Modulo5_dimensionamento de Pilares

7/31/2019 Modulo5_dimensionamento de Pilares

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Beto Armado e Pr-Esforado I

MDULO 5Verificao da segurana aos estados limites

ltimos de elementos com esforo axial no desprezvel (pilares)

1. Flexo Composta

(Flexo com esforo normal de traco ou compresso)

1.1.ROTURA CONVENCIONAL

s 10

c(-) 3.5

Quando toda a seco estiver sujeita a tenses de compresso: 2 c(-) 3.5

Tenses uniformes

c c

(-)

2

Tenses no uniformes

(-)

2 c 3.5c

ou

c = 3.5

(-)

c

00

1.2.DIAGRAMAS DE DEFORMAES NA ROTURA

Com base nas extenses mximas para o beto e armaduras, podem ser definidas 5

zonas com diagramas associados rotura:

As2

As1

M N 1

10

10

023.5

2 yd

2

3

45

Compresso Traco

Zona 1 - Traco com pequena excentricidade (s1 = 10, s2 10)

Zona 2 - Traco e compresso com grande ou mdia excentricidade (s1 = 10, c(-) 3.5)

Zona 3 - Traco e comp. com grande ou mdia excentricidade ( yds1 10, c(-) = 3.5)

Zona 4 - Compresso com mdia ou pequena excentricidade (s1yd, c(-)

= 3.5)Zona 5 - Compresso com pequena excentricidade (2 c

mx 3.5)

MDULO 5 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementoscom esforo axial no desprezvel

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Concluso:

Zonas 1, 2 e 3: s > yd rotura dctil

Zonas 4 e 5: s < yd rotura frgil

1.3.DETERMINAO DOS ESFOROS RESISTENTES

(i) Considerao de um determinado diagrama de rotura, para uma seco de beto

armado com dois nveis de armadura (As1 e As2)

As1

As2

MRdNRd

(-)

(+)

cs2

s1

Fc

Fs1

Fs2

yc ys2

ys1

Nota: A coordenada y pode ser medida em relao ao centro geomtrico da seco ou

em relao ao nvel da armadura inferior.

Equaes de Equilbrio

Equilbrio axial: Fc + Fs2 Fs1 = NRd

Equilbrio de momentos: Fc yc + Fs2 ys2 + Fs1 ys1 = MRd

Para um dado diagrama de rotura obtm-se um par de esforo NRd MRd

(ii) Varrendo a seco com os possveis diagramas de rotura obtm-se um diagrama

de interaco NRd MRd

NRd

MRd

(-)


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(iii) Repetindo o processo para vrios nveis de armadura obtm-se os diagramas de

dimensionamento

MRd

(-)NRd

Grandezas adimensionais:

Esforo normal reduzido =NRd

b h fcd

Momento flector reduzido =MRd

b h2 fcd

Percentagem mecnica de armadura TOT =AsTOT

b hfydfcd

1.4.DISPOSIES CONSTRUTIVAS DE PILARES

1.4.1. Armadura longitudinal

(i) Quantidades mnimas e mximas de armadura

As quantidades mnimas de armadura em pilares, podem ser quantificadas atravs de

percentagens mnimas de armadura, que variam consoante o tipo de ao utilizado:

min = 0.8% para A235

min = 0.6% para A400 e A500

Quantidade mxima de armadura:

mx = 8% (incluindo todas as armaduras nas seces de emenda)

Nota: evitar que > 4%, caso contrrio no ser possvel emendar todos os vares na mesma

seco transversal.


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A percentagem de armadura define-se atravs da expresso =Asb h 100 .

(ii) Disposio da armadura, dimetros e espaamento

1. Mnimo nmero de vares na seco transversal

1 varo em cada ngulo da seco (saliente ou reentrante) ou

6 vares em seces circulares (ou a tal assimilveis)

2.Dimetro mnimo dos vares

12mm para A235

10mm para A400 e A500

3.Espaamento mximo dos vares

smx = 30 cm, excepto em faces com largura igual ou inferior a 40cm (basta dispor

vares junto dos cantos).

1.4.2. Armadura transversal

(i) Espaamento das cintas

smx = min (12 L,menor; bmin; 30cm)

(ii) Dimetro

Se L 25mm, cinta 8mm

(iii) Forma da armadura / cintagem mnima

Cada varo longitudinal deve ser abraado por ramos da armadura transversal,

formando um ngulo em torno do varo, no superior a 135.

No necessrio cintar vares longitudinais que se encontrem a menos de 15cm

de vares cintados.

