MODIFICANDO CONCEPÇÕES CURRICULARES DE PROFESSORES DA

REDE PÚBLICA ESTADUAL DE SÃO PAULO: DA ORGANIZAÇÃO LINEAR

À IDÉIA DE REDE.

Marcio Antonio da Silva

Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP)

ma74@ig.com.br

INTRODUÇÃO

Muitos conceitos que os professores têm sobre o currículo de Matemática são

intrínsecos à experiência que estes docentes vivenciaram como discentes, seja na

formação inicial dos cursos de licenciatura, sejam nos cursos de capacitação, que serão

abordados neste trabalho. É a chamada simetria invertida.

A lista de conteúdos, a divisão seqüencial dos capítulos dos livros didáticos, o

registro dos professores nos diários de classe, entre outros, acabam ajudando a

intensificar o conceito de currículo linear, onde existe uma seqüência bem definida de

assuntos que devem ser abordados.

Procurando questionar alguns destes conceitos arraigados à prática do professor

de Matemática, elaborei uma aula que tinha como principal objetivo, ousado demais

talvez, modificar os conceitos de currículos da idéia linear à idéia de rede.

A aula de oito horas, realizada no 27 de setembro de 2003 foi a primeira de uma

série de dez, realizadas aos sábados, no Centro Universitário Nove de Julho

(UNINOVE), na cidade de São Paulo. Contei com a participação de quinze professores

da rede pública estadual que lecionam em escolas da periferia da Zona Norte da capital

paulista.

Esse projeto, “Teia do Saber”, foi promovido pelo governo estadual e tinha

como objetivo principal capacitar professores do Ensino Fundamental e Médio que

estavam atuando em sala de aula nas escolas estaduais da área de abrangência de suas

Diretorias de Ensino.

Anais do VIII ENEM – Relato de Experiência GT 7 - Formação de Professores que Ensinam Matemática 2

Dentro desta perspectiva, resolvi utilizar algumas “provocações” para incitar

uma série de questionamentos sobre conceitos não refletidos com profundidade por

estes docentes. Expus alguns exemplos de currículos apresentados em PIRES (2000, p.

50-55):

Em 1985, as principais preocupações apontadas nas Propostas Curriculares para

o ensino de 1º e 2º graus (assim denominados na época) da rede pública estadual de São

Paulo:

• Preocupação excessiva com o treino de habilidades, com a mecanização de

algoritmos e memorização de regras.

• Priorização dos temas algébricos e redução ou eliminação de temas

envolvendo geometria.

• Tentativa de exigir do aluno uma formalização precoce.

Pudemos concluir que todas estas preocupações ainda estão presentes, quase

vinte anos depois, ao menos nas salas de aula dos professores que participavam do

curso.

Ainda neste mesmo documento, a Matemática é apresentada como tendo dupla

finalidade:

• A Matemática é necessária em atividades práticas que envolvem aspectos

quantitativos da realidade, como as que lidam com grandezas, contagens,

medidas, técnicas de cálculo.

• A Matemática desenvolve o raciocínio lógico, a capacidade de abstrair,

generalizar, transcender o que é imediatamente sensível.

Os professores questionaram a segunda finalidade. Nesse momento, percebi que

alguns deles questionaram e criticaram esse documento oficial, elaborando argumentos,

ainda que empíricos.

Em seguida apresentei o Movimento de Reorientação Curricular, promovido

pela Secretaria Municipal de Educação de São Paulo, no período de 1989 a 1992

(PIRES, 2000, p. 53) que tem como características marcantes:

• Optar por “temas geradores” para desenvolver propostas interdisciplinares:

transporte, moradia, saúde, saneamento básico, trabalho, lazer e convivência.

• Apresentar três temas articulados: números, geometria e grandeza.

• Propor o currículo em espiral.

Verificamos que a proposta apresenta temas geradores, que têm semelhanças

com as atuais propostas dos Parâmetros Curriculares Nacionais que propõem temas

Anais do VIII ENEM – Relato de Experiência GT 7 - Formação de Professores que Ensinam Matemática 3

transversais: ética, orientação sexual, meio ambiente, saúde, pluralidade cultural,

trabalho e consumo. Já os três temas apresentados são similares aos apresentados

anteriormente pela Secretaria de Educação do Estado de São Paulo.

