MOVIMENTO EM DUAS E TRÊS DIMENSÕES
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MOVIMENTO EM DUAS E TRÊS DIMENSÕES
CAPÍTULO 4O que um jogador de beisebol faz para saber onde deve estar
para apanhar uma bola?
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Posição, velocidade e aceleração:
r
Vetores Posição e velocidade: O vetor posição de uma partícula P é um vetor desenhado da origem de um sistema de coordenadas até a posição da partícula:
( 3 ) (2 ) (5 )r m i m j m k
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Vetor deslocamento )( r
A variação da posição da partícula no decorrer do tempo é o vetor deslocamento )( r
2 1r r r
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2 (9 ) (2 ) (8 )r m i m j m k
Exemplo 1:1. O vetor posição de uma partícula é inicialmente , e depois passa a ser . Qual é o deslocamento da partícula.
1 ( 3 ) (2 ) (5 )r m i m j m k
r
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Exemplo 22. Um coelho atravessa umestacionamento, no qual, poralguma razão, um conjunto deeixos coordenados havia sidodesenhado. As coordenadas daposição do coelho em função dotempo t são dadas por
2
2
0,31 7,2 28
0,22 9,1 30
x t t
y t t
Com t em segundos e x e y em metros Em t=15s, qual é o vetor posição do coelho na notação de vetores unitários e na notação de módulo - ângulo?
( ) ( )r x t i y t j
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Velocidade média )( médv
O vetor velocidade média é a razão entre o deslocamento e o intervalo de tempo
12 ttt
t
rvméd
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Velocidade instantânea )(v
Define-se o vetor velocidade instantânea como o limite do vetor deslocamento quando )0( t
dt
rd
t
rv
t
0lim
jvivjdt
dyi
dt
dxv
ou
jt
yi
t
x
t
jyix
t
rv
yx
tttt
ˆˆˆˆ
ˆlimˆlimˆˆ
limlim0000
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Exemplo77. Para o coelho do exemploanterior encontre avelocidade vetorial no tempot = 15s, na notação de vetoresunitários e na notação demódulo – ângulo.
x yv v i v j
x y
dx dyv v
dt dt
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Aceleração média ( )méda
O vetor aceleração média é a razão entre a variação da velocidade e o intervalo de tempo
12 ttt
méd
va
t
A aceleração instantânea é o limite desta razão quando
)0( t
0lim
t
v dva
t dt
kajaiakdt
dvj
dt
dvi
dt
dva zyx
zyx ˆˆˆˆˆ
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8. Para o coelho doexemplo anterior encontrea aceleração vetorial notempo t = 15s, na notaçãode vetores unitários e nanotação de módulo –ângulo.
x ya a i a j
yxx y
dvdva a
dt dt
Exemplo8
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Exemplo 9:
9. A posição de uma bola de beisebol é dada por 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ1,5 (12 / 16 / ) 4,9 / .r mi m si m sj t m s jt
Obtenha sua velocidade e sua aceleração.
2 2ˆ ˆ ˆRe .: (12 / ) [16 / (9,8 / ) ] ; ( 9,8 / )sp v m s i m s m s t j a m s j
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Movimento de Projéteis:O movimento de um projétil é a combinação de dois movimento:
movimento uniforme (MU) na horizontal e movimentouniformemente variado (MUV) na vertical.As Equações utilizada para esta situação são as mesmas já utilizadas paraestes movimentos separadamente.
0 0
0 0
cos
sen
x
y
v v
v v
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A componente vertical da velocidade do skatista está variando, mas não a horizontal que é igual a do skate.
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Fotografia estroboscópica de uma bola de tênis amarela quicando em Uma superfície dura. Entre os impactos a trajetória da bola é balística.
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• O fato de uma bolaestar em se movendohorizontalmenteenquanto está caindonão interfere o seumovimento vertical, ouseja, os movimentoshorizontal e vertical sãoindependentes.
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Análise do movimento de um projétilMovimento Horizontal
0xa
tvxtx x00)( 0 0 cosxv v
0 0( cos )x x v t
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Na ausência da resistência do ar, a partícula fica sujeita apenas à
aceleração de queda livre, verticalmente, para baixo.
gay
A componente y da velocidade varia com o tempo devido a aceleração,logo:
0yv v sen gt
O deslocamento y será dado por:
2
0 0
1( )
2yy t y v t gt
Movimento vertical
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Alcance horizontal (R): É a distância total na horizontal percorrida por um projétil. Se as elevações inicial e final forem iguais, pode-se obter o alcance pela expressão:
22
0 seng
vR
•O alcance será máximo quando θ=450;•Na altura máxima Vy=0•Vx é constante em todo o movimento
Animação
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10. Na figura um avião desalvamento voa a198km/h, a uma alturade 500m, rumo a umponto diretamenteacima da vítima de umnaufrágio, para deixarcair uma balsa.
a) Qual deve ser o ângulo da linha de visada do piloto para a vítimano instante em que o piloto deixa cair a balsa?
b) No momento em que a balsa atinge a água qual a sua velocidade?
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11. A fig. Mostra um naviopirata a 560m de umforte que protege aentrada de um porto.Um canhão de defesa,situado ao nível domar, dispara balas comuma velocidade de82m/s.
a) Com que ângulo em relação a horizontal as balas devem serdisparadas para acertar o navio?
b) Qual é o alcance máximo das balas de canhão?
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12. Com que velocidadeinicial o jogador dbasquete da Fig. Devearremessar a bola, comum ângulo de 550
acima da horizontal,para converter o lancelivre? As distanciashorizontais são d1 =1,0 ft e d2 = 14 ft e asalturas são h1 = 7 ft eh2 = 10 ft.
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13. Um helicóptero descarrega um pacote de suprimentos para as vítimas de uma inundação que estão sobre uma balsa em uma área alagada. Quando o pacote é lançado, o helicóptero está 100m acima da balsa e voando a 25m/s para cima com um ângulo
em relação a horizontal. (a) Durante quanto tempo o pacote permanece no ar? (b) A que distância da balsa cai o pacote? (c) Se o helicóptero voa com velocidade constante, onde ele estará
quando o pacote atingir a água?
09,36
2
002
1)( gttvyty y
0 0( cos )xx v t v t
0 0( ) yy t y v t
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Movimento Circular UniformeÉ o movimento circular com velocidade constante. A aceleração centrípeta pode ser calculada pela relação:
r
vaa c
2
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Para uma volta completa: , em que T é o período.
Se a velocidade for variável, aparece a aceleração tangencial a trajetória, dada por:
Trv 2
dt
dvat
Animação
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Exemplo 14:
14. Um menino gira uma bola, amarrada a uma corda, em um circulohorizontal com raio de 0,8m. A quantas voltas por minuto a bola ficarásujeita se o módulo de sua aceleração centrípeta for g (o módulo daaceleração da gravidade)?
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Exemplo 15:
Um Menino faz uma pedra girar descrevendo uma
circunferência horizontal de raio 1,5m e 2m acima do chão. A
corda se parte e a pedra é arremessada horizontalmente,
chegando ao solo depois de percorrer uma distância
horizontal de 10m. Qual era o módulo da aceleração
centrípeta da pedra durante o movimento circular?
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Exemplo 16:16. Na figura, qual é a rapidez inicial mínima que o dardo deve ter
para atingir o macaco antes que este chegue ao chão, que está a 11,2
m abaixo da posição inicial do macaco, se x = 50 m e h = 10 m?
(ignore a resistência do ar)