Em pilares circulares no necessrio respeitar a condio do ngulo.


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Funo da armadura transversal

Cintar o beto;

Impedir a encurvadura dos vares longitudinais;

Manter as armaduras longitudinais na sua posio durante a montagem e

betonagem;

Resistir ao esforo transverso.

Nota: As cintas devem ser mantidas na zona dos ns de ligao com as vigas.


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EXERCCIO 15

Considere a seco rectangular representada, sujeita a flexo composta conforme

indicado. Dimensione e pormenorize a seco.

As/2

As/2

0.30

0.50

MsdNsd

Nsd = -1200 kN

Msd = 150 kNm

Materiais: A400

C20/25

RESOLUO DO EXERCCIO 15

Flexo composta de seces rectangulares (Tabelas)

d1 0.05m

h = 0.50m

d1h = 0.10 ; A400

Esforo normal reduzido: =Nsd

b h fcd=

-12000.30 0.50 13.3103 = -0.60

Momento flector reduzido: =Msd

b h2 fcd=

1500.30 0.502 13.3103 = 0.15

TOT = 0.20 AsTOT = TOT b h

fcd

fyd = 0.20 0.30 0.50

13.3

348 104

= 11.47cm2

Na roturac2s1

=-3.50 a 1

rotura pelo beto

armaduras no atingem a cedncia

Zona


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EXERCCIO 16

Considere um pilar com seco transversal circular com = 0.50 m. Dimensione as

armaduras do pilar para os seguintes esforos: Nsd = -1400kN; Msd =250 kNm

Considere os seguintes materiais: C25/30, A400NR


d1 = 0.05 d1

h = 0.10

=Nsd

r2 fcd=

-1400 0.252 16.7103 = 0.427

=MSd

2 r3 fcd=

2502 0.253 16.7103 = 0.152

TOT = 0.30

AsTOT = TOTr2

fcdfyd

= 0.30 0.25216.7348 10

4 = 28.3cm2


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1.5. EFEITO FAVORVEL DE UM ESFORO AXIAL MODERADO DE COMPRESSO NA

RESISTNCIA FLEXO

Considere-se o seguinte diagrama de interaco - , bem como os diagramas detenso na rotura para as situaes A e B ilustradas.

0.4 B

A

As2

As1

b

h

A Fs2,A

As1 fyd

Fc,A

MRd,A

NRd

MRd,B

B

As1 fyd

Fs2,B

Fc,B

MRd,B> MRd,A

A existncia de um esforo axial aumenta as resultantes de compresso (Fc e Fs2) e,

consequentemente, o MRd apesar da diminuio do brao de Fc.


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2. Verificao da segurana dospilares aos estados limite ltimos

2.1.COMPORTAMENTO DE ELEMENTOS ESBELTOS

Nos elementos de beto armado solicitados apenas flexo, os esforos so, em

geral, determinados na estrutura no deformada (Teoria de 1 ordem).

Sempre que as deformaes tenham um efeito importante nos esforos solicitantes (p.

ex. no caso de pilares esbeltos), as hipteses lineares da teoria de 1 ordem no

devem ser aplicadas.

Exemplos:

N

vL

N

L

v

Teoria de 1 ordem:

M = N e

Teoria de 2 ordem:

M = N (e + v) M = N e + N v

N e momento de 1 ordem

N v momento de 2 ordem

Nota: na teoria de 2 ordem as condies de equilbrio devem ser satisfeitas na

estrutura deformada.

Os efeitos de 2 ordem dependem da esbelteza dos pilares: = L0i

M

N

N e

N e N v

1

2

- pequeno efeitos de 2 ordem desprezveis

(Teoria de 1 ordem)

- mdio/elevado efeitos de 2 ordem relevantes

(Teoria de 2 ordem)

Consideram-se os efeitos de 2 ordem desprezveis

se: M2ordem

0.10 M1ordem

( N v 0.1 N e)


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2.2.TIPOS DE ROTURA

21

Ne1

N

M

Ne1

Ne1 Ne2

Ne2

Nu, Mu1 1

22Nu, Mu

2 2NCR, MCR

Nu, Mu33

NCR, MCR33

N

N

e1 e1

N

N

e2

e2

3N

N

e1

Relao N - M para e2 = 0 (anlise de 1 ordem) Mu/Nu = e1

Relao N - M para e 2 0 (elemento pouco esbelto) rotura da seco

Relao N - M para e 2 0 (elemento muito esbelto) rotura por instabilidade

2.3.ESBELTEZA

A esbelteza de um pilar dada por:

=L0i

onde,

L0 representa o comprimento efectivo da encurvadura (distncia entre pontos de

momento nulo ou pontos de inflexo da configurao deformada)

i representa o raio de girao da seco

i =I

A

Nota: Deve ser considerado o momento de inrcia da seco segundo o eixo

perpendicular ao plano de encurvadura.

