MÓDULO DE MATEMÁTICA 2 - Uniesb

UNIDADE INTEGRADA DE EDUCAÇÃO

SUPERIOR DO BRASIL – UNIESB

MATEMÁTICA 2

CADERNO DE ORIENTAÇÕES [O Caderno de Orientações é composto pelas aulas e os respectivos conteúdos discutidos em sala. Tem como finalidade básica auxiliar os alunos na compreensão dos fundamentos essenciais de Matemática, sem nenhuma pretensão de substituir os livros dessa ciência]

2011

Prof.º ANTONIO JOSÉ Economista

Prof.º ANTONIO JOSÉ CURSO DE ADMINISTRAÇÃO MATEMÁTICA 2

UNIDADE INTEGRADA DE EDUCAÇÃO SUPERIOR DO BRASIL – UNIESB

CURSO DE ADMINISTRAÇÃO

Prof.º Antonio José | MATEMÁTICA 2

MATEMÁTICA 2

Petrolina, 2011.


UNIDADE INTEGRADA DE EDUCAÇÃO SUPERIOR DO BRASIL – UNIESB

CURSO DE ADMINISTRAÇÃO

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO

MÓDULO 01 (Conhecimentos Básicos)

AULA 1.1 – Expressões Numéricas

AULA 1.2 – Trabalhando com Frações

AULA 1.3 – Problemas Matemáticos

MÓDULO 02 (Conhecimentos Intermediários)

AULA 1.4 – Razão e Proporção

AULA 1.5 – Regra de Três Simples

AULA 1.6 – Regra de Três Composta

AULA 1.7 – Porcentagem

MÓDULO 03 (Conhecimentos Financeiros)

AULA 1.8 – Conceitos Básicos

AULA 1.9 – Juros Simples

AULA 2.0 – Juros Compostos

Prof.ºAntonio José

Economista

e-mail: [email protected]

mailto:[email protected]


Para calcular uma expressão numérica, devemos seguir a seguinte regra sobre a ordem das operações: 1º) Efetuam-se as potenciações e radiciações na ordem em que aparecem. 2º) Efetuam-se as multiplicações e divisões, na ordem em que aparecem. 3º) Efetuam-se as adições e subtrações, na ordem em que aparecem. Se houver sinais de pontuação, efetuam-se primeiro as operações entre parênteses ( ), depois as entre colchetes [ ] e, por último, as que estão entre chaves { }. Observe as expressões abaixo: 1) 5 + (12 + 3) : 3 = = 5 + 15 : 3 = = 5 + 5 = 10 Efetua-se a operação entre parênteses. Efetua-se a divisão e, em seguida, a adição. 2) [(11 + 12) . 3 - 9] : 15 = = [23 . 3 - 9] : 15 = = [69 - 9] : 15 = = 60 : 15 = = 4 Efetua-se a operação entre parênteses. Efetuam-se as operações entre colchetes, de acordo com a ordem estabelecida. Calcula-se o valor da expressão. 3) {15 - [2 . (9 - 12 : 4)]} : 3 = = {15 - [ 2 . (9 - 3)]} : 3 = = {15 - [2 . 6]} : 3 = = { 15 - 12} : 3 = = 3 : 3 = = 1 Efetuam-se as operações entre parênteses, de acordo com a ordem estabelecida. Efetua-se a operação entre colchetes. Efetua-se a operação entre chaves. Determina-se o valor da expressão. Em caso de ocorrerem expressões numéricas que apresentem operações de potenciação e radiciação, ou apenas uma delas, estas deverão ser efetuadas antes da multiplicação e da divisão. Veja:

3265 22

= (25 - 6 x 4) x 3 = = (25 - 24) x 3 = = 1 x 3 = = 3 Efetuam-se as potenciações. Efetuam-se as operações entre parênteses, na ordem estabelecida. Calcula-se o valor da expressão.

AULA – 1.1 ( Expressões Numéricas ) – NOTAS DE AULAS


1. Calcule o valor das expressões:

a) 2534

b) 13915413

c) 8104340

d) 2952314

e) 422

13512512288

f) 2222 54161255

2. Calcule o valor numérico das seguintes expressões:

a) 210,54 yexquandoyx

b) 2,55 23 xquandoxxx

c) 1,73460 152050 xquandoxxx

d) 11,2 3 baquandoaba

e) 22,1325 xexquandoyxyx

f) 38,1512 beaquandoba

g) 33,12 2 beaquandoba

h) 2,254 xquandoxxx

3. Resolva os problemas: a) O produto de dois números é 40. Multipliquei o primeiro por 2 e o segundo por 5. Qual o novo produto obtido? b) Uma pessoa ganha 120 reais por dia de trabalho, e trabalha 5 dias por semana. Se gata 340 reais por semana, quanto lhe terá sobrado em 16 semanas? c) Quando os gêmeos Pedro e Paulo nasceram, João tinha 10 anos. Hoje, a idade dos três tem por soma 79. Qual a idade atual dos gêmeos?

