Modelos Matemáticos para Descrição das Redes de Reação

Prof. Maria Alice Zarur Coelho

Programa de Pós-graduação em Tecnologia de Processos Químicos e Bioquímicos

Escola de Química UFRJ

O que são modelos?

Como são obtidos?

Qual sua relevância na prática laboratorial e industrial?

Cinética...Balanço de massa...Transferência de massa...Transferência de energia...

Como...Modelo 4: C = a*t / ((b*t**2)+(d*t)+e)

C = (967,546)*t/(((-0,000052)*t**2)+((0,960842)*t)+(0,364028))

t

C

0

200

400

600

800

1000

1200

0 10 20 30 40 50 60

Modelo 1: C = [ (1-a) * k * t](1/1-a)

Modelo 2: C = k * (1 – e -t/ττττ )

Modelo 3: C = a * ln (t) + b

Modelo 4: C = (a * t) / [(b * t2) + (c * t) + d ]

Modelo 5: C = (a * t) / (b + t)

Relevância....

! Previsão de desempenho (produtividade, rendimento, etc.)! Otimização de processos! Projeto de unidades (extrapolação de escala...)! Controle de sistemas

Sistemas biológicos

Alta complexidadeSimultaneidade de fenômenos bioquímicosProcessos de dinâmica populacional:

efeitos cooperativos e/ou de competição inerentes a coletivos de indivíduos em geral

Alguns fatos que tornam mais árdua a modelagem de sistemas biológicos são:

(i) Em nível celular" ocorrência de redes de reações metabólicas envolvendo dezenas ou centenas de reações químicas ou enzimáticas;" desconhecimento de várias reações destas redes metabólicas; e" dificuldade técnica e/ou econômica para determinar experimentalmente os parâmetros envolvidos (constantes cinéticas, coeficientes estequiométricos, etc.);

(ii) Em nível populacional" dificuldade de medir a distribuição de propriedades entre os indivíduos;" dificuldade de identificar fenômenos cooperativos colaboração ou de competição inter ou intraespecíficos;" necessidade de controle rigoroso das condições experimentais para garantir a reprodutibilidade dos resultados;

Classificação dos Modelos

Fenomenológicos x Empíricos

Representação matemática com base em leis e fenômenos conhecidos

Caráter mais geral

Simples correlações...Tentam relacionar variáveisdo sistema

Validade restrita a faixa de observações

Estruturados x Não- Estruturados

População

Componentes Celulares

Não - Estruturados Estruturados

Distribuídos Células são representadas como um componente único, uniformemente distribuídas no espaço, que interagem com o ambiente

Múltiplos componentes celulares (RNA, DNA, proteínas...), uniformemente distribuídos, interagindo entre eles

Segregados Células são representadas como um componente único, formando uma mistura heterogénea

Células são compostas por múltiplos componentes e formam uma suspensão heterogénea

Determinísticos x Estocásticos

Modelos Determinísticos:o Alterações no sistema não são consideradas...o Desempenho do modelo depende apenas das condições iniciais do sistema

Modelos Estocásticos:o Fenômenos relacionados a variações temporais, como nascimentos, morte, transformações e evoluçãoo Processos que sofrem a influência de flutuações rápidas, independentes e aleatórias

função estocástica - pode ser aproximada por um ruído branco ξξξξ(t)

Reatores Ideais

o Batelada

o Batelada Alimentada

o Contínuo

( ) fiRiR rVCVdtd =

fii r

dtdC =

( ) fiiifR

i rCCVF

dtdC +−=

Modelo Clássico - Monod

Variáveis: SParâmetros: µ, Ks

)(max

SKS

s+= µµ

Função hiperbólica (descrita em 1942)Similar a isoterma de adsorção de Langmuir (1918) e

a cinética enzimática de Henri-Michaelis-Menten (1902)

Parâmetros sem significado físico...Alguns atribuem a crescimento limitado pela taxa

do transporte mediado pela permease da membrana celular.

