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Matemática e suas Tecnologias • Matemática 67 Módulo 2 • Unidade 6 Função do 2° grau Para início de conversa... A função é um grande instrumento de modelagem de fenômenos físicos e situações cotidianas como foi visto em unidades anteriores. Um tipo de função muito usada é a função do 2° grau com a qual trabalharemos nesta unidade. O gráfico desta função é uma parábola que pode ser vista em algumas situações cotidianas e em alguns objetos. Legenda: Em muitos movimentos da ginástica de solo, o centro de massa do atleta des- creve uma trajetória parabólica. Legenda: Em vários lances de uma partida de futebol, a trajetória do movimento da bola é uma parábola.

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Matemática e suas Tecnologias • Matemática 67

Módulo 2 • Unidade 6

Função do 2° grauPara início de conversa...

A função é um grande instrumento de modelagem de fenômenos físicos

e situações cotidianas como foi visto em unidades anteriores. Um tipo de função

muito usada é a função do 2° grau com a qual trabalharemos nesta unidade. O

gráfico desta função é uma parábola que pode ser vista em algumas situações

cotidianas e em alguns objetos.

Legenda: Em muitos movimentos da ginástica de solo, o centro de massa do atleta des-creve uma trajetória parabólica.

Legenda: Em vários lances de uma partida de futebol, a trajetória do movimento da bola é uma parábola.

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Módulo 2 • Unidade 668

Legenda: A antena parabólica possui um formato de um paraboloide de revolução, este obtido pela rotação de uma parábola em torno de seu eixo.

Parábola

É o conjunto de pontos do plano cuja distância a um ponto fixo F (foco) é igual à distância à reta L (diretriz). Como mostra a figura a seguir

Na figura acima, temos que os pontos P1, P2 e P3 da parábola, por definição, são tais que P1F = P1Q1, P2F = P2Q2 e P3F = P3Q3.

Objetivos de aprendizagem

� Consolidar conhecimentos obtidos no Ensino Fundamental II, como resolver equações do 2° grau.

� Conceituar função do 2° grau.

� Determinar a lei de formação de uma função do 2° grau.

� Determinar a imagem de elementos do domínio de uma função do 2° grau

� Utilizar a função do 2° grau para resolver problemas relacionados à Física

� Avaliar proposta de intervenção na realidade, utilizando conhecimentos geométricos relacionados a gran-

dezas e medidas.

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Matemática e suas Tecnologias • Matemática 69

Seção 1Modelando um problema

É importante para uma indústria, empresa, fábrica etc. saber modelar alguns problemas que lhes informem

sobre custo mínimo, receita máxima, lucro máximo, formato de objetos que devem ser produzidos, dentre outras

questões. Mostraremos um exemplo de uma situação-problema em que deveremos determinar uma função que

represente a área de algo a ser calculado.

Problema: Marlise possui uma fábrica que produz molduras

para várias lojas. Após uma análise, descobriu-se que para utilizar

o máximo das ripas de madeira, sem ter cortes desnecessários, era

melhor fazer quadros de formatos quadrados. Ela precisa dessas

ripas para fazer molduras para quadros de medidas iguais a:

10x10 cm, 15x15 cm, 20x20 cm, 25x25 cm, 30x30 cm e 35x35 cm.

Além disso, ela deseja que as molduras tenham 2 cm de largura,

ou seja, quer que as ripas de madeira tenham 2 cm de largura.

Quais devem ser os comprimentos destas ripas? Após alguns cálculos, Marlise chegou a seguinte conclusão: “As ripas

de madeira devem ter os seguintes comprimentos: 50 cm, 70 cm, 90 cm, 110 cm, 130 cm e 150 cm, respectivamente”.

Mas como Marlise chegou a esta conclusão? Ficou curioso? Resolveremos este problema mais tarde, antes

precisamos trabalhar alguns conceitos importantes.

