Módulo 5 - Distribuição de Probabilidades

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Probabilidade e Estatística Módulo 5 – Distribuição de Probabilidades

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Probabilidade e EstatsticaMdulo 5 Distribuio de Probabilidades1INTRODUOUma distribuio de probabilidade um modelo matemtico que relaciona um certo valor da varivel em estudo com a sua probabilidade de ocorrncia.Praticamente, todas a caractersticas observveis na Engenharia esto sujeitas a variabilidade, que ocorre mesmo que controlemos todas as suas fontes, sejam de causas comuns ou especiais. A variabilidade restante (depois de controlados os fatores conhecidos) uma soma de fatores no conhecidos ou no controlveis, que ocorrem ao acaso, ou seja, aleatoriamente variveis aleatriasPortanto, uma distribuio de probabilidades, uma funo que descreve o comportamento de uma varivel aleatria, fornece a probabilidade de que a varivel aleatria assuma um determinado valor (varivel aleatria discreta) ou um conjunto de valores (varivel aleatria contnua).

Here comes your footer Page 2MODELOS PROBABILSTICOSNos conjuntos de dados, h algumas informaes importantes que podem ser retiradas com o auxlio dos modelos probabilsticos, como por exemplo: Um valor representativo, como a mdia (notao: ) ; Uma medida de disperso ou variabilidade, como o desvio-padro (notao: ) ; Natureza da forma da distribuio, simtrica ou assimtrica.

Varivel DiscretaVarivel ContnuaBinomialPoissonNormal (Gaussiano)ExponencialDISTRIBUIES DISCRETASNo caso de distribuies discretas, a probabilidade de que a varivel X assuma um valor especfico xi dada por: P(X=xi) = P(xi)Here comes your footer Page 4

Distribuies discretas importantesBinomialPoisson

Histograma de uma distribuio binomialDISTRIBUIO BINOMIALA distribuio binomial adequada para descrever situaes em que os resultados de uma varivel aleatria podem ser agrupados em apenas duas classes ou categorias.

As categorias devem ser mutuamente excludentes, de forma que no haja dvidas na classificao do resultado da varivel nas categorias e coletivamente exaustivas, de forma que no seja possvel nenhum outro resultado diferente das categorias.

Por exemplo, um produto manufaturado pode ser classificado como perfeito ou defeituoso, a resposta de um questionrio pode ser verdadeira ou falsa, as chamadas telefnicas podem ser locais ou interurbanas.Here comes your footer Page 5DISTRIBUIO BINOMIALMesmo variveis contnuas podem ser divididas em duas categorias, como por exemplo:a velocidade de um automvel pode ser classificada como dentro ou fora do limite legal. A dimenso de uma pea podem ser classificadas como aceitvel ou fora das especificaes.

Geralmente, denomina-se as duas categorias como sucesso ou falha. Como as duas categorias so mutuamente excludentes e coletivamente exaustivas:P(sucesso) + P(falha) = 1p + q = 1q = 1 - pHere comes your footer Page 6DISTRIBUIO BINOMIALConsidere um experimento aleatrio repetido n vezes, sob as mesmas condies, com as seguintes caractersticas:

1. Cada repetio do experimento produz um de dois resultados possveis : sucesso ou fracasso. 2. A probabilidade de sucesso, p = P(sucesso), constante em cada repetio. 3. As repeties so independentes: o resultado (sucesso ou fracasso) de uma repetio no interfere nas outras.

Nestas condies, X = n. de sucessos nas n repeties, segue uma distribuio Binomial com parmetros n e p:

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DISTRIBUIO BINOMIALCaractersticas importantesOs parmetros da distribuio Binomial so n e p X ~ B(n,p) A mdia e a varincia so calculadas (valores esperados) como: = np2 = np(1 - p)

A distribuio Binomial usada com frequncia no controle de qualidade quando a amostragem feita sobre uma populao infinita ou muito grande.Nas aplicaes de controle da qualidade, x em geral representa o nmero de defeituosos observados em uma amostra de n itens.Distribuies binomiais com p = 0,5 so simtricas, mas so assimtricas quando p 0,5. A assimetria aumenta medida que p aproxima-se de zero (assimetria positiva) ou de um (assimetria negativa)Here comes your footer Page 8DISTRIBUIO BINOMIALConsidere p = 0,10 a probabilidade de falha e n = 15. A probabilidade de obter x itens no conformes calculada usando a equao da Binomial.

