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Mecnica da Turbulncia

Nelson Lus Dias

Verso: 2017-06-29T14:18:21

Nelson Lus da Costa Dias, 2017. Todos os direitos deste documento esto reserva-dos. Este documento no est em domnio pblico. Cpias para uso acadmico podemser feitas e usadas livremente, e podem ser obtidas em https://nldias.github.io Ensino. Este documento distribudo sem nenhuma garantia, de qualquer espcie,contra eventuais erros aqui contidos.

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Sumrio

Notao 7

1 Introduo 111.1 Probabilidade: variveis aleatrias e valores esperados . . . . . . . . . 121.2 Processos estocsticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3 A decomposio em mdia e utuao, e os postulados de Reynolds . 191.4 Dependncia estocstica e correlao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.5 Uma primeira lio sobre isotropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Termodinmica de uma mistura diuluda 232.1 Regra de fase de Gibbs e relaes de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . 232.2 Mistura diluda de 2 gases ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.1 Equaes de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.2 Demais potenciais termodinmicos de um gs ideal . . . . . . 262.2.3 A anidade de uma mistura de gases ideais . . . . . . . . . . 28

3 As equaes diferenciais de transporte 313.1 Notao indicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3 Misturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.4 Quantidade de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.5 Vorticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.6 Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.7 Dissipao viscosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.8 A decomposio de Reynolds para variveis quadrticas . . . . . . . . 453.9 O balano do semiquadrado da temperatura . . . . . . . . . . . . . . 47

4 As macro e micro escalas da turbulncia 504.1 Macro e micro escalas: uma apresentao informal . . . . . . . . . . . 504.2 Uma denio formal das escalas macroscpicas . . . . . . . . . . . . 544.3 Uma denio formal das escalas microscpicas . . . . . . . . . . . . 564.4 A cascata de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.5 Estimativas consistentes dos gradientes microscpicos . . . . . . . . 584.6 Macro e microescalas de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5 As equaes para o escoamentomdio, e a aproximao de Boussinesq 645.1 O estado hidrosttico de referncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.2 O estado de referncia na atmosfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.3 Magnitude das utuaes de densidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3

4 Sumrio

5.4 Conservao de massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.5 Quantidade de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.6 Incompressibilidade: efeitos de presso e temperatura sobre as utu-

aes de velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.7 A correlao presso-temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.8 As ordens de grandeza da equao para a temperatura . . . . . . . . . 795.9 A equao para a temperatura potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.10 Os gradientes microscpicos de densidade . . . . . . . . . . . . . . . 87

6 As equaes de ordem 2 886.1 As equaes locais de conservao de massa e de quantidade de mo-

vimento com a aproximao de Boussinesq . . . . . . . . . . . . . . . 886.2 As equaes para as utuaes e para as covarincias

uiuj

. . . . . 89

6.3 Energia cintica da turbulncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.3.1 A semivarincia de um escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.4 As ordens de grandeza dos termos das equaes de ordem 2 . . . . . 956.5 Consideraes adicionais sobre modelos de fechamento . . . . . . . . 99

7 Solues laminares das equaes de Navier-Stokes 1007.1 Algumas solues laminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1007.2 A Soluo de Blasius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7.2.1 Espessura de deslocamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.2.2 A soluo de Blasius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067.2.3 Blasius: soluo numrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1107.2.4 Uma alternativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

8 Camadas-limite turbulentas 1148.1 Escoamento turbulento em um duto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1148.2 Escoamentos turbulentos com parede rugosa . . . . . . . . . . . . . . 1208.3 O regime de transio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1228.4 A frmula de Manning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

A Identidades vetoriais 127

B Difuso em sistemas binrios 128

C Constantes fsico-qumicas 129

D Equao de estado para a gua 130

E Solues dos problemas 131

Lista de Tabelas

2.1 Propriedades de gases atmosfricos a 0 C e 101325 Pa . . . . . . . 262.2 Entalpia e energia livre de Gibbs de formao, e entropia padro de

gases atmosfricos a 298,15 K e 100.000 Pa . . . . . . . . . . . . . . 30

8.1 Rugosidade equivalente de areia. Fonte: (Morris e Wiggert, 1972, Ta-bela 3-1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5

Lista de Figuras

1.1 O experimento de Reynolds (guras do autor: Reynolds (1883), guras3, 4 e 5, pg. 942, e lmina 73.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2 Efeito de turbulncia em cu claro sobre o leme de um B-52. Fonte:Wikipedia (https://commons.wikimedia.org/wiki/File%3ABoeing_B-52_with_no_vertical_stabilizer.jpg) . . . . . . . 13

1.3 A rua de vrtices de von Krman, causada pelo vento so-prando ao redor das ilhas Juan Fernndez, ao largo da costado Chile (Por Bob Cahalan, NASA GSFC, em domnio pblico:https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=87336) . 14

1.4 10 minutos de medies de concentrao de CO2 sobre uma grameiraem Tijucas do Sul, PR, em 2011-02-17, 10:3010:40. . . . . . . . . . . 15

1.5 Ilustrao de um processo estocstico univariadoU (t ;): as unidadesde U e t so arbitrrias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.1 Expanso sbida em uma tubulao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.2 Escoamento clssico em um tubo com perda de carga. . . . . . . . . . 53

5.1 Dependncia da presso de referncia Pr e da densidade de refernciar em uma atmosfera hidrosttica e adiabtica com a altitude z. . . . 68

5.2 Dependncia de PT com a temperatura para gua lquida . . . . . . 805.3 Dependncia de PT com a temperatura para gua lquida na faixa

1020 C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

7.1 Escoamento laminar sobre uma placa porosa . . . . . . . . . . . . . . 1027.2 A camada-limite laminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037.3 Volume de controle para a denio da espessura de quantidade de

movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.4 Perl de velocidade adimensional de Blasius. . . . . . . . . . . . . . . 112

8.1 A distribuio da tenso cisalhante total em um escoamento turbu-lento em um duto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

8.2 Fator de atrito f em funo de Re e da rugosidade relativa z0/ emum escoamento turbulento em um duto . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

6

https://commons.wikimedia.org/wiki/File%3ABoeing_B-52_with_no_vertical_stabilizer.jpghttps://commons.wikimedia.org/wiki/File%3ABoeing_B-52_with_no_vertical_stabilizer.jpghttps://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=87336

Notao

Uma grande diculdade ao escrever este texto foi a enorme quantidade de grandezasdiferentes com as quais necessrio tratar. Ns utilizamos ao mesmo tempo grande-zas extensivas (em geral escritas com letras maisculas) e intensivas (idem); variveisaleatrias e valores observados (realizaes) das mesmas, mdias turbulentas e u-tuaes. Diferentes autores encontraram diferentes solues para denotar com umnmero limitado de smbolos romanos e gregos um nmero muito maior de gran-dezas fsicas e suas interpretaes e abordagens matemticas. As solues que euencontrei so, como sempre, um compromisso. A notao que utilizo em parte ori-ginal, e segue a idia de ser to simples quanto possvel e ao mesmo razoavelmenteclara. No entanto, alguns conitos de smbolos so inevitveis, conitos os quais spodem ser parcialmente aliviados pela notao utilizada. A seguir, so dadas as prin-cipais explicaes sobre a notao adotada no texto e sobre como lidar com as suaseventuais ambiguidades.

Variveis extensivas e intensivas

Variveis extensivas dizem respeito a um corpo como um todo. Em geral, mas nosempre, elas so denotadas por letras maisculas em itlico com um til. Exemplos so

W : a taxa de trabalho realizada sobre um corpo,

U: a energia interna total de um corpo,

P : a quantidade de movimento total de um corpo.

Variveis intensivas (denidas em um ponto) e instantneas em geral so indicadasem maisculas em itlico tambm. . . ou ento em letras gregas maisculas:

U: a energia interna especca (por unidade de massa),

U : a velocidade vetorial do uido,

T : a temperatura,

t : o vetor de tenses,

T : o tensor de tenses,

: a densidade,

: a temperatura potencial.

Observe a exceo para o vetor de tenses t .

7

8 Notao

Mdias e flutuaes turbulentas

A decomposio de Reynolds (Reynolds, 1895) o procedimento padro para distin-guir grandezas s quais preferimos dar um tratamento determinstico (as mdias deReynolds) daquelas que necessitam ser modeladas como variveis aleatrias ou comoprocessos estocsticos (as utuaes turbulentas). Talvez a maneira mais antiga(mas ainda extremamente usada em engenharia) seja

ui = ui + ui ,

onde a barra indica a mdia, e a linha indica a utuao, da grandeza ui . A honrosalista de autores que a utilizam inclui Monin e Yaglom (1971, equaes 3.33.7, p. 207),Richardson (1920), e Stull (1988, equaes 2.4.2k, 2.4.3ac, p. 4041). Durante muitotempo ela foi minha preferida, mas o seu efeito quando se trabalha com a transfor-mada de Fourier da utuao,

ui 1

(2 )3

R3ui (x , t ) e

i(k x ) d3x ,

feio e particularmente trabalhoso sempre que se escreve as equaes espectrais deturbulncia mo.

Tennekes e Lumley (1972) (equao 2.1.6, p. 28) preferem

ui = Ui + ui ;

Hinze (1975) (p. 4) utilizaUi = U i + ui ,

enquanto que Pope (2000) usa um misto de

Ui = Ui + ui

para a velocidade (equao 4.1, p. 83) e

=+

para um escalar transportado (equao 4.36, p. 91).Em todos os casos acima, o lado esquerdo a grandeza intensiva instantnea, para

a qual valem as leis de conservao e/ou as equaes constitutivas clssicas, e o ladodireito a soma de uma mdia probabilstica e de uma utuao turbulenta. Talvezo caso mais infeliz seja o da confuso entre densidade e presso. Utilizando-se porexemplo uma notao uniforme de letras maisculas para as grandezas instantneas,e os smbolos clssicos p para (utuao de) presso e para (utuao de) densidade,tem-se

P = P + p,P = P + ,

onde P, alm de ser um r maisculo, infelizmente, igual (a menos do tipo itlico)ao P romano maisculo. A diferena demasiadamente sutil para ser aceitvel, deforma que nenhum autor ousa na prtica usar o smbolo P para indicar um r mais-culo. Muitos autores contornam este problema simplesmente utilizando a hiptese de

9 Notao

um escoamento com densidade estritamente constante ou apelando velada ou aber-tamente para a aproximao de Boussinesq (sobre a qual falaremos com um razovelnvel de detalhe neste texto) e utilizando apenas uma densidade de referncia cons-tante (digamos, r ) nas equaes. Por exemplo, Richardson (1920) sabia perfeitamentedisto:

Note that there is no need to assume to be independent of position.Reynolds assumed this, but for a reason that does not need concern us.It will be necessary however to assume that , the variation of densityat a xed point, is so much smaller in comparison with than is v incomparison with v , that we may put = 0.

O outro problema de notao encontrado em livros de turbulncia so as utua-es de temperatura. A notao original de Reynolds,

T = T +T

funciona bem, mas o uso estrito de maisculas-minsculas preferido por autores maisrecentes produziria neste caso

T = T + t ,o que desagradvel, j que t est comprometido com a varivel tempo.

Minha soluo para esses dilemas utilizar sucedneos para as letras gregasmaisculas que esto faltando, e letras maisculas pequenas (small caps) alterna-tivas quando as minsculas j estiverem comprometidas. Em resumo, a notaodeste texto para a decomposio de Reynolds

Ui = Ui + ui (velocidade),

P = P + p (presso),

T = T + T (temperatura),

=+ (densidade),

etc.. Infelizmente, nem tudo est perfeitamente resolvido; ainda restam dois proble-mas.

Conflitos entre smbolos

Muitos smbolos utilizados neste texto possuem signicados distintos em termo-dinmica e em mecnica, ou mesmo dentro da mecnica. Alguns casos notrios (nanotao deste texto) so

F a energia livre de Helmholtz; fi uma fora de corpo;

G a energia livre de Gibbs; o mdulo da acelerao da gravidade; ovetor acelerao da gravidade, e i sua i-sima componente;

t o tempo; t o vetor-tenso;

T a temperatura;T o tensor de tenses,v o smbolo de Richardson para a velocidade

10 Notao

etc..Em lugar de tentar criar um nmero suciente de smbolos novos (por exemplo,

Batchelor (1967) utiliza e e no u para a energia interna especca), o que de qualquerforma terminaria por esgotar o estoque de smbolos antes que todas as grandezasestivessem representadas, eu preferi:

1. procurar separar os smbolos sempre que possvel por captulo ou pelo menospor seo (por exemplo, a maior parte dos smbolos termodinmicos est utili-zada no captulo sobre termodinmica); e

2. deixar ao leitor atento a compreenso do signicado dos smbolos em seu con-texto.

Variveis aleatrias e suas realizaes

Em teoria de probabilidades, usual separar uma varivel aleatria X de umaparticular realizao ou valor de quantil x ; isto facilita muito escrever coisas do tipo:

P (X x )

a probabilidade de que a varivel aleatria X seja menor ou igual que o valor x.Neste texto, entretanto, as letras maisculas representam valores instantneos. Emparticular, as utuaes de velocidade ui , variveis aleatrias extremamente impor-tantes, so denotadas em letras minsculas. Infelizmente, no parece possvel separarde forma limpa o smbolo de uma varivel aleatria do smbolo de uma particularrealizao ou de um quantil. O melhor que pode ser feito utilizar os argumentos davarivel para explicitar a diferena. Assim, voltando decomposio de Reynolds, emgeral teremos

U (x , t ;) = U (x , t ) + u (x , t ;).Aqui, as variveis aleatrias so funo do elemento do espao amostral , alm deo serem da posio e do tempo. conveniente imaginar como uma urna de sorteio,e como o particular valor sorteado, que neste caso vai denir uma realizao dafuno aleatria U (x , t ;) ou u (x , t ;).

funo de . . .

Neste trabalho, quando uma varivel qualquer (por hiptese) uma funo uni-variada de uma outra varivel k , ns escrevemos

:= ff(k ).

Quando uma funo (multivariada) de k entre outras variveis, ns escrevemos

:= ff(k, . . .).

Quando no funo de k (mas , possivelmente, funo de outras variveis), dize-mos :

:, ff(k );Finalmente, pode ser uma constante:

:=

1Introduo

Todo autor e todo curso se sente na obrigao de fornecer uma introduo de largoespectro ao assunto que vai ser estudado. Este , efetivamente, o esprito deste pri-meiro captulo. O objetivo geral deste curso proporcionar uma introduo s fer-ramentas e tcnicas de teoria de turbulncia teis em Engenharia. Em um grandenmero de aplicaes, isso acontece em camadas-limite turbulentas.

Para se entender turbulncia, preciso antes de mais nada v-la. Richardsona via como turbilhes, de diversos tamanhos, os maiores alimentando os menoresnum processo contnuo at que as utuaes do escoamento fossem amortecidaspela viscosidade. Isso a essncia do processo de transferncia inercial, no-linear, decovarincias, conforme veremos neste curso (bem mais frente).

Portanto os pioneiros, Richardson, Taylor e Kolmogorov, tinham uma clara no-o de que existem estruturas, pedaos ou entes num escoamento turbulentoem um continuum de escalas, e que o prprio conceito de escala essencial para acompreenso da turbulncia.

No entanto, escala um conceito fsico ou fenomenolgico, cuja exata de-nio matemtica em termos dos campos de velocidade U (x , t ) ou de escalares taiscomo a temperaturaT (x , t ) consideravelmente difcil, seno impossvel. Mesmo as-sim, possvel identicar diferentes escalas com diversas ferramentas matemticas,tais como:

Anlise espectral (provavelmente a mais antiga).

Funes empricas ortogonais.

Diferentes algoritmos para a identicao de estruturas e sua decomposio.

Ondeletas (Wavelets).

Essas estruturas de diversos tamanhos realmente existem em um escoamentoturbulento, mas ns devemos ser cuidadosos em no equacion-las demais (nem demenos!) com uma particular tcnica matemtica de identic-las.

Vrias fotograas e guras coloridas interessantes existem no livro sobre turbu-lncia de Lesieur (1990), e tambm no de Frisch (1995): d uma olhada nelas.

Existem algumas estruturas e alguns problemas clssicos relacionados um pouco instabilizao de escoamentos, que esto relacionados com a questo de turbulncia:

O experimento de Reynolds: a forma clssica de apresentar a turbulncia emcursos de graduao, ele ainda conserva um considervel charme e didatismo:

11

12 1.1 Probabilidade: variveis aleatrias e valores esperados

Figura 1.1: O experimento de Reynolds (guras do autor: Reynolds (1883), guras 3,4 e 5, pg. 942, e lmina 73.)

aumentado-se gradualmente a velocidade mdia em um tubo em que se injeta,no centro, um corante, atinge-se um ponto, em torno do nmero de Reynolds

ReD =VD 2000,

( a massa especca do uido, V a velocidade mdia, D o dimetro doturbo e a viscosidade dinmica) em que o escoamento se desestabiliza e setorna turbulento. A gura 1.1 mostra ilustraes do prprio Reynolds sobre oseu experimento.

A Rua de vrtices de von Krmn (Krmn vortex street) (ver gura 1.3).

Jatos e esteiras

Turbulncia atrs de uma grade em um tnel de vento (grid turbulence).

A turbulncia ao mesmo tempo um fenmeno de grande interesse terico egrande importncia prtica. A gura 1.2, por exemplo, mostra o efeito de um episdiode turbulncia em cu claro sobre o leme de um B-52 (um avio consideravelmentegrande e resistente).

1.1 Probabilidade: variveis aleatrias e valores esperados

Ns estamos acostumados a identicar diversos fenmenos nossa volta comoaleatrios: jogos de azar, envolvendo dados e cartas, e loterias, so talvez os mais


Figura 1.2: Efeito de turbulncia em cu claro sobre o leme de um B-52. Fonte: Wi-kipedia (https://commons.wikimedia.org/wiki/File%3ABoeing_B-52_with_no_vertical_stabilizer.jpg)

comuns. Ns percebemos aleatoriadade tambm, entretanto, em fenmenos que en-volvem fsica: por exemplo, a velocidade de uma molcula em um gs, as condiesdo tempo, e tambm em numerosos fenmenos de escoamento de uidos, tais com asuperfcie de um mar revolto e, claro, escoamentos turbulentos.

A gura 1.4 um exemplo disso: ela mostra a medio da densidade c de CO2a cerca de 2 m acima do solo, durante 10 minutos, sobre um gramado. A naturezaerrtica dec inegvel, e sugere que existe um componente aleatrio na turbulncia.

Tratar um fenmeno como aleatrio em geral mais simples do que tentardescrev-lo em todos os seus detalhes, o que pode levar a uma complexidade analticaou computacional insupervel. Por exemplo, em princpio ns poderamos usar asequaes da dinmica de corpos rgidos para tentar prever o resultado do lanamentode um dado. Isso entretanto envolve conhecer em detalhes como o lanamento feito; a resistncia do ar durante a sua queda; a natureza da superfcie em que ele cai,etc.. Na prtica, o esforo para modelar cada lanamento individual injusticvel,e prefervel descrever o processo como probabilstico, com 1/6 de probabilidade deocorrncia do nmero de cada face.

A situao com turbulncia parecida: ns acreditamos que a turbulncia umamanifestao (ou uma realizao) das equaes de Navier-Stokes, as equaes diferen-ciais determinsticas que regem o escoamento de um uido. No entanto, os detalhesassociados com a denio das condies iniciais e de contorno, assim como coma soluo propriamente dita dessas equaes no-lineares, so to formidveis quealternativas a um ataque direto, e (at o momento) infrutfero, so necessrias. A te-oria de probabilidade e processos estocsticos um elemento essencial de qualquerabordagem minimamente bem-sucedida ao problema de turbulncia.

A melhor abordagem, que todos adotamos modernamente, para a teoria de pro-babilidade devida a A. N. Kolmogorov, sendo chamada de abordagem axiomtica.Ela consideravelmente mais elegante do que a alternativa anterior, histrica, de de-nir probabilidade como um limite da frequncia emprica com que um resultado (umevento) observado. Uma abordagem elementar mas muito clara pode ser encon-trada em Papoulis (1991, captulo 2); em ordem crescente de rigor (mas inevitavel-

https://commons.wikimedia.org/wiki/File%3ABoeing_B-52_with_no_vertical_stabilizer.jpghttps://commons.wikimedia.org/wiki/File%3ABoeing_B-52_with_no_vertical_stabilizer.jpg


Figura 1.3: A rua de vrtices de von Krman, causada pelo vento soprando aoredor das ilhas Juan Fernndez, ao largo da costa do Chile (Por Bob Cahalan,NASA GSFC, em domnio pblico: https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=87336)

https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=87336https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=87336


590

595

600

605

610

615

620

625

0 100 200 300 400 500 600

c(m

gm

3)

tempo (s)

Figura 1.4: 10 minutos de medies de concentrao de CO2 sobre uma grameira emTijucas do Sul, PR, em 2011-02-17, 10:3010:40.

mente, tambm de diculdade), outras abordagens podem ser encontradas em James(1981), Rosenthal (2008) e Billingsley (1986).

A essncia da abordagem axiomtica de Kolmogorov postular a exisncia de umatripla de probabilidade (,F , P ) (Rosenthal, 2008, captulo 2):

um conjunto, denominado espao amostral.

F um campo, um conjunto formado por sub-conjuntos de . Mas no todosos subconjuntos! (Mais sobre isso em um instante). Em linguagem matemticamuito tcnica, F uma algebra , ou um campo .

P a medida de probabilidade, que d, para cada A F , a probabilidade doocorrncia do conjunto ou melhor, do evento A. Mais especicamente, P uma funo do tipo

P : F [0, 1]A F 7 P (A) [0, 1].

O segredo (e o enorme problema) da coisa que F no , em geral, igual ao conjuntode todos os sub-conjuntos de . Ele formado apenas pelos conjuntos A paraos quais possvel denir P (A) (para mais detalhes, veja a excelente exposio deRosenthal (2008, captulo 1)).

Dentro dessa abordagem, uma varivel aleatria VA agora, a funo mensurvelU ():

U : R 7 U = U ().

Por denio, uma funo U () mensurvel se

{ | U () U #} F , U # R(Rosenthal, 2008, captulo 3).


A pergunta mais importante do ponto de vista prtico : qual a probabilidadede ocorrncia de um certo intervalo de valores de U ()? A resposta dada com adenio da funo de distribuio de U , F (U #):

F (U #) P({ | U () U #

}). (1.1)

Em particular, ca ento evidente que necessrio que U () seja mensurvel paraque F (U #) possa ser denida em termos da medida de probabilidade P .

Talvez o descritor mais comum de uma VA seja a sua mdia probabilstica, ouvalor esperado. Ela dada por uma integral de U () sobre , a saber

U U () dP (). (1.2)

A denio das integrais do tipo (1.2) tecnicamente muito elaborada, e passa porum assunto denominado teoria da medida; talvez um tratado denitivo sobre o tema,em conexo com a teoria de probabilidade, seja Billingsley (1986). Em Engenharia,ns estamos normalmente acostumados com o clculo de integrais sobre intervalosde nmeros reais, e no em conjuntos mais genricos e abstratos tais como (cujanatureza sequer foi denida acima!). Felizmente, vem em nosso auxlio o seguinteteorema, que ns citamos sem prova (Rosenthal, 2008, Teorema 6.1.1):Teorema de mudana de variveis: Dada uma tripla de probabilidade (,F , P ),sejaU uma varivel aleatria com medida de probabilidade P e distribuio F . Ento,para qualquer funo mensurvel : R R,

(U ())dP () =

R(t ) dF (t ). (1.3)

Observaes:

1. O teorema (1.3) tambm a denio do valor esperado de uma funo (U ):(U )

(U ())dP (). (1.4)

2. Em particular, quando (t ) = t (a identidade), ns obtemos a expresso para ovalor esperado, ou mdia probabilstica, de U :

U =RU dF (U ). (1.5)

3. Analogamente, a varincia de U

Var{U } (U U )2 = R(U U )2dF (U ). (1.6)

4. Finalmente, se F (U ) for diferencivel, e se existir a funo densidade de proba-bilidade

f (U ) dFdU, (1.7)

segue-se queU =

RU f (U ) dU . (1.8)

Esta ltima denio de U talvez seja a mais comum em cursos introdutriosde probabilidade.

17 1.2 Processos estocsticos

Distribuies conjuntas de variveis aleatrias Uma varivel aleatria pode termais de uma componente ou, o que d no mesmo, podemos considerar distribuiesconjuntas de duas ou mais VAs. Isso pode ser formalizado (para duas variveis comdistribuio conjunta) da seguinte forma:

U = (U ,V );U : R2

7 (U (),V ()).

Assim como antes, a funo de distribuio de U pode ser denida:

F (U #,V #) P({ | (U () U #) (V () V #)

})Da mesma forma, para um vetor de variveis aleatrias no Rn,

F (U #1 , . . . ,U#n ) P

({ | (U1() U #1 ) . . . (Un () U #n )

}).

O clculo de mdias, varincias, etc., estende-se naturalmente s funes de distribui-o conjuntas. Por exemplo, a mdia de U em uma distribuio bivariada de (U ,V )

U =U R

V R

U dFU ,V (U ,V ),

e a covarincia entre U e V

Cov{U ,V } =U R

V R

(U U ) (V V )dFU ,V (U ,V ).

1.2 Processos estocsticos

Com as ferramentas da seo anterior, ns agora denimos brevemente o que soprocessos estocsticos: Seja F o espao das funes de x R3, e t R, em R. Umprocesso estocstico uma funo

U : F 7 U (x , t ;).

Em outras palavras, a cada sorteio , em vez de o resultado do sorteio ser umnmero real (que a denio de VA), o resultado do sorteio agora uma funocompleta U de x e t . Ns dizemos que U uma funo aleatria (note que no hcontradio nessa terminologia!). O signicado de um processo estocstico est es-boado gracamente na gura 1.5. Por simplicidade, na gura a funo aleatriadepende apenas de uma varivel (t ).

A gura 1.5 d um exemplo da idia de um conjunto de realizaes da varivelU (t ) (na literatura de lngua inglesa, um ensemble). Para que as mdias de U faamsentido, preciso que elas sejam tomadas sobre todos os membros do conjunto.Note entretanto que exatamente isso o que faz a denio de valor esperado (1.2): opapel de um membro do conjunto desempenhado por um particular .

Nossa denio de processo estocstico extraordinariamente geral. Muito fre-quentemente, preciso impor restries a um processo estocstico para que resul-tados teis em Turbulncia (ou em qualquer outro campo de aplicao de processosestocsticos) possam ser obtidos. Algumas dessas restries, muito teis e frequentesem Turbulncia, so discutidas a seguir.

18 1.2 Processos estocsticos

0 100 200 300 400 500

4

2

0

2

4

t

U(t

,1)

0 100 200 300 400 500

4

2

0

2

4

tU(t

,2)

0 100 200 300 400 500

4

2

0

2

4

t

U(t

,3)

1

2

3

Figura 1.5: Ilustrao de um processo estocstico univariado U (t ;): as unidades deU e t so arbitrrias.

Processos estacionrios e homogneos Considere por simplicidade um processoestocsticoU (t ;) em que cada realizaoU (t ;#) ocorre apenas em t (a generaliza-o para U (x , t ;) ser bvia). Neste curso, a varivel t contnua (note entretantoque processos estocsticos em que a varivel t discreta so perfeitamente possveis,e eventualmente teis tambm em turbulncia). Independentemente disso, sem-pre possvel produzir sub-conjuntos discretos de n instantes de tempo, t1, t2, . . . , tn, epara cada um desses sub-conjuntos (dos quais h innitos) considerar a distribuioconjunta de probabilidade

FU (t1),...,U (tn ) (U#1 , . . . ,U

#n ).

Ns dizemos que o processo estacionrio se essa distribuio for invariante sob umatranslao dos instantes de tempo, ou seja, se

FU (t1),...,U (tn ) (U#1 , . . . ,U

#n ) = FU (t1+ ),...,U (tn+ ) (U

#1 , . . . ,U

#n )

para todos os subconjuntos t1, t2, . . . , tn possveis.Alguns casos particulares dessa denio nos ajudam a entender, na prtica, o

que signica a estacionariedade do processo. Por exemplo, considere o caso n = 1, ea mdia probabilstica do processo em dois instantes, U (t1) e U (t2). Ento (se oprocesso for estacionrio), fazendo = t2 t1, e observando que FU (t1) = FUt2 ,

U (t1) =

U dFU (t1)

=

U dFU (t1+ )

19 1.3 A decomposio em mdia e utuao, e os postulados de Reynolds

=

U dFU (t2) = U (t2)

Em outras palavras, em um processo estocstico, a mdia no muda com o tempo. Omesmo ocorrer com a varincia, cuja prova deixamos para o leitor:

Var{U (t1)} = Var{U (t2)}.Esses dois fatos so facilmente identicveis nas realizaes de um processo estocs-tico mostradas na gura 1.5: visualmente, no percebemos nenhuma tendncia demudana da mdia nem no espalhamento dos valores em torno da mdia ao longodo tempo.

Uma funo particularmente importante para ns ser a funo de autocovari-ncia. Em um processo estocstico estacionrio, a mdia probabilstica constante.Consequentemente, trivial subtrair essa constante e trabalhar com um processo cujamdia zero. Seja ento U (t ;) com U (t ;) = 0. A funo de autocovarincia deU (t ;) denida (para o caso de mdia zero!) por

CUU (t1, t2) U (t1)U (t2) . (1.9)

Como o processo estacionrio, e fazendo-se = t2 t1,

U (t1)U (t2) =R2U1U2dFU (t1),U (t2) (U1,U2)

=

R2U1U2dFU (t1t1),U (t2t1) (U1,U2)

=

R2U1U2dFU (0),U ( ) (U1,U2)

= U (0)U ( ) .

A funo de autocovarincia de um processo estocstico estacionrio, portanto, arigor uma funo de uma nica varivel, a defasagem entre os valores de U emdois instantes. Para processos estacionrios, portanto, uma denio equivalente dafuno de autocovarincia

CUU ( ) U (t )U (t + ) . (1.10)

Denies anlogas podem ser feitas para processos estocsticos no espao. Oconceito anlogo ao de estacionariedade no tempo o de homogeneidade no espao;quando a funo de distribuio multivariada em um conjunto (arbitrrio) de pontosx1, . . .xn invariante sob uma translao r no espao ns dizemos que o processo homogneo.

1.3 A decomposio em mdia e flutuao, e os postulados deReynolds

De agora em diante ns vamos postular que em um escoamento turbulento cadavarivel Ui um processo estocstico do tipo

Ui = Ui (x , t ;). (1.11)

20 1.3 A decomposio em mdia e utuao, e os postulados de Reynolds

Como vimos na seo 1.2, uma realizao do processo uma funo de x e t observadapara um particular , ou ainda: cada corresponde a uma realizao diferente doprocesso estocstico subjacente.

Dada uma varivelUi em um escoamento turbulento, a decomposio de Reynoldsconsiste em escrever

Ui = Ui + ui . (1.12)Uma das principais utilidades da decomposio de Reynolds separar o escoa-

mento em uma uma varivel determinstica Ui (que pode ou no variar no espao eno tempo) e em uma utuao turbulenta ui , que uma VA com valor esperado nulo.De fato, por denio (ver (1.2)) temos que

Ui (x , t ) =

Ui (x , t ;) dP (). (1.13)

Note que Ui determinstica por denio. A mdia de populao de ui ento ser

ui = Ui Ui

=

(Ui (x , t ;) Ui (x , t )) dP ()

=

Ui (x , t ;) dP () Ui (x , t )

dP ()

= Ui (x , t ) Ui (x , t ) = 0. (1.14)

Infelizmente, (1.14) est longe de garantir que ui seja um processo estocsticoestacionrio e/ou homogneo. Por exemplo, nada est dito sobre a dependncia (ouno) em x e em t dos momentos de ordem 2 do tipo

uiuj

. Entretanto, ela j um

comeo, e pelo menos ela permite separar os efeitos de uma velocidade mdia comvariao local muito forte, como o caso de camadas-limite turbulentas com fortecisalhamento.

Utilizando (1.12) e (1.13), ns provaremos agora os demais postulados de Rey-nolds:

Ui =Ui (x , t ) dP ()

= Ui (x , t )

dP ()

= Ui (x , t ). (1.15)

ui

Uj

=

ui (x , t ;)Uj

(x , t ) dP ()

=Uj

(x , t )

ui (x , t ;) dP ()

=Uj

ui = 0. (1.16)

Finalmente, as derivadas em relao a xi e a t comutam com a operao de mdiaprobabilstica:

Uit

=

Ui (x , t ;)t

dP ()

21 1.4 Dependncia estocstica e correlao

=

t

[

Ui (x , t ;)dP ()]

=Uit. (1.17)

A prova do resultado para as derivadas parciais em relao a xi ,Uixj

=Uixj

(1.18)

similar prova de (1.17), e deixada para o leitor.O conjunto de relaes (1.14)(1.18) usualmente conhecido na literatura com o

nome de postulados de Reynolds. luz da sua deduo rigorosa acima, o nome maisadequado talvez fosse lemas de Reynolds.

1.4 Dependncia estocstica e correlao

Duas variveis aleatrias U e V so independentes quando

FU ,V (U#,V #) = FU (U

#)FV (V#)

Se duas variveis U e V so independentes, relativamente fcil provar que

UV = U V .

Tambm fcil provar que se um processo estocstico estacionrio,

t

U 2

= 0,

UU

t

= 0,

U U t+

uu

t

= 0,

uu

t

= 0

Ou seja: a covarincia entre um processo estocstico estacionrio e sua utuao nula. O mesmo vale para processos homogneos no espao. Na penltima linhaacima, usamos o fato de que

U t= 0

para um processo estacionrio.Vamos a partir de agora trabalhar apenas com as utuaes turbulentas u e v

de duas variveis genricas. Suponha que u e v sejam dois processos estocsticosestacionrios, com mdias de populao nulas, varincias unitrias (por simplicidade:u2

=

v2

= 1) e correlacionados.

Vamos supor um modelo muito simples de dependncia estocstica:

dudt=

1T

[u

2+rv

2+ u

], (1.19)

dvdt=

1T

[v

2+ru

2+ v

]. (1.20)

22 1.5 Uma primeira lio sobre isotropia

onde r uma constante adimensional, e u e v rudos brancos: variveis aleat-rias com mdia zero, varincia unitria, e com correlao nula entre si e com u ev . T um tempo caracterstico do sistema. Repare que ele necessrio para que(1.19)(1.20) sejam dimensionalmente consistentes, assim como o requerimento deque JuK = JuK = JvK = JvK .

importante enfatizar que (1.19)(1.20) esto longe de constiturem um bommodelopara as utuaes de velocidade em um escoamento turbulento, governadas pelas equa-es de Navier-Stokes. Por exemplo, ao contrrio de Navier-Stokes, elas so lineares.Mesmo assim, elas tm algumas propriedades desejveis. Por exemplo, assim comoocorre com as equaes de Navier-Stokes, (1.19)(1.20) so simtricas em u,v (elasno mudam se permutarmos u com v), e o processo estocstico (u (t ,),v (t ,)) queelas descrevem estacionrio. Portanto, h algumas coisas que podemos aprender,mesmo com esse modelo simples.

Multiplicando (1.19) por v ; (1.20) por u, e promediando,v

dudt

=

1T

vu

2+rv2

2+ vu

, (1.21)

u

dvdt

=

1T

uv

2+ru2

2+ uv

. (1.22)

Mas v2

=

u2

= 1,

vu = uv = 0;

portanto, somando-se as equaes emv dudt

eu dvdt

,

duvdt=

1T

[ uv + r ] .

Como o processo estacionrio, o lado esquerdo acima nulo. Portanto,

uv = r ; (1.23)

em outras palavras, (1.19)(1.20) descrevem um processo estocstico em que o co-eciente de correlao entre u e v r . Substituindo (1.23), agora, em (1.21)(1.22),encontramos

vdudt

= 0,

udvdt

= 0.

Com esse pequeno exerccio, portanto, ns exibimos um processo estocstico bivari-ado com algumas (poucas!) propriedades em comum com as utues de velocidadeproduzidas pelas equaes de Navier-Stokes em que as covarincias/correlaes cru-zadas entre as duas componentes so nulas.

1.5 Uma primeira lio sobre isotropia

Coisas a fazer Dena isotropia em umponto. Discuta a naturezaeminentemente cinem-tica do conceito de isotro-pia. Relacione isotropiacom homogeneidade: oque vem antes, e qual a relao entre elas? Ex-plique que no h uxosem turbulncia isotrpica,mas que isso pode ser re-laxado com o conceito deisotropia local.

Dena isotropia em umponto. Discuta a naturezaeminentemente cinem-tica do conceito de isotro-pia. Relacione isotropiacom homogeneidade: oque vem antes, e qual a relao entre elas? Ex-plique que no h uxosem turbulncia isotrpica,mas que isso pode ser re-laxado com o conceito deisotropia local.

2Termodinmica de uma misturadiuluda

2.1 Regra de fase de Gibbs e relaes de Maxwell

Para uma mistura de nc componentes sem reaes qumicas, pode-se deduzir aregra de fase de Gibbs (Adkins, 1983, p.223, eq. 11.45):

n = 2 + nc n f , (2.1)

onde n o nmero de graus de liberdade do sistema, e n f o nmero de fases. Nocaso de nc = 2 e de apenas uma fase (n f = 1), o nmero de graus de liberdade dosistema n = 2 + 2 1 = 3. Consequentemente, a equao de estado para umamistura binria monofsica deve depender de 3 variveis de estado independentes.Considere agora uma mistura de dois componentes com densidades 1 e 2, tais que1 2, ou seja: o sistema uma mistura diluda da substncia 2 na substncia 1.Dena a concentrao mssica da substncia K :

CK K, (2.2)

onde = 1 + 2 (2.3)

a densidade total do sistema; isso produz imediatamente as restries

C1 +C2 = 1, (2.4)dC1 = dC2, (2.5)

de modo que dada a concentrao de um componente, a concentrao do outro estautomaticamente determinada. Dependendo da convenincia, portanto, ns utiliza-remos o smbolo C como sinnimo de C2.

Pela regra de fase de Gibbs, a energia interna (e de fato qualquer outro potencialtermodinmico) deve ser uma funo de 3 variveis de estado. Escolhendo-se as 3variveis de estado naturais para a energia interna por unidade de massa U,

U = U(V, S,C ), (2.6)

onde V o volume especco (volume por unidade de massa)

V 1, (2.7)

23

24 2.1 Regra de fase de Gibbs e relaes de Maxwell

S a entropia especca (entropia por unidade de massa) e C = C2 a concentraomssica do componente 2 denida em (2.2).

A diferencial total de U ser

dU = PdV +TdS +2

K=1KdCK

= PdV +TdS +AdC . (2.8)

onde os K s so os potenciais qumicos dos componentes da mistura, e

A = 2 1 (2.9)

a anidade da mistura (Kondepudi e Prigogine, 1998, p. 114). Para se obter (2.8),utilizou-se (2.5). Um de nossos principais objetivos neste captulo a obteno de umaexpresso para a anidade A da mistura em termos de grandezas fsicas mensurveis,tais como a temperatura ou calores especcos.

A partir de (2.8), obtm-se 3 relaes de Maxwell:

2U

SV=2U

VS

(P

S

)V,C

=

(T

V

)S,C

, (2.10)

2U

CV=2U

VC

(P

C

)V,S

=

(A

V

)C,S

, (2.11)

2U

CS=2U

SC

(T

C

)S,V

=

(A

S

)C,V

. (2.12)

Para a entalpia especca H ,

H U + PV, (2.13)dH = VdP +TdS +AdC, (2.14)

e as 3 relaes de Maxwell a partir de (2.14) so(V

S

)P ,C

=

(T

P

)S,C

, (2.15)(V

C

)P ,S

=

(A

P

)C,S

, (2.16)(T

C

)S,P

=

(A

S

)C,P

. (2.17)

Para a energia livre de Helmholtz especca F ,

F U ST , (2.18)dF = PdV SdT +AdC, (2.19)

e as 3 relaes de Maxwell a partir de (2.19) so

(P

T

)V,C

= (S

V

)T ,C

, (2.20)

25 2.2 Mistura diluda de 2 gases ideais

(P

C

)V,T

= +

(A

V

)C,T

, (2.21)

(S

C

)T ,V

= +

(A

T

)C,V

. (2.22)

Finalmente, para a energia livre de Gibbs especca,

G H ST , (2.23)dG = VdP SdT +AdC, (2.24)

e as 3 relaes de Maxwell a partir de (2.24) sero

+

(V

T

)P ,C

= (S

P

)T ,C

, (2.25)

+

(V

C

)P ,T

= +

(A

P

)C,T

, (2.26)

(S

C

)T ,P

= +

(A

T

)C,P

. (2.27)

2.2 Mistura diluda de 2 gases ideais

2.2.1 Equaes de estado

Considere agora 2 gases ideais. Cada gs ideal K da mistura denido pelaequao de estado

PKV = NKRT , (2.28)

onde NK o nmero de moles do gs K , e R a constante universal dos gases.

PK =MKV

R

MKT ,

e denindo-se a constante e a densidade do gs K

RK R/MK , (2.29)

K MKV, (2.30)

obtm-sePK = KRKT , (2.31)

ou, alternativamente,PKVK = RKT , (2.32)

e pela equao para sua energia interna especca,

UK = UK0 + cvK (T T0) (2.33)

(Callen 1985, p. 66; Adkins 1983, p. 116), onde o calor especco a volume constantedo gs K dado por

cvK = ZKRK (2.34)


Tabela 2.1: Propriedades de gases atmosfricos a 0 C e 101325 Pa

propriedade MK RK ZK cpK (calculado) cpK (medido)gs 103kg mol1 J kg1 K1 J kg1 K1 J kg1 K1N2 28,013 296,80 5/2 1038,80 1037O2 31,999 259,83 5/2 909,40 909H2O 18,016 461,48 3 1845,92 1847

Fontes: Fleagle e Businger (1980), M?ller (1985), Iribarne e Godson (1986).

com ZK = 3/2, 5/2 e 3 para gases monoatmicos, biatmicos e com mais de doisatmos, respectivamente (M?ller, 1985, p. 9, eq. 1.20). temperatura de refernciaT0 a energia interna possui um valor de referncia arbitrrio UK0. Alm disto, PK a presso parcial de vapor do gs K , V o volume total ocupado, NK o nmero demoles do gs K , R a constante universal dos gases, MK a massa do gs K e MK a massa molar do gs K .

A relao geral entre os calores especcos a volume constante cv e a pressoconstante cp em uma substncia pura (Kondepudi e Prigogine, 1998, p.46)

cp cv =[P +

(U

V

)T

] (V

T

)P

(2.35)

de forma que da equao de estado (2.32) tem-se

cpK cvK = RK . (2.36)

A tabela 2.2.1 fornece algumas propriedades de gases atmosfricos e a comparaoentre os valores calculados de cpK a partir de (2.34) e (2.36) com valores medidos.

2.2.2 Demais potenciais termodinmicos de um gs ideal

Entalpia Combinando-se (2.32) e (2.33), obtm-se

HK UK + PKVK = UK0 + cvK (T T0) + RKT= UK0 + RKT0 + (cvK + RK ) (T T0)= HK0 + (cvK + RK ) (T T0)= HK0 + cpK (T T0). (2.37)

Entropia A primeira lei da termodinmica para o K-simo componente da misturade gases

dUK = TdSK PKdVK , (2.38)e como UK em um gs ideal depende somente de T ,

cvKdT = TdSK RKT

VKdVK ,

dSK = cvKdTT+ RK

dVKVK,

SK SK0 = cvK lnT

T0 RK ln

KK0. (2.39)


Alternativamente, use

PKdVK + VKdPK = RKdT , (2.40)dVKVK+

dPKPK=

dTT, (2.41)

para obter

dSK = (cvK + RK )dTT RK

dPKPK,

SK SK0 = cpK lnT

T0 RK ln

PKPK0. (2.42)

Novamente, a entropia de referncia temperatura T0 SK0. A 3a lei da termodin-mica prev que a entropia deve se anular quando a temperatura termodinmica atingeo zero absoluto, de forma que SK0 no deve ser arbitrria; entretanto, ns vamos pro-curar abordar o problema mais frente utilizando tabelas de entalpias e entropias deformao dos constituintes da mistura, e de certa forma evitando a 3a lei.Energia livre de Gibbs especca Para um gs ideal K com equao de estado(2.32), a relao de Maxwell (2.24) resulta em(

GKPK

)T

= VK =RKT

PK, (2.43)

e agora integrando em relao a P (a T constante) ns obtemos

GK (T , PK ) = G (T ) + RKT ln(PKPK0

), (2.44)

onde G (T ) uma funo somente da temperatura, a determinar. Na verdade, paraum gs ideal possvel fazer muito melhor do que isto utilizando-se simplesmente asdenies de HK (2.37) e SK (2.39):

GK = HK TSK

= HK0 + cpK (T T0) T[SK0 + cvK ln

T

T0 RK ln

KK0

]

= HK0 + RK (T T0) + cvK (T T0) T[SK0 + cvK ln

T

T0 RK ln

KK0

]

= (HK0 TSK0) + RKT(1 T0

T

)+ cvKT

(1 T0

T

)+ cvKT ln

T0T+TRK ln

KK0

= (HK0 T0SK0) K0

S0KT(1 T0

T

)+ RKT

(1 T0

T

)+ cvKT

(1 T0

T+ ln

T0T

)+TRK ln

KK0

= K0 + (RK SK0)T(1 T0

T

)+ cvKT

(1 T0

T+ ln

T0T

)+TRK ln

KK0

(2.45)

Agora, para T0/T 1, se expandirmos ln(T0/T ) em srie de Taylor em torno de 1 atordem 2, encontraremos

GK GK0 + (RK SK0)T(1 T0

T

) 1

2cvKT

(T0 TT

)2+ RKT ln

KK0

(2.46)


importante observar que h necessariamente duas constantes de integrao adeterminar em (2.45) ou em (2.46). Este o mesmo resultado obtido por M?ller (1985)em sua equao (6.72). No nosso caso, ns retivemos a temperatura de refernciaT0 demaneira que o argumento de ln() permanece sempre adimensional. O conhecimentodeT0 tambm ser importante quando utilizarmos na prxima sub-seo os conceitosde entalpia, entropia e energia livre de Gibbs de formao de uma substncia.

2.2.3 A afinidade de uma mistura de gases ideais

A presso total de uma mistura de gases ideais ser a soma das presses parciaisde vapor (a lei de Dalton), do que se obtm a equao de estado da mistura:

P =

Pk

= 1R1T + 2R2T ,

=

[1R1T +

2R2T

]

= [C1R1 +C2R2]T=

[(1 C )R1 +CR2

]T

= [R1 + (R2 R1)C

]T . (2.47)

Note que a mistura se comporta como se fosse um gs ideal com constante R (C ) =R1 + (R2 R1)C dependente da concentrao C .

Alm disto, pode-se mostrar que para uma mistura de gases ideais a presso, aentropia e todos os potenciais termodinmicos so iguais s somas das quantidadescorrespondentes de cada gs (Adkins, 1983, p. 215). Ns vamos usar este resultadogeral para obter algumas relaes de interesse. Por exemplo, para a energia interna,

U = U1 +U2 = U1M1 +U2M2 U = C1U1 +C2U2. (2.48)

Analogamente, a entalpia e a entropia especcas so dadas por

H = C1H1 +C2H2, (2.49)S = C1S1 +C2S2. (2.50)

Segue-se de (2.49) que o calor especco a presso constante da mistura dado por

cp (H

T

)P ,C

= (1 C )(H1T

)P

+C

(H2T

)P

= (1 C )cp1 +Ccp2=

[cp1 + (cp2 cp1)C

]. (2.51)

Note que enquanto que V, S , H , etc., so grandezas especcas por unidade de massatotal M, U1 e U2 so energias internas por unidade de massa de cada gs, M1 e M2 (omesmo acontecendo com H1, H2, S1, S2, etc.). Aqui, as relaes-chave so

V =V

M =V

MKMKM = VKCK (para cada K ), (2.52)

dV = CKdVK + VKdCK (2.53)


Finalmente, para obtermos a anidade A da mistura de 2 gases ideais, ns preci-samos permitir que C varie. Diferenciando (2.48), obtemos

dU =

(CKdUK +UKdCK )

=

(CK (TdSK PKdVK ) +UKdCK ) . (2.54)

Diferenciando (2.50),

dS =

(CKdSK + SKdCK ),

T(

CKdSK)= TdS

TSKdCK , (2.55)

e utilizando (2.52), (2.53) e (2.55) em (2.54):

dU = TdS

TSKdCK

PK (dV VKdCK ) +

UKdCK

= TdS (

PK)

dV

TSKdCK +

PKVKdCK +

UKdCK

= TdS PdV +

(UK + PKVK TSK )dCK= TdS PdV +

GKdCK . (2.56)

O resultado, comparado com (2.8), mostra que

K = GK , (2.57)

ou seja: os potenciais qumicos de cada componente da mistura so iguais respec-tiva energia livre de Gibbs da substncia pura correspondente (ambos por unidade demassa); portanto, a anidade de uma mistura de dois gases ideais , simplesmente,

A = G2 G1. (2.58)

A rigor, este mesmo resultado poderia ter sido obtido muito mais rapidamente pormeio da equao de Euler (Callen, 1985, p. 59),

TS = U + PV Nk=1

KCK ; (2.59)

fazendo N = 1 para o caso de um nico componente, e ento cK 1, obtm-se

K = UK + PKVK TSK GK . (2.60)


Tabela 2.2: Entalpia e energia livre de Gibbs de formao, e entropia padro de gasesatmosfricos a 298,15 K e 100.000 Pa

propriedade fH0 fG0 S0gs MJ kg1 MJ kg1 kJ kg1 K1N2 0 0 6,8383O2 0 0 6,4086H2O 13,423 12,688 10,479

Fontes: NIST Chemistry WebBook, http://webbook.nist.gov/chemistry.

3As equaes diferenciais detransporte

A turbulncia uma consequncia da no-linearidade das equaes diferenciais quegovernam o escoamento de uidos e o transporte de escalares (vapor dgua, calor,CO2, etc.). Neste captulo ns vamos revisar de maneira breve a deduo destas equa-es a partir de leis de conservao da fsica e de equaes constitutivas.

3.1 Notao indicial

Uma boa parte de nossas manipulaes requer o uso de notao indicial, e dosconceitos de vetor e de tensor. De maneira extremamente breve, a notao indicialenvolve simplesmente a supresso dos smbolos de somatrio. Desta forma, um vetorem coordenadas cartesianas na base cannica {e1,e2,e3},

V = V1e1 +V2e2 +V3e3 =3

i=1Viei , (3.1)

escrito simplesmente comoV = Viei . (3.2)

A regra geral que o aparecimento de um mesmo ndice duas vezes em uma equaoindica soma neste ndice. Algumas vezes, entretanto, esta regra no se aplica. Porexemplo, eu posso querer me referir a V1e1 ou V2e2 ou V3e3. Nesse caso, usarei pa-rnteses em torno dos ndices, para informar que no h uma soma implcita nestesndices: V(i )e (i ) .

3.2 Continuidade

Considere um volume V , delimitado por uma superfcie fechada S . O balanode massa total para V dado pela equao de balano integral

0 =

t

VdV +

S(n U ) dS (3.3)

onde a massa especca, ou densidade, do uido e U o vetor velocidade doescoamento em cada ponto.

Em (3.3), V um volume material (Slattery, 1972), ou seja, o volume de um corpoque ocupa, instantaneamente, V . Em Mecnica dos Fluidos bsica, frequentemente

31

32 3.3 Misturas

as anlises se concentram sobre a regio do espao denida por V , que ento deno-minado volume de controle (Fox e McDonald, 1981).

A idia de volume material talvez um pouco mais rica: se considerarmos quecada ponto de V representa um ponto material imerso no campo de velocidade Uno instante t = 0, e seguirmos a trajetria de cada uma dessas partculas, o volumeocupado pelas mesmas em um instante posterior o volume do mesmo corpo nesseltimo instante.

O vetor unitrio normal superfcie de controle em cada ponto n. A integral desuperfcie acima pode ser transformada em uma integral de volume pelo Teorema daDivergncia:

0 =

t

VdV +

V

(Ui )xi

dV ,

0 =

V

(t+(Ui )xi

)dV . (3.4)

Esboamos agora o argumento do Teorema da Localizao: o volume V para o qual aequao acima se aplica totalmente genrico: de fato, (3.4) acima aplica-se a qual-quer volume dentro de um escoamento. Mas isso s possvel se o integrando foridenticamente nulo, ou seja:

t+(Ui )xi

= 0. (3.5)

Uma outra forma til da equao da continuidade

t+Uixi+ Uixi= 0,

DDt+ Uixi= 0 (3.6)

Finalmente, se utilizarmos o volume especco,

V 1, (3.7)

obteremos uma terceira forma til da equao da continuidade:

Uixi=

1V

DVDt

(3.8)

Fisicamente, (3.8) signica que a divergncia do campo de velocidade igual taxatemporal de variao do volume de uido (por unidade de volume!) em cada ponto.

3.3 Misturas

Nesta seo ns vamos seguir a essncia da abordagem de Bird et al. (1960, cap. 16):ela permite entender claramente o signicado de difuso molecular de uma substnciaem um uido, e em nossa opinio evita totalmente confuses comuns a respeito dopapel da difuso e da adveco em meios contnuos.

Alm disso, ns vamos considerar, por simplicidade, apenas misturas binrias,com um soluto A dissolvido em um solvente B. A generalizao para misturas commais de 2 componentes bvia.

33 3.3 Misturas

Em uma mistura binria ns postulamos a existncia em cada ponto de uma den-sidade para cada componente, A e B , de tal maneira que as massas totais de A e Bem um volume material V so, respectivamente,

MA =

VA dV , MB =

VB dV . (3.9)

evidente que, em cada ponto, devemos ter

= A + B . (3.10)

Note que a abordagem postulatria de (3.9) compatvel com a viso tradicionalem Mecnica do Contnuo. Prosseguindo, ns tambm postulamos a existncia decampos de velocidade para cada espcie, UA e U B , cujas integrais em um volumematerial so a quantidade de movimento total de cada espcie, respectivamente PA ePB . Por analogia com (3.9)(3.10), temos

PA =

VAUA dV , PB =

VBU B dV . (3.11)

Agora, a quantidade de movimento total do corpo que ocupa V deve ser

P =

VU dV , (3.12)

onde U a velocidade do uido em cada ponto, de tal forma que devemos ter

U = AUA + BU B . (3.13)

O ponto fundamental agora perceber que extremamente difcil, seno impos-svel, medir diretamente UA e U B . Em seu lugar, muito mais simples trabalhar uni-camente com o campo de velocidadeU do uido como um todo em cada ponto. Paratanto, ns denimos o vetor uxo difusivo de massa de A:

JA = A [UA U ] . (3.14)

A concentrao mssica de A CA

A, (3.15)

e vale a lei de Fick em cada ponto:

JA = AC, (3.16)

onde A a difusividade molecular de A na mistura. Relaes totalmente anlogastambm valem para o solvente B.

Finalmente, das equaes (3.10) e (3.13) obtm-se:

JA + JB = A [UA U ] + B [U B U ]= AUA + BU B (A + B )U= U U = 0. (3.17)

Essa equao vlida em todos os pontos de um uido, exceto talvez em uma superfcieonde haja um uxo lquido de A para dentro da massa de uido.

34 3.4 Quantidade de movimento

Prosseguindo, por analogia com (3.3), o balano integral deA to simples quanto

0 =

t

VA dV +

SA (n UA) dS

=

t

VA dV +

SA (n [UA U +U ]) dS;

SA (n [UA U ]) dS =

t

VA dV +

SA (n U ) dS,

S(n JA) =

t

VA dV +

SA (n U ) dS, (3.18)

onde a introduo de JA na ltima linha segue-se de sua denio (3.14). Uma deduototalmente anloga vale para B.

A aplicao dos teoremas da divergncia e da localizao para A e para B produz,agora, duas equaes diferenciais de balano de massa:

At+AUixi

= JA,ixi, (3.19)

Bt+BUixi

= JB,ixi. (3.20)

A soma de (3.19) e (3.20) tem que restaurar (3.5); dada a equao (3.10), segue-se ne-cessariamente que

JA,ixi+JB,ixi 0. (3.21)

(3.21) vale sempre; duas coisas podem acontecer. No caso mais geral, qualquer difusomolecular do solutoA compensada por difuso molecular, tambm do solvente B, deuma certa forma, no sentido oposto. Note entretanto que (3.21) estipula que a somadas divergncias dos uxos difusivos de massa que nula. Uma situao particular quepode ocorrer o caso em que JA = const. e JB = 0; portanto possvel ocorrer uxodifusivo apenas do soluto, desde que a sua divergncia seja nula. comum a confusoentre um uxo e sua divergncia nas equaes de um meio contnuo, e este um bomexemplo para explicitar sua diferena.

3.4 antidade de movimento

O balano integral geral de quantidade de movimento para um volume materialV

F s + F c =

t

VU dV +

SU (n U ) dS, (3.22)

onde F s so as foras de superfcie atuando sobre o volume de controle, e F c so asforas de corpo. A equao a seguir,

F s =

St dS =

Sn T dS =

SnjTjiei dS, (3.23)

condensa um volume considervel de conhecimento. A fora de superfcie dadapela integral de superfcie do vetor-tenso t . Esse por sua vez escrito na forma t =n T , isto , como o pr-produto do vetor unitrio normal n pelo tensor de tenses T .Finalmente, a equao constitutiva para o tensor de tensesT em funo do primeiro

35 3.4 Quantidade de movimento

coeciente de viscosidade , do segundo coeciente de viscosidade e da pressotermodinmica P

Tji =

(P + Uk

xk

)ji + 2Sji . (3.24)

ondeSji =

12

(Uj

xi+Uixj

)(3.25)

a taxa de deformao;o delta de Kroenecker

ji =

1, j = i,0, j , i .

(3.26)

A integral de superfcie correspondente fora de superfcie transformada em umaintegral de volume por intermdio do Teorema da divergncia:

F s =

[V

Tji

xjdV

]ei =

[V

( Pxi+

xi

(Ukxk

)+ 2

xj

(Sji

))dV

]ei . (3.27)

Para obter (3.27), ns supusemos constante, e o retiramos da operao de diferen-ciao. Embora estritamente isso no seja verdade, usual desconsiderar as variaesde (e eventualmente de ) com a posio na deduo das equaes de Navier-Stokes.

A fora de corpo num referencial em rotao deve incluir a acelerao de Coriolis: a velocidade angular da terra, a acelerao da gravidade (o que inclui os demaisefeitos de a Terra ser um referencial no-inercial veja Liggett (1994)), e

F c =

V

[ 2 U ] dV = [

V

(i 2ijkjUk

)dV

]ei . (3.28)

Os termos do lado direito so

t

VU dV =

[V

Uit

dV

]ei , (3.29)

SU(n U ) dS =

[SUinjUj dS

]ei =

[V

xj

(UiUj

)dV

]ei . (3.30)

Reunindo todos os termos,[

V

(

xj

(Tji

)+

(i 2ijkjUk

) (Ui )t

(UiUj )xj

)dV

]ei = 0. (3.31)

Pelo teorema da localizao, o integrando deve ser identicamente nulo; ento:

(Ui )t

+(UiUj )xj

= (i 2ijkjUk

)+

xj

(Tji

). (3.32)

Expandindo o lado esquerdo e simplicando-o por meio de (3.5), e explicitando Tjicom (3.24):

(Uit+UjUixj

)=

(i 2ijkjUk

)+

xj

(Tji

), (3.33)

(Uit+UjUixj

)=

(i 2ijkjUk

)+

xi

(P + Uk

xk

)+ 2u

Sij

xj. (3.34)

36 3.5 Vorticidade

onde ns usamos (3.24) e (3.27), e

u (3.35)

dene a viscosidade cinemtica u .Embora (3.34) seja provavelmente a forma mais clssica de apresentar as equa-

es de Navier-Stokes compressveis, ela no ser a mais til quando precisarmoslanar mo da aproximao de Boussinesq no captulo 5. Por isso, preferimos escre-ver a equao para quantidade de movimento na forma totalmente equivalente

(Ui )t

+(UiUj

)xj

= (i 2ijkjUk

)+

xi

(P + Uk

xk

)+ 2u

Sij

xj. (3.36)

3.5 Vorticidade

As seguintes identidades sero teis na sequncia: se = (x , t ) um campoescalar, ento:

= ijk

xi

xjek

= ijk2

xixjek

=

[12ijk

2

xixj+

12ijk

2

xixj

]ek

=

[12ijk2 f

xixj+

12jik

2

xjxi

]ek

=

[12ijk

2

xixj+

12jik2 f

xixj

]ek

=12

[ijk + jik

] =0

2

xixjek = 0. (3.37)

Alm disso,

[ u] = ei

xi jklukxj

ek

= jkl2ukxixj

ik

= jil2uixixj

=12jil2uixixj

+12jil2uixixj

=12jil2uixixj

+12ijl2uixjxi

=12jil2uixixj

+12ijl2uixixj

37 3.5 Vorticidade

=12

[jil + ijl

] =0

2uixixj

= 0. (3.38)

A vorticidade em um ponto de um escoamento denida como o rotacional davelocidade:

= U , (3.39)ou, em notao indicial:

k ijkUj

xiek . (3.40)

facil vericar a identidade:

ijkk = ijkmnkUnxm

=(imjn injm

) Unxm

=Uj

xi Uixj. (3.41)

Considere agora o rotacional da equao de momentum, pr-condicionada com aidentidade (3.41):

Uit+UjUixj= i 2ijkjUk +

1

xi

(P + Uk

xk

)+ 2u

Sij

xj;

Uit+Uj

(UixjUj

xi

)+UjUj

xi= i 2ijkjUk +

1

xi

(P + Uk

xk

)+ 2u

Sij

xj;

Uit ijkUjk +

12(UjUj

)xi

= i 2ijkjUk +1

xi

(P + Uk

xk

)+ 2u

Sij

xj;

Uit+ ijkjUk +

12(UjUj

)xi

= i 2ijkjUk +1

xi

(P + Uk

xk

)+ 2u

Sij

xj;

Uit+ ijk

[j + 2j

]Uk +

12(UjUj

)xi

= i +1

xi

(P + Uk

xk

)+ u

xj

(Uixj+Uj

xi

);

Uit+ ijk

[j + 2j

]Uk +

12(UjUj

)xi

= i +1

xi

(P + ( + ) Uk

xk

)+ u

2Uixjxj

.

(3.42)

Nosso prximo passo calcular o rotacional de (3.42). Isso natural, na medida emque surgir uma equao para D/Dt . Note tambm a presena de dois gradientesem (3.42), e , onde

=12

(UjUj

), (3.43)

= P + ( + u )Ukxk. (3.44)

O rotacional de ambos nulo, devido a (3.37). Prosseguimos agora termo a termo. Orotacional do primeiro termo do lado esquerdo de (3.42)

lim

xl

Uit=

tlimUixl=mt. (3.45)

38 3.5 Vorticidade

O rotacional do segundo termo do lado esquerdo de (3.42)

lim

xlijk

[j + 2j

]Uk = limijk

xl

( [j + 2j

]Uk

)= mlijki

xl

( [j + 2j

]Uk

)=

[mjlk mkl j

] xl

( [j + 2j

]Uk

)=

xk([m + 2m]Uk )

xj

( [j + 2j

]Um

).

Algumas simplicaes ainda so possveis. Note que a velocidade angular da terra, , constante: as suas derivadas espaciais sero nulas. Alm disso, note tambm que,em virtude de (3.38), = 0. Aplicando essas simplicaes,

lim

xlijk

[j + 2j

]Uk =

xk([m + 2m]Uk )

xj

( [j + 2j

]Um

)= Uk

[m + 2m]xk

+ [m + 2m]Ukxk

[j + 2j

] UmxjUm

xj

[j + 2j

]

= Ukmxk+ [m + 2m]

Ukxk

[j + 2j

] Umxj. (3.46)

Conforme j havamos comentado, o rotacional do terceiro termo do lado es-querdo de (3.42) nulo em virtude de (3.37):

lim

xl

12UjUj

xi= lim

xl= 0. (3.47)

O rotacional do primeiro termo do lado esquerdo de (3.42) nulo:

limixl= 0. (3.48)

Com a ajuda de (3.44), o rotacional do segundo termo do lado direito de (3.42)

lim

xl

[1

xi

]=

1lim

xl

xi+

xilim

xl

(1

)= 12

limxl

xi

= 12

limxl

xi

(P + ( + u )

Ukxk

). (3.49)

Finalmente, o rotacional do terceiro termo do lado direito de (3.42)

lim

xlu2Uixjxj

= u2

xjxjlimUixl= u

2mxjxj

. (3.50)

Ns agora reunimos os resultados (3.45)(3.50) na equao da vorticidade:mt+Ukmxk

=[j + 2j

] Umxj

I

[m + 2m]Ukxk

II

39 3.5 Vorticidade

+12

limxl

xi

(P ( + u )

Ukxk

)

III

+u2mxjxj

IV

. (3.51)

O lado esquerdo de (3.51) a derivada material da vorticidade, Dm/dt . Otermo I do lado direito o termo de estiramento e inclinao de vrtice (vortexstretching/tilting): existe uma tendncia a esticar as linhas de velocidade, inten-sicando a vorticidade ao mesmo tempo em que ela ocupa regies menores (maisnas) do escoamento. Veja a discusso deste importante termo em escoamentostridimensionais em Kundu (1990, p. 133 (Meaning of ( )u)) O termo II do ladodireito de (3.51) s vai ser importante em escoamentos compressveis. O termo III o termo baroclnico. fcil ver que

III = 12 ;

a presena de desalinhamento entre os gradientes de densidade e de presso altera avorticidade; nalmente, o termo IV o termo viscoso.

possvel denir para a vorticidade, uma grandeza anloga ao que a energiacintica para a velocidade. O nome dessa grandeza enstroa:

Z 12mm .

Da mesma forma que ocorre com a energia mecnica, cuja equao pode ser dedu-zida a partir da equao de momentum fazendo-se o produto interno dessa ltimacom o vetor velocidade (ver seo 3.7), possvel obter uma equao para a enstroatomando-se o produto interno de 3.51 com :

mmt+ mUk

mxk

= m[j + 2j

] Umxj m [m + 2m]

Ukxk

+ m12

limxl

xi

(P ( + u )

Ukxk

)+ mu

2mxjxj

.

(3.52)

O lado esquerdo de (3.52) DZDt=Z

t+Uk

Z

xk(3.53)

(a derivada material da enstroa). O nico termo para o qual dedicaremos algumesforo algbrico adicional aqui ser o ltimo de (3.52). Note que (esse truque serutilizado repetidamente neste livro):

2Z

xjxj=

xj

(mmxj

)= m

2mxjxj

+mxj

mxj

;

um2mxjxj

= u2Z

xjxj umxj

mxj. (3.54)

A natureza de cada um dos dois termos do lado direito de (3.54) acima diferente:o primeiro termo uma divergncia e redistribui enstroa (por difuso molecular),

40 3.6 Energia

enquanto que o segundo termo sempre negativo: na ausncia de efeitos de com-pressibilidade, ele o termo responsvel pela destruio (dissipao) de enstroa noescoamento. Note tambm que o termo baroclnico deu origem a um produto triploentre os vetores , P e . Nossa equao nal para o balano de enstroa ca:

DZDt= m

[j + 2j

] Umxj m [m + 2m]

Ukxk

+12

limxl

xi

(P ( + u )

Ukxk

)m + u

2Z

xjxj umxj

mxj

(3.55)

3.6 Energia

A equao de balano da energia total (ou seja: interna e cintica) para um volumede controle

W + Q + I =

t

VEdV +

SE(n U ) dS . (3.56)

onde W a taxa de trabalho realizada sobre o volume de controle pelas foras desuperfcie e de corpo, Q o uxo de calor por conduo para dentro do volume decontrole e I a taxa de aporte de energia para dentro do volume de controle devido difuso de massa e consequente mudana relativa de composio qumica da mistura.Os tis servem para diferenciar valores totais de valores por unidade de massa; assim(por exemplo), W o trabalho sobre um corpo, enquanto que W o trabalho porunidade de massa. A energia especca (por unidade de massa)

E =12UiUi + U, (3.57)

ondeU a energia interna por unidade de massa. Note que ns no inclumos nenhumtermo de energia potencial, porque W contabilizar todas as foras atuando sobre ovolume de controle, incluindo as conservativas. O clculo de cada um dos termos dolado esquerdo de (3.56) feito como se segue:

Q =

S(n q) dS =

ScpT (n T ) dS

=

ScpTnj

T

xjdS =

V

xj

(cpT

T

xj

)dV , (3.58)

onde q o vetor uxo de calor. Em notao indicial, a equao constitutiva para atransferncia de calor por conduo, ou difuso molecular,

qi = cpTT

xi, (3.59)

onde cp o calor especco a presso constante do uido, T a difusividade trmicamolecular, e T a temperatura termodinmica.

A taxa de trabalho realizado sobre V

W =

V([ 2 U ] U ) dV +

S(t U ) dS

41 3.6 Energia

=

V

(i 2ijkjUk

)Ui dV +

SnjTjiUi dS

=

V

(

(i 2ijkjUk

)Ui +

xj(TjiUi )

)dV

=

V

(

(i 2ijkjUk +

Tji

xj

)Ui +

Uixj

Tji

)dV . (3.60)

O lado direito de (3.56)

t

VEdV =

V

(E)t

dV =

V

(Et+ E

t

)dV (3.61)

e SE(n U ) dS =

SEnjUj dS =

V

xj

(UjE

)dV =

V

*.,E(Uj

)xj

+ UjE

xj

+/-dV (3.62)

Combinando (3.61) e (3.62) acima, tem-se

V

*......,

E *.,

t+(Uj

)xj

+/-

=0

+(E

t+UjE

xj

)+//////-

dV , (3.63)

onde o primeiro termo nulo por fora da equao da continuidade. O restante V

DEDt

dV =

V

DDt

(12UiUi + U

)dV =

V

(Ui

DUiDt+

DUDt

)dV . (3.64)

Combinando-se todos os termos da equao de energia,V

(

xj

(cp

T

xj

)+Uixj

Tji +Ui(i 2ijkjUk +

Tji

xj

)

(Ui

DUiDt+

DUDt

))dV = 0 (3.65)

Colocando em evidncia os termos com Ui em comum,

Ui

[DUiDt

(i 2ijkjUk +

Tji

xj

)] 0, (3.66)

j que o termo entre parnteses a prpria equao de balano de quantidade demovimento! O que resta, aps aplicarmos o teorema da localizao,

DUDt= cpT

xj

(T

xj

)+Uixj

Tji , (3.67)

onde, de maneira anloga ao que foi feito com a equao de quantidade de movimentoquando consideramos constante, ns consideramos o termo cpT constante e oretiramos da derivada. Novamente, embora no seja estritamente correto, isso usual.

42 3.6 Energia

O termo Ui/xjTji facilmente calculvel:

Uixj

Tji =

((P + Uk

xk

)ji + 2Sij

)Uixj

(3.68)

= P Uixi+

(Ukxk

)2+ 2Sij

Uixj. (3.69)

Como os ndices i e j so mudos (ambos aparecem repetidos, indicando somatrios),eles podem ser trocados:(

Uixj+Uj

xi

)Uixj=

(Uj

xi+Uixj

)Uj

xi, (3.70)

donde

2SijUixj=

(Uixj+Uj

xi

)Uixj

=12

((Uixj+Uj

xi

)Uixj+

(Uj

xi+Uixj

)Uj

xi

)=

12

(Uj

xi+Uixj

)2= 2SijSij . (3.71)

Note que (3.71) uma soma de 9 termos, todos eles positivos. Finalmente, obtemos

TijUixj= P Uk

xk+

(Ukxk

)2+ 2SijSij . (3.72)

Os dois ltimos termos correspondem converso irreversvel de energia mecnicaem energia interna, e possvel mostrar que sua soma sempre positiva, debaixo dahiptese de Stokes (Kundu, 1990, p. 92),

+23 = 0. (3.73)

Ento, a equao de interao tensor de tenses-gradiente de velocidade ca

TijUixj= P Uk

xk+ 2 *

,SijSij

13

(Ukxk

)2+-, (3.74)

e podemos completar o quadrado do termo entre parnteses:

SijSij 13

(Ukxk

)2= SijSij

23

(Ukxk

)2+

13

(Ukxk

)2= SijSij 2

(Ukxk

)13

(Ukxk

)+

13

(Ukxk

)2= SijSij 2

12

(Uixj+Uj

xi

)ij

13

(Ukxk

)+

13

(Ukxk

)2= SijSij 2Sij

13

(Ukxk

)ij +

19

(Ukxk

)2ijij

43 3.6 Energia

=

(Sij

13

(Ukxk

)ij

)2. (3.75)

Finalmente,

TjiUixj= P

(Ukxk

)+ 2

(Sij

13

(Ukxk

)ij

)2. (3.76)

A equao diferencial completa para a energia interna ca

DUDt= cpT

xj

(T

xj

)

I

P(Ukxk

)

II

+ 2(Sij

13

(Ukxk

)ij

)2

=III

, (3.77)

onde I representa o aquecimento/resfriamento de uma partcula de uido por con-duo, II representa o trabalho reversvel realizado pela presso, e III, que sem-pre positivo, a converso irreversvel de energia mecnica em energia interna, edenomina-se dissipao viscosa. Em muitos livros, a dissipao viscosa denotadapela letra grega (minscula ou maiscula) . Essa ltima est relacionada com umagrandeza que vai aparecer inmeras vezes em teoria de turbulncia, a taxa de dissipa-o de energia cintica por unidade de massa, EE . As duas relacionam-se simplesmentepor

= EE . (3.78)Uma forma alternativa a (3.77) facilmente obtida: utilizando a denio de en-

talpia especca (2.14), obtemos:

1V

DUDt+P

V

DVDt= cpT

xj

(T

xj

)+ ,

1V

DDt

(U + PV) DPDt= cpT

xj

(T

xj

)+ ,

DHDt DP

Dt= cpT

xj

(T

xj

)+ . (3.79)

Por enquanto, suporemos que o uido do escoamento pode ser sucientementebem descrito como uma substncia simples, e que o nico agente de efeitos de empuxo a temperatura. O coeciente isobrico de expanso trmica, P , e o coecienteisotrmico de compressibilidade, T , so denidos nesse caso por

P 1V

(V

T

)P

= 1

(T

)P

, (3.80)

T 1V

(V

P

)T

. (3.81)

Escrevendo a entalpia especca (por unidade de massa) H denida em (2.14) emfuno de T e P , e calculando seu diferencial,

dH =(H

T

)P

dT +(H

P

)T

dP

= cpdT +(H

P

)T

dP , (3.82)

44 3.7 Dissipao viscosa

onde usamoscp

(H

T

)P

. (3.83)

O segundo termo obtido com o auxlio das relaes de Maxwell:

dH = VdP +TdS, (3.84)(H

P

)T

= V +T

(S

P

)T

; (3.85)(S

P

)T

= (V

T

)P

= PV, (3.86)

onde S a entalpia especca, donde(H

P

)T

= V (1 PT ) . (3.87)

Agora, partimos de (3.79), e utilizamos (3.83) e (3.87) para exprimir DH/Dt :

DHDt DP

Dt= cpT

xj

(T

xj

)+ ,

[(H

T

)P

DTDt+

(H

P

)T

DPDt

] DP

Dt= cpT

xj

(T

xj

)+ ,

1V

[cp

DTDt+ V(1 PT )

DPDt

] DP

Dt= cpT

xj

(T

xj

)+ ,

cpDTDt PT

DPDt= cpT

xj

(T

xj

)+ . (3.88)

Uma vantagem bvia de (3.88) que nela comparecem apenas grandezas direta-mente mensurveis (em princpio) tais comoT e P , e no mais potenciais termodin-micos mais abstratos, tais como U ou H .

3.7 A dissipao viscosa como perda de energia mecnica e fontede energia interna

Neste ponto, muito conveniente ns dedicarmos um pouco mais de ateno energia mecnica do escoamento. Como vimos, utilizando uma srie de simplica-es baseadas nas leis de conservao de massa e de momentum, ns reduzimos obalano integral que corresponde conservao geral de energia (cintica mais in-terna), (3.56), a uma equao diferencial para a energia interna, (3.77). Na sequncia,ns vamos seguir se no passo a passo pelo menos muito de perto a excelente expo-sio do assunto feita por Kundu (1990). Primeiramente, note de (3.60) que o taxa detrabalho realizado pelas foras de superfcie sobre um volume material V :

W s =

S(t U ) dS = . . . =

V

xj

(TjiUi

)dV . (3.89)

Kundu (1990) denomina (TjiUi

)/xj de trabalho total, por unidade de volume, das

foras de superfcie em um ponto. J o produto escalar de U pela equao dinmica(3.33)

UiDUiDt=

DDt

(12UiUi

)= Ui +Ui

xj(Tji ). (3.90)

45 3.8 A decomposio de Reynolds para variveis quadrticas

Note que o trabalho por unidade de volume das foras de superfcie efetivamenteresponsvel pela variao da energia cintica,UiTji/xj , diferente do trabalho total;utilizando a regra da cadeia, entretanto, elementar que

DDt

(12UiUi

)= Ui +

xj

(UiTji

) Uixj

Tji . (3.91)

O ltimo termo do lado direito da equao acima denominado por Kundu trabalhode deformao. Ele dado por (3.76), donde

DDt

(12UiUi

)= Ui

I

+

xj

(UiTji

)

II

+ P

(Ukxk

)

III

2(Sij

13

(Ukxk

)ij

)2

IV

. (3.92)

Nosso quadro de balano de energia ca, ento, completo. O termo I, claro, o traba-lho da fora peso. O termo II um termo de transporte. Note que UiTji representaum uxo advectivo de tenso total Tji . Esse termo encontra-se sob a forma de umadivergncia: a sua integral sobre um volume sucientemente grande envolvendo oescoamento de interesse anula-se. Isso signica que II no pode criar nem destruirenergia cintica localmente, mas representa uma redistribuio de energia cinticadentro do escoamento. O interessante o aparecimento de III e IV: eles so os termosII e III de (3.77), com o sinal trocado. Em (3.92), III a contribuio do trabalho rever-svel da presso para o aumento da energia cintica (quando Uk/xk > 0), e IV aconverso irreversvel de energia cintica em energia interna.

3.8 A decomposio de Reynolds para variveis quadrticas

Duas quantidades que vimos at aqui aparecem de forma natural como quadrados.Elas so a energia cintica do escoamento (por unidade de massa),

Ec =12UiUi (3.93)

e EE , a taxa de dissipao de Ec :

EE = 2u[Sij

13

(Ukxk

)ij

] [Sij

13

(Ukxk

)ij

]. (3.94)

Em (3.94), ns utilizamos (3.77) e (3.78) juntamente com (3.35).Aplicando a decomposio de Reynolds (1.12) a (3.93), temos:

Ec =12

[Ui + ui] [Ui + ui]

=12

[Ui Ui + 2 Uiui + uiui]

12Ui Ui Ecm

+ Uiui +uiui

2ec

(3.95)

H 3 termos em (3.95): uma decomposio de Reynolds clssicapara Ec , em mdiae utuao, no possvel, porque ela uma quantidade quadrtica. Mesmo assim,podemos identicar Ecm acima como a energia cintica do escoamento mdio. Da

46 3.8 A decomposio de Reynolds para variveis quadrticas

mesma forma, podemos identicar ec acima como a energia cintica local, no espao-tempo, da turbulncia. Promediando a equao acima, a mdia do termo intermedi-rio se anula, e, utilizando os postulados de Reynolds, (1.14)(1.16),

Ec =12Ui Ui Ecm

+12uiui ec

. (3.96)

Note que, por ser denida como um quadrado, a utuao ec no tem mdia zero.Como vimos, o primeiro termo do lado direito de (3.96) a energia cintica do es-

coamento mdio, Ecm. O segundo termo de (3.96) de grande importncia em teoriade turbulncia. Ele , apropriadamente, denominado de energia cintica da turbuln-cia, ec , muitas vezes abreviado pela sigla ECT. A rigor, deveramos chamar ecde energia cintica mdia da turbulncia, mas essa terminologia no usual. Mesmoassim, neste texto ns manteremos o smbolo ec entre colchetes angulares, , paraenfatizar o ponto. Para registro:

ec =12uiui . (3.97)

O procedimento de decomposio para a taxa de dissipao de energia cintica anlogo. Comece notando que, novamente com a ajuda da decomposio de Reynolds(1.12), e de (1.18),

Sij =12

[Uixj+Uj

xi

]

=12

Uixj

+uixj+Uj

xi

+uj

xi

=12

Uixj

+Uj

xi

Si j

+12

[uixj+uj

xi

]

si j

=Sij

+ sij , (3.98)

ondeSij

a taxa de deformao mdia, e sij a sua utuao. Da mesma forma,

imediato queUkxk=Ukxk

+ukxk. (3.99)

Agora,

EE = 2u[Sij

1

3

(Ukxk

)ij + sij

13

(ukxk

)ij

]

[Sij

1

3

(Ukxk

)ij + sij

13

(ukxk

)ij

]

= 2u

[Sij

1

3

(Ukxk

)ij

]2+ 2

[Sij

1

3

(Ukxk

)ij

] [sij

13ukxk

ij

]+

Em Ingls, Turbulence Kinetic Energy ou TKE.

47 3.9 O balano do semiquadrado da temperatura

[sij

13ukxk

ij

]2

(3.100)

Prosseguimos, com a promediao de (3.100) e (novamente) com o uso dos postuladosde Reynolds:

EE = 2u

Sij

Sij

2

3Sij

(Ukxk

)ij +

19

(Ukxk

)2ijij

+ 2u

sijsij

2

3

sij

(ukxk

)ij +

19

(ukxk

)2ijij

. (3.101)

Mas: Sij

ij =

Ukxk,

sijij =ukxk,

ijij = 3,

donde

EE = 2u

Sij

Sij

1

3

(Ukxk

)2 EEm

+ 2u

sijsij

1

3

(ukxk

)2 Ee

. (3.102)

Da mesma forma que a energia cintica (vide (3.96)), portanto, a taxa de dissipa-o de energia cintica pode ser decomposta numa taxa de dissipao associada aoescoamento mdio EEm (primeiro termo do lado direito de (3.102)), e uma taxa dedissipao da energia cintica da turbulncia, Ee (segundo termo do lado direito de(3.102)). Essa ltima uma grandeza muito importante. Para registro:

Ee = 2u

sijsij

1

3

(ukxk

)2 . (3.103)No incio da dcada de 1940, comeou a car claro que Ee uma grandeza fun-

damental em turbulncia. No prximo captulo, ns vamos ver que, com base emalguns argumentos simples e muito razoveis, Ee EEm quando o nmero deReynolds de um escoamento se torna muito grande. Isso por sua vez signica quesijsij

Sij

Sij

, e que deve existir, no caso escoamentos turbulentos com nmero

de Reynolds muito grande, uma grande separao entre as escalas macroscpicas e asescalas microscpias da turbulncia. As primeiras esto associadas aos gradientes develocidade, e taxas de deformao, mdios. As segundas esto associadas aos gradi-entes quadrticos mdios (e taxas de deformao quadrticas mdias).

3.9 O balano do semiquadrado da temperatura

possvel obter uma equao de balano do semi-quadrado da temperatura deforma totalmente anloga que foi usada para obter a equao para a energia mec-nica, (3.91). Isso feito multiplicando-se (3.88) por T:

cpTDTDt PT 2

DPDt= cpTT

xj

(T

xj

)+ .


Mas

TDTDt=

DDt

(T 2

2

),

T

xj

(T

xj

)=2

xjxj

(T 2

2

) Txj

T

xj;

portanto,

DDt

(T 2

2

)+

Pcp

T 2DPDt= T

2

xjxj

(T 2

2

) TT

xj

T

xj+T. (3.104)

Observamos que, em escoamentos naturais, o segundo termo do lado esquerdo emgeral desprezado com base em argumentos de ordem de grandeza (mais sobre issodepois), e que o primeiro termo do lado direito a divergncia do vetor

xj

(T 2

2

)e j ;

como tal, pelo Teorema da Divergncia, esse termo redistribui, mas no cria nemdestri globalmente, a grandeza T 2/2 (observe a analogia com o termo III de (3.92)).

O ltimo segundo do lado direito de (3.104), T Tx jTx j

, responsvel pela dissipaolocal da grandezaT 2/2. Como tal, ele anlogo ao ltimo termo (termo de dissipaode energia cintica) em (3.92), dado em destaque em (3.94). Ns denimos portanto aquantidade anloga

ET TT

xj

T

xj. (3.105)

O ltimo termo do lado direito de (3.104) um termo de fonte, geralmente desimpor-tante, devido dissipao de energia mecnica em energia interna.

Por analogia com o que zemos com a Energia Cintica da Turbulncia, temos:

T 2

2=

12

[T + T] [T + T]

=12

[T T + 2 T T + TT] . (3.106)

Promediando a equao acima, e utilizando os postulados de Reynolds (1.14)(1.16),12T 2

=

12T T + 1

2TT (3.107)

O segundo termo do lado direito de (3.107) a semivarincia das utuaes detemperatura. Ele um termo importante em escoamentos turbulentos em que existemutuaes de temperatura (e de densidade).

O procedimento de decomposio para a taxa de dissipao de T 2/2 se segue.

ET = T[

xj(T + T)

] [

xj(T + T)

](3.108)

= T

T xj

T xj+ 2T xj

T

xj+T

xj

T

xj


= TT xj

T xj

ETm

+T

T

xj

T

xj

ETT

(3.109)

Da mesma forma que acontece com Eem e Ee, ns veremos em seguida queETm ETT. Esse ltimo, a taxa de dissipao da semivarincia das utuaes detemperatura, um parmetro fundamental para descrever a dinmica das utuaesturbulentas de temperatura.

4As macro e micro escalas daturbulncia

Uma grande parte do conhecimento que temos sobre turbulncia baseia-se nas ideias,relativamente simples, de que h uma grande quantidade de escalas em um escoa-mento turbulento (reveja a discusso sobre escalas no captulo 1).

Ns vamos chamar as maiores escalas presentes de macro escalas. Elas so re-lativamente fceis de identicar com base na geometria do problema (o dimetro deum tubo, a profundidade de um canal, a velocidade mdia em uma seo, etc.). E asmenores escalas nas quais ocorre, efetivamente, a dissipao de energia cintica, demicro escalas. Estas ltimas so uma das grandes contribuies (entre tantas) deKolmogorov para o entendimento da turbulncia (Kolmogorov, 1941, 1991).

4.1 Macro e micro escalas: uma apresentao informal

Como observa Davidson (2004, p. 1920), uma boa parte do que ns sabemos sobreturbulncia pode ser resumido nas relaes

EE Ee u3/`, (4.1)

u =

(3uEe

)1/4, (4.2)

u = (u Ee)1/4 , (4.3)

u =

(uEe

)1/2. (4.4)

O restante como se segue: u e ` so macroescalas de velocidade e de compri-mento, respectivamente. Elas reetem as velocidades e comprimentos macroscpi-cos que ns vemos em um escoamento: o dimetro da tubulao, a distncia dasuperfcie em uma camada-limite, a profundidade do escoamento em um rio, etc. (`);e as diferenas de velocidade entre duas sees, a intensidade das utuaes turbu-lentas de velocidade, etc. (u).

Para as ordens de grandezas de termos nas equaes, ns vamos adotar a notaode Tennekes e Lumley (1972): em (4.1), o smbolo signica que o coeciente adi-mensional que torna a relao uma equao no maior do que 5, e no menor doque 1/5.

J u (eta, em grego), u e u (tau, em grego) so microescalas de comprimento,velocidade e de tempo; em homenagem ao seu proponente, elas so chamadas atu-almente de microescalas de Kolmogorov (Kolmogorov, 1941, 1991). u e u no podem

50

51 4.1 Macro e micro escalas: uma apresentao informal

Figura 4.1: Expanso sbida em uma tubulao.

ser vistas; elas reetem as diferenas de velocidade e de comprimento que ocorremem cada ponto de um escoamento turbulento, e que s podem ser estimadas (na m-dia quadrtica, como veremos em breve) em funo da taxa de dissipao de energiacintica da turbulncia, Ee, e da viscosidade cinemtica u .

Para o estudante que aborda Turbulncia pela primeira vez, ` e u so estranhos edifceis de compreender, enquanto que u , u, e u so totalmente impossveis. Numatentativa de aliviar a estranheza, a abordagem que se segue procura dar um pouco deconcretude a esses conceitos, por meio de alguns exemplos.

Em lugar de prosseguir com escalas arbitrrias u e `, considere o escoamentoclssico de um uido com densidade constante atravs de uma expanso sbita emuma tubulao, mostrado na gura 4.1. As reas das sees transversais antes e depoisda expanso so Aa e Ab .

Os pers esboados na gura 4.1 so idealizaes: bem conhecido que a velo-cidade (relativa) de um uido junto a uma parede slida zero, que a condio deno-deslizamento. O signicado fsico da gura 4.1, portanto, que na maior partedo escoamento antes, e depois, da expanso sbita de rea, a velocidade aproxi-madamente constante.

Para o volume material V (com superfcie S ) indicado pela linha pontilhada nagura 4.1, as equaes macroscpicas de balano so (3.3) (massa);

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