NN ÚÚ MM EE RR OO SS - Sinewtoncuando se usa software específico, nos basamos en una teoría...

Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

NN ÚÚ MM EE RR OO SS Revista de Didáctica de las Matemáticas

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Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas

http://www.sinewton.org/numeros

ISSN: 1887-1984

Volumen 102, noviembre de 2019, página 2

NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas, se ocupa de la enseñanza y el aprendizaje desde infantil

hasta la universidad, aunque atiende preferentemente la educación primaria y secundaria. Publica trabajos de

interés para el profesorado de esos niveles, tales como experiencias de aula, reflexiones sobre la enseñanza,

aplicaciones de la investigación…

NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas aparece en las bases de datos bibliográficas Latindex,

Dialnet y DICE, y es recensionada en Mathematics Education Database.

Director

Israel García Alonso

Comité editorial

Hugo Afonso, Alicia Bruno, Miguel Domínguez, Yanira Duque, Josefa Perdomo Díaz, Melquíades Pérez

Pérez.

Consejo asesor

José Luis Aguiar, Luis Balbuena, Carmen Batanero, Teresa Braicovich, Alicia Bruno, Juan Manuel

Contreras, Juan Díaz, Antonio Martinón, Jacinto Quevedo, Victoria Sánchez, Arnulfo Santo, José Carrillo,

Luis Rico y Xavier Vilella.

Portada.

Autor: Ricardo Basco Vidales. Título: “Radios y Sectores Vegetales”

(Concurso Fotografía y Matemáticas 2018)

Edita

Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

Apartado 329.

38200 La Laguna (Tenerife). España

Email: [email protected]

Web: http://www.sinewton.org

Junta Directiva de la Sociedad Canaria "Isaac Newton" de Profesores de Matemáticas

Juan Agustín Noda Gómez (Presidente), Ana Rosa Díaz Rodríguez (Vicepresidenta), Jonay Hernández

Arteaga (Secretario), Sandra Díaz Bethencourt (Vicesecretaria), Sergio Alexánder Hernández Hernández

(Tesorero), María Nila Pérez Francisco (Secretaria de Actas), Rosario Cano Pérez (Bibliotecaria).

Coordinadores insulares: Purificación Jurado Antúnez (El Hierro), Carmen Delia Clemente Rodríguez

(Fuerteventura), Arístides Ramírez Martel (Gran Canaria), Raquel Méndez Bolaños (La Gomera), Carmen

Sonia Fernández Valdivia (Lanzarote), José Felipe Díaz Barrios (La Palma), Carmen Mª Tavío Alemán

(Tenerife).

NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas, es una publicación de la Sociedad Canaria Isaac

Newton de Profesores de Matemáticas. Se editan tres números ordinarios al año, los meses de marzo, julio y

noviembre.


http://www.sinewton.org/

mailto:[email protected]


ISSN: 1887-1984

Volumen 102, noviembre de 2019, páginas 3-4



Índice

Editorial 5

Artículos

Test sobre imágenes mentales y conceptuales con uso de software sobre

asíntotas de funciones 7

R. Scorzo, A. Favieri

La caricatura y los memes como herramienta de divulgación matemática. Una

experiencia en el aula. 29

P. Balda Alvarez

¿Hay diferencias en competencia matemática entre alumnos de un mismo

curso? Un estudio con futuros maestros. 43

R. N. Nortes Martínez-Artero, A. Nortes Checa

Estrategias de cálculo mental empleadas por una alumna de segundo grado de

primaria: El caso de Luisa. 67

T. Rodríguez Quintero, J. A. Juárez López

Secciones

Experiencias de aula

El trabajo cooperativo en Matemáticas 83

I. García Esteban

Mundo Geogebra

Explorando relaciones geométricas en GeoGebra 97

C. Ueno Jacue

Problemas

Hablemos de Paenza 107

J. A. Rupérez Padrón, M. García Déniz (Club Matemático)

Índice (continuación)

4 NNÚÚMMEERROOSS Vol. 102 noviembre de 2019

5

Juegos

Juegos de alineamiento: variantes del tres en raya 123

J. A. Rupérez Padrón, M. García Déniz (Club Matemático)

Propuestas para el aula

Actividades estadísticas para 4.º de la ESO utilizando datos reales 139

N. Muñoz Capitán, P. Vicente Montserrat, G. Mateu García, F. J. Prado Bayarri

Aproximación didáctica a las matemáticas a través de la programación en R

161

J. Calahorra Tovar, T. Aguilar Ávila, S. Diciembre Sanahuja, D. Sanchiz

Rubert

Leer Matemáticas

Las matemáticas de la luz. M. de León y A. A. Timón 185

Reseña: J.F. Balsa González, M.E. Segade Pampín

M. C. Escher Calidociclos. D. Schattschneider, W. Walker 189

Reseña: M. Sagasti Escalona

Etnomatemáticas. Entre las tradiciones y la modernidad. U. D’Ambrosio 191

Reseña: L. López Martín

Informaciones 193

Normas para los autores 195




ISSN: 1887-1984


E D

I T O

R I A

L

Israel García, Director de Números

Han pasado 50 años desde que en el curso 1969-1970 dieron comienzo en la Universidad de La

Laguna los estudios de Matemáticas. Estudios que, de forma ininterrumpida, han preparado a la

mayoría de los profesores y profesoras que actualmente se encuentran en las aulas de nuestra

geografía. Para conmemorar dicho evento, la sección de Matemáticas, de la Facultad de Ciencias de la

Universidad de La Laguna ha organizado un calendario de actividades en torno a las matemáticas a lo

largo del curso 2019-2020. A lo largo de estos cincuenta años han pasado por los estudios de

Matemáticas en estos años cerca de 3000 estudiantes, de los que han obtenido el título de licenciado o

graduado 1245 alumnos. Muchos de ellos son lo que, actualmente, desarrollan su labor profesional con

esta formación.

Como inicio de esta conmemoración, se desarrolló un ciclo de conferencias en el mes de

octubre. Nos gustaría traer aquí parte de la conferencia impartida por la Dra. Michèle Artigue,

profesora emérita de la Universidad Paris Diderot e investigadora de prestigio internacional en

Educación Matemática. En su conferencia hizo un recorrido por las investigaciones que se han ido

sucediendo en Educación Matemática en los últimos años y se detuvo en un aspecto que preocupa a

muchos investigadores y docentes: la transición de las matemáticas del Bachillerato a las matemáticas

de la Universidad. Siempre se ha visto esta transición difícil para los estudiantes. Pero los estudios que

se realizan actualmente sobre esta transición se están desarrollando con un enfoque diferente. Así, la

Dra. Artigue indica que en las últimas investigaciones se considera el paso del Bachillerato a la

Universidad como una transición entre instituciones o culturas, y que será necesariamente

problemática debido principalmente a dos aspectos:

- Cambios en las prácticas matemáticas y en las normas institucionales o culturales

asociadas a dichas prácticas.

- Y al carácter implícito de muchas de estas normas y su modo de transmisión.

Las investigaciones, según la investigadora, están mostrando que en esta fase se producen

muchas micro-rupturas que pueden ser las causantes de las dificultades que se observa, y aportaba

como ejemplos:

- Aceleración de la velocidad de introducción de nuevos objetos matemáticos

- Creciente diversidad de tareas

- Requiere de mayor autonomía en los procesos de resolución

- Nuevos equilibrios entre lo particular y lo general, entre las dimensiones de las

herramientas y objeto de los conceptos matemáticos

Todas estas micro-rupturas van generando un vacío didáctico que los estudiantes deben llenar

por sí mismos y que no siempre lo hacen de forma satisfactoria. Y termina su conferencia haciendo un

llamamiento a la investigación acerca de esta transición como fuente de estudio para la mejora de la

enseñanza tanto en el Bachillerato como en los primeros cursos en la Universidad.


Editorial

6 NÚMEROS Vol. 102 noviembre de 2019

E

D

I

T

O

R I

A

L

Le deseamos a los estudios de Matemáticas de la Universidad de La Laguna un feliz 50

aniversario y que sigan siendo referente en formación, investigación e innovación en Canarias para

todos los que nos dedicamos a una profesión que se relacione de alguna manera con la matemática.

En este número de Números.

Comienza este volumen con un trabajo acerca de las imágenes mentales y conceptuales que los

estudiantes generan con el trabajo que se realiza en un curso de matemáticas de la universidad usando

el software mathematica. Continuamos con un trabajo en el que se utilizan los memes y caricaturas en

el aula de matemáticas y cómo nos permite desarrollar un trabajo en clase que sea lúdico y a la vez

formativo. El tercer trabajo que ofrecemos en este volumen realiza un estudio comparativo entre

diferentes grupos de estudiantes para maestro de Educación Primaria ante un cuestionario de 30

preguntas de problemas matemáticos de 6º de primaria. Y cierra esta sección un trabajo en el que se

analizan las estrategias de cálculo mental que ofrece una estudiante de segundo grado de Primaria.

Contaremos con las secciones habituales de la revista: Experiencias de aula, Mundo Geogebra,

Juegos, Problemas y Leer Mates.

Esperamos disfruten este nuevo volumen.




ISSN: 1887-1984


Test sobre imágenes mentales y conceptuales con uso de software

sobre asíntotas de funciones

Roxana Scorzo

Adriana Favieri

(Universidad Nacional de La Matanza. Argentina)

Fecha de recepción: 7 de noviembre de 2019

Fecha de aceptación: 22 de mayo de 2019

Resumen En el presente artículo presentamos un Test, que aplicamos entre estudiantes de primer

año, para determinar las imágenes mentales y conceptuales sobre rectas asíntotas de

funciones cuando se trabaja con el software “Mathematica”. Explicaremos cómo lo

implementamos en un curso de Análisis Matemático I de carreras de ingeniería de la

Universidad Nacional de La Matanza. Este test fue elaborado y se utilizó como insumo

para una Tesis de Maestría sobre Enseñanza de las Ciencias Exactas. Explicitamos

también la experiencia previa que inspiró esta actividad y los resultados que se

obtuvieron en ella que impulsaron en parte el diseño del test que presentamos.

Palabras clave Asíntotas-Test-Software Mathematica-Imágenes mentales y conceptuales

Title Test about mental and conceptual images with the use of software about asymptotes

of functions

Abstract In the current article we present a Test applied to first-year students, which objective is to

determine the mental and conceptual images about straight asymptotes of functions when

working with Mathematica software. We will explain how we implemented it in the

Mathematical Analysis I course in the engineering careers of the Universidad Nacional

de La Matanza (UNLaM). This test was developed and used as an input for a Master's

Thesis about Teaching of Exact Sciences. We also explain the previous experience that

inspired this activity and the results obtained in it, which in part boosted the design of the

test that we presented.

Keywords Asymptotes-Test-Mathematica Software-Mental and conceptual images

1. Introducción

En el presente artículo presentamos un Test para determinar las imágenes mentales y

conceptuales sobre rectas asíntotas de funciones cuando se trabaja con el software “Mathematica”.

Haremos referencia a las líneas teóricas en las cuales nos apoyamos para comprender y explicitar

dicho concepto a partir de la aplicación del Test. Explicitaremos también la forma de implementación

del mismo. La aplicación del Test tiene por objetivo recabar información para un trabajo de

investigación vinculado con el trabajo final de tesis de quien suscribe, para obtener título de Magister

en Enseñanza de las Ciencias Exactas.


Test sobre imágenes mentales y conceptuales con uso de software sobre asíntotas de funciones R. Scorzo


Para fundamentar la comprensión y explicitación del concepto de rectas asíntotas a una función,

cuando se usa software específico, nos basamos en una teoría cognitivista que versa sobre imágenes

conceptuales, cuyos referentes principales son Tall y Vinner, para lo cual hemos realizado una

exhaustiva indagación bibliográfica. El mismo fue aplicado a la totalidad de un curso de primer año de

carreras de Ingeniería de la cátedra Análisis Matemático I de la Universidad Nacional de La Matanza.

Vinner (1983) define imagen mental relacionada con un concepto matemático como el conjunto

de todas las imágenes que están asociadas al mismo y que puede incluir cualquier representación

visual del concepto, incluso símbolos, gráficos o palabras. El diseño de la primera parte del test fue

inspirado en un trabajo del autor que versa sobre funciones y en el cual, a partir de una pregunta

abierta, categoriza las imágenes mentales que los estudiantes tienen del concepto antes de definirlo

formalmente.

Con respecto a las imágenes conceptuales, Vinner (1983) las define como el conjunto de

propiedades asociadas con el concepto junto con la imagen mental. Tall y Vinner (1981) desarrollaron

el concepto de imagen conceptual o imagen del concepto, contrastándolo con la definición de los

conceptos. La imagen del concepto se define como la estructura cognitiva que se asocia con el

concepto, que incluye todas las imágenes mentales, las propiedades y procesos asociados. Cambia a

medida que el individuo experimenta nuevos estímulos, y las imágenes mentales desarrolladas pueden

producir conflictos futuros.

Por otra parte, se verá en el Test que los ejercicios se presentan en diferentes registros de

representación ya que como lo expresa Duval (1993) los pasajes de un registro a otro enriquecen las

imágenes conceptuales que un sujeto tiene sobre un determinado concepto.

Como planteamos anteriormente este Test se aplicó en un curso de la materia Análisis

Matemático I, a cargo de quien suscribe este artículo. La asignatura se cursa en forma cuatrimestral,

con dos parciales y un trabajo práctico obligatorio para acreditar la materia, que los estudiantes

realizan usando el software “Mathematica”. El contenido de este trabajo práctico abarca los siguientes

temas: funciones, límites, asíntotas y continuidad. Es decir, los estudiantes conocen la herramienta

informática, cuentan con tutoriales de libre acceso, realizados por los docentes de la cátedra, donde se

explicitan los principales comandos del software.

La experiencia se llevó a cabo tres semanas después de haber comenzado el dictado de la

materia, y no habiéndose enseñado el tema de rectas asíntotas a gráficos de funciones en los

laboratorios de la Universidad. Los alumnos trabajaron en forma grupal y fueron observados y

orientados por tres docentes.

El Test se dividió en dos partes que denominamos Actividad 1 y 2 respectivamente. La primera

actividad se resolvió antes de la enseñanza del concepto de asíntotas siendo el objetivo de la misma

obtener imágenes mentales acerca del tema y la segunda, luego de explicarlo, para describir las

imágenes conceptuales vinculadas al uso de la herramienta informática. Ambas instancias se

desarrollaron en las computadoras del laboratorio donde está instalado el software “Mathematica®”.

que utilizaron para realizarlas. Ambas actividades se llevaron a cabo en forma grupal, participaron de

la experiencia 57 alumnos divididos en 20 grupos.

La Actividad 1 fue igual para todos los grupos, en cambio la segunda se presentó en cuatro

grupos denominados A, B, C y D en cada uno de ellos había cuatro ejercicios en diferentes registros de

representación: algebraico, gráfico, verbal y combinando los dos primeros. Esto se decidió dada la

gran cantidad de alumnos y además porque no hubieran podido analizar las dieciséis funciones


9 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 102 noviembre de 2019

seleccionadas, fundamentadas a la luz de nuestro marco teórico y en virtud de experiencias previas

llevadas a cabo con actividades vinculadas con asíntotas y uso de software.

2. Experiencia previa

Un trabajo previo al diseño del instrumento que presentamos en este artículo fue una actividad

sobre funciones racionales realizada con elsoftware matemático “Mathematica®”. Dicha actividad

formó parte de un trabajo práctico del denominado taller de informática de la cátedra Análisis

Matemático I, del Departamento de Ingeniería e Investigaciones Tecnológicas de la Universidad

Nacional de la Matanza. En la misma indagamoslas ideas que tienen los alumnos sobre las raíces de

funciones racionales y las intersecciones de la asíntota oblicua y la función, como así también el

desempeño de los mismos al resolver la actividad con el software mencionado. Nos planteamos como

objetivos de dicha actividad:

Conocer la postura de los alumnos de Análisis Matemático I, ante una proposición falsa con

respecto a las raíces de una función racional.

Analizar el desempeño de los alumnos de Análisis Matemático I, al calcular dominio y raíces

de una función racional usando software “Mathematica®”.

Establecer la incidencia que tiene la resolución anterior realizada con el software en la

revisión de la postura dada por el alumno ante la proposición falsa con respecto a las raíces

de una función racional.

Identificar la opinión de los alumnos de Análisis Matemático I, con respecto a una

proposición falsa con respecto a la intersección de asíntotas oblicuas a funciones racionales y

la propiafunción.

Describir las resoluciones hechas por los alumnos de Análisis Matemático I al calcular las

asíntotas verticales y oblicuas de una función racional y la intersección con dicha función

usando software “Mathematica®”

Examinar la incidencia que tiene la resolución anterior realizada con el software en la

revisión de la postura dada por el alumno ante la proposición falsa con respecto a la

intersección de asíntotas oblicuas a funciones racionales y la función.

2.1 Actividad propuesta

Describimos a continuación el enunciado de la actividad, para cumplir con los objetivos antes

enumerados, que los alumnos resolvieron utilizando el software Mathematica®.

Responder V ó F. Justificando tus respuestas.

1. Las raíces de una función racional son siempre los valores que anulan el numerador.

2. La intersección entre una asíntota oblicua y la función siempre es vacía.

Resuelve el siguiente ejercicio:

Dada la función: 6

7

43

2)(

xx

xxxf

Determinar:

a. Dominio. Raíces.

b. Vuelve a analizar lo respondido en el ítem 1 y explicar si mantienes o no tu respuesta.

c. Ecuaciones de las asíntotas



d. Determinar si existe punto de intersección entre la asíntota oblicua y la función en forma

analítica usando el software.

e. Vuelve a analizar lo respondido en el ítem 2 y determinar si sostienes o no tu respuesta dada

previamente.

2.2 Algunos resultados de la experiencia

Analizamos 209 trabajos, de los cuáles a modo de ejemplo, mostramos una producción y

algunas conclusiones que pudimos obtener a partir de dicha experiencia. Nos parece importante

describir esta experiencia ya que fue el antecedente que nos inspiró para profundizar el tema y diseñar

el instrumento que haremos explícito en el presente artículo.

2.2.1.Ejemplo de producciones

Se muestra una imagen de una de las producciones de los estudiantes, aclaramos que éstos

intercambiaron la numeración de los ejercicios el 1 corresponde al 2 y viceversa.

Figura 1. Imagen de una producción




2.2.2 Conclusiones de esta experiencia

La idea que las raíces de una función racional son iguales a las raíces del polinomio del

numerador persistió en un 20% de los alumnos a pesar de toda la actividad propuesta.

El software por más poderoso que sea no suple la falta de conocimiento matemático puesto

de manifiesto a la hora de plantear el sistema de ecuaciones para determinar la intersección

de la asíntota oblicua con la función.

El software propició mejorar las respuestas de los estudiantes, con respecto a la intersección

de la asíntota oblicua y la función racional propuesta en el ejercicio.

Contradicciones en la rectificación o ratificación de los valores de verdad que le asignaron a

las dos primeras proposiciones dadas.

Dificultad para justificar respuestas, si bien plantearon contraejemplos las explicaciones

brindadas fueron incompletas a pesar de contar con la herramienta informática que facilita el

cálculo algebraico.

Esto nos motivó a seguir profundizando el tema asíntotas de funciones y uso de software

matemático a la luz de un Enfoque Cognitivista que explicitaremos en el marco teórico. Por otra parte,

nos vimos en la necesidad de diseñar un test propio ya que de acuerdo a la indagación bibliográfica no

hemos encontrado un modelo que verse sobre el tema en cuestión, con el uso de la herramienta

informática elegida y a la luz de nuestro enfoque teórico que se apoya en tres pilares: imágenes

mentales y conceptuales, registros de representación y uso de tecnología en los procesos de

aprendizaje.

Este Test, será insumo de un trabajo de investigación para una tesis de Maestría de quien

suscribe, motivo por el cual consideramos pertinente la elección de este marco teórico y poder aportar

nuevas consideraciones acerca de imágenes conceptuales sobre asíntotas de funciones cuando se usa

software específico, en nuestro caso “Mathematica” y cuando los ejercicios se presentan en diferentes

registros de representación.

3. Marco teórico

3.1.Imágenes mentales y conceptuales

Tall y Vinner (1981) sostienen que la matemática, a diferencia de otras disciplinas, la definición

de sus conceptos requiere de una gran precisión ya que toda la teoría se desarrolla a partir de estos.

Muchos conceptos matemáticos tienen denominaciones similares a las ya conocidas por el alumno en

su vida cotidiana antes de ser definidos formalmente en la disciplina, estas ideas previas a la

enseñanza formal de un concepto las denominan imágenes mentales. Dado que la estructura cognitiva

de cada individuo es compleja, es posible que se generen diferentes imágenes mentales al evocar un

concepto que se pretende aprender, definir o indagar. Estos autores acuñaron el término imagen

conceptual para describir la estructura cognitiva que se asocia con un concepto matemático, que

incluye todas las imágenes mentales, propiedades, concepciones espontáneas y procesos asociados en

la elaboración del mismo. Esta imagen conceptual se construye a lo largo de los años, a través de

experiencias de todo tipo, y la misma se va modificando a medida que la persona recibe nuevos

estímulos y afina el concepto. Diferencian las imágenes conceptuales de las definiciones conceptuales,

cuando hacen referencia a éstas últimas expresan que se trata de un conjunto de términos o palabras

que son usadas para especificar cierto concepto que puede ser aprendido de memoria o en forma

significativa por parte de la persona. Los autores también señalan que en las imágenes conceptuales

hay un claro predominio de la representación visual de un concepto sobre la verbal, ya que sostienen

que en la mente de un individuo primero aparece la imagen o representación del objeto y luego lo

verbalización.



Otros conceptos que usan los autores es el de imágenes evocadas, estas son las que aparecen

más visibles en la mente del sujeto cuando piensa en un determinado concepto. Pueden ser

contradictorias o erróneas y esto es lo que genera lo que Tall y Vinner (1981) llaman conflicto. Así,

señalan que ciertas imágenes mentales que un sujeto tiene acerca de un concepto, elaborada en su

primera infancia, se transforman en obstáculos a la hora de definir un concepto de manera formal.

Tall (1995) distingue dos clases de pensamiento matemático: el Pensamiento Matemático

Elemental (PME) y el Pensamiento Matemático Avanzado (PMA). El primero se refiere al

pensamiento matemático vinculado con la escuela primaria y secundaria, que incluye aritmética,

álgebra y geometría. El segundo se refiere a la definición de los conceptos de manera más formal,

incluyendo deducciones lógicas, propias del nivel universitario. Afirma que el paso del PME al PMA

requiere una reconstrucción cognitiva que supone una transición que consiste por un lado describir un

objeto matemático y por otro definirlo.

3.2 Registros de representación

Desde las teorías cognitivistas las representaciones son consideradas como cualquier signo,

conjunto de símbolos del mundo exterior o bien del interior, que tienen algún significado para un

sujeto. Cualquier elemento que percibamos a través de cualquiera de nuestros sentidos, la mente lo

transforma en una representación. Mapas, diagramas, dibujos, palabras, símbolos son considerados

representaciones externas que el sujeto produce en forma intencional para cumplir un determinado

propósito. A estas representaciones externas se las denomina representaciones semióticas. En cambio,

las representaciones internas están en la mente del sujeto, pueden ser conceptos, nociones, imágenes

mentales, entre otras, que nos permiten, a pesar de no tener la presencia tangible del objeto, verlo

(Tamayo,2006).

Duval (1998) asegura que en la formación de un concepto matemático con uso de tecnología,

ésta no es el elemento central sino que las representaciones semióticas son el medio para actuar sobre

los objetos matemáticos y poder de esta forma romper con la paradoja cognitiva del pensamiento

matemático donde por un lado se encuentra la comprensión conceptual del objeto matemático y por el

otro la representación de dicho objeto.

Por otra parte, Duval (1993) marca la importancia del pasaje de un registro de representación

semiótica a otro en la construcción de un concepto matemático, sin darle primacía a uno por encima de

otro, especialmente cuando se refiere al lenguaje algebraico.

Prieto y Vicente (2006) dan una clasificación de registros de representación:

Registro verbal: El lenguaje coloquial es el utilizado para representar situaciones

que pueden ser modeladas en cualquiera de los otros registros.

Registro analítico: Se expresa analíticamente un concepto recurriendo a

notaciones matemáticas adecuadas utilizando símbolos acordados.

Registro gráfico: Es la representación en el plano cartesiano o eje real o espacio de

acuerdo a qué objeto se está tratando.

Registro figural: Implica el uso de esquemas o dibujos simplificados de una

situación problemática.(Prieto, Vicente, 2006, pp. 205-206)

En nuestro test solo usamos los tres primeros registros mencionados.




