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NEEJA: NÚCLEO ESTADUAL DE EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS “CONSTRUINDO UM NOVO MUNDO’’ MÓDULO 4 (SEXTA SÉRIE) PROFESSOR Ardelino R Puhl

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NEEJA: NÚCLEO ESTADUAL DE EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS

“CONSTRUINDO UM NOVO MUNDO’’

MÓDULO – 4 (SEXTA SÉRIE)

PROFESSOR Ardelino R Puhl

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NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS

Observe que, no conjunto dos números naturais, a operação de subtração nem sempre é possível

Exemplos:

a) 5 - 3 = 2 (possível: 2 é um número natural)

b) 9 - 9 = 0 ( possível: 0 é um número natural)

c) 3 - 5 = ? ( impossível nos números naturais)

Para tonar sempre possível a subtração, foi criado o conjunto dos números inteiros relativos,

-1, -2, -3,.........lê-se: menos um ou 1 negativo lê-se: menos dois ou dois negativo lê-se: menos três

ou três negativo

Reunindo os números negativos, o zero e os números positivos, formamos o conjunto dos números

inteiros relativos, que será representado por Z.

Z = { .....-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3,......}

5) As temperaturas acima de 0°C (zero grau) são representadas por números positivos e as

temperaturas abaixo de 0°C, por números negativos. Represente a seguinte situação com números

inteiros relativos:

a) 5° acima de zero = (R: +5 ) b) 3° abaixo de zero = (Resposta -3)

c) 9°C abaixo de zero= (R: -9) d) 15° acima de zero = ( +15)

REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS INTEIROS NA RETA

Vamos traçar uma reta e marcar o ponto 0. À direta do ponto 0, com uma certa unidade de medida,

assinalemos os pontos que correspondem aos números positivos e à esquerda de 0, com a mesma

unidade, assinalaremos os pontos que correspondem aos números negativos.

_I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I_

-6.. -5...-4. -3,. -2,..-1,.. 0,.+1,.+2,.+3,.+4,..+5,.+6

1) Escreva os números inteiros:

a) compreendidos entre 1 e 7 (R: 2,3,4,5,6)

b) compreendidos entre -2 e 4 (R: -1, 0, 1, 2, 3 )

c) compreendidos entre -3 e 3 (R: -2,-1,0,1,2)

d) compreendidos entre -5 e -1 ( R: -4, -3, -2)

e) compreendidos entre -4 e 2 ( R: -3, -2, -1, 0, 1)

f) compreendidos entre -6 e 0 (R: -5, -4, -3, -2, -1)

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COMPARAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS

Observe a representação gráfica dos números inteiros na reta.

-I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I_

-6.. -5...-4. -3,. -2,..-1,.. 0,.+1,.+2,.+3,.+4,..+5,.+6

Dados dois números quaisquer, o que está à direita é o maior deles, e o que está à esquerda, o menor

deles.

a) -1 maior; -4, porque -1 está à direita de -4.

b) -4 menor -2 , porque -4 está à esquerda de -2.

c) +2 maior; -4, porque +2 está a direita de -4

d) -2 menor +1, porque -2 está à esquerda de +1.

Exercícios

1) coloque os números em ordem crescente.

a) -9,-3,-7,+1,0 (Resposta -9,-7,-3,0,1)

b) 25,-3,-18,+15,+8,-9 (R: -18,-9,-3,+8,+15,+25)

c) -2, -6, -5, -3, -8 (R: -8, -6,-5, -3,-2)

d) +60,-21,-34,-105,-90( R: -105,-90,-34,-21, +60)

e) 5,-3,1,0,-1,20 (R: -3,-1,0,1,5,20)

f) -400,+620,- 840,+1000,-100 ( R: -840,-400,-100,+620,+1000)

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO COM NÚMEROS INTEIROS

ADIÇÃO

1) Adição de números positivos

A soma de dois números positivos é um número positivo.

EXEMPLOS

a) (+2) + (+5) = +7

b) (+1) + (+4) = +5

c) (+6) + (+3) = +9

Simplificando a maneira de escrever

a) +2 +5 = +7

b) +1 + 4 = +5

c) +6 + 3 = +9

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2) Adição de números negativos

A soma de dois números negativos é um número negativo

Exemplos:

a) (-2) + (-3) = -5

b) (-1) + (-1) = -2

c) (-7) + (-2) = -9

Simplificando a maneira de escrever

a) -2 - 3 = -5

b) -1 -1 = -2

c) -7 - 2 = -9

3) Adição de números com sinais diferentes

a) (+6) + ( -1) = +5

b) (+2) + (-5) = -3

c) (-10) + ( +3) = -7

EXERCÍCIOS 1) Dados os números x= 6, y = 5 e z= - 6, calcule:

a) x + y = (Resposta: +11) b) y + z = (R: -4) c) x + z = (R: -3)

2) Calcule

a) 4 + 10 + 8 = (Resposta: 22)

b) -14 - 3 - 6 - 1 = (R: -24)

c) 5 - 9 + 1 = (R: -3)

d) -4 + 5 + 6 + 3 - 9 = (R: + 1)

e) -8 - 2 + 3 = (R: -7)

f) -1 + 2 - 4 - 6 - 3 - 8 = (R: -20)

g) -15 + 8 - 7 = (R: -14)

h) 6 - 8 - 3 - 7 - 5 - 1 + 0 - 2 = (R: -20

i) 24 + 6 - 12 = (R:+18)

j) 2 - 10 - 6 + 14 - 1 + 20 = (R: +19)

3) Calcule

a) (-5) + (+2) - (-1) + (-7) = (Resposta: -9)

b) (+2) - (-3) + (-5) -(-9) = (R: 9)

c) (-2) + (-1) -(-7) + (-4) = (R: 0)

d) (-5) + (-6) -(-2) + (-3) = (R: -12)

e) (+9) -(-2) + (-1) - (-3) = (R: 13)

f) 9 - (-7) -11 = (R: 5 )

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g) -2 + (-1) -6 = (R: -9)

h) -(+7) -4 -12 = (R: -23)

i) 15 -(+9) -(-2) = (R: 8 )

j) -25 - ( -5) -30 = (R: -50)

l) - 50 - (+7) - 43 = (Resposta -100)

m) 10 -2 -5 -(+2) - (-3) = (R: 4)

n) 18 - (-3) - 13 -1 -(-4) = (R: 11)

o) 5 -(-5) + 3 - (-3) + 0 - 6 = (R: 10)

p) -28 + 7 + (-12) + (-1) -4 -2 = (R: -40)

q) -21 -7 -6 -(-15) -2 -(-10) = (R: -11)

r) 10 -(-8) + (-9) -(-12)-6 + 5 = (R: 20

EXPRESSÕES COM NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS

Lembrem-se de que os sinais de associação são eliminados obedecendo à seguinte ordem:

10 parênteses () 2

0 colchetes [ ] 3

0 chaves { }

EXERCICIOS

1°) exemplo

8 + ( +7 -1 ) - ( -3 + 1 - 5)=

8 + 7 - 1 + 3 - 1 + 5 =

23 - 2 = 21

2°) exemplo

10 + [ -3 + 1 - ( -2 + 6)]=

10 + [ -3 + 1 + 2 - 6 ] =

10 - 3 + 1 + 2 - 6 =

13 - 9 = 4

3°) exemplo

-17 + { +5 - [ +2 - ( -6 +9 ) ]}

-17 + { +5 - [ +2 + 6 - 9]} =

-17 + { +5 - 2 - 6 + 9 } =

-17 +5 - 2 - 6 + 9 =

-25 + 14 = - 11

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Calcule o valor das seguintes expressões:

1) 15 -(3-2) + ( 7 -4) = (Resposta: 17)

2) 25 - ( 8 - 5 + 3) - ( 12 - 5 - 8) = (R: 20 )

3) ( 10 -2 ) - 3 + ( 8 + 7 - 5) = (R: 15)

4) ( 9 - 4 + 2 ) - 1 + ( 9 + 5 - 3) = (R: 17)

5) 18 - [ 2 + ( 7 - 3 - 8 ) - 10 ] = (R: 30 )

6) -4 + [ -3 + ( -5 + 9 - 2 )] = (R: -5)

7) -6 - [10 + (-8 -3 ) -1] = (R: -4)

8) -8 - [ -2 - (-12) + 3 ] = (R: -21)

9) 25 - { -2 + [ 6 + ( -4 -1 )]} = (R: 26)

10) 17 - { 5 - 3 + [ 8 - ( -1 - 3 ) + 5 ] } = (R: -2)

11) 3 - { -5 -[8 - 2 + ( -5 + 9 ) ] } = (R: 18)

12) -10 - { -2 + [ + 1 - ( - 3 - 5 ) + 3 ] } = (R: -20)

13) { 2 + [ 1 + ( -15 -15 ) - 2] } = (R: -29)

14) { 30 + [ 10 - 5 + ( -2 -3)] -18 -12} = (R: 0 )

15) 20 + { [ 7 + 5 + ( -9 + 7 ) + 3 ] } = (R: 33)

16) -4 - { 2 + [ - 3 - ( -1 + 7) ] + 2} = (R: 1)

17) 10 - { -2 + [ +1 + ( +7 - 3) - 2] + 6 } = (R: 3 )

18) -{ -2 - [ -3 - (- 5 + 1) ]} - 18 = (R: -13)

19) -20 - { -4 -[-8 + ( +12 - 6 - 2 ) + 2 +3 ]} = (R: -15)

20) {[( -50 -10) + 11 + 19 ] + 20 } + 10 = (R: 0 )

MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS.

MULTIPLICAÇÃO

1) Efetue:

a) (+8). (+5) = (Resposta: 40)

b) (-8) . (-5) = (R: 40)

c) (+8) .(-5) = (R: -40)

d) (-8) . (+5) = (R: -40)

e) (-3). (+9) = (R: -27)

f) (+3) . (-9) = (R: -27)

g) (-3) . (-9) = (R: 27)

h) (+3). (+9) = (R: 27)

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i) (+7) . (-10) = (R: -70)

j) (+7) . (+10) = (R: 70)

l) (-7) . (+10) = (R: -70)

m) (-7). (-10) = (R: 70

2) Efetue os produto

a) (-3). (+2). (-4). (+1). (- 5) = (Resposta -120)

b) (-1) . (-2). (-3). (-4). (-5) = (R: -120)

c) (-2) . (-2). (-2). (-2). (-2). (-2) = (R: 64)

d) (+1) . (+3). (-6). (-2). (-1). (+2)= (R: -72)

e) (+3). (-2). (+4). (-1). (-5). (-6) = (R: 720)

f) 5 . (-3). (-4) = (R: +60

DIVISÃO

Você sabe que a divisão é a operação inversa da multiplicação

Observe:

a) (+12) : (+4) = (+3) b) (-12) : (-4) = 3 , c) (+12) : (-4) = (-3) d) (-12) : (+4) = (-3),

1)Calcule o quocientes

a) (-48): (+12) = (Resposta: -4)

b) (-32): (-16) = (R: 2)

c) (+60): (-12) = (R: -5)

d) (-64): (+16) = (R: -4)

e) (-28): (-14) = (R: 2)

f) (0): (+5) = (R: 0)

2)Resolver as expressões

a) 20: 2 -7 = (Resposta: 3 )

b) -8 + 12: 3 = (R: -4)

c) 6 : (-2) +1 = (R: -2)

d) 8 : (-4) - (-7) = (R: 5)

e) (-15) : (-3) + 7 = (R: 12)

f) 40 - (-25) : (-5) = (R: 35)

g) (-16) : (+4) + 12 = (R: 8)

h) 18 : 6 + (-28) : (-4) = ( R: 10)

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i) -14 + 42 : 3 = (R: 0)

j) 40 : (-2) + 9 = (R: -11

l) (-12) 3 + 6 = (R: 2)

m) (-54): (-9) + 2 = (R: 8)

n) 20 + (-10). (-5) = (R: 70)

o) (-1) . (-8) + 20 = (R: 28 )

p) 4 + 6 . (-2) = (R: -8)

POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO

POTENCIAÇÃO

Essa representação é conhecida como potenciação, portanto, sempre que tivermos fatores iguais,

podemos montar uma potência. Representamos uma potência da seguinte forma:

. A base sempre será o valor do fator

O expoente é a quantidade de vezes que o fator repete.

A potência é o resultado do produto.

• Base positiva

Quando a base é positiva resolvemos a potência normalmente.

(+2)5 = +2. (+2). (+2). (+2). (+2) = 32

• Base negativa

Quando a base for negativa devemos fazer o jogo de sinais utilizados na multiplicação.

(-5)3 = (-5). (-5). (-5) = - 125

Base fracionária

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RADICIAÇÃO

• 1º caso: Expoente inteiro maior que 1.

Potência de expoente inteiro maior que 1 é o produto de tantos fatores iguais à base quantas forem

as unidades do expoente.

Assim:

Exemplos:

a) 43 = 4 · 4 · 4 = 64

b) 15 = 1 · 1 · 1 · 1 · 1 = 1

c) (–2)4= (–2) · (–2) · (–2) · (–2) = 16

d)

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• 2º caso: Expoente 1

Toda potência de expoente 1 é igual à base.

Assim:

Exemplos

a) 51 = 5

b)

• 3º caso: Expoente zero

Toda potência de expoente zero é igual a 1.

Assim:

Exemplos

a) 50 = 1

b) = 1

• 4º caso: Expoente inteiro negativo

Toda potência de expoente inteiro negativo e base não-nula é igual à potência de base

igual ao inverso da base dada e expoente igual ao oposto do expoente dado.

Assim:

Exemplos:

a)

b)

c)

Veja alguns exemplos de expressões numéricas com potência em sua estrutura.

1) 3 . {43 – [5 . 6

0 + 7 . (9

2 – 80)]}

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3. {64 – [5 . 1 + 7 . (81 – 80)]}

3 . {64 – [5 + 7.1 ]}

3. {64 – [5 + 7]}

3. {64 – 12}

3. 52= 156

2) (33 + 3 . 7)

2 : {4 . [800 – (3

2 . 2 + 10)

2]}

(27 + 3 . 7)2 : {4 . [800 – (9 . 2 + 10)

2]}

(27 + 21)2 : {4 . [800 – (18 + 10)

2]}

2304 : {4 . [800 -784]}

2304 : {4 . 16}

2304: 64 = 3

FRAÇÕES

O símbolo a/b significa a:b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero.

Chamamos de fração.

a de numerador;

b de denominador.

Se a é múltiplo de b, então a/b é um número natural.

Veja um exemplo:A fração 8/2 é igual a 8:2. Neste caso, 8 é o numerador e 2 é o

denominador. Efetuando a divisão de 8 por 2, obtemos o quociente 4. Assim, 8/2 é um

número natural e 8 é múltiplo de 2.

Durante muito tempo, os números naturais foram os únicos conhecidos e usados

pelos homens. Depois começaram a surgir questões que não poderiam ser resolvidas

com números naturais. Então surgiu o conceito de número fracionário

Classificação das frações

Fração própria: o numerador é menor que o denominador:

Fração imprópria: o numerador é maior ou igual ao denominador.

Fração aparente: o numerador é múltiplo do denominador.

Frações equivalentes

Frações equivalentes são frações que representam a mesma parte do todo.

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Exemplo: são equivalentes

Para encontrar frações equivalentes devemos multiplicar o numerador e o

denominador por um mesmo número natural, diferente de zero.

Exemplo: obter frações equivalentes à fração .

Portanto as frações são algumas das frações equivalentes a .

Simplificação de frações

Uma fração equivalente a , com termos menores, é . A fração foi obtida

dividindo-se ambos os termos da fração pelo fator comum 3. Dizemos que a fração

é uma fração simplificada de .

A fração não pode ser simplificada, por isso é chamada de fração irredutível. A

fração não pode ser simplificada porque 3 e 4 não possuem nenhum fator comum

Adição e subtração de números fracionários

Temos que analisar dois casos:

1º) denominadores iguais

Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e

conservar o denominador.

Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e

conservar o denominador.

Observe os exemplos:

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2º) denominadores diferentes

Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações

equivalentes, de denominadores iguais ao mmc dos denominadores das frações.

Exemplo: somar as frações .

Obtendo o mmc dos denominadores temos mmc(5,2) = 10.

(10:5).4 = 8 (10:2).5 = 25

Resumindo: utilizamos o mmc para obter as frações equivalentes e depois

somamos normalmente as frações, que já terão o mesmo denominador, ou seja,

utilizamos o 10caso

Multiplicação e divisão de números fracionários

Na multiplicação de números fracionários, devemos multiplicar numerador por

numerador, e denominador por denominador, assim como é mostrado nos exemplos

abaixo:

Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo

inverso da segunda, como é mostrado no exemplo abaixo:

3) Calcule o valor da expressão:

) 5/6 – (1/3 + 1/5 ) = ( Resposta: 9/30) ou (3/10)

b) 2/5 x ( 3/4 + 5/8) = ( R: 22/40) ou (11/20)

c) 1/2: ( 2/3 + 3/4 ) = ( R: 12/34) ou ( 6/17)

d) ( 1/3 + 1/2 ) : 5/6 = (R: 30/30) ou (1)

e) 1/2 . ( 2/3 + 3/4 ) = ( R: 17/24)

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f) ( 5/7 x 2/3 ) : 1/6 = (R: 60/21) ou ( 20/7)

g) (3/2 - 2/5 ) + ( 5/4 - 2/3) = (R: 101/60)

h) 1 + (1/2 - 1/5) - (7/4 - 5/4) = (R: 16/20) ou ( 4/5)

i) ( 7/8 - 5/6) + ( 8/9 - 7/9) = (R: 11/72)

Problemas fracionários

1)Adílson comprou um rolo com 480 metros de arame e usou 3/5 para fazer uma cerca.

a)Quantos metros de arame ele usou?

b)Quantos metros restaram?

2)Jonas comprou uma moto usada em 12 prestações de R$ 400,00. Cada prestação

equivale a 2/9 de seu salário.

a) Qual é o salário de Jonas?

b)Considerando o salário de Jonas como o todo(a unidade), qual é a fração do salário

que representa o valor total da moto? Essa fração é maior que 1?

3)Do salário de R$ 864,00 recebido no mês de suas férias, Mário gastou 1/4 na compra

de uma bicicleta e 3/8 em uma viagem.

a)Quanto custou a bicicleta?

b)Quanto Mário, gastou no total?

c)Quanto restou do salário dele?

4)Em 100 litros de ar comprimido, há aproximadamente: 78 litros de nitrogênio; 21

litros de oxigênio; 1 litro de uma mistura de vapor d"água, gás carbônico, gases raros e

impurezas.

a)Que fração representa a parte de nitrogênio contida em 100 litros de ar comprimido?

b)O que significa a fração 21/100 nessa informação

6) Determine 2/3 de R$ 1200,00 (Resposta: 800)

7) Numa caixa existem 80 bombons. Calcule 2/5 desses bombons. (Resposta: 32)

8) O comprimento de uma peça de tecido é de 42 metros. Quanto mede 3/7 dessa peça?

(Resposta: 18 m)

9) Um automóvel percorreu 3/5 de uma estrada de 600 km. Quantos quilômetros o

automóvel percorreu? (R: 360 km)

10) Numa viagem de 72 km, já foram percorridos 3/4. Quantos quilômetros já foram

percorridos? (R :54 km)

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11) Um livro tem 240 páginas.Você estudou 5/6 do livro. Quantas páginas Você

estudou?

(R: 200)

12) Os 2/5 de um número correspondem a 80. Qual é esse número? (R: 200)

13) Os 3/4 do que possuo equivalem a R$ 900,00. Quanto possuo? (R: 1200)

14) Um time de futebol marcou 35 gols, correspondendo a 7/15 do total de gols do

campeonato. Quantos gols foram marcados no campeonato? (R: 75)

15) Para encher 1/5 de um reservatório são necessários 120 litros de água. Quanto é a

capacidade desse reservatório? (R: 600 litros)

16) Se 2/9 de uma estrada corresponde a 60 km, quantos quilômetros tem essa estrada?

(R: 270 km)

17) Para revestir 3/4 de uma parede foram empregados 150 azulejos. Quantos azulejos

são necessários para revestir toda a parede? (R: 200)

18) De um total de 240 pessoas,1/8 não gosta de futebol. Quantas pessoas gostam de

futebol? (R: 210)

19) Eu fiz uma viagem de 700 km. Os 3/7 do percurso foram feitos de automóvel e o

restante de ônibus. Que distância eu percorri de ônibus? (R: 400 km)

20) Numa prova de 40 questões um aluno errou 1/4 da prova. Quantas questões ele

acertou?

(R: 30 )

21) Numa classe de 45 alunos, 3/5 são meninas. Quantos meninos há nessa classe? (R:

18)

22) Um brinquedo custou R$ 152,10,. Paguei 1/6 do valor desse objeto. Quanto estou

devendo? (R: 126,75)

Razões - Introdução

Vamos considerar um carro de corrida com 4m de comprimento e um kart com 2m de

comprimento. Para compararmos as medidas dos carros, basta dividirem o comprimento

de um deles pelo outro. Assim:

(o tamanho do carro de corrida é duas vezes o tamanho do kart).

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Podemos afirmar também que o kart tem a metade do comprimento do carro

de corrida.

A comparação entre dois números racionais, através de uma divisão, chama-se

razão.

A razão 1/2 pode também ser representada por 1:2 e significa que cada metro do

kart corresponde a 2m do carro de corrida.

Denominamos de razão entre dois números a e b (b diferente de

zero)

o quociente ou a:b.

A palavra razão vem do latim ratio, e significa "divisão". Como no exemplo anterior,

são diversas as situações em que utilizamos o conceito de razão. Exemplos:

Dos 1200 inscritos num concurso, passaram 240 candidatos.

Razão dos candidatos aprovados nesse concurso:

(de cada 5 candidatos inscritos, 1 foi aprovado).

Para cada 100 convidados, 75 eram mulheres.

Razão entre o número de mulheres e o número de convidados:

(de cada 4 convidados, 3 eram mulheres).

Observações:

1) A razão entre dois números racionais pode ser apresentada de três formas.

Exemplo:

Razão entre 1 e 4: 1:4 ou ou 0,25.

Elementos de uma proporção

Dados quatro números racionais a, b, c, d, não-nulos, nessa ordem, dizemos que eles

formam uma proporção quando a razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º para o 4º.

Assim:

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ou a:b=c:d

(lê-se "a está para b assim como c está para d")

Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo:

b e c os meios da proporção.

a e d os extremos da proporção.

Exemplo:

Dada a proporção , temos:

Leitura: 3 está para 4 assim como 27 está para 36.

Meios: 4 e 27 Extremos: 3 e 36

Aplicações da propriedade fundamental

Determinação do termo desconhecido de uma proporção

Exemplos:

Determine o valor de x na proporção:

Solução:

5 . x = 8 . 15 (aplicando a propriedade fundamental)

5 . x = 120

x = 24

Logo, o valor de x é 24.

Determine o valor de x na proporção:

Solução:

5 . (x-3) = 4 . (2x+1) (aplicando a propriedade fundamental)

5x - 15 = 8x + 4

5x - 8x = 4 + 15

-3x = 19

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3x = -19

x =

Logo, o valor de x é .

Os números 5, 8, 35 e x formam, nessa ordem, uma proporção. Determine o valor de x.

Solução:

(aplicando a propriedade fundamental)

5 . x = 8 . 35

5x = 280

x = 56

Logo, o valor de x é 56.

EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU

Equações de primeiro grau

(com uma variável)

Introdução

Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A

palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". Exemplos:

2x + 8 = 0

5x - 4 = 6x + 8

3a - b - c = 0

Não são equações:

4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta)

x - 5 < 3 (Não é igualdade)

(não é sentença aberta, nem igualdade)

A equação geral do primeiro grau:

ax+b = 0

Onde a e b são números conhecidos e a > 0, se resolve de maneira simples: subtraindo b

dos dois lados, obtemos:

ax = -b

dividindo agora por a (dos dois lados), temos:

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Considera a equação2x - 8 = 3x -10

A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa " desconhecida".

Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-

se 1º membro, e o que sucede 2º membro

Qualquer parcela, do 1º o u do 2º membro, é um termo da equação.

Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação que pode ser escrita na

forma ax=b, sendo a e b números racionais, com a diferente de zero.

Exercícios de Equações de 1º Grau

1-Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que números são

esses?

X + (x + 1) + (x + 2) = 393

3x + 3 = 393

3x = 390

x = 130

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Então, os números procurados são: 130, 131 e 132.

2- Determine o valor do X:

4x – 12 = 8

4x = 8 + 12

4x = 20

X = 20/4

X = 5

3- Resolva as equações a seguir:

a)18x – 43 = 65

b) 23x – 16 = 14 –17x

c) 10y – 5 (1 + y) = 3 (2y – 2) – 20

d) x(x + 4) + x(x + 2) = 2x2 + 12

e) (x – 5)/10 + (1 – 2x)/5 = (3-x)/4

f) 4x (x + 6) – x2 = 5x

2

Problemas do primeiro grau

1. O dobro da quantia que Marcos possui e mais R$ 15,00 dá para comprar exatamente

um objeto que custa R$ 60,00. Quanto Marcos possui?

A) R$ 20,00 B) R$ 20,50 C) R$ 22,00 D) R$ 22,50

2. Um número somado com sua metade é igual a 45. Qual é esse número?

A) 15 B) 30 C) 45 D) 90

3.José viaja 350 quilômetros para ir de carro de sua casa à cidade onde moram seus pais.

Numa dessas viagens, após alguns quilômetros, ele parou para um cafezinho. A seguir,

percorreu o triplo da quantidade de quilômetros que havia percorrido antes de parar.

Quantos quilômetros ele percorreu após o café?

A) 87,5 B) 125,6 C) 262,5 D) 267,5 E) 272,0

4-Num estacionmento há carros e motos,totalizando 85 veículos.O número de carros é

igual a 4 vezes o de moto.Qual é o número de carros e de motos presentes no

estacionamento?

5-César tem 15 lápis a mais que Osmar,e José tem 12 lápis a menos que Osmar.O total

de lápis é 63.Quantos lápis tem cada um?

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6-A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles,

sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.

7-Uma peça de tecido teve de ser dividida em duas partes, sendo uma delas sete vezes

maior do que a outra. Sabendo que a peça de tecido tinha inicialmente 48 metros,

quantos metros tem a peça menor?

8- A diferença entre as idades de dois irmãos é 3 anos e o produto de suas idades é 270.

Qual é a idade de cada um?

9- A diferença entre o quadrado de um número e o seu dobro é 35. Qual é o número?

10- Qual é o número que, adicionado ao triplo do seu quadrado, vale 14?

11- A metade do quadrado de um número menos o dobro desse número é igual a 30.

Determine esse número.

PORCENTAGEM

É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços,

números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:

A gasolina teve um aumento de 5%

Significa que em cada R$ 100 houve um acréscimo de R$ 5,00

O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.

Significa que em cada R$ 100 foi dado um desconto de R$ 10,00

Dos jogadores que jogam no Inter, 90% são craques.

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques.

Razão centesimal

Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão

centesimal. Alguns exemplos:

Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:

As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas

percentuais.

Considere o seguinte problema:

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João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu?

Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total

de cavalos.

Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada.

Portanto, chegamos à seguinte definição:

Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado

valor.

Exemplos:

Calcular 10% de 300.

Calcular 25% de 200kg.

Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.

EXERCÍCIOS:

1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas,

transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de faltas esse jogador fez?

Portanto o jogador fez 6 gols de falta.

2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$ 250,00 e a revendi por R$ 300,00, qual

a taxa percentual de lucro obtida?

Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que

aumentou em relação a esses R$250,00, resulte em R$300,00.

Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%.

Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO.

Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos

calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de

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multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante.

Veja a tabela abaixo:

Acréscimo ou

Lucro

Fator de

Multiplicação

10% 1,10

15% 1,15

20% 1,20

47% 1,47

67% 1,67

Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$ 10,00 temos: 10 x 1,10 = R$ 11,00

No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:

Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)

Veja a tabela abaixo:

Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 x 0,90 = R$ 9,00

1-João recebe R$ 250,00 de salário mensal. Reconhecendo a qualidade de seu

trabalho, seu patrão resolveu dar-lhe uma gratificação igual a 100% do salário.

João recebeu de gratificação

(A) R$ 100,00 (B)R$ 125,00 (C) R$ 250,00 (D) R$ 350,00

Uma bolsa era vendida em duas lojas, sendo que na loja A o

preço era R$ 30,00 mais caro que na loja B. A loja A resolveu

fazer um desconto de 15%, e a bolsa passou a custar o mesmo

que na loja B.Qual o preço da bolsa na loja B?

Resolução:

0,15 A = 30,00A = 200,00

Desconto

Fator de

Multiplicação

10% 0,90

25% 0,75

34% 0,66

60% 0,40

90% 0,10

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B = 200,00 – 30,00 = R$ 170,00

Exercícios:

1) A comissão de um corretor de imóveis é igual a 5% do valor de cada venda efetuada.

a) Um apartamento foi vendido por R$ 162.400,00. Determine a comissão recebida pelo

corretor.

b) Um proprietário recebe, pela venda de uma casa, R$ 79.800,00, já descontada a

comissão

do corretor. Determine o valor da comissão.

2) Em um ano, o preço de uma mercadoria triplicou. Qual a porcentagem de aumento?

3-João comprou uma TV e resolveu pagar à prazo, pois não podia pagar à vista.

Sabendo que o valor à vista é de R$ 1500,00 e que o valor total à prazo é 15% maior

que o valor à vista, responda: Quanto João vai pagar no total?

a)R$ 1575,00 b)R$ 1650,00 c)R$ 1725,00 d)R$ 1800,00 e)R$ 1875,00

4-Maria comprou um vestido à vista para ganhar um desconto de 5% no valor original

dele. Se o vestido custa R$ 60,00, quanto Maria pagou?

a)R$ 59,50 b)R$ 58,80 c) R$ 58,20 d)R$ 57,60 d)R$ 57,00 e)Nenhuma

5-No dia 1 deste mês, um produto estava sendo vendido por R$ 400,00. No dia 10, esse

produto sofreu uma redução de 50% no seu preço. No dia 20, ele foi reajustado com um

aumento de 50%. Escolha a alternativa correta.

( ) O produto estava mais barato no dia 1 do que no dia 20.

( )No dia 20 o produto estava com o mesmo preço que ele estava no dia 1.

( )O produto estava mais barato no dia 20 do que no dia 1

6-Ana tem 20 anos e morou durante 5 anos nos Estados Unidos, 4 anos na Austrália e o

resto no Brasil. Em porcentagem, quantos anos ela morou no hemisfério sul?

a)20% b)25% c)50% d)60% e)75%

7- Em um programa social desenvolvido pela prefeitura de um município, inscreveram-

se 900 famílias carentes. A prefeitura começou programar esse programa atendendo, no

1º mês 15% dessas famílias e, em cada mês seguinte, até o 3º mês, 30 famílias a mais

que o mês imediatamente anterior. Após esses três meses, o programa já havia atendido

do total de famílias.

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a) 21%b) 40%c) 45%d) 52%e) 55%

8- Do meu salário R$ 1.200,00 tive um desconto total de R$ 240,00. Este desconto

equivale a quantos por cento do meu salário?

9- Eu tenho 20 anos. Meu irmão tem 12 anos. A idade dele é quantos por cento da

minha?

10- Meu carro alcança uma velocidade máxima de 160 km/h. O carro de meu pai atinge

até 200 km/h. A velocidade máxima do carro do meu pai é quantos por cento da

velocidade máxima do meu carro?

11- Por um descuido meu, perdi R$ 336,00 dos R$ 1.200,00 que eu tinha em meu bolso.

Quantos por cento eu perdi desta quantia?

12- Na festa de aniversário do meu sobrinho derrubei uma mesa onde estavam 40

garrafas de refrigerante. Sobraram apenas 15% das garrafas sem quebrar. Quantas

garrafas sobraram e quantas eu quebrei?

13- Comprei um frango congelado que pesava 2,4kg. Após o descongelamento e de

teres corrido toda a água, o frango passou a pesar apenas 1,44kg. Fui lesado em quantos

por cento do peso, por ter levado gelo a preço de frango?

14-Tempos atrás o rolo de papel higiênico que possuiu por décadas 40 metros de papel,

passou a possuir apenas 30 metros. Como o preço do rolo não sofreu alteração, tal

artimanha provocou de fato um aumento de quantos por cento no preço do metro do

papel?

15- Um guarda-roupa foi comprado a prazo, pagando-se R$ 2.204,00 pelo mesmo.

Sabe-se que foi obtido um desconto de 5% sobre o preço de etiqueta. Se a compra

tivesse sido à vista, o guarda-roupa teria saído por R$ 1.972,00. Neste caso, qual teria

sido o desconto obtido?

16- Uma compra foi efetuada no valor de R$ 1.500,00. Obteve-se um desconto de 5%.

Qual foi o valor pago em reais?

17- Um carro, que custava R$ 12.000,00, sofreu uma valorização (acréscimo) de 0,12%

sobre o seu preço. Quanto ele passou a custar?

18-Uma impressora a laser custou R$ 2.000,00 para uma gráfica. No período de um

mês, ela, apresentou um lucro de R$ 100,00. De quanto por cento foi o lucro sobre o

preço de compra?

19- Um determinado produto teve um acréscimo de 10%, sobre o seu preço de tabela.

Após certo período, teve um decréscimo também de 5% sobre o preço que foi

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aumentado, obtendo assim o preço atual. Qual é o percentual que o preço atual

corresponde em relação ao primeiro valor (preço de tabela)?

20-De um exame para habilitação de motoristas participaram 380 candidatos; sabe-se

que a taxa percentual de reprovação foi de 15%. Calcule o número de aprovados.

21-Um fichário tem 25 fichas numeradas, sendo que 52% dessas fichas estão

etiquetadas com um número par. Quantas fichas têm a etiqueta com número par?

Quantas fichas têm a etiqueta com número ímpar?

22-Uma caneta que custava R$ 60,00 sofreu um desconto de 5%.Quanto você pagará

por essa caneta?

23-Por quanto deverei vender uma mercadoria que me custou R$ 720,80 para lucrar

30%?

24- Qual a taxa porcentual de:

a) 3 sobre 5?

A taxa é de 60%

b) 10 sobre 20?

25- Um celular foi comprado por R$ 300,00 e revendido posteriormente por R$ 340,00,

qual a taxa percentual de lucro?

26- Qual valor de uma mercadoria que custou R$ 555,00 e que pretende ter com esta um

lucro de 17%?

27-Ao ser paga com atraso, uma prestação de R$ 130,40 sofreu um acréscimo de 2,5%.

Qual é o novo valor dessa prestação?

28-Numa classe de 40 alunos, 6 foram reprovados.Qual a taxa de porcentagem dos

alunos aprovados e reprovados?

29- Um produto foi comprado por R$ 280,00 e revendido posteriormente por R$

440,00, qual a taxa percentual de lucro?

30-Um produto custa R$ 400,00 e é vendido por R$ 520,00. Qual é a taxa de lucro?

31-Um feirante observou que, em cada 75 laranjas, 6 estavam estragadas.Qual a taxa de

porcentagem das frutas estragadas?

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32- Calcular as porcentagens:

a) 2,3% de R$ 128,00

b) 0,9% de R$ 680,00

c) 10% de R$ 688,90

d) 0,5% de R$ 1234,00

e) 12% de 980,00

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÀFICAS

• Corti, Ana Paula, Aprender, Interdisciplinar, 1ªEdição, Editora Global, são Paulo

2013.

• Santo André Luis Pereira

• Mendes, Denise

• Carrochano, Maria Clara.

• Fernandes, Maria Lídia Bueno.

• Catelli, Roberto Júnior.

• Giansanti, Roberto

• Paiva, Manoel. Vol. Único. Matemática. São Paulo: Moderna.

• Giovanni, José Ruy e Bonjorno, José Roberto, Editora FTD.

• Praticando Matemática- Álvaro Andrini (50, 6

0, 7

0 e 8

0 série) Editora do Brasil.

S/A.

OBSERVAÇÃO: Para entender melhor e se preparar bem para a prova é

importante que estude o módulo ou os módulos anteriores ao que vai cursar.