CINEMÁTICA VETORIAL

Movimento Circular Uniforme (MCU)

Prof. Roberto Lúcio

Dizemos que uma partícula está em movimento circular quando sua trajetória é

uma circunferência. Se, além disso, o valor da velocidade permanecer constante, o

movimento é denominado circular uniforme. Então, neste movimento, o vetor

velocidade tem módulo constante, mas a direção deste vetor varia continuamente.

.

O tempo que a partícula gasta para efetuar uma volta completa é denominada

período do movimento e é representado por T. O espaço percorrido pela partícula,

durante um período, é o comprimento da circunferência que, vale 2R ( R é o raio

da trajetória). Como o movimento é uniforme, o valor da velocidade será dado por:

V =

A frequencia do movimento circular é, por definição, o quociente entre o número de

voltas e o tempo gasto para efetuá-las. A unidade de frequência,1 volta/seg., é

denominada 1 hertz, em homenagem ao cientista alemão H.Hertz ( 1857 – 1894).

Portanto:

A frequência e o período de um movimento estão relacionados. Para relacionar f e

T, basta perceber que essas grandezas são inversamente proporcionais e, assim

podemos estabelecer a seguinte proporção:

No tempo T (um período) é efetuada uma volta

Na unidade de tempo serão efetuadas f voltas ( frequência)

Ou, esquematicamente

Portanto, a frequência é igual ao inverso do período e reciprocamente.

f =

T 1

1 f Então: f.T = 1 ou f = 1/T

Velocidade Angular

A relação entre o ângulo descrito por uma partícula e o intervalo de tempo gasto

para descrevê-lo é denominado velocidade angular da partícula.Representando a

velocidade angular por temos

= /t

A velocidade definida pela relação V = d/t, que já conhecemos, costuma ser

denominada velocidade linear, para distingui-la da velocidade angular que

acabamos de definir. Observe que as definições de V e são semelhantes: a

velocidade linear se refere à distância percorrida na unidade de tempo, enquanto a

velocidade angular se refere ao ângulo descrito na unidade de tempo.

Lembrando que os ângulos podem ser medidos em graus ou em radianos,

concluímos que poderá ser medida em grau/s ou em rad/s.

Uma maneira de calcular a velocidade angular é considerar uma partícula efetuando

uma volta completa. Neste caso, o ângulo descrito será =2rad e o intervalo de

tempo será um período, Istoé, t = T. Logo,

= 2/T

Relação entre V e - Sabemos que, no movimento circular uniforme, a

velocidade linear pode ser obtida pela relação

Como 2/T é a velocidade angular, concluímos que

V = ω . R

Esta equação nos permite calcular a velocidade linear V, quando conhecemos a

velocidade angular e o raio R da trajetória. Observe que ela só é válida se os

ângulos estiverem medidos em radianos.

Aceleração centrípeta – No movimento circular uniforme, o módulo da velocidade

da válvula permanece constante e, então, a partícula não possui uma aceleração

tangencial. Entretanto, como a direção do vetor velocidade varia continuamente, a

partícula possui uma aceleração centrípeta Na figura abaixo estão

representados os vetores e em quatro posições diferentes. Observe que o

vetor é perpendicular ao vetor velocidade.

Podemos deduzir, matematicamente, que o valor da aceleração centrípeta no

movimento circular é dado por:

Exercícios Básicos

Exercício 1

A cadeira de uma roda gigante, que realiza um MCU, completa um quarto de volta

em 15 s.

Determine o período e a frequência de rotação da cadeira.

Exercício 2

O eixo de um motor gira com frequência de 20 Hz. Qual é a frequência de rotação

do eixo do motor em rpm (rotações por minuto)?

Exercício 3

Uma partícula descreve um MCU de raio 2 m e com frequência 2 Hz. Adote π = 3.

Determine:

a) o período do movimento;

b) a velocidade angular;

c) o módulo da aceleração escalar;

d) o módulo da aceleração centrípeta.

Exercício 4

Duas partículas, A e B, realizam MCU de mesmo raio e com períodos TA=1s e TB=3

s, respectivamente. As partículas partem de um mesmo ponto C da trajetória

circular e no mesmo sentido.

a) Qual o intervalo de tempo decorrido desde a partida até se encontrarem pela

primeira vez no ponto C?

b) Qual o intervalo de tempo decorrido desde a partida até o instante em que uma

partícula se encontra uma volta na frente da outra?

c) Refaça o item b) e considere que as partículas partiram do ponto C em sentidos

opostos.

Resolução dos Exercícios Básicos

Exercício 1

T = 4 . 15 s = 60 s

f = 1/T => f = 1/60 Hz

Exercício 2

A frequência é de 20 Hz, isto é, o eixo realiza 20 rotações em 1 segundo. Logo, em

1 minuto, ou seja, em 60 segundos realizará: 20 x 60 rotações = 1200 rotações.

