)

donde A, B, C, Dson arreglos correspondientes a las matrices del modelo de estado.

Recuperacin de datos en objetos LIT

Una vez creado el objeto LIT en cualquiera de las tres formas anteriores, es posible obtener

los datos asociados con cada una, utilizando las siguientes funciones:

[ num, den] =t f dat a( sys, ' v' )

Devuelve el polinomio del numerador y denominador de la forma TF del objeto sys.

[ z, p, k] =zpkdat a( sys, ' v' )

Devuelve los ceros, polos y constante de ganancia de la forma ZPK del objeto sys.

[ a, b, c, d] =ssdat a( sys)

Devuelve las matrices del modelo de estado de la forma SS del objeto sys.


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1.5 FUNCIONES DE MATLABEN SISTEMAS DE CONTROL 1-27


El siguiente ejemplo muestra el uso de estas funciones para el desarrollo del modelo de un

sistema continuo LIT tipo SISO. En el captulo 5 se presentarn las variantes de estas

funciones para la creacin de objetos discretos LIT. El tutorial de MATLABdel apndice D

incluye el uso de estas y otras funciones de objetos tipo MIMO.

EJEMPLO 1.6: Obtener los objetos LIT de un sistema SISO cuya FT viene dada por:

3 2

2 3( )

2 5

sG s

s s s

Solucin: Para crear ( )G scomo objeto en la forma TF,

num=[ 2 3] ; den=[ 1 2 5 0] ; G1s=t f ( num, den)

Tr ansf er f unct i on:

2 s + 3

- - - - - - - - - - - - - - - - -s 3 + 2 s 2 + 5 s

Para crear ( )G sen la forma ZPK, calculamos los polos y ceros de ( )G s, como

las races del polinomio del numerador y denominador

z=r oot s( num) ; p=r oot s( den) ; k=2; G2s=zpk(z, p, k)

Zer o/ pol e/ gai n:

2 ( s+1. 5)- - - - - - - - - - - - - - - -s ( s 2 + 2s + 5)

El resultado anterior muestra que las funciones tf()y zpk()crean modelos de

funcin de transferencia, que son equivalentes. La diferencia est en que la

forma TF representa a ( )G scomo la relacin de dos polinomios, mientras que

la forma ZPK lo hace en forma factorizada asociada con sus ceros, polos y

constante de ganancia. Cuando los polos o ceros son complejos conjugados la

forma ZPK incluye un polinomio de orden-2. La creacin de modelos de estado

como objetos LIT en la forma SS ser tratada en el captulo 7.

Una vez creado un objeto de FT es posible cambiarlo a cualquiera de las dos

formas de FT, aplicando la misma funcin utilizada para la creacin. Por

ejemplo, a partir del modelo TF obtenemos el modelo ZPK como

G2sm=zpk( G1s)

Zer o/ pol e/ gai n:2 ( s+1. 5)

- - - - - - - - - - - - - - - -s ( s 2 + 2s + 5)

Objetos LIT en

las forma TF,

ZPK y SS.


28/71



De modo similar, a partir de la forma ZPK, obtenemos

G1sm=t f ( G2s)

Tr ansf er f unct i on:

2 s + 3

- - - - - - - - - - - - - - - - -

s 3 + 2 s 2 + 5 s

Como era de esperar, se obtiene el mismo resultado. Para la recuperacin de

datos asociados con las formas TF y ZPK

[ nGs, dGs] =t f dat a(G1s, ' v' )

nGs = 0 0 2 3dGs = 1 2 5 0

Para los datos de la forma ZPK

[ z, p, k]=zpkdat a( G2s, ' v' )

z = p = k =

- 1. 5000 0 2- 1. 0000 + 2. 000i- 1. 0000 2. 000i

Es posible obtener datos de la forma TF a partir de la forma ZPK

[ num, den] =t f dat a( G2s, ' v' )

num = 0 0 2 3den = 1 2 5 0

o datos de la forma ZPK a partir de la forma TF

[ zm, pm, km] =zpkdat a( G1s, ' v' )

zm = pm = k =- 1. 5000 0 2

- 1. 0000 + 2. 0000i- 1. 0000 - 2. 0000i

Utilizando la funcin pzmap() del TBC, es posible capturar directamente los

polos y ceros de una FT creada como objeto TF o ZPK:

