INSTABILIDADE ELASTODINÂMICA DE UMA VIGA

SOB AÇÃO DE UM MOMENTO AXIAL PERIÓDICO

JORGE LEDO LARA\NGEIRAl

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS ,

PROGRAMAS POS-GRADUADOS DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDER1ll. ,

DO RIO DE JANEIRO COMO PARlE DOS REQUISITOS NECESSARIOS PARA

A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM c:rtNCIAS (M.Sc.).

Aprovada por

Presidente

RIO DE JANEIRO

ESTADO DA GUANABARA - BRASIL

DEZEMBRO DE 1971

à SÔNIA

A G R A D E C I M E N T O S

À CAPES, COPPE/UFRJ, NCE/UFRJ, UFRGS e UFSM.

Aos professôres Peter Hagedorn (atualmente na Univer­

sidade de Karlsruhe, Alemanha) e Luiz Bevilacqua que, sucessi-A

vamente, me orientaram neste trabalho.

' A meus pais, a Hugo e Clara, a Geraldine.

À SÔnia,pelo apÔio e compreensão de sempre.

IV

S I N O P S E

A ,

Neste trabalho e analisado o problema da instabilida-A

de elastodinamica de uma viga de Bernoulli-Euler uniforme, sob ·,

ação de um momento axial periodico aplicado em uma de suas ex-

tremidades. - , As equaçoes de movimento, estabelecidas pelo Princi -

pio de Hamilton, são integradas pelo método de Galerkin, resu!

tando em dois sistemas de equações diferenciais de Mathieu-Hill

em têrmos de coordenadas generalizadas,

As soluções triviais dêstes sistemas determinam as r~

giÕes de ressonância paramétrica das vibrações flexionais da

viga como funções de suas frequências naturais e dos parâme -

tros de excitação.

são apresentados alguns resultados numéricos relati -

vos ao problema,

V

ABSTRACT

The problem of the elastodynamic instability of a un!

forro Bernoulli-Euler beam subject to an axial periodic torque

applied in one of its extremities is analyzed.

Equations of motion, established via Hamilton Princi­

ple, are integrated by Galerkin method, resulting in two sys­

tems of Mathieu-Hill differential equations in terms of gener~

lized coordinates.

The trivial solutions of these systems determine the

regions of parametric resonance of flexural vibrations of beam

as functions of their natural frequencies and excitation para­

meters.

So.me numerical resul ts related to the problem are pr~

sented,

VI

ÍNDICE

SINOPSE • . . • . . • . • • • • • • • . . • • • • • • • • • • • . • • • • • • • • • • • • • IV

ABSTRACT • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • V

-INTRODUÇAO • • • • • • • . • • . • . • • • • • • • • . • • • • • • . • • • • • • • • • • • • • • • • • 1

CAP. I - ESTABELECIMENTO DAS EQUAÇÕES

DE MOVIMENTO DA VIGA

, 1.1. Hipoteses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . • 7

1.2. Obtenção das Equações de Movimento ,

pelo Principio de Hamilton.............. 8

1. 3. Determinação dos momentos torçores

ao longo da viga • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 20

1. 3.1. Viga ' engastada a torção • • • • • • • • • • 22

1.3.2. Viga ' livre a torção • ••••••••••••• 23

1.4. Considerações A - obtidas 29 sobre as equaçoes •

CAP. II - INTEGRAÇÃO DAS EQUAÇÕES DE MOVIMENTO

2.1. Viga bi-engastada à flexão e

' -engastada a torçao .............. ,,, . . . . . . 32

' -2.2. Viga bi-engastada a flexao e

' livre a torção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

VII

2,3, Viga bi-rotulada à flexão e

engastada à torção•••••••••••••••••••••• 46 2,4, Considerações sÔbre as equações obtidas, 53

CAP. III - INSTABILIDADE E RESSONÂNCIAS

PARAMÉTRICAS DA VIGA

3.1. Instabilidade das soluções de

sistemas de equações de Mathieu • • • • • • • • • ,

3.1.1. Soluções

3.1.2. Soluções

esta veis ............... . ,

instaveis •••••••••••••••

3,2. Instabilidade das soluções de

sistemas de equações de Hill • • • • • • • • • • • •

3.3. Aplicação das condições de

instabilidade aos problemas em estudo

CAP, IV - ALGUNS RESULTADOS NUMÉRICOS

4,1, Determinação numérica das

•••

60

62

66

77

82

regiões de instabilidade................ 88

4,2, Determinação dos comprimentos ,

críticos da viga • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 103

LISTA DE SÍMBOLOS••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 118

BIBLIOGRAFIA •••••• e..................................... 121

1

I N T R O D U Ç Ã O

Na Teoria da Estabilidade Elastodinâmica sao estuda

dos os problemas relacionados à estabilidade de corpos elás­

ticos sob ação de carregamentos pulsantes que, por atuarem

de uma forma especial sÔbre êsses corpos, recebem a denomi -

nação de carregamentos paramétricos. Por serem tais carrega-,

mentes variaveis com o tempo, produzem vibrações e a insta -

bilidade elastodinâmica se manifesta quando ocorre uma ten -

dência para o aumento ilimitado das amplitudes dessas vibra-

çoes.

1 Em 1924, BELIAEV publicou o que pode ser conside -A A A

rado o primeiro trabalho sobre este assunto. Trata ele de um

problema hoje clássico e que ilustra satisfatoriamente as i-,

deias acima expostas.

Com efeito,suponha-se inicialmente uma haste esbel­

ta rotulada em ambas as extremidades à qual se aplica uma

fôrça axial estática P. , A ,

Como e sabido, para valores criti -

cos Pd~ ocorre flambagem na haste.

Consideremos agora o caso do esfôrço axial dado por

P(t) = P cos D.t , com p < p \1) cr·

2

Nessas condições, de um modo geral, a haste experimentarás~

mente vibrações longitudinais. Suponha-se agora, que devido

a uma perturbação qualquer, a haste assuma também vibrações

transversais. Em geral essas vibrações terão amplitudes li -

mitadas.

Entretanto foi demonstrado, tanto analítica como ex

perimentalmente, que para determinadas relações entre a fre­

quência de excitação .!l e as frequências naturais w das vi­

brações transversais da haste, esta se torna dinâmicamente

instável, isto é, as amplitudes das vibrações transversais ,

tendem a crescer de modo rapido e ilimitado, caracterizando-. ' se assim um fenomeno tipicamente ressonante.

, Poderiam ser citados inumeros outros exemplos de

• instabilidade elastodinamica ocorrentes

arcos, anéis, placas e cascas. Conforme

'

em vigas, colunas,

• observa BOLOTIN ,

sempre que um carregamento estatico de um determinado tipo ,

puder causar instabilidade estatica, o carregamento pulsante , . .

correspondente podera ocasionar instabilidade dinamica.

Vamos agora destacar algumas peculiaridades intere~

santes das vibrações tratadas, que as tornam, inclusive, bas

tante distintas das vibrações forçadas:

- , . lQ) A equaçao de movimento que as rege e homogenea.

3

Assim, a excitação é nela representada por coeficientes (ev!

dentemente funções do tempo) de um ou mais têrmos à esquerda ,

do sinal de igualdade. Dai a denominação - carregamentos pa-, .

rametricos - usual na bibliografia sobre o tema. Entretanto,

segundo BOLOTIN~, "seria mais correto falar não em carrega -, -mentos parametricos em geral, mas em,carregamentos que sao

paramétricos em relação a certas formas de deformações". Por

• exemplo, no caso mencionado anteriormente, a força axial p~

sante é uma excitação paramétrica em relação às vibrações

transversais, mas é simplesmente uma excitação forçada em re

lação às vibrações longitudinais da haste.

2º) Contràriamente às vibrações forçadas, as oscil~ .._ , - ..

çoes parametricas podem ocorrer em direçoes normais a exci -

tação, como se viu no exemplo anterior. Ainda como exemplo, 4 , ,

neste trabalho, o carregamento parametrico e um momento tor-

çor axial, que, no entanto, produz vibrações paramétricas

flexionais.

3Q) Em contraste com as vibrações forçadas, que sao

ressonantes apenas para frequências de excitação iguais aos

valÔres (discretos) das frequências naturais, independente -- , mente da amplitude do carregamento, as oscilaçoes parametri-

cas serão ressonantes para "faixas" de frequências de exci -

tação, faixas essas tanto mais largas quanto maior o carre -• gamento. Para valores suficientemente pequenos da amplitude

4

' do carregamento, essas faixas localizam-se simetricamente em

tôrno de valÔres múltiplos ou fracionários de cada uma das

frequências naturais ou de combinações lineares destas.

42) Um fato que parece paradoxal é que o amorteci -

mente pode ampliar as mencionadas faixas de ressonância, ten

do então, um efeito desestabilizante.

* * * 16

Em 1949 METTLER formulou uma teoria geral para a 4

Estabilidade Elastodinamica, da qual vamos, a seguir, comen-

' tar suscintamente alguns de seus topices que mais se relacio ' ' nam com o trabalho que vamos desenvolver nos proximos capi -

tulos.

, O objetivo final dessa teoria e discutir a estabil!

dade das soluções de um sistema de equações diferenciais li­

neares do tipo MATHIEU-HILL, soluções essas que são as coor-

' N ' denadas generalizadas associadas as vibraçoes do corpo elas-

tico.

4

Tendo em vista esse objetivo, parte-se, em geral,

da formulação variacional do problema dinâmico utilizando o ,

Principio Estendido de HAMILTON, recorrendo-se frequentemen-

te a linearizações nessa etapa.

5

-Chega-se, assim, a uma equaçao variacional, que po-

de ser tratada diretamente pelo método de RITZ, ou então (c~

mo nêste trabalho) a partir dela estabelecer a equação a de­

rivadas parciais do movimento.

Caso adotada a segunda alternativa, pode-se aplicar

nas equações de movimento o método de GALERKIN, ou ainda, a-• plicar a Analise Modal caso se conheçam as autofunções do

problema.

De qualquer forma resulta o já referido sistema de

-equaçoes de MATHIEU-HILL.

Referindo-nos apenas a equações de MATHIEU, temos a

forma geral (ver por exemplo METTLER 17 ):

I'\

e. e.o::. nt L F o = a p=1 . ,p t f

1""=\,'2., ... ,n

(0.1)

- . onde qr sao coordenadas generalizadas, w~ frequencias natu -4 - ' ... rais,.n a frequencia de excitaçao (constante) e€ e Frp sao

- . , constantes. A soluçao trivial do sistema (0.1) e instavel se . , n se situa na vizinhança de certas frequencias "criticas"

dadas por

f2 - '2Wr . o- m rn.=1,'2., ... (0.2)

. , , caso em que se tem ressonancia parametrica de primeira espe-

cie; ou dadas por

6

M=1,'2.1''' (0.3}

- . , quando entao diz-se ocorrer ressonancia parametrica de segll!! , , ~ ,

da especie (tambem chamada ressonancia combinatoria),

A maior restrição que pode ser feita à Teoria que , , , , -

vamos utilizar e que ela so e valida para excitaçoes ''sufic!

entemente pequenas", Acrescente-se que a partir dela (ou de

modo mais geral, a partir de uma formulação linear) nao , e

, -possível a determinaçao de amplitudes ressonantes, conforme - 3 expoe BOLOTIN ,

* * *

A obra de BOLOTIN 3, "The Dynamic Stability of Elas-

, , , , tic Systems" e, ate o presente momento, o unico texto didati

co sÔbre Instabilidade Elastodinâmica na literatura mundial

(infelizmente, no .entianto, tal obra é muito suscinta no que

se refere a ressonâncias combinatórias).

4 ' O "survey" de EVAN-IWANOWSKI e um excelente levan-

tamento de trabalhos sÔbre o tema publicados até 1964/1965, A , ~ .

Referencias bibliograficas comentadas sobre alguns trabalhos

mais modernos são encontradas em artigo de HAGEDORN e KOVAL 8,

7

CAPÍTULO I

ESTABELECIMENTO DAS EQUAÇÕES DE MOVIMENTO DA VIGA

1.1. HIPÓTESES

, No presente trabalho faremos a analise do problema

da estabilidade elastodinâmica de uma viga de BERNOULLI-EULER,

uniforme, de secção transversal com dois eixos de simetria. ,

Suponhamos ainda que os momentos principais de inercia das

-secçoes transversais da viga sejam desiguais.

Em uma das extremidades da viga aplicam-se, axialmeQ

te, o par T(t) = T0

+ T1

cos .Qt A

e a força constante P, ambos

mantendo suas direções iniciais independentemente dos desloca 4

mentes ocasionados por esses mesmos carregamentos,

Quanto às condições de vinculação, a viga poder~ se

apresentar:

À flexão: bi-engastada ou bi-rotulada

À torção: engastada ou livre na extremidade oposta

' aquela onde se aplicam T(t) e P.

1----<>- li:

. 1 o T(tl

1f. -::~~~--~----_·:~_-_-L-~~~:_·_-_ ------------·~_-::1 __ ----p

FIG.1

8

Dado que nesta análise, a frequ~ncia de excitação , ~ ,

podera assumir valores proximos, ou mesmo maiores do que a me

nor das frequências naturais das vibrações-torcionais da viga,

serão levados em conta os efeitos destas Últimas. Vale dizer,

os momentos torçores e seus associados, momentos fletores, s~

rao considerados variáveis não apenas com o tempo, como tam­

bém com a coordenada x da secção.

Não serão considerados efeitos de amortecimento de ,

qualquer especie no movimento da viga.

Destaque-se ainda o fato de que no desenvolvimento

dêste trabalho, não serão considerados os efeitos transitÓ -

rios provenientes da aplicação de qualquer dos carregamentos.

Finalmente, devemos limitar a aplicação dos resulta­

dos obtidos a valÔres suficientemente pequenos de T(t), a

fim de que seja válida a formulação linear que vamos aplicar.

1.2, OBTENÇÃO DAS EQUAÇÕES DE MOVIMENTO

PELO PRINCÍPIO DE HAMILTON

, , , Uma posição de equilibrio possivel para a viga e a-

t quela em que a mesma permanece retilinea e, consequentemente,

T(t) produz somente torção e P apenas deformação longitud!

nal.

Como é sabido (ver p. ex., ZIEGLER25

ou BIEZENO &

GRAMMEL2),esta configuração (correspondente à solução trivial

9

, , ... "" do problema) e instavel para determinados valores desses car-

regamentos. ,

Suponhamos agora, como e usual nos problemas de ins-

tabilidade elástica, que devido a uma pequena imperfeição da

viga, e/ou excentricidade do carregamento P, e/ou perturba -

ção inicial, a viga se deforme, isto é, seu eixo baricêntrico N

assuma a forma de uma curva espacial definida pelas equaçoes

y = y(x,t) , ,

z = z(x,t) , (fig. 2a) compativel com as condi-

ções vinculares a que está sujeita a mesma. Suponha-se entre­

tanto, que as curvaturas assumidas pela viga sejam pequenas.