Maiormaior sensibilidade aos efeitos de 2 ordem.


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2.4.COMPRIMENTOS DE ENCURVADURA DE ESTRUTURAS SIMPLES

Estruturas de ns fixos

L0 = L/2L0 = L

L0 = 0.7L

Estruturas de ns mveis

L0 = 2L L0 = L L0 = 2L


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2.5.CONSIDERAO DOS EFEITOS DE 2 ORDEM

Estruturas correntes (edifcios, em geral)

Mtodos de dimensionamento a partir dos resultados de uma anlise linear de 1

ordem, corrigindo a excentricidade para ter em conta os efeitos de 2 ordem.

(Mtodo das excentricidades adicionais - REBAP, EC2)

eN

e

N

v

N

e+ead

Msd = Nsd (e + ead)

Outras (esbelteza grande)

Mtodos de anlise no linear de estruturas, tendo em conta as no linearidades

geomtricas e as no linearidades fsicas dos materiais.

2.5.1. Determinao da excentricidade de 2 ordem

A excentricidade de 2 ordem destina-se a ter em conta a deformao do elemento e,

consequentemente, a existncia de efeitos de 2 ordem, podendo ser calculada como

se indica em seguida.

Considere-se a seguinte coluna biarticulada perfeita

L

v

NNx

Para N = NE, tem-se v A sen xL

(Deformada do tipo sinusoidal)


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A curvatura dada por:

1r =

d2 vdx2 = A

2L2 sen

xL

1r

L22 = A sen

xL

Pelo que, v =

1

r

L2

2

1

r

L2

10

Deste modo, a flecha na seco crtica dada por:

vsc =1rsc

L210

A curvatura na seco crtica pode ser obtida de forma aproximada pela expresso:

1r

5h 10

-3

onde h representa a altura na seco no plano de encurvadura.

Este valor foi obtido com base no seguinte modelo:

yd

(-)

(+)

c=3.5

d

1r =

0.0035 + ydd =

0.0045d A235

0.0052d A400

0.0057

d A500

coeficiente de reduo que tem em conta a reduo da curvatura (dada pela

expresso anterior), quando o esforo axial elevado ( > 0.4)

=0.4

= 0.4fcd AcNsd

1.0 (Ac rea da seco transversal do pilar)

Nota: se (Nsd) for grande, a curvatura menor (no limite, toda a seco pode estar

comprimida).

Para alm dos efeitos de 2 ordem, necessrio considerar ainda quer os efeitos das

imperfeies geomtricas de execuo devido existncia de tolerncias construtivas

(excentricidade acidental), quer o acrscimo de deformao dos pilares ao longo do

tempo, devido ao efeito da fluncia (excentricidade de fluncia). Apresenta-se em

seguida as expresses propostas para clculo destas excentricidades.


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2.5.2. Clculo das restantes excentricidades adicionais

1. Excentricidade Acidental

A excentricidade acidental destina-se a ter em conta os efeitos das imperfeies

geomtricas de execuo (tolerncias construtivas) e pode ser determinada atravs de

ea = maxL0 / 300

0.02m

onde L0 representa o comprimento efectivo de encurvadura.

2. Excentricidade de fluncia

A excentricidade de fluncia destina-se a ter em conta o acrscimo de deformao do

pilar devido aos efeitos da fluncia e determina-se atravs da expresso,

ec =

Msg

Nsg+ ea exp

c Nsg

NE Nsg 1

onde

Nsg, Msg representam os esforos devidos s aces com carcter de permanncia

(que provocam fluncia), no afectados do coeficiente f

ea representa a excentricidade acidental

c representa o coeficiente de fluncia (em geral, c = 2.5)

NE representa a carga crtica de Euler

NE = 10

EIL0

2 (EI da seco de beto)

A considerao da excentricidade de fluncia s importante para elementos muito

esbeltos (em geral despreza-se). Poder deixar de ser considerada nos casos em que

se verifique uma das seguintes condies: Msd / Nsd 2.0 h ou 70.


