Movimento Circular

Restrições ao movimento:● Rotação de corpo rígido;● Rotação em torno de um eixo fixo.

Estudo:● Posição, velocidade e aceleração angular;● Grandezas angulares e lineares;● Inércia de Rotação e Energia Cinética de

Rotação.

Posição Angular

Dado um corpo rígido executando um movimento circular em torno de um eixo fixo:

x

y

0

Dado um corpo rígido executando um movimento circular em torno de um eixo fixo:

r

θ>0

θ '<0

Unidades:

● Radianos

● Graus

● Grados

● Revoluções

[θ]=rad

πrad=180°

πrad=200 gon

2πrad=1rev+ sentido horário– sentido anti-horário

Posição Angular

Posição angular é uma grandeza adimensional.

x

y

0

1uc

1−1

−1

1

θ

Radianos:

“é definido como sendo o comprimento do arco de circunferência em um círculo de raio unitário.”

0

π/2rad

π rad

3 π/2rad

2π rad

π :

“é o comprimento de meia circunferência em um círculo de raio unitário.”

Variação daPosição Angular

Movimento circular de um corpo rígido ⇒ raio constante:

x

y

0

Δθ=θf−θi

θi

θf

Velocidade Angular

Média:

ω=ΔθΔ t

x

y

0

t i

θi

θf

t f

Unidades:

[ω]=[Δθ]

[Δ t ]=

rads

=rad / s

Outras unidades:

rev /s=rps

rev /min=rpm

1rev / s=2π rad / s

1rev /min=2π60

rad / s

ω

Velocidade Angular

Instantânea:

ω= limΔ t→0

ΔθΔ t

x

y

0

t i

θi

θf

t f

ω=dθd t

ωi

Aceleração Angular

Média:

α=ΔωΔ t

x

y

0

t i

θi

θf

t f

ωi

ωf

Instantânea:

α= limΔ t→0

ΔωΔ t

α=dωd t

Aceleração Constante

Linearx

Grandezas

θAngular

v=Δ xΔ t

ω=ΔθΔ t

a=Δ vΔ t

α=ΔωΔ t

v=d xd t

a=d vd t

ω=dθd t

α=dωd t

Aceleração constate

a=a

v=v f +vi

2

α=α

ω=ω f +ωi

2

v=Δ xΔ t

a=Δ vΔ t

ω=ΔθΔ t

α=ΔωΔ t

Aceleração Constante

Linear Angular

Aceleração constate

Δθ=ω+ω0

2t

v=v0+at

Δ x=(v+v0)

2t

Δ x=v0 t+12a t2

Δ x=v t−12a t2

v2=v02+2aΔ x

ω=ω0+α t

Δθ=ω0 t+12α t2

Δθ=ω t−12α t2

ω2=ω02+2αΔθ

Grandezas Lineares eAngulares

Relacionar as grandezas Lineares às grandezas Angulares.

x

y

0 1−1

−1

1

1uc θ

Grandezas Lineares eAngulares

Relacionar as grandezas Lineares às grandezas Angulares.

x

y

0

rS=r θ

S=rθ

com r constante

1−1

−1

1

d Sd t

=d (r θ)d t

=d rd t

θ+rdθ

d t

derivando esta expressão em relação ao tempo:

v=r ω

d Sd t

=rd θd t

v

Grandezas Lineares eAngulares

A velocidade tangencial é proporcional a distância do eixo de rotação.

x

y

0

S1

S2S3

v1

v2

v3

v1=r1ω

v2=r2 ω

v3=r3ω

r1>r2>r3 ⇒v1>v2>v3ω

v

Grandezas Lineares eAngulares

Derivando a velocidade tangencial

x

y

0

v=r ω

d vd t

=rd ωd t

ainda com r constante

at=rα

Esta aceleração mede a taxa com que o módulo da velocidade tangencial varia no tempo.

at

v i

Aceleração Radial

Suponha um corpo executando um movimento circular a velocidade constante.

x

y

0

vx=v cosθ

a=Δ vΔ t

=Δ v x

Δ ti+

Δ v y

Δ tj

Δ vx=vxf−vxi=0

v f

θθ

v y=v senθ

∣v i∣=∣v f∣=v

θ

θ

v i

v f

−v y

v yv x

Calculando a aceleração média no intervalo if:

r

a=ax i+ ay j

Δ vx=v yf−v yi=−2 v y

Aceleração Radial

⇒ a y=−2 v y

Δ t=

−2 v senθ

Δ t

v=SΔ t

=2(rθ)

Δ t

v i

x

y

0

v f

θθ

a=a y j

Como a velocidade é constante:

⇒ Δ t=2r θv

ay=−2 v2 senθ

2r θ=−

v2

rsenθθ

ay=ar=−v2

r⋅lim

θ→0

senθθ

ar=−v2

r

a

S

Aceleração

at=d vd t

=rαv (t)

x

y

0

θ

r

Aceleração tangencial:

ar=−v2

r

ar

at

Num movimento circular pode haver dois tipos de aceleração:

Que mede a taxa com que a velocidade tangencial muda no tempo.

Aceleração radial:

É sempre diferente de zero em todo movimento circular

var

ar v

v

Aceleração

at=0 ⇒ v=const ; α=0

A aceleração tangencial pode ser zero em um movimento circular:

ar=−v2

r

Já a aceleração radial é necessária para o corpo fazer o movimento circular, alterando a direção do seu movimento a cada instante.

ar

r

ar

v

Δ v

Δ vΔ v

ar

v

ar

v

arv

arv ar

v

ar

v

ar

v

0

v2

Energia Cinética de Rotação

Duas massas são fixadas nas extremidades de uma haste rígida, de massa desprezível, giram em torno de um ponto fixo.

0

K=K1+K2

v1

A energia cinética do sistema:

r1

r2m1

m2

ω

K=12m1 v1

2+12m2 v2

2

K=12m1r1

2ω2+12m2r2

2ω2

K=12(m1r1

2+m2r22)ω2

v1=r1ω v2=r2 ω

I=m1r12+m2r2

2

Energia Cinética de Rotação

Energia Cinética de Rotação

I=∑mi ri2

K R=12

I ω2 K T=12

M v2

Inércia de Rotação para corpos puntiformes:

[ I ]=[m][r2]=kg⋅m2

Se comparado a Energia Cinética de Translação:

Unidade:

Exemplo

Uma esfera pequena, de 250g, é presa a uma haste de massa despresível, inicialmente a a 1,00m de uma extremidade que está fixada a um eixo giratório.

(a) determine a inércia de rotação deste sistema e a sua energia cinática, quando este girar a 10rps.

I=∑mi ri2=0,250⋅1,002 ⇒ I=0,250 kgm2

ω=10⋅2π=62,8 rad / s

K R=12

I ω2=12⋅0,250⋅62,82 ⇒ K R=493 J

Exemplo

(a) se a massa for movida para a 1,30m de distância do eixo de rotação, calcule novamente sua inércia de rotação e energia cinética.

I=∑mi ri2=0,250⋅1,302 ⇒ I=0,423 kgm2

K R=12

I ω2=12⋅0,423⋅62,82 ⇒ K R=833 J

(1,30−1,00)m1,00m

=30%(833−493)J

493 J=69%

Observe que um aumento de 30% na distância entre a massa e o eixo de rotação gerou um aumento de 69% na energia cinética de rotação do sistema, a mesma velocidade angular.