[ p1, z1] =pzmap( G1s) %a part i r de f or ma TF

p1 = z1 =

0 - 1. 5000- 1. 0000 + 2. 0000i- 1. 0000 - 2. 0000i

[ p2, z2] =pzmap( G2s) %a part i r de f or ma ZPK

p1 = z1 =0 - 1. 5000

- 1. 0000 + 2. 0000i- 1. 0000 - 2. 0000i


29/71

1.5 FUNCIONES DE MATLABEN SISTEMAS DE CONTROL 1-29


Comentarios:

1. Las funciones tf() y zpk() devuelven modelos equivalentes de funcin de

transferencia en las formas TF y ZPK. Estas mismas funciones pueden utilizarse para

cambiar de una forma a otra.

2. Para recuperar datos de las formas TF y ZPK es necesario usar la cadena 'v'paraindicar que se requieren los valores guardados como arreglo de celdas.

3. Aunque los modelos de FT creados en estas formas son equivalentes, el modelo ZPK

ofrece mejor precisin numrica.

4. En operaciones con objetos LIT existe un orden de precedencia: SS ZP TF(ver ejemplo 1.7). Lo anterior implica que si se combinan dos modelos en forma TF y

ZPK, el resultado se dar en la forma ZPK.

5. Existen otras funciones del TBC, asociadas con objetos LIT que sern incorporadas a

medida que sean requeridas.

Ms detalles sobre el uso de las funciones tf(), zpk() y ss()pueden conseguirse en el

Tutorial de MATLABque se presenta en el apndice D.

1.6 DIAGRAMAS DE BLOQUE Y GRAFICO DE FLUJO DE SEALES

En la figura 1.22 se utiliz el concepto de funcin de transferencia (FT) para representar

cada componente del sistema de control de lazo cerrado, en forma de bloques funcionales

entrada salida. En esta seccin se utilizarn los conceptos de diagrama de bloques(DB)

y grfico de flujo de seales (GFS) para desarrollar el modelo grfico del sistema decontrol. Aplicando lafrmula de ganancia de Mason(FGM) al GFS, ser posible evaluar la

funcin de transferencia equivalentede lazo cerrado de un sistema de control.

Elementos del diagrama de bloques

La figura 1.23 muestra los elementos utilizados en la construccin de un diagrama de

bloques(DB), donde la FT se utiliza para representar la gananciade cada bloque.

Usando estos 3 elementos bsicos se construy el diagrama del sistema de control de lazo

cerrado de la figura 1.22.

( )Y s( )G s

( )X s

( )X s

( )Y s

( ) ( )X s Y s

+

( )X s ( )X s

( )X sBloque de ganancia

Sumador Derivacin o toma

Figura 1.23Elementos de undiagrama debloques.


30/71



Aunque existe un conjunto de reglas algebraicas [Dorf05] que pueden aplicarse para

simplificar un diagrama de bloques (DB), como se demostrar posteriormente es ms

prctico hacerlo usando la frmula de ganancia de Mason (FGM). Sin embargo, tres de

estas reglas son de utilidad en la manipulacin de DB aplicados a sistemas de control y se

describen a continuacin:

R1. Bloques en serie o en cascada:

La figura 1.24 muestra dos bloques conectados en serie o en cascada, los cuales

pueden reducirse a un bloque equivalente, como el producto de sus ganancias.

Para obtener la FT equivalente, formulamos la relacin entrada salida del segundobloque como: 2( ) ( ) ( )Y s G s M s . De modo similar, en el primer bloque obtenemos:

1( ) ( ) ( )M s G s X s . Sustituyendo ( )M sen la expresin anterior:

2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )eY s G s G s X s G s X s

donde,

2 1( ) ( ) ( )eG s G s G s (1.13)

es la ganancia oFT equivalentemostrada en la figura 1.23. Si se trata de un sistemaSISO, los valores de 1( )G sy 2( )G sson escalares y el orden del producto no afecta el

resultado de (1.13).

R2. Bloques en paralelo:

La figura 1.25 muestra dos bloques conectados en paralelo, que pueden reducirse a un

equivalente, como la suma de sus ganancias.

Para desarrollar la expresin equivalente, calculamos la salida de cada bloque como

1 1( ) ( ) ( )Y s G s X s y 2 2( ) ( ) ( )Y s G s X s . Sumando estas dos seales, la salida ( )Y ses

( )Y s

2 1( ) ( )G s G s

( )X sFigura 1.24Reduccin debloques en serie oen cascada.