AULA – 1.1 ( Expressões Numéricas ) – LISTA DE EXERCÍCIOS


1.Adição de frações: 2. Operação com denominadores iguais:

bd

bcad

d

c

b

a

b

ca

b

c

b

a ou

b

ca

b

c

b

a

ex: ex:

12

11

4.3

2.41.3

3

2

4

1

.1

5

5

5

23

5

2

5

3

3. Subtração de frações: 4. Igualdade de frações:

bd

bcad

d

c

b

a bcda

d

c

b

a..

ex: ex:

12

5

3.4

2.41.3

3

2

4

1

4.36.2

6

4

3

2

5. Multiplicação de frações: 6. Número Misto:

c

bac

c

ba

ex: ex:

6

12

12

2

3

2

4

1

3

23

3

563

3

56

7. Divisão de frações: 8. Potência de uma fração:

bc

ad

c

d

b

a

d

cb

a

n

nn

b

a

b

a

ex: ex:

8

3

2

3

4

1

3

24

1

9

4

3

22

bd

ac

d

c

b

a

AULA – 1.2 ( Trabalhando com Frações ) – NOTAS DE AULAS


1. Calcule as expressões numéricas:

a) 5

3

8

5 e)

9

2

4

5

b) 9

5

2

1 f) 3,0

8

5

c) 5

33 g) 3

13

4

d)

7

2

5

3 h)

9

55,0


a)

2

3

5

1

3

4 c)

6

1

3

13

5

3

5

6

b)

4

1

12

4

36

1

4

3 d)

1

3

2

5

1

2

5

10

1

12

12,0


a)

2,01

2

1

10

3

d)

5

2

11

3

2

11

b)

2

12

11 e)

22,3

3,02,0

c) ...777,0

14...111,0 f)

16

151

4. Encontre o valor numérico das expressões a seguir:

a) 2

1

5

1,2 beaquandoba b)

3

1

2

1,

yexquando

yx

yx

c) 4

15

2

3,

11

23

beaquando

ba

ba d) 1

5

1,

2

2

yexquandoyx

x

5. Resolva os problemas:

a) Reparti a quantia de 300 reais entre três irmãos. Ao primeiro dei 3

2 e ao segundo,

5

1 da quantia dada ao

primeiro. Que quantia restou ao terceiro? b) Encontre o número de funcionários de uma empresa sabendo que, se ao número deles juntássemos a sua metade, a sua terça parte e a sua quinta parte, a empresa teria 24.400 funcionários.

AULA – 1.2 ( Trabalhando com Frações ) – LISTA DE EXERCÍCIOS


1. Numa classe de 51 alunos,3

1 são rapazes. Quantos são as moças e os rapazes?

2. Numa folha de pagamentos de R$ 770.000,00, a fração 100

25 representa os encargos sociais (INPS, FGTS

ETC.). Determine o valor desses encargos.

3. Se 5

2 do meu salário são R$ 3.200,00; qual é o valor o meu salário?

4. Comprei uma bicicleta e paguei 3

1. Depois de um mês, paguei

5

2. Quanto resta pagar, se já dei R$

305,80?

5. Com R$ 121,00 compraram-se copos, a saber: 3

1 dos copos a R$ 1,80 cada um,

4

1 a R$ 2,00 e o resto a

R$ 2,20. Quantos copos eram?

6. Paguei 5

4 da minha dívida e ainda estou devendo R$ 150,00. De quanto era a dívida, e quanto já

paguei? 7. Vendeu-se 0,7 de um rolo de fio elétrico de 76,5 m. Quantos metros sobraram? 8. Dois amigos gastaram num jantar R$ 240,00. Um deles pagou 0,6 do que o outro pagou. Quanto pagou cada um? 9. Uma senhora gastou R$ 500,00 em jóias. Do dinheiro que possuía, sobrou 0,6. Quanto ela possuía antes das compras? 10. Um negociante comprou uma peça de tecido por R$ 4.428,00. Vendeu 0,4 a R$ 190,00 o metro; 0,75 do resto a R$ 240,00 o metro e o restante a R$ 280,00 o metro. Sabendo-se que a peça tinha 24,5 m, quanto ganhou? 11. Joãozinho recebeu 60 problemas para resolver e acertou 24. Pedrinho recebeu 68 e acertou 30. Quem apresentou melhor resultado: Joãozinho ou Pedrinho? 12. Uma mercadoria acondicionada numa embalagem de papelão possui 250 g de peso bruto e 200 g de peso líquido. Qual é a razão entre o peso líquido e o peso bruto? E entre o peso da embalagem e o peso bruto?

13. A razão entre a superfície das terras e as superfícies das águas no globo terrestre é de 5

2. Há mais

água ou mais terra no globo? Quantas vezes mais?

