NEM TUDO É TÃO CERTO COMO PARECE SER: A MATEMÁTICA · PDF file...

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    NEM TUDO É TÃO CERTO COMO PARECE SER:

    A MATEMÁTICA FUZZY COMO LINGUAGEM

    Renato Francisco Merli

    [email protected]

    Lourdes Maria Werle de Almeida

    [email protected]

    LINHA DE PESQUISA

    Filosofia da Educação Matemática

    RESUMO

    Nesse texto apresentamos um ensaio de articulação entre matemática fuzzy e

    Educação Matemática utilizando como metodologia a revisão bibliográfica. Iniciamos

    com breves considerações históricas sobre conjuntos fuzzy, a partir de textos de

    Kosko (1993). Com a finalidade de ilustrar ideias e conceitos importantes na

    matemática fuzzy, apresentamos inicialmente, algumas concepções fundamentais e

    exemplos ilustrativos. Com a perspectiva de trazer a discussão sobre a importância da

    inclusão desta linguagem matemática para o âmbito escolar, enunciamos algumas

    possíveis relações com a Educação Matemática. Com esta finalidade buscamos em

    Gottschalk (2004/2008) e Vilela (2007) elementos dos estudos de Wittgenstein para

    pensar em “matemática fuzzy” como um tipo de jogo de linguagem.

    Palavras-chave: conjuntos fuzzy; linguagem; educação matemática

    1 INTRODUÇÃO

    Qual é o conjunto dos “homens altos”? O número três pertence ao conjunto dos

    “números pequenos”? Perguntas como essas, aparentemente simples, carregam uma

    linguagem matemática diferente daquela que normalmente se apresenta em âmbito escolar.

    Um dos conteúdos integrantes da teoria empregada nestas linguagens diz respeito

    a conjuntos fuzzy e lógica fuzzy. No contexto desta matemática fuzzy, expressões como

    “aproximadamente”, “em torno de”, “abaixo de”, entre outras, definem o tom das

    respostas.

    Considerando essa situação, educadores matemáticos1 podem empreender

    esforços para que este tipo de linguagem, menos „precisa‟, seja utilizada em sala de aula.

    1 Entendemos „educadores matemáticos‟ como aqueles que promovem a educação por meio da matemática.

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    Assim, nesse trabalho apresentamos alguns conceitos fundamentais de matemática

    fuzzy e alguns exemplos para ilustrar estes conceitos. Com a perspectiva de trazer a

    discussão sobre a importância da inclusão desta linguagem matemática no âmbito escolar,

    enunciamos algumas possíveis relações com a Educação Matemática2.

    2 CONJUNTOS FUZZY

    2.1 A ORIGEM

    Lidar com fatores como ambiguidade, incerteza e informações vagas para a

    resolução de problemas é uma característica do pensamento humano, articulado por meio

    de conhecimentos prévios e experiências. As ações humanas controlam os mais diversos

    sistemas do mundo real por meio de informações imprecisas e segundo Kosko (1993), é

    desta necessidade de resolver problemas com características ambíguas e vagas que surge a

    teoria dos conjuntos fuzzy. Lotfi Askar Zadeh publicou em 1965, o artigo Fuzzy Sets no

    Journal Information and Control, tornando públicas suas primeiras considerações a

    respeito dessa teoria. Este artigo (de Zadeh) teve como base a lógica multivalorada de Jan

    Lukasiewicz, cujo trabalho foi continuado por Max Black, que muito contribuiu para o que

    na lógica fuzzy atual se chama „funções de pertinência de conjuntos fuzzy‟.

    Ainda de acordo com Kosko (1993), a teoria fuzzy teve muitos problemas no

    início de seu desenvolvimento, principalmente nos Estados Unidos, pois:

    [...] agências governamentais não deram importância para a pesquisa fuzzy.

    Poucos jornais ou conferências aceitaram artigos sobre fuzzy. Departamentos

    acadêmicos não promoveram as ideias fuzzy, pelo menos aquelas que tratavam

    apenas de lógica fuzzy. A pesquisa fuzzy naquela época foi muito escassa e

    secreta. Ela cresceu e amadureceu sem o suporte habitual de subsídios científicos

    [...] (KOSKO, 1993, p. 20)

    Neste contexto Barros e Bassanezi (2006, p. 3) afirmam que “muitos matemáticos

    acreditam que a falta de rigor dos processos fuzzy poderia causar uma perda irremediável

    para o avanço da matemática, desenvolvida ao longo dos séculos e entendida como uma

    evolução do pensamento lógico”.

