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Torção em eixos de seção circularAnálise de tensões e deformações na torção

Exercícios

Momento torsor

26 de setembro de 2016

Momento torsor


Exercícios

Este capítulo é dividido em duas partes:1 Torção em barras de eixo reto e seção transversalcircular

(cheia) ouanular (coroa circular).

��

��

��

��

D = 2R d = 2r D = 2R

2 Torção em tubos de paredes finas

T

T T τ

Momento torsor


Exercícios

Momento torsorTorção em eixos de seção circular

26 de setembro de 2016

Momento torsor


Exercícios

Torção em eixos de seção circular

Barras sujeitas à torção pura: somente o efeito do momentotorsor (torque), sendo os demais esforços simples nulos.

Barras de eixo reto e seção transversalcircular (cheia) ouanular (coroa circular). Barras com estas características sãocomumente denominadas deeixos

��

��

��

��

D = 2R d = 2r D = 2R

Momento torsor


Exercícios

Eixos sujeitos à momentotorsor constante.

=

T

T

A B

T+ DMT

BABA

T

Pequenas deformações: as seções permanecem planas eperpendiculares ao eixo, com forma e dimensões conservadas.As deformações são deslocamentos angulares (ângulos detorção), em torno do eixo-x (eixo da barra), de uma seção emrelação a outra.

Momento torsor


Exercícios

dFx

dFydFz

..x

y

z

dF

y z

P

T =∫

A(τxyz− τxzy)dA

T =∫

Aρτ dA

Momento torsor


Exercícios

Análise de tensões e deformações na torção

Figura :Mecanismo de deformação de um eixo solicitado por momentostorsores.

Momento torsor


Exercícios

γ a distorção angular do “retângulo”abcd, contido em umasuperfície cilíndrica de raioρ e comprimentodx.

dθ o deslocamento angular (ângulo de torção) elementar daseçãoSdem relação à seçãoSe.

Momento torsor


Exercícios

bb′ = ρdθ (1)

bb′ = γdx (2)

Igualando as equações 1 e 2 tem-se:

γ = ρdθdx

(3)

Momento torsor


Exercícios

Da Lei de Hooke tem-se:

τ =Gγ (4)

lembrando queG é o módulo de elasticidade transversal.Substituindo o valor deγ da equação 3 na equação 4 tem-se:

τ = ρ dθdxG

→ constante

Momento torsor


Exercícios

dθdxG = constante= K

⇓

τ = Kρ

Pode-se concluir então queτ é função somente deρ, não é função deθ, portanto constante em pontos de mesmoρ ( 0≤ ρ ≤ R ), paraqualquerθ ( 0≤ θ ≤ 2π ) . Desta forma,a variação deτ comρ élinear

Figura :Variação da tensão cisalhante em função de para uma seçãoMomento torsor


Exercícios

Figura :Variação da tensão cisalhante em função deρ para uma seção cheia.Figura extraída de Hibbeler (2008).

Momento torsor


Exercícios

Cálculo da constante Kτ = Kρ→ T =

∫

Aρτ dA

T =∫

Aρτ dA=

∫

AρKρ dA= (K

∫

Aρ2 dA

︸︷︷︸

Momento de inercia polar:Io

) = K.I0

Logo:

K =TIo

e:

τ = TIoρ

Momento torsor


Exercícios

τ = TIoρ

Tensão cisalhante máxima se dá paraρ = R:

τmax=TIo

R

Razão entreIo eRé chamada de módulo de resistência à torção(Wo). Então:

τmax=T

Wo

⋄ Seção circular→ Io =π32D4

⋄ Seção anular,De o diâmetro externo,Di o diâmetro interno doeixo en= Di/De→ Io =

π32(D4

e−D4i ) = π32D4

e(1−n4)

Momento torsor


Exercícios

Ângulo de torção

Ângulo de torção é a rotação relativa entre duas seções distantes deLunidades de comprimento.