3.3 Uso de tecnología en la enseñanza universitaria

Codes y Sierra (2005) señalan que existen dos líneas teóricas principales que orientan las

investigaciones sobre el uso de sistemas algebraicos computarizados: el constructivista y el

instrumental. Ambos tienen un objetivo común que es mejorar los procesos de enseñanza y

aprendizaje, pero coincidentemente con Goldenberg (2003) la discrepancia entre ambos es el modo de

llevar a cabo la mejora. El enfoque instrumental, basado en la Teoría Antropológica de lo Didáctico de

Chevallard (1999), sostiene que la forma de interactuar con los objetos matemáticos es a través de las

actividades y técnicas como mediadores del conocimiento matemático. Los autores explican que el

elemento central de este paradigma es el denominado “Génesis Instrumental” que Trouche (2003,

citado en Codes y Sierra 2005, p. 4) define como “un proceso complejo, que requiere tiempo y

conexiona las características dela herramienta (sus potencialidades y sus restricciones) con la actividad

del individuo (su conocimiento), formando un método de trabajo” (p.4). En cambio, el enfoque

constructivista no otorga el mismo valor a las técnicas ya que centra su atención en el aspecto

cognitivo del aprendizaje, es decir en la comprensión del objeto de estudio y no a la automatización

del conocimiento. Por otra parte, algunos autores señalan algunas condiciones previas necesarias para

que la incorporación de la tecnología influya favorablemente en el proceso de aprendizaje, Martinez

(2003) enumera cinco necesidades básicas que las llama acceso práctico, técnico, operativo,

relacionado con lo científico tecnológico y criterial. El primero de ellos se refiere al tiempo de

preparación tanto del docente como del estudiante para incorporar el medio tecnológico al aprendizaje,

el acceso técnico es disponer de esos medios en los ámbitos de enseñanza, el operativo al

conocimiento de la herramienta que se va a usar, el acceso científico es el conocimiento del tema

académico a tratar y finalmente el criterial es el que responde a la pregunta por qué es importante la

incorporación de cierta tecnología en el proceso de enseñanzapara que nos permita ser criteriosos en

su elección.

4. Test y Fundamentación

4.1. Organización del trabajo

A fines operativos se decidió trabajar con un blog. Muchos autores señalan la importancia de esta

herramienta tecnológica gratuita y de fácil acceso para realizar tareas en la enseñanza en general y en

particular en la universitaria (Salinas y Viticcioli, 2008). En el mismo se encontraba todo el material

que era necesario para el trabajo en el laboratorio de informática de la Universidad. Estaba dividido en

dos partes. La primera entrada del blog tenía el texto completo de la Actividad 1 y por último un

enlace a un formulario online en el cual los alumnos podían ingresar sus datos personales, nombre y

apellido y subir el archivo generado con el software, por cada uno de los grupos que intervinieron en

la experiencia.



Figura 2. Imagen de la primera entrada al Blog

En la segunda entrada del Blog figuraba un documento con la explicación de asíntotas que se realizó

inmediatamente después de concluida la Actividad 1.Otro archivo con los comandos básicos del

software: definir funciones, resolver ecuaciones e inecuaciones, calcular límites y graficar. El mismo

se encontraba disponible en dos formatos: pdf y nb y finalmente los cuatro grupos de actividades. Los

grupos los designamos con las letras A, B, C y D respectivamente. En cada grupo había 4 ejercicios

para resolver cada uno de ellos en distintos registros de representación: uno en registro gráfico, otro en

algebraico, otro en verbal y finalmente uno donde se combinaban los registros gráficos con algebraico.

También en esta entrada los alumnos contaban con un enlace para poder enviar sus producciones.

Cada grupo enviaba una sola producción, en total se formaron 20 grupos de trabajo y participaron de

la experiencia 57 alumnos. Todas las producciones de los alumnos eran recolectadas en una carpeta

virtual de Google Drive, servicio gratuito que permite desarrollar tareas grupales, facilita la gestión de

la clase, la entrega de las producciones y economiza papeles (Barrios y Casadei, 2014).Los grupos de

trabajo los formaron los propios alumnos según sus preferencias por lo que hubo grupos con dos, tres

o cuatro integrantes.




Figura 3. Imagen de la segunda entrada al Blog

4.2.Actividad 1del Test

Para justificar esta actividad evocamos una experiencia de Vinner (1983) donde el autor realiza con un

grupo de estudiantes una pregunta abierta para indagar acerca del concepto de función y donde

describe cuáles son las imágenes que manifiestan y las agrupa en cuatro categorías. También

pretendemos nosotros, a partir de una pregunta abierta, describir qué imágenes mentales surgen sobre

rectas asíntotas de funciones usando un software específico. Queremos establecer también categorías

como lo hizo Vinner mostrando como evidencia con el software las imágenes del concepto antes de

ser enseñado y qué registros de representación utiliza. El texto de la pregunta de la Actividad 1 es:

¿Podrían explicar, haciendo uso del software, quées para ustedes una recta ASÍNTOTA a una función?

¿Qué tipo de asíntotas conocen? En este ejercicio tiene la libertad de explicar con palabras sueltas,

frases o párrafos, con gráficos, con expresiones con símbolos o números o cualquier otra forma que

consideren apropiada para exponer sus ideas. Nos interesa saber cómo representanen sus cabezas las

rectas asíntotas a una función y siempre usando el software.

Nota: es importante que para responder a esta actividad no usen libros, apuntes, o sitios web, sólo

expliciten en detalle lo que conocen ustedes.

4.3. Actividad 2 del Test

Como hemos explicitado anteriormente esta actividad la dividimos en cuatro grupos con el mismo

encabezado como se observa en la Figura 3. Las razones por las cuales hemos dividido el trabajo de

esta forma son:

La gran cantidad de alumnos que participaron de la experiencia.

El tiempo de duración de la clase: no hubieran podido analizar las 16 funciones propuestas

en detalle y discutiendo en los grupos de trabajo.

Consideramos importante repetir los mismos registros de representación en cada grupo, pero

plantear funciones con diferentes características que fundamentamos para cada una en

función de experiencias previas como la descripta en el presente artículo.



Figura 4. Encabezado de la Actividad 2

4.4. Consideraciones acerca del software “Mathematica” y conocimientos previos de los

estudiantes

Nos parece importante señalar que si bien “Mathematica” es un software que requiere licencia y la

Universidad al momento de realizar la experiencia contaba con la misma, también existe una

plataforma libre, que solo requiere un correo electrónico para acceder a la misma, que los estudiantes

utilizan para realizar las prácticas obligatorias que tienen en la cátedra para acreditar la materia. Al

momento de realizar la experiencia los alumnos ya conocían y usaban el software, no obstante,

consideramos importante incorporar un pequeño tutorial en la Actividad.

El acceso a la misma se puede realizar a través del siguiente enlace:

http://develop.open.wolframcloud.com/app/. Los comandos que se deben utilizar para dar respuesta a

los ejercicios propuestos en el Test que presentamos, están disponibles en la plataforma de manera

igual a como se encuentran en el software cargado en las computadoras de los laboratorios de la

Universidad.

Realizamos una breve descripción de los alcances del software:

Permite determinar dominio e imagen de funciones a través de comandos específicos

(Comando Function Domain, Function Range)

Resuelve ecuaciones e inecuaciones en cualquier campo numérico, pudiendo elegir en cuál

trabajar, en nuestro caso en Reales (Comando Reduce).

Resuelve límites de cualquier tipo, para variables finitas e infinitas, sólo que se tiene que tener

en cuenta qué si no se especifica la lateralidad del límite, sólo calcula por derecha. En caso de

variables infinita: el símbolo ∞ lo toma sólo como +∞, si se quiere el cálculo en el otro sentido

hay que especificarlo usando: -∞ (Comando Limit).

Realiza gráficas de funciones expresadas en forma analítica (Comando Plot) con algunas

particularidades: no muestra las discontinuidades evitables en caso que la función la posea.

Suele graficar una línea vertical que une los saltos finitos o infinitos que presenta.

Se pueden graficar rectas verticales con diversos comandos, pero no el Plot ya que solo grafica

funciones, incluso todas las gráficas se pueden realizar en forma punteada, con color

(Comando List Line Plot).

En cuanto a los conocimientos previos de los estudiantes, en clases anteriores se desarrolló en forma

detallada las diferentes definiciones de límites, tanto finitos como infinitos. El tema de asíntotas se

trabaja en el curso de admisión, pero no vinculado con el cálculo de límites, sino que se estudian

funciones prototipo como las exponenciales y logarítmicas y se nombran sus asíntotas. En la escuela

secundaria es un tema que pocos desarrollan, y en caso de hacerlo en general con la misma modalidad

del curso de admisión, es decir a partir del estudio de funciones prototípicas agregándose las de tipo

homográficas.

4.5. Detalle de la Actividad 2 del Test

Vamos a mostrar los cuatro grupos que formaron parte de la Actividad 2, con la justificación

correspondiente de la elección de cada una de las funciones elegidas, con la mirada puesta en el marco

teórico al cual referenciamos anteriormente.

http://develop.open.wolframcloud.com/app/




GRUPO A

¿Podrías determinar, haciendo uso del software, las ecuaciones de las asíntotas de las

siguientes funciones que te mostramos a continuación? Para dar las respuestas puedes usar el

software libremente es decir graficando, calculando, con palabras entre otras formas que se

te ocurra.

Ejercicio 1

Objetivos del ejercicio:

Reconocer a los ejes de abscisa como asíntotas

Analizar si en todos los puntos que se anula el denominador existe AV.

Escribir correctamente las ecuaciones de las asíntotas

Observar diferencias entre el gráfico propuesto y el que arroja la herramienta

informática.

Esta función racional pero no homográfica (función prototipo) la presentamos en un doble

registro gráfico y algebraico. El registro gráfico facilita la visualización de la discontinuidad

evitable en x=1 y, el registro algebraico permite determinar el dominio de la función y

analizar los puntos en los cuales hay asíntotas verticales. El fin de este ejercicio es poner en

evidencia si el alumno reconoce el eje de abscisas como asíntota horizontal y escribe

correctamente su ecuación. También pretende revelar si el alumno asocia los valores que

anulan el denominador como puntos por los que podrían pasar asíntotas verticales. Se suma

a esto el uso del software, que tiene como característica no mostrar las discontinuidades

evitables, es decir esos agujeros blancos no los realiza y si dibujan la gráfica pueden notar la

diferencia con la que presentamos nosotros en donde ponemos en evidencia dicha

discontinuidad.

Ejercicio 2

1

1)(

2

3

x

xxg


Observar si realizan análisis desde el registro gráfico o analítico al usar el software.

Determinar dominio de la función para iniciar el análisis.

Calcular los límites para determinar la única AV y la AO que posee la función y no

sólo dar respuesta a partir de lo que se observa en el gráfico que incurriría en errores.

Esta función racional la presentamos en registro algebraico con el fin de evaluar el



comportamiento del alumno con el software, si determina el dominio, realiza la gráfica,

reconoce que tiene asíntota oblicua. Ponemos el acento en esta última cuestión ya que, si

solo observa el gráfico obtenido con el software no presenta la asíntota oblicua, para que

ésta aparezca, es preciso calcularla e incorporarla en el comando para graficar, por esta

razón se podría poner en duda la existencia de dicha asíntota. Por otro lado, existen dos

valores que anulan el denominador y sólo en uno de ellos existe asíntota; pretendemos

observar si calculan el límite verificando que no cumple la definición de asíntota vertical o si

solo se quedan con la representación gráfica obtenida con el software.

Ejercicio 3

Responder V o F Justificando la respuesta.

Si y=b es asíntota de f (x) entonces existe x=c perteneciente al dominio de la función tal que

f(c) =b.


Explorar diferentes posibilidades para f(x), que pueden transformar a la proposición

en falsa o verdadera.

Reconocer a y=b como ecuación de una AH.

Observar si sólo recurren a ejemplos que ratifican la idea que una función no puede

intersecar las asíntotas.

Esta proposición a justificar su certeza o falsedad en registro es verbal, tiene por objetivo

analizar si subyacen imágenes conceptual erróneas como las siguientes: la no existencia de

puntos de intersección entre la función y las asíntotas, en este caso con la asíntota horizontal;

y otra, si en el conjunto imagen de la función siempre está excluido el valor de la asíntota

horizontal.

Ejercicio 4


Reconocer asíntotas, aunque no figuren punteadas (AV) o si existe intersección entre

la asíntota y la función (AO).

Escribir ecuaciones de las asíntotas sin contar con la expresión analítica de la función.

A través de esta función presentada en registro gráfico, pretendemos poner en evidencia

varios aspectos, si los alumnos:

Consideran a y=x como asíntota oblicua a pesar que existe un punto de intersección

con la función.




Son capaces de determinar la ecuación de dicha asíntota, aunque no cuenten con la

expresión analítica de la función.

Advierten la existencia de la asíntota vertical, aunque no esté graficada en línea

punteada.

Logran aproximar un valor para escribir la ecuación de dicha asíntota, ya que no es un

número entero y los alumnos suelen asociar las ecuaciones de asíntotas verticales con

números enteros.

GRUPO B

Ejercicio 1

)3ln()( xxh


Reconocer AV en función prototípica, sólo por un lateral.

Esta función es un prototipo de función logarítmica con dos transformaciones, un

desplazamiento horizontal y una reflexión vertical. De acuerdo a la experiencia docente de

quien suscribe, los alumnos encuentran dificultades en reconocer este tipo de funciones,

aunque hayan trabajados con funciones logarítmicas desde el curso de admisión a la carrera.

La particularidad presentada en este caso es que la asíntota vertical x= -3 es sólo por

izquierda y pensamos escenarios posibles de resolución usando el software que podrían

devenir en imágenes conceptuales erróneas o diferentes a las que suelen ser frecuentes en

clases tradicionales de tiza y pizarrón. Uno de ellos está relacionado con la utilización del

software sólo para graficar pues, en el resultado obtenido la asíntota vertical no se hace

evidente como sucede con los gráficos que tiene asíntotas verticales cuyos límites laterales

son infinitos de diferentes signos. Otro escenario posible es que los alumnos pretendan

graficar dicha asíntota, y esto requiere mayor conocimiento de comandos del software ya

que para ello necesitarían recurrir a la gráfica de curvas paramétricas o comandos de recta

que pase por dos puntos y dichos comandos no se explican durante la experiencia de clase.

Pensando en escenarios más amplios que la simple obtención de gráficos, está el relacionado

con el cálculo de límites. Por defecto el software sólo los calcula por derecha y en este caso

en particular es preciso calcularlo por izquierda. Esta distinción debe estar incluida en el

comando, aspecto que fue explicado, y pretendemos observar si lo hacen pues estaría

indicando que están aplicando las definiciones de asíntotas.

Ejercicio 2

Las conclusiones de un estudio establecen que el número de individuos de una determinada

población de una especie protegida viene dado, durante los próximos años, por la función:

1

50007500)(

t

ttf

, siendo t el número de años transcurridos. Se pide:

a) Dominio e imagen bajo el contexto del problema. Tamaño actual de la población.

b) ¿Cómo evoluciona la población entre los años 4 y 9?

c) Si esta función fuese válida indefinidamente ¿se estabilizaría el tamaño de la

población? Justificar la respuesta.

La asíntota vertical en el contexto del problema ¿tiene algún significado?




Identificar asíntotas en funciones que responden a un contexto.

Trabajar con variables con otras denominaciones diferentes a las tradicionales.

Presentamos un problema en registro verbal y simbólico, con un modelo con prototipo de

función homográfica y de variable independiente t, con la intención de saber si el alumno la

reconoce y la analiza en el contexto del problema, reconociendo la validez de la asíntota

horizontal sólo por derecha y la no pertinencia de la asíntota vertical. Creemos que este

problema resuelto con el software nos aportaría información fundamental para identificar

imágenes conceptuales de funciones con asíntotas contextualizadas en un problema, y el

comportamiento del alumno al enfrentarse con una variable independiente diferente a “x”.

Ejercicio 3


Estudiar la existencia de AV en puntos que pertenecen al dominio de la función.

En esta oportunidad presentamos una función en dos registros, algebraico y gráfico, con el

fin de poner al alumno ante una situación no trivial, la existencia de una asíntota vertical en

un punto perteneciente al dominio. La utilización del software en este tipo de funciones

definidas por intervalos, agiliza los cálculos de los límites laterales en x=0 y para más y

menos infinito. Nos interesa observar el uso del software ante esta situación, si sólo

responden a partir del gráfico presentado, si confirman las asíntotas a través del cálculo de

límites, teniendo en cuenta los aspectos antes mencionados.

Ejercicio 4

Tener en cuenta que el dominio de esta función es el conjunto de todos los Reales





Reconocer AV de un solo lateral

Expresar la ecuación x=0 como AV a pesar que el gráfico no se aproxime al eje “y”,

ya que el dato del dominio contribuye a dar la respuesta correcta.

Esta función en registro gráfico tiene asíntota vertical x=0 solo por derecha y asíntota

horizontal y=0 y este gráfico presenta características particulares: no puede precisarse si el

punto x=0 pertenece o no al dominio, y si la asíntota vertical por derecha es en x=0 o no, ya

que la distancia al eje de ordenadas no se muestra como infinitesimal. Las respuestas dadas

por los alumnos utilizando el software en esta situación nos ayudarán a entender las

imágenes conceptuales sobre asíntotas verticales y horizontales con utilización de software,

contando solo con un gráfico. Si pretenden reproducirlo, deberán explorar alguna expresión

analítica de una función que le permita reproducirlo o bien responder sólo a partir de lo que

observa, teniendo en cuenta el dato del dominio.

GRUPO C

Ejercicio 1

Responder Vo F justificando la respuesta

Si p(x) es un polinomio, entonces la función dada por 2

)()(

x

xpxf posee una asíntota

vertical cuya ecuación es x=2.


Explorar posibilidades para p(x) que permita romper con la idea que siempre que se

anula un denominador para algún valor de x, existe AV en dicho valor.

A través de esta proposición pretendemos poner en evidencia la imagen conceptual errónea

que en todo punto que anula el denominador de una función racional existe una asíntota

vertical. El no ofrecer expresión algebraica explicita para el polinomio p(x) tiene por

objetivo analizar el comportamiento del alumno al utilizar el software, es decir ver qué tipo

de ejemplos exploran para justificar su razonamiento al argumentar si la proposición es

verdadera o falsa.



Ejercicio 2


Trabajar con funciones definidas por trozos que presentan dos AH

Observar el uso que realizan del software si trabajan en forma analítica, cuando

plantean los límites para verificar las diferentes asíntotas.

Este ejercicio está presentado en dos registros, algebraico y gráfico, pues la función

presenta dos asíntotas horizontales diferentes, y=2 por el lado izquierdo, y=0 por el

derecho, una de ellas con intersección con la curva y una asíntota vertical. El fin del mismo

es observar la conducta de los alumnos al utilizar el software, si buscan las asíntotas

horizontales utilizando límites para más y menos infinito, cómo trabajan con una función

definida por intervalos, y si en esta actividad se perciben imágenes conceptuales nuevas,

propias del uso del software, o persisten las imágenes que se presentan al trabajar con lápiz

y papel.

Ejercicio 3





Reconocer AH que son atravesadas por la función.

Poner en duda la existencia de AV, y suponer que se trata de un punto de tipo cúspide

en dicho valor de x.

Esta función presentada en registro gráfico está pensada para poner en evidencia si existe o

no la imagen conceptual errónea relacionada con la no intersección entre la asíntota y la

curva, imagen resaltada en varios libros o páginas webs, como mencionamos previamente.

Otro aspecto destacado de esta función es que la asíntota vertical no está graficada y ambas

ramas se encuentran muy próximas, con el propósito de observar la interacción de los

alumnos con el software ante esta situación, es decir pretendemos ver si buscan alguna

expresión analítica que ejemplifique la función dada, o si bien responden solo a partir de lo

observado, poniendo en duda la existencia de la AV

Ejercicio 4

xxxxg )3.()(


Romper con la idea errónea que si una función tiene AH entonces no se analiza la

existencia de AO.

La función seleccionada en esta ocasión tiene un comportamiento distinto para más infinito

y para menos infinito, por derecha presenta una asíntota horizontal y por izquierda una

oblicua. Fue elegida para enfrentar a los alumnos a una imagen conceptual que prevalece en

algunos libros y/o páginas web que sostiene que si una función tiene asíntota horizontal

anula la posibilidad de existencia de asíntota oblicua. Al tener disponible el software nos

interesa analizar qué acciones llevan a cabo los alumnos ante esta función; si sólo grafican,

si analizan los límites correspondientes, si lo hacen de manera minuciosa, analizando para

más y menos infinito o sólo se limitan a más infinito.

GRUPO D

Ejercicio 1


Reconocer AV donde de ambos lados se acerca a menos infinitos.

Reconocer al eje de abscisas como AH y al eje de ordenadas como AV.

La función en registro gráfico tiene a los ejes cartesianos como asíntotas y en el caso de la



vertical la tendencia de ambos lados del cero es a menos infinito. El objetivo es analizar si

los alumnos son capaces de reconocer dichas asíntotas y escribir sus ecuaciones. También

nos interesa estudiar lo realizado con el software por los alumnos, es decir ver si buscan

un ejemplo de función en forma analítica con el mismo comportamiento que la dada en el

gráfico o si sólo responden a partir de lo observado.

Ejercicio 2

5

1004)(

2

x

xxf


Analizar casos extremos donde la función coincide con la AO

Esta función es una recta con una discontinuidad evitable en x=5. El foco de este ejercicio

está puesto en analizar las imágenes conceptuales que surgirían al hacer uso del software,

ya que, si sólo realiza la gráfica, la discontinuidad evitable no se evidencia, muestra una

recta y se podría concluir entonces que la función no tiene AO y que su dominio son los

reales. Por otro lado, la gráfica de la función coincide con su asíntota oblicua; a pesar de

ser un caso extremo de asíntotas cumple con la definición. A través de este ejercicio

pretendemos analizar si el alumno utiliza las definiciones de asíntotas o sólo se contenta

con realizar los gráficos. Pensamos que la rapidez y facilidad de realizar visualizaciones

con el software podrían influir en la determinación de las ecuaciones de las asíntotas.

Ejercicio 3

Determinar una función que tenga como asíntotas las siguientes rectas x=3, x=1,

y=-4


Explorar la búsqueda de funciones con el software y observar si salen de los

ejemplos prototípicos de funciones racionales

Este ejercicio en registro verbal fue seleccionado para saber cómo operan los alumnos con

el software para cumplir con lo pedido en el enunciado. Pensamos que el software podría

añadir una dificultad superior a la que se presenta si el contexto de trabajo fuera el lápiz y

papel. Esto es porque, en lápiz y papel podrían esbozar una gráfica que cumpla con las

condiciones exigidas sin necesidad de pensar en la expresión algebraica de la función. Sin

embargo, al utilizar el software es necesario buscar una fórmula de alguna función que

tenga esas asíntotas. Esto nos permitiría determinar si la imagen conceptual que prevalece

en la búsqueda es la de funciones racionales o surgen otras diferentes.




Ejercicio 4

)1ln()( 2xexp


Analizar una función, qué sin estar definida por trozos, posee AH y AO en forma

simultánea

Observar si sólo responden por lo que observan en el gráfico o realizan cálculos de

límites con el software.

En esta oportunidad la función se presenta en registro gráfico y algebraico y un

comportamiento distinto para más infinito y para menos infinito, por derecha presenta una

asíntota horizontal y por izquierda una oblicua. Con esta función ponemos a los alumnos

ante la imagen conceptual relacionada con la imposibilidad de coexistencia de estos tipos

de asíntotas. Al contar con la expresión algebraica de la función creemos que el

comportamiento de los alumnos al usar el software sería diferente al caso similar

presentado previamente que sólo estaba en registro gráfico. Pretendemos ver la incidencia

de los registros en el comportamiento de los alumnos con el software.

Tabla 2. Grupos A, B,C,D de la Actividad 2

Reflexiones finales

Goldenberg (2003) señala que la incorporación de tecnología en la clase de

matemática tiene importancia y que los estudiantes pueden encontrarse con diferentes

formas de presentación de actividades: aquellas que sólo requieren dar una respuesta a

un problema, sin manipular la herramienta, como por ejemplo responder un

formulario de autoevaluación. Otras en cambio, para resolver la actividad propuesta,

se necesita que el estudiante, explore, grafique, opere, entre otras cosas con el

software elegido. Nuestro Test responde a esta última característica.

Cuando uno diseña actividades para trabajar con software específico, la herramienta

condiciona dicho diseño, por este motivo explicitamos el alcance del software elegido

para llevar adelante el Test.

Las secuencias didácticas optimizan la labor docente, fomentan el trabajo

colaborativo entre los estudiantes y permiten un mejor desempeño en cuanto a la

exploración, conjetura, análisis y justificación que realizan los estudiantes al resolver

los problemas propuestos (Ortega-Arcega, M. I., Pantoja-Rangel, R., Ulloa-Ibarra, J.

T., & Zamora-Caloca, D., 2015)

También es importante señalar que hemos sometido el Test, antes de su aplicación, a

una consulta tipo encuesta, para recabar opiniones a partir de otras miradas diferentes



a los que lo diseñamos. A partir de ello, realizamos algunos ajustes de acuerdo a

algunas consideraciones que se repetían en varios colegas.

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Roxana Scorzo. Universidad Nacional de La Matanza, Argentina. Licenciada en Gestión Educativa.

Profesora de Matemática y Astronomía. Profesora adjunta, coordinadora del curso de ingreso a carreras

de ingeniería de la asignatura matemática de la UNLaM, docente investigadora (categoría III). Profesora

adjunta de la UTN Regional Haedo. Líneas de investigación: uso de software en la enseñanza de la

matemática, hipertextos para enseñar matemática y habilidades digitales y matemáticas.

Email: [email protected] .

Adriana Favieri. Profesora de Matemática y Astronomía, Licenciada en Administración de la Educación

Superior y Magister en Docencia Universitaria. Actualmente es profesora asociada de la asignatura

Matemáticas Aplicadas a la Aeronáutica, en la Facultad Regional Haedo de la Universidad Tecnológica

Nacional y profesora adjunta de la asignatura Análisis Matemático I del Departamento de Ingeniería e

Investigaciones Tecnológicas de la Universidad Nacional de la Matanza. Docente investigadora UNLaM

(Categoría III). Participa en grupos de investigación sobre Educación Matemática y uso de TIC desde el

año 2007. Email: [email protected] .






ISSN: 1887-1984


La caricatura y los memes como herramienta de divulgación matemática.

Una experiencia en el aula.

