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Métodos deFísica Teórica I
São Cristóvão/SE2009
Osmar de Souza e Silva Júnior
Projeto Gráfi co e CapaHermeson Alves de Menezes
Elaboração de ConteúdoOsmar de Souza e Silva Júnior
S589m Silva Júnior, Osmar de Souza e Métodos de Física Teórica I/ Osmar de Souza e Silva Júnior -- São Cristóvão: Universidade Federal de Sergipe, CESAD, 2009.
1. Física teórica. I. Título.
CDU 539
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FICHA CATALOGRÁFICA PRODUZIDA PELA BIBLIOTECA CENTRALUNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
Métodos de Física Teórica I
Reimpressão
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPECidade Universitária Prof. “José Aloísio de Campos”
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Fone(79) 2105 - 6600 - Fax(79) 2105- 6474
Presidente da RepúblicaLuiz Inácio Lula da Silva
Ministro da EducaçãoFernando Haddad
Secretário de Educação a DistânciaCarlos Eduardo Bielschowsky
ReitorJosué Modesto dos Passos Subrinho
Vice-ReitorAngelo Roberto Antoniolli
Chefe de GabineteEdnalva Freire Caetano
Coordenador Geral da UAB/UFSDiretor do CESAD
Antônio Ponciano Bezerra
Vice-coordenador da UAB/UFSVice-diretor do CESADFábio Alves dos Santos
NÚCLEO DE MATERIAL DIDÁTICO
Hermeson Menezes (Coordenador)Edvar Freire Caetano
Lucas Barros Oliveira
Diretoria PedagógicaClotildes Farias (Diretora)Hérica dos Santos MotaIara Macedo ReisDaniela Souza SantosJanaina de Oliveira Freitas
Diretoria Administrativa e Financeira Edélzio Alves Costa Júnior (Diretor)Sylvia Helena de Almeida SoaresValter Siqueira Alves
Coordenação de CursosDjalma Andrade (Coordenadora)
Núcleo de Formação ContinuadaRosemeire Marcedo Costa (Coordenadora)
Núcleo de AvaliaçãoGuilhermina Ramos (Coordenadora)Carlos Alberto VasconcelosElizabete SantosMarialves Silva de Souza
Núcleo de Serviços Gráfi cos e Audiovisuais Giselda Barros
Núcleo de Tecnologia da InformaçãoJoão Eduardo Batista de Deus AnselmoMarcel da Conceição Souza
Assessoria de ComunicaçãoGuilherme Borba Gouy
Neverton Correia da SilvaNycolas Menezes Melo
Coordenadores de CursoDenis Menezes (Letras Português)Eduardo Farias (Administração)Haroldo Dorea (Química)Hassan Sherafat (Matemática)Hélio Mario Araújo (Geografi a)Lourival Santana (História)Marcelo Macedo (Física)Silmara Pantaleão (Ciências Biológicas)
Coordenadores de TutoriaEdvan dos Santos Sousa (Física)Geraldo Ferreira Souza Júnior (Matemática)Janaína Couvo T. M. de Aguiar (Administração)Priscilla da Silva Góes (História)Rafael de Jesus Santana (Química)Ronilse Pereira de Aquino Torres (Geografi a)Trícia C. P. de Sant’ana (Ciências Biológicas)Vanessa Santos Góes (Letras Português)
Isabela Pinheiro Ewerton
AULA 1Funções analíticas I .......................................................................... 07
AULA 2Funções analíticas II ......................................................................... 29
AULA 3Funções analíticas III ........................................................................ 45
AULA 4Espaços lineares .............................................................................. 61
AULA 5A estrutura métrica ........................................................................... 75
AULA 6A notação de Dirac ........................................................................... 95
AULA 7Séries infinitas ................................................................................. 113
AULA 8Séries de Fourier ............................................................................131
AULA 9Função Delta de Dirac: Teoria das Distribuições ............................. 149
AULA 10Elementos de Teoria das Probabilidades............................................165
Sumário
1
7
eikx
8
1
9
z z = x + iy x yi =
√−1x z y
z = iy x = 0 z
Um é umaestrutura algébricaconsistindo em umconjunto munido deoperações de somae multiplicaçãosatisfazendo certaspropriedades, comofechamento, comu-tativa, associativa,distributiva, dentreoutras.
w2 + 1 = 0
w = ±iΔ
z1 + z2 = (x1 + iy1) + (x2 + iy2) = (x1 + x2) + i(y1 + y2)
z1.z2 = (x1 + iy1).(x2 + iy2) = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + x2y1) .
z1 = x1 + iy1 z2 = x2 + iy2
z1 = z2 ⇐⇒ x1 = x2 e y1 = y2 .
z∗ z z = x + iyz∗ = x − iy z z∗
zz∗ = (x + iy)(x − iy) = x2 + y2 .
|z| =√
zz∗ =√
x2 + y2 .
