Captulo 9

Momentos de inrcia das figurasplanas

9.1 IntroduoDefinies:

eixo de simetria: recta, que se existir, divide a figura em duas partes tais queestejam uma para a outra como um objecto para a sua imagem no espelho.centro de simetria ponto de cruzamento de dois eixos de simetria. Umafigura plana s poder ter um centro de simetria.

O

momento esttico da 1a ordem de rea A de uma figura em relao a umplo O (Captulo 7) :

~SO =

A

~r dA (9.1)onde dA a rea elementar e ~r representa o vector posio da rea elementarao ponto O.Os momentos estticos em relao aos eixos de simetria so sempre nulos.

xG

yG

r

y

x

dA

o

Gy

xo

28 Momentos de inrcia das figuras planas

centro de gravidade, centride, centro de massa de uma figura o pontode coordenadas (xG , yG) do plano da figura dado por:

xG =

x dA

A; yG =

y dA

A.

eixos centrais passam pelo centro de gravidade. O centro de gravidadecoincide com o centro de simetria, se este existir. O centro de gravidadeexiste sempre, podendo estar fora da figura.

momento da 2a ordem ( momento de inrcia geomtrica) de rea A deuma figura em relao a um eixo e, co-planar com ela dado por:

Iee =

A

r2 dA (9.2)

onde r a distncia ao eixo da rea elementar dA.Em relao a dos eixos coordenados x e y:

Ixx =

A

y2 dA ; Iyy =

A

x2 dA . (9.3)

x

y

y

xo

r

dA

O momento de inrcia esta relacionado com o efeito dos sistemas de forasdistribudas numa rea (volume).momento polar de inrcia de rea A de uma figura em relao ao eixo zou um plo (ponto O origem dos eixos coordenados) dado por:

Ip =

A

r2 dA =

A

(x2 + y2) dA = Ixx + Iyy . (9.4)

produto de inrcia de rea A de uma figura em relao a dois eixo co-planares com ela, eixos coordenados x e y, dado por:

Ixy =

A

xy dA . (9.5)

O produto de inrcia relevante sempre que se trata de uma seco semeixo de simetria ou no caso da rotao dos eixos.

9.2 Clculo dos momentos de inrcia por integrais 29

tensor de inrcia Os momentos (Ixx, Iyy) e o produto (Ixy) de inrcia deuma figura plana referida a um sistema de eixos ortogonais (x , y), formamum tensor de 2a ordem simtrico:

I =

[Ixx IxyIyx Iyy

]

raio de girao de rea A de uma figura em relativamente aos eixos coor-denados, dado por:

kx =

IxxA

; ky =

IyyA

(9.6)

O raio de girao polar dado por:

kp =

IpA

=

k2x + k2y (9.7)

O raio de girao mede a distribuio da rea a partir do eixo. A unidade SI[m].

Observaes

O momento de inrcia momento do momento esttico.

O momento de inrcia e o momento polar inrcia so sempre positivos.

O produto de inrcia pode tomar valores positivo, negativo ou nulo.

9.2 Clculo dos momentos de inrcia por integraisRectnguloOs momentos de inrcia em relao aos eixos x e y.

dIxx = y2dA = y2 bdy Ixx =

A

dIxx ==

h0

y2bdy =bh3

3

dIyy = x2dA = x2 bdx Iyy =

A

dIyy ==

b0

x2hdx =hb3

3

x

y

Gx

y

G

xb

y

o

h

dA=hdx

xb

y

o

hdA=bdy

30 Momentos de inrcia das figuras planas

Os momentos de inrcia em relao aos eixos centrais x e y.