Deve-se observar que nessas condições, o par T(t), , "' - Â ,

alem de obviamente nao conservativo sob o aspecto dinamico, e 1 ~ ,

tambem nao conservativo sob o ponto de vista geometrico, con-

forme demonstram TIMOSHENKO & GERE 21.

Designemos por M(x,t) o momento interno produzido p~

lo par T(t).

Por outro lado, ainda que posteriormente considere -

mps a carga P A ,

constante, vamos, neste capitulo, associar a

P(t) , A

variavel, o esforço axial interno N(x,t).

Os vetores ~(x,t) e ~(x,t), aplicados no baricen­

tro de uma secção genérica S, são, por equilÍbrio, paralelos

a T(t) N

e P(t) -,

e podem ser substituidos pelas componentes

tangente, normal e bi-normal, ou sejam, componentes segundo o

triedro OX'Y'Z' (figs, 2b e 2c).

Nessas condições, o esfôrço axial N(x,t) ,

produzira, N

T(l)

o

/ ~ -T(t)

t -Plt)

(O)

z

J ><

l Pltl

1(t)

FIG.2

/x

! P(t)

T(tl

· . (t 1

10

além de compressão (ou tração), os momentos fletores Nz, • z

e N~, • y , que flexionam a viga segundo os planos XOZ e

XOY, respectivamente (na expressão dêsses momentos, levem-se

em conta as pequenas curvaturas assumidas pela viga).

Por outro lado, o momento interno M(x,t) - apresenta

11

as seguintes componentes (figs. 2b e 2c):

M,-X momento torçor.

M,-)

momento fletor que, juntamente com Nz' • z, fl!!!

xiona a viga segundo o plano xoz • . M1.' - momento fletor que, juntamente com N~· • Y, fle

xiona a viga segundo o plano XOY. ,

Considerando-se ainda a hipotese das pequenas curva-

turas assumidas pela viga, podem-se estabelecer as seguintes

relações (fig. 3):

M

M l l \1.. t) = M ( >C, t.) !>en d

/Mx' ;,; M(>C,tl d. .. "-

O\l. M~,()(, 1:) = M (>e, t) 0 ':I (1,'2.:\) õx

M1

,<1<,l) = M (~.l) ~en ~ ",·;, ~ H (X. t) {?,

FIG.3

~. <• ,t.) = M ~l( ,t) a2. (1.2.2) a~

Utilizando agora, o Principio de HAMILTON na forma a

plicável a sistemas não conservativos, vamos estabelecer as!!!

quações a derivadas parciais que regem as vibrações transver-

12

sais da viga nos planos XOY e XOZ. , . 6

Como e sabido (ver p. ex., GOLDSTEIN ), o chamado r ,

Principio de HAMILTON Estendido e expresso por

õ 5 t, (k - V+ W) dl = o (1 ,2,3)

t,

onde K - energia ,

cinetica

V - energia potencial

w - trabalho não conservativo

Consideremos, inicialmente, a vibração transversal

da viga no plano XOY. Seja m(x) sua massa distribuída por

unidade de comprimento e EI~(x)

flexão.

a correspondente rigidez

y m (X), E ~(xl

·l-1 __ dx -----i-[ o-l----------------------

x

FIG-. 4

-Dada a suposta esbeltez da viga, serao desprezados

' a

13

nêste desenvolvimento, os efeitos de cizalhamento e de inérc!

a rotativa.

A energia cinética da viga devida à vibração trans -,

versal e dada por

K<t) = ~ (L rn(><) l Ô~ll<,l) 1e dx · 2. )o l ôt

(1:2.4)

, A energia potencial, no caso, de natureza elastica,

é dada por (ver P• ex., MEIROVITCH°):

L t 2 V ( \:.) = .!.. r il (X) [ o ~ lic ,t l 1 dx · 2 Jo ~ L êlx2.

( t .2 .5)

A

Para avaliar o trabalho realizado pelo esforço axial

interno N(x,t), na flexão da viga,deve-se calcular, inicial-,

mente, o acrescimo experimentado pela projeção horizontal dx

devido à rotação do elemento ds (fig. 4). Assim, tem-se

(lembrando que ds = dx antes da flexão):

- -t [ Ô'j lx,t)

ê)x ] '2 dx (1.2.6)

14

onde, dados os pequenos valÔres assum:Íveis por l êllj / Olt} , fo

ram desprezados os demais têrmos da expansão binomial, Por ou

tro lado, observe-se que os deslocamentos transversais da vi­

ga são suficientemente pequenos de modo a, em uma primeira a­

proximação, não alterarem os valÔres de N(x,t),

Tem-se então

(1.2.7}

Quanto ao trabalho realizado por Mz,(x,t) , conside­

rando (1,2,2) temos:

d2(x.t) ][ ô\\(i<,t))dx êlx õ-x ~

(1. 2.8)

onde o sinal negativo deve-se ao fato de que um momento .nega-,

tivo (sentido contrario ao eixo z,, fig, 2b) realiza um tra-,

balho positivo, isto e, aumenta a curvatura da viga.

Evidentemente, o trabalho externo total W(t) na

flexão da viga é

( 1 .2 .9)

Estudemos agora as variações de cada uma das parce -

las do integrando de (1,2,3) (sÔbre propriedades operacionais

de b 10 5 ver HILDEBRAND ou FUNG ).

15

~ , De (1.2.4) decorre a variaçao da energia cinetica:

e portanto:

Tendo-se presente, todavia, que por definição,

Sy(x,t) = O para t = t, e t = tz, segue que:

(1.2.10)

A variação da energia potencial (1.2.5) é dada por:

i '2.

(\J (L El ~ s (ªa':iz) dit = o - jo ) 0~_? X

16

que integrada por partes sucessivamente, resulta em:

(1.2.11)

- A A variaçao do trabalho devido ao esforço axial in -

terno W (t) N

, dado por (1.2.7), e

ou integrando por partes:

(1.2.12)

Finalmente, a variação do trabalho realizado pelo mg

mente interno, w,...(t), dado por '<1.2.8) ~:

17

ou integrando por partes sucessivamente:

( 1 . '2 .13 )

Levando agora as expressões (1.2.10), (1.2.11) , ,

(1.2.12) e (1.2.13) em (1.2.3), alem de considerar-se (1.2.9),

teremos:

~ ll rL a r a~ ) ( + N _ b'J _ j _ \ N _ o~ õ)( o o dX ÕX

d>C -

Ô L + M _:.. ?)i 1 -

Ô>I. o

-r o

(t.2.i4)

18

ou ainda, reagrupando:

+"ª-(N~) + ax êlx

2 . .

~ ( M ~ )] ~':\ dx + élx 2 ax .

- [. l_ / :t.1 n + M ol ) + N !!.J bj 1L} dt = o à)( \ 1 c)x 2 ox ox

0

( 1 .2.15)

De acÔrdo com o lema fundamental do cálculo Variaci-23 onal (ver p, ex., \>/EINSTOCK ), a integral (1,2,15) deve anu-

lar-se para valÔres arbitrários de óy e de s·( a~; ôx)' de

modo que estas variações podem ser assumidas como iguais a ze

roem x = O e x = L e diferentes de zero no interior do

intervalo [x,L].

Portanto, resulta a seguinte equaçao de movimento no

plano XY:

+ ~( N~) + ôX \ ôX

{_ ( M )z ) + '"" ~ = O ó'X.l. ox é)t2

( t.2.16)

19

Por outro lado, considerando ainda (1.2.15) e

(1.2.16) e dada a natureza arbitrária das variações, podemos

escrever:

L

- o o

de onde decorrem as seguintes condições de contôrno:

e

para x = O

+ M 'ôz = o c)X

e x=-L.

ou õ~ --º õx. (1.2.17)

( 1.2.18)

Para a obtenção da equaçao de movimento e condições

de contôrno relativas às vibrações transversais no plano iz, basta considerar-se a simetria do problema, isto é, permutar

y e z em (1,2.16), (1.2,17) e (1,2,18), Além disso, dado

que M1,, sendo um momento positivo, produz trabalho positivo

' 4 , (contrariamente a Mz.), os termos que o contem na equaçao e

condições de contôrno a obter devem ter sinais contrários aos

de seus correspondentes em (1.2.lé), (1.2,17) e (1.2.18).

20

Portanto, a equaçao de movimento da viga no plano ,

XZ sera

e

e

- A as condiçoes de contorno

E lz. o'z. - M ~ = O ê)x2 ôx

-serao dadas

ou ÔZ -= ô')(

N êlz. = o ê)x

para x = O e x = L

por

o

ou

1.3. DETERMINAÇÃO DOS MOMENTOS TORÇORES

AO LONGO DA VIGA

(t.2.19)

( \. 2 .20 )

z = o

( 1.2.2t)

-Suponha-se agora a viga uniforme, de secçao transve~

' sal com dois eixos de simetria, a qual se aplica um par T(t}

na extremidade de abcissa x = L.

A equação de movimento ,

vres da viga e dada por (ver p.

das vibrações torcionais i4 ex. , MEIROVITCH ) :

l

li-

= J (X) Õ 9{x,t) P at2

(1.3.1}

21

, No entanto, dadas as caracteristicas da viga aqui con

siderada, pode-se escrever simplesmente

onde

sendo

2 'I. o EHx,t) t a e (x,t) -- - Ct.3.2) ox 'I. ci at 1

e= kGlp ~pf Jp

(\.3.3)

~ ' C - velocidade de propagaçao das ondas associadas as

vibrações torcionais.

k - coeficiente dependente da forma da secçao 22 ' ( ver . T IMOSHENKO & GOOD IER , pag. 277 )

, G - modulo de elasticidade transversal.

, ~

I - momento de inercia polar da secçao transversal p

da viga. , ,

J - momento de inercia massice por unidade de compr! p

mento do eixo longitudinal da viga, ,

(:> - massa especifica do material,

A resposta transit;ria não nos interessa nêste tra -

' balho, pelo motivo de que a mesma desaparece rapidamente de -

vido ao amortecimento interno da viga.

Assim, vamos obter inicialmente a resposta permanen­

te da viga à excitação T(t) :: T0 + T1

cos.Qt , para, em segui

da, determinarmos a expressão do momento torçor a ela assoei-

22

ado, considerando sucessivamente dois tipos de vinculação

torção.

' a

1.3.1. VIGA ENGASTADA À TORÇÃO

Suponhamos a viga engastada à torção na extremidade

de abcissa . . -x =O.Recorrendo ao metodo da separaçao das va-

• riaveis, suponha-se a resposta permanente a T1

cosot na for-

ma

e t li. t) = e e\() co::. nl 1 '

(1.3.4)

• que levada em (1.3.2) nos da

( 1.5 .6)

onde ( 1.:5.7)

Portanto

(1.3.8)

Aplicando agora as condições de contôrno correspon -

dentes ao caso,

e C1:>tl = o \ ' .

kGl oe, P olt.

(1 . .3.9)

l< = L

23

e tendo em conta (1.3.4), resulta

e.os nt (1.3.10)

, Por outro lado, para o momento estatico T

0, tem-se

pela Resistência dos Materiais:

(1.3,11)

Assim, sendo a resposta permanente dada por

(1.3.\?.)

e o momento torçor ao longo da viga, conforme a Teoria da E­

lasticidade, expresso por

teremos, nêste caso, após as devidas substiçÕes:

M<)( t) - T T c.o5 ~x C.05 nt ' -

0 + 1 to5 ~L ( 1.3.1.3)

1.3.2. VIGA LIVRE À TORÇÃO

Seja agora o caso da viga com a extremidade de abci=

sa x; O, livre.

Para a determinação da resposta permanente associada

' vamos, analogamente ao caso anterior, aplicar o , ... . , .

metodo da separaçao das variaveis.

Considerando então as condições de contôrno corres -

pondentes ao caso,

k G 1 ae, P a~

.kGI os, f ôx

- o

= T1 e.os .o.t

e levando em consideração (1,3,4) e (1,3,8), vem

( 1.3 .14 a)

(1. ~.14 b)

(1.3.15)

Para a determinação da resposta a T0

, precisamos, A ' # neste caso, recorrer a analise modal,

Consideremos então a equação de movimento do proble• , A

ma, obtida a partir de (1,3,2) pelo acrescimo do termo corre~

pondente à excitação: . ~ ~

k G IP Ô 60 + T0 ( t ) . b ( X - L ) = J p Õ 90 êx1. õt'I.

(1.3.16)

onde Õ(x - L) ' -e a funçao delta de Dirac, definida por

b(x-L)=·o (1.3.17)

\.

J ~(x-L)dx -1 1)

25

, representa um momento de excitação generico. e

Pelo teorema da expansão em modos próprios (ver p.

ex., MEIR0VITCH14) pode-se expressar a solução de (1.3.16) pe-

, la serie

onde

a:,

e0 tx,t..) = ~9n0 l~).1ntU (1..3.18)

- coordenadas generalizadas ,

- modos proprios normalizados, dados por

n=0,1,2, ...

L ( 1.:3 .19 )

L~vando (1.3.19) em (1.3.16) obtem-se:

Multiplicando a equação anterior por e (x) e inte­mo

grande entre O e L, vem pelas relações de ortonormalidade ,

dos modos proprios:

n = O, 1, 2, •.. (1.3.20)

Z6

onde

(1.3.21)

e

Mas por (1.3.17) pode-se escrever

JL ( nn 11 ) ( L

C.05 \- . b('ll - L) d"K = J e.o·~ nfl'. õ(ic- L) di< o L 0

-= co~ n1T = ( - t ) .,

e tem-se portanto,

N tt)=(-1)"T(t)r;ç· " º J L p

( 1.3.22)

Façamos agora

(\ . .3.23)

onde , N ,

u(t) e a funçao degrau unitario.

