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A REPRESENTAÇÃO PICTÓRICA NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: EXPLORANDO O MODELO DE BARRAS Camila Sajnin (Licenciatura em Matemática UFRJ / bolsista PROFAEX) Igor de Melo (Licenciatura em Matemática UFRJ) Leticia Rangel (CAp-UFRJ) - Coordenadora Luiz Felipe Lins (SME/RJ) Miane Moura (Licenciatura em Matemática UFRJ) Mônica Ferreira Ayres (SME/RJ) Raquel Cupolillo (CAp-UFRJ) Rita Meirelles (CAp-UFRJ) Sandra Maria Ayrosa Farias Moreira (SME/RJ) http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/

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A REPRESENTAÇÃO PICTÓRICA NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS:

EXPLORANDO O MODELO DE BARRAS

Camila Sajnin (Licenciatura em Matemática UFRJ / bolsista PROFAEX)

Igor de Melo (Licenciatura em Matemática UFRJ)

Leticia Rangel (CAp-UFRJ) - Coordenadora

Luiz Felipe Lins (SME/RJ)

Miane Moura (Licenciatura em Matemática UFRJ)

Mônica Ferreira Ayres (SME/RJ)

Raquel Cupolillo (CAp-UFRJ)

Rita Meirelles (CAp-UFRJ)

Sandra Maria Ayrosa Farias Moreira (SME/RJ)

http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/

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Prefácio

Este texto constitui a base da oficina “A Representação Pictórica na Resolução de Problemas: Explorando o Modelo de Barras”, oferecida no 3º Simpósio Nacional da Formação do Professor de Matemática. O Projeto Fundão Matemática, visando ao desenvolvimento profissional permanente do professor e ao ensino da disciplina, atua investigando e repensando modelos e práticas de ensino de matemática nas diferentes etapas da Educação Básica. Como uma das linhas de trabalho, o Grupo de Tecnologia do Projeto Fundão Matemática vem investigando o potencial do Modelo de Barras (também conhecido como Método de Singapura) como estratégia de resolução de problemas (QUEIROZ, 2016; BALDIN, 2013; FORSTEN, 2010, GINSBURG et al, 2005). São objetivos desta oficina: (i) Apresentar, aplicar e discutir o Modelo de Barras como estratégia para a resolução de problemas próprios do Ensino Fundamental e (ii) Explorar e discutir o uso de recursos tecnológicos que amparem a aplicação desse método. Como princípio de trabalho, para investigar o uso da tecnologia no ensino, o Grupo parte de um conteúdo matemático relevante para a prática do professor. Desde 2016, o assunto que vem mobilizando o estudo dos integrantes do grupo e que caracteriza esta oficina é frações. Esse tema foi escolhido por incorporar diversos aspectos (tais como representações e operações) comumente reconhecidos por professores da Educação Básica por envolverem obstáculos de aprendizagem e dificuldades com metodologias de ensino (STREEFLAND, 1991; BERTONI, 2008).

Palavras-chave: Modelo de Barras, Resolução de Problemas, Ensino de Frações, Método de Singapura.

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INTRODUÇÃO

A utilização de representação pictórica para a resolução de problemas de matemática na Educação Básica tem recebido a atenção de educadores. Em particular, a atenção tem se voltado para o Modelo de Barras (QUEIROZ, 2016; BALDIN, 2013; FORSTEN, 2010, GINSBURG et al, 2005), também conhecido como método de Singapura por estar fortemente incorporado ao ensino de Matemática desse país, que vem obtendo destaque no PISA1. É importante esclarecer que o “Método de Singapura” não é reduzido ao Modelo de Barras. O Método Singapura, no que diz respeito à Matemátca, compõe uma filosofia de ensino adotada no sistema de educação de Singapura que tem como uma dos pontos centrais a resolução de problemas (BALDIN, 2013; GINSBURG et al, 2005). Em particular, os livros didáticos de Singapura apresentam uma abordagem concreta a pictórica a abstrata. Muitos estudantes que têm dificuldade em compreender conceitos matemáticos abstratos se beneficiariam com representações visuais de idéias matemáticas. Como parte desta abordagem, as ilustrações de Cingapura demonstram como se decompor graficamente, representar e resolver problemas complicados de múltiplos passos. (GINSBURG et al, 2005, p.23)

The Singapore illustrations also feature a concrete to pictorial to abstract approach. Many students who have difficulty grasping abstract mathematical concepts would benefit from visual representations of mathematical ideas. As part of this approach, the Singapore illustrations demonstrate how to graphically decompose, represent, and solve complicated multistep problems.

