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UNIDAD DIDACTICA PARA EL APRENDIZAJE DEL TEOREMA DE

THALES Y SU APLICACIÓN A LA SEMEJANZA EN LOS TRIÁNGULOS

MEDIANTE EL USO DEL SOFTWARE DIDACTICO CABRI II PLUS.

CARLOS ANDRES DIAZ HERNANDEZ

CARLOS EDUARDO MARTINEZ NUÑEZ

UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR

FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS Y EDUCACION

LICENCIATURA EN MATEMATICAS Y FISICA

VALLEDUPAR – CESAR

2011

UNIDAD DIDACTICA PARA EL APRENDIZAJE DEL TEOREMA DE

THALES Y SU APLICACIÓN A LA SEMEJANZA EN LOS TRIÁNGULOS

MEDIANTE EL USO DEL SOFTWARE DIDÁCTICO CABRI II PLUS.

Asesores:

ISIDORO GORDILLO

LIC. MATEMÁTICAS E INFORMATICA

SAÚL ENRIQUE VIDES GOMEZ

Magister en Matemática Aplicada

UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR

FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS Y EDUCACION

LICENCIATURA EN MATEMATICAS Y FISICA

VALLEDUPAR – CESAR

2011

CONTENIDO

1. PLANTEAMENTO DEL PROBLEMA..............................................................................4

1.1. DESCRIPCION DEL PROBLEMA..............................................................................5

1.2. ELEMENTOS DEL PROBLEMA..................................................................................5

1.3. DELIMITACION DEL PROBLEMA..............................................................................5

1.4. FORMULACION DEL PROBLEMA.............................................................................6

2. JUSTIFICACIÓN................................................................................................................7

3. OBJETIVOS:......................................................................................................................9

3.1. GENERAL.......................................................................................................................9

3.2. ESPECIFICOS:..............................................................................................................9

4. METODOLOGÍA................................................................................................................9

4.1. Tipo de investigación....................................................................................................9

4.2. Población......................................................................................................................10

4.3. Técnicas de obtención de información.....................................................................10

4.4. Fases de la investigación...........................................................................................10

5. MARCO TEORICO..........................................................................................................10

5.1. RAZÓN DE SEGMENTOS.........................................................................................10

5.1.1. Definición 1...............................................................................................................11

5.1.2. Definición 2...............................................................................................................11

5.2. TEOREMA 1.................................................................................................................12

5.3. TEOREMA 2.................................................................................................................13

5.4. TEOREMA 3: TEOREMA DE THALES....................................................................14

5.5. TEOREMA 4................................................................................................................15

5.6. TEOREMA 5: TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA SEMEJANZA DE TRIÁNGULO............................................................................................................................15

5.7. TEOREMA 7.................................................................................................................17

5.8. TEOREMA 8.................................................................................................................19

5.9. TEOREMA 9.................................................................................................................19

5.10. TEOREMA 10...........................................................................................................20

5.11. TEOREMA 11...........................................................................................................21

5.12. TEOREMA 12...........................................................................................................22

5.13. TEOREMA 13: SEGUNDO TEOREMA DE THALES.........................................23

5.14. TRANSFORMACIÓN ISOMÉTRICA.....................................................................24

5.14.1. TRASLACIÓN......................................................................................................24

5.14.2. ROTACIÓN...........................................................................................................25

5.14.3. SIMETRÍA CENTRAL..........................................................................................25

5.14.4. SIMETRÍA AXIAL.................................................................................................25

5.15. TRANSFORMACIONES DE SEMEJANZA..........................................................26

5.15.1. HOMOTECIA........................................................................................................26

5.15.2. DEFINICIÓN 3......................................................................................................27

5.15.3. PROPIEDADES...................................................................................................27

5.15.4. EJES DE HOMOTECIA......................................................................................28

5.16. SEMEJANZAS DE TRIÁNGULOS........................................................................29

5.16.1. PROPIEDADES DE SEMEJANZA....................................................................30

6. ANEXO 1..........................................................................................................................31

ANEXO 2..................................................................................................................................32

ANEXO 3..................................................................................................................................33

ANEXO 4..................................................................................................................................35

7. PRESUPUESTO DEL PROYECTO..............................................................................36

8. CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES............................................................................36

9. BIBLIOGRAFÍA................................................................................................................37

1. PLANTEAMENTO DEL PROBLEMA

El uso de las nuevas tecnologías hoy en día, facilita la realización de una gran

cantidad de actividades que antes generaban mayor tiempo y esfuerzo. El

campo de la educación no es la excepción, en particular en la enseñanza y

aprendizaje de la geometría, donde resulta reveladoramente importante su

empleo para potenciar la aprehensión de los conceptos fundamentales,

concretamente teoremas como el de Thales y su aplicación para determinar

cuándo dos o más triángulos son semejantes.

1.1.DESCRIPCION DEL PROBLEMA

En las instituciones educativas se presentan dificultades para comprender el

teorema de Thales y su aplicación a la semejanza de triángulos, debido a las

limitaciones que tienen las herramientas pedagógicas tradicionales. Es

evidente que actualmente hace falta incentivar el uso de las nuevas tecnologías

para potenciar el aprendizaje significativo de la Geometría.

1.2.ELEMENTOS DEL PROBLEMA

Se consideran elementos del problema en este proyecto:

La motivación de los estudiantes por el aprendizaje de la Geometría,

principalmente el teorema de Thales.

La implementación de la nueva tecnología como herramienta o instrumento

pedagógico para la apropiación y uso del teorema de Thales.

La exploración de los conceptos de congruencia y semejanza en los

triángulos.

1.3.DELIMITACION DEL PROBLEMA

El proyecto va dirigido a los grados octavo y noveno de la FUNDACION

ATENEO EL ROSARIO de la ciudad de Valledupar, donde se realizarán

actividades didácticas dentro de la sala de nuevas tecnologías.

1.4.FORMULACION DEL PROBLEMA

Según se encuentra registrado en un informe del DEPARTEMENTO DE

MÉTODO ATENEO, en la FUNDACIÓN ATENEO EL ROSARIO existen

antecedentes del efecto positivo del uso de estrategias y herramientas

pedagógicas en el aula de clases, en particular en la geometría, donde se

conocen proyectos tales como: tangram y relaciones espaciales.

También registra el informe que existen evidencias de uso del software

didáctico CABRI II PLUS, como lo fue una exposición para la semana de la

ciencia y tecnología en el 2010 a cargo de un grupo de estudiantes de los

grado octavo y noveno; quienes construían un bicicleta usando conceptos

fundamentales de geometría. Sin embargo, no existen evidencias de uso de

estrategias y herramientas pedagógicas para la enseñanza del teorema de

Thales y su empleo para la semejanza de triángulos, ni mucho menos el uso

del software CABRI II PLUS.

Se realizó una prueba en los estudiantes de grado noveno y se encontró

deficiencias en los conceptos de semejanza de polígonos (véase el anexo).

Algunos estudiantes no tienen claro el concepto de forma. Otros relacionan a

Thales con el teorema de Pitágoras. Los estudiantes presentan dificultad para

establecer relación de proporción entre números.

De las circunstancias expuestas con anterioridad, surge el siguiente

interrogante: ¿Será posible a través de actividades didácticas implementadas

bajo el software CABRI II PLUS potenciar la comprensión del Teorema de

Thales y su aplicación a la semejanza de triángulos?

2. JUSTIFICACIÓN

Se vive en un mundo de globalización de la economía, el cual demanda el uso

de las herramientas tecnológicas que facilitan el manejo eficaz de la

información y proporcionan condiciones propicias para el pleno desarrollo del

pensamiento, el análisis y la solución de situaciones problemas. Las nuevas

tecnologías están revolucionando las prácticas educativas en la mayoría de los

campos del saber. Acorde con esto, uno de los fines de la educación es

preparar al estudiante para corresponder y contribuir al desarrollo de la

sociedad. Con este objetivo se obtienen grandes beneficios al utilizar las

nuevas tecnologías en la enseñanza de la Geometría.

La demostración rigurosa de teoremas de la Geometría plana requiere

necesariamente de representaciones gráficas, bosquejos y construcciones

auxiliares. Resulta entonces muy útil el uso de las herramientas didácticas

para facilitar la construcción de dichas gráficas y así potenciar el proceso de

enseñanza y aprendizaje. La Geometría plana de por sí, goza de la virtud de

que la mayoría de sus conceptos pueden ilustrarse gráficamente. Aunque

haciendo uso de las herramientas tradicionales (reglas y compás) se puede

llegar a la comprensión de conceptos de Geometría, estas herramientas siguen

teniendo sus limitaciones.

La facilidad que brinda el software especializado en geometría para la

construcción, el análisis y la verificación de propiedades con la dinámica del

movimiento y la variación de parámetros en tiempo real, deja ver lo útil de

esta herramienta en comparación con los instrumentos tradicionales. Cabri II

Plus cumple con estas características a cabalidad. Este programa está

especialmente diseñado para la enseñanza e investigación en el campo de la

Geometría, además, es fácil de manejar y tiene las herramientas que se

necesitan para enseñar cualquier concepto fundamental de la misma.

Se presenta en este proyecto el teorema de Thales por dos razones. La

primera es que este teorema no es muy conocido; de hecho, en las escuelas

es más conocido el teorema de Pitágoras. Para los estudiantes Thales sólo fue

un filósofo, pero pocos conocen sobre los aportes que este erudito le hizo a la

geometría antes de Euclides.

La segunda razón, es porque este teorema ayuda a comprender mejor el

concepto de semejanza, dicho concepto está incluido en el pensamiento

espacial y geométrico de los estándares básicos fijados por el ministerio de

educación nacional para los grados octavo y noveno. Se sostiene que trabajar

o enseñar a utilizar Cabri es incentivar a los alumnos y maestros en el uso de

las nuevas tecnologías para mejorar los procesos de enseñanza y aprendizaje.

Aunque las herramientas tecnológicas por sí solas no garantizan el éxito en el

proceso enseñanza y aprendizaje, si facilitan el planeamiento de las

actividades para que sean más eficaces y surtan el efecto deseado para el

cual fueron concebidas mediante el modelo IAP (investigación – acción -

participación). Este tipo de investigación fomenta una mejor calidad en la

educación y al compartir estas experiencias con otros educadores, se

enriquece el análisis del teorema de Thales.

3. OBJETIVOS:

3.1.GENERAL

Contribuir a la enseñanza y aprendizaje del teorema de Thales y su aplicación

a la semejanza de triángulos, mediante el diseño e implementación de

unidades didácticas con el software geométrico didáctico CABRI II PLUS.

3.2.ESPECIFICOS:

Emplear nuevas tecnologías en el aula para potenciar el aprendizaje de la

geometría.

Diseñar actividades para la justificación del teorema de Thales y a través

del software didáctico CABRI II PLUS.

Diseñar actividades para la comprensión de concepto de semejanza de

triángulos aplicando el teorema de Thales con el software CABRI II PLUS.

4. METODOLOGÍA

4.1.Tipo de investigación

La investigación es de tipo cualitativo ya que los investigadores participan a

través de la interacción con los alumnos mediante unas actividades diseñadas

para analizar el impacto del uso de las nuevas tecnologías, particularmente el

uso del programa Cabri Geometre II Plus en la enseñanza y aprendizaje de

teoremas fundamentales de la geometría plana como es el caso del teorema de

Thales y su aplicación a la semejanza de triángulos.

4.2.Población

Conformada por los estudiantes del grupo octavo y noveno de la jornada de la

mañana de la FUNDACION ATENEO EL ROSARIO de la ciudad de

Valledupar.

4.3.Técnicas de obtención de información

Desarrollo de actividades didácticas en el aula de clases para observar de

manera directa todas las dificultades y fortalezas relacionadas con el Teorema

de Tales y su aplicación a la semejanza de triángulos seguidas de las guías

para su desarrollo con el software didáctico Cabri II Plus.

4.4.Fases de la investigación

Revisión bibliográfica.

Identificación de dificultades y fortalezas en los estudiantes de noveno 9º

grado.

Capacitación sobre el software Cabri II plus.

Diseño y elaboración de la secuencia de actividades.

Experimentación de la unidad didáctica.

Análisis y resultados.

Informe final.

5. MARCO TEORICO

5.1.RAZÓN DE SEGMENTOS

Un segmento u se puede tomar como unidad representativa de otros

segmentos los cuales se pueden expresar

una función del segmento u asignándole

cualquier número real. La razón entre

segmentos se define como la razón

numérica de los segmentos expresada en la

unidad convenida.

Expresado así:

PQRS

=mU (PQ )mU (RS )

, donde mu (PQ) es la medida de PQ y mu (RS) es la medida de

RS respecto a la unidad u como unidad de medida.

5.1.1. Definición 1

Dos pares de segmentos son proporcionales si la razón entre los mismos

segmentos de cada par son iguales, o al comparar la razón de los segmentos

con una combinación en particular da como resultado un mismo número real.

5.1.2. Definición 2

Dos polígonos son semejantes cuando tienen los ángulos homólogos iguales y

los lados homólogos proporcionales.

Es decir:

Sean α n y α ' n los ángulos homólogos, ln y l 'n los segmentos homólogos

de dos polígonos; si se cumple que α n=α 'n, ln=k∗l 'n donde k∈R y lnl ' n

=k

dichos polígonos son semejantes. Si k=1 se dice que los polígonos son

congruentes

5.2.TEOREMA 1

Si varias paralelas son cortadas

transversalmente por dos rectas no paralelas, y

se forman en una de las rectas segmentos

congruentes también formaran segmentos

congruentes en la otra recta (ver grafica #2).

HIPÓTESIS: P, Q, R y S son puntos de L en los cuales pasan rectas paralelas,

que también interceptan a L’ en los puntos P’, Q’, R’ y S’;

m (PQ )=m (QR )=m(RS)

TESIS: m (P 'Q ' )=m (Q ' R ' )=m(R ' S ')

Construcción auxiliar: por P’, Q’, R’ y S’ se trazan P ' F ,Q' G, R ' H paralelos a

la recta a L

DEMOSTRACIÓN

1. m (PQ )=m (QR )=m(RS) Hipótesis

2. m (∡1 )=m (∡3 )=m(∡5) Correspondientes entre paralelas

3. m (∡2 )=m (∡ 4 )=m(∡6) Correspondientes entre paralelas

4. ΔP ' FQ' ≅ ΔQ 'GR≅ ΔR ' MS' ALA

5. m (P ' F )=m (Q' G )=m(R ' H ) Lados homólogos de triángulos congruentes

6. m (P ' F )=m (PQ ) Lados opuestos del paralelogramo

7. m (Q'G )=m (QR ) Lados opuestos del paralelogramo

8. (R ' H )=m (RS ) Lados opuestos del paralelogramo

9. m (P 'Q ' )=m (Q ' R ' )=m(R ' S ') Sustitución de 6), 7) y 8) en 5)

5.3.TEOREMA 2

La proyección paralela de la suma de dos segmentos de la recta L es igual a la

suma de las proyecciones paralelas de dichos segmentos sobre la recta L.

HIPÓTESIS: Rectas L y L’ transversales cortadas por rectas paralelas en los puntos P, Q y R de L y P’, Q’, R’ de L’

m(PQ)+m(QR )=m(PR) ;m(P'Q ')+m(Q' R' )=m(P' R ') ;pp (m (PQ ) )=m(P'Q');

pp (m (QR ) )=m(Q ' R ')

TESIS: pp(m (PQ+QR ))=pp(m (PQ ))+ pp(m (QR ))

DEMOSTRACIÓN

1. m (PR )=m(PQ)+m(QR ) Hipótesis

2. m (P' R ')=m(P'Q' )+m(Q' R' ) Hipótesis

3. pp (m (PQ ) )=m(P'Q') Proyección de paralela

4. pp (m (QR ) )=m(Q ' R ') Proyección de paralela

5. pp (m (PR ) )=m(P' R ') Proyección de paralela

6. pp (m (PR ) )=m(P'Q' )+m(Q' R' ) Sustitución de 2) en 5)

7. pp (m (PR ) )=pp (m (PQ ) )+ pp (m (QR ) ) de 3) y 4) en 6)

Si los segmentos PQ, QR, RS,.. de la recta L son congruentes, también lo

serán los segmento P 'Q' , Q ' R ', R ' S ',.. de la recta L’, y si la razón de las

longitudes entre dos segmentos de L es r, la razón entre los segmentos

proyectados en L’ también será r.

En general se cumple que la proyección paralela del segmento obtenido al

multiplicar la longitud del segmento PQ por cualquier número real r es el

segmento que se obtiene al multiplicar por r la longitud del segmento P 'Q' .

Simbólicamente, pp(r*PQ) = r*P 'Q' .

5.4.TEOREMA 3: TEOREMA DE THALES

Si varias paralelas son cortadas por dos

transversales forman segmentos homólogos en

cada recta que son proporcionales(ver figura #3).

HIPÓTESIS: Rectas paralelas pasan por los

puntos P, Q, R Y S de la recta L y P’, Q’, R’ y S’ de

la recta L’; L y L’ son transversales.

TÉSIS: m(PQ)m(RS)

=m(P 'Q')m(R' S ')

DEMOSTRACIÓN

Sea x un segmento tal que este contenido m veces en PQ y n veces en RS

1. m(PQ)=mx m es un número real y x es un segmento

2. m(RS)=nx n es un número real y x es un segmento

3.m(PQ)m(RS)

=mn

Dividiendo miembro a miembro y simplificando

4.m(P'Q ')m(R ' S ')

=mn

En las paralelas que son cortadas por dos transversales, la razón cualesquiera de una de ellas es igual a la razón correspondiente de la otra

5.m(PQ)m(RS)

=m(P 'Q')m(R' S ')

Ley transitiva de 3) y 4)

La figura #3 muestra que en la recta L se ha elegido el segmento u como

unidad de medida, cuya proyección en L’ es el segmento u’, de modo que la

medida del segmento PQ se puede representar en función del segmento

unidad u como mu(PQ) y la medina del segmento P 'Q' se puede representar

en función del segmento proyección unidad u’ como mu’(P 'Q'). Las

propiedades que hemos enunciado nos permiten afirmar según el Teorema de

Thales que las medidas deben ser iguales, ya que dichas medidas están

basadas en unidades que son proporcionales como proyecciones entre L y L’

y con segmentos en su misma recta.

5.5.TEOREMA 4

Toda paralela a un lado de un triángulo divide a los otros

dos en segmentos proporcionales (figura #4).

HIPÓTESIS: Δ ABC; BC ∥ ln

TESIS: m(AL)m(LB)

=m(AN )

m(NC¿)¿

Construcción auxiliar: se traza la recta R paralela a BC, formando el segmento

ln y S∥BC en A.

DEMOSTRACIÓN

1.m(AL)m(LB)

=m(AN )

m(NC¿)¿Teorema de Thales

5.6.TEOREMA 5: TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA SEMEJANZA DE

TRIÁNGULO

Toda paralela a un lado de un triángulo determina con las

rectas a las que pertenecen los otros lados, un triángulo

semejante al dado.

HIPÓTESIS:Δ ABC; ML∥ AC

TESIS: Δ ABC∽ΔLBM

Construcción auxiliar: se traza Δ ABC; ML∥ AC

DEMOSTRACIÓN

1. m (∡B )=m (∡B ) Ley idéntica

2. m (∡2 )=m (∡ 4 ) Correspondientes entre paralelas

3. m (∡1 )=m (∡3 ) Correspondientes entre paralelas

4.m(BL)m(BA)

=m(BM )m(¿BC )¿

Teoremas de Thales

5.m(BM )m(BC)

=m(AN )m(AC¿)¿

Teoremas de Thales

6.m(BL)m(BA)

=m(BM )

m(BC¿)=m(AN )m(AC )

¿

Transitividad 4) y 5)

7. m (AM )=m (LM ) ANML es un paralelogramo

5.7TEOREMA 6

Toda paralela a un lado del triángulo cuyo vértice

opuesto es el origen de las las semirrectas que

contienen los otros dos lados, interceptan la paralela

formando un triángulo semejante al primero.

HIPÓTESIS: Δ ABC ; r semirrecta de origen B que contiene a AB ; s semirrecta

de origen B que contiene a BC ; t paralela a AC

TESIS: Δ ABC∽ΔLBM

Construcción auxiliar: t intercepta a r en L y s en M

DEMOSTRACIÓN

1.m (∡B )=m (∡B ) Propiedad idéntica

2.m (∡A )=m (∡ L ) Correspondientes entre paralelas

3.m (∡C )=m (∡M ) Correspondientes entre paralelas

4. ΔLBM Construcción

5.m(LB)m(AB)

=m(BM )

m(BC ¿)=m(ML)m(CA)

¿

∆ con lados proporcionales

6. ΔLBM∽ Δ ABC Definición de semejanza

7. Δ ABC∽ΔLBM Por carácter simétrico

5.7.TEOREMA 7

Toda paralela a un lado del triángulo en cuyos

extremos se originan semirrectas que se cortan en

el vértice opuesto y que contienen los otros dos

lados forma otro triángulo exterior que es

semejante al primero.

HIPÓTESIS: ΔABC ; r ∥AC

TESIS: ΔABC∽ΔBML

Construcción auxiliar: ΔNBO; ΔBLM s ∥AC ; segmento paralelo a MO que pasa por L en r y L’ es s; segmento paralelo a ln que pasa por M en r y M’ en s;m (NB )=m¿

DEMOSTRACIÓN

1. (∡1 )=m (∡5 ) Internos alternos

2. (∡2 )=m (∡4 ) Opuestos por el vértice

3. (∡3 )=m (∡6 ) Internos alternos

4.m(NB)m(AB)

=m(BO )m(BC )

=m(NO )m(CA)

∆ semejantes

5. m (NB )=m(BL) Por construcción

6.m(NO)m(OL)

=m(NB )m(BL)

Segmentos proporcionales entre paralelas

7. m (ML )=m(OL' ) Lados opuestos del paralelogramo

8.m(NO)m(ML)

=m(NB )m(BL)

De 6) y 7)

9.m(NO)m(NM ')

=m(OB )m(BM )

Segmentos proporcionales entre paralelas

10. m (NM ' )=m(ML) Lados opuestos del paralelogramo

11.m(NO)m(ML)

=m(OB)

m(BM ¿)¿De 9) y10)

12.m(NB)m(BL)

=m(NO)m(ML)

=m(OB )m(BM )

=1 Transitividad de 8) y 11)

13. ΔNBO ≅ ΔBML De 2), 2), 3) y 12)

14. ΔNBO∽ΔBML De 13)

15. ΔABC∽ΔNBO Teorema de Thales

16. ΔABC∽ΔBML Transitividad

5.8.TEOREMA 8

Dos triángulos que tienen dos lados respectivamente

proporcionales y el ángulo comprendido congruente,

son semejantes (FIGURA #8).

HIPÓTESIS:ΔABC ; ΔA ' B' C '; m (∡C ' )=m (∡C ' );m(CA)

m(C ' A ')=

m(CB)m(C ' B ')

ΔABC∽Δ A ' B' C '

Construcción auxiliar: trácese MN ∥ AB; que corta AC en M y CB en N y

m (CM )=m¿

DEMOSTRACIÓN

1. ΔABC∽ΔMNC MN ∥ AB

2.m(CA)m(CM )

=m(CB)m(CN )

ΔABC∽ΔMNC

3.m(CA)

m(C ' A ')=

m(CB)m(CN )

m (CM )=m¿ construcción

4.m(CA)

m(C ' A ')=

m(CB)m(C ' B ')

Hipótesis

5. m (CN )=m (C ' B ' ); La cuarta proporcional de 3) y 4) son iguales

6. ΔMNC ≅ ΔA ' B ' C ' LAL

7. ΔABC∽Δ A ' B' C ' Definición de semejanza

5.9.TEOREMA 9

Dos triángulos que tienen dos ángulos respectivamente

iguales son semejantes (FIGURA #9).

HIPÓTESIS: Δ ABC y Δ A ' B ' C '; m (∡C )=m (∡C ' );

m (∡A )=m (∡A ' )

TESIS: Δ ABC∽Δ A ' B ' C '

Construcción auxiliar: Trácese MN ∥ AB; que corta AC en M y CB en N y m (CM )=m¿

DEMOSTRACIÓN

1. Δ ABC∽ΔMNC MN ∥ AB

2. m (∡C )=m (∡C ' ) Hipótesis

3. m (CM )=m¿ Construcción

4. m (∡A )=m (∡M ) Correspondientes entre paralelas

5. ΔMNC ≅ Δ A ' B ' C ' ALA

6. Δ ABC∽Δ A ' B ' C ' Definición de semejanza

5.10. TEOREMA 10

Dos triángulos que tienen tres lados proporcionales

son semejantes (FIGURA #10)

HIPÓTESIS: Δ ABC y ΔMNC ; m(AC )m(A ' C ')

=m(CB)m(C ' B ')

=m(BA )

m(B' A ')


Construcción auxiliar: Trácese MN ∥ AB; que corta AC en M y CB en N y m (CN )=m¿

DEMOSTRACIÓN


2.m(AC )m(A ' C ')

=m(CB)m(C ' B ')

=m(BA )

m(B' A ')Hipótesis

3.m(AC )m(CN )

=m(CB)m(CM )

=m(BA)m(NM )

∆ semejantes lados proporcionales

4.m(CB)m(C ' B' )

=m(CB)m(CM ) Y

m(BA)m(B ' A ')

=m ¿¿

Transitividad de 3) y 4)

5. m (CN )=m(C ' A' ) Por construcción

6. m (C ' B ' )=m ¿ Igualdad de 4)

7. m (B ' A ' )=m¿ Igualdad de 4)

8. ΔMNC ≅ Δ A ' B ' C ' LLL


5.11. TEOREMA 11

Dos triángulos que tienen dos lados

respectivamente proporcionales y el ángulo

opuesto al mayor de ellos igual, son semejantes

(FIGURA #11).

HIPÓTESIS: Δ ABC y ΔMNC ; m (AC )>m¿;m (A ' C ' )>m ¿; m(AC )m(A ' C ')

=m(CB)m(C ' B ')

;

m (∡B )=m (∡B ' )


Construcción auxiliar: Trácese MN ∥ AB; que corta AC en M y CB en N y m (CN )=m¿

DEMOSTRACIÓN


2.m(AC )m(A ' C ')

=m(CB)m(C ' B ')

Hipótesis

3.m(AC )m(CN )

=m(CB)m(CM )

Lados homólogos de ∆ semejantes

4. m (CN )=m¿ Por construcción

5. m (CM )=m(C' B' ) Transitividad

6. m (∡B )=m (∡B ' ) Hipótesis

7. ΔMNC ≅ Δ A ' B ' C ' ALA


5.12. TEOREMA 12

Los elementos homólogos de los triángulos

semejantes: alturas bisectrices y medianas, son

proporcionales a los lados homólogos y

proporcionales entre sí (FIGURA #12).

HIPÓTESIS: Δ ABC ∆≝¿; AD Y EH alturas

homólogas; BM y FN alturas homólogas

TESIS: m(AC)m(EG)

=m(AD)m(EH )

=m(BM )m(FN )

DEMOSTRACIÓN

1. Δ ADC∽ΔEHG Triángulos rectángulos con ángulos agudos igual

2. ΔCMB∽ ΔGNF Triángulos rectángulos con ángulos

agudos igual

3.m(AC )m(EG)

=m(AD)m(EH )

Triángulos semejantes lados proporcionales

4.m(CB)m(GF )

=m(BM )m(FN )

Triángulos semejantes lados proporcionales

5.m(AC)m(EG)

=m(AD)m(EH )

=m(BM )m(FN )

Igualdad entre 3) y 4)

5.13. TEOREMA 13: SEGUNDO TEOREMA DE THALES

El segundo teorema de Thales de Mileto es un teorema de

geometría particularmente enfocado a los triángulos

rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos.

Consiste en el siguiente enunciado:

Sea C un punto de la circunferencia de diámetro [AB],

distinto de A y de B. Entonces el ángulo ACB, es recto (FIGURA #13).

HIPÓTESIS: Dado que los segmentos m(OA )=m(OC )=m(OB ) son todos radios

de la misma circunferencia, ∆OAC y ∆OCB son isósceles por lo cual se

puede decir que cada uno tiene por lo menos un par de ángulos iguales. De

modo que m (∡A )=m(∡1); (∡c )=m (∡1 )+m(∡2); m (∡B )=m(∡2)

TESIS: m (∡C )= π2

Construcción auxiliar: trácese un radio perpendicular al diámetro AB formando

los triángulos rectángulos ∆OAC y ∆OCB

DEMOSTRACIÓN

1. m (∡A )+m (∡B )+m (∡C )=π Suma de ángulos internos de un ∆

2. (∡c )=m (∡1 )+m(∡2) Hipótesis

3. m (∡A )=m(∡1) Hipótesis

4. m (∡B )=m(∡2) Hipótesis

5. m (∡1 )+m (∡2 )+[m (∡1 )+m (∡2 ) ]=π 2), 3) y 4) en 1)

6. 2m (∡1 )+2m (∡2 )=π Términos semejantes

7. [m (∡1 )+m (∡2 )]=π2

Dividiendo por 2

8. m (∡C )= π2

De 2)

Además, la bisectriz de un triángulo corta al lado opuesto del ángulo con la

bisectriz en dos segmentos iguales, por Pitágoras: AB ²=CA ²+CB ² .

En conclusión se forma un triángulo rectángulo.

5.14. TRANSFORMACIÓN ISOMÉTRICA

La palabra isometría tiene su origen en el griego iso (igual o mismo) y metrie

(medir), una definición cercana es igual medida. Existen tres tipos de

isometrías: traslación, simetría y rotación.

Las transformaciones isométricas son transformaciones de figuras en el plano

que se realizan sin variar las dimensiones ni el área de las mismas; la figura

inicial y la final son semejantes, y geométricamente congruentes.

5.14.1. TRASLACIÓN

Se llama traslación de un objeto m respecto a el

vector v⃗ a la isometría en que a cada punto de m del

plano le hace corresponder un punto m' del mismo plano, si A y A’ son puntos

tales que A pertenece a m y A’ pertenece a m’ entonces AA' es igual a v⃗

(figura #14).

5.14.2. ROTACIÓN

Una rotación, en geometría, es un movimiento

de cambio de orientación de un cuerpo, de

forma que, dado un punto cualquiera del

objeto, este permanece a una distancia

constante de un punto fijo o denominado

centro de rotación (FIGURA #15).

5.14.3. SIMETRÍA CENTRAL

La simetría central, en geometría, es una

transformación en la que a cada punto se le asocia

otro punto llamado imagen (FIGURA #16), que

debe cumplir las siguientes condiciones:

a) El punto y su imagen están a igual distancia de un punto llamado centro de

simetría.

b) El punto, su imagen y el centro de simetría pertenecen a una misma recta.

Según estas definiciones, con una simetría central se obtiene la misma figura

con una rotación de 180 grados.

5.14.4. SIMETRÍA AXIAL

La simetría axial, en geometría, es una transformación respecto a una recta

llamada eje, en la cual, a cada

punto de una figura se asocia a

otro punto llamado imagen

(FIGURA #17), que cumple con

las siguientes condiciones:

a) La distancia de un punto y su

imagen al eje de simetría, es la misma.

b) El segmento que une un punto con su imagen, es perpendicular al eje de

simetría.

5.15. TRANSFORMACIONES DE SEMEJANZA

El concepto de movimiento rígido se ha usado para definir de manera precisa la

noción de congruencia de figuras, que suele describirse de manera informal

como “figuras que tienen el mismo tamaño y la misma forma”. La noción

informal de figuras semejantes como las que tienen la misma forma puede ser

precisada utilizando las transformaciones del plano que se conocen como

homotecias y semejanzas.

5.15.1. HOMOTECIA

Una homotecia es una trasformación

geométrica que, a partir de un punto fijo,

multiplica todas las distancias por un mismo factor. Es una amplificación. Su

definición rigurosa es vectorial:

5.15.2. DEFINICIÓN 3

Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Sea O un elemento (visto como

un punto) de E. La homotecia de centro O y de razón k, denotada hO,k envía un

punto M del espacio vectorial sobre el punto M' tal que:

O⃗M '=kO⃗M

Homotecia, de centro el punto O y razón el número real k ≠ 0, es una

transformación geométrica que hace corresponder a cada punto P otro punto P′

tal que el vector es igual al resultado de multiplicar el vector por el número k. Si

k es positivo, P′ está en la semirrecta de origen O que pasa por P.

5.15.3. PROPIEDADES

La homotecia es una trasformación lineal y por consiguiente conserva:

a. El alineamiento: las imágenes de puntos alineados son alineados: (A, B, C,

D, E y F) y (A', B', C', D’, E’ y F’) en la figura 19.

b. El paralelismo: dos rectas paralelas tienen imágenes paralelas.

Además la homotecia conserva:

c. El cociente de longitudes: AEED

= A ' E 'E ' D '

en la figura 19

d. Los ángulos orientados, en particular los ángulos rectos. Es obvio en la

figura 19.

e. La imagen de una recta es otra recta paralela.

f. Todas las longitudes son multiplicadas por |k|, el valor absoluto de la razón.

g. Si k ≠ 1, el centro de la homotecia es el único punto fijo (k = 1 corresponde

a la identidad de E: todos los puntos son fijos)

h. Si k ≠ 0, hO,k admite como trasformación recíproca hO,1/k (cuando k = 0, no

es biyectiva)

i. Al componer dos homotecias del mismo centro se obtiene otra homotecia

con este centro, cuya razón es el producto de las razones de las

homotecias iniciales: hO,k o hO’,k’ = hO,k*k’.

j. Al componer homotecias de centros distintos, de razones k y k', se obtiene

una homotecia de razón k•k' cuando k•k' ≠1, y una traslación. Se dice que

el conjunto de las homotecias y las translaciones forman un grupo.

k. k = - 1 corresponde a la simetría de centro O, o una rotación alrededor de

O de ángulo π radianes (180°)

l. |k| > 1 implica una ampliación de la figura.

m. |k| < 1 implica una reducción.

n. K < 0 se puede interpretar como la composición de una simetría de centro

O con una homotecia sin inversión.

5.15.4. EJES DE HOMOTECIA

Dadas un par de circunferencias, estas siempre se pueden considerar como

homotéticas una de la otra. En la figura #19, la circunferencia S2 puede

considerarse homotética de S1 bien sea en la homotecia de razón positiva, con

centro en P1, o de razón negativa, con centro de homotecia en N1.

Consideremos las homotecias, una con centro en P1 en la cual la

circunferencia S2 es homotética de la circunferencia S1, y la homotecia de

centro P3 en la que la circunferencia S3 es homotética a la circunferencia S2.

La composición de estas dos homotecias es la homotecia de centro en P2 que

transforma la circunferencia S1 en la circunferencia S3. Es por esta razón que

los centros de homotecia positivos, P1, P2 y P3 son colineales.

En general, dadas tres circunferencias existen seis centros de homotecia,

alineados tres a tres sobre

cuatro rectas. Estas rectas son

las llamadas ejes de homotecia

de las tres circunferencias

dadas.

5.16. SEMEJANZAS DE

TRIÁNGULOS

Una semejanza es la composición de una isometría (o sea, una rotación y una

posible reflexión o simetría axial) con una homotecia. En la homotecia se puede

cambiar el tamaño y la orientación de una figura pero no se altera su forma.

Diremos que una transformación es de semejanza si y sólo si es una secuencia

de homotecias (transformaciones de tamaño) y movimientos rígidos.

Para los triángulos, la forma sólo depende de sus ángulos (para el caso del

triángulo rectángulo, la forma de este depende del cociente base / altura).

En general según la definición 2 puede decir que: dos triángulos son

semejantes si sus ángulos homólogos son iguales y sus lados homólogos son

proporcionales. Si dicha razón es igual a uno los triángulos son congruentes.

En la figura #20, los ángulos

correspondientes son ∡ A=∡A ' ,

∡B=∡B ' y ∡C=∡C '. Para denotar

que dos triángulos ∆ ABC y ∆ A ' B ' C ' son semejantes se escribe

∆ ABC ∆ A ' B' C ', donde el orden indica la correspondencia entre los ángulos:

∡ A, ∡B y ∡C se corresponden con ∡ A ', ∡B' y∠∡C ' , respectivamente.

Dado que todos los triángulos equiláteros tienen sus ángulos internos sesenta

grados cada uno todos los triángulos equiláteros son semejantes. Si dos

triángulos tienen dos ángulos iguales, los terceros también son iguales. La

razón es que siempre la suma de los ángulos internos de un triángulo es ciento

ochenta grados.

5.16.1. PROPIEDADES DE SEMEJANZA

Propiedad reflexiva, refleja o idéntica: Todo triángulo es semejante a sí

mismo.

Propiedad idéntica o simétrica: Si un triángulo es semejante a otro, aquel es

semejante al primero.

Propiedad transitiva Si un triángulo es semejante a otro, y éste a su vez es

semejante a un tercero, el primero es semejante al tercero.

Estas tres propiedades implican que la relación de semejanza entre dos

triángulos es una relación de equivalencia.

6. ANEXO 1

1 2 3 40.0%

10.0%20.0%30.0%40.0%50.0%60.0%

1. ¿Qué sabes sobre Thales de

Mileto?1. ¿Qué sabes sobre Thales de Mileto?

1. El que invento el teorema de Pitágoras

2. Un guerrero griego de la antigüedad

3. Un filósofo y matemático4. Un emperador romano

1. Es la igualdad entre dos razones2. Es la igualdad de dos

expresiones matemáticas3. Es una relación directamente

proporcional4. Es una relación inversamente

proporcional1 2 3 4

0.0%5.0%

10.0%15.0%20.0%25.0%30.0%35.0%40.0%45.0%

2. ¿Qué es una proporción?

2. ¿Qué es una pro-porción?

1 2 3 40.0%

10.0%20.0%30.0%40.0%50.0%60.0%70.0%80.0%

3. ¿Cuándo dos polígonos son semejantes?

3. ¿Cuándo dos polígonos son seme-jantes?

1. Cuando tienen la misma forma y el mismo tamaño

2. Cuando los ángulos homólogos son iguales y sus lados homólogos son proporcionales

3. Cuando tienen el mismo color y la misma textura

4. Si son iguales

ANEXO 2

1 2 3 40.0%5.0%

10.0%15.0%20.0%25.0%30.0%35.0%40.0%45.0%

5. ¿De qué habla el Teorema de Thales?

5. ¿De qué habla el Teo-rema de Thales?

1 2 3 40.0%

10.0%20.0%30.0%40.0%50.0%60.0%70.0%80.0%

4. ¿Qué son polí-gonos congruentes?

4. ¿Qué son polígonos congruentes?

1. Son las que se parecen2. Son los que tienen el mismo color3. Son los triángulos4. Cuando tienen la misma forma y el

mismo tamaño

1. La proporción de los segmentos homólogos generados por paralelas secantes a dos rectas

2. Del teorema de Pitágoras3. La proporción de segmentos de

una circunferencia4. La hipotenusa al cuadrado es igual a

la suma de los catetos elevados al cuadrado

1. 3/12=9/42. 3/9=12/43. 3/9=4/124. 12/9=3/4

1 2 3 40.0%5.0%

10.0%15.0%20.0%25.0%30.0%35.0%40.0%45.0%50.0%

6. La relación entre los números 12, 9, 3 y 4

obedece a la proporción

6. La relación en-tre los números 12, 9, 3 y 4 obe-dece a la pro-porción

ANEXO 3

7. FIGURAS

CATEGORIAS

a b c D

1 y 2 85,7% 0,0% 0,0% 14,3%

1 y 3 14,3% 0,0% 0,0% 85,7%

1 y 4 57,1% 0,0% 14,3% 28,6%

2 y 3 0,0% 16,7% 0,0% 83,3%

2 y 4 33,3% 16,7% 0,0% 50,0%

3 y 4 0,0% 16,7% 50,0% 33,3%

1 20.0%

10.0%

20.0%

30.0%

40.0%

50.0%

60.0%

8. FIGURAS

8. FIGURAS

1. Confundió formas2. No confundió formas

1 2 3 4 5 60.0%

10.0%

20.0%

30.0%

40.0%

50.0%

60.0%

70.0%

80.0%

90.0%

abcd

7. FIGURAS

a) Si las figuras tienen la misma formab) Si las figuras tienen el mismo tamañoc) Si las figuras tienen la misma forma y el

mismo tamañod) Si las figuras no tienen ni la misma forma

ni el mismo tamaño

ANEXO 4

7. PRESUPUESTO DEL PROYECTO

DESCRIPCIÓN COSTO ($)

IMPRESIÓN DE PROYECTO, FOTOCOPIAS ELABORACION

DE LAS GUIAS Y PAPELERIA EN GENERAL

50.000

HORAS EN INTERNET 30.000

OTROS GASTOS ADICIONALES 20.000

ASESORES 5’000.000

TOTAL 5’100.000

8. CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES

9. BIBLIOGRAFÍA

ACTIVIDADES AÑO 2010 AÑO 2011

1. VISITA AL COLEGIO Y PLANTEAMIENTO DEL

PROBLEMA

2. ELABORACIÓN DEL MARCO TEORICO

3. ENTREGA DE ANTEPROYECTO

4. OBSERVACIONES

5. DISEÑO Y PLANEACIÓN DE ACTIVIDADES

6. OBSERVACIONES

7. EJECUCIÓN DE LAS ACTIVIDADES

8. OBSERVACIONES

9. ANALISIS E INTERPRETACIÓN

10. INFORME FINAL

MESES 1,2 3,4 5,6 7,8 9,1 11,12 1,2 3,4 5,6

AUSUBEL-NOVAK-HANESIAN (1983), Psicología Educativa: Un punto

de vista cognoscitivo .2° Ed.TRILLAS México

CHEVALLARD Y. (1992), Concepts fondamentaux de la didactique:

Perspectives aportées par une approche anthropologique. Recherches en

Didactique des Mathématiques, 12 (1) 73-112.

Estándares básicos de matemáticas y lenguaje edición 2004.Ministerio

De Educación Nacional.

GODINO J. D. y BATANERO C. (1994), Significado institucional y

personal de los objetos matemáticos. Recherches en Didactique des

Mathématiques,14 (3) 325-355

GODINO J. D. (2002), Un enfoque ontológico y semiótico de la cognición

matemática. Recherches en Didactique des Mathématiques. 22 (2/3) 237-

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Lineamientos curriculares de matemáticas.2002.Moreno s. Ministerio De

Educación Nacional.

Montero G.1992, Matemática constructiva 1996 edit. Libros & libros

Martínez p 1997 Pensamiento matemático moderno. edit libros y libros

Fuentes F. Castanñez O. Gordillo I. 2010 Geometría plana de Euclides

al Cabri

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