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M ÉTODOS Q UANTITATIVOS 1 a Edição - 2009

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MÉTODOS

QUANTITATIVOS

1a Edição - 2009

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SOMESBSOCIEDADE MANTENEDORA DE EDUCAÇÃO SUPERIOR DA BAHIA S/C LTDA.

GERVÁSIO MENESES OLIVEIRAPRESIDENTE

SAMUEL SOARESSUPERINTENDENTE ADMINISTRATIVO E FINANCEIRO

GERMANO TABACOFSUPERINTENDENTE DE ENSINO, PESQUISA E EXTENSÃO

PEDRO DALTRO GUSMÃO DA SILVASUPERINTENDENTE DE DESENVOLVIMENTO E PLANEJAMENTO ACADÊMICO

FTC EADFACULDADE DE TECNOLOGIA E CIÊNCIAS – ENSINO A DISTÂNCIA

REINALDO DE OLIVEIRA BORBADIRETOR GERAL

MARCELO NERYDIRETOR ACADÊMICO

JEAN CARLO NERONEDIRETOR DE TECNOLOGIA

ANDRÉ PORTNOIDIRETOR ADMINISTRATIVO E FINANCEIRO

RONALDO COSTAGERENTE ACADÊMICO

JANE FREIREGERENTE DE ENSINO

LUÍS CARLOS NOGUEIRA ABBEHUSENGERENTE DE SUPORTE TECNOLÓGICO

ROMULO AUGUSTO MERHYCOORD. DE SOFTWARES E SISTEMAS

OSMANE CHAVESCOORD. DE TELECOMUNICAÇÕES E HARDWARE

JOÃO JACOMELCOORD. DE PRODUÇÃO DE MATERIAL DIDÁTICO

MATERIAL DIDÁTICO

PRODUÇÃO ACADÊMICA PRODUÇÃO TÉCNICA

JANE FREIRE JOÃO JACOMELGERENTE DE ENSINO COORDENAÇÃO

ANA PAULA AMORIM MÁRCIO MAGNO RIBEIRO DE MELOSUPERVISÃO REVISÃO DE TEXTO

CAROLINE FERNANDES PASTANA PAULO HENRIQUE RIBEIRO DO NASCIMENTOCOORDENADOR DE CURSO REVISÃO DE CONTEÚDO

ADRIANO PEDREIRA CATTAIJONES GARCIA DA MATA PAULO HENRIQUE RIBEIRO DO NASCIMENTO

AUTOR(A) EDIÇÃO EM LATEX 2ε

EQUIPEANDRÉ PIMENTA, ANTONIO FRANÇA FILHO, AMANDA RODRIGUES, BRUNO BENN DE LEMOS, CEFAS GOMES, CLÁUDER

FREDERICO FILHO, FRANCISCO FRANÇA JÚNIOR, HERMÍNIO FILHO, ISRAEL DANTAS, JOHN CASAIS, MÁRCIO SERAFIM,MARIUCHA SILVEIRA PONTE E

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Sumário

Bloco 1: Estatística Descritiva 9

Tema 1: Tabulação de Dados, Medidas de Tendência Central e Me didas de Disper-são 9

Conteúdo 1: Distribuição de Frequências 9

1.1 Introdução à Estatística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1 Conceitos Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Séries Estatísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Tabulação de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.1 Rol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4 Distribuição de Frequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.1 Componentes de uma distribuição de frequências em classes . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.2 Agrupamento em Classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.3 Construção das classes de frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Conteúdo 2: Representação Gráfica, Histograma 16

1.4.4 Histograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.5 Ogivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.6 Gráfico de barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.7 Gráficos de colunas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.8 Gráficos de setores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4.9 Diagrama de Dispersão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4.10 Gráficos Pictóricos ou Pictogramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4.11 Falhas na elaboração de gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4.12 Gráfico sucata (chart junk) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4.13 Ausência de base relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4.14 Eixo vertical comprido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4.15 Ausência do Ponto Zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Conteúdo 3: Medidas de Tendência Central 21

1.5 Médias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5.1 Média Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.5.3 Cálculo da Média Aritmética para Dados Repetidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.5.4 Vantagens da Média Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.5.5 Desvantagens da média aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.5.6 Cálculo da Média Aritmética de Dados Agrupados em Classes de Frequência . . . . . . 24

1.5.7 Média Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.5.8 Média harmônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.6 Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.6.1 Calculo da mediana para dados repetidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.6.2 Vantagens da Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.6.3 Desvantagem da Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.6.4 Mediana para dados agrupados em classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Métodos Quantitativos 3

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1.7 Moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.7.1 Vantagens da moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.7.2 Desvantagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Conteúdo 4: Medidas de Dispersão 29

1.8 Amplitude total (h) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.9 Desvio médio (DM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.10 Variância (σ2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.11 Desvio Padrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.12 Desvio padrão e variância populacional e amostral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.13 Coeficiente de dispersão relativa (dispersão relativa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.14 Medidas de Ordenamento e Posição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.14.1 Quartis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.14.2 Decis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.14.3 Percentis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.15 Atividade Complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Tema 2: Probabiidade 34

Conteúdo 1: Equivalência de Capitais 34

2.1 Conteúdo 1: Conceito e Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2 Combinação de Eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.1 União de dois ou mais eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.2 Interseção de dois ou mais eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2.3 Complementar de um evento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3 Frequência relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4 Definição de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Conteúdo 2: Probabilidade Condicional 38

Conteúdo 3: Teorema da Multiplicação e Teorema da Probabili dade Total 40

2.4.2 Teorema da Multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.4.3 Teorema da Probabilidade Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Conteúdo 4: Eventos Independentes, Arranjos e Combinação 42

2.5 Independência de Dois Eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.6 Métodos de Enumeração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.6.1 Regra da Multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.6.2 Permutações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.6.3 Arranjos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.6.4 Combinações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.7 Atividade Complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Bloco 2: Inferência Estatística 48

Tema 3: Distribuições de Probabilidade 48

Conteúdo 1: Variável Aleatória 48

FTC EAD |4

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3.1 Função de Probabilidade e Esperança de uma Variável Aleatória . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Conteúdo 2: Distribuição Normal 50

3.2 Distribuição Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2.1 Média (Valor esperado) e variância da distribuição binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Conteúdo 3: Distribuição de Poisson 52

3.2.2 Propriedades da Distribuição de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Conteúdo 4: Normal 54

3.3 Atividade Complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Tema 4: Estimativa, Regressão e Correlação 57

Conteúdo 1: Conceitos de Amostragem, Estimativa de Médias P opulacionais 58

4.1 Conceitos de Amostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.2 Por Que Amostragem? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.3 Quando o Uso de Amostragem Não é Interessante? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.4 Tipos de Amostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.4.1 Amostragem Probabilística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.4.2 Amostragem por Quotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.4.3 Amostragem Aleatória Simples (AAS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.4.4 Amostragem Sistemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.4.5 Amostragem Aleatória Estratificada (AAE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.4.6 O Processo de Amostragem Estratificada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.4.7 Amostra Aleatória Simples × Amostra Aleatória Estratificada . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.4.8 Amostragem Aleatória por Conglomerados (AAC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.5 Inferências Estatísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.6 Formas de estimativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Conteúdo 2: Estimativas de Proporções Populacionais 68

4.6.1 Erro de estimação da proporção populacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.6.2 Determinação do tamanho da amostra em populações finitas . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Conteúdo 3: Regressão Linear 70

4.7 Equação de Regressão Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.8 Decisão por um tipo de relação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.9 Determinação da equação de regressão linear (método dos mínimos quadrados) . . . . . . . 71

Conteúdo 4: Correlação Linear 73

4.10 Correlação Linear (o coeficiente ρ de Pearson) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.11 Atividade Complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Referências Bibliográficas 76

Métodos Quantitativos 5

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Prezado(a),

Bem vindo! Neste material dialogaremos sobre a disciplina Métodos Quantitativos. Ele foi concebido

e escrito com o objetivo de tratarmos da melhor maneira possível sobre o significado da Estatística, seus

objetivos, utilidades e funções. No primeiro bloco deste material trabalharemos a estatística descritiva

enfatizando o tratamento das informações através dos dados e no segundo bloco versaremos sobre a

estatística de inferência, buscando mostrar a utilidade das distribuições de probabilidade e das estimativas

na rotina dos administradores de empresas, pesquisadores e da sociedade.

Portanto, longe de tornar este material uma coletânea de conteúdos organizados de uma maneira

que somente os técnicos possam interpretá-los, muito menos fazer da Estatística a único caminho para

se chegar à verdade científica, nem que deva ser desacreditado pela existência de incertezas quanto a

algumas de suas teorias e utilizações, buscou-se uma linguagem simples e objetiva que possa lhe levar

a compreensão dessa maravilhosa ferramenta científica.

Desejamos aqui oferecer aos estudantes de administração uma ferramenta poderosa para a tomada de

decisões, afinal de conta os números não mentem, e se vocês souberem interpretá-los, estarão sempre

um passo a frente, dos demais que se bloquearam para esse conhecimento.

Estudem com calma, pois para compreendermos as disciplinas quantitativas devemos buscar sempre

entender o processo, nunca decorar, desta forma, vocês aprenderão e sentirão, cada vez mais, prazer em

estudar o assunto.

Reflexos da “saúde financeira” que o País atravessa nos revelam que profissionais renomados, que

exercem suas profissões no âmbito financeiro, possuem um conhecimento específico nos conteúdos ref-

erentes aos temas abordados na Matemática Financeira. Isto significa, dentre outras coisas, que apenas

os profissionais da área de finanças, com uma boa formação acadêmica e com um conhecimento especí-

fico em conteúdos financeiros estão credenciados ao “sucesso profissional”.

Prof. Jones Garcia da Mata

APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA

Métodos Quantitativos 7

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BLOCO 01Estatística Descritiva

TEMA 01

Tabulação de Dados, Medidas de

Tendência Central e Medidas de

Dispersão

Conteúdo 1: Distribuição de Frequências

1.1 Introdução à Estatística

A estatística é uma ciência que envolve um corpo de técnicas e uma metodologia desenvolvida para a

coleta, a tabulação, a classificação e simplificação de dados, para tornar esses dados melhor apresentáveis,

para análise e a interpretação dos mesmos para a tomada de decisões.

1.1.1 Conceitos Importantes

População: É um conjunto de elementos com características iguais ou parecidas, agrupadas em conjuntos

denominados como população ou universo.

Amostra: É um subconjunto retirado da população com o objetivo de ser analisado, obtendo assim infor-

mações dessa amostra, para poder ser generalizado para a população.

Dados experimentais: São dados obtidos de amostras de uma população composta de variáveis.

Censo: É a análise de todos os elementos de uma população.

Observação: Se a população é pequena, muitas vezes é mais indicado um censo do que uma retirada

de uma amostra. Na grande maioria das vezes, quando vamos aplicar a estatística na prática, trabalhamos

com populações com um grande número de elementos, portanto se torna inviável o estudo de cada elemento

da população, pois seria trabalhoso e teríamos um custo alto e em certos casos o estudo de cada elemento

da população também é impossível, que seria o caso de determinarmos a média de quilometragem que um

determinado pneu é capaz de rodar, pois se testarmos todos os pneus, estaríamos destruindo todos os pneus,

portanto trabalhamos tomando uma amostra da população.

Podemos dizer que a estatística se divide em três ramos.

1. Estatística Descritiva: Trata da coleta, classificação, organização, tabulação, do resumo e, em geral, da

simplificação de informações que podem ser muito complexas, fazendo uso de parâmetros estatísticos

que resumem o comportamento dos dados.

Exemplo: Taxa de desemprego, custo de vida, quilometragem média por litro de combustível, médias das

idades de um grupo de pessoas, etc.

2. Estatística Probabilística: Utilizada em situações que envolvem o acaso.

Exemplo: Jogos de dados, jogos de cartas, jogos esportivos, loterias, etc.

Métodos Quantitativos 9

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3. Estatística Inferencial: Consiste da aplicação de um corpo de técnicas e metodologias para mensurar os

resultados obtidos de uma amostra para toda população.

Exemplo: Pesquisa de intenção de votos para presidente de um país.

1.2 Séries Estatísticas

Para se compreender melhor a definição de uma série estatística, é necessário ter uma visão do significado

de uma tabela.

A tabela é a reunião dos dados estatísticos em que as variáveis são dispostas de tal maneira que se possa

interpretar o seu significado. A variável a ser observada está listada na coluna indicadora da tabela (primeira

coluna, no sentido da esquerda para direita da tabela).

A série estatística é a representação dos dados estatísticos, em função de alguns fatores contidos em uma

tabela, que podem ser o tempo, o espaço e a espécie.

Observação: Dentre todas as séries, a mais importante é a série temporal, pois o estudo dessa série

possibilita fazer estimativas futuras, utilizando os dados do passado.

As séries estatísticas são classificadas da seguinte forma:

• Séries geográficas, territoriais ou de localização: representam os dados em função da localidade

Exemplo: Exportação segundo os países de destino - janeiro de 2007.

Países de aquisição Valor (US$ 1.000 FOB)

Estados Unidos 1.734.081

Argentina 822.584

China 558.075

Fonte: Ministério da Fazenda

Nota: Foram expostos os três países que fizeram mais aquisições.

• Séries históricas, cronológicas, temporal ou marcha: representam os dados em função do tempo.

Exemplo: Dados gerais de exportações no Brasil, no primeiro semestre de 2007.

Meses Valor (em US$ milhões FOB)

Janeiro 10.963

Fevereiro 10.106

Março 12.859

Abril 12.493

Maio 13.616

Junho 13.192

Fonte: Ministério da Fazenda

Nota: FOB - Frete por contado remetente.

• Séries específicas ou categóricas: representam os dados em função da especificação ou categoria.

Exportações dos produtos agrícolas - janeiro a junho de 2006.

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Produtos agrícolas Quantidade (T )

Café 618.315

Soja em grão 12.477.684

Óleo de soja em bruto 701.583

Açúcar em bruto 4.868.574

Fonte: Ministério da Fazenda

• Séries conjugada ou tabela de dupla entrada: representam os dados em função de duas ou mais var-

iáveis.

Exemplo: Exportações dos produtos agrícolas - janeiro a junho de 2006 e 2007.

Produtos agrícolasQuantidade (T )

2006 2007

Café 618.315 723.674

Soja em grão 12.477.684 12.749.472

Óleo de soja em bruto 701.583 787.263

Açúcar em bruto 4.868.574 5.250.416

Fonte: Ministério da Fazenda

1.3 Tabulação de Dados

Nesta seção veremos técnicas empregadas pela estatística para simplificar e resumir dados em uma tabela,

facilitando, assim, a leitura e interpretação dos mesmos.

Uma tabela primitiva é uma coleção de dados sem nenhum tratamento de organização.

Exemplo: Suponha que desejamos estimar a média de idade dos estudantes do turno noturno do ensino

médio de uma determinada escola e para isso coletamos vinte e uma idades desses estudantes, conforme

dados abaixo.18 19 20 18 18 17 17

22 25 24 23 27 21 28

19 20 21 21 23 23 23

Os dados acima foram coletados e anotados sem nenhuma preocupação organizacional, dizemos então que

esta é uma tabela primitiva estando sem nenhum tratamento organizacional. Os dados estão desordenados

dificultando assim uma análise.

1.3.1 Rol

É um conjunto de dados numéricos ordenados em ordem crescente.

Exemplo: Colocando os dados da tabela primitiva acima no rol temos:

17 17 18 18 18 19 19

20 20 21 21 21 22 23

23 23 23 24 25 27 28

Observe que esta organização torna mais fácil a observação de algumas informações tais como o menor

valor, que é 17, o maior, que é 28, quantos dados com o valor 18 temos, que são três, etc.

Métodos Quantitativos 11

Page 12: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

1.4 Distribuição de Frequências

Podemos melhorar a visualização dos dados, dispondo-os de forma que apareça o número de vezes em

que se repetem cada valor na tabela. A esta organização nós chamamos de distribuição de frequência. Por

exemplo:

Idade Frequência

17 2

18 3

19 1

20 1

22 1

24 1

25 1

Na representação em distribuição de frequência é importante colocar as frequências acumuladas absolutas

e a as frequências relativas e relativas acumuladas, pois essas informações, na distribuição, facilitará a análise

dos dados. Vejamos, então, a distribuição acima com essas informações.

Idade Frequência Frequência% Frequência Acumulada Frequência Acumulada%

17 2 9, 52 2 9, 52

18 3 14, 29 5 23, 81

19 2 9, 52 7 33, 33

20 2 9, 52 9 42, 85

21 3 14, 29 12 57, 14

22 1 4, 76 13 61, 90

23 4 19, 05 17 80, 96

24 1 4, 76 18 85, 72

25 1 4, 76 19 90, 48

27 1 4, 76 20 95, 24

28 1 4, 76 21 100

Total 21 100

Porém, se o rol é muito grande, torna-se inviável este tipo de disposição dos dados. Então usamos intervalos

e chamamos este tipo de disposição, de distribuição de frequência com intervalos de classe. Por exemplo:

Idade Frequência

17 ⊢ 18 2

18 ⊢ 19 3

19 ⊢ 22 2

22 ⊢ 24 2

24 ⊢ 25 1X10

1.4.1 Componentes de uma distribuição de frequências em classes

• Classe: É o intervalo entre as variáveis estudadas, é denotada pela letra i . O número de classes é

denotada pela letra K . No exemplo acima temos cinco classes (k = 5). O intervalo 22 ⊢ 24 está na quarta

FTC EAD |12

Page 13: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

classes (i = 4).

Para sabermos quantas classes existem em um rol com n observações, podemos aplicar várias regras.

Uma, que é muito utilizada, é a regra de Sturges:

– Se n < 25, então k = 5.

– Se n ≥ 25, então k ≈ 1 + 3, 22 log(n)

Outra regra, bastante aplicada, é a regra da raiz quadrada:

– Se n < 25, então k = 5.

– Se n ≥ 25, então k ≈ √n

No exemplo anterior n = 10 < 25. Logo, k = 5.

• Limites de uma classe

São os extremos de cada classe. O menor valor é o limite inferior (li) e o maior, o limite superior (Li ). No

exemplo anterior temos os limite inferior de quarta classe l4 = 22 e, o superior, L4 = 24.

• Amplitude de intervalos de classe

É a variação do intervalo, e denotamos por hi .

hi = Li − li .

No exemplo anterior, temos que a amplitude da quarta classes é h4 = L4 − l4 = 24 − 22 = 2.

• Amplitude total

É a variação do limite mínimo ao limite máximo do rol. Denotamos por AT = Lmax − Lmin.

No exemplo anterior, temos que a amplitude total é AT = 25 − 17 = 8 anos.

• Ponto médio de uma classe

É o valor médio da classe. Denotamos por xi =li + Li

2. No exemplo anterior, temos que o ponto médio

da quarta classe é x4 =l4 − L4

2=

22 + 24

2=

46

2= 23 anos.

• Frequência simples ou absoluta

É a quantidade de dados contidos em uma classe. Denotamos por fi . Por exemplo:

i Idade fi

1 17 ⊢ 18 2

2 18 ⊢ 19 3

3 19 ⊢ 22 2

4 22 ⊢ 24 2

6 24 ⊢ 25 1X10

Uma forma ainda melhor de apresentar os dados em uma tabela de frequência é informando as frequências

acumulativas e percentuais. Isto facilita a análise dos dados. Por exemplo, os dados abaixo são referentes às

Métodos Quantitativos 13

Page 14: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

idades de 40 alunos de uma universidade.

i Idade(xi ) fi FACi Fr FACi%

1 17 2 2 5, 0% 5, 0%

2 18 3 5 7, 5% 12, 5%

3 20 2 7 5, 0% 17, 5%

4 21 1 8 2, 5% 20, 0%

5 22 5 13 12, 5% 32, 5%

6 23 10 23 25, 0% 57, 5%

7 24 12 35 30, 0% 87, 5%

8 25 3 38 7, 5% 95, 0%

9 26 2 40 5, 0% 100%X40 100%

f ri =fi · 100%X

fie FACi% =

FACi · 100%Xfi

,

em que

• fi - frequência absoluta simples

• FACi - frequência Acumulada Crescente

• f r - frequência relativa percentual

• FAC% - frequência Acumulada Crescente Percentual

1.4.2 Agrupamento em Classes

No caso de dados que apresentam grande dispersão, é viável o agrupamento em classes de frequência.

