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Compreenso de Estrutura Lgica

Na lgica, uma estrutura (ou estrutura de interpre-tao) um objeto que d significado semnti-co ou interpretao aos smbolos definidos pela assinatura de uma linguagem. Uma estrutura possui diferentes configuraes, seja em lgicas de primeira ordem, seja em linguagens lgicas superior.

Compreender poli-sortidas ou de ordem estrutu-ras lgicas , antes de tudo, compreender o que so proposies. Chama-se proposio toda sen-tena declarativa qual podemos atribuir um dos valores lgicos: verdadeiro ou falso, nunca am-bos. Trata-se, portanto, de uma sentena fecha-da.

Exemplos:

p: 2 um n primo. (V)

q: 2 + 3 >( 2+3 ) .(F).

r: Foi publicado o Edital do TRE/MG 2008. (V)

s: (x)(x R)(x + 3 = 9 ) (F)

t: (3x)(x R)(x + 3 = 9) (V)

Ateno: Sentenas exclamativas, interrogativas e imperativas no podem ser classificadas como proposies. Cuidado com as sentenas afirmati-vas, pois elas podem ou no serem proposies, vejamos:

1- Ele foi o 1 colocado no Concurso da Receita Federal do Brasil em 2006.

2- Demer foi o 1 colocado no Concurso da Recei-ta Federal do Brasil 2006.

Ambas so sentenas afirmativas, porm somen-te a 2 tem sentido completo. O pronome Ele, na frase 1, provoca uma indeterminao. Concluso: somente a frase 2 classificada como proposi-o.

Agora que j sabemos o que uma proposio, introduziremos a noo de conectivos lgicos a fim de unirmos duas ou mais proposies simples formando-se, assim, proposies compostas.

Lgica de Argumentao

Sistema lgico no qual se utilizam uma sequncia de proposies (afirmaes) que, combinadas, justificam uma concluso final.

A concluso tambm uma proposio (afirma-o) obtida pelo processo de argumentao utili-zado, sendo seu valor lgico (verdadeiro ou falso)

baseado nos argumentos que o estruturam. Desta forma, argumentos so inicialmente estruturados.

Inferncia

Ato de obter uma concluso a partir de um con-junto de premissas iniciais. H dois casos especi-ais de inferncia: deduo e induo.

Deduo

Trata-se de um tipo de sistema, na qual toda a informao contida na concluso j estava conti-da nas premissas (explcita ou implicitamente)

Preposio A: Todos os pssaros tm bico.

Preposio B: Achamos uma nova espcie de

pssaros

Concluso: Logo, a nova espcie de pssaro

possui bico.

Neste caso, a concluso abrange informaes que j estavam na preposio A e B, desconside-rando informaes adicionais.

Induo

Trata-se de um tipo de sistema na qual as pre-missas fornecem indcios suficientes para permitir estimar uma determinada concluso. Diferente da deduo, a resposta no obtida absolutamente, mas busca-se a melhor probabilidade de respos-ta, que pode ser posteriormente anulada sob no-vos indcios.

Por exemplo:

At hoje, todos os pssaros vistos possuem bi-cos;

Logo, provavelmente um novo pssaro deve ter um bico.

Analogia

Relao de semelhana (comparao) estabele-cida entre diferentes conjuntos de argumentos que obedecem a uma mesma estrutura lgica (isto , organizao dos argumentos).

Por exemplo: A luz est para o dia como a escu-rido est para a noite uma analogia no qual se estabelece que para uma fase do dia h um nvel de intensidade luminosa utilizada. Ento pode-se estabelecer uma nova fase (p.ex.tarde) e um nvel de luminosidade (meia-luz) para estabele-cer uma frase que permita fazer analogia com antiga frase a meia-luz est para tarde.

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Uma analogia pode no ser verdadeira (isto dependente dos argumentos preposies que os geram). Por exemplo:

A luz est para noite como a escurido est para o dia

Outro problema da analogia que a estrutura lgica utilizada pode no ser a mesma para os argumentos utilizados, ainda que, a primeira vista, paream que sim.

Lgica Proposicional

Proposies

As proposies so determinadas por sentenas declarativas, pertencentes a uma certa lingua-gem, que formam um conjunto de palavras ou smbolos e expressam uma ideia. As sentenas declarativas so afirmaes que podem receber apenas dois valores, Verdadeiro ou Falso. As proposies devem seguir os seguintes princ-pios:

1. Princpio da identidade: garante que uma

proposio igual a ela mesma.

2. Princpio da no-contradio: uma pro-posio no pode ser verdadeira e falsa.

3. Princpio do terceiro excludo: uma pro-posio verdadeira ou falsa.

Exemplos:

O cachorro um animal. - Verdadeiro

2 + 2 = 7 - Falso

Qualquer sentena que no puder receber a atri-buio de verdadeira ou falsa no uma proposi-o. Sentenas interrogativas, exclamativas e imperativas no so proposies, pois no pos-svel dizer se so verdadeiras ou falsas.

Exemplos de sentenas que no so proposi-es:

Como foi a aula?

O pior atentado nos EUA ocorreu em se-tembro de 2011?

Limpe a cozinha.

Que local de trabalho horroroso!

Esta sentena no verdadeira.

Proposies compostas

Proposio composta a unio de proposies simples por meio de um conector lgico. Este conector ir ser decisivo para o valor lgico da expresso.

Precedncia de operadores

Em expresses que utilizam vrios operadores no possvel saber qual proposio deve-se resolver primeiro.

Exemplo: P Q V R.

Com isso, usar parnteses fundamental. A ex-presso do exemplo poderia ficar assim: (P Q) V R ou P (Q V R).

A ordem da precedncia de operadores :

1. (),, {}

2.

3. V, , V

4.

5.

Tabela Verdade

A tabela verdade construda para determinar o valor lgico de uma proposio composta. Segue uma excelente estratgia para a construo da mesma.

Exemplo de construo da tabela verdade da proposio composta: p q

Primeiramente verifica-se quantas variveis, ou proposies simples que temos na proposio composta do exerccio. Neste caso existem du-as: p e q.