Figura 1 – Estrutura do Método de Singarupa (GINSBURG et al, 2005, p.15, realce nosso)

1 Programme for International Student Assessment. http://www.oecd.org/pisa/.

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Modelo de Barras é uma forma de identificação da representação visual como forma de abordagem de problemas aritméticos e algébricos no ensino de matemática em Singapura. O Modelo de Barras se apresenta como uma estratégia em que a representação a partir de desenho prepara os alunos para pensar analiticamente, proporcionando uma importante transição entre o concreto e o abstrato (FORSTEN, 2010). Pode não parecer uma estratégia inovadora usar representações diversas por meio de desenhos para amparar a resolução de problemas que envolvem raciocínios aritméticos e algébricos. Afinal, os gregos já faziam isso desde a época de Euclides. No entanto, a representaçào pictórica tem se apresentado como um recurso que sistematiza essa estratégia para a resolução de problemas e tem sido fortemente adotado em livros didáticos em vários países.

Figura 2 – Exemplo do uso do representação pictóricaOperação de divisão com números naturais (ISODA, CEDILLO, 2012, p.54)

Figura 3 – Exemplo do uso do representação pictóricaOperação de divisão envolvendo frações (FORSTEN, 2010, p.102 e p.108)

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O Grupo de Tecnologia decidiu por investigar o método de barras e recursos computacionais que amparam a sua aplicação. Entre os recursos tecnológicos pesquisados para amparar a aplicação do método destacam-se: Thinking Blocks, disponível em http://www.mathplayground.com/ thinkingblocks.html, o Fraction Bars, disponível em http://www.kaputcenter.umassd.edu/products /software/fractionbars/fb_web _files/index.html, e alguns aplicativos GEoGebra, disponíveis em https://www.geogebra.org/search/perform/search/bar%20models. Nesta oficina, optamos pelo o uso do Thinking Blocks. A escolha se justifica por dois aspectos principais: (i) Além de ser de fácil acesso, a interface e desse recurso é bastante amigável e (ii) é bastaante abrangente em possibilidade de uso. Destacamos que, em nossa avaliação, o “Fraction Bars” não tem o uso tão intuitivo quanto o TB, exigindo mais invetimento na compreensão do recurso e os recursos disponíveis no Geogebra são planejados para usos específicos, limitando a aplicação.

Por fim, confirmando o valor na prática para a contribuição da pesquisa sobre o ensino da matemática, o grupo vem desenvolvendo e aplicando de forma investigativa atividades que envolvem o Modelo de Barras em turmas de Ensino Fundamental do Colégio de Aplicação da UFRJ (CAp-UFRJ). Essa experiência também tem aspecto fundamental na oficina proposta. Os problemas aqui propostos foram todos aplicados nessas turmas. A análise realizada a partir dessa aplicação, que tem como objeto principal as diversas soluções apresentadas pelos alunos, ainda que não seja o foco desta oficina, orienta a condução da abordagem e da discussão pretendida.

Assim, tendo como referência o trabalho investigativo realizado pelo grupo, a oficina pretende abordar a resolução de problemas em uma perspectiva colaborativa, em que os participantes terão a oportunidade de utilizar o Modelo de Barras e de conhecer o recurso tecnológico Thinking Blocks para esse fim. São objetivos da oficina proposta: (i) Apresentar, aplicar e discutir o Modelo de Barras como estratégia para a resolução de problemas próprios do Ensino Fundamental e (ii) Explorar e discutir recursos tecnológicos que amparem a utilização desse método.

Explorando o Modelo de Barras na Resolução de Problemas

O Modelo de Barras, também conhecido como Modelo de Representação por Desenho de Singapura ou simplesmente por Método de Singapura (QUEIROZ, 2016; BALDIN, 2013; FORSTEN, 2010, GINSBURG et al, 2005), oferece uma abordagem visual para a solução de problemas aritméticos e algébricos. No entanto, é importante observar que o uso de modelos de barras para resolver problemas não pode ser considerado como exclusivo da Matemática de Singapura, tampouco deve-se atribuir a eles a criação dessa estratégia. No entanto, o Modelo de Barras tem ganhado notoriedade como estratégia e tem tido um papel relevante nos livros didáticos de vários países.