10
1z1 − z2 = (x1 + iy1) − (x2 + iy2) = (x1 − x2) + i(y1 − y2)
z1
z2=
x1 + iy1
x2 + iy2=
(x1x2 + y1y2) + i(x2y1 − x1y2)
x22 + y2
2
(x2 − iy2)
(7 + i)(6 − 2i)(1 + i)
︷ ︸︸ ︷(7 + i)(6 − 2i)(1 + i) = [
44︷ ︸︸ ︷42 + 2 +i(
−8︷ ︸︸ ︷−14 + 6)](1 + i)
= 44 + 8 + i(44 − 8) = 52 + 36i
1 + 2i
(1 − i)(3 + 4i).
1 + 2i
(1 − i)(3 + 4i)=
(1 + 2i)
(1 − i)(3 + 4i)
(1 + i)(3 − 4i)
(1 + i)(3 − 4i)
=(1 + 2i)(1 + i)(3 − 4i)
(1 + 1)(9 + 16)
=1
50[(1 − 2 + 3i)(3 − 4i)]
=1
50[−3 + 12 + 13i] =
9
50+
13
50i
(x, y)i = (0, 1)
11
�
�
��
��
���
�
x
iyz = x + iy = (x, y)
O
r
θ �
�
�
�
��
��
������
��
�
��
��
��������
��
��
������ x
iyz1 + z2
z1∗
z2
z2 − z1
z1
−z1
�������
���
��
������
�
��
��
z1 −z1
z = 0z1
∗
x z1
z = 0 z1 z2
z2 z1 + z2
12
1z1 z2
z2 − z1
z1 z2
z2−z1
z2 − z1 z2 −z1
2
2
z = x + iyx, y
r θ
r = |z| =√
x2 + y2 =√
zz∗
θ = arc tgy
x(x �= 0)
r z θz
z
z = x + iy = r cos θ + i r sen θ
= r (cos θ + i sen θ)
= r eiθ
eiα = cos α + i sen α
α
z1 = r1eiθ1 , z2 = r2e
iθ2 ⇒ z1z2 = (r1r2)ei(θ1+θ2)
13
z1
z2=
r1
r2ei(θ1−θ2)
r2 �= 0
z1, z2
zn = rn(cos nθ + i sen nθ) ,
n n = 1, 2, 3, . . .
z−n =1
zn= r−n[cos (−nθ) + isen (−nθ)]
= r−n[cos nθ − isen nθ]
n = 1, 2, . . .
z = z01/n
z0 nz0
zn = z0 ⇒ rn(cos nθ + isen nθ) = r0(cos θ0 + isen θ0)
rn = r0
cos nθ = cos θ0 , sen nθ = sen θ0
n θ = θ0 ± 2kπ k = 0, 1, 2, . . .
θ =θ0 ± 2kπ
n.
14
1kn
k = 0 z θ0/nk = 1 (θ0 + 2π)/n k = n − 1
θ0 + 2(n − 1)π
n.
k = n
θ0 + 2nπ
n=
θ0
n+ 2π
k = 0 k = n + 1k = 1
−2π −4πn z0
z = z01/n = r0
1/n
[cos
θ0 + 2kπ
n+ i sen
θ0 + 2kπ
n
]
k = 0, 1, 2, . . . , n − 1
z0m/n = r0
m/n
[cos
mθ0 + 2kπ
n+ i sen
mθ0 + 2kπ
n
]
k = 0, 1, 2, . . . , n − 1 m ∈ n ∈ +
+
z1z2 = 0 =⇒ z1 = 0 z2 = 0
z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3
(z1 + z2)/z3 = z1/z3 + z2/z3 z3 �= 0
x = Re(z) z = x + iy y = Im(z)z
z + z∗ = 2Re(z) , z − z∗ = 2Im(z) ;
15
|z| ≥ Re(z); |z| ≥ Im(z); |z| ≤ Re(z) + Im(z)
|z1 + z2| ≤ |z1| + |z2| |z1 − z2| ≥ | |z1| − |z2| |
12(4 + 2i)(1 − 2i)2
10(2+i)(1−3i)
(√
3 + i)6
(−4)1/4
(8 + 8i)2/3
24+2i 1−2i
1 − 2i1− 2i 4 + 2i
4
−4
8+8i
16
1−2 − 11i 1 + i −64 1 + i 1 − i
−1 + i −1 − i
xy = f(x)
y = f(x) xy
fz
f(z)
f : D ⊂ C −→ CD ⊂ C
z −→ f(z)
f DCD z f(z)
zf(z)
17
�
�
�����
Re
Im
z0
��ε
�
�
z0 ε
z0
z
|z − z0| < ε
ε z − z0
z0 z |z − z0|
εz0 z0
z0
z0 z0
z ε z0 |z−z0| = ε
18
1ε z0
z
S ∈ C
Sε z0
S = {z |z − z0| ≤ ε}|z − z0| = ε S
ε z0
Sε z0
|z| = rr
P1
P2
19
f(z) z ∈ DD f(z) CD
zf(z)
f(x)
f
xf(x)
f(z) = z1/2
f(z)
P (z) = a0 + a1z + a2z2 + . . . + anzn
20
1D =a0, a1, . . . , an
f(z) =1
z2 + 1
z = ±iz = i z = −i f(z)
f(z)
f(z) = u(x, y) + iv(x, y)
u v x y
f(z) = z2 = (x + iy)2 = (x2 − y2)︸ ︷︷ ︸u(x,y)
+i (2xy)︸ ︷︷ ︸v(x,y)
.