Paola Balda Alvarez

(Institución Educativa General de Sandander. Colombia)

Fecha de recepción: 26 de febrero de 2019

Fecha de aceptación: 27 de mayo de 2019

Resumen Este trabajo presenta una experiencia de divulgación de las matemáticas a través

de los recursos comunicativos de memes y caricaturas. Se fundamenta en las

bondades que proporcionan los elementos ilustrativos para abordar diversas

temáticas, y en particular para divulgar lo aprendido en clase de matemáticas.

Los resultados de la experiencia llevada a cabo durante dos años escolares con

187 estudiantes de grados décimo y once de una institución pública en Colombia

revelan cómo el empleo de este tipo de recursos aporta a la motivación hacia las

matemáticas, desarrolla la creatividad y capacidad de síntesis, al tiempo que

contribuye una actividad dinámica e interdisciplinar.

Palabras clave Caricaturas, memes, Matemática Educativa, divulgación.

Title Caricature and memes as a tool for mathematical disclosure.An experience

in the classroom.

Abstract This work presents an experience of dissemination of mathematics through the

communicative resources of memes and cartoons; It is based on the benefits

provided by the illustrative elements to address various issues, and in particular

to disseminate what was learned in math class. The results of the experience

carried out during two school years with 187 students of grades ten and eleven of

a public institution in Colombia, reveal how the use of this type of resources

contributes to the motivation towards mathematics, develop creativity and ability

to synthesis, while contributing a dynamic and interdisciplinary entertainment.

Keywords Cartoons, Memes, Education Mathematics, divulgation.

1. Introducción

El manifiesto emitido por la red de divulgación de las matemáticas (DiMa) afirma que “La

divulgación de las matemáticas es una necesidad y una demanda social que debe ser fomentada y

reconocida, no solo por el conjunto de las personas de nuestro país interesadas en el tema, sino además

por las instituciones públicas, los medios de comunicación y la sociedad en general” (2018). Esta

postura junto con la necesidad actual de incorporar medios de comunicación y recursos tecnológicos al

aula, así como el deber de incluir la y las realidades de nuestros estudiantes en el aula nos permite a



Una experiencia en el aula. P. Balda Álvarez


los docentes formular escenarios de divulgación a la luz de novedosas estrategias didácticas que

aporten al impulso de la creatividad, desarrollen habilidades de comunicación y síntesis, y permitan

que lo que se aprende en la escuela trascienda.

Como propuesta de divulgación, se incorporó en el aula el uso de dos herramientas

comunicativas: los memes y las caricaturas, las cuales permitieron llevar a cabo una serie de

momentos en un ejercicio donde el saber ingreso y salió del aula en un tránsito continuo y reflexivo.

Los resultados de la propuesta ponen en evidencia cómo estos recursos sirven como estrategia de

motivación, comunicación y permiten incorporar al aula de matemáticas conocimientos de otras áreas

del saber, lo cual aporta a la construcción de significados en torno a un saber.

2. Aspectos Teóricos

2.1.La divulgación matemática

La divulgación consiste en un conjunto de actividades que hacen asequible el conocimiento

científico a un público no necesariamente especializado, a personas interesadas o no en informarse

sobre un tipo particular de conocimiento. La divulgación centra su interés en descubrimientos

científicos, teorías o campos del saber. En la actualidad la divulgación científica ha adquirido una gran

importancia, toda vez que se constituye en una forma de democratizar un conocimiento haciendo uso

de diversos formatos. Los medios de comunicación son usualmente empleados para la realización de

este tipo de actividades, y se han constituido en herramientas fundamentales para que el conocimiento

especializado llegue a toda la población. Las revistas de divulgación científica, los artículos en

periódicos, los programas de televisión especializados, los escenarios de interacción con el público en

general y las páginas de internet son algunos de los medios reconocidos para el desarrollo de esta

actividad que garantizan una eficiente y certera canalización de la información.

En el caso particular de las matemáticas, su divulgación busca ser complemento del trabajo

científico al tener como finalidad que el lector conozca los resultados de un proceso investigativo o

simplemente lograr que la población en general tenga acceso de un modo más amigable a aquellos

conocimientos específicos del área que no han podido ser adquiridos a través de los procesos

académicos al interior de instituciones educativas, generando un gusto particular por las matemáticas.

Experiencias como la de Matetíteres (Ferrari, 2010), en la cual un grupo de teatro guiñol

buscó acercar a las matemáticas a los transeúntes de la plaza principal de la ciudad diseñando obras de

teatro imbricadas en lo matemático con el objetivo de compartir saberes a una comunidad, ponen en

evidencia cómo la creación de un contexto de divulgación permite robustecer la interacción entre las

matemáticas y la comunidad. Una interacción que este caso en particular se generó en un escenario

lejos del aula, carente de un profesor, y que según lo reportado en los resultados logró construir

nuevos conocimientos y gusto por las matemáticas.

Por tanto, como el ejercicio de divulgación se constituye en un camino que más allá de la

familiarización con las matemáticas permite que la sociedad reconozca que estas forman parte de

nuestras vidas y se constituyen en pilares básicos y fundamentales de la cultura humana (García,

2016). Al respecto, Miguel de Guzmán, afirma: “sería muy deseable que todos los miembros de la

comunidad matemática y científica nos esforzáramos muy intensamente por hacer patente ante la

sociedad la presencia influyente de la matemática y de la ciencia en la cultura” (de Guzmán, 2007), de

ahí que la divulgación más que una actividad aislada se constituya en una tarea primordial de quienes

conocemos y trabajamos en torno a este saber. Entre tanto, el manifiesto emitido por la red de

divulgación de las matemáticas (DiMa) ratifica lo mencionado por Guzmán y afirma que “La


Una experiencia de aula P. Balda Alvarez



divulgación de las matemáticas es una necesidad y una demanda social que debe ser fomentada y

reconocida, no solo por el conjunto de las personas de nuestro país interesadas en el tema, sino además

por las instituciones públicas, los medios de comunicación y la sociedad en general” (DiMa, 2018);

esta afirmación se fundamenta en el hecho de reconocer el derecho de toda persona a participar en el

progreso científico y en los beneficios que de él resulten Declaración de los Derechos Humanos (1948,

Artículo 27).

Por lo anterior, se reconoce a la divulgación matemática como un ejercicio que tiene como

propósitos:

Eliminar los prejuicios posibles de la sociedad respecto de las matemáticas.

Mejorar los conocimientos culturales de las personas, ayudándoles a mejorar su vida al

disponer de más y mejores recursos para su día a día.

Desarrollar el gusto por las matemáticas, evitando el miedo a fracasar y librándose de los

bloqueos mentales (García, 2016).

Otorgar a la matemática un estatus de herramienta de transformación de nuestra calidad de

vida.

2.2. La caricatura

También denominada viñeta o cartón, la caricatura es un instrumento ilustrativo capaz de

recrear una idea sin hacer mayor uso de palabras, y esto es precisamente lo que le confiere gran

atractivo. La caricatura es una representación animada de un acontecimiento, el cual de forma

exagerada encierra un mensaje que busca ser comunicado. Por tanto, la caricatura más allá de abordar

un personaje retrata una realidad, un contexto, un hecho, una institución y tiene propósito producir un

efecto cómico y una reflexión al lector a través de frases, símiles, hipérboles y metáforas. “La

caricatura reúne varios atributos: es una representación artística, un recurso periodístico y también

vehículo de humor. Lo fascinante del asunto está en que a menudo reúne dos de ellas o todas estas

condiciones en conjunto” (Borregales, 2017, p.113).

La caricatura como medio de divulgación: “Ha sido utilizada en los periódicos desde finales

del siglo XVII, cuando comenzaron a surgir los periódicos ilustrados, en los que pronto aventajó al

dibujo serio” (Martínez, 1992, p. 74) y poco a poco dentro del rango humorístico ha alcanzado altos

niveles de aceptación y reconocimiento en la sociedad toda vez que se constituye en un fiel

representante de tipo gráfico, una mofa, sátira y exageración graciosa de rasgos y conductas que, por

su simpleza y creatividad, provoca sonrisas en su observador (Torres,1982). Es precisamente el

conjunto de estas características la que dota a la caricatura del estatus de recurso didáctico adecuado a

todas las edades, el cual según investigadores como Flores (2003) sobrepasa la intención puramente

lúdica, pues las propuestas que sugieren emplear el humor con alguna intención “barren desde la

función curativa fisiológica a la curativa psicológica, pasando a la creación de puentes de

comunicación y confort”(Flores, 2003, p.7).

Autores como Abreu (2001) y Pérez Vila (1979) coinciden en afirmar que un elemento

importante a destacar es la presencia de caricaturas escritas en diferentes medios de comunicación,

caricaturas que logran acercarse a los usuarios con el fin de entretener de forma creativa y llamativa

proporcionando una información particular y de interés del autor dotada de trazos, palabras, ingenio,

gracia y capacidad de síntesis, tal y como se observa en la Figura 1.




Figura 1. Caricatura educativa

Fuente: @DonPardino y Flores (2003)

2.3. Los memes

Un meme es una unidad de información digital que se difunde a través de medios

virtuales. El término meme, viene del griego “mimema”, que significa “algo imitado” y

representa una forma masiva de propagación cultural. Debido a su comportamiento viral se

constituye en un recurso importante de divulgación el cual se caracteriza por ser reconocible

después de múltiples procesos de transmisión, por su capacidad expresiva para ser transmitido,

y por su perdurabilidad en el tiempo (Dawkins, 1979).

Los memes en el campo educativo han sido empleados como herramientas de expresión y de

crítica social, grupal o personal que desarrollan nuevas formas de leer y escribir la realidad (Arango ,

2014).Su creación implica poner a la disposición del autor un sinnúmero de recursos electrónicos, pues

tal y como lo afirma Beltrán (2016) no en vano, los memes son un producto de la generalización de las

nuevas tecnologías. Así su creación demanda de:

1. Tener una idea de lo que se quiere transmitir.

2. Elegir una imagen acorde con esa idea.

3. Escribir el texto. Cuanto más corto y directo, mejor.

4. Integrar texto e imagen, cosa que hacen automáticamente los memes y caricaturas.

5. Publicar o enviar dicha imagen(Beltrán, 2016, p.130)

Desde nuestra experiencia la estrategia intelectual intencional que tiene como objetivo despertar

la sonrisa de los lectores, a través de los significados de los objetos que aparecen en ella es otra de las

demandas de este recurso. Además del aporte que otorga la implementación de la tecnología como

instrumento para su elaboración. Todo lo mencionado permite dar un paso importante al abandono del

paradigma educativo en el cual enseñar se centra única y exclusivamente en transmitir, contrario a

ellos busca establecer un diálogo continuo entre el docente, el estudiante, el saber en el contexto en el

cual se está inmerso que permita: liberar la tensión ,facilitar la realización de las funciones del yo y

mejorar la comunicación (Buckman, 1994, referenciado en Flores, 2003).





Figura 2. Meme para reforzar la ley de signos

Fuente: Beltrán (2016)

2.4. La caricatura y los memes como herramienta de divulgación matemática

Sin lugar a dudas los medios de comunicación visuales y digitales son cada día más accesible

en todo el mundo, la aparición del internet rompió las fronteras y se constituyó en una herramienta

potencializadora de la divulgación de la ciencia. Los medios de comunicación escritos cuentan con el

mayor y el más variado número de lectores y ofrecen un contenido amplio de interés para todo tipo de

lectores, los cuales dada la cantidad de información a la que pueden acceder buscan día a día

herramientas que aporten a la construcción de su conocimiento de forma fácil, simple y de amplia

recordación.

Por tanto, tanto la caricatura como los memes se constituyen en un buen canal de transmisión

de conocimiento, toda vez que al trasladar el mensaje del comunicador al receptor permite producir en

él la reacción que completa el ciclo de la comunicación sintetizando ideas concretas y complejas que

difícilmente son recordadas después de un proceso académico. Además, este tipo de recursos son una

herramienta de gran y rápida difusión que aporta a la memorización, la creatividad, el uso de síntesis,

la comprensión de un tema, la inventiva para construir y transmitir conocimiento (ver Figuras 3 y 4).

Dada la facilidad de transmisión de estos recursos, éstos han ingresado a las aulas de clase

convirtiéndose en estrategias pedagógicas que favorecen el aprendizaje. Al respecto, universidades

como la Universidad Pedagógica Nacional de México, a través de la Subdirección de Comunicación

Audiovisual, han optado por el uso de memes como un material de refuerzo de sus contenidos

educativos obteniendo resultados destacables.

Figura 3. Caricaturas matemáticas

Fuente: https://www.saladeestudio.org/memes-y-chistes-matematicos/

http://audiovisual.upnvirtual.edu.mx/

http://audiovisual.upnvirtual.edu.mx/




Figura 4. Memes matemáticas

Fuente: smbc-comics.com

Adicional a lo mencionado, estos recursos visuales y digitales al ser un medio jocoso de

información han sido un recurso que permite para extender la educación a escenarios más allá del aula,

toda vez que su legado llega a un gran número de personas, haciendo comprensible aquello que en

muchas ocasiones fue incomprendido en la escuela o incluso olvidado, pues tal y como afirma Flores

(2003, p.6):

El humor refleja la sociedad

En la sociedad hay matemáticas

Las matemáticas aparecen en el humor

Podemos reírnos con las matemáticas

Podemos hacer matemáticas riendo

La enseñanza es una actividad social

Conclusión final: La enseñanza de las matemáticas debe hacerse de manera seria,

pero no tiene que ser aburrida.

2.5. Socioepistemología como marco teórico

La socioepistemología, como marco teórico que enmarca la propuesta, sostiene que el saber

matemático no se limita a una serie de definiciones o formulas a ser aplicadas, contrario a esto centra

su interés en el hacer, en lo humano del saber. La Teoría Socioepistemológica se ocupa

específicamente del problema que plantea la construcción social del conocimiento matemático y el de

su difusión institucional (Cantoral, 2013). Este interés del enfoque permite conocer y construir

significados y estructurar sus sistemas conceptuales. Desde esta postura se reconoce que el saber

emerge de prácticas sociales que no se centran en caracterizar lo realizado por lo que el humano hace,

sino aquello que los hace hacer lo que hacen (Covian, 2005). Estas prácticas sociales se caracterizan

por ser normativas, determinan el hacer; pragmáticas, orientan las acciones en la actividad humana;

identitaria, dotan de identidad a aquel que usa el conocimiento; y la discursiva, práctica más recurrente

e influyente en los actos de entendimiento y consenso, constituyendo un discurso reflexivo (Cantoral,

2013). Así el hombre cultural, histórico y socialmente situado quien construye explicaciones sobre la

realidad que emerge de su cotidianidad, de la historicidad, del contexto, de ese entrelace de convivir,





propiciando el desarrollo de complejos procesos de construcción de significados compartidos (Ferrari,

2010).

Desde esta postura se reconoce que “dado que este conocimiento se ha constituido

socialmente, en ámbitos no escolares, su difusión hacia y desde el sistema de enseñanza le obliga a

una serie de modificaciones que afectan directamente su estructura y su funcionamiento, de manera

que afectan también a las relaciones que se establecen entre los estudiantes y profesores” (Cantoral,

2013, p.62).

Las caricaturas y los memes, al igual que otros recursos comunicativos hacen parte de los

temas trabajados en el aula, y poco a poco con la aparición de construcciones informativas de textos

con elementos gráficos que describen ideas, conceptos, situaciones, o pensamiento, han alcanzado una

amplia difusión. Estos recursos están presentes y constituyen de cierta manera la cotidianidad de las

personas, y en particular de los jóvenes quienes hacen parte de una cultura digital, dentro y fuera del

ámbito escolar. Hacen parte de sus racionalidades contextuales diversas, toda vez que reconocen

privilegian y potencias las diversas formas de pensamiento relativas a la realidad de los individuos en

el momento y lugar donde se significa el saber (aula extendida).

Así el uso de este tipo de recursos informativos convoca la participación en la construcción

explícita y crítica de saberes, poniendo el acento en el desarrollo de la creatividad y comunicación

gráfica, para aportar en la alfabetización científica, dotando a los niños de diversos tipos de lenguaje

incluso uno complejo que le permita insertarse en un mundo de las matemáticas para comunicarlas al

mundo. En nuestro trabajo nos interesa hacer el uso delos memes y caricaturas como herramienta de

divulgación de saberes matemáticos, iniciando la reflexión de cómo este tipo de recursos ingresan al

aula y salen de ella a aportan a la difusión del saber y a nuestro trabajo en la comunidad de

matemáticos educativos.

3. Aspectos Metodológicos

Esta es una experiencia que se viene desarrollando con 187 estudiantes de la Institución Educativa

General Santander del municipio de Soacha en Colombia, desde el segundo semestre del año 2018,

fecha en la cual inició el proceso de construcción de caricaturas y que se continúa llevando a cabo. Los

estudiantes se encuentran en grado noveno y décimo de educación básica y media, sus edades oscilan

entre 14 y 16 años. La experiencia he ha desarrollado a través de cinco momentos a saber:

Figura 5. Momentos de la experiencia

Momento 1. Creación del personaje de la caricatura. Para la creación del personaje se

ha acudido a las profesoras de Artes de la institución, quienes desde sus clases han

Creación del personaje de la

caricatura

Creación de las caricaturas y

memes y divulgación al interior de la institución educativa a través de recursos

impresos.

Creación de las

caricaturas y memes con

medios tecnológicos

Publicación de caricaturas y

memes en escenarios virtuales locales.

Publicación de libro.

Divulgación en medios locales informativos.




orientado la construcción de un personaje autentico de cada estudiante. El personaje en

esta etapa adquiere un nombre y características particulares.

Momento 2. Primera etapa de divulgación al interior de la Institución Educativa. En

esta etapa en las clases de Álgebra y Trigonometría los estudiantes dan vida a su

caricatura y a los memes otorgando a estos un estatus de medio informativo de los

aprendizajes de la asignatura. Los estudiantes con el apoyo de su profesor de lenguaje

crean las viñetas de la caricatura y pulen la presentación gráfica de esta y del meme con

el apoyo del docente de artes.

Momento3. Una vez consolidado el proyecto, se amplía la versión gráfica incorporando

recursos virtuales para dar vida a las caricaturas y difusión de memes en medios

virtuales. En esta etapa se incorpora el apoyo de la profesora de tecnología de la

institución y el uso de herramientas encontradas en la web.

Momento 4. La selección de las mejores caricaturas da paso al primer momento de

publicación en carteleras institucionales y en medios de comunicación local, como lo es

la página de Facebook Soy Soachuno de la alcaldía de Municipio de Soacha.

Momento 5. En este momento se gestiona la publicación e los resultados en escenarios

de comunicación locales.

En la actualidad la experiencia se encuentra en el momento 3, se están creando memes y

caricaturas de los temas construidos en clase de matemáticas, se han incorporado poco a poco el uso

de recursos tecnológicos y se han afinando las acciones comunicativas y artísticas de sus propuestas

iniciales.

4. Caracterizando el impacto

El trabajo llevado a cabo con relación a los memes y las caricaturas tuvo por objeto más allá de

presentar a los estudiantes estos recursos, motivarlos para su construcción fusionando aprendizajes de

otras áreas del conocimiento y poniendo a prueba todas las habilidades que su creación demanda.

Desde esta perspectiva se reconoce como diferencia entre estos dos recursos el hecho de que la

caricatura es una representación animada de un acontecimiento mediante los rostros y personajes que

comparten cierta información con el menor uso de palabras posibles, mientras que el meme es una

herramienta de expresión y de crítica social, grupal o personal que busca la parodia mediante la

fotografía. Los puntos en común que emergen de ambos recursos permiten reconocer que el trabajo

que se está llevando a cabo la construcción de memes y caricaturas va más allá del aula de clase, pues

ambos se constituyen en medios divulgadores de lo aprendido y son los estudiantes los encargados de

su creación y difusión. Atendiendo a los planteamientos anteriores, se presentan los avances y

hallazgos de cada uno de los momentos llevados a cabo hasta ahora.

4.1. Momento 1. Creación del personaje de la caricatura

En una primera fase se propuso el diseño de caricaturas como acercamiento a la construcción

gráfica. Las orientaciones iniciales estuvieron centradas en crear un personaje, darle vida y forma. Este

personaje se buscaba fuera representativo de cada uno de los estudiantes. Se mostraron ejemplos de

caricaturas en otros escenarios académicos como el caso de @DonPardino (ver Figura 6), dando a

conocer cómo este recurso puede ser empleado en escenarios no académicos para enseñar.





Figura 6. @DonPardino

Fuente: https://twitter.com/profedonpardino?lang=es

Así como este personaje ficticio que se dedica a enseñar ortografía a través de viñetas cómicas

se propuso crear su personaje para enseñar matemáticas a la comunidad. Aquellas matemáticas que

ellos saben y construyen en el aula.

La parte creativa fue todo un reto y contó con el apoyo de las profesoras de artes de la

institución, quienes en sus clases aportaron a la creación del personaje a través de técnicas gráficas de

diseño (ver Figura 7).

Figura 7. Niños en el proceso creativo del meme

4.2. Momento 2. Primera etapa de divulgación al interior de la Institución Educativa.

Luego del diseño del personaje, se presentó el reto de construir las primeras caricaturas y con

ello la necesidad de tener claridad en el uso de viñetas y signos ortográficos, para ello se pidió la

asesoría de los docentes del área de lenguaje quienes orientaron a los estudiantes sobre el correcto uso

de expresiones, signos de aclamación e interrogación e incluso la redacción correcta de las frases.

Los resultados en un primer momento no fueron los esperados, no se logró que los niños crearan

personajes autónomos. Esta situación condujo a que fuera necesario el trabajo en torno a los derechos

de autor, lo cual fue una reflexión bastante interesante.

Una vez los estudiantes crearon sus personajes, se dieron a la tarea de pensar cuál de los temas

vistos en clase podían ser sintetizado por el mismo. Fue un reto de reflexión en el cual en un par de




clases y en escenarios fuera de la clase de matemáticas, los niños consultaban con su maestra si el

tema a trabajar estaba bien comprendido, pues ellos reconocían la responsabilidad de comunicación

que tenían. Crearon diferentes tipos de ideas, unas muy directas de comunicación de conocimientos y

otras que a través del humor llevaban al lector a inferir lo planteado.

Cuando los estudiantes ya tuvieron clara la idea de la caricatura se amplió la posibilidad creativa

al uso de memes. Lo primero que se hizo fue explicar qué era un meme y cuál era su objetivo. Dado

que todos los niños habían visto y compartido memes alguna vez en su vida por medio de las

diferentes redes sociales en las cuales estaban inmersos, la clase donde estos se explicaron fue muy

dinámica y participativa. Se pidió que contarán sobre los últimos memes recibidos, los más graciosos,

y los de mayor recordación, de hecho, en los cursos donde se contó con recursos audiovisuales se

buscaron memes en web para discutir sobre ellos. Un segundo momento de la clase consistió en

identificar las partes de los memes, qué debe tener un recurso para ser un meme, los niños dieron

respuestas como:

“debe tener una imagen”

“debe ser chistoso”

“se debe compartir con muchas personas”

La tarea para la siguiente sesión fue buscar un meme que tuviera alguna relación con las

matemáticas y llevarlo impreso. Ya en la clase, varios niños llevaron memes y los explicaron.

Teniendo en cuenta la reflexión, surgió la idea que como no todas las personas iban a reconocer el

mensaje de un meme creado en la clase de matemáticas era necesario en la parte inferior del mismo

hacer la explicación del tema, lo cual fue aceptado por la docente. Este ejercicio se asumió además

para las caricaturas llegando a creaciones como las presentadas en la Figura 8.

Figura 8. Memes creados por los niños de grado décimo





Una vez creados al menos cinco diseños por estudiante se realizó la primera exposición en la

institución. Esta se llevó a cabo con la presencia de estudiantes, docentes y padres de familia. Una vez

finalizada la presentación, en clase se reflexionó sobre el impacto de esta, sobre las apreciaciones de

los padres al ejercicio llevado a cabo.

4.3. Momentos 3. Creación de caricaturas y memes con recursos tecnológicos

Durante la discusión del impacto de la exposición uno de los niños manifestó que los memes

podrían crearse con recursos tecnológicos sin necesidad de dibujar imágenes. Así surgió la necesidad

de incorporar a la clase el uso de generadores de memes que se encuentran en la web como:

http://www.memegenerator.es/crear

http://www.taringa.net/post/info/12100359/La-mejor-Pagina-para-crearMemes.html

http://www.xtremeaddictions.com.ar/foro/showthread.php?77352-P%E1gina-para-crear-quot-

memes-quot

Ya en clase de tecnología y en sus hogares, se ha propuesto a los niños hacer uso de estos

recursos para la creación de sus memes ver Figura 9.

Figura 9. Meme creado por una estudiante de grado décimo con el prográmame generator

En la actualidad la creación de los memes y caricaturas se sigue dando, los niños saben que cada

15 días deben presentar lo aprendido a través de estos recursos.

5. Conclusiones

Los resultados aquí registrados muestran el impacto del trabajo en el aula que incorpora el uso y

en particular la construcción de caricaturas y memes a la clase de matemáticas. Esta construcción se

viene desarrollando con estudiantes de grado noveno y décimo en el marco de la clase de

trigonometría y geometría, en la cual se han trabajado temáticas en torno a: rectas, ángulos,

clasificación de triángulos , Teorema de Tales, Teorema de Pitágoras, Razones Trigonométricas,

Teorema del Seno, Teorema del Coseno, entre otros.

