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Tipos de flexãoTensões normais na flexão

Exercícios

Momento fletor

17 de outubro de 2016

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Tipos de flexão

1 De acordo com os esforços simples atuantes na seçãotransversal

Flexão Pura: somente momento fletor, demais esforços nulos.

Flexão Simples:momento fletor e o esforço cortante.

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Flexão Composta:momento fletor e esforço normal.

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2 De acordo com a direção dos momentos fletores atuantes

ES→ interseção do plano das cargas com a seção transversal(eixo y)a rotação acontece em torno do eixo perpendicular ao eixo desolicitação (eixo z)

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De acordo com a direção dos momentos fletores atuantes

Flexão normal ou reta→ O ES coincide com um dos eixosprincipais de inércia.

Flexão oblíqua→ o ES e o eixo de rotação não coincidem comos eixos principais de inércia.

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Resumindo:

1 De acordo com os esforços simples atuantes na seçãotransversal

Flexão Pura→ somente M→ Res Mat1

Flexão Simples→ M e Q→ Res Mat1Flexão composta→ M e N

2 De acordo com a direção dos momentos fletores atuantesFlexão reta→ ES ≈ eixos principais→ Res Mat1

Flexão Oblíqua→ ES , eixos principais

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Momento fletorTensões normais na flexão

17 de outubro de 2016

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Tensões normais na flexão

Mecanismo de flexão

Linhas longitudinais (fibras longitudinais ao eixo) assumem oaspecto curvo. O eixo deformado à flexão é a linha elástica.Linhas transversais (seções transversais) permanecem planas e⊥ao eixo deformado→ sofrem rotação em torno do eixo localz.

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Superfície neutra→ camada situada em um plano horizontalque, na configuração inicial, mantém o comprimento L(εx = 0→ σx = 0).

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Tensões normais na flexão

Mecanismo de flexão

Linha neutra (LN)→ interseção da superfície neutra com a seçãotransversal.

M > 0

{

Fibras superiores à LN são comprimidas/ encurtadasFibras inferiores à LN são tracionadas/ alongadas

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Seja o elemento de volume genérico, limitado pelas seçõesSe e Sd, decomprimento elementardx. Na configuração deformada,dθ é oângulo entreSe e Sd, o ponto O é o centro de curvatura eOM = ON = ρ é o raio de curvatura da linha elástica na superfícieneutra.

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Considerandods ≃ dx para vigas horizontais ou de pequena inclinaçãoe para pequenas deformações. A curvatura é:

κ =1ρ=

dθds≃

dθdx

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du = dθy

εx =dudx =

dθdx y

σx = Eεx = E dθdx y

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σx = Eεx = E dθdx y

dθdx → constante

⇓

σx = ky

k = E dθdx

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σx = ky (1)

k = Edθdx

Para calculark e determinar a posição da LN, sabe-se que o esforçonormal é nulo, ou seja:

N =∫

AσxdA = 0 (2)

Combinando a equação 2 com a equação 1, tem-se:

N =∫

AσxdA =

∫

AKydA = K

∫

AydA = 0

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Exercícios

N =∫

AσxdA =

∫

AKydA = K

∫

AydA = 0

⇒ Geometria das massas: a origem do eixo y, que define a posição daLN, coincide com a ordenada do baricentro, definida por:

y =

∫

AydA

A= 0

Conclui-se, então, que a LN passa pelo baricentro da seção.

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dFx

dFydFz

..x

y

z

dF

y z

PMz =

∫

AσxydA

σx = ky =⇒Mz =∫

AkyydA = k

∫

Ay2 dA

︸︷︷︸

Iz

=⇒ k = MI

⇓

σx =MI y

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Observações:

σx =MI y

1 Sólido de tensões

LN

C’

C

B’

BA’

A’

D

D’

o

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2 Cálculo das Tensões Extremas (Máximas)

LN

C’

C

B’

BA’

A’

D

D’

o

σx =MI y

y = −ds→ σs =MI

(−ds) = −M

I/ds

y = di→ σi =MI

(di) =M

I/di

FazendoWs = I/ds e Wi = I/di tem-se:

σs = −M/Wsσ =M/Wi⇓

σmax =M/W

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Exercícios

1- A viga representada na figura tem seção constante, retangular combase de 20 cm e altura de 40 cm. Dados L= 4 m; a= 1,0 m e P= 120kN, calcular as tensões máximas de tração e compressão.Resposta: 22,5 MPa (tração e compressão).

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Exercícios

Para a viga da Figura tem a seção transversal mostrada ao seu lado,com momento de inércia em relação ao eixo-z igual aJz = 48,7×106

mm 4. Pede-se:

(a) Os diagramas de esforços internos. Indique as seções e os valoresdos esforços máximos.

(b) As tensões máximas de tração e compressão.

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11 - Calcular o valor máximo admissível deq na viga da figura, paratensões admissíveis 140 MPa à tração e 84 MPa à compressão, sendoa seção transversal constante mostrada (dimensões em cm). Resposta:21,3 kN/m

��

��

��

��

��

��

2,54

2,54

10,16

2,54 25,4

1,2m 2m 2m 1,2m

B DEAC

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12 - A viga da figura tem seção constante em duplo T assimétrico(mom. de inércia em relação à LN 7570 cm4), que pode ser colocadona posição 1 (⊤ ) ou 2 (⊥ ). Dadosσt =150 MPa eσc = 120 MPa,calcularqadm na posição mais eficiente (aquela que suporta maiorcarga).Resposta: 18,55 kN/m na posição 2.

��

��

��

��

3m

A B

q

G. 7,65cm

13,60cm

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2 - Uma comporta de madeira de alturah = 5,5 m é constituída devigas verticais AB de espessurae = 300 mm, simplesmente apoiadasno topo e no fundo. Determinar a tensão máxima de flexão nas vigas,considerando que o peso especifico da água seja 10 kN/m3.Resposta: 7,1 MPa

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A haste da figura tem diâmetro de 12 mm e peso de 80 N/m.Determine as tensões normais máximas de flexão na seção Bprovocada pelo seu peso próprio.Resposta:±190,098 MPa .

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14 - Foram propostas duas soluções para o projeto de uma viga.Determinar qual delas suportará um momentoM = 150 kNm com amaior eficiência. Qual é a tensão normal máxima? Com queporcentagem ele é mais eficiente?Resposta:σ = 74,7MPa; percentual de eficiência= 53,0 %

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