Em seguida elevamos 2 ao nmero de variveis, ou seja, 2. Nossa base do expoente 2 pelo fato de possuir-se apenas 2 valores lgicos possveis nas proposies (Verdadeiro ou Falso). O resul-tado de 2 4. Ento nossa tabela ter 4 linhas, nessas linhas estaro todos os valores lgicos possveis da nossa proposio composta.

p q p q

- - -

- - -

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- - -

- - -

Esta a estrutura da tabela, agora para a preen-cher com os devidos valores lgicos utiliza-se a seguinte tcnica: at a metade da primeira coluna coloca-se Verdadeiro, na outra metade Falso. J na segunda coluna, intercala-se V e F. Desta forma adquira-se a seguinte tabela:

p q p q

V V Resultado

V F Resultado

F V Resultado

F F Resultado

Esta uma das melhores estratgias para a mon-tagem de uma tabela verdade.

Conectivos Lgicos

Proposies podem ser ligadas entre si por meio de conectivos lgicos. Conectores que criam no-vas sentenas mudando ou no seu valor lgico (Verdadeiro ou Falso). Exemplos dos principais conectores lgicos:

ou ~ (negao);

(conectivo e);

V (conectivo ou);

(conectivo se, ento);

(conectivo se, e somente se);

V (conectivo ou exclusivo);

(conectivo negao conjunta);

(conectivo negao disjunta).

Exemplos de sentenas formadas com conecto-res e proposies:

(2 + 2 = 4) V (1 < 4) - Valor lgico da sentena: Verdadeiro V (ou) Verdadeiro = Verdadeiro

Cachorro um felino (1 > 0) - Valor lgico da sentena: Falso (e) Verdadeiro = Falso

Conector de Negao

O conectivo de negao (~), nega o valor lgico de uma proposio. Considera-se p como uma proposio de valor lgico igual a verdadeiro, ento sua negao igual a falso. O mesmo seria se a proposio tivesse valor lgico inicial igual a falso, sua negao seria igual a verdadeiro. De acordo com esses conceitos podemos montar a seguinte tabela verdade:

p ~p

V F

F V

Exemplo:

Considere p com o valor da seguinte proposio: 2 um nmero par. p = Verdadeiro, portanto sua negao: ~p = Falso.

Conector e ()

O conectivo e, tambm conhecido como AND e representado pelo smbolo ^ junta proposies as quais somente resultaro em Verdadeiro se todos os valores forem Verdadeiros.

Exemplo: Considere as proposi-es p e q (Conjuno).

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F F

Observao: Veja que nesta tabela consideramos todos os valores lgicos possveis para p e q, em outras palavras: temos 2 proposies e estamos em uma base binria (0 ou 1, verdadeiro ou falso) ento para se saber o nmero das possibilidades

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para essas proposies realiza-se o seguinte clculo 2

n, onde n o nmero de proposies.

Conector ou (V)

O conectivo ou, tambm conhecido como OR e representado pelo smbolo V une proposies que, apenas uma sendo Verdadeiro suficiente que a expresso inteira tambm seja.

Exemplo:

Considere as proposies p e q (Disjuno).

p q p V q

V V V

V F V

F V V

F F F

Conector condicional ()

O conectivo condicional, tambm conhecido como implica e representado pelo smbolo une proposies criando uma estrutura condicio-nal onde apenas uma das possibilidades resulta em F o valor lgico da expresso.

Exemplo:

Considere as proposies p e q (Condio). Se p ento q

p q p q

V V V

V F F

F V V

F F V

Conector bi-condicional ()

O conectivo bi-condicional, lido como se, e somente se e representado pelo smbolo , ele une proposies onde o resultado lgico da

expresso verdadeiro apenas se os valores lgicos forem iguais.

Exemplo:

Considere as proposies p e q (Bi-condicional). Se p, e somente se q

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F V

Ou exclusivo (V)

O conectivo ou exclusivo, chamado tambm de disjuno exclusiva, representado pelo smbolo V. Podemos dizer que ele significa: um ou outro, mas no ambos. Exemplo: Ou o gato macho ou o gato fmea, mas no ambos. A tabela verda-de do ou exclusivo esta representada abaixo.

p q p V q

V V F

V F V

F V V

F F F

Negao Conjunta e Negao Disjunta

A negao conjunta representada pelo conector , significa a negao de duas proposies envol-vendo o conector AND (NAND).

Exemplo: p q (p q) p v q.

A negao disjunta representada pelo conector , significa a negao de duas proposies envol-vendo o conector OR (NOR).

Exemplo: p q (p v q) p q.

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Abaixo esto representadas as tabelas verdades das duas negaes.

Tabela Verdade equivalente ao circui-to NAND

p q p q

V V F

V F V

F V V

F F V

Tabela Verdade equivalente ao circui-to NOR

p q p q

V V F

V F F

F V F

F F V

Tautologia, Contradio e Contingncia

Ao montarmos uma tabela verdade contendo todos os valores lgicos possveis de uma ex-presso a poderamos classificar em tautologia, contradio e contingncia.

Tautologia: uma proposio cujo resulta-do final sempre verdadeiro.

Exemplo:

p v ~p (p OU no p)

p ~p p V ~p

V F V

F V V

Veja que independente do valor de p a expresso sempre resulta em Verdadeiro, pois para o conec-tor OU possuir um verdadeiro j suficiente para resultar em Verdadeiro, alm disso sempre tere-mos V em todas as combinaes da expresso. Por isso a classificamos como uma tautologia.

Vejamos outro exemplo:

F p (F ento p)

Valor lgico constante p F p

F F V

F V V

Neste outro caso tambm se obteve uma tautolo-gia, devido ao fato da ltima coluna da tabela (resultado da expresso) ter somente Verdadeiro.

Contradio: uma proposio que resulta somente em falso, em outras palavras, a ltima coluna da sua tabela s possui o valor lgico fal-so.

Exemplo:

p ^ ~p

p ~p p ^ ~p

V F F

F V F

Contingncia: determinamos uma proposi-o de contingente quando ela no tautolgica nem contraditria, ou seja, ela indeterminada.

Exemplo:

p V q (p OU q)

p q p V q

V V V

V F V

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F V V

F F F

Percebe-se que a ltima coluna no possui ape-nas um valor lgico, por isso a determinamos uma proposio contingente, ou indeterminada.

Implicao lgica ou Inferncia

Sejam P e Q duas proposies. Diremos que P implica logicamente a proposio Q, se Q for verdadeiro sempre que P for verdadeiro. Quando isso ocorre, dizemos que temos uma implicao lgica ou inferncia e denotamos: P => Q (lemos: P implica Q).

