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MODELOS PARA ANÁLISE DE PILARES MISTOS PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

ALUNO: FERNANDO DINIZ QUEIROZ ORIENTADOR: GÍLSON QUEIROZ

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

ESCOLA DE ENGENHARIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE ESTRUTURAS

"MODELOS PARA ANÁLISE DE PILARES MISTOS PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS"

Fernando Diniz Queiroz

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Estruturas da Escola de Engenharia da Universidade Federal de Minas Gerais, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de "Mestre em Engenharia de Estruturas".

Comissão Examinadora: ____________________________________ Prof. Dr. Gilson Queiroz DEES-UFMG - (Orientador) ____________________________________ Prof. Dr. Fernando Amorim de Paula DEES-UFMG ____________________________________ Prof. Dr. Ricardo Hallal Fakury DEES-UFMG ____________________________________ Prof. Dr. Sebastião Arthur Lopes de Andrade PUC-RJ

Belo Horizonte, 26 de fevereiro de 2003

AGRADECIMENTOS

A Deus, pela oportunidade dada.

Ao meu orientador, Gílson Queiroz, pela confiança, amizade e sabedoria.

A CAPES e, posteriormente, a USIMINAS, pela bolsa de estudos.

A meus familiares, pelo apoio e incentivo.

A Joélma, pela compreensão, paciência e carinho.

A todos os professores, funcionários e colegas do Departamento de Engenharia de

Estruturas da Universidade Federal de Minas Gerais, pela agradável convivência durante a

realização deste trabalho.

Sumário Lista de Figuras................................................................................................. i

Lista de Tabelas................................................................................................. iv

Simbologia........................................................................................................... v

Resumo.................................................................................................................. viii

Abstract................................................................................................................ ix

1 Introdução .................................................................................................... 1

1.1 Estruturas mistas – considerações iniciais.............................................. 1

1.2 Sistemas estruturais mistos aço-concreto - definições e conceitos

iniciais ....................................................................................................... 2

1.3 Motivação................................................................................................... 3

2 Objetivo e Metodologia ............................................................................ 7

2.1 Objetivo...................................................................................................... 7

2.2 Metodologia............................................................................................... 8

2.3 Apresentação............................................................................................. 9

2.4 Descrição da ferramenta computacional................................................ 11

3 Pilares Mistos e Estruturas Mistas em Geral .................................. 12

3.1 Considerações iniciais............................................................................... 12

3.2 Pilares mistos aço-concreto...................................................................... 12

3.3 Estudos relativos a pilares mistos aço-concreto..................................... 14

3.3.1 Estudos relativos a pilares mistos revestidos de concreto.............. 14

3.3.2 Estudos relativos a pilares mistos preenchidos com concreto........ 19

3.3.3 Estudos relativos a pilares mistos revestidos e preenchidos com concreto.......................................................................................... 26

3.3.4 Resumo de ensaios experimentais relativos a pilares mistos aço-

concreto........................................................................................... 29

3.4 Estudos relativos a novas estruturas mistas aço-concreto.................... 29

4 Normas Relativas a Pilares Mistos Aço-Concreto........................... 36


4.2 Abordagem conforme NBR 14323 (1999) .............................................. 37

4.2.1 Considerações adicionais ao item 4.1............................................. 37

4.2.2 Análise estrutural............................................................................ 37

4.2.3 Pilares indeslocáveis....................................................................... 38

4.2.4 Efeito da força cortante na seção transversal de um pilar misto..... 39

4.2.5 Cisalhamento longitudinal em um pilar misto................................ 39

4.2.6 Resistência à força normal de compressão e à flexão composta.... 40

4.3 Abordagem conforme AISC-LRFD (1999) ............................................ 47


4.3.2 Cisalhamento na superfície de contato aço-concreto, fora das

regiões de introdução de carga....................................................... 47

4.3.3 Resistência à força cortante............................................................ 48

4.3.4 Resistência à força normal de compressão..................................... 48

4.3.5 Resistência à flexão-composta........................................................ 49

4.4 Abordagem conforme Eurocode 4 (1992) .............................................. 51


4.4.2 Análise estrutural............................................................................ 51

4.4.3 Pilares indeslocáveis....................................................................... 52

4.4.4 Efeito da força cortante na seção transversal de um pilar misto..... 52

4.4.5 Resistência ao cisalhamento........................................................... 52

4.4.6 Resistência à força normal de compressão e à flexão composta.... 53

5 Considerações sobre a Teoria da Plasticidade.................................. 58


5.2 Análises linear e não-linear...................................................................... 59

5.2.1 Análise linear.................................................................................. 59

5.2.2 Análise não-linear........................................................................... 59

5.3 Espaço de tensões de Haigh-Westergaard.............................................. 60

5.4 Critério de escoamento para materiais independentes da pressão

hidrostática................................................................................................ 60

5.4.1 Principais critérios.......................................................................... 61

5.5 Critério de falha para materiais dependentes da pressão

hidrostática................................................................................................ 61

5.5.1 Principais critérios.......................................................................... 62

5.6 Plasticidade de materiais perfeitamente plásticos................................. 63

5.6.1 Critério de carregamento e descarregamento.................................. 64

5.6.2 Regra de fluxo................................................................................. 64

5.6.3 Relação incremental constitutiva na forma geral............................ 65

5.7 Plasticidade de materiais encruáveis....................................................... 65

5.7.1 Critério de carregamento e descarregamento.................................. 66

5.7.2 Regras de encruamento................................................................... 67

5.7.3 Relação incremental constitutiva na forma geral............................ 68

5.8 Metais......................................................................................................... 68

5.9 Concreto..................................................................................................... 69

5.9.1 Descrição do material e de seu comportamento............................. 69

5.9.2 Modelagem do concreto.................................................................. 72

5.9.3 Critério de colapso (ou critério de falha) ....................................... 73

5.9.4 Modelagem plástica da fase de encruamento do concreto.............. 74

5.9.5 Modelagem plástica da fase de amolecimento do concreto............ 74

6 Considerações sobre o Programa ANSYS.......................................... 76


6.2 Apresentação do programa...................................................................... 76

6.2.1 Descrição geral............................................................................... 76

6.2.2 Elementos finitos utilizados no trabalho......................................... 77

6.2.3 Modelagem de materiais................................................................. 79

6.2.4 Solução numérica............................................................................ 81

6.2.5 Pós-processamento.......................................................................... 82

6.3 Formulação do elemento de concreto...................................................... 83

6.3.1 Comportamento linear.................................................................... 83

6.3.2 Comportamento não-linear............................................................. 85

6.3.3 Fissuração....................................................................................... 85

6.3.4 Esmagamento.................................................................................. 86

6.3.5 Amolecimento................................................................................. 86

6.3.6 Caracterização do material concreto............................................... 87

6.3.7 Modelo constitutivo e critério de ruptura....................................... 87

6.4 Considerações finais.................................................................................. 92

7 Aplicação do Método dos Elementos Finitos à Análise de

Sistemas Estruturais.................................................................................. 93


7.2 Análises de estruturas de concreto.......................................................... 94

7.3 Análises de pilares mistos aço-concreto.................................................. 99

7.4 Análises de estruturas mistas em geral................................................... 104

7.5 Análises de outros sistemas estruturais................................................... 108

8 Análise Numérica de Pilares Mistos Aço-Concreto pelo

Método dos Elementos Finitos................................................................ 112


8.2 Modelos de pilares mistos submetidos à flexo-compressão,

utilizando-se o elemento SOLID45 para o concreto.............................. 113

8.2.1 Escolha da relação entre a resistência à tração (ft) e a resistência à

compressão (fc) do concreto............................................................ 113

8.2.2 Dados inicias................................................................................... 114

8.2.3 Resistência nominal da seção mista pela NBR14323 (1999) ........ 114

8.2.4 Análise da seção mista pelo Método dos Elementos Finitos,

utilizando-se o programa ANSYS (versão 5.7) ............................ 117

8.2.5 Resistência nominal do pilar misto, considerando-se o fenômeno

de flambagem.................................................................................. 122

8.3 Modelos de pilares mistos submetidos à flexo-compressão,


8.3.1 Dados inicias................................................................................... 128

8.3.2 Resistência nominal da seção mista pelo Eurocode 4 (1992) ........ 129

8.3.3 Análise da seção mista e obtenção da curva de interação para

flexo-compressão pelo Método dos Elementos Finitos,

utilizando-se o programa ANSYS (versão 5.7) ............................. 135

8.3.4 Resistência do pilar misto, considerando-se o fenômeno de

flambagem...................................................................................... 141

8.4 Modelos de pilares mistos submetidos à compressão ou tração pura,


8.4.1 Comentários gerais......................................................................... 149

8.4.2 Discussão sobre os parâmetros estudados...................................... 155

8.4.3 Resultados dos modelos com plasticidade do concreto (MISO)

para compressão e tração (modelos [1] e [2]) ................................ 157

8.4.4 Resultados dos modelos sem plasticidade do concreto para

compressão e tração (modelos [3] e [4]) - esmagamento do

concreto habilitado.......................................................................... 160

8.5 Modelo de pilar circular preenchido com concreto............................... 163

8.5.1 Modelo............................................................................................ 163

8.5.2 Resistência nominal da seção mista à plastificação total pela

força normal (Npl,R), com base na NBR 14323 (1999) .................. 164

8.5.3 Resultados....................................................................................... 167

9 Conclusões e Recomendações................................................................. 171

9.1 Conclusões................................................................................................. 171

9.1.1 Modelos de pilares mistos submetidos à flexo-compressão,

utilizando-se o elemento SOLID45 para o concreto...................... 171

9.1.2 Modelos de pilares mistos submetidos à flexo-compressão,

utilizando-se o elemento SOLID65 para o concreto...................... 172

9.1.3 Modelos de pilares mistos submetidos à compressão ou tração

pura, utilizando-se o elemento SOLID65 para o concreto............. 172

9.1.4 Modelo de pilar circular preenchido com concreto........................ 173

9.2 Recomendações para novas pesquisas.................................................... 173

Referências Bibliográficas............................................................................. 174

i

Lista de Figuras Capítulo 3 FIGURA 3.1 – Principais tipos de pilares mistos aço-concreto: (a) totalmente

revestido; (b) parcialmente revestido; (c) preenchido de seção retangular;

(d) preenchido de seção circular.............................................................................. 13

FIGURA 3.2- Curvas de flambagem baseadas nas normas EC4 e AISC-LRFD.... 28

FIGURA 3.3 – Pilares mistos preenchidos com concreto, de seção circular:

(a) solução típica; (b) solução com dois perfis concêntricos................................... 30

FIGURA 3.4 – Viga mista aço-concreto-aço: (a) forma típica do elemento misto

aço-concreto-aço; (b) elemento misto com conectores de cisalhamento................. 30

Capítulo 4

FIGURA 4.1 – Diagrama simplificado de interação força normal-momento fletor

– NBR 14323 (1999) ............................................................................................... 43


– Eurocode 4 (1992) ................................................................................................ 55

Capítulo 5

FIGURA 5.1 - Forma geral da superfície de falha para um material dependente

da pressão hidrostática: (a) meridianos; (b) seção desviadora................................. 62

FIGURA 5.2 – Superfície de falha para o critério de Drucker-Prager: (a) plano

meridiano (θ=0º); (b) seção desviadora na origem (plano π )................................ 64

FIGURA 5.3 – Características gerais da superfície de falha: (a) meridianos da

superfície de falha; (b) seções em planos desviadores............................................. 73

Capítulo 6

FIGURA 6.1-Elemento SOLID65 do ANSYS........................................................ 80

ii

FIGURA 6.2 – Superfície de falha no espaço de tensões principais para estados

de solicitação biaxial ou aproximadamente biaxial................................................. 90

FIGURA 6.3- Modelo de William-Warnke: (a) meridianos de tensão e

compressão; (b) seção genérica em um plano desviador......................................... 91

Capítulo 8

FIGURA 8.1 – Cones de Drucker-Prager para diferentes razões c

t

ff :

(a)201

=c

t

ff

; (b) 41

=c

t

ff

.........................................................................................

114

FIGURA 8.2 – Geometria e carregamento do pilar misto (dimensões em mm) ..... 117

FIGURA 8.3 – Diagrama simplificado de interação força normal-momento fletor 117

FIGURA 8.4 – Modelo de elementos finitos: (a) Elementos de concreto; (b)

Elementos de aço................................................................................................ 119

FIGURA 8.5 – Força normal N (kN)X Deslocamento Ux (cm) ............................. 119

FIGURA 8.6 – Deformações do concretoε z para (a) N= 751,26 kN;

(b) N = 937,04 kN.................................................................................................... 121

FIGURA 8.7 – Tensões no concreto σz para (a) N = 751,26 kN;

(b) N = 937,04 kN.................................................................................................... 121

FIGURA 8.8 – Tensões no aço σz para (a) N = 751,26 kN; (b) N = 937,04 kN..... 122

FIGURA 8.9 – Força normal N (kN) X Deslocamento Ux (cm) (análise de 2ª

ordem)

.................................................................................................................................. 125

FIGURA 8.10 – Deformações e tensões no concreto para N = 1120 kN:

(a) Deformaçõesε z ; (b) Tensões σz ....................................................................... 126

FIGURA 8.11 – Tensões no aço σz para N = 1120 kN........................................... 127

FIGURA 8.12- Carregamento e geometria do pilar misto (dimensões em mm) .... 129

FIGURA 8.13 - Diagramas tensão-deformação: (a) concreto; (b) aço estrutural;

(c) aço da armadura.................................................................................................. 136

FIGURA 8.14 – Modelo de elementos finitos: (a) Elementos de concreto;

(b) Elementos de aço................................................................................................ 137

iii

FIGURA 8.15 – Curvas de interação força normal (N)-momento fletor (M) ......... 139

FIGURA 8.16 – Deformações e tensões no concreto para N = 1080 kN e M =

5400 kN.cm: (a) Deformaçõesε x ; (b) Tensões σx.................................................. 140

FIGURA 8.17 – Deformações e tensões no aço para N = 1080 kN e M = 5400

kN.cm: (a) Deformaçõesε x ; (b) Tensões σx........................................................... 141

FIGURA 8.18 – Deformações ε x na alma do perfil de aço para N = 1080 kN e

M = 5400 kN.cm...................................................................................................... 141

FIGURA 8.19 – Força normal N (kN) X Deslocamento Uy (cm) (e = 2,143 cm) .. 146

FIGURA 8.20 – Curvas de interação e curva advinda da análise de 2ª ordem (e =

2,143 cm) ................................................................................................................ 147

FIGURA 8.21 – Força normal N (kN) X Deslocamento Uy (cm) (e = 1,2 cm) ...... 148

FIGURA 8.22 – Curvas de interação e curvas advindas das análises de 2ª ordem

(e = 2,143 cm; e = 1,2 cm) ...................................................................................... 149

FIGURA 8.23 – Fluxograma dos modelos estudados.............................................. 151

FIGURA 8.24 – Força normal (kN) X Deformaçãoε x: (a) compressão (modelo

[1]); (b) tração (modelo [2]) .................................................................................... 159

FIGURA 8.25 – Detalhe do decaimento na tração (modelo [2]) ............................ 159

FIGURA 8.26 – Força normal (kN) X Deformaçãoε x: (a) compressão (modelo

[3]); (b) tração (modelo [4]) .................................................................................... 162

FIGURA 8.27 – Detalhe do decaimento na tração(modelo [4]) ............................. 162

FIGURA 8.28 – Geometria do pilar misto preenchido com concreto (dimensões

em mm) ................................................................................................................... 163

FIGURA 8.29 – Modelo de elementos finitos: (a) Elementos de concreto;

(b) Elementos de aço................................................................................................ 164

FIGURA 8.30 – Força normal (kN) X Deformação axialε z................................... 168

FIGURA 8.31 – Deformações e tensões no concreto para N = 1799 kN:

(a) Deformações ε z ; (b) Tensõesσ z....................................................................... 169

FIGURA 8.32 – Deformações e tensões no aço para N = 1799 kN:

(a) Deformações ε z ; (b) Tensõesσ z....................................................................... 170

FIGURA 8.33 – Tensões: (a) radial no concreto; (b) circunferencial no aço.......... 170

iv

Lista de Tabelas Capítulo 2 TABELA 2.1 – Descrição do computador............................................................... 11

Capítulo 3

TABELA 3.1 – Resumo de ensaios experimentais.................................................. 31

Capítulo 8

TABELA 8.1 – Dados relativos à FIG. 8.5.............................................................. 120

TABELA 8.2 – Dados relativos à FIG. 8.9.............................................................. 125

TABELA 8.3 – Pontos da curva de interação.......................................................... 134

TABELA 8.4 – Pontos da curva de interação (incluindo análise numérica) .......... 138

v

Simbologia

sca A,A,A = áreas das seções transversais do perfil de aço, do concreto e da armadura,

respectivamente;

b = largura da seção de aço;

bc = largura da seção de concreto do pilar misto;

ijklC = tensor de rigidez elasto-plástico;

mC = coeficiente definido no item 5.6 da NBR 8800 (1986);

Cr = média da distância da face comprimida à armadura longitudinal nesta face e da

distância da face tracionada à armadura longitudinal nesta face;

cx, cy = espessura da seção de concreto nas direções x e y da seção transversal do pilar,

respectivamente;

c1, c2, c3 = coeficientes numéricos, iguais, respectivamente, a 1,0 , 0,85 e 0,4 para tubos

preenchidos por concreto e 0,7 , 0,6 e 0,2 para perfis I totalmente envolvidos por concreto;

d = altura da seção de aço ou diâmetro do perfil tubular de aço;

[ ]D = matriz tensão-deformação;

cD = matriz constitutiva do concreto;

e = excentricidade da força axial aplicada;

E , cE = módulos de elasticidade do aço e do concreto, respectivamente;

e(EI) = rigidez efetiva à flexão;

cf = resistência média do concreto à compressão;

ckf = resistência característica do concreto à compressão;

yf , ysf = resistências ao escoamento do perfil de aço e da armadura longitudinal,

respectivamente;

tf = resistência média do concreto à tração;

tkf = resistência característica do concreto à tração;

vi

f( ijσ ) = superfície de escoamento;

g( ijσ ) = superfície potencial plástica;

hc = altura da seção de concreto do pilar misto;

hn = distância da linha neutra plástica ao centro de gravidade da seção;

h1 = largura da seção mista perpendicular ao plano de flexão;

h2 = largura da seção mista paralela ao plano de flexão;

csa I,I,I = momentos de inércia das seções transversais do perfil, da armadura e do

concreto não-fissurado, respectivamente, em relação ao eixo de flexão analisado;

I1 = primeiro invariante do tensor de tensões;

J2 , J3 = segundo e terceiro invariantes do tensor desviador ou anti-esférico de tensões;

k = parâmetro de encruamento;

KL = comprimento efetivo de flambagem;

Mpl,Rd = resistência de cálculo da seção mista à plastificação total pelo momento fletor,

com NSd igual a zero ou igual a Nc;

Nc = resistência da seção de concreto à plastificação total pela força normal;

eN = carga de flambagem elástica por flexão;

SdGN , = parcela permanente ou quase permanente de SdN ;

Npl,R = resistência nominal da seção mista à plastificação total pela força normal;

(determinado conforme Npl,Rd com os coeficientes aϕ , cϕ e sϕ iguais a 1);

Npl,Rd = resistência de cálculo da seção mista à plastificação total pela força normal;

NRd = resistência de cálculo do pilar misto à compressão axial;

SdN = força normal de cálculo;

rm = raio de giração relevante do perfil de aço, porém, no caso de perfil I totalmente

envolvido por concreto, não menos do que 0,3 vezes a dimensão da seção no plano de

flambagem;

t = espessura do perfil tubular de aço;

tf = espessura da mesa;

tw = espessura da alma; RiV = razão entre o volume do material i de reforço e o volume total do elemento;

vii

α = 0,85 para perfis I parcialmente ou totalmente envolvidos por concreto e 1,0 para

tubos preenchidos com concreto;

β = razão entre a altura (h) e a largura (b) de um perfil tubular de aço;

cβ e tβ = coeficientes de transferência de cisalhamento;

cγ = peso específico do concreto ; coeficiente de segurança igual a 1,35;

δ = razão de contribuição do aço;

ijδ = delta de Kronecker;

ε = deformação;

λ = parâmetro de esbeltez; ξ = fator de confinamento;

ρ = fator de redução devido à flambagem, dado pela NBR 8800 (1986), função da

curva de flambagem e do parâmetro de esbeltez λ ;

ijσ = o tensor de tensões em um determinado ponto de um corpo;

1σ , 2σ e 3σ = tensões principais em um determinado ponto de um corpo;

ν = coeficiente de Poisson;

aφ , cφ , sφ = coeficientes de segurança dos materiais aço estrutural, concreto e armadura

iguais a 0,9 , 0,7 e 0,85 , respectivamente;

χ = fator de redução devido à flambagem, dado pelo Eurocode 3 (1992), função da

curva de flambagem e do parâmetro de esbeltez λ .

viii

Resumo

Este trabalho consiste de um estudo numérico de pilares mistos aço-concreto, por meio do

Método dos Elementos Finitos, com o objetivo de expor e discutir os aspectos envolvidos

na modelagem, incluindo itens relativos aos modelos constitutivos dos materiais. A

modelagem do elemento estrutural é feita com a utilização do programa comercial ANSYS,

versão 5.7. As alternativas oferecidas por este software comercial, algumas limitações do

mesmo, além das dificuldades de modelagem encontradas durante a pesquisa, são

enfatizadas ao longo do trabalho, principalmente as relacionadas com a não-linearidade do

material inerente ao concreto armado. Busca-se representar numericamente o

comportamento de pilares mistos aço-concreto parcialmente revestidos submetidos à flexo-

compressão, além de possibilitar a comparação dos resultados numéricos obtidos com

normas de dimensionamento, tais como a NBR 14323 (1999) e o AISC-LRFD (1999).

Outras modelagens em elementos finitos são também desenvolvidas e analisadas, como as

de pilares mistos aço-concreto parcialmente revestidos submetidos à compressão ou à

tração pura (com o objetivo de identificar alguns fatores importantes durante a análise

numérica) e a de um pilar misto aço-concreto preenchido, de seção circular, submetido à

compressão pura.

São apresentados ainda conceitos da teoria da plasticidade utilizados ao longo do trabalho,

além de uma ampla revisão bibliográfica, com respeito ao estado da arte dos estudos

numérico-experimentais de estruturas mistas em geral, principalmente de pilares mistos

aço-concreto.

Palavras-chave: estruturas mistas, pilares mistos aço-concreto, análise numérica.

ix

ABSTRACT

This work consists of a numerical study of steel-concrete composite columns using the

Finite Element Method. The objective of the study is to present and discuss the aspects

related to the modeling including items concerning the constitutive models of the materials.

The analysis are performed using the finite element software ANSYS, version 5.7. The

main capabilities provided by this software and some limitations related to their

applications are discussed. Besides that, some difficulties found during the research and

related to the modeling and solution of the finite element models are emphasized along the

paper, mainly the ones related to the inherent nonlinearity of the reinforced concrete

material. It is tried to represent the behavior of steel-concrete partially encased composite

columns subjected to combined compression and flexure and, moreover, to compare the

numerical results from the finite element analysis with the ones of design codes, for

instance: NBR 14323 (1999) and AISC-LRFD (1999). Other finite element models are also

developed and analyzed, as the models of steel-concrete partially encased composite

columns subjected to axial compression or axial traction (in order to identify some

important factors in the numerical analysis) and the model of a steel-concrete filled

composite column, with circular-cross section shape, subjected to axial compression.

In addition to the numerical analysis, the main concepts of the theory of plasticity used in

this work are reviewed. It is also presented a vast review of the research carried out on

composite structures, mainly steel-concrete composite columns, with emphasis on

experimental and numerical work.

Keywords: composite structures, steel-concrete composite columns, numerical analysis.

1

1

INTRODUÇÃO

1.1 Estruturas mistas – considerações iniciais

Duas construções marcaram o início da utilização de estruturas mistas no mundo: uma

ponte em Iowa e a edificação Methodist Building, em Pittsburg, ambos nos Estados Unidos,

em 1894. Foram utilizadas vigas de aço de perfil I, revestidas de concreto. Desde então,

duas importantes características deste tipo de estrutura, a proteção contra o fogo e contra o

processo de corrosão, foram percebidas.

Porém, estudos mais específicos a respeito de elementos estruturais mistos só começaram

no século seguinte, em 1914, na Inglaterra. Na década de 30, já haviam sido estabelecidos

alguns métodos de dimensionamento de vigas mistas aço-concreto. Somente após

aproximadamente vinte anos (década de 50) os sistemas estruturais mistos foram

introduzidos no Brasil.

2

Em relação a pilares aço-concreto, os primeiros a serem estudados foram os de perfil de aço

revestido de concreto. Posteriormente, outros tipos de pilares mistos foram surgindo e

sendo pesquisados, como os tubos preenchidos com concreto.

1.2 Sistemas estruturais mistos aço-concreto - definições e conceitos

iniciais

Denomina-se sistema misto aço-concreto aquele em que um perfil de aço e o concreto

funcionam em conjunto. Geralmente, em sistemas mistos o concreto é armado. Como

exemplos de sistemas mistos pode-se citar: pilares, vigas, lajes e ligações mistas. Uma

estrutura mista é caracterizada por um conjunto de sistemas mistos. Já estrutura híbrida é

usualmente considerada como a resultante da união de elementos de aço, concreto armado e

mistos.

Para que haja a formação de um sistema misto é necessário que haja uma interação entre o

perfil de aço e o concreto. A maneira pela qual esta interação ocorre pode ser dividida em

três categorias principais: interação mecânica (conectores, mossas, ressaltos, entre outros),

interação por atrito e interação por simples aderência e repartição de cargas. De acordo com

Queiroz et al. (2001), este último modo de interação ocorre principalmente em pilares

mistos submetidos à compressão axial. Forças longitudinais de cisalhamento devem ser

desenvolvidas na interface aço-concreto para que o comportamento do conjunto possa se

estabelecer. Geralmente, as normas relativas ao dimensionamento de estruturas mistas não

levam em consideração a aderência natural entre o perfil de aço e o concreto armado.

Portanto, há casos em que se torna necessário o uso de elementos complementares na

interface para garantir este trabalho conjunto, ou seja, para garantir que realmente um

sistema misto seja formado. Estes elementos complementares são os conectores de

cisalhamento, as mossas, etc.

3

Quanto ao grau de interação entre o perfil de aço e o concreto, há três possibilidades:

a) Interação completa (ou total)

Nesta categoria de interação, os esforços de cisalhamento são totalmente transferidos do

aço para o concreto. Assim, aço e concreto comportam-se como um único elemento, do

ponto de vista de deformações, caso se assuma que os conectores têm rigidez e resistência

infinitas. As tensões desenvolvidas em cada material dependem dos respectivos diagramas

tensão-deformação.

b) Sem interação

Neste caso, não há interação alguma entre o aço e o concreto. Ambos os materiais

comportam-se independentemente, descaracterizando a ação mista. Não há conectores

unindo os elementos. Pode ocorrer escorregamento acentuado na superfície de contato entre

o aço e o concreto, devido aos comportamentos individuais.

c) Interação parcial

Esta categoria de interação situa-se em um nível intermediário entre os casos apresentados

anteriormente. A interligação existe, mas não é suficientemente rígida ou resistente. Há um

deslizamento relativo entre as superfícies do perfil de aço e do concreto, porém inferior ao

que ocorreria se não houvesse qualquer ação mista. O diagrama de deformações apresenta

duas linhas neutras, com as posições dependentes do grau de interação entre os elementos

de aço e de concreto.

1.3 Motivação e justificativa

Nos últimos vinte anos a construção mista tem se desenvolvido bastante. Cada vez mais as

vantagens das estruturas mistas têm se sobreposto às das estruturas de concreto armado e às

das estruturas de aço. Os pilares mistos desempenham um papel fundamental neste tipo de

4

construção. De acordo com Zandonini (1994), os sistemas estruturais mistos têm sido cada

vez mais utilizados, principalmente devido a alguns aspectos como:

a) Diminuição dos custos inerentes de produção e maior disponibilidade de perfis tubulares

de aço e conectores metálicos, devido a avanços tecnológicos nestas áreas;

b) Os elementos mistos necessitam de uma seção transversal menor para um determinado

esforço solicitante, em comparação com seções equivalentes de aço ou concreto, e com isso

possibilitam maiores espaços livres em projetos de engenharia/arquitetura;

c) Avanços tecnológicos que possibilitam a obtenção de aços e concretos de alta resistência,

assim como processos construtivos mais otimizados.

Nesta dissertação desenvolve-se um estudo numérico de pilares mistos aço-concreto, por

meio do Método dos Elementos Finitos. Este estudo é muito importante para se entender o

comportamento deste tipo de elemento estrutural submetido a determinadas condições de

carregamento, além de possibilitar a comparação dos resultados numéricos obtidos com

normas de dimensionamento, tais como NBR 14323 (1999) e AISC-LRFD (1999). A

seguir, são apresentados três pontos que motivaram o desenvolvimento deste plano de

trabalho:

I) Pilares mistos e estruturas mistas em geral tendem a ter uso crescente

Sistemas mistos são empregados na construção de pontes e edificações. A utilização de

sistemas mistos fornece maior variedade de opções entre as soluções em concreto armado e

as soluções em aço. Além disso, os sistemas mistos possibilitam maior liberdade

arquitetônica e podem resultar em ganhos financeiros.

Em relação ao concreto armado, podem-se citar como vantagens obtidas através do

emprego de sistemas mistos:

5

• Possibilidade de dispensa de fôrmas e escoramentos;

• Aumento da precisão dimensional da construção;

• Redução do peso próprio e do volume da estrutura.

Já em relação ao aço, tem-se, por exemplo:

• Redução das proteções contra incêndio e corrosão;

• Redução considerável do consumo de aço estrutural.

II) Todo o conhecimento a respeito de pilares mistos vem de ensaios experimentais

Um modelo confiável de elementos finitos pode, portanto, permitir uma redução

substancial do número de ensaios necessários. Para qualquer tipo de estrutura, quanto mais

complexa for sua geometria, mais necessária se torna uma análise numérica para a obtenção

da solução desejada. Já foi comprovado que investigações experimentais são demoradas,

dispendiosas e, para certos casos, até mesmo impraticáveis. O Método dos Elementos

Finitos tornou-se nos últimos anos uma ferramenta poderosa e muito útil na análise e

solução de diversos problemas no ramo da engenharia.

Abdollahi (1994) ressalta o fato de que, à medida que as técnicas de construção vão ficando

mais complexas, maior ênfase é dada ao uso de técnicas analíticas avançadas nas pesquisas

universitárias sobre engenharia civil. O uso adequado de métodos e modelos numéricos

pode ser de grande valia no entendimento do comportamento e resposta de estruturas

complexas submetidas a uma variedade imensa de carregamentos. Como resultado, o

Método dos Elementos Finitos tem se firmado como uma das ferramentas mais importantes

e poderosas para análises estruturais. O desenvolvimento deste método tem sido também

auxiliado pelo crescimento exponencial das facilidades computacionais, além de um maior

acesso a estes recursos.

6

Porém, a etapa experimental é também muito importante em qualquer estudo realizado. É a

partir de resultados confiáveis de ensaios que os modelos numéricos são validados.

Portanto, as análises experimental e numérica são dois processos complementares para o

desenvolvimento e entendimento de um determinado fenômeno.

Como os trabalhos de pesquisa no ramo da engenharia estrutural estão relacionados a

problemas cada vez mais complexos, torna-se necessário que haja uma abordagem

conjunta, numérica e experimental, para um entendimento correto e completo do

comportamento de uma certa estrutura. Nethercot (2002) destaca que a união entre estas

abordagens é de importância fundamental no melhoramento dos métodos de

dimensionamento. Foi demonstrado pelo autor, por meio de quatro tópicos de pesquisa

distintos, que a natureza complementar entre teoria (incluindo análises numéricas) e ensaios

experimentais é essencial para se compreender um fenômeno estrutural complexo.

III) Grandes divergências entre os critérios das normas aplicáveis a pilares mistos,

principalmente entre AISC-LRFD (1999) e Eurocode 4 (1992) – base da NBR 14323.

Pode-se mostrar, como no capítulo 8, que as duas normas mencionadas conduzem a

resultados bem diferentes quando aplicadas ao mesmo sistema estrutural.

7

2

OBJETIVO E METODOLOGIA

2.1 Objetivo

Este trabalho tem como meta o desenvolvimento de modelos de elementos finitos que

representem o comportamento de pilares mistos parcialmente revestidos, incluindo:

excentricidade da carga, curvatura inicial, fissuração e esmagamento (deformação limite),

considerando seção de aço classe 2 (compacta).

A modelagem do elemento estrutural é feita com a utilização do software comercial

ANSYS, versão 5.7. Este programa fornece ao usuário uma enorme variedade de opções,

no que se refere aos tipos de elementos finitos e às alternativas relativas ao comportamento

dos materiais que se deseja estudar, como por exemplo: comportamento elástico, elasto-

plástico, viscoso, etc.

Sabe-se que no Brasil ainda há certos obstáculos a um maior desenvolvimento e utilização

de sistemas mistos, inclusive pilares mistos. Pode-se destacar, por exemplo, o

8

conservadorismo de alguns profissionais da construção civil. Tal fato se deve,

provavelmente, à falta de um conhecimento mais profundo do comportamento de tais

sistemas mistos.