AULA – 1.3 (PROBLEMAS MATEMÁTICOS) – LISTA DE EXERCÍCIOS


AULA 1.1 1. a) 4. b) 0. c) 51. d) – 216. e) 6. f) 25. 2. a) 50. b) 39. c) 3. d) 3. e) 9. f) 8. g) 2. h) 10. 3. a) 400. b) 4.160,00. c) 23 anos.

AULA 1.2 1. a) 1/40. b) 1/18. c) -18/5. d) -21/10. e) 5/18. f) 3/16. g) -4/39. h) 9/10. 2. a) -11/30. b) 47/36. c) 12/17. d) -3/10. 3. a) 1 . b) 7/5. c) 55/33. d) 5/3. e) 5/100. f) 3/2. 4. a) 1/10. b) 5. c) -15/2. d) -1/20. 5. a) 60,00 b) 12.000

AULA 1.3 1. 17r e 34m 2. $192.500 3. $8000,00 4. $111,20 5. 60 copos 6. $750,00 7. 22,95m 8. $150,00 e $90,00 9. $1250,00 10. $1.109,00

11. Pedrinho 12. 4/5 e 1/5 13. água, 5,2

GABARITO – Módulo 01


MÓDULO 02

(Conhecimentos Intermediários)

AULA 1.4 – Razão e Proporção

AULA 1.5 – Regra de Três Simples

AULA 1.6 – Regra de Três Composta

AULA 1.7 – Porcentagem


Suponha que o professor de Educação Física de seu colégio tenha organizado um torneio de basquetebol com quatro equipes formadas pelos alunos da 6ª série. Admita que o seu time foi o vencedor e que você, na partida

decisiva, foi o “cestinha” com 40 pontos. Porém, para conseguir estes pontos você fez 60 arremessos. Então, em 60 arremessos você fez 40 pontos.

Vamos indicar agora a divisão:

40

60 Logo,

Pontos

Arremessos ou 60 : 40

Este quociente indicado recebe o nome de razão.

Podemos dizer, então, que: Razão é o quociente indicado (exato) entre dois números racionais, sendo que o segundo número é diferente de zero.

Como você pode perceber, uma razão é representada por uma fração. No entanto, não deve ser lida como se fosse

um número racional. Observe o quadro abaixo:

Número racional (representado por fração) Razão (representada por fração)

2

1 lê-se: um meio

2

1 lê-se: um para dois ou um está para dois

4

3 lê-se: três quartos

4

3 lê-se: três para quatro ou três está para quatro

3

5 lê-se: cinco terços

3

5 lê-se: cinco para três ou cinco está para três

10

7 lê-se: sete décimos

10

7 lê-se: sete para dez ou sete está para dez

1) OS TERMOS DE UMA RAZÃO (NUMERADOR E DENOMINADOR)

Vamos considerar a notação 5

3. O que ela representa? A notação

5

3 é um numeral (fração) que representa um

número “três quintos”, onde 3 é o numerador, e 5, o denominador. Porém, 5

3 é a representação também da razão

“três para cinco”, onde 3 é o antecedente, e 5, o conseqüente.

Então:

Fração

rdenominado

numerador

Razão

econseqüent

eantecedent

AULA – 1.4 (RAZÃO E PROPORÇÃO) – LISTA DE EXERCÍCIOS


2) RAZÕES EQUIVALENTES

Você ainda está lembrado do torneio de basquetebol do qual você participou e foi o “cestinha” com 40 pontos em

60 arremessos? Pois bem, suponha que, no mesmo torneio, um de seus colegas de equipe tenha feito 20 pontos com

30 arremessos.

Note que você, em 60 arremessos, conseguiu 40 pontos.

Nesse caso, temos a seguinte razão: 40

60.

Por outro lado, seu colega, em 30 arremessos, conseguiu 20 pontos. Temos, então, a razão: 20

30.

Como você pode perceber, a quantidade de arremessos e de pontos feitos pelo seu colega corresponde,

exatamente, à metade dos seus. Portanto:

40

60 e

20

30 são razões que se equivalem.

Para obter razões equivalentes, basta aplicar a propriedade fundamental, que é a seguinte: Ao multiplicar ou dividir

os termos de uma razão por um mesmo número diferente de zero, obtém-se outra razão equivalente à primeira.

O sinal utilizado para indicar a equivalência entre duas razões é ~. Entretanto, por facilidade, usa-se o sinal = e

costuma-se dizer razões iguais em lugar de razões equivalentes.

Observe:

: 2 : 2 : 3

5

4

15

12

30

24

60

48

: 2 : 2 : 3 Forma irredutível

etc. , 12

8 ,

9

6 ,

6

4 ,

3

2

5

4 ,

15

12 ,

30

24 ,

60

48

são razões equivalentes ou razões iguais . são razões equivalentes ou razões iguais.

x 4

x 3

x 2

. . . 12

8

9

6

6

4

3

2

x 2

x 3

x 4


3) EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1) Você fincou verticalmente no solo uma vara de 8 cm, a qual produziu uma sombra de 6 cm. Quanto medirá o

comprimento da sombra produzida por uma vara de 40 cm?

x

40 cm

6 cm

8 cm 8 . x = 6 . 40

8 . x = 240 x = 240 : 8 x = 30 cm

2) Uma vara de 12 cm fincada verticalmente no solo produz uma sombra de 15 cm. Quanto deve medir o

comprimento de uma vara para que ela produza uma sombra de 45 cm?