Por exemplo, suponha que os pesos de um grupo de estudantes seja dado pelo seguinte rol: 36, 40, 49, 49, 49,

50, 50, 51, 52, 52, 52, 52, 54, 59, 60, 60, 60, 60, 61, 61, 61, 61, 62, 62, 63, 64, 64, 65, 65, 65, 67, 68, 74, 77, 77, 81,

81, 83, 87, 90.

FTC EAD |14

Page 15: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

Podemos arrumá-lo da seguinte forma:

xi fi fi% FACi FACi%

36 1 2, 5% 1 2, 5%

40 1 2, 5% 2 5, 0%

49 3 7, 5% 5 12, 5%

50 2 5, 0% 7 17, 5%

51 1 2, 5% 8 20, 0%

52 4 10, 0% 12 30, 0%

54 1 2, 5% 13 32, 5%

59 1 2, 5% 14 35, 0%

60 4 10, 0% 18 45, 0%

61 4 10, 0% 22 55, 0%

62 2 5, 0% 24 60, 0%

63 1 2, 5% 25 62, 5%

64 2 5, 0% 27 67, 5%

65 3 7, 5% 30 75, 0%

67 1 2, 5% 31 77, 5%

68 1 2, 5% 32 80, 0%

74 1 2, 5% 33 82, 5%

77 2 5, 0% 35 87, 5%

81 2 5, 0% 37 92, 5%

83 1 2, 5% 38 95, 0%

87 1 2, 5% 39 97, 5%

90 1 2, 5% 40 100, %X40 100, 0%

Observe que esta tabela de frequências é grande e contém muitos dados dispersos, dificultando a análise

dos dados. Vamos, então, construir as classes de frequência.

1.4.3 Construção das classes de frequência

Para construir uma tabela com as frequências em classes devemos:

1. Determinar o número de classes.

2. Estimar o intervalo (amplitude).

3. Agrupar os dados nas classes.

Como no exemplo temos n = 40, então k ≈√

40 ≈ 6, 3 ou K ≈ 1 + 3, 22 log(n) ≈ 1 + 3, 22 log(40) ≈ 6, 2.

Tome k = 6.

Para determinarmos a amplitude de cada classe (h), tomamos a amplitude total dos dados (AT ) e dividimos

pelo número de classes (k).

h >AT

k=

Lmax − Lmin

k=

90 − 36

6=

54

6= 9

Métodos Quantitativos 15

Page 16: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

Vamos agrupar, agora, os dados em classes de frequência.

Classes fi f ri% FACi FACi%

36 ⊢ 45 2 5, 0% 2 5, 0%

45 ⊢ 54 10 25, 0% 12 30, 0%

54 ⊢ 63 12 30, 0% 24 60, 0%

63 ⊢ 72 8 20, 0% 32 80, 0%

72 ⊢ 81 3 7, 5% 35 87, 0%

81 ⊢ 90 5 12, 5% 40 100, 0%X40 100, 0%

Verificamos que com os dados agrupados em classes de frequência, facilitamos a análise dos dados.

Conteúdo 2: Representação Gráfica, Histograma

1.4.4 Histograma

É um gráfico de colunas ou barras utilizado, geralmente, para distribuições de frequências que estão agru-

padas em classes ou não. Observe a tabela e o seu histograma ao lado.

Idade fi f r i% FACi FACi%

16 4 10% 4 10%

17 5 12, 5% 9 22, 5%

18 8 20, 0% 17 42, 5%

19 10 25, 0% 27 67, 5%

20 13 32, 5% 40 100, 0%X40 100, 0%

Idades16 17 18 19 20

O diagrama de Pareto consiste numa forma

especial de gráfico de colunas justapostas,

que dispõe os itens analisados desde o mais

frequente até o menos frequente. Tem como

objetivo estabelecer prioridades na tomada

de decisão, a partir de uma abordagem es-

tatística. Note que este gráfico elege como

prioridade identifica os itens que possuem

maior evidência.

Idades20 19 18 17 16

FTC EAD |16

Page 17: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

1.4.5 Ogivas

Representam as frequências do histograma, podendo ser simples ou relativas, acumuladas ou não.

Idades16 17 18 19 20

1.4.6 Gráfico de barras

Apresenta as frequências sob a forma de barras horizontais. Neste tipo de gráfico as barras devem ser

ordenadas de maneira crescente ou decrescente. Por exemplo,

TIPO DE FRAUDE

NOS CARTÕES DE CRÉDITO

DA MASTERCARD INTERNACIONAL

NO BRASIL - 2000

Tipo de fraude Quantidade

Cartão roubado 243

Cartão falsificado 85

Pedido por correio/telefone 52

Outros 46

Fonte : Triola, MarioF .Quantidade

Tipo de fraude nos cartões de crédito da

Mastercard Internacional do Brasil - 2000

Cartão Roubado

Cartão Falsificado

Pedido porcorreio/telefone

Outros

0 50 100 150 200 250 300

1.4.7 Gráficos de colunas

Apresenta as frequências na forma de colunas verticais. Por exemplo,

Métodos Quantitativos 17

Page 18: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

NÚMERO DE CRIANÇAS DE BAIXA RENDA, SEGUNDO O BAIRRO

DE RESIDÊNCIA, QUE PARTICIPARAM DO ENSINO DE MÚSICA

NA ESCOLA XYZ, SALVADOR - 1998

Bairro Número de crianças

Paripe 11

Periperi 39

Plataforma 45

Praia Grande 25

Total 120

Tabela 1.1: Fonte: Escola de Música XYZ, Salvador.

Número de crianças de baixa renda, segundo o bairro

de residência, que participaram do ensino de música

na escola XYZ, Salvador - 1998

Paripe Periperi Plataforma Praia

Grande

0

10

20

30

40

50

1.4.8 Gráficos de setores

Representa frequências relativas ou simples na forma de setores de círculos. O seu uso deve ser empregado

sempre que se quiser comparar as partes e o todo. Por exemplo,

ER 1. Série Geográfica

Percentual de funcionários dos coletivosde Salvador segundo área de residência

Área de residência Percentual

Centro 17, 2

Subúrbio 39, 1

Periferia 43, 7

Fonte: Dados Fictícios

17, 2%39, 1%

43, 7% Centro Subúrbio Periferia

1.4.9 Diagrama de Dispersão

Mostra a relação gráfica entre duas variáveis numéricas. Por exemplo,

FTC EAD |18

Page 19: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

Vendas Custos

54, 00 38, 00

60, 00 37, 50

50, 00 35, 00

58, 00 40, 00

Vendas

Custo

5450 60

35

40

45

1.4.10 Gráficos Pictóricos ou Pictogramas

São construídos a partir de figuras e conjuntos de figuras representativas da intensidade do fenômeno, os

pictogramas são muito utilizados em jornais e revistas. Cada unidade desenhada deve representar grandes

volumes de unidades produzidas. Uma parte da figura representará uma fração do volume produzido.

Região

Nordeste

Norte

Sul

Vendas10 20 30

1.4.11 Falhas na elaboração de gráficos

1.4.12 Gráfico sucata (chart junk)

Muita figura e pouca informação. Por exemplo, valor da cesta básica brasileira de 1994 a 1998.

1994 : R$100, 00 1996 : R$120, 00 1998 : R$150, 00

Temos, acima, uma apresentação pouco recomendada para dos dados, podendo mascarar a informação,

vindo a dificultar a interpretação dos dados.

Uma boa apresentação seria da seguinte forma:

Métodos Quantitativos 19

Page 20: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

Ano

R$

1994 1996 1998

150

120

100

1.4.13 Ausência de base relativa

Os gráficos podem ocultar a verdadeira informação a depender da base empregada ou sugerida na análise.

Por exemplo, o gráfico abaixo representa a reprovação de três turmas T1, T2 e T3 em Matemática.

Turmas

Reprovação

T1 T2 T3

10

12

14

Vemos que a turma T3 teve um número maior de reprovação, porém considerando que a turma T3, tem 70

alunos, que T2 tem 60 alunos, e que T1 tem 50 alunos, vemos que o índice de reprovação são todos iguais a

20%. Logo, a representação correta seria a seguinte:

Turmas

Reprovação %

T1 T2 T3

20%

1.4.14 Eixo vertical comprido

As escalas usadas devem ser proporcionais as grandezas apresentadas. Por exemplo, valor do salário

mínimo nos anos de 1994, 1996 e 1998.

FTC EAD |20

Page 21: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

Anos

R$

1994 1996 1998

500

Má representaçãoAnos

R$

1994 1996 1998

100

150

Boa representação

1.4.15 Ausência do Ponto Zero

A ausência do zero em um gráfico pode disfarçar eventuais variações, aumentando a variação demasiada-

mente.

Ano

R$

1994 1996 1998

100

120

150

Má representação

Ano

R$

1994 1996 1998

100

120

150Boa representação

Conteúdo 3: Medidas de Tendência Central

São medidas que resumem o comportamento central dos dados, podendo representar um conjunto de

dados.

1.5 Médias

1.5.1 Média Aritmética

É a divisão entre a soma dos valores dos dados e a quantidade de dados. Denotaremos:

• a média amostral por x

• a média populacional por µ.

ER 1. Calcule a média dos dados x1 = 10, x2 = 20, x3 = 5, x4 = 5.

Métodos Quantitativos 21

Page 22: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

Solução: x =

nXi=1

xi

n=

x1 + x2 + x3 + x4

4=

10 + 20 + 5 + 5

4=

40

4= 10.

1.5.2 Propriedades

(a) A soma dos desvios dos dados em relação a média aritmética é zero.

Exemplo: Considere os dados seguintes:

xj x − xj = dj

2 5 − 2 = 3

3 5 − 3 = 2

5 5 − 5 = 0

7 5 − 7 = −2

8 5 − 8 = −3

x = 5X

di = 0

(b) A soma dos quadrados dos desvios em relação à média aritmética é mínimo zero.

Vamos pegar a soma dos quadrados dos desvios, em relação a quatro e a seis, que são números que

estão próximos da média, para verificarmos se este valor vai dar maior que a soma dos quadrados dos

desvios, em relação à media.

x − xj = di 4 − xj = d ′

j 6 − xj = d j

5 − 2 = 3 4 − 2 = 2 6 − 2 = 4

5 − 3 = 2 4 − 3 = 1 6 − 3 = 3

5 − 5 = 0 4 − 5 = −1 6 − 5 = 1

5 − 7 = −2 4 − 7 = −3 6 − 7 = −1

5 − 8 = −3 4 − 8 = −4 6 − 8 = −2Xd2

i = 26X

d ′

i

2= 31

Xd

2

j = 31

Logo, notamos que a soma dos quadrados dos desvios, em relação à média, é realmente mínimo.

Poderíamos tomar números mais próximos da média que sempre íamos obter um valor maior.

Se os valores da série tiverem pesos diferentes, nós chamamos a média aritmética de média ponderada.

Exemplo: Em uma avaliação de matemática, aplicada a 180 alunos, distribuídos em três turmas, T1, T2 e

T3, obtemos os seguintes dados:

Turma N de alunos (n) x i

T1 50 5

T2 60 6

T3 70 8

Queremos saber qual foi a média dos 180 alunos. Como a média da turma T1 é igual a, x1 =

XN1

n1,

em que x1 é a média da turma T1, N1 são as notas da turma T1 e n1 é o número de alunos da turma T1.

Desta forma, temos que a soma das notas da turma T1 éX

N1 = x1 · n1. Analogamente, obtemos que

FTC EAD |22

Page 23: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

a soma das notas das turmas T2 e T3, sãoX

N2 = x2 · n2 eX

N3 = x3 · n3, respectivamente. Como a

média de todos os alunos é a soma de todas as notas dividido pelo total de alunos, temos que a média

das turmas é x =

XN1 +

XN2 +

XN3

=

x1 · n1 + x2 · n2 + x3 · n3

n1 + n2 + n3. Desta forma, temos que a média dos

180 alunos é x =5 · 50 + 6 · 60 + 8 · 70

50 + 60 + 70=

250 + 260 + 560

180=

1.170

180= 6, 5.

Exemplo: Considere uma série com n1 números, e sua média x1, outra série com n2 números e média

x2, e uma outra com n3 números e média x3. A média de todos os números ou média ponderada é

x =n1x1 + n2x2 + n3x3

n1 + n2 + n3.

Se tivermos n séries, então x =n1x1 + n2x2 + . . . + nnxn

n1 + n2 + . . . + nn

=

Xnix iXni

.

(c) Se adicionarmos ou subtrairmos uma constante a todos os valores da série, a média será adicionada ou

subtraída por esta mesma constante.

Exemplo:

xi y i = xi − 3 zi = xi + 3

2 −1 5

3 0 6

5 2 8

7 4 10

8 5 11

x = 5 y = 2 = x − 3 z = 8 = x + 3

(d) Considere a série, x1, x2, . . . , xn, com n dados e média x . Então a série x1 + k , x2 + k , . . . , xn + k terá média

x + k , em que k é uma constante.

(e) Se multiplicarmos ou dividirmos os dados de uma série por uma constante, a média será multiplicada ou

dividida por esta constante.

Exemplo:xi yi = 2xi zi = xi/2

2 −4 1

3 6 3/2

5 10 5/2

7 14 7/2

8 16 4

x = 5 y = 10 = 2x z = 5/2 = x/2

1.5.3 Cálculo da Média Aritmética para Dados Repetidos

Considere a distribuição:xi fi xi · fi3 5 15

4 2 8

2 3 6

8 4 32X14 61

Métodos Quantitativos 23

Page 24: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

Portanto, x =

Xxi · fiX

fi=

61

14= 4, 36.

1.5.4 Vantagens da Média Aritmética

1. Fácil compreensão e fácil de calcular.

2. Usa todos os dados.

3. Evidência o valor de estabilidade da amostra.

1.5.5 Desvantagens da média aritmética

1. É preciso conhecer todos os dados da série.

2. Nem sempre é um valor inteiro. Exemplo: a média das idades sendo 23, 6 anos = 23 anos, 7 messes e 6

dias.

1.5.6 Cálculo da Média Aritmética de Dados Agrupados em Classes de Frequência

ER 2. Arrume a distribuição 2, 4, 6, 9, 9, 10, 10, 12, 13, 13, 14, 16, 17, 17, 22 em classes de frequêcias e, em

seguida, compare as médias da distribuição antes e após a arrumação.

Solução: Como temos n = 15 < 25, o número de classes de frequência é k = 5 e a amplitude de cada

classe é h = AT/K = (22 − 2)/5 = 20/5 = 4. O ponto médio de cada classe é dado por PMi = (Li + li )/2.

Assim, podemos estabelecer a seguinte tabela:

Classes fi PMi

2 ⊢ 6 2 4

6 ⊢ 10 3 8

10 ⊢ 14 5 12

14 ⊢ 18 4 16

18 ⊢ 22 1 20X15

A média da distribuição inicial é x =174

15= 11, 60 e a da tabela de distribuição em classes de frequências

é

x =

XfiPMiX

fi=

2 · 4 + 3 · 8 + 5 · 12 + 4 · 16 + 1 · 20

2 + 3 + 5 + 4 + 1=

176

15≈ 11, 73.

Podemos ver que a média calculada pela distribuição dos dados em classes de frequência é bem próxima

do valor real dos dados. Logo, se não tivéssemos o rol e apenas a distribuição em classes de frequência, nós

estimaríamos a média dos dados utilizando este cálculo para distribuição em classes de frequência.

FTC EAD |24

Page 25: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

1.5.7 Média Geométrica

Considere o rol: 2, 3, 5 e 6. A média geométrica destes dados é g =√

42 · 3 · 5 · 6 =√

4180 ≈ 3, 7. Se temos

n dados x1, x2, . . . , xn, então a média geométrica destes dados é g =√

nx1 · x2 · xn.

Pode ser usada em situações que buscam analisar certo padrão de crescimento.

Exemplo: Considere o rol: 2, 4, 8, 16 e 32. Observe que se trata de uma progressão geométrica de razão 2.

A média geométrica deste rol é g = 5√

2 · 4 · 8 · 16 · 32 = 8. Note que a média geométrica nos deu justamente o

elemento que está no centro do rol, que é o 8.

Exemplo: O PIB do Brasil foi de U$4 bilhões em 1950 e de U$16 bilhões em 1990. Estime o PIB em 1970.

De 1950 a 1990 o PIB quadruplicou. De 1950 a 1970 temos 20 anos e de 1970 a 1990 temos, também, 20 anos.

Logo, vamos pegar a média geométrica de 4 e 16 para estimarmos o PIB de 1970. Logo, g =√

4 · 16 =√

64 = 8,

então podemos estimar que o PIB do Brasil em 1970 foi de U$8 bilhões.

1.5.8 Média harmônica

É utilizada para determinar a média de crescimento ou proporções de preços e velocidades, pois a utilização

da média aritmética nos daria um resultado incorreto.

Considere os n dados x1, x2, . . . , xn, a média harmônica destes dados é calculada da seguinte maneira:

xh =n

1

x1+

1

x2+ . . . +

1

xn

=nX 1

xi

Exemplo: Suponha que um motorista foi de Salvador para Feira de Santana à velocidade média de 80Km/h,

e voltou de Feira de Santana para Salvador pelo mesmo caminho à velocidade média de 100Km/h. Sabendo-se

que a distância entre as cidades é de 100Km. Qual foi a velocidade média de todo percurso?

O tempo que o motorista levou para ir de Salvador para Feira de Santana foi100km

80km/h= 1, 25h. O tempo

que ele levou para voltar foi100km

100km/h= 1h. Como o percurso completo tem 200Km, a velocidade média foi

de200km

1h + 1, 25h=

200km

2, 25h= 88, 89km/h. Se nós calculássemos a média das velocidades médias o resultado

estaria errado, pois80km/h + 100km/h

2= 90km/h. Notamos que, neste caso, temos a média harmônica das

velocidades médias, pois2

1

80Km/h+

1

100Km/h

=2

5 + 4

400Km/h

=800Km/h

9= 88, 89Km/h.

1.6 Mediana

É o valor que está no meio de um rol, dividindo a série em duas partes iguais, obtendo desta forma n

elementos com valores inferiores à mediana do lado esquerdo e n elementos com valores superiores à mediana

do lado direito. Quando o rol tem um número par de elementos, calculamos a mediana tomando a média dos

dois elementos centrais do rol. Notação Md .

ER 3. Doze candidatos fizeram uma prova seletiva para o preenchimento de seis vagas para administrador

em uma empresa. As notas foram as seguinte: 5, 0; 7, 0; 6, 5; 6, 0; 8, 0; 7, 0; 5, 5; 9, 0; 9, 5; 8, 5; 8, 0; 7, 6. Sabendo

Métodos Quantitativos 25

Page 26: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

que a nota de corte é a mediana. Determine a mediana.

Solução: rol: 5, 0; 5, 5; 6, 0; 6, 5; 7, 0; 7, 0; 7, 6; 8, 0; 8, 0; 8, 5; 9, 0; 9, 5.

Os dois elementos centrais são 7, 0 e 7, 6. Logo, Md =7, 0 + 7, 6

2=

14, 6

2= 7, 3

1.6.1 Calculo da mediana para dados repetidos

ER 4. Dada a tabela de frequência abaixo, determine sua mediana.

xi 3 6 8 9 10

fi 5 3 4 2 3

Solução: A mediana é o nono dado, pois ele está no meio da série, logo Md = x9 = 8.