O estudo numérico realizado neste trabalho procura expor e discutir os aspectos envolvidos

na modelagem de pilares mistos pelo Método dos Elementos Finitos, incluindo itens

relativos aos modelos constitutivos dos materiais, suas propriedades e características. As

alternativas oferecidas pelo software comercial utilizado para realizar o estudo desejado,

algumas limitações do mesmo neste aspecto, além das dificuldades de modelagem

encontradas durante a pesquisa, são enfatizadas ao longo do trabalho. Busca-se ainda a

representação do comportamento de pilares mistos aço-concreto parcialmente revestidos

submetidos à flexo-compressão, assim como contribuir para um desenvolvimento ainda

maior deste tipo de construção mista no Brasil. Outros modelos de elementos finitos são

também desenvolvidos e analisados, como os de pilares mistos aço-concreto parcialmente

revestidos submetidos à compressão ou à tração pura (este último, apenas para conclusões

sobre os problemas numéricos), e de um pilar misto aço-concreto preenchido, de seção

circular, submetido à compressão pura. A validação dos modelos desenvolvidos, realizada

através da comparação dos resultados numéricos obtidos com as normas NBR 14323

(1999) e AISC-LRFD (1999), pode resultar em redução de custos considerável, relativos a

ensaios experimentais.

Em resumo, com este trabalho procura-se expor algumas potencialidades e dificuldades

relativas à utilização do Método dos Elementos Finitos na representação de pilares mistos

aço-concreto.

2.2 Metodologia

Durante o desenvolvimento deste trabalho, diversas etapas foram realizadas.

A primeira fase do estudo constou da realização de uma vasta pesquisa bibliográfica sobre

o comportamento de pilares mistos, inclusive modelos numéricos dos mesmos. Além disso,

9

pesquisou-se uma vasta gama de projetos e exemplos relativos ao uso do ANSYS na

resolução de estruturas mistas, não somente no Brasil, mas também em todo o mundo.

Foram ainda objetos de estudo os principais métodos de dimensionamento de pilares mistos

aço-concreto, como os apresentados na NBR 14323 (1999), no AISC-LRFD (1999) e no

Eurocode 4 (1992).

A próxima etapa foi a familiarização com o sowftware de elementos finitos ANSYS. Nesta

fase, diversos modelos foram desenvolvidos e analisados, seguindo-se um grau de

dificuldade hierárquico. Os resultados obtidos por tais modelos foram aferidos em relação a

resultados conhecidos a priori. Opções para a modelagem e caracterização dos materiais

foram então sendo assimiladas e seu uso aprimorado.

Um estudo da teoria da plasticidade também é de suma importância para o entendimento do

comportamento de qualquer estrutura submetida a cargas além do limite elástico do

material do qual ela é composta. Portanto, a terceira etapa refere-se a um estudo

aprofundado desta teoria.

A quarta etapa pode ser considerada como um complemento da primeira fase (revisão

bibliográfica) e caracterizou-se pelo estudo sobre sistemas mistos em geral e pilares mistos

em particular. Durante esta fase, foram observadas e documentadas novas tendências

mundiais relativas a estruturas mistas em geral.

2.3 Apresentação

O trabalho é dividido em 9 capítulos. Esta divisão foi escolhida de modo que a abordagem

dos assuntos a serem expostos fosse realizada de uma maneira seqüencial, na qual os

primeiros capítulos auxiliam no entendimento dos capítulos seguintes.

No capítulo 3 são abordados os principais tipos de pilares mistos, assim como suas

principais características. Em seguida é feita uma exposição de diversos estudos

experimentais e de análises relativas ao comportamento e dimensionamento de pilares

10

mistos aço-concreto. Além disso, são comentados alguns novos elementos estruturais

mistos e/ou compostos, utilizados e/ou pesquisados no mundo.

No quarto capítulo foi feito um resumo da abordagem de diversas normas técnicas no que

se refere ao dimensionamento de pilares mistos.

Um comentário dos principais pontos relativos à teoria da plasticidade, incluindo análise

dos materiais aço e concreto, é o escopo do capítulo 5.

No sexto capítulo são abordados os itens fundamentais do programa comercial ANSYS

utilizados neste trabalho, entre eles os elementos finitos representativos dos materiais aço e

concreto armado, modelos constitutivos destes materiais, métodos de modelagens

possíveis, além dos principais recursos numéricos disponíveis neste software para análises

não lineares.

O capítulo 7 contém uma apresentação dos trabalhos realizados nos últimos anos no

mundo, relativos ao uso do Método dos Elementos Finitos na análise e resolução de

estruturas mistas e estruturas de concreto, principalmente com o auxílio do programa

ANSYS.

Os principais modelos de pilares mistos desenvolvidos nesta pesquisa são objeto do

capítulo 8. São comentadas passo a passo as opções escolhidas durante a modelagem. Além

disso, são apresentados os resultados relativos aos modelos desenvolvidos e são feitas

comparações destes resultados com as normas de dimensionamento NBR 14323 (1999) e

AISC-LRFD (1999).

O nono capítulo trata das conclusões finais da pesquisa e apresenta algumas sugestões para

pesquisas futuras na área de modelagem de pilares mistos pelo Método dos Elementos

Finitos.

11

2.4 Descrição da ferramenta computacional

Ao longo deste trabalho diversas análises numéricas são realizadas, com a utilização do

programa comercial ANSYS. O computador usado para desenvolver tais estudos é descrito

na TAB. 2.1:

TABELA 2.1 – Descrição do computador

Descrição do computador utilizado

Processador Pentium III

Velocidade 1000 MHz

Sistema Operacional Microsoft Windows 2000

Disco Rígido 18,6 Gb

Memória RAM 524 Mb

12

3

PILARES MISTOS E ESTRUTURAS MISTAS EM GERAL

3.1 Considerações iniciais

O presente capítulo tem dois objetivos principais. O primeiro é a definição de pilares mistos

aço-concreto e de seus principais tipos. O segundo é a apresentação de diversos estudos

experimentais e de análises relativas ao comportamento e ao dimensionamento de pilares

mistos aço-concreto. Algumas estruturas mistas atualmente pesquisadas e/ou desenvolvidas

serão também apresentadas. Com base nesta abordagem será possível ter-se uma idéia do

estado da arte do estudo e da aplicação de estruturas mistas em diversos países.

3.2 Pilares mistos aço-concreto

Pilar misto aço-concreto é uma peça sujeita a esforços de compressão ou flexo-compressão,

caracterizada pela ação conjunta dos elementos que a constituem (perfil de aço e concreto).

Para que a ação mista ocorra, não pode haver deslizamento relativo considerável na

superfície de contato entre o perfil e o concreto. Os pilares mistos podem ser preenchidos

13

com concreto (seção tubular circular ou retangular) ou revestidos total ou parcialmente por

concreto (perfil de aço envolvido pelo concreto). A FIG. 3.1 ilustra os principais tipos de

pilares mistos.

FIGURA 3.1 – Principais tipos de pilares mistos aço-concreto: (a) totalmente revestido;

(b) parcialmente revestido; (c) preenchido de seção retangular; (d) preenchido de seção

circular

Como exemplo de vantagens relativas ao uso de pilares mistos aço-concreto em relação ao

uso de pilares de aço, tem-se: (i) grande economia de materiais, (ii) maior capacidade de

resistência ao fogo e à corrosão e (iii) maior capacidade de carga devido à ação mista e ao

confinamento do concreto, no caso de pilares preenchidos.

Como exemplo de vantagens relativas ao uso de pilares mistos aço-concreto em relação ao

uso de pilares de concreto, tem-se: (i) menor seção transversal e maior relação

resistência/peso próprio, (ii) boa ductilidade para suportar solicitações cíclicas e repetidas,

(iii) economia de tempo de construção e (iv) maior capacidade de carga devido à ação mista

e ao confinamento do concreto, no caso de pilares preenchidos.

bc

cx b cx

dcy

cy

hctfx

y

x

y

b=bc

d=hc

tf

x

y

b1t

tb2 x

y

t

d

tw tw

(a) (b)

(c) (d)

14

No dimensionamento de pilares mistos são considerados os momentos fletores advindos de

imperfeições iniciais (curvaturas e excentricidades) não previstas. Estes momentos e

também aqueles já previstos na análise (associados a translações dos nós ou a cargas

transversais ao eixo do pilar) são modificados pelos efeitos de segunda ordem (efeitos da

força normal de compressão na estrutura deformada).

3.3 Estudos relativos a pilares mistos aço-concreto

3.3.1 Estudos relativos a pilares mistos revestidos de concreto

Jones e Rizk (1963) estudaram o comportamento de pilares mistos totalmente revestidos,

motivados na época pela construção de novos prédios na Universidade de Leeds, Inglaterra.

Diversos pilares mistos foram ensaiados, tendo como algumas das variáveis analisadas o

comprimento do pilar, as dimensões da seção transversal e a quantidade de armadura. Os

resultados relativos à resistência última foram comparados com algumas normas de

dimensionamento. Concluiu-se que, realmente, o revestimento do perfil de aço pelo

concreto contribui muito para a capacidade de carga, se comparado com um pilar de aço.

Virdi e Dowling (1973) realizaram uma série de 9 ensaios experimentais de pilares mistos

aço-concreto totalmente revestidos, com seção quadrada e perfil H de aço. O carregamento

aplicado consistia de flexão biaxial e carga axial de compressão. O comprimento do pilar e

as excentricidades da carga aplicada foram variados. Desenvolveu-se ainda um método

analítico para obtenção das cargas de colapso dos pilares, considerando os efeitos de

tensões residuais no perfil de aço e da falta de prumo inicial do pilar na determinação da

resistência. Sabe-se que as tensões residuais não dependem somente do tamanho e forma do

perfil, mas também de seu processo de fabricação. Os resultados obtidos mostraram que há

uma perda de resistência para maiores comprimentos do pilar e para maiores

excentricidades de carga.

Roik e Bergmann (1990) propuseram um método de dimensionamento de pilares mistos

aço-concreto de seção assimétrica, baseado no método simplificado de cálculo de pilares

15

mistos de seção simétrica do EC4. É possível aplicar o método desenvolvido nos casos de

carga axial de compressão e flexo-compressão. Para verificar as expressões obtidas, foram

realizados ensaios experimentais e os resultados mostraram boa correlação com o método

proposto.

Resultados de ensaios experimentais de pilares mistos aço-concreto parcialmente

revestidos, submetidos a cargas cíclicas e dinâmicas, foram apresentados por Elnashai et al.

(1991). Algumas particularidades foram incluídas nestes pilares. Uma delas foi a adição de

novas barras transversais de armadura com o objetivo de inibir a flambagem local para

grandes deslocamentos, além de aumentar a interação entre os materiais aço e concreto. Os

modelos mostraram acréscimo de ductilidade e capacidade de absorção de energia.

Mirza e Skrabek (1991) pesquisaram a influência de vários fatores na resistência de pilares

mistos curtos totalmente revestidos, de seção quadrada. Entre estes fatores, tem-se a

resistência do concreto, a razão de contribuição do aço, a excentricidade da carga, a

resistência do aço, as dimensões transversais do concreto e do aço e a localização do perfil

e da armadura. Os três primeiros fatores citados exerceram maior influência na resistência

última dos 16 pilares mistos ensaiados. Dois valores de esbeltez foram usados: 0 e 21,9.

Foram utilizadas as seguintes razões entre as excentricidades das cargas aplicadas e a

dimensão da seção quadrada do pilar (provocando momento em torno do eixo de maior

inércia da seção de aço): 0,05 ; 0,1 ; 0,15 ; 0,2 ; 0,25 ; 0,3 ; 0,4 ; 0,5 ; 0,6 ; 0,7 ; 0,8 ; 1,0 ;

1,5 ; 2,0 ; 4,0 e ∞ (flexão pura). Mirza e Skrabek (1992), em seu estudo de pilares mistos

totalmente revestidos, perceberam que a esbeltez do pilar, a razão de contribuição do aço e

a excentricidade da carga exerceram enorme influência na resistência dos 22 pilares mistos

esbeltos de seção quadrada ensaiados. As mesmas razões entre as excentricidades aplicadas

e a dimensão da seção relacionadas acima foram consideradas. No que se refere aos valores

de esbeltez considerados, estes foram: 22,1 ; 33 ; 66 e 100.

Hunaiti e Fattah (1994) realizaram ensaios experimentais de 19 pilares mistos aço-concreto

parcialmente revestidos, submetidos à carga axial excêntrica ao longo do eixo de maior

inércia, com o objetivo de estudar a capacidade de carga deste tipo de pilar. As variáveis

16

analisadas foram: a excentricidade da carga aplicada, a razão entre as excentricidades nas

extremidades do pilar e o efeito da resistência do concreto. Foi feita ainda uma comparação

dos resultados experimentais com os previstos pela norma BS 5400 (1979), com relação à

capacidade de carga dos pilares. Os resultados calculados pela norma foram mais precisos

nos casos de excentricidades iguais nas extremidades dos pilares e para concreto de alta

resistência.

O comportamento estrutural e a resistência última de pilares mistos aço-concreto totalmente

revestidos, de seção quadrada, foram pesquisados por Mirza et al. (1996) por meio de 16

ensaios experimentais. Estes pilares eram esbeltos e foram submetidos a diferentes

combinações de carga axial e transversal. As tensões no perfil de aço e as deformações no

concreto foram medidas e o mecanismo de falha do pilar identificado. Foi observado que,

para cargas estáticas, a condição de aderência na interface dos conectores de cisalhamento

com o concreto ao seu redor tinha pouca influência na resistência última atingida pelos

pilares. Além disso, foi desenvolvido um modelo de elementos finitos para os pilares

mistos em questão, com auxílio do programa ABAQUS (versão 4.8), e os resultados

comparados com as previsões das normas ACI-318 (1995) e EC4(1992) e com os obtidos

experimentalmente. As normas estimaram satisfatoriamente a resistência última obtida nos

ensaios e o modelo numérico apresentou resultados muito bons tanto para a resistência

última quanto para o comportamento carga-deslocamento, comparando-se com os

observados nos ensaios.

Uma análise numérico-experimental de pilares mistos aço-concreto totalmente revestidos

foi feita por Muñoz e Hsu (1997a). Os pilares ensaiados foram submetidos à flexão biaxial

e a cargas de compressão, em curvatura simples, e tinham a seção transversal quadrada.

Foram analisados os efeitos da excentricidade da carga axial, comprimento efetivo do pilar,

diferentes propriedades do concreto e do aço, e os comportamentos carga-deslocamento e

momento-curvatura até ser atingida a carga última do pilar misto. Observou-se que os

principais fatores que influenciaram na resistência e na curvatura dos pilares ensaiados

foram a resistência última do concreto e sua correspondente deformação máxima de

compressão.

17

Muñoz e Hsu (1997b) realizaram um estudo numérico e propuseram uma equação

interativa para o cálculo da capacidade de carga última de pilares mistos aço-concreto

totalmente revestidos, curtos ou longos. Esta equação é baseada numa função matemática

contínua que representa o diagrama de interação momento-força normal. As seções

transversais dos pilares foram retangulares e quadradas e as solicitações analisadas

consistiam de carga axial e flexão uniaxial ou biaxial. A equação proposta satisfaz os

princípios fundamentais do equilíbrio, compatibilidade de deformações e estabilidade

estrutural, além de levar em consideração efeitos de segunda ordem para os pilares esbeltos.

Os resultados numéricos foram comparados com valores obtidos em diversos ensaios

experimentais e com as normas American Concrete Institute (ACI-1992) e American

Institute of Steel Construction (AISC, 1986).

A resistência nominal de pilares mistos aço-concreto obtida por meio das normas de

dimensionamento não é igual à resistência real dos mesmos. Esta variabilidade na

resistência é causada, entre outros fatores, por variações nas resistências do aço e do

concreto, nas dimensões das seções de concreto e de aço e na localização da armadura e do

perfil de aço no pilar (no caso de pilares revestidos de concreto). Porém, as normas levam

em consideração esta variabilidade por meio dos coeficientes de segurança. A determinação

da variabilidade da resistência é de importância fundamental para se estabelecerem critérios

seguros nas normas de dimensionamento de pilares mistos. Mirza (1998) desenvolveu um

estudo estatístico com pilares mistos aço-concreto totalmente revestidos, para investigar a

variabilidade da resistência última destes pilares. Os resultados indicaram que a esbeltez do

pilar, a excentricidade da carga e a relação ys.A f / ckc.A f influenciaram na distribuição

probabilística da resistência dos pilares mistos, tanto curtos quanto esbeltos.

Uma comparação entre as normas de dimensionamento ACI-318 (1999) e AISC-LRFD

(1993), para pilares mistos aço-concreto totalmente revestidos, foi feita por Weng e Yen

(2002). Seus objetivos foram investigar as diferenças entre as duas abordagens e avaliar a

precisão destes dois métodos na determinação da resistência dos pilares, comparando-se os

resultados obtidos com 78 ensaios experimentais realizados por diferentes autores. As

principais conclusões foram as seguintes:

18

a) Em geral, a partir da comparação com os resultados experimentais, a norma ACI-

318 foi mais precisa do que o AISC-LRFD na determinação da resistência dos

pilares;

b) Por meio da observação dos modos de ruptura ou falha dos pilares, foi possível

perceber que o método de compatibilidade de deformações do ACI-318 foi capaz de

descrever com maior realismo o comportamento dos pilares mistos revestidos do

que o método de transformação da seção recomendado pelo AISC-LRFD;

c) Para taxas de aço entre 2% e 12%, a resistência prevista pela norma ACI-318 é mais

precisa do que o AISC-LRFD;

d) Os resultados estatísticos demonstraram que a relação entre a capacidade de carga

prevista pelo ACI e a obtida pelos ensaios possui um valor médio maior (0,9) e um

coeficiente de variação menor do que a relação calculada utilizando-se a capacidade

de carga prevista pelo AISC-LRFD.

A norma ACI-318 segue os mesmos procedimentos da análise de pilares de concreto

armado. Enquanto a norma AISC-LRFD é recomendada para seções mistas simétricas, o

ACI-318 é recomendada tanto para seções simétricas quanto não-simétricas. A seguir será

feita uma apresentação resumida da abordagem do ACI-318 para pilares mistos aço-

concreto revestidos.

- Resistência à compressão uniaxial:

on 0,8.PP = (3.1)

syryrc'

co .A.A.A0,85.P fff ++= , (3.2)

onde:

nP = resistência nominal à compressão;

19

oP = capacidade teórica do pilar submetido à compressão uniaxial;

'cf = resistência à compressão do concreto;

cA , rA , sA = áreas do concreto, da armadura longitudinal e do perfil de aço,

respectivamente;

yrf , yf = resistências ao escoamento da armadura longitudinal e do perfil de aço,

respectivamente.

- Efeito de segunda ordem:

A norma exige que todos os pilares sejam calculados como viga-coluna, transferindo tanto

forças cortantes quanto momentos fletores nos nós. Os pilares devem ser dimensionados

com as cargas majoradas e momentos advindos de uma análise de segunda ordem.

- Comportamento à flexo-compressão:

A abordagem para a determinação da resistência com base na interação entre carga axial e

momento fletor para pilares mistos revestidos é essencialmente a mesma dos pilares de

concreto armado. Ela é baseada numa análise de compatibilidade de deformações no estado

limite para o desenvolvimento de uma relação interativa carga axial-momento fletor. Entre

algumas hipóteses assumidas nesta análise, tem-se: as seções planas permanecem planas, a

máxima deformação de compressão do concreto é 0,003 , o concreto à tração e o

encruamento do perfil de aço e da armadura são desprezados.

3.3.2 Estudos relativos a pilares mistos preenchidos com concreto

Pilares mistos aço-concreto preenchidos foram ensaiados por Furlong (1967) e um método

alternativo para a determinação da carga axial última foi proposto. 22 pilares de seção

circular e 17 de seção quadrada foram ensaiados para diversas cargas axiais, que se

mantiveram constantes enquanto momentos aplicados cresciam até que os pilares não mais

resistissem à carga axial. Mais 8 pilares de seção circular e 5 de seção quadrada foram

20

ensaiados à compressão axial. Como variáveis da análise podem ser citadas a espessura e o

comprimento dos tubos, o limite de escoamento do aço, a quantidade de armadura

longitudinal e a resistência do concreto. Um ano mais tarde, Furlong (1968) apresentou

resultados de 50 ensaios de pilares mistos aço-concreto preenchidos, com o objetivo de

determinar a rigidez e a capacidade de carga de cada um. 21 pilares tinham seção circular e

29, quadradas. Entre as variáveis estudadas estavam a rigidez à flexão (EI), a aderência

entre o perfil de aço e o concreto e a excentricidade da carga axial. Foram ainda propostas

fórmulas para a rigidez efetiva e para a resistência do pilar misto.

Knowles e Park (1969) realizaram um estudo teórico-experimental de pilares mistos aço-

concreto preenchidos, de seções circular e quadrada. Cargas axiais centradas e excêntricas

foram aplicadas. Foi verificado que, em certos ensaios, o concreto aumentou de volume de

forma repentina para um certo valor da deformação longitudinal de compressão, e isto

causou uma pressão interna no tubo de aço. O tubo de aço, por sua vez, provocou uma

tensão de confinamento no concreto e este, então, teve a sua capacidade de carga axial de

compressão aumentada.

Nove pilares mistos aço-concreto preenchidos e de seção retangular foram ensaiados por

Shakir-Khalil e Mouli (1990). Um grupo de pilares foi submetido à carga axial e outro à

flexão biaxial. Também foram ensaiados pilares só de aço para efeito de comparação de

resistências. Todos os resultados obtidos foram comparados com as normas BS 5950

(1985) e BS 5400 (1979). Foi mais uma vez comprovado que há um aumento da capacidade

de carga dos tubos de aço quando são preenchidos por concreto. Verificou-se que tal ganho

depende das características do aço e do concreto utilizados, da dimensão da seção de aço,

do comprimento do pilar, do plano de flexão e da excentricidade da carga axial de

compressão aplicada. Por exemplo, a resistência relativa entre o pilar misto e o pilar de aço

cresce quando são utilizados concretos de maior resistência e maiores dimensões da seção

de aço. Porém, esta resistência relativa é influenciada de maneira adversa quando são

utilizados aços de maior resistência e pilares de maior comprimento.

21

Uma investigação a respeito dos pilares mistos aço-concreto preenchidos, de seção circular,

foi feita por Prion e Boehme (1994), por meio de 26 ensaios experimentais. Os tubos de aço

eram finos (1,7mm de espessura e 152mm de diâmetro) e o concreto era de alta resistência.

Variou-se a resistência característica à compressão do concreto de 73 a 92 MPa. Os

carregamentos aplicados foram: compressão pura, diversas combinações de carga axial e

momento fletor e flexão pura, sendo que três das amostras foram submetidas a

carregamento cíclico. Especial atenção foi dada ao nível de ductilidade que tais pilares

podem alcançar. Os autores comentam que, apesar das vantagens que este tipo de pilar

oferece, seu uso ainda é restrito devido ao alto custo das ligações viga-pilar e à falta de

procedimentos eficientes de construção.

Um método de dimensionamento de ligações entre vigas de aço e pilares mistos aço-

concreto preenchidos, de seção circular, foi objeto de pesquisa de Azizinamini et al. (1995).

A norma base utilizada foi o AISC-LRFD (1986). A ligação consistia na passagem

completa da viga de aço pelo pilar.

Shakir-Khalil e Al-Rawdan (1996) apresentaram um resumo dos ensaios experimentais de

15 pilares mistos aço-concreto preenchidos, de seção retangular. Os pilares tinham

comprimentos de 3, 4 e 5 m, aproximadamente, e foram submetidos à flexão uniaxial em

relação aos eixos principais de maior e menor inércias. Foram consideradas as seguintes

excentricidades das cargas aplicadas: 6, 15, 45 e 75 mm ao longo do eixo principal de

menor inércia, e 30 mm ao longo do eixo principal de maior inércia. Os resultados

experimentais foram comparados com as previsões da norma BS 5400 (1979) e

demonstraram que tais previsões são não-conservativas para o caso de flexão em torno do

eixo principal de menor inércia da seção. Além disso, os resultados obtidos nos ensaios são

também comparados com os advindos da análise numérica dos pilares mistos via programa

comercial ABAQUS (versão 5.4). Foram previstas pelo método numérico as cargas de falha

destes pilares e as relações carga-deslocamento até e após a ruptura dos mesmos.

Kitada (1998) descreveu o estado da arte de pilares mistos aço-concreto preenchidos,

utilizados como elementos estruturais para pontes de cais no Japão. Ele ainda comenta a

22

diferença entre os modos de flambagem local de pilares de aço e de pilares mistos.

Considerando-se a ductilidade dos pilares como a razão entre o deslocamento na carga

última e o deslocamento na carga de escoamento, foi constatado que a ductilidade de uma

amostra de pilar misto de seção retangular era pequena se comparada com a de um pilar de

seção circular.

Uy (1998) pesquisou o fenômeno da flambagem local, e o comportamento após este

fenômeno, de chapas finas de aço em pilares mistos aço-concreto preenchidos, de seção

quadrada. Pilares mistos de chapas finas, neste caso, são aqueles dimensionados para

considerar o efeito benéfico que o concreto propicia com relação à flambagem local das

chapas de aço. Este tipo de pilar misto tem sido amplamente usado em edifícios altos, para

resistir tanto a cargas verticais, quanto laterais. O autor ainda destaca algumas das

vantagens relacionadas aos pilares mistos preenchidos, entre elas a capacidade do perfil de

aço resistir a uma considerável parcela de carga durante a construção (antes do

preenchimento com concreto), além do mesmo servir como fôrma para o concreto, e a

menor quantidade de aço necessária, pois o concreto é dimensionado para resistir à maior

parcela de carga axial de compressão. Conclui comentando que ganhos econômicos podem

ser obtidos por meio de análise adequada do fenômeno da flambagem local das chapas de

aço.

Com base em relações constitutivas dos materiais, Brauns (1999) realizou uma análise do

estado de tensões em pilares mistos aço-concreto preenchidos, de seção circular, levando-se

em consideração que o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson do concreto

dependem do nível de tensão. Foi observado que o efeito de confinamento ocorre para um

nível alto de tensões, no momento em que o perfil de aço está tracionado e o concreto

comprimido, transversalmente.

Os pilares mistos aço-concreto preenchidos, de seção circular, têm a resistência do concreto

aumentada pelo efeito de confinamento. Porém, ao mesmo tempo, há uma redução da

resistência axial da seção de aço.

23

Liang e Uy (2000) descreveram o efeito de confinamento em pilares mistos preenchidos,

submetidos à carga axial. De acordo com eles, em pilares circulares o tubo de aço

geralmente provoca um confinamento do concreto, podendo haver assim um aumento da

resistência do pilar misto. Também de acordo com Shanmugam e Lakshmi (2001), para o

caso de pilares de seções retangulares e quadradas, o efeito de confinamento do concreto é

limitado às bordas da seção e é muito pequeno, podendo ser desprezado no

dimensionamento. Kato (1996) complementa que, para o caso de pilares circulares, o efeito

de confinamento depende da relação entre as resistências do aço e do concreto e da relação

entre as rigidezes dos mesmos.

Uy (2001) realizou um grande número de ensaios de pilares mistos aço-concreto

preenchidos, de seção quadrada. Este tipo de pilar tem sido muito usado nos últimos anos

em projetos de edifícios altos, uma vez que eles são consideravelmente mais econômicos do

que os convencionais pilares de aço. Além disso, o autor destaca que estes pilares mistos

apresentam vantagens também sobre os pilares de concreto armado, como por exemplo, a

possibilidade de se utilizar uma porcentagem maior de armadura na seção. Em construções

em que é fundamental maior área livre, necessitando-se assim de pilares de dimensões

menores, pode-se utilizar este tipo de pilar com aço de alta resistência. Nos ensaios

experimentais realizados, usou-se aço de alta resistência e os pilares foram solicitados por

forças axiais centradas e excêntricas.

Beutel et al. (2001) destacaram a tendência atual de se utilizar a construção mista aço-

concreto em edifícios altos, principalmente devido às vantagens estruturais e econômicas

deste tipo de construção. Destacaram também que pilares mistos aço-concreto preenchidos

têm a capacidade de suportar grandes cargas axiais com excepcional ductilidade. Beutel et

al. (2001) e Beutel et al. (2002) apresentam um estudo experimental de ligações entre

pilares mistos circulares preenchidos com concreto e vigas de aço, submetidas a

carregamentos monotônico e cíclico, respectivamente. Foi comentado que, apesar de

recentes eventos sísmicos terem comprovado que o método de dimensionamento existente,

relativo a cargas sísmicas, é seguro, ainda é necessária uma pesquisa maior em diversos

itens, particularmente na área de ligações. Em muitas estruturas, são exatamente as ligações

24

viga-pilar que fornecem a elas a rigidez lateral requerida e são estas ligações que exercem

papel essencial no comportamento de edificações durante eventos de natureza sísmica.

Han (2002) investigou experimentalmente 24 pilares mistos aço-concreto preenchidos, de

seção retangular, e submetidos à carga axial. Os principais parâmetros estudados foram o

fator de confinamento,ξ , e a razão entre a altura do tubo de aço (h) e a largura do mesmo

(b), β , apresentados a seguir:

ckc

ys

.A.Aff

=ξ (3.3)

bh

=β , (3.4)

Onde:


cA , sA = áreas das seções transversais do concreto e do tubo de aço, respectivamente.

Os resultados obtidos foram comparados com as normas AISC-LRFD (1994), AIJ (1997),

EC4 e GJB 4142-2000 (2001). Os ensaios indicaram que os parâmetros ξ e β tinham

grande influência tanto na capacidade de carga à compressão quanto na ductilidade. A

capacidade de carga prevista pelas normas mostrou-se conservadora, sendo que a GJB

4142-2000 foi a que mais se aproximou dos resultados experimentais. A seguir apresenta-se

o método de cálculo da capacidade da seção de pilares mistos de seção retangular

preenchidos com concreto, submetidos à compressão axial, pela norma GJB 4142-2000.

scscyuo .AN f= (3.5)

Em que ( yf e ckf em N/mm2):

ck2

scy )..C.B212,1( ff ξξ ++= (3.6)

0,7646235

0,1381B y +⋅=f

(3.7)

25

0,021620

0727,0-C ck +⋅=f

(3.8)

cssc AAA += (3.9)

Um estudo numérico-experimental de pilares mistos aço-concreto preenchidos, de seção

quadrada, foi feito por Varma et al. (2002). Foram estudados os efeitos da relação largura-

espessura do perfil de aço, da resistência ao escoamento do aço do perfil e do nível de carga

axial na resistência, na rigidez e na ductilidade dos pilares mistos. 16 ensaios foram

realizados, sendo 8 com carregamento monotônico e 8 com carregamento cíclico. Os

resultados indicaram que o carregamento cíclico não influenciou muito na rigidez e na

resistência dos pilares, em comparação com o carregamento monotônico. Porém, o

carregamento cíclico resultou num decréscimo mais rápido da resistência a momento, no

comportamento após a carga de pico.

Vrcelj e Uy (2002) desenvolveram um método de dimensionamento para se incorporar o

efeito da flambagem local na determinação da carga de flambagem global de pilares mistos

aço-concreto preenchidos esbeltos, de seção quadrada. Com base em um modelo numérico

calibrado por diversos ensaios experimentais, realizou-se um estudo paramétrico para se

avaliar a importância da esbeltez do pilar, da relação largura-espessura das chapas de aço e

das resistências do aço e do concreto no comportamento dos pilares. As cargas de

flambagem destes pilares foram então comparadas com aquelas em que a flambagem local

foi desprezada. Constatou-se que o segundo e o terceiro fatores citados são os mais

importantes. A partir disto, foi estabelecido um procedimento para se determinar um fator

de redução da resistência à flambagem global, devido à flambagem local da seção de aço.

Este fator mostrou-se útil na implementação de normas internacionais existentes, como, por

exemplo, o EC4, no que se refere à consideração do efeito combinado das flambagens local

e global na obtenção da resistência deste tipo de pilar misto, submetido a carregamento

axial.

26

3.3.3 Estudos relativos a pilares mistos revestidos e preenchidos com concreto

Kato (1996) analisou diversas curvas de flambagem relativas a pilares mistos aço-concreto

preenchidos, de seção circular e quadrada, e revestidos, de seção H, a partir de ensaios

experimentais. Foi proposto, então, um novo método de cálculo, baseado no EC4 (ENV

1994-1-1) para a determinação da resistência à flambagem deste pilares mistos, exposto a

seguir.

- Pilares mistos aço-concreto preenchidos:

yc g.NN = (3.10)

yrr´

ccysy .A..A.AN ffβf ++= (3.11)

=quadrada seção de mistos pilares para , 1,0circular seção de mistos pilares para , 1,1

β

( )C11B.g −−= (3.12)

2

2

λ2.

λ0,2)λ0,34.(1B +−+= (3.13)

2)λ(B.C −= (3.14)

ccs

´ccys.

.IEE.I..AA

πK.Lλ

+

+⋅=

fβf (3.15)

- Pilares mistos aço-concreto revestidos:

yrr´

ccysy .A.0,8.A.AN fff ++= (3.16)

rccs

yrr´

ccys.

E.I.IEE.I.A.0,8.AA

πK.Lλ

++

++⋅=

fff , (3.17)

Onde:

cN = Resistência à flambagem de pilares axialmente solicitados;

yN = Resistência da seção mista à plastificação total pela força normal;

27

λ = esbeltez relativa;

E , cE = módulos de elasticidade do aço e do concreto, respectivamente;

sI , rI , cI = momentos de inércia das seções do perfil de aço, da armadura e do concreto,

respectivamente.