f(z)z0 z0
limz→z0
f(z) = w0
δ ε > 0 z �= z0
|z − z0| < δ =⇒ |f(z) − w0| < ε .
z z0 f(z) = u + ivw0
f(z)w0 z
z0
limz→−2
z3 + 8
z + 2= 16 .
21
z0 = −2δ > 0
ε > 0
|z − (−2)| < δ =⇒∣∣∣∣z
3 + 8
z + 2− 16
∣∣∣∣ < ε .
δ > 0 ε = δ2 + 8δ |z + 2| < δz �= −2∣∣∣∣z
3 + 8
z + 2− 16
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣(z + 2)(z2 − 2z + 4)
(z + 2)− 16
∣∣∣∣ = |(z2 − 2z + 4) − 16|= |(z − 2)2 − 16| = |[(z + 2) − 4]2 − 16|= |(z + 2)2 − 8(z + 2)| ≤ |z + 2|2 + 8|z + 2|< δ2 + 8δ = ε
ε δ
22
1z = x + iy f(z) = u(x, y) + i v(x, y)
limz→z0
f(z) = w0 ⇐⇒
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
limx → x0
y → y0
u(x, y) = Re(w0)
limx → x0
y → y0
v(x, y) = Im(w0)
limz→z0 f1(z) = w1 limz→z0 f2(z) = w2
limz→z0 [f1(z) + f2(z)] = w1 + w2
limz→z0 [f1(z).f2(z)] = w1.w2
limz→z0 [f1(z)/f2(z)] = w1/w2 w2 �= 0
f(z) z = z0
f(z0)
limz→z0 f(z)
f(z0) = limz→z0 f(z)
z ∈limz→z0
P (z) = P (z0) .
f(z)z0 f z0
f ′(z0) = limz→z0
f(z) − f(z0)
z − z0.
23
z0
f(z) = z3 − 2zz0 z �= z0
f(z) − f(z0)
z − z0=
z3 − x03 − 2z + 2z0
z − z0
=(z − z0)(z
2 + zz0 + z02) − 2(z − z0)
z − z0
= z2 + zz0 + z02 − 2 ,
f ′(z0) = limz→z0
f(z) − f(z0)
z − z0= lim
z→z0
(z2 + zz0 + z02 − 2) = 3z0
2 − 2 .
d
dzzn = nzn−1 .
f(z) = |z|2f(z) f(z) = z.z∗
δz = z − z0
f ′(z0) = limz→z0
f(z) − f(z0)
z − z0
= limΔz→0
f(z0 + Δz) − f(z0)
Δz
= limΔz→0
(z0 + Δz)(z0∗ + Δz∗) − z0z0
∗
Δz
= limΔz→0
z0z0∗ + z0Δz∗ + z0
∗Δz∗ + ΔzΔz∗ − z0z0∗
Δz
= limΔz→0
(z0
∗ + Δz∗ + z0Δz∗
Δz
).
z0 = 0 f ′(z0) = 0z0 �= 0
Δz = Δx → 0
Δx→0
[z0
∗ + Δx + z0Δx
Δx
]= z0
∗ + z0 ;
24
1Δz = iΔy → 0
Δy→0
[z0
∗ + (−iΔy) + z0−iΔy
iΔy
]= z0
∗ − z0 ;
z0 �= 0f(z) = |z|2 z = 0
d
dz= 0
d
dzz = 1
d
dz(f1 + f2) =
df1
dz+
df2
dzd
dz(f.g) =
df
dz.g + f.
dg
dzd
dz
(f
g
)=
g df/dz − f dg/dz
g2
d
dzf [g(z)] =
df
dg
dg
dz
|z − 2| ≥ 2
|z − 1| < 2
Im(z2) > 1
25
26
1
27