Para determinarmos facilmente a ordem do dado central de uma série de número ímpar, nós somamos

o total de dados da série mais um e dividimos por dois. No exemplo anterior tínhamos um total de 17 dados.

Então, (17 + 1)/2 = 18/2 = 9 e, portanto, a ordem do dado central da série anterior é o x9, que é justamente

a mediana.

ER 5. Dada a tabela de frequência abaixo determine sua mediana.

xi 2 4 5 7 8

fi 5 3 2 4 2

Solução: Como temos um número par de dados, tomamos a mediana sendo a média dos dados centrais,

que neste caso são x8 = 4 e x9 = 5, logo Md = (4 + 5)/2 = 9/2 = 4, 5. Para determinarmos os dados centrais

de uma série como número de dados par, nós dividimos o total de dados por dois, para acharmos o primeiro

dado central, o outro dado central é o seguinte. No exemplo acima fizemos 16/2 = 8, então x8 é o primeiro

dado central e x9 é o segundo dado central, logo Md = (x8 + x9)/2.

1.6.2 Vantagens da Mediana

1. Mesmo que alguns valores da série sejam modificados, a mediana pode manter-se inalterada.

2. Os valores extremos da série não interferem no resultado da mediana.

3. Mesmo que os extremos da série não estejam definido, podemos determinar a mediana.

Exemplo:

Salário mínimo Frequência (milhões)

Até 1 45, 0

1 ⊢ 3 75, 0

3 ⊢ 5 30, 0

acima de 5 20, 0X170, 0

FTC EAD |26

Page 27: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

Como temos um número par de dados, 170, então os dados centrais são x85 e x86. Como os dados centrais

da série estão na faixa de 1 a 3 salários mínimos, temos também que a mediana está nesta faixa.

1.6.3 Desvantagem da Mediana

Se determinarmos a mediana de séries separadas, não temos uma relação para determinar a mediana das

séries unidas.

Exemplo: Considere as seguintes séries: S1 : 3, 4, 6, 7, 8 e S2 : 2, 3, 4, 5, 8, 9. A mediana da série S1 é Md1 = 6

e a mediana da série S2 é Md2 = (4 + 5)/2 = 9/2 = 4, 5. Não temos uma relação entre as medianas que nos

permita calcular a mediana da união das séries. Portanto, temos que construir o rol da união das séries. Assim,

S1 ∪ S2 : 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 9 e Md12 = 5.

1.6.4 Mediana para dados agrupados em classes

Considere a tabela seguinte:

Classes Fi% FAci%

5 ⊢ 9 20% 20%

9 ⊢ 13 25% 45%

13 ⊢ 17 30% 75%

17 ⊢ 21 15% 90%

21 ⊢ 25 10% 100%X100%

A mediana se encontra na terceira classe, dados entre 13 e 17, pois a frequência acumulada de 50% está

nesta classe, isto é, os dados centrais da série estão nesta classe.

Para determinarmos a mediana utilizamos a formula seguinte:

Md = l + h(EMd − Fant)

fMd

,

em que

l : É o limite inferior da classe da mediana.

h: é a amplitude da classe de mediana.

EMd : É a frequência total dividida por dois.

Fant : É a frequência acumulada da classe anterior à classe da mediana.

fMd : É a frequência da classe da mediana.

Logo, temos que l = 13, h = 4, EMd = 50, Fant = 45 e fMd = 30. Desta forma, temos que Md = 13 + 4 ·(50 − 45)

30= 13, 67. Note que, neste caso, usamos os valores em porcentagem para EMd , Fant e fMd , porém, se

tivéssemos os valores numéricos, poderíamos usá-los e o resultado obtido seria o mesmo, tendo o cuidado de

não misturar dados numéricos com dados em porcentagem.

Métodos Quantitativos 27

Page 28: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

ER 6. Calcular a mediana dos dados apresentados na tabela abaixo:

Classes F i F i% FAci Faci%

2, 0 ⊢ 4, 4 3 30 3 30

4, 4 ⊢ 6, 8 1 10 4 40

6, 8 ⊢ 9, 2 2 20 6 60

9, 2 ⊢ 11, 6 2 20 8 80

11, 6 ⊢ 14, 0 2 20 10 100X10 1004

Solução: Temos, neste caso, que os dados centrais então na terceira classe, que vai de 6, 8 e 9, 2. Os

dados centrais são o x5 e x6, pois temos dez dados. Neste caso, temos que, l = 6, 8, h = 2, 4, EMd = 50,

Fant = 40 e fMd = 20. Logo, Md = 6, 8 + 2, 4 · (50 − 40)

20= 8. Se usarmos os dados numéricos ao invés de

porcentagens temos que, E + Md = 5, Fant = 4 e fMd = 2. Desta forma, Md = 6, 8 + 2, 4 · (5 − 4)

2= 8. A

mesma resposta.

EP 1.1. Calcule a média dos dados apresentados acima.

1.7 Moda

É o valor da série que ocorre com maior frequência, podendo não existir e neste caso a série é dita amodal.

No caso em que a moda em uma série não for única, dizemos que a série é multimodal.

A moda é a única medida de tendência central que se aplica em dados quantitativos e qualitativos.

Exemplo (quantitativo): O número de infrações de trânsito observadas em três semáforos A, B e C de uma

cidade, a cada hora, durante 8 horas de observação foram os seguintes:

A: 10, 12, 14, 14, 16, 8, 9, 5

B: 15, 20, 20, 12, 13, 15, 10, 2

C : 5, 6, 4, 2, 3, 1, 7, 8

Moda de A = 14; Moda de B = 20 e 15; Moda de C não existe.

Exemplo (qualitativo): Foi feita uma pesquisa com 8 pessoas, que assistiram três filmes, A, B e C , onde elas

tinham que classificar como P (péssimo), R (regular), B (bom) ou O (ótimo) e obtemos os seguintes resultados:

Filme A: B, B, R , R , O, O, O, O; Moda filme A = O

Filme B: P , P , R , R , R , B, B, B; Moda filme B = R e B

Filme C : P , P , R , R , B, B, O, O; Moda filme C não existe

ER 7. Uma fábrica de calças fez uma pesquisa com mil pessoas do sexo masculino de uma cidade, para saber

o número mais comum que estas pessoas vestiam. De acordo com a tabela de frequência abaixo, determine a

moda dos dados.

FTC EAD |28

Page 29: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

Número da calça fi

36 200

38 250

40 350

42 500

44 300X1600

Solução: A moda dos dados é 42, que é exatamente o número mais usado na cidade.

1.7.1 Vantagens da moda

1. Se algum valor da série for modificado, a moda pode não ser modificada.

Exemplo: Considere o rol: 5, 5, 7, 7, 7, 9. A moda deste rol é 7. Se modificarmos, por exemplo, o valor 9

do rol, para 8, teremos que a moda continuará sendo 7.

2. Fácil de ser determinada.

1.7.2 Desvantagens

1. É um valor que pertence à série.

2. Difícil de ser incluída em equações matemáticas.

3. Pode não ser única

4. Não usa todos os dados da série.

Conteúdo 4: Medidas de Dispersão

O grau ao qual os dados numéricos tendem a dispersar-se em torno de um valor médio, nós chamamos de

dispersão ou variação dos dados.

1.8 Amplitude total (h)

É a diferença entre o maior valor e o menor valor de um conjunto de dados.

Exemplo: Considere o conjunto A = 5, 2, 3, 9, 1, 7. O rol deste conjunto é: 1, 2, 3, 5, 7, 9. A Amplitude total

destes é h = 9 − 1 = 8

1.9 Desvio médio (DM)

É o somatório dos módulos da diferença entre cada elemento do conjunto e a média deste conjunto dividido

pelo número de dados.

Métodos Quantitativos 29

Page 30: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

Exemplo: Considere o conjunto de dados 2, 4, 9. Temos que a média destes dados é x = 5. Logo

DM =|2 − 5| + |4 − 5| + |9 − 5|

3=

| − 3| + | − 1| + 4|3

=3 + 1 + 4

3=

8

3= 2, 67. Se temos um conjunto com n

dados x1, x2, . . . , xn, com média x , então DM =

X|xi − x |n

.

1.10 Variância (σ2)

É o somatório do quadrado da diferença entre cada elemento do conjunto, e a média destes elementos,

dividido pelo número de elementos.

Exemplo: Considere o conjunto de dados 1, 3, 2, 6, temos que a média dos dados é x = 3 e a variância

σ2 =(1 − 3)2 + (3 − 3)2 + (2 − 3)2 + (6 − 3)2

4=

(−2)2 + 02 + (−1)2 + 32

4=

4 + 0 + 1 + 9

4=

14

4= 3, 50.

Se temos um conjunto com n dados x1, x2, . . . , xn, então σ2 =

X(xi − x)2

n.

1.11 Desvio Padrão

É a raiz quadrada da variância, σ =√

σ2 =

sX(xi − x)2

n.

Exemplo: Considere o exemplo anterior. Obtemos a variância dos dados σ2 = 3, 50. Logo, o desvio padrão

dos dados é σ =√

σ2 =√

3, 50 = 1, 87.

1.12 Desvio padrão e variância populacional e amostral

O desvio padrão e a variância podem ser calculados de forma amostral, isto é, tomando-se uma parte da

população, e neste caso, são ditos amostrais, ou podem ser calculados usando-se toda população, e neste

caso são ditos populacionais.

• Variância populacional: σ2 =

X(xi − x)2

n

• Desvio padrão populacional: σ =

sX(xi − x)2

n

• Variância amostral: s2 =

X(xi − x)2

n − 1

• Desvio padrão amostral: s =

sX(xi − x)2

n − 1

Exemplo: A variância populacional dos dados do exemplo anterior foi σ2 = 3, 50 e o desvio populacional foi

σ = 1, 87. A variância amostral é

s2 =

X(xi − x)2

n − 1

(1 − 3)2 + (3 + 3)2 + (2 + 3)2 + (6 + 3)2

3=

(−2)2 + 02 + (−1)2 + 32

3= 4, 67

FTC EAD |30

Page 31: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

e o desvio padrão amostra é s =√

s2 =√

4, 67 = 2, 16.

Das medidas de dispersão as mais usadas são o desvio padrão amostral e a variância amostral. Utilizando

a HP12C nós podemos calcular, facilmente, o desvio padrão amostral e a variância amostral.

Vamos calcular, agora, o desvio padrão amostral e a variância amostral dos dados do exemplo anterior.

Primeiro passo vamos limpar os registradores da máquina apertando a tecla [f ] e a tecla [clx ]. O segundo

passo será entrar com os dados, onde nós digitaremos os dados [xi ] e logo depois apertaremos a teclaX

+,

o visor nos mostrará, após cada passo deste, o número de dados armazenados, como no exemplo temos o

conjunto de dados 1, 3, 2, 6, então após entrarmos com todos os dados o visor mostrará o número 4. O

terceiro passo é calcular o desvio padrão amostral, apertando a tecla azul [g ] e a tecla [s ·] (Obs.: o “s” está em

azul na máquina), então calculamos o desvio padrão amostral s = 2, 6.

Para obter a variância amostral basta elevarmos o desvio padrão ao quadrado teclando [2] e em seguida

[x2], então obteremos a variância amostral s2 = 4, 67. Se quisermos obter a média dos dados teclamos [g ]

e [0x ], então obteremos x = 3. Quando apertamos a tecla azul da máquina [g ], nós estamos ativando todas

as funções que estão em azul da máquina, é por esta razão que as teclas do desvio padrão e da média da

máquina estão em azul.

EP 1.2. Utilizando a máquina HP12C , calcule a média, o desvio padrão e a variância dos seguintes dados:

5, 0; 5, 5; 6, 0; 6, 5; 7, 0; 7, 0; 7, 6; 8, 0; 8, 0; 8, 5; 9, 0; 9, 5.

1.13 Coeficiente de dispersão relativa (dispersão relativa)

Obtemos a dispersão relativa dividindo a dispersão absoluta pela média, onde a dispersão absoluta pode

ser qualquer medida de dispersão, isto é,

dispersão relativa =dispersão absoluta

média.

A razão entre o desvio padrão e a média de uma série é dito coeficiente de dispersão relativa, logo coefi-

ciente de dispersão relativa =σ

xou coeficiente de dispersão relativa =

s

x.

ER 8. A média de uma turma na prova de estatística foi 9 e em matemática foi 8. Sabendo que a turma tem

30 alunos e que o desvio padrão das notas de estatística foi σ = 4 e em matemática foi σ = 5, determine o

coeficiente de dispersão relativa de cada matéria.

Solução:

• Estatística: Coeficiente de dispersão relativa =σ

x=

4

9= 0, 44 = 44%

• Matemática: Coeficiente de dispersão relativa =σ

x=

5

8= 0, 63 = 63%

A matéria matemática apresentou um coeficiente de dispersão relativa maior.

Métodos Quantitativos 31

Page 32: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

1.14 Medidas de Ordenamento e Posição

1.14.1 Quartis

Sabemos que a mediana divide o rol em duas partes, sendo 50% dos dados menores que a mediana e 50%

dos dados maiores que a mediana. O quartil divide o rol em quatro partes iguais. Logo, teremos três quartis:

Q1, Q2 e Q3. Para determinarmos a ordem dos quartis, nós usaremos a relação Qi = xi·n4 +

1

2

, em que i = 1, 2 e

3 são as ordens dos quartis e n é o número de dados.

ER 9. Considere os dados 2, 4, 1, 9, 5, 3. Determine os quartis deste conjunto de dados.

Solução: rol: 1, 2, 3, 4, 5, 9. Neste caso temos seis dados. Logo, n = 6. O primeiro quartil é Q1 =

x1 · 64

+1

2

= x2 = 2. O segundo e o terceiro quartis são Q2 = x[ 2·64 + 1

2 ]= x3,5 =

x3 + x4

2=

7

2= 3, 5 e

Q3 = x[ 3·64 + 1

2 ]= x5 = 5. Logo, estes são os três quartis que dividem o rol em quatro partes iguais.

1.14.2 Decis

Dividem o rol em dez partes iguais.

Di = x[ i·n10 + 1

2 ].

1.14.3 Percentis

Dividem o rol em cem partes iguais.

Pi = x[ i·n100 + 1

2 ].

EP 1.3. Dado o conjunto de dados 1, 3, 2, 6, 5, 9. Determinar seus quartis.

EP 1.4. Dado o conjunto de dados 20, 5, 7, 3, 9, 3, 4, 8, 2, determine:

(a) O rol, a média e a mediana.

(b) A moda, o desvio médio e a variância.

(c) O desvio padrão , o quarti lQ3, o deci lD5 e o percenti lP10

EP 1.5. Considere os conjuntos de dados X = 13, 29, 37, 51, 46, 39, 58e Y = 14, 26, 13, 32, 16, 53, 78, 86, 93, 41.

Determine para os dois conjuntos de dados:

(a) A mediana, a média, e a moda

(b) Q3, D7 e P52

FTC EAD |32

Page 33: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

1.15 Atividade Complementar

EP 1.6. Dado o rol de dados amostrais abaixo:

26, 98 25, 10 25, 20 32, 40 34, 30 34, 30 36, 40 39, 06 39, 37

39, 40 49, 00 49, 00 50, 84 51, 50 54, 68 54, 68 65, 30 65, 60

67, 70 67, 80 70, 30 71, 77 71, 80 79, 60 79, 70 81, 00 81, 00

81, 00 82, 37 82, 38 89, 00 93, 00 93, 90 94, 13 101, 00 103, 00

107, 00 107, 00 107, 00 107, 30 120, 34 122, 87 122, 98 123, 96

(a) Construa a distribuição em classes de frequência.

(b) Construa o histograma.

(c) Calcule a média dos dados.

(d) Determine a mediana dos dados.

(e) Calcule a média da distribuição em classes de frequência que você construiu no item (a).

(f) Calcule a mediana da distribuição em classes de frequência que você construiu no item (a).

EP 1.7. Em cada uma das situações abaixo utilize o cálculo da média correta. Escolha entre o cálculo da

média aritmética, da média geométrica ou da média harmônica. Justifique a utilização de cada média em cada

situação.

(a) Um motorista foi de Lauro de Freitas para Camaçarí à velocidade média de 78, 92km/h. Depois foi de

Camaçarí para Feira de Santana à velocidade média de 103, 78km/h. Depois voltou de Feira de Santana

para Salvador à velocidade média de 69, 23km/h. Calcule a velocidade média de todo este percurso,

supondo que as distância entre as cidades são iguais.

(b) A média das notas da turma dos estudantes de administração com habilitação em marketing foi 7, 98 na

prova de estatística, a média das notas dos estudantes de administração com habilitação em comercio

exterior foi de 7, 98 e a dos estudantes de administração com habilitação em gestão da informação foi de

8,38. Sabendo-se que temos 41, 43 e 36 alunos nas turmas de marketing, comercio exterior e gestão da

informação respectivamente, calcule a média das notas de todos os alunos das três habilitações.

EP 1.8. As notas de 17 candidatos às vagas de administrador de empresas em uma indústria foram as

seguintes: 5, 0; 7, 2; 6, 8; 5, 3; 8, 3; 7, 2; 8, 0; 8, 2; 6, 8; 6, 3; 7, 1; 8, 9; 5, 9; 8, 6; 6, 3; 5, 3; 7, 2. Sabendo-se que a nota de

corte para selecionar os aprovados é determinada pelo 70deci l :

(a) Determine a nota de corte

(b) Quais as notas dos candidatos aprovados?

EP 1.9. Em três empresas de um complexo petroquímico, obtivemos os seguintes dados referentes a números

de acidentes de trabalho no ano de 2002: Na empresa E1 tivemos 6 acidentes. Na empresa E2 ocorreram 9

acidentes e na empresa E3 ocorreu 3 acidentes. Sabendo-se que nas empresas E1, E2 e E3 existem respecti-

vamente 300, 450 e 150 funcionários:

Métodos Quantitativos 33

Page 34: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

(a) Na representação gráfica ao lado existe um erro muito comum

que as pessoas cometem ao representar dados em gráficos.

Esse erro nos induz a concluirmos que a empresa E2 foi menos

eficiente na prevenção de acidentes que as demais empresas.

Qual foi o erro cometido nessa representação gráfica?

Acidentes

E1 E2 E3

3

6

9

(b) Faça a representação gráfica correta dos dados referentes a acidentes das empresas E1, E2 e E3.

EP 1.10. Considere os dois conjuntos de dados amostrais abaixo:

C1 = 2, 53; 5, 47; 2, 47; 5, 57; 5, 78; 6, 35; 4, 34; 9, 56; 8, 98; 7, 34C2 = 16, 45; 16, 09; 15, 47; 16, 78; 14, 98; 15, 98; 14, 76; 15, 23; 15, 31

(a) Calcule a média, o desvio padrão amostral e a variância amostral para cada conjunto de dados.

(b) Qual conjunto apresenta uma maior dispersão entre os dados em relação a sua média? Justifique sua

resposta.

Gabarito

1.1 7, 28. 1.2 x = 7, 3, s = 1, 39 e s2 = 1, 93. 1.3 Q1 = 2, Q2 = 4 e Q3 = 6 1.4 (a) x = 6, 78, Md = 5 (b) Mo = 3, DM = 3, 75 es2 = 30, 44 (c) s = 5, 52, Q3 = x7,75 = 8, 75, D5 = x5 = 7, P10 = x1,4 = 2, 4. 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10

TEMA 02 Probabiidade

Conteúdo 1: Equivalência de Capitais

2.1 Conteúdo 1: Conceito e Definição

2.1 Definição. São chamados de experimentos aleatórios aqueles que repetidos em idênticas condições,

produzem resultados que não podem ser previstos com certeza, porém, em geral, conseguimos descrever o

conjunto de todos os resultados possíveis que podem ocorrer.