Exemplo: P Q implica P V Q?

p q p q p V q

V V V V

V F F V

F V F V

F F F F

Neste exemplo podemos dizer que P Q => P V Q, pois onde P Q verdadeiro P V Q tambm .

Exemplo: P V Q implica P Q?

p q p V q p q

V V V V

V F V F

F V V V

F F F V

Neste exemplo no podemos dizer que P V Q => P Q, pois temos na segunda linha que onde P V Q verdadeiro P Q falso.

Equivalncia Lgica

Diremos que P equivalente a Q, se as duas tabelas verdade foram idnticas. Quando isso ocorre, dizemos que temos uma equivalncia lgica ou bi-implicao e denotamos P Q (le-mos: P equivalente a Q).

Exemplo: (P Q) equivalente a (P V Q)?

P Q P Q P Q (P Q) P V Q

V V F F V F F

V F F V F V V

F V V F F V V

F F V V F V V

Neste exemplo podemos dizermos que (P Q) (P V Q), pois o resultado da tabela verdade das duas expresses o mesmo.

Exemplo: P Q equivalente a Q P?

P Q P Q Q P

V V V V

V F F V

F V V F

F F V V

Neste exemplo no podemos dizer que P Q Q P, pois o resultado das tabelas verdades das expresses so diferentes, nas linhas 2 e 3.

Condies necessrias e suficientes

Temos uma condio suficiente se quando ela ocorrer temos a garantia de que a outra condio ocorrer. Por exemplo:

Se o cavalo corre ento ele est vivo.

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O cavalo correr condio suficiente para ele estar vivo,ou seja, se o cavalo corre podemos garantir que ele est vivo.

Por outro lado o cavalo estar vivo no garante que o cavalo corra, pois ele pode estar por exem-plo vivo mas descansando, a este tipo de condi-o d se o nome de condio necessria. Uma condio necessria quanto no podemos ga-rantir que a outra condio valida.

Esta relao entre condio suficiente e condio necessria encontrada quando utilizamos um conector condicional, ou seja, quando temos uma estrutura condicional. O primeiro argumento(que vem antes do ), chamado de antecedente uma condio suficiente. O segundo argumen-to,chamado de consequente uma condio necessria.

Entretanto em uma estrutura bi-condicional temos uma proposio necessria e suficiente,.

Proposies Associadas a uma Condicional

Pegamos uma condicional qualquer como p q, existem trs tipos de proposies associadas a ela que so:

Recproca: a proposio recproca de p q a proposio q p. Como podemos ver foi feito uma troca entre a antecedente (p) e a con-sequente (q) para obter-se a recproca cuja tabela esta abaixo:

p q p q q p

V V V V

V F F V

F V V F

F F V V

Exemplo: Se a Maria feia ento todos so fei-os.

A recproca seria: Se todos so feios ento Maria feia.

Contrria: a proposio contrria de p q a proposio ~p ~q.Basta negar a antece-dente(p) e a consequente(q) para obtermos a proposio contrria.

p q ~p ~q p q ~p ~q

V V F F V V

V F F V F V

F V V F V F

F F V V V V

Exemplo: Se a Maria feia ento todos so fei-os.

A contrria seria: Se Maria no feia ento to-dos no so feios.

Contra Positiva: a contra positiva da prepo-sio p q ~q ~p. Para encontramos a con-tra positiva basta juntar os passos da recproca e da contrria,ou seja, deve se inverter os lugares do antecedente e do consequente e negar am-bos. A proposio contra positiva tem o mesmo resultado que a proposio original.

p q ~p ~q p q ~q ~p

V V F F V V

V F F V F F

F V V F V V

F F V V V V

Exemplo: Se a Maria feia ento todos so fei-os. A contra positiva seria: Se todos no so feios ento Maria no feia.

Leis de Morgan

Conjunto de operaes para simplificar expres-ses lgicas criado pelo matemtico Augustus DeMorgan.

Quando trabalhamos com expresses lgicas muito grandes ou complexas, pode ser necess-rio substituir uma determinada expresso por uma logicamente equivalente (isto , cujos elementos possam ser reordenados de tal forma que pos-sam produzir o mesmo resultado lgico- VERDA-DEIRO ou FALSO).

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Concursos e provas utilizam este conceitos em dois tipos de questo: determinar se uma deter-minada sentena lgica (frase ou figura) igual a outra ou para reduzir uma determinada sentena lgica em uma forma mais simples.

Primeira lei de De Morgan

"a negao de uma conjuno entre duas pro-posies igual a disjuno da negao de cada proposio"

Ou logicamente:

"no (A e B) igual a (no A) ou (no B)".

Desta forma:

Prova:

Se a = V e b = F, ento:

No (a e b) = no (V e F) = no (F) = V

Comparando:

No (a) ou no (b) = no (V) ou no (F) = F ou V = V

Segunda lei de De Morgan

"a negao de uma disjuno entre duas pro-posies a conjuno da negao de cada proposio"

Ou ainda:

"no (A ou B) o mesmo que (no A) e (no B)".

Desta forma:

Prova:

Se a = V e b = F, ento:

No (a ou b) = no (V ou F) = no (V) = F

Comparando:

No (a) e no (b) = no (V) e no (F) = F e V = F

Lgica de Primeira Ordem

A lgica de primeira ordem (LPO), conhecida tambm como clculo de predicados de primeira ordem (CPPO)

1 , um sistema lgico que esten-

de a lgica proposicional (lgica sentencial) e que estendida pela lgica de segunda ordem.

As sentenas atmicas da lgica de primeira or-dem tm o formato P (t1,, tn) (um predicado com um ou mais "argumentos") ao invs de serem smbolos sentenciais sem estruturas.

O ingrediente novo da lgica de primeira ordem no encontrado na lgica proposicional a quantificao: dada uma sentena qualquer,

as novas construes e -- leia "pa-ra todo x, " e "para algum x, ", respectivamen-

teso introduzidas. significa que

verdadeiro para todo valor de x e significa que h pelo menos um x tal que verdadeiro. Os valores das variveis so tirados de um universo de discurso pr-determinado. Um refinamento da lgica de primeira ordem permite variveis de diferentes tipos, para tratar de dife-rentes classes de objetos.