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2.6.VERIFICAO DA SEGURANA AO ESTADO LIMITE LTIMO DE ENCURVADURA

1. Verificao do estado limite ltimo de flexo composta na seco crtica (seco

mais esforada), para os esforos

Nsd = Nsd

Msd = Msd + Nsd (ea + e2 + ec)

2. Seco crtica

(i) Estruturas de ns fixos

A localizao da seco crtica depende do diagrama de Msd (conforme se podeobservar na figura seguinte, em geral a seco crtica localiza-se numa zona

intermdia, e no junto das extremidades).

ead

Nsd

Msd2 ordem

Msd,a

Msd,b

1 ordemMsd

TOTAL

Msd

+ =

Mclculosd = mx

0.6 Msd,a + 0.4 Msd,b

0.4 Msd,a

(seco crtica)

com |Msd,a| |Msd,b|

e

Msd' mx Msd (ns) = Msd,a

(ii) Estruturas de ns mveis

N

ad

1 ordemMsd Msd

2 ordem

A seco crtica situa-se no n em que

Msd mximo


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3. Dispensa da verificao da segurana ao estado limite ltimo de encurvadura

A considerao da excentricidade de 2 ordem pode ser dispensada, caso se verifique

uma das seguintes condies:

a) (i) Estruturas de ns fixos

35 se Msd,b = Msd,avmx

50 15Msd,bMsd.a

65 se Msd,a = Msd,b

vmx

(ii) Estruturas de ns mveis 35

ou

b)

Msd

Nsd 3.5 h para 70MsdNsd

3.5 h70 para > 70

, h altura da seco transversal

(o momento de 1 ordem condicionante).


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EXERCCIO

Dimensione o pilar indicado sujeito aos seguintes esforos:

N

H

3.00

Seco transversal

0.30

0.40

Esforos caractersticos: N = 800 kN; H = 20kN

Materiais: C 25/30; A 400NR

RESOLUO DO EXERCCIO

1. Clculo da esbelteza

=L0i =

2 3.00.0866 = 69.3

i =I

A =9 10-4

0.30 0.40 = 0.0866 m; I =bh312 =

0.4 0.3312 = 910

-4 m4

2. Determinao dos esforos de dimensionamento

Nsd = 800 1.5 = 1200 kN; M1 ordemsd = 20 3 1.5 = 90.0 kN

2.1.Verificao da necessidade de considerao dos efeitos de 2 ordem

Numa estrutura de ns mveis para dispensar a verificao da segurana

encurvadura, necessrio verificar as seguintes condies:

MsdNsd

=90

1200 = 0.075 / 3.5 h = 3.5 0.3 = 1.05 e / 35

os efeitos de 2 ordem no so desprezveis


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2.2. Quantificao dos esforos de clculo

Nsd = 1200kN

Msd = Msd + Nsd (ea + e2 + ec) = 90 + 1200 (0.02 + 0.04 + 0) = 162kNm

(i) Clculo da excentricidade acidental

ea = max L0 / 300 = 6 / 300 = 0.02 m

0.02 m ea = 0.02m

(ii) Clculo da excentricidade de 2 ordem

e2 = 1rL0210 = 11.1310

-3 (2 3.0)210 = 0.04 m

1r =

5h 10

-3 =5

0.30 10-3 0.668 = 11.13 10-3

=0.4 fcd Ac

Nsd=

0.4 16.7103 0.3 0.41200 = 0.668 1.0

(iii) Excentricidade de fluncia - Desprezvel dado que < 70

3. Clculo da armadura (flexo composta)

=Nsd

b h fcd=

-12000.3 0.4 16.7103 = -0.60

=Msd

b h2 fcd=

1620.4 0.32 16.7103 = 0.27

TOT = 0.62

d1

h =

0.05

0.3 = 0.167 0.15 ; A400

ASTOT = TOT bh fcdfyd

= 0.62 0.30 0.40 16.7348 10

4 = 35.7cm2


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EXERCCIO

Dimensione o pilar sujeito aos seguintes esforos:

5.00

N

Seco transversal

0.25

0.25

Esforos caractersticos: N = 600 kN

Materiais: C 20/25; A 400NR

RESOLUO DO EXERCCIO


=L0i =

50.0722 = 69.3

i =I

A =3.255 10-4

0.252 = 0.0722 m ; I =b h312 =

0.25412 = 3.25510

-4 m4

2. Esforos de dimensionamento

Nsd = 600 1.5 = 900 kN

2.1.Verificao da necessidade de considerao dos efeitos de 2 ordem

Numa estrutura de ns fixos para dispensar a verificao da segurana encurvadura,

necessrio verificar as seguintes condies:

50 15 Msd,bMsd,a= 50 e = 69.3 / 50 os efeitos de 2 ordem no so desprezveis


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2.2. Quantificao dos esforos de clculo

Nsd = 900 kN

Msd = Msd + Nsd (ea + e2 + ec) = 900 (0.02 + 0.018) = 34.2kNm

(i) Clculo da excentricidade acidental

ea = max L0 / 300 = 5 / 300 0.017m

0.02m ea = 0.02m

(ii) Clculo da excentricidade de 2 ordem

e2 =1r

L02

10 = 7.39 10-3

52

10 = 0.018m

1r =

5h 10

-3 =5

0.25 10-3 0.369 = 7.3910-3

=0.4 fcd Ac

Nsd=

0.4 13.3103 0.252900 = 0.369

(iii) Excentricidade de fluncia - Desprezvel dado que < 70

3. Clculo da armadura (flexo composta)

d1h =

0.050.25 = 0.20 ; A400 Tabelas pg. 45

=

Nsdb h fcd

=-900

0.252 13.3103 = -1.083

= Msdb h2 fcd = 34.20.253 13.3103 = 0.165

TOT = 0.82

AsTOT = TOT b h fcdfyd

= 0.82 0.25213.3348 10

4 = 19.6cm2


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3.Estruturas em Prtico

3.1.CLASSIFICAO DAS ESTRUTURAS

3.1.1. Estruturas contraventadas

Estruturas com elementos verticais de grande rigidez com capacidade resistente para

absorver grande parte das aces horizontais.

Exemplo:

paredesou

ncleos

3.1.2. Estruturas no contraventadas

Estruturas sem elementos de contraventamento

Para efeitos da verificao da segurana em relao ao estado limite ltimo de

encurvadura, o REBAPclassifica as estruturas reticuladas em:

(i) Estruturas de ns fixos: estruturas cujos ns sofrem deslocamentos horizontais

desprezveis

(ii) Estruturas de ns mveis: caso contrrio


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3.2.COMPRIMENTO DE ENCURVADURA

O comprimento de encurvadura definido pela distncia entre os pontos de momento

nulo, da distribuio final de momentos ao longo do pilar, podendo ser determinado

pela expresso,

L0 = L

onde,

L representa o comprimento livre do elemento

um factor que depende das condies de ligao das extremidades do

elemento

Estruturas de ns fixos (contraventada)

L

L0 L

Estruturas de ns mveis (no contraventada)

L

L0 L

Estruturas de ns fixos = min

0.7 + 0.05 (1 + 2)

0.85 + 0.05 min

1.0

1

Estruturas de ns mveis = min1.0 + 0.15 (1 + 2)

2.0 + 0.3 min

1


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1 e 2 parmetros relativos s extremidades 1 e 2 do pilar, dadas por:

i =

( )EI / L pilares

( )EI / L vigas

n i:

viga

pilar Este parmetro pretende traduzir a maior ou menor dificuldade de rotao do n:

Maior rotao maior deformao maiores efeitos de 2 ordem.

Caso as extremidades do pilar estejam ligadas a elementos de fundao

= 1 fundaes que confiram encastramento parcial

= 0 fundaes que confiram encastramento perfeito

= 10 fundaes cuja ligao ao pilar no assegure transmisso de momentos

(liberdade de rotao).


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Exemplo:

3.00

3.00

4.00

6.00 5.00

0.3

0.6 0.5

0.3

0.5

0.3 0.3

0.4

0.3

0.3

1

2

Classificao da estrutura: Estrutura de ns mveis

1 =

( )EI / L pilares

( )EI / L vigas=

( )I / L pilares

( )I / L vigas=

0.3412

14 +

0.3412

13

0.3 0.5312

16 +

0.3 0.4312

15

= 0.468

2 =

0.3412

13 2

0.3 0.6312

16 +

0.3 0.5312

15

= 0.295

= min1 + 0.15 (1 + 2) = 1 + 0.5 (0.468 + 0.295) = 1.11

2.0 + 0.3 min = 2 + 0.3 0.295 = 2.09

L0 = 3 1.11 = 3.33m


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3.3.CONSIDERAO DOS EFEITOS DE 2 ORDEM EM PRTICOS

De acordo com o REBAP, a anlise de prticos tendo em considerao os efeitos de

2 ordem deve ser efectuada da forma seguinte:

Estruturas de ns fixos

possvel analisar os pilares do prtico isoladamente

Estruturas de ns mveis

Os pilares podem ser analisados isoladamente, tomando para a esbelteza de cada

pilar a esbelteza mdia dos pilares do piso em causa.