São exemplos de experimentos aleatórios:

(a) Lançar um dado e observar o número da face de cima.

(b) Lançar uma moeda.

(c) De um lote de 30 peças defeituosas e 50 boas, retirar 5 peças e observar o número de defeituosas.

2.2 Definição. Chamamos de espaço amostral o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um

experimento aleatório. Indicamos por Ω .

Assim, se tivermos:

FTC EAD |34

Page 35: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

(a) duas moedas são lançadas simultaneamente e observa-se o número de caras. O espaço amostral é

Ω = 0, 1, 2.

(b) uma moeda é lançada duas vezes e observa-se a face de cima. O espaço amostral é

Ω = (K , K ); (K , C ); (C , K ); (C , C ).

(c) um casal que planeja ter 3 filhos e observa-se a sequência dos sexos. O espaço amostral é

Ω = (M , M , M); (M , M , F ); (M , F , M); (M , F , F ); (F , F , F ); (F , F , M); (F , M , F ); (F , M , M).

Dos experimentos anteriores temos os seguintes espaços amostrais:

1. Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6

2. Ω = K , C, K = Cara e C =Coroa

3. Ω = 0, 1, 2, 3, 4, 5

2.3 Definição. Seja Ω o espaço amostral de um experimento. Chamamos de evento todo subconjunto de Ω .

Dizemos que um evento A ocorre se, realizado o experimento o resultado obtido pertence a A.

Exemplos

(a) Um dado é lançado e observa-se o número da face de cima. Assim, Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Então

A: Observar número par é o evento A = 2, 4, 6;

B: Observar número ímpar é o evento B = 1, 3, 5;

C : Observar número menor que quatro é o evento C = 1, 2, 3.

(b) Uma moeda é lançada 2 vezes e observa-se a sequência de caras e coroas. Assim,

Ω = (K , K ); (K , C ); (C , K ); (C , C ).

Então,

A: Observar cara no segundo lançamento é o evento A = (K , K ); (C , K );

B: Não observar coroa é o evento B = (K , K );

C : Observar exatamente uma coroa é o evento C = (K , C ); (C , K ).

2.2 Combinação de Eventos

2.2.1 União de dois ou mais eventos

Sejam A e B eventos de um espaço amostral Ω , então C = A ∪ B, também é um evento de Ω .

Sejam A1, A2, . . . , An eventos de Ω .

• Então A = A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An = ∪ni=1Ai é um evento de Ω .

• Se A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An = Ω , então dizemos que os Ai ′s são exaustivos.

Métodos Quantitativos 35

Page 36: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

2.2.2 Interseção de dois ou mais eventos

Sejam A e B dois eventos de Ω , então C = A ∩ B também é um evento de Ω . Se A ∩ B = ∅, então A e B

são ditos mutuamente exclusivos.

Sejam A1, A2, . . . , An eventos de Ω .

• Então I = A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An = ∪ni=1Ai também é um evento de Ω .

• Se Ai ∩ Aj = ∅, para todo i 6= j , dizemos que os eventos são dois a dois exclusivos.

• Se Ai ∩Aj = ∅, para todo i 6= j , e A1 ∪A2 ∪ . . .∪ An = Ω , dizemos que os Ai ′s são dois a dois exclusivos e

exaustivos.

2.2.3 Complementar de um evento

Seja A um evento de Ω . Então Ac = Ω − A também é um evento de Ω .

Exemplo: Um dado é lançado e observa-se o número da face de cima. Logo, Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Considere os seguintes eventos:

A: Observar número par (A = 2, 4, 6)

B: Observar número ímpar (B = 1, 3, 5).

C : Observar número menor que 3 (C = 1, 2).

Temos, portanto, que

A ∪ C = 1, 2, 4, 6 (ocorrer número par ou menor que 3).

A ∩ C = 2 (ocorrer número par e menor que 3).

A ∩ B = ∅ (ocorrer número par e ímpar) (mutuamente exclusivos).

C c = Ω − C = 3, 4, 5, 6 (ocorrer número maior ou igual que 3).

Ac = Ω − A = 1, 3, 5 (não ocorrer número par).

2.3 Frequência relativa

Em um experimento aleatório, não sabemos qual evento ocorrerá, porém uns podem ocorrer mais que out-

ros. Queremos associar números a cada evento que nos dêem uma indicação quantitativa da sua ocorrência.

Então, definimos frequência relativa da seguinte maneira:

Definição: Seja Ω o espaço amostral de um experimento aleatório. Suponha que o experimento seja repetido

N vezes, nas mesmas condições. Seja ni o número de vezes que ocorre o evento elementar a. A frequência

relativa do evento a é o número f r =n

N.

Exemplo: Suponha que lançamos um dado 100 vezes e observamos o número 5, 16 vezes, então a frequên-

cia relativa deste evento é f r =16

100= 0, 16 = 16%.

FTC EAD |36

Page 37: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

2.3.1 Propriedades

1. 0 ≤ f r ≤ 1, pois 0 ≤ n

N≤ 1.

2. f r1 + f r2 + . . . + f rk = 1, poisn1

N+

n2

N+ . . . +

nk

N=

N

N= 1 (ou 100%).

3. Se A é um evento não vazio de Ω , então a frequência relativa de A (f rA) é o número de vezes que ocorre

A, dividido por N . Logo, f rA =Xai∈A

f ri .

Exemplo: Seja A = a1, a2. Logo, f rA =n1 + n2

N= f r1 + f r2.

4. A frequência relativa tende a se estabilizar em torno de um valor bem definido, quando N é suficiente-

mente grande.

2.4 Definição de Probabilidade

Considere o espaço amostral Ω = a1, a2, . . . , aN. A cada evento ai, associamos um número real, in-

dicado por P(ai) = P(ai) ou, simplesmente, Pi , que chamaremos de probabilidade do evento ai, se as

seguintes condições são satisfeitas:

1. 0 ≤ Pi ≤ 1, ∀ i ∈ 1, 2, . . . , N.

2.NX

i=1

Pi = P1 + P2 + . . . + PN = 1.

Dizemos, assim, que os números P1, P2, . . . , PN , definem uma probabilidade sobre Ω .

Seja A um evento.

1. Se A = ∅, então P(A) = 0.

2. Se A 6= ∅, então P(A) =Xai∈A

Pi , ou seja, a probabilidade de um evento ocorrer é dada pela soma das

probabilidades com que seus eventos elementares ocorrem.

ER 10. Considere o espaço amostral Ω = a1, a2, a3 e o evento A = a1, a3. Sabendo que P(a1) = 0, 3 e

P(a2) = 0, 5, determine P(A).

Solução: Temos que P(A) = P(a1) + P(a3) = 0, 3 + 0, 2 = 0, 5 = 50%.

2.4.1 Propriedades

1. P(Ω) = P(a1) + P(a2) + . . . + P(ak) = 1.

2. Se A e B são dois eventos de Ω , tais que A ⊂ B, então P(A) ≤ P(B).

3. Se A é um evento de Ω , então 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Métodos Quantitativos 37

Page 38: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

4. Se A e B são dois eventos, então P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B). Se A e B forem excludentes, então

P(A ∪ B) = P(A) + P(B), pois P(A ∩ B) = P(∅) = 0.

5. Se Ac é o complementar de A em relação a Ω , isto é Ac = Ω − A, então P(Ac) = P(Ω − A) = 1 − P(A).

De fato, como Ac ∪ A = Ω e Ac ∩ A = ∅, temos que 1 = P(Ω) = P(Ac ∪ A) = P(Ac) + P(A), então

P(Ac) = 1 − P(A).

A probabilidade de um evento A de um espaço amostral finito equiprovével Ω pode ser obtida da seguinte

forma:

P(A) =n(A)

n(Ω),

em que n(A) é o número de elementos de A e n(Ω) é o número de elementos de Ω .

Exemplo: Em uma urna temos 100 bolinhas numeradas de 1 a 100. Então

(a) A probabilidade de tirarmos a bola de número 10 é P(10) = 1/100.

(b) A probabilidade de retirarmos uma bola que seja múltiplo de 10 é P(A) =n(A)

n(Ω)=

10

100=

1

10= 0, 1 = 10%.

Observe que o evento múltiplo de 10 é A = 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100.

Exemplo: Sejam os eventos A: número múltiplo de 20 e B: número múltiplo de 30. Logo, A = 20, 40, 60, 80, 100e B = 30, 60, 90. Observe que A ∩ B = 60 e, portanto, P(A ∩ B) = 1/100. A probabilidade de observarmos

um múltiplo de 20 ou 30 é

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 5/100 + 3/100− 1/100 = 7/100 = 0, 07 = 7%

Observe, neste exemplo, que cada bola tem a mesma probabilidade de ser retirada. Dizemos, então, que

este espaço amostral é equiprovável.

Conteúdo 2: Probabilidade Condicional

Sejam Ω um espaço amostral e A e B dois eventos de Ω . Indicamos por P(A|B) a probabilidade do evento

A ocorrer, dado que o evento B ocorreu. Chamamos P(A|B) a probabilidade condicional do evento A dado

que o evento B ocorreu. Calculamos P(A|B) usando B como o novo espaço amostral reduzido, dentro do qual

queremos calcular a probabilidade do evento A.

Exemplo: Considere o experimento aleatório do lançamento de um dado. Logo, Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Con-

sidere os seguintes eventos:

• Ocorrer número par (A = 2, 4, 6).

• Ocorrer número menor ou igual a 3 (B = 1, 2, 3).

A probabilidade de ocorrer o evento A dado que B ocorreu é P(A|B) = 1/3,

pois considerando B como o novo espaço amostral reduzido, temos que só

existe um número par em B, que é o 2, e dois números ímpares que são, 1 e

3.

5

1

32

4

6

Ω

B

A

Exemplo: Foram selecionadas 400 pessoas em uma cidade, cujo sexo e estado civil estão na tabela abaixo:

FTC EAD |38

Page 39: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

Solteiros (S) Casados(C) Desquitados(D) Viúvos (V) Total

Masculino (M) 50 60 40 30 180

Feminino (F) 150 40 104 204 220

Total 200 100 50 50 400

Temos, então, as seguintes probabilidades condicionais:

• P(S |M) = 50/180 = 5/18, pois é a probabilidade de ocorrer solteiro, dado que ocorreu o evento masculino.

Logo, o evento masculino se torna o espaço amostral reduzido, no qual calcularemos a probabilidade de

o evento solteiro.

• P(M |S) = 50/200 = 1/4 = 0, 25 = 25%, pois é a probabilidade de ocorrer masculino, dado que ocorreu

o evento solteiro. Logo, o evento solteiro se torna o espaço amostral reduzido, no qual calcularemos a

probabilidade de o evento masculino. Podemos observar que P(S |M) 6= P(M |S).

• P(F |D) = 10/50 = 1/5 = 0, 20 = 20%;

• P(D|F ) = 10/220 = 1/22.

• P(V |M) = 30/180 = 1/6;

• P(M |V ) = 30/50 = 3/5 = 0, 60 = 60%.

Podemos observar que P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B), se P(B) > 0.

Exemplo: Considere o exemplo anterior. Temos as seguintes probabilidades condicionais:

P(S |M) =P(S ∩ M)

P(M)=

50

400180

400

=50

400· 400

180=

50

180=

5

18.

P(M |S) =P(M ∩ S)

P(S)=

50

400200

400

=50

400· 400

200=

50

200=

1

4= 0, 20 = 20%

ER 11. Considere o experimento aleatório do lançamento de dois dados D1 e D2, onde observamos os

números do dado D1 e do dado D2, representado pelo par ordenado (d1, d2). Considere os seguintes eventos:

A: Observar o número 4 em D2.

B: A soma dos números de D1 e D2 é 5.

Determine P(A|B) e P(B|A).

Solução: O experimento tem o seguinte espaço amostral:

Ω =

8>>>>>><>>>>>>:(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)

(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)

(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)

(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)

(5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)

(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

9>>>>>>=>>>>>>;Métodos Quantitativos 39

Page 40: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

Temos que A = (1, 4); (2, 4); (3, 4); (4, 4); (5, 4); (6, 4) e B = (1, 4); (2, 3); (3, 2); (4, 1). Logo,

P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B)=

1

364

36

=1

36· 36

4=

1

4= 0, 25 = 25% e P(B|A) =

P(B ∩ A)

P(A)=

1

366

36

=1

36· 36

6=

1

6.

Conteúdo 3: Teorema da Multiplicação e Teorema da

Probabilidade Total

2.4.2 Teorema da Multiplicação

Temos, da definição de probabilidade condicional, que P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B)e P(B|A) =

P(B ∩ A)

P(A). Logo,

P(A ∩ B) = P(B) · P(A|B) e P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A), isto é, a probabilidade de ocorrer os eventos A e B

é igual ao produto da probabilidade de um deles ocorrer pela probabilidade condicional do outro dado que o

primeiro ocorreu. Este resultado é conhecido como o teorema da multiplicação.

ER 12. Uma urna U1 contém 5 bolas vermelhas e 10 bolas brancas, a urna U2 contém 2 bolas vermelhas e 8

brancas. Supondo que as duas urnas são idênticas, determine a probabilidade de escolhermos aleatoriamente

a urna 1 e retirarmos uma bola vermelha.

Solução: Temos que

P(U1 ∩ B) = P(U1) · P(B|U1) =1

2· 10

15=

10

30=

1

3,

P(U2 ∩ V ) = P(U2) · P(V |U2) =1

2· 2

10=

2

20=

1

10= 0, 10 = 10% e

P(U2 ∩ B) = P(U2) · P(B|U2) =1

2· 8

10=

8

20=

2

5= 0, 40 = 40%

P(U1 ∩ V ) = P(U1) · P(V |U1) =1

2· 5

15=

5

30=

1

6, pois P(U1) = 1/2 e P(V |U1) = 5/15.

ER 13. Em um lote de 100 lâmpadas, existem 80 boas (B) e 20 queimadas (Q). Uma lâmpada é escolhida ao

acaso e, sem reposição desta, outra é escolhida ao acaso. Determine a probabilidade escolhermos a primeira

lâmpada boa e a segunda queimada.

Solução: A probabilidade de escolhermos uma lâmpada boa e outra queimada sem reposição é o pro-

duto das probabilidades que estão nos ramos do caminho boa (B) e queimada (Q). Logo, temos a proba-

bilidade8

100· 20

99=

4

5· 20

99≈ 0, 16 = 16%. Notamos que a probabilidade de escolhermos uma queimada

(Q) e uma boa (B) têm a mesma probabilidade de escolhermos uma boa (B) e uma queimada (Q). De fato20

100· 80

99=

1

5· 80

99≈ 0, 16 = 16%. A probabilidade de escolhermos duas boas é

80

100· 79

99=

4

5· 79

99≈ 0, 64 = 64%

e a probabilidade de escolhermos duas queimadas é20

100· 19

99=

1

5· 19

99≈ 0, 04 = 4%.

2.4.3 Teorema da Probabilidade Total

Sejam B1, B2, . . . , Bn, n eventos do espaço amostral Ω . Dizemos que eles formam uma partição de Ω se:

FTC EAD |40

Page 41: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

1. P(Bi ) > 0.

2. Bi ∩ Bj = ∅, se i 6= j .

3. ∪ni=1Bi = Ω .

Isto é, os B ′

i s são dois a dois mutuamente exclusivos e exaustivos.

B1B2

B5

B4B3

B6

Ω

Seja A um evento qualquer de Ω . Então, temos que A = (B1 ∩A)∪ (B2 ∩A) ∪ . . . ∪ (Bn ∩ A). Como os conjuntos (B1 ∩ A), (B2 ∩ A), . . . , (B2 ∩ A)

são dois a dois mutuamente exclusivos, isto é, a interseção entre dois

quaisquer destes conjuntos é o conjunto vazio, temos que P(A) = P(B1∩A)+P(B2∩A)+. . .+P(Bn∩A). Este resultado é conhecido como teorema

da probabilidade total.

B1B2

B5

B4B3

B6A

Ω

ER 14. Uma urna I tem 5 bolas pretas e 10 vermelhas; outra urna I I tem 3 bolas pretas e 2 vermelhas e a urna

I I I tem 7 bolas pretas e 3 vermelhas. Uma urna é selecionada ao acaso e dela é retirada uma bola também ao

acaso. Qual a probabilidade desta bola ser vermelha?

Solução: Temos que as urnas U1, U2 e U3, formam uma partição do espaço amostral. Logo, o conjunto

vermelho podemos escrever da seguinte forma: V = (U1 ∩ V ) ∪ (U2 ∩ V ) ∪ (U3 ∩ V ).

A probabilidade de retirarmos uma bola vermelha é, então, P(V ) = P(U1 ∩V )+ P(U2 ∩V )+ P(U3 ∩V ) =

1

3· 10

15+

1

3· 2

5+

1

3· 3

10=

2

9+

2

15+

1

10≈ 0, 46 = 46%.

ER 15. Em três caixas idênticas C1, C2 e C3, temos em C1 duas moedas de ouro (O), em C2 uma de ouro (O)

e uma de prata (P) e em C3 duas de prata (P). Se escolhermos uma caixa ao acaso e retirarmos também ao

acaso uma moeda de ouro desta caixa, qual a probabilidade de que a outra moeda desta caixa seja de ouro?

Solução: Notamos que o problema se resume no seguinte: Se a moeda escolhida foi de ouro, qual a

probabilidade desta moeda ter vindo da caixa C1? Isto é, qual a probabilidade de ocorrer o evento C1, dado

que o evento ouro (O) ocorreu. Logo, queremos determinar P(C1|O).

1/3

1/3

1/3

1/2

1

7/10

O

P

P

Q

C1

C2

C3

1/2

P(C1|O) =P(C1 ∩ 0)

P(0), como P(C1 ∩ O) =

1

3· 1 =

1

3e P(O) =

P(C1 ∩ O) + P(C2 ∩ O) + P(C3 ∩ O) =1

3· 1 +

1

3· 1

2+

1

3· 0 =

1

2,

temos que P(C1|O) =

1

31

2

=2

3.

Métodos Quantitativos 41

Page 42: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

Conteúdo 4: Eventos Independentes, Arranjos e

Combinação

2.5 Independência de Dois Eventos

Dados dois eventos A e B de um espaço amostral Ω , dizemos que o evento A independe do evento B se,

P(A|B) = P(A), isto é, A independe de B se a ocorrência de B não afeta a probabilidade de A. Notamos que

se A independe de B, então B independe de A. Vejamos:

Se A independe de B, então P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B)= P(A). Logo, P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Como P(B|A) =

P(A ∩ B)

P(A)=

P(A) · P(B)

(A)= P(B). Portanto, B independe de A.

Temos que P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B). Logo, P(A ∩ B) = P(A/B) · P(B), se A independe de B temos que

P(A|B) = P(A), então P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Podemos, então, dizer que dois eventos A e B de um espaço

amostral Ω , são independentes se P(A ∩ B) = P(A) · P(B).

Exemplo: Uma moeda é lançada três vezes. Logo, temos que Ω = (K , K , K ); (K , K , C ); (K , C , K ); (K , C , C ); (C , C , C ); (

Considere os eventos:

• A: Ocorrerem resultados iguais nos três lançamentos.

• B: Ocorrerem pelo menos duas caras.

Assim, A = (K , K , K ); (C , C , C ) e B = (K , K , C ); (K , C , K ); (C , K , K ); (K , K , K ).

Temos que P(A) = 2/8 = 1/4 e P(B) = 4/8 = 1/2. Como A ∩ B = (K , K , K ), temos que P(A ∩ B) = 1/8.

Logo, temos que P(A∩B) = P(A)·P(B), pois 1/8 = 1/4·1/2 e, neste caso, os eventos A e B são independentes.

Se dois eventos A e B de um espaço amostral Ω não são independentes, então eles são ditos dependentes.