Seção 2Revendo equações do 2° grau

É importante lembrarmos como se determinam as raízes de uma equação do 2° grau, ou seja, uma equação

do tipo ² 0ax bx c+ + = , com 0a ≠ . Está confuso com tantas letras? Vamos dar um exemplo, para você entender.

Geralmente, usamos a fórmula de determinação das raízes de uma equação do 2° grau, conhecida pelo nome de Fórmula

de Bhaskara: 2

bx

a− ± ∆

= , onde ² 4b ac∆ = − .

Exemplo 2.1: ² 8 15 0x x− + =

Como 1, 8 e 15 a b c= = − = e 64 4 1 15 4∆ = − ⋅ ⋅ = , substituindo estes valores na Fórmula de Bhaskara, temos:

8 4 8 22 1 2

x± ±

= =⋅

, ou seja, as raízes são 1 5x = e 2 3x = .

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Módulo 2 • Unidade 670

Exemplo 2.2: ² 3 1 0x x+ + =

Como 1, 3 e 1a b c= = = e 64 4 1 15 4∆ = − ⋅ ⋅ = , substituindo estes valores na Fórmula de Bhaskara, temos:

3 5 3 52 1 2

x− ± − ±

= =⋅

, ou seja, as raízes são 1

3 52

x− +

= e 2

3 52

x− −

= .

No entanto, algumas equações do 2° grau são da forma incompleta, ou seja, com o coeficiente b = 0 ou o coeficiente c = 0. Neste caso, podemos resolver estas equações sem utilizar a fórmula descrita anteriormente. Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 2.3: ² 3 1 0x x+ + =

Colocando em evidência, temos:

( 5) 0x x − =

Repare que conseguimos reescrever o primeiro membro como produto de dois termos (o termo x está

multiplicando o termo x - 5 ). Como este produto é igual a zero, isto significa que o 1° termo é zero ou o 2° termo é

zero. Assim temos:

x = 0 ou x - 5 = 0.

Logo, as raízes são 1 0x = e 2 5x = .

Observação: Devemos tomar muito cuidado ao resolver esta equação, pois não podemos dividir os dois membros por

x(“cortar o x nos dois termos”), o que resultaria na equação x - 5 = 0 e teríamos como raiz apenas x = 5. O erro está ao dividir os

dois lados por x, estamos assim dividindo por zero (já que zero é uma das soluções) o que não é possível.

Exemplo 2.4: ² 4 0x − =

Notemos que neste caso o que queremos descobrir é um número x, em que seu quadrado menos quatro

unidades é igual a zero. Primeiro qual é o número x2 que subtraído de quatro unidades é igual a zero. Este número é

quatro, ou seja, ² 4x = . Agora devemos encontrar o número x que elevado ao quadrado é igual a quatro. Temos duas

possibilidades para x, são elas: 1 2x = e 2 2x = − .

Isto que fizemos é o mesmo que “passarmos o 4 para o outro lado, trocando de sinal”: ² 4x = e portanto 2x = ± ,

ou seja, chegamos às mesmas raízes 1 2x = e 2 2x = − .

Observação: nesta última passagem do exemplo 2 ( ² 4x = e portanto 2x = ± ), é necessário tomarmos muito

cuidado, pois alguns pensam que devemos tirar raiz quadrada dos dois lados da igualdade e assim obter ²x x= e

4 2= ± , vamos analisar estas igualdades. A primeira igualdade ²x x= nem sempre será verdadeira (na Matemática,

dizemos que esta igualdade é falsa, pois não é verdadeira para TODOS os valores de x), para isto tomemos x = –8,

assim x² = 64 e portanto ² 64 8 ( 8)x x= = = − − = − , ou seja, acabamos de mostrar que a raiz quadrada do quadrado

de um número x nem sempre é igual a este número x, como neste caso, cujo resultado foi –x.