Problemas que surgem com este tipo de abordagem em prticos de ns mveis:

A anlise de pilares isolados conduz a excentricidades diferentes, o que no

realista dado que as vigas e lajes do piso impem igualdade de deslocamentos

horizontais para os pilares. Assim, dever considerar-se a mesma excentricidade de 2

ordem em todos os pilares. A excentricidade a considerar dever ser a correspondente

ao pilar mais rgido;

Os efeitos de 2 ordem provocam um aumento de esforos nos pilares que, por

equilbrio, conduz a um aumento de esforos nas vigas adjacentes (a anlise de

pilares isolados no tem em conta este efeito).

Formas mais correctas de ter em conta os efeitos da encurvadura

1. Anlise da estrutura inclinada (deformada)


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2. Aplicao de foras horizontais fictcias que conduzam aos valores dos esforos

provocados pelas excentricidades acidentais e aos efeitos de 2 ordem.

H2

H1

Exemplos:

(i) Consola

L

e N N

H

M2 ordem = N e

H L = N e H = N

e

L

(ii) Prtico

L

Ne e N

H

N

H L/2

H L/2

M2 ordem = N e H L2 = N e H = N 2eL


168


27/39


EXERCCIO

Dimensione os pilares do prtico representado na figura.

4.00

6.00

0.3

0.3

0.3

0.4

0.6

0.3

P1 P2

30 kN

500 kN 400 kN35 kN/m

Nota: os valores indicados para as

aces, referem-se aos

seus valores caractersticos.

Materiais: C20/25; A400NR

RESOLUO DO EXERCCIO

1. Classificao da estrutura Estrutura de ns mveis

2. Clculo do comprimento de encurvadura dos pilares

(i) Pilar P1

1 =

( )EI / L pilares

( )EI / L vigas=

0.3 0.4312

14.0

0.3 0.6312

16.0

= 0.444 ; 2 = 1.0 (encastramento parcial)

= min1.0 + 0.15 (1 + 2)

2.0 + 0.3 min= min

1.0 + 0.15 (0.444 + 1.0) = 1.217

2.0 + 0.3 0.444 = 2.133

L0 = L = 1.2174.0 = 4.87m

(ii) Pilar P2

1 =

( )EI / L pilares

( )EI / L vigas=

0.3412

14

0.3 0.6312

16

= 0.187 ; 2 = 1.0


169


28/39


= min1.0 + 0.15 (1 + 2)

2.0 + 0.3 min= min

1.0 + 0.15 (0.87 + 1.0) = 1.178

2.0 + 0.3 0.187 = 2.056

L0 = L = 1.178 4.0 = 4.71m


(i) Pilar P1

i =I

A =0.0016

0.3 0.4 = 0.115 m

I =b h312 =

0.3 0.4312 = 0.0016 m

4

= L0i = 4.870.115 = 42.3

(ii) Pilar P2

i =I

A =0.675 10-3

0.32 = 0.087m

I =0.3412 = 0.675 10

-3 m4

= L0i = 4.710.087 = 54.1

4. Clculo dos esforos de dimensionamento

4.1. Esforos de 1 ordem

Combinao 1

Aces e reaces de clculo

52.5 kN/m600 kN750 kN

45 kN

923.6 kN 741.4 kN

4.1 kN49.1 kN

81.6 kNm 1.8 kNm

DMF

[kNm]114.9

81.6

18.3

1.8

169.7

(+)

(+)

(-)(-)


170


29/39


Combinao 2

Aces e reaces de clculo

61.3 kNm

769.4 kN

47.6 kNm

895.6 kN

35.3 kN9.7 kN

600 kN

45 kN52.5 kN/m

750 kN

(-)

61.3

DMF[kNm]

(+)

(+)

191.9

79.9(-)

(-)

47.6

8.7

4.2. Verificao da necessidade de considerao dos efeitos de 2 ordem

(i) Pilar P1

= 42.3


30/39


Combinao 2

Pilar L0 [m] h [m] Ac [m2] Nsd [kN] 1/r [m

-1] e2 [m]

P1 4.87 0.4 0.12 895.6 0.71 8.8810-3 0.021

P2 4.71 0.3 0.09 764.9 0.63 10.510-3

0.023

Nota: o pilar mais rgido que condiciona o deslocamento horizontal. Para um

determinado deslocamento horizontal o pilar mais rgido atinge primeiro a cedncia (a

curvatura igual nos dois pilares, logo, as extenses so maiores no pilar mais rgido).