De maneira geral, o Modelo de Barras é uma forma de dar significado a partir de representação pictórica para o que está sendo apresentado de forma retórica em um problema que envolve raciocínios aritmético ou algébrico. Essa metodologia tem se apresentado com uma ferramenta particularmente relevante na resolução de problemas envolvendo frações. Por exemplo, consideremos o problema apresentado a seguir:

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Estratégias algébricas e aritméticas para resolver esse problema não costumam ser facilmente alcançadas pelos alunos. Observe que, se a quantidade de brigadeiros deixada pela mãe para os filhos for indicada por x, então a solução do problema pode ser dada por:

Ou, simplesmente,

Portanto, x = 27.

Qualquer professor com experiência no ensino de matemática na Educação Básica pode atestar que não é simples apresentar nem discutir qualquer dessas soluções em sala de aula. A representação algébrica é reconhecidamente desafiadora para o ensino da matemática nessa etapa da escolaridade (USINSKIN, 1994).

No entanto, pelo Modelo de Barras, a representação do problema, e sua resolução, podem parecer bem mais simples. Sendo a quantidade de brigadeiros deixada pela mãe para os filhos representada por uma “barra”, como o retângulo em verde da Figura 1, o problema pode ser representado, e a solução obtida, como ilustrado. Observe que, nesse caso, a barra assume o papel da “incógnita” ou, em linguagem algébrica típica, o papel de “x”. Assim, a barra vai sendo adequadamente dividida e as quantidades correspondentes aos brigadeiros que cada irmão pegou identificadas na representação em barras. Claro que esta não é a única solução possível a partir do Modelo de Barras, ela tem caráter apenas ilustrativo.

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Rita foi trabalhar e deixou uma bandeja de brigadeiros para seus três filhos com o seguinte

bilhete:

“Queridos, dividam igualmente esses brigadeiros que estou deixando. Beijos da mamãe”

O primeiro filho chegou, pegou a terça parte que lhe cabia e saiu. Em seguida, o segundo

filho chegou e não viu nenhum dos irmãos. Pensando que fosse o primeiro, pegou a terça

parte dos brigadeiros que havia e saiu. Mais tarde, o terceiro filho encontrou 12 brigadeiros

na bandeja. Acreditando que fosse o segundo, pegou metade e saiu. Quantos brigadeiros a

mãe havia deixado para os três filhos?

(Clube de Matemática da OBMEP – adaptada)

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Figura 1 – Solução do problema proposto pelo Modelo de Barras.

É importante observar que a resolução de problemas pelo Modelo de Barras deve ser encarada como uma etapa (inicial) para a construção de um raciocínio algébrico. A resolução de problemas exige a habilidade de leitura e de compreensão do que se lê, estabelecer uma estratégia de resolução, efetuar os cálculos necessários e verificar a solução. O Modelo de Barras se faz presente na compreensão do que se lê, na construção de estratégia e no processo de cálculo. No entanto, é importante que os alunos sejam incetivados a também construir a linguagem algébrica e a representar e solucionar os problemas dessa forma. É possível estabelecer uma relação entre o desenvolvimento do problema pela abordagem algébrica e pelo Modelo de Barras, como ilustra a Figura 2.

Figura 4 – Relação entre a solução do problema pela abordagem algébriac e pelo Modelo de Barras

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Atividades iniciais

Inicialmente os participantes serão convidados a conhecer, aplicar e discutir o Modelo de Barras em problemas que envolvem: adição e subtração com números inteiros e frações, multiplicação de frações, divisão de frações, razão e sistemas de equações lineares. Nessa etapa, pretende-se utilizar lápis e papel para o desenvolvimento das soluções. A opção pelo lápis e papel tem como objetivo não limitar nem vincular o método a recursos computacionais, que nem sempre estão disponíveis para o professor. Na experiência realizada com os alunos do 8º ano do Ensino Fundamental do CAp-UFRJ, inicialmente os alunos são convidados a explorar o método a partir do uso de lápis e papel (Figura 5). Acreditamos que essa opção, como estratégia inicial, permite: (i) que os alunos usem como recurso para aplicar o método algo bastante familiar, não dividindo a atenção com a aprendizagem do recurso tecnológico, (ii) que, enquanto não domimam o uso do método de forma autônoma e crítica, possam ter a liberade de experimentar estratégias variadas e (iii) que possam repruzir, compartilhar e discutir a sua solução com a turma a partir do qudaro de giz (ou quadro branco). Como estratégia de abordagem, pretendemos reproduzir a prática de sala de aula na oficina, convidando os participantes a “atuarem como seus alunos” e incentivando a colaboração e a a discussão. Objetiva-se, assim, que a discussão alcance a reflexão sobre os potenciais e as limitações do Modelo de Barras.