A lgica de primeira ordem tem poder expressivo suficiente para formalizar praticamente toda a matemtica. Uma teoria de primeira or-dem consiste em um conjunto de axiomas (geralmente finito ourecursivamente enumervel) e de sentenas dedutveis a partir deles. A teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel um exemplo de uma teoria de primeira ordem, e aceita-se geralmente que toda amatemtica clssica possa ser formalizada nela. H outras teorias que so normalmente formali-zadas na lgica de primeira ordem de maneira independente(embora elas admitam a implemen-tao na teoria dos conjuntos) tais como a aritmtica de Peano.

Definindo a lgica de primeira ordem

Um clculo de predicados consiste em:

Regras de formao (definies recursivas para dar origem a frmulas bem-formadas ou fbfs).

Regras de transformao (regras de infe-rncia para derivar teoremas).

Axiomas.

Os axiomas considerados aqui so os axio-mas lgicos que fazem parte do clculo de predi-

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cados. Alm disso, os axiomas no-lgicos so adicionados em teorias de primeira ordem espec-ficas: estes no so considerados como verdades da lgica, mas como verdades da teoria particular sob considerao.

Quando o conjunto dos axiomas infinito, requer-se que haja um algoritmo que possa decidir para uma frmula bem-formada dada, se ela um axioma ou no. Deve tambm haver um algoritmo que possa decidir se uma aplicao dada de uma regra de inferncia est correta ou no.

importante notar que o clculo de predicados pode ser formalizado de muitas maneiras equiva-lentes; no h nada cannico sobre os axiomas e as regras de inferncia propostos aqui, mas toda a formalizao dar origem aos mesmos teore-mas da lgica (e deduzir os mesmos teoremas a partir de um conjunto qualquer de axiomas no-lgicos).

Alfabeto

O alfabeto de primeira ordem, , tem a seguinte constituio:

, onde

1. um conjunto enumervel de variveis;

2. um conjunto de smbolos chamados de cons-tantes;

3. um conjunto de smbolos ditos sinais funcionais;

4. um conjunto de smbolos ditos sinais relacionais ou predicativos;

5. o conjunto de smbolos ditos sinais lgicos;

6. o conjunto de smbo-los de pontuao.

As constantes, sinais funcionais e sinais predica-tivos constituem a coleo de sinais ditos smbo-los no lgicos.

H diversas variaes menores listadas abaixo:

O conjunto de smbolos primitivos (opera-dores e quantificadores) varia frequentemente. Alguns smbolos primitivos podem ser omitidos, substituindo-os com abreviaturas adequadas; por exemplo (P Q) uma abreviatura para (P Q)

(Q P). No sentido contrrio, possvel incluir outros operadores como smbolos primitivos, co-

mo as constantes de verdade para "verdadeiro" e o para "falso" (estes so operadores do aridade 0). O nmero mnimo dos smbolos primitivos necessrios um, mas se ns nos res-tringirmos aos operadores listados acima, seria

necessrio trs; por exemplo, o , o , e o bas-tariam.

Alguns livros mais velhos usam a notao para , ~ para , & para , e uma variedade de notaes para os quantifica-

dores; por exemplo, x pode ser escrito como (x).

A igualdade s vezes considerada como parte da lgica de primeira ordem; Neste caso, o smbolo da igualdade ser includo no alfabeto, e comportar-se- sintaticamente como um predica-do binrio. Assim a LPO ser chamada de lgica de primeira ordem com igualdade.

As constantes so na verdade funes de aridade 0, assim seria possvel e conveniente omitir constantes e usar as funes que tenham qualquer aridade. Mas comum usar o termo "funo" somente para funes de aridade 1.

Na definio acima, as relaes devem ter pelo menos aridade 1. possvel permitir rela-es de aridade 0; estas seriam consideradas variveis proposicionais.

H muitas convenes diferentes sobre onde pr parnteses; por exemplo, se pode es-

crever x ou (x). s vezes se usa dois pontos ou ponto final ao invs dos parnteses para criar frmulas no ambguas. Uma conveno interes-sante, mas incomum, a "notao polonesa", onde se omite todos os parnteses, e escreve-se

o , , e assim por diante na frente de seus ar-gumentos. A notao polonesa compacta e elegante, mas rara e de leitura complexa.

Uma observao tcnica que se houver um smbolo de funo de aridade 2 que represen-ta um par ordenado (ou smbolos de predicados de aridade 2 que representam as relaes de projeo de um par ordenado) ento se pode dispensar inteiramente as funes ou predicados de aridade > 2. Naturalmente o par ou as proje-es necessitam satisfazer aos axiomas naturais.

Os conjuntos das constantes, das funes, e das relaes compem a assinatura e so geralmente considerados para dar forma a uma linguagem, enquanto as variveis, os operadores lgicos, e os quantificadores so geralmente considerados para pertencer lgica. Uma estrutura d o signi-ficado semntico de cada smbolo da assinatura.

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Por exemplo, a linguagem da teoria dos grupos consiste de uma constante (elemento da identi-dade), de uma funo de aridade 1 (inverso), de uma funo de aridade 2 (produto), e de uma relao de aridade 2 (igualdade), que seria omiti-da pelos autores que incluem a igualdade na lgi-ca subjacente.

Regras de Formao

As regras de formao definem os termos, fr-mulas, e as variveis livres como segue. O con-junto dos termos definido recursivamente pelas seguintes regras:

1. Qualquer constante um termo (sem vari-veis livres).

2. Qualquer varivel um termo (cuja ni-ca varivel livre ela mesma).

3. Toda expresso f (t1,, tn) de n 1 argu-mentos (onde cada argumento ti um termo e f um smbolo de funo de aridade n) um termo. Suas variveis livres so as variveis livres de cada um dos termos ti.

4. Clusula de fechamento: Nada mais um

termo.

O conjunto das frmulas bem-formadas (chamadas geralmente FBFs ou apenas frmulas) definido recursivamente pelas seguin-tes regras:

1. Predicados simples e complexos: se P for uma relao de aridade n 1 e os ai so os termos ento P (a1,,an) bem formada. Suas variveis livres so as variveis livres de quais-quer termos ai. Se a igualdade for considerada parte da lgica, ento (a1 = a2) bem formada.

Tais frmulas so ditas atmicas.