4.4. Clculo da excentricidade acidental

ea = max L0/300

0.02m ea = 0.02 m

4.5. Determinao da fora horizontal equivalente

2(e2+ea)

H

M2 ordem = N (e2 + ea)

H = N2 (e2 + ea)

L

H = H1 + H2 = (N1 + N2)2 (e2 + ea)

L

Combinao 1

H = (923.6 + 741.4) 2 (0.02 + 0.02)

4.0 = 33.3 kN

Combinao 2

H = (895.5 + 769.4)

2 (0.021 + 0.02)

4.0 = 34.1 kN

Esforos provocados por uma fora unitria

(-) (+)

0.7

1.2 (-)

1.4

(+)(-)

0.7

DMF[kNm]

1 kN


172


31/39


4.6. Esforos de dimensionamento

Combinao 1

(i) Pilar P1 (seco crtica seco de topo)

Nsd = 923.6 kN

Msd' = 114.9 + 33.3 1.2 = 154.9 kNm

(ii) Pilar P2 (Seco crtica seco do topo)

Nsd = 741.4 kN

Msd' = 18.3 + 33.3 0.7 = 41.6 kNm

Combinao 2

(i) Pilar P1 (seco crtica seco da base)

Nsd = 895.6 kN

Msd' = 47.6 + 34.1 1.4 = 95.3 kNm

(ii) Pilar P2 (Seco crtica seco do topo)

Nsd = 769.4 kN

Msd' = 80 + 34.1 0.7 = 103.9 kNm

5. Determinao das armaduras longitudinais

(i) Pilar P1 (combinao mais desfavorvel: combinao 1)

=

923.60.3 0.4 13.3103 = 0.58

=154.9

0.3 0.42 13.3103 = 0.24

d1h =

0.050.40 = 0.125 , A400

TOT =

0.44 para d1/h = 0.10

TOT = 0.48

0.52 para d1/h = 0.15

ASTOT = TOT b hfcdfyd

= 0.48 0.3 0.4 13.3348 10

4 = 22.01 cm2 Adoptam-se 820


173


32/39


(ii) Pilar P2 (combinao mais desfavorvel: combinao 2)

=

769.40.3 0.3 13.3103 = 0.66

=103.9

0.33

13.3103 = 0.29

d1h =

0.050.30 = 0.167 0.15

TOT = 0.72 ASTOT = 24.77cm2

Adoptam-se 820

6. Determinao das armaduras transversais

6.1. Verificao da segurana ao estado limite ltimo de esforo transverso

(i) Pilar P1

(+)

128.2

(-)

154.9D M'sd[kNm]

(+)70.8

DET[kN]

Msd'base = 81.6 + 33.3 1.4 = 128.2 kNm

Vsd

=154.9 + 128.2

4= 70.8 kN

Verificao das compresses

c =Vsd

bw z cos sen =

70.80.3 0.9 0.35 cos 26 sen 26 = 1901.5 kN/m

2

0.6 fcd = 0.6 13.3103 = 7980kN/m2

Clculo da armadura transversal

Asws =

Vsdz cotg fyd

=70.8

0.9 0.35 cotg 26 348103 104 = 3.15 cm2/m

Adoptam-se cintas 6//0.15


174


33/39


(ii) Pilar P2

47.0 (-)

(-)

(+)

84.6

DET[kN]

103.3D M'sd[kNm]

Msd'base = 61.3 + 33.3 0.7 = 84.6 kNm

Vsd =103.3 + 84.6

4 = 47.0 kN

Verificao das compresses

c =Vsd

bw z cos sen =

47.00.3 0.9 0.25 cos 26 sen 26

= 1767.2 kN/m2

Clculo da armadura transversal

Asws =

Vsdz cotg fyd

=47.0

0.9 0.25 cotg 26 348103 104 = 2.92 cm2/m

Adoptam-se cintas 6//0.15


175


34/39


3.4.CONSIDERAO DOS EFEITOS DE 2 ORDEM EM ESTRUTURAS DE NS FIXOS

Conforme se referiu anteriormente, uma estrutura de ns fixos aquela que possui

elementos verticais de grande rigidez com capacidade resistente para absorver grande

parte das aces horizontais e cujos ns sofrem deslocamentos horizontais

desprezveis.

Lpilar

Lparede

No que respeita verificao da segurana dos pilares, os deslocamentos dos ns

podem ser desprezados, o mesmo no acontecendo quando se pretende verificar a

segurana das paredes. As paredes, por se tratarem de elementos com grande

rigidez, tero uma deformada semelhante de uma consola, e os pequenos

deslocamentos horizontais sero importantes.