1( )G s

( )Y s( )X s

2( )G s( )M s

Figura 1.25Reduccin debloques enparalelo.

1( )G s

( )Y s( )X s

2( )G s

+

( )Y s1 2( ) ( )G s G s ( )X s


31/71

1.6 DIAGRAMAS DE BLOQUE Y GRFICO DE FLUJO DE SEALES 1-31


1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y s Y s Y s G s X s G s X s

Finalmente, factorizando ( )X s

1 2( ) ( ) ( )eG s G s G s (1.14)

que es la ganancia oFT equivalentemostrada en la figura 1.25.

R3. Bloques en realimentacin:

La figura 1.26 muestra la conexin de dos bloques en realimentacin, conocida como

forma cannica de lazo cerrado, por su similitud con el modelo del sistema de control

en lazo cerrado de la figura 1.22.

Para conseguir la expresin equivalente, calculamos la salida como

( ) ( ) ( )Y s G s E s

Por otro lado, la seal ( )E spuede expresarse como

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )E s R s B s R s H s Y s

Sustituyendo en la expresin anterior

( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y s G s R s H s Y s

Reagrupando trminos y simplificando

( )( ) ( )

1 ( ) ( )

G sY s R s

G s H s

(1.15)

Por lo tanto

( )( )

1 ( ) ( )e

G sG s

G s H s

(1.16)

que es la gananciao FT equivalentemostrada en la figura 1.26.

Como el signo del sumador de la figura 1.26 es negativo, se refiere como realimentacin

negativa. Si el signo de ( )B s en la figura 1.26 es positivo, el denominador de (1.16) se

convierte en 1 ( ) ( )G s H s y se refiere como realimentacin positiva. Sin embargo, como sedemuestra ms adelante, en aplicaciones prcticas de control la realimentacin positiva

genera inestabilidad en el sistema y por lo tanto no es de inters prctico.

Figura 1.26FT equivalente dela forma cannicade lazo cerrado.

( )Y s( )

1 ( ) ( )

G s

G s H s

( )R s

( )G s( )Y s( )R s

( )H s

+ ( )E s

( )B s


32/71



Funcin de transferencia de lazo abierto y de lazo cerrado

Asociadas con la forma cannica de la figura 1.26, se definen dos expresiones que son

fundamentales en el anlisis y diseo de un sistema de control realimentado (feedback). La

primera se reconoce como lafuncin de transferencia de lazo cerrado(FTLC): ( )T s, que

permite establecer la relacin ( ) ( )R s Y s y puede obtenerse aplicando (1.16). Para elcaso de realimentacin negativa, obtenemos

( ) ( )( )

( ) 1 ( ) ( )

Y s G s T s

R s G s H s

(1.17)

La segunda es la funcin de transferencia de lazo abierto (FTLA): ( )F s, utilizada para

formular la relacin ( ) ( )E s B s , como

( )( ) ( ) ( )

( )

B sF s G s H s

E s

(1.18)

Tomando el denominador de (1.17) es posible identificar la ecuacin caracterstica (EC)

del sistema de control modelado por laforma cannica, como

1 ( ) ( ) 0G s H s (1.19)

De acuerdo con (1.12) la estabilidad absoluta del sistema de control se logra si las races de

esta ecuacin estn en el semi-plano izquierdo (SPI) del plano-s.

EJEMPLO 1.7: Aplicando las reglas bsicas del lgebra de bloques, reducir el siguiente

diagrama de bloques a laforma cannicade lazo cerrado y a partir de este

obtener la FTLA y FTLC. Evaluar adems su estabilidad.

1

1( )

2

sG s

s

2( )

1

sG s

s

1( ) 2H s

2

1( )H s

s

Solucin: Para el lazo de realimentacin2 2( ) ( )G s H saplicamos (1.16)

23

2 2

( )( )

1 ( ) ( )

G sG s

G s H s

Simplificacin

del DB para

calcular la

FTLA, FTLC y

EC en la forma

cannica.