ER 16. Dois candidatos A e B prestam o mesmo vestibular para determinado curso de uma faculdade. A

probabilidade do candidato A passar é de 1/2 e do candidato B passar é 3/4. Determine:

(a) A probabilidade de ambos passarem no vestibular.

(b) A probabilidade de pelo menos um passar no vestibular.

Solução: (a) O evento do candidato A passar no vestibular independe do evento do candidato B passa.

Logo, A e B são independentes e P(A ∩ B) = P(A) · P(B) = 1/2 · 3/4 = 3/8.

(b) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 1/2 + 3/4 − 3/8 = 7/8.

EP 2.1. Mostre que se dois eventos A e B de um espaço amostral Ω são independentes, então A e Bc são

independentes, Ac e B são independentes e Ac e Bc são independentes.

EP 2.2. Considere o exemplo acima. Determine as seguintes probabilidades:

(a) Nenhum dos candidatos passem no vestibular.

FTC EAD |42

Page 43: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

(b) O candidato A passe no vestibular e o candidato B não.

(c) O candidato B passe no vestibular e o candidato A não.

2.6 Métodos de Enumeração

2.6.1 Regra da Multiplicação

Suponha que uma primeira decisão possa ser tomada de N maneiras e uma segunda decisão de M

maneiras, então o número de decisões possíveis é M · N .

Exemplo: Suponha que uma primeira decisão possa ser tomada de duas maneiras A e B, e uma segunda

decisão possa ser tomada de três maneiras C , D e E .

C

D

E

E

D

C

A

B

Logo, as decisões possíveis são A, C, A, D, A, E, B, C, B, D, B, E e o número de decisões

possíveis são 2 · 3 = 6.

2.6.2 Permutações

Se temos três objetos A, B e C , podemos colocá-los juntos nas sequências: ABC , ACB , BAC , BCA,

CAB e CBA. Logo, temos seis maneiras diferentes de arrumar estes três objetos. Se tivermos N objetos, nós

teremos N possibilidades (objetos) para a primeira posição, N − 1 possibilidades (objetos) para a segunda,

N − 2 possibilidades (objetos) para a terceira e assim sucessivamente, até a posição N , onde teremos apenas

uma possibilidade (objeto).

N N − 1 N − 2 ·s 2 1

Pela regra da multiplicação, temos um total de N · (N − 1) · (N − 2) · . . . · 2 · 1 possibilidades de permutarmos

estes objetos. Se N é um inteiro positivo, definimos o fatorial de N por N! = N · (N − 1) · (N − 2) · . . . · 2 · 1 e

0! = 1.

O número de maneiras de permutarmos N objetos é dado por PN = N!.

2.6.3 Arranjos

Suponha que temos n elementos distintos e escolhemos r elementos entre eles. Chamamos de arranjo

dos n elementos tomados r a r a qualquer sequência de r elementos tomados entre estes n elementos, todos

distintos.

Métodos Quantitativos 43

Page 44: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

O número de arranjos de n elementos tomados r a r é denotada por An,r . Para a primeira posição temos

n possibilidades, para segunda n − 1 e assim sucessivamente até a posição r , onde teremos n − (r − 1)

possibilidades.

n n − 1 n − 2 ·s n − (r − 2) n − (r − 1)

Temos que An,r = n · (n − 1) · (n − 2) . . . (n − (r − 1)) =n!

(n − r)!. Pois

n!

(n − r)!=

n · (n − 1) . . . (n − 1)) · (n − r) · (n − (+1)) . . . 2 · 1(n − r) · (n − (r + 1) . . . 2 · 1 = n · (n − 1) · (n − 2) . . . (n − (r − 1)).

Logo, An,r =n!

(n − r)!.

Exemplo: Sejam a e b dois elementos. Logo, A2,2 = 2!/(2−2)! = 2! = 2. As possibilidades são (a, b); (b, a).

Exemplo: Sejam a, b e c três elementos, logo A3,3 = 3!/(3 − 3)! = 3! = 6. As possibilidades são

(a, b, c); (a, c , b); (b, a, c); (b, c , a); (c , a, b); (c , b, a). Considere, agora, o número de arranjos deste 3 elementos

tomados 2 a 2. Temos, A3,2 = 3!/(3−2)! = 3! = 6. As possibilidades são (a, b); (b, a); (a, c); (c , a); (c , b); (b, c).

Exemplo: Sejam a, b, c e d quatro elementos. Logo, A4,2 = 4!/(4−2)! = 4!/2! = 24/2 = 12. As possibilidades

são (a, b); (b, a); (a, c); (c , a); (a, d); (d , a); (b, c); (c , b)(b, d); (d , b); (c , d); (d , c).

2.6.4 Combinações

Dado um conjunto M com n elementos, M = a1, a2, . . . , an, chamamos de combinação dos n elementos,

tomados r a r , a todo subconjunto de r elementos do conjunto M .

Exemplo: Considere o conjunto a, b, c , d, queremos tomar dois dentre estes quatro elementos. De quantas

maneiras podemos fazer isto? Temos as seguintes possibilidades: a, b, a, c, a, d, b, c, b, d, c , d.

O número de combinações possíveis que podemos fazer com n elementos tomados r a r é indicado por

Cn,r ounr

, onde 0 ≤ r ≤ n. Sendo que Cn,r =

n!

r ! · (n − r). Considerando o exemplo acima temos que

C4,2 =4!

2! · (4 − 2)!=

24

2.2=

24

4= 6.

ER 17. Dentre 6 pessoas desejamos fazer grupos de dois, quantas são essas possibilidades?

Solução: C6,2 =6!

2!(6 − 2)!=

720

2 · 24=

720

48= 15 possibilidades.

ER 18. Dentre 6 sons diferentes de um aparelho eletrônico, quantos sinais podemos produzir usando dois

sons entre esses 6?

Solução: A6,2 =6!

(6 − 2)!=

730

24= 30 possibilidades.

ER 19. Dentre um grupo de 6 pessoas temos 4 homens e duas mulheres, queremos formar um grupo de 2

pessoas sendo que 1 é homem e 1 é mulher. Quantas são as possibilidades de formarmos este grupo?

Solução: C4,1 =4!

1!(4 − 1)!=

24

6= 4, C2,1 =

2!

1! · (2 − 1)!=

2

1= 2, logo as possibilidades são C4,1 ·C2,1 =

4 · 2 = 8.

FTC EAD |44

Page 45: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

ER 20. Se temos 10 pessoas, sendo 6 homens e 4 mulheres, e queremos formar um grupo de 5 pessoas,

sendo 3 homens e 2 mulheres, quantas possibilidades temos para formar este grupo?

Solução: C6,3 =6!

3! · (6 − 3)!=

720

36= 20, C4,2 =

4!

2! · (4 − 2)!=

24

4= 6. Logo, as possibilidades são

C6,3 · C4,2 = 20 · 6 = 120.

EP 2.3. De um determinado grupo de 101 empresas alimentícias que fabricam pelo menos um dos produtos

mencionados, sabe-se que 66 fabricam geléias, 62 fabricam sorvetes e 56 produzem chocolates. Destas, 39

fabricam sorvetes e geléias, 42 fabricam sorvetes e chocolates, 38 fabricam chocolates e geléias. Qual a

probabilidade de uma empresa escolhida ao acaso fabricar: (a) Somente geléia? (b) Somente chocolate ou

sorvete? (c) Chocolate e sorvete e geléia? (d) Geléia mais não sorvete? (e) Chocolate ou sorvete mas não

geléia?

EP 2.4. De um grupo de 126 estudantes temos que 66 falam inglês, 52 falam francês e 11 não falam nenhuma

destas línguas.

(a) I e F são coletivamente exaustivos? Porquê?

(b) I e F são mutuamente excludentes? Porquê?

(c) Determine P(I ∩ F ).

(d) Determine P(I ∪ F ).

(e) Qual a probabilidade de escolhermos um estudante que fale apenas inglês?

(f) Qual a probabilidade de escolhermos um estudante que fale apenas francês?

EP 2.5. Um cliente de uma loja de roupas e sapatos deseja comprar 4 camisas, 3 calças e 2 sapatos, ele

está em duvida entre 6 camisas, 4 calças e 3 sapatos. De quantas maneiras ele pode efetuar esta compra?

EP 2.6. Uma dona de casa tem 12 livros em sua estante, sendo 5 matemática, 4 de história e 3 física. a)

De quantas maneiras a dona de casa pode arrumar os livros na estante sendo que os livros de história fiquem

todos juntos? b) De quantas maneiras a dona de casa pode arrumar os livros na estante sendo que os livros

de matemática e física fiquem todos juntos?

EP 2.7. Um rapaz construiu uma rifa onde o prêmio era seu carro. Ele criou cartões com cinco cores

diferentes, azul,vermelho, verde, amarelo e branco, os cartões contém 5 dezenas escolhidas entre 10 dezenas.

Qual a probabilidade de uma pessoa ganhar o prêmio adquirindo um cartão, se no dia marcado sorteia-se uma

cor e cinco dezenas entre as dez?

EP 2.8. A caixa econômica federal planeja lançar um jogo onde o jogador deve marcar 6 dezenas das 12

possíveis do cartão. Ele ganha o prêmio se conseguir acertar pelo menos 5 das 6 dezenas. Qual a probabilidade

dele ganhar o jogo?

EP 2.9. Nove livros são colocados ao acaso numa estante. Qual a probabilidade de que 3 livros determinados

fiquem juntos?

EP 2.10. Em um dos novos jogos comercializados pela caixa econômica federal, o apostador deve marcar 50

dezenas de um cartão contendo 100 dezenas. Posteriormente são sorteadas 20 dezenas. Calcule a probabili-

dade do apostador ganhar: (a) acertando todas as 20 dezenas; (b) acertando 16, 17, 18, 19, ou 20 dezenas ou

errando as 20 dezenas.

Métodos Quantitativos 45

Page 46: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

2.7 Atividade Complementar

EP 2.11. Um grupo de pessoas foi classificado segundo o peso e o nível de colesterol no sangue, onde a

proporção encontra-se na tabela abaixo:

Peso

Colesterol Excesso Normal Baixo Total

Alto 0,2 0,18 0,17 0,55

Normal 0,12 0,10 0,23 0,45

Total 0,32 0,28 0,40 1,00

(a) Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ter colesterol normal?

(b) Se escolhermos uma pessoa desse grupo e ela tiver colesterol alto, qual a probabilidade que ela tenha

excesso de peso?

EP 2.12. Em uma fábrica temos duas máquinas, máquina A e máquina B. A máquina A é responsável por

53, 7% da produção, e a máquina B por 46, 3% da produção. A máquina A produz 41, 3% de peças com defeito

e a máquina B 2, 5% de peças com defeito.

(a) Se uma peça é escolhida ao acaso e verificamos que ela é defeituosa, qual a probabilidade dela ter sido

produzida pela máquina B?

(b) Se escolhemos uma peça ao acaso, qual a probabilidade dela ser boa?

EP 2.13. Uma moeda é viciada de modo que a probabilidade de sair K (cara) é 7/3 da probabilidade de sair

C (coroa). Se lançarmos essa moeda qual a probabilidade de sair:

(a) Cara (K )

(b) Coroa (C )

EP 2.14. Em uma urna temos 20 bolas enumeradas de 1 a 20.

(a) Se retirarmos uma bola par dessa urna, qual a probabilidade dessa bola ser maior ou igual a 13?

(b) Qual a probabilidade de uma bola menor que 17 ser retirada dessa urna?

(c) Qual a probabilidade de uma bola que seja múltipla de 3 e múltipla de 2 ser retirada dessa urna?

EP 2.15. Em uma urna temos quatro moedas. A moeda M1 é uma moeda normal, a moeda M2 é viciada de

tal modo que sair cara (K ) é 1.219 vezes mais provável que sair coroa (C ), a moeda M3 tem duas caras (K ) e

a moeda M4 tem duas coroas (C ). Uma moeda é escolhida ao acaso e lançada.

(a) Se o resultado obtido foi coroa (C ), qual a probabilidade da moeda lançada ter sido a moeda M2?

(b) Qual a probabilidade de observarmos moeda M3 e cara (K )?

(c) Qual a probabilidade de observarmos coroa (C )?

FTC EAD |46

Page 47: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

Gabarito

2.1 2.2 (a) 1/8 (b) 1/8 (c) 3/8 2.3 (a) 25/101 (b) 29/101 (c) 36/101 (d) 27/101 (e) 35/101 2.4 (c) 3/126 (d) 115/126 (e) 63/126 (f) 49/126.2.5 C6,4 · C4,3 · C3,2 = 180 maneiras. 2.6 (a) A4,4 · A9,9 = 4! · 9! (b) A5,5 · A3,3 · A6,6 = 5! · 3! · 6!. 2.7 1/C5,1 · C10,5 = 1/1.260. 2.8

(C6,5+C6,6)/C12,6 = 7/924. 2.9 (A3, 3·A7,7)/A9,9 = 1/12. 2.10 (a) C50,20/C100,20 (b) (C50,16+C50,17 +C50,18 +C50,19 +C50,20+C50,20)/C100,20.

2.11 2.12 2.13 2.14 2.15

Métodos Quantitativos 47

Page 48: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

BLOCO 02 Inferência Estatística

TEMA 03Série de Capitais, Inflação e

Depreciação

Conteúdo 1: Variável Aleatória

Quando uma variável tem resultados ou valores que tendem a variar de uma observação para outra em

razão de fatores relacionados com a chance, nós chamamos de variável aleatória.

Uma variável aleatória é uma função que associa um evento a um número. Por exemplo, ao jogar uma

moeda, existem dois resultados K ou C , que não são numéricos. Podemos, então, considerar a variável

aleatória igual ao número de caras em uma jogada, ou seja, os valores numéricos possíveis são 0 e 1. As-

sim, uma variável aleatória (v.a) é uma função com valores numéricos cujo valor é determinado por fatores

relacionados a chance.

As variáveis aleatórias podem ser discretas ou contínuas. Uma variável aleatória é dita discreta se toma

valores que podem ser contados e é dita contínua quando pode tomar qualquer valor de um determinado

intervalo.

3.1 Função de Probabilidade e Esperança de uma Variável Aleatória

Admitamos X uma variável aleatória em um espaço amostral Ω com contradomínio finito, de sorte que

X (Ω) = x1, x2, x3, . . . , xn. Se para cada ponto xi , deste espaço amostral X (Ω) tiver sido definido sua probabil-

idade, tal que P(X = xi ), denominada por f (xi ), tem-se um espaço de probabilidade.

Nesse sentido, a função de probabilidade f em X (Ω) será definida por f (xi ) = P(X = xi ), que passará a

ser chamada de distribuição ou função de probabilidade e será usada de forma mais comum segundo mostra

a tabela seguinte:

xi x2 . . . xn

f (xi ) f (xi ) . . . f (xn)

A distribuição f acima deverá satisfazer as seguintes condições:

1. f (xi ) ≥ 0

2.nX

i=1

f (xi ) = 1

Nestes termos, pode-se afirmar que a média ou a esperança matemática para X , denotado por E (X ) ou µX

ou, simplesmente, E ou µ, é definido por:

E (X ) = x1f (x1) + x2f (x2) + . . . + xnf (xn) =nX

i=1

xi f (xi ).

FTC EAD |48

Page 49: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

Observe que E (X ) representa a média ponderada entre os valores de xi e suas respectivas frequências

absolutas.

Exemplo: Lança-se um par de dados, obtendo-se um espaço finito equiprovável Ω formado por 36 pares

ordenados cujos números estão situados entre 1 e 6, conforme quadro abaixo.

Ω =

8>>>>>><>>>>>>:(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)

(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)

(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)

(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)

(5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)

(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

9>>>>>>=>>>>>>;A variável aleatória X que associa a cada par ordenado (a, b) de Ω o maior desses números (X (a, b) =

maxa, b). Assim, X é uma variável aleatória cuja imagem é: X (Ω) = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Ao se considerar a função de distribuição de probabilidade f de X , calculando-se seu valor para cada

elemento da imagem, temos:

f (1) = P(X = 1) = P((1, 1)) =1

36

f (2) = P(X = 2) = P((2, 1); (2, 2); (1, 2)) =3

36

f (3) = P(X = 3) = P((3, 1); (3, 2); (3, 3); (2, 3); (1, 3)) =5

36

f (4) = P(X = 4) = P((4, 1); (4, 2); (4, 3); (4, 4); (1, 4); (2, 4); (3, 4)) =7

36

f (5) = P(X = 5) = P((5, 1); (5, 2); (5, 3); (5, 4); (5, 5); (4, 5); (3, 5); (2, 5); (1, 5)) =9

36

f (6) = P(X = 6) = P((1, 6); (2, 6); (3, 6); (4, 6); (5, 6); (6, 6); (6, 5); (6, 4); (6, 3); (6, 2); (6, 1)) =11

36

A síntese dessa distribuição pode ser exposta em forma de tabela:

xi 1 2 3 4 5 6

f (xi )1

36

3

36

5

36

7

36

9

36

11

36

Por fim, a média de X é:

E (X ) =nX

i=1

xi f (xi ) = 1 · 1

36+ 2 · 3

36+ 3 · 5

36+ 4 · 7

36+ 5 · 9

36+ 6 · 11

36= 4, 47.

ER 21. Suponha que uma loteria pague prêmios a seus clientes da seguinte maneira: 1.000 prêmios de

R$400, 00; 500 prêmios de R$500, 00 e 100 prêmios de R$1.000, 00.

Considere que são vendidos, num determinado concurso, 50.000 bilhetes e encontre o preço justo que se

deve pagar por cada bilhete comprado.

Solução: Para resolver o problema, deve-se considerar, inicialmente, a existência de uma variável

aleatória a qual irá representar a quantia, em reais, que se paga por um bilhete da loteria. Assim, X poderá

Métodos Quantitativos 49

Page 50: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

ser: 400, 500 e 1.000.

Com base nos dados do exemplo pode-se calcular as probabilidades relacionadas às variáveis aleatórias

da seguinte maneira:

P(X = 400) =1.000

50.000= 0, 02

P(X = 500) =500

50.000= 0, 01

P(X = 1.000) =100

50.000= 0, 002

O quadro que representa a distribuição de probabilidade de X é:

X 400 500 1.000 0

P(X) 0,02 0,01 0,002 0,968

Para se determinar o preço justo deve-se encontrar o valor da esperança matemática para a variável

aleatória X da seguinte forma:

E (X ) −4X

i=1

Xi · P(Xi ) = 1.000 · 0, 02 + 500 · 0, 01 + 100 · 0, 002 + 0 · 0, 968 = 25, 2.

Este valor corresponde ao preço mínimo do bilhete. Assim, para se ter algum lucro para a loteria deve-se

cobrar um preço acima do calculado.

Conteúdo 2: Distribuição Normal

3.2 Distribuição Binomial

É utilizada para calcular a probabilidade de experimentos que apresentam duas possibilidades, sucesso ou

fracasso.

A expressão para o calculo da probabilidade de uma distribuição binomial é dada por:

P(x) = Cn,x · px · qn−x ,

em que Cn,x é a combinação de n tomados x a x , p é a probabilidade de sucesso, q é a probabilidade de

fracasso (q = 1−p), n é o número de observações ou provas idênticas e x é o número de sucessos esperados.

ER 22. Uma moeda é lançada quatro vezes, qual a probabilidade de sair cara.

(a) uma vez,

(b) três vezes,

(c) pelo menos uma vez.

Solução: Vamos considerar a probabilidade de sucesso como sendo a probabilidade de sair cara. Logo

p = 1/2 e a probabilidade de fracasso (sair coroa) é q = 1 − p = 1 − 1/2 = 1/2. Logo,

FTC EAD |50

Page 51: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

(a) P(1) = C4,1(1/2)1 · (1/2)3 = 0, 25;

(b) P(3) = C4,3(1/2)3 · (1/2)1 = 0, 25,

(c) P(1) + P(2) + P(3) + P(4) = 1 − P(0) = 1 − C4,0 · (1/2)0 · (1/2)4 = 1 − 0, 0625 = 0, 9375.