3.4.1. Verificao da segurana dos elementos verticais

(i) Pilares

Os pilares de prticos de ns fixos podem ser analisados como pilares isolados.

Possveis configuraes deformadas e diagramas de momentos flectores

correspondentes

Msd

M'sd

MsdM'sd


176


35/39


Esforos de dimensionamento

- Ns: Nsd ; Msd

- Seco crtica: Nsd ; Msd = Mclculosd + Nsd (e2 + ea)

onde

Mclculosd = mx

0.6 Msd,a + 0.4 Msd,b

0.4 Msd,acom |Msd,a| |Msd,b|

Nota: A seco crtica (onde os efeitos de 2 ordem so mais desfavorveis)

ocorre entre ns.

(ii) Paredes

Lparede

Comprimento de encurvadura: L0 = 2 Lparede

Nota: Na determinao dos esforos de

dimensionamento, devem ser consideradas asexcentricidades adicionais.


177


36/39


4. Flexo Desviada

4.1.ROTURA CONVENCIONAL

s 10

c(-) 3.5

Quando toda a seco estiver sujeita a tenses de compresso: 2 c(-) 3.5

Problema: o momento no est a actuar segundo as direces principais de inrcia.

4.2.DETERMINAO DOS ESFOROS RESISTENTES

(i) Considerao de um determinado diagrama de rotura, para uma seco de beto

armado

c

Fs1Fs2

Fc

My

Mz

(-)

(+)

Atravs das equaes de equilbrio, para um dado diagrama de rotura obtm-se um

par de esforo MRd,y MRd,z

(ii) Varrendo a seco com os possveis diagramas de rotura obtm-se um diagrama

de interaco MRd,y MRd,z

(iii) Repetindo o processo para vrios nveis de armadura obtm-se os diagramas de

dimensionamento

Flexo composta desviada: os processos anteriores so repetidos para vrios nveis

de esforo axial.


178


37/39


Grandezas adimensionais:

Esforo normal reduzido: =NRd

b h fcd

Momentos flectores reduzidos: y = MRd,yb h2 fcd; z = MRd,zb2 h fcd

Percentagem mecnica de armadura TOT =AsTOT

b hfydfcd

Nota:

Simplificadamente, possvel dividir o problema nas duas direces e resolver como

se se tratasse de um problema de flexo composta em cada direco. Neste caso,

necessrio verificar no final a seguinte condio:

Msd,y

MRd,y

+

Msd,z

MRd,z

1.0

onde um coeficiente que depende da forma da seco transversal e que toma os

seguintes valores:

Seces transversais circulares ou elpticas: = 2

Seces transversais rectangulares

Nsd / NRd 0.1 0.7 1.0

1.0 1.5 2.0


179


38/39


EXERCCIO 14

Dimensione e pormenorize a seguinte seco de um pilar para os esforos de clculo

indicados.

z

0.50

0.30

y

Nsd = -1200 kN

Msd,y = 150 kNm

Msd,z = 100 kNm

Materiais: A400

C20/25


Flexo desviada com esforo axial (Tabelas)

Msdz

Msdy

Astot/4

=Nsd

b h fcd=

-12000.30 0.50 13.3103 = -0.60

y =Msdy

b h2 fcd=

1500.30 0.502 13.3103

= 0.15

z =Msdz

b2 h fcd=

1500.302 0.50 13.3103 = 0.167

Como z>y 1 = z = 0.167 e 2 = y = 0.15

= -0.6

1 = 0.167

2 = 0.15

TOT = 0.60

AsTOT = TOT b hfcd

fyd= 0.60 0.30 0.50

13.3

348 104 = 34.4cm2


180


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EXERCCIO 19

Considere um pilar com seco transversal circular com = 0.50 m. Dimensione as

armaduras do pilar para os seguintes esforos: Nsd = -1400kN; Msdz = 150 kNm;

Msdy = 200 kNm

Considere os seguintes materiais: C25/30, A400NR


Msd = 1502 + 2002 = 250 kNm Flexo composta

d1 = 0.05 d1h = 0.10

=

Nsd r2 fcd

=-1400

0.252 16.7103 = 0.427

=MSd

2 r3 fcd =250

2 0.253 16.7103 = 0.152

TOT = 0.30

AsTOT = TOTr2

fcdfyd

= 0.30 0.25216.7348 10

4 = 28.3cm2

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