Antes de definir o que seria currículo em espiral, perguntei aos docentes o que

eles achavam a respeito dos tais “pré-requisitos”, tão presentes no discurso dos

professores. Muitos enfatizaram que é necessário seguir uma seqüência bem definida de

conteúdos para que os alunos possam ter uma “base” bem sólida e que eles encontravam

dificuldades ao ensinar determinado assunto, pois tinham que “voltar” a conteúdos mais

“simples” que os alunos não haviam aprendido. Questionei se realmente os alunos não

haviam aprendido os se apenas não lembravam. Responderam que, na maioria dos

casos, apenas não recordavam pois, ao iniciarem a retomada do assunto, os alunos logo

se manifestavam, mostrando lembrarem do assunto. Afirmei, então, que na verdade eles

não ensinavam novamente, apenas faziam os alunos lembrarem através de exemplos, ou

atividades, com abordagens diferentes daquelas que os alunos aprenderam há anos. A

linguagem, os problemas, a forma de explicar, tudo isso foi modificado nessa nova

abordagem do conteúdo. Não foi uma repetição da aula em que os alunos tiveram o

primeiro contato com um determinado conteúdo. Os professores concordaram com essa

observação, então apresentei aos mesmos a definição de Currículo em espiral, segundo

Bruner, que permite que o aluno veja o mesmo tópico em diferentes níveis de

profundidade e modos de representação.

Apresentei, em seguida, a proposta da Secretaria de Educação do Estado de

Minas Gerais (PIRES, 2000, p. 55), onde apresenta, entre outras coisas, a existência de

grupos de pessoas, classificadas com relação ao aprendizado de Matemática: gênios,

talentos, pessoas com relativa capacidade de aprender Matemática, incapazes

escolarmente. No mesmo documento a Matemática é apresentada como “a única

disciplina que, em todos os sistemas educacionais, alcançou um caráter universal, é

ensinada aproximadamente da mesma maneira e com o mesmo conteúdo. Logo, é quase

impossível haver alterações profundas no conteúdo já consagrado”. Esta proposta foi

imediatamente rejeitada pelos professores presentes, porém ao serem questionados se

conheciam professores que compartilhavam essa idéia disseram que sim, inclusive

alguns citaram que esse discurso é muito ouvido nas salas de professores.

Atualmente, os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática destacam o

tema “tratamento da informação” como um bloco de conteúdo, a necessidade de

explorar os conteúdos não apenas conceitualmente, mas também na dimensão de

Anais do VIII ENEM – Relato de Experiência GT 7 - Formação de Professores que Ensinam Matemática 4

procedimentos e atitudes, a importância de buscar várias conexões, faz referência ao uso

de tecnologias da informação (computadores, calculadoras, etc.) e tem como ponto de

partida a resolução de problemas. A metodologia já ultrapassada, porém muito utilizada,

de iniciar as aulas com conceitos e definições seguidos por exemplos (normalmente

simples), exercícios de aprendizagem e exercícios de fixação, estes últimos que

poderiam proporcionar uma oportunidade de questionamentos mais importantes por

parte dos alunos, porém quase sempre não sobra tempo da aula para a realização dos

mesmos, sobrando para o próprio aluno a tarefa de solucionar em casa os desafiadores

problemas que fogem completamente da simplicidade dos exemplos utilizados na aula.

A nova metodologia sugere que os problemas desafiadores deveriam estar no início da

aula, incitando questionamentos e fazendo com que os alunos consigam articular os

conhecimentos já adquiridos para produzir novos, sempre com a intervenção do

professor e finalizando com uma fase de institucionalização.

CONHECIMENTO EM REDE

Além da metodologia, a forma como o conhecimento é assimilado e adquirido

modificou-se. As idéias, já ultrapassadas porém ainda presentes, sobre conhecimento

estavam ligadas a três metáforas:

A metáfora do balde, onde o conhecimento é acumulado ao longo do tempo de

vida e a avaliação é como uma vareta que mede o quanto alguém conhece sobre algo.

A metáfora do edifício, onde é necessária uma boa base (alicerce sólido) para

poder construir o ‘edifício do conhecimento’. Essa idéia foi enfatizada por G. Mialaret,

quando diz que devemos segurar a mão do aluno e levá-lo pelo edifício do

conhecimento matemático, e estava presente no discurso de vários professores do curso.