La experiencia ha permitido que los estudiantes realicen diferentes tipos de razonamiento en

torno a las matemáticas, pues ya no se trata solo de entender para ellos sino de entender para

resignificar y comunicar. Esto se resume en palabras de los niños como:




“me gusta hacer las caricaturas porque me gusta dibujar y pues así le enseño lo que aprendo

de forma chistosa a mis amigos”

“me gusta las clases de caricaturas matemáticas porque me rio mucho en clase”

“ en el grupo de whatsapp del colegio, ahora compartimos caricaturas de la clase”

“me pongo muy feliz cuando la profe pone las caricaturas que hacemos en su Instagram”

Lo expuesto pone en evidencia la factibilidad de estos recursos visuales para desarrollar

habilidades comunicativas, humor, capacidad de síntesis y reflexión en torno a los significados

atribuidos a un saber matemático. A través de la experiencia se ha logrado además vincular otros

actores de la comunidad educativa al proceso de aprendizaje, pues los niños a través de sus

producciones son capaces de llevar a escenarios más allá de la escuela los aprendizajes del aula. Así

mismo la experiencia ha permitido resignificar el uso de recursos tecnológicos al darle un uso

pedagógico a medios comunicativos que en muchas ocasiones se trivializan y se desconocen como

herramientas didácticas potentes.

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Paola Balda Álvarez. Institución Educativa General Santander, Soacha. Doctora en Educación de la

Universidad Santo Tomas de Colombia, Magíster en Docencia de las Matemáticas de la Universidad

Pedagógica Nacional de Colombia, Licenciada en Matemáticas de la Universidad Distrital de Colombia.

Docente de Matemáticas desde hace 16 años, participante activa de eventos académicos y escritora de

artículos de investigación. Email: [email protected]


ISSN: 1887-1984




¿Hay diferencias en competencia matemática entre alumnos

de un mismo curso? Un estudio con futuros maestros

Rosa Nortes Martínez-Artero (Universidad de Murcia)

Andrés Nortes Checa (Universidad de Murcia)

Fecha de recepción: 7 de marzo de 2019

Fecha de aceptación: 27 de octubre de 2019

Resumen Para averiguar si hay diferencias en competencia matemática de los alumnos

matriculados en los siete grupos de 2.º del Grado de Maestro de Primaria en la

Universidad de Murcia se les pasa una prueba de 30 preguntas de Competencia

Matemática de 6.º de Primaria. Los alumnos del grupo bilingüe de inglés obtienen

mejores resultados que el resto, los estudiantes del turno de mañana y de tarde no tienen

diferencias significativas entre ellos, mejores resultados en hombres que en mujeres y por

grupos el número de respuestas correctas difiere en tres. Hay diferencias significativas

entre grupos en Números, Medida y Geometría, pero no en Incertidumbre. De las tres

preguntas que no alcanzan el 50% de respuestas correctas en todos los grupos una es de

fracciones, otra de figuras geométricas y otra de medida de tiempo.

Palabras clave Competencia matemática, futuros maestros, proceso cognitivo, educación primaria.

Title Are there differences in mathematical competence among students in the same

course? A study with future teachers

Abstract To find out if there are differences in mathematical competence of the students enrolled

in the seven groups of 2nd of the Primary Teacher's Degree at the University of Murcia,

they pass a test of 30 questions of Mathematical Competency of the 6th grade. The

students of the bilingual group of English obtain better results than the rest, the students

of the morning and afternoon shift do not have significant differences among them, better

results in men than in women and by groups the correct answers differ in three. There are

significant differences between them in Numbers, Measurement and Geometry, but not in

Uncertainty. About the three questions that do not reach 50% of correct answers in all the

groups, one of them is referred to fractions, another referred to geometric figures and a

third one of measure of time.

Keywords Mathematical competence, future teachers, cognitive process, primary education.

1. Introducción

En Matemáticas muchas veces los alumnos se limitan a reproducir de memoria los contenidos

que han aprendido, pero la competencia matemática va más allá de poseer un conocimiento

matemático, se centra en ver si los estudiantes pueden aplicar lo que han aprendido a situaciones de la

vida cotidiana poniendo en práctica procesos de razonamiento y habilidades.


¿Hay diferencias en competencia matemática entre alumnos de un mismo curso?

Un estudio con futuros maestros R. Nortes Martínez-Artero, A. Nortes Checa


Los alumnos que inician los estudios del Grado de Maestro de Primaria (GMP) deben tener

unos conocimientos de matemática elemental que les permitan iniciarse en los aspectos didácticos de

la materia. Y deben poseer, al menos, el nivel de competencia matemática correspondiente a la etapa

de la Educación Primaria que les permita aplicar los conocimientos y los razonamientos matemáticos

que incluyan el conocimiento de elementos básicos, la puesta en práctica de procesos de razonamiento,

la búsqueda de soluciones y la reflexión y argumentación sobre el contexto y la solución alcanzada

(MECD, 2016).

Un alumno que se enfrenta a tareas matemáticas debe tener un conocimiento matemático del

contenido para resolver un problema, establecer la situación donde se localiza el problema y conocer

los procesos que debe aplicarse para conectar el mundo real donde surge el problema con las

matemáticas (Rico, 2007).

En este contexto, es necesario conocer realmente si los alumnos que acceden al GMP tienen

adquirido el nivel de competencia matemática correspondiente a 6.º de Educación Primaria y, para

ello, es preciso aplicar alguna prueba estandarizada de evaluación, siendo de gran utilidad la Prueba de

evaluación final de Educación Primaria que el Instituto Nacional de Evaluación Educativa del

Ministerio de Educación y Formación Profesional pone a disposición de todos aquellos que la quieran

utilizar a través de su página Web (INEE, 2018).

2. Antecedentes y Marco teórico

Competencia matemática, según la Comisión Europea, es “la habilidad para desarrollar y aplicar

el razonamiento matemático con el fin de resolver diversos problemas en situaciones cotidianas” (D.G.

Educación y Cultura. Comisión Europea, 2007, p. 6).

Un alumno en función del currículo escolar estudiado en Primaria tiene conocimientos de

contenidos matemáticos sobre números, medida, geometría e incertidumbre. A su vez se encuentra en

situaciones donde se le puede presentar un problema relacionado con sus compañeros del aula o de ir a

comprar al supermercado o de comprender las instrucciones de un juego tecnológico. Y es en ese

contexto cuando tiene que aunar su conocimiento matemático y sus destrezas y habilidades

matemáticas entre las que se encuentran pensar, razonar, argumentar, comunicar, representar… y la

puesta en funcionamiento de cada una de estas tareas tiene distinto grado de complejidad que da lugar

a distintos niveles de competencia matemática que van desde reproducción y procedimientos rutinarios

hasta razonamientos con argumentación y generalización. “Cada nivel de competencia se caracteriza

por los procesos o competencias empleados y por el grado de complejidad con que los alumnos los

ejecutan al abordar tareas de dificultad creciente” (Rico, 2007, p. 62).

En el Real Decreto 126/2014 en el que se establece el currículo de Primaria se menciona que los

alumnos al terminar la etapa de Educación Primaria deben estar en disposición de iniciarse en la

resolución de problemas que requieran conocimientos tanto de números, como de medida, geometría,

tratamientos de datos e incertidumbre, por lo que “al finalizar el sexto curso de Educación Primaria se

realizará una evaluación final individualizada a todos los alumnos y alumnas, en la que se comprobará

el grado de adquisición de la competencia en comunicación lingüística, de la competencia

matemática…” (RD 126/2014, p. 19358).

Los seis niveles de competencia matemática en PISA, para alumnos de 15 años, recogidos por

Rico (2007) son: 1) Los alumnos saben responder a preguntas planteadas en contextos conocidos; 2)

Los alumnos saben interpretar y reconocer situaciones en contextos que solo requieren una inferencia





directa; 3) Los alumnos saben ejecutar procedimientos descritos con claridad; 4) Los alumnos pueden

trabajar con eficacia con modelos explícitos en condiciones complejas y concretas que puedan llevar

condicionantes; 5) Los alumnos saben desarrollar modelos y trabajar con ellos en situaciones

complejas y 6) Los alumnos saben formar conceptos, generalizar y utilizar información basada en

investigaciones y modelos de situación de problemas complejos, que reflejan el paso de las

operaciones concretas a las operaciones formales de la teoría de Piaget. Y los seis niveles de

competencia matemática en Educación Primaria, recogidos en INEE (2016) son: 1) Acceso e

Identificación (conocimiento del lenguaje básico matemático, propiedades y hechos matemáticos

esenciales); 2) Comprensión (repetición de los algoritmos relacionándolos con procesos y problemas

matemáticos que incluyen operaciones básicas); 3) Aplicación (saber utilizar distintas herramientas

matemáticas con cierto grado de abstracción); 4) Análisis (examinar y fragmentar la información en

partes y establecer relaciones entre situaciones diversas en contextos relativamente conocidos); 5)

Síntesis y Creación (capacidad de pensamiento lógico y sistemático) y 6) Juicio y Valoración

(Capacidad para formular juicios con criterio propio), que se encuentran dentro del periodo de las

operaciones concretas, con un progresivo avance del razonamiento matemático.

La prueba de evaluación de la competencia matemática (INEE, 2016), se viene realizando desde

el curso 2015/16 y Arce, Marbán y Palop (2017) aplican la prueba de 2015/16 a una muestra de 298

estudiantes para maestro de 1.º de la Universidad de Valladolid, resultando en el bloque de contenidos

un promedio de 7,7 en Números, de 7,2 en Medida, de 7,7 en Geometría y de 8,7 en Incertidumbre,

mientras que en proceso cognitivo: 8,6 en Acceso e Identificación, 8,3 en Comprensión, 7,5 en

Aplicación, 8,4 en Análisis, 6,7 en Síntesis y Creación y 8,0 en Juicio y Valoración. Las preguntas con

menor porcentaje de respuestas correctas son una cuestión de expresar en horas y minutos un tiempo

que previamente tenían que calcular, con el 47% de respuestas erróneas, y otra cuestión en la que se

pedía expresar una fracción en forma de fracción irreducible, con un 45,6% de respuestas erróneas,

para terminar diciendo que “la aproximación realizada en este estudio (…) no nos permite concluir si

un estudiante para maestro tiene al comenzar su formación inicial un conocimiento matemático

fundamental suficiente; pero sí detectar carencias y limitaciones en conocimientos básicos propios de

este nivel” (p. 127) y concluyen “consideramos imprescindible diseñar y establecer medidas de apoyo

complementario al trabajo en el aula, medidas que les permitan avanzar en su conocimiento común”

(p. 127). Esta misma prueba la aplican Nortes y Nortes (2017) a una muestra de 174 estudiantes del

Grado de Maestro de Primaria de la Universidad de XXX de 2.º (N=59), 3.º (N=75) y 4.º (N=40),

obteniendo como resultados 6,2 en Números, 5,8 en Medida, 5,3 en Geometría y 6,7 en Incertidumbre,

siendo más bajas las medias de los de estudiantes de 2.º, en Números de 5,7, en Medida de 5,3, en

Geometría de 4,2 y en Incertidumbre de 6,1, particularizando en 2.º que uno de cada cinco estudiantes

suspende los cuatro bloques y el 44% suspende la prueba completa. Los resultados por sexo indican

diferencias significativas con mejor puntuación en hombres en todos los bloques de contenidos

excepto en Números.

Gutiérrez-Rubio, Gutiérrez-Rubio, Maz-Machado, León-Mantero y Jiménez-Fanjul (2018)

realizan un estudio descriptivo-exploratorio de la percepción de la utilidad de la geometría en futuros

profesores de Educación Primaria. Para ello utilizan una muestra de 152 estudiantes de 3.º del Grado

de Educación Primaria en la asignatura de Didáctica de la Geometría y la Estadística de la Universidad

de Córdoba y les aplican, entre otras, la pregunta abierta “en cuatro o cinco líneas explique por qué es

importante el estudio de la Geometría en Educación Primaria” clasificando sus respuestas en razones

de carácter procedimental, instrumental y otras. La razón que más se utiliza dentro del carácter

procedimental es “identificar las figuras geométricas” con un 40,13%, en la de carácter instrumental

“desarrollo de la capacidad espacial” con un 32,24% y en otras consideran que la geometría no es

importante en la educación del niño con 1,32%. Existe un 45% de alumnos que se pronuncian por

utilizar enfoques procedimentales para justificar la enseñanza de la Geometría.




Nortes y Nortes (2019) a una muestra de 233 estudiantes del GMP matriculados en la

Universidad de Murcia el curso 17/18 aplican la prueba de competencia matemática de sexto de

primaria como prueba de diagnóstico obteniendo que de 32 ítems de que consta la prueba ocho no son

superados y que el 20% de los alumnos participantes habrían sido declarados no aptos para realizar los

estudio que acceden al GPM si esta prueba hubiera sido aplicada para su admisión.

Con estas pruebas, se pretende conocer el nivel de competencia matemática de los alumnos que

acceden al GMP y las dificultades que encuentran y los errores que cometen. Un estudio de Pañellas

(2016) indica que las dificultades en conocimientos básicos aparecen en los trabajos de los futuros

maestros, siendo uno de los motivos de los errores la falta de comprensión de los contenidos, debidos

en muchos casos a la metodología que utilizaron sus profesores basada en la memorización, sin

experimentar, sin formular debates, ni aplicar estrategias, ni generalizar los resultados. Eso ha dado

lugar a que muchos alumnos no sepan argumentar las decisiones que toman cuando resuelven

problemas, por lo que detectar, diagnosticar y estudiar los errores que cometen ayudará a solucionar

sus carencias. En otro estudio Alguacil, Boqué y Pañellas (2016) analizan en 226 estudiantes de 3.º y

4.º del Grado de Maestro de Primaria, desde el curso 12/13 al 15/16 los errores cometidos en los

contenidos básicos de matemáticas utilizando dos pruebas de conocimientos básicos en matemáticas

para determinar las concepciones correctas y erróneas de los estudiantes, y lo hicieron en cuatro

etapas: detección de errores, elaboración de las categorías de análisis, agrupación de las respuestas

erróneas e interpretación de los datos obtenidos. Presentan dos tablas, una con errores básicos en

numeración y cálculo y otra en medida, encabezadas por cuatro columnas: contenidos, concepto en el

que muestra la dificultad, ejemplos del error y carencias que evidencian, porque “descubrir las

carencias en conceptos matemáticos ayuda al estudiante a construir conocimiento” (p. 427).

Otras investigaciones van referidas a analizar el conocimiento matemático fundamental en el

Grado de Educación Primaria. Así, Castro, Mengual, Prat, Albarracín y Gorgorió (2014) efectúan una

primera aproximación revisando los estudios de TEDS-M y TIMSS, entre otros, pasando por el

conocimiento del profesor y el conocimiento matemático fundamental. Comparan el conocimiento de

los estudiantes para maestro y el conocimiento matemático fundamental en donde el conocimiento de

los estudiantes al inicio de su formación suele estar caracterizado por la memorización y la resolución

de problemas bien definidos y concluyen “parece razonable asumir que la formación de maestros en la

universidad no es suficiente por ella misma para dotar a los futuros docentes de las competencias y

conocimientos necesarios para enseñar matemáticas” (p. 235).

Se pretende en todos estos estudios conocer la situación con que empiezan el Grado de Maestro

de Primaria los futuros maestros, ver sus conocimientos en contenidos, sus errores y dificultades, sus

carencias y si tienen adquirida la competencia matemática correspondiente al nivel que van a impartir

de manera profesional.

3. Objetivo

Cuando los alumnos matriculados en un curso del GMP se dividen en grupos y esos grupos

están en turnos de mañana y tarde y además hay un grupo bilingüe, surge la pregunta sobre cómo se ha

llevado a cabo el reparto y a qué parámetros se ha atendido. En el caso del grupo bilingüe de inglés se

accede mediante una selección y los alumnos tienen que justificar su conocimiento del idioma,

mientras que el resto de grupos se confeccionan con un reparto al azar y atendiendo, en el caso de los

turnos, la compatibilidad de los horarios académicos y laborales para los estudiantes que justifican tal

necesidad.





Se quiere conocer si en el reparto de los alumnos en grupos existen diferencias en competencia

matemática entre ellos y qué procesos cognitivos dominan para posteriormente en otros estudios ver si

los resultados que obtengan en la asignatura Matemáticas y su didáctica pueden depender de la

competencia matemática con que llegan al GMP. Aquí nos hacemos eco del primero, de medir la

competencia matemática de sexto de primaria con que llegan los alumnos, si hay diferencias entre

grupos, si hay diferencias por sexo, si hay diferencias entre el grupo bilingüe y el resto y si hay

diferencias por turno.

La prueba de competencia matemática se pasa en todos los grupos de 2.º y también se pasa a un

grupo de alumnos de 3.º para completar el estudio y ver si estos alumnos que ya han cursados 12

créditos de Matemáticas y su didáctica obtienen mejores resultados en competencia matemática que

los alumnos de 2.º del GMP y analizar si los errores y dificultades se siguen manteniendo.

Para conocer todos estos interrogantes se plantean las siguientes preguntas de investigación:

PI1. Los alumnos que acceden al Grado de Maestro de Primaria, ¿tienen adquirida la

competencia matemática correspondiente a sexto de Primaria?

PI2. Los alumnos de 2.º curso, en el que tienen la primera asignatura de matemáticas,

¿muestran diferencias en procesos cognitivos entre grupos?, ¿y por contenido?

PI3. Habiéndose establecido un grupo bilingüe de inglés, ¿son mejores los resultados en

procesos cognitivos en este grupo que en el resto de grupos?, ¿y por contenido?

PI4. Teniendo en cuenta que tres de cada cuatro estudiantes del Grado de Maestro de

Primaria son mujeres, ¿tienen mejores resultados que sus compañeros hombres?

PI5. Siendo dos los turnos, mañana y tarde, en que se distribuyen los siete grupos, ¿hay

diferencia entre dichos turnos?

PI6. El proceso cognitivo alcanzado por los alumnos del Grado de Maestro de Primaria, ¿es

el nivel más alto de los establecidos para sexto de primaria?

PI7. ¿Se mantienen los errores tras cursar una asignatura de Matemáticas y su didáctica de

12 créditos?

4. Método

4.1. Participantes

Son 344 alumnos de 2.º del Grado de Maestro de Primaria de la Universidad de Murcia

pertenecientes a siete grupos, uno de ellos bilingüe, los que contestan a esta prueba. De ellos 84 son

hombres y 260 mujeres, 44 pertenecen al grupo bilingüe y el resto no, 232 asisten al turno de mañana

y 112 al turno de tarde. Las edades de los alumnos están comprendidas entre 18 y 46 años y media

aritmética 19,9 años. El grupo bilingüe inglés es el A, los grupos de mañana son A, B, C y D y los de

tarde E, F y G. Y son 28 alumnos de un grupo de 3.º los que contestan a la misma prueba para

contrastar los resultados. Se trata de una muestra no probabilística.

4.2. Instrumento

Prueba de evaluación de la Competencia Matemática de Educación Primaria de 6.º curso

2017/18 (INEE, 2018) que consta de 30 preguntas o ítems de contenidos correspondientes a Números

(NUM), Medida (MED), Geometría (GEO) e Incertidumbre y datos (INC) y a tres grupos de procesos

cognitivos: Conocer y Reproducir, Aplicar y Analizar, y Razonar y Reflexionar, cada uno con dos




niveles, resultando seis niveles de progresión de los procesos cognitivos: 1) Acceso e Identificación

(AEI), 2) Comprensión (COM), 3) Aplicación (APL), 4) Análisis (ANA), 5) Síntesis y Creación

(SYC) y 6) Juicio y Valoración (JYV). La fiabilidad del instrumento se mide con el alfa de Cronbach

que es de 0,768, considerado como aceptable. En la tabla 1 se presentan las preguntas de la prueba

clasificadas por contenido y proceso cognitivo.

En MECD (2014, p. 68), se describen los niveles de proceso cognitivo de la siguiente manera:

Acceso e Identificación (AEI): acciones de recordar y reconocer los términos,

los hechos, los conceptos elementales del conocimiento y de reproducir

algoritmos.

Comprensión (COM): acciones para captar el sentido y la intencionalidad de

textos de lenguaje matemático y de códigos relacionales e interpretarlos para

resolver problemas.

Aplicación (APL): aptitud para seleccionar, transferir y aplicar información

para resolver problemas con cierto grado de abstracción y la de intervenir con

acierto en situaciones nuevas.

Análisis (ANA): posibilidad de examinar y fragmentar la información en

partes, encontrar causas y motivos, realizar inferencias y encontrar evidencias

que apoyen generalizaciones.

Síntesis y Creación (SYC): acciones de recoger información y relacionarla de

distintas formas, establecer nuevos patrones y descubrir soluciones

alternativas.

Juicio y Valoración (JYV): capacidades para formular juicios con criterio

propio, cuestionar tópicos y exponer y sustentar opiniones fundamentadas.

ÍTEMS 1. AEI 2. COM 3.APL 4.ANA 5. SYC 6. JYV TOTAL

NÚMEROS 1 3-27 7-13-15 19-22 9-21 10

MEDIDA 2 17 6 10 24-26 6

GEOMETR. 11 5-23 14-18 29 6

INCERTID. 28-30 16 4-8 12 20-25 8

TOTAL 5 4 5 7 4 5 30

Tabla 1. Clasificación de todos los ítems atendiendo a contenido y proceso cognitivo

4.3. Procedimiento

Se pasa la prueba a todos los alumnos asistentes un día a clase en la primera semana del curso

2018/19 para realizarla de forma individual dando 60 minutos para cumplimentarla, el mismo tiempo

que el establecido para alumnos de 6.º de Primaria. En cada grupo su profesor de matemáticas es el

encargado de materializarlo y la prueba es corregida por un profesor distinto de los anteriores,

atendiendo a los criterios establecidos por los diseñadores de la prueba, dando 1 punto si la respuesta

es correcta y 0 cuando es errónea o queda sin contestar.





5. Resultados

5.1. Resultados globales

Los estudiantes de 2.º del Grado de Maestro de Primaria que contestan a la Prueba de

Evaluación para 6.º de Primaria, considerando el número de respuestas correctas a las 30 cuestiones

del cuestionario, tienen como resultados los siguientes valores representativos: rango [9, 30], media

21,55, desviación típica 4,38, moda 23 con 34 alumnos, mediana 22, cuartil inferior 18,5, cuartil

superior 25 y recorrido intercuartílico 6,5. Es decir que con 19, 20, 21, 22, 23, 24 y 25 respuestas

correctas se encuentran el 50% de estudiantes.

Hay 45 alumnos, el 13,08%, con 27 o más respuestas bien, que obtienen sobresaliente, y 26

alumnos, el 7,56%, con 14 o menos respuestas bien, que no superan la prueba. El mínimo de

respuestas correctas es de 9 con dos estudiantes y el máximo de 30 con tres.

En una puntuación de 0 a 10 la media es 7,19, la desviación típica 1,46, la moda 7,67, la

mediana 7,33, el cuartil inferior 6,17, el superior 8,33 y el recorrido intercuartílico de 2,17.

Por bloques de contenidos el que mayor puntuación tiene es Incertidumbre y datos (INC) con

8,52, seguido de Medida (MED) con 7,87, Geometría (GEO) con 7,40 y Números (NUM) con 6,50.

Por proceso cognitivo las puntuaciones están en consonancia con los seis niveles de progresión de los

procesos cognitivos que permiten el dominio de la competencia matemática: Nivel 1) Acceso e

Identificación (AEI) con una media de 8,71, Nivel 2) Comprensión (COM) con 8,21; Nivel 3) Aplicar

(APL) con 7,06, Nivel 4) Analizar (ANA) con 6,94; Nivel 5) Síntesis y Creación (SYC) con 6,34 y

Nivel 6) Juicio y Valoración (JYV) con 6,01. Van de mayor a menor puntuación conforme aumenta el

nivel de proceso cognitivo.

Por bloques de contenidos, el 2,03% tiene máxima calificación en Números, el 14,24% en

Medida, el 10,76% en Geometría y el 36,34% en Incertidumbre. Mientras que por proceso cognitivo

tienen máxima puntuación el 53,49% en Acceso e Identificación, el 48,55% en Comprensión, el

19,48% en Aplicación, el 16,86% en Análisis, el 18,02% en Síntesis y Creación y el 6,40% en Juicio y

Valoración.

El 28,78% tiene máxima calificación en Incertidumbre y en AEI, mientras que solo el 4,07% en

Incertidumbre y JYV. En el otro extremo estos porcentajes son en Números y AEI del 1,74% y en

Números y JYV del 1,45%. Y entre estos dos Medida-AEI con 12,5% y Medida-JYV con 1,74% y

Geometría-AEI con 9,30% y Geometría-JYV del 2,33%.

Por preguntas, las dos puntuaciones extremas, la mejor contestada (PR20) con media 0,98 (entre

0 y 1) y la peor contestada (PR21) con media 0,24, pertenecen al nivel 6 de proceso cognitivo Juicio y

Valoración, la primera es de Incertidumbre y datos y la segunda de Números. Las preguntas con

menos del 50% de respuestas correctas por grupo se recogen en la tabla 2 y sus enunciados vienen en

el apartado 6.

ÍTEMS CON MENOS DEL 50% DE RESPUESTAS CORRECTAS

Grupo PR7 PR9 PR14 PR15 PR21 PR23 PR24 PR29

A X X X

B X X X X X X

C X X X X




D X X X X X X X

E X X X X

F X X X X X

G X X X X X

Tabla 2. Preguntas con menos del 50% de respuestas correctas por grupo

Los tres ítems PR21, PR23 y PR24 se suspenden en los siete grupos de 2.º, siendo el grupo C el

que tiene las puntuaciones más bajas no llegando al 20% de respuestas correctas en los tres casos, el

grupo E tiene dos puntuaciones por debajo del 20% de aciertos y el grupo G solo uno.

