Multifractais

     

José Garcia Vivas Miranda

Que são multifractais;

Métodos de caracterização;

autosimilaridade;

autoafinidade.

Transformada Wavelets

Aplicações;

Porosimetria;

Catalizadores;

T. Wavelets generalizada

Multifractais

Se pensava que os fractais dariam conta da heterogeneidade na natureza.

Conceitos

0 200 400 600 800 1000

30

60

90

120

150

180

Substrato Partículas depositadas

Altu

ra

Largura

Multifractais

Conceitos

Os multifractais são fractais cujas partes são outros fractais.

Os multifractais são fractais que exibem diferentes dimensões a diferentes escalas.

OU

Multifractais

Como caracterizá-lo (Autosimilaridares)Consideremos um conjunto de dados cuja a medida sobre eles englobe o intervalo de

escalas J=[a,a+L].

1) Se divide o intervalo em sucessivos subintervalos de tamanho definido por:=1/2k, onde k=1,2,3,... (ex. =1/2,1/4,1/8...)

2) Para cada escala teremos um conjunto de medidas i(), onde o índice i representa a i-ésima partição de tamnaho .

3) O número de partições de tamanho será N()= 2k = -1. Ou seja, para uma escala =1/2 teremos 2 partições, para =1/4 teremos 4 e assim sucessivamente.

4) Se define o expoente de singularidade ou de Hölder para cada partição i como:

i()= i

i = log[i()]/ log()

Multifractais

Como caracterizá-lo (Autosimilaridares)

5) O expoente representa a concentração da medida . Quanto maior menor a concentração da medida.

6) No caso da medida sobre o sistema apresentar heterogenidade, para cada partição i teremos um i diferente.

7) Se define o número de partições, para uma ecala , cujos respectivos i entejam em um intervalo entre e +d como N().

8) A medida terá um comportamento multifractal se no limite de 0 o scaling seja do tipo:

N() -f().onde f() representa a abumdância de partições com expoentes . Para um sistema

monofractal teremos sempre o mesmo para todas as partições, ou seja, N()= N()= -1, e assim f()=1.

Multifractais

Exemplos de espectros f()

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

f()

Multifractais

O método de Chhabra e Jensen (1989) 9) Os valores de f() e podem ser computados parametricamente atravéz do

parâmetro q:

(q) [i=1N() i(q,) log(i())]/log() (1)

f((q)) [i=1N() i(q,) log(i(q,))]/log() (2)

onde i(q,) = i()q/i=1N i()q, representando a probabilidade de que determinada

medida , em uma escala e para um determinado q, ocorra no conjunto de N partições.

O parâmetro q funciona como um filtro que selecionas regiões mais o menos "densas" de medida. Para valores de q >> 1 as medidas com maior magnitude serão ampliadas, e para q<<-1 serão ampliadas as grandezas menores.

O algoritmo consiste em, para cada valor de q, ajustar gráficos (1) e (2) ondeAssim temos para cada valor de q um e um f().

Relacionando o f() e o para um mesmo q, PARABIN PARABUM !!! temos o espectro de singularidade.

Multifractais

Dimensões generalizadas.

ln

lnlim

1

10

iqi

q

p

qD

pi é a probabilidade de encontrar um ponto na i-ésima caixa.

q=0 Dimensão de contagem de caixasq=1 Dimensão de informação

q=2 Dimensão de correlaçãoq pode variar entre + e – infinito, continuamente.

Multifractais

Como caracterizá-lo

quando q +infinito, apenas o subconjunto de maior probabilidade é levado em contaquando q -infinito, o subconjunto de menor probabilidade.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 6500 70000,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Y

X

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 6500 70000,0

0,2

0,4

0,6

Y

X

Multifractais

Como caracterizá-lo (Multiafinidade)

.)(),( qqM

A soma dos momentos M

.~),( )(qqM

Sendo o sistema multifractal

ln

ln)(

i

qi

q

Multifractais

Como caracterizá-lo (Multiafinidade)

Comparando com o obtido anteriormente.

ln

ln)(

i

qi

q

ln

lnlim

1

10

iqi

q

p

qD

qDqq )1()( Nos leva a:

Multifractais

Transformada ondaletas (TO)

Primeira referência no apêndice da tese de A.Haar (1909) .

Primeira aplicação a processamento de sinais Stephane Mallat (1985).

Primeira aplicação a fractais A. Arneodo (1995).

Multifractais

Transformada ondaletas

O que é a TO?

,)()(1

),( dxxfa

bxg

afbaTg

Multifractais

Transformada ondaletas

...sim mais... o que é a TO?

Transformada ondaleta.

Multifractais

Transformada ondaletas

TO e Fractais o MMTO

ln (T) x ln(a) local

Módulo Máximo da Transformada de Ondaletas (MMTO)

Multifractais

Transformada ondaletas

Relação entre a TO e as dimensões generalizadas.

)( )',(|)]()[),((|sup),(

aLl

qlg

laxxfaabTaqM

.)(),( qqM

Transformada ondaleta.

200 220 240 260 280 300 3200.0

0.5

1.0

1.5

2.0

b

log 1

0a

WTMM

600 800

0.0

0.6

1.2

q=0.6

z ´=log(abs(Wt)+1)

Location b

Sc

ale

a

Multifractais

Transformada ondaletas

0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2 d=1/3

f()

Multifractais

TO Generalizadas

t

ii P

)(P)(p

t

ii R

)(R)(r

p)(pi

r)(ri

rp),(f

rprp ddL/~dd),(N rp

0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 1.05 1.10 1.15 1.200.80

0.85

0.90

0.95

1.00

1.05

1.10

1.15

1.20

P

H Arcilla

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.0

Multifractal conjunto (Joint Multifractal) (Charles et al, 1990, PRA)