45 cm

x

15 cm

12 cm 15 . x = 12 . 45

15 x = 540 x = 540 : 15 x = 36 cm

3) Em determinada hora do dia, uma vara de 2 m, fincada verticalmente no solo, produz uma sombra de 3 m. Qual

é a altura de um prédio cuja sombra mede 0,6 hm na mesma hora do dia?

60 m

x

3 m

2 m 3 . x = 2 . 60

3 . x = 120 x = 120 : 3 x = 40 m

4) Você tem uma fotografia com as seguintes dimensões: 3 cm de largura e 4 cm de comprimento. Se você ampliar

esta fotografia, de modo que a medida de seu comprimento passe a ser 28 cm, quanto medirá sua largura?

28 cm

x

4 cm

3 cm 4 . x = 3 . 28

4 . x = 84 x = 84 : 4 x = 21 cm

5) Na planta de uma casa, as dimensões da sala são: 6 cm de largura e 10 cm de comprimento. Ao construir a casa,

a sala ficou com uma largura de 4,5 m. Qual a medida do comprimento desta sala?

x

4,5 cm

10 cm

6 cm 6 . x = 10 . 4,5

6 . x = 45 x = 45 : 6 x = 7,5 m


VERIFIQUE O QUE APRENDEU:

a) Complete adequadamente:

1) Na proporção 21

6

7

2 , 2 e 21 são os extremos e 7 e 6 são os meios.

1) 20

15

4

3 lê-se: três está para quatro, assim como quinze está para vinte.

2) Numa proporção, os produtos dos meios e dos extremos são iguais. Esta afirmação corresponde à

propriedade fundamental.

3) Quando os meios de uma proporção são iguais, ela é chamada de proporção contínua.

4) O quarto termo de uma proporção chama-se quarta proporcional. Entretanto, se a proporção for

contínua, o quarto termo recebe o nome de terceira proporcional.

b) Coloque, nas seguintes proporções, os termos que faltam:

1) 35

?

7

5 (25) 2)

?

24

11

6 (44) 3)

24

18

4

? (3) 4)

65

45

?

9 (13)

5) 54

?

18

6 (18) 6)

?

3

2

1 (6) 7)

12

9

?

6 (8) 8)

?

27

15

9 (45)

9) 3 : __ = 12 : 20 (5) 10) 4 : __ = 3 : 12 (16)

c) Complete as proporções contínuas:

1) 8

?

?

2 (4) 2)

20

?

?

45 (30) 3) 8 : __ = __ : 32 (16)

4) 4 : __ = __ : 16 (8) 5) 25

?

?

16 (20) 6)

8

?

?

18 (12)

d) Descubra a quarta proporcional dos números:

1) 4, 5 e 8 (10) 6) 3, 5 e 1 (5/3)

2) 14, 16 e 21 (24) 7) 7, 11 e 14 (22) 11) 6

1 e

5

1 ,

4

1 (2/15)

3) 4

3 e

3

2 ,

2

1 (1) 8) 9, 10 e 27 (30) 12)

10

3 e

5

1 ,

10

1 (3/5)

4) 0,1, 0,3 e 0,5 (1,5) 9) 7, 8 e 3,5 (4)

5) 2, 4 e 6 (12) 10) 5, 6 e 15 (18)

e) Determine a terceira proporcional dos números:

AULA – 1.4 (RAZÃO E PROPORÇÃO) – LISTA DE EXERCÍCIOS


1) 16 e 4 (1) 2) 9 e 6 (4) 3) 2

1

3

1 e (3/4)

4) 16 e 24 (36) 5) 3 e 12 (48) 6) 9 e 12 (16)

7) 9 e 18 (36) 8) 4 e 22 (121) 9) 6

1

3

2 e (1/24)

10) 4

1

8

1 e (1/2) 11) 9 e

4

3 (1/16) 12) 25 e 5 (1)

f) Resolva os problemas:

1) O antecedente de uma razão é 6. Determine o seu conseqüente, sabendo que ela forma uma proporção com

a razão 49

42. (7)

2) O conseqüente de uma razão é 40. Descubra o seu antecedente, sabendo que ela forma uma proporção com

a razão 60

24. (16)

3) O antecedente de uma razão é 2. Qual é o seu conseqüente, sabendo que ela forma uma proporção contínua

com outra razão, cujo conseqüente é 18? (6)

4) Você possui uma foto com as seguintes dimensões: largura, 18 cm, e comprimento, 24 cm. Esta foto foi

obtida, por ampliação, de uma outra cuja largura é 3 cm. Determine o comprimento da foto original. (4 cm)

5) Em certa hora do dia um de seus colegas, cuja altura é de 1,50 m, projeta, em pé, uma sombra de 50 cm.