2. Clusula indutiva I: Se for uma FBF, ento uma FBF. Suas variveis livres so as variveis livres de .

3. Clusula indutiva II: Se e so FBFs, ento ( ), ( ), ( ), ( ) so FBFs. Suas variveis livres so as variveis

livres de e de .

4. Clusula indutiva III: Se for u-ma FBF e x for um varivel, ento x e x so FBFs, cujas variveis livres so as variveis livres de com exceo de x. Ocorrncias de x so ditas ligadasou mudas (por oposio a

livre) em x e x.

5. Clusula de fechamento: Nada mais uma FBF.

Na prtica, se P for uma relao de aridade 2, ns escrevemos frequentemente "a P b" em vez de "P a b"; por exemplo, ns escrevemos 1 < 2 em vez de < (1 2). Similarmente se f for uma fun-o de aridade 2, ns escrevemos s vezes "a f b" em vez de "f (a b)"; por exemplo, ns escreve-mos 1 + 2 em vez de + (1 2). tambm comum omitir alguns parnteses se isto no conduzir ambigidade. s vezes til dizer que "P (x) vale para exatamente um x", o que costuma ser deno-

tado por !xP(x). Isto tambm pode ser expresso por x (P (x) y (P (y) (x = y))).

Exemplos: A linguagem dos grupos abelianos ordenados tem uma constante 0, uma funo unria , uma funo binria +, e uma relao binria . Assim:

0, x, y so termos atmicos

+ (x, y), + (x, + (y, (z))) so termos, escri-tos geralmente como x + y, x + (y + (z))

= (+ (x, y), 0), (+ (x, + (y, (z))), + (x, y)) so frmulas atmicas, escritas geralmente como x + y = 0, x + y - z x + y,

(x y (+ (x, y), z)) (x = (+ (x, y), 0)) uma frmula, escrita geralmente como

(x y (x + y z)) (x (x + y = 0)).

Princpio Fundamental da Contagem

O princpio fundamental da contagem nos diz que sempre devemos multiplicar os nmeros de op-es entre as escolhas que podemos fazer. Por exemplo, para montar um computador, temos 3 diferentes tipos de monitores, 4 tipos de teclados, 2 tipos de impressora e 3 tipos de "CPU". Para saber o numero de diferentes possibilidades de computadores que podem ser montados com essas peas, somente multiplicamos as opes:

3 x 4 x 2 x 3 = 72

Ento, tm-se 72 possibilidades de configuraes diferentes.

Um problema que ocorre quando aparece a palavra "ou", como na questo:

Quantos pratos diferentes podem ser solicitados por um cliente de restaurante, tendo disponvel 3 tipos de arroz, 2 de feijo, 3 de macarro, 2 tipos de cervejas e 3 tipos de refrigerante, sendo que o cliente no pode pedir cerveja e refrigerante ao mesmo tempo, e que ele obrigatoriamente tenha de escolher uma opo de cada alimento?

A resoluo simples: 3 x 2 x 3 = 18 , somente pela comida. Como o cliente no pode pedir cer-veja e refrigerantes juntos, no podemos multipli-

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car as opes de refrigerante pelas opes de cerveja. O que devemos fazer aqui apenas so-mar essas possibilidades:

(3 x 2 x 3) x (2 + 3) = 90

Resposta para o problema: existem 90 possibili-dades de pratos que podem ser montados com as comidas e bebidas disponveis.

Outro exemplo:

No sistema brasileiro de placas de carro, cada placa formada por trs letras e quatro algaris-mos. Quantas placas onde o nmero formado pelos algarismos seja par podem ser formadas?

Primeiro, temos de saber que existem 26 letras. Segundo, para que o numero formado seja par, teremos de limitar o ultimo algarismo um nume-ro par. Depois, basta multiplicar.

26 x 26 x 26 = 17.576 -> parte das letras 10 x 10 x 10 x 5 = 5.000 -> parte dos algarismos, note que na ltima casa temos apenas 5 possibi-lidades, pois queremos um nmero par (0 , 2 , 4 , 6 , 8).

Agora s multiplicar as partes: 17.576 x 5.000 = 87.880.000

Resposta para a questo: existem 87.880.000 placas onde as partes dos algarismos formem um nmero par.

Conjuntos

Como em qualquer assunto a ser estudada, a Matemtica tambm exige uma linguagem ade-quada para o seu desenvolvimento.

A teoria dos Conjuntos representa instrumento de grande utilidade nos diversos desenvolvimentos da Matemtica, bem como em outros ramos das cincias fsicas e humanas.

Devemos aceitar, inicialmente, a existncia de alguns conceitos primitivos (noes que adota-mos sem definio) e que estabelecem a lingua-gem do estudo da teoria dos Conjuntos.

Adotaremos a existncia de trs conceitos primiti-vos: elemento, conjunto e pertinncia.

Assim preciso entender que, cada um de ns um elemento do conjunto de moradores desta cidade, ou melhor, cada um de ns um elemento que pertence ao conjunto de habi-tantes da cidade, mesmo que no tenhamos defi-nido o que conjunto, o que elemento e o que pertinncia.

Notao e Representao

A notao dos conjuntos feita mediante a utili-zao de uma letra maiscula do nosso alfabeto e a representao de um conjunto pode ser feita de diversas maneiras, como veremos a seguir.

Listagem dos Elementos

Apresentamos um conjunto por meio da listagem de seus elementos quando relacionamos todos os elementos que pertencem ao conjunto considera-do e envolvemos essa lista por um par de chaves.

Os elementos de um conjunto, quando apresen-tados na forma de listagem, devem ser separados por vrgula ou por ponto-e-vrgula, caso tenhamos a presena de nmeros decimais.

Exemplos

Seja A o conjunto das cores da bandeira brasilei-ra, ento:

A = {verde, amarelo, azul, branco}

Seja B o conjunto das vogais do nosso alfabeto, ento:

B = {a, e, i, o, u}

Seja C o conjunto dos algarismos do sistema decimal de numerao, ento:

C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Uma Propriedade de seus elementos

A apresentao de um conjunto por meio da lista-gem de seus elementos traz o inconveniente de no ser uma notao prtica para os casos em que o conjunto apresenta uma infinidade de ele-mentos. Para estas situaes, podemos fazer a apresentao do conjunto por meio de uma pro-priedade que sirva a todos os elementos docon-junto e somente a estes elementos.