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DISTRIBUIO DE POISSONA distribuio de Poisson adequada para descrever situaes onde existe uma probabilidade de ocorrncia em um campo ou intervalo contnuo, geralmente tempo ou rea.Nota-se que a varivel aleatria discreta (x = nmero de ocorrncia), no entanto a unidade de medida contnua (tempo, rea).A distribuio de Poisson fica completamente caracterizada por um nico parmetro (lambda) que representa a taxa mdia de ocorrncia por unidade de medida.

mdia e x = 0,1,...,n varincia

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DISTRIBUIO DE POISSONA aplicao tpica da distribuio de Poisson no controle da qualidade como um modelo para o nmero de defeitos (no-conformidades) que ocorre por unidade de produto (por m2, por volume ou por tempo, etc.). Encontra forte aplicao tambm em teoria de filas.Exemplo:O nmero de defeitos de pintura segue uma distribuio de Poisson com = 2. Ento, a probabilidade que uma pea apresente mais de 4 defeitos de pintura dada por:

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DISTRIBUIES CONTNUASNo caso de variveis contnuas, as probabilidades so especificadas em termos de intervalos, pois a probabilidade associada a um nmero especfico zero.Here comes your footer Page 12

Distribuies importantesExponencialNormal (Gauss)Distribuio ExponencialNa distribuio de Poisson, a varivel aleatria definida como o nmero de ocorrncias em determinado perodo, sendo a mdia das ocorrncias no perodo definida como . Na distribuio Exponencial a varivel aleatria definida como o tempo entre duas ocorrncias, sendo a mdia de tempo entre ocorrncias de 1/.Exemplo: qual a probabilidade de ocorrer uma falha em 0,5 metros, se ele possui uma taxa de 2 falhas por metro?Modelo:Here comes your footer Page 13

, x 0

DISTRIBUIO EXPONENCIALA distribuio Exponencial acumulada vem dada por:

A distribuio Exponencial largamente utilizada no campo da confiabilidade, como um modelo para a distribuio dos tempos at a falha de componentes eletrnicos.Nessas aplicaes o parmetro representa a taxa de falha para o componente, e 1/ o tempo mdio at a falha.Here comes your footer Page 14

DISTRIBUIO EXPONENCIALSuponha que uma mquina falhe em mdia uma vez a cada dois anos. Calcule a probabilidade da mquina falhar durante o prximo ano.

A probabilidade de falhar no prximo ano de 0,393 e de no falhar no prximo ano de 1-0,393=0,607. Ou seja, se forem vendidas 100 mquinas 39,3% iro falhar no perodo de um ano.Conhecendo-se os tempos at a falha de um produto possvel definir os perodos de garantiaHere comes your footer Page 15

DISTRIBUIO NORMALA distribuio Normal a mais importante das distribuies estatsticas, tanto na teoria como na prtica: Representa a distribuio de frequncia de muitos fenmenos naturais;Serve como aproximao da distribuio Binomial, quanto n grandePelo Teorema do Limite Central*, se o tamanho da amostra for suficientemente grande, a mdia de uma amostra aleatria ter uma distribuio Normal, isto , o histograma ou polgono de frequncias dos dados da amostra tem aspecto similar a curva Normal.

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DISTRIBUIO NORMALCaractersticasA mdia, mediana e moda so iguaisCurva em formato de sino e simtrica em torno da mdia.rea total sob a curva igual a 1.Caracterizada pelos valores de mdia () e desvio padro () da varivel aleatria, ou seja, x N(,).A rea de uma regio sob a curva igual probabilidade de que a varivel aleatria tenha um valor no intervalo correspondente.

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DISTRIBUIO NORMALMdia e Desvio PadroA mdia d a localizao da linha de simetriaO desvio padro descreve a disperso dos dadosEntre e + (no centro da curva), o grfico se curva para baixo. O grfico se curva para cima esquerda de e direita de + . Os pontos nos quais a curva muda a sua trajetria para cima ou para baixo so chamados de pontos de inflexo.

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DISTRIBUIO NORMAL PADROExistem infinitas distribuies normais, cada qual com sua prpria mdia e desvio padro, o que dificulta a obteno dos valores de probabilidades.A distribuio normal padro a distribuio normal com mdia 0 e desvio padro 1.Qualquer distribuio normal (valores de x) pode ser transformada em normal padro (escores z) atravs do uso da expresso:

DISTRIBUIO NORMAL PADRONIZADAUma vez transformada, pode-ser usar escores z e a curva normal padro tabelada - para obter reas (e portanto probabilidades) sob qualquer curva normal.