Figura 5 – Solução apresentada por um aluno do 8º ano do CAp-UFRJ utilizando o Modelo de Barras, lápis e papel.

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Explorando recursos computacionais

Em seguida, os participantes serão apresentados ao recurso computacional Thinking Blocks, disponível em http://www.mathplayground.com/ thinkingblocks.html, que é próprio para a aplicação do Modelo de Barras na resolução de problemas. Também aqui serão propostas a resolução e a análise de soluções de problemas resolvidos a partir do Modelo de Barras.

Observamos, com a experiência realizada com os alunos do 8º ano do Ensino Fundamental do CAp-UFRJ, que o uso do Thinking Blocks favorece que: (i) em situações em que é necessário subdivir em partes iguais a barra, a subdivisão seja de fato em partes de mesmo tamanho (ii) que os alunos possam se comunicar virtualmente visando a troca para solucionar um problema, uma vez que suas soluções passam a poder ser compartilhadas; (iii) o professor pode passar tarefas a serem resolvidas a distância e enviadas po mensagem virtual. Cabe destacar, no entanto, que o uso em sala de aula exige que os alunos tenham acesso a computadores durante a aula.

Pretende-se que o uso dos recursos computacionais seja enriquecido pela discussão sobre as limitações e os potenciais do recurso utilizado para a aplicação do método e dos recurso em si.

Figura 7 – Solução apresentada por um aluno utilizando o Modelo de Barras

com o auxílio do Thinking Blocks

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Conhecendo a Ferramenta1. Acesse o recurso Thinking Blocks, disponível em:http ://www.mathplayground.com/thinkingblocks.html

2. Selecione a opção Modelling Tool;

3. Selecione a opção Start;

4. O recurso exibirá uma área de trabalho onde os problemas serão resolvidos.

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Considerações Finais

Acreditamos que a oficina constitui uma oportunidade para promover o conhecimento e investigar potenciais e limitações do Modelo de Barras a partir da interação de maneira colaborativa entre professores do Ensino Básico. Com a realização da oficina, espera-se que, a partir do debate geral, os participantes compartilhem, considerando sua experiência e sua prática, suas impressões sobre o Modelo de Barras e sobre seus potenciais e suas limitações para o ensino da Matemática. Acredita-se que, dessa forma, a oficina também será uma fonte de dados e de novos conhecimentos para o trabalho investigativo desenvolvido pelo Grupo de Tecnologia do Projeto Fundão Matemática.

Espera-se que essa iniciativa contribua também para a formação e o desenvolvimento profissional permanente do professor, oferecendo a oportunidade de reflexão sobre novas possibilidades para o ensino e a divulgação e a avaliação do Modelo de Barras no contexto da Educação Básica no Brasil. Em particular, recomenda-se essa oficina para professores que atuam no Ensino Fundamental – Anos Iniciais (1º ao 5º ano) e 6º e 7º anos, uma vez que o Modelo de Barras se apresenta como um método potencialmente importante também para a resolução de problemas no contexto de números naturais (FORSTEN, 2010). Além disso, acredita-se que o trabalho com esse método desde as séries iniciais pode facilitar muito a sua aplicação na aprendizagem da Matemática.

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Atividades

01. Um leão pesa 135 kg. Uma vaca pesa 87 kg a mais que o leão. Um elefante pesa 139 kg mais que a vaca. Quanto pesa o elefante (Qual é a massa do elefante?)

02. O mercado A tinha 156 kg de arroz para vender e o mercado B, 72 kg. Depois de venderem a mesma quantidade de arroz, verificou-se que o mercado A tinha ainda 4 vezes a quantidade que havia restado no mercado B. Qual a quantidade de arroz vendida pelos mercados A e B?

Cada um dos mercados vendeu 44kg de arroz.

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Solução PictóricaSolução Aritmética

Solução PictóricaSolução Algébrica

Leão: 135 kg

Vaca: 135 + 87 = 222 kg

Elefante : 222 + 139 = 361 kg ou

Elefante: 135 + 87 + 139 = 361 kg

O elefante pesa 361 kg.

A = 156 kg

B = 72 kg

(156 – x) = 4 . (72 – x)

156 – x = 288 – 4x

– x + 4x = 288 – 156

3x = 132

x = 44

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03. Guilherme gastou 3/8 da sua mesada com transporte e 1/4 com alimentação. Que fração da mesada sobrou?