A expressão das coordenadas generalizadas pode ser

obtida pela integral de convolução (ver p. ex., MEIROVITCH'4):

27

( 1.3.24)

Considerando-se então (1.3.18), (1.3.19), (1.3.21)

e (1.3.24) pode-se escrever

N

Mas pela expressao (1.3.21) tem-se que W0 = O e as-A , ,

sim o termo da serie anterior correspondente a n = O e in-

determinado, pelo que se considera o valor do limite

( 1.3.26)

Por outro lado, tendo em vista que o desenvolvimento

em série de Fourier da função definida por

, e dado por

' xE.[-L,L]

t(~+iL> = f oe)

L2 t<x) __ - '!,

(O "'

+·4[(-1)

resulta imediatamente

~ t\ '\" (-1) L n2. \"\: \

(1 . .3.27)

28

Substituindo-se as expressões (1,3,26) e (1,3,27) em

(1,3,25) tem-se a resposta correspondente a T0(t) = T

0u(t):

(1.~.2.8)

Na expressão (1,3,28), são imediatamente reconheci -

dos o primeiro têrmo como a rotação rÍgida da viga, e o segug

do como a resposta transitória, ambos não dizendo respeito a 4

este trabalho, ao qual interessa apenas a resposta permanente, ,

representada pela ultima parcela,

Superpondo então, e,(x,t) dada por (1,3,15), com a

componente permanente de eº (x, t) ' vem e

(1.3.29)

Finalmente, considerando que o momento torçor ao lo~ ,

goda viga e dado por M(x,t) = KGI (àe/ax) , teremos

:;en ~X e.o~ _n t $en ~ L

(~.3 . .30)

29

1.4. CONSIDERA:ÇÔES SÔBRE AS EQUAÇÕES OBTIDAS

-Nas secçoes anteriores, obtivemos um sistema de equ~ - A çoes a derivadas parciais lineares homogeneas, que regem as

vibrações flexionais da viga em seus dois planos principais,

bem como as correspondentes condições de contôrno,

Essas equações são válidas para vigas não uniformes, ,

bem como para esforços axiais variaveis com o tempo. Com isso

pretendeu-se apenas facilitar a obtenção de resultados mais ,

gerais, em analises posteriores. A

Todavia, neste trabalho teremos

m(x) = m = constante

EI:i (x) = EI 1 = constante (1.4.1)

EI, (x) = EI 2 = constante

N(x,t) = p = constante

Por outro lado, a fim de tornar mais clara a exposi-

-çao que se segue, vamos fazer daqui por diante

y(x,t) = y1

(x,t)

z(x,t) = y (x,t) 2.

(f.4. 2)

Portanto teremos, de (1.2.16), (1.2.17), (1.2.18),

(1.2.19), (1.2.20), (1.2.21), (1.4.1) e (1.4.2):

30

PLANO XY

e

EI1 + L [ M(x,t) êl~2 ]. + ro. ó2

'jt = O êlx l olt õl1

r.t o.,,':I, + M(x ,l) <l~'l. = o 1 õx '2. ox

E.I i'j, + 1 '). ~ ox .

ou..

para x = O e x = L

a1:1, - o . ô)(

cu.

(1.4.3)

{1.4.4)

j, = o

( 1.4 .5)

PLANO XZ

cl4

~i

1.

~ L [ M<~.t) º~1]

l

El + P a ~2 m d~z o %. + -= ox.4 ê) X 2 . ôx:z. Q)( ôt1

(1.4.G)

.t...l êl"'.h - !M (x,t) 0Y1 = o 01.1 Ô':h - o (1.4.7} 2. . ·%. . -êlx ôx OX .. -e

3 a [ M dj J + 'P o:J2 = 0 EI o ~1 ~=O _ - (x,t)--.!.. ou.

1 ê)x3 ê) )( õx õx 2

para x = O e x = L

31

No capítulo seguinte vamos estudar as soluções des-

-sas equaçoes particularizando-as para vigas com diferentes t!

- ,. - "" ' pos de vinculaçao, isto e, fixando condiçoes de contorno a

flexão e substituindo os momentos torçores internos conforme

- ,A ' -as condiçoes de contorno a torçao.

É oportuno observar, a esta altura, o fato de que

tratamos as vibrações flexionais da viga separadamente de su­

as vibrações torcionais, embora seja evidente que do ponto de , - ..

vista fisico, haja uma interaçao entre elas. Este fato pode -

ria, à primeira vista, obrigar-nos a uma formulação, bem mais

complexa do problema, qual seja, a de estabelecer, a partir , A -do Principio de HAMILTON, um sistema de tres equaçoes de mov!

A ,

manto simultaneas, em cada uma delas aparecendo variaveis re-

lativas à flexão e à torção dinâmicas.

Felizmente no entanto, 1'1ETTLER15 em artigo publicado

em 1947, demonstrou a validade do tipo de formulação que ora

empregamos.

CAPÍTULO II

INTEGRAÇÃO DAS EQUAÇÕES DE MOVIMENTO

4 , -

Neste capitulo vamos transformar as equaçoes de mov!

mento obtidas anteriormente, em sistemas de equações diferen-

ciais ordinárias de MATHIEU, utilizando para êste fim, o

todo de GALERKIN ( ver p. ex., MEIROVITCH 14 ou FUNG5).

, me-

Z.l. VIGA BI-ENGASTADA À FLEXÃO E ENGASTADA À TORÇÃO

/ /

/ / /

!...,------~ i o

L

FIG,. 5

Tlll p

/, ·/

/ /

··--1

Substituindo (1.3.13) em (1.4.3) e efetuando as der!

vações indicadas, resulta a pPimeira das equações de movimen-,

to especificas para o caso:

+ p ª'2.~I êlic. 2

( T T e.os .n t cos ~li. ) + o + , COSi L

33

+ IY\ (2.1,i)

Aqui as condições de contôrno correspondentes ao ca­

so sao evidentemente

(2.1.2)

e

e 2.1 .3)

Façamos agora as seguintes substituições de variá -

veis:

(2.1.4)

( 2. \, 5)

Teremos então a EDP

4 2 -:,.3

EI ôw, + Ç) ÕW1 + /T +Te.o::, ot C05~X ) o"W2. -i ox4 ôx2. \ o 1 e.os ~L o>t3

34

(2. t .6)

, , que e formalmente a mesma (2.1.1), como alias se poderia pre- ·

ver fàcilmente. As novas condições de contôrno do problema ~

sao obtidas imediatamente:

w, t o,t ) = w 1 ( L, t ) = w 1. C o, t ) = wz. l L, t ) = 1. (2.l .7) e

(2.1.8)

Tendo em vista (2,1,6), (2,1,7) e (2,1.8), pode-se

propor a seguinte expansão em série para a solução:

CX)

w,,x ,t) = L. q (l) C.05 '2fl'll( p=o ,p L

('2.1.9)

QJ

Wi ~. t) = L q (t) C05 2.p'il '\( jl=Q '2fl L

(2.1.10)

onde

q ( t ) e 9 ( t ) · sao coordenadas generalizadas 1p '2f' e

~ ( t l = m e t) = co~ 2.pTí 1(

~ ~P L ('2.1 .1l)

são funções de comparação do problema de autovalor (conforme·

.. 35

FUNG 5, MEIR0VITCH 14 e outros, funções arbitrárias satisfazendo

tÔdas as condições de contôrno, sejam geométricas ou naturais

do problema de autovalor, sendo ainda ' A 2n diferenciaveis so-, ,

bre o dominio, onde 2n e a ordem do operador ·~· do pro -

blema),

Observe-se por outro lado, que

(2.1 .12.)

é um conjunto completo de funções ortogonais (ver p. ex.,

WYLIE"4).

Passando a aplicar o método de GALERKIN, vamos levar

(2.1.9) e (2.1.10) em (2.1.6), daí resultando

a:>

- p L ( Z?f{ \ 'l 9 ( t) ÇO':,

p=o L ) 'f

C0'5 ~X )

co5 vL

00 ~

L r ~) a (l) p=o \ L hp

<XI '2

+ { 2 ~ T1

e.os nt _~e_n_~_">C ) L. ( 2P11 ) 0 ( t) \ e.o& ~ L p::. o . L 1zp

e.os '2.p'li ~ l

+

o::,

+ ( ~2. T1

e.os nt C05 ~ l( J I.(:E_)~tt) sen '2.p'ti l(

+ c.os~L ?=O L 2? L

co

+- rn L .. tt) C05 '2p1' l< o (2.1,13) i'=O °t1p -

L

Multiplicando agora a equação (2,1,13) por

;K. (~)·_ co~ 2.<"'itx ~LI" -

L r= 0,1,'2, ... (2.1 .14)

e integrando-a entre ~ O e L, resulta depois de operaçoes

' algebricas simples:

2?íT)( d 1 ... (t) .C.05 X j ~ +

L tp

+ I_ [EI1 \ 2~ff)4 - p \ zr ) ~1 [ ~: (.O~ ~r~)( , co5 1p:x d~ Jq,p (t) p=O

+~ C.05 .n_ t. e.os ~ L

•

37

• f_ {r( 2.p'ií ):3 + ~'2 ( '2p!l ) 1 JL. COS ~)e • C.O~ Zrfi ~ . '5efl 2 ?"ll dx + p=O . L L L o L L

"=0,1,2, ... (2.1.16)

Mas tendo em vista as relações de ortogonalidade

L

j . · 2riilC 2\)ft)( e.o 5 _ . co:; · d~ = . . L L o .

o .!::. se.

se p * (' ? =rt e

~ == r: o

(2.1.16) 2

L se L

) Ca5 _2._rTI_)(_. sen 2.p'l'IX d~ .o L L

== o (2.1.17)

e efetuando as integrações do tipo

(2.1.18)

(ver GROEBNER & HOFREITER7), resulta após algumas transforma

, çoes algebricas:

ó:)

E. C.05 n t L Frp q ( t) = Ó p=o ip

r=0,1,2., ... (2.f.19}

onde

( '2 .1 . 2.0 )

são frequências naturais das vibrações flexionais no plano

XY;

('2,1.21)

onde -~ = .(l/ C

('2.l.22)

-Considerando agora a segunda das equaçoes de movimeB

to (1.4.6) e as condições de contôrno (1.4.7) e (1.4.8) e lep

brando a simetria do problema, podemos, a partir de (2.1.19) ' -e (2.1.ZO), estabelecer diretamente o sistema de equaçoes de

, Mathieu correspondente, bastando para isso permutar os indi -

ces 1 e Z e multiplicar por (-1) os têrmos em T1

•

Resulta assim,

00

01 (t) + w2"'2

a <t) - E. c.05 Ol ~ Frpª <t) - O T'2r -t ,r p=Cl t tp

Y"=O,I 2 .•. . . ' (2.1.2.3)

39

onde

(2.1.24)

e E. e Frp sao os coeficientes definidos em (2.1.21) e

(2.1.22), respectivamente.

Observe-se agora que as equaçoes correspondentes a

r = O - A terao as frequencias naturais W1r e w,r nulas, de on

de se conclui que estão associadas a movimentos não vibratÓ -

rios. Por outro lado, de. (2.1,14), é imediato que 92{.0

(><) = i ,

o que corresponde a um modo rigido da viga, Portanto wi0(x,t)

corresponde a um deslocamento rígido e evidentemente, está -A , A

vel do ponto de vista da elastodinamica. Alias este modo foi ,

introduzido "artificialmente", pela substituição de variaveis

feita de acÔrdo com (2,1,4) e (2,1,5), Conclui-se que podere­

mos tomar nos posteriores desenvolvimentos relativos ao caso,

r=1,2, ... (2.1.25)

, Finalmente, um aspecto que deve ser ressaltado e que

, , o valor do torque medio T0 e irrelevante para os resultados

obtidos.

40

2.2. VIGA BI-ENGASTADA À FLEXÃO E LIVRE À TORÇÃO

I/ //

·/ T( tl p /

'./ / /

% /

L 1

o 1

FIG-6

Com um encaminhamento análogo ao do caso ant_erior,

vamos substituir (1.3.30) em (1.4,3). Efetuando as derivações

indicadas, obtera-se a equação do equilÍbrio dinâmico à flexão

da viga no plano XY:

EI 'ô4

':l, , ôx4

(2.2.1)

Dado que temos aqui as mesmas condições de vincula -' - - A çao a flexao do caso anterior, as condiçoes de contorno cor

re~póntlentes são as mesmas (2.1.2) e (2.1.3).

Façamos também aqui a substituição de variáveis:

( 2.1.4 )

(2.1.5)

, , ' E obvio que, analogamente ao caso anterior, a EDP

, (2.2.1) mantem a mesma forma (basta assim, substituir y por

w ) e as condições de contôrno resultam as mesmas (2.1.9) e ,

(2.1.10). Portanto teremos, ainda, a mesma solução em serie:

OJ

w (x,t)=L q. ltl C.05 2 ~li)(

1 p=o 1p L ('2.1.9)

G:)

W2(,c,l)=L °t(t) C05 2~11:it

p=o t? L (2.1.10)

onde valem as observações relativas a (2.1.11) e (2.1.12). ,

Aplicando agora o metodo de GALERKIN, teremos então

de (2.2.1), (2.1.9) e (2.1.10):

. 00 4

Er1 [. 1 2.píl ) 9 ttl p:o \ L 111

_ P L. _r_ a ( l ) ~o5 o:, ( 2 l, f'i )t f=O L 1,p

2.prrx L

2p1i"x + l

42

o:l

L (2p-n )3 9 Ct) $en 2.~!Tx -~"º l zp l

·~ ( t) sev, '2píl x + 2P L

(2.2:2)

Multiplicando (2.2.2) por 1\r = C.05 2.rffx / L , r = o, 1, 2, ••• , e integrando entre O e L, obtem-se:

ctJ L

i m L. L 1 (.OS '2.r'ílx . e.os 2pnx. dx J 9- (t) + ; p=O O L L 1p

00

-\- I._ L E l ( 2.fíl )4- p (2p!T )i.]f j~~':) 2fi'{X ,,C..0$ z.pl'TlC' dx]~ (t) p=o

1 L L L o L L 'P

<X> . 3 L + To L [ ( zprr ) } x <..o5 Z'('flic • sen zprt)( dx _

L p=o L o L L

43

CO!) .D.t + ~ •

tos ~L

5en i':I!. cns 2.r'llic , :ie.,., 2.pn ic d'><+ L L

'2 L _'2.~ ( 2~11) ( C.0$ ~~. (.()$ '2.t''i\l< .cos '2p1'1)t . d,>c }q (t,) = ()

. \ L jo L L 2P .

í=Cl,1-,'2., .. , ( 2 .2 ,3)

Considerando agora as relações de ortogonalidade

(2.1.16) e (2.1.17) e efetuando as demais integrações, resul-, - ,

ta apos algumas transformaçoes algebricas:

Q:, 00

" 1. a l t ) + w ir a l t) + 1 1r -,,r il:,~ Drp9 (t) +~tos .nl: L.1-r0 q 0lt)= O

,- p=O 2~ p=o r 'r \>1 r

r= 0,1,'2., ... ('2,2.4)

onde

(2.2,5)

44

(2.2.6)

(2.'2..7)

4 7. i. 4 6p +5r p -5r oro = __..:. _____ _

1 6r 2 -8P2. (2.2.8)

( 2.2 .9)

' Analogamente ao caso da secçao (Z.l.), o segundo con

- ' -junto de equaçoes, correspondentes as oscilaçoes no plano xz, , e obtido diretamente do primeiro, levando-se em conta as mes-

mas razões de simetria. Teremos então:

o:> 00 •• '2. ei t t..) + W 2r a l t) t2r t2r - ~ L. Dr.p~ L\:.) - E. e.os ntL~P 9- ct):: o

p=O lp p=O tp ?"'r

1"'=0,1,2, ... (2..2.10)

45

e t' , Drp , Es

acima.

e ~ ,

sao os coeficientes ja definidos logo

Ainda como no caso anterior, as equaçoes correspon -

dentes a r: O terão as frequências naturais nulas, bem co­

mo tem-se ~ to = 1 e portanto, a r = O corres ponde um , ,

deslocamento rigido da viga, irrelevante na presente analise. A

Assim, nos posteriores desenvolvimentos relativos a este ca-

so, poderemos fazer

(2,'2.12)

A distinção mais interessante entre os dois casos já , ,

abordados (alem das diferenças numericas entre alguns coefic!

entes), é de que nêste segundo, o torque médio T0

, esta pre-

sente nas equações diferenciais e portanto, influi no compor­

tamento elastodinâmico da viga.