En los ítems PR7, PR9, PR14, PR15 y PR29 que tienen puntuaciones bajas pero con más del

50% de aciertos en los participantes, el grupo D tiene cuatro ítems que no llegan al 50% de aciertos, El

B tiene tres, el F y el G tiene dos y los grupos C y E solo tiene uno. Tan solo el grupo A tiene los cinco

ítems por encima del 50% de aciertos.

Por niveles de proceso cognitivo, por debajo del 50% de aciertos están PR23 (Geometría) que es

una de las cinco de Aplicación (Nivel 3); PR24 (Medida) que es una de las cuatro de Síntesis y

Creación (Nivel 5) y PR21 (Números) que es una de las cinco de Juicio y Valoración (Nivel 6). En los

demás niveles no hay preguntas que globalmente estén por debajo del 50% de aciertos.

5.2. Resultados por grupo

Los resultados por grupo vienen en la Tabla 3, tanto por número de respuestas (sobre un total de

30), como por puntuación de 0 a 10. En negrita se destaca la puntuación más alta y en amarillo la más

baja.

POR NÚMERO DE RESPUESTAS

A B C D E F G TOT

Número 44 72 58 58 30 43 39 344

Mínimo 14 9 14 9 13 13 11 9

Máximo 30 30 29 28 28 29 27 30

Media 22,93 21,36 21,81 20,41 22,13 22,88 19,72 21,55

DT 3,97 4,71 3,74 4,22 4,78 4,28 4,32 4,38

POR PUNTUACIÓN DE 0 A 10

Mínimo 4,67 3,00 4,67 3,00 4,33 4,33 3,67 3,00

Máximo 10 10 9,67 9,33 9,33 9,67 9,00 10,00

Media 7,64 7,12 7,27 6,81 7,40 7,63 6,57 7,19

DT 1,32 1,57 1,25 1,41 1,59 1,43 1,44 1,46

Tabla 3. Estadísticos por número de respuestas en cada grupo

Las medias varían de 7,64 (Grupo A) hasta 6,57 (Grupo G).

Las desviaciones típicas varían entre 1,25 (Grupo C) y 1,59 (Grupo E).

Solo en dos grupos (A y B) hay alumnos que obtienen la puntuación máxima.





Las puntuaciones medias por bloques de contenido y proceso cognitivo en los siete grupos

vienen en las tablas 4 y 5, resaltando en negrita la más alta y en amarillo la más baja.

GRUPOS NUM MED GEO INC PR

Grupo A 7,00 7,50 7,31 8,86 7,64

Grupo B 6,51 6,95 6,41 8,63 7,12

Grupo C 6,83 7,16 6,26 8,66 7,27

Grupo D 5,74 6,72 6,52 8,45 6,81

Grupo E 7,23 7,28 6,78 8,04 7,40

Grupo F 6,91 7,87 7,40 8,55 7,63

Grupo G 5,54 6,11 6,54 8,27 6,57

TOTAL 6,50 7,07 6,69 8,52 7,19

Tabla 4. Medias por contenido y grupo

El contenido con mayor puntuación es Incertidumbre y Datos (INC) que en todos los grupos

tiene puntuación superior a 8, no llegando a un punto de diferencia entre los valores más

extremos.

Le sigue Medida (MED) con diferencia de puntuaciones de más de 1,5 puntos, habiendo cinco

grupos que alcanzan el notable. Mejor puntuación en el grupo F y peor en el grupo G.

Detrás Geometría (GEO) con dos grupos con notable y diferencia de puntuaciones de algo

más de un punto. Mejor puntuación en el grupo F y peor en el grupo C.

Por último Números (NUM) en donde dos grupos tienen notable y la diferencia de

puntuaciones es de más de 1,5 puntos. Mejor puntuación en el grupo E y peor en el grupo G.

Por totales hay cinco grupos con puntuación superior a 7.

GRUPOS AEI COM APL ANA SYC JYV

Grupo A 9,50 8,75 7,55 7,14 7,05 6,18

Grupo B 8,44 8,33 6,81 6,85 6,60 5,97

Grupo C 8,90 8,97 7,35 7,12 5,65 5,72

Grupo D 8,76 7,54 6,83 6,23 6,08 5,62

Grupo E 8,67 8,08 7,07 7,71 6,08 6,40

Grupo F 8,93 7,91 7,35 7,81 7,21 6,51

Grupo G 7,74 7,63 6,56 6,08 5,71 6,00

TOTAL 8,71 8,21 7,06 6,94 6,34 6,01

Tabla 5. Medias por proceso cognitivo y grupo

El proceso cognitivo Acceso e Identificación (AEI) tiene una media de 8,71, alcanzando una

puntuación de sobresaliente en un grupo y en el resto de notable. Mejor puntuación en el

grupo A y peor en el grupo G.

En Comprensión (COM) todos los grupos están en notable con una diferencia de cerca de 1,5

puntos. Mejor puntuación en el grupo C y peor en el grupo D.

En Aplicación (APL) hay cuatro grupos con notable y tres con aprobado con una diferencia

entre los extremos inferior a un punto. No hay diferencias destacables entre los grupos.

En Análisis (ANA) más de 1,5 puntos entre los grupos extremos. Mejor puntuación en los

grupos E y F y peor en los grupos D y G.




En Síntesis y Creación (SYC) solo hay dos grupos con media de notable y el resto de

aprobado. Más de 1,5 puntos de diferencia. Mejor puntuación en el grupo F y peor en los

grupos C y G.

En Juicio y Valoración (JYV) no llega a un punto la diferencia máxima entre grupos, todos

están con media de aprobado y no hay diferencias destacables entre los grupos.

De los siete grupos hay uno que destaca favorablemente que es el grupo F que tiene la mejor

puntuación en MED, GEO, ANA, SYC y JYV, por el contrario, el G, que destaca con la peor

puntuación, en NUM, MED, AEI, APL y ANA. Sobre el resto de grupos, el A tiene la mejor

puntuación en INC, AEI y APL, el grupo C tiene la mejor puntuación en COM y la peor en GEO y

SYC, el grupo D tiene la peor puntuación en COM y JYV, y el grupo E la mejor en NUM y la peor en

INC.

5.3. Resultados comparativos por género, idioma y turno

Se analiza por género para establecer comparaciones con otros estudios y se analiza por idioma

y por turno de mañana o de tarde. Los resultados vienen en las tablas 6, 7 y 8, destacando en negrita el

más alto cuando la diferencia es superior a 0,5 puntos.

GÉNERO NUM MED GEO INC PR N

HOMBRE 7,17 7,55 7,06 8,84 7,68 84

MUJER 6,29 6,91 6,57 8,43 7,03 260

AEI COM APL ANA SYC JYV

HOMBRE 9,00 8,33 7,60 7,72 7,35 6,02

MUJER 8,62 8,16 6,89 6,68 6,01 6,00

Tabla 6. Comparativa por género

Hay diferencias superiores a 0,5 a favor de hombres en Números, Medida y en el total de la

prueba.

Hay diferencias superiores a 0,5 en tres niveles centrales (Aplicación, Análisis y Síntesis y

Creación), favorable a hombres, siendo más reducidas en los otros tres, destacando la similitud

en los resultados por género en el nivel 6 de Juicio y Valoración.

IDIOMA NUM MED GEO INC PR N

INGLÉS 7,00 7,50 7,31 8,86 7,64 44

ESPAÑOL 6,43 7,00 6,60 8,48 7,12 300


INGLÉS 9,50 8,75 7,55 7,14 7,05 6,18

ESPAÑOL 8,59 8,13 6,99 6,91 6,23 5,98

Tabla 7. Comparativa por idioma

Los estudiantes del grupo bilingüe obtienen mejor puntuación respecto al resto, en particular

en Geometría.





En procesos cognitivos, son notables las diferencias superiores en 0,5 en los niveles 1 (Acceso

e Identificación), 2 (Comprensión), 3 (Aplicación) y 5 (Síntesis y Creación), favorables al

grupo bilingüe.

TURNO NUM MED GEO INC PR N

MAÑANA 6,49 7,05 6,57 8,64 7,18 232

TARDE 6,52 7,10 6,93 8,32 7,20 112


MAÑANA 8,84 8,37 7,09 6,82 6,32 5,86

TARDE 8,45 7,86 7,00 7,18 6,38 6,30

Tabla 8. Comparativa por turno

No hay diferencias destacables por turno en ningún bloque de contenidos matemáticos, siendo

mejores los resultados en el turno de tarde, excepto en Incertidumbre que es superior el turno

de mañana.

En procesos cognitivos, tan solo en Comprensión hay diferencia destacable próxima a 0,5 a

favor del turno de mañana.

5.4. Comparación resultados con 3.º

Se pasó la Prueba de evaluación a un grupo de 3.º para ver si los alumnos recién llegados a 2.º y

los de 3.º que llevaban 12 créditos realizados de Matemáticas y su didáctica tenían resultados

parecidos en la prueba de Competencia Matemática. La muestra de 3.º la constituyen 28 alumnos, que

obtienen en preguntas correctas un rango [13, 28], de media 23,79, desviación típica 3,97 y

calificaciones de 0 a 10 entre 4,33 y 9,33, con media 7,93 y desviación típica 1,32. Comparando con

los resultados de 2.º hay una diferencia de 0,74 significativa a favor de 3.º.

Posteriormente, se seleccionan los ocho ítems que peores resultados se han obtenido en 2.º

(tabla 2) para ver su resultado en 3.º, obteniendo los resultados de la tabla 9.

TOT PR7 PR9 PR14 PR15 PR21 PR23 PR24 PR29

2.º 0,54 0,55 0,56 0,64 0,24 0,31 0,26 0,51

3.º 0,43 0,61 0,86 0,68 0,21 0,43 0,54 0,79

Tabla 9. Puntuación preguntas peor contestadas (valores entre 0 y 1)

Hay tres ítems (PR14, PR24 y PR29) en donde los resultados en 3.º son muy superiores a

los de 2.º y las diferencias son destacables.

Hay dos ítems (PR7 y PR21) con resultados más bajos en 3.º.

Hay en 3.º tres ítems (PR7, PR21 y PR23) que no llegan al 50% de respuestas correctas.

Seleccionadas las respuestas erróneas a estos ocho ítems en 3.º y en un grupo de 2.º elegido al

azar, que resultó el grupo B, se efectúa un análisis descriptivo de los errores.




6. Análisis descriptivo de los errores

Se seleccionan las preguntas con mayor porcentaje de respuestas incorrectas (PR7, PR9, PR14,

PR15, PR21, PR23, PR24 y PR29) y se analizan algunas contestaciones de estudiantes del grupo B de

2.º y del grupo de 3.º. El utilizar solamente un grupo de alumnos de 2.º es debido a la alta variedad de

respuestas y que por su extensión será objeto de un estudio posterior. En la interpretación de los

errores se utiliza el consenso de los autores. A continuación se presentan en las figuras de 1 a 156

enunciados de las preguntas, algunas respuestas de los alumnos y comentarios generales.

PR7. La temperatura en la Tierra varía en los distintos lugares a lo largo del año. En la isla

de Tarinkag, en el año 2016, se registraron las siguientes temperaturas:

Ordena los meses sombreados en azul de mayor a menor temperatura

__________ > __________ > __________ > __________

Figura 1. Enunciado PR7.

En el grupo B de 2.º el 48,61%, es decir 1 de cada 2 alumnos, no lee bien el enunciado y pone

números en lugar de meses en su respuesta, no contestando a lo que pide el enunciado. Pero en

3.º, en el grupo de contraste, es el 57,14% de los participantes que comenten el mismo error.

PR9. El circo Maravillas ha llegado a la ciudad. Todos los niños esperan

impacientes el día del estreno.

El circo dispone de varios tipos de entradas dependiendo del lugar desde donde

se vea el espectáculo. A continuación, puedes ver los precios de las diferentes zonas.

Cada zona se diferencia por el color.





Pablo y su pandilla quieren ir el día del estreno porque hacen un descuento. En

total son 8 niños de 12 años y 2 de 13 años, y quieren sentarse en la zona de “Tribuna

A”.

¿Cuánto les costarán, en total, las entradas de todos?

A. 97,6 € B. 105,6 € C. 132 € D. 144 €


En el grupo B de 2.º el 34,72% de los estudiantes no aplica el descuento del 20% por ir el día

del estreno, por lo que señalan la respuesta C en lugar de la B y un 14% señalan la A o la D.

En 3.º cometen el mismo error el 35,71%. Lo que sugiere una incorrecta interpretación del

enunciado. En el grupo B de 2.º uno de cada dos estudiantes y en 3.º uno de cada tres, comete

error.

PR14. Llega el siguiente espectáculo. Cuatro payasos trapecistas hacen

acrobacia a la vez, cada uno sobre un triángulo suspendido del techo

El payaso que está sobre un triángulo suspendido del techo.

El payaso que está sobre un triángulo rectángulo es el número…

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4


En el grupo B de 2.º señalan el 29,17% la respuesta A y entre las otras dos incorrectas el

18,05% lo que indica que uno de cada dos estudiantes se dejan llevar por el dibujo en lugar de

comprobar que la suma de los ángulos del triángulo ha de ser 180º. En 3.º el 14,28% sigue

cometiendo el mismo error al señalar A, C o D. En la figura 4 un alumno de 2.º señala la

respuesta C obtiene 185º y 190º como suma de los ángulos de los triángulos 3 y 4, olvidándose

de que la suma de los tres ángulos debe ser 180º.




Figura 4. Respuesta alumno de 2.º GMP a PR14.

PR15. Toca el turno a los equilibristas. Un payaso mantiene el equilibrio

mientras asciende por los peldaños de una escalera. De pronto, cuando está en el

peldaño más alto, un balón se suelta de una red, bota en el suelo y pasa rozando entre

el pie del payaso y la guirnalda de banderines que decora la pista.

La altura del balón es el 10 % de la suma de las alturas de la escalera y el

payaso.

¿A qué altura, desde el suelo, está colocada la guirnalda de banderines?

A. 4,05 m B. 4,70 m C. 4,75 m D. 4,95 m


La solución correcta es la D, mientras que en la A se calcula la suma de las alturas del payaso

y la escalera y le resta el 10%, en la B se calcula el 10% de la altura del payaso y en la C el

10% de la altura de la escalera. En el grupo B de 2.º el error A lo comete el 11,11% y en 3.º el

17,86%; el error B en 2.º es del 8,33% y en 3.º del 3,57% y el error C en 2.º es del 5,56% y en

3.º del 10,71%, lo que indica que el error en el grupo B de 2.º lo comete uno de cada cuatro

alumnos y en 3.º uno de cada tres alumnos, aumentando el error en 3.º. La figura 6 muestra la

respuesta de un alumno que contiene varios errores en la notación y expresión numérica.






PR21. David le dice a Álvaro que se ha comprado una Tablet y una funda por

620 €. Por la funda ha pagado ¼ de lo que había pagado por la Tablet. Quiere saber lo

que ha pagado por cada uno, por ello, ha decidido hacer el siguiente planteamiento:

Planteamiento: El precio de la funda más el de la Tablet son 5 partes, por lo

tanto, la funda es 1/5 y la Tablet son 4/5. Entonces la funda cuesta 124 € y la Tablet

son 4/5. Entonces la funda cuesta 124 € y la Tablet 496 €.

¿Es correcto el planteamiento que ha hecho David?

A. Es incorrecto porque la funda cuesta 200 €.

B. Es incorrecto porque el precio de la funda es ¼ de 620.

C. Es correcto el planteamiento pero la solución es incorrecta.

D. Es correcto tanto el planteamiento como la representación y la solución.


En el grupo B de 2.º el 41,67% se decanta por señalar la respuesta B y no se dan cuenta que

dice el enunciado que son cinco partes y una corresponde a la funda, por tanto es correcto el

planteamiento, la representación y la solución y deberían haber señalado D como respuesta.

En 3.º el 32,14% señala también la respuesta B. La respuesta C la señalan en el grupo B de 2.º

el 11,11% y el 14,29% en 3.º. Se presenta en la figura 8 la respuesta de un alumno con errores

de notación en la regla de tres, de cálculo señalando ¼ como 0,4 y en la división señalando la

respuesta B.





PR23. Han cambiado la dirección del lugar donde habían quedado, así que

Andrés envía con su móvil una imagen. Clasifica en la siguiente tabla las figuras

geométricas según el criterio establecido.

Coloca el número en el lugar correcto:





CRITERIO Número

Polígono de tres lados…………………..…… ___

Cuadrilátero no paralelogramo…………..….. ___

Paralelogramo cuyos lados son iguales…..…. ___

Superficie plana limitada por una línea curva. ___


En el grupo B de 2.º hay 17 tipos de respuestas erróneas, desde señalar (6-2-5-3) o (6-2-4-3)

hasta señalar (6-1-2, 5, 4-3) o (6–1, 4, 2–5-3), con un porcentaje de error del 72,22% en el

grupo B de 2.º, pero en 3.º el porcentaje de error es del 53,57%, manteniéndose los errores de

señalar (6-2-4-3) o (6-4-5-3) y (6-1-5,2-4-3) o (6-1-5, 2, 4-3). Otros de los señalamientos en

2.º B son: (6-1-2-3), (6-1-5-3), (6-2-4-2), (6-5-4-3), (6-4-2-3), (6-1-4-3), (6-4-5-3). Una

respuesta se representa en la figura 10 en donde el alumno señala como “paralelogramo cuyos

lados son iguales” figuras que no se corresponden, como son la 2 y la 5.

Figura 10. Respuesta alumno de 2.º GMP a PR23

PR24. Laura, la hija de Manuela, ha estado cronometrando con el móvil de su

madre, lo que han tardado Clara y Álvaro en llegar a la nueva dirección.

Clara… 336 segundos.

Álvaro… 20 minutos 25 segundos.

Andrés… ¿?

Si Andrés ha llegado 2 minutos y 44 segundos después del que llegó el primero,

¿cuánto tiempo ha tardado Andrés en llegar? Calcula y escribe en el recuadro la

solución: _____minutos _____segundos.


Esta pregunta en el grupo B de 2.º tiene una gran variedad de respuestas, con 35 errores

diferentes, que van desde considerar 8 minutos 4 segundos hasta considerar 22 minutos 405




segundos. Ponemos como (minutos: segundos) algunas respuestas de los estudiantes de 2.º B:

(24: 69), (7: 50), (29: 0), (38: 49) (23: 09), (8: 1), (22: 69), (0: 500), (18: 19), (7: 80), (22:

60)… En muchos casos los errores están en confundir el sistema sexagesimal con el

centesimal, el considerar en una división la parte entera como minutos y la parte decimal

como segundos… y los errores del grupo B de 2.º suponen el 66,67%. En 3.º los errores se

sitúan en el 32,14%, la mitad y algunos resultados son: (8: 10), (3: 16), (23: 9), (6: 40), (6: 20),

(8: 44), (23:13) en donde al menos el número de segundos es inferior a 60 y los errores

diferentes son de 7 tipos. Se presentan en las figuras 12, 13 y 14 tres respuestas dadas por los

alumnos de entre las muchas erróneas encontradas.


Figuras 13 y 14. Respuesta de dos alumnos de 2.º GMP a PR24





PR29. Matías ha confeccionado una mantita cuadrada para que su padre se

proteja del frío en los momentos de descanso. Ha utilizado trozos de tejido térmico que

ha recortado de prendas que tenía en casa.

¿Qué superficie en dm2, cubre la manta?

A. 60 B. 117 C. 144 D. 225


Se pide hallar la superficie del cuadrado mayor y en el grupo B de 2.º el 27,78% calcula el

perímetro, señalando la respuesta A. La respuesta C, calculando como si fuera un cuadrado de

lado 9+3=12 dm lo señala el 13,89% y la tercera B que es la suma de la superficie de los cinco

cuadrados que aparecen en el dibujo la anota el 5,56%. En 3.º la suma de estos errores se

reduce al 7,14%.

7. Discusión y Conclusiones

De las treinta preguntas de la prueba de competencia matemática la media es de 21,55 que

equivale a 7,19 en una puntuación de cero a diez, resultando cinco grupos con notable y dos con

aprobado, siendo el bloque de Incertidumbre el de puntuaciones más altas entre 8,04 y 8,86, con media

global de 8,52 y el más bajo el de Números con puntuaciones entre 5,54 y 7,23, y media global de

6,50. (PI1). Los alumnos participantes tienen adquirida la competencia matemática de sexto de

primaria en un nivel de notable bajo.

Por niveles de progresión de los procesos cognitivos, todos los grupos tienen medias por encima

de 5. El más alto el de Acceso e Identificación (Nivel 1) con medias entre 7,74 y 9,50 y media global

de 8,71, y el más bajo de Juicio y Valoración (Nivel 6) que tiene medias entre 5,62 y 6,51 y media

global de 6,01. Conforme se va avanzando en el nivel de progresión de los procesos cognitivos va

disminuyendo la puntuación obtenida, pasando de 8,71 en el primer nivel al 6,01 del último, bajando

2,7 puntos.

El grupo bilingüe se diferencia de los otros seis, obteniendo mejores puntuaciones en todos los

bloques de contenidos y en el resultado global, siendo esas diferencias destacables en Geometría y en

el global de la Prueba. También por niveles de progresión de los procesos cognitivos en todos ellos

obtienen mejores resultados que los grupos no bilingües y esas diferencias son destacables en Acceso

e Identificación (N1), Comprensión (N2), Aplicación (N3) y Síntesis y Creación (N5). Aunque la




selección de los alumnos del grupo bilingüe ha sido hecha por sus conocimientos de inglés, denotan

mejor preparación en general que el resto de sus compañeros. (PI3)

Por género, los hombres obtienen mejores resultados en todos los bloques de contenidos, siendo

esas diferencias destacables en Números, Medida y el total de la prueba y en todos los niveles de

procesos cognitivos, siendo esas diferencias destacables en Aplicación (N3), Análisis (N4) y Síntesis y

Creación (N5). (PI4)

Por turno de mañana o tarde no hay diferencias destacables en ninguno de los cuatro bloques de

contenidos ni en el global de la Prueba, mientras que en procesos cognitivos hay diferencias

destacables en los dos primeros a favor de mañana, en el tercer nivel están muy igualados y en los

niveles 4, 5 y 6 las puntuaciones son superiores en el turno de la tarde. (PI5)

De las ocho preguntas peor contestadas, cuatro corresponden a Números, tres a Geometría y una

a Medida, siendo tres de proceso cognitivo Análisis (N4), una de Aplicación (N3), una de Síntesis y

Creación (N5) y tres de Juicio y Valoración (N6), y las tres con menos del 50% de aciertos en todos

los grupos una de es Números-N6, una de Geometría-N3 y una de Medida-N6.

En cuanto a errores, se mantiene la confusión entre Área y Perímetro, ya detectada en Nortes y

Nortes (2013), el trabajar con minutos y segundos en el sistema sexagesimal, destacada por Arce et al.

(2017), el no reconocimiento correcto de las figuras geométricas, visto en Nortes y Nortes (2017) y la

reiterada falta de comprensión de los enunciados, que lleva a dar respuestas no apropiadas a las

preguntas formuladas y en muchos casos respuestas absurdas. Además los errores se mantienen tras

haber cursado 12 créditos de Matemáticas y su didáctica los alumnos participantes del grupo de 3.º.

(PI7)

Se confirman los resultados de otros estudios (Nortes y Nortes, 2017, 2019), de que los hombres

tienen mejores resultados en contenidos matemáticos y se coincide con Arce et al. (2017) que en la

parte de Incertidumbre obtienen mejores resultados, siendo por bloques de contenidos los resultados

del presente estudio inferiores a los de Arce et al. (2017).

¿Se puede decir que los alumnos que acceden al GMP conocen los contenidos matemáticos y

tienen adquiridos los procesos cognitivos de la competencia matemática de sexto de primaria?

De los siete grupos, el grupo F destaca favorablemente en cinco de las diez comparaciones

efectuadas y por el contrario el grupo G destaca desfavorablemente, en cinco. (PI2). Evidentemente

hay diferencias entre grupos. Además, entre los grupos, por contenidos hay diferencias destacables en

Números, Medida y Geometría, y por proceso cognitivo en Acceso e Identificación, Comprensión,

Análisis, y Síntesis y Creación.

Del estudio comparativo de la tabla 1 de contenidos y procesos cognitivos se nota la ausencia de

no haber preguntas dentro de todos los niveles, denotando la ausencia en (NÚM, N3), (MED, N6),

(GEO, N2), (GEO, N5) e (INC, N5), con lo que la prueba queda incompleta y debería haber sido

revisada por los autores de la misma antes de haberla aplicado. Por el contrario, hay repeticiones como

el caso de NÚM que tiene tres preguntas en N4. También se encuentra un resultado llamativo y es que

la pregunta mejor contestada y con mayor puntuación pertenece al nivel más alto de proceso cognitivo

(INC, N6) con una media de 0,98, y eso puede ser debido a que los estudiantes del GMP han tenido en

la prueba de acceso a la Universidad problemas de este contenido y lo tienen más reciente, o quizás

que esa clasificación no sea la adecuada. (PI6).





Si en Nortes y Nortes (2019) los tres ítems con menor número de aciertos corresponden a

calcular una distancia aplicando la longitud de la circunferencia (28% de aciertos), una superficie

sumando superficies parciales con diferentes unidades de medida (42% de aciertos) y buscar

semejanzas y diferencias entre una cometa, un romboide, un trapecio y un cuadrado (32% de aciertos)

en el presente estudio son un planteamiento con fracciones (24% de aciertos), una clasificación de

figuras geométricas según un criterio (31% de aciertos) y un cambio de unidades de tiempo (26% de

aciertos) lo que da a entender que especialmente en Medida y Geometría se tienen olvidados los

conceptos elementales y que no van en la línea de los resultados de Gutiérrez-Rubio et al. (2018) que

indica que el 40,13% de los estudiantes del GMP consideran que la principal razón procedimental para

que los alumnos estudien geometría en primaria “sepan identificar las distintas figuras geométricas”

(p. 264) y el 28,29% consideren como principal razón instrumental “porque con la geometría se

desarrolla la visión espacial” (p. 264), opiniones que no se corresponden con los conocimientos que

demuestran conocer los futuros maestros en geometría y que tendrán que desarrollar en su actividad

profesional.