Lundberg e Galambos (1996) compararam a capacidade de carga de pilares mistos aço-

concreto prevista pela norma AISC-LRFD (1993) com aproximadamente 300 resultados

experimentais disponíveis. Dois tipos de pilares foram estudados: preenchidos, de seções

circular e retangular, e revestidos. Foi constatado que o método de dimensionamento da

norma é conservativo.

Os estudos realizados por Liew et al. (1998) demonstraram que os resultados do

dimensionamento de pilares mistos aço-concreto pelas normas EC4 (1992), BS 5400

(1979) e AISC-LRFD (1993) não convergem necessariamente para um mesmo valor. Tal

fato pode ser atribuído aos diferentes valores dos coeficientes de ponderação da resistência

e da solicitação e às considerações de dimensionamento relativas à deformação lenta,

excentricidade da carga, etc.

Wang (1999) realizou uma série de ensaios de pilares mistos aço-concreto preenchidos, de

seção retangular, e revestidos. O carregamento aplicado nos pilares foi carga axial

excêntrica. O objetivo principal da pesquisa foi a proposição de um novo método de

dimensionamento de pilares mistos esbeltos, baseado na norma BS 5950 (1990). Além

disso, foi feita uma comparação entre os resultados das normas EC4 (1992), BS 5950

(1990), da nova metodologia desenvolvida e dos ensaios experimentais. Foi observado que

os três métodos de cálculo são conservativos e possuem precisão semelhante. Os resultados

dos ensaios demonstraram que, principalmente no caso dos pilares preenchidos, o método

do EC4 resulta em um dimensionamento mais seguro e preciso do que o método do BS

5400, no que se refere às resistências dos pilares mistos esbeltos.

Saw e Liew (2000) compararam as abordagens das normas EC4 (1992), BS 5400 (1979) e

AISC-LRFD (1993), levando em consideração alguns parâmetros de dimensionamento, as

28

resistências nominais previstas pelas mesmas e as resistências previstas a partir de alguns

ensaios experimentais. Foram estudados pilares mistos totalmente e parcialmente revestidos

de seção I e pilares mistos preenchidos com concreto. Os principais resultados obtidos deste

estudo foram:

a) Para pilares mistos revestidos de concreto, a maior resistência à solicitação axial foi

obtida pela norma AISC-LRFD. Este fato já era de se esperar, pois a curva de

flambagem desta norma está mais próxima da curva a do EC4 (FIG. 3.2);

b) As curvas de interação para flexo-compressão apresentaram a menor discrepância, entre

as normas analisadas, no caso de pilares mistos preenchidos de seção retangular;

c) A norma BS 5400, comparada com o EC4, resulta em maior aumento da resistência do

concreto devido ao efeito de confinamento, para baixos valores de esbeltez.

d) Todas as três normas conduziram a valores conservativos para a resistência dos pilares

mistos e mostraram boa conformidade com resultados experimentais;

e) A norma EC4 foi considerada como a mais adequada devido a sua simplicidade e ampla

faixa de aplicação.

AISC LRFD (Linha pontilhada)

0.20 1.0

1.0

χ

curva

acurva

b

curva c

2.0λ

FIGURA 3.2- Curvas de flambagem baseadas nas normas EC4 e AISC-LRFD

29

3.3.4 Resumo de ensaios experimentais relativos a pilares mistos aço-concreto

A TAB. 3.1 apresenta um resumo das principais características de algumas pesquisas

experimentais realizadas em todo o mundo, relativas a pilares mistos aço-concreto. Para

cada pesquisa, indica-se a fonte de referência, o tipo de pilar considerado (preenchido ou

revestido), a forma da seção transversal mista (retangular, quadrada ou circular), o tipo de

solicitação aplicada ao pilar, o número de ensaios realizados e os principais parâmetros

estudados.

3.4 Estudos relativos a novas estruturas mistas aço-concreto

Um novo tipo de pilar misto preenchido, composto de concreto e de fibras de plástico foi

estudado por Mirmiran e Shahawy (1996). O aço usado, no caso clássico de pilares mistos

aço-concreto preenchidos, é agora substituído por uma casca de fibras, podendo esta última

ser de dois tipos: uma camada interna de fibras longitudinais juntamente com um conjunto

externo de fibras circunferenciais, ou um tubo composto por uma camada de fibras

longitudinais, localizado entre dois conjuntos de fibras circunferenciais. As principais

vantagens deste tipo de construção são a enorme resistência e ductilidade obtidas,

adicionalmente a uma excelente durabilidade. O novo tipo de pilar proposto é ideal para

ambientes corrosivos e zonas sísmicas.

Elchalakani et al. (2002) apresentaram um estudo experimental sobre um novo tipo de pilar

misto aço-concreto. O pilar é composto por dois tubos de aço concêntricos (o externo de

seção circular e o interno, de seção quadrada) e concreto entre os dois (FIG. 3.3b). Tal

sistema possui maior estabilidade global do que um pilar misto preenchido típico, de seção

circular. Outras vantagens podem ser observadas, entre elas uma maior rigidez à flexão, boa

estabilidade local gerada pela interação entre os dois elementos de aço e o concreto, menor

peso, boas características de amortecimento, assim como bom desempenho sob cargas

cíclicas. Recentes pesquisas no Japão recomendaram o uso deste tipo de pilar em auto-

estradas e construções de viadutos. Uma fórmula para a obtenção da resistência à

compressão axial do elemento misto é ainda apresentada neste estudo.

30

Subedi e Coyle (2002) estudaram um novo tipo de estrutura mista, denominado viga mista

aço-concreto-aço. Tal viga consiste de duas chapas de aço relativamente finas com um

núcleo de concreto, formando uma espécie de estrutura sanduíche. A aplicação do novo

tipo de elemento misto é vasta, incluindo túneis submersos, pontes e paredes de

cisalhamento para grandes edificações. Para um uso eficiente deste elemento misto é

fundamental uma interação completa entre as chapas e o concreto, aumentando-se com isso

as capacidades de cisalhamento e flexão da seção. A FIG. 3.4 representa este tipo de

construção mista.

FIGURA 3.4 – Viga mista aço-concreto-aço: (a) forma típica do elemento misto aço-

concreto-aço; (b) elemento misto com conectores de cisalhamento

Chapa de aço

Chapa de aço

Interfaceaço-concreto

Núcleo deConcreto

Conector de cisalhamentosoldado numa chapa

(b)

FIGURA 3.3 – Pilares mistos preenchidos com concreto, de seção circular:

(a) solução típica; (b) solução com dois perfis concêntricos

(a) (b)

(a)

31

TABELA 3.1 – Resumo de ensaios experimentais Referência País Ano Tipo de

pilar mistoForma da

seção Tipo de

solicitação Número

de ensaios

Parâmetros analisados

1 Jones, R. e Rizk, A.A.

Reino Unido

1963 Totalmente revestido

Retangular Axial excêntrica 8 Comprimento e dimensões da seção do pilar, quantidade de armaduras longitudinal e lateral utilizada.

2 Stevens, R.F. Reino Unido


Retangular e quadrada

Axial excêntrica 11 Excentricidade da carga aplicada (ao longo do eixo principal menor), resistências do aço e do concreto, dimensão da seção do pilar.

3 Furlong, R. W. Estados Unidos

1967 Preenchido Quadrada e circular

Axiais concêntrica e

excêntrica

52 Espessura e comprimento dos tubos de aço, resistências do aço e do concreto, quantidade de armadura longitudinal.

4 Furlong, R. W. Estados Unidos



excêntrica

50 Rigidez à flexão (EI) do pilar, aderência entre o perfil de aço e o concreto, excentricidade da carga axial.

5 Knowles, R.B. e Park, R.

Nova Zelândia



excêntrica

28 Esbeltez do pilar, resistências do aço e do concreto.

6 Neogi, P.K. et al.

Reino Unido

1969 Preenchido Circular Axial excêntrica 18 Razão diâmetro-espessura do perfil, razão comprimento efetivo do pilar–diâmetro do perfil, excentricidade da carga aplicada e resistências do aço e do concreto.

7 Drysdale, R.G. e Huggins, M.W.

Canadá 1971 Preenchido Quadrada Axial excêntrica 58 Resistências do aço e do concreto, seqüência e duração do carregamento, excentricidade.

8 Virdi, K.S. e Dowling, P.J.

Reino Unido


Quadrada Axial excêntrica 9 Comprimento dos pilares, excentricidade em relação a ambos os eixos principais.

9 Anslijn, R e Janss, J.

Bélgica 1974 Totalmente revestido

Retangular e quadrada

Axial excêntrica 30 Comprimento efetivo do pilar, esbeltez relativa, resistências do aço e do concreto, dimensões do perfil de aço e da seção do pilar.

32

TABELA 3.1 – Resumo de ensaios experimentais (continuação) Referência País Ano Tipo de

pilar misto Forma da

seção Tipo de


de ensaios


10 Matsui, C. et al. Japão 1979 Totalmente revestido

Quadrada Axial excêntrica 4 Comprimento efetivo, esbeltez relativa do pilar, resistências do aço e do concreto.

11 Task Group 20, SSRC

Estados Unidos

1979 Preenchido Circular Momentos uniaxiais em

relação a ambos eixos principais e axial concêntrica

63 Dimensões do perfil de aço, comprimento efetivo do pilar, esbeltez relativa do pilar, resistências do aço e do concreto.

12 Morino, C. et al. Japão 1984 Totalmente revestido

Quadrada Axial excêntrica 40 Excentricidade da carga de compressão aplicada (em relação a ambos os eixos principais), resistências do aço e do concreto, razão entre as excentricidades aplicadas e a dimensão da seção do pilar, entre outros.

13 Roik, K. e Schwalbenhofer,

K.

Alemanha 1989 Totalmente revestido

Quadrada Axial excêntrica 27 Excentricidade da carga aplicada (produzindo flexão uniaxial ou biaxial), resistências do aço e do concreto, dimensão da seção do pilar.

14 Shakir-Khalil,H. e Zeghiche, J.

Reino Unido

1989 Preenchido Retangular Axial excêntrica 7 Resistências do aço e do concreto, razão entre as excentricidades da força de compressão aplicada (relativas aos eixos principais da seção) e as dimensões (largura e comprimento) do perfil de aço.

15 Shakir-Khalil,H. e Mouli, M.

Reino Unido

1990 Preenchido Retangular Axiais concêntrica e

excêntrica

9 Excentricidade em relação a ambos os eixos principais da seção, dimensões do perfil de aço, resistências do aço e do concreto.

16 Elnashai, A.S. et al.

Reino Unido

1991 Parcialmente revestido

Quadrada Cíclica e dinâmica

6 Tipo de carregamento e percentagem de carga axial aplicada.

33


pilar misto Forma da

seção Tipo de


de ensaios


17 Mirza, S.A. e Skrabek, B.W.

Canadá 1991 Totalmente revestido

Quadrada Axial excêntrica 16 Resistências do aço e do concreto, razão de contribuição do aço, razão entre as excentricidades aplicadas e a dimensão da seção do pilar, esbeltez do pilar.

18 Ge, H.e Usami, T.

Japão 1992 Preenchido Quadrada Cíclica de compressão

6 Razão largura-espessura do perfil de aço, utilização ou não de enrijecedores no perfil.

19 Mirza, S.A. e Skrabek, B.W.


Quadrada Axial excêntrica 22 Resistências do aço e do concreto, razão de contribuição do aço, razão entre as excentricidades aplicadas e a dimensão da seção do pilar, esbeltez do pilar.

20 Rangan, B.V. e Joyce, M.

Austrália 1992 Preenchido Circular Axial excêntrica 9 Excentricidade da carga aplicada, comprimento efetivo do pilar.

21 Hunaiti, Y.M. e Fattah, B.A.

Jordânia 1994 Parcialmente revestido

Retangular Axial excêntrica 19 Excentricidade da carga aplicada (ao longo do eixo principal maior), resistência do concreto, entre outros.

22 Prion, H.G.L. e Boehme, J.

Canadá 1994 Preenchido Circular Axial excêntrica 26 Resistências do aço e do concreto, tipo de carregamento (desde compressão axial pura até flexão pura), comprimento do pilar.

23 Ricles, J.M. e Paboojian, D.

Estados Unidos


Quadrada Sísmica 8 Grau de confinamento do concreto, mecanismo de resistência à cisalhamento, resistências do aço e do concreto.

24 Wium, J.A. e Lebet, J.P.

África do Sul, Suíça


Quadrada Axial concêntrica (aplicada somente na seção de aço)

27 Espessura do revestimento de concreto, dimensão da seção transversal do aço, deformação lenta do concreto, entre outros.

25 Boyd, P.F. et al.

Estados Unidos

1995 Preenchido Circular Axial concêntrica e lateral cíclica

5 Razão diâmetro-espessura do tubo de aço, conectores de cisalhamento, resistências do aço e do concreto.

34


pilar mistoForma da

seção Tipo de


de ensaios


26 Mirza, S.A. et al.


Quadrada Axial concêntrica e transversal

16 Excentricidade, resistências do aço e do concreto.

27 Shakir-Khalil, H. e Al-Rawdan,

A.

Reino Unido

1996 Preenchido Retangular Axial excêntrica 15 Comprimento efetivo dos pilares, excentricidade da carga aplicada, resistências do aço e do concreto.

28 Muñoz, P.R. e

Hsu,C.T.T.

Estados Unidos


Quadrada Axiais concêntrica e excêntrica

4 Excentricidade da carga axial de compressão aplicada, comprimento efetivo do pilar, resistências do aço e do concreto.

29 Wang, Y.C. e Moore,

D.B.

Reino Unido

1997 Preenchido Retangular Axial excêntrica 10 Excentricidades ao longo de ambos os eixos principais da seção.

30 Uy, B. Austrália 1998 Preenchido Quadrada Compressão axial 10 Dimensões da seção, tensão residual e método de carregamento (em toda a seção mista ou somente no perfil de aço).

31 Nakanishi, K. et al.

Japão 1999 Preenchido Quadrada Sísmica 8 Tipo da seção transversal, resistências do aço e do concreto, período natural de vibração.

32 Wang, Y.C. Reino Unido


Quadrada Axial excêntrica 7 Excentricidade em relação aos dois eixos principais da seção, resistências do aço e do concreto.

33 Wang, Y.C. Reino Unido

1999 Preenchido Retangular Axial excêntrica 8 Excentricidade em relação aos dois eixos principais da seção, resistências do aço e do concreto.

34 Varma, A.H. et al.

Estados Unidos

2000 Preenchido Quadrada Axial concêntrica 4 Razão largura-espessura do perfil de aço, resistência do aço.

35


pilar mistoForma da

seção Tipo de


de ensaios


35 Uy, B. Austrália 2001 Preenchido Quadrada Axiais concêntrica e excêntrica

13 Largura externa da seção do pilar, razão entre a largura interna da seção do pilar e a espessura do tubo de aço, resistência do concreto.

36 Han, L.H. China 2002 Preenchido Retangular Axial concêntrica 24 Razão entre a altura e a largura da seção de aço, fator de confinamento.

37 Varma, A.H. et al.

Estados Unidos

2002 Preenchido Quadrada Axial concêntrica constante combinada com carregamento

monotônico de flexão, axial concêntrica

constante combinada com carregamento cíclico de flexão.

16 Espessura do tubo de aço, razão largura- espessura do tubo de aço, resistência do aço, valor da carga axial aplicada.

36

4

NORMAS RELATIVAS A PILARES MISTOS AÇO-CONCRETO


Neste capítulo são abordadas de maneira resumida algumas das normas mais importantes e

mais utilizadas para cálculo de pilares mistos aço-concreto. São elas: NBR 14323 (1999),

AISC-LRFD (1999) e Eurocode 4 (1992).

A abordagem feita por estas normas considera algumas limitações em comum, tais como:

- são previstos três tipos de pilares mistos: perfil I totalmente envolvido por concreto, perfil

I parcialmente envolvido por concreto (exceto AISC-LRFD) e tubo de aço (seção

retangular ou circular) preenchido por concreto;

- somente seções mistas duplamente simétricas são analisadas, e estas devem ser constantes

ao longo do comprimento do pilar;

- a solicitação considerada é a flexão oblíqua composta, ou seja, força normal de

compressão atuando em conjunto com momentos relativos a ambos os eixos de simetria do

perfil de aço;

37

- consideram-se nos cálculos os momentos fletores advindos de imperfeições iniciais

(curvaturas e excentricidades) não previstas. Estes momentos e também aqueles já previstos

na análise (associados a translações dos nós ou a cargas transversais ao eixo do pilar) são

modificados pelos efeitos de segunda ordem (efeitos da força normal de compressão na

estrutura deformada);

- admite-se que as seções planas permanecem planas e que ocorra interação completa entre

aço e concreto até a plastificação total da seção;

- na análise de sistemas estruturais, os pilares mistos devem ser considerados no regime

elástico, mesmo que a análise da estrutura seja elasto-plástica ou rígido-plástica. Os efeitos

de segunda ordem devem sempre ser levados em conta, tanto na barra, quanto na estrutura

como um todo.

4.2 Abordagem conforme NBR 14323 (1999)

4.2.1 Considerações adicionais ao item 4.1

- Esta norma é baseada no Eurocode 4 (1992);

- A área da seção transversal da armadura longitudinal utilizada no cálculo da resistência do

pilar misto deve se encontrar dentro do intervalo de 0,3% a 4% da área da seção transversal

do concreto. Caso o limite superior de 4% seja ultrapassado, somente 4% da área da seção

transversal do concreto devem ser utilizados nos cálculos, para a área da seção transversal

da armadura.

4.2.2 Análise estrutural

A rigidez do pilar é a rigidez efetiva à flexão (EI)e, definida por:

..8,0)( cc

cssaae IEIEIEEI

++=

γ (4.1)

38

Onde:

Ec Es, Ea, = módulos de elasticidade do aço do perfil, do aço da armadura e do concreto,

respectivamente;

Ic Is, Ia, = momentos de inércia das seções transversais do perfil, da armadura e do concreto

não-fissurado, respectivamente, em relação ao eixo de flexão analisado;

cγ = coeficiente de segurança igual a 1,35.

Caso efeitos de longa duração devam ser levados em consideração, deve-se modificar o

valor de cE na fórmula acima para cE´ :

.5,01.´ ,

−=

Sd

SdGcc

NNEE (4.2)

Onde:

SdN = força normal de cálculo;

SdGN , = parcela permanente ou quase permanente de SdN .

Além disso, imperfeições geométricas e estruturais devem ser levadas em conta na análise.

4.2.3 Pilares indeslocáveis

Apesar dos nós serem indeslocáveis, é necessário considerar imperfeições entre os mesmos,

como por exemplo, curvatura inicial e excentricidade da carga. Além disso, efeitos de 2ª

ordem entre os nós devem também ser analisados. Por exemplo, se um pilar submetido à

flexo-compressão possuir uma curvatura inicial, os efeitos de 2ª ordem devem ser

considerados inclusive sobre esta curvatura. Nas curvas de flambagem usadas, a curvatura

inicial e o efeito de 2ª ordem nesta curvatura já estão incluídos nos coeficientes ρ.

Entretanto, o efeito de 2ª ordem local (entre os nós do pilar) nos momentos fletores

aplicados deve ser determinado, utilizando-se para isso o coeficiente

e

d

m

NNs

C

−1da NBR.

39

Onde:

mC = coeficiente definido no item 5.6 da NBR 8800 (1986);

eN = carga de flambagem elástica por flexão.

( mC e eN são relativos ao eixo de flexão considerado).

Para obter o efeito de 2ª ordem, de forma aproximada, dentro do comprimento do pilar

misto, basta multiplicar este coeficiente pelo maior momento fletor obtido na análise da

estrutura.

4.2.4 Efeito da força cortante na seção transversal de um pilar misto

Normalmente, a solicitação é considerada totalmente aplicada na seção metálica, seguindo-

se as recomendações da NBR 8800 (1986). Porém, pode-se também dividir seu efeito, por

meios adequados, entre o aço e o concreto, atendendo-se à NBR 8800 (1986) e à NBR 6118

(1978). Do lado da segurança, despreza-se a contenção da(s) alma(s) do perfil de aço pelo

concreto.

4.2.5 Cisalhamento longitudinal em um pilar misto

Fora das regiões de introdução de carga, a distribuição de tensões de cisalhamento na

interface aço/concreto pode ser determinada com base nas propriedades elásticas da seção

não-fissurada, levando-se em consideração os efeitos da seqüência de construção e da

deformação lenta. Caso as tensões de cálculo excedam as resistências de cálculo,

correspondentes ao atrito e à aderência, devem ser utilizados conectores de cisalhamento

para o excesso.

Quando os conectores são instalados na alma de um perfil I parcialmente ou totalmente

envolvido por concreto, a expansão lateral do concreto comprimido pelos conectores é

contida pelas mesas do perfil, ocasionando forças de atrito que se somam à resistência do

conector. Esta resistência adicional não é prevista pela norma NBR 14323.

40

Normalmente, fora das regiões de introdução de carga, a aderência entre o aço e o concreto

é suficiente para resistir às tensões de cisalhamento longitudinais.

Nas regiões de introdução de carga (ligações com vigas, bases, emendas, topo), forças e

momentos aplicados por barras ou placas ligadas às extremidades de um pilar misto, ou

entre tais extremidades, devem ser distribuídas entre o aço e o concreto levando-se em

consideração a resistência ao cisalhamento na interface dos dois elementos. Devem ser

previstos conectores de cisalhamento nas regiões de mudança de seção e nas regiões de

introdução de carga, quando as resistências de cálculo à tensão de cisalhamento forem

excedidas. As tensões de cisalhamento devem ser obtidas com base na variação dos

esforços solicitantes dentro do comprimento de introdução de carga, a partir da teoria

plástica. Se as cargas forem aplicadas somente na seção de concreto, devem ser levados em

conta os valores resultantes de uma análise elástica considerando-se deformação lenta e

retração.

4.2.6 Resistência à força normal de compressão e à flexão composta

a) Resistência da seção à plastificação total

A resistência de cálculo da seção mista à plastificação total pela força normal é dada por:

ysssckccyaaRdpl fAfAfAN ......., φαφφ ++= (4.3)

Onde:

sca A,A,A = áreas da seções transversais do perfil de aço, do concreto e da armadura,

respectivamente;

yf , ysf = limites de escoamento dos aços do perfil e da armadura, respectivamente;


aφ , cφ , sφ = coeficientes de segurança dos materiais aço estrutural, concreto e armadura

iguais a 0,9 , 0,7 e 0,85 , respectivamente;

41

α = 0,85 para perfis I parcialmente ou totalmente envolvidos por concreto e 1,0 para tubos

preenchidos com concreto.

Para tubos de seção circular preenchidos com concreto, pode-se levar em consideração o

aumento de resistência do concreto devido ao confinamento, desde que certas condições

com respeito aos valores de λ (parâmetro de esbeltez) e de Msd/ Nsd (para flexão composta)

sejam verificadas.

b) Razão de contribuição do aço (δ )

Denomina-se razão de contribuição do aço a relação entre as resistências de cálculo da

seção de aço e da seção mista, para o estado limite de plastificação total por força normal.

Este valor deve ficar entre 0,2 e 0,9.

( )

Rdpl

yaa fA

,N..φ

δ = (4.4)

c) Parâmetro de esbeltez (λ )

O parâmetro de esbeltez deve ser igual ou inferior a 2,0.

N

N 21

e

Rpl,

=λ (4.5)

Onde:

2

e2

(KL)(EI).πNe = (4.6)

Npl,R = resistência nominal da seção mista à plastificação total pela força normal;

(determinado conforme Npl,Rd com os coeficientes aφ , cφ e sφ iguais a 1)

42

eN = carga de flambagem elástica por flexão;

KL = comprimento efetivo de flambagem;

e(EI) = rigidez efetiva à flexão.

d) Imperfeições da barra

As imperfeições da barra podem ser levadas em conta utilizando-se as curvas de

flambagem da NBR 8800, 1986, citadas abaixo:

• Curva a, para perfis tubulares preenchidos com concreto;

• Curva b, para perfis I total ou parcialmente revestidos de concreto, para

flambagem em torno do eixo principal de maior inércia do perfil;

• Curva c, para perfis I total ou parcialmente revestidos de concreto, para

flambagem em torno do eixo principal de menor inércia do perfil.

e) Resistência do pilar à compressão axial

A resistência de cálculo do pilar misto à compressão uniaxial, levando-se em conta a

flambagem, é dada por:

Rdpl,Rd .NN ρ= (4.7)

Onde:

ρ = fator de redução devido à flambagem, dado pela NBR 8800 (1986), função da curva de

flambagem e do parâmetro de esbeltez λ .

f) Resistência à flexão composta

43

Quando um pilar misto está submetido à flexo-compressão, utiliza-se o diagrama de

interação mostrado na FIG. 4.1:

FIGURA 4.1 – Diagrama simplificado de interação força normal-momento fletor –

NBR 14323 (1999)

Esta figura é uma simplificação da curva representativa dos pares força normal-momento

fletor, os quais provocam, em conjunto, a plastificação da seção. As variáveis envolvidas

são:

NSd = força normal de cálculo;

MRd = resistência de cálculo a momento fletor do pilar sujeito a NSd;

dRd.pl,cRdpl,

SdRdpl,Rd.pl,Rd M

)N-(N )N-(NM M µ== (4.8)

Npl,Rd = resistência de cálculo da seção mista à plastificação total pela força normal;

NRd = resistência de cálculo do pilar misto à compressão axial;

Mpl,Rd = resistência de cálculo da seção mista à plastificação total pelo momento fletor, com

NSd igual a zero ou igual a Nc;

NSd

Npl,Rd

NRd

NSd

Nc

Nn

M'NRd NRdM MRd M pl,Rd MRd

AB C

44

Nc = resistência de cálculo da seção de concreto à plastificação total pela força normal;

Nc = φc.α.Ac.fck (4.9)

MNRd = momento devido à atuação de NRd na imperfeição inicial do pilar, incluindo efeito

de segunda ordem, considerado implicitamente por meio das curvas de flambagem;

kRd.pl,cRdpl,

RdRdpl,Rd.pl,NRd M

)N-(N )N-(NM M µ== (4.10)

Nn = valor da força normal para o qual se admite momento devido à imperfeição inicial do

pilar igual a zero;

4

MM

1N N 2

1

Rd.n

+

= (4.11)

M1/M2 = relação entre o menor e o maior momentos na extremidade do pilar, positiva para

curvatura reversa; deve-se tomar M1/M2 = -1 quando o momento em alguma seção

intermediária for superior em valor absoluto a M1 e M2, e também no caso de balanços.

No ponto A da FIG. 4.1 tem-se que NSd = NRd, ou seja, o pilar misto não resiste a nenhum

momento adicional a MNRd.

Para qualquer valor de NSd entre Nn e NRd, admite-se uma redução linear do valor de MNRd,

de modo que para o ponto B tem-se:

)N-(N

)N-(NM MnRd

nSdNRd.NRd =′ (4.12)

O trecho BC corresponde ao acréscimo de momento que se pode aplicar no pilar:

45

K.MSd ≤ MRd – M´NRd (4.13)

Onde:

K = 11

≥−

e

d

m

NNs

C (4.14)

MSd = momento fletor de cálculo, incluindo efeitos de segunda ordem e imperfeições

iniciais de montagem.

A NBR 14323 utiliza um coeficiente de segurança na expressão acima:

K.MSd ≤ 0,9.(MRd – M´NRd) (4.15)

Logo, a partir das expressões acima, tem-se:

≤

)N-(N )N-(NM

-M0,9. .MnRd

nSdkRd.pl,dRd.pl,Sd

µµK (4.16)

d)Rdpl,

Sd.

nRd

nSdk

(0,9.M M

)N-(N )N-(N

µµ

≤+K

(4.17)

Notas:

• Se NSd for inferior a Nn, a primeira parcela da expressão (4.17) á nula;

• Qualquer um dos coeficientes µk e µd deve ser tomado igual a 1 quando for

maior do que 1;

• Para o caso de momentos fletores atuando nos dois planos principais do

pilar, a expressão (4.17) é expandida como mostrado abaixo, devendo a

46

primeira parcela ser obtida em cada um dos dois planos, tomando-se o maior

dos dois resultados obtidos:

dRdy,

Sdy,y.

Rdx,

Sdx,x.

nRd

nSdk

)pl,(0,9.M M

)pl,(0,9.M M

)N-(N )N-(N

µµ

≤++KK

(4.18)

• Em qualquer situação deve-se ter NSd igual ou inferior a NRd em ambos os

planos principais, mesmo quando, em um deles, MSd for nulo.

g) Determinação de Mpl,Rd e da posição da linha neutra plástica

Para a determinação da linha neutra plástica, estabelece-se que a força resultante das

tensões normais (NSd) é igual a zero. Uma vez localizada a linha neutra plástica, pode-se

obter a resistência de cálculo ao momento fletor Mpl,Rd.

4.3 Abordagem conforme AISC-LRFD (1999)


- O índice de esbeltez

=

mrK.Lλ deve ser igual ou inferior a 200, onde:

rm = raio de giração relevante do perfil, porém, no caso de perfil I totalmente envolvido por

concreto, não menos do que 0,3 vezes a dimensão da seção no plano de flambagem;

- Não é abordado o caso de pilares mistos com perfil I parcialmente revestidos por

concreto;

-A área da seção transversal do perfil I ou do tubo de aço não pode ser inferior a 4% da área

total da seção transversal mista;

- A resistência característica do concreto à compressão dever estar na faixa de 20,7 MPa a

55,1 MPa para concreto normal e deve ser igual ou superior a 27,6 MPa para concreto com

agregados leves;

47

- Os limites de escoamento do aço estrutural e do aço da armadura devem ser de no

máximo 380 MPa.

4.3.2 Cisalhamento na superfície de contato aço-concreto, fora das regiões de

introdução de carga

Se a relação entre a força normal de compressão de cálculo e a resistência de cálculo

correspondente for inferior a 0,3 , o número necessário de conectores pode ser obtido

considerando-se o pilar misto como se fosse uma viga mista, isto é, considerando–se uma

força normal igual a zero e mantendo-se o momento fletor. Se esta relação for igual ou

superior a 0,3 , não é necessário o uso de conectores.

4.3.3 Resistência à força cortante

Normalmente, a solicitação é considerada como sendo totalmente aplicada na seção

metálica. Porém, pode-se também dividir seu efeito, por meios adequados, entre o aço e o

concreto. Do lado da segurança, despreza-se a contenção da(s) alma(s) do perfil de aço pelo

concreto.

4.3.4 Resistência à força normal de compressão

A resistência de cálculo à força normal de compressão é dada por φcNR, onde:

φc = coeficiente de segurança = 0,85;

NR = AaFcr (4.19)

Para : 1,5λc ≤

myθ

cr ).(0,658F f= (4.20)

48

Para : 1,5λ c>

mycr .θ

0,877F f

= (4.21)

Em que:

2c)(λθ = (4.22)

2

1

m

my

mc

E.

π.rKLλ

=

f

(4.23)

+

+=

a

cck2

a

sys1ymy

AA..c

AA..c ffff (4.24)

AA..EcEE

a

cc3am

+= (4.25)

Onde:

KL = comprimento de flambagem do pilar;

rm = raio de giração relevante do perfil de aço, porém, no caso de perfil I totalmente

envolvido por concreto, não menos do que 0,3 vezes a dimensão da seção no plano de

flambagem;

Aa, Ac, As = áreas das seções transversais do perfil de aço, do concreto e da armadura,

respectivamente;

fy, fys = limites de escoamento dos aços do perfil e da armadura, respectivamente;

fck = resistência característica do concreto à compressão;

Ea = módulo de elasticidade do aço do perfil;

Ec = módulo de elasticidade do concreto;

49

c1, c2, c3 = coeficientes numéricos, iguais, respectivamente, a 1,0 , 0,85 e 0,4 para tubos

preenchidos por concreto e 0,7 , 0,6 e 0,2 para perfis I totalmente envolvidos por concreto.

4.3.5 Resistência à flexão-composta

Se uma força normal de compressão e momentos fletores em relação a ambos os eixos

principais do perfil I estiverem atuando no pilar misto, as seguintes condições devem ser

respeitadas:

Se 2,0.N

NRc

Sd≥

φ:

0,1),.M(

M),.M(

M.98

.NN

Rply,b

Sdy,

Rplx,b

Sdx,

Rc

Sd≤

+

+

φφφ (4.26)

Se 2,0.N

NRc

Sd<

φ:

0,1),.M(

M),.M(

M.N.2

NRply,b

Sdy,

Rplx,b

Sdx,

Rc

Sd≤

++

φφφ (4.27)

Onde:

NSd = força normal de compressão de cálculo;

φb = coeficiente de segurança da resistência ao momento fletor = 0,9;

Mx,Sd e My,Sd = momentos fletores de cálculo, incluindo efeitos de segunda ordem e

imperfeições; na determinação dos efeitos de segunda ordem por métodos aproximados, as

cargas críticas de flambagem elástica devem ser obtidas pela expressão abaixo:

( )

.AN 2

c

myacr

λf

= (4.28)

50

Mx,pl,R e My,pl,R = resistências últimas aos momentos fletores correspondentes, na ausência

de força normal, determinadas com base na distribuição plástica de tensões na seção

transversal mista; considera-se apenas o concreto comprimido, com uma tensão de 0,85. fck,

o perfil e as barras da armadura sujeitos às tensões de escoamento correspondentes, tanto na

região comprimida quanto na tracionada. Se 3,0.N

NRc

Sd≥

φ, não é necessário o uso de

conectores para desenvolver o comportamento misto, mas se 3,0.N

NRc

Sd<

φ, devem ser

usados conectores da mesma forma que para 0.N

NRc

Sd=

φ.