dIxx = dI

xx = y2dA = y2 bdy I xx =

A

dI xx ==

h/2h/2

y2bdy =bh3

12

dIyy = dI

yy = x2dA = x2 bdx I yy =

A

dI yy ==

b/2b/2

x2hdx =hb3

12

O produto de inrcia em relao aos eixos centrais x e y nulo sendo eixo desimetria. O produto de inrcia em relao aos eixos x e y :

dIxy = x ydA Ixy = b

0

h0

x ydxdy =h2b2

4

CrculoO momento polar de inrcia do crculo de raio R em relao ao plo O origemdos eixos centrais x e y :

y

x

dA=2 rdr

Or

R

pi

dIp = r2dA ; dA = 2 pi rdr Ip =

A

dIp =

R0

2 pi r3dr =piR4

2

Tendo em conta que qualquer eixo que passa pelo ponto O eixo de simetriaIxx = Iyy e utilizando a relao 9.5:

Ip = Ixx + Iyy Ixx = Iyy = Ip2

=piR4

4

Os raios de girao so:

kp =

IpA

=

piR4/4

2piR2=

R

2; kx = ky =

R

2

4

9.3 Variao dos momentos de inrcia em relao aotranslao dos eixos

O momento de inrcia em relao a eixos do referencial (x , y) paralelos aoseixos do referencial (x , y) situado a uma distncia d (dx, dy), pode ser expressoem funo dos momentos de inrcia calculados em relao aos eixos x , y e adistncia d, sendo os momentos de inrcia duma rea elementar dA:

9.4 Variao dos momentos de inrcia em relao ao rotao dos eixos 31

dx

dy

y

x

x

y

O

O

dAx

y

dIxx = dI

xx = y2 dA = (y + dy)

2dA = y2 dA + 2 ydy dA + d2y dA

I xx =

A

y2 dA + 2 dy

A

y dA + d2y

A

dA = Ixx + 2 dySx + d2y A

Analogamente para o Iy :

Iy = Iy + 2 dxSy + d2x A

e para o produto de inrcia:

Ixy = I

xy =

A

(y + dy)(x + dx)dA = Ixy + dySx + dxSy + dydx A

onde Sx e Sy so os momentos estticos da rea A em relao ao eixos x e y.Se o referencial (x , y) for central (O G), os momentos estticos Sx e Syanulam-se e fica:

Ixx = IxG + d2y A (9.8)

Iyy = IyG + d2x A (9.9)

Ixy = IxyG + dydx A (9.10)

Este resultado constitui o teorema de Steiner ou teorema de transmisso de mo-mentos ou dos eixos paralelos.O momento de inrcia polar resulta:

Ip = IO = Ixx + Iyy = IG + (d2x + d

2y) A

9.4 Variao dos momentos de inrcia em relao aorotao dos eixos

Para determinar os momentos e o produto de inrcia de uma figura plana relativa-mente a um referencial qualquer (x , y) que se obtm de (x , y) atravs de uma

32 Momentos de inrcia das figuras planas

rotao com ngulo , escrevem-se as coordenadas do centride da rea elementarno novo referencial (x , y) nos antigos (x , y).

y

x

x

y dAx

y

x

y

OO

x = x cos + y sin y = y cos x sin

e substituindo nas equaes (9.3) e (9.5) se obtm:

I xx = Ixx cos2 + Iyy sin

2 Ixy sin 2I yy = Ixx sin

2 + Iyy cos2 + Ixy sin 2

I xy = I

yx =Ixx Iyy

2sin 2 + Ixy cos 2

9.4.1 Transformao ortogonal do tensor da inrciaOs momentos e o produto de inrcia relativamente a um referencial qualquer(x , y) que se obtm de (x , y) atravs de uma rotao com ngulo , podemser obtidos por uma transformao ortogonal do tensor I , com a matriz da trans-formao T :

x1

x1

~e1

~e2

~e2

~e1

x2

x2

T =

[T11 T12T21 T22

];

Tij = cos(~e

i, ~ej);

A matriz T contm as componentes dos versores dos novos eixos (x , y) nosantigos (x , y). A matriz dos cosenos directores dos novos eixos nos antigos:

T =

[cos(~x1, ~x1) cos(~x

1, ~x2)cos(~x2, ~x1) cos(~x

2, ~x2)

]=

[cos sin sin cos

]

A matriz T ortogonal T 1 = T .Os tensor da inrcia no novo referencial I calcula-se pela relao da transfor-mao ortogonal do tensor I:

I = TIT T =

[cos sin sin cos

] [Ixx IxyIyx Iyy

] [cos sin sin cos

]

I xx = Ixx cos2 + Iyy sin

2 2Ixy sin cos (9.11)I yy = Ixx sin

2 + Iyy cos2 + 2Ixy sin cos (9.12)

I xy = I

yx = (Ixx Iyy) sin cos + Ixy(cos2 sin2 ) (9.13)

9.5 Momentos principais de inrcia 33

I =

[I xx I xyI yx I yy

]

9.5 Momentos principais de inrciaPara qualquer ponto O existe um determinados par de eixos (xI , xII) ortogonaispara qual o produto de inrcia anula-se e o momento de inrcia I xx tem valormximo. Estes eixos chamam-se eixos principais ou direces principais deinrcia e os momentos de inrcia chamam-se momentos principais de inrcia.A partir da equao (9.11) temos:

dI xxd

|=0 = 2Ixy cos 2 (Ixx Iyy) sin 2|=0 = 0

tan 20 =Ixy

Ixx Iyy2

direces principais (0)

Os momentos principais de inrcia (sempre II > III):

II =Ixx + Iyy

2+

(Ixx Iyy

2

)2+ I2xy

III =Ixx + Iyy

2(

Ixx Iyy2

)2+ I2xy

Os momentos principais de inrcia representam os valores mximo e mnimo queos momentos de inrcia da rea da figura pode tomar em relao aos eixos or-togonais com origem no ponto O qualquer. Se o ponto O G for o centro degravidade da figura o referencial (xI , xII ) que diagonaliza o tensor da inrciachama-se referencial principal central de inrcia.

Utilizando a transformao ortogonal para os tensores bidimensionais

Interesse agora a transformao de referencial (x , y) para (xI , xII) - referencialprincipal - em relao a qual o tensor de inrcia diagonal. As componentes destetensor chamam-se momentos principais de inrcia.

I =

[Ixx IxyIyx Iyy

] I =

[II 00 III

]

I = T I T T

34 Momentos de inrcia das figuras planas

Utilizando a circunferncia de Mohr (tensores bidimensionais)Em alternativa pode-se recorrer ao circunferncia de Mohr, o que uma represen-tao grfica da lei de transformao do tensor I.

I =

[Ixx IxyIyx Iyy

]Os par (Ixx, Ixy) e (Iyx, Iyy) representam as componentes do tensor associ-adas direco x e y, respectivamente.

Marquem-se na circunferncia, as componentes do tensor no referencial ro-dado, (x, y):

I =

[OC + R cos 2 R sin 2R sin 2 OC R cos 2

]=

[Ixx IxyIyx Iyy

]

I nn

III

2

OCRcos2

Rsin

2

Rsin

2

I nt

I ICO

1

2

OC+Rcos2

OC =II + III

2

R =II III

2

Conveno: a componente Iyx marca-se na circunferncia de Mohr comsinal trocado. (Os pontos 1 e 2 tem as coordenadas 1(Ixx ,Ixy) e2(Ixx , Iyx))

Frmulas:

OC =Ixx + Iyy

2R =

(Ixx Iyy

2

)2+ I2xy

tan 2 =|Ixy|

Ixx Iyy2

direces principais

II = OC + R III = OC R

Nota-se que a rotao real dos eixos coordenados no sentido contrariocom metade do ngulo rotao na circunferncia de Mohr.Nota:

OC =Ixx + Iyy

2=

II + III2

( invariante)

9.6 Momentos de inrcia das figuras compostas 35

Cada ponto da circunferncia representa as componentes do tensor associ-adas a uma das direces, a qual roda com um ngulo duplo e em sentidocontrrio (2) ao dos respectivos eixos coordenados ().

9.6 Momentos de inrcia das figuras compostasUma figura pode ser dividida em figuras simples. Nestas condies, os mo-mentos de inrcia da figura composta a um eixo obtm-se por soma algbrica(soma/diferena) dos momentos de inrcia de cada figura componente em re-lao a esse eixo. Os momentos de inrcia das figuras geomtricas elementaresencontram-se nas tabelas.