46

2.3. VIGA BI-ROTULADA À FLEXÃO E ENGASTADA À TORÇÃO

â},OJ~C; ~-=====================~=::-}"•,...· · ...... Tc-:-tl _?_

1

o L -------~'-

!

FIC:i.7

~

Seguindo mais uma vez a marcha adotada nas secçoes ,

2.1. e 2.2., vamos substituir (1.3.13) em (1.4.3) e apos as

derivações indicadas, resulta a primeira das equações de movi ,

mente especificas para o caso ( plano XY ):

+ rn ('2.3.1 )

Nêste caso, considerando-se as condições vinculares

à flexão, resultam as condições de contôrno seguintes.

47

De (1.4.5) tem-se:

u(Ob)=Ll(lb)=ll (Ot)=u·(Lt)=O J1 ' J1 ' '1 Jl. ' J l ,

('2.3.2)

Considerando agora (1.4,4) e (1.3.13), resultam:

2 c.,os n t ) Õ'.h = o EI õ ~1 + (To+~ ·. 1 '2. e.o~ ~L d)( ê) )(

e lt = o

-1 :02'j2 _ ( T0 + T1

co~Dt ) ó~ 1 o r. 2 -- -= o x.'2 co~~L ô li.

(2.3,3)

e X=L

(2 . .3.4)

É evidente que se torna pràticamente impossível a ob

tenção de funções que satisfaçam simultâneamente a tÔdas as

condições de contôrno acima, pelo que vamos empregar na reso­

lução dêste problema de contôrno, funções admissíveis do pro-

48

, 5 blema de autovalores correspondente (isto e, conforme FUNG,

MEIROVITCH•4 e outros, funções que satisfazem apenas as condi-

ções de contôrno geométricas, sendo n A ,

vezes diferenciaveis A ' ,

sobre o dominio, onde 2n e a ordem do operador '~' ),

onde

Assim, tendo em vista apenas (2.3,2), façamos

hf()( !>en .r__

l (2.3.!3)

( 2.3.6)

q (l) e '1 ( l l - coordenadas generalizadas tp 2p

ilp = <;,en f>1i X - funções

, admissiveis do

l problema de autovalor

l=1,'2. 1 p= 1,2, .. ·• ( '2.3.7)

, Acentue-se que

funções ortogonais, \ ~tp) e um conjunto completo de

' , Passando a aplicação do metodo de GALERKIN, vamos

substituir (2.3.5) e (2,3,6) em (2,3,1), dai resultando:

ao """ ?'il'l( ••

rn L $e'!'\ _ . °t ( t) + p=1 L ,p

_ T c.o5 nt • -1

cos ~L

49

se." pnx . e ( t) _ L t1p

'\ ~í!l( e.o~ '\IX. C.05 - -L

Multiplicando agora (2.3.8) por

(2. 3. S)

~ =5en(rrnc/L) li' .

r; 1, 2, ••• , e integrando entre O e L, teremos:

oo L m L l. j sen l'í!X . sen ptrx dx J ~ ( t) +

p= 1 o L L 1P

50

+ Í_ [-±I1 ( p: f -P ( ~: f][ sen r~)(. sen t'~l< .d)( J 91~t) -

p=1

e.o~ .n.t cos vL

(I) 3 2. nn s l . L{ [(~·) + ~ { l_ )] CD5 ~x . sen ~.015 'fl1'X .d~ -p= 1 . L l O L L

_ 2. ~ (. ?'lí )2 j L tien ~X, ::ien 1"1iX • Sen \?~X· d.)(} '1 ( t) =- O

l o L L 2p

f'= 1,'2., ... ('2.3.9')

Tendo em vista, entretanto, as condições de ortogona

lidade

JL ~en r'fl ~ . sef'I p11'x . dx _ L L

o

o ::.e ?'# r

L se ?=r,,.,o -·· 2

(2.3.10)

j L 1'11' )( ~el"I _ co~

º L

[ ( - 1 l r+ " - 1 ] L r T{z.( ?1.- l''l)

o

51

5e p=I"'

(2.3.11)

e os valÔres das integrais dos tipos (2.1.18), resulta então:

onde

00 (X)

ri L ºro·C\- (t) + é co~ .n~ L rr q tt> = o p=1 ·r '\' \>"1 P 2f> p>! ('

1"'=1,2., ...

[1-(-1)r+,p]r 4 o = rp ~~~~~~2~~-

. p - r

e 2 .3 .12)

(2.3,15)

('2.5.14)

('2.3.15)

('2.3.16)

52

(2.'3.17)

O conjunto de equações diferenciais em têrmos das co

oedenadas generalizadas das vibrações flexionais da viga no

plano XZ , e obtido diretamente de (2.3.12) considerando-se

as mesmas razões de simetria invocadas nas secções 2.1, e 2,2,,

Portanto teremos

~ 00

9- Ct) + IJ\~q. (t) - \-' L oro a tt) - E: e.os n't L f Q (t> = o ,r- 2r ?= 1 r t 1p P"f rp t1p

pitr

\"=1,'2., ... (2.3.18)

onde

(2.3.19)

e os coeficientes 0, Drp' E. e Frp sao os mesmos defini­

dos em (2.3.14), (2.3,15), (2,3,16) e (2.3.17), respectivame!!

te.

Também nêste caso as equações obtidas dependem, evi-

dentemente, do par constante T • o

53

2.4. CONSIDERAÇÕES SÔBRE AS EQUAÇÕES OBTIDAS

Nas secçoes 2.1., 2.2. e 2.3. obtivemos sistemas de - A equaçoes diferenciais em termos das coordenadas generalizadas

das vibrações transversais da viga,

Nos dois primeiros casos, relativos a vigas bi-enga~_

tadas, os modos próprios foram aproximados por funções de co~

paraçao e, nessas condições, é garantida a convergência das

soluções em série propostas, para valÔres exatos (ver, p. ex.,

LEVINSON'~).

' Entretanto no terceiro caso, correspondente a viga ,

bi-rotulada, os modos proprios foram aproximados por funções ,

admissiveis e assim, a rigor, nada se pode garantir a respei-

to da convergência da solução (2,3.5), (2.3.6), para os valÔ­

res exatos.

Consideremos, inobstante, as condições de contÔrno

dinâmicas dêsse caso,

2.

El, ô~, + M(~.t> o':h o -oX?. a~

(1.4.4)

e

EI. ô2';12. M tx,t) êJ~, = o 2. àxa. õx

( 1 ,4 .7 )

para x = O e x = L

54

-e ainda a expressao do momento ao longo da viga,

T T e.os ~x M tx, t) = 0 + 1 e.os nt

Se fizermos

e.os ~-L

T = O - e limitarmos o

(1.3.13)

A

a valores su-

ficientemente pequenos (restrições que aliás serão efetivamen

te impostas, não apenas por esta, como por outras razões, co-, '

mo veremos a seguir); alem disso, se considerarmos a hipotese . ' das pequenas curvaturas assumíveis pela viga, o que implica

em (O~/ Ô X ) e ( Ô':)2_/ O X) pequenos ao longo da mesma,

então decorre de (1,4,4) e (1,4,7):

..

Mcx,t) ô'j2. 1

-- <<. 1 ~ E I, ô 'j .!. << 1

õx ox '2 xE.lO,L) e

Mcxt) ô~, 1 {2.4.1)

<< 1 > EI ô ~-a <( \ 1 - 2 ôx 1 Ô>C

Por outro lado, da solução (2,3,5), (2,3,6), obtem-se

imediatamente:

1 EI ô ~1

1 ox '2 =º )(=0 X=L

=º ><=O X:L

('2:4.2.)

Comparando os resultados (2,4,1) e (2,4,2), tem-se

que a _solução utilizada (2,3,5), (2,3~6), também satisfaz as

55

condições de contôrno dinâmicas, ainda que aproximadamente, A ,

ou forçando a linguagem, os termos das series tratadas são

aproximações de funções de comparação do problema.

Em vista do que foi exposto, julgamos que podem ser ,

esperados resultados suficientemente aproximados tambem para

o terceiro dos casos tratados.

Todavia o problema acima abordado comporta um trata-.

mente mais rigoroso, como por exemplo, o realizado em um tra­

balho de HAGED0RN 9 (sÔbre um determinado problema não conser-,

vativo da Estabilidade Elastica).

Dado que no presente trabalho limitamo-nos a estudar

alguns problemas de estabilidade elastodinâmica que redundem , -na analise da estabilidade das soluçoes de sistemas de equa -

ções de Mathieu-Hill, deveremos considerar nulos os momentos ,

medios T0

no segundo e terceiro casos.

Assim, fazendo (?> = O em (2.2,4), (2.2.10) e

(2.3.12), (2.3.18), tem-se para os três casos a forma geral:

56

00

q (t) + w; .. '1 ct) + E. e.o~ .O.t L Fr-p·°+ (t) - O 11' l1" p=1 lp

'('=1,2, .•. (2.4 . .3)

00 .. Q (t) tir +w.;'\. (t) "'.'E. C.0'=> .nt L. Frp•º tt) - O

U p•1 11p

'f':1,'2, ... ( 2 .4 .4)

9, 1r ( t ) - coordenadas generalizadas. associadas aos mo­

dos de ordem r das vibrações flexionais da

viga no plano XY.

o (t) - idem acima, no plano XZ. tir

Lú1r - frequência natural do modo de ordem r das vi

brações flexionais da viga no plano XY

W"1 r - idem acima,no plano XZ .•

!1. - frequência de excitação,constante.

Frp - parâmetro expresso em têrmos de r, p (or

dens dos modos ) e de V •

- parâmetro pequeno (restrição a ser justific~

da no próximo capítulo), proporcional a T. 1

J Frr

10

5

-~L

-5

-10

~-1 ,~ [ . ?. l '\t 1 1a: ~ ....

.- F..'l.

CURVAS F - VIGA 61· f:NGAsTAOA À FLEXÃO - ENQASTAOA À TORÔ.0 ~p •

Vl -J

58

o

lo; /t-1 1c( O• a: ~

,c(

:w a: > J

,i ~ ,,.

•c(

á ~ ,a <!I z w ' iii

e( <li >

.. 11.•

"' ~ ,a, :, u

-IO o '° o

' -

n. l.l. ..

o -

1

~'"'

t:'i"'

o

t li)

1 o -

59

'~-a: ,O ,1-<I < o ~ ifl < <!1 z w 1

o r<I )( ,w ., ,i.

,<f.

<I o <I ., ':;) ... o a: !. t!)

<I

" > l ...

u.'-~ <I > a: :, o

6ó

CAPÍTULO III

A ,

INSTABILIDADE E RESSONANCIAS PARAMETRICAS DA VIGA

•

A ,

Nesta capitulo vamos, inicialmente, estudar as condi

ções de instabilidade das soluções triviais de sistemas de e­

quações d~· Màthieu-Hill para, a seguir, aplicá-las nos proble . . • A

mas de estabilidade elastodinamica do trabalho que estamos de

senvolvendo.

3.1. INSTABILIDADE DAS SOLUÇÕES DE'•SISTEMAS.

DE EQUAÇÕES DE MATHIEU

, A analise que vamos apresentar nesta secçao baseia-

• 11. . ,,

se no artigo de HSU, "On the Parametric Excitation of a·Dy-

namic System having Multiple Degrees of 1'reedom". , , ,

Na referida analise sera utilizado um metodo que co~

siste, fundamentalmente, na determinação das curvas que deli­

mitam as zonas de instabilidade das soluções no chamado plano

€ - D. a partir das condições sob as quais essas soluções ... ~ , , ,

sao periodicas. Para tal fim, e empregada uma tecnica de ana-

lise que combina o clássico método de variação dos parâmetros

de Lagrange com o método da perturbação da Mecânica Não Line-20 . ~

ar, conforme o fêz STRUBLE para equaçoes de Mathieu.

61

Seja então, primeiramente, o sistema de equações de

MATHIEU na forma

onde

{~<ll J + ( ['w~ + E co5 nt [r]) { 'tct>} = { o }

{ q<t>}

(3.1.1)

- vetor coluna das variáveis dependentes

- derivada segunda em relação ao tempo,

do vetor anterior,

- matriz diagonal de constantes reais

tÔdas distintas entre sLlWi.>O).

- matriz de constantes reais

r = 1, 2 1 . . . ' p = 1, 2, • • • •

fl - constante

- parâmetro pequeno ( O < E<< 1 )

Deve-se ressaltar que os elementos da matriz diago -

nal mencionada são tais que ~'L ,t= Wj se L -:/= j (o caso em

que W. =W, ~ }

~ estudado em artigo posterior do mesmo HSU12),

62

3.1.1. SOLUÇÕES ESTÁVEIS

, Seja então a r-esima componente do sistema (3.1.1),

co E. I_ frp ( e.o~ .nt) ~

p~1 p

l"=1,'2, ... ( 3.1.1.1 )

As soluções não perturbadas, isto é, as corresponde~

tesa Ê =O, são evidentemente,

f"= l,'2, .. , (3.1.t.2)

onde as constantes Ar e ~

sao determinadas a partir dos A

valores iniciais

Quando E * O , teremos as soluções ditas perturba­

das. Para sua determinação, transformemos (3.1.1) em um siste

ma de equações diferenciais de primeira ordem, da forma

(X) w: o = - € L F.-o ( (O!, n l ) q p tr ?"' 1 r

r = 1,'2., ••. (~.1.1.~)

, , Estendendo o metodo de Struble ja mencionado, ao sis

tema de equações (3.1.1.3) é tomada como expressão possível

' da solução perturbada a que segue (lembrando que, por hipote-

s e, O <.E:<. <.1 ) :

r=1,2, ...

f'= 1,2., ...

~ e tal L. € 9 (t) 13= 1 r

( 3.1.1.4 ')

~ a • (0l L E. qr ( t) e=1

(3.i.1.5)

observando-se que os coeficientes Ar e Br sao, agora, co~

siderados funções de tempo. Os dois primeiros têrmos de

(3.1.1.4) e (3.1.1.5) são denominados variacionais e aquêles , .

das series, perturbacionais.