A = {x / x possui uma determinada propriedade P}

Exemplos

Seja B o conjunto das vogais do nosso alfabeto, ento: B = {x / x vogal do nosso alfabeto}

Seja C o conjunto dos algarismos do sistema decimal de numerao, ento: C = {x/x algarismo do sistema decimal de nume-rao}

Diagrama de Euler-Ven

A apresentao de um conjunto por meio do dia-grama de Euler-Venn grfica e, portanto, muito

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prtica. Os elementos so representados por pontos interiores a uma linha fechada no entre-laada. Dessa forma, os pontos exteriores linha representam elementos que no pertencem ao conjunto considerado.

Exemplo

Relao de Pertinncia

Quando queremos indicar que um determinado elemento x faz parte de um conjunto A, dizemos que o elemento xpertence ao conjunto A e indi-camos:

Em que o smbolo uma verso da letra grega psilon e est consagrado em toda matemtica como smbolo indicativo de pertinncia. Para indi-carmos que um elemento x no pertence ao con-junto A, indicamos:

Exemplo

Consideremos o conjunto: A = {0, 2, 4, 6, 8}

O algarismo 2 pertence ao conjunto A:

O algarismo 7 no pertence ao conjunto A:

Relao de Incluso Subconjuntos

Dizemos que o conjunto A est contido no conjunto B se todo elemento que pertencer a A, pertencer tambm a B. Indicamos que o conjunto A est contido em B por meio da se-guinte smbologia:

Obs. Podemos encontrar em algumas publica-es uma outra notao para a relao de inclu-so:

O conjunto A no est contido em B quando exis-te pelo menos um elemento de A que no perten-ce a B. Indicamos que o conjunto A no est con-tido em B desta maneira:

Se o conjunto A est contido no conjunto B, di-zemos que A um subconjunto de B. Como todo elemento do conjunto A pertence ao conjunto A, dizemos que A subconjunto de A e, por exten-so, todo conjunto subconjunto dele mesmo.

Importante A relao de pertinncia relaciona um elemento a um conjunto e a relao de inclu-so refere-se, sempre, a dois conjuntos.

Podemos notar que existe uma diferena entre 2 e {2}. O primeiro o elemento 2, e o segundo o conjuntoformado pelo elemento 2. Um par de sapatos e uma caixa com um par de sapatos so coisas diferentes e como tal devem ser tratadas.

Podemos notar, tambm, que, dentro de um con-junto, um outro conjunto pode ser tratado como um de seus elementos. Vejamos o exemplo a seguir:

{1, 2} um conjunto, porm no conjunto

A = {1, 3, {1, 2}, 4} ele ser considerado um ele-mento, ou seja, {1, 2} A.

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Uma cidade um conjunto de pessoas que re-presentam os moradores da cidade, porm uma cidade um elemento do conjunto de cidades que formam um Estado.

Conjuntos Especiais

Embora conjunto nos oferea a idia de reunio de elementos, podemos considerar como conjun-to agrupamentos formados por um s elemento ou agrupamentos sem elemento algum.

Chamamos de conjunto unitrio aquele formado por um s elemento.

Exemplos

Conjunto dos nmeros primos, pares e positivos: {2}

Conjunto dos satlites naturais da Terra: {Lua}

Conjunto das razes da equao x + 5 = 11: {6}

Chamamos de conjunto vazio aquele formado por nenhum elemento. Obtemos um conjunto vazio considerando umconjunto formado por elementos que admitem uma propriedade impossvel.

Exemplos

Conjunto das razes reais da equao:

x2 + 1 = 0

Conjunto:

O conjunto vazio pode ser apresentado de duas

formas: ou { } ( uma letra de origem no-rueguesa). No podemos confundir as duas nota-

es representando o conjunto vazio por { }, pois estaramos apresentando um conjun-

to unitrio cujo elemento o .

O conjunto vazio est contido em qual-quer conjunto e, por isso, considerado subcon-junto de qualquer conjunto, inclusive dele mesmo.

Demonstrao

Vamos admitir que o conjunto vazio no esteja contido num dado conjunto A. Neste caso, existe um elemento x que pertence ao conjunto vazio e que no pertence ao conjunto A, o que um absurdo, pois o conjunto vazio no tem ele-mento algum. Concluso: o conjunto vazio est contido no conjunto A, qualquer que seja A.

Conjunto Universo

Quando desenvolvemos um determinado assunto dentro da matemtica, precisamos admitir um conjunto ao qual pertencem os elementos que desejamos utilizar. Este conjunto chamado de conjunto universo e representado pela letra maiscula U.

Uma determinada equao pode ter diver-sos conjuntos soluo de acordo com o conjunto universo que for estabelecido.

Exemplos

A equao 2x3 5x

2 4x + 3 = 0 apresenta:

Conjunto de Partes

Dado um conjunto A, dizemos que o seu conjunto de partes, representado por P (A), o conjunto formado por todos os subconjuntos do conjunto A.

Determinao do Conjunto de Partes

Vamos observar, com o exemplo a seguir, o pro-cedimento que se deve adotar para a determina-o do conjunto de partes de um da-do conjunto A. Seja o conjunto A = {2, 3, 5}. Para obtermos o conjunto de partes do conjunto A, basta escrevermos todos os seus subconjuntos:

Subconjunto vazio: , pois o conjunto vazio subconjunto de qualquer conjunto.

Subconjuntos com um elemento: {2}, {3}, {5}.

Subconjuntos com dois elementos: {2, 3}, {2, 5} e {3, 5}.

Subconjuntos com trs elementos:A = {2, 3, 5}, pois todo conjunto subconjunto dele mesmo.

Assim, o conjunto das partes do conjunto A pode

ser apresentado da seguinte forma: P(A) = { , {2}, {3}, {5}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 5}, {2, 3, 5}}

Nmero de Elementos do Conjunto de Partes

Podemos determinar o nmero de elementos do conjunto de partes de um conjunto A dado, ou seja, o nmero de subconjuntos do referido con-junto, sem que haja necessidade de escrevermos todos os elementos do conjunto P(A). Para isso, basta partirmos da idia de que cada elemento

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do conjunto A tem duas opes na formao dos subconjuntos: ou o elemento pertence ao subcon-junto ou ele no pertence ao subconjunto e, pelo uso do princpio multiplicativo das regras de con-tagem, se cada elemento apresenta duas opes, teremos:

Observemos o exemplo anterior: o conjunto A = {2, 3, 5} apresenta trs elementos e, portanto, de se supor, pelo uso da relao apresentada, que n [P (A)] = 23 = 8, o que de fato ocorreu.