Qual é, na mesma hora, o comprimento de uma vara que fincada verticalmente no solo, produz uma sombra

de 20 cm? (60 cm)


Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

Passos utilizados numa regra de três simples: 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as

grandezas de espécies diferentes em correspondência. 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

3º) Montar a proporção e resolver a equação.

Exemplos:

Questão 01

Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue

produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida? Solução: montando a tabela:

Área (m2) Energia (Wh)

1,2 400

1,5 x

Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.

Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.

Questão 02 Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em

quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480 km/h?

Solução: montando a tabela:

Velocidade (Km/h) Tempo (h)

400 3

480 x

AULA – 1.5 (REGRA DE TRÊS SIMPLES) – NOTAS DE AULAS


Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui.

Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.

Questão 03 Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e

preço? Solução: montando a tabela:

Camisetas Preço (R$)

3 120

5 x

Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta.

Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente

proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.

Questão 04

Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de

horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?

Solução: montando a tabela:


Horas por dia Prazo para término (dias)

8 20

5 x

Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta. Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são

inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:


1 – Introdução

No capítulo sobre Proporcionalidade entre grandezas, introduzimos um tratamento mais técnico à questão. Aqui,

entretanto, daremos um enfoque mais prático, apresentando um método infalível, para resolver qualquer problema de regra de três composta que possa aparecer na sua vida!.Recomendo enfaticamente, que você revise o arquivo

Proporcionalidade entre grandezas, clicando no link acima.

O Método Prático consiste em: a) escrever em coluna as variáveis do mesmo tipo, ou seja, aquelas expressas na mesma unidade de medida.

b) Identificar aquelas que variam num mesmo sentido (grandezas diretamente proporcionais) e aquelas que variam em sentidos opostos

(grandezas inversamente proporcionais), marcando-as com setas no mesmo sentido ou sentidos opostos, conforme o caso.

c) A incógnita x será obtida da forma sugerida no esquema abaixo, dada como exemplo de caráter geral.

Sejam as grandezas A, B, C e D, que assumem os valores indicados abaixo, e supondo-se, por exemplo, que a grandeza A seja diretamente proporcional à grandeza B, inversamente proporcional à grandeza C e inversamente

proporcional à grandeza D, podemos montar o esquema a seguir:

Neste caso, o valor da incógnita x será dado por:

Observem que para as grandezas diretamente proporcionais, multiplicamos x pelos valores invertidos e para as

grandezas inversamente proporcionais, multiplicamos pelos valores como aparecem no esquema.

Exemplo:

STA CASA – SP – Sabe-se que 4 máquinas, operando 4 horas por dia, durante 4 dias, produzem 4 toneladas de

certo produto. Quantas toneladas do mesmo produto seriam produzidas por 6 máquinas daquele tipo, operando 6 horas por dia, durante 6 dias?

a) 8 b) 15 c) 10,5 d) 13,5

Se você tentar usar a metodologia indicada no capítulo Proporcionalidade entre grandezas , não obstante ser um

método mais rigoroso e até mais bonito, você perderia mais tempo na resolução.

Vejamos a solução:

Observe que a produção em toneladas é diretamente proporcional ao número de máquinas, ao número de dias e

ao número de horas/dia.

AULA – 1.6 (REGRA DE TRÊS COMPOSTA) – NOTAS DE AULA

http://www.terra.com.br/matematica/arq1-13.htm





Portanto:

Portanto, seriam produzidas 13,5 toneladas do produto, sendo D a alternativa correta.

2 – Exercícios resolvidos e propostos

2.1 – Vinte e cinco teares trabalhando oito horas por dia, durante 10 dias, fizeram 1200 metros de certo tecido.

Vinte teares trabalhando nove horas por dia durante dezoito dias, produzirão quantos metros do mesmo tecido?

Nota: Tear – máquina destinada a tecer fios, transformando-os em pano ou tecido. Plural: teares.

SOLUÇÃO:

Observe que o comprimento do tecido é diretamente proporcional ao número de teares, ao número de dias e ao número de horas/dia.

Portanto:

Resp: 1944 m

2.2 – Em uma fábrica, vinte e cinco máquinas produzem 15000 peças de automóvel em doze dias, trabalhando 10 horas por dia. Quantas horas por dia, deverão trabalhar 30 máquinas, para produzirem 18000 peças em 15 dias?

Solução:

Observe que:

Aumentando o número de horas/dia, aumenta o número de peças, diminui o número de dias necessários e diminui o número de máquinas necessárias.


Portanto:

Resp: 8 h

2.3 – Certo trabalho é executado por 15 máquinas iguais, em 12 dias de 10 horas. Havendo defeito em três das máquinas, quantos dias de 8 horas deverão trabalhar as demais, para realizar o dobro do trabalho anterior?