Substituindo (3.1.1.4) e (3.1,1,5) nas equações

(3.1,1,3) e considerando, numa primeira aproximação, apenas

64

, os têrmos de primeira potência em E, ,

mas operações simples, o nôvo sistema:

obtem-se, apos algu -

• • Ar C05 w/c + !3r ~e.,... Wr\:. = O (' = 1,'2., ... (~.1.1.G)

e

o,

= - ~ ~I Frp l Af [ cos ( wí' t + n t ) + cos ( w p ~ - n e.) ] +

,==1,2, ... (3.\.1.7)

Nêste ponto, chega-se à concepção fundamental do mé-

' todo de Struble-Hsu: associar as parcelas perturbacionais da - , (1) ( 1)

soluçao (i.e, '1, ,i2

, •••

' nesta primeira aproximação), to

dos os têrmos da direita das equações (3.1.1.7), exceto aque-A ,

les correspondentes a termos com caracteristicas ressonantes

dessa mesma solução. !stes Últimos têrmos, por sua vez, serão A

associados aos termos variacionais de (3.1.1.6) e (3.1.1.7).

Portanto tem-se de (3,1.1.7):

a:, .. (1)

q.~ + w! 0+'1) ,__ .§. L F;.p {A0[c.o~(wpt +..Q\:.) + CO$(wpt.-.D.I: )+

r 2 p=I r

r = 1, 2, ... (3.t.1.8)

de onde, considerando-se AP e BP constantes, obtem-se

~~) como simples solução particular de {3.1,1.8):

+- Frp r t,, e.o::, l w0I:, - nt ) + B,.., $en ( wpb -flt)] }

wl.-(W -.0.)'l.l P r r r p

<' = \, '2., .. • ( 3.1.1.9 )

- , soluçao valida desde que Wp :!: fl. ;la w.,. , evidentemente.

Considerando agora (3.1.1.6) e a parte variacional

de (3,1,1,7), tem-se

À r C.05 w,.t + 5,. sen Wr t = O

• • I" = 1, Z, ..•

A.,. 5en wrt - Sre,o~ w.,. t = O

(.5.1.1.10)

66

' que, obviamente, pode ser considerado um sistema linear em . . , Ar e Br. O determinante de (3.1.1.10) e igual a 1, ou

seja, diferente de zero e assim, êsse sistema homogêneo pode

ter apenas as soluções triviais • A : O e r de onde

tem-se imediatamente as soluç-oes Ar(t): Aro e B (t) - B r - ro - ' -constantes, que sao as proprias condiçoes iniciais do proble-

ma.

' Levando-se essas constantes e (3.1.1.9).em (3.1.1.4) - , obtem-se a soluçao desejada, que sera !'bem comportada", isto

, - , e, nao tera problemas de instabilidade.

3.1.2. so1uçtES INSTÁVEIS

Se n , e igual, ou aproximadamente igual, a l).)p '!: l).)'!I

4 ' para um determinado par de valores p e s , constata-se fa

cilmente que alguns têrmos de (3.1.1.9), por conterem o fator I . ,i '2 l 1 / [ wr - ( wp - n) 1} , tornam-se respectivamente infinitos

• 4 ou muito grandes, ocorrendo, evidentemente, ressonancia.

Com efeito, se

( ~.1.'2..1 )

resulta

(3.1.2.2.)

67

Considerando ainda (3.1,2.1) e o fato de que na- ex-

pressao (1) , ,

de qr em (3,1.1,9), p e um indice mudo e portanto , , ,

pode ser substituido pelo indice s , tem-se tambem

se r = p

Passemos agora ao estudo dos três casos possíveis de

frequências de excitação ressonantes.

onde I\ - nÚmero real finito

~ - parâmetro pequeno

com ('5.1,2:4)

A -Neste caso, as equaçoes para a parte variacional da

solução provém imediatamente de (3.1,1,6) e (3.1.1.7) e assim,

levando em consideração (3.1.2.2) e (3.1.2.3), temos os sist~

mas:

. • A. e.o~ w t + 6.,. ~n wJ = O :; . :; ., .,

(3.i. ,.õ)

. . A .. '->en w t. _ B e.e~ ., :; s

• • AP (O_;J wpt + (:, p :ien wpt = o

ÂP 5er, w; - '~p O':J:!> wpl;; = .§.. l="ps L A5 (o~ ( wpt +- éÃl) -'2 wp

68

-'355er,(wpl:. + €."t )]

(.3.1.2.G)

Resolvendo os sistemas (3.1.2.5) e (3.1.2.6) para • • • • As , AP , Bs , BP e fazendo tf ~ = w5 t , , li) P"' wpt , obtem-

se imediatamente:

Às=~: [_Apccs(f5

+EÃt)-13Psen(l\>5+E.>·,l)]5eh ~~

5

e\= ! ': l-Al'c..os t~5.-E.>-t) + í::>P::ie!') e(\\+€')., t)] ,co~ 1,,

5

Â.p= ~ ~"'[ A5 cos(~P+E\l:.)-13s.:ien (~?-1-€Àt)] ~E:Y"\ 'fp p

Gp==_§_ Fp, [-=As c.o~(~p+E)1l) + e,.s 5el'"'I (~P+€\t) J e.os 'fp 2 Wp

(3.1.2.7)

Tendo em vista agora, que as quatro derivadas acima

são proporcionais ao parâmetro pequeno E , conclui-se que

A B A e B variam lentamente com t. Portanto, s ' s ' p p

nos intervalos ('2'11/w~) e (21T/Wp), (\.(\+E.Ãt) e (l\\+E.>-t)

aumentarão aproximadamente de 2n , enquanto que As, Bs ,

Ap .e BP não se alteram apreciàvelmente. Diante dessas con-.... A .. ' -sideraçoes, este metodo recorre a chamada aproximaçao de Kry-

loff-Bogoliuboff (ver p. ex,, PIPES19), isto é, toma os valÔ -

, res medios das derivadas (3,1,2,7) nos intervalos f:.E.[0,21TJ

e ~p €. [. O, '2TT] , considerando-se As , Bs , Ap . e BP cons

tantes. Resulta, assim,

• F.: 1 'L'ft .

A::,=~ 2J:. 'f [A cos(~:; +-E:.Ãl) - Bp.~enC\\l +e}.t )] 5en '" .d,O 41T W J · p ~. Tf. 1~ .:, o

(.3.1 .2.8)

, ou apos as integrações:

70

B:;= _ : . :l' (Apcos ~'-t..., ':,P <;ie11 ~).\:. J ~

Ao= -~ .!E:. [ A SeY'I €.)..1;. + e, e.o~ e>. l J r 4 LU :; ~

p

(!, .1, 2.9 )

Para a resolução do ,

sistema (3.1,2,9), e conveniente

fazer as seguintes substituições (onde . ,--. L= ,-1 ) :

. Xt A..,+ Ll3:;

(3.l.2,fO)

Y=e, -ti3 'Z. p p

Tem-se então para ( 3.1,'2. 9):

, E - tE.>-l y X = __ LF..,P e . 2 1 4W • s

(3.1.2.11)

. Ê . X2 =--LF e.

4W :;p :,

(~.l.'2..12)

71

Y. E: . -LE.>-lx =-- 1.F0 "'e 1.

1 4w r p

(3.1.2.13)

(3.1,2.14)

Considerem-se agora as equaçoes (3.1.2.11) e

(3.1.2.14). Derivando a primeira em relação a t e substitu-A

indo nesse resultado a segunda, vem:

- , de onde resulta a equaçao caracteristica

onde

'f" + E:}.. L 't - E. 2

~P \='P~ _ o Wi w:, Wp

''" . F ;:- '2 1 / '2. t ·== - c._"_L_ ± ~ [ :,p ' p~ - 4 À J 2 4 w5 Wp

(.3.1.2.15)

A

Tem-se portanto, de acordo com a teoria das EDOL:

(3.1.2.17)

72

(~.1.2.n)

' De (3.1.2.12) e (3.1,2,13) obtem-se, analogamente,

(5.1.2.16)

Uma simples inspeção nas expressoes de (3.1.2.16) a ,

(3,1,2.19) indica que a parcela real de seus expoentes e co-

mum às quatro expressões, Seu coeficiente r , usualmente cha , ,

mado expoente caracteristico, e dado por

(3.1.2.20)

Assim, de acÔrdo com a teoria elementar das oscila -

çoes, teremos

r >O - soluções instáveis (ressonantes)

í'=O

r<o

, A

- soluções estaveis (harmonicas) ' , - soluções assintoticamente estaveis

(por extensão de linguagem, "amortecidas").

(3.1,2.21)

73

Considerando então a expressao do expoente caracter.is

tico r dada por (3,1,2.20) e as condições (3,1,2,21), tem­

se instabilidade quando

F. F 1 \ 112. ± ~ ( sp · p$ _ 4 À ) ) O 4 W

5• Wp

(.3.1.2.22)

Levando-se em conta que de (3,1,2,4) tem-se

e que por (3,1,2,2) pode-se fa­

zer r = s , resulta de (3,1,2.22):

ou

, -Apos algumas transformaçoes simples, conclui-se que

ocorre INSTABILIDADE quando a frequência de excitação .flR

(ressonante) satisfaz a relação

(3.1.2.22)

74

2º CASO) .0. = 2 W + E.).. . 5 Cs.1.2 .2;5 -)

.Considerando novamente o fator {1/[w .. 2 -(wp-.Q)']}

de q<•) (ver (3.1.1,9)), tem-se que quando .O. é dado por .. ,· A

(3,1,2,23) e para r = p = s , que esse fator tende a infini

to com 8 tendendo a zero, Nessas condições, os têrmos por ~ ,

le afetados assumem características ressonantes, A ' Associando tais termos as parcelas variacionais de

(3,1.1,6) e (3,1,1,7), tem-se:

• • A"' co::i w ~t. + 6~ sen L,\t = O

• • A1:, se"" w~ t - <?>5 cos

Procedendo-se como no caso anterior, conclui-se que , , ,

o criterio obtido e o mesmo se fazemos p = r naquelas forrou

las, isto é, haverá INSTABILIDADE para frequências de exci-,

tação í2R que satisfaçam a relação

(3.f.2..'Z.4)

3Q CASO) D = W - W + € À .s p

A

W)W :, p

75

(3.1.'2.25)

Neste caso, temos as seguintes equaçoes diferenciais

para a parte variacional da solução:

• • A::, C:..05 w5t + ~ 5 'Seri G-.\ t. = O

+ 13 ~eri ( oJ t - E. Ã t) J ~ li

• • AfCO<;, wpt,. 6P 5e"' wpl: = O

• • AP 5e"' wp t - 1~P e.o!>

' Procedendo-se analogamente ao primeiro caso, obtem-,

se o expoente caracteristico

F. F: - 4 "'2 )1/2. r = ! .§_ ( _ 5P ps " 4 w:, u.l?

Sendo aqui À= [ n. - (w:.-wp)]/E , e ainda levando

em conta que podemos fazer s: r, resulta:

76

soluções ,

insta veis €2 Fpr. Fp, t. (n- (wr- Wp)]2 soluções

, estaveis -- ·-

4 wrwp 7 soluções assint.est.

Conclui-se que ocorre INSTABILIDADE quando a fre -

qBncia de excitação .QR satisfaz a relação

(.3.1.2.26 )

No primeiro e terceiro dos casos estudados, as fre -

quências de excitação ressonantes para € == O são dadas, co-4 "' A • • ,... mo se ve, por "combinaçoes" de frequencias naturais, razao p~

"' - ... , la qual esses casos sao denominados de ressonancias parametr! , ... , ...

cas de 2a. especie ou ressonancias combinatorias. O mesmo nao

se passa com o segundo caso, denominado ressonância paramétr! , A ,

cadela. especie ou simplesmente, ressonancia parametrica.

3.2. INSTABILIDADE DAS SOLUÇÕES DE SISTEMAS

DE EQUAÇÕES DE HILL

77

Nesta secçao vamos estender a aplicação dos resulta­

dos anteriores a sistemas de equações de HILL da forma

onde

e os demais elementos já foram definidos na pág. 61.

Evidentemente (3.1.3.1) pode ser escrita na forma

00 <X)

•• 2. °"' 'Ç"' ( r(mJ G~""') t) q + w,.. a = - E L .L \ rrp co~ mnt + rp sen m.Cl a r l'r rn~, p=I Tp

-í=l,2, •.. (3.1.3.2.)

, e então torna-se quase imediata a aplicação dos metodos e re-

sultados anteriores para cada um dos 'm' do duplo somatório

L. L F("''·C.05 m .nt , "' P rp

o tratamento de equações com L. L G;) :;en m nt. "' p

apresenta diferenças puramente algébricas em relação ao caso

anterior. Finalmente, dada a linearidade das equações, pode-

78

se aplicar a superposição.

Portanto, para estudarmos as condições de instabili­

dade da solução trivial de (3.1.3.1) podemos dispensar grande

parte dos detalhes expostos nas secçoes anteriores.

Assim, as soluções estiveis de (3.1.3.1 ou 2) sao da

das por:

1 = - -

2.

1 +· ... w~ -(w _....,.n.)7·

~ p

1"'=1,2, ••• (3J.!!.3)

, , A

E obvio que os termos contendo o fator

{1/[w;-(wP-mn)"l} n = ( w:. ~ w P) / n,

tornam-se ressonantes quando

para determinados valÔres de p, s

e m.

Vamos, a seguir, analisar três casos de instabilida-

de.

12 CASO) .0. = W~ + ~.P +.' €1' , rn

(3.1.3.4)

Associando os têrmos com características ressonantes

79

' , a parte variacional da analise, tem-se:

• • Asco~ w~t + B5 sen w5t. = O

e

.. . Apco~ wpt. + ~P ::,en wpt = O

• • • Resolvendo os sistemas acima para As , Bs , Ap e

BP, aplicando a aproximação de Kriloff-Bogoliuboff e fazendo

as substituições (3,1,2,10), ter-se-á imediatamente:

1 t' ljlt-- ÊÀm L X=X e 2.

1 10

80

onde

e

1 l' pl:--().m L y -Y 1.

, - 10 e onde

Para a ocorrência ,

evidente de instabilidade, e que

as parcelas reais de ~ e ,

e , alias comuns a ambas, devem

ser positivas.

Depois de algumas N

operaçoes simples, chega-se final-

' condição de INSTABILIDADE êste mente a para caso:

]

1/2 ) o

com

ol=--- [F(mlFl"") G(m)G(m)J·

rp pr + l"f' pr

À = ~ [ D.~ _ Wr; Wp J (3. 1'.3.5)

2ll CASO) {2 _ '2W$ + €.Ã m

81

(~.1.~.6)

, , são aplicaveis as mesmas formulas (3.1.3.5) fazendo-

se p = r •

3g CASO) ..(l:: Ws - Wp .+ €Ã .m

(3.\.:5.7)

Como condição de INSTABILIDADE, tem-se

e

(3. f .3 .8)

Em todos êstes três casos, 1 ' , m designara a ordem da A ,

ressonancia parametrica.

3.3. APLICAÇÃO DAS CONDIÇÕES DE INSTABILIDADE

AOS PROBLEMAS EM ESTUDO

82

Nesta secçao vamos fazer algumas considerações sÔbre

a aplicação às equações (2.4.3), (2.4.4), das condições de

instabilidade estudadas na secção anterior. , -Para tal fim, e conveniente escrever as equaçoes aci

ma referidas, na forma:

(~.'2.1)

(3.2.2.)

f': 1,'2, ...