Ix =

Ixi ; Iy =

Iyi ; Ip =

Ipi (9.14)

O raio de girao de uma superfcie composta no igual soma dos raios degirao parcelares. Para calcular o raio de girao necessrio calcular o momentode inrcia da figura composta.

Problema 9.9 Exemplo de clculo para um anel com raio R1 e R2:

y

x

R2

R1O Ip = I

2p I1p =

piR422

piR41

2=

pi

2(R42 R41)

Contudo, antes de adicionar/(subtrair) os momentos de inrcia das reas parce-lares, poder ser necessrio utilizar o teorema dos eixos paralelos e/ou rodar oseixos para transferir cada momento de inrcia para o eixo desejado.

Problema 9.10 Calcule os momentos de inrcia Ix e Iy para a figura composta.y

x

20

20

20 20

O

Ix = Iquadx + 2 I

scx = I

quadxG + 2(I

scxG + A

sc d2)

IscxG =204pi

8 20

2pi

2

(80

3pi

)2= 17561.1mm4

Ix =404

12+2

(17561.1 +

pi202

2

(80

3pi+ 20

)2)= 1268318mm4

Iy = Iquady + 2 I

scircy = I

quadyG + 2 I

scxG

Iy =404

12+ 2

pi204

8= 338997mm4

36 Momentos de inrcia das figuras planas

Para facilitar os clculos usam-se as folhas de clculo (Tabela Problema 9.11).Divide-se a figura em reas simples, parcelares, com posio do centro de gravi-dade e momentos de inrcia centrais conhecidos. Escolha-se um referencial arbi-trrio (x , y).

Comp. Ai xGi yGi Sxi Syi xG yG IxGi IyGi Ixi Iyi

Ai - -

Sxi

Syi xG yG - -

Ixi

Iyi

Definies:

Ai - reas parcelares;

xGi , yGi- distncias referencial (x , y) dos centros de gravidade das reasparcelares;

Sxi = AiyGi , Syi = AixGi - momentos estticos das reas parcelares emrelao aos eixos do referencial (x, y);

xG =

SxiAi

, yG =

SyiAi

- distncia do centro de gravidade figura com-

posta no referencial (x, y);

IxGi , IyGi - momentos de inrcia baricntricos das reas parcelares;

Ixi = IxGi + Ai(yGi yG)2, Iyi = IyGi + Ai(xGi xG)2 - momentos deinrcia parcelares, em relao ao centro de gravidade da seco composta(Teorema de Steiner).

Ixx =

Ixi , Iyy =

Iyi - momentos de inrcia da figura composta,em relao aos eixos centrais da seco.

Tabela 9.1: Folha de clculo

Problema 9.11 Determine os momentos principais de inrcia para a seguintefigura composta:

9.6 Momentos de inrcia das figuras compostas 37

0.5

0.5

3

3

3

0.5

[cm]

Ai xGi yGi Sxi Syi IxGi IyGi Ixi Iyi1 2.5 0 0 0 0 5.208 0.052 5.208 0.0522 1.5 1.25 2.75 1.875 4.125 0.03125 1.125 11.375 4.6683 1.5 -1.25 -2.75 -1.875 -4.125 0.03125 1.125 11.375 4.668

5.5 - - 0 0 - - 27.9583 6.99

Ix1 =0.5 53

12= 5.208 cm4 ; Iy1 =

5 0.5312

= 0.0520833 cm4

IxG2 = IxG3 =3 0.53

12= 0.03125 cm4; IxG2 = IyG3 =

0.5 3312

= 1.125 cm4

Ix2 = Ix3 = 0.03125 + 1.5 2.752 = 11.375 cm4

Iy2 = Iy3 = 1.125 + 1.5 1.252 = 3.46875 cm4

Ixy = 0 + 2 3 0.5 1.25 2.75 = 10.31 cm4

A matriz de inrcia :

I =

[27.9583 10.3110.31 6.99

]

Marcam-se no referencial (Inn, Int) os pontos (1) e (2) com as coordenadas(27.95 , 10.31) e (6.9 , 10.31), respectivamente.Calculam-se a posio do centro da circunferncia e o raio:

OC =Ixx + Iyy

2=

27.95 + 6.99

2= 17.47 mm4

R =

(Ixx OC)2 + I2xy =

x2 + 10.312 = 14.70 mm4

38 Momentos de inrcia das figuras planas

Int

I =27.95xx

I = 6.9yy

I = 10.3xy

I = 10.3yx

Ix

IIx

I = 2.77II

I =21.17I

Inn

Ix

IIx

xG

y

C

(2)

(1)

(I)(II) 2 x

y

GO

= 22.25 = 22.25

0.5

0.5

3

3

3

[cm]

0.5

As momentos principais de inrcia obtm-se:

II = OC + R = 17.47 + 14.70 = 21.17 mm4

III = OC R = 17.47 14.70 = 2.77 mm4

tan(2) =Ixy

Ixx OC =10.31

27.95 17.47

=1

2arctan

10.31

10.48 = 22.25

Resulta que a direco principal xI obtm-se rodando o eixo x de = 22.25 nosentido horrio.

9.7 Problemas propostos

Apndice A

Circunferncia de Mohr paratensores bidimensionais de 2a ordem

A circunferncia de Mohr, para tensores de 2a ordem simtricos, uma represen-tao grfica da lei de transformao.

A.0.1 Tensores bidimensionaisSeja

C =

[CI 00 CII

]

a matriz de um tensor de 2a ordem simtrico, reduzido forma cannica, e sejamxI e xII os eixos principais.

x1

x1

~e1

~e2

~e2

~e

1

x2

x2 Considere-se a transformaode coordenadas (xI , xII) (x1, x2)

A matriz de transformao T dada ento por:

T =

[cos(~e1, ~eI) cos(~e1, ~eII)cos(~e2, ~eI) cos(~e2, ~eII)

]=

[cos sin sin cos

]

O tensor C transforma-se de acordo com a lei C = T C T T , ou

C =

[C11 C12C21 C22

]=

[cos sin sin cos

] [CI 00 CII

] [cos sin sin cos

]

Efectuando os produtos matriciais, obtm-se:

C =

[CI cos

2 + CII sin2 (CII CI) sin cos

(CII CI) sin cos CI sin2 + CII cos2 ]

40 Circunferncia de Mohr para tensores bidimensionais de 2a ordem

C =

CI + CII2

+CI CII

2cos 2 CI CII

2sin 2

CI CII2

sin 2CI + CII

2 CI CII

2cos 2

Fazendo a notao

OC CI + CII2

R =CI CII

2

o novo tensor C escreve-se

C =

[OC + R cos 2 R sin 2R sin 2 OC R cos 2

]

Considerando a 1a (ou a 2a) linha da matriz e designando por Cnn a com-ponente de ndices iguais e por Cnt a outra componente,{

Cnn = OC + R cos 2Cnt = R sin 2

{Cnn OC = R cos 2Cnt = R sin 2

Quadrando e somando obtm-se(Cnn OC)2 + C2nt = R2

o que representa a equao de uma circunferncia num referencial(Cnn, Cnt), com o centro em (OC, 0) e de raio R.

CO Cnn

CICII

Cnt

OC =CI + CII

2

R =CI CII

2

Marquem-se na circunferncia, as componentes do tensor no referencial ro-dado, (x1, x2):

C =

[OC + R cos 2 R sin 2R sin 2 OC R cos 2

]=

[C11 C12C21 C22

]

Os par (C11, C12) e (C21, C22) representam as componentes do tensor as-sociadas direco x1 e x2, respectivamente.

41

Conveno: a componente C21 marca-se na circunferncia de Mohr comsinal trocado.

Frmulas:

OC =CI + CII

2=

C11 + C222

( invariante)

CI = OC + R CII = OC R

tan 2 =C12

C11 C222

Cada ponto da circunferncia representa as componentes do tensor associ-adas a uma das direces, a qual roda com um ngulo duplo e em sentidocontrrio (2) ao dos respectivos eixos coordenados ().