Solução:

Aumentando o número de dias, diminui o número de horas/dia necessários e diminui o número de máquinas necessárias.Podemos também dizer que para realizar o dobro do trabalho, o número de dias deve aumentar.Portanto, podemos montar o seguinte esquema:

Logo,

Resp: 37,5 dias


QUESTÕES OBJETIVAS

01 – Se 04 máquinas fazem um serviço em 06 dias, então 03 dessas máquinas farão o mesmo serviço em:

a) 07 dias b) 8 dias c) 9 dias d) 4,5 dias

02 – Um quilo de algodão custa R$ 50,00. Um pacote de 40 gramas do mesmo algodão custa:

a) R$ 1,80 b) R$ 2,00 c) R$ 2,20 d) R$ 2,50

03 – Um litro de água do mar contém 25 gramas de sal. Então, para se obterem 50 kg de sal, o número necessário de litros de água do mar será:

a) 200 b) 500 c) 2 000 d) 5 000

04 – Um avião percorre 2 700 km em quatro horas. Em uma hora e 20 minutos de vôo percorrerá:

a) 675 km b) 695 km c) 810 km d) 900 km

05 – Na fabricação de 20 camisetas, 8 máquinas gastam 4 horas. Para produzir 15 dessas camisetas, 4 máquinas

gastariam quantas horas?

a) 3 horas b) 6 horas c) 5 horas d) 4 horas

06 – Três máquinas imprimem 9.000 cartazes em uma dúzia de dias. Em quantos dias 8/3 dessas máquinas imprimem 4/3 dos cartazes, trabalhando o mesmo número de horas por dia?

a) 4 dias. b) 6 dias. c) 9 dias. d) 12 dias

07 – (UMC – SP) Um carro consumiu 50 litros de álcool para percorrer 600 km. Supondo condições equivalentes, esse mesmo carro, para percorrer 840 km, consumirá:

a) 68 litros b) 80 litros c) 75 litros d) 70 litros

08 – (UF – MG) Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes para o almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade de marmitas já

adquiridas seria suficiente para um numero de dias igual a:

a) 10 b) 12 c) 15 d) 18

09 – (UDF) Uma máquina varredeira limpa uma área de 5.100 m2 em 3 horas de trabalho. Nas mesmas condições,

em quanto tempo limpará uma área de 11.900 m2?

a) 4 horas b) 5 horas c) 7 horas d) 9 horas

10 – (PUC – SP) Um motorista de táxi, trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias, gasta R$ 1.026,00 de gás.

Qual será o seu gasto mensal, se trabalhar 4 horas por dia?

a) R$ 1.026,00 b) R$ 2.052,00 c) R$ 3.078,00 d) R$ 4.104,00

LISTA DE EXERCÍCIOS: Regra de Três Simples e Composta


11 – (MACK – SP) Se 15 operários em 9 dias de 8 horas ganham R$ 10.800,00; 23 operários em 12 dias de 6 horas ganhariam :

a) R$ 16.560,00 b) R$ 17.560,00. c) R$ 26.560,00. d) R$ 29.440,00

12 – (SANTA CASA – SP) Sabe-se que 4 máquinas, operando 4 horas por dia, durante 4 dias, produzem 4 toneladas de certo produto Quantas toneladas do mesmo produto seriam produzidas por 6 máquinas daquele tipo,

operando 6 horas por dia, durante 6 dias ?

a) 8 b) 15 c) 10,5 d) 13,5

13 – (FEP – PA) Para asfaltar 1 km de estrada, 30 homens gastaram 12 dias trabalhando 8 horas por horas por

dia. Vinte homens, para asfaltar 2 km da mesma estrada, trabalhando 12 horas por dia, gastarão:

a) 6 dias. b) 12 dias. c) 24 dias. d) 28 dias.

14 – (PUCCAMP-SP) Operando 12 horas por dia horas, 20 máquinas produzem 6000 peças em 6 dias. Com 4 horas

a menos de trabalho diário, 15 daquelas máquinas produzirão 4.000 peças em:

a) 8 dias b) 9 dias c) 9 dias e 6 horas. d) 8 dias e 12 horas.

15 – (USP – SP) Uma família de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kg de pão. Quantos quilos serão necessários para alimentá-lo durante 5 dias estando ausentes 2 pessoas?