3.2.1 Média (Valor esperado) e variância da distribuição binomial

A média da distribuição binomial é o número de observações vezes a probabilidade de ocorrência do evento,

isto é µ = n · p.

Já a variância é igual ao número de observações vezes a probabilidade de sucesso vezes a probabilidade

de fracasso, isto é, σ2 = n · p · q. Logo, o desvio padrão é σ =√

n · p · q.

ER 23. Você administra uma fábrica de chuteiras e nota que há na linha de produção um probabilidade de 2%

de um par das chuteiras seja fabricado com defeito, isto é, será rejeitado no controle de qualidade. O controle

de qualidade considera par defeituoso o fato de ter apenas um dos pés da chuteira com defeito. Considerando

que serão fabricados 50.000 pares de chuteiras, encontre a média de chuteiras defeituosas e o desvio padrão

da quantidade de chuteiras completamente defeituosas.

Solução: Considere, inicialmente, que cada par de chuteiras defeituosa corresponde a uma variável

aleatória X qualquer. Essa variável aleatória será do tipo Binomial, pois na linha de produção um par de

chuteiras será tido como defeituoso ou não. Façamos,

• n o número de pares a serem fabricados. Logo, n = 50.000.

• p a probabilidade de um dos pés da chuteira ser defeituoso.

Assim, para que um par de chuteiras seja totalmente defeituoso é preciso que se tenha tanto o pé direito

quanto o esquerdo defeituoso.

Ora, se queremos ter os dois pés com defeito deve-se excluir da probabilidade total a chance de termos

os dois pares em perfeito estado:

p = 1 − (0, 98)2 = 0, 0396.

O valor esperado ou a média de pares totalmente defeituosos é µ = n · p = 50.000 · 0, 0396 = 1.980 pares

de chuteiras totalmente defeituosos.

Já o desvio padrão é

σ =√

n · p · q =√

50.000 · 0, 0396 · 0, 9604 = 43, 6.

EP 3.1. Um exame de múltipla escolha consiste em 10 questões, cada uma com 4 opções. A aprovação no

exame exige do aluno pelo menos nota seis, ou seja o acerto de pelo menos seis questões. Qual a chance de

aprovação: (a) se o aluno nada estudou? (b) se o aluno estudou suficiente para poder eliminar duas escolhas,

devendo escolher apenas entre duas opções.

EP 3.2. Uma equipe de basquete tem probabilidade 0, 88 de vitórias sempre que joga. Se o time atuar

4 vezes, determine a probabilidade de que vença: (a) todas as partidas; (b) exatamente 2 partidas; (c) pelo

Métodos Quantitativos 51

Page 52: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

menos uma partida; (d) no máximo 3 partidas; (e) mais da metade das partidas.

EP 3.3. Supondo que a probabilidade de um casal ter filhos com olhos verdes é de 17%, em 400 famílias com

4 crianças cada uma, quantas se esperaria que tivesse: (a) dois filhos com olhos verdes; (b) nenhum dos filhos

com olhos verdes.

Conteúdo 3: Distribuição de Poisson

É uma distribuição discreta de probabilidade, dita uma regra matemática, que serve para descrever a prob-

abilidade do número de ocorrências num campo ou intervalo contínuo (tempo ou espaço) de eventos que não

ocorrem com muita frequência. Essa distribuição também é chama de distribuição para exemplos raros ou que

não é possível haver reprodução em ambiente controlado.

Somente um valor é necessário para determinar a probabilidade de um determinado número de sucessos,

que é o número médio de sucessos para a específica dimensão de tempo ou espaço.

A expressão da distribuição de Poisson é:

P(X = xi ) =(λt)xe−λt

x!,

em que

• λ é o número médio de sucessos em um determinado intervalo de tempo ou espaço;

• t é o intervalo de tempo ou espaço contínuo de observações que se está analisando e

• x é o número de sucessos no intervalo desejado.

3.2.2 Propriedades da Distribuição de Poisson

Média µ = λ

Variância σ2 = λ

Desvio-Padrão σ =√

λ

ER 24. Uma pizzaria recebe em média 8 chamadas por hora. Qual a probabilidade de que, em uma hora

selecionada aleatoriamente, sejam recebidas exatamente 5 chamadas?

Solução: Temos que a média de chamadas é λ = 8, o intervalo de tempo é t = 1 e o número de

sucessos no intervalo dado é x = 5. Logo,

P(X = 5) =e−8·1(8 · 1)5

5!= 0, 0916.

ER 25. Em certa rodovia aparecem buracos, em média, numa proporção de um buraco a cada 500m. Qual a

probabilidade de aparecer 4 buracos em um espaço de 1.500m?

Solução: Temos uma média de 1 buraco a cada 500m, logo a proporção de buracos é de λ = 1/500,

para o espaço em questão, o qual é t = 1.500, espera-se que o número de buracos nesse espaço (casos de

FTC EAD |52

Page 53: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

sucessos) seja x = 4, logo P(4) =e−3(3)4

4!= 01680. Ou seja, tem-se 16, 80% de chance de se ter quatro

buracos nesse espaço de 1.500 metros de rodovia.

ER 26. Você é o chefe da Comissão de Prevenção de Acidentes de uma empresa e constata o seguinte

movimento de acidentes de trabalho ao longo de vários dias, segundo constado na tabela seguinte:

Número de acidentes Quantidade dias

0 25

1 20

2 9

3 6

4 2

5 14

Total 63

Descreva, através de uma distribuição de Poisson, a probabilidade de se ter acidentes de trabalho nessa

empresa em um dado intervalo de tempo. Construa uma tabela de distribuição de probabilidade para o número

de acidentes.

Solução: O número médio de acidentes no período é λ =0 · 25 + 1 · 20 + 2 · 9 + 3 · 6 + 4 · 2 + 5 · 1

63=

1, 1. Logo, ocorrem 1, 1 acidentes por dia na empresa.

A lei que expressa o número de acidentes por intervalos de tempo é

P(X = x) =1, 1x(e)−1,1

x!; x = 0, 1, 2, . . . , n

O cálculo da probabilidade de ocorrência de acidentes, segundo a distribuição de Poisson, é

Número de acidentes Probabilidade de acidentesNúmero de dias

Observado Esperado

0 0, 3329 25 21

1 0, 3662 20 23

2 0, 2014 9 13

3 0, 0739 6 15

4 0, 0203 2 1

5 0, 0045 1 0

P(X = 0) =1, 10 · e−1,1

0!P(X = 1) =

1, 11 · e−1,1

1!P(X = 2) =

1, 12 · e−1,1

2!

P(X = 3) =1, 13 · e−1,1

3!P(X = 4) =

1, 14 · e−1,1

4!P(X = 5) =

1, 15 · e−1,1

5!

Para calcular o valor esperado do número de dias basta multiplicar o valor da probabilidade pelo total de

dias, isto é,

0, 3329 · 63 = 21 e 0, 3662 · 63 = 23.

ER 27. Suponha que existam 200 erros de impressão distribuídos aleatoriamente em um livro de 800 páginas.

Calcule a probabilidade P(x) de cada página conter:

Métodos Quantitativos 53

Page 54: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

(a) Exatamente 1 erro;

(b) Mais de 1 erro.

Solução: Vamos considerar como sucesso o número de erros em uma página, assim: n = 200, pois

há 200 erros de impressão. A chance de se ter um erro em dada página é de P =1

800. Logo, λ = n · p =

200 · 1

800= 0, 25. Assim,

(a) P(X = 1) =0, 251 · e−0,25

1!= 0, 1947

(b) P(X > 1) = 1 − [P(X = 0) + P(X − 1)] = 1 −(0, 25)0,25

0!+ 0, 1947

= 0, 0265

Portanto, existe 2, 65% de probabilidade de se ter mais de um erro por página.

EP 3.4. Suponha que haja 265 erros de pontuação distribuídos aleatoriamente em um contrato comercial de

458 linhas. Encontre a probabilidade de conter em uma dada linha 2 erros apenas.

EP 3.5. Um a cada cem carros cai num buraco de uma avenida. Se cem carros passarem, qual a probabili-

dade de dois carros caírem no buraco?

EP 3.6. Numa central telefônica chegam 300 telefonemas por hora. Qual a probabilidade de que em um

minuto não haja nenhum chamado.

Conteúdo 4: Distribuição Normal

É utilizada na análise de variáveis aleatórias contínuas (intervalos reais).

A função de densidade é f (x) =1√2πσ

· e 12 ( x−µ

σ)2

, em que:

• x é a variável aleatória.

• σ é o desvio padrão.

• µ é média.

O gráfico da função de densidade de f é:

x

y

Mo=µ=Md

N(µ,σ2)

µ+σµ−σ

Observe que o gráfico da distribuição normal é

FTC EAD |54

Page 55: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

1. Simétrico em torno da média.

2. Não toca o eixo 0x(0x é uma assíntota).

3. A distribuição normal fica delimitada entre a média e o desvio padrão.

4. A área sob o gráfico de f é igual a 1(100%).

5. A área entre dois pontos, correspondente a probabilidade do valor de uma variável aleatória entre estes

dois pontos.

6. Apresenta um único pico que é a média, logo a média, mediana e moda apresentam mesmo valor.

Fazendo z =x − µ

σ, podemos simplificar a função de densidade f (x). O gráfico da distribuição normal fica

como no gráfico abaixo.

Temos que a probabilidade de uma variável aleatória Z estar entre 0 e z1 é determinada pela área sob a

curva da função f (z) que vai de 0 a z1. Logo, é a integralZ z1

0f (z)dz.

A tabela a seguir nos dá os valores das probabilidades (a área sob a curva f (z)) para valores que vão de 0

a z.

0

N(0, 1)

p

0, 5 − p

z

z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359

0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753

0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141

0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517

0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879

0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224

0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549

0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852

0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133

0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389

1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621

1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830

1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015

1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177

1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319

1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441

1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545

1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633

1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706

1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767

2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817

2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857

2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890

2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916

2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936

2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952

2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964

2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974

2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981

Métodos Quantitativos 55

Page 56: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986

3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990

3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993

3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995

3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997

3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998

3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998

3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999

3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999

3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999

3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000

Use a tabela acima para cálculo de probabilidades da distribuição normal para resolver os seguintes exercí-

cios:

EP 3.7. Com o auxílio da tabela da distribuição normal, encontre a área para os seguintes valores de z:

(a) 0 < z < 1, 23;

(b) −2, 15 < z < 0;

(c) −1, 56 < z < 1, 48

ER 28. Estima-se que a vida útil de um aparelho de TV, segue uma distribuição normal, com média µ = 4.000

horas e desvio padrão de 500 horas. Qual a probabilidade de um aparelho escolhido aleatoriamente durar entre

4.000 e 4.500 horas?

Solução: Para x = 4.000, temos, z =x − µ

σ=

4.000− 4.000

500= 0. Para x = 4.500, temos,z =

x − µ

σ=

4.500− 4.000

500=

500

500= 1. Logo, P(4.000 < X < 4.500) = P(0 < Z < 1) = 0, 3413 = 34, 13%.

ER 29. Uma máquina empacotadora de milho foi calibrada de modo que sua média é µ = 15Kg de milho colo-

cados no saco, com desvio padrão de 0, 3Kg . Sabendo-se que a distribuição dos pesos segue uma distribuição

normal, determine a probabilidade de um saco escolhido aleatoriamente, ter peso entre 14, 1Kg e 14, 7Kg .

Solução: Para x = 14, 1, temos, z =x − µ

σ=

14, 1 − 15

0, 3=

−0, 9

0, 3= −3. Para x = 14, 7, temos,

z =x − µ

σ=

14, 7− 15

0, 3=

−0, 3

0, 3= 1.

Logo, P(14, 1 < X < 14, 7) = P(−3 < Z < −1) = 0, 4986− 0, 3413 = 0, 8399%.

EP 3.8. As vendas de uma loja seguem aproximadamente uma distribuição normal, com média $400, 00 e

desvio padrão de $100, 00. Qual a probabilidade de que em um determinado dia a loja venda: (a) Entre $450, 00

e $650, 00; (b) Entre $350, 00 e $500, 00.

EP 3.9. A média de um concurso foi de µ = 75, com desvio padrão σ = 8. Determine: (a) Os escores

reduzidos de dois candidatos, cuja pontuação foram 95 e 60, respectivamente; (b) As pontuações de dois

candidatos cujo escores reduzidos foram, respectivamente, −0, 5 e 1, 5

EP 3.10. Os pesos de 500 estudantes são normalmente distribuídos com média µ = 64, 8Kg e desvio padrão

σ = 4, 8Kg . Encontre o número de alunos que pesam: (a) entre 60 e 75Kg ; (b) Mais de 62, 7Kg .

EP 3.11. As alturas de 20.000 alunos de um colégio têm distribuição normal, com média 1, 64m e desvio

padrão 0, 16m. (a) Qual o número esperado de alunos com altura superior a 1, 52m? (b) Qual o intervalo

simétrico em torno da média, que conterá 78% das alturas dos alunos?

FTC EAD |56

Page 57: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

EP 3.12. A duração de certo componente eletrônico pode ser considerada normalmente distribuída com

média 850 dias e desvio padrão de 45 dias. Calcular a probabilidade de um componente durar: (a) Entre 700 e

1.000 dias; (b) Mais de 800 dias; (c) Menos de 750 dias; (c) Exatamente 1.000 dias.

EP 3.13. Os pesos de 600 estudantes são normalmente distribuídos com média de 65, 3Kg e desvio padrão

de 5, 5Kg . Encontre o número de alunos que pesam: (a) Entre 60 e 70Kg ; (b) Mais de 63, 2Kg .

EP 3.14. Em uma distribuição normal, 28% dos elementos são superiores a 34 e 12% inferiores a 19. Encontrar

a média e a variância da distribuição.

3.3 Atividade Complementar

EP 3.15. Um administrador de empresas percebeu que entre as empresas que quebram, 53, 87% dessas

empresas quebram por falta de experiência do empreendedor. De um grupo de 15 empresas que quebraram,

qual a probabilidade de que pelo menos uma tenha quebrado por outros motivos que não seja a falta de

experiência do empreendedor?

EP 3.16. Um administrador de empresas pretende montar uma empresa de consultoria e coletou dados que

mostram que em média existem 9 erros de contabilidade a cada 13 empresas que quebraram. De um grupo de

17 futuros clientes empreendedores, qual a probabilidade de no máximo 2 quebrem por erro de contabilidade?

EP 3.17. Um administrador de empresas realizou uma pesquisa onde identificou que em média um em-

preendedor de sucesso trabalha 10, 73h por dia, com um desvio padrão de 1, 74h. Supondo que as horas

trabalhadas seguem uma distribuição normal de probabilidade, determine o número esperado de empreende-

dores de sucesso que trabalham mais de 11h por dia de um total de 1354 empreendedores.

EP 3.18. Um administrador de empresas fez uma pesquisa como pequenas e micro-empresas que que-

bram nos primeiros dois anos de existência e constatou que 38, 98% das empresas quebram por razões não

relacionadas à ingerência administrativa no empreendimento e o restante das causas estão relacionados à

ingerência administrativa no empreendimento. De um grupo de 6 novas pequenas e micro-empresas, qual a

probabilidade de que ao menos duas quebre nos dois anos iniciais de sua existência, por motivos relacionados

à ingerência administrativa no empreendimento?

EP 3.19. O corpo de bombeiros atende em média 37 ocorrências por mês. Sabendo-se que essas ocorrências

podem ser aproximadas pela distribuição de Poisson, calcule a probabilidade do corpo de bombeiros atender

28 ocorrências em três semanas.

Gabarito

3.1 (a) p = 1/4 e q = 3/4, P(6)+P(7)+P(8)+P(9)+P(10) = 0, 0197 (b) p = 1/2 e q = 1/2, P(6)+P(7)+P(8)+P(9)+P(10) = 0, 3770.3.2 (a) 59, 9695%; (b) 6, 6908%; (c) 99, 9793%; (d) 40, 0305%; (e) 92, 6802%. 3.3 (a) 48 famílias; (b) 190 famílias. 3.4 0, 093852722. 3.5

0, 183940. 3.6 0, 006738. 3.7 (a) 0, 3907; (b) 0, 4842; (c) 0, 4406 + 0, 4306 = 0, 8712 3.8 (a) 30, 23%; (b) 53, 28% 3.9 (a) z = −1, 88 ez = 2, 5; (b) x = 71 e x = 87 3.10 (a) 412; (b) 333. 3.11 (a) 15.468 (b) entre 1, 4432m e 1, 8368m. 3.12 (a) 1; (b) 0, 8665; (c) 0. 3.13 (a)380; (b) 389. 3.14 (a) 73, 47; (b) 29, 03. 3.15 3.16 3.17 3.18 3.19

TEMA 04 Estimativa, Regressão e Correlação

Métodos Quantitativos 57

Page 58: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

Conteúdo 1: Conceitos de Amostragem, Estimativa de

Médias Populacionais

4.1 Conceitos de Amostragem

Considerando a inviabilidade ou impossibilidade de se pesquisar todo o universo de certa população,

procura-se conhecê-la por meio do estudo de suas partes. O conhecimento das informações das partes de

uma população se dá por meio do uso do processo amostral. Uma amostragem pode ser feita através de

seleção dos elementos de forma probabilística (cada elemento tem a mesma chance de ser escolhido - erro

e grau de confiança controlados) ou não probabilística (não se tem controle sobre o erro e não há grau de

confiança sobre os resultados).

A amostragem é usada intuitivamente em nosso cotidiano. Por exemplo, para verificar o tempero de um

alimento em preparação, podemos provar (observar) uma pequena porção deste alimento. Estamos fazendo

uma amostragem, ou seja, extraindo do todo (população) uma parte (amostra), com o propósito de avaliarmos

(inferirmos) sobre a qualidade de tempero de todo alimento. A figura abaixo ilustra o processo de amostragem.

Ilustração de um levantamento por amostragem

População:

Todos os Membros

Amostra:

Parcela representativa dos

Membros

Amostragem

Inferência

Estimativa de parâmetros populacionais a partir da amostra. Exemplos:

(a) % de candidatos a emprego, com nível superior, que se submeteram ao teste;

(b) % de candidatos que foram aprovados no teste.

4.2 Por Que Amostragem?

Citaremos quatro razões para o uso de amostragem em levantamentos de grandes populações.

1. Economia. Em geral, torna-se bem mais econômico o levantamento de somente uma parte da população.

2. Tempo. Numa pesquisa eleitoral, a três dias de uma eleição presidencial, não haveria tempo suficiente

para pesquisar toda a população de eleitores do país, mesmo que houvesse recursos financeiros em

abundância.

3. Confiabilidade dos dados. Quando se pesquisa um número reduzido de elementos, pode-se dar mais

atenção aos casos individuais, evitando erros nas respostas.

FTC EAD |58

Page 59: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

4. Operacionalidade. É mais fácil realizar operações de pequena escala. Um dos problemas típicos nos

grandes censos é o controle dos entrevistadores.

4.3 Quando o Uso de Amostragem Não é Interessante?

Citaremos três situações em que pode não valer a pena a realização de uma amostragem.

1. População pequena. Sob o enfoque de amostragens aleatórias, que estudaremos adiante, se a população

for pequena (digamos, de 50 elementos) para termos uma amostra capaz de gerar resultados precisos

para os parâmetros da população, necessitamos de uma amostra relativamente grande (em torno de 80%

da população).

Geralmente é mais relevante o tamanho absoluto da amostra do que a percentagem que ela representa

na população. Voltemos à situação de verificar o tempero de um alimento esteja bem mexido, uma

amostra de uma colher é suficiente, independentemente de estarmos preparando uma pequena ou grande

quantidade de alimento.