L= 1,'2.

, a) Inicialmente, observe-se que e suficiente analisar

apenas as condições de instabilidade das soluções triviais do

sistema (3.2.1), pois as condições de instabilidade correspon-

' - -dentes as soluçoes triviais de (3.2.2) sao exatamente as mes-, . '

mas (ja que, obviamente, Frp. Fpr = (-Frp) • (-Fpr), produ-. , -tos esses considerados nas formulas que delimitam as regioes

, de instabilidades parametricas).

b) na--condição i F j das equações (3,2,1), conclu! A ,

se imediatamente que ocorrem ressonancias parametricas exclu--

sivamente entre modos flexionais pertencentes a diferentes

planos principais de vibração da viga.

c) Como pode ser observado em todos os três casos de

vinculação da viga, as frequências naturais w10

e W2n ,

correspondentes a modos de mesma ordem dos dois planos de vi­

bração da viga diferem entre si apenas pelas respectivas rig!

dezes. Ora, foi visto que as condições de instabilidade estu-N , A

dadas anteriormente sao validas apenas quando todas as fre -

quências naturais do sistema são diferentes entre si, Fica as , -sim justificada a hipotese formulada na secçao 1.1., de que

, -os momentos principais de inercia das secçoes da viga devem

ser diferentes entre si,

, d) Uma característica interessante dos casos de ins-

tabilidade elastodinâmica tratados, é que em nenhum dêles o-A , ,

corre ressonancia parametrica de primeira especie, Com efeito,

ainda que seja r = p = s , ,

temos, por hipotese, i # j '

isto é, ressonâncias entre modos de mesma ordem, mas distin -

tos por pertencerem a planos de vibração distintos. Enfim, em

qualquer hipótese, sempre teremos aqui, ressonâncias entre mo A ,

dos-distintos, e portanto ressonancias parametricas de segun-

da espécie ou, simplesmente, ressonâncias combinatórias.

84

A • e) Por outro lado, poderemos ter ressonancias combi-

natórias tanto para frequências de excitação .f.2R dadas por

w~r + wj? , quanto dadas por 1 '-'\r - wjp 1 , pois conforme se A

três casos (ver ,

57, 58 e 59), ve pelas curvas Frp dos pags.

tanto poderemos ter Frp • Fpr > o como Frp • F ( O pr (ês-, , ,

te caso soe possivel quando r ;t p , evidentemente).

-f) Observe-se pelas expressoes de Frp corresponden A -tes aos tres casos de vinculaçao da viga, que se

:;IL = ( '2 n - 1 ) 'lt / '2 , n = 1, '2. , ... '

torna-se infinito. As-

sim, fique estabelecido , -que as analises de condiçoes de insta 4 ,

bilidada deste trabalho sao validas desde que

. ~L;E, <2n-1) 'lt 2

~n=-1,2,,~, (3.2,3)

g) Uma vez que ~L se situe no entôrno de

{tin-l)~/2.} teremos valÔres de Frp muito grandes. É;sse

fato implica em regiões de instabilidade mais amplas, como se

' depreende facilmente por simples inspeções em (3.1.z.22) e

( 3.1.z.26).

' Inobstante (3.z.z), assuma-se provisoriamente

n=1,'2, ... (~.2.+)

A

Chamando de frequencia ressonante de corte, .O.RO ,

aquela correspondente a E; =·O , ,

isto e ,

85

(5.2 .5 )

e considerando que ~=O. /C

desta e de (3.2,5) em (3.2,4):

(1.3.7), vem pela substituição

lw,r±W'2.P\ L= (2n-l)~ (~.2.6) e · 2

Denominando de comprimentos críticos da viga, LCR

aquêles que satisfazem a relação anterior, temos:

Lei~ = ( n - o, 5 ) 1i e. 1 w,r ±. w'Zp 1

n=1,'l, ...

( +) po..-o. Frp . Fpr '> O

(-) 11 Frp . Fpr <. O

(~. 2.7)

O que se deve fixar então,~ que, para comprimentos

da viga nos entôrnos dos ~, teremos regiões de instabili­

dade amplas.

Uma hipÓtese que talvez mereça uma investigação apr~ ,

fundada e a de que, se levados em conta nao linearidades e a-A ,

mortecimentos inerentes a um modelo mais proximo do real para

a viga, obtenham-se maiores amplitudes para suas vibrações 4

transversais exatamente nas regiões associadas a esses compri -, mentos criticos.

86

h) Tendo em vista o estudo r.ealizado sÔbre estabili­

dade das soluções de sistemas de equações de Hill, podemos g~

neralizar a excitação pulsante, originalmente restrita a pa-• res harmonicos a

- pares de excitação periÓdicos quaisquer no caso de

' - ' -vigas bi-engastadas a flexao e engastadas a torçao.

- pares de excitação per1Ód1cos com valÔres médios ' ~ nulos nos casos de vigas bi-engastadas a flexao e

' - ' -livres a torçao e de vigas bi-rotuladas a flexao e

' ~ ' engastadas a torçao (foi visto no capitulo II que

T0 , deveria ser nulo nêstes casos).

1) Finalmente, considere-se que em todos os casos de

vinculação da viga, o parâmetro € ' e proporcional a

' ' ' • Por outro lado, esta analise e valida para

O<é<<I. Conclui-se imediatamente que as condições de instabi , ... , .

lidade parametricas estudadas sao validas para pares de exci-

tação pulsantes de amplitudes suficientemente pequenas e/ou

massas por unidade de comprimento da viga suficientemente

grandes e/ou comprimentos de viga suficientemente grandes.

Observe-se, no entanto, que conforme foi visto na

secção 2,4., quanto a vigas bi-rotuladas à flexão e engasta -

' - ' " das a torçao, deveremos ter, necessariamente, T1 com valo -

res pequenos.

87

, Depois dessas considerações, sonos resta aplicar as

condições de instabilidade paramétrica a modêlos de viga com

parâmetros definidos numericamente, É o que vamos fazer no c~ ,

pitulo que segue.

88

, CAPITULO IV

, ALGUNS RESULTADOS NUMERICOS

A , ~

Neste capitulo nao pretendemos realizar uma prospec-~ ,

çao exaustiva de resultados numericos, mas simplesmente, atra

vés de alguns exemplos, objetivar a análise desenvolvida nos ,

capitules anteriores.

Todavia, os programas para computação digital foram

organizados de tal modo que com simples troca dos cartões de

dados, .podem ser obtidos os resultados correspondentes a vi -,

gas com outras caracteristicas construtivas, desde que sejam

respeitadas as restrições formuladas na secção 1.1 ••

Os programas dêste capitulo estão formulados em lin­

guagem FORTRAN II e foram processados em computador IBM 1130 ,

com 32 K de memoria do NCE/UFRJ.

4,1, DETERMINAÇÃO DAS REGIÕES .DE

INSTABILIDADE ELASTODINÂMICA DA VIGA

Vamos aqui considerar apenas as regiões de instabil!

dade (RIED) correspondentes ao primeiro e ao segundo modos

das vibrações flexionais da viga, isto porque, geralmente são

89

essas as regiões de maior interêsse tecnolÓgico (devido a A , -maiores possibilidades de ocorrencia), alem de que sao as que

, , oferecem resultados numericos mais confiaveis (pois, como vi-

mos, as RIED são delimitadas por funções das frequências natu ,

rais e e sabido que quanto mais alta a ordem destas, menos e~

xatas são suas determinações).

Seja então uma viga de aço doce uniforme, de secção ,

retangular, com as seguintes caracteristicas:

9 -2 E= 21.10 k~f. m - módulo de ela!>tocidc..de \or,i\l:,..,d,nol

9 · -i G = B,05.10 ko{,m -o

,. • • 4 '.2 (' = eco "g•. rn . s

b" 0,10 m - .\o..-ouro.. o h = 0,05 IY\ - cillvra

" " li

do.. seccão l:.-a ... :r.versol •

11 li

( P > O - c.ompre'l>sÕ.o ; P< O - t:ro~Õo )

L

FIG.8

Tctl p

90

A

Com esses dados obteve-se imediatamente os seguintes A ' ' parametros necessarios a determinação das RIED:

-3 2 m ª 4 ~'bí. m ::, - mosso ?Or unido.de de CoMpl'lrnento

ri = \,04. ,o-E>,.,.., 4 \ _ mo'""e ... tos de ine'rcio. prí,icipais

-6 4 J I =4.1&.IO 1'n o\a seccoo 2 '

El, = 5 460 m 5s· 2

rr,

k"' º· '246 { ver TIMOSHE.NKO 1 €,0001c~22

• l'°i>· 277 )

-1 C. = 15Gõ mS ( ver ( 1.3.~))

Suponhamos agora o caso da

VIGA Bl-ENGASTADA À FLEXÃO E ENGASTADA À TORÇÃO

Em primeiro lugar atente-se ao fato de que P deve

ser menor que a carga crítica à flambagem P , nêste ca-crit. so, dada por

(4 .1.1 )

91

De acÔrdo com (2,1,20) e (2,1,24) temos as frequên -

cias naturais:

( 21'!1'" )·2. ] t/2 0,'2!:i p -L

0,2.S --P ( 2.IH' )1 J 1/2. L

(4.1.2)

(4.1.3)

Designando por frequências de ressonância combinató­

ria .Q.~0

aquelas correspondentes a E:= O (ver (3,1.2.22) e

(3.1.2.26)), tem-se

(4.f .4)

ou (4.-1.5)

Por outro lado, designemos por .nllE e ..QR.0 as fre-A A ~ ' quencias de ressonancia combinatoria que delimitam as RIED a

' esquerda e a direita, respectivamente (t* O).

Tem-se então

E

(4.1.7)

(4.1.8) .íl o

FIG. 9

92

onde

(4.1.9)

,. Neste caso, como se viu, -sao

dados por (2.1.22). De acÔrdo com (1.3.7) tem-se.

(4.UO l

Antes de passarmos à fase de programação propriamen-. . , te dita, observe-se que considerando~= 0,3 (este e, de um

modo geral, o valor máximo admissível para um parâmetro pequ~

no por definição), tem-se, a seguir, alguns valÔres correspo~

T• ,. -dentes para a amplitude

1 do torque harmonico de excitaçao

(ver (2.1.21)):

L-=1m __ T,., = 1

0,015 2. mk~f L:'ln,_._ T"=

1 0,121 6 mkoÇ o

L=4.m __ r,• .. '2.,4~2 O m 'k.gr L=8 ...., __ TI .. = ~.7'2.SO tn koÇ o

. , (pelo que se constata a relativa pequenez dos valores maximos

admissíveis para Tf, nesta análise).

Damos a seguir a correspondência entre os simbolos·u ,

sados no desenvolvimento teorice e no programa:

L HL p p

po-it PCRtT

, - (1/C.) - AK CARA.C.TERISTICAS

( EL/rn) E,K Oé C.ON:â>TRl.>c.ÀO

(1/m) _ CK

( Er.,_t rn) DK

2'!{ PY2.

r r te nou !"1)

p J (e N ou M)

vL AR.G0 Cl,J)

f rp F ( I.,J)

Fpr------- _ F(J,I)

~ E.P5LN (MA&)

A J-ILANO tl,J).

.OR.O ----- VE.RT ( I,J)

nRE------------ 0MEL(l,J,MAG)

Duo 0,MEP. (I,J,MAG)

' As variaveis assinaladas no programa por A(M,N), ,

93

B(M,N), C(M,N), D(M,N), E(M,N) e F(M,N) correspondem ao cal-

94

culo de Frp(M: I,N: J) e de Frp(M: J,N: I).

Deve-se atentar para os desvios realizados no progr~

ma conforme os casos de F(I,J)* F(J,I) maiores ou menores

que zero.

Nos programas RIED para o caso de vigas bi-engasta -

das à flexão e livres à torção, as variáveis A(M,N), B(M,N),

C(M,N), D(M,N) e F(M,N) ' . devem ser expressas de acordo com

(2.2.9). Para o caso de vigas bi-rotuladas à.flexão e engast~ ... - A A Â

das a torçao, devemos expressar esses mesmos fatores de acor-

do com (2.3.17), bem como fazer PY2: PY (ver (2.3.13) e

(2.3.19)).

PROGRAMA PARII. DETERMINACA.0 DAS ~ 1 ED •

DIAGRAMA DE: BLOCOS

o~

2 PCRIT

1-!L,P

AK,BK,CK,OK

PY, PY'Z.

PCRIT =

<O

4 l-lL,P

L = 1

7 J= 1, 2

®

I = 1 2 . @'

FNVT1(t)=

FNVT2.U) =

95

RIED1

8 \/E.RT.([,J) =

= FNVTHr) + FN'IT'2(J)

O>

10 t-1 =I N=J k" o AlsGi<il(I,J)=

12 A(M,N)=

F(H,N):

K= K+t

M=l N =J

>O

9 VERTU:,JJ = = A~5(.FNVT1 (I)-FN VT2(J)}

RlE.02

~o

20 l-llANO(l})=

F(f,J), HJ,1) \.ILANO(L,l)

0HE,L(1_3,Hllq)=

!11HE(s([.l,HAG)=

' 01-\eL (I,J,Ht.G)

/t'.)HeR (I,J,Mll.6.)

0)

97

> o

>O

~o

38 L=Z

o>

50 CALL E.X IT

RIE03.