Varivel x e padronizao zrea vs percentagem de casos

DISTRIBUIO NORMAL PADRONIZADAExemplo: Considere uma distribuio normal com mdia igual a 3,6 e desvio padro de 0,8. A probabilidade de se encontrar um elemento desta distribuio menor 3,8 dada por:

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O valor tabelado para z = 0,25 0,5987. Este valor corresponde a rea sob a curva normal acumulada de - a 0,25. Assim, o valor da probabilidade procurado 0,5987.

Ou seja, o probabilidade de encontrar um valor abaixo de 3,8 de 59,87%.

OBTENDO REAS SOB A CURVA NORMAL PADROP(z > 2) = 1,000 0,9772 = 0,0228 (2,28%)

P(-1 z 0) = 0,5000 0,1587 = 0,3413 (34,13%)

P(-2 z 1) = 0,8413 - 0,0228 = 0,8185 (81,85%)

rea total sob a curvarea acumulada sob curva at z = 2rea acumulada sob a curva at z = -2rea acumulada sob a curva at z = 1rea acumulada soba curva at z = 0rea acumulada sob curva at z = -1DISTRIBUIO NORMAL EXEMPLO 1A resistncia trao do papel usado em sacolas de supermercado uma caracterstica de qualidade importante. Sabe-se que essa resistncia segue um modelo Normal com mdia 40 psi e desvio padro 2 psi. Se a especificao estabelece que a resistncia deve ser maior que 35 psi, qual a probabilidade que uma sacola produzida com este material satisfaa a especificao?Here comes your footer Page 23

DISTRIBUIO NORMAL EXEMPLO 2O dimetro do eixo principal de um disco rgido segue a distribuio Normal com mdia 25,08 in e desvio padro 0,05 in. Se as especificaes para esse eixo so 25,00 0,15 in, determine o percentual de unidades produzidas em conformidades com as especificaes.Here comes your footer Page 24

DISTRIBUIO NORMAL EXEMPLO 3Suponha que X N(85; 9). Encontre um valor limite x, sabendo que P(X>x) = 0,05.

Assim,Here comes your footer Page 25

EXERCCIOSNum lote que tem 2% de defeituosos, foram retiradas 40 peas, que ser rejeitado se forem encontradas duas ou mais peas defeituosas. Qual a probabilidade de rejeitar o lote?

Os registros de uma pequena companhia indicam que 40% das faturas por ela emitidas so pagas aps o vencimento. De 14 faturas expedidas, determine a probabilidade de:nenhuma ser paga com atraso.no mximo 2 serem pagas com atraso.pelo menos 3 serem pagas com atraso.uma ser paga em dia.Here comes your footer Page 26EXERCICIOSEm uma indstria automotiva, defeitos superficiais de pintura ocorrem a uma taxa de 0,15 defeitos/unidade. Encontre a probabilidade que uma unidade escolhida ao acaso apresente 1 ou mais defeitos superficiais.

O setor financeiro de uma loja de departamentos est tentando controlar o nmero de erros cometido na emisso das notas fiscais. Suponha que esses erros sigam o modelo de Poisson com mdia =0,03. Qual a probabilidade de uma nota selecionada ao acaso conter 2 ou mais erros?

Uma amostra de 1 m de cabo foi retirada de uma bobina. O cabo tem em mdia uma falha por m. Qual a probabilidade de no encontrar falha na amostra? Qual a probabilidade de encontrar 2 falhas na amostra?Here comes your footer Page 27EXERCCIOSOs tempos at a falha de um dispositivo eletrnico seguem o modelo Exponencial, com uma taxa de falha = 0,012 falhas/hora. Indique qual a probabilidade de um dispositivo escolhido ao acaso sobreviver a 50 horas? E a 100 horas?O tempo at a venda de um certo modelo de eletrodomstico, que regularmente abastecido em um supermercado, segue uma distribuio Exponencial, com parmetros = 0,4 aparelhos/dia. Indique a probabilidade de um aparelho indicado ao acaso ser vendido logo no primeiro dia.Os dados abaixo referem-se viscosidade de um produto qumico. Encontre um valor limite de viscosidade x, tal que P(viscosidade>x)=0,075. Here comes your footer Page 28