La falta de comprensión de los conceptos geométricos hace que los alumnos no asuman que una

misma figura geométrica pueda poseer definiciones diferentes y no distingan entre propiedades

necesarias y suficientes (Escudero-Domingo y Carrillo, 2014), puesto de manifiesto en la pregunta de

clasificación de figuras geométricas, o que los alumnos señalen el perímetro cuando tienen que

calcular una superficie o que identifiquen un triángulo rectángulo cuya suma de ángulos es superior a

180º.

En otros casos cometen errores como los indicados por Alguacil et al. (2016) en su lista de

errores básicos más frecuentes en cálculo que señalaban en las operaciones con fracciones no

comprender el concepto de fracción ni de fracción equivalente, y también con el cambio de unidades,

puesto de manifiesto en los ítems anteriores.

En Nortes y Nortes (2019) se analizaron las diferencias entre las puntuaciones en los cursos 2.º,

3.º y 4.º, mientras que en la presente investigación se ha efectuado un estudio con todos los grupos de

2.º, habiendo mayor diferencia entre grupos de un mismo curso que entre cursos del GMP lo que da a

entender la gran heterogeneidad en su formación matemática de los alumnos que acceden al grado, lo

que lleva a la necesidad de programar un curso cero antes de iniciar la primera asignatura de

matemáticas en donde se recuerden los contenidos de matemática elemental.

El reaprender y aprender de nuevo lo que ya fue aprendido y en parte olvidado, ayudará, como

indica Pañellas (2016) a familiarizar al futuro maestro con los contenidos elementales para construir

un conocimiento básico de matemáticas para adquirir la competencia matemática de un maestro de

primaria porque para poder desarrollar el conocimiento pedagógico del contenido requiere el

conocimiento del contenido matemático y su competencia.

Se puede concluir diciendo que en la distribución por grupos el número de respuestas correctas

entre grupos extremos difiere en tres, siendo el 7,56% los alumnos que suspenden, que el reparto por

turnos no señala peor al grupo de tarde y que en todos los grupos los alumnos conocen los contenidos

de primaria, con una serie de lagunas en fracciones, figuras geométricas y medidas de tiempo , estando

el proceso cognitivo adquirido en Comprensión, lejos del nivel más alto de Juicio y Valoración, que en

principio deberían estar situados la mayoría de los futuros maestros.

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Andrés Nortes Checa. Facultad de Educación. Universidad de Murcia. Líneas de investigación sobre

enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas en el Grado de Maestro de Primaria. Email: [email protected].

Rosa Nortes Martínez-Artero. Facultad de Educación, Universidad de Murcia. Líneas de investigación

relacionadas con la formación inicial de profesores de primaria.

Email: [email protected].




ISSN: 1887-1984

Volumen 79, marzo de 2012, páginas 67-81

Estrategias de cálculo mental empleadas por una alumna

de segundo grado de primaria: El caso de Luisa

Tzindejeh Rodríguez Quintero

José Antonio Juárez López

(Benemérita Universidad Autónoma de Puebla. México)

Fecha de recepción: 9 de mayo de 2019


Resumen Este trabajo contiene el análisis detallado de las estrategias de cálculo mental utilizadas

por una alumna de segundo grado de una escuela primaria federal ubicada en la Ciudad

de Puebla en México. Dichas estrategias fueron obtenidas a través de una entrevista

clínica la cual se elaboró con el objetivo de observar y analizar las estrategias de cálculo

mental que la alumna emplearía para resolver ejercicios de suma y resta de números

naturales. Mediante el presente trabajo se logró observar que la estudiante raramente

emplea los algoritmos que la educación primaria promueve ya que en su lugar ha

demostrado un claro apego a la creación de sus propias estrategias las cuales no dudó en

utilizar aun durante los momentos en los que se le mostraron operaciones escritas.

Palabras clave Estrategias, cálculo mental, suma, resta, educación primaria.

Title Mental calculation strategies used by a second grade elementary school student:

Luisa's case

Abstract This work contains a detailed analysis of the mental calculation strategies used by a

second grade student of a federal elementary school located in the City of Puebla in

Mexico. These strategies were obtained through a clinical interview which was

developed with the objective of observing and analyzing the mental calculation

strategies that the student would use to solve exercises of addition and subtraction of

natural numbers. Through this work it was possible to observe that the student rarely

uses the algorithms that primary education promotes since instead she has demonstrated

a clear attachment to the creation of her own strategies which she did not hesitate to use

even during the moments when They showed him written operations.

Keywords Strategies, mental calculation, addition, subtraction, primary education.

1. Introducción

En la actualidad existen bastantes recursos que permiten realizar cálculos más fácilmente. El

cálculo mental es un componente necesario que debe formar parte de las competencias que son

empleadas en la cotidianeidad de la vida y es algo a lo que todos pueden acceder, ya que, como

menciona Martínez (2011) “No existe un «gen» matemático que sea poseído por algunos alumnos y no

por otros, y que dicho gen predisponga al aprendizaje. No hay personas «negadas» para la matemática,

y ante las cuales cualquier esfuerzo es inútil” (p. 98), entonces es posible que los alumnos puedan

desarrollar este tipo de habilidades o bien perfeccionar las que ya poseen.


Estrategias de cálculo mental empleadas por una alumna de segundo grado de primaria:

El caso de Luisa. T. Rodríguez Quintero, J. A. Juárez López


Antes de continuar es necesario definir al protagonista de este escrito, el cálculo mental. Por una

parte, se puede decir que:

El cálculo mental es el cálculo hecho mentalmente y usando estrategias. Este

produce una respuesta precisa. Usualmente tiene lugar sin el uso de medios

externos tales como el lápiz y el papel, aunque puede realizarse con papel y

lápiz, para hacer ‘apuntes’ que apoyen a la memoria. (Lemonidis, 2016, p. 7).

Por otro lado, Parra (1994) lo describe como un conjunto de procedimientos que se encargan de

obtener resultados sin la necesidad de emplear un algoritmo que ya se encuentre preestablecido, por lo

que, en palabras de Cortés, Backhoff y Organista (2004) “de hecho, los procedimientos propiamente

mentales que el alumno lleva a cabo en este tipo de cálculos son diferentes a los que se aplican cuando

se recurre a los algoritmos de lápiz y papel, tradicionalmente enseñados en el aula” (p. 150). Es muy

probable que resulte confuso y tal vez algo desalentador comprender que en efecto cuando se ha

realizado un cálculo en la mente, sin apoyo alguno del lápiz y papel, y se ha utilizado el algoritmo que

tan eficazmente ha sido incrustado desde la escuela primaria, en realidad no se ha recurrido a ninguna

estrategia de cálculo mental y en su lugar únicamente se ha repetido un proceso previamente

establecido, que en muchas ocasiones no se vincula con uno de los propósitos de hacer cálculos en la

mente que es el de facilitar mediante otras vías la realización de alguna operación sin emplear los

medios convencionales.

Con lo mencionado anteriormente se podría argumentar que existen, para fines de este

documento, dos vertientes. La primera conformada por el cálculo mental y la segunda el cálculo

algorítmico como a continuación se describe:

Aquí puede observarse que la distinción entre cálculo algorítmico y cálculo

mental no reside en que el primero sea escrito y el segundo no se apoye en el

uso de lápiz y papel. Como mencionamos anteriormente, el cálculo

algorítmico utiliza siempre la misma técnica para una operación dada,

cualesquiera sean los números. En cambio, cuando se propone un trabajo de

cálculo mental no se espera una única manera de proceder. (Secretaría de

Educación, 2006, p. 14).

Entonces, no se debe anteponer uno sobre el otro ya que ambos convergen para permitir a los

estudiantes una amplia gama de recursos de los cuales puedan elegir el que más les convenga, ahí

reside su importancia.

Otro de los objetivos del cálculo mental es que los alumnos memoricen ciertos resultados o

puedan recuperarlos fácilmente, archivándolos en su repertorio personal al cual podrán acudir siempre

que lo necesiten. Pero como se menciona en la Secretaría de Educación (2006), dicha memorización

debe ser adquirida por una “construcción e identificación previa de relaciones que tejan una red desde

la cual sostenerla y darle sentido” (p. 16), así que es necesario que esta red sea elaborada bajo un

proceso reflexivo sin tratar de automatizarlo ya que involucra la toma de decisiones por parte de los

alumnos las cuales no siempre serán las más convencionales a los ojos de los maestros.

En la educación primaria se puede observar que en ocasiones el cálculo algorítmico ha sido

privilegiado sobre el cálculo mental, pero, aunque en el perfil de egreso no se especifica que los

alumnos deben conocer y mucho menos dominar estrategias de cálculo mental, uno de los propósitos

de la Educación Primaria en México establecidos por la Secretaría de Educación Pública (2017) es

“Utilizar de manera flexible la estimación, el cálculo mental y el cálculo escrito en las operaciones con

números naturales, fraccionarios y decimales” (p. 226). Además, dentro de los aprendizajes esperados





en segundo grado de educación primaria hay un pequeño segmento el cual señala que además de usar

el algoritmo convencional para sumar, el alumno también “calcula mentalmente sumas y restas de

números de dos cifras, dobles de números de dos cifras y mitades de números pares menores que 100”

(p. 236).

En el mismo documento existe un apartado llamado orientaciones didácticas y sugerencias de

evaluaciones específicas el cual describe algunas sugerencias acerca de cómo se debe trabajar el

cálculo mental.

a) Número mayor a 10 menos un dígito, con resultado múltiplo de 10. Ejemplo: 56 – 6 = 50.

b) Sumas de la forma a + b = 100. Ejemplo: 75 + 25 = 100.

c) Sumas de la forma 100 + a = ___. Ejemplo: 100 + 20, 100 + 45.

d) Restas de la forma: 100 – a = ___con a múltiplo de 10. Ejemplo: 100 – 30 =

e) Complementos del tipo a + ___= 100. Ejemplo: 28 +___ = 100

El trabajo sugerido en el apartado anterior permite pensar que los alumnos que están cursando el

segundo grado podrían emplear ese repertorio ya que es uno de los aprendizajes esperados, pero

también podría ser posible que los alumnos desarrollen algunas estrategias sin que se les haya guiado

previamente, tal es el caso que se describirá a continuación. Buscar atajos siempre parece ser más

atractivo para la mente que desgastarse en un camino largo y problemático, y es durante esa búsqueda

de atajos en donde se perfeccionan las estrategias, se fortalecen las que resultaron de mayor utilidad y

se descartan las que durante el camino no ayudaron del todo a llegar a la meta.

2. Antecedentes

El cálculo mental es una actividad de valiosa importancia, es por eso que distintos autores se

han dedicado a investigarlo, tal es el caso de Parra (1994), quien menciona que el cálculo mental en la

escuela primaria debe ser parte de un trabajo colaborativo. Para que este trabajo se lleve a cabo el

profesor debe proponer un ambiente en el que los alumnos puedan tener la facilidad de compartir y

justificar sus ideas. Esos argumentos llevarán a los alumnos no solamente a visualizar las demás

estrategias propuestas por sus compañeros, sino que también les permitirán llegar a una introspección

que les permita identificar si sus propias estrategias son válidas o es que pueden ser mejoradas o tomar

alguna que otro alumno haya propuesto.

En el mismo sentido, Mochón y Vázquez (1995) realizaron un trabajo en el que abordaron los

temas de cálculo mental y cálculo estimativo. El estudio fue realizado con niños de primaria y

secundaria en México. Uno de sus propósitos consistió en investigar estrategias de cálculo mental.

Esta investigación reveló que la mayoría de los estudiantes no poseen estrategias de cálculo mental

diversas, además de observar que, al contestar con lápiz y papel, usando el algoritmo convencional,

existía un mayor número de errores que cuando lo hacían mentalmente.

En el mismo trabajo le adjudican al cálculo mental las siguientes características: flexible,

holístico, variable y constructivo, y es notable por qué lo describen así, ya que tiene relación con el

modo de pensar de cada individuo, el cual funciona de distintas maneras. No todos resolverán de la

misma forma los cálculos propuestos, además da la oportunidad de desglosar las operaciones y formas

nuevos resultados.

Por otro lado, Chemello (1997) describe algunas diferencias y características entre la resolución

de operaciones a través del cálculo mental, escrito y con calculadora, además, plantea la necesidad de

trabajarlo en las escuelas. También hace gran énfasis ante el hecho de no memorizar las estrategias, ya




que propone que es mejor invitar a los alumnos a verificar sus procedimientos y realizar un análisis de

las estrategias que ellos mismos sugieran.

Cortés et al. (2004), discuten en su estudio acerca del cálculo mental y estimativo y como estos

son importantes aun para los estudiantes de secundaria. Este trabajo fue realizado con 248 alumnos de

secundaria de escuelas públicas y privadas en México. La ardua labor realizada consistió en analizar

las estrategias empleadas por dichos estudiantes para posteriormente clasificarlas. Los estudiantes que

participaron en el estudio fueron seleccionados por ser considerados como buenos estimadores. Las

estrategias mentales que usaron fueron pocas y en realidad en el estudio mencionan que los alumnos

no dominan el cálculo mental, así que debería ser atendido con más atención en las escuelas.

Ávila (2005), por otra parte, decidió investigar fuera del ámbito escolar, realizando su trabajo

con adultos analfabetos a quienes entrevistó mediante diferentes problemas y con grados de dificultad

mayor conforme la entrevista transcurrió. Los sujetos entrevistados demostraron tener conocimiento

de distintas estrategias de cálculo mental, las cuales estaban en su mayoría basadas en la

descomposición de números para realizar las operaciones. Al no ser personas que tenían

escolarización, su cercanía provenía del uso práctico del dinero.

Más recientemente Formoso, Injoque-Ricle, Jacubovich y Barreyro (2017), realizaron un trabajo

con 70 niños de 6 años en el cual se ven implicados diferentes factores que afectan al cálculo mental,

algunos de ellos son la memoria de trabajo, velocidad de pensamiento y hasta las habilidades verbales

que los niños tienen al momento de realizar problemas aritméticos.

3. Método

El presente trabajo es de tipo cualitativo. Para recolectar la información se recurrió a una

entrevista clínica realizada a una alumna de segundo grado de educación primaria de una escuela

federal ubicada en la Ciudad de Puebla, México. La entrevistada a quien posteriormente se podrá

distinguir en los fragmentos de entrevista como “S” tiene 7 años y posee gran facilidad para expresarse

verbalmente, además no demuestra desagrado ante la asignatura de matemáticas.

A través de la entrevista se pretendió dar respuesta a la siguiente pregunta de investigación:

¿Cuáles son las estrategias de cálculo mental que emplea una alumna de segundo grado de primaria al

resolver ejercicios de suma y resta de números naturales? Como objetivo de esta investigación, se

pretendió observar las estrategias de cálculo mental que la alumna emplearía para resolver ejercicios

de suma y resta con números naturales, además de analizar dichas estrategias.

Las tareas propuestas tuvieron como objetivo brindar las condiciones para que la alumna

empleara y explicara sus estrategias para resolver sumas y restas con números naturales a través del

cálculo mental.

4. Análisis de la entrevista

La entrevista comenzó con el saludo y presentación acostumbradas, posteriormente se preguntó

si sabía que era el cálculo mental a lo cual ella respondió:

S: Es algo que te dice que, pues te dicen sumas o multiplicaciones y tú tienes que… o

restas y tú tienes que ir diciendo, el resultado, pero nada más pensándolo en la

mente.





Su respuesta evidencia una suposición que se tenía prevista, en la cual se llegó a considerar que

únicamente se referiría al cálculo mental como una manera de resolver operaciones aritméticas en la

mente. Para ahondar un poco más sobre su pensamiento acerca del tema se decidió preguntarle acerca

del momento en que podría ser utilizado, esto con la esperanza de que lograra vincularlo con el

ambiente exterior y no únicamente que lo percibiera como una cuestión meramente escolar. Aunque la

alumna es consciente que puede ser empleado como medio para realizar cuentas, esas mismas cuentas

no lograron ser visualizadas como parte de lo que se puede presentar en la vida diaria como al

momento de comprar alguna mercancía.

E: Cuando no estás en la escuela, ¿también lo has utilizado alguna vez?

S: Sí.

E: ¿Te acuerdas de algún momento en el que hayas utilizado el cálculo mental fuera

de la escuela?

S: Sí.

E: Me podrías platicar cuándo fue eso, o de qué te acuerdas.

S: Pues es que ayer o antier (refiriéndose al día anterior de ayer) mi mamá me estaba

haciendo cálculo mental.

Lo anterior podría sugerir que el cálculo mental para ella aun no es visto como una herramienta

que facilite hacer cuentas en otros ámbitos más que en los referentes al estudio, no lo está relacionado

con alguna situación real que haya vivido en su entorno, simplemente es percibido como una práctica

rutinaria.

Para comenzar, se le propuso a la alumna una suma bastante sencilla, con el afán de reforzar su

confianza, además de analizar si emplearía el repertorio mental con el que se supone debería contar al

haber cursado ya el primer año de escolaridad en la educación primaria.

E: Bueno, vamos a comenzar con una operación sencilla, ¿cuánto es 3+2?

S: 5.

E: 5, cómo supiste que era 5.

S: Porque le voy sumando (suelta una pequeña risa).

Con esa pequeña risa acompañada de algo de obviedad en su tono de voz, pareció ser cierta la

suposición previamente hecha ya que la primera suma le resultó bastante simple. Nótese que la

segunda suma también posee un grado de dificultad menor y es bastante probable que al igual que la

anterior formara parte del repertorio mental de la alumna, pero en este caso la diferencia radica en el

hecho de que los números no se le dijeron como generalmente aparecen en un algoritmo, o sea el

mayor seguido del menor. Para esta suma y las posteriores se planeó proponer la cantidad menor al

inicio, seguida de la mayor con el único fin de analizar si en efecto la alumna seguiría este mismo

acomodo o movería a conveniencia las cantidades.

E: Ahora, ¿5+6?

S: 11.

E: ¿Hiciste algo diferente para este el cálculo? ¿o utilizaste lo mismo?

S: Utilicé lo mismo.

E: ¿Si?, a ver, ¿qué fue eso mismo que utilizaste?

S: La suma.

E: Explícame cómo fue en tu mente, me gustaría saber cómo lo hiciste en tu mente.

S: Bueno para, primero sumé el número más grande y después el más chico.




Operación

propuesta

Operación

realizada por la

alumna

Estrategia

empleada

5+6= 6+5 = -Contar desde el

sumando mayor *

Tabla 1. Ejemplo de estrategia utilizada por Luisa y clasificada por * (López, 2014, p. 176)

En este caso, como se esperaba, la alumna comenzó a mostrar una primera estrategia, el conteo

desde el sumando mayor, mencionada por López (2014), ya que decidió no realizar la suma de los

números en el orden mencionado porque le resultaba más sencillo acomodar y retener en su mente el

más grande para luego añadirle el menor.

E: Ok, entonces, ¿primero sumaste el 6 y luego el 5?

S: Sí.

E: ¿Y, porque sumaste el número más grande primero?

S: Para que se me haga más fácil.

Posteriormente se le propuso otra suma y cuando se le preguntó sobre si sería lo mismo hacerlo

con lápiz y papel ella contestó que hubiera sido igual porque tendría que hacer las mismas cuentas.

Al continuar se le propuso sumar 8+12 con la finalidad de comprobar que no descompondría las

cifras para reacomodarlas haciendo una nueva y así resolver con mayor facilidad las operaciones.

Cuando se le preguntó acerca de su procedimiento contestó lo siguiente:

S: Pues se me hizo un poquito difícil, pero, así como que fui… fui…como contando los

de 8 y diciendo a pues 12, 13, 14 y así.

E: ¿A ok, entonces tú, empezaste desde 8 y le fuiste sumando?

S: No, empecé desde el 12.

E: ¿Tenías doce en la mente o cómo?

S: Sí.

E: ¿Y luego qué fuiste haciendo?

S: Fui poniendo un número y otro hasta llegar al 8.

E: Ah, hasta completar ya los 8 que se les iban sumando de más.

S: Sí.

En esta suma la alumna demuestra una segunda estrategia de cálculo mental la cual no se

pensaba que podría utilizar. Decidió optar por colocar en su mente el número mayor, como había

hecho previamente, y posteriormente sumar de uno en uno hasta juntar los ocho que debían sumarse,

en este caso, se pudo percibir que la alumna empleó sus dedos, aunque de manera automática los

colocó debajo de la mesa, como queriendo esconder lo que hacía. Para este caso empleó las estrategias

descritas por López (2014), es decir, representación de los sumandos mediante objetos o empleando

los dedos y conteo desde el sumando mayor.

Para poner a prueba lo que antes había mencionado la alumna acerca de que resolver a través de

cálculo mental y de manera escrita era lo mismo, se decidió pedirle que lo contestara en una hoja.

E: ¿Aquí hiciste lo mismo?

S: No.





E: ¿Aquí qué fue lo que hiciste, me podrías explicar?

S: La suma que usted me dijo, igual yendo contando, o sea primero puse el 8, o

también luego yo para los números mayores, por ejemplo, si es 150 como le quito

así los 50, asumiendo y si es el 8 le pongo 158.

E: Ah, ok como que le vas a agregando ahí y en este caso cómo le hiciste para sumar

estos dos, por ejemplo.

S: Por ejemplo, aquí le puse el 1, bueno el 10 más 8, 18, 19, 20 así lo hice.

Al pedirle que explicara con detalle cómo había realizado el cálculo de la suma con lápiz y

papel, en realidad no empleó el algoritmo que se enseña en la escuela, en lugar de eso salió a relucir

otra estrategia de cálculo mental, que en efecto rompió el supuesto que se tenía previsto, el cual

declaraba que no usaría una descomposición de los números. La alumna descompuso el número

mayor, en este caso el 12, dejándolo como 10 y 2, luego, decidió sumar la decena con el 8, formando

un número nuevo, después de eso recurrió a lo que ya había realizado antes, o sea colocar ese 18 en su

mente y contar de uno en uno hasta juntar las dos unidades que le quedaban por añadir.

Operación propuesta Operación realizada por la

alumna Estrategia empleada

8+12=

12+8 =

-Representar los sumandos

mediante objetos o dedos*

-Contar desde el sumando

mayor*

10+8+2=

-Contar a partir de uno de los

sumandos*

-Descomponer el sumando

mayor en decena y unidades*


Aunque para muchos otros lo más usual sería el hecho de descomponer el 12 y agregar el dos de

las unidades al 8 para formar un 10 y posteriormente sumarlo al 10 que quedó del primer número

descompuesto, ella optó por una solución alternativa y a sus ojos bastante eficiente, demostrando

también que empleó la estrategia de descomposición de los problemas en problemas más simples

mencionada por López (2014).

Para la siguiente suma sucedió lo mismo, al pedirle que sumara 31+ 9 en su mente colocó

primero el número mayor y luego le fue sumando los 9. Al pedirle que lo resolviera en una hoja y lo

explicara reflejó lo familiarizada que estaba con ese método además de que se sintió confiada al

usarlo.

S: Primero al 31 por decir, le quité el 1 como si lo hubiera apartado y le puse el 9 o

sea me da 39 más 1, 40.






31+9=

30+9=39

39+1=40


mayor en decena y

unidades*


mayor*


Descomponer los números para elaborar uno nuevo y posteriormente añadir la cantidad más

pequeña es una estrategia interesante, la cual parece dominar a la perfección. La tercera hipótesis

estableció que la alumna propondría otras estrategias de cálculo mental después de ayudarle a

reflexionar mediante un conflicto cognitivo. Este conflicto supuestamente surgiría de la respuesta que

ella proporcionó al preguntarle nuevamente si realizaba lo mismo en la mente que en el papel, otra vez

respondió que hacía lo mismo, entonces se le hizo la pregunta si es lo mismo hacerlo escrito que en la

mente ¿para qué sirve el cálculo mental? a lo que ella respondió:

S: Pues yo diría que pues para alguna gente o para alguien se le dificulta el cálculo

mental entonces lo tiene que hacer en papel así se le dificulta menos.

Para tratar de averiguar si en efecto existían otras estrategias en su repertorio, se prosiguió con

la entrevista y para colocarla en el papel del experto como sugiere Ginsburg (1997), se le preguntó por

alguna recomendación que ella daría a los demás al momento de resolver 35+15. Su respuesta fue 41 y

al pedirle una explicación describió lo siguiente:

S: Pues lo que yo hago, que es quitarle el número que le sigue.

E: ¿O sea en este caso el quitaste el 5?

S: Sí, (se ríe nerviosamente) y le puse el otro 5.

E: Ajá.

S: Pero después le puse este 5 y luego le puse el 1.

E: ¿A ver en este caso quitaste este 5?

S: Sí.

E: Ese es el primero consejo, y luego quitaste este otro 5 de las unidades, ¿sí?

S: Ajá.

E: ¿Y qué pasó con estos cincos cuando los quitaste?

S: Aquí quedo 31.

E: ¿Quedó 31? Ok, bien.

S: Y les puse los cincos y me dio 41.