PAGE 1 A 63

// JOB T OOFF lOFF

LOG DRIVE 0000 0001

CART SPEC OOFF lOFF

C.4RT AVAIL OOFF lOFF

V2 MOS ACTUAL 32K CONFIG 32K

/ / FORTRAN *LIST SOURCE PROGRAM •I0CS(25Dl READER,1403 PRINTERI *EXTENDED PRECISION

PHY DRIVE 0000 0001

A 63 98

C DETERMJNACAO DAS REGIOES DE INSTABILIDADE ELASTICA DA VIGA C BI-ENGASTADA A FLEXAO - ENGASTADA A TORCAO

DIMENSION FNVT1(2l,FNVT2(2l,VERT(B,8),ARG0(8,8), l A(8,8),8(8,81,C(8,8l,D(8,8),E(8,8),F(B,8),HLAND(8,8), 2EPSLN(4),0MEL(4,4,4),0MER(4,4,4l

HL=3.5D P=4000. AK=0.00064 BK=5460. CK=0.25 DK=21840. PY=3.141592 PY2=2*PY

PCRIT=(BK/CK)*IPY2/Hll**2 IF(P-PCR!Tl4,2,2

2 WRITE(5,3lPCRIT 3 FORMAT(//,lDX,'PCRIT=',Fl0.4)

GOTO 50 4 WRITE(5,5)HL,P 5 FORMAT(IH1,///,11X,'REGI0ES DE INSTABILIDADE ELASTICA DA',

1 lX,'VlGA',/,llX,'Bl-E~GASTADA A FLEXAO -•, 2 lX,'ENGASTADA A TDRCAO',//, 3 11X,'HL= 1 ,F8.5,6X,'P=',F5.0)

L=l 7 DO 40 J=l,2

DO 40 1=1,2 FNVTl(l)=SQRT(BK*(PY2*1/HLl**4-CK*P*(PY2*1/Hll**2) FNVT2(Jl=SQRT(DK*(PY2*J/Hll**4-CK*P*(PY2*J/Hll**2) !F(L-118,8,9

8 VERT(l 1 JJ=FNVTl(l)+FNVT2(J) GOTO 10

9 VERT(I,JJ=ABS(FNVTl(Il-FNVT2(J)) 10 M=l

N=J K=O AR GO I I , J l = A K *VER T I I , J ) * HL

12 A(M,N)=l./COS(ARGOI l,Jl )-1. B(M,N)=(N'a*2H'!ARGOI !,Jl l**4

PI\GE 2 A 63

CIM,N)=l2*PY**2*1N**2)*CN**2+M**2)*(ARGOCI,Jl)**2 D1M,Nl=l6*PY**4*1N**4l*CN**2-M**2l E(M,Nl=(ARGOII,Jll**4-8*PY**2*(N**2+M**2)*(ARGOCI,Jll**2

1 +16*PY**4*1N**Z-M**Zl**2 F(M,Nl=AIM,N)*IBIM,Nl-CIM,Nl+DIM,N)llE(M,N) K=K+l M=J N=I JF(K-2) 12,14,14

14 IFIL-1115,15,17 15 JF{FII,Jl*FIJ,1)136,20,20 17 IFCFII,J)*FlJ,lll20,20,40 2 O H LA NO C I , J l =O. 5 O *S Q R T C l F C I , J ) *F ( J , l ) l II F N VT l ( I l * F NVT 2 ( J J l I

WRITEIS,25)!,J,FNVTl(I),FNVTZ(Jl,ARGO(I,Jl, l HLANOII,J),FII,Jl,FCJ,Il

25 FORMATCl,5X,'l=',Il,2X,'J=',I1,l,15X, 1 'FNVT11Il=',F9.4,4X,'FNVT2(Jl=',F9.4,4X, 2 l/,15X,'ARGO(I,J)=',F7.4,5X,'HLAND1I,J)=',F7.4, 3 11, 15X, • FC I,J )=' ,Fll.6,6X,' FC J, I l=' ,Fll.61

WRITEC5,30) 30 FORMAT(ll5X,'EPSLN',5X,'OMELCI,Jl',6X,'OMER(l,Jl'l

DO 35 MAG=l,4 NORD=MAG-1 EPSLN(MAGJ=O.l*NORD OMEL(I,J,MAG)=VERTII,Jl-EPSLN(MAGl*HLAND(I,Jl OMERCI,J,MAGl=VERTII,J)+EPSLNlMAGl*HLANDCI,Jl WRITEC5,33)EPSLNlMAGl,OMEL(I,J,MAG),OMER(I,J,MAGl

33 FORMAT(l5X,F4.2,2(3X,Fl2.4)) 35 CONTINUE 36 IF(I-2)40,37,37 37 IF(J-2)40,38,38 38 L=2

GOTO 7 40 CONTINUE 50 CALL EXIT

END

FEATURES SUPPORTED EXTENDED PRECISION roes

CORE REQUIREMENTS FOR COMMON O VARIABLES

END OF COMPILATION

li XEQ

2216 PROGRAM 1066

99

REGIOES DE INSTABILIDADE ELASTICA DA VIGA BI-ENGASTADA A FLEXAO - ENGASTADA A TORCAO

HL= 3.50000

I=l J=l

P=4000.

1=2 J=2

!=2 J=l

l=l J=2

FNVTl(Il= 231.2674

ARGO(I,Jl= 1.5772

F(I,Jl=-234.462029

EPSLN D.DO 0.10 0.20 0.30

OMEL( I,Jl 704.1382 704.1028 704.0673 704.0319

FNVTl!I)= 945.7415

ARGO(l,J)= 6.3782

F(I,J)=

EPSLN o.ao 0.10 0.20 0.30

0.027821

OMEL(l,Jl 2847.4201 2847.4201 2847.4201 2847.4201

FNVT11I)= 945.7415

ARGOII,Jl= 1.0592

F(l,J)= -0.409772

EPSLN O.DO 0.10 0.20 :) • 30

OM EU I, J l 472.8707 472.8706 472.8705 472.8704

FNVTl(ll= 231.2674

ARGOl!,'J)= 3.7417

F(I,J)= -10.792233

EPSLN O.DO 0.10 0.20 O. 30

OMEU!,Jl 1670.4110 1670.4106 1670.4101 1670.4097

FNVT2(Jl= 472.8707

HLAND(I,Jl= 0.3544

F(J,Il=-234.462029

OMER(l,Jl · 704.1382

704.1737 704.2091 704.2446

F~VT2(Jl=l90l.6785

HLANDII,Jl= 0.0000

F(J,Il=

OMER(I,J) 2847.4201 2847.4201 2847.4201 2847.4201

0.027821

FNVT2(J1= 472.8707

HLANDII,Jl= 0.0011

F(J,Il=

OMER(l,Jl 472.8707 472.8709 472.8710 472.8711

5.538384

FNVT2(J)=l901.6785

HLAND(I,Jl= 0.0044

F(J,Il=

OMER( I,Jl 1670.4110 1670.4115 1670.4119 1670.4124

3.248100

100

REG!OES DE INSTABILIDADE ELASTICA DA VIGA BI-ENGASTAOA A FLEXAO - LIVRE A TORCAO

HL= 3.50000 P=4000.

l=l J=l

1=2 J=2

1=2 J=l

[=1 J=2

FNVTl(IJ= 231.2674

ARGO!I,JJ= 1.5772

F(I,Jl=-115.238290

EPSLN o.oo 0.10 0.20 0.30

OMEL(I,Jl 704.1382 · 704.1208 704.1034 704.0860

FNVTl(l)= 945.7415

ARGO(I,Jl= 6.3782

F<I,Jl=

EPSLN o.oo 0.10 0.20 0.30

0.279407

OMEL<I,Jl 2847.4201 2847.4201 2847.4201 2847.4201

FNVTllll= 945.7415

ARGO(I,Jl= 1.0592

F(I,Jl= -0.682564

EPSLN o.ao 0.10 0.20 0.30

OMEL(I,J) 472.8707 472.8706 472.8704 472.8702

FNVTl( I J= 231.2674

.~RGO(I,JJ= 3.7417

F(I,JJ=

EPSLN o.oo 0.10 0.20 0.30

5.427035

DMEL(I,Jl 16 70. 411 O 1670.4109 1670.4107 1670.4105

FNVT2(JJ= 472.8707

HLANDCI,Jl= 0.1742

FCJ,Il=-115.238290

OMER( I,Jl 704.1382 704.1557 704.1731 704.1905

FNVT2CJJ=l901.6785

HLANDCI,J)= 0.0001

FIJ,I)=

DMER(I,Jl 2847.4201 2847.4201 2847.4201 2847.4201

0.279407

FNVT2(Jl= 472.8707

HLANO(l,Jl= 0.0019

F(J,Il=

DMERCI,Jl 472.8707 472.8709 472.8711 472.8713

9.739609

FNVT2(Jl=l901.6785

HLAND(l,Jl= 0.0016

F(J,Il= -0.874492

DMER(I,JJ 1670.4110 1670.4112 1670.4114 1670.4115

101

REGIOES OE INSTABILIDADE ELASTICA DA VIGA BI-RDTULADA A FLEXAO - E~GASTADA A TORCAO

HL= 3.50000 P=4000.

I=l J=l

1=2 J=2

I=2 J=l

I=l J=2

FNVTl( l )= 52.3309

ARGOll,Jl= 0.3762

Ftl,Jl=

EPSLN o.ao 0.10 0.20 0.30

0.056338

OM EU I, J l 167.9647 167.9646 167.9646 167.9645

FNVTl(ll= 231.2674

ARGO(l,Jl= 1.5772

Fll,Jl=-463.946814

EPSLN o.oo 0.10 0.20 0.30

OMEL(I,Jl 704.1382 704.0681 703.9979 703.9278

FNVTl(l)= 231.2674

ARGO(I,Jl= 0.2590

Fll,J)= -10.976553

EPSLN o.oo o. lo 0.20 0.30

OMEL(I,Jl 115.6337 115.6329 115.6320 115.6312

FNVTl(ll= 52.3309

ARGO(l,Jl= 0.9420

FlI,Jl=

EPSLN o.ao O. 1 O 0.20 0.30

0.881903

OMEL<I,Jl 420.5398 420.5386 420.5373 420.5361

FNVT2(Jl= 115.6337

HLAND(I,Jl= 0.0003

F(J,Il=

OMERI I,JJ 167.9647 167.9647 167.9647 167.9648

0.056338

FNVT21Jl= 472.8707

HLANDll,J)= 0.7014

FlJ,Il=-463.946814

OMER(l,Jl 704.1382 704.2084 704.2785 704.3487

FNVT21Jl= 115.6337

HLAND(I,Jl= 0.0083

FIJ,Il=

OMER(l,Jl 115.6337 115.6345 115.6354 115.6362

0.677144

FNVT2(Jl= 472.8707

HLAND<I,Jl= 0.0122

F(J,Il= -16.811032

OMERll,Jl 420.5398 420.5410 420.5422 420.5435

102

4.2, DETERMINAÇÃO DOS COMPRIMENTOS ,

CRIT ICOS DA VIGA

Conforme foi exposto na secçao 3.3., item g, tais - A comprimentos (CCV) sao aqueles para os quais ocorrem RIED am-

plas.

Para sua determinação, basta calcular as raízes 1c~

da equação algébrica (ver (3.2.5)):

t'\=1,'2, ... (4.2 .f )

onde W1,. + W2p corresponde a Frp, Fpr > O

1 w,r - W:i.f 1 corresponde a Frp . F l"' < O ' O programa que segue, consta, basicamente, da deter-

minação das raízes 1CR de (4.2,1) pelo método de Newton­

Raphson.

' Partindo de um valor dado 11

tem-se, por tal meto-,

do, apos K iterações,

'3 l L) - LK -

'j 1tl) (4.2.2)

onde 1K tende para o valor da raiz 1,'1. quando K tende a

infinito.

104

' Praticamente, no entanto, pode-se considerar

desde que

(4.2.!>)

ondé b é um parâmetro pequeno escolhido convenientemente,

No programa que segue temos, além dos parâmetros e

variáveis definidos no programa anterior, os abaixo relaciona

dos

lc.R HLGR

Lk HL

Lk+1 1~ L1

n MULT

(n -0,5)'it RE~01'1

:1tLC~) '(lt,J)

' ~ t LCR) PERY(!,J)

As demais variáveis tem seu significado esclarecido ,

no proprio programa.

O programa para determinação dos CCV que apresenta

mos está adaptado para o caso de vigas bi-engastadas à flexão

e engastadas à torção. Pesquisam-se os ' LCR• compreendidos

entre 1 e 10 metros, para 'n' de 1 a 4.

105

Por simples trocas de parâmetros podem ser obtidos . ,

valores para vigas com outras características construtivas.

Em qualquer caso, obtem-se várias iterações para um

mesmo LOI ' e um aspecto importante dêste programa é o con-

. -veniente ajustamento dos parametros de iteraçao,

PCRIT =

-PROGRAMA PARA OETEí-l.MINACAO 005 CCV

DIA~RAMA OE e,1...QC.O~

p

AK,BK,C:K,OK

PY, PY'2

LONG = 10,100 ·

@

Hl=0.1* LONG,

<O

6 L=t

7 J=1,'2.

@

l = '· 2 @

'

4 PCRIT

106

CCV\

o ?. •

8 VEi:1.T(I,J) = =F1'1'11"\(tl ~FNVT2(J)

O>

FNVT1(I) = FN V T2 (Jl =

10 M=I._

N=J K:O AR&0(I,J) =

12 A(M,N):

F"(M,N):

107

>0

g VERi(I,J) = = A6~(FNVT1 (I)-FNVT'2(3))

c.c.v '2.

16

2é FNVTI ( rl = FNVT2(J)=

VERT (I,J)=

b.RG.0 (I,J)=

RE50N =

ycr,J) =

>O

>a

O<

~o

ZS OEP.Y C I ,'J)= 1-1 L 1 =

29 HL: l-lL1

108

<O

CCN~

50 HL= HL1

i,J,MULT

VERT(I,J)

HLCR

40 MULT=l,4

®

41 l'N'I/T1(1)"

FNVT 2 (J) :,

109

<O

~o

(O

:38 L = 2

0

>O

ccv4

42 VERT (I,J) = =FNVT1 (I)- FNYT2(J)

MuI

"' = J FREQ1 = FNVT\Cll

FR EQ'2 = ;:-NV"i'2(J)

VK."' BK Wk=OK.

4S OERY < l,J):

HL.I =

o~

41 HLCR :HLI

I,.T, MlJL.T

VERT(.I,J) Í-ILCP, '

>O

44 ARG0(I,J),

R€.50N = Y(I,J) =

146 HL=HL1

cb

43 VERTtI, .. f) = ~ 1"NVT'2(J)-FNVT1 (I)

M =J N = .1

FREQ1 = FNVT2 (J)

FREQ2-= FNVT1 (I)

VK= DK WK= BK.