A metáfora da cadeia de elos, onde um conhecimento depende de outro e não é

possível deixar um elo de fora, pois caso isso ocorra é impossível continuar a

construção de novos conhecimentos sem que esse elo seja refeito.

Essas metáforas fazem parte de mitos que foram criados a respeito do

conhecimento, ligando-os a idéia de acumulação e linearidade.

Para introduzir a idéia de conhecimento em rede, pedi aos professores que

respondessem qual seria o caminho que percorreriam na Internet para conseguir

encontrar o site da Universidade de São Paulo.

Anais do VIII ENEM – Relato de Experiência GT 7 - Formação de Professores que Ensinam Matemática 5

A primeira idéia que surgiu foi entrar em um site de busca, em seguida digitar

USP e entrar diretamente na home page da universidade. Teríamos, então, o caminho:

Site da USP Site de busca

Mas será que esse é o único caminho possível? Outra professora disse que era

mais simples digitar o endereço do site, www.usp.br. Disse que aquilo só seria possível

pelo fato desta professora conhecer, previamente, a forma de escrever o endereço de

uma universidade brasileira. Desta forma o caminho que ela utilizaria seria:

Site da USP www.usp.br

Propus um novo caminho: Se quisesse conhecer mais do que simplesmente o site

da USP, poderia pesquisar pelas universidades paulistas e entrar, por exemplo, no site

da UNESP, e buscar algumas informações adicionais e, em seguida, voltar ao site de

busca e localizar o site da USP. Ou ainda, a partir do site da UNESP poderia acessar o

site da USP diretamente, caso houvesse um link disponível. Os caminhos seriam:

Site da USP Site da UNESP

Seleção das Universidades

paulistasSite de busca

Mas afinal, qual o melhor caminho? Ou qual o caminho correto? Sabendo-se

diretamente o endereço da home page da USP, o tempo seria menor, mas a quantidade

de informações também seria bem menor. O caminho mais longo pode ser o que traz

uma quantidade de informações maior, portanto não existe caminho correto, existem

diversos caminhos, cada um com sua riqueza de informações e possibilidades.

Da necessidade de criar uma nova metáfora para o conhecimento, surge uma

extremamente ligada aos conhecimentos modernos e a globalização: a idéia de rede.

Anais do VIII ENEM – Relato de Experiência GT 7 - Formação de Professores que Ensinam Matemática 6

E se, ao invés de procurarmos o site da USP, quiséssemos encontrar uma rede de

significados ligados ao conceito de números negativos? Teríamos algo como descrito

abaixo (PIRES, 2000, p. 181):

PROBLEMAS GERADORES

Ligando a idéia de rede às orientações existentes nos Parâmetros Curriculares

Nacionais podemos buscar “problemas geradores” que produzam uma rede de assuntos

ou conteúdos que poderiam ser abordados pelo professor na sala de aula e relacionados

pelos próprios alunos.

A proposta, a partir de agora, é exemplificar um desses problemas geradores,

mostrando que uma infindável lista de exercícios de aprendizagem e fixação pode ser

trocada por apenas um problema rico em contextualizações. Entenda-se por

contextualização não algo que está ligado apenas ao cotidiano, pois dessa forma

estaríamos incorrendo ao erro de buscar contexto em problemas pobres (como o de

Anais do VIII ENEM – Relato de Experiência GT 7 - Formação de Professores que Ensinam Matemática 7

pintar uma fração da cerca em um dia, outra fração no dia seguinte, etc.), mas buscar

contexto dentro da própria Matemática, como no caso do exemplo dos problemas

propostos aos professores do Projeto “Teia do Saber” (IMENES, 1999, p. 28-29):

Problema 1: Esta figura em forma de T foi construída com 5 quadrados

congruentes. Divida-a em 4 figuras congruentes.

Problema 2: Este trapézio é formado por 3 triângulos eqüiláteros congruentes.

Divida-o em 4 figuras congruentes.

Os problemas não foram apresentados ao mesmo tempo. Inicialmente apenas o

problema 1 foi reproduzido com a utilização de um retroprojetor. Curiosamente, os

professores encontraram muita dificuldade em interpretar a linguagem matemática do

problema. Ninguém conseguiu interpretar o texto e descrever o que deveria ser feito.