Operación propuesta Operación realizada por

la alumna Estrategia empleada

35+15=

5+5=10

3+1=31

31+10=41


mayor en decena y

unidades*


mayor*


En este caso fue muy evidente que Luisa descompuso los números para formar nuevos. Lo

anterior pudo apreciarse porque al sumar las dos unidades, que resultan una suma sencilla para ella al

formar parte de su repertorio mental, pudo deducir que se formaría un 10, pero al momento de sumar

las decenas, no hizo lo mismo que con las unidades, simplemente decidió agrupar el 3 que

representaría tres decenas y el 1 que representaría una decena, al momento de agrupar tales números

sin mantener su estatus de decenas consiguió obtener el 31, es ahí cuando a través de esa confusión

decide sumarle los 10 que tenía de las unidades logrando obtener como resultado el 41. Su estrategia,

de hecho, parece prometedora, lo único que no logró contemplar fue la diferencia entre el valor que

poseen las unidades y decenas.

Durante la resolución de la suma escrita se pensó que acudiría al algoritmo escrito empleado

convencionalmente, pero en efecto la alumna empleó el cálculo mental, ya que en la escuela no se le

había hablado de ello y mucho menos discutido sobre el repertorio de estrategias ya existentes.

Durante la entrevista mencionó que hay que estudiar los cálculos, seguramente adjudica a su estudio el

hecho de que pueda resolverlos, pero en realidad no ha logrado aún reflexionar que ha diseñado sin

ayuda de algún agente externo al menos dos estrategias que le han facilitado realizar cálculos de una

manera distinta a la que le han enseñado en la primaria.

Para comenzar con las restas se contempló una cuarta hipótesis en la cual se consideró que la

alumna recurriría a su repertorio de resultados de sumas y restas, pero esta vez con números mayores.

Esta suposición fue errada ya que no contempló el hecho de conocer el resultado de restar 5 menos 2 y

agregarle únicamente el cero.

E: Bien, pasemos a las restas ¿50-20?

S: 30.

E: ¿Cómo hiciste para resolverla en tu mente?

S: Pues en mi mente yo lo único que hice fue poner el 20 e ir contando, ahora si

cuántos dieces me faltaron para llegar al 50.



50-20=

20+10+10+10= 50


sumandos*





Para este apartado vuelve a emplear la estrategia ya usada en las sumas, aunque en esta ocasión

en lugar de ir contando de uno en uno decidió contar de diez en diez, partiendo desde el número más

pequeño.

La segunda resta 60-35 no fue tan sencilla para ella ya que no implicaba únicamente ir de 10 en

10 y al ser números más grandes accedió a que se le mostraran en una hoja. Respondió que le

quedaban 35 y lo explicó de la siguiente manera:

S: Le pongo los 35 y luego le pongo 35, 40, 50, 60 le faltan 35.

E: Ok, ¿por qué dices que le faltan 35?

S: Porque lo que fui haciendo fue lo mismo, nada más que aquí tuve que hacer esto, o

sea que me pase al 40, del 35 me pase al 40, le sumé lo que le faltaban a este y

después le puse el 5 y ahí me dio el 35.

E: A ver entonces vamos a hacerlo aquí. De aquí (señalando el número 35) te pasaste

al 40 verdad, entonces, ¿cuánto nos faltaban para el 40?

S: ¿Para el 40?, 5.

E: Va, si quieres ese lo puedes anotar aquí.

S: Pues entonces lo que hice fue esto, haz de cuenta está el 35, me pasé al 40 y

después lo que hice fue 40, luego me fui al 50 y después 60 y le puse el 5, entonces

una, dos, tres, 10, 20, 30 más los 5 que me quedaron nos da el 35.



60-35=

35+5+10+10+10= 60

60-35=35


sumandos*


En este caso empleó lo mismo que en la resta anterior, pero trató de realizar algo así como el

conteo de uno en uno, aunque en este caso sumó una decena de más. Cuando se le pidió que

propusiera otra solución con la finalidad de explorar otras posibles estrategias y con el afán de que

verificara su resultado y tal vez modificarlo si es que se daba cuenta de su error, ella explicó lo

siguiente:

S: Sí, que fuera así como que de regreso.

E: ¿A ver cómo sería de regreso?

S: Sería aquí el 60, y le vas restando, así, menos, 60 menos 10, menos 10, menos 10,

menos 5.

E: Te parece si la resolvemos con el lápiz para comprobar.

S: Si, luego 60 menos 35, lo que haría aquí es que al 60 igual le fuera restando o

yendo para allá (se queda viendo al entrevistador en búsqueda de aprobación).

E: Sí, está bien.

S: Si, entonces 60 menos 35 es... (escribe 35)

E: Ok, está bien. ¿Esto qué hiciste en el papel y con el lápiz es lo mismo que haces en

la escuela?

S: Sí.

E: ¿Así los resuelves?

S: Sí.





Después de escuchar la segunda explicación, se le pidió que contestara en la hoja la misma resta

tratando de que se diera cuenta del error en el que estaba, ya que se pensó que resolvería la resta como

usualmente lo hace en clases, es decir a través del algoritmo. Al ver su respuesta y escuchar su

explicación se confirmó que en efecto para resolver las sumas o restas no emplea los algoritmos

convencionales que son enseñados en la escuela primaria. Como siguiente actividad se le propuso el

un problema.

E: “Supongamos que hoy te dieron $43 pero mañana te vas a gastar 17, ¿cuánto

dinero te quedaría?”

Sujeto: Ajá (se queda pensando un rato)

E: ¿Gustas que anotemos las cantidades?

S: Si por favor, (después de pensar un rato responde 34).

E: ¿Podrías explicarme cómo hiciste esto en tu mente?

S: Pues, primero es lo que luego hago en las sumas que es lo que pongo los números

así (anota los números acomodándolos para realizar el algoritmo convencional)

43 menos 17. O sea yo me imaginé esto, e irle quitando así ahora si fue en mi

mente como ponerlo para acá, como que le di vuelta (refiriéndose a intercambiar

los números) y 7 menos 3 me dio 4, entonces después me dio 3 (refiriéndose a

restar 4 menos 1).

E: Entonces esa fue tu cantidad.

S: Si, esto le di vuelta (las unidades) y esto no (las decenas).

E: ¿Y por qué a esto si le diste vuelta?

S: Para, mmm porque, se me hace más fácil restarle al mayor.

E: ¿Restarle al mayor?

S: Restarle al mayor para que me quedé el número exacto.



43-17=

1) 43

-17

2) 47

-13


mayor en decena y

unidades*

-Algoritmo escrito


Este fue el primer cálculo que anotó de una manera distinta a los demás. Además, para este

único caso decidió emplear el algoritmo convencional de la resta salvo por algunas modificaciones que

ella incorporó a conveniencia, como la de intercambiar la posición de las unidades para que pudiera

efectuarse la resta sin mayor problema. En este caso fue posible apreciar que Luisa no pudo llevar a

cabo alguna de las técnicas para la resta como el algoritmo de resta con llevada escrita, que es el

comúnmente enseñando en la primaria.

Mencionó que en su mente también había hecho lo mismo, optando por intercambiar los

números de las unidades. En el caso de las decenas no fueron intercambiadas de lugar porque la

decena del minuendo era mayor que la del sustraendo y no le representó ninguna dificultad. En este

caso, llama la atención el vocabulario que empleó para justificar su decisión, al mencionar que decidió

restarle al mayor para que le quedara el “número exacto”, lo cual quiere decir que en realidad tiene en

cuenta que sería inconveniente sustraer de un número menor una cantidad que lo rebase.

Posteriormente se le propuso el siguiente problema:




“Si vas a la tienda y compras tres chocolates que cuestan 13 pesos cada uno ¿Cuánto tendrías

que pagar?”

S: 39 (no demora en contestar).

E: ¿Cómo hiciste eso tan rápido?

S: Pues es que está fácil porque, eh pues nada más lo que hice fue sumar los primeros

10 y luego como yo ya sé que 3+3+3 es igual a 9 entonces le puse 39.



13+13+13=

10+10+10= 30

30+9= 39



-Recuperación (memoria de

largo plazo)*


Al mencionar que ya conoce el resultado de esa suma reiterada se hace presente lo mencionado

según Siegler (1984) citado por López (2014), el cual describe que la información sobre los hechos

aritméticos básicos se almacena en la memoria en forma de “nodos”. Estos nodos fueron de bastante

utilidad ya que en este caso la alumna sin saber multiplicar, empleó su repertorio de sumas para saber

rápidamente el resultado de sumar las decenas y unidades, nótese que para esta operación nuevamente

deja a un lado el algoritmo y comienza por desintegrar el número separando las decenas y unidades,

sumando primeramente las decenas, por que como lo hizo notar anteriormente empezar por los

números más grandes le resulta conveniente.

Para colocarla nuevamente en el papel de experta como menciona Ginsburg (1997), se le pidió

que inventara un problema y que lo resolviera empleando cálculo mental.

S: Juan fue a la tienda a comprar un kilo de limón que cuesta 20 pesos y un chocolate

de 10 pesos, y un litro de leche que cuesta 37 ¿cuánto pagó?

E: Me podrías decir sin hacer las operaciones con lápiz y papel ¿cuánto pagó?

S: Pagó, pues… 67.

E: Es verdad. ¿Y cómo supiste que pagó 67?

S: Lo que fui haciendo fue primero poner el 30, bueno al 37 le quité los 7, le puse los

20, luego los 10.



20+10+37=

30+20+10= 60

60+7=67




mayor*






Para este último caso se nota nuevamente la descomposición el único número que no formaba

parte de los múltiplos de 10 para que resultará más sencilla la suma, ya que al tener los siguientes

sumandos: 20+10+37, descompone el 37, obteniendo 30 y 7, quedándole lo siguiente: 30+20+10 = 60,

por último, solo añadió el 7 que tenía “apartado” como en otra situación había mencionado.

En este caso y como menciona Chemello (1997), la alumna ya ha logrado descubrir que existe

una regularidad entre ciertas series numéricas entre las cuales hay relación y por ende será más

sencillo sumarlas. Para este caso en específico los múltiplos de diez, o bien si no los ha identificado

como tales, aquellos números que terminen en cero.

Aunque las estrategias empleadas por la alumna encajan en las descritas por López (2014),

también resulta interesante hablar de una estrategia descrita por Ávila (2005), llamada procedimiento

indoarábigo, ya que describe con mayor detalle los pasos que se llevan a cabo durante el cálculo

mental. Este procedimiento consiste en:

1. Descomponer los números en unidades, decenas, centenas, etc.

2. Realizar la suma comenzando por las de orden superior obteniendo una suma parcial.

3. Seguir con el procedimiento obteniendo otras sumas parciales.

4. Sumar las sumas parciales para obtener una suma total.

Un ejemplo de esta estrategia al sumar 250+ 310 resultaría de la siguiente forma:

1. 200+50 y 300+10

2. 200+300= 500

3. 50+10= 60

4. 500+60=560

El procedimiento anteriormente descrito es totalmente diferente al que se emplea en la

escolarización habitual ya que en el caso de la educación primaria se les pide a los alumnos comenzar

por la suma de las unidades, decenas, centenas y así sucesivamente. Se pudo apreciar claramente que

para el sujeto entrevistado no resultó conveniente acudir a la estrategia enseñada en la escuela, en su

lugar y sin habérselo mostrado previamente empleó el procedimiento indoarábigo en casi todas las

operaciones propuestas, es posible apreciarlo en las tablas 2,3,8 y 9 aunque con menor grado de

dificultad porque solo descompuso unidades y decenas ya que así lo demandaban las operaciones.

5. Conclusiones

Cortés et al. (2004) proponen que “El cálculo mental debe ser aceptado en los currículos

escolares por su contribución al desarrollo del pensamiento aritmético y como medio para el

diagnóstico y reorientación del proceso de enseñanza” (p. 57). En el caso del currículo mexicano se

puede apreciar que se percibe al cálculo mental como “una práctica que debe realizarse

permanentemente, pues el desarrollo de esta habilidad permite agilizar los cálculos e identificar un

resultado incorrecto” (p. 245). Aunque en verdad debería ser incorporada como una actividad

permanente, en muchas ocasiones suele verse como un tema más y se prosigue con lo que resta del

programa, lo cual no beneficia al progreso y reforzamiento de esta parte importante del currículo y que

en realidad, como mencionan Formoso et al. (2017) se trata de algo que no puede ser percibido como

simple, su complejidad radica en la codificación de los datos y al mismo tiempo su almacenamiento

temporal o a largo plazo que le permitirá recuperar y utilizar datos o procedimientos que resulten

necesarios. Esa complejidad se puede percibir también en la gama de habilidades mencionadas por

Chemello (1997) como conteos, recolocaciones, descomposiciones, redistribuciones y

compensaciones.




Las habilidades de cálculo mental de Luisa son notables. A pesar de contar con la escolarización

estándar a la que la mayoría de los niños mexicanos tienen acceso, no demostró tener un fuerte apego

hacia los métodos enseñados en la escuela para resolver sumas y restas. Como menciona Martínez

(2011) “Las matemáticas no deben ser una asignatura a transmitir, sino una oportunidad guiada que

deben tener los alumnos para reinventarlas” (p. 98). La pequeña entrevistada se permitió reinventar la

manera de realizar los cálculos, olvidándose casi por completo de emplear el algoritmo convencional,

haciendo uso de sus propias estrategias aun a la hora resolver de manera escrita las operaciones. Por

otro lado, demostró que ha descubierto algo que le resulta más conveniente y ha decidido emplearlo,

aunque no sea parte de la convencionalidad esperada por los profesores y que sin un análisis como el

realizado resultaría imposible enterarse del repertorio que posee.

Como se mencionó anteriormente, algunos autores como Geary y Brown (1991), Siegler (1987)

y Siegler y Shrager (1984); citados por López (2014), han planteado la existencia de cinco estrategias

básicas con respecto a la resolución de operaciones aritméticas simples efectuadas por los niños.

a) Representación de los sumandos mediante objetos o empleando los mismos.

b) Conteo a partir de uno de los sumandos, en el cual está implicado el principio de

cardinalidad al tener en cuenta que el cardinal final será equivalente al total de elementos

del conjunto.

c) Conteo desde el sumando mayor.

d) Descomposición de los problemas en problemas más simples, o bien, para este caso en

específico, descomposición del sumando mayor en decena y unidades.

e) Recuperación de la respuesta empleando la memoria de largo plazo.

De las estrategias anteriores la alumna empleó en la mayoría de los casos la tercera, ya que no

utilizaba cualquier sumando para su conteo, en lugar de ello y para agilizar el trabajo, comenzaba con

el mayor. La estrategia anteriormente mencionada fue sustituida por la segunda en dos de las tres

restas propuestas, como se logró apreciar en esos casos Luisa decidió sumar partiendo de uno de los

dígitos para llegar al otro, de esta manera ahorró tiempo y a su vez evadió realizar las restas. Esta

decisión resultó interesante porque en realidad se esperaba que llevara a cabo una descomposición de

las unidades y decenas, que tal vez recurriera a su memoria a largo plazo, pero con múltiplos de 10, o

bien, como en la última resta que acudiera al algoritmo escrito.

El sujeto entrevistado no ha tenido acceso previo a estrategias de cálculo mental al igual que los

sujetos que participaron en la investigación de Ávila (2005), las únicas diferencias entre ellos son la

edad y que los segundos son analfabetos, pero ambos han logrado construir sus propias estrategias,

quizás más convenientes, dejando a un lado a los algoritmos escolarizados.

Mochón y Vázquez (1995) mencionan que en la escuela deben desarrollarse estrategias que no

sean memorísticas analizando las que los niños han desarrollado, que sea en un trabajo grupal, una

colaboración entre ellos para que puedan compartir lo que realizan, por lo que es posible que los

alumnos en la escuela sean capaces, al igual que Luisa, de cambiar las reglas y desarrollar sus propias

estrategias con base en sus propias necesidades y experiencias, sin apoyo de recursos que podrían estar

a su alcance y que son proporcionados por sus docentes. Ahora bien, si se piensa con detenimiento, se

podrían abrir ante los estudiantes otros posibles senderos si es que el cálculo mental formase parte del

repertorio cotidiano, no sistematizado, sino entendido como un proceso de intercambio entre las

propuestas de los estudiantes y las que ya se han establecido.





6. Referencias

Ávila, A. (2005). El saber matemático de los analfabetos. Origen y desarrollo de sus estrategias de

cálculo. Revista Latinoamericana de Estudios Educativos, XXXV(3-4), 179-219.

Chemello, G. (1997). El cálculo en la escuela: las cuentas, ¿son un problema? En G. Iaies (comp.), Los

CBC y la enseñanza de la matemática, 81-107. Buenos Aires: A-Z Editora.

Cortés, J., Backhoff, E., y Organista, J. (2004). Estrategias de cálculo mental utilizadas por estudiantes

del nivel secundaria de Baja California. Educación Matemática, 16(1), 149-168.

Formoso, J., Injoque-Ricle, I., Jacubovich, S. yBarreyro J. (2017) Cálculo mental en niños y su

relación con habilidades cognitivas. Acta de Investigación Psicológica 7, 2766–2774.

Ginsburg, H. P. (1997). Entering the Child's Mind. The clinical interview in Psychological Research

and Practice. USA: Cambridge University Press.

Lemonidis, C. (2016). Mental computation and estimation. Implications for mathematics education

research, teaching and learning. New York, USA: Routledge.

López, M. (2014). Desarrollo de la memoria de trabajo y desempeño en el cálculo aritmético: un

estudio longitudinal en niños. Electronic Journal of Research in Educational Psychology, 12.

Recuperado el 1 de abril de 2014, de http://dx.doi.org/10.14204/ejrep.32.13103

Martínez, J. (2011). El método de cálculo abierto basado en números (abn) como alternativa de futuro

respecto a los métodos tradicionales cerrados basados en cifras (cbc). Bordón, 63(4), 95-110.

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Secretaría de Educación. (2006). Matemática. Cálculo mental con números naturales. Apuntes para la

enseñanza. Buenos Aires: Autor.

Tzindejeh Rodriguez Quintero. Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, Puebla. Nació el 22 de

febrero de 1989 en Lerdo, Durango. Es Licenciada en Educación Primaria por la Escuela Normal de

Torreón, Coahuila, actualmente estudiando la Maestría en Educación Matemática en la Facultad de

Ciencias Físico Matemáticas de la Benemérita Universidad Autónoma de Puebla. [email protected]

José Antonio Juárez López. Facultad de Ciencias Físico Matemáticas de la Benemérita Universidad

Autónoma de Puebla, México. Nació en la Ciudad de Puebla, Puebla, México, el 15 de agosto de 1969.

Es Licenciado en Educación Media en el Área de Matemáticas por la Escuela Normal Superior del Estado

de Puebla. Obtuvo los grados de Maestro y Doctor en Ciencias en la Especialidad de Matemática

Educativa por el Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional. Ha

publicado tres libros, varios artículos en revistas, así como memorias en congresos internacionales.

[email protected]



http://dx.doi.org/10.14204/ejrep.32.13103




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El trabajo cooperativo en Matemáticas

Isabel García Esteban (Colegio San Vicente de Paúl. Benavente)

Resumen Desarrollar el trabajo cooperativo en Matemáticas potencia el pensamiento lógico entre

compañeros, desarrolla la abstracción y mejora los resultados académicos de los

alumnos.

Palabras clave Trabajo cooperativo. Aprendizaje competencial. Personalización del aprendizaje.

Estructuras cooperativas. Metodología.

Abstract Developing cooperative work in Math increases logical thinking among students, builds

up abstraction and improves the students´ academical results.

Cooperative work is one of the fundamental bases in an inclusive and skill-based

learning.

Keywords Cooperative work. Skill-based learning. Personal learning. Cooperative structures.

Methodology.

1. Introducción

Distintas investigaciones avalan el trabajo cooperativo como una metodología idónea para el

aprendizaje de las Matemáticas.

El trabajo cooperativo (en adelante TC) contribuye a que los estudiantes reduzcan esa

inseguridad ante la asignatura; hace que les guste más la materia y sientan menos rechazo, lo que

incrementa la motivación y por tanto, una mejor disposición para aprender.

En las Matemáticas debemos “enseñar a aprender” (María Antonia Canals, 2008, págs. 13-16),

fomentar el aprender haciendo, permitir que el alumno se equivoque, que busque soluciones, que

verbalice razonamientos, etc. Todo esto se desarrolla mejor si se trabaja en cooperativo.

Es importante destacar que el aprendizaje cooperativo no es un objetivo en sí mismo. El

objetivo que siempre perseguimos es que el alumnado aprenda y desarrolle sus habilidades

matemáticas, y el TC es una herramienta potentísima para lograrlo. Debemos conseguir que los

alumnos “aprendan juntos a hacer las cosas solos” (Zariquiey, 2018, págs. 12-17).

Para que un grupo cooperativo sea efectivo, Spencer Kagan y Johnson & Johnson (Johnson &

Johnson, 1990, pág. 8), coinciden en que deben cumplirse dos principios básicos: la interdependencia

positiva y la responsabilidad individual. Esta tarea no se consigue de manera automática, sino que


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debemos construir ese “clima cooperativo” para que se cumplan los dos principios básicos, en los que

la configuración de los miembros del equipo base es fundamental. No podemos olvidarnos del trabajo

individual del alumno, por lo que debemos combinar momentos de trabajo individual con momentos

de trabajo cooperativo.

También el TC es un modelo inclusivo (Pujolàs, 1994, págs. 24-25.), una solución fantástica

para afrontar la heterogeneidad de las aulas. El hecho de que los alumnos con dificultades sean

ayudados por sus compañeros además de por el profesor, contribuye a mejorar los resultados

académicos; esto es un hecho evidente y ventajoso para estos alumnos.

Más complicado es ver las ventajas desde el otro lado: los alumnos que no tienen dificultades y

que se ven “obligados” a prestar ayuda a sus compañeros. Para ellos, inicialmente sienten que ayudar

frena su avance y progreso personal, por eso, nuestra labor como docentes es evidenciar que el trabajo

con otros compañeros, no sólo los enriquece, sino que también les permite alcanzar cotas de éxito

mayor a las que sólo puede llegar con la ayuda de los demás. Convencer de ello a estos alumnos es un

factor clave.

En mi caso personal, tratándose de alumnos de Secundaria, lo he conseguido explicándoles la

Taxonomía de Bloom (Bloom.1971. págs. 13-19) Cuando un alumno ofrece ayuda a un compañero,

explica, aplica e incluso es capaz de poner ejemplos diferentes, está alcanzando los niveles superiores

de dicha Taxonomía.

Figura 1. Representación de la Taxonomía de Bloom.

2. ¿Por qué trabajar de forma cooperativa en Matemáticas?

El alumno construye su aprendizaje a través de interacciones, teniendo especial importancia la

interacción social. Al establecerse distintos grados de interacción el alumno accede al conocimiento de

maneras diferentes y en situaciones diferentes. Puede descubrir conceptos, contrastar o resolver dudas

con los demás, descubrir sus puntos fuertes y débiles, modificar sus estrategias a partir de las de los

compañeros, además, compartir conocimiento, discriminar, en definitiva, ver las distintas alternativas.

En la siguiente infografía, se muestran las distintas interacciones. Este esquema lo explico en

clase a los alumnos con dos objetivos claros:

Fomentar y convencer a los alumnos de las ventajas del trabajo cooperativo.

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Aclarar que pedir ayuda a un compañero o al grupo cooperativo no es dar la repuesta o hacer

la tarea, sino dar pistas y orientar a la realización de la misma.

Figura 2. Tipos de interacciones en el trabajo cooperativo.

3. Estructuras de TC idóneas para el aprendizaje de Matemáticas.

Las tareas académicas que deben realizar los alumnos se concretan en las estructuras

cooperativas. Cada una de ellas definen un modo concreto de trabajo, garantizando la participación

equitativa y la interacción simultánea.

3.1. Para la orientación hacia la tarea.

Entrevista simultánea: Por ejemplo, al comenzar un tema: ¿Qué sabemos de…? Se trabaja

por parejas. El alumno A entrevista al alumno B, y anota sus respuestas. Posteriormente, el

alumno B entrevista al alumno A, y anota sus respuestas. Se realiza una puesta en común, y

la lluvia de ideas nos da una visión general del tema y se van añadiendo, corrigiendo o

enfatizando las ideas clave.



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Rutina de pensamiento: veo- pienso- me pregunto. ¿Qué veo? ¿Qué pienso? ¿Qué me

pregunto?

Cuestionario inicial. El profesor realiza un cuestionario inicial en grupos cooperativos, o

bien, de forma individual y después los alumnos comparan sus respuestas para llegar a un

acuerdo.

Saco de dudas. Esta estructura puede realizarse en cualquier momento del aprendizaje.

Consiste en recopilar dudas surgidas tras un vídeo Flipped, una explicación, una actividad,

etc. Se resuelven o aportan estrategias en grupo y se ponen en común en el grupo- clase.

3.2. Para la presentación de contenidos

Parada de tres minutos: en una explicación el profesor introduce una parada de tres

minutos, en los que los grupos tratan de resumir con una frase los contenidos explicados y

redactan dos preguntas sobre ese tema. Posteriormente, los equipos plantean las preguntas al

resto de grupos y se resuelven.

El aprendizaje parte de una pregunta: funciona muy bien si los alumnos son más

participativos que receptivos. Esta simple estrategia genera nuevas preguntas de los alumnos,

investigar, demostrar o querer profundizar más en el tema.

Rompecabezas cooperativo. Muy útil cuando la información puede dividirse en partes. Se

distribuyen materiales al grupo cooperativo base y cada uno de los miembros del grupo se

encarga de una parte. Analizan y aprenden la información hasta volverse expertos en ella.

Después se reunirán los expertos de cada parte, creando el comité de expertos, y se realiza

una puesta en común, se resuelven dudas, practican, completan la información, etc.

Finalmente, se disuelven los comités de expertos y llevan la información a su grupo. Cada

uno debe enseñar su parte a los otros miembros del equipo y deben aprender lo que otros le

enseñan. Ejemplo: rompecabezas con decimales puede verse en

https://www.conectadosalasmates.com/2018/02/rompecabezas-cooperativo-para-los.html

3.3. Para el procesamiento de nueva información

Materiales manipulativos: cartas, fichas, regletas, etc.