Igualdade de Conjuntos

Dois conjuntos so iguais se, e somente se, eles possurem os mesmos elementos, em qualquer ordem e independentemente do nmero de vezes que cada elemento se apresenta. Vejamos os exemplos:

{1, 3, 7} = {1, 1, 1, 3, 7, 7, 7, 7} = {7, 3, 1}

Observao

Se o conjunto A est contido em B (A B) e B est contido em A (B A), podemos afirmar que A = B.

Conjunto e seus elementos retirados do si-te Mundo Educao

Podemos fazer algumas relaes entre conjunto com conjunto, entre conjunto e elemento de um conjunto. Essas relaes possuem caractersticas especficas e representaes prprias. Vamos caracterizar cada uma delas.

Conjunto pode ser definido como uma coleo de elementos, reunio das partes que formam um todo, aglomerao, grupo, srie. Como exemplo de conjunto pode destacar as seguintes situa-es: o conjunto de estados do Brasil, o conjunto de alunos de uma escola, o conjunto das equipes do campeonato brasileiro, o conjunto dos nme-ros naturais, dos nmeros inteiros, racionais, irra-cionais, reais, primos entre outras situaes que envolva a reunio de elementos. Existem algumas operaes que podem ser reali-zadas entre conjuntos, so elas: interseco, unio e diferena.

Considerando os conjuntos A e B contidos num conjunto universo U, as operaes entre eles podem ser representadas da seguinte maneira: Interseco

A interseco de A com B o conjunto formado pelos elementos comuns a A e B. Notao A B. A B = {x / x A e x B}

Unio

A unio de A com B o conjunto formado por todos os elementos pertencentes a A ou a B. Notao A U B. A U B = {x / x A e x B}

Diferena

A diferena entre A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e no per-tencem a B. Notao A B. A B = {x / x A e x B} Exemplo 1

Sendo A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 6} A B = {2, 4} A U B = {1, 2, 3, 4, 6} A B = {1, 3} B A = {6}

Exemplo 2

Sendo A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e B = {10, 11, 12, 13, 14, 15} A B = (conjunto vazio) A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15} A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} B A = {10, 11, 12, 13, 14, 15}

Progresso Aritmtica e Progresso Geom-trica

Progresso Geomtrica

Podemos definir progresso geomtrica, ou sim-plesmente P.G., como uma sucesso de nmeros reais obtida, com exceo do primeiro, multipli-cando o nmero anterior por uma quantidade fixa q, chamada razo.

Podemos calcular a razo da progresso, caso ela no esteja suficientemente evidente, dividindo entre si dois termos consecutivos. Por exemplo, na sucesso (1, 2, 4, 8,...), q = 2.

Clculos do Termo Geral

Numa progresso geomtrica de razo q, os ter-mos so obtidos, por definio, a partir do primei-ro, da seguinte maneira:

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a1 a2 a3 ... a20 ... an ...

a1 a1xq a1xq2 ... a1xq

19 a1xq

n-1 ...

Assim, podemos deduzir a seguinte expresso do termo geral, tambm chamado ensimo termo, para qualquer progresso geomtrica.

an = a1 x qn-1

Portanto, se por exemplo, a1 = 2 e q = 1/2, ento:

an = 2 x (1/2)n-1

Se quisermos calcular o valor do termo para n = 5, substituindo-o na frmula, obtemos:

a5 = 2 x (1/2)5-1

= 2 x (1/2)4 = 1/8

A semelhana entre as progresses aritmticas e as geomtricas aparentemente grande. Porm, encontramos a primeira diferena substancial no momento de sua definio. Enquanto as progres-ses aritmticas formam-se somando-se uma mesma quantidade de forma repetida, nas pro-gresses geomtricas os termos so gerados pela multiplicao, tambm repetida, por um mesmo nmero. As diferenas no param a.

Observe que, quando uma progresso aritmtica tem a razo positiva, isto , r > 0, cada termo seu maior que o anterior. Portanto, trata-se de uma progresso crescente. Ao contrrio, se tivermos uma progresso aritmtica com razo negativa, r < 0, seu comportamento ser decrescente. Ob-serve, tambm, a rapidez com que a progresso cresce ou diminui. Isto conseqncia direta do valor absoluto da razo, |r|. Assim, quanto maior for r, em valor absoluto, maior ser a velocidade de crescimento e vice-versa.

Soma dos n primeiros termos de uma PG

Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...) . Para o cl-culo da soma dos n primeiros termos Sn, vamos considerar o que segue: Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an

Multiplicando ambos os membros pela razo q vem: Sn.q = a1 . q + a2 .q + .... + an-1 . q + an .q

Conforme a definio de PG, podemos reescrever a expresso como: Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an . q

Observe que a2 + a3 + ... + an igual a Sn - a1 . Logo, substituindo, vem: Sn . q = Sn - a1 + an . q

Da, simplificando convenientemente, chegare-mos seguinte frmula da soma:

Se substituirmos an = a1 . qn-1 , obteremos uma nova apresentao para a frmula da soma, ou seja:

Exemplo:

Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...) Temos:

Observe que neste caso a1 = 1.

5 - Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada

Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condies, podemos con-siderar que no limite teremos an = 0. Substituindo na frmula anterior, encontraremos:

Exemplo:

Resolva a equao: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100

O primeiro membro uma PG de primeiro termo x e razo 1/2. Logo, substituindo na frmula, vem:

Dessa equao encontramos como resposta x = 50.

Termo Geral e Soma dos Termos

Dizemos que uma sequncia numrica constitui uma progresso geomtrica quando, a partir do 2 termo, o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual. Observe a sequn-cia: (2, 4, 8, 16, 32, 64,...), dizemos que ela uma

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progresso geomtrica, pois se encaixa na defini-o dada. 4 : 2 = 2 8 : 4 = 2 16 : 8 = 2 32 : 16 = 2 64 : 32 = 2

O termo constante da progresso geomtrica denominado razo. Muitas situaes envolvendo sequncias so consideradas PG, dessa forma, foi elaborada uma expresso capaz de determinar qualquer elemen-to de uma progresso geomtrica. Veja:

Com base nessa expresso, temos que:

a2 = a1 * q

a3 = a1 * q2

a5 = a1 * q4

a10 = a1 * q9

a50 = a1*q49

a100 = a1*q99

Exemplo 1

Em uma progresso geomtrica, temos que o 1 termo equivale a 4 e a razo igual a 3. Determine o 8 termo dessa PG.

a8 = 4 * 37

a8 = 4 * 2187

a8 = 8748

O 8 termo da PG descrita o nmero 8748.