>O

SS CALL Elll 7

110

CCV 6 •

PAGE 1 A 63

// JOB T OOFF lDFF

LOG DRIVE 0000 0001

CART SPEC OOFF lOFF

CART AVAIL OOFF lOFF

V2 M05 ACTUAL 32K CONFIG 32K

// FORTRAN *LlST SOURCE PROGRAM *IOCS12501 READER,1403 PRINTERl *~XTENOED PRECISION

PHY DRIVE 0000 0001

A 63

C DETERMINACAO DOS COMPRIMENTOS CRITICOS DA VIGA C SI-ENGASTADA A FLEXAO - ENGASTADA A TORCAO

OIMENSION FNVT1(8l,FNVT2(8l,VERT(8,8),ARGOC8,8),A(8,8l, l B(B,8l,C(8,8l,D(8,8l,E(8,8J,F(8,8l,YC8,8l,OERYC8,8l

WRITE(5,ll

111

1 FORMAT(1Hl,////,10X,'COMPRIMENT0S CRITICOS PARA A VIGA', 1 //,1DX,'BI-ENGASTADA A FLEXAO - ENGASTADA A TORCAO•J

P=4000. AK=0.00064 BK=5460. . CK=0.25 DK=21840. PY=3.141592 PY2=2~'PY

DO 50 LONG=l0,100 HL=ü.l*LONG PCRIT=CBK/CKl*lPY2/HL)**2 IF(P-PCRIT)6,4,4

4 WRITE(5,5)PCRIT 5 FORMAT(//,lOX,'PCRIT=',Fl0.4)

GO TO 55 6 L=l 7 DO 50 J=l,2

DO 50 1=1,2. FNVTl(IJ=SQRTCBK*(PY2*l/HLl**4-CK*P*CPY2*I/HLl**2l FNVT2(J)=SQRT(DK*IPY2*J/HL)**4-CK*P*(PY2*J/Hll**2) IF(L-1)8,8,9

8 VERT(l,Jl=FNVTl< I)+FNVTZ(Jl GOTO 10

9 VERT( I.,JJ=ABSlHJVTl( 1)-FNVTZ(Jl l 10 M=I

N=J K=O ARGO(!,Jl=AK*VERT(l,Jl*HL

12 A(M,Nl=l./COS(ARGO( 1,J) )-1. B(M,NJ=lN**Zl*(ARGO(l,Jll**4 C(M,Nl=l2*PY**2*1N**2)*(N**2+M**2l*CARGO(l,Jll**2 D(M,N)=l6*PY**4*(N**4)0(N**2-M**2l

PAGE 2 A 63 112

E(M,N)=(ARGO(l,Jll**4-8*PY**Z*(N**2+M**2l*(ARGO(I,Jll**2 1 +16*PY**4*(N**Z-M**2l**2

F(M,Nl=A(M,Nl*(B(M,Nl-C(M,Nl+D(M,Nll/ECM,Nl K=K+l M=J N=I IF(K-2)12,l'ttl4

14 IF(L-lll5,15,39 15 IFIFCI,Jl*F(J,1))32,16,16 16 DO 32 MULT=l,4 26 FNVT1Cll=SQRT(BK*(PY2*1/HLl**4-CK*P*lPY2*1/HLl**2l

FNVT2CJ)=SQRTCDK*(PY2*J/HLl**4-CK*P*(PY2*J/HLl**2l VERTCI,Jl=FNVTl(I)+FNVT2CJl ARGOII,Jl=AK*VERT( 1,Jl*HL RES0N=(MULT-0.5l*PY Y(l,J)=ARGO(l,Jl-RESON I F { A BS ( Y U , J l J -O • l l 2 8, 2 8, 3 2

28 DERY( I ,J)=AK*(VERT( I,J )-1 lC2*BK*IPY2*l/HLl**4-CK*P*(PY2*1/HLl**2l/FNVTl(I)l-2 1(2*DK*(PY2*J/HLl**4-CK*P*(PY2*J/HLl**2l/FNVT2(J)l)

Hll=HL-Y(I,Jl/DERY(l,J) IF(ABS(HL-Hlll-0.0005)30,30,29

29 HL=Hll GOTO 26

30 HLCR=Hll WRITE(5,3lll,J,MULT,VERT( I,Jl,HLCR

31 FORMAT ( / /, 5X,' !=', I 1,4X, 'J=', I 1,4X, 'MUL T=', I1,4X, l 'VERT( I,Jl=' ,F9.4,4X, 'HLCR=',F7.5)

32 CONTINUE IFCl-2)50,37,37

37 IF(J-2)50,38,38 38 L=2

GOTO 7 39 IF(Fll,Jl*F(J,Ill40,40,50 40 DO 50 MULT=l,4 41 FNVTllll=SQRT(BK*IPY2*!/Hll**4-CK*P*(PY2*I/HLl**2l

FNVT2(Jl=SQRT(DK*CPY2*J/Hll**4-CK*P*IPY2*J/Hll**2l IF(FNVT21Jl-FNVT111)142,42,43

42 VERT( I ,Jl=FNVTl( 1 )-FNVT2( Jl M=I N=J FREQl=FNVTl C l l FREQZ=FNVT2(J) VK=BK WK=OK GOTO 44

43 VERT(l,Jl=FNVT2(Jl-FNVT1(1) M=J N=I FREQl=FNVT2(JJ FREQ2=FNVTl(ll VK=DK WK=BK

PAGE 3 A 63

44 ARGO(I,J)=AK*VERT(l,Jl*HL RESON=(MULT-D.Sl*PY Y C I, J) =ARGO ( I, J )-RESON IF(ABSCY( I,Jl l-0.05)45,45,50

45 OERY(l,Jl=AK*(VERT(I,J)-1 (C2*VK*CPYZ*M/Hll**4-CK*P*(PY2*M/Hll**2l/FREQ11-2 (C2*WK*(PY2*N/Hll**4-CK*P*CPY2*N/Hll**2)/FREQ2)1

Hll=HL-YC I,Jl/OERY( l,Jl IFCABSCHL-Hll)-0.0005)47,47,46

46 HL=Hll GOTO 41

47 HLCR=Hll WRITEC5,4BlI,J,MULT,VERT(J,Jl,HLCR

48 FORMATC// 1 5X,'I='1 ,I1,4X,'J=',Il,.4X,'MULT=',1l,4X, l 'VERT( I,Jl=' ,F9.4,4X, 1 HLCR=• ,F7.5)

50 CONTINUE 55 CALL EXIT

ENO

FEATURES SUPPORTEO EXTENDED PRECISION 1 JCS

CORE REQUIREMENTS FOR CDMMON O VARIABLES

END OF COMPILATION

// XEQ

2068 PRDGRAM 1634

113

I= 1

I=2

1=2

I=l

I=l

l=l

I = 1

I=l

1=2

1=2

I=l

I=l

I=l

I=l

l=l

I=l

COMPRIMENTOS CR!TICOS PARA A VIGA

BI-ENGASTADA A FLEXAO - E~GASTADA A TORCAO

J=l MULT=2 VERT1I,J)=6206.7807

J=l MU L T= l VERTI I,J)=l037.6456

J=l MULT=l VERT1I,Jl=l034.0824

J=2 MULT=2 VERTI I,J )=2650.8184

J=l MULT=l VERTII,Jl= 698.4540

J=l MULT=l VERTII,J)= 698.4747

J=l MULT=l VERTll,Jl= 698.4530

J=l MULT=l VERTCI,J)= 698.4631

J=2 MULT=2 VERT( I,J )=1558.9724

J=2 MULT=2 VERT(J,J)=1558.8968

J=2 MULT=l VERTII,Jl= 290.9505

J=2 MULT=l VERTII,J)= 290.9301

J=2 MULT=l VERT(I,J)= 290.9531

J=2 MULT=l VERTII,J)= 290.8738

J=2 MULT=l VERTII,J)= 290.8758

J=2 MULT=l VERTII,Jl= 290.8598

114

HLCR=l.18660

HLCR=2.36773

HLCR=2.37098

HLCR=2.77702

HLCR=3.51400

HLCR=3.51400

HLCR=3.51400

HLCR=3.514DO

HLCR=4.72328

HLCR=4.72328

HLCR=8.43678

HLCR=8.43689

HLCR=8.43676

HLCR=8.43720

HLCR=B.43719

HLCR:8.43726

REGIOES OE INSTABILIDADE ELASTJCA DA VIGA BI-ENGASfADA A FLEXAO - ENGASTADA A TORCAO

HL= 3.51400 P=4000.

E3 FNVTl(II= 229.3729 FNVT2(J)= 469.0833

ARGO(l,JI= 1.5708 HLAND(I,JI= 584.9687

115

F(I,JI= -383759.164428 F(J,Il= -383759.164428

1=2 J=2

1=2 J=l

I=l J=2

EPSLN o.ao 0.10 0.20 0.30

OMELCI,JJ 698.4562 639.9594

.581.4625 522.9656 ,, •

FNVTl(I)= 938.1666

ARGO(l,Jl= 6.3526

F(l,JI=

EPSLN o.:io 0.10 0.20 0.30

0.014825

OMELC I,JJ 282 1+. 6956 2824.6956 2824.6956 2824.6956

FNVTl(II= 938.1666

ARGO(I,Jl= 1.0549

FII,JJ=

EPSLN o.oo 0.10 0.20 0.30

-0.403195

OMEL(I,Jl 469.0833 469.0831 469.0830 469.0829

FNVTl(II= 229.3729

ARGOII,Jl= 3.7268

FII,JJ=

EPSLN o.oo 0.10 0.20 0.30

-10.746450

OMEL(l,Jl 1657.1560 1657.1555 1657.1551 1657.1546

OMERII,Jl 698.4562 756.9531 815.4500 873.9469

<

FNVT2(JJ=l886.5289

HLAND(J,.JI=

F{ J,I l=

OMERII,JJ 2824.6956 2824.6956 2824.6956 2824.6956

0.0000

FNVT2(JJ= 469.0833

HLANDlI,J )=

FIJ,Il=

OMERII,Jl 469.0833 469.0834 469.0835 469.0836

0.0011

FNVT2(Jl=l886.5289

HLAND(I,Jl=

F(J,Il=

OMER(I,JI 1657.1560 1657.1564 1657.1568 1657.1573

0.0044

0.014825

5.456563

3.199608

REGIOES DE INSTABILIDADE .SI-ENGASTADA A FLEXAD -

HL= 8.43750 P=4000.

!= l J=l FNVTl(Il= 33.5333

ARGO(!,J)= 0.6049

F(I,J)= 0.323898

EPSLN DMELII,Jl o.oo 112.0288 0.10 112.0285 0.20 112.0282 0.30 112.0279

!=2 J=2 FNVTlCI)= 156.9911

ARGOCI,Jl= 2.5995

FC!,J)= -13.050869

EPSLN OMEL(I,J) o.oo 481.3972 0.10 481.3943 0.20 481.3914 0.30 481.3885

1=2 J=l FNVTll 11= 156.9911

ARGO(l,Jl= 0.4238

FO,Jl=

EPSLN O.DO 0.10 0.20 0.30

~ ~ FNVTl(ll=

-0.033267

OMEL(I,Jl 78.4955 78.4954 78.4954 78.4953

33.5333

ELASTICA DA VIGA ENGASTADA A TO~CAO

FNVT2(Jl= 78.4955

HLAND(I,J)= 0.0031

F(J,I)= 0.323898

DMER(I,J) 112.0288 112.0292 112. 0295 112.0298

FNVT2(J)= 324.4060

HLANDC I,Jl= 0.0289

F(J,I)= -13.050869

OMER( l ,J) 481.3972 481.4000 481.4029 481.4058

FNVT2CJ)= 78.4955

HLANDCI,Jl= 0.0005

FCJ,Il=

DMERC 1,Jl 78.4955 78.4956 78.4956 78 .• 4957

o. 51 7488

FNVT2CJ)= 324.4060

ARGO(l,Jl= 1.5707 HLAND(I,Jl=90.4754

FCI,Jl= 63312.530258 F(J,ll= -5625.975717

EPSLN O.DO 0.10 0.20 0.30

OMELl I, J l 290.8727 281.8252 272.7776 263.7301

OMERCI,JJ 290.8727 299.9203 308.9678 318.0154

<=

116

I=l

l=l

!=2

REGIOES DE INSTABILIDADE ELASTICA DA VIGA SI-ENGASTADA A FLEXAO - ENGASTADA A TORCAO

HL= 2.37100 P=4000.

J=l FNVTl{ll= 512.0995 FNVT2{Jl=l034.4328

ARGU{ I ,J J= 2.3467 HLAND{I,Jl= 0.0025

F{I,Jl= -3.685462 F{J,Il= -3.685462

EPSL \J OMEL { I, J l OMER{I,J) O.O') 1546.5324 1546.5324 0.10 1546.5321 1546.53.26 O. 2 O 1546.5318 1546.5329 O. 3 O 1546.5316 1546.5331

J=2 FNVTl{ ! l= 512.0995 FNVT2(Jl=4147.9022

ARGO(I,Jl= 7.0712 HL AN D { I , J l = 0.0014

F{l,J)= 4.375373 FCJ,I l= 4.135347

EPSLN CJMELCI,JI OMERII,Jl

º·ºº 4660.0017 4660.0017 0.10 4660.0016 4660.0019 0.20 4660.0014 4660.0020 0.30 4660.0013 4660.0022

J=2 FNVT1Cll=2D68.8657 FNVT2(J)=4147.9022

ARGOCI,Jl= 9.4335 HLANOII,JJ= 0.0021

F(I,Jl= -12.656213 F{J,Il= -12.656213

EPSLN DMELCI,Jl OMER(I,JJ

º·ºº 6216.768D 6216.7680 0.10 6216.7678 6216.7682 0.20 6216.7676 6216.7684 0.30 6216.7673 6216.7686

~ FNVT 1 { l l =2068. 8657 FNVT2(J)=l034.4328

ARGO{ I,Jl= 1.5696 HLA'IIDI I, J l = 0.4858

F(l,Jl=-423.626692 F{J,!)=4769.318395

EPSLN O"IELII,Jl OMER{ I,Jl

º·ºº 1034.4328 1034.4328 0.10 1034.3843 1034.4814 <= 0.20 1034.3357 1034.5300 0.30 1034.2871 1034.5786

117

118

L I S T A D E SÍMBOLOS

c -- velocidade de propagaçao das ondas torcionais A

- parametro relativo ao momento axial constante de excita

-çao ,

E modulo de elasticidade longitud. do material da viga

F0p - parâmetro relativo ao momento axial harmônico de excita

-çao ,

- modulo de elasticidade transvers. do material da viga ,

- momento de inercia polar da secção transversal da viga

- momento de inércia principal da superfície transversal

da viga em relação ao eixo dos y , ,

- momento de inercia principal da superficie transversal

da viga em relação ao eixo dos z , ,

- momento de inercia massico em relação ao eixo dos x (b~

ricêntrico) por unidade de comprimento da viga

k - coeficiente dependente da forma da secção transversal

da viga ,

K - energia cinetica

L - comprimento da viga

LCR comprimento crítico à ressonância paramétrica da viga

M - momento interno da viga

Mx• momento torçor da viga

M~· - momento fletor da viga no plano de XOY

M z · - momento fletor da viga no plano XOZ

m - massa por unidade de comprimento da viga

P - fôrça axial de excitação (constante)

P ., - carga crítica à flambagem da viga cn~.

~ } - ordem dos modos das vibrações flexionais da viga

119

q(t)- coordenadas generalizadas das vibrações flexionais da

viga

T(t)- momento axial periÓdico de excitação

T0 - momento axial constante de excitação

T1 - amplitude do momento axial harmônico de excitação - , u(t)- funçao degrau unitario

V - energia potencial elástica

W - trabalho não conservativo

x,y}- coordenadas espaciais da linha neutra da viga z,w

~ - parâmetro relativo ao momento axial constante de excita

-çao

Ó - variação de uma determinada variável

õ(Xl - função delta de Dirac

e - parâmetro pequeno relativo à excitação momento axial A

harmonico

ri_ct.) - coordenadas generalizadas das vibrações torcionais da

viga

- coordenada do deslocamento torcional da viga

' -- autovalor associado as vibraçoes torcionais da viga

120

e ,

- massa·especifica do material da viga

n frequência do momento axial harmônico de excitação

' - idem acima, parametricamente ressonantes

w,r - frequências naturais das vibrações transversais da viga

no plano xoy;

w,p - idem acima, no plano XOZ.

121

B I B L I O G R A F I A

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