θ =

∫ L

0dθ =

∫ L

0

γ

ρdx

︸︷︷︸

γ=ρ dθdx

=

∫ L

0

Lei de Hooke︷︸︸︷

τ

G1ρ

dx

Momento torsor


Exercícios

Momento torsor


Exercícios

Substituindo o valor deτ = TρI0

, a equação pode ser reescrita como:

θ =

∫ L

0

TIoρ

︸︷︷︸

τ= TIoρ

1G ρ

dx

θ = T LG Io

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Exercícios

Torque Aplicado ao eixo na Transmissão de Potência

Momento torsor


Exercícios

Em um eixo de tranmissão de potência, o trabalho executado pelomomento torsorT, constante, é:

dW= Tdφ

ondeφ é o deslocamento angular, em radianos.Como potência é trabalho por unidade de tempo tem-se:

P=dWdt= T

dφdt= Tω

ou:P= Tω

Momento torsor


Exercícios

P= Tω (5)

Para se aplicar a expressão 5, que relaciona a pôtencia aplicada a umeixo que gira com uma velocidade angularω ao torque T, deve-seobservar as unidades, que devem estar no SI, ou seja:

Potência (P): Watt (1W= 1 Nm/s).

Velocidade angularω = 2πf : rad/s.

Freqüênciaf : Hertz= Hz

Torque (T): Nm.

Se a potência for expressa em cavalos-vapor (CV) ou horse-power(hp), então os fatores de conversão para W são, respectivamente:

1 CV= 736 W e 1 hp= 746 W

Momento torsor


Exercícios

Exercícios

Calcular o momento torsor máximo admissível e o correspondenteângulo de torção em um eixo de comprimento de 2 m dadosτadm= 80MPa eG= 85 GPa e seção:

(a) Circular,D = 250 mm; Resposta:T = 245,4 kNm eθ = 0,01506rad.

(b) Anular, comd = 150 mm eD = 250 mm;Resposta:T = 213,63 kNm eθ = 0,01504 rad.

Momento torsor


Exercícios

A barra circular maciça BC, de aço, é presa à haste rígida AB, eengastada ao suporte rígido em C, como mostra a Figura. Sabendo-sequeG= 75GPa, determinar o diâmetro da barra, de modo que, paraP= 450N, a deflexão do ponto A não ultrapasse 2mm e que a máximatensão de cisalhamento não exceda o valor de 100MPa. Resposta:d = 40,5mm.

Momento torsor


Exercícios

O eixo ABCD da figura possui 20 mm de diâmetro e o módulotangente do material que o constitui é de 80 GPa. Este eixo ésubmetido aos torques indicados. Pede-se:(a) O diagrama de momento torsor;(b) As tensões máximas em cada trecho;(c) O ângulo de torção da polia C em relação ao apoio A;(d) O ângulo de torção da polia D em relação ao apoio A.

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Exercícios

Um eixo é composto por cinco polias que estão submetidas aostorques indicados na Figura. Os trechos (1) e (4) têm 25 mm dediâmetro e os trechos (2) e (3) têm 50 mm diâmetro. Dado G= 80GPa, determinar:

(a) A tensão máxima no eixo;

(b) o ângulo de rotação entre as polias D e B;

(c) o ângulo de rotação entre as polias E e A.

Momento torsor


Exercícios

A haste da figura tem diâmetro de 12mme peso de 80N/m. Determinea tensão máxima de cisalhamento devido à torção na seção Aprovocada pelo seu peso próprio.Resposta: 159,15MPa .

Momento torsor


Exercícios

Dimensionar o eixo de uma máquina, de 9 m de comprimento, quetransmite 200 CV de potência, dadosτ = 21 MPa e G= 85 GPa a umavelocidade angular de 120 rpm, e calcular o correspondentedeslocamento angular, adotando:

Seção circular cheia. Resposta:D = 142 mm,θ = 0,03107 rad.

Seção anular comd/D = 0,5.Resposta:D = 145 mm,θ = 0,03048 rad.

Momento torsor


Exercícios

O eixo sólido ABC da Figura de 50 mm de diâmetro é acionado em Apor um motor que transmite 50 kW ao eixo a uma freqüência de 10Hz. As engrenagens B e C acionam maquinários que necessitam depotência igual a 35 kW e 15 kW respectivamente. Calcule a tensãomáxima de cisalhamento no eixo e o ângulo de torção entre o motorem A e a engrenagem em C, sabendo-se que o módulo tangente é de80 GPa.

Figura :Figura extraída de Gere e Goodno (2009)

Momento torsor


Exercícios

Um eixo maciço de aço AB será usado para transmitir 3.750 W domotor M ao qual está acoplado. Se o eixo girar a uma freqüência175rpm e o aço tiver uma tensão de cisalhamento admissívelτadm= 100MPa, determine o diâmetro exigido para o eixo com precisão demm.

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