    O avanço da teoria fuzzy se deu a partir de 1970, principalmente pelo interesse

    comercial e industrial que essa nova pesquisa despertou, com destaque para os processos

    2 Referimo-nos, neste momento, à „Educação Matemática‟ como uma área científica relativa à promoção e

    ao desenvolvimento da educação por meio da Matemática.

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    de controle industrial. Ainda neste período o professor Ebrahim Mandani do Queen Mary

    College de Londres utilizou a teoria fuzzy para construir um sistema que controlasse um

    motor a vapor. Na década seguinte, surgiram inúmeros processos controlados por sistemas

    fuzzy, dentre eles Ortega (2001, p. 8) aponta os “controladores de fornos de cimento, de

    usinas nucleares, de processos químicos e biológicos”.

    Foi na década de 1990 que os sistemas fuzzy ganharam popularidade, pois de

    acordo com Resnick apud Ortega (2001, p. 8), “[...] nesse ano a Matsushita Electric

    Industrial Co. lançou no mercado japonês a primeira máquina de lavar roupa baseada nas

    teorias fuzzy”. A disseminação desta tecnologia usando a matemática fuzzy pode ser

    percebida atualmente em muitos objetos eletroeletrônicos e eletrodomésticos como micro-

    ondas, aspirador de pó, máquina fotográfica, televisão ou uma panela de pressão elétrica,

    cujo sistema de controle é baseado em sistemas fuzzy. Isso se tornou possível graças aos

    laboratórios criados especialmente no Japão, dedicados à pesquisa em sistemas fuzzy.

    No Brasil, as teorias fuzzy têm sido muito utilizadas nas áreas médica e

    epidemiológica para resolver problemas de diagnósticos médicos e controle de pragas,

    áreas em que o grau de incerteza é muito grande. Um diagnóstico médico, por exemplo,

    deve considerar diversos sintomas do paciente para “tentar” chegar a um laudo conclusivo.

    O raciocínio médico baseia-se muito mais em graus de possibilidade do que em graus de

    probabilidade. Os médicos, normalmente não expressam suas conclusões por meio de

    números, mas utilizam termos linguísticos para associar o quanto os sintomas dos

    pacientes estão ligados à doença. Além disso, o paciente que procura um médico não está

    interessado em saber qual a chance de ter a doença, mas sim, se ele está ou não com ela.

    Considerando esta aplicabilidade da matemática fuzzy, é adequado que aspectos

    dessa teoria sejam introduzidos na formação matemática dos estudantes.

    2.2 CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA MATEMÁTICA FUZZY

    Os conjuntos fuzzy foram introduzidos por Zadeh em 1965 “[...] com a principal

    intenção de dar um tratamento matemático a certos termos linguísticos subjetivos, como

    “aproximadamente”, “em torno de”, dentre outros [...]” (BARROS E BASSANEZZI,

    2006, p. 12)”. Os autores formalizaram o conceito de conjunto fuzzy baseando-se na ideia

    de que todo conjunto clássico pode ser caracterizado por uma função, chamada função

    característica. Essa função, de acordo com eles é definida como:

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    Seja U um conjunto e A um subconjunto de U . A função característica de

    A é dada por 1, se ( ) 0, se

    A

    x A x

    x A 

      

    

    . Esta função está definida para todos os

    elementos do universo U . Assim, ela mapeia U aos seus dois únicos elementos  0,1 , ou seja,  : 0,1A U  (BARROS E BASSANEZI, 2006, p.

    13).

    Nos conjuntos clássicos, um elemento pode apenas pertencer ou não pertencer a

    um dado conjunto. Assim, dado um conjunto A e um elemento x , dizemos que x A ou

    que x A . Por exemplo, considere o conjunto dos números naturais . Sabemos que

    2 e que 0,5 . Mas existem casos em que os elementos de um conjunto não estão

    bem definidos quanto a sua pertinência. Agora imagine um conjunto formado pelos

    números naturais que são muito pequenos, representados por,

    B x   x é muito pequeno

    Será que os números um e 15 pertencem a B ? A resposta é incerta, pois não

    sabemos quão pequenos devem ser os números a ponto de pertencerem ao conjunto B . O

    que podemos fazer é associar graus de pertinência aos números um e 15 dentro do que está

    proposto no conjunto. Neste exemplo, podemos dizer que o número 1 tem grau de

    pertinência 0,9 e o número 15 tem grau de pertinência 0,2, em uma escala que vai de zero a

    um, sendo zero para nenhuma pertinência e um para total pertinência ao conjunto.

    Assim, podemos caracterizar conjuntos que não possuem fronteira definida por

    meio de um