Exemplo 2

Dada a PG (3, 9, 27, 81, ...), determine o 20 ter-mo.

a20 = 3 * 319

a20 = 3 * 1.162.261.467

a20 = 3.486.784.401

Soma dos termos de uma PG

A soma dos termos de uma PG calculada atra-vs da seguinte expresso matemtica:

Exemplo 3

Considerando os dados do exemplo 2, determine a soma dos 20 primeiros elementos dessa PG.

Exemplo 4

Uma dona de casa registrou os gastos mensais com supermercado durante todo o ano. Os valo-res foram os seguintes:

Janeiro: 98,00

Fevereiro: 99,96

Maro: 101,96

Abril: 104,00

Maio: 106,08

Calcule o gasto anual dessa dona de casa, consi-derando que em todos os meses o ndice inflacio-nrio foi constante. Os termos esto em progresso geomtrica, ob-serve:

106,08 : 104 = 1,02

104 : 101,96 = 1,02

101,96 : 99,96 = 1,02

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99,96 : 98,00 = 1,02

A razo dessa progresso geomtrica dada por 1,02, isto indica que a inflao entre os meses de 2%. Vamos determinar a soma dos gastos dessa dona de casa, observe:

Os gastos da dona de casa com compras de su-permercado foram equivalentes a R$ 1.314,39.

Progresso Aritmtica

Denomina-se progresso aritmtica (PA) a se-quncia em que cada termo, a partir do segundo, obtido adicionando-se uma constante r ao termo anterior. Essa constante r chama-se razo da progresso aritmtica.

A sequncia (2,7,12,17) uma progresso arit-mtica finita de razo 5 pois:

a1 = 2

a2 = 2+5 = 7

a3 = 7 +5 = 12

a4 = 12 + 5= 17

As progresses aritmticas podem ser classifica-das de acordo com o valor da razo r.

Se r > 0, ento a PA crescente.

Se r = 0, ento a PA constante.

Se r < 0, a PA decrescente

Termo geral da PA

A partir da definio, podemos escrever os ele-mentos da PA(a1, a2, a3, ..., an ) da seguinte forma:

a1 = a1

a2 = a1 + r

a3 = a2 + r = a1 + 2r

O termo an geral de uma PA dado, portanto, pela frmula:

an = a1+(n-1)r

Propriedades de uma PA

Em uma PA qualquer, de n termos e razo r, po-demos observar as seguintes propriedades:

- Qualquer termo de uma PA, a partir do segundo, a mdia aritmtica entre o anterior e o posterior.

Observe a propriedade na PA (2,5,8,11)

- A soma de dois termos eqidistantes dos extre-mos igual soma dos extremos.

Na PA (1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23), temos:

3+21 = 1+23 = 24

5+19 = 1+23 = 24

7+17 = 1+23 = 24

9+15 = 1+23 = 24

11+13 = 1+23 = 24

Se ocorrer que uma PA tenha nmero de termos mpar, existir um termo central que ser a mdia aritmtica dos extremos desta PA. Veja por e-xemplo que na PA (1,4,7,10,13,16,19) tem 7 ter-mos e que o termo central 10 logo:

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Soma dos termos de uma PA finita

dada pela frmula:

Progresso Aritmtica (PA): Frmula Da Soma E Do Termo Geral

Imagine um casal de coelhos recm nascidos, supondo que aps um ms esse casal possa procriar e gere um novo casal de coelhos. Por sua vez, esse novo casal, aps um ms, dava origem a um novo casal. Supondo que a cada procriao no haja nenhuma morte, quantos coelhos seriam gerados em seis meses?

De acordo com o enunciado do problema, temos a seguinte progresso de nmeros:

Ms 1. Incio

2. 3. 4. 5. 6.

Nmero de casais de coelhos

1 1 2 3 5 8

Note que cada nmero igual soma dos dois anteriores. Essa a famosa sequncia de Fibo-nacci, com aplicaes em diversas reas. No exemplo acima tem-se que o primeiro elemen-to, a1 = 1; o segundo,a2 = 1, a3 = 2 etc. Logo, a

seqncia ser , sendo n o nmero de elementos da sequncia.

Lei de formao

Para uma sequncia ser lgica, ela precisa ter uma lei de formao que determine qual ser

lgica de seu escalonamento.

Por exemplo: na sequncia de Fibonacci, a regra que o nmero seguinte ser sempre a soma dos dois anteriores.

Uma curiosidade: Em (2,3,5,7,11,13,17,...) a se-quncia dos nmeros naturais primos, a frmula que possibilita achar o prximo nmero, ainda no foi descoberta, voc se habilita?

Veja as seguintes sequncias:

a) (1,3,5,7,9,11...)

b) (40,35,30,25,20,15,10,5,0,-5,-10,...)

A lei de formao da seqncia a) somar 2 ao nmero anterior, e na b) diminuir 5.

Toda seqncia em que a diferena entre um nmero e seu anterior constante recebe o nome de Progresso Aritmtica, ou, simplificadamente, conhecida pela abreviatura P.A..

A diferena entre os termos chamado de razo r.

Frmula do ensimo termo

Pela definio de P.A., a frmula do segundo termo :

Logo pode-se deduzir que para um termo qual-

quer :

Frmula da soma de um a P.A.

Um professor de matemtica, tentando manter a classe quieta, props um problema: somar todos os nmeros de 1 a 100. Para a surpresa do pro-fessor, logo em seguida, um aluno, Karl Friedrich Gauss (mais tarde um grande matemtico) deu a resposta: 5.050.

Surpreso, o professor perguntou como Gauss conseguira o resultado to rapidamente e ele explicou seu raciocnio:

Ele notou que o 1o nmero mais o ltimo era igual

a 101 e que o 2o mais o penltimo tambm era

igual a 101:

como existem 50 destes termos tem-se:

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Logo, ele descobriu a seguinte frmula da soma de termos de uma P.A.: