Movimento Movimento Harmônico SimplesHarmônico Simples

(M.H.S.)(M.H.S.)

Movimento Harmônico SimplesMovimento Harmônico Simples

Conceito:Conceito:

É um movimento de oscilação entre 2 É um movimento de oscilação entre 2 pontos extremos.pontos extremos.

Pode ser obtido na oscilação de um Pode ser obtido na oscilação de um corpo preso e uma mola perfeita em uma corpo preso e uma mola perfeita em uma superfície sem atrito, ou ainda através da superfície sem atrito, ou ainda através da analise da sombra de um pêndulo ou de analise da sombra de um pêndulo ou de um corpo em M.C.U.um corpo em M.C.U.

Movimento Harmônico SimplesMovimento Harmônico Simples

O +A-A

Movimento Harmônico SimplesMovimento Harmônico Simples

Características:Características:

O O → Origem.→ Origem.

X → Afastamento em relação a origem.X → Afastamento em relação a origem.

+A e –A → Amplitude(pontos com +A e –A → Amplitude(pontos com afastamento máximo).afastamento máximo).

V → Velocidade do corpo em M.H.S.V → Velocidade do corpo em M.H.S.

a → Aceleração do corpo em M.H.S.a → Aceleração do corpo em M.H.S.

Movimento Harmônico SimplesMovimento Harmônico Simples

Outras grandezas envolvidas:Outras grandezas envolvidas:

f f → freqüência do movimento: número de → freqüência do movimento: número de oscilação em um certo intervalo de tempo.oscilação em um certo intervalo de tempo.

Nº de oscilações

Δtf =

Movimento Harmônico SimplesMovimento Harmônico Simples

Outras grandezas envolvidas:Outras grandezas envolvidas:

TT→ Período do movimento: tempo → Período do movimento: tempo necessário para uma oscilação necessário para uma oscilação completa.completa.

Nº de oscilações

ΔtT =

Movimento Harmônico SimplesMovimento Harmônico Simples

Relação entre T e f:Relação entre T e f:

F = 1

T f

1T = ou

Movimento Harmônico SimplesMovimento Harmônico Simples

Equação do M.H.S.Equação do M.H.S.

EspaçoEspaço

xRCosθ =

X = R . Cosθ

X = A . Cosθ

Movimento Harmônico SimplesMovimento Harmônico Simples

Equação do M.H.S.Equação do M.H.S.VelocidadeVelocidade

Senθ =

V . Senθ = -Vx

Vx = - V . SenθVx = - ω . R . Senθ ↓Vx = - ω . A . Senθ

-VX

V

Movimento Harmônico SimplesMovimento Harmônico Simples

Equação do M.H.S.Equação do M.H.S. AceleraçãoAceleração

Cosθ =

a. Cosθ = - ax

ax = -a . Cosθ

ax = - w² . R . Cosθ

↓

ax = - w² . A . Cosθ

-ax

a

Movimento Harmônico SimplesMovimento Harmônico Simples Equação do M.H.S.Equação do M.H.S.

Resumo:Resumo:

X = A . CosX = A . Cosθθ

VVx x = - W. A . Sen= - W. A . Senθθ

aaxx = - W = - W² . A . Cos² . A . Cosθθ

Mas quanto vale Mas quanto vale θθ??

Movimento Harmônico SimplesMovimento Harmônico Simples Equação do M.H.S.Equação do M.H.S.

Valor de Valor de θθ::

W =Δθ

Δt

W=θ - θ0

t - t0

W . t = θ – θ0

θ0 + W. t = θ

θ = θ0 + w . t

Movimento Harmônico SimplesMovimento Harmônico Simples Equação do M.H.S.Equação do M.H.S.

Onde:Onde:

θθ →→ Fase atual.Fase atual.

θθ00 →→ Fase inicial.Fase inicial.

w w →→ Velocidade angular ou pulsação.Velocidade angular ou pulsação.

t t →→ Instante.Instante.

Movimento Harmônico SimplesMovimento Harmônico Simples Equação do M.H.S.Equação do M.H.S.

Conclusão:Conclusão:

X = A . Cos (X = A . Cos (θθ0 0 + w . t)+ w . t)

VVxx = - w . A . Sen ( = - w . A . Sen (θθ0 0 + w . t)+ w . t)

aaxx = - w = - w² . A . Cos ² . A . Cos ((θθ0 0 + w . t)+ w . t)

OBS: aOBS: aXX = - w² . x = - w² . x

Movimento Harmônico SimplesMovimento Harmônico Simples Equação do M.H.S.Equação do M.H.S.

Comentários:Comentários:

Nos pontos extremos x = Nos pontos extremos x = ± A± A

• Elongação máximaElongação máxima → → |x| = A|x| = A

• Velocidade nula Velocidade nula → v→ vxx = 0 = 0

• Aceleração máxima → Aceleração máxima → |a|axx | = w² . A | = w² . A

Movimento Harmônico SimplesMovimento Harmônico Simples Equação do M.H.S.Equação do M.H.S.

Comentários:Comentários:

Na posição de equilíbrio (0):Na posição de equilíbrio (0):

• Elongação Elongação nulanula → → x = 0x = 0

• Velocidade Velocidade máximamáxima → → ||vvxx|| = w . A = w . A

• Aceleração Aceleração nulanula → → aaxx = 0 = 0

Movimento Harmônico SimplesMovimento Harmônico Simples Equação do M.H.S.Equação do M.H.S.

Comentários:Comentários: ConclusãoConclusão

-A +A 0

x

Vx

ax

Xmin = - A X = 0 Xmáx = +A

Vx = 0 Vmáx = w . A

Vmin = - w . A Vx = 0

axmáx = + w².A ax = 0 axmin = - w²A

Movimento Harmônico SimplesMovimento Harmônico Simples Equação do M.H.SEquação do M.H.S

Energia no M.H.S.Energia no M.H.S.

EEcc→ → Energia Cinética → EEnergia Cinética → Ecc = =

EEpp → → Energia Potencial → EEnergia Potencial → Ep p ==

EEmm → → Energia mecânica → EEnergia mecânica → Emm = E = Ecc +E +Epp

mv²

2

K.x²

2

Movimento Harmônico SimplesMovimento Harmônico Simples Equação do M.H.SEquação do M.H.S

Energia no M.H.S.Energia no M.H.S.

X= - AX= - A X = 0 X = 0 X = + AX = + A

EEcc 00mvmv²²

2200

EEpp

k. Ak. A²²

2200

k. Ak. A²²

22

EEmm

k. Ak. A²²

22k. Ak. A² ² mvmv² ² 2 2 2 2

k. Ak. A²²

22=

Movimento Harmônico SimplesMovimento Harmônico Simples Equação do M.H.SEquação do M.H.S

E

X-A +A

EEcc

EEpp

EEmm