4.4 Abordagem conforme Eurocode 4 (1992)


- Os efeitos de deformação lenta e retração do concreto devem ser considerados se houver

uma probabilidade dos mesmos reduzirem significativamente a estabilidade estrutural;

- O aumento de resistência da armadura produzido pelo concreto que a envolve (tension

stiffening), entre fissuras, pode ser levado em consideração;

- A área da seção transversal da armadura longitudinal utilizada no cálculo da resistência do

pilar misto não deve ser menor do que 0,3% e nem maior do que 4% da área da seção

transversal do concreto.

4.4.2 Análise estrutural

A rigidez do pilar é a rigidez efetiva à flexão (EI)e, definida por:

..8,0)( ccdssaae IEIEIEEI ++= (4.29)

Onde:

51

cγcm

cdE E = (4.30)

cmE = módulo secante do concreto, de acordo com o item 3.1.4.1 do Eurocode 4;

35,1=cγ

Caso efeitos de longa duração devam ser levados em consideração, deve-se modificar o

valor de cdE na fórmula (4.29) para cE´ :

.5,01.´ ,

−=

Sd

SdGcdc

NNEE (4.31)

cdE - conforme (4.30);

SdGN , e SdN - ver item 4.2.2;

Além disso, imperfeições geométricas e estruturais devem ser levadas em conta na análise.

4.4.3 Pilares indeslocáveis

Vide item 4.2.3.

4.4.4 Efeito da força cortante na seção transversal de um pilar misto

Normalmente, a solicitação é considerada totalmente aplicada na seção metálica. Porém,

pode-se também dividir seu efeito, por meios adequados, entre o aço e o concreto.

4.4.5 Resistência ao cisalhamento

52

A resistência ao cisalhamento deve ser garantida pela aderência e pelo atrito na superfície

de contato ou por meios mecânicos, utilizando-se conectores de cisalhamento, de modo que

nenhum deslizamento significativo entre os elementos de aço e de concreto ocorra.

A parcela da resistência de cálculo ao cisalhamento devida à aderência a ao atrito deve ser

tomada igual a:

• para seções mistas totalmente revestidas por concreto: 0,3 MPa;

• para seções preenchidas por concreto: 0,4 MPa;

• para mesas em seções mistas parcialmente revestidas por concreto: 0,2 MPa;

• para almas em seções parcialmente revestidas por concreto: 0.

4.4.6 Resistência à força normal de compressão e à flexão composta

a) Resistência da seção à plastificação total

A resistência de cálculo da seção mista à plastificação total pela força normal é dada por:

sks.

cck.ya.

,AA)(A

scMaRdpl

fffNγγ

αγ

++= (4.32)

Onde:

α = 0,85 para seções revestidas por concreto e 1,0 para seções preenchidas com concreto;

Maγ , cγ , sγ = coeficientes de segurança dos materiais correspondentes, no estado limite

último: 1,10 , 1,5 , 1,15 , respectivamente.

Para tubos de seção circular preenchidos com concreto, pode-se levar em consideração o

aumento de resistência do concreto devido ao confinamento, desde que certas condições

com respeito aos valores de λ (parâmetro de esbeltez) e da relação MSd/NSd (para flexão

composta) sejam verificadas.

53

b) Razão de contribuição do aço (δ )

Denomina-se razão de contribuição do aço a relação entre as resistências de cálculo da

seção de aço e da seção mista, para o estado limite de plastificação total por força normal.

Este valor deve ficar entre 0,2 e 0,9.

( )Rdpl,

aya

N..A γδ f

= (4.33)

Sendo:

aγ =1,10.

c) Parâmetro de esbeltez (λ )

O parâmetro de esbeltez deve ser inferior ou igual a 2,0:

2

1

cr

Rpl,

NN

=λ (4.34)

Onde:

2fl

e2

)(L(EI).πNcr = (4.35)

Lfl = comprimento de flambagem de acordo com o item 4.8.3.6 da norma;

Npl,R = valor de Npl,Rd calculado considerando-se os coeficientes de segurança iguais a 1.

d) Imperfeições da barra

54

As imperfeições dentro do comprimento do pilar devem ser levadas em consideração para o

cálculo das forças internas e momentos, partindo-se das seguintes curvas:

• Curva a, para perfis tubulares preenchidos com concreto;

• Curva b, para perfis I total ou parcialmente revestidos de concreto, para

flambagem em torno do eixo principal de maior inércia do perfil;

• Curva c, para perfis I total ou parcialmente revestidos de concreto, para

flambagem em torno do eixo principal de menor inércia do perfil.

e) Resistência do pilar à compressão axial

A resistência de cálculo do pilar misto à compressão uniaxial, levando-se em conta a

flambagem, é dada por:

Rdpl,Rd .NN χ= (4.36)

Onde:

χ = fator de redução devido à flambagem, dado pelo Eurocode 3 (1992), função da curva

de flambagem e do parâmetro de esbeltez .λ

f) Resistência à flexão composta

Quando um pilar misto está submetido à flexo-compressão, utiliza-se um diagrama de

interação análogo ao do item 4.2.6 - f. Toda a análise segue também os passos do referido

item.

55

• Flexão em torno de um só eixo principal (FIG. 4.2)

FIGURA 4.2 – Diagrama simplificado de interação força normal-momento fletor –

Eurocode 4 (1992)

Rdpl,

Sd

N N d =χ (4.37)

Portanto, dχ representa a força normal de cálculo na figura acima.

O ponto A na curva de interação representa a falha do pilar submetido à carga axial

Rdpl,.N.χ , na ausência de qualquer momento aplicado. Logo, o pilar misto não resiste a

nenhum momento adicional a . , RdplMkµ (devido às imperfeições iniciais). No caso

M2=M1 (momentos na extremidade, produzindo curvatura simples), assume-se que ocorra

uma variação linear do momento fletor associada à imperfeição inicial, ou seja, o momento

fletor de segunda ordem sendo proporcional à carga axial. Logo, para uma carga axial mais

baixa Rdpl,.N.dχ , o valor do momento fletor devido à carga axial é o correspondente ao

trecho DE. Neste caso, a resistência a momento fletor é a correspondente ao trecho DC, e a

resistência adicional EC esta disponível para resistir a um momento aplicado.

n

k d

d

1

SdN

B

A

C

MRd

Npl,Rd

M pl,Rd

1

DE

0

56

O momento fletor de segunda ordem relacionado a uma determinada carga axial diminui à

medida que a relação M2/M1 decresce. Portanto, pode-se considerar uma nova ordenada

como sendo:

4

/1 12. MMnχ

−= χ , para dχχ ≤ (4.38)

Pode-se considerar Rdpl,.N.nχ como sendo o valor da força normal abaixo do qual pode ser

desprezado o momento fletor associado à imperfeição inicial. A resistência a momento

fletor, então, cresce de EC para BC.

A resistência a momento fletor é obtida da seguinte forma:

Rdpl,M..9,0M µ=Rd (4.39)

Onde:

n

ndkd χχ

χχµµµ−

−−= . (4.40)

Os valores de dµ e kµ são obtidos da curva de interação para os respectivos valores de

dχ e χ .

Pelo Eurocode, M1/M2 = relação entre o menor e o maior momentos na extremidade do

pilar, negativa para curvatura reversa.

• Flexão em torno de ambos eixos principais

Para o caso de flexão biaxial, as condições para verificação são as seguintes:

57

Rdpl,y,, M..9,0M yRdy µ= (4.41)

Rdpl,Z,, M..9,0M zRdZ µ= (4.42)

0,1M

MM

M,,.

SdZ,

,,.

, ≤+RdplZRdply

Sdy

zy µµ (4.43)

Observação: Deve-se verificar também o efeito da força normal isolada. yµ e zµ são

determinados de forma análoga aµ (4.40), sendo que o momento devido à imperfeição

inicial pode ser considerado em apenas um dos planos de flexão (o que der resultado mais

desfavorável) na expressão (4.43).

58

5

CONSIDERAÇÕES SOBRE A TEORIA DA PLASTICIDADE


A teoria da plasticidade representa uma extensão necessária da teoria da elasticidade e sua

aplicação está relacionada à análise de tensões e deformações da estrutura tanto no regime

plástico quanto no elástico. Ela fornece uma estimativa mais real da capacidade de

carregamento de estruturas e propicia melhor entendimento da reação dos elementos

estruturais às forças externas. Quanto maior o conhecimento a respeito das relações tensão-

deformação que ocorrem em um determinado sistema estrutural, mais preciso será o

dimensionamento e mais adequada será a estrutura.

O trabalho presente tem como objetivo final o desenvolvimento e a análise de modelos de

elementos finitos de pilares mistos aço-concreto. Nesta análise, há a preocupação de como

se comporta tal elemento estrutural até que este atinja sua carga última, tanto em termos de

tensões, como de deformações e deslocamentos. Portanto, um bom entendimento da teoria

da plasticidade, assim como sua correta aplicação nestes modelos numéricos, são

essenciais.

59

Neste capítulo será feito um breve resumo dos principais tópicos da teoria da plasticidade

que serão importantes para um melhor entendimento de capítulos posteriores.

5.2 Análises linear e não-linear

5.2.1 Análise linear

Para que uma análise linear possa ser realizada e propicie um resultado adequado, é

necessário que três condições sejam satisfeitas:

a) Validade da Lei de Hooke (comportamento linear do material);

b) Mudança de geometria desprezível após a deformação da estrutura (todas as respostas

podem ser determinadas com base na geometria inicial ou indeformada);

c) Não ocorrência de mudança de status, isto é, condições de vinculação, constituição da

estrutura, etc.

Como conseqüência da validade das condições para análise linear, o princípio da

superposição de efeitos é válido, isto é, a ordem de aplicação dos carregamentos não afeta o

resultado da análise realizada.

5.2.2 Análise não-linear

Uma análise não-linear deve ser feita quando pelo menos uma das condições anteriores não

for atendida. Pode-se classificar uma análise não-linear em dois grupos principais:

a) Não-linearidade física:

O material não obedece à Lei de Hooke em toda a extensão da solicitação;

60

b) Não-linearidade geométrica:

Há possibilidade de ocorrer de duas formas – grandes deslocamentos (mais comum em

análises estruturais) e grandes deformações.

Como conseqüência da não validade das condições para análise linear, o princípio da

superposição de efeitos não é válido, isto é, a ordem de aplicação dos carregamentos afeta o

resultado da análise realizada.

5.3 Espaço de tensões de Haigh-Westergaard

O estudo da teoria da plasticidade e dos critérios de falha é facilitado pelo uso de uma

representação geométrica tridimensional do estado de tensões num determinado ponto. A

esta representação dá-se o nome de espaço de tensões de Haigh-Westergaard e sua

aplicação é limitada a materiais isotrópicos. Este espaço define o estado de tensões em cada

ponto e tem como eixos coordenados as tensões principais atuantes neste ponto,

interessando somente os valores das mesmas e não suas direções dentro do corpo (devido à

isotropia). As coordenadas de Haigh-Westergaard são funções da tensão hidrostática, da

tensão de cisalhamento octaédrica e das tensões desviadoras.

5.4 Critério de escoamento para materiais independentes da pressão

hidrostática

O critério de escoamento define o limite elástico de um material submetido a um

determinado estado de tensões. Para materiais isótropos e independentes da pressão

hidrostática, como os metais, por exemplo, a função de escoamento pode ser representada

por:

0,...)k,k,J,(J 2132 =f , (5.1)

onde:

J2 e J3 são o segundo e terceiro invariantes do tensor desviador ou anti-esférico de tensões e

k1, k2 , etc., são constantes do material determinadas experimentalmente.

61

5.4.1 Principais critérios

a) Critério de Tresca:

Foi o primeiro critério de escoamento proposto para metais sujeitos a um estado qualquer

de tensões. De acordo com esse critério, o escoamento ocorre no momento em que a

máxima tensão de cisalhamento num determinado ponto atinge um determinado valor

crítico (metade da tensão de escoamento na tração uniaxial). No espaço de Haigh-

Westergaard, a superfície de escoamento é um prisma de base hexagonal cujo eixo coincide

com o eixo hidrostático;

b) Critério de von Mises:

Embora o critério da máxima tensão de cisalhamento (Tresca) seja simples, ele não

considera nenhuma influência das tensões principais intermediárias. O critério de von

Mises estabelece que o escoamento se iniciará quando a tensão de cisalhamento octaédrica

igualar um determinado valor crítico, função da tensão de escoamento no cisalhamento

puro. No espaço de Haigh-Westergaard, a superfície de escoamento é um cilindro cujo eixo

coincide com o eixo hidrostático.

5.5 Critério de falha para materiais dependentes da pressão hidrostática

O comportamento de diversos materiais não-metálicos, como por exemplo, solos, rochas e

concreto, é caracterizado pela dependência da pressão hidrostática. A forma geral da

superfície de colapso é dada por:

0,...)k,k,J,J,(I 21321 =f (5.2)

ou 0,...)k,k,,,( 21 =θρξf , (5.3)

onde I1 é o primeiro invariante do tensor de tensões e ξ , ρ e θ são as coordenadas de

Haigh-Westergaard.

62

Esta superfície no espaço tridimensional pode ser descrita pela sua seção transversal por um

plano desviador e por dois de seus meridianos. A FIG. 5.1 representa a forma geral da

superfície de falha para um material isotrópico.

5.5.1 Principais critérios

a) Critério da tensão máxima de tração (Rankine):

O material falha no momento em que a maior tensão de tração atinge a resistência à tração

do mesmo. É principalmente utilizado no estudo de materiais frágeis. Muitos materiais não-

metálicos apresentam um comportamento muito diferente à tração e à compressão. O

concreto, por exemplo, tem uma resistência à compressão muito maior do que à tração.

Assim sendo, quando submetido a confinamento e carregamento de compressão, ele pode

até apresentar um comportamento dúctil; já quando submetido a tensões de tração, o

concreto apresenta uma ruptura frágil, brusca. Portanto, de acordo com Chen e Han (1987),

para muitos materiais deste tipo pode ser interessante associar o critério de Rankine com o

de von Mises ou de Tresca, por exemplo, para melhor representar seu comportamento.

FIGURA 5.1 - Forma geral da superfície de falha para um material dependente

da pressão hidrostática: (a) meridianos; (b) seção desviadora

Meridiano de compressão

Meridiano de tração

2=0°

2=60°

0

F2́

c

´F3

´F

2t

1

(a) (b)

63

b) Critério de Mohr-Coulomb:

Pode ser considerado como sendo uma generalização do critério de Tresca. O critério de

falha de Mohr-Coulomb considera que a tensão de cisalhamento limite num determinado

plano é função da tensão normal no mesmo plano, função esta determinada

experimentalmente. No espaço de Haigh-Westergaard, a superfície de falha é uma pirâmide

(devido à dependência da pressão hidrostática) de base hexagonal não regular cujo eixo


c) Critério de Drucker-Prager:

Pode ser considerado como uma generalização do critério de von Mises, acrescentando-se a

consideração do efeito da pressão hidrostática. No espaço de Haigh-Westergaard, a

superfície de falha é um cone (devido à dependência da pressão hidrostática) cujo eixo


A superfície de falha tem a sua forma caracterizada por:

0J.)J,(I 2121 =−+= kIf α (5.4)

ou , 0.2..6),( =−+= kf ρξαρξ (5.5)

onde α e k são constantes do material. Quando α é zero, as superfícies de Drucker-Prager e

de von Mises coincidem. A FIG. 5.2 representa o critério de Drucker-Prager no espaço das

tensões principais.

5.6 Plasticidade de materiais perfeitamente plásticos

Na prática não existe nenhum material que não sofra o processo de encruamento (ou

amolecimento). Porém, para alguns materiais a idealização de um comportamento elástico-

perfeitamente plástico pode ser extremamente vantajosa, principalmente em análises

estruturais mais complexas. Num comportamento perfeitamente plástico a tensão não varia

com a deformação, após o início do escoamento. A superfície de escoamento no espaço de

tensões é considerada imutável, fixa.

64

5.6.1 Critério de carregamento e descarregamento

Seja )ijf(σ a função ou superfície de escoamento (também denominada de função ou

superfície de carga) e ijσ o tensor de tensões em um determinado ponto do corpo. Tem-se:

a) Critério de carregamento:

00 =∂∂

== ijij

ij .dσσf df e ,k)f(σ (5.6)

b) Critério de descarregamento:

00 <∂∂

== ijij

ij .dσσf df e ,k)f(σ (5.7)

5.6.2 Regra de fluxo

A regra de fluxo define, no caso de materiais perfeitamente plásticos, a direção do vetor

correspondente à parte plástica do tensor dos incrementos de deformação total pijdε . Ou

seja, ela define a relação entre as componentes deste vetor. Há dois tipos de regra de fluxo:

FIGURA 5.2 – Superfície de falha para o critério de Drucker-Prager:

(a) plano meridiano (θ=0º); (b) seção desviadora na origem (plano π )

o = 2.k

Ø 3."t

Øc

= 2.ko

k o

F2́F́3

F1́

(a) (b)

65

a) Não-associativa:

A superfície potencial plástica, g( ijσ ), é diferente da superfície de escoamento, f( ijσ ).

fggddij

pij ≠

∂∂

= , .σ

λε (5.8)

b) Associativa:

A superfície potencial plástica, g( ijσ ), coincide com a superfície de escoamento, f( ijσ ). É

utilizada para metais em geral.

fgfddij

pij =

∂∂

= , .σ

λε (5.9)

Nas relações acima, dλ é um escalar infinitesimal. O vetor pijdε é sempre normal à

superfície potencial plástica.

5.6.3 Relação incremental constitutiva na forma geral

kl

ijklijkkijijfCddEdEdσ

λδευυ

υευ

σ∂∂

−−+

++

= ....).21).(1(

..1

, (5.10)

onde ijδ é o delta de Kronecker e ijklC o tensor de rigidez elasto-plástico.

5.7 Plasticidade de materiais encruáveis

Para o estudo de materiais encruáveis, é fundamental a definição do termo superfície de

carregamento. Esta é a superfície de escoamento subseqüente para um material deformado

elasto-plástico, que define a fronteira ou contorno da região elástica atual. Seja um espaço

de tensões relativo a um determinado ponto do material. Se o estado de tensões crescer até

que o ponto que o representa neste espaço de tensões atinja a superfície de escoamento

inicial e continuar crescendo, haverá deformações tanto plásticas quanto elásticas. A cada

etapa de deformação plástica, uma nova superfície de escoamento se formará. Caso o

estado de tensões seja alterado de modo que o ponto que o representa no espaço de tensões

se mova para dentro da nova superfície de escoamento, então só haverá deformações

66

elásticas. Logo, pode-se concluir que o comportamento tensão-deformação de materiais

encruáveis é dependente do caminho de carregamento, ou seja, da seqüência em que este

carregamento é aplicado. As superfícies de carregamento podem ser expressas em função

do estado atual de tensões e deformações plásticas, como abaixo:

0),,( =kf Pijij εσ , (5.11)

onde k é denominado parâmetro de encruamento.

As componentes de um vetor unitário fn normal à superfície de carregamento no espaço de

tensões são definidas por:

2

1

∂∂

⋅∂∂

∂∂=

klkl

ijfij

ff

fn

σσ

σ (5.12)

5.7.1 Critério de carregamento e descarregamento

A partir das definições anteriores, os critérios de carregamento podem ser então definidos.

a) Critério de carregamento:

0d então , 0.n e 0 pij

fij ≠>= εσ ijdf (5.13)

b) Critério de descarregamento:


fij =<= εσ ijdf (5.14)

c) Critério de carregamento neutro:


fij === εσ ijdf (5.15)

67

5.7.2 Regras de encruamento

A regra de encruamento define como a superfície de escoamento se modifica durante o

processo de fluxo plástico, e também define como variam algumas propriedades do

material durante o fluxo plástico. A forma geral da função de carregamento pode ser

apresentada como:

0)(),(),,( 2 =−= pPijij

Pijij kFkf εεσεσ (5.16)

Desta forma, o parâmetro de encruamento 2k representa o tamanho da superfície de

escoamento, enquanto a função ),( PijijF εσ define a forma da mesma.

Materiais encruáveis perdem a isotropia durante as deformações plásticas (exceto se o

encruamento for isotrópico). Devido à perda desta propriedade, a superfície de escoamento

não pode mais ser representada no espaço de Haigh-Westergaard, mas sim, no espaço de

nove dimensões. Diversas regras de encruamento já foram propostas, destacando-se:

a) Encruamento isotrópico:

0)()( 2 =− pij kF εσ (5.17)

Somente o tamanho da superfície de escoamento ou de carregamento varia. Se for utilizado

o critério de von Mises, tem-se:

0)(23),( 2 =−⋅⋅= peijijij sskf εσσ (5.18)

b) Encruamento cinemático:

0)(),( 2 =−−= kFf ijijPijij ασεσ (5.19)

68

Somente a posição da superfície de escoamento ou de carregamento varia (sofre translação

no espaço de tensões). O parâmetro de encruamento agora é constante. Se for utilizado o

critério de von Mises, tem-se:

0)()(23 2 =−−⋅−⋅= oijijijij ssf σαα , (5.20)

onde ijα são as coordenadas do centro da superfície de escoamento. Neste tipo de regra de

encruamento é preciso ainda que se defina a direção na qual ocorrerá a taxa de translação

da superfície de escoamento, d ijα . Pode-se aplicar para este fim a regra de Prager ou a

regra de Ziegler (vide Chen e Han (1987)), por exemplo.

c) Encruamento misto:

0)()(),,( 2 =−−= pijijPijij kFkf εασεσ (5.21)

A posição e o tamanho da superfície de escoamento variam.

5.7.3 Relação incremental constitutiva na forma geral

A partir do exposto, pode-se determinar a relação incremental tensão-deformação na sua

forma geral, com base na regra de fluxo, tipo de superfície de escoamento e regra de

encruamento.

5.8 Metais

Alguns metais podem ser considerados como elásticos-perfeitamente plásticos, como por

exemplo, o aço estrutural comum. Este tipo de aço apresenta fluxo plástico sob um estado

constante de tensões. Porém, os metais mais comuns devem ser modelados com base na

teoria da plasticidade de materiais encruáveis. Podem-se citar como exemplos o alumínio e

o cobre.

69

O efeito da pressão hidrostática no escoamento e na deformação plástica é insignificante.

Tal fato implica que a mudança volumétrica plástica não é significativa, mesmo para

grandes deformações plásticas. Comparações com dados experimentais mostraram que os

critérios de Tresca e de von Mises com ou sem encruamento são os mais adequados para

análise de metais.

5.9 Concreto

A análise de estruturas de concreto tem sido feita principalmente com base na teoria da

elasticidade associada a fórmulas empíricas desenvolvidas a partir de diversos ensaios

experimentais. O resultado deste tipo de análise, no que diz respeito ao dimensionamento

de estruturas de concreto, tem se mostrado eficaz e também necessário, por razões práticas.

Contudo, nos últimos anos tem ocorrido um imenso avanço na área computacional, com o

aparecimento de máquinas mais potentes e velozes. No âmbito da engenharia estrutural, as

análises numéricas, principalmente as relacionadas ao Método dos Elementos Finitos, têm

se mostrado ferramentas poderosas para uma análise mais completa de estruturas em geral.

A modelagem do material concreto, incluindo seu comportamento durante a deformação até

a falha (colapso), está cada vez mais preciso com o uso do Método dos Elementos Finitos e

através de análise inelástica incremental. Características do material, como fissuração,

esmagamento e amolecimento, e até aderência entre o concreto e a armadura, no caso do

estruturas de concreto armado, são agora possíveis de se modelar com certa precisão,

graças a pesquisas realizadas atualmente no mundo inteiro.

5.9.1 Descrição do material e de seu comportamento

O concreto é um material heterogêneo e possui vasta aplicação no ramo da construção civil.

A partir da definição de Ribeiro et al. (2000), o concreto é composto por três compostos

fundamentais: cimento, agregados e água. Aditivos podem ser adicionados à mistura para

melhorar o desempenho do concreto num determinado item. Os agregados se subdividem

em duas categorias: graúdo (brita) e miúdo (areia). Denomina-se argamassa à mistura

contendo cimento (aglomerante), água e agregado miúdo. O traço do concreto (proporção

70

entre seus constituintes) deve ser estudado de modo a atender à resistência, à durabilidade e

à trabalhabilidade desejáveis do mesmo. Apesar da complexa natureza constitutiva do

concreto, nos estudos sobre a modelagem numérica deste material ele é usualmente

considerado, de forma simplificada, um meio contínuo homogêneo e inicialmente

isotrópico.

O concreto possui uma relação tensão-deformação não-linear, podendo ainda ser

caracterizado como um material frágil. Tal comportamento se deve à evolução de micro e

macrofissuras no corpo do material à medida que o carregamento é aplicado. Sabe-se que

mesmo na ausência de carregamento, o concreto já possui um número considerável de

microfissuras em seu interior, principalmente na interface da argamassa com as britas. Estas

microfissuras aparecem com os efeitos da deformação lenta, segregação e expansão térmica

do cimento, por exemplo.

Três fases podem ser distinguidas numa curva característica tensão de compressão-

deformação uniaxial do concreto. A primeira etapa corresponde à faixa de tensão até

aproximadamente 30% da resistência máxima à compressão do concreto, onde as

microfissuras já existentes antes da aplicação do carregamento permanecem praticamente

inalteráveis. É uma fase praticamente elástica linear. Acima deste valor de tensão,

conhecido como limite de elasticidade, até uma tensão de aproximadamente 75% da

resistência máxima, as fissuras começam a aumentar de número, comprimento e largura e,

posteriormente, começam a aparecer fissuras na argamassa. Porém, a propagação de

fissuras é estável. Com isso, o comportamento não-linear do material se estabelece. Esta é a

segunda etapa, onde a curva tensão-deformação apresenta um aspecto curvo. A terceira e

última etapa (acima da tensão de 75% da resistência máxima) caracteriza-se pelo início da

propagação instável de fissuras no concreto. O colapso do concreto se inicia com o

surgimento de um maior número de fissuras na argamassa que, posteriormente, unem-se às

fissuras na interface da argamassa com o agregado graúdo, formando zonas de dano

interno. Finalmente, fissuras aparecem na direção paralela à da aplicação da carga,

resultando na falha do concreto. As etapas descritas também são observadas

qualitativamente em outros casos de carregamento.

71

O concreto à tração apresenta uma resistência baixa e seu comportamento é frágil. Um dos

motivos para tal fato pode ser atribuído à redução da faixa de tensões relacionada à

propagação estável de fissuras no concreto, em relação ao seu comportamento à

compressão. Além disso, a interface entre a argamassa e o agregado graúdo possui uma

resistência à tração muito menor do que a da argamassa.

Com base em ensaios experimentais, percebeu-se que o concreto moderadamente

confinado, sujeito à compressão, apresenta, em termos qualitativos, as mesmas três etapas

já apresentadas para o caso uniaxial, ou seja, as fases linearmente elástica, inelástica e de

deformações localizadas. Além disso, percebeu-se que o concreto apresenta uma certa

ductilidade quando está sujeito a uma pressão de confinamento adicionada à carga de

compressão.

Também por meios de estudos experimentais relacionando a deformação volumétrica do

concreto com um estado de compressão uniaxial ou biaxial, verificou-se que o concreto

apresenta decréscimo de volume até aproximadamente 75 a 90% da tensão última de

compressão. Posteriormente, a tendência é revertida e começa a haver um acréscimo de

volume do concreto. O acréscimo de volume corresponde à fase em que se percebe um

aumento considerável de fissuras na argamassa, isto é, corresponde ao início da fase de

propagação instável de fissuras.

Outro importante aspecto no comportamento do concreto é o fenômeno do amolecimento.

Numa curva uniaxial tensão-deformação, este fenômeno é representado pelo ramo

descendente da mesma após a tensão de pico. Nesta fase, a distribuição de deformações não

é mais contínua. O ramo descendente da curva tensão-deformação não pode ser

interpretado como uma propriedade do material e sim como uma propriedade do modelo

estrutural.

O concreto é sujeito ainda ao fenômeno de degradação da rigidez, quando submetido a

cargas cíclicas. Tal comportamento é mais perceptível após a carga de pico e é relacionado

a alguns tipos de dano, como por exemplo, microvazios e microfissuras no concreto.

72

Por fim, o concreto apresenta certas propriedades reológicas, isto é, propriedades que

variam com o tempo. Como exemplos, podem ser citados a retração, o inchamento e a

deformação lenta do concreto. De acordo com Süssekind (1979), a retração é um fenômeno

independente do carregamento aplicado e pode ser definida como a deformação causada

pela perda por evaporação de água quimicamente dissociada do concreto quando em

contato com o ar. Ocorre então uma redução do volume da peça de concreto, podendo gerar

tensões que causem fissuras no concreto. Já o fenômeno de inchamento é o inverso da

retração. Quando uma peça de concreto é mergulhada na água, o concreto absorve parte

dela, aumentando de volume. Quando determinadas regiões do concreto estão sujeitas a um

carregamento de compressão por um grande período de tempo, ocorre o fenômeno da

deformação lenta, ou seja, uma redução do volume destas regiões.

5.9.2 Modelagem do concreto

Como já comentado, a maior parte dos modelos de concreto faz uso de uma abordagem

macroscópica do mesmo. A abordagem feita pela teoria da plasticidade encontra-se neste

caso. Diversas relações matemáticas para representar a relação macroscópica tensão-

deformação do concreto foram desenvolvidas nestes últimos anos.

A teoria clássica da plasticidade foi desenvolvida para representar o comportamento de

metais. Apesar do concreto comprimido, analisado macroscopicamente, apresentar certas

similaridades com os metais, principalmente na fase antes do colapso, é necessário que

sejam modificadas algumas características fundamentais desta teoria clássica para que o

novo modelo plástico seja adequado para este tipo de material. Tal modelo constitutivo

deve ser capaz de representar o comportamento do concreto não só antes (encruamento),

como também após (amolecimento) sua falha. Adicionalmente, este modelo plástico precisa

incluir uma condição de resistência última (condição de colapso), além de uma superfície

de escoamento inicial, de uma regra de encruamento e de uma regra de fluxo. Também é

necessário incluir a baixa resistência à tração, com a formação de fissuras.

73

5.9.3 Critério de colapso (ou critério de falha)

A forma geral da superfície de colapso do concreto pode ser expressa por:

0)J,J,(I 321 =f (5.22)

A forma explícita da função é obtida por meio de ensaios experimentais. Devido a sua

dependência da pressão hidrostática, a superfície de colapso do concreto apresenta

meridianos curvos. Um carregamento puramente hidrostático de compressão não pode

causar a falha do concreto. A forma da seção em um plano desviador é aproximadamente

triangular para tensões de tração e tensões baixas de compressão e muda para seções quase

circulares à medida que as tensões de compressão aumentam. A FIG. 5.3 ilustra os aspectos

gerais da superfície de colapso do concreto.

FIGURA 5.3 – Características gerais da superfície de falha: (a) meridianos da superfície de

falha; (b) seções em planos desviadores

Com base nestas características principais da superfície de colapso do concreto diversos

critérios de falha foram propostos, sendo classificados pelo número de constantes do

material (parâmetros) presentes na expressão. Os critérios de von Mises (1 parâmetro),

Bresler-Pister (3 parâmetros), Hsieh-Ting-Chen (4 parâmetros), e William-Warnke (5

Meridiano de Tração

Meridiano de Compressão

Meridiano de Cisalhamentoc

s

t

θ=60° θ=30°

ρc

ρs ρt

σ1

σ3σ2

(a) (b)

74

parâmetros) são alguns exemplos. O último é o mais usado como critério de colapso para o

concreto. Ele é comentado em maiores detalhes no capítulo 6.

5.9.4 Modelagem plástica da fase de encruamento do concreto

Diversos modelos do concreto que levam em consideração o efeito de encruamento já

foram desenvolvidos nestes últimos anos. Porém, um dos mais utilizados é o modelo

proposto por Chen, A e Chen, W (1975). Algumas características principais de um modelo

plástico do concreto são:

a) A superfície de escoamento inicial não pode ser considerada como tendo a mesma

forma, proporcionalmente reduzida, da superfície de falha do concreto, pois tal fato

pode conduzir a um valor excessivo (em caso de tensão de tração) e a um valor

reduzido (em caso de tensão de compressão com confinamento) para a deformação

plástica;

b) O tamanho e a forma das superfícies subseqüentes de escoamento devem mudar de

maneira contínua durante o processo de encruamento, desde a superfície inicial de

escoamento até a superfície de colapso do concreto. Han e Chen (1985) e Han e Chen

(1987) apresentam uma regra de encruamento não-uniforme para representar tal

comportamento. Esta regra de encruamento não é isotrópica;

c) Deve-se utilizar uma regra de fluxo não-associativa para se levar em conta o

comportamento de redução/expansão volumétrica durante a deformação plástica. A

regra associativa pode levar a uma expansão volumétrica exagerada para o concreto.

5.9.5 Modelagem plástica da fase de amolecimento do concreto

A fase de amolecimento é caracterizada por uma inclinação negativa da tangente ao

diagrama tensão-deformação uniaxial. No caso de estados triaxiais de tensões, a abordagem

75

mais usual é uma análise conjunta entre a teoria da plasticidade, caracterizando a

deformação plástica, e a teoria da fratura, caracterizando a degradação da rigidez. Este

último fenômeno é considerado como sendo causado principalmente pelas microfissuras. A

formulação desenvolvida num espaço de deformações, ao invés do espaço de tensões, tem

se mostrado uma ferramenta eficaz na combinação destas duas teorias.

76

6

CONSIDERAÇÕES SOBRE O PROGRAMA ANSYS


O ANSYS é um programa comercial desenvolvido pela empresa norte-americana Swanson

Analysis System Inc para análise de problemas diversos por meio do Método dos

Elementos Finitos. Periodicamente, o ANSYS sofre atualizações, incluindo melhorias em

determinados aspectos do programa, assim como é feito na maioria dos softwares

comerciais de dimensionamento de estruturas. Atualmente ele se encontra na versão 6.1.

Porém, os modelos desenvolvidos neste trabalho foram feitos com a versão 5.7.

6.2 Apresentação do programa

6.2.1 Descrição geral

O ANSYS permite a modelagem e a solução de problemas em diversas áreas. São possíveis

análises de problemas estruturais, térmicos (transferência de calor), eletro-magnéticos e

77

fluido-dinâmicos, bem como a interação de alguma destas áreas em um problema

multidisciplinar. No campo estrutural são possíveis análises estáticas, dinâmicas, de

estabilidade de estruturas, entre outras. Além disso, podem ser feitas abordagens não-

lineares, tanto físicas quanto geométricas.

O programa oferece ainda uma interface gráfica com o usuário auto-explicativa, que facilita

muito o pré e o pós-processamento dos modelos. Este é um ponto fundamental para que se

possa desfrutar das facilidades que o programa oferece. Em engenharia estrutural, assim

como em qualquer outro ramo, é essencial que os analistas conheçam o tipo e/ou a

magnitude do resultado a ser obtido com a análise feita em qualquer programa numérico.

Torna-se extremamente perigoso, além de inútil, uma análise equivocada de resultados

numéricos, ou mesmo modelos erroneamente realizados.

Gendron (1997) ressalta, como desvantagem do programa ANSYS, o fato de ele necessitar

de um grande espaço em disco para efetuar análises estáticas. O autor alerta que, apesar dos

programas comerciais atuais oferecerem uma interface gráfica poderosa e facilidades

quanto à modelagem de estruturas, é fundamental o conhecimento do Método dos

Elementos Finitos para que se possa ter segurança quanto aos resultados numéricos obtidos.

Poole et al. (2001) fazem uma descrição detalhada das implementações que o ANSYS tem

feito ao longo de seus mais de 30 anos de história, relativas aos métodos para a solução de

sistemas de equações. Em análises não-lineares, tanto geométricas quanto físicas (relativas

ao comportamento tensão-deformação dos materiais), os autores ressaltam o desafio e a

dificuldade de se criarem novos métodos iterativos para a solução dos modelos numéricos,

devido a sistemas mal condicionados.

6.2.2 Elementos finitos utilizados no trabalho

O ANSYS dispõe de uma vasta biblioteca de elementos finitos. Estes podem ser

unidimensionais, como os elementos de barra, bidimensionais, como os elementos de

placas e cascas, e tridimensionais, como os elementos sólidos. Neste trabalho são utilizados

três tipos de elementos finitos no processo de modelagem dos pilares mistos aço-concreto:

78

SHELL43, SOLID45 e SOLID65. A seguir serão abordadas sucintamente as características

principais destes elementos.

O elemento finito SHELL43 é bidimensional e apropriado para modelar cascas. Ele é

definido por quatro nós, quatro espessuras e pelas propriedades ortotrópicas do material. O

elemento pode ter espessura variável, sendo que neste caso ela é assumida como variando

suavemente na superfície do elemento. O SHELL43 possui seis graus de liberdade em cada

nó (três translações e três rotações em torno dos eixos coordenados). Foram implementados

neste elemento a plasticidade e os efeitos de deformação lenta e stress stiffening (aumento

de rigidez causada pela presença de tensões de tração), além de serem possíveis análises

nos regimes de grandes deslocamentos e grandes deformações. Neste trabalho, o elemento

foi utilizado na modelagem de chapas de extremidade, como também das chapas

correspondentes à alma e às mesas do perfil de aço dos pilares mistos aço-concreto.

O elemento SOLID45 é adequado para modelagem de componentes tridimensionais. Este

elemento finito é definido por oito nós com três graus de liberdade cada um (três

translações na direção dos eixos coordenados) e pelas propriedades ortotrópicas do

material. Assim como o SHELL43, este elemento incorpora a plasticidade e os efeitos de

deformação lenta e stress stiffening, além de permitir análises nos regimes de grandes

deslocamentos e grandes deformações. Neste trabalho, o elemento foi utilizado na

modelagem do concreto nos pilares mistos.

O elemento SOLID65 é o elemento finito ideal para a modelagem do material concreto,

pois ele é capaz de representar o fenômeno de fissuração em regiões tracionadas e de

esmagamento em regiões comprimidas. Assim como o SOLID45, é um elemento finito

tridimensional de oito nós com três graus de liberdade cada um (três translações na direção

dos eixos coordenados), com propriedades isotrópicas do material.

Além do concreto, pode-se também representar com este elemento materiais geológicos,

como rochas, assim como outro material qualquer que tenha baixa resistência à tração e alta

resistência à compressão. É ainda possível representar o concreto armado e outros materiais

79

compostos reforçados, como os de fibra de vidro. Isto se deve à possibilidade de inclusão

de barras de reforço no interior do elemento (no caso do concreto armado, barras de

armadura). É possível utilizar até três direções de barras de reforço, com materiais

diferentes, em cada elemento finito. A orientação de cada barra é estabelecida por meio de

dois ângulos (coordenadas polares) a partir do sistema de coordenadas do elemento. As

barras, por sua vez, devem ser consideradas como diluídas no elemento, e não como

discretas, e permitem levar em conta efeitos de deformação lenta e de plasticidade. Porém,

elas não incluem a capacidade de absorver esforços cisalhantes, somente uniaxiais. O

programa considera aderência total entre o aço da armadura e o concreto. A geometria, a

localização dos nós e o sistema de coordenadas do elemento estão representados na FIG.

6.1.

O elemento SOLID65 permite a inclusão de propriedades não-lineares do material e os

efeitos mais importantes implementados no elemento são: fissuração (em até três direções

ortogonais entre si), esmagamento, plasticidade e deformação lenta (fluência). É possível

considerar os efeitos atuando simultaneamente em uma análise ou optar por uma

combinação mais adequada dos mesmos. Como o elemento é não-linear, deve-se adotar

uma solução iterativa e o carregamento deve ser aplicado de maneira gradual,

principalmente quando os efeitos de esmagamento e fissuração estiverem incluídos, de

modo que as solicitações internas sejam transferidas adequadamente.

Uma discussão mais detalhada a respeito da formulação do elemento finito SOLID65 é

feita no item 6.3.

6.2.3 Modelagem de materiais

Para a representação de um determinado material em um modelo de elementos finitos, o

ANSYS oferece uma ampla possibilidade de escolha referente a modelos constitutivos e até

permite que, em certos casos, seja feita uma combinação de modelos para a caracterização

de um material. Para uma completa definição do material, devem-se fornecer ainda as

propriedades elásticas e inelásticas (caso necessário) dos mesmos.

80

FIGURA 6.1-Elemento SOLID65 do ANSYS

Para o caso de análises estruturais, o programa oferece, por exemplo, as opções de análises

lineares e não-lineares, levando-se em consideração plasticidade, fluência e

viscoplasticidade, entre outras. É possível trabalhar com materiais isotrópicos, ortotrópicos

e anisotrópicos. Dentre as opções implementadas no programa para comportamento

plástico de materiais, algumas podem ser destacadas, como: encruamento cinemático

bilinear, encruamento cinemático multilinear, encruamento isotrópico bilinear,

encruamento isotrópico multilinear e modelo de Drucker-Prager. Com exceção do último

modelo, todos os citados consideram critério de escoamento de von Mises e regra de fluxo

associativa.

Os modelos que assumem encruamento isotrópico desconsideram o efeito Bauschinger,

pois a superfície de carregamento simplesmente se expande uniformemente com o aumento

da deformação plástica. Já o encruamento cinemático considera tal efeito.

O modelo constitutivo de Drucker-Prager utiliza a superfície de escoamento relacionada ao

critério de mesmo nome e assume que o material seja elástico-perfeitamente plástico. A

regra de fluxo pode ser associativa ou não. É necessário fornecer três parâmetros: a coesão,

o ângulo de atrito interno e o ângulo de dilatância. Caso o ângulo de dilatância tenha o

1

3

2

5

6

4

J

I

M N

K

L

P

O

(armadura)

Y

Z

X

x

z

yθ

φ

81

mesmo valor que o de atrito interno, a regra de fluxo será associativa. Assim sendo, no

espaço de tensões, o fluxo plástico ocorrerá na direção normal à superfície de escoamento

(ou superfície de potencial plástico, neste caso). Caso o ângulo de dilatância seja menor do

que o de atrito interno, a regra de fluxo será não-associativa.

6.2.4 Solução numérica

As análises de pilares mistos aço-concreto realizadas neste trabalho são não-lineares.

Portanto, é de suma importância a capacidade do programa solucionar este tipo de

problema, evitando dificuldades de convergência numérica. O ANSYS disponibiliza alguns

recursos numéricos que podem ser utilizados nas análises realizadas.

São quatro as opções de análise: estática com pequenos deslocamentos e/ou deformações

(análise estática linear), estática com grandes deslocamentos e/ou deformações (análise

estática não-linear), transiente com pequenos deslocamentos e/ou deformações (análise

transiente linear) e transiente com grandes deslocamentos e/ou deformações (análise

transiente não-linear). Nas análises não-lineares é importante aplicar a carga (em termos de

forças ou deslocamentos) lentamente, de modo que os esforços sejam corretamente

transferidos para a estrutura. O programa permite que se escolha o número de passos de

carga (load steps), assim como o número de sub-incrementos de carga (substeps) dentro de

cada passo de carga e o número de iterações de equilíbrio em cada passo de carga.

A matriz de rigidez pode ser tratada de três modos distintos durante uma solução numérica,

pelos processos: Newton-Raphson pleno (ou completo), Newton-Raphson modificado e

método da matriz de rigidez inicial. No primeiro método, a matriz de rigidez é atualizada a

cada iteração de equilíbrio; já no segundo, ela é atualizada a cada sub-incremento de carga

(substep); no último processo ela permanece constante para todas as iterações de equilíbrio.

É possível escolher o modo de resolução das equações não-lineares, como por exemplo,

métodos diretos ou iterativos. Alguns outros recursos numéricos, como o line search (usado

com o método de Newton-Raphson), adaptive descent (usado com o método de Newton-

82

Raphson pleno) e o método do comprimento do arco estão disponíveis para auxiliarem em

problemas de convergência numérica, porém nem sempre tais recursos podem ser utilizados

simultaneamente. O recurso adaptive descent é muito utilizado em análises não-lineares

complexas e permite, em muitos casos, uma convergência mais rápida da solução.

A escolha de um critério de convergência apropriado para finalizar as iterações de

equilíbrio é uma etapa fundamental para uma solução incremental eficiente. O programa

continuará a fazer iterações de equilíbrio até que o critério de convergência seja satisfeito

ou até que o número máximo de iterações pré-estabelecido seja alcançado. O programa

permite que este critério de convergência possa ser baseado em critérios de forças,

momentos, deslocamentos ou rotações, por meio da comparação entre uma norma do vetor

de resíduos do modelo estudado e um valor de referência multiplicado por uma tolerância.

São três os tipos de norma de vetor usados para a verificação de convergência: a primeira

realiza a verificação de cada grau de liberdade do modelo separadamente, a segunda é

baseada na soma dos valores absolutos dos resíduos e a terceira corresponde à raiz

quadrada da soma dos quadrados dos resíduos. Neste trabalho foi utilizado o terceiro tipo

de norma mencionado.

6.2.5 Pós-processamento

O programa permite uma imensa variedade de opções no que se refere ao item pós-

processamento. Uma vez que a solução do modelo tenha terminado, é possível visualizar no

modelo os resultados relativos às distribuições de tensões, deformações, deslocamentos,

entre outros, para cada passo de carga, assim como obter listagens dos respectivos valores.

Com base nestes resultados, gráficos tensão-deformação e força-deslocamento podem ser

traçados. Soluções nos nós e nos elementos são disponíveis. É possível ainda fazer

operações matemáticas com os resultados advindos da solução numérica. No caso do

elemento usado para o concreto, por exemplo, podem ser feitos gráficos de fissuração e

esmagamento nos elementos do modelo. O programa permite ainda a visualização dos

resultados em diversos sistemas de coordenadas, como por exemplo, o cartesiano, o

83

cilíndrico e o esférico. Estes são somente alguns exemplos dos recursos disponibilizados

pelo ANSYS.

6.3 Formulação do elemento de concreto

O ANSYS dispõe de um elemento finito próprio para a modelagem de estruturas de

concreto armado, o SOLID65. Este modelo para o concreto é próprio para caracterizar

falhas de materiais frágeis. Uma abordagem inicial já foi feita no item 6.2.2, porém neste

momento apresentar-se-á com maior detalhe sua formulação pelo Método dos Elementos

Finitos.

6.3.1 Comportamento linear

A matriz tensão-deformação [ ]D para uma relação constitutiva ortotrópica, pode ser

definida de maneira geral como sendo a soma das matrizes constitutivas do concreto e do

aço separadamente, ou seja:

[ ] [ ] [ ]irN

1i

Ri

cN

1i

Ri D.VD.V1D

rr

∑∑==

+

−= , (6.1)

onde:

Nr = número de materiais de reforço; RiV = razão entre o volume do material i de reforço e o volume total do elemento.

A matriz constitutiva do concreto

cD é obtida restringindo-se a equação (6.1) para

materiais isotrópicos.

84

[ ]

−

−

−−

−−

⋅−+

=

2ν)2.(100000

02ν)2.(10000

002ν)2.(1000

000ν)(1νν000νν)(1ν000ννν)(1

ν)2.ν).(1(1EDc (6.2)

Onde:

ν = o coeficiente de Poisson do concreto;

E = módulo de Young, ou módulo de elasticidade, do concreto.

Uma hipótese assumida pelo programa é que o material é considerado como sendo

inicialmente isotrópico.

Já a matriz constitutiva do material de reforço i (armadura para o concreto armado) é mais

simples, pois tal material só é solicitado uniaxialmente. Logo, no sistema de coordenadas

da armadura (índice r), tem-se:

[ ]

=

00000000000000000000000000000000000E

D

ri

ir (6.3)

Onde:

i = índice da armadura (ou material de reforço); riE = módulo de Young, ou módulo de elasticidade, da armadura i.

85

Como o sistema de coordenadas neste caso é local e, portanto, cada armadura tem o seu

próprio, para se obter a matriz constitutiva da armadura i no sistema de coordenadas do

elemento, deve-se utilizar uma matriz de rotação baseada nos co-senos diretores da

armadura em questão. Estes co-senos diretores relacionam o sistema de coordenadas local

da armadura ao sistema de coordenadas do elemento.

6.3.2 Comportamento não-linear

Se o modelo analisado for submetido a um determinado carregamento e a solução for

baseada unicamente na região elástica da resposta tensão-deformação do material, então

este será considerado como linearmente elástico e a abordagem a ser seguida foi exposta

acima. Caso a fissuração e/ou esmagamento do concreto devam ser incluídos na análise,

então as matrizes constitutivas devem ser ajustadas correspondentemente. Os itens

seguintes (6.3.3) e (6.3.4) abordam sucintamente como é feita a modelagem para os casos

de fissuração e esmagamento.

6.3.3 Fissuração

O fenômeno da fissuração pode ocorrer em até três direções ortogonais em cada ponto de

integração. A fissuração no programa ANSYS é implementada com um modelo de fissuras

dispersas, ou seja, a fissura é modelada através de uma modificação nas relações tensão-

deformação. Isto é feito através da introdução de um plano de menor resistência na direção

normal à face da fissura.

Outras propriedades do material que podem ser fornecidas são os coeficientes de

transferência de cisalhamento, tanto para fissuras fechadas como abertas. Estes coeficientes

representam a perda de resistência a cisalhamento ao longo da fissura, para cargas

posteriores à de fissuração. A condição da fissura (aberta ou fechada) em um certo ponto de

integração é obtida com base numa determinada deformação, denominada deformação de

fissuração.

86

Barbosa (1997) alerta para o fato de que, como se trata de um modelo de fissuras dispersas,

a energia de fraturamento associada ao critério de ruptura não é levada em consideração.

Tal fato pode levar os resultados obtidos a dependerem da malha considerada.

O ANSYS ainda oferece uma ferramenta para acelerar a convergência da solução do

problema não-linear, quando ocorre uma fissuração. O artifício utilizado é uma relaxação

da tensão de tração, que é utilizada em conjunto com a técnica adaptive descent. Após a

solução ter convergido para o estado de material fissurado, a rigidez na direção normal à

fissura se anula.

6.3.4 Esmagamento

O material é considerado como esmagado em um certo ponto de integração quando, neste

local, ele sofre colapso por compressão uniaxial, biaxial ou triaxial. Considera-se que o

esmagamento é o fenômeno de completa perda da integridade estrutural do material, sendo

desprezada sua contribuição no ponto de integração “esmagado”, para a rigidez do

elemento. Em outras palavras, ao ser atingida a superfície de ruptura do material em um

determinado ponto de integração, este ponto é considerado esmagado e as tensões se

anulam bruscamente, perdendo o material sua resistência.

6.3.5 Amolecimento

O fenômeno do amolecimento do concreto, ocorrido após ter sido atingida a superfície de

falha, não foi implementado no elemento finito SOLID65 e em nenhum outro elemento

disponível na biblioteca do ANSYS, apesar de já existir uma grande quantidade de

publicações em todo o mundo apresentando modelos numéricos incluindo tal

comportamento.

87

6.3.6 Caracterização do material concreto

Oito constantes podem ser utilizadas para caracterizar o material concreto, cinco delas para

definir sua superfície de ruptura (itens a, c, d-f, e-f). Cada uma destas constantes pode ser

definida em até seis temperaturas diferentes. São elas:

a) Resistências à tração e à compressão (valores a serem obrigatoriamente fornecidos pelo

usuário);

b) Coeficientes de transferência de cisalhamento;

c) Resistência à compressão biaxial;

d) Resistência à compressão biaxial para um estado de compressão biaxial superposto a

uma certa pressão hidrostática;

e) Resistência à compressão para um estado de compressão uniaxial superposto a uma

certa pressão hidrostática;

f) Estado hidrostático de tensões referente às duas resistências anteriores (itens d e e).

Os valores assumidos pelo programa para as constantes que não necessitam ser

obrigatoriamente fornecidas (itens c a f) são válidos somente para estados de pressão

hidrostática baixos. É ainda possível desconsiderar a capacidade de esmagamento ou a

capacidade de fissuração do material em uma determinada análise.

6.3.7 Modelo constitutivo e critério de ruptura

Como já comentado, o modelo para o concreto é próprio para caracterizar falhas de

materiais frágeis. Portanto, o programa assume que o material se comporta elasticamente

88

até o momento em que sua superfície de falha é atingida. Então, o material falha

bruscamente. A superfície de ruptura é definida pelo critério de William-Warnke.

O programa permite que se utilize um modelo de comportamento plástico em conjunto com

o modelo do concreto. Caso a superfície de escoamento se encontre no interior da

superfície de falha, ocorrerá um comportamento tensão-deformação não-linear antes da

superfície de falha ser atingida. O cálculo de tensões devido a esta não-linearidade, assim

também como para o caso da fluência ser considerada, é feito antes da verificação de

fissuração e esmagamento do material.

O critério de falha do concreto submetido a um estado de tensões multiaxial pode ser

representado pela relação:

0SF

c

≥−f

, (6.4)

onde:

F = função dependente do estado de tensões principais;

S = superfície de falha (ruptura) expressa em termos do estado de tensões principais e em

termos das constantes a, c, d, e e f, definidas no item 6.3.6;

cf = resistência à compressão uniaxial do concreto.

Se a inequação (6.4) for satisfeita, ocorrerá esmagamento ou fissuração do material.

Ocorrerá fissuração se qualquer uma das tensões principais for de tração e esmagamento se

todas estas tensões forem de compressão.

As funções F e S são obtidas pelo ANSYS com base em quatro regiões relacionando as

tensões principais 1σ , 2σ e 3σ , sendo 32 σσσ1 ≥≥ . Em cada uma delas, F e S são

caracterizadas por funções independentes. Os domínios delimitadores da superfície de falha

do concreto são:

89

a) 320 σσσ1 ≥≥≥ : As três tensões principais são de compressão. Se o critério de ruptura

(6.4) for satisfeito, o material é considerado esmagado naquele ponto;

b) 320 σσσ1 ≥≥≥ : Duas tensões principais são de compressão e uma de tração;

c) 32 0 σσσ1 ≥≥≥ : Duas tensões principais são de tração e uma de compressão;

d) 032 ≥≥≥ σσσ1 : As três tensões principais são de tração.

Para os casos b), c) e d), se o critério de ruptura (6.4) for satisfeito, ocorrerá fissuração em

planos perpendiculares às direções das tensões principais quando for atingida a superfície

de ruptura.

A FIG. 6.2 representa a superfície de falha de William-Warnke no espaço de tensões

principais para estados de solicitação biaxial ou aproximadamente biaxial. Para a

construção da curva considera-se que as tensões principais não-nulas mais significativas

sejam as correspondentes às direções x e y, ou seja, xpσ e ypσ , respectivamente. Três casos

podem ocorrer em um determinado ponto, referentes às condições: zpσ nula, zpσ negativa e

pequena, zpσ positiva e pequena. É possível perceber que, caso as tensões xpσ e ypσ sejam

negativas e a tensão principal na direção z, zpσ , seja positiva e pequena, então a ruptura

será por fissuração numa direção perpendicular à direção de zpσ . Porém, se zpσ for nula ou

negativa e pequena, então a ruptura será por esmagamento.

90

FIGURA 6.2 – Superfície de falha no espaço de tensões principais para estados de

solicitação biaxial ou aproximadamente biaxial

De acordo com Chen e Han (1987), o modelo de William-Warnke é caracterizado por cinco

parâmetros, seus meridianos de tração e compressão são curvos e podem ser expressos por

parábolas da forma:

2t2t10m .a.aaσ ρρ ++= (6.5a)

2c2c10m .b.bbσ ρρ ++= (6.5b)

O valor mσ representa a tensão média ou hidrostática, tρ e cρ são as componentes de tensão

perpendiculares ao eixo hidrostático para valores θ (variável de Haigh-Westergaard) iguais

a 0º e 60º, respectivamente. Os valores dos parâmetros ia e ib (i = 0,1,2) podem ser

obtidos por ensaios experimentais. Porém, como ambos os meridianos devem interceptar o

eixo hidrostático no mesmo ponto ( tρ = cρ =0), tem-se que 0a = 0b . Uma vez determinados

os meridianos, uma certa seção transversal pode ser obtida conectando-se os meridianos por

< 0 (Esmagamento)= 0 (Esmagamento)

zp

> 0 (Fissuração)zp

σzp

σ

σ

cf

σyp

Fissuração

ypσ

Fiss

uraç

ão

cf

σxp

Fissuração

ypσ

xpσ

ft

ft

σxp

xp

ypσ

σ

σ

ypσ

xp

91

curvas elípticas apropriadas. Considerando-se todas as tensões ( mσ , tρ , cρ ) normalizadas

em relação a cf nas relações (6.5a) e (6.5b), a FIG. 6.3 representa os meridianos de tensão

e compressão da superfície de William-Warnke, assim como um esboço de uma seção

genérica em um plano desviador.

FIGURA 6.3- Modelo de William-Warnke: (a) meridianos de tensão e compressão;

(b) seção genérica em um plano desviador

Na FIG. 6.3, o raio ρ(θ) delimitador da elipse da seção desviadora pode ser obtido com

base na simetria da seção em θ =0º e θ =60º e é expresso por:

2222

222222

).2(cos)..(4..4.5cos)..(4)..2.(cos)..(.2

)(tctc

ctttcctctcc

ρρθρρρρρθρρρρρθρρρ

θρ−+−

−+−−+−= (6.6)

As relações (6.5a), (6.5b) e (6.6) definem completamente a superfície de ruptura de

William-Warnke.

Em resumo, o programa considera que o material concreto comporta-se elasticamente até a

superfície de ruptura (William-Warnke). Esta é, por sua vez, somente uma superfície que

Meridiano de compressão

0

2

1

3

-1 -2

f '

5

4

c6

Meridiano de tração

-3 -4

f 'c

-5mσ

θ = 60°

θ = 0°

Curva Elíptica

3σ

c

2σ

1σ

θt

(a) (b)

92

define o colapso do material (por esmagamento ou fissuração) e não um modelo

constitutivo. Caso se adicione um modelo plástico nesta análise, o concreto passa agora a

ter possibilidade de se comportar plasticamente. Então, as seguintes possibilidades de

colapso num determinado ponto submetido a um certo estado de tensões crítico são

possíveis: esmagamento ou fissuração sem ter ocorrido plastificação, plastificação sem

esmagamento e fissuração (desativando-se estas duas possibilidades) e plastificação

seguida de esmagamento ou fissuração.

6.4 Considerações finais

O ANSYS é um programa de elementos finitos amplamente utilizado em todo o mundo,

apresentando uma variedade enorme de opções em termos de elementos, modelagem de

materiais, recursos numéricos e opções de pós-processamento. Apesar disso, ainda existem

inúmeras limitações quanto ao comportamento de certos elementos finitos, principalmente

no âmbito da convergência numérica. Em problemas não-lineares, a eficácia e a rapidez da

solução numérica assumem um papel primordial na análise. Neste trabalho, em muitas

situações foram observadas dificuldades de convergência da solução numérica durante as

análises de pilares mistos, principalmente quando o elemento de concreto SOLID65 foi

utilizado.

93

7

APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS À

ANÁLISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS


O presente capítulo tem como objetivo principal a apresentação de exemplos de aplicação

do Método dos Elementos Finitos a estruturas mistas e a estruturas de concreto. Muitas

aplicações e pesquisas discutidas a seguir, tanto nacionais quanto internacionais, foram

feitas com o auxílio de programas comerciais (principalmente o ANSYS) desenvolvidos

com base no Método dos Elementos Finitos. Comentários, sugestões e hipóteses assumidas

pelos autores destas pesquisas, quanto ao processo de modelagem das diferentes estruturas,

podem ser úteis para estudos numéricos futuros. Especial atenção é dada à modelagem de

estruturas de concreto, pois este material é fundamental para o desenvolvimento de

modelos representativos de estruturas mistas aço-concreto. A partir desta apresentação é

possível ter-se uma idéia do estado da arte da aplicação de recursos numéricos a diversos

problemas estruturais.

94

7.2 Análises de estruturas de concreto

Baber (1991) comentou a respeito das dificuldades numa modelagem precisa do material

concreto, principalmente devido a suas diferentes propriedades na tração e na compressão e

ao seu comportamento não-linear desde aproximadamente o início da curva tensão-

deformação.

Em muitos modelos de elementos finitos para estruturas de concreto armado é necessário o

uso de técnicas numéricas avançadas com o objetivo de se reduzir o tempo de

processamento e aumentar a estabilidade no processo de convergência, principalmente

quando o fenômeno de fissuração é considerado. De acordo com Foster (1992), quando são

utilizados modelos de materiais com comportamento altamente não-linear, dificilmente a

convergência é obtida quando não se usam os métodos conhecidos como aceleradores de

convergência. Ele verifica ainda que os métodos Newton-Raphson e Newton-Raphson

modificado podem se tornar ineficientes na medida em que o grau de não-linearidade do

modelo aumenta. Para vencer tal problema, é sugerido o uso do método chamado

comprimento do arco (arc-length).

Abdollahi (1996a) estudou alguns aspectos relativos a aplicações do Método dos Elementos

Finitos em estruturas de concreto armado. De acordo com ele, a modelagem do fenômeno

da fissuração por meio de fissuras discretas, adotada em diversos modelos numéricos, tem a

vantagem de ser capaz de representar a descontinuidade nas estruturas de concreto, que tal

fenômeno provoca. O autor sugere ainda o uso do método line search para vencer as

oscilações de convergência da solução que podem ocorrer, por exemplo, quando há um

aumento da região na qual as fissuras se propagam. Ele acrescenta o fato de ser essencial,

para um programa de elementos finitos, a oferta de uma ampla e confiável gama de opções

para os critérios de convergência. Estes últimos são fundamentais para a resolução de

problemas não-lineares.

A fissuração é um dos fatores principais causadores do comportamento não-linear das

estruturas de concreto. Sabe-se que o desenvolvimento e a propagação de fissuras, devido à

95

baixa resistência à tração do concreto, é uma das diferenças mais importantes entre a

aplicação do Método dos Elementos Finitos para estruturas de concreto armado e para

estruturas de aço. Por este motivo, diversos modelos numéricos têm sido desenvolvidos

nestas últimas décadas com o fim de se caracterizar mais apropriadamente este fenômeno.

Abdollahi (1996b) comprovou que uma das causas da falta de estabilidade em análises

numéricas utilizando o Método dos Elementos Finitos em estruturas de concreto armado é

relacionada aos procedimentos de modelagem (ou caracterização) do fenômeno de

fissuração, principalmente no caso de modelos de fissuras dispersas. Ele recomenda que um

elemento tridimensional seja utilizado para representar o material concreto e que o método

de Newton-Raphson modificado seja usado quando da inclusão do fenômeno da fissuração.

Uma análise das dificuldades envolvidas na elaboração e aplicação de modelos

constitutivos para o concreto, com base no Método dos Elementos Finitos, foi feita por

Barbosa (1997). São apresentados resultados relativos a diversas análises numéricas de

vigas e lajes de concreto armado, utilizando o programa ANSYS (versão 5.3). Nos modelos

de viga (bi-apoiada com carga distribuída), por exemplo, foram consideradas diferentes

combinações quanto ao modelo de plasticidade adotado para o concreto (von Mises,

Drucker-Prager ou nenhum), quanto à retenção (parcial ou total) de resistência a

cisalhamento, quanto ao modelo do material aço (elástico ou elastoplástico), quanto à

consideração ou não dos fenômenos de fissuração e de esmagamento do concreto, quanto

ao tipo de modelo a ser empregado (tridimensional ou bidimensional) e quanto ao tipo de

representação da armadura do concreto (dispersa ou discreta). Os melhores resultados

foram obtidos para os modelos sólidos em que as seguintes características foram assumidas:

von Mises como modelo plástico do concreto, coeficientes de transferência de cisalhamento

iguais a unidade e modelo elastoplástico do aço. Nestes modelos, a capacidade de

esmagamento do concreto não foi considerada. O autor ainda apresenta as principais

características do comportamento do material concreto e comenta como estas influenciam

na elaboração de modelos constitutivos deste material. São enfatizadas as dificuldades

numéricas observadas durante a aplicação de modelos de concreto, decorrentes

principalmente da não-linearidade do material, incluindo notas sobre critérios de

convergência. Devido a este fato, diversas análises dos mesmos problemas foram realizadas

96

no ANSYS, adotando-se diferentes combinações entre algoritmos para solução não-linear,

número de iterações, aceleradores de convergência e critérios de convergência. O autor

verifica ainda que o modelo de armadura dispersa apresenta maiores vantagens do que o

discreto, pois fornece os mesmos resultados para um número menor de elementos finitos e

possibilita maior liberdade para a discretização.

Shayanfar et al. (1997) apresentaram um estudo a respeito da influência das dimensões do

elemento finito em análises não-lineares de estruturas de concreto. O efeito do tamanho do

elemento em diversos aspectos comportamentais de estruturas de concreto armado foi

discutido, incluindo as características carga-deslocamento e carga-deformação, padrão de

fissuração e carga última.

Um novo modelo para representar a armadura de estruturas de concreto armado e

protendido, em análises não-lineares com elementos finitos, foi apresentado por Arafa e

Mehlhorn (1998). De acordo com esta técnica, a armadura principal é representada por um

modelo discreto independente da malha de elementos finitos de concreto. Já a armadura

secundária (estribos, por exemplo) é representada por um modelo disperso. Além disso, um

elemento de contato com diferentes condições de aderência é usado para representar a

interface entre o concreto e o aço.

Os resultados de análises com elementos finitos são aproximações, sendo então

fundamental o controle do erro do processo numérico. Como o erro exato não é conhecido,

deve-se estimá-lo. Lackner e Mang (1998) discutem um método para estimativa do erro

incremental em análises bidimensionais de estruturas de concreto, incluindo o efeito de

amolecimento causado pela fissuração do concreto.

Um modelo tridimensional de elementos finitos não-linear utilizando o ANSYS (versão

5.6.2) foi feito por Bessason e Sigfússon (2001) com o objetivo de obter curvas carga-

deformação de paredes diafragma de concreto armado para diferentes disposição das

armaduras. Estas curvas foram então utilizadas em análises não-lineares de um edifício

residencial típico de um andar sob o efeito de terremoto. Edifícios como esse são muito

97

comuns em South Iceland Lowland, região que sofre constantes abalos sísmicos. Os efeitos

de deformação lenta, retração e mudança de temperatura influenciam a resposta não-linear

do concreto armado, porém, podem ser desprezadas para análises com cargas sísmicas de

curta duração. No modelo desenvolvido, foi considerada uma aderência perfeita entre a

armadura e o concreto. Para representar o material concreto, o elemento SOLID65 foi

empregado e a armadura considerada diluída nos elementos. Os coeficientes de

transferência de cisalhamento usados foram 1,0 para o estado de fissuras fechadas e 0,1

para fissuras abertas. Os autores verificaram que é possível simular com certa precisão toda

a curva carga-deformação, incluindo sua parte elástica, o início da fissuração, o

esmagamento e o escoamento da armadura. Todavia, a determinação da carga última foi

difícil, pois ela depende da regra de encruamento, do critério de convergência e do método

iterativo considerados. O método de Newton-Raphon foi utilizado, assim como o critério de

convergência com base em deslocamentos.

Fanning (2001) realizou uma modelagem não-linear de vigas de concreto armado e

concreto protendido, com o uso do programa ANSYS (versão 5.5). Comentários a respeito

de considerações e estratégias utilizadas na modelagem foram também feitos. É sugerida a

aplicação de deslocamentos para a aplicação do carregamento nos modelos de elementos

finitos, a fim de se facilitar a convergência numérica. A força de protensão foi modelada

por meio da aplicação de uma deformação inicial nos elementos que representam os cabos

de protensão, em uma etapa de carregamento preliminar. Além disso, os resultados

numéricos obtidos foram comparados com dados experimentais, relativos às respostas

carga-deslocamento das vigas e à carga última. Bicanic et al. (1993) também recomendam

a introdução do carregamento por meio da imposição de deslocamentos (controle de

deslocamentos), pois além de se facilitar o processo de convergência numérica, evita-se a

possibilidade da matriz de rigidez tornar-se singular em algum ponto do diagrama carga-

deslocamento.

Alguns aspectos relacionados à modelagem numérica tridimensional de estruturas de

concreto armado pelo Método dos Elementos Finitos foram analisados por Gomes e

Awruch (2001). Para eles, problemas como a aderência entre a armadura e o concreto não

98

estão ainda completamente resolvidos, principalmente quando o modelo de armadura

dispersa é utilizado. É possível simular a armadura numa estrutura tridimensional de

concreto armado de três formas: por um modelo discreto, por um modelo embutido e por

um modelo disperso. De acordo com os autores, o último modelo citado é mais apropriado

para estruturas de casca ou placa, onde se pode representar um conjunto de armaduras

como uma camada cuja área da seção transversal seja equivalente à das barras. Para o caso

em que o espaçamento da armadura não é uniforme e as barras têm áreas transversais muito

diferentes, por exemplo, os outros modelos são mais adequados. A formulação relativa ao

modelo discreto é muito limitada para modelos tridimensionais, pois as barras são

geralmente modeladas como elementos de treliça ao longo dos nós dos elementos de

concreto. Tal fato pode levar a um tempo computacional mais elevado devido a um

refinamento desnecessário da malha de elementos finitos de concreto e até a erros

numéricos causados por elementos muito distorcidos. Já o modelo de armadura embutida

não restringe a escolha da malha de elementos. O aço é representado como um elemento,

geralmente uniaxial, embutido em um elemento de concreto, admitindo-se que os

deslocamentos de ambos os elementos sejam coincidentes. É possível a modelagem de

armaduras em qualquer direção, até curvas.

O comportamento à flexão de vigas de concreto armado submetidas a uma pré-tensão foi

pesquisado por Padmarajaiah e Ramaswamy (2002). O concreto era de alta-resistência e as

vigas eram reforçadas por fibras de aço. No modelo tridimensional de elementos finitos

feito com o auxílio do programa ANSYS (versão 5.5), as fibras de aço ao longo do

comprimento da viga foram modeladas por elementos de treliça e o concreto pelo elemento

SOLID65. Utilizou-se a simetria do modelo. Os coeficientes de transferência de

cisalhamento foram variados de 0,1 a 0,5 (para fissuras abertas) e de 0,7 a 0,9 (para fissuras

fechadas).

Paula et al. (2002) desenvolveram dois modelos de elementos finitos, para uma viga e uma

laje de concreto armado, utilizando o programa ANSYS (versão 5.7). A viga estudada era

simplesmente apoiada e submetida a cargas concentradas eqüidistantes dos apoios. Já a laje

era quadrada, apoiada nas quatro bordas e submetida a uma carga concentrada no seu

99

centro. Os modelos foram tridimensionais e o elemento escolhido para representar o

material concreto foi o SOLID65, sendo sua capacidade de esmagamento desabilitada e

usando von Mises como critério de escoamento. A armadura foi considerada dispersa e o

mesmo critério de escoamento do concreto foi empregado. Ambos materiais foram

especificados como elasto-plásticos. O algoritmo da rigidez inicial, a convergência com

base na norma de deslocamentos e o acelerador de convergência line search foram

adotados. Os resultados numéricos foram comparados com outros disponíveis na literatura

e também com resultados experimentais. Os autores comentam que ainda não há um

modelo constitutivo completo para o material concreto armado, apesar dos resultados

obtidos terem sido muito bons. Faz-se necessária uma pesquisa maior e inter-

relacionamento entre os ramos da teoria da plasticidade, teoria do dano e mecânica da

fratura.

7.3 Análises de pilares mistos aço-concreto

Bradford e Gilbert (1990) desenvolveram um estudo analítico-computacional de pilares

mistos aço-concreto totalmente revestidos submetidos à carga excêntrica, de modo a incluir

os efeitos de deformação lenta, retração, fissuração e não-linearidade geométrica. É ainda

proposto um método de cálculo para se obter a carga máxima de serviço de pilares esbeltos,

excentricamente solicitados.

El-Tawil et al. (1995) desenvolveram um programa de computador para modelar pilares

mistos aço-concreto totalmente revestidos, pelo Método dos Elementos de Fibra (fiber

element method). De acordo com este método, a seção transversal mista do pilar é

discretizada em pequenas regiões (fibras) e a cada uma delas é associado um modelo

constitutivo de um dado material. No caso, há quatro modelos possíveis: um para o

concreto confinado, um para o concreto não-confinado, um para a armadura e um para a

chapa de aço. Os modelos constitutivos são baseados principalmente na relação tensão-

deformação no sentido longitudinal de cada um dos materiais. Cada uma das pequenas

regiões discretizadas representa uma fibra do material na direção longitudinal ao longo do

pilar. Os pilares foram analisados à flexão uniaxial e biaxial. As resistências obtidas por

100

meio do estudo numérico foram comparadas com as normas ACI-318 (1992) e AISC-

LRFD (1993). Foi verificado que, de maneira geral, o ACI-318 retrata o comportamento

dos pilares mistos de maneira mais real do que o AISC-LRFD. Porém, a precisão relativa

dos resultados previstos depende da razão entre as resistências do aço e do concreto e da

esbeltez do pilar. Além disso, constatou-se que para ambos, pilares curtos e esbeltos, as

resistências previstas pelo ACI-318 foram aproximadamente 9% contra a segurança, em

comparação com os resultados numéricos. Para pilares curtos, as resistências previstas pelo

AISC-LFRD foram até 41% conservadoras, também em comparação com os resultados do

modelo numérico.

Alostaz e Schneider (1996) apresentam um estudo numérico, baseado no Método dos

Elementos Finitos, de uma variedade de detalhes relativos a ligações envolvendo pilares

mistos aço-concreto preenchidos, de seção circular. A análise realizada é importante na

verificação de ligações adequadas para zonas sísmicas. O modelo tridimensional foi

desenvolvido por meio do programa ABAQUS (versão 5.4). Utilizou-se o critério de

escoamento de von Mises e a regra de fluxo de Prandtl-Reuss para os elementos de aço.

Comportamento geométrico não-linear foi considerado para os elementos de concreto e de

aço. Um modelo de fissuras dispersas foi empregado na análise. Tal modelo não tem a

capacidade de prever micro-fissuras individuais, porém ele altera a rigidez e a resistência

associadas a cada ponto de integração. Duas abordagens distintas foram testadas para a

modelagem da interface concreto-perfil de aço do pilar. Na primeira foi utilizado um

elemento de interface característico do programa (apresentou alguns problemas de

convergência) e na segunda uma fina camada de elementos de concreto, só que com

resistência e rigidez pequenas (apresentou melhores resultados). Os autores comentam que,

entre outras vantagens sobre um pilar de concreto armado de seção equivalente, o pilar

misto preenchido de seção circular apresenta maior rigidez, resistência e ductilidade. Além

disso, devido ao confinamento do concreto ao longo do pilar, seu desempenho para cargas

sísmicas também é melhor. Porém, eles ponderam que o uso deste tipo de pilar é limitado,

devido à complexa natureza das ligações viga-pilar e pequena experiência de construção

(na época). Comentário semelhante foi feito por Prion e Boehme (1994).

101

O Centro de Pesquisa Estrutural do Departamento de Transporte da Flórida, Estados

Unidos, desenvolveu um projeto de pesquisa relativo à análise e modelagem de pilares

mistos aço-concreto preenchidos e de pilares de concreto confinados por camadas externas

circulares de fibras. Tal trabalho pode ser encontrado em Shahawy et al. (1998). É

comentado que a camada externa de fibras caracteriza-se por uma grande resistência,

pequeno peso próprio e resistência à corrosão, podendo ser adicionada ao pilar de concreto

sem aumento significativo da seção transversal. Tanto fibras de carbono quanto de vidro

têm sido utilizadas na prática, apesar das primeiras serem mais caras. Já foi verificado que

o comportamento do concreto é muito diferente quando confinado por um material elasto-

plástico (o aço, por exemplo) e quando confinado por materiais linearmente elásticos, como

as fibras. Caso os mesmos modelos numéricos de pilares mistos aço-concreto preenchidos

sejam utilizados para se estimar a resistência dos pilares reforçados por fibras, pode-se

obter uma resistência maior do que a real e um dimensionamento contra a segurança. Os

objetivos principais do projeto são: (i) investigação do comportamento à compressão axial

de amostras de pilares de concreto confinados por camadas de fibras de carbono, com base

em ensaios experimentais previamente realizados pelo departamento e (ii) comparação dos

resultados experimentais com um modelo de elementos finitos, assumindo o modelo de

plasticidade de Drucker-Prager e regra de fluxo não-associativa. O programa de análise

numérica utilizado foi o ANSYS (versão 5.3) e adotou-se o elemento SOLID65 para se

representar o material concreto. A aplicação do carregamento no modelo foi feita a partir da

imposição de deslocamentos.

El-Tawil e Deierlein (1999) desenvolveram um modelo de elementos de fibra de pilares

mistos curtos aço-concreto totalmente revestidos. Neste modelo considerou-se o

comportamento inelástico do aço e do concreto, incluindo os efeitos de confinamento do

último, e assumiu-se que seções planas permanecem planas, o que implica na total

compatibilidade entre os elementos de aço e de concreto na seção transversal mista. O

objetivo era investigar a resistência e a ductilidade dos pilares em função de alguns

parâmetros, como a relação entre a área de aço e a área total da seção mista, a resistência

nominal do concreto à compressão e o confinamento do concreto por uma armadura

especifica para ações sísmicas. Os valores obtidos foram comparados com as previsões das

102

normas ACI-318 (1995), AISC-LRFD (1993) e AISC Seismic Provisions (1997) e

evidenciaram diferenças quanto aos resultados previstos pelas duas normas, ACI-318 e

AISC-LRFD.

Nardin (1999) realizou um estudo numérico-experimental de pilares mistos aço-concreto

preenchidos, a fim de investigar seu comportamento e alguns parâmetros que o

influenciam, tais como a forma da seção transversal e a espessura do perfil de aço.

Aspectos normativos e principais características deste tipo de pilar são comentados e é feita

uma descrição dos componentes (materiais aço e concreto) e do comportamento geral da

seção mista (flambagem, retração, ductilidade, aderência, etc). Os pilares ensaiados foram

submetidos à compressão axial. Foram consideradas seções quadradas, circulares e

retangulares, preenchidas com concreto de alta resistência (50 MPa). A ruptura dos pilares

ocorreu pelo esmagamento do concreto, com posterior flambagem local do perfil em

diversos pontos. A análise numérica foi feita utilizando-se o programa ANSYS (versão

5.4), para seções quadradas, sendo a avaliação e a calibração dos modelos feita com base

nos ensaios. Os pilares preenchidos modelados foram submetidos à compressão axial e

fenômenos importantes, tais como fluência e retração do concreto bem como aderência

entre os elementos de aço e concreto, não foram considerados. O elemento usado para

representar o material concreto foi o SOLID45 e o modelo constitutivo adotado foi

multilinear isotrópico. No caso do aço, um modelo constitutivo bilinear isotrópico foi

assumido (comportamento elasto-plástico perfeito). Ambos os materiais (aço e concreto)

foram considerados isotrópicos e adotou-se, também para ambos, a superfície de

escoamento de von Mises. O carregamento foi aplicado nos modelos através da imposição

de deslocamentos e os pilares foram considerados engastados na base e articulados no topo

(conforme ensaios experimentais realizados). Foram obtidos resultados relativos à

distribuição de tensões axiais no aço e no concreto, além de deformações axiais e

transversais também em ambos os materiais. Os modelos de seção circular não foram

feitos, devido a dificuldades relativas ao processo de modelagem.

Uma análise teórico-numérica utilizando o Método dos Elementos Finitos foi feita por

Liang e Uy (2000) para estudar o comportamento pós-flambagem de chapas de aço em

103

pilares mistos aço-concreto preenchidos, de seção quadrada. Foram investigados os efeitos

de imperfeições geométricas iniciais (através da aplicação de uma pequena pressão lateral

na superfície das chapas), tensões residuais (tratadas como uma pré-carga) e relação

largura-espessura no comportamento pós-flambagem destas chapas. São comentadas as

vantagens dos pilares mistos aço-concreto preenchidos, de seção quadrada, entre elas o

aumento da ductilidade do concreto e o aumento da resistência à flambagem local das

chapas de aço, devido à restrição das mesmas pelo núcleo de concreto. Além disto, há

redução de custos e maior rapidez de construção. Por exemplo, durante a construção de

edifícios altos, os tubos de aço podem ser preenchidos por concreto em níveis mais baixos

enquanto os elementos de aço são montados em níveis mais elevados.

Uma análise numérico-experimental de pilares mistos aço-concreto preenchidos, de seção

quadrada, foi feita por Varma et al. (2000). As 4 amostras ensaiadas eram compostas de

concreto de alta resistência (110,4 MPa) e tubos de aço de 305 mm. Duas resistências

nominais dos perfis de aço foram utilizadas, 317 MPa e 552 MPa, assim como duas

relações largura-espessura, 32 e 48. A análise numérica foi feita a partir do

desenvolvimento de modelos de elementos finitos das amostras ensaiadas, com o auxílio do

programa comercial ABAQUS. Foram considerados no modelo a flambagem local do perfil

de aço, o confinamento do concreto e a ação mista entre o tubo de aço e o núcleo de

concreto. Resultados numéricos foram comparados com dados experimentais e mostraram

boa conformidade.

Um modelo de elementos finitos foi desenvolvido por Han (2001) com o intuito de se

calcular campos de temperatura de pilares mistos aço-concreto preenchidos, de seções

quadradas e circulares, submetidos a fogo. A partir do modelo teórico desenvolvido, é

possível calcular as deformações e a resistência do pilar sob condição de incêndio. Os

resultados obtidos foram comparados com ensaios experimentais e mostraram-se bem

precisos. A influência de parâmetros como a esbeltez e as dimensões dos pilares mistos na

sua resistência ao fogo foi considerável. Porém, outros fatores, como por exemplo, a

relação entre a área de aço e a área de concreto, a excentricidade da carga e as resistências

do concreto e do aço não influíram muito na resistência ao fogo dos pilares.

104

7.4 Análises de estruturas mistas em geral

Elnashai e Elghazouli (1993) e Elghazouli e Elnashai (1993) desenvolveram um modelo

não-linear para a análise de pórticos mistos aço-concreto submetidos a cargas cíclicas. O

estudo teve como base um programa comercial de elementos finitos e foram considerados

não-linearidades geométricas e o comportamento inelástico dos materiais. Além disso, o

efeito de confinamento do concreto e da flambagem local do perfil de aço também foram

incluídos. O modelo proposto foi calibrado e comparado com dados experimentais de

ensaios com cargas cíclicas realizados em um novo tipo de pilar misto parcialmente

revestido. Com base no modelo numérico, realizou-se um estudo paramétrico destes novos

pilares com o objetivo de investigar sua ductilidade.

Até alguns anos atrás, a maior parte dos estudos a respeito do comportamento de ligações

mistas e do desempenho de pórticos mistos era feita em laboratório, com ensaios

experimentais. Nethercot e Ahmed (1996) descreveram a aplicação do programa comercial

ABAQUS (versão 5.3.1) na análise de ligações mistas e pórticos mistos, incluindo o

tratamento dos efeitos de resistência parcial e ligação semi-rígida. Tal abordagem provou

ser de grande importância para a análise de diversos fatores que influenciam no

comportamento das ligações como, por exemplo, o efeito da razão força cortante-momento,

que não poderia ser determinado somente a partir de ensaios experimentais. Além disso,

devido ao enorme número de variáveis que afetam o comportamento de uma ligação mista

(viga de aço, pilar, tipo de carregamento, número de linhas de parafusos, tipo e quantidade

de conectores de cisalhamento, etc) não seria economicamente viável o estudo do problema

somente com ensaios experimentais. Com base numa abordagem via Método dos

Elementos Finitos é ainda possível a obtenção da história carga-deformação para cada um

dos elementos considerados.

Um novo método numérico para avaliar o comportamento mecânico de ligações a

cisalhamento em estruturas mistas aço-concreto foi proposto por Kalfas e Pavlidis (1997).

A abordagem proposta foi baseada no Método dos Elementos Finitos e levou em

consideração o comportamento linear e não-linear dos materiais. A partir da análise

105

numérica foi possível obter curvas força-deslocamento relativas aos conectores de

cisalhamento. Resultados numéricos foram comparados com dados experimentais e

mostraram boa conformidade.

Migliozzi (1997) realizou um estudo numérico de ligações parcialmente rígidas viga-pilar

em pórticos, utilizando o programa comercial ANSYS (versão 5.3). Uma parte da análise

foi sobre ligações mistas aço-concreto e foram comparados aspectos econômicos de ambos

os tipos de construção (mista e não mista), partindo-se dos resultados numéricos obtidos.

Foi enfatizado o fato de que qualquer modelagem de sistemas estruturais começa com uma

representação adequada de seus componentes. Isto permite que uma representação mais

realista da estrutura seja feita e, por conseguinte, dimensionamentos mais econômicos e

seguros sejam desenvolvidos. Nos modelos numéricos utilizou-se um elemento de mola

não-linear para representar as ligações parcialmente rígidas. O comportamento não-linear

destas ligações (ou a sua curva momento-rotação) pode ser representado por este elemento

de mola. Efeitos de segunda ordem também foram incluídos.

Vigas mistas aço-concreto têm sido amplamente utilizadas, principalmente em pontes e

construções de edifícios. Um elemento essencial em uma viga mista é a ligação a

cisalhamento entre a viga de aço e a laje de concreto. É esta ligação que garante a ação

conjunta de ambos os materiais, ou seja, a ação mista da viga. Não é possível realizar um

ensaio experimental que englobe as numerosas variáveis que podem influenciar o

comportamento de um conector de cisalhamento. Portanto, Oguejiofor e Hosain (1997)

utilizaram o ANSYS para prever a capacidade de carga de tais conectores.

Schiller et al. (1997) desenvolveram a formulação de um modelo tridimensional de

elementos finitos de pórticos mistos compostos de pilares mistos aço-concreto preenchidos,

de seção quadrada ou retangular, e de vigas de aço em perfil I laminado. Esta formulação

foi verificada a partir de um grande número de ensaios experimentais. O modelo do pilar

misto preenchido inclui o deslizamento entre o aço e o concreto, além do comportamento

não-linear dos materiais e todas as não-linearidades geométricas. A partir da formulação

proposta, é possível conduzir estudos paramétricos para se determinar a importância de

106

certos fatores no comportamento dos pilares mistos, tais como a geometria da seção

transversal, por exemplo. Além disso, a resistência última, a ductilidade e os

comportamentos monotônico e cíclico dos pórticos também podem ser avaliados por meio

deste modelo proposto. Foi demonstrado que o deslizamento entre o aço e o concreto nos

pilares mistos influencia pouco a resposta global dos pórticos mistos.

Com base em estudos de simulações numéricas do comportamento não-linear de estruturas

mistas aço-concreto, Menrath et al. (1998) apresentaram novos modelos constitutivos para

o concreto e os elementos da interface. É feita uma análise numérica, via Método dos

Elementos Finitos, de vigas mistas aço-concreto compostas por uma laje de concreto acima

de uma viga de aço, cujos elementos são ligados na interface por conectores.

Veljkovic (1998) desenvolveu um estudo numérico-experimental do comportamento de

lajes mistas aço-concreto. Utilizou um programa comercial de elementos finitos para

modelar uma laje mista em duas dimensões. Nas simulações numéricas, a não-linearidade

dos materiais e um modelo de fissuras discretas do concreto foram incluídos. Neste modelo,

a fissura é modelada como uma descontinuidade geométrica e a fissuração ocorre ao longo

de um caminho pré-estabelecido: ao longo dos lados dos elementos. No estudo paramétrico

feito, a principal variável estudada foi a transferência do cisalhamento horizontal entre a

fôrma de aço e o concreto. Os resultados obtidos demonstraram a importância da fissuração

do concreto, pois ela influencia muito a distribuição do cisalhamento horizontal entre

ambos os materiais.

Um conjunto de universidades e instituições na Inglaterra (University of Edinburgh,

Imperial College of Science, Technology and Medicine, British Steel, Building Research

Establishment e Steel Construction Institute) desenvolveu um projeto de pesquisa com o

objetivo de realizar ensaios experimentais de pórticos mistos aço-concreto submetidos à

condição de incêndio e, assim, desenvolver um método de dimensionamento. O estudo em

questão pode ser encontrado em Usmani et al. (2000). A análise de tais estruturas sob fogo

é um problema altamente não-linear e complexo no ramo da termo-mecânica e, portanto,

foi necessário o uso de um programa de elementos finitos, no caso o ABAQUS, para se

107

modelar as vigas, lajes e pilares. Os princípios e objetivos básicos do projeto foram: (i) a

identificação e representação adequada dos principais mecanismos de carregamento; (ii) a

representação precisa da rigidez da estrutura e das restrições; (iii) a avaliação da influência

de algumas variáveis importantes nos modelos feitos, por meio de um estudo

parametrizado; (iv) validação qualitativa e quantitativa dos modelos por resultados

experimentais e (v) consistência dos resultados numéricos com os princípios mecânicos e

estruturais fundamentais. São apresentados e comentados os passos essenciais na

construção de qualquer modelo de elementos finitos, como a discretização da estrutura em

elementos finitos, os tipos de elementos e modelos dos materiais utilizados, as condições de

contorno, a aplicação do carregamento e a escolha do tipo de análise a ser desenvolvida.

Em relação aos modelos dos materiais, foi incluída na análise a degradação das

propriedades do concreto e do aço com a temperatura. Além disso, é ressaltado que, em

problemas estruturais que consideram a ação de temperaturas elevadas, é importantíssimo

que seja considerada a não-linearidade geométrica.

A Universidade de Helsinki (Technische Universität Helsinki), Finlândia, iniciou no ano de

1999 uma pesquisa composta de ensaios experimentais e modelagem numérica de

elementos de aço submetidos a temperaturas elevadas, assim como da modelagem de

estruturas mistas aço-concreto sob condição de incêndio. Modelos de materiais sob a ação

de fogo, baseados em ensaios experimentais, foram utilizados para se determinar a

capacidade de carga de estruturas em condição de incêndio. Mäkeläinen et al. (2001)

apresentam um relatório que discute um método desenvolvido para a análise de pórticos de

aço e pórticos mistos aço-concreto expostos a um incêndio localizado. Modelos numéricos

foram feitos com base no programa comercial de elementos finitos ABAQUS (versão 5.7).

Outra possibilidade proposta foi a utilização simultânea de dois programas comerciais, no

caso o ANSYS e o ABAQUS. Ao longo do relatório são apresentados e discutidos alguns

modelos de elementos finitos, tais como: viga mista aço-concreto (modelo tridimensional),

pórtico de aço (modelo bidimensional), viga de aço (modelo bidimensional) e pórtico misto

aço-concreto (modelo tridimensional). Foi destacado o fato de que quando um elemento

estrutural está submetido a um aumento considerável de temperatura, como o que ocorre no

caso de incêndios, seu comportamento sofre a influência dos elementos ao seu redor

108

pertencentes à estrutura como um todo, que podem estar ou não submetidos ao fogo. Além

disso, o comportamento estrutural do sistema como um todo é geralmente melhor do que o

de um elemento estrutural isolado, devido à redistribuição de solicitações, por exemplo. A

importância de uma análise via Método dos Elementos Finitos reside neste fato. Como

Usmani et al. (2000) já comentaram, estudos que incluem cargas térmicas geralmente

fazem com que a análise numérica se torne altamente não-linear, pois nestes casos as

propriedades dos materiais dependentes da temperatura devem ser consideradas, assim

como os efeitos de segunda ordem induzidos pela expansão térmica. Foi ainda destacada a

importância de terem sido realizadas análises com um grau de complexidade crescente, pois

o sistema final desejado é bastante complexo. Deste modo, erros em geral são evitados e a

influência de cada variável no comportamento da estrutura é mais bem avaliada.

7.5 Análises de outros sistemas estruturais

Al-Oraimi e Seibi (1995) promoveram um trabalho experimental com concreto de alta

resistência reforçado por fibras de vidro e fibras naturais (folhas de palmeira). Foi

observado que as fibras naturais exibiram uma resposta semelhante à das fibras de vidro, no

que se refere ao melhoramento das propriedades mecânicas e resistência ao impacto do

concreto. Um modelo bidimensional de viga de concreto foi feito utilizando-se o ANSYS

(versão 5.0) para se estudar o comportamento à flexão do concreto reforçado por fibras.

Bahaari e Sherbourne (1996) e Sherbourne e Bahaari (1996) desenvolveram um modelo de

elementos finitos utilizando o ANSYS (versão 4.4) para estudar o comportamento de

ligações parafusadas entre vigas com chapas de extremidade e pilares de aço. Nesta

pesquisa, constatou-se a importância do uso de pequenos passos de carga em casos em que

há não-linearidade física, com o propósito de se caracterizar a história de carregamento

real. Foi ainda pesquisado o comportamento interativo entre a mesa e a chapa de

extremidade nas ligações. Além disso, foi destacado o fato de que uma das vantagens de se

utilizar um modelo de elementos finitos ao invés de um modelo matemático ou mecânico é

a possibilidade que o primeiro nos dá de monitorar facilmente e de maneira completa o

comportamento força-deslocamento.

109

Materiais na forma “sanduíche” são atualmente utilizados na engenharia civil e na

indústria, especialmente nos campos de transporte (automotivo, aeronáutico, naval e

ferroviário). Uma estrutura “sanduíche” é composta de três camadas, duas delas rígidas que

trabalham como membranas, e uma central mais espessa, caracterizada por baixas rigidez e

densidade e submetida em geral a solicitações transversais de cisalhamento. Manet (1998)

usou diferentes modelos de elementos finitos utilizando o ANSYS (versão 5.2) para obter

deslocamentos e tensões em vigas “sanduíche” simplesmente apoiadas, submetidas a uma

pressão uniforme. Cada viga era composta de duas camadas externas de alumínio e de uma

camada central, cujo material variou de uma viga para outra.

Mais de 50% das pontes nos Estados Unidos foram construídas antes de 1940. Atualmente,

o estado de conservação destas estruturas não é bom, surgindo então a necessidade de se

desenvolver métodos seguros e econômicos para repará-las e aumentar a sua vida útil.

Tedesco et al. (1999) apresentam uma análise, por meio de um programa comercial de

elementos finitos, do reforço externo de uma ponte de concreto armado por laminados de

fibras de plástico. Estudos estáticos e dinâmicos foram conduzidos para as condições antes

e após o reforço. Tais laminados têm sido muito usados em obras de reparação, substituindo

as tradicionais chapas de aço, devido ao seu fácil manuseio, resistência à corrosão, pequeno

peso próprio e alta resistência.

Uma série de problemas de natureza não-linear relacionados a estruturas de aço, analisados

e resolvidos pelo Método dos Elementos Finitos, foi apresentada por Vasek (1999). Os

estudos foram feitos com o auxílio do programa ANSYS e todos são caracterizados por

não-linearidades da geometria e dos materiais. Entre as análises realizadas, tem-se o estudo

do comportamento de vigas I com imperfeições na alma. O autor ressalta o fato de que as

análises via elementos finitos são cada vez mais necessárias e importantes para a resolução

de problemas complexos (com imperfeições na geometria, por exemplo).

As ligações parafusadas, de acordo com Bahaari e Sherbourne (2000), especialmente as que

envolvem chapas de extremidade, têm sido amplamente utilizadas na prática, pois elas

necessitam de menor supervisão e menor tempo de montagem do que as ligações soldadas.

110

Porém, o comportamento estrutural de tais ligações, assim como seu dimensionamento, são

relativamente complexos, principalmente nos casos em que grandes esforços estão

envolvidos. Os autores estudaram, via Método dos Elementos Finitos, o comportamento de

ligações parafusadas de chapas de extremidade com mesas de pilares de aço. A partir da

análise numérica tridimensional feita com o auxílio do ANSYS (versão 4.4), é possível

observar a interação entre a chapa e a mesa, além da distribuição de tensões e

deslocamentos.

Kermanidis et al. (2000) realizaram uma análise numérica, usando o programa ANSYS, do

estado de tensões em ligações parafusadas de chapas, submetidas a um carregamento

incremental de tensão no plano das chapas. O estudo feito é tridimensional e um modelo

para representar a progressão do dano (fratura) foi incorporado à analise pelo ANSYS,

através de uma rotina. Tal modelo tem como objetivo a implementação de uma análise de

falha e degradação das propriedades dos materiais. A ligação consistia de duas chapas,

sendo uma de alumínio e outra de um laminado composto, feito de camadas de fibras

unidirecionais. Os contatos entre as chapas, entre o parafuso e as chapas e entre o parafuso

e o furo também foram modelados, por meio de elementos de contato. A resistência última

da ligação pôde então ser obtida, assim como uma representação precisa do campo de

tensões desenvolvido ao redor do parafuso.

Duas universidades americanas (California Polytechnic State University e Oregon State

University) financiadas pelo Departamento de Transportes de Oregon e pela Administração

das Rodovias Federais, desenvolveram um projeto em 2001 que consistia no

desenvolvimento de modelos lineares e não-lineares de elementos finitos para a análise de

uma ponte de concreto armado que tinha sido reforçada por laminados de fibras. Kachlakev

et al. (2001) apresentam este projeto. Os programas comerciais de elementos finitos

SAP2000 e ANSYS (versão 5.5), este último principalmente, foram utilizados para modelar

algumas vigas (semelhantes às vigas transversais da ponte em questão) nas situações antes

e depois do reforço por fibras. Modelos de elementos finitos para a ponte também foram

desenvolvidos e analisados, para ambas as situações acima. Para o caso das vigas, foram

realizados ensaios experimentais em escala real e os resultados foram comparados com os

111

numéricos. Já os resultados dos modelos de elementos finitos da ponte foram comparados

com medições in-situ realizadas na estrutura, porém somente para respostas após o reforço

da mesma. Tanto nos ensaios quanto nos modelos numéricos das vigas, estas foram

divididas em dois grupos: as vigas reforçadas por fibras de carbono e as reforçadas por

fibras de vidro. Nas análises feitas pelo ANSYS adotou-se o modelo de fissuras dispersas e

utilizou-se o elemento SOLID46 para modelar os compostos de fibras e o elemento

SOLID65 para modelar o concreto, sendo sua capacidade de esmagamento desconsiderada

devido a problemas numéricos. A armadura foi representada por um modelo discreto

(elemento LINK8). O modelo do aço da armadura foi assumido como sendo bilinear

isotrópico (elástico-perfeitamente plástico) e o do concreto como sendo multilinear

isotrópico. Foi considerada aderência total entre os elementos da armadura (LINK8) e do

concreto (SOLID65) e entre estes últimos e os elementos dos compostos de fibras

(SOLID46). Para tal, os nós dos respectivos elementos foram compartilhados.

Karadelis e Omair (2001) realizaram uma análise elasto-plástica de uma ligação entre um

perfil de aço de seção quadrada e uma chapa de aço, utilizando o programa ANSYS (versão

5.5). O modelo desenvolvido foi tridimensional, incluía não-linearidade geométrica

(possibilidade de ocorrência de grandes deslocamentos) e o encruamento considerado foi o

isotrópico.

112

8

ANÁLISE NUMÉRICA DE PILARES MISTOS AÇO-CONCRETO

PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS


O presente capítulo tem como objetivo principal a modelagem de pilares mistos aço-

concreto através do programa de elementos finitos ANSYS (versão 5.7). Diversos modelos

são apresentados e discutidos, no que se refere à forma de modelagem, critérios de

convergência adotados, modelos constitutivos e tipos de elementos finitos utilizados para

caracterizar os materiais (aço e concreto armado), forma de aplicação do carregamento,

consideração ou não de fenômenos como fissuração e esmagamento do concreto, entre

outros. A flambagem (ou instabilidade global) dos pilares é analisada em alguns modelos.

Na interface aço-concreto os nós de ambos os materiais coincidem, ou seja, a aderência

entre ambos é assumida como sendo total. Apesar do deslizamento relativo entre o aço e o

concreto não ter sido considerado na modelagem, sabe-se que as tensões de cisalhamento

na interface são importantes na determinação da necessidade ou não do uso de conectores,

levando-se em consideração a resistência fornecida por atrito e aderência.

113

8.2 Modelos de pilares mistos submetidos à flexo-compressão, utilizando-

se o elemento SOLID45 para o concreto

Neste item são apresentados modelos de pilares mistos aço-concreto parcialmente

revestidos submetidos a um carregamento combinado de compressão e flexão, sendo o

material concreto armado modelado pelo elemento elasto-plástico SOLID45 do ANSYS.

Este elemento finito não é capaz de representar os fenômenos de fissuração e esmagamento

do concreto. As armaduras (longitudinais e transversais) do concreto armado também não

podem ser modeladas por meio deste elemento.

Dois tipos de análise incremental são feitos:

a) Análise considerando somente a não-linearidade física. As tensões últimas do aço

e do concreto resultantes do estudo numérico são comparadas com as tensões obtidas por

meio da plastificação total da seção, desprezando-se o concreto tracionado;

b) Análise considerando tanto a não-linearidade física quanto a geométrica. A

resistência do pilar misto é comparada com a prevista pela NBR 14323 (1999).

8.2.1 Escolha da relação entre a resistência à tração (ftk) e a resistência à compressão

(fck) do concreto

Nos exemplos analisados utiliza-se uma resistência à tração do concreto quatro vezes

menor do que sua resistência à compressão. A necessidade de uma relação tão alta entre as

resistências à tração e à compressão pode ser explicada através do cone de Drucker-Prager

no espaço de tensões de Haigh-Westergaard. Dois cones correspondentes a duas diferentes

razões entre as resistências à tração e à compressão do concreto estão mostrados na FIG.

8.1. Nota-se que na FIG. 8.1a o cone é muito aberto para ftk=fck/20, o que não permite um

bom resultado na análise numérica quando se utiliza o critério de falha de Drucker-Prager,

devido a efeitos irreais de confinamento. Tais efeitos correspondem a grandes resistências à

compressão em uma das direções principais com baixíssimas tensões de compressão nas

114

outras duas direções. Logo, deve-se aumentar a razão entre as resistências a fim de que

melhores resultados sejam obtidos (FIG. 8.1b).

(a) 201

=ck

tk

ff

(b) 41

=ck

tk

ff

FIGURA 8.1 – Cones de Drucker-Prager para diferentes razões ck

tk

ff

8.2.2 Dados inicias

Nos itens a seguir, os dados comuns aos pilares analisados são:

kN/cm 5,0

41

kN/cm 2

2,0kN/cm 2200

kN/cm 25

3,0kN/cm 20500

2

22

2

2

=⋅=

=

=

=

=

==

cktk

ck

concreto

concreto

y

aço

aço

ff

fE

f

E

υυ

Um esboço da geometria do pilar misto, assim como do carregamento aplicado, são

mostrados na FIG. 8.2.

8.2.3 Resistência nominal da seção mista pela NBR 14323 (1999)

Neste exemplo a flambagem não é considerada.

a) Resistência do concreto à plastificação total pela força normal (Nc)

Nc = Ac.fck (8.1)

115

Onde:

Nc = resistência da seção de concreto à plastificação total pela força normal;

Ac = área da seção transversal do concreto;

fck = resistência do concreto à compressão.

Tem-se: 2

c cm 353,3(18,4.0,8) - 2.(20.0,8)(20.20)A =−=

kN 707 Nc =∴= 353,3.2Nc

b) Resistência da seção mista à plastificação total pelo momento fletor (Mpl,R)

Nas expressões a seguir:

d = altura da seção de aço;

b = largura da seção de aço;

tf = espessura da mesa;

tw = espessura da alma.

2

).Z-(Z).Z-(ZM cncanaRpl,ck

yf

f += (8.2)

4

.).2().(.Z 2a

wfff

ttdtdtb −+−= (8.3)

32a cm 912,374

48,0.)8,0.220()8,020.(8,0.20Z =−+−=

4.Z

2

c aZdb−= (8.4)

32

c cm 088,1625912,3744

20.20Z =−=

Supondo que a linha neutra plástica corte a alma:

[ ]).(2.2.2.b.N

hckywck

cn fftf −+= (8.5)

116

[ ] cm 5061,4)225.2.(8,0.22.20.2

707hn =−+

=

Como cm 2,92

8,0.220h n =−

< , então a linha neutra plástica corta a alma (OK)

).(Z 2an nw ht= (8.6)

32an cm 2439,16)5061,4.(8,0Z ==

)).((Z 2cn nw htb −= (8.7)

32cn cm 8548,389)5061,4).(8,020(Z =−=

Logo,

22389,8548).(1625,088516,2439).2(374,912Rpl,M −+−=

kN.cm 10200Rpl,M =

NOTA: o ponto Ns=Nc, MR=Mpl,R corresponde ao ponto A da curva simplificada de

interação momento fletor-força normal, da NBR 14323 (FIG. 8.3).

c) Tensões aσ e bσ no topo do pilar, correspondentes ao par Nc e Mpl,R (FIG. 8.2)

- Propriedades geométricas das chapas de extremidade do pilar (no modelo de elementos

finitos são usados os planos médios das chapas):

cm 38420.19,2A 2==

32

cm 12296

20.(19,2)W ==

Então:

122910200

384707,

, mm ==W

MA

N Rplcbaσ (8.8)

117

2kN/cm 46,6−=aσ (tração)

2kN/cm 14,10=bσ (compressão)


8.2.4 Análise da seção mista pelo Método dos Elementos Finitos, utilizando-se o

programa ANSYS (versão 5.7)

a) Modelo

σσ

σ σ

Vistas laterais

Seção A_A Perspectiva do pilar

Nc

SN

A

Mpl,R MR

FIGURA 8.2 – Geometria e carregamento do pilar misto (dimensões em mm)

118

Utilizam-se elementos de casca elasto-plásticos SHELL43 para representar a seção de aço.

Para tais elementos é adotado o critério de escoamento de von Mises com encruamento

isotrópico. O aço é considerado como material elástico com encruamento linear, com

módulo tangente igual a 1/10000 do módulo elástico, para evitar problemas numéricos

relacionados a um fluxo de escoamento irrestrito.

Para os elementos SOLID45 usados para o concreto, é adotado o critério de Drucker-

Prager, sendo sua superfície circunscrita à superfície hexagonal de Mohr-Coulomb.

Considera-se o concreto como material elástico-perfeitamente plástico. A regra de fluxo

aplicada a ambos os materiais (aço e concreto) é a associativa.

De acordo com a teoria da plasticidade, determinam-se as constantes c e φ , do critério de

Mohr-Coulomb:

114m

φφ

sensen

ff

tk

ck

−+

=== (8.9)

o36,8699=φ

1

.c.cos22φφ

senfck −

== (8.10)

2kN/cm 0,5 MPa 5 ==c

Neste modelo somente é considerada a não linearidade física; a simetria em relação aos

planos XY e XZ é levada em consideração na construção do mesmo (FIG. 8.2).

O carregamento (força normal e momento fletor) é aplicado por meio de uma carga

trapezoidal distribuída no topo do pilar, com valores finais baseados nas tensões σa e σb

determinadas anteriormente. A excentricidade (relação M/N = Mpl,R/Nc = 14,427 cm) é

suposta constante e a força normal é considerada variando de .25,0 Nc até 1,6.Nc. Os

incrementos de força normal aplicados são obtidos com base em uma progressão

119

geométrica de razão menor que 1. A FIG. 8.4 mostra o modelo de elementos finitos

utilizado, composto de 2048 elementos SOLID45 e 640 elementos SHELL43.

(a) Elementos de concreto (b) Elementos de aço

FIGURA 8.4 – Modelo de elementos finitos

b) Resultados

- Variação do deslocamento horizontal máximo com a força normal excêntrica, para H = 60

cm (FIG. 8.2)

De acordo com a FIG. 8.5, o pilar entra em colapso para uma força normal excêntrica da

ordem de 950 kN. A TAB. 8.1 apresenta a lista de dados a partir dos quais a FIG. 8.5 foi

gerada, sendo N = 937,04 kN o último valor da força normal para o qual houve

convergência na análise.

FIGURA 8.5 – Força normal N (kN)X Deslocamento Ux (cm)

120

- Deformações e tensões no concreto para forças normais de 751,26 kN (passo 6) e 937,04

kN (passo 9)

Os resultados apresentados a seguir são relativos à seção do pilar contida no plano de

simetria XY (vide FIG 8.2).

As deformações do concreto na FIG. 8.6a correspondem à força N = 751,26 kN (passo de

carga 6), próxima à resistência teórica (707 kN). Pode ser observado que as deformações de

compressão do concreto estão dentro dos limites previstos na NBR 6118 (1978), de 0,2% a

0,35%.

Na FIG. 8.6b são mostradas as deformações do concreto correspondentes a N = 937,04 kN

(passo 9), último valor para o qual houve convergência. As deformações de compressão

obtidas (ε máx≅ 1,70%) estão bem acima dos limites previstos.

As tensões no concreto na FIG. 8.7a correspondem à força N = 751,26 kN. Já é possível

perceber um efeito de confinamento do concreto na região próxima à junção da alma com a

mesa do perfil de aço; a tensão de compressão atinge aproximadamente 4,7 kN/cm2 (acima

do valor fck2kN/cm 2= ).

Na FIG. 8.7b são apresentadas as tensões no concreto correspondentes a N = 937,04 kN e

pode ser notado um grande efeito de confinamento (tensões da ordem de 10 vezes o valor

de fck – vide Chen e Han (1987)).

N (kN) Ux (cm) N (kN) Ux (cm)

176,64 0,118978E-01 751,26 0,810266E-01

328,55 0,221302E-01 822,73 0,116358

459,19 0,311637E-01 884,19 0,220427

571,55 0,395158E-01 937,04 0,492700

668,17 0,550187E-01

TABELA 8.1 – Dados relativos à FIG. 8.5

121

(a) (b)

FIGURA 8.6 – Deformações do concretoε z para (a) N= 751,26 kN; (b) N = 937,04 kN

(a) (b)

FIGURA 8.7 – Tensões no concreto σz para (a) N = 751,26 kN; (b) N = 937,04 kN

Como já comentado, o modelo utilizado nesta análise não prevê fissuração nem

esmagamento do concreto, pois o elemento usado para representar o concreto foi o

SOLID45. Por isso, a análise feita pelo ANSYS conduziu a deformações finais (passo de

carga 9) muito acima daquelas permitidas pela NBR 6118. Logo, a carga de colapso da

seção mista deve ser considerada como sendo aquela correspondente à situação em que as

deformações do concreto estão dentro dos limites estabelecidos pela norma.

122

- Tensões no aço para forças normais de 751,26 kN (passo 6) e 937,04 kN (passo 9)

Estas tensões são mostradas na FIG. 8.8a e na FIG. 8.8b, respectivamente, notando-se que

no passo de carga 6 as tensões máximas de tração e compressão estão próximas do limite de

escoamento do aço (25 2kN/cm ), confirmando a carga de colapso baseada no concreto. O

critério de von Mises foi atendido mesmo no passo 9.

(a) (b)

FIGURA 8.8 – Tensões no aço σz para (a) N = 751,26 kN; (b) N = 937,04 kN

8.2.5 Resistência do pilar misto, considerando-se o fenômeno de flambagem

Estuda-se um pilar bi-rotulado de altura H = 6000 mm.

a) Resistência nominal à compressão do pilar misto (NR) pela NBR 14323 (1999)

Nas expressões a seguir:

Aa = área do perfil de aço;

Ac = área da seção de concreto;

Ia = momento de inércia da seção de aço;

Ic = momento de inércia da seção de concreto.

(a) (b)

123

ckcyaRpl, .α.A.AN ff += (8.11)

2

a cm 46,7(18,4.0,8)(20.0,8).2A =+=

2c cm 353,3A =

2y cmkN 25=f

85,0=α 2

ck cmkN 2=f

kN 17692.3,353.85,025.7,46N Rpl, =+=

43

cm 996712

)4,18).(8,020(=

−=cI

( ) ( ) 4323

cm 336612

4,188,02.4,02

4,18).8,0.20(128,020 =⋅+

++⋅=aI

cc

caa IEIE ..8,0.(EI)e

+=

γ (8.12)

Considerando cγ = 1,35:

2e kN.cm 819970159967

35,122008,03366.20500(EI) =⋅⋅+=

A carga de flambagem de Euler é (considerando-se o pilar bi-rotulado):

2

2

).().(

LkEI

N ee

π= (8.13)

kN 2248)600.1(

)81997015.(2

2

==π

eN

124

Então:

89,0887,022481769, ≅=

=

=

e

Rpl

NN

λ (8.14)

Na curva b da NBR 8800 (1986), obtém-se o coeficiente ρ : 670,0=ρ

A resistência à compressão do pilar misto é, portanto:

1769.670,0. , == RplR NN ρ (8.15)

NR = 1185 kN

É assumida uma excentricidade e (imperfeição inicial) igual ao comprimento do pilar

dividido por 280. Este valor para a imperfeição é menor do que o estabelecido pelo

Eurocode 4 (1992):

210pilar do ocomprimente =

Isto é feito porque a imperfeição considerada neste exemplo (excentricidade constante da

força normal) é mais desfavorável do que a prevista pelo Eurocode (curvatura do pilar).

Logo,

143,2NM

normal Forçafletor Momento cm 143,2

280cm 600

==∴==e cm

b) Análise pelo ANSYS

Os dados de entrada são os mesmos descritos no item 8.2.4, alterando-se apenas a altura H,

a excentricidade e a faixa de variação da força normal excêntrica, agora de N.25,0 R até

1,1. N R. O modelo de elementos finitos é composto de 2880 elementos SOLID45 e 1472

elementos SHELL43.

125

c) Resultados

- Variação do deslocamento horizontal máximo com a força normal excêntrica

De acordo com a FIG. 8.9, a resistência do pilar misto é aproximadamente 1100 kN, muito

próxima do valor previsto pela NBR 14323 ( kN 1185N R = ). A TAB. 8.2 apresenta a lista

de dados a partir dos quais a FIG. 8.9 foi gerada.

N (kN) Ux (cm) N (kN) Ux (cm)

305.08 0.433181 1063.5 2.32177

527.80 0.830447 1081.5 2.39990

690.39 1.17897 1094.6 2.45914

809.09 1.47362 1104.2 2.50394

895.74 1.72051 1111.2 2.54261

959.01 1.92536 1116.3 2.58264

1005.2 2.09006 1120.0 2.63233

1038.9 2.22015

TABELA 8.2 – Dados relativos à FIG. 8.9

FIGURA 8.9 – Força normal N (kN) X Deslocamento Ux (cm)

(análise de 2ª ordem)

126

- Deformações e tensões no concreto para força normal de 1120 kN (passo 15)


simetria XY (vide FIG. 8.2).

As deformações do concreto na FIG. 8.10a correspondem à força N = 1120 kN (passo de

carga 15), próxima à resistência teórica (1185 kN). Pode ser observado que as deformações

de compressão do concreto estão dentro dos limites previstos pela NBR 6118 (1978), de

0,2% a 0,35%.

Na FIG. 8.10b são apresentadas as tensões no concreto correspondentes a N = 1120 kN.

Pode ser percebido um pequeno efeito de confinamento do concreto na região próxima à

junção da alma com a mesa do perfil de aço, pois a tensão de compressão atinge

aproximadamente 2,5 kN/cm2 (acima do valor 2kN/cm 2=ckf ).

Mais uma vez é importante ressaltar que o modelo utilizado nesta análise não prevê

fissuração nem esmagamento do concreto, pois o elemento usado para representar o

concreto foi o SOLID45. Apesar disto, a deformação máxima do concreto obtida pelo

ANSYS (passo de carga 15) está abaixo do limite permitido pela NBR 6118.

(a) Deformaçõesε z (b) Tensões σz

FIGURA 8.10 – Deformações e tensões no concreto para N = 1120 kN

127

- Tensões no aço para força normal de 1120 kN (passo 15)

Estas tensões são mostradas na FIG. 8.11, notando-se que a tensão máxima de compressão

está próxima do limite de escoamento do aço (25 2kN/cm ).

8.3 Modelos de pilares mistos submetidos à flexo-compressão, utilizando-



revestidos submetidos a um carregamento combinado de compressão e flexão, sendo o

material concreto armado modelado pelo elemento SOLID65 do ANSYS. Este elemento

finito é capaz de representar os fenômenos de fissuração e esmagamento do concreto, assim

como as armaduras (longitudinais e transversais) do concreto armado.

Dois tipos de análise incremental são feitos:

a) Análise considerando somente a não-linearidade física. As tensões últimas do aço

e do concreto resultantes do estudo numérico são comparadas com as tensões obtidas por

meio da plastificação total da seção, desprezando-se o concreto tracionado;

FIGURA 8.11 – Tensões no aço σz para N = 1120 kN

128

b) Análise considerando tanto a não-linearidade física quanto a geométrica. A

resistência do pilar misto é comparada com a prevista pela NBR 14323 (1999) e pelo

AISC-LRFD (1999).

8.3.1 Dados inicias

Nos itens a seguir, os dados comuns aos pilares analisados são:

kN/cm 1547,0

kN/cm 2

2,0kN/cm 2885

kN/cm 50

3,0kN/cm 20500

kN/cm 25

3,0kN/cm 20500

2

2

2

2

2

2

2

=

=

==

=

==

=

=

=

tk

ck

concreto

concreto

sy

s

s

y

aço

aço

f

f

E

f

E

f

Eυ

υυ

NOTAS:

- Observar que neste caso o valor de ftk usado é mais real do que o considerado quando da

utilização do SOLID45, que foi 1/4 fck (item 8.2.2). Isto se deve ao fato da superfície de

William-Warnke ser mais adequada para prever o confinamento do concreto;

- O índice s refere-se às propriedades do aço da armadura do concreto armado, composta de

4 φ 8.0 mm.

A obtenção da resistência à tração e do módulo de elasticidade do concreto é feita a partir

da norma EC4 (1992), como a seguir: 3kN/m 24γ =c

⋅+=

24γ

0,70,3 cη (8.16)

0,1=η

η.).(21,0 32cktk ff = (quantil de 5%) (8.17)

MPa 547,11.)20.(21,0 32 ===tkf

21

31

24)8.(9500

⋅+= c

ckconcreto fEγ

(8.18)

231 kN/cm 28851.)820.(9500 =+=concretoE

129

Um esboço da geometria do pilar misto analisado nos exemplos, assim como do

carregamento aplicado ao sistema, são mostrados na FIG. 8.12.

FIGURA 8.12- Carregamento e geometria do pilar misto (dimensões em mm)

8.3.2 Resistência nominal da seção mista pela NBR 14323 (1999) e pelo AISC-LRFD

(1999)

Neste exemplo a flambagem não é considerada.

a) Resistência do concreto à plastificação total pela força normal (Nc)

Nc = Ac.fck.α (8.19)

Onde: α = 0,85

Tem-se:

22

c cm 366,64

.(0,8)4-(19,2.0,8) - 2.(20.0,8)(20,8.20)A =−=π

kN 623,3 Nc =∴= 85366,6.2.0,Nc

σσ

σσ

Vistas laterais

Seção A_A Perspectiva do pilar

130

b) Resistência da seção mista à plastificação total pelo momento fletor (Mpl,R)

Rn,Rmáx,Rpl, MM M −= (8.20)

2.Z .Z .ZM ck

pcyspsypaRmáx,αfff ++= (8.21)

2.Z .Z .ZM ck

pcnyspsnypanRn,αfff ++= (8.22)

)-.(hb.4

.).2( 2pa ff

wf tt

tthZ +−= (8.23)

4

1.Zps ∑

==

iesiA i (8.24)

Z- Z-4.Z pspa

2

pchb

= (8.25)

cm 7280,393)8,08,20.(8,0.2048,0.)8,0.28,20(Z 32

pa =−+−=

Como

=

=

cm 5,74

)8,0.( 2

iesiA π

, tem-se:

cm 15,07964

)8,0.()5,7).(4(Z 32

ps ==π

cm 1754,392415,0796-393,7280 -4

)8,20.(20Z 32

pc ==

Supondo que a linha neutra plástica corte a alma ( fn2hh t−≤ ):

snA = 0 (soma das áreas da armadura dentro da região de altura 2.hn)

)..(2.2..2.b.)..2.(N

hcky wck

ck cn αα

αfftf

ffA sysn

−+−−

= (8.26)

131

cm 2901,4)85,0.225.2.(8,0.285,0.2.20.2

3,623h n =−+

=

Como cm 6,98,02

8,20h n =−< e cm 5,7h n < , a linha neutra plástica corta a alma e não há

barras de armadura dentro da região de altura 2.hn.

).(Z 2pan nw ht= (8.27)

32

pan cm 7240,14)2901,4.(8,0Z ==

4

1.Zpsn ∑

==

ieA zisni (8.28)

0Zpsn =

Z- Z-.Z psnpan2

pcn nhb= (8.29)

32

pcn cm 3752,3537240,14)2901,4.(20Z =−=

Logo,

kN.cm 4,668285,0.23752,35325.7240,14M Rn, =+=

kN.cm 4,12088285,0.23924,175450.0796,1525.7280,393M Rmáx, =++=

4,6684,12088M Rpl, −=

kN.cm 11420Rpl,M =

132

NOTA: a título de comparação, é feito o cálculo da resistência da seção mista à

plastificação total pelo momento fletor (Mpl,R), com base no método simplificado do AISC-

LRFD (1999).

yw1

´c

yw2yrr

r2ypn ..A

.h1,7..A

2h..A

3)2.C(hZ.MM f

ffff

−+

−+== (8.30)

Onde:

Aw =19,2.0,8 = 15,36 cm2

Z = Zpa = 393,7280 cm3

Cr = 2,5+0,4 = 2,9 cm

h1 = 20 cm

h2 = 20,8 cm

fy = 25 kN/cm2

Ar = π (0,8)2 = 2,0106 cm2

fyr = 50 kN/cm2

α.´ckc ff = = 2.0,85 = 1,7 kN/cm2

Logo,

== pn MM 11788 kN.cm (próximo do valor de Mpl,R obtido pela NBR 14323)

c) Resistência da seção mista à plastificação total pela força normal de compressão (Npl,R),

com base na NBR 14323 (1999)

yssckcy aRpl, .A.α.A.AN fff ++= (8.31)

2

a cm 47,36)8,0.2,19()8,0.20.(2A =+=

2s cm 01,2A =

2c cm 6,663A =

133

2y cmkN 25=f

2 ys cmkN 50=f

85,0=α 2

ck cmkN 2=f

Então:

kN 1908N Rpl, =

d) Obtenção da curva de interação força normal (N)-momento fletor (M)

Com base nas normas NBR 14323 (1999) e AISC-LRFD (1999) são calculados diversos

pontos da curva de interação força normal-momento fletor do pilar misto em questão. Os

pontos dados na TAB. 8.3 são obtidos com base nos valores de Mpl,R, Npl,R e Nc já

determinados, isto é:

=

=

=

kN 623,3N

kN 1908N

kN.cm 11420M

c

Rpl,

Rpl,

As curvas de interação das normas mencionadas são apresentadas a seguir:

- Curva de interação pelo AISC-LRFD

Para 2,0NN

Rpl,

≥ :

1M

M98

NN

Rpl,Rpl,

=

⋅+ (8.32)

134

Para 2,0N

N

Rpl,

< :

1MM

2.NN

Rpl,Rpl,

=

+ (8.33)

- Curva de interação pela NBR 14323

Obtida pela equação de interpolação linear:

cRpl,

Rpl,Rpl,

NN)NN.(M

M−

−= (8.34)

No item 8.3.3 mais duas colunas serão acrescentadas a esta tabela, contendo os dados

obtidos via análise numérica com o ANSYS. Os pontos obtidos serão também apresentados

em forma de gráfico.

NBR 14323 (1999) AISC-LRFD (1999)

N (kN) M (kN.cm) N (kN) M (kN.cm)

1910 0 1910 0

1540 3270 1540 2480

1080 7360 1080 5570

623 11420 623 8650

0 11420 382 10280

311 10490

0 11420

TABELA 8.3 – Pontos da curva de interação

135

8.3.3 Análise da seção mista e obtenção da curva de interação para flexo-compressão

pelo Método dos Elementos Finitos, utilizando-se o programa ANSYS (versão 5.7)

a) Modelo

Utilizam-se elementos de casca elasto-plásticos SHELL43 para representar a seção de aço.

Para tais elementos é adotado o critério de escoamento de von Mises com encruamento

isotrópico. O aço é considerado como material elástico com encruamento linear, com

módulo tangente igual a 1/10000 do módulo elástico, para evitar problemas numéricos

relacionados a um fluxo de escoamento irrestrito. Tanto o aço dos perfis metálicos quanto o

da armadura são modelados, sendo que o primeiro possui uma resistência ao escoamento de 2

y cmkN 25=f e o segundo de 2 ys cmkN 50=f .

Para os elementos SOLID65 usados para o concreto armado, utiliza-se um material com

encruamento isotrópico multi-linear (MISO), assumindo-se uma resistência do concreto de

0,85.(2) = 1,7 2cmkN (correspondente a uma deformação de 0,2%). No diagrama tensão-

deformação adota-se um aumento adicional total de 0,05 2cmkN na tensão, até a

deformação de 0,4%, para que sejam evitados problemas relacionados ao fluxo de

escoamento irrestrito. São considerados os valores de 0,2 e 0,6 para os coeficientes de

transferência de cisalhamento do material concreto, para fissuras abertas e fechadas,

respectivamente. Neste tipo de comportamento (MISO), o critério de escoamento é o de

von Mises. A capacidade de esmagamento do elemento de concreto é desabilitada. As

curvas tensão-deformação dos aços (perfil e armadura) e do concreto são mostradas na FIG.

8.13.

Neste modelo somente é considerada a não linearidade física; a simetria do modelo

estrutural em relação ao plano YZ (FIG. 8.12) é levada em consideração na construção do

mesmo, sendo 2H = 60 cm.

136

(a)

(b) (c)

FIGURA 8.13 - Diagramas tensão-deformação: (a) concreto; (b) aço estrutural; (c) aço

da armadura.

As armaduras longitudinal e transversal utilizadas são:

- Longitudinal (direção x, conforme FIG. 8.12): 4 φ 8.0 mm;

- Transversal (direções y e z, conforme FIG. 8.12): φ 6.0 mm @ 20 cm.

Para a determinação dos pontos da curva de interação força normal-momento fletor, o

carregamento é aplicado por meio de uma carga trapezoidal distribuída numa chapa de aço

no topo do pilar. As tensões correspondentes à carga distribuída são:

137

W

MA

N Rplcba

,, m=σ (8.8)

Onde as propriedades geométricas das chapas de extremidade do pilar são:

cm 40020.20A 2==

32

cm 1333,36

20.(20)W ==

NOTA: a planicidade da chapa de extremidade é garantida pelo comando CERIG, que gera

uma região com movimento de corpo rígido.

Devido a dificuldades de convergência, encontradas principalmente nos casos em que a

tração causada pelo momento no pilar é considerável, o carregamento é aplicado em duas

etapas distintas. A primeira etapa é caracterizada pela aplicação de passos incrementais de

força normal de compressão, até que o valor final desejado para esta força seja atingido. Na

etapa posterior, o momento fletor é aplicado, também em passos incrementais, mantendo-se

a força normal final constante. Os incrementos de força normal aplicados são de 10 kN e os

de momento fletor, de 100 kN. Somente para o caso referente ao ponto (N;M)=(0;M) é

usado um incremento para momento fletor de 30 kN, exatamente pelas dificuldades de

convergência já anteriormente expostas. A FIG. 8.14 mostra o modelo de elementos finitos

utilizado, composto de 192 elementos SOLID65 e 160 elementos SHELL43.

Nas diversas análises realizadas para a determinação de alguns pontos da curva de

interação, dois critérios de convergência foram utilizados: um baseado em forças e outro

(b) Elementos de aço (a) Elementos de concreto


138

baseado em momentos. A norma do vetor para a verificação de convergência é a raiz

quadrada da soma dos quadrados dos resíduos. O critério baseado nos momentos mostrou-

se mais adequado para as análises numéricas correspondentes a pontos com força normal

pequena e, conseqüentemente, momento fletor grande.

b) Resultados

- Curva de interação força normal (N)-momento fletor (M)

Com base nas normas NBR 14323 (1999) e AISC-LRFD (1999) foram calculados diversos

pontos da curva de interação do pilar misto estudado, conforme apresentado no item 8.3.2.

Estes pontos são mais uma vez mostrados na TAB. 8.4, em conjunto com os valores

obtidos pela análise numérica via programa ANSYS (coluna “ANSYS”). As deformações

de compressão do concreto nestes pontos ficaram acima dos limites previstos pela NBR

6118 (1978), de 0,2% a 0,35%. Portanto, outros cinco pontos são considerados a partir do

ANSYS, desta feita observando-se os limites de deformação do concreto previstos na

norma (coluna “ANSYS – Limitação de deformações”).

Na FIG. 8.15 são mostradas quatro curvas de interação, obtidas com base em ambas as

normas e por meio da análise via Método dos Elementos Finitos. É possível notar que a

curva do ANSYS com limitação das deformações do concreto encontra-se bem próxima da

NBR 14323 (1999) AISC-LRFD (1999) ANSYS ANSYS

Limitação de deformações

N (kN) M (kN.cm) N (kN) M (kN.cm) N (kN) M (kN.cm) N (kN) M (kN.cm)

1910 0 1910 0 2020 0 1960 0

1540 3270 1540 2480 1540 3100 1540 2800

1080 7360 1080 5570 1080 6100 1080 5400

623 11420 623 8650 600 9200 600 8300

0 11420 382 10280 0 10050 0 8550

311 10490

0 11420

TABELA 8.4 – Pontos da curva de interação (incluindo análise numérica)

139

curva da norma AISC-LRFD. A curva da NBR 14323, em comparação com as demais

curvas, resulta em valores menos conservativos para o par força normal-momento fletor.

Como já comentado, para pequenos valores de força normal aplicada, o processo de

convergência numérica tornou-se mais difícil (trecho tracejado nas curvas do ANSYS). Tal

fato pode ser explicado observando-se que, para a faixa de força normal aplicada em

questão, o momento fletor provoca tração em uma região considerável da seção transversal.

O elemento finito utilizado para representar o concreto armado não se comporta tão bem

nesta situação. Portanto, o útimo ponto obtido pelo ANSYS (N;M) = (0;8550), com

limitação de deformações do concreto, está aquém do esperado (0;11420). A resistência da

seção mista à plastificação total pelo momento fletor puro (Mpl,R) obtida pelo ANSYS e

pelas normas diferem, por conseguinte, de 25%.

- Deformações e tensões no concreto e no aço


simetria YZ (FIG. 8.12) e correspondem ao ponto (N;M) = (1080;5400), escolhido

arbitrariamente.

FIGURA 8.15 – Curvas de interação força normal (N)-momento fletor (M)

Curvas de interação NxM

0

500

1000

1500

2000

2500

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

M (kN.cm)

N (k

N)

NBR 14323

AISC-LRFD

ANSYS

ANSYS - Limitação deDeformações

140

As deformações do concreto são mostradas na FIG. 8.16a. Pode-se observar que as

deformações de compressão do concreto estão dentro dos limites previstos pela NBR 6118

(1978), de 0,2% a 0,35%.

Na FIG. 8.16b são apresentadas as tensões no concreto. Pode-se perceber que a tensão de

compressão máxima é de aproximadamente 1,7 kN/cm2 (igual à resistência última do

concreto considerada na análise numérica).

As FIG. 8.17a e FIG. 8.17b mostram as deformações e as tensões no aço, respectivamente.

Com base nas tensões no aço mostradas na FIG. 8.17b, nota-se que a tensão máxima de

compressão está próxima do limite de escoamento do aço (25 2kN/cm ) e que ainda não

ocorreu escoamento na tração.

(a) Deformaçõesε x (b) Tensões σx FIGURA 8.16 – Deformações e tensões no concreto para N = 1080 kN e M = 5400 kN.cm

141

Os valores de deformações na alma do perfil de aço são apresentados na FIG. 8.18.

8.3.4 Resistência do pilar misto, considerando-se o fenômeno de flambagem

Estuda-se um pilar bi-rotulado de altura H = 6000 mm.

(a) Deformaçõesε x (b) Tensões σx FIGURA 8.17 – Deformações e tensões no aço para N = 1080 kN e M = 5400 kN.cm

FIGURA 8.18 – Deformações ε x na alma do perfil de aço para N = 1080 kN e M = 5400 kN.cm

142

a) Resistência nominal à compressão do pilar misto (NR) pela NBR 14323 (1999)

cc

cssaa I

EIEIE ..8,0..(EI)e

++=

γ (8.35)

Onde:

422

cm 113)5,7(4

)8,0.(4 =

⋅⋅=

πsI

43

cm 1121212

)2,19).(8,020(=−

−= sc II

( ) ( ) 4323

cm 367412

2,198,04,02

2,19).8,0.20(128,0202 =⋅+

++⋅⋅=aI

cγ = 1,35

2e kN.cm 9680186711212

35,128858,0)113.(20500)3674.(20500(EI) =⋅⋅++=

A carga de flambagem de Euler é (considerando-se um pilar engastado na base e livre na

outra extremidade, com metade da altura do pilar bi-rotulado):

2

2

).().(

LkEI

N ee

π= (8.13)

kN 2654)300.2(

)96801867.(2

2

==π

eN

Então:

85,0848,026541908, ≅=

=

=

e

Rpl

NN

λ (8.14)

Na curva b da NBR 8800 (1986), obtém-se o coeficiente ρ : 695,0=ρ

143

A resistência à compressão do pilar misto é, portanto:

1908.695,0. , == RplR NN ρ (8.15)

NR = 1326 kN

NOTA: a título de comparação, é feito o cálculo da resistência à compressão do pilar misto

(NR), com base no método simplificado do AISC-LRFD (1999).

craRN FA .= (8.36)

Onde:

aA = área da seção do perfil de aço;

crF = tensão de flambagem.

Raio de giração da seção mista:

cm 81,8 cm 81,8

36,473674

AI

cm 24,68,20.3,0=∴

==

=

≥ m

a

am rr

Tensão de escoamento equivalente:

⋅+

⋅+=

a

cck

a

sysymy A

Afc

AA

fcff .. 21 (8.37)

22

kN/cm 38,3436,476,366)85,0.2.(6,0

36,47)8,0.(50.7,025 =

⋅+

⋅+=π

myf

NOTA: utiliza-se o valor de α.ckf no lugar de ckf , para que a resistência do pilar obtida

pela norma possa ser comparada com a resistência via análise numérica, onde também se

usa α.ckf .

144

Módulo de elasticidade equivalente:

⋅+=

a

ccam A

Ac E.EE 3 (8.38)

2kN/cm 2496636,476,3662885.2,020500E =

⋅+=m

Parâmetro de esbeltez equivalente:

m

my

mc

fr

KLE.

⋅

=

πλ (8.39)

804,024966

38,3481,8.

600=⋅

=π

λc

Como 804,0=cλ <1,5 :

mycr f.θ658,0F

= (8.40)

2)(θ cλ= (8.41)

646416,0)804,0(θ 2 ==

Então:

2kN/cm 23,2638,34.0,646416)658,0(F =

=cr

Logo,

kN 1242)23,26.(36,47N ==R (valor um pouco menor do que o obtido pela NBR 14323).

É assumida uma excentricidade e (imperfeição inicial) igual ao comprimento do pilar

dividido por 280. Este valor para a imperfeição é menor do que o estabelecido pelo

Eurocode 4 (1992):

145

210pilar do ocomprimente =

Isto é feito porque a imperfeição considerada neste exemplo (excentricidade constante da

força normal) é mais desfavorável do que a prevista pelo Eurocode (curvatura do pilar).

Logo,

143,2NM


280cm 600

==∴==e cm

A título de comparação, também é analisada uma excentricidade e (imperfeição inicial)

igual ao comprimento do pilar dividido por 500.

Logo,

2,1NM


500cm 600

==∴==e cm

b) Análise pelo ANSYS

Os dados de entrada são os mesmos descritos no item 8.3.3. Usa-se um incremento da força

normal de 10 kN. Portanto, com base neste passo de carga, a força normal e o momento

fletor aplicados no pilar misto crescem proporcionalmente, numa razão de e = 2,143 cm.

Durante a análise numérica, utiliza-se um critério de convergência baseado nos momentos,

com a norma de vetor para a verificação de convergência correspondente à raiz quadrada da

soma dos quadrados dos desequilíbrios. O modelo de elementos finitos é composto de 960

elementos SOLID65 e 736 elementos SHELL43.

146

c) Resultados

- Resistência à força normal, com excentricidade e = 2,143 cm

As resistências do pilar misto estimadas pelas normas NRB 14323 (1999) e AISC-LRFD

(1999), levando-se em conta o fenômeno de flambagem, são comparadas com a obtida via

análise numérica pelo Método dos Elementos Finitos.

De acordo com a FIG. 8.19, a resistência do pilar misto é aproximadamente 1080 kN

(último passo de carga convergido). As deformações de compressão do concreto estão

dentro dos limites previstos pela NBR 6118 (1978), de 0,2% a 0,35%. Os erros relativos

entre este valor e os previstos pelas normas estão mostrados abaixo. A norma AISC-LRFD

apresenta uma resistência mais próxima da obtida pela análise numérica.

-ANSYS ( kN 1080N R = ) e NBR 14323 ( kN 1326N R = ): 18,6%;

-ANSYS ( kN 1080N R = ) e AISC-LRFD ( kN 1242NR = ): 13,0%

FIGURA 8.19 – Força normal N (kN) X Deslocamento Uy (cm) (e = 2,143 cm)

147

A FIG. 8.20 reúne as curvas de interação força normal-momento fletor já discutidas com

uma curva (“2ª ordem e=2,143 cm”) baseada numa análise de segunda ordem, relacionando

a força normal aplicada (N) com o momento igual ao produto N.(e+Uy), ou seja, com o

produto desta força axial pela soma da excentricidade com o deslocamento horizontal

obtido no topo do pilar misto. Nesta curva, portanto, o fenômeno de grandes deslocamentos

é levado em consideração na análise numérica. Observa-se que o limite de resistência à

flambagem corresponde a um ponto, definido pelo par (N;M), praticamente sobre a curva

de interação do AISC-LRFD.

FIGURA 8.20 – Curvas de interação e curva advinda da análise de 2ª ordem

(e = 2,143 cm)

- Resistência à força normal, com excentricidade e = 1,2 cm

A título de comparação, os mesmos resultados do item anterior são agora apresentados para

uma excentricidade de 1,2 cm.

De acordo com a FIG. 8.21, a resistência do pilar misto é aproximadamente 1200 kN

(último passo de carga convergido). As deformações de compressão do concreto estão

dentro dos limites previstos pela NBR 6118 (1978), de 0,2% a 0,35%. Os erros relativos

Curvas de interação NxM e curva advinda da análise de flambagem

0

500

1000

1500

2000

2500

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

M (kN.cm)

N (k

N)

NBR 14323

AISC-LRFD

ANSYS

2ª ordem e=2,143 cm


148

entre este valor e os previstos pelas normas estão mostrados abaixo. Novamente, a norma

AISC-LRFD apresenta uma resistência mais próxima da obtida pela análise numérica.

-ANSYS ( kN 1200N R = ) e NBR 14323 ( kN 1326N R = ): 9,5%;

-ANSYS ( kN 1200N R = ) e AISC-LRFD ( kN 1242NR = ): 3,4%

A FIG. 8.22 reúne todas as curvas previamente apresentadas (FIG. 8.20) com a curva

correspondente à análise de segunda ordem com excentricidade de e = 1,2 cm.

FIGURA 8.21 – Força normal N (kN) X Deslocamento Uy (cm) (e = 1,2 cm)

149

8.4 Modelos de pilares mistos submetidos à compressão ou tração pura,

utilizando-se o elemento SOLID65 para o concreto

8.4.1 Comentários gerais


revestidos submetidos ao caso particular de compressão ou tração pura, com o objetivo de

identificar alguns fatores importantes durante a análise numérica. Com isto, pode-se

fornecer subsídios para futuras análises envolvendo o elemento de concreto SOLID65. Os

modelos estudados apresentam uma vasta combinação de hipóteses quanto à modelagem e

à caracterização dos materiais. Alguns dos itens analisados são:

- Modelo de plasticidade adotado para o concreto (Drucker-Prager, multi-linear isotrópico-

MISO ou nenhum);

FIGURA 8.22 – Curvas de interação e curvas advindas das análises de 2ª ordem

(e = 2,143 cm; e = 1,2 cm)

Curvas de interação NxM e curvas advindas da análise de flambagem

0

500

1000

1500

2000

2500

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

M (kN.cm)

N (k

N)

NBR 14323

AISC-LRFD

ANSYS

2ª ordem e=2,143 cm

2ª ordem e=1,2 cm


150

- Capacidade de esmagamento do concreto;

- Estribos;

- Coeficientes de transferência de cisalhamento ( cβ e tβ );

- Número de passos de carga.

Na FIG. 8.23 são apresentados em forma de fluxograma os diversos casos analisados.

Todos os modelos são derivados de modelos padrão iniciais, um para os pilares

comprimidos e outro para os tracionados. Os quadros com destaque em negrito nos

fluxogramas correspondem aos casos analisados. Algumas características dos modelos

padrão são as mesmas discutidas no item 8.3.3, isto é, caracterização dos materiais,

desabilitação da capacidade de esmagamento do elemento SOLID65, modelo de

plasticidade adotado para o concreto (MISO), resistência do concreto igual a 0,1547

kN/cm2, armaduras longitudinal e transversal utilizadas, entre outras. A geometria dos

modelos de elementos finitos é exatamente igual à definida no item 8.3.3, inclusive a altura

do pilar (2H = 60 cm). Porém, a chapa de extremidade não é modelada, pois a aplicação do

carregamento é feita por meio da imposição de deslocamentos no topo do pilar. O modelo

de elementos finitos é composto de 192 elementos SOLID65 e 144 elementos SHELL43.

O caso do concreto considerado como material com encruamento isotrópico multi-linear já

foi discutido no item 8.3.3. Porém, para o caso de se assumir o critério de Drucker-Prager,

considera-se o concreto como material elástico-perfeitamente plástico e as constantes de

Mohr-Coulomb são calculadas conforme item 8.2.4. Quanto aos coeficientes de

transferência de cisalhamento, são usadas três possibilidades: ( cβ =0,6 ; tβ =0,2), ( cβ =0,8

; tβ =0,1) ou ( cβ =1 ; tβ =1). Para os modelos padrão, adotou-se o último destes casos.

Em todas as análises é utilizado o critério de convergência baseado em forças, com a norma

de vetor para a verificação de convergência correspondente à raiz quadrada da soma dos

quadrados dos resíduos.

151

TRAÇÃOCOMPRESSÃO

PILAR MISTO

D.P.

ft =0,1547

fc =2

ft =0,5

fc =2

SEM

ESTRIBO

SEM

ESTRIBO

MISO SEM

PLASTICIDADE

ft =0,1547

fc =2

fc =1,7

β t = 0,2

β c = 0,6

β t = 0,2

β c = 0,6

SEM

PLASTICIDADE

ft =0,1547

fc =1,7

SEM

PLASTICIDADE

ft =0,1547

fc =2

SIMETRIA

À PARTE

FIGURA 8.23 - Fluxograma dos modelos estudados

Modelo [1]

Nota: o símbolo [] se refere ao número do modelo analisado nos itens 8.4.3 e 8.4.4.

Modelo [3]

COMPRESSÃO (padrão)

152

TRAÇÃO (padrão)

D.P.

À PARTE

SEM

ESTRIBO

fc =1,7

β t = 0,2

β c = 0,6

β t = 0,1

β c = 0,8

SEM

PLASTICIDADE

ft =0,1547

fc =1,7

SEM

PLASTICIDADE

ft =0,1547

fc =2

SIMETRIA

β t = 0,2

β c = 0,6

β t = 0,2

β c = 0,6

β t = 0,2

β c = 0,6

β t = 0,2

β c = 0,6

À PARTE

COMPRESSÃO (padrão)

SIMETRIA

ft =0,1547

fc =2

ft =0,5

fc =2

D.P. MISO

Modelo [2]

Modelo [4]FIGURA 8.23 - Fluxograma dos modelos estudados (continuação)

153

TRAÇÃO (padrão)

D.P.

ft =0,1547

fc =2

β t = 0,2

β c = 0,6

SEM ESTRIBO

SEM PLASTICIDADE

D.P.

ft =0,1547

fc =2

β t = 0,2

β c = 0,6

SIMETRIA

SEM

PLASTICIDADE

ft =0,1547

fc =1,7

SEM

PLASTICIDADE

ft =0,1547

fc =2

β t = 0,2

β c = 0,6

β t = 0,2

β c = 0,6

MISO

β t = 0,2

β c = 0,6

FIGURA 8.23 - Fluxograma dos modelos estudados (continuação)

TRAÇÃO (padrão)

154

Os passos de carga (ou melhor, incrementos de deslocamentos) são aplicados no pilar de

modo que os fenômenos de escoamento do aço (armadura ou perfil) e esmagamento ou

fissuração do concreto sejam devidamente caracterizados, tanto no caso de peças

comprimidas quanto tracionadas.

Para os modelos de pilares mistos aço-concreto submetidos à compressão pura, os passos

de carga são:

+

cm) 60(0,0003).( de passos 10 :casos Outros

cm) 60(0,0003).( de passos 7

5cm) 60(0,0003).( de passos 15

deplasticida semou D.P. casos os Para Compressão

Em todos os modelos deste caso é aplicado um deslocamento final no pilar (comprimento

de 60 cm) de 0,18 cm, provocando uma deformação total de 0,3%.

Para os modelos de pilares mistos aço-concreto submetidos à tração pura, os passos de

carga são:

+

5)cm 60).((1,2.10 de passos 10

5)cm 60).((5,4.10 de passos 6

Tração3-

5-

Em todos os modelos deste caso é aplicado um deslocamento final no pilar (comprimento

de 60 cm) de 0,1479 cm, provocando uma deformação total de 0,2465%.

155

8.4.2 Discussão sobre os parâmetros estudados

Com base nos diversos modelos de pilares mistos analisados via Método dos Elementos

Finitos, cada um contendo uma diferente combinação de características e hipóteses de

modelagem, algumas observações podem ser feitas:

a) Observações gerais

- O processo de convergência tornou-se mais fácil quando o carregamento foi aplicado ao

modelo através da imposição de deslocamentos (controle de deslocamentos);

- Um critério de convergência compatível com o tamanho do passo de carga deve ser

adotado;

- Não foi preciso aumentar a relação entre as resistências à tração e à compressão do

concreto a fim de que houvesse convergência numérica (como foi para o elemento

SOLID45 - vide item.8.2.1).

b) Observações para pilares submetidos à compressão pura

- Nos casos onde foi utilizado encruamento multi-linear isotrópico (MISO), a capacidade de

esmagamento do concreto foi desprezada. Tal procedimento permitiu eliminar problemas

de convergência no início do carregamento;

- A fim de que seja obtido um comportamento mais real da peça estrutural, os aços do perfil

e da armadura deveriam ter a deformação de escoamento menor do que a deformação de

esmagamento do concreto.

Nos casos estudados, as deformações de escoamento dos aços ( yε ) e de esmagamento do

concreto ( esm.ε ) são:

156

===

===

−

−

3

3

10.44,220500

50E

:Armadura

10.22,120500

25E

:Perfil Aço

a

ysys

a

yy

fε

fε

=

=

===

−

−

−

)escoamento do início ao entecorrespond o(deformaçã 10.2 :do)desabilita oesmagament (com MISO caso o Para

10.89,52885

7,1

10.93,62885

2

E

:)habilitado oesmagament (com deplasticida semou D.P. casos os Para

Concreto

3esm.

4

4

esm.

ε

fε

c

ck

Para os modelos do caso MISO, tanto os aços do perfil e da armadura quanto o concreto

conseguem escoar. Nos outros casos, o esmagamento do concreto ocorre antes do

escoamento do aço.

c) Observações para pilares submetidos à tração pura

- A definição de parâmetros de transferência de cisalhamento ( β C e β t ) mostrou-se

necessária para todos os casos, exceto nos modelos em que a plasticidade não foi

considerada;

- Para que o comportamento dos materiais ao longo do processo de carregamento fosse

mais detalhadamente caracterizado, foram utilizados passos de carga refinados até logo

após a deformação de início de fissuração do concreto. A partir deste ponto, o tamanho dos

passos de carga foi aumentado e a análise foi feita até logo após o ponto correspondente à

deformação de escoamento da armadura;

Nos casos estudados, as deformações de escoamento dos aços ( yε ) são as mesmas

calculadas anteriormenete e a deformação de fissuração do concreto ( fis.ε ) é:

157

5fis. 10.36,5

28851547,0

E :Concreto −===

c

tkfε

- O uso de estribos foi muito importante para as análises onde o concreto foi considerado

como material com encruamento multi-linear isotrópico (MISO). Estas armaduras também

são necessárias para análises que utilizam o critério de Drucker-Prager (D.P.). Já no caso de

modelos em que o fenômeno da plasticidade não foi levado em consideração, os estribos

não influenciaram na solução numérica;

- O efeito de enrijecimento da armadura produzido pelo concreto que a envolve (tension

stiffening) foi observado.

8.4.3 Resultados dos modelos com plasticidade do concreto (MISO) para compressão e

tração (modelos [1] e [2])

Os modelos [1] e [2] são mencionados no fluxograma ilustrado na FIG. 8.23, e referem-se

aos modelos de pilar misto submetidos à compressão e à tração pura, respectivamente, com

dados de entrada padrão (conforme já definido). Porém, nestes modelos adotam-se

coeficientes de transferência de cisalhamento iguais a ( cβ =0,6 ; tβ =0,2).

a) Resistência nominal da seção mista à plastificação total pela força normal de compressão

(Npl,R), com base na NBR 14323 (1999)


Com base nos dados e valores já calculados do item 8.3.2, tem-se: 2

a cm 36,47A =

2s cm 01,2A =

2c cm 6,663A =

2y cmkN 25=f

158

2 ys cmkN 50=f

85,0=α 2

ck cmkN 2=f

Então:

kN 1908N Rpl, =

kN 1999(ANSYS)N Rpl, = (erro relativo: 4,8%)

b) Resistência nominal última da seção mista à força normal de tração

)50.(01,2)25.(36,47N tração +=

kN 1285Ntração =

kN 1367(ANSYS)Ntração = (erro relativo: 6,4%)

c) Variações da força normal com a deformação

As variações da força normal com a deformação estão ilustradas na FIG. 8.24a e na FIG.

8.24b, para pilares comprimidos e tracionados, respectivamente. A FIG. 8.25, que é uma

ampliação da região junto à origem da FIG. 8.24b, mostra em detalhe o decaimento da

força de tração, devido à fissuração do concreto, e também o fenômeno tension stiffening,

devido ao qual a rigidez da barra tracionada com o concreto não fissurado é notadamente

superior à rigidez após a fissuração do concreto.

Força prevista antes do decaimento: ys

.ysstkc

.y a .A.A.A

εε

εε fis

y

fis fff ⋅++⋅ =

= 3

5

3

5

10.44,210.36,52,01.(50)547)366,6.(0,1

10.22,110.36,5)25.(36,47 −

−

−

−

⋅++⋅ = 110,9 kN

Força obtida no ANSYS antes do decaimento: 93,4 kN, para uma deformação de 4,32.10-5

159

Decaimento total previsto: Ac.ftk = 366,6.(0,1547) = 56,7 kN

Decaimento total obtido no ANSYS: 29,7 kN

NOTA: para obter maior precisão seria necessário refinar ainda mais os passos de carga

e/ou o modelo de elementos finitos e/ou o critério de convergência.

FIGURA 8.25 – Detalhe do decaimento na tração (modelo [2])

(a) (b)

FIGURA 8.24 – Força normal (kN) X Deformaçãoε x: (a) compressão (modelo [1]); (b) tração

(modelo [2])

160

8.4.4 Resultados dos modelos sem plasticidade do concreto para compressão e tração

(modelos [3] e [4]) – esmagamento do concreto habilitado

Os modelos [3] e [4] são mencionadas no fluxograma ilustrado na FIG. 8.23, e referem-se

aos modelos de pilar misto submetidos à compressão e à tração pura, respectivamente.

Nestes casos não é adotado um modelo de plasticidade para o concreto e a resistência à

compressão do mesmo é de 2 kN/cm2. Para o modelo de pilar tracionado, os coeficientes de

transferência de cisalhamento para fisssuras abertas e fechadas são 0,2 e 0,6 ,

respectivamente.

a) Resistência nominal da seção mista à plastificação total pela força normal de compressão

(Npl,R), com base na NBR 14323 (1999)

)50.(01,2)25.(36,47N Rpl, +=

kN 1285N Rpl, =

kN 1305(ANSYS)N Rpl, = (erro relativo: 1,6%)

O concreto sofre esmagamento antes do escoamento do aço; portanto, não contribui para a

resistência última.

b) Resistência nominal última da seção mista à força normal de tração

)50.(01,2)25.(36,47N tração +=

kN 1285Ntração =

kN 1371(ANSYS)Ntração = (erro relativo: 6,7%)

161

c) Variações da força normal com a deformação

As variações da força normal com a deformação estão ilustradas na FIG. 8.26a e na FIG.

8.26b, para pilares comprimidos e tracionados, respectivamente. A FIG. 8.27, que é uma

ampliação da região junto à origem da FIG. 8.26b, mostra em detalhe o decaimento da

força de tração, devido à fissuração do concreto e o fenômeno tension stiffening. Na FIG.

8.26a nota-se o decaimento da força de compressão devido ao esmagamento do concreto. A

seguir determinam-se os decaimentos na compressão e na tração.

- Compressão:


.yssckc

.y a .A.A.A

εε

εε esm

y

esm fff ⋅++⋅

= 3

4

3

4

10.44,210.93,62,01.(50)366,6.(2)

10.22,110.93,6)25.(36,47 −

−

−

−

⋅++⋅ = 1434 kN


Decaimento total previsto: ckc .A f = 366,6.(2) = 733,2 kN




- Tração:


.ysstkc

.y a .A.A.A

εε

εε fis

y

fis fff ⋅++⋅

= 3

5

3

5

10.44,210.36,52,01.(50)547)366,6.(0,1

10.22,110.36,5)25.(36,47 −

−

−

−

⋅++⋅ = 110,9 kN


162

Decaimento total previsto: Ac.ftk = 366,6.(0,1547) = 56,7 kN




FIGURA 8.27 – Detalhe do decaimento na tração (modelo [4])

(a) (b)

FIGURA 8.26 – Força normal (kN) X Deformaçãoε x: (a) compressão (modelo [3]); (b) tração

(modelo [4])

163

8.5 Modelo de pilar circular preenchido com concreto

8.5.1 Modelo

Neste item é apresentado o desenvolvimento de um modelo de pilar misto preenchido com

concreto, de seção circular, submetido à compressão pura. A modelagem deste pilar, em

termos da geometria, é um pouco mais complexa do que a de pilares revestidos.

No que se refere às condições assumidas no modelo, estas são as mesmas do item 8.3.3.

Isto vale tanto para os modelos dos materiais, quanto para a desabilitação da capacidade de

esmagamento do elemento SOLID65 e a resistência do concreto à tração tomada igual a

0,1547 kN/cm2. As considerações adotadas diferentes do item 8.3.3 são as seguintes:

resistência à compressão do concreto igual a 1,7 kN/cm2, ausência de armaduras no

concreto, coeficientes de transferência de cisalhamento para o material concreto assumidos

iguais à unidade e aplicação do carregamento feita por meio da imposição de

deslocamentos no topo do pilar (na direção longitudinal z).

O pilar circular analisado está submetido à compressão axial. A representação da seção do

pilar modelado é feita na FIG. 8.28. A FIG. 8.29 mostra o modelo de elementos finitos

utilizado, composto de 1980 elementos SOLID65 e 360 elementos SHELL43. A simetria

do pilar em relação ao plano XY é levada em consideração, sendo o comprimento do

modelo do pilar misto de 2H = 30 cm.

10 cm

CH8

y

x

19.220.0

20.8

H

z

x

y

FIGURA 8.28 – Geometria do pilar misto preenchido com concreto (dimensões em mm)

164

8.5.2 Resistência nominal da seção mista à plastificação total pela força normal (Npl,R),

com base na NBR 14323 (1999)


cm 8,20De = (diâmetro externo do pilar – conforme FIG. 8.28)

cm 2,19Di = (diâmetro interno do pilar – conforme FIG. 8.28)

222

a cm 50,34

).(A =

−= ie DDπ

(8.42)

22

c cm 289,54

).(A == iDπ

(8.43)

0As =

2y cmkN 25=f

0,1=α 2

ck cmkN 1,7=f

(a) Elementos de concreto (b) Elementos de aço


165

Logo:

kN 1750N Rpl, =

NOTA: a NBR 14323 permite que o aumento da resistência do concreto pelo efeito de

confinamento seja considerado, desde que o parâmetro de esbeltez seja menor ou igual a

0,5 , conforme verificado a seguir.

cc

cssaa I

EIEIE ..8,0..(EI)e

++=

γ (8.35)

Onde:

aE =20500 kN/cm2

cE =2885 kN/cm2

)(64

. 44iea DDI −⋅=

π (8.44)

[ ] 444 cm 2517)2,19()8,20(64

.=−⋅=

πaI

)(64

. 4ic DI ⋅=

π (8.45)

44 cm 6671)2,19(64

.=⋅=

πcI

cγ = 1,35

2e kN.cm 630034396671

35,128858,0)2517.(20500(EI) =⋅⋅+=

A carga de flambagem de Euler é (considerando-se o pilar engastado na base e livre na

outra extremidade):

2

2

).().(

LkEI

N ee

π= (8.13)

166

KL = 2.30 = 60 cm

kN 172728)30.2(

)63003439.(2

2

==π

eN

Então:

1007,01727281750, =

=

=

e

Rpl

NN

λ <0,5 (8.14)

Logo, o efeito de confinamento pode ser levado em consideração no cálculo da resistência

da seção mista à plastificação total pela força normal.

yss1ckcy a2Rpl, .A1..A..AN fff

Dtff

ck

y

e

+

⋅

⋅++= ηη (8.46)

Onde:

t = espessura do tubo = 0,8 cm (FIG. 8.28)

Momento fletor aplicado: Ms = 0 202101 e ηηηη ==∴

)(OK! 0 209,3).(17.5,189,4 210 >=+−= λλη (8.47)

800,0).23.(25,020 =+= λη (8.48)

Então:

⋅

⋅++=

7,125

8,208,0209,31.7,1).5,289()25).(3,50.(8,0N Rpl,

kN 2391N Rpl, =

NOTA: a título de comparação, é feito o cálculo desta resistência com base no método

simplificado do AISC-LRFD (1999).

167

⋅+

⋅+=

a

cck

a

sysymy A

Afc

AA

fcff .. 21 (8.37)

Onde:

85,0 2 =c

2kN/cm 3,333,505,2897,1.85,025 =

⋅+=myf

Logo,

mya fA .N Rpl, = (8.49)

kN 1675)3,33.(3,50N Rpl, == (valor um pouco menor do que o obtido pela NBR 14323).

8.5.3 Resultados

Os resultados apresentados nos itens b) até d) são relativos à seção do pilar contida no

plano de simetria XY (FIG. 8.28).

a) Variação da deformação do pilar com a força normal

De acordo com a FIG. 8.30, a resistência da seção mista à plastificação total pela força

normal é aproximadamente 1799 kN (último passo de carga convergido). Os erros relativos

entre este valor e os previstos pelas normas NBR 14323 (1999) e AISC-LRFD (1999) estão

mostrados abaixo. A norma brasileira apresenta um resultado mais próximo da análise

numérica, para o caso em que o confinamento do concreto não é considerado. Se este for

considerado, a norma americana apresenta um resultado mais próximo da análise numérica.

-ANSYS ( kN 1799N Rpl, = ) e NBR 14323 – sem confinamento do concreto

( kN 1750N Rpl, = ): 2,8%;

168

-ANSYS ( kN 1799N Rpl, = ) e NBR 14323 – com confinamento do concreto

( kN 3912N Rpl, = ): 24,8%;

-ANSYS ( kN 1799N Rpl, = ) e AISC-LRFD ( kN 1675N Rpl, = ): 7,4%

b) Deformações e tensões no concreto para força normal de 1799 kN

As deformações e tensões no concreto correspondentes à força de 1799 kN (último passo de

carga convergido) estão mostradas na FIG. 8.31a e na FIG. 8.31b, respectivamente. Pode-se

perceber que tanto a distribuição de deformações quanto a de tensões são uniformes no

concreto. O valor da deformação é de 0,0258 , possível de ocorrer com o concreto

confinado, como mostrado na FIG. 8.31a. Já no caso das tensões, observa-se que o valor

obtido é próximo da resistência à compressão do concreto (fck=1,7 kN/cm2). Para a análise

numérica, como já comentado, adotou-se no diagrama tensão-deformação deste material

um aumento adicional total de 0,05 2cmkN na resistência, para que fossem evitados

problemas relacionados ao fluxo de escoamento irrestrito.

FIGURA 8.30 – Força normal (kN) X Deformação axialε z

169

c) Deformações e tensões no aço para força normal de 1799 kN

As deformações e tensões no aço correspondentes à força de 1799 kN (último passo de

carga convergido) estão mostradas na FIG. 8.32a e na FIG. 8.32b, respectivamente. Pode-se

perceber que tanto a distribuição de deformações quanto a de tensões são também

uniformes na seção de aço. O valor da deformação é de 0,0258 , como mostrado na FIG.

8.32a. Já no caso das tensões, observa-se que o valor obtido é próximo da tensão de

escoamento do aço (fy = 25 kN/cm2).

d) Tensões no concreto e no aço para força normal de 1799 kN, nas direções radial e

circunferencial, respectivamente

As tensões no concreto e no aço estão mostradas na FIG. 8.33a e na FIG 8.33b,

respectivamente, no sistema de coordenadas cilíndricas. As tensões mostradas (compressão

no concreto e tração no aço) demonstram um pequeno efeito de confinamento; salienta-se

que, no início do carregamento, ocorre tendência de afastamento entre o aço e o concreto,

uma vez que o coeficiente de Poisson do aço (0,3) é maior do que o do concreto (0,2).

FIGURA 8.31 – Deformações e tensões no concreto para N = 1799 kN

(a) Deformações ε z (b) Tensõesσ z

170

(a) Deformações ε z (b) Tensõesσ z

FIGURA 8.32 – Deformações e tensões no aço para N = 1799 kN

FIGURA 8.33 – Tensões: (a) radial no concreto; (b) circunferencial no aço

(a) (b)

171

9

CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES

9.1 Conclusões

9.1.1 Modelos de pilares mistos submetidos à flexo-compressão, utilizando-se o

elemento SOLID45 para o concreto

A partir da análise dos resultados obtidos dos modelos de pilares mistos parcialmente

revestidos, desenvolvidos utilizando o elemento SOLID45 para representar o material

concreto (vide item 8.2 do capítulo anterior), a seguinte observação pode ser feita: um

modelo elasto-plástico relativamente simples pode representar adequadamente o

comportamento de pilares mistos, tanto para a plastificação da seção quanto para a

resistência do pilar levando-se em conta a flambagem. Entretanto, na determinação da

solicitação que plastifica a seção, é necessário complementar a teoria elasto-plástica

utilizada com uma limitação das deformações do concreto. Além disso, foi necessário usar

uma resistência do concreto à tração da ordem de um quarto da resistência à compressão.

172

9.1.2 Modelos de pilares mistos submetidos à flexo-compressão, utilizando-se o

elemento SOLID65 para o concreto


revestidos, desenvolvidos utilizando o elemento SOLID65 para representar o material

concreto (vide item 8.3 do capítulo anterior), podem ser feitas algumas observações. Houve

dificuldade de convergência durante as análises numéricas, principalmente quando grande

parte da seção mista é tracionada. Além disso, as deformações do concreto necessitam ser

limitadas quando não se considera o esmagamento, ficando a resistência à compressão

definida apenas no modelo de plasticidade. Para obtenção da carga de flambagem, a

consideração de uma excentricidade da força normal (gerando momento inicial constante

ao longo da barra) igual ao comprimento da barra bi-rotulada dividido por quinhentos

conduziu a um resultado bem próximo das previsões das normas.

9.1.3 Modelos de pilares mistos submetidos à compressão ou tração pura, utilizando-



revestidos, submetidos à compressão ou tração pura e desenvolvidos utilizando o elemento

SOLID65 para representar o material concreto (vide item 8.4 do capítulo anterior), podem

ser feitas algumas observações. Para que o pilar misto consiga atingir sua resistência última

com a contribuição do perfil, da armadura e do concreto, seria necessário que as

deformações de escoamento dos aços fossem inferiores à de esmagamento do concreto, o

que não ocorreu no pilar analisado. No modelo de elementos finitos, a resistência última do

pilar foi atingida quando o esmagamento foi desabilitado; quando este foi habilitado, a

resistência última tornou-se igual à resistência dos componentes de aço. Os modelos de

elementos finitos captaram os decaimentos das forças de tração e de compressão devidos à

fissuração e ao esmagamento do concreto, respectivamente, bem como o fenômeno tension

stiffening. Entretanto, para maior precisão destes decaimentos é necessário fazer alguns

refinamentos, como comentado no capítulo anterior.

173

9.1.4 Modelo de pilar circular preenchido com concreto

A partir da análise dos resultados obtidos do modelo de pilar misto circular preenchido com

concreto, submetido à compressão pura e desenvolvido utilizando o elemento SOLID65

para representar o material concreto (vide item 8.5 do capítulo anterior), podem ser feitas

algumas observações. O efeito de confinamento do concreto pode ser observado. De acordo

com Chen e Han (1987), amostras de concreto submetidas a tensões de confinamento

apresentam deformações muito maiores do que no caso de compressão axial. O efeito de

confinamento foi confirmado pelas tensões circunferencial de tração no aço e radial de

compressão no concreto, obtidas na análise numérica.

9.2 Recomendações para novas pesquisas

Os modelos de elementos finitos apresentados ao longo deste trabalho apresentaram bons

resultados e, a partir dos mesmos, importantes observações e conclusões puderam ser

obtidas. No sentido de se aprimorar ainda mais os modelos numéricos, algumas

características ou elementos devem ser incorporados a eles, como listados abaixo, e devem

ser avaliadas suas respectivas influências no comportamento do pilar misto.

a) Inclusão de conectores de cisalhamento;

b) Estudo mais profundo da influência da malha de elementos finitos na determinação do

comportamento do pilar;

c) Inclusão dos fenômenos de deformação lenta e retração do concreto;

d) Estudo e inclusão de elementos de contato na interface aço-concreto, para simular a

aderência e/ou atrito.

Como os modelos apresentados e as recomendações propostas, pode-se obter um

complemento muito útil para ensaios experimentais de pilares mistos.

174

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