Levantei a hipótese que o contrato didático a que estes professores estão acostumados

produz a necessidade de uma explicação inicial ou de um exemplo esclarecedor antes de

buscar alguma interpretação própria e iniciar o trabalho de resolução.

Intencionalmente, aderi ao contrato didático estabelecido implicitamente pelos

professores, mas expus um exemplo que levaria a caminhos distantes da resolução

correta. Exemplifiquei alguns cortes possíveis:

Anais do VIII ENEM – Relato de Experiência GT 7 - Formação de Professores que Ensinam Matemática 8

Fica evidente, pelo exemplo acima, que não obtemos quatro figuras congruentes.

Obtemos apenas quatro triângulos, dois a dois congruentes. Esse exemplo levou os

professores a entenderem o que estava sendo pedido – dividir o “T” em quatro peças de

um quebra-cabeça, de tal forma que as peças fossem “iguais” e pudessem refazer o “T”

– porém o exemplo dos cortes induziu os professores a procurarem segmentos que não

fossem paralelos aos segmentos que formavam a figura original.

Depois de alguns minutos sem progressos, informei aos professores que o

exemplo citado acabou induzindo ao erro e aproveitei para comentar que, muitas vezes,

fazemos isso nas aulas: ao procurarmos um exemplo para ajudar, acabamos

atrapalhando. Pedi que buscassem cortes paralelos aos segmentos que formavam a

figura e logo obtiveram alguns avanços. Um dos professores expôs uma resolução que,

embora estivesse errada, foi a primeira tentativa de expor uma solução:

A figura foi montada pensando-se em uma sobreposição de peças, de tal forma

que pudessem ser montadas quatro peças sobrepostas, o que foi logo refutado por

argumentos dos próprios professores, alegando que com estes cortes obteríamos oito

peças e não quatro.

Após mais tentativas, propus uma mudança de quadros e conduzi os professores

a pensarem no problema utilizando aritmética. Vejamos:

Tenho uma figura formada por cinco quadrados e quero quatro figuras iguais,

logo preciso dividir os cinco quadrados igualmente até obter um número de peças

divisíveis por quatro. Dividindo cada quadrado na metade, obtenho dez peças (não é

divisível por quatro). Dividindo cada quadrado em três peças iguais, obtenho quinze

peças (não é divisível por quatro). Dividindo cada quadrado em quatro peças iguais,

obtenho vinte peças (é divisível por quatro!). Logo, concluo que devo iniciar buscando

uma divisão de cada quadrado em quatro peças congruentes. Mas aí aparece um novo

Anais do VIII ENEM – Relato de Experiência GT 7 - Formação de Professores que Ensinam Matemática 9

problema: existe mais de uma maneira de realizar a divisão dos quadrados. Algumas

maneiras encontradas junto com os professores:

Em seguida, os professores iniciaram um trabalho de tentativa e erro em busca

da combinação que levaria à divisão correta da figura. Não demorou muito para que o

primeiro professor chegasse à solução utilizando a divisão dos cinco quadrados em

vinte:

Ao apresentar o problema 2, não houve necessidade de explicações nem

exemplos, pois já conheciam uma estratégia para obter a solução. Dessa forma,

utilizaram o seguinte raciocínio: se tenho três triângulos congruentes e quero obter

quatro figuras congruentes devo encontrar o menor múltiplo de três que seja divisível

por quatro, ou seja, doze. Ou então, em outra notação: m.m.c (3,4)=12.

Dessa maneira, posso generalizar o problema da seguinte forma:

Seja x o número de peças congruentes que formam a peça maior e y o número de

peças congruentes que desejo obter. Então, devo dividir e peça original em z peças

congruentes, tal que z = m.m.c.(x,y).

Ou então, simplificando ainda mais, basta dividir cada peça congruente que

forma a peça maior em y peças congruentes, lembrando que y é igual ao número de

peças congruentes que desejo obter.

Mesmo com todas essas conclusões, verifiquei que apenas os professores que

haviam resolvido o problema 1 encontraram rapidamente a solução do problema 2:

Anais do VIII ENEM – Relato de Experiência GT 7 - Formação de Professores que Ensinam Matemática 10

Depois de vivenciarem a atividade que seria reproduzida durante a semana com

os alunos destes mesmos professores, propus que elaborassem uma rede de conceitos

utilizando como nó principal este tipo de problema. Quais seriam os conteúdos que

poderiam ser abordados a partir deles? Quais os conceitos que os alunos poderiam

utilizar para elaborar estratégias de resolução?

A partir dessas questões, os professores foram divididos em cinco trios e cada

grupo produziu o material abaixo que foi reproduzido na lousa pelos próprios

professores:

Grupo 1

Anais do VIII ENEM – Relato de Experiência GT 7 - Formação de Professores que Ensinam Matemática 11

Grupo 2

Grupo 3

Anais do VIII ENEM – Relato de Experiência GT 7 - Formação de Professores que Ensinam Matemática 12

Grupo 4

Grupo 5

Muitos dos conceitos que aparecem nas “redes” foram questionado por outros

grupos ou por mim mesmo, o que gerou contribuições de todos. Como exemplo, posso

citar que em quase todos os grupos os conjuntos numéricos foram apresentados sem

restrições ( , e ). Questionei sobre a validade de abordar, por exemplo, números

negativos através deste problema. Os grupos que haviam citado conjuntos numéricos

resolveram modificar os conjuntos na lousa, acrescentando restrições ( , e ). *+

*+

*+

A Semelhança poderia ser abordada a partir, por exemplo, do problema 2, onde

obtemos como solução quatro trapézios isósceles semelhantes ao trapézio da figura

original. Vale ressaltar que os alunos estudam, principalmente, casos de semelhança de

triângulos e não verificam essa propriedade para outros polígonos.

Já a congruência aparece no próprio enunciado do problema e parece-me ser um

conteúdo fundamental para o próprio entendimento da questão.

Anais do VIII ENEM – Relato de Experiência GT 7 - Formação de Professores que Ensinam Matemática 13

As razões e proporções decorrem do uso da semelhança de figuras. Poder-se-ia

atribuir comprimentos aos lados das figuras e extrair delas várias relações e problemas

decorrentes destes.

O leitor mais atento deve ter verificado que o grupo 2 utiliza “ângulos” e

“conceitos” como nós da rede. Indagados sobre a forma de utilização destes conteúdos,

o grupo acabou relatando um outro problema que pensaram, utilizando-se destes dois

propostos. Na verdade, este grupo foi além da atividade proposta e começou a elaborar

novos problemas que gerariam novas redes que estariam interligadas. Pela

complexidade da análise e limitação de tempo durante a realização da atividade não

aprofundei a pesquisa por esta vertente e procurei conduzí-los novamente à proposta

original, reafirmando o contrato didático estabelecido inicialmente.

O grupo 1 apresenta Progressão Aritmética (P.A.) como um assunto ligado a

múltiplos, o que parece pertinente. Também destaca o assunto “Diagonais” como

decorrência do estudo de Áreas. Indaguei o grupo sobre o aparecimento da Álgebra e

como abordariam esse conteúdo. O fato interessante decorrente desta indagação é que o

próprio grupo não sabia justificar (na verdade, acredito na hipótese que boa parte destes

professores não tinham uma idéia clara da diferença entre aritmética e álgebra), mas

outro grupo fez uma contribuição interessante – propuseram que utilizassem equações

de primeiro grau para obter múltiplos comuns ou até mesmo utilizar como introdução ao

Teorema de Bézout, esta última observação foi minha.

Ainda nesta etapa de institucionalização, os professores concluíram que este tipo

de abordagem ocorre em muitas aulas, porém eles nunca perceberam que a idéia de rede

é muito mais natural que uma abordagem linear do conhecimento. Demonstraram

preocupação quanto à forma de registrar esse conteúdo nos seus diários de classe, por

exemplo. Repliquei dizendo que o objetivo da aula não era introduzir uma nova forma

de registrar as aulas, mas uma forma de perceber as dinâmicas diferentes de pensamento

de alunos diferentes, e que o importante era o professor ter em mente uma rede de

significados para um conteúdo ensinado e proporcionar atividades que levem seus

alunos a percorrerem o maior número possível de nós dessa rede, atribuindo

significados pessoais para aquilo que aprendem.