Restaram 3/8 da mesada.

04.

Figura 5 – OBMEP /2017 – Questão 03 – Nível 1 – 2ª Fase

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Solução PictóricaSolução Aritmética

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Figura 6 – Comentário do professor Humberto Bortolossi (UFF) na rede social Facebook sobre a questão 3 – OBMEP /2017 – Nível 1 – 2ª Fase

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Solução PictóricaSolução Aritmética

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05. Um tijolo pesa 1 quilo mais meio tijolo. Quanto pesa o tijolo?

06. Valéria conseguiu arrecadar 78 latas de leite para doação. Bernardo conseguiu um pouco mais do

que Valéria. Cada um levará a doação que conseguiu para uma instituição de caridade diferente da

do outro. Para que ambos pudessem ter a mesma quantidade de latas de leite para doar, Bernardo

deu a quarta parte do que arrecadou para Valéria. Quantas latas de leite Bernardo arrecadou?

07. A programação de uma oficina prevê que 35do tempo total seja destinado a atividades iniciais, que a

terça parte do tempo envolva o uso de recursos computacionais e que os 10 minutos finais sejam

destinados à avaliação. Qual o tempo total previsto para a oficina?

08. Marcus precisava entregar os convites para a sua festa de aniversário. Planejou fazer isso na

segunda e na terça. Na segunda conseguiu entregar 18 convites. No entanto, na terça-feira

conseguiu entregar apenas 23 do restante. Ficaram ainda 12 convites para serem entregues. Quantos

convites Marcus precisava entregar?

09. Rita traz trufas para vender nos intervalos das aulas. Hoje Rita vendeu três quintos de suas trufas no

período da manhã e um quarto do restante das trufas no período da tarde. Se Rita vendeu pela

manhã 200 trufas a mais do que vendeu à tarde, quantas trufas Rita fez?

10. Um artesão faz um cinto com 35 de um metro de couro. Quantos cintos do mesmo tipo poderão ser

feitos com 18 metros de couro?

11. João e Maria são sócios de uma fazenda. João tem 2/3 da propriedade e Maria 1/3. Um dia

decidiram desfazer a sociedade., ficando cada um com a sua parte. A fazenda foi dividida como

acordado no negócio: 2/3 do terreno para João e 1/3 para Maria. No mês seguinte, Maria mandou

medir a sua parte e viu que faltavam 30ha. Pediu então a João para ajustar a cerca colocada na

divisão do terreno de modo a passar 30ha da parte dele para ela. Qual a metragem da fazenda?

12. Mônica e Felipe juntos têm R$ 158,00. Felipe possui R$30,00 a menos do que Mônica. Qual a

quantia que Mônica tem?

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13. Um grande depósito foi esvaziado a 13 da sua capacidade e, mais tarde, foram retirados

34 do que

ficou. Sabe-se que no reservatório ainda restaram 20 mil litros de água. Qual é a capacidade total

desse reservatório?

14. Uma pessoa despendeu certa quantia na compra de um terreno e o vendeu por R$ 35.000,00; nesta

venda ganhou 34  do que despendera. Por quanto comprou o terreno?

15. Nina e Ana possuíam juntas 125 cartões. Nina possuía 19 cartões a mais do que Ana. Quando Ana

perdeu alguns cartões, Nina passou a ter o quádruplo dos cartões de Ana. Quantos cartões Ana

perdeu?

16. Num time carioca de futebol, metade dos jogadores contratados são cariocas, 1/3 de outros estados e

os 4 restantes são estrangeiros. Quantos jogadores contratados tem o clube?

17. Uma barra de metal pesa 3 kg mais ¼ da mesma barra. Quanto pesa essa barra de metal?

18. A soma de dois números é 20. Calcule-os, sabendo que o número maior é 32 do número menor..

19. Camilinha usa 23de uma xícara de farinha para fazer 3 cupcakes. Seguindo a mesma receita, quantas

xícaras de farinha Camilinha usaria para fazer 1 cupcake?

20. Paulo gastou 34 do que possuía e, a seguir, a metade do restante. Ficou ainda com R$ 7,00. Quanto

Paulo possuía?

21. Laura gastou 20% do seu dinheiro para comprar um vestido. Ela gastou ainda dois terços da quantia

restante em um livro. Assim, lhe sobraram R$ 72,00. Quanto Laura tinha no início?