2( )G s

2( )H s

1( )H s

+ +1( )G s


33/71



Utilizando los datos del enunciado

2

31( )

1 ( 1) 21

1

s

s ssG ss s s s s

s s

Este resultado puede verificarse usando objetos LIT de MATLAB

G1s=t f ( [ 1 1] , [ 1 2] ) ; G2s=zpk(0, - 1, 1) ; H1s=2; H2s=t f ( 1, [ 1 0] ) ; G3s=mi nreal ( G2s/ ( 1+G2s*H2s) )

Zer o/ pol e/ gai n:s

- - - - -( s+2)

Para los bloques en cascada 1( )G sy 3( )G saplicamos (1.13)

4 1 3 2

1 ( 1)( ) ( ) ( )

2 2 ( 2)

s s s s G s G s G s

s s s

Utilizando objetos LTI de MATLAB

G4s=mi nreal ( G1s*G3s)

Zer o/ pol e/ gai n:s ( s+1)- - - - - - -( s+2) 2

Luego, el diagrama anterior se reduce a la siguiente forma estndar

2

( 1)( )

( 2)

s sG s

s

( ) 2H s

Aplicando (1.17) obtenemos la FTLC como

forma TF forma ZPK

22

2 2

2

1 1 13 3 3

4 43 3

( 1)

( 1)( ) ( 2)( )( 1)1 ( ) ( ) 2 2

1 2( 2)

s s

s s s s G s sT ss sG s H s s s s s

s

La forma ZPK muestra el denominador como un polinomio de orden-2, lo cual

permite identificar que los polos de ( )T s son complejos conjugados. Usando

objetos LTI de MATLAB:

2

+2

( 1)

( 2)

s s

s


34/71



Gs=G4s, Hs=H1s, Ts=f eedback( Gs, Hs)

Zer o/ pol e/ gai n:0. 33333 s ( s+1)

- - - - - - - - - - - - - - - - - -( s 2 + 2s + 1. 333)

Aunque la expresin de ( )T spuede calcularse usando operaciones con objetos

LIT, tal como se hizo al evaluar a3( )G s, el TBC incluye la funcin

feedback()que facilita el clculo directo de la FTLC, a partir de ( )G sy ( )H s

correspondientes a laforma cannicade lazo cerrado.

Aplicando (1.18), la FTLA es

2 2

( 1) 2 ( 1)( ) ( ) ( ) 2

( 2) ( 2)

s s s s F s G s H s

s s

La ecuacin caracterstica(EC) necesaria para evaluar la estabilidad es

22

2 2

2 ( 1) ( 2) 2 ( 1)1 0 3 6 4 0

( 2) ( 2)

s s s s s s s

s s

que corresponde al denominador de ( )T s. Calculando sus races, los polos del

sistema en lazo cerrado son: 1,2 1 0.5774p j . Como se encuentran en el SPI,el sistema es absolutamente estable.

Utilizando MATLAB:

pk=pol e(Ts)pk = - 1. 0000 + 0. 5774i

- 1. 0000 0. 5774i

Comentarios:

1. En el ejemplo anterior las funciones1( )G sy

2( )H sse crearon como objetos LIT en

la forma TF, mientras que2( )G sse cre en la forma ZPK.

2. Sin embargo, al combinar estos objetos para obtener 3( )G saparece en la forma ZPK,

como consecuencia del orden de precedenciaen las operaciones con objetos.3. La funcin minreal() del TBC se utiliza para simplificar en un resultado, los

factores comunes del numerador y denominador.

4. En aplicaciones prcticas es conveniente usar la funcin feedback()para evaluar la

funcin de transferencia de lazo cerrado correspondiente a laforma cannica.

5. La funcin pole()del TBC permite calcular los polos de una FT. En el ejemplo 1.7

se utiliz para calcular las races de la ecuacin caracterstica, a partir de la FTLC.


35/71



Fundamentos del grfico de flujo de seales

Una forma prctica para evaluar la FTLC de un sistema que incluye varios lazos de control,

sin necesidad de reducirlo a la forma cannica, consiste en utilizar el grfico de flujo de

seales (GFS), introducido por S.J. Mason en 1953 para la representacin causaefectode un sistema LIT modelado a travs de ecuaciones algebraicas. El GFS es un modelo

grficode la funcin de transferencia de un sistema LIT y puede considerarse como una

versin simplificadadel diagrama de bloques (DB) presentado en el prrafo anterior.

El GFS est asociado a un DB y utiliza los 3 elementos mostrados en la figura 1.27, donde

las seales se representan mediante nodos interconectados por ramas orientadas. A cada

rama se le asigna la ganancia G correspondiente a la FT del bloque. Esta ganancia se

reconoce como la transmitanciade la rama, para indicar que la seal ( )X ses transmitida

desde un nodo hacia otro nodo, para crear la seal ( )Y s.

Un nodo se considera como un sumideroo depsito en el cual se guarda el valor de una

seal. El propsito del GFS es formular una ecuacin en el dominio-spara expresar la seal

en un nodo cualquiera, como relacin causaefectoo entradasalida: ( ) ( )X s Y s De este modo, se logra un conjunto de ecuaciones estndarde la forma

( ) ( ) ( )j jk kY s G s X s (1.20)

donde ( )jkG ses la gananciao transmitanciaentre un nodo de entrada ( )kX sy un nodo de

salida ( )jY s. En este sentido, en un GFS se identifican 3 tipos de nodos:

Nodo de entrada: solo transmite seales; solo pueden existir ramas que salen.

Nodo de salida: solo recibe seales; a este nodo solo pueden llegar ramas.

Nodo mixto: recibe y transmite seales; pueden existir ramas entrando y saliendo.

Al recorrer un GFS entre un par de nodos en el sentido de sus ramas, es posible identificar

los siguientes elementos:

Trayectoria directa: trayectoria abierta desde un nodo de entrada hasta un nodo de

salida, sin pasar por un nodo ms de una vez. El producto de las

( )Y s( )X s G( ) ( )X s Y s

1

( )X s

( )Y s

( )X s

( )X s

( )X s

Figura 1.27Elementos de ungrfico de flujo deseales.

Ganancia

Sumador Derivacin o toma


36/71



ganancias de las ramas recorridas establece la ganancia de la

trayectoria directa.

Lazo: trayectoria cerrada que inicia y termina en el mismo nodo, sin pasar por un nodo

ms de una vez. El producto de las ganancias de las ramas recorridas establece la

ganancia del lazo.

Trayectorias conexas: trayectorias directas o lazos que se tocan o que tienen un

elemento en comn (nodo o rama).

La figura 1.28 muestra un ejemplo tpico de un GFS utilizado para formular la relacin

( ) ( )R s Y s , donde existe un nodo de entrada: ( )R s, un nodo de salida: ( )Y sy 4 nodosmixtos:

1( )E s,

2( )E s,

3( )E s,

4( )E s.

As mismo se identifican los siguientes elementos:

2 trayectorias directas para la relacin ( ) ( )R s Y s : 1 1 2 3 4T G G G G , 2 4 5T G G 2 lazos:

1 1 1L G H , 2 2L H

En cuanto a la relacin entre lazos y trayectorias, se observa que:

Los lazos 1L y 2L no son conexos.La trayectoria 1Tes conexacon los 2 lazos.

La trayectoria 2Tes conexasolo con 1L .

Estas caractersticas son indispensables al aplicar la frmula de ganancia de Mason.

Frmula de ganancia de Mason

Esta frmula o algoritmo fue desarrollada por S. J. Mason en el ao 1956 como parte de un

procedimiento grfico para determinar la funcin de transferencia (FT) entre un nodo de

entrada y un nodo de salida, de un grfico de flujo de seales (GFS) o de su diagrama debloques (DS) equivalente. La base de este algoritmo es la regla de Crammer, utilizada para

resolver un sistema simultneo de ecuaciones algebraicas.

Asumiendo un sistema continuo LIT, la frmula de ganancia de Mason (FGM) permite

calcular la ganancia entre un nodo de entraday un nodo de salidacomo:

1G( )R s

1H

2G1E 2E 3G

2H

3E 4E ( )Y s

5G

4G

Figura 1.28Ejemplo tpico deun grfico de flujode seales.


37/71



1

( ) ( )( )

( )( ) ( )

NTD

k k

k

T s sY s

T sX s s

(1.21)

donde:

( )T s ganancia o FT equivalente para la relacin ( ) ( )X s Y s .( )s determinante del sistema, asociado con los lazos del GFS.( )

kT s ganancia de trayectorias directaspara la relacin ( ) ( )X s Y s .

( )ks cofactorde cada trayectoria directa, evaluado a partir de ( )s .

Para facilitar la aplicacin de la FGM, se recomienda seguir un orden especfico al evaluar

los trminos que conforman la ecuacin (1.21), usando el siguiente procedimiento:

1. Obtener el determinante del sistema: ( )s , como:

2 3( ) 1 i i is L L L (1.22)donde

iL representa la ganancia de los lazos simples(cada lazo); 2iL la ganancia de los

lazos no conexosen grupos de2;3iL la ganancia de los lazos no conexos en grupos de

3, y as sucesivamente. Como el determinante ( )s solo depende de los lazos del GFS,se convierte en un valornico del grafo, independiente del par de nodos entrada-salida

considerados al aplicar (1.21).

2. Calcular la ganancia de las trayectorias directas: ( )k

T s.

Las trayectorias directas dependen nicamente de la relacin ( ) ( )X s Y s para la cual

se quiere calcular la FT, aplicando (1.21). Se obtienen recorriendo el grafo desde el nodo

de entrada ( )X shasta el nodo de salida ( )Y s.

3.Evaluar los cofactores asociados con cada trayectoria directa: ( )ks .

El cofactor de una trayectoria directa se obtiene anulando en el determinante del sistema

( )s , la ganancia de los lazos conexos con dicha trayectoria.

El siguiente ejemplo muestra la aplicacin de la FGM para determinar la ganancia o FT

equivalente del modelo grfico de un sistema continuo LIT, utilizando el procedimiento

anterior.

EJEMPLO 1.8: Aplicar la FGM para obtener la ganancia o FT equivalente del sistema

continuo LIT cuyo modelo grfico se muestra en la figura 1.28.

Solucin: Aplicando el procedimiento anterior, obtenemos

1.Determinante del sistema:

FGM para

calcular

ganancia

equivalente.


38/71



Existen 2 lazos cuyas ganancias son 1 1 1L G H y 2 2L H . Como no sonconexos, conforman un grupo de 2 cuya ganancia es

1 2 1 1 2L L G H H . Por lo

tanto, aplicando (1.22), obtenemos

1 2 1 2 1 1 2 1 1 2( ) 1 ( ) 1s L L L L G H H G H H 2. Trayectorias directas:

Para la relacin ( ) ( )R s Y s existen 2 trayectorias directas con ganancias:

1 1 2 3 4T G G G G

2 4 5T G G

3. Cofactores de trayectorias directas:

La trayectoria1

T es conexa con los 2 lazos; para obtener su cofactor

anulamos 1L y 2L en ( )s , obteniendo 1( ) 1s . Por otro lado, como latrayectoria

2T es conexa solo con

1L debemos anular este lazo en ( )s ,

obteniendo 2 2 2( ) 1 1s L H .

4. Ganancia equivalente:aplicando la FGM (1.21)

1 1 2 2 1 2 3 4 4 5 2

1 1 2 1 1 2

(1 )( )

1

T T G G G G G G H T s

G H H G H H

Estabilidad a partir de la FGM

Adems de facilitar el clculo de la FT de un sistema de control con mltiples lazos decontrol, la FGM permite evaluar su estabilidad, si se considera que los polos de ( )T sen la

expresin (1.21), se pueden obtener a partir de las races del denominador, como

( ) 0s (1.23)

De este modo la expresin (1.23) es la ecuacin caractersticade un sistema de control que

utiliza un esquema arbitrario. La ecuacin (1.19) es un caso particular que solo puede ser

aplicado a un sistema cuyo esquema corresponde a laforma cannicade la figura 1.25.

Del diagrama de bloques al grfico de flujo de seales

Como se mencion anteriormente la FGM puede aplicarse a un diagrama de bloques (DB).

Sin embargo, es ms fcil identificar lazos y trayectorias en el GFS. Para lograr un GFS

con el nmero mnimo de nodos, es conveniente tomar en cuenta las siguientes sugerencias:

- identificar y dar nombre en el DB, a todas las seales de entrada a cada bloque

(podra trabajarse con las seales de salida. Ver ejemplo 1.16.).


39/71



- seleccionar el nmero mnimo de nodos igual al nmero de seales anteriores, ms

las seales de entrada y salida del sistema.

- desarrollar el GFS a partir de las relaciones algebraicas causa efecto del DB.

EJEMPLO 1.9: Aplicar la FGM para obtener FTLC del sistema del ejemplo 1.7.