2. Características de fácil mensuração. Talvez a população não seja tão pequena, mas a variável que se

quer observar é de tão fácil mensuração, que não compensa investir num plano de amostragem. Por

exemplo, para verificar a percentagem de funcionários favoráveis à mudança no horário de um turno de

trabalho, podemos entrevistar toda a população no próprio local de trabalho. Esta atitude pode também

ser politicamente mais recomendável.

3. Necessidade de alta precisão. A cada dez anos o IBGE realiza um Censo Demográfico para estudar diver-

sas características da população brasileira. Dentre estas características tem-se o parâmetro número de

habitantes residentes no país, que é fundamental para o planejamento do país. Desta forma, o parâmetro

número de habitantes precisa ser avaliado com grande precisão e, por isto, se pesquisa toda a população.

As pesquisas censitárias realizadas pelo IBGE são úteis para o planejamento estratégico para o Estado-

Nação.

4.4 Tipos de Amostragem

4.4.1 Amostragem Probabilística

Processo de seleção de parte da população (amostra) onde cada unidade amostral tem a mesma chance

de ser selecionada. A amostra probabilística é a única para a qual é possível especificar a qualidade da

estimativa obtida da amostra. Por isto é a única recomendada pela Teoria Estatística. Os quatro tipos básicos

são: Amostragem Aleatória Simples, Sistemática, Estratificada e por Conglomerados. Na prática, um plano

amostral incorpora características de mais de um destes tipos. Estudaremos estes planos no decorrer do

curso.

4.4.2 Amostragem por Quotas

O processo por quotas trata-se de um sistema onde se tenta colher uma miniatura do universo pesquisado.

Se temos 53% de mulheres na população, então a amostra deverá ter 53% de mulheres.

Métodos Quantitativos 59

Page 60: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

Normalmente, utiliza-se sexo, renda, idade e nível de escolaridade para formação das cotas a se atingir. Os

dois principais esquemas de obtenção de quotas são as quotas independentes e interrelacionadas.

No primeiro caso, consideram-se apenas os totais marginais das características populacionais, sem nen-

huma preocupação com as interrelações entre estas. No segundo caso, consideram-se as representações

populacionais de todos os subgrupos correspondentes às interações entre as referidas características. Os

exemplos a seguir ilustram as quotas independentes e interrelacionadas.

Exemplo de Quotas Independentes

Sexo

Masculino

Feminino

Idade

20 ⊢ 29

30 ⊢ 39

40 ⊢

Classe Social

Alta

Média

Baixa

Exemplo de Quotas Interrelacionadas

Classe Social

Alta Média Baixa

Sexo Masc. Fem. Masc. Fem. Masc. Fem.

Idades

20 ⊢ 29

30 ⊢ 39

40 ⊢

Não é correto tecnicamente utilizar fórmulas de amostragem probabilísticas para quantificação dos possíveis

erros em amostragem por quotas. Observa-se que os erros normalmente apresentados para a imprensa, de

modo geral, são calculados para amostras probabilísticas.

Muitos institutos utilizam amostragem por quotas (NORMALMENTE MAIS BARATA) e usam fórmulas es-

pecíficas para amostragem probabilística para quantificar o erro.

DESCONFIE DOS ERROS APRESENTADOS QUANDO A AMOSTRAGEM É DITA QUE

FOI FEITA POR QUOTAS. EXIJA A METODOLOGIA.

O ponto crucial da amostragem por quotas concentra-se na inviabilidade do uso de técnicas estatísticas

para quantificação do erro. Mesmo a tentativa de justificar que se trata de uma aproximação é dificilmente

sustentável, tal procedimento pode levar a enganos grosseiros. O mais coerente é assumir os custos do

método, caso usem amostragem por quotas, e divulgue-se o não conhecimento da precisão das informações

levantadas.

4.4.3 Amostragem Aleatória Simples (AAS)

A amostragem aleatória simples (AAS) é do ponto de vista conceitual e computacional, o método mais

direto de se amostrar uma população. Entretanto, estimativas mais precisas (com menor margem de erro ou

variância) podem ser obtidas combinando-se a AAS com outras características especiais do delineamento que

veremos mais adiante.

Para a seleção de uma amostra aleatória simples precisamos ter uma lista completa dos elementos da

população amostrada (ou de unidades de amostragens apropriadas). Este tipo de amostragem consiste em

selecionar a amostra através de um sorteio, sem restrição.

FTC EAD |60

Page 61: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

Seja uma população com N elementos. Uma forma de extrair uma amostra aleatória simples de tamanho

n, sendo n < N , é identificar os elementos da população em pequenos pedaços de papel e retirar, ao acaso, n

pedaços.

A amostragem aleatória simples tem a seguinte propriedade: qualquer subconjunto da população com o

mesmo número de elementos tem a mesma probabilidade de fazer parte da amostra. Em particular, temos que

cada elemento da população tem a mesma probabilidade de pertencer à amostra.

Para facilitar a exemplificação das técnicas de amostragem, usaremos populações pequenas. Contudo,

como já discutido anteriormente, não se costuma usar amostragem aleatória em população muito pequena.

Exemplo

POPULAÇÃO: Empregados de uma empresa

Aristóteles Anastácia Arnaldo Bartolomeu Bernadino Cardoso Carlito Cláudio

Ermílio Ercílio Ernestino Endevaldo Francisco Felício Fabrício Geraldo

Gabriel Getúlio Hiraldo João Joana Joaquim Joaquina José

Juliano Josafá Josefina Maria José Maria Cristina Mauro Paula Paulo

Precisamos associar cada elemento da população a um número. Por simplicidade, consideraremos números

inteiros sucessivos, iniciando-se por 1 (um). Assim, cada nome recebe um número:

POPULAÇÃO: Empregados de uma empresa

1. Aristóteles 2. Anastácia 3. Arnaldo 4. Bartolomeu 5. Bernadino 6. Cardoso 7. Carlito 8. Cláudio

9. Ermílio 10. Ercílio 11. Ernestino 12. Endevaldo 13. Francisco 14. Felício 15. Fabrício 16. Geraldo

17. Gabriel 18. Getúlio 19. Hiraldo 20. João 21. Joana 22. Joaquim 23. Joaquina 24. José

25. Juliano 26. Josafá 27. Josefina 28. Maria José 29. Maria Cristina 30. Mauro 31. Paula 32. Paulo

Para extrairmos uma amostra aleatória simples de tamanho n = 5, basta sortear cinco números aleatórios do

conjunto 1, 2, . . . , 32. Os eleitores associados aos números selecionados formarão a amostra. Uma estimativa

do valor populacional será baseada na amostra. Uma estimativa da média populacional será a média amostral.

Na prática, estamos interessados na observação de certas variáveis associadas aos elementos da amostra.

No exemplo em questão, poderíamos estar interessados na variável: se é possuidor de carro ou não. Denom-

inaremos esta variável de X . Para cada empregado constante da amostra, temos um valor para a variável X .

O conjunto destes valores, observado na amostra de empregados, é chamado de amostra aleatória simples da

variável X .

4.4.4 Amostragem Sistemática

Muitas vezes é possível obter uma amostra de características parecidas com a amostra aleatória simples,

por um processo bem mais rápido daquele que discutimos na seção anterior. Por exemplo, se queremos tirar

uma amostra de 1.000 fichas, dentre uma população de 5.000 fichas, podemos tirar, sistematicamente, uma

ficha a cada cinco (5.000/1.000) = 5). Para garantir que cada ficha da população tenha a mesma probabilidade

de pertencer à amostra, devemos sortear a primeira ficha, dentre as cinco primeiras.

Numa amostragem sistemática a relação N/n é chamada de intervalo de seleção. No exemplo das fichas,

o intervalo de seleção é 5.000/1.000 = 5.

Exemplo: Usaremos, neste, a população dos N = 32 eleitores do exemplo anterior. Vamos realizar uma

amostragem sistemática para obtermos uma amostra de tamanho n = 5. Calculemos, inicialmente, o intervalo

Métodos Quantitativos 61

Page 62: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

de seleção:

N/n = 32/5 ≈ 6

Para iniciarmos, devemos sortear um elemento da população dentre os seis primeiros (relativa a numeração

realizada). Podemos fazer isto sorteando um número entre 1 e 6.

Vamos supor que o número é 3 é o sorteado, ou seja, o primeiro eleitor funcionário da amostra é o “Arnaldo”.

Os demais são obtidos pelo intervalo de seleção “6”, a partir do Arnaldo, resultando na seguinte amostra:

Arnaldo(3), Ercílio(9), Fabrício(15), Joana(21), Josefina(27)

.

4.4.5 Amostragem Aleatória Estratificada (AAE)

A técnica da amostragem estratificada consiste em dividir a população em subgrupos, que denominaremos

de estratos. Estes estratos devem ser internamente mais homogêneos do que a população toda, com respeito

às variáveis em estudo. Por exemplo, para estudar as intenções de voto podemos estratificar população por

idade, sexo, nível cultural, renda, etc.

Devemos escolher um critério de estratificação que forneça estratos bem homogêneos, com respeito ao

que se está estudando. Neste contexto, um prévio conhecimento sobre a população em estudo é fundamental.

Recomenda-se que o número de estratos seja menor ou igual a 6 (seis).

Sobre os diversos estratos da população, são realizadas seleções aleatórias, de forma independente. A

amostra completa é obtida através da agregação das amostras de cada estrato.

Estrato 1 −→ subgrupo 1 da amostra

Estrato 2 −→ subgrupo 2 da amostra

...Seleções ...aleatórias

Estrato k −→ subgrupo k da amostra

9>>>>=>>>>;Amostra Estratificada

4.4.6 O Processo de Amostragem Estratificada

Neste caso particular de amostragem estratificada, a proporcionalidade do tamanho de cada estrato da

população é mantida na amostra. Por exemplo, se um estrato corresponde a 20% do tamanho da população,

ele também deve corresponder a 20% da amostra.

A amostragem estratificada proporcional garante que cada elemento da população tem a mesma probabili-

dade de pertencer à amostra.

Exemplo: Com o objetivo de pesquisar as intenções de voto para Governador em um Estado (população)

vamos realizar um levantamento por amostragem. A população é composta por 10 pessoas com nível superior,

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Page 63: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

10 com nível secundário e 30 com primeiro grau, que identificaremos da seguinte maneira.

POPULAÇÃO

Superior D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10

Segundo Grau S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10

E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10

Primeiro Grau

E11 E12 E13 E14 E15 E16 E17 E18 E19 E20

E21 E22 E23 E24 E25 E26 E27 E28 E29 E30

Supondo que a preferência em relação a escolha do Governador possa ser homogênea dentro de cada

categoria, vamos realizar uma amostragem estratificada, proporcional por categoria, para obter uma amostra

global de tamanho n = 10. A tabela seguinte mostra as relações de proporcionalidade.

Cálculo do tamanho da amostra em cada estrato

Estrato Proporção na População Tamanho do subgrupo na amostra

Superior 10/50 = 0, 20 ou 20% 10 · 0, 20 = 2

Segundo Grau 10/50 = 0, 20 ou 20% 10 · 0, 20 = 2

Primeiro Grau 30/50 = 0, 60 ou 60% 10 · 0, 60 = 6

De cada estrato realizamos uma amostra aleatória simples. Vamos supor que obtivemos D9, D8 para

os estratos correspondentes ao nível superior. A amostra S3, S1 para o estrato correspondente ao nível

secundário e a amostra E10, E4, E6, E27, E7, E20 para o estrato correspondente ao primeiro grau.

A amostra D9, D8, S3, S1, E10, E4, E6, E27, E7, E20 é uma amostra estratificada proporcional. Cada indivíduo

desta amostra deverá ser pesquisado para se levantar a característica de interesse, ou seja, o candidato

preferido para Governador. Uma estimativa da preferência de determinado candidato será construída como

uma média ponderada (pelo tamanho do estrato) das médias de cada estrato.

Desde que no problema em estudo, os estratos formam subgrupos mais homogêneos do que a população

como um todo, uma amostra estratificada proporcional tende a gerar resultados mais precisos, quando com-

parada com uma amostra aleatória simples.

4.4.7 Amostra Aleatória Simples × Amostra Aleatória Estratificada

Como foi visto, o objetivo de se amostrar é mensurar os parâmetros de interesse da população. Essas men-

surações são estimativas dos parâmetros. Ilustraremos aqui as etapas para estimação no caso da amostragem

aleatória estratificada. Mostraremos os ganhos do processo estratificado em relação a Amostragem Aleatória

Simples.

Vamos considerar primeiro um exemplo exagerado, onde os benefícios da estratificação são claros:

Exemplo: Suponha que uma grande população é conhecida ser 60% urbana e 40% rural, e que o problema

é estimar o rendimento médio anual dos trabalhadores. Imagine que o rendimento médio anual do trabalhador

urbano seja de R10.000,00eR 5.000, 00 para trabalhador rural. Com esses valores, o rendimento médio anual

RM dos trabalhadores é uma média ponderada:

RM = 10.000, 00 · 0, 60 + 5.000, 00 · 0, 40 = 8.000, 00.

Como os valores das rendas são, na prática, desconhecidos, surge a questão: quão bem uma amostra

Métodos Quantitativos 63

Page 64: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

aleatória estimaria a renda média? Vamos comparar cinco amostras diferentes: três AAS e uma AAE com

alocação proporcional.

Os resultados estão no Quadro seguinte. As últimas três colunas correspondem à AAS (cada coluna uma

amostra diferente), e a coluna 2 corresponde à AAE . Nas AAS , note que o número de elementos da população

urbana e rural na amostra flutua. Ou seja, na primeira amostra entrou apenas um elemento da população rural

e na segunda, apenas um da população urbana.

Tudo acontece por que os 5 trabalhadores foram coletados ao acaso, sem levar em consideração a existên-

cia de extratos. Como resultado, a média amostral da AAS flutua: uma amostra forneceu média R$9.000, 00,

outra R$6.000, 00 e a terceira R$8.000, 00.

Amostras retiradas da população: 3 AAS e 1 AAE

População AAE AAS (R$)

Estrato Proporção Renda média (R$) Alocação Proporcional (R$) 1 2 3

Urbano

10.000,00 10.000,00 10.000,00

0,60 10.000,00 10.000,00 10.000,00 10.000,00 10.000,00

10.000,00 10.000,00 10.000,00 10.000,00

10.000,00

Rural

5.000,00 5.000,00 5.000,00 5.000,00 5.000,00

0,40 5.000,00 5.000,00 5.000,00

5.000,00

5.000,00

Média 8.000,00 8.000,00 9.000,00 6.000,00 8.000,00

(1) (2) (3) (4) (5)

em que (1) corresponde à média populacional; (2), (3), (4) e (5) correspondem à média amostral.

Apesar do ser um exemplo extremo, ele ilustra bem que, seguramente é recomendável respeitar as pro-

porções populacionais na amostra, preservando uma característica natural da população. Ou seja, com alo-

cação proporcional, a amostra, assim como na população, teria 60% de trabalhadores urbanos e 40% de trabal-

hadores rurais.

Exemplo: Considere uma pesquisa feita em uma unidade com N = 8 domicílios, onde são conhecidas as

variáveis: renda domiciliar (Y ) e o local do domicílio (W ), com os códigos A: região alta e B: região baixa.

Domicílios

Região 1 2 3 4 5 6 7 8

A 17 12 19

B 13 6 5 10 6

Obs: Exemplificando, o terceiro domicílio é da região baixa e possui renda 6.

Para esta população calcula-se a média (µ) e a variância (σ2).

µ =13 + 17 + 6 + 5 + 10 + 12 + 19 + 6

8=

88

8= 11.

σ2 =(13 − 11)2 + (17 − 11)2 + . . . + (6 − 11)2

8=

219.43

8= 27, 42.

Observe que µA = 16, µB = 8, σ2A = 13 e σ2

B = 11, 5.

Para o plano AAS de tamanho n = 44 (lembre-se do TCL), sabe-se que:

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Page 65: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

x =

4Xi=1

xi

4(estimativa da média populacional)

V (x) =σ2

n=

27, 42

4≈ 6, 855 (variabilidade da estimativa).

Sorteando, em cada estrato (A e B) uma AAS de tamanho n = 2, tem-se que:

xA =

2Xi=1

xAi

2(estimativa da média populacional de A)

V (xA) =σ2

A

n=

13

2= 6.5

xB =

2Xi=1

xBi

2(estimativa da média populacional de B)

V (XB) =σ2

B

n=

11, 5

2= 5, 75.

Baseado em XA e XB , um estimador para µ será:

X es =3 · XA + 5 · XB

8.

Com variabilidade dada por:

V (X es) =9

64· V (XB) +

25

64· V (XB) = 3, 16.

Pode-se então medir o efeito da amostragem estratificada em relação a amostragem aleatória simples.

ea =V (X es)

V (X )=

3, 16

3, 48= 0, 91

Portanto, com o mesmo tamanho da amostra consegue-se diminuir a variância do estimador em 10%. O

resultado será mais eficaz quanto maior for a habilidade do pesquisador em produzir estratos homogêneos.

O caso limite é aquele onde se consegue a homogeneidade máxima (variância nula dentro de cada estrato)

onde então a estimativa acerta o parâmetro populacional. Lembre-se, entretanto que a simples estratificação

por si só não produz necessariamente estimativas mais eficientes que a AAS.

4.4.8 Amostragem Aleatória por Conglomerados (AAC)

Ao contrário da amostragem estratificada, a amostragem de conglomerados tende a produzir uma amostra

que gera resultados menos precisos, quando comparada com uma amostra aleatória simples de mesmo

tamanho. Contudo, seu custo financeiro tende a ser bem menor.

Chamamos de conglomerado a um grupamento de elementos da população. Por exemplo, numa população

de domicílios de uma cidade, os quarteirões formam conglomerados de domicílios.

Métodos Quantitativos 65

Page 66: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

Este tipo de amostragem consiste, num primeiro estágio, em selecionar conglomerados de elementos. Num

segundo estágio, ou se observam todos os elementos dos conglomerados selecionados no primeiro estágio

(amostragem de conglomerados em um estágio) ou, como é mais comum, faz-se nova seleção, tomando

amostras de elementos dos conglomerados extraídos no primeiro estágio (amostragem de conglomerados

em dois estágios). Todas as seleções devem ser aleatórias.

Em algumas pesquisas em grande escala, a amostragem pode ser feita em mais estágios. Por exemplo:

para selecionar uma amostra de domicílios do Estado de Santa Catarina, podemos no primeiro estágio se-

lecionar municípios; no segundo estágio, selecionar quarteirões e, finalmente, no terceiro estágio, selecionar

domicílios.

Chamamos de fração de amostragem à relação n/N , ou seja, à proporção da população que será efetiva-

mente observada. Se a fração de amostragem for constante para todos os conglomerados selecionados, então

cada elemento da população tem a mesma probabilidade de pertencer à amostra.

Exemplo: Considere o problema de selecionar uma amostra de domicílios de uma cidade. Podemos tomar

as ruas como conglomerados, como indicado no quadro abaixo, onde A1 representa o primeiro domicílio da

Rua A, A2 o segundo, e assim por diante.

Ilustração do processo de amostragem de conglomerados em dois estágios.

Ruas Domicílios

A A1 A2 A3 A4 A5 A6

B B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14

C C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10

D D1 D2 D3 D4

E E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8

Vamos, como exemplo, selecionar uma amostragem de conglomerados, selecionando três ruas (primeiro

estágio) e, nas ruas selecionadas, uma fração de amostragem de 50% de domicílios (segundo estágio). Então:

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Page 67: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

1 Estágio: Neste estágio, as unidades de amostragem são as ruas, que vamos considerá-las numeradas,

como segue: 1 = A, 2 = B, 3 = C , 4 = D e 5 = E . Sorteamos três números entre os números de 1 a 5. Suponha

que sorteamos os números 2; 4; 5. Estes correspondem a amostra de conglomerados (ruas): B, D e E .