µmax (T-1)= taxa máxima de crescimento quando S >> Ks

hipérbole

cinética de ordem zero

cinética de primeira ordem

Matematicamente, Ks (M / L) éo valor da concentração do nutriente limitante na qual a velocidade específica de crescimento (µ) é metade do seu valor máximo

Validade do Modelo de Monod:

Aplicável a:Populações com crescimento equilibrado, i.e,

Fase Exponencial de Crescimento

Modificações do Modelo de Monod:

( ) XkSK

Sr es

x

−

+= maxµ metabolismo

endógeno

Outros ModelosModelos de Crescimento

Tessier:

Moser:

Contois:

( )sKSe−−= 1maxµµ

( ) 1max 1 −−+= λµµ SKs

SXBS+

= maxµµ altas densidades celulares

Sistemas de transporte da membrana podem sofrer alterações...

(pressão osmótica, força iônica, etc.)

Inibição pelo Substrato...

... e por Produto

presença de Múltiplos Nutrientes Limitantes

iS KSSKS

2max ++= µµ

PKK

SKS

i

i

S ++= maxµµ

...22

2

11

1max SK

SSK

Sss ++

= µµ

Remoção Biológica de Nitrogênio em Reator Batelada Sequencial

FdtdV =

)( BHBABABA XXf

VF

dtdX

+⋅−=

))(1(

)()(

BHBABAODOD

OD

NONO

NO

SS

SH

BHBABAODOD

OD

NHNH

NHNONONOa

NO

XXfSK

KKS

SKS

Sm

XXfKS

SKS

SYSSVF

dtdS

+−

+

+

+

⋅−

+

+

+

+

+−⋅=

η

β

)()( BHBABAEODOD

OD

NHNH

NHANHNHa

NH XXfkKS

SKS

SSS

VF

dtdS

+

+

+

+

−−⋅= µ

))(1(

)(

BHBABANONO

NO

ODOD

ODg

ODOD

OD

SS

SHSSa

S

XXfKS

SKS

KKS

S

KSSmSS

VF

dtdS

+−

+

+

+

+

×

+

−−⋅=

η

))(1( BHBABABH XXf

VF

dtdX

+−⋅−=

Modelo de Monod e a Transferência de Massa

Sendo:

KL = coeficiente de transferência de massa;a = razão entre a área interfacial e o volume;X/ρcel = razão volumétrica entre células e suspensão.

Smeio

célula Sfilme de líquido

S < Smeio ( )SSXaKr meiocel

Lmassatransf −

=

ρ.

Como a taxa de consumo de substrato é dada por:

Obtemos:

onde

( )SKSq

qs +

= max

appsmeio

meio

KSs

,max +

= µµ

SXL

celsapps YaK

KK ρµmax, +=

SXYq µ= altera valor de Ks

Outros Efeitos Ambientais# pH# Temperatura

#Atividade da água# Pressão hidrostática

( )[ ]pHpHmm −−= 2,7833,01µµ

µm,T = velocidade específica de crescimento a dada Tref (oC)

k = constante cujo valor é proposto é: 0,1075 - Nitrosomonas0,0625 - Nitrobacter

( )[ ]refmm TTkT

−= expµµ

)15( 04,0)7( 53,159,11 −+−+= TpHkfaixa de validade: 7 < pH < 8,5 e 15 < T < 25 oC

Modelos Metabólicos

$ Modelos cinéticos estruturados$ Incorporam aspectos do metabolismo celular

• Viabilidade Celular

VDVS

RVV XKX

SKSX

VF

dtdX

−

+

µ+−=

VDNVNV XKX

VF

dtdX

+−=

( ) VS

RS/X

f XSK

SY

1SSVF

dtdS

+

µ−−=

VS

RX/P XSK

SYPVF

dtdP

+

µ+−=

Segrega a biomassa através da atividade metabólica

( )[ ]RRO

OD PPexp

)y1(y

K2

2 dcb

a+−

+=

• Ciclo Celular

• “START”, ocorrido na fase G1, dá início a uma etapa de divisão.• A etapa limitante de velocidade para o progresso do ciclo celular é a do

crescimento e síntese de proteínas • As células-filhas são menores que as mães e possuem fase G1 maior

G1

G2

SM

START

tempo maior para que as filhas completem o ciclo de divisão

Modelo BPM

nascimentomorte

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )

21 22

1,,−

Ρ−

−=z

DPBBBB

C

eafSfDOfDOSaB ρ( ) ( )( ) ( )( ) ( )afSfDOfDOSaD

kkkkk DDDDDk −−+= 11,, ρα

( ) ( ) ( ) ( )[ ]afSfDOfDOSaA AAAAA −+= 1,, ρα( ) ( ) ( )[ ] ( )afSfDOfDOSaI IIIII −+= 1,, ρα

ativasinativas

( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]tantan

VF

aLtan

attan

AINA

AA ,,,, −=

∂∂+

∂∂ ( ) ( )[ ] ( )tanDOSaIDOSaD AA ,,,,, +−

( ) ( ) ( ) ( )tanDOSaAdatanDOSaB IA ,,,,,,0

++ ∫∞

( ) ( ) ( )[ ]tantanVF

ttan

IINI

I ,,, −=∂

∂ ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )tanDOSaItanDOSaADOSaD AII ,,,,,,,, ++−

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )tanDOSaDtanDOSaDtantanVF

ttan

IIAADIND

D ,,,,,,,,, ++−=∂

∂

( ) ( ) ( )[ ] ( )∫∞

−++Κ−−=

000 ,,

1daDOSan

eSSMNtStS

VF

dttdS

ADOO

S

SINOλ

µµ

Modelos Morfologicamente Estruturados

Taxa de produção de Cefalosporina C

Síntese enzimática: induzida por metioninaintracelular e reprimida por glicose

( ) hDhhg

mh XkXmgXgkg

dtdX −−

+= ,βµ

( ) sDshs XkXgXmg

dtdX −−= )(, γβ

aDsa XkXg

dtdX −= )(γ

+

+

+=gK

gmK

mkkmggm

1211),(β

++=

gKgkkg

g2221)(γ

Modelos para Fase Estacionária• Exaustão de nutrientes

Xkdtda

a−=

to eXX µ=

( )oestaca

o XXka −=µ

oa

oestac ak

XX µ+=

consumo do nutriente a é proporcional a concentração celular

crescimento exponencial ocorre até o início da faseestacionária (t=0 no início da fase exponencial)

ao = concentração do nutriente a no instante t=0;Xestac = tamanho máximo da população

Dependência linear de Xestac

com ao é usualmente observada

• Produção de toxinas

( )[ ]toxinaconcfXkdtdX .1−= ( )tCbk

dtdX

X−= 11

Xqdt

dCt = ∫= tt dtXqC 0

( )∫−= t dtXqbXkdtdX

01

Ct = 0 em t = 0

( )∫−== teff dtXqbk

dtdX

X 011µ

∴∴∴∴

∫= t dtXqb 0

1

Cessa o crescimento

bCt 1=

Conc. de toxina a partir da qual cessa o crescimento

Taxa de formação da toxina proporcional aconcentração celular

Fase de Morte

# Pouco estudada... processos industriais baseiam-se essencialmente na fase exponencial# População heterogênea – células em diferentes estágios de crescimento... distinção mais pronunciada nas fases de desaceleração e morte!!!# Lise celular - permite manutenção do tamanho da população na fase estacionária

decaimento exponencial

tkestac

deXX −=

Cinética de Formação de ProdutoAssociada ao crescimento:

Semi-associada ao crescimento (Ludecking - Piret ):

Não associada ao crescimento:

dtdXrp α=

XdtdXrp βα +=

Xrp β=

Exemplos

Produção de Álcoolassociada ao crescimento

Exemplos

Produção de Penicilina(metabólito secundário)

não associada ao crescimento

Produção de Biopolímeros

( ) XSKS

dtdX

S

+

= maxµ

dtdX

YdtdS

SX /

1−=

XdtdX

dtdP βα +=

0,0

4,0

8,0

12,0

16,0

20,0

Glu

cose

(g L-1)

0 ,0

0,2

0,4

0,6

0 2 4 6 8 10

T ime (days)

EPS

(g L-1

)

G 5 pH7 (observed) G 5 pH7 (modelled)G 15 pH7 (observed) G 15 pH7 (modelled)

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5B

iom

ass

(g L-1)

Bio

mas

s(g

L-1 )

Glu

cose

(gL-1

)EP

S (g

L-1 )

α = 0