22. Em uma biblioteca há 6 estantes completas. Essas estantes serão substituídas por novas cuja

capacidade de cada uma é 34 das estantes antigas. Quantas novas estantes serão necessárias para

acomodar todos os livros que estavam nas estantes antigas?

23. Letícia, Rita e Raquel conseguiram juntas 140 pacotes de fraldas para doar a uma instituição de

caridade. Rita foi a campeã em arrecadação! A quantidade de pacotes que Rita conseguiu foi sete

vezes maior que a arrecadada por Leticia e Raquel conseguiu 85 pacotes de fralda a menos do que

Rita. Quanto pacotes de fralda Rita conseguiu para a doação?

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24. Desafio! Existem canetas, lápis e borrachas na gaveta de uma escrivaninha. A razão de canetas para

lápis é 2 para 3. A razão de borrachas para lápis é de 1 para 3. Se existem 4 canetas na gaveta,

quantos lápis há a mais do que borrachas?

25. A diferença entre as capacidades de uma jarra e uma garrafa é de 300 mL, A razão entre as

capacidades da jarra e da garrafa é de 3 para 5. Qual a capacidade da jarra e da garrafa juntas?

26. No início da semana um laboratório comprou 1 litro de um produto por R$ 4,20 mas só usou 800

mL antes de o produto perder a validade e ter que ser descartado. Na semana seguinte, a pessoa

responsável pela compra resolveu comprar duas embalagens de 500 mL do mesmo produto,

pagando por cada uma R$ 5,00. Dessa vez, conseguiu aproveitar todo o produto comprado. Em qual

semana o produto utilizado teve menor custo?

27. Uma lagarta está dentro de uma caixa. Na primeira hora ela sobe 13 da altura da caixa e escorrega

16 .

Na segunda hora sobe mais 12 da distância que falta percorrer. Após a segunda hora, que fração da

altura da caixa falta para que a lagarta chegue ao topo da caixa? Se a caixa tem 48 cm de altura, a

quantos centímetros essa fração corresponde?

28. Um pequeno artesão compra mensalmente certa quantidade de latas (iguais) de um tipo especial de

tinta para a produção de suas peças. Essa tinta é consumida da seguinte maneira: 89da tinta de uma

lata é utilizado para colorir peças artesanais, 23 da tinta de uma lata é utilizado para pintar peças

básicas e ainda sobram 500 mL de tinta, que geralmente são consumidos em peças extras. Qual a

capacidade de uma dessas latas de tinta? Quantas latas de tinta o artesão costuma comprar

mensalmente?

Referências:

BALDIN, YYB, (2013). Texto explicativo sobre a chamada Matemática da Singapura, comunicação pessoal , disponibilizada para o projeto PROF-OBMEP (2012-2014).

BERTONI, N.E. (2008). A construção do número fracionário. In: Boletim de Educação Matemática, ano 21, n.31. pp. 209-237. Rio Claro: UNESP.

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FORSTEN, C. (2010). Step-by-Step Model Drawing. Solving Word Problems the Singapore Way. Crystal Springs Books, Peterborough, USA.

GINSBURG, Alan; LEINWAND, Steven; ANSTROM, Terry; POLLOCK, Elizabeth. (2005). What the United States Can Learn From Singapore’s World-Class Mathematics System (and what Singapore can learn from the United States): An Exploratory Study. America Institute for Research. Washington, DC.

ISODA, Masami; CEDILLO, Tenoch. (2012). Matemáticas para la Educación Normal. Tomo.4, Vol.1. Pearson Educación de México S.A.

PALIS, G. L R. (2010). O conhecimento tecnológico, pedagógico e do conteúdo do professor de Matemática. Educação Matemática Pesquisa. SP, v.12, n.3, pp. 432-451.

QUEIROZ, Jonas M,S. (2014). Resolução de Problemas da Pre-Álgebra e Álgebra para Fundamental II do Ensino Básico com auxilio do Modelo de Barras, Dissertação de Mestrado Profissional PPGECE, UFSCar. Disponível em site www. ppgece.ufscar.br  na área de dissertações.Disponível em https://repositorio.ufscar.br/handle/ufscar/4473.

STREEFLAND, L. (1991). Fractions in Realistic Mathematics Education: A Paradigm of Developmental Research. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.

USINSKIN, Z. (1994). Concepções sobre Algebra da Escola Média e Utilizações das Variáveis. Em: COXFORD, A. F. e SHULTE, A. P. (org). As Idéias da Álgebra. Atual Editora. São Paulo.

ANOTAÇÕES

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