No final da aula, os professores se prontificaram a propor aos seus alunos,

durante a semana de 29 de setembro a 3 de outubro, o problema trabalhado por eles.

Na semana seguinte, pude resumir as expressões dos docentes em uma palavra:

surpresa. Os relatos foram quase unânimes de alunos normalmente desinteressados que

Anais do VIII ENEM – Relato de Experiência GT 7 - Formação de Professores que Ensinam Matemática 14

se dedicaram à resolução deste problema, proposto para eles como um desafio. Um caso

interessante foi o relato de uma professora que ficou surpresa com um aluno que,

segundo ela, sempre dormia em suas aulas. Ao propor o desafio, o aluno caminhou até

sua mesa (fato que nunca havia ocorrido antes) e mostrou a solução correta para ela que,

surpresa, o indagou sobre o raciocínio que havia utilizado para resolver o problema. Ele

explicou: “Tenho cinco quadrados, quero encontrar quatro peças. Cinco dividido por

quatro é igual a 1,25, então a divisão fica assim (mostra novamente a resposta)”.

Outros professores relataram que os chamados “melhores alunos das classes”

não gostaram da atividade e demonstraram resistência para aceitarem a proposta.

Levanto a hipótese que estes alunos tinham o seu bom desempenho associado ao

contrato didático vigente que, ao ser quebrado, fez com que as inseguranças destes

alunos viessem à tona, pois não tinham certeza que o seu desempenho também seria

satisfatório por esse novo contrato estabelecido.

Uma professora que leciona para classes de suplência em curso noturno, todos

adultos, trouxe contribuições interessantes para a aula, dizendo que seus alunos não se

interessaram tanto pela atividade. Perguntou porque isso teria ocorrido. Acredito que,

pelo fato do problema não ter uma contextualização ligada ao cotidiano destes adultos, o

interesse pela resolução do mesmo se restringiria aos alunos com interesse real pela

própria Matemática. Talvez os alunos do ensino fundamental sentiriam maior prazer em

encontrar contextualização dentro da própria Matemática. Um professor fez um

comentário interessante ao encontrar uma possível solução para esse problema: Bastaria

contextualizá-lo, por exemplo, dizendo que a figura representa um terreno que deve ser

dividido entre irmãos, de modo que o formato dos terrenos repartidos fossem iguais para

todos. Completei dizendo que poderíamos desenhar ruas, aproveitando o contorno da

figura e acrescentar uma nova variável, propondo uma divisão de tal forma que o

comprimento do terreno voltado para a rua fosse igual para todos os irmãos. Nesse caso,

o problema 1 não teria solução (como mostra a figura abaixo) e o problema 2

apresentaria a mesma solução já relatada anteriormente.

Anais do VIII ENEM – Relato de Experiência GT 7 - Formação de Professores que Ensinam Matemática 15

RUA

O terreno branco possui “frente voltada para a rua” menor que os outros, o que torna a divisão impossível.

CONCLUSÃO

Pude observar, não só pelas conclusões extraídas dessa aula, mas das

observações feitas nas aulas subseqüentes do curso, que a visão de currículo linear, onde

os conteúdos seguem uma seqüência bem definida e inquestionável, foi modificada para

essa nova concepção de currículo em rede. Termino esse relato com um texto elaborado

pelo professor Maurício Dias da Escola Estadual Paul Hugon, participante do curso, que

entregou o texto reproduzido abaixo no final da aula, sem que eu pedisse para que eles

redigissem algo. Portanto acredito ser uma representação dos sentimentos vividos pelo

grupo:

“Trabalhar com o currículo em forma de rede é, sem dúvida nenhuma, muito

mais interessante. Pude perceber que o que falta é o tipo de registro e análise dessa

dinâmica. A vivência dos temas ou eixos temáticos, pode acontecer dentro de sala de

aula. O que muda é a forma de abordagem do eixo temático e aproveitar todo

conhecimento que o aluno traz. Agradeço as dicas e o bom dia que passamos...”

Palavras Chaves:

Formação, Professor, Currículo.

Referências Bibliográficas:

IMENES, L.M. Problemas Curiosos. São Paulo: Scipione, 1999.

PIRES, C.M.C. Currículos de Matemática: Da Organização Linear à Idéia de Rede.

São Paulo: FTD, 2000.