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Matemática e suas Tecnologias • Matemática 71

E a segunda igualdade: 4 2= ± é falsa, pois a raiz quadrada de um número positivo, por definição, é sempre

um número não negativo. Portanto 4 2= . Aqui, vale a pena explicar uma grande dúvida dos alunos. Alguns teriam

a seguinte dúvida: “mas quando eu resolvo uma equação x² = 4 eu obtenho 2x = ± ”. A solução está correta, mas isto

ocorre não pelo fato de 4 2= ± , mas pelo fato de termos de determinar um número x que elevado ao quadrado dá

4, como sabemos que um número (positivo ou negativo), elevado ao quadrado é sempre igual a um número positivo,

então podemos afirmar que os números 4 e 4− fazem parte da solução da equação, pois substituindo em x

temos ( )24 4= e ( )2

4 4− = . Como 4 2= , a solução é x = 2 e x = -2. Resumindo, podemos resolver a equação

x² = 4 da seguinte maneira 4x = ± , logo 2x = ± .

Vejamos mais alguns exemplos de equações em que não precisamos usar a Fórmula de Bhaskara:

Exemplo 2.5: ( 5)² (2 3)²x x− = −

Uma pessoa que olhasse apressadamente para esta equação, desenvolveria a diferença de dois quadrados nos

dois lados da equação. Essa resolução está correta. No entanto, se olharmos para o problema com um pouco mais de

calma, poderemos fazê-lo de um jeito mais eficiente que resultaria em menos contas. Vamos ver como? Fazendo assim:

² 10 25 4 ² 12 9x x x x− + = − +

Depois iria reduzir os termos semelhantes:

3 ² 2 16 0x x− − =

E resolveria esta equação, usando a Fórmula de Bhaskara:

Como 3, 2 e 16 a b c= = − = − e 4 4 3 ( 16) 196∆ = − ⋅ ⋅ − = ;então,

2 196 2 142 3 6

x± ±

= =⋅

, isto é, as raízes são 1

83

x = e 2 2x = −

No entanto, não precisamos de fórmula para resolver esta equação, para isto devemos responder à seguinte

pergunta: “Qual é o número (x - 5 ) que elevado ao quadrado é igual ao quadrado do número (2x - 3) ?” Para responder

a esta pergunta, é importante entendermos quando dois números quadrados são iguais. Veja alguns exemplos:

(2)² = (–2)², pois tanto o quadrado de -2 quanto o quadrado de –2 são iguais a 4. E (2)² = (2)², pois é o mesmo número

que está elevado ao quadrado.

De maneira geral, os quadrados de dois números são iguais, quando estes dois números são iguais ou quando

estes números são simétricos.

Assim para resolver a equação ( x - 5)2 = ( 2x - 3)2 temos de contar com as duas possibilidades:

1ª possibilidade: os números serem iguais

x - 5 = 2x - 3

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Módulo 2 • Unidade 672

Resolvendo, temos x = -2

2ª possibilidade: os números serem simétricos

x - 5 = -(2x - 3 )

Resolvendo, temos 83

x =

Concluímos que as raízes desta equação são 1

83

x = e 2 2x = − .

Observação: Alguém poderia tentar tirar a raiz quadrada dos dois lados da equação, mas já vimos que ²x x=

é falso. Fazendo desta forma (errada) encontraríamos x - 5 = 2x - 3, o que resulta em x = -2. Ou seja, encontraríamos

apenas 1 das raízes.

Exemplo 2.6: ( x - 3 )2 ( x - 5 ) = 0

Repare que se desenvolvermos o quadrado da diferença de dois termos e depois aplicarmos a distributiva, isto

resultaria em uma equação de 3° grau, sendo impossível resolver pela Fórmula de Bhaskara. Assim devemos resolver,

utilizando o mesmo raciocínio empregado no Exemplo 2.3, isto é, o produto de dois números é zero, quando um dos

fatores é igual a zero. Assim, temos duas possibilidades:

1ª possibilidade

(x - 3)2 = 0

O único número que elevado ao quadrado dá zero é o próprio zero. Ou seja:

x - 3 = 0

E uma das raízes é x = 3

2ª possibilidade:

x - 5 = 0

A outra raiz é x = 5.