Lápices al centro: idónea para los problemas matemáticos. Se lee en voz alta el enunciado,

cada miembro del equipo expresa su opinión, se acuerda una respuesta o estrategia. Después

se termina de manera individual.

1-2-4: se marcan 3 tiempos de trabajo. 1 para el trabajo individual, 2 cuando se trabaja por

parejas, para terminar en 4, donde se realiza la puesta en común.

3.4. Para la metacognición

Folio giratorio: se realiza un inventario, ideas clave o contenidos trabajados. El folio se

coloca en el centro de la mesa y va rotando, para que, cada miembro del equipo escriba una

idea. Se pueden después intercambiar los folios con los de otros grupos y añadir lo que no

esté recogido.

4. Actividades diseñadas para trabajar en cooperativo.

https://www.conectadosalasmates.com/2018/02/rompecabezas-cooperativo-para-los.html




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A continuación, expongo algunas de las actividades que realizamos en clase pensadas para

trabajar de forma cooperativa.

4.1. Dados algebraicos.

Utilizamos dados algebraicos para repasar las operaciones con monomios, a modo de concurso

en grupos cooperativos.

Figura 3. Dados algebraicos creados por alumnos de 2º de ESO

Materiales:

Desarrollo plano de un cubo. Necesitaremos realizar dos dados, un dado algebraico y un dado

de operaciones aritméticas.

Preparación del juego:

1. Cada alumno dispondrá del desarrollo plano de un cubo que rellenará con monomios.

2. Se dispondrá de dados de operaciones, en las que tendremos: suma, resta, producto,

cociente y potenciación.

3. Completamos las caras del cubo con monomios. Fijamos 3 partes literales comunes para

todos (de esta forma tendremos monomios semejantes en todos los dados de la clase) que

escribirán en tres caras, con el coeficiente que ellos elijan. En las otras 3 caras restantes, el

alumno escribirá los monomios que él quiera.

Desarrollo del juego:

1. Se juega por parejas, cada alumno con su dado algebraico y un dado de operaciones.

2. Comienza la ronda el alumno que saque el monomio de mayor grado, en caso de tener el

mismo grado, comenzará el que tenga mayor coeficiente.

3. Se tiran los dados algebraicos y el de las operaciones, los jugadores resuelven la operación y

el primero que responda correctamente ganará el duelo.

4. El ganador se apunta el tanto en la tabla siguiente:



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5. El ganador será el que antes complete la palabra ÁLGEBRA.

6. Se realizarán rondas con los distintos compañeros. Una posibilidad es:

7. 1º ronda: con mi compañero de hombro de mi grupo cooperativo.

8. 2º ronda: con mi compañero de frente de mi grupo cooperativo.

9. 3º y rondas sucesivas: con el compañero de cada grupo cooperativo que tenga el mismo rol.

10. De esta manera, el alumno practica con operaciones de monomios y en cada ronda distintos,

e intercambia resultados e impresiones con compañeros diferentes.

4.2. Creamos ecuaciones de 2º grado.

Los alumnos toman contacto por primera vez con las ecuaciones de 2º grado en Matemáticas

de 2º de ESO. Lo habitual es comenzar a resolver ecuaciones de 2º grado identificando los tipos de

ecuaciones, completas e incompletas. En su lugar, iniciamos el tema con los alumnos creando la

ecuación de 2º grado a partir de las de primer grado. Uniendo factores y soluciones.

Objetivos:

Identificar identidades notables, cuadrado de un binomio y suma por diferencia, y asociar

resultados a la ecuación de 2º grado de un tipo en concreto (ecuación completa o

incompleta).

Utilizar operaciones algebraicas básicas: despejar incógnita y multiplicación, para crear las

ecuaciones de 2º grado.

Comprobar con los factores y con la ecuación de 2º grado las soluciones.

Utilizar estrategias (por ejemplo la relación entre el término independiente y los factores) y

procesos de razonamiento para formar las ecuaciones, profundizando en el proceso y

llegando a una generalización.

Profundizar y discriminar ecuaciones completas e incompletas.

Crear ecuaciones de 2º grado con las soluciones que ellos quieran.




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Figura 4. Fichas de la dinámica creando ecuaciones de segundo grado.

Material:

Para cada grupo cooperativo fichas de factores, soluciones y ecuaciones de 2º grado.

Dinámica:

Los alumnos deben asociar las tarjetas de factores con las tarjetas de soluciones o raíces y

posteriormente multiplicar dos factores para obtener una ecuación de segundo grado, y encontrar dicha

tarjeta de solución.

Figura 5. Soluciones del grupo cooperativo 2 de la dinámica creando ecuaciones de segundo grado.

4.3. Trabajando con funciones utilizando la inteligencia cinestésica- corporal.



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Figura 6. Imagen de la dinámica Funcionando en cooperativo.

Objetivos:

A través del trabajo cooperativo repasar los distintos tipos de funciones y sus características.

Autoevaluación y coevaluación del trabajo cooperativo, mediante rúbrica.

Aprendizaje activo.

Alumnos que se organizan y trabajan juntos, de manera eficiente y creativa, utilizando los

roles.

Motivación de los alumnos.

Material:

Manta de juegos cuadriculada (plástico, mantel o similar)

Cartas de retos.

Cuerdas para representar las funciones.

Chapas, tapones o similar para representar puntos.

Rúbrica de autoevaluación y coevaluación del trabajo cooperativo.

Dinámica:

Grupos base de cooperativo: 4- 5 alumnos. Se reparten las rúbricas para la evaluación y

coevaluación a los grupos cooperativos, dejando claro lo que tienen que evaluar y lo que el

profesor va a valorar.

La dinámica se desarrolla por turnos.

El equipo que sale a jugar elige una carta, la lee en voz alta y planifican el reto en 30

segundos, discutiendo qué tipo de función es y que material han de utilizar (su propio

cuerpo, las chapas o las cuerdas). A continuación, disponen de 1 minuto para dibujar o

representar la función de la carta. El resto de los grupos opinan al final del tiempo si es

correcto o no y el motivo.

Participan los distintos grupos y se realizan varias rondas.

Al final de la clase se rellenan las rúbricas de evaluación (auto y coevaluación)

Tiempo para la dinámica completa: 1 sesión de clase.

5. ¿Y la atención a la diversidad?

Además del trabajo ordinario utilizando las técnicas expuestas anteriormente con el TC,

podemos consolidar y atender a la diversidad teniendo en cuenta lo siguiente:

5.1. Presentando los contenidos en distintos formatos.

Vídeos flipped, materiales manipulativos, visual thinking, etc. Teniendo en cuenta las

Inteligencias Múltiples. Desarrollando y facilitando la comprensión matemática.

5.2. Planteando actividades multinivel.

Nuestras aulas son heterogéneas, y nuestro reto es enganchar a todos. Debemos tener especial

atención en los alumnos que tienen interés, pero tienen dificultades de aprendizaje y no pueden

alcanzar metas extraordinarias, por consiguiente, se estructuran actividades multinivel, en las que




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inicialmente se presentan las actividades comunes, en las que todos participan y éstas van derivando

en otras de distintos niveles. De forma que todos alcanzan la meta.

Este proceso se explica en la siguiente infografía:

Figura 7. Infografía que explica la secuencia de las actividades multinivel.

6. Cómo calificar el trabajo cooperativo.

Para que un equipo funcione y trabaje bien, además de la interdependencia positiva y la

responsabilidad individual, es importante que exista un reflejo de este trabajo en las calificaciones. Los

alumnos tienen que ser conscientes de que la actuación de cada miembro del equipo va a afectar en la

nota del compañero.

En la calificación del trabajo cooperativo hay que valorar no sólo el rendimiento académico,

sino también el esfuerzo realizado y lo que el alumno es capaz de aportar a su grupo cooperativo.

En mi caso, integrar la calificación del trabajo cooperativo en la asignatura de Matemáticas ha

sido más fácil gracias a la realización de los exámenes cooperativos.



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6.1. Exámenes cooperativos.

El examen cooperativo, es una herramienta más en el proceso de evaluación, que se realiza al

menos una vez al trimestre.

¿Por qué realizar un examen cooperativo?

Porque son una forma efectiva de integrar la formación en el proceso de aprendizaje.

Durante el examen cooperativo los alumnos no sólo demuestran lo que saben, sino que lo

ponen en práctica. Esta actividad exige dialogar, discutir, consensuar y argumentar

respuestas. Es una práctica que genera por tanto, aprendizaje.

Porque se evalúan distintas competencias: lingüística, matemática, aprender a aprender,

competencia social y cívica y sentido de iniciativa y espíritu emprendedor.

porque un cambio metodológico implica necesariamente un cambio en la manera de evaluar.

Porque implica llegar al máximo nivel de conocimiento de la Taxonomía de Bloom, ya que

exige crear un producto resultado de una reflexión, comprensión y análisis de la tarea.

Porque el esfuerzo individual beneficia al equipo. Y por ello, se refuerza la interdependencia

positiva entre los miembros del grupo cooperativo.

Porque los exámenes cooperativos son una herramienta integradora. Implica un compromiso

con los miembros del equipo para un fin común.

Porque es un “simulacro” de la vida real. Actualmente, los entornos laborales, exigen saber

trabajar de forma coordinada, en grupos de trabajo y teniendo en cuenta las opiniones de los

demás.

Porque atiende a la diversidad. Si los grupos base son heterogéneos, los alumnos con

dificultades leves de aprendizaje son ayudados y conducidos por sus compañeros. Esta ayuda

es bidireccional, ya que, mientras un alumno ayuda a otro, uno se beneficia por obtener una

explicación, más contextualizada, y el otro, refuerza y asienta sus conocimientos, por lo

tanto, consigue un aprendizaje significativo. En el caso de niveles más heterogéneos, se

puede hacer un grupo homogéneo y adecuar las pruebas al nivel de cada equipo.

Figura 8. Alumnos realizando un examen cooperativo.




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Cómo se realiza el examen cooperativo:

En grupos base de cooperativo formados por 4 o 5 alumnos.

Es importante señalar que la prueba no deber ser ejercicios rutinarios pero en cooperativo. Debe

ser una tarea más competencial, es decir, en la que los alumnos deben aplicar lo aprendido, con una

tarea más cercana a la realidad, contextualizando el aprendizaje. De ahí, los exámenes cooperativos

que se realizan en la asignatura de matemáticas suelen ser con materiales manipulativos, o actividades

relacionadas con el entorno más cotidiano, o bien, un caso práctico de aplicación.

La dinámica se puede realizar en grupos migratorios, es decir, cada rincón una tarea, teniendo

un tiempo limitado en cada rincón. El equipo resuelve las actividades planteadas, manipulando

materiales y realizando cálculos en su hoja.

Todos los miembros del grupo cooperativo deben tener los mismos resultados. Es por ello que

cada alumno debe discutir, analizar y justificar sus respuestas, para llegar juntos al consenso. Se

coordinan estrategias, resoluciones, se gestionan tiempos y funciones de los roles del equipo. Al final

de la clase se recoge uno de los trabajos de cada grupo, asignados previamente con números del 1 al

5, eligiendo un número al azar.

Tiempo para la dinámica completa: una sesión de clase.

Durante los exámenes cooperativos el papel del profesor es meramente observador.

El profesor pasea por la clase. Observa cómo trabaja cada equipo.

Revisa que no exista un reparto de tareas. Todos los miembros del equipo deben estar

trabajando en la misma tarea.

Ejemplos prácticos pueden ser:

6.1.1. Examen cooperativo en grupos migratorios.

Durante el mismo, los grupos cooperativos resolvían retos en distintos rincones de la clase en el

que tenían que aplicar la proporcionalidad con fotografías, mapas, figuras geométricas, etc. Esta

actividad es una actividad además de cooperativa, formativa y evaluable.

El desarrollo es el siguiente:

Grupos base de cooperativo: 4- 5 alumnos.

La dinámica en grupos migratorios. Cada rincón una tarea. 8 minutos en cada rincón.

El equipo resuelve la actividad planteada de cada rincón, manipulando materiales y

realizando cálculos en su hoja.



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Todos los miembros del grupo cooperativo deben tener los mismos resultados. Es por ello

que cada alumno debe discutir, analizar y justificar sus respuestas, para llegar juntos al

consenso.

Al final de la clase se recoge uno de los trabajos de cada grupo, asignados previamente con

números del 1 al 5, eligiendo un número al azar.

Tiempo para la dinámica completa: 1 sesión de clase.

Rincón 1: calcular la escala de una foto.

Rincón 2: calcular la razón de proporcionalidad o semejanza.

Figura 9. Actividad del examen cooperativo rincón 2.

Rincón 3: calcular la distancia entre dos ciudades en un mapa.

Figura 10. Actividad del examen cooperativo rincón 3.




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Rincón 4: Aplicación de proporcionalidad inversa

Rincón 5: Aplicación de proporcionalidad directa.

Rincón 6: visualización del porcentaje con cartas.

6.1.2. Examen cooperativo de parejas de funciones, en la que los alumnos deben asociar una

gráfica a un enunciado de un problema.

Analizamos funciones en 1º de ESO utilizando el formato de examen cooperativo. Para cada

grupo cooperativo se reparten por separado 6 enunciados y 5 gráficas. Los alumnos analizan, deciden

y completan las gráficas asociándolas a los enunciados. Queda un enunciado sin gráfica y deben

dibujar la gráfica.

Hay más ejemplos de exámenes cooperativos publicados en www.conectadosalasmates.com

7. Nuestro papel como profesores.

Provocar conflictos cognitivos, discusiones matemáticas, justificación de respuestas, análisis

de resultados, etc.

Detectar el avance del grupo. Intervenir sólo si es necesario.

Observar si existen dificultades en las interacciones y resolverlas.

Darles autonomía.

Confiar en ellos y en sus capacidades.

No permitir que ningún estudiante domine las tareas, excluyendo o limitando las

contribuciones de los demás.

Motivar hacia el aprendizaje.

8. Conclusiones.

El trabajo cooperativo mejora la enseñanza de las matemáticas, ya que se presentan escenarios

en los que los alumnos interactúan, confrontando ideas, estimulando el pensamiento. Se les ofrece un

espacio y un tiempo para que hablen de Matemáticas, fomentando discusiones, favoreciendo el

aprendizaje con metodologías activas. Se les da la oportunidad de hacer ver a los alumnos como

auténticos resolutores de problemas, y lo que decimos los docentes cuando hablamos de innovación

educativa: damos a los alumnos el papel de protagonistas de su propio aprendizaje.

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Pere Pujolás y José Ramón Lago (1994) El programa AC/CA (“Cooperar para Aprender/Aprender a

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Editorial Grao.

Francisco Zariquiey (2016) Cooperar para aprender. Madrid: SM

Isabel García Esteban. Colegio San Vicente de Paúl, Benavente (Zamora). Licenciada en Biología

(2000) por la Universidad de León. Desde 2003 profesora de Matemáticas de Secundaria. Miembro de

Innoducation (asociación de Innovación Educativa) y formadora externa de Ieducando.



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Explorando relaciones geométricas en GeoGebra

Carlos Ueno Jacue,

Pécsi Kodály Zoltán Gimnázium. Hungría

Resumen En el presente artículo se describen las características principales de la herramienta

“Relación” que aparece en las últimas versiones de GeoGebra, y que permite investigar

diversas relaciones entre dos o más elementos de una construcción geométrica,

comparando sus medidas o sus posiciones relativas. Estas comparaciones están

respaldadas por herramientas de razonamiento automáticas que dan validez matemática a

las inferencias establecidas.

Palabras clave relaciones geométricas, herramientas de razonamiento automático, GeoGebra

Title Exploring geometric relationships in GeoGebra

Abstract In the present article we describe the main properties of the tool “Relation” appearing in

the latest versions of GeoGebra. This tool allows the exploration of diverse relationships

among two or more elements in a geometric construction, comparing their measures or

relative positions. These comparisons are backed by automatic reasoning tools, which

give complete mathematical certainty to the established inferences.

Keywords Geometric relations, automatic reasoning tools, GeoGebra

1. Introducción

Durante los últimos años el software de matemática dinámica GeoGebra ha ido incorporando

nuevas herramientas y comandos cuyo objetivo va más allá de servir tan solo como instrumento

dinámico e interactivo de cálculo y representación gráfica y geométrica; su intención es acompañar a

los estudiantes y aficionados a las Matemáticas en sus procesos de razonamiento, tanto desde el punto

de vista deductivo como inductivo. En particular, siendo la Geometría una de las áreas del

conocimiento matemático en la que los procesos demostrativos cobran especial relevancia por su

belleza y complejidad, se ha dedicado especial esfuerzo en comprender los mecanismos de deducción

e inducción en esta área, y se ha intentado facilitar el contacto de los alumnos con estos

procedimientos, que inicialmente suelen resultar de difícil asimilación.

Estas nuevas herramientas se basan en la combinación de las características de los ya

consolidados programas de geometría y matemática dinámica con las así denominadas “herramientas

de razonamiento automático” (“Automated Reasoning Tools”- ART), que actualmente son menos

conocidas en el ámbito de la educación primaria y secundaria.


Carlos Ueno Jacue


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En (Ueno Jacue, C. 2016, 2017) presentamos una introducción básica a los fundamentos

algebraicos en los que se basan estas herramientas, y a cómo se han implementado en GeoGebra

mediante los comandos “Demuestra()” y “DemuestraDetalles()”. Sin embargo, estos comandos no

aparecen en las barras de herramientas que por defecto incorpora GeoGebra, y se encuentran un tanto

ocultos en la interfaz de usuario. Además, su uso no es lo suficientemente accesible o amigable si

estamos pensando en estudiantes de niveles no universitarios. Pensando en estas dificultades, los

desarrolladores de GeoGebra incluyeron en la herramienta “Relación”, ya presente en versiones

anteriores de GeoGebra y visible en la barra de herramientas geométricas, algunas funcionalidades

basadas en las ART para acercarlas al usuario común del software, con el propósito de asistirle en la

búsqueda de relaciones geométricas en una construcción y estimular así sus capacidades de

observación y descubrimiento.

Este artículo puede considerarse una ejemplificación de la información presentada en el reciente

artículo (Hohenwarten, M., Kovács Z. y Recio, T. 2019) de esta misma revista, y se recomienda su

lectura para tener información de primera mano por parte de los creadores de estas herramientas. Para

su elaboración nos hemos apoyado fundamentalmente en los trabajos (Kovács, Z. 2014, 2017), (Hauer,

B. et al. 2018) y (Kovács Z. et al. 2017, 2018b).

Las construcciones que aquí se presentan han sido realizadas utilizando la versión on-line de

GeoGebra Clásico, disponible en el enlace https://www.geogebra.org/classic.

2. La herramienta “Relación”

La herramienta “Relación” puede encontrarse en un desplegable de la barra de herramientas que

aparece en la parte superior de la pantalla inicial de GeoGebra, encabezado por la opción “Ángulo”. El

icono correspondiente contiene un signo de igualdad, sobre el que aparece un símbolo de interrogación

(ver Figura 1).

Figura 1. Localización de la herramienta “Relación” en GeoGebra Clásico.

El funcionamiento de esta herramienta es sencillo: Supongamos que al inspeccionar una

construcción geométrica sospechamos que dos de sus elementos (dos longitudes de segmentos, dos

áreas, dos amplitudes de ángulos, etc.) son iguales. ¿Cómo podemos comprobarlo de manera rápida y

sencilla? La respuesta a esta pregunta viene dada por la herramienta en estudio. Basta hacer clic

https://www.geogebra.org/classic


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sucesivamente sobre los dos objetos que queremos comparar y GeoGebra nos dirá si hay alguna

relación interesante entre los objetos, fundamentalmente relacionada con conceptos como los de

igualdad, paralelismo y perpendicularidad (en caso de rectas o segmentos) u otras propiedades

geométricas relevantes.

A la hora de ejecutar la herramienta, GeoGebra realiza internamente la comparación de estos

elementos en dos fases bien diferenciadas.

En una primera fase, GeoGebra hace una comprobación numérica para verificar si existe alguna

relación reseñable. Esta comprobación puede hacerse muy rápidamente, con el inconveniente de que

es tan solo aproximada y puede generar resultados erróneos si la diferencia entre las magnitudes a

comparar es muy pequeña, de modo que puede inferir una igualdad cuando en realidad ese no es el

caso.

Cuando GeoGebra obtiene un resultado interesante tras realizar esta comparación numérica,

ofrece la posibilidad de refinar el estudio de la relación descubierta, y en este momento es cuando

entra en juego la potencia de las herramientas de razonamiento automático, que pasan a tomar el

relevo en los cálculos internos del software y pueden establecer de manera matemáticamente fiable la

veracidad de la inferencia establecida previamente. No solo eso, sino que además GeoGebra aportará

información sobre las condiciones bajo las que dicha inferencia deja de ser válida (a estas condiciones

se las suele llamar condiciones de degeneración). Esta segunda fase puede ser muy exigente desde el

punto de vista computacional y no siempre devuelve un resultado concluyente.

Vamos a ilustrar el funcionamiento básico con un ejemplo muy sencillo. Supongamos que

hemos trazado un segmento AB junto con su mediatriz, y elegimos un punto C sobre la misma. Ahora

construimos los segmentos AC y BC (ver Figura 2).

Figura 2. Mediatriz de un segmento.

En esta situación debemos tener AC=BC, pero tal vez la cosa no está tan clara para un alumno

que se inicia en el mundo de la Geometría. Para comprobar que, efectivamente, es así, seleccionamos

la herramienta “Relación” y posteriormente hacemos clic sobre los segmentos AC y BC (ver Figura 3).


Carlos Ueno Jacue


M U

N

D

O

G

E

O

G

E

B

R

A

Figura 3. Fase numérica de la herramienta “Relación”

El primer mensaje que obtenemos confirma numéricamente nuestra sospecha. Pero al lado del

mensaje “h tiene igual longitud que i (comprobado numéricamente)” veremos que aparece un botón

“Más”, que será el que nos lleve a la segunda fase de ejecución de la herramienta. Pulsando ese botón

obtenemos una información “certificada” por las herramientas de demostración automática internas

contenidas en GeoGebra (ver Figura 4).

Figura 4. Fase ART de la herramienta “Relación”

Ahora GeoGebra nos informa de que, efectivamente, la afirmación “las longitudes de los

segmentos h e i son iguales” es geométricamente cierta, siempre que en nuestra construcción los

puntos iniciales A y B no coincidan.

A continuación, vamos a enumerar las distintas relaciones que GeoGebra es capaz de detectar

entre dos elementos geométricos (ver (Kovács, Z. et al. 2017) para más detalles):


Carlos Ueno Jacue



M U

N D

O G

E O

G E

B R

A

Perpendicularidad entre dos rectas o segmentos

Paralelismo entre dos rectas o segmentos

Igualdad entre dos puntos, longitudes, o áreas de polígonos

Pertenencia de un punto a un segmento, recta o cónica

Tangencia entre una recta y una cónica

En cuanto a establecer relaciones entre más de dos elementos, la herramienta “Relación”

también puede utilizarse para verificar si:

Tres líneas son concurrentes

Tres puntos son colineales

Cuatro puntos son cocíclicos.

Por desgracia, la forma de seleccionar más de dos elementos es menos directa que para el caso

de dos elementos. En efecto, tras elegir la herramienta “Relación” debemos, usando el botón derecho

del ratón, crear un cuadro de selección que incluya los elementos geométricos en estudio. Sin

embargo, a menudo nos veremos con el problema de que en el cuadro de selección aparecen también

otros elementos que debemos descartar. Para resolver esta situación abrimos, antes de utilizar la

herramienta, el menú contextual de cada elemento que queremos desechar y, en la pestaña

“Avanzado” que aparece dentro de “Configuración”, deseleccionamos la opción “Permitir

seleccionar”. Esto impedirá que al crear el cuadro de selección esos elementos indeseados que están en

su interior sean tenidos en consideración. Este problema a la hora de elegir más de dos objetos hace

preferible utilizar el comando “Relación()”, que puede introducirse en la línea de entrada de la ventana

algebraica. La sintaxis de este comando admite las siguientes formas:

Relación(Objeto1, Objeto2)

Relación({Objeto1, Objeto2, Objeto3})

Relación({Objeto1, Objeto2, Objeto3, Objeto4})

Como puede observarse, para relacionar tres o cuatro objetos en realidad introducimos los

elementos en forma de lista, de modo que son necesarias las llaves {} al enumerarlos (ver Figuras 5 y

6).


Carlos Ueno Jacue


M U

N

D

O

G

E

O

G

E

B

R

A

Figura 5. Uso del comando “Relación” en la vista algebraica

Figura 6. Las dos fases del comando “Relación” para cuatro puntos

En la segunda fase que ejecuta el comando “Relación”, y según la complejidad y características

de la construcción, podemos recibir varios tipos de respuesta, entre las que destacamos las siguientes:

Los elementos son distintos (no existe relación entre ellos).

La relación …. es siempre cierta.

La relación …. es generalmente cierta bajo la condición ….

La relación …. es parcialmente verdadera, parcialmente falsa.

En particular, este último mensaje refleja una situación peculiar en nuestra construcción

geométrica, que ilustraremos en la próxima sección (para una explicación en profundidad consultar

(Kovács, Z. et al. 2018a)).

3. Un ejemplo de uso en geometría elemental

Es un hecho bien conocido en geometría elemental que, si tenemos un paralelogramo ABCD

como se muestra en la Figura 7, entonces los lados AB y CD son congruentes, así como los lados BC y

DA. Vamos a comprobar esto utilizando el comando “Relación”. En esta construcción hemos creado

tres puntos libres A, B, D, y