2 Estágio: Para satisfazer a fração de amostragem de 50% em cada conglomerado, precisamos selecionar

7 domicílios da Rua B, 2 da D e 4 da E .

• Rua B. Procedendo o sorteio, chegamos nos domicílios B9, B10, B4, B6, B7, B12, B1.

• Rua D. Sorteamos os domicílios D2 e D4.

• Rua E . Sorteamos E1, E8, E6 e E3.

Amostra selecionada: B9, B10, B4, B6, B7, B12, B1, D2, D4, E1, E8, E6, E3.

Deve-se observar que, ao contrário dos planos discutidos anteriormente, a amostragem de conglomerados

não exige uma lista de todos os elementos da população. Basta, no primeiro estágio, uma lista de conglom-

erados e, no segundo estágio, uma lista de elementos, mas somente para os conglomerados previamente se-

lecionados. Por este aspecto, em pesquisas onde os elementos da população estão dispersos sobre grandes

áreas territoriais, a amostragem de conglomerados torna-se muito mais econômica do que a aleatória simples.

4.5 Inferências Estatísticas

Estimação: Estimar é a ação de fazer uma suposição generalizada a respeito de um todo baseado em

informações lógicas. Exemplo: Uma pesquisa mostrou que em 1999, 90% dos acidentes de trânsito foram com

homens e 1% com mulheres. A mesma pesquisa foi feita em 2000 e mostrou que 95% eram homens e 5%

mulheres. Não podemos concluir que o número de acidentes com homens aumentaram, pois não foi informado

a margem de erro dessa pesquisa, portanto, toda vez que fazemos uma pesquisa, nós devemos calcular o erro

associado a nossa pesquisa, para podermos tomar decisões baseadas nelas.

• Parâmetro: É uma função do conjunto de valores da população. Ex: Média Aritmética, variância, etc.

• Estimativa: É o valor assumido pelo parâmetro em determinada amostra.

Estimar parâmetros é basear-se nos resultados da amostra para estimá-los à população. No exemplo acima

temos que o parâmetro usado para análise foi a proporção. A estimativa para caracterizar a população foi de

90% para os homens em 1999.

Estimadores mais usados

Parâmetro Populacional Estimadores

Média x

Diferença entre as médias de duas populações x1 − x2

Proporção p

Diferença entre proporções de duas populações p1 − p2

Desvio padrão σ

Métodos Quantitativos 67

Page 68: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

4.6 Formas de estimativas

• Estimativa pontual: Determina um valor específico de um parâmetro.

• Estimativa intervalar: Dá um intervalo de valores possíveis onde está o valor parâmetro populacional.

Exemplo: Temos a porcentagem de acidentes registrado envolvendo homens e mulheres no ano de 1999:

• Estimativa pontual: 90% de homens e 10% de mulheres.

• Estimativa Intervalar: entre 88% e 92% de homens e entre 8% e 12% de mulher

Conteúdo 2: Estimativas de Proporções Populacionais

Usamos a proporção amostral para estimar a proporção populacional. A estimativa pontual é quando esti-

mamos a proporção populacional pela amostral, isto é, p = x/n, onde x é o número de itens na amostra e n é

o tamanho da amostra.

ER 30. Em um lote de CD’s é retirada uma amostra de 123 CD’s e observamos que 47 estão com defeito.

Estime a proporção de CD’s com defeito deste lote pontualmente.

Solução:

p = x/n = 47/123 = 0, 3821 = 38, 21%

A estimativa intervalar de proporções populacionais é feita da seguinte maneira:

x

n± z

Ìx

n·1 − x

n

n

,

em que x é o número de itens da amostra, z é a variável aleatória normal e n o tamanho da amostra.

O desvio padrão da proporção é calculado da seguinte maneira:

σp =

Ìx

n·1 − x

n

n

=

rp · (1 − p)

n,

pois p = x/n.

Na estimativa intervalar de proporções populacionais não utilizamos a distribuição de student.

ER 31. Considere o exemplo anterior. Estime a proporção populacional com uma confiança de 96%.

Solução: Temos que p = x/n = 47/123 = 0, 3821 = 38, 21% e σp =

rp · (1 − p)

n=r

0, 3821(1− 0, 3821)

123= 0, 3821. O valor de z que nos dá uma confiança mais próxima de 96% é z = 2, 06,

que nos dá uma área de 0, 4803%. Logo, estimamos a proporção populacional da seguinte maneira:

p ± z

rp · (1 − p)

n= 0, 3821± 2, 06

r0, 3821 · (1 − 0, 3821)

123= 0, 3821± 0, 0902 = 38, 21%± 9, 02%

FTC EAD |68

Page 69: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

4.6.1 Erro de estimação da proporção populacional

O erro de estimação da proporção populacional é a diferença entre a proporção amostral e a proporção

populacional, como supomos que a proporção amostral no intervalo de estimação da proporção populacional,

logo o erro máximo é dado por e = z

rp · (1 − p)

n, notamos que o erro aumenta quando p · (1−p) aumenta, isto

é quando −p2 + p aumenta, considerando a função f (p) = −p2 + p, temos que seu ponto de mínimo é p = 1/2,

logo o erro é máximo quando p = 1/2 = 0, 5 = 50%. Desta forma, quando tivermos situações onde a proporção

p não for conhecida, nós vamos supor que p = 1/2, pois para este valor de p teremos um erro máximo. Desta

forma, estaremos aumentando o desvio padrão e aumentando a confiança de nossa estimação.

ER 32. Qual o tamanho da amostra que devemos tomar para estimarmos a proporção de uma população com

um nível de significância de 6% e um erro de 0, 03?

Solução: Nível de significância é o complementar do nível de confiança e é denotado pela letra grega

alfa (α), isto é, α = 1 − NC . Logo, NC = 1 − α = 1 − 0, 06 = 0, 94 = 94%, onde NC é o nível de confiança.

Como a proporção p não é conhecida tomamos p = 0, 5, para um nível de confiança de 94% tomamos

z = 1, 89 que nos dá uma área de 0, 4706. Como o erro é dado por e = z

rp · (1 − p)

n, temos que n =

z2 · p · (1 − p)

e2=

1, 892 · 0, 5 · (1 − 0, 5)

0, 032= 992, 25, vamos tomar então n = 993 para garantirmos no mínimo

nossas exigências de confiança e erro.

4.6.2 Determinação do tamanho da amostra em populações finitas

O erro de estimação da proporção populacional de populações finitas é dado por e = z

rp · (1 − p)

n·r

N − n

N − 1. Logo, temos que n =

Z 2 · p · (1 − p) · Ne2 · (N − 1) + z2 · p · (1 − p)

, onde p =x

n.

EP 4.1. Qual o tamanho da amostra que devemos retirar de um lote de 2.795 relógios, para estimarmos a

proporção de defeituosos com um nível de confiança de 95, 8% e com um erro de 0, 023?

ER 33. Foi retirada uma amostra dos pesos dos estudantes de uma faculdade conforme os seguintes dados:

68; 70; 56; 78; 49; 62; 67; 91; 58; 62; 71; 78. Estime a média populacional com um nível de significância de 6%.

Solução: Temos que a média dos dados é x = 67, 5 e o desvio padrão amostral sx é dado pela expressão

Sx =

sX(X − xi )

2

n − 1=

É1417

11= 11, 3498. Podemos calcular o desvio padrão amostral na HP−12C , limpando

os registradores estatísticos teclando (f )(reg) e entrando com os dados amostrais teclando (X

+), depois

teclamos (g)(s) para obtermos o desvio padrão amostral.

Como n = 12 < 30 vamos utilizar a distribuição de student, o valor de t que nos dá um nível de significân-

cia de 6%, para um grau de liberdade de 11 é t = 2, 0961, logo estimamos a média populacional sendo:

x ± t · Sx√n

= 67, 5 ± 2, 0961 · 11, 3498√12

= 67, 5 ± 6, 8677.

EP 4.2. Uma amostra de 41 observações de uma população apresentou uma média de 33, 7. Se a variância

populacional é de 11, 3, determine um limite máximo para a média populacional com α = 7%.

Métodos Quantitativos 69

Page 70: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

EP 4.3. Em um estudo sobre o grau de impurezas em lotes de 3, 2Kg de determinado composto medicinal,

o erro máximo tolerável é de 1, 03Kg . Se o grau de impurezas apresenta um desvio padrão populacional

de 5, 03g . Determine o tamanho da amostra que devemos tomar neste estudo, se desejamos um nível de

significância de 4%.

Conteúdo 3: Regressão Linear

São técnicas estreitamente relacionadas que envolvem uma forma de estimação. Essa técnicas são uti-

lizadas para estimar uma relação, que possa existir na população.

A correlação mede a força, ou grau de afinidade ou de relacionamento entre duas variáveis.

A regressão nos dá uma equação matemática que descreve o relacionamento entre as variáveis.

A regressão linear é a técnica de estabelecer uma equação matemática de primeiro grau que descreve

o relacionamento entre duas variáveis. Por exemplo: (a) Dureza e resistência de um metal; (b) Procura de

automóveis usados e o aumento de carros novos (Causa e efeito); (c) Estimação de lucros (predizer valores

futuros).

4.7 Equação de Regressão Linear

y = a + bx ou f (x) = a + bx , pois y = f (x), em que b é o coeficiente angular e a é o coeficiente linear.

Os coeficientes a e b são determinados com base nos dados amostrais.

Exemplo: y = 2 + 5x

x

y

1

7

2

A reta intercepta o eixo y no ponto (0; a), isto é, y = a. Neste caso, no ponto (0; 2), isto é, y = 2. Este ponto

é chamado intercepto−y .

O coeficiente angular indica a variação de y por unidade de variação de x . Neste exemplo, para cada

unidade de variação de x , correspondem a 5 unidades de variação de y .

FTC EAD |70

Page 71: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

4.8 Decisão por um tipo de relação

Nem todas as situações são bem aproximadas por uma função linear. Uma forma simples de verificar isto é

colocar os dados no gráfico.

Exemplo:

x

y

Linear x

y

Não linear

4.9 Determinação da equação de regressão linear (método dos mín-

imos quadrados)

É o método mais usado para ajustar uma linha reta a um conjunto de pontos (xi ; yi ). Esta reta tem as

seguintes características:

1. A soma dos desvios padrões verticais dos pontos em relação à reta é zero.X(yi − yc) = 0; em que yi são as ordenadas dos pontos e yc são as ordenadas dos pontos que estão

sobre a reta que tem como abscissa xi .

x

y

2. A soma dos quadrados dos desviosX

(yi − yc)2 é mínimo.

Os valores dos coeficientes de a e b, da equação da reta de ajuste yc = a + bx são calculados resolvendo

as seguintes equações ditas normais:

Métodos Quantitativos 71

Page 72: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

i.X

y = na + bX

x

ii.X

xy = aX

x + bX

x2; onde n é o número de pares de dados (x ; y) observados.

Resolvendo as equações acima temos:

a =

Xy − b

Xx

ne b =

nX

xy −X

xX

y

nX

x2 − (X

x)2

A reta de regressão passa pelo ponto (x ; y), isto é, determinada a equação de ajuste yc = a + bx , tem-se

que y = a + bx, em que x e y são, respectivamente, a média das abscissas x e das ordenadas y , dos pares de

dados (x ; y).

ER 34. Os dados abaixo representam a média de acidentes por mês versus a média de horas gastas por mês

em treinamento educativo para prevenção de acidentes.

Média de acidentes por mês (y) 7 6, 4 5, 2 4, 0 3, 1 8, 0 6, 5 4, 4

Média de horas de treinamento por mês (x) 200 500 450 800 900 150 300 600

Suponha que queiramos saber, se há uma relação entre a média de acidentes e a média de horas gastas

em treinamento. A média de horas de treinamento seria a variável independente (x) e a média de acidentes a

variável dependente (y).

Colocando os dados no gráfico, vemos que eles podem ser aproximados por uma equação linear, pois estão

próximos a uma reta. Veja o gráfico de dispersão abaixo:

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-100

Horas de Treinamento

Aci

dent

es

(a) Determine a equação da reta que melhor descreva a relação entre acidentes e horas de esforço preventivo.

(b) Estime a frequência de acidentes se o esforço preventivo for de 700 horas.

Solução: (a) b =nX

xy −X

xX

y

nX

x2 − (X

x)2=

8.18720− 3900.44, 6

82415000− 1521000= −0, 0059

a =

Xy − b

Xx

n=

44, 6 + 0, 0059.3900

8= 8, 4513.

Como a equação da reta de ajuste é y = a + bx , temos y = 8, 45 − 0, 0059x .

(b) y = 8, 4513− 0, 0059.700 = 4, 3213

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ER 35. Determine (a) uma equação preditora do montante de seguro em função da renda anual (b) qual o

montante do seguro se a renda for 29 e (c) qual a renda anual se o montante do seguro for 25, com base nos

seguintes dados.

Renda Anual (em $1.000)

(x) 20 25 26 18 16 17 32 13 38 40 42

(y) 10 12 15 10 15 20 30 5 40 50 40

Solução: (a) Temos que b =nX

xy −X

xX

y

nX

x2 − (X

x)2= 1, 3210, pois

Xx = 287,

Xx2 = 8.571, a =X

y − bX

x

n= −12, 0121,

Xy = 247,

Xy2 = 7819 e

Xxy = 7.875.

Portanto, y = −12, 0121 + 1, 3210x (equação preditora).

(b) Logo, y = −12, 0121 + 1, 3210 · 29 = 26, 2969

(c) 25 = −12, 0121 + 1, 3110x ⇒ x = 28, 0182 (HP 12C x = 28, 0178)

Conteúdo 4: Correlação Linear

4.10 Correlação Linear (o coeficiente ρ de Pearson)

O coeficiente de correlação linear de Pearson é dado por:

ρ =nX

xy −X

xX

yqnX

x2 − (X

x)2 ·q

nX

y2 − (X

y)2

Temos que −1 ≤ ρ ≤ 1. Se ρ estiver próximo de −1, então os dados estão próximos da reta de ajuste, que

é decrescente, portanto, estão negativamente relacionados. Se ρ estiver próximo de 1, então os dados estão

próximos da reta de ajuste, que é crescente, logo, estão positivamente relacionados. Se ρ estiver próximo de

zero, temos que os dados estão distantes da reta de ajuste, logo temos uma péssima estimação.

O coeficiente de determinação

ρ2 =

nX

xy −X

xX

yqnX

x2 − (X

x)2 ·q

nX

y2 − (X

y)2

Ǒ2

Temos que 0 ≤ ρ2 ≤ 1. Se ρ2 estiver próximo de 1, significa que os pontos estão próximos da reta de ajuste,

logo temos uma boa estimação. Se estiver próximo de zero, significa que temos dados distantes da reta de

ajuste, logo temos uma péssima estimação.

ER 36. Determine o coeficiente de determinação do exemplo anterior.

Solução: ρ2 = 0, 9084. Temos um valor próximo de 1, significando que 90, 84% da variação dos acidentes

estão relacionados com a variação do nível de esforço preventivo, e apenas 9, 16% da variação não são

explicados pela variação do nível de esforço.

Métodos Quantitativos 73

Page 74: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

4.11 Atividade Complementar

EP 4.4. Se deseja avaliar a relação existente entre o número de horas (xi ) e a nota obtida (yi ). Os dados

estão apresentados na tabela seguinte. Qual a equação da reta ajustada entre x e y? Qual a qualidade do

ajuste?i 1 2 3 4 5 6

Xi 1 3 4 5 6 6, 5

Yi 6 7 7, 5 8 8, 5 8, 7

EP 4.5. Os dados da tabela abaixo representam o consumo e a renda disponível. Com base nos dados

apresentados, responda ’as questões apresentadas a seguir.

Anos Consumo (y), em R$ milhões Renda (x), em R$ milhões

1960 158 189

1961 160 209

1962 163 220

1963 165 235

1964 170 250

(a) Verificar a qualidade do ajuste dos dados à reta de regressão.

(b) Se a qualidade do ajuste for boa, encontre a reta de regressão.

(c) Qual o consumo esperado para uma renda de 400 milhões de reais?

EP 4.6. Os dados da tabela abaixo representam o consumo e a renda disponível. Com base nos dados

apresentados, responda as questões apresentadas a seguir.

Anos Consumo (y), em milhões de reais Renda (x), em milhões de reais

1960 523 187

1961 398 205

1962 470 238

1963 495 236

1964 501 241

(a) Verificar a qualidade do ajuste dos dados à reta de regressão linear.

(b) Em quantos por cento as variações no consumo são explicadas pelas variações da renda?

(c) O ajuste dos dados à reta de regressão linear é de boa qualidade? Por quê?

(d) Determine a equação da reta que melhor se ajusta os dados pelo método da regressão

(e) Estime a renda usando a equação da reta do item anterior se o consumo for de 407 milhões de reais.

EP 4.7. Considere os dados amostrais abaixo:

26,98 25,10 25,20 32,40 34,38 34,37 36,46 39,06 39,37

39,4 49,93 49,84 50,84 51,54 54,68 54,68 65,32 65,64

67,76 67,85 70,33 71,77 71,87 79,64 79,75 81,92 81,74

81,96 82,37 82,38 89,39 93,62 93,94 94,13 101,56 103,58

107,56 107,19 107,98 107,35 120,34 122,87 122,98 123,96

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Page 75: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

(a) Estime a média populacional com α = 0, 05.

(b) Suponha que o tamanho dessa população que foi retirada essa amostra seja de 80 elementos. Estime a

média dessa população com α = 0, 05.

EP 4.8. De uma amostra de 153 observações de um lote de parafusos, foi detectado 29 parafusos com defeito.

Determine o erro de estimação da proporção populacional se α = 4%.

EP 4.9. De um lote de 1791 canetas, foi retirada uma amostra de 93 canetas, desta amostra foram encontradas

13 canetas com defeito. Estime a proporção de canetas defeituosas deste lote com um nível de confiança de

97, 5%.

EP 4.10. Numa estação de trem de grande circulação foi colhida uma amostra aleatória de 100 observações

com média 30 e desvio padrão de 7. Determine com 99% de confiança uma cota superior para a média

Gabarito

4.1 n = 1.155. 4.2 µX = 34, 4770 4.3 n = 102. 4.4 y = 55.146 + 0, 4946x; ρ2 = 0, 9997 = 99, 97% 4.5 (a) ρ2 = 0, 9543; (b)y = 120, 4445 + 0, 1938x; (c) R$197, 9703 milhões 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10

Métodos Quantitativos 75

Page 76: modulo_impresso-Métodos Quantitativos

Referências Bibliográficas

[1] COSTA, Sérgio Francisco; Introdução Ilustrada à Estatística . 4a edição. São Paulo: Harbra, 1998.

[2] FONSECA, J. S. & MARTINS, G. A.; Curso de Estatística . 6a edição. São Paulo: Atlas, 1998.

[3] FREUND, Jonh E.. Estatística Aplicada : Economia, Administração e Contabilidade. Porto Alegre: Book-

man, 2000.

[4] MAGALHÃES, Marcos Nascimento & LIMA, Antonio Carlos Pedroso de; Noções de Probabilidade e Es-tatística . 6a edição. São Paulo: IME/USP, 2007.

[5] MEYER, Paul L.; Probabilidade, Aplicações à Estatística . 2a edição. São Paulo: LTC, 2000.

[6] SILVA, Ermes Medeiros da; MUROLO, Afrânio Carlos; SILVA, Elio Medeiros da; & GONÇALVES, Valter.

Estatística Estatística, Vol. 2. 2a edição. São Paulo: Atlas, 1997.

[7] SPIEGEL, Murray R.. Estatística . 3a edição. São Paulo: Makron Books, 1993.

[8] STEVENSON, William J.; Estatística Aplicada à administração . São Paulo: Habra, 1996.

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