a) 3 quilos b) 4 quilos c) 5 quilos d) 6 quilos

16 – (Unimep – SP) Se dois gatos comem dois ratos em dois minutos, para comer 60 ratos em 30 minutos são necessários:

a) 4 gatos b) 3 gatos c) 2 gatos d) 5 gatos e) 6 gatos

17 – (FAAP – SP) Numa campanha de divulgação do vestibular, o diretor mandou confeccionar cinqüenta mil folhetos. A gráfica realizou o serviço em cinco dias, utilizando duas máquinas de mesmo rendimento, oito horas

por dia. O diretor precisou fazer nova encomenda. Desta vez, sessenta mil folhetos. Nessa ocasião, uma das máquinas estava quebrada. Para atender o pedido, a gráfica prontificou-se a trabalhar 12 horas por dia,

executando o serviço em:

a) 5 dias b) 8 dias c) 10 dias d) 12 dias

18 – (PUC Campinas 2001) Em uma fábrica, constatou-se que eram necessários 8 dias para produzir certo nº de aparelhos, utilizando-se os serviços de 7 operários, trabalhando 3 horas a cada dia. Para reduzir a dois dias o

tempo de produção, é necessário:

a) triplicar o nº de operários

b) triplicar o nº de horas trabalhadas por dia

c) triplicar o nº de horas trabalhadas por dia e o nº de operários

d) duplicar o nº de operários

e) duplicar o nº de operários e o número de horas trabalhadas por dia


19 – ( UNICAMP 2001. ) Uma obra será executada por 13 operários (de mesma capacidade de trabalho)

trabalhando durante 11 dias com jornada de trabalho de 6 horas por dia. Decorridos 8 dias do início da obra 3 operários adoeceram e a obra deverá ser concluída pelos operários restantes no prazo estabelecido anteriormente.

Qual deverá ser a jornada diária de trabalho dos operários restantes nos dias que faltam para a conclusão da obra

no prazo previsto ?

a) 7h 42 min. b) 7h 44 min. c) 7h 46 min. d) 7h 48 min. e) 7h 50 min.

20 – ( CEFET – 1990 ) Uma fazenda tem 30 cavalos e ração estocada para alimentá-los durante 2 meses. Se forem

vendidos 10 cavalos e a ração for reduzida à metade. Os cavalos restantes poderão ser alimentados durante:

a) 10 dias b) 15 dias c) 30 dias d) 45 dias e) 180 dias

GABARITO

01) letra d

02) letra b 03) letra c

04) letra d 05) letra b

06) letra b

07) letra d 08) letra c

09) letra c 10) letra b

11) letra a

12) letra d 13) letra c

14) letra a 15) letra c

16) letra a 17) letra e

18) letra d

19) letra d 20) letra d


É freqüente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:

A gasolina teve um aumento de 15%

Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00

O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00

Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques.

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques.

1) Razão centesimal Toda a razão que tem para conseqüente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos:

Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:

Notas: As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais.

Considere o seguinte problema:

Ex.: João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu?

Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.

Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada.

Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.

Exemplos:

Calcular 10% de 300.

Calcular 25% de 200kg.

Logo, 50 kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.

AULA – 1.7 (PORCENTAGEM) – NOTAS DE AULA


EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Questão 01 Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas.

Quantos gols de falta esse jogador fez?

Resposta:

Portanto o jogador fez 6 gols de falta.

Questão 02 Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro

obtida?

Resposta:

Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou em relação a esses R$250,00, resulte nos R$300,00.

Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%.

Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO

Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por

1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo:

Acréscimo ou Lucro Fator de Multiplicação

10% 1,10

15% 1,15

20% 1,20

47% 1,47

67% 1,67

Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00 No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:

Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)

Veja a tabela abaixo:

Desconto Fator de

Multiplicação

10% 0,90

25% 0,75

34% 0,66

60% 0,40

90% 0,10

Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00


MÓDULO 03

(Conhecimentos FINANCEIROS)

AULA 1.8 – Conceitos Básicos

AULA 1.9 – Juros Simples

AULA 2.0 – Juros Compostos


A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou

financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a

operação financeira a um Fluxo de Caixa.

a) Capital

O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras

financeiras).

b) Juros

Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser

capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.

JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial

emprestado ou aplicado.

JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início

de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital

inicial e passa a render juros também.

O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a

quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação

envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros.

c) Quando usamos juros simples e juros compostos?

A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como

Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.

d) Taxa de juros

A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ela

vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere:

8 % a.a. - (a.a. significa ao ano).

10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre). Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, sem o

símbolo %:

0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês). 0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)

AULA – 1.8 (Conceitos Básicos) – NOTAS DE AULAS


O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:

J = P . i . n

Onde:

J = juros P = principal (capital) i = taxa de juros n = número de períodos

Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão:

J = 1000 x 0.08 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante.

Montante = Principal + Juros Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos )

M = P . ( 1 + ( i . n ) )

Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.

SOLUÇÃO: M = P . ( 1 + (i.n) ) M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42

Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.

AULA – 1.9 (Juros Simples) – NOTAS DE AULAS


Exercícios sobre juros simples:

1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.

0.13 / 6 = 0.02167 logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195

j = 1200 x 0.195 = 234

2 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.

Temos: J = P.i.n A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d. Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente: J = 40000.0,001.125 = R$5000,00

3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?

Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30) Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo, 3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Daí, vem: P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67

4 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples? Objetivo: M = 2.P Dados: i = 150/100 = 1,5 Fórmula: M = P (1 + i.n) Desenvolvimento: 2P = P (1 + 1,5 n) 2 = 1 + 1,5 n n = 2/3 ano = 8 meses


01 – Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$10.000,00, pelo prazo de cinco meses,

sabendo-se que a taxa cobrada é de 3% ao mês?

02 – Um capital de R$25.000,00, aplicado durante07 meses, rende juros de R$7.875,00. Determinar a taxa

correspondente.

03 – Uma aplicação de R$50.000,00 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de R$8.250,00. Indaga-se:

Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação?

04 – Sabendo-se que os juros de R$6.000,00 foram obtidos com a aplicação de R$7.500,00, à taxa de 8% ao trimestre, pede-se que se calcule o prazo.

05 – Qual o capital que, à taxa de 4%a.m, rende juros de R$9.000,00 em um ano?

06 – Um empréstimo de R$23.000,00 é liquidado por R$29.200,00 no final de 152 dias. Calcular a taxa mensal de juros.

07 – Calcular o valor dos juros e do montante de uma aplicação de R$20.000,00, feita a uma taxa de 4,94%a.m,

pelo prazo de 76 dias.

08 – Sabendo-se que certo capital, aplicado durante 10 semestres, à taxa de 36%a.a rende R$72.000,00 de juros,

determinar o montante.

09 – Um empréstimo de R$40.000,00 deverá ser quitado por R$80.000,00 no final de 12 meses. Determinar as

taxas mensal e anual cobradas nessa operação.

10 – Em que prazo uma aplicação de R$35.0000,00 pode gerar um montante de R$53.375,00, considerando-se uma taxa de 30% ao ano?

AULA – 1.9 (Juros Simples) – LISTA DE EXERCÍCIOS


O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de

problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do

período seguinte.

Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal. Após três meses de capitalização, temos:

1º mês: M =P.(1 + i)

2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) 3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)

Simplificando, obtemos a fórmula:

M = P . (1 + i)n

Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses.

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período:

J = M - P

Exemplo:

Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês.

(use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788)

Resolução:

P = R$6.000,00 t = 1 ano = 12 meses

i = 3,5 % a.m. = 0,035 M = ?

Usando a fórmula M=P.(1+i)n, obtemos:

M = 6000.(1+0,035)12 = 6000. (1,035)12

Fazendo x = 1,03512 e aplicando logaritmos, encontramos:

log x = log 1,03512 => log x = 12 log 1,035 => log x = 0,1788 => x = 1,509

Então M = 6000.1,509 = 9054. Portanto o montante é R$9.054,00

AULA – 2.0 (Juros Compostos) – NOTAS DE AULAS


Relação entre juros e progressões

No regime de juros simples:

M( n ) = P + n r P

No regime de juros compostos:

M( n ) = P . ( 1 + r ) n

Portanto:

num regime de capitalização a juros simples o saldo cresce em progressão aritmética

num regime de capitalização a juros compostos o saldo cresce em progressão geométrica

VALOR PRESENTE e VALOR FUTURO

Na fórmula M = P . (1 + i)n , o principal P é também conhecido como Valor Presente (PV = present value) e o montante M é também conhecido como Valor Futuro (FV = future value).

Então essa fórmula pode ser escrita como

FV = PV (1 + i) n

Isolando PV na fórmula temos:

PV = FV / (1+i)n

Na HP-12C, o valor presente é representado pela tecla PV.

Com esta mesma fórmula podemos calcular o valor futuro a partir do valor presente.

Exemplo:

Quanto teremos daqui a 12 meses se aplicarmos R$1.500,00 a 2% ao mês? Solução:

FV = 1500 . (1 + 0,02)12 = R$ 1.902,36


01 – No final de dois anos, o Sr. Pedro deverá efetuar um pagamento de R$ 200.000,00 referente ao valor de um

empréstimo contraído hoje, mais os juros devidos, correspondentes a uma taxa de 4% ao mês. Pergunta-se: Qual o valor emprestado?

02 – A loja “topa tudo” financia a venda de uma mercadoria no valor de R$16.000,00, sem entrada, para

pagamento em uma única prestação de R$22.753,61 no final de 08 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja?

03 – Em que prazo um empréstimo de R$30.000,00 pode ser quitado em um único pagamento de R$51.310,18,

sabendo-se que a taxa contratada é de 5% a.m?

04 – Determinar o montante correspondente a uma aplicação de R$10.000,00, pelo prazo de 7 meses, a uma taxa de 3,387% ao mês.

05 – A que taxa um capital de R$43.000,00 pode ser dobrado em 18 meses?

06 – Um título de renda fixa deverá ser resgatado por R$10.000,00 no seu vencimento, que ocorrerá dentro de três meses. Sabendo-se que o rendimento desse título é de 40% ao ano, determinar o seu valor presente.

AULA – 2.0 (Juros Compostos) – LISTA DE EXERCÍCIOS

MÓDULO DE MATEMÁTICA 2 - Uniesb

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