Exercício 3

a)

T = 1/f = 1/2 => T = 0,5 s

b)

ω = 2 . π . f => ω = 2 . 3 . 2 => ω = 12 rad/s

c)

Sendo o movimento uniforme, resulta: α = 0

d) v = ω . R => v = 12 . 2 => v = 24 m/s

acp = v2/R => acp = 242/2 => acp = 288 m/s2

Exercício 4

a)

A partícula A volta ao ponto de partida C após 1 s, 2 s, 3 s, 4 s, etc. Já a partícula B

volta ao ponto C após 3 s, 6 s, 9s, 12 s, etc. Então, vão se encontrar novamente no

ponto C, pela primeira vez, no instante t = 3 s.

b)

2 . π . R = vA . t - vB . t = t . [(2 . π . R)/TA - (2 . π . R/TB)]

1 = t . (1/TA - 1/TB) => 1 = t . (1/1 - 1/3) => t = 1,5 s

c)

2 . π . R = vA . t + vB . t = t . [(2 . π . R)/TA + (2 . π . R/TB)]

1 = t . (1/TA + 1/TB) => 1 = t . (1/1 + 1/3) => t = 0,75 s

TRANSMISSÃO DE MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME O Movimento circular uniforme pode ser transmitido de um corpo a outro através

de roldanas, polias e eixos. Para esses casos, temos duas situações: transmissão

pelo centro e transmissão pela periferia.

A transmissão pelo centro ocorre quando dois ou mais corpos circulares possuem

uma união pelo seu eixo. Neste caso, a velocidade angular, a frequência e o período

são iguais para todos os movimentos.

A transmissão pela periferia ocorre quando dois ou mais corpos circulares possuem

uma união pela sua parte externa través de polias ou roldanas ou através de

contato direto, como é o caso das engrenagens. Neste caso, a velocidade linear é

igual para todos os movimentos.

Exercícios Básicos

Exercício 1

Duas polias, 1 e 2, são ligadas por uma correia. A polia 1 possui raio R1 , gira com velocidade angular ω1, frequência f1 e período T1. A polia 2 possui raio R2, gira com

velocidade angular ω2, frequência f2 e período T2. Não há escorregamento da

correia sobre as polias. Sejam v1 e v2 as velocidades lineares dos pontos P1 e P2.

R1

R2 1 2

21

11

21

TT

ff

2211

2211

21

..

..

RfRf

RR

vv

R1

R2 v1

v2

Assinale a proposição correta:

I) v1 = v2

II) v1R1 = v2R2

III) ω1 = ω2

IV) ω1R1 = ω2R2

V) f1R1 = f2R2

VI) T1R1 = T2R2

Exercício 2

Duas polias, 1 e 2, giram ligadas ao eixo de um motor. A polia 1 possui raio R1, gira

com velocidade angular ω1, frequência f1 e período T1. A polia 2 possui raio R2, gira

com velocidade angular ω2, frequência f2 e período T2. Sejam v1 e v2 as

velocidades lineares dos pontos P1 e P2.

Assinale a proposição correta:

I) v1 = v2

II) v1R1 = v2R2

III) ω1 = ω2

IV) ω1R1 = ω2R2

V) f1R1 = f2R2

VI) T1R1 = T2R2

Exercício 3

Três engrenagens giram vinculadas conforme a figura. A engrenagem A gira no

sentido horário com velocidade angular 30 rad/s. As polias C, B e A possuem raios

R, 2R e 3R, respectivamente. Determine as velocidades angulares de B e C e seus

sentidos de rotação.

Exercício 4

Uma polia gira em torno de um eixo que passa pelo centro O. Os pontos A e B da

polia possuem velocidades lineares, respectivamente, iguais a 18 cm/s e 3 cm/s.

Determine a velocidade angular da polia. A distância entre A e B é igual a 5 cm.

Resolução dos Exercícios Básicos

Exercício 1

Como não há escorregamento da correia sobre as polias, concluímos que v1 = v2.

Sendo

v1 = ω1.R1 e v2 = ω2.R2

ω1.R1 = ω2.R2

Sendo

ω1 = 2π.f1 e ω2 = 2π.f2

Vem:

f1.R1 = f2.R2

Corretas: I); IV) e V)

Exercício 2

As polias giram com a mesma velocidade angular e portanto com a mesma

frequência. Logo, apenas II) é correta.

Exercício 3

ωA.3R = ωB.2R => 30.3 = ωB.2

ωB = 45 Hz (sentido anti-horário)

ωA.3R = ωC.R => 30.3 = ωC

ωC = 90 Hz (sentido horário)

Exercício 4

vA = ω.RA (1)

vB = ω.RB (2)

(1) - (2):