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Módulo IV: Leis de potência e auto-similaridadeMódulo IV: Leis de potência e auto-similaridade
Paulo R. Guimarães JrPaulo R. Guimarães Jr
Marcus A. M. de AguiarMarcus A. M. de Aguiar
Instituto de Física “Gleb Wataghin” Instituto de Física “Gleb Wataghin”
UNICAMPUNICAMP
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo IV
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ConteúdoConteúdo
1. Fractais2. Leis de Potência3. Passeios aleatórios4. Resumo
Módulo IV
F016: Física aplicada à Ecologia
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Ao final desta aula, você deve ser capaz de: Ao final desta aula, você deve ser capaz de:
1. Entender a relação entre auto-similaridade e lei de potência
2. Entender as implicações para a diversidade da estrutura fractal da natureza
Módulo IV
F016: Física aplicada à Ecologia
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ConteúdoConteúdo
1.1. FractaisFractais2. Leis de Potência3. Passeios aleatórios4. Resumo
Módulo IV
F016: Física aplicada à Ecologia
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Cálculo da Dimensão FractalCálculo da Dimensão Fractal
Cobrindo uma reta de comprimento 1 com segmentos menores:
Tamanho Número
1 1
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Tamanho Número
1 1
½ 2
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Tamanho Número
1 1
½ 2
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Dividindo o lado do segmento por 2, o número de segmentos multiplica por 2. Veja que N() = 1/.
Tamanho Número
1 1
½ 2
¼ 4
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Cobrindo um quadrado de lado 1 com quadrados menores:
Tamanho Número
1 1
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Tamanho Número
1 1
½ 4=22
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Tamanho Número
1 1
½ 4=22
¼ 16=4*4=42
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Tamanho Número
1 1
½ 4=22
¼ 16=42
1/2k (2k)2 = (1/)2
Dividindo o lado por 2, o número de quadrados multiplica por 4 = 22. Veja que N() = (1/)2 .
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Cobrindo cubo de lado 1 com cubos menores:
Tamanho Número
1 1
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Tamanho Número
1 1
½ 8=23
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Tamanho Número
1 1
½ 8=23
¼ 64=43
1/2k (2k)3 = (1/)3
Dividindo o lado por 2, o número de cubos multiplica por 8 = 23.
Agora temos que N() = (1/)3 .
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Podemos então definir a dimensão de uma figura com base nesse processo:
]/1log[
)](log[
N
d
d
N
1)(
Tomando o logaritmo dos dois lados podemos isolar d:
1
log1
log)](log[ dNd
e
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Dimensão da Curva de Koch:
Tamanho Número
1 1
1/3 4
1/9 16=42
1/27 64=43
1/3k 4k
....26185.13log
4log
3log
4log
3log
4log
]/1log[
)](log[
k
kNd
k
k
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FractaisFractais
1. Estruturas auto-similares
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Auto-similaridade estatísticaAuto-similaridade estatística
Idéia:Idéia:
A medida de uma característica em uma certa parte do sistema é proporcional ao valor da medida da mesma característica para o sistema inteiro.
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Auto-similaridade estatísticaAuto-similaridade estatística
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espacial escala certa uma em medida população
(ha) espacial escala r
população
N(r)
N
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Auto-similaridade estatísticaAuto-similaridade estatística
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N(r)r)N( ~
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Auto-similaridade estatísticaAuto-similaridade estatística
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kN(r)r)N(
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Auto-similaridade estatísticaAuto-similaridade estatística
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kN(r)r)N(
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Como investigar auto-similaridade estatística?Como investigar auto-similaridade estatística?
• A assinatura: leis de potência
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ConteúdoConteúdo
1. Fractais2.2. Leis de PotênciaLeis de Potência3. Passeios aleatórios4. Resumo
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Lei de potênciaLei de potência
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ArrN
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Lei de potênciaLei de potência
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ArrN
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Lei de potência: exemploLei de potência: exemplo
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2rrN
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Lei de potência: exemploLei de potência: exemplo
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2rrN
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Lei de potência: exemploLei de potência: exemplo
Módulo IV
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222 rrrN
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Lei de potência e auto-similaridadeLei de potência e auto-similaridade
Módulo IV
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2rrN
)(222 rNrrN
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Lei de potência e auto-similaridadeLei de potência e auto-similaridade
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)()(2 rkNrNrN
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Lei de potência e auto-similaridadeLei de potência e auto-similaridade
Módulo IV
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)()(2 rkNrNrN
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Lei de potência e auto-similaridadeLei de potência e auto-similaridade
Módulo IV
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)log(
)log(
brrN
brrN
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Lei de potênciaLei de potência
Módulo IV
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ArrN
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r
N(r) ArrN
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N(r)
r
ArrN
inclinação
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Maioria das espécies tem poucas interações
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Freqüência baixa de espécies com muitas
interações
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ConteúdoConteúdo
1. Fractais2. Leis de Potência3.3. Passeios aleatóriosPasseios aleatórios4. Resumo
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Passeios aleatórios
Idéia:Idéia:
Um processo estocástico no qual uma partícula se move pelo espaço através de saltos aleatórios.
Módulo IV
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![Page 51: Módulo IV: Leis de potência e auto-similaridade Paulo R. Guimarães Jr Marcus A. M. de Aguiar Instituto de Física Gleb Wataghin UNICAMP F016: Física aplicada.](https://reader038.fdocumentos.com/reader038/viewer/2022110305/552fc0fc497959413d8ba3aa/html5/thumbnails/51.jpg)
Passeios aleatóriosPasseios aleatórios
D = 2 o passeio aleatório garante a cobertura de planos, mas não de espaços tridimencionais
Reações biológicas ocorrem em superfícies
E a estrutura tridimencional dos ambientes?
Módulo IV
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![Page 53: Módulo IV: Leis de potência e auto-similaridade Paulo R. Guimarães Jr Marcus A. M. de Aguiar Instituto de Física Gleb Wataghin UNICAMP F016: Física aplicada.](https://reader038.fdocumentos.com/reader038/viewer/2022110305/552fc0fc497959413d8ba3aa/html5/thumbnails/53.jpg)
Dimensão da Curva de Koch:
Tamanho Número
1 1
1/3 4
1/9 16=42
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ConteúdoConteúdo
1. Fractais2. Leis de Potência3. Passeios aleatórios4. Resumo
Módulo IV
F016: Física aplicada à Ecologia
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FractaisFractais
1. Estruturas auto-similares
Módulo IV
F016: Física aplicada à Ecologia
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Auto-similaridade estatísticaAuto-similaridade estatística
Módulo IV
F016: Física aplicada à Ecologia
kN(r)r)N(
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N(r)
r
ArrN
inclinação
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Maioria das espécies tem poucas interações
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Freqüência baixa de espécies com muitas
interações