Solucin: Antes de utilizar la FGM desarrollamos el GFS, a partir del DB. Utilizando la

sugerencia anterior, el nmero mnimo de nodos:

- seales de entrada y salida del sistema: ( )R s, ( )Y s

- seales de entrada a cada bloque: , ,1 2( ) ( ) ( )E s E s Y s

No. mnimo de nodos 2 2 4

Usando estos 4nodos desarrollamos el GFS considerando las relaciones causa

efecto del DB.

Aplicando el procedimiento propuesto para la relacin ( ) ( )R s Y s :

1.Determinante del sistema.

Dos lazos simples:1 2 2L G H y

2 1 2 1L G G H

No existen grupos no conexos.

Aplicando (1.22), obtenemos

1 2 2 2 1 2 1( ) 1 ( ) 1s L L G H G G H

2. Trayectorias directas.Una trayectoria directa para la relacin ( ) ( )R s Y s :

1 1 2T G G

GFS a partir

del DB y FGM

para calcular

FTLC. 2( )G s

2( )H s

1( )H s

+ +1( )G s

( )R s 1( )E s 2( )E s ( )Y s

2H

1G( )R s 2G1( )E s 2( )E s ( )Y s

1H


40/71



3. Cofactores de trayectorias directas.

1Tes conexa con

1L y

2L , luego

1 1

4. Ganancia o FT equivalente.

1 1 1 2

2 2 1 2 1

( )1

T G GT s

G H G G H

Sustituyendo los datos del ejemplo 1.7

2

2

1

2 1 2( )1 1 1 2 3 6 4

1 2 11 2 1 1 2

s s s

s ss s sT ss s s s s s

s s s s s s

Utilizando MATLAB

G1s=t f ( [ 1 1] , [ 1 2] ) ; G2s=zpk(0, - 1, 1) ; H1s=2; H2s=t f ( 1, [ 1 0] ) ; Ts=mi nreal ( G1s*G2s/ ( 1+G2s*H2s+G1s*G2s*H1s) )

Zer o/ pol e/ gai n:0. 33333 s ( s+1)

- - - - - - - - - - - - - - - - - -( s 2 + 2s + 1. 333)

que corresponde a la forma ZPK del resultado que se obtuvo usando la FGM.

EJEMPLO 1.10: Obtener el GFS del sistema continuo LIT cuyo DB se muestra a

continuacin y aplicar la FGM para obtener la ganancia o FT equivalente

de lazo cerrado.

Solucin: Para determinar el nmero mnimo de nodos:

- seales de entrada y salida del sistema: ( )R s, ( )Y s

- seales de entrada a cada bloque:1( )E s,

2( )E s,

3( )E s,

4( )E s

GFS a partir de

un DB y FGM

para calcular

FT equivalente

de lazo cerrado.

2E

2H

+

1G 2G 3G 4G( )Y s

4E3E1E( )R s +

1H

3H

++

5G

1Y


41/71



No. mnimo de nodos 2 4 6

Utilizando estos 6 nodos desarrollamos el GFS considerando las relaciones

causa efecto del DB.

Se observa que no es necesario incluir el nodo1( )Y sdel DB en el GFS, dado

que es la seal de salida del bloque 3G, se evalu como 1 3 3Y G E .

Aplicando el procedimiento propuesto para la relacin ( ) ( )R s Y s :

1.Determinante del sistema.

3 lazos simples:1 1 1

L G H ,2 1 2 3 2L G G G H y

3 3 3L G H

1 grupo de 2 no conexos: 1 3 1 3 1 3L L G G H H

Aplicando (1.22), obtenemos

1 2 3 1 3 1 1 1 2 3 2 3 3 1 3 1 3( ) 1 ( ) 1s L L L L L G H G G G H G H G G H H

2. Trayectorias directas.

2 trayectorias directas para la relacin ( ) ( )R s Y s :

y1 1 2 3 4 2 1 4 5

T G G G G T G G G

3. Cofactores de trayectorias directas.

1Tes conexa con

1L ,

2L y

3L , luego

1 1

2Tes conexa con 1L y 2L , luego 2 3 31G H

4. Ganancia o FT equivalente.

1 2 3 4 1 4 5 3 3

1 1 1 2 3 2 3 3 1 3 1 3

(1 )( )

1

G G G G G G G G HT s

G H

Modelos Matemáticos de Sistemas de Control

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