Exemplo 2.7: ( 3x - 5 )2 = 36

Neste caso, não precisamos desenvolver o produto notável. Temos de entender que queremos calcular um “número” que elevado ao quadrado dê 36. Temos duas possibilidades, esse “número” é 6 ou –6:

3x - 5 = 6 ou 3x - 5 = - 6

113

x = 13

x = −

Logo, as raízes são: 113

x = e 13

x = − .

Agora é sua vez! Tente resolver os exercícios a seguir.

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Matemática e suas Tecnologias • Matemática 73

Atividade 1:

Resolva as equações:

a) (2 4)² (7 17)²x x− = + g) 4 ² 25 0x − =

b) 2 ² 3 0x x− = h) ( )25 2 9x + =

c) ( 7)(3 6)² 0x x− + = i) ² 6 9 0x x+ + =

d) ² 4 1 0x x+ + = j) ( 3)(2 3)² 0x x x+ − =

e) ( )27 2 25x− = l) 3 ² 12 0x + =

f ) ² 6 10 0x x− + = m) ( 5)²(3 4)² 0x x+ − =

Seção 3Fórmulas de função do 2° grau no cotidiano

No campeonato espanhol, 20 clubes enfrentam-se em turno e returno, ou seja, todos jogam contra todos

em dois turnos. Você sabe quantos jogos são realizados neste campeonato? Para respondermos a esta pergunta,

podemos pensar da seguinte maneira: sejam C1, C2, ..., C19 e C20

os clubes participantes, para cada par de letras temos 1 jogo. Por

exemplo, C1C2 representa o jogo entre estes dois clubes em que o C1

está jogando em casa e C2 é o desafiante. Já C2C1 significa que neste

jogo C1 é o visitante e C2 é o clube da casa. Assim, para determinar o

número de jogos, temos de decidir quem será o time da casa e quem

será o time desafiante. Para o time da casa, temos 20 escolhas possíveis,

escolhido o time da casa agora temos de escolher o time visitante, o que podemos fazer de 19 maneiras. Logo, o total

de jogos é igual a 20 x 19 = 380.

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Módulo 2 • Unidade 674

E se quisermos calcular o número de jogos y de um campeonato com x clubes em que todos se enfrentam

em dois turnos, de que forma podemos fazer isto? Usaremos o mesmo método utilizado no campeonato espanhol.

Para determinar o número de jogos, temos de decidir quem será o time da casa e quem será o time desafiante. Para

o time da casa, temos x escolhas possíveis. Escolhido o time da casa, agora temos de escolher o time visitante, o que

podemos fazer de (x – 1) maneiras. Logo, o total de jogos é y = x(x – 1). Ou seja, o número de jogos é obtido a partir da

lei da função do 2° grau y = x² – x.

De maneira geral, uma função do 2° grau é toda função do tipo f(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0. São duas coisas

diferentes, pois na seção 2 estamos tratando de equações do 2° grau, já nesta seção é função do 2° grau.

Suponha que um campeonato siga as regras dadas no exemplo anterior.

a. Determine o número de jogos, se o campeonato for disputado por 12 times.

b. Determine quantos times estão disputando um determinado campeonato (dife-

rente do item a), sabendo que 90 jogos foram realizados.

Seção 4Movimento Uniformemente Variado (MUV)

A função do 2° grau é um modelo matemático que descreve o movimento uniformemente variado

(MUV). Neste tipo de movimento, a velocidade varia de forma regular, isto é, para intervalos de tempos iguais

temos variações de velocidades iguais. Sabemos que a aceleração é a variação da velocidade num determinado

intervalo de tempo: 0

0

v vva

t t t−∆

= =∆ −

, neste movimento a aceleração é constante e, portanto quando o tempo

inicial é igual a zero, ou seja, t0 = 0 temos: v = at + v0 (*) (função do 1° grau, já estudada). Note que (aceleração

constante) e (velocidade inicial é sempre dada, portanto é uma constante) são números reais. Como exemplo, temos:

v = 5t + 3 que significa que o móvel tem uma aceleração de 5 m/s² e uma velocidade inicial de 3 m/s.

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Matemática e suas Tecnologias • Matemática 75

http://netvunq.wikispaces.com/file/

view/mru-mruv.swf/306222656/mru-

-mruv.swf

Modelo matemático

é a descrição matemática (frequentemente por meio de uma função ou de uma equação) de um fenômeno do mundo real,

como o tamanho de uma população, a demanda por um produto, a velocidade de um objeto caindo, a concentração de um

produto em uma reação química, a expectativa de vida de uma pessoa ao nascer ou o custo de redução de previsões sobre seu

comportamento futuro.

Fonte: Stewart, J., Cálculo, volume 1. Ed.CENGAGE Learning, 2ª Ed. 2010.

Como podemos conseguir uma função que relaciona a posição s de um móvel em função do tempo t, usando

a função acima? Para isso, devemos lembrar que velocidade ( v ) é a variação da posição ( s∆ ) de um objeto num

determinado intervalo de tempo ( t∆ ), isto é, s

vt

∆=∆

. Pelo gráfico da velocidade em função do tempo, mostrado a

seguir, podemos calcular a variação da posição do móvel no MUV, onde s∆ é igual à área da região sob o gráfico da

velocidade e acima do eixo x.

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Módulo 2 • Unidade 676

Repare que a figura hachurada é um trapézio de base maior B v= , base menor 0b v= e altura h = t. E como a

área A de um trapézio é dada pela fórmula ( )2

B b hA

+= , temos 0( )

2v v t

s+

∆ = , ou seja, 00

( )2

v v ts s

+− = (**).

Substituindo (*) em (**), temos:

0 00

( )2

at v v ts s

+ +− = , logo 0 0

2s at v t s= + + . (***)

Esta é uma função do 2° grau em que para cada instante t temos uma posição s, deve-se notar que a, v0, e s0 são

constantes, ou seja, são fornecidos no problema.

Uma aplicação importante desta fórmula é a queda livre dos corpos. Suponha que um objeto é solto, em

queda livre, a uma altura de 490 m do solo. Determine o tempo necessário para o objeto chegar ao solo, desprezando

a resistência do ar.

Para resolvermos este problema, primeiro devemos organizar as informações dadas: v0 = 0, pois o objeto é

solto, não tendo assim velocidade inicial; neste caso a aceleração é a da gravidade e, portanto a = -9,8 / s2 ; e s0 = 490 ,

pois o objeto está a 490 m de altura. Substituindo estes dados na função (***), temos:

1( 9,8) ² 490

2s t= − + , como queremos determinar o tempo para que o objeto chegue ao solo então s = 0 e

substituindo, temos:

4,9 ² 490 0t− + =

Esta é uma equação do 2° grau incompleta, lembra como devemos resolvê-la?

4,9 ² 490t− = − , ou seja, ² 100t =

Logo, t = 10s , isto é, o objeto demora 10 s para atingir o solo.

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Matemática e suas Tecnologias • Matemática 77

Uma bola é lançada verticalmente para cima com uma velocidade inicial de 40 m/s2, a

partir do solo. Suponha que a aceleração da gravidade seja de –10 m/s². Determine:

c. a função s em função de t, usando a função do 2° grau que modela este fenô-

meno físico.

d. a altura em que a bola se encontra 1 s após o lançamento.

e. o(s) instante(s) em que a bola se encontra a 75 m do solo.

f. o instante em que a bola atinge a altura máxima.

g. Dica: Para isso, é importante perceber que a bola atinge a altura máxima no ins-

tante em que a velocidade é nula, ou seja, . Use a fórmula .

h. a altura máxima atingida pela bola.

i. o instante em que a bola retorna ao solo. Faça um desenho, representando a

cada segundo a altura em que a bola encontra-se.

Voltando a seção 1

Na seção 1, tínhamos a seguinte situação: “Marlise precisa de ripas para fazer molduras para quadros de

medidas iguais a: 10x10 cm, 15x15 cm, 20x20 cm, 25x25 cm, 30x30 cm e 35x35 cm. Além disso, ela deseja que as

molduras tenham 2 cm de largura, ou seja, quer que as ripas de madeira tenham 2 cm de largura. Quais devem ser os

comprimentos destas ripas?

Para resolvermos este problema, primeiro devemos notar que as ripas devem ser cortadas em formas de

trapézio (de base maior A e base menor B), e depois para que aproveitemos o máximo da madeira, devemos fazer

cortes de 45° como mostrado na figura abaixo, donde x é a medida do tamanho da ripa e y a medida da largura.

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Módulo 2 • Unidade 678

No nosso exemplo, as ripas têm 2 cm de largura, assim temos a seguinte figura:

Desta figura, temos:

(*)

Destacando um dos trapézios, temos:

A - B = 4 (**)

Resolvendo o sistema formado pelas equações (*) e (**), chegamos aos seguintes resultados:

64

xA

+= e 10

4x

B−

=

A moldura ficará com formato como mostrado na figura a seguir:

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Matemática e suas Tecnologias • Matemática 79

Assim, o quadro de formato quadrado de lado B possui área igual a:

2

210 1 5 254 16 4 4

xS x x

− = = − +

(função do 2° grau)

Dessa forma, se for pedido à Marlise uma moldura para um quadro 10 cm x 10 cm, ela terá de substituir por 100

na função acima, pois é a área de um quadrado de lado 10. Substituindo, temos:210

1004

x − =

Lembra como resolvemos este tipo de equação? Queremos calcular um “número” que elevado ao quadrado dê

100. Que número é este? Os possíveis números são 10 e –10. Assim, temos:

1010

4x −

= ou 1010

4x −

= −

x = 50 x = -30 (não serve)

Logo, a ripa deve ter 50 cm de comprimento. E aí, o que achou? Tente fazer o mesmo para quadros de tamanhos

15x15 cm, 20x20 cm, 25x25 cm, 30x30 cm e 35x35 cm.

Você sabia que os Antigos Babilônios já sabiam resolver equações do 2° grau há mais de 4 mil anos? É

verdade! Eles usavam um sistema sexagesimal e não o nosso sistema atual que é decimal. Eis um exem-

plo (no nosso sistema decimal) que data de 1800 a. C., aproximadamente, encontrado numa tábula de

Strasburgo: “Uma área A, que consiste na soma de dois quadrados, é 1000. O lado de um dos quadrados é

10 a menos que 2/3 do lado do outro quadrado. Quais os lados dos quadrados?” Fica este exercício como

desafio para você resolver.

Fonte: Eves, Howard. Introdução à história da matemática. Ed Unicamp.

ResumoFunção do 2° grau é toda função do tipo f(x) = ax² + bx + c, em que a ≠ 0.

A forma tradicional de resolver uma equação do segundo grau, é usando a Fórmula de Bhaskara: , onde .

Muitas equações do segundo grau podem ser resolvidas sem recorrer a esta fórmula. Como, por exemplo, as

equações do segundo grau que têm c=0 ou b = 0.

Algumas funções do 2° grau modelam fenômenos físicos e situações do cotidiano, por exemplo, a função do 2°

grau fornece a posição de um móvel em cada instante , donde , e são constantes, ou seja, são fornecidos no problema.

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Módulo 2 • Unidade 680

Veja aindaPara saciar sua curiosidade, indicamos os seguintes sites:

http://www.somatematica.com.br

http://www.passeiospelamatematica.net/dia-a-dia/matdi.htm

Referências

� Lima, E.L., Carvalho, P.C.P., Wagner, E., Morgado, A.C. A matemática do Ensino médio, vol.1, SBM.

� Iezzi, G., Dolce, O., Degenszajn, D., Périgo, R., de Almeida, N. Matemática ciência e aplicações, vol.1, Ed

Saraiva.

� Lozada, Cláudia de Oliveira; Araújo, Mauro Sérgio Teixeira de; Morrone Wagner; Amaral, Luiz Henrique, Uni-

versidade Cruzeiro do Sul ( UNICSUL), SP. A modelagem matemática aplicada ao ensino de Física no

Ensino Médio, Revista Logos, n° 14, 2006.

Imagens

  •  http://www.sxc.hu/photo/789420

  •  http://fisicamoderna.blog.uol.com.br/images/diego_hyp_corpo.jpg

  •  http://www.vestibulandoweb.com.br/fisica/teoria/fundamentos-cinematica-8.gif

  •  http://www.electrospace.com.br/vitrine/Antenas/slides/Antenas%20Parabolicas%2001.jpg

  •  http://www.pensevestibular.com.br/wp-content/uploads/2010/11/parabola1.png

  •  Acesso em 06 de maio de 2012: http://www.viladoartesao.com.br/blog/wp-content/uploads/2011/02/cor   te_ripas.jpg

  •  http://www.sxc.hu/photo/1092950

  •   http://www.sxc.hu/photo/1295183

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Matemática e suas Tecnologias • Matemática 81

  •  http://www.sxc.hu/photo/517386  •  David Hartman.

  •  http://www.sxc.hu/985516_96035528.

  •  http://www.sxc.hu/browse.phtml?f=download&id=1024076  •  Michal Zacharzewski.

Atividades 1:

a. 215

x = − e 139

x = − g. 52

x = e 52

x = −

b. x = 0 e 32

x = h. 15

x = e x = -1

c. x = 7 e x = -2 i. x = 3 (raiz dupla)

d. 2 3x = − + e 2 3x = − − j. x = 0, 32

x = e x = -3

e. x = 1 e x = 6 l. Não existe raiz real

f. Não existe raiz real m. x = -5 e43

x =

Atividade 2:

a. 132 jogos b. 10 times

Atividade 3:

a) 5 ² 40s t t= − + . Como a bola é lançada a partir do solo, utilizamos esta posição

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Módulo 2 • Unidade 682

inicial como sendo zero, ou seja, .

b. 35 m

c. Em 3 s e 5 s

d. Após 4 s

e. A altura máxima é de 80 m.

f. Após 8 s

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Matemática e suas Tecnologias • Matemática 83

O que perguntam por aí?1(ENEM - 2009) Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu

proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais

por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200 litros. Considerando x o

valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do

álcool, então a expressão que relaciona V e x é:

A) V = 10.000 + 50x – x2

B) V = 10.000 + 50x + x2

C) V = 15.000 – 50x – x2

D) V = 15.000 + 50x – x2

E) V = 15.000 – 50x + x2

Solução: Primeiro notemos a tabela a seguir:

Quantidade de álcool (em litros) 10000 10000 + 1·100 10000 + 2·100 ...... 10000 + x·100

Preço por litro (em reais) 1,50 1,50 – 1·0,01 1,50 – 2·0,01 ...... 1,50 – x·0,01

Assim, temos:

Valor arrecadado/dia = (quantidade de álcool/dia)·(preço do litro de álcool)

V = (10000 + 100x)·(1,5 – 0,001x)

Logo, a resposta é V = 15.000 + 50x – x2, ou seja, a alternativa D.

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Matemática e suas Tecnologias • Matemática 85

Caia na rede!Vídeo: Fórmula de Bhaskara

No link http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id=33060, você vai encontrar um vídeo que

mostrará um passeio histórico em torno de equações quadráticas, visitando hindus, mesopotâmios, gregos, árabes e

europeus, mostrando diferentes métodos de resolução até a famosa Fórmula de Bhaskara. Vale a pena verificar!

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Matemática e suas Tecnologias • Matemática 87

MegamenteO link http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1242 vai mostrar a você algumas atividades muito interessantes,

relacionadas a um processo de otimização em que são usados polinômios do 2º grau. Nesta atividade, o problema em

tela é a determinação da janela com topo triangular que tem maior área, considerando um perímetro fixo. O uso de

gráficos dinâmicos e de um pouco de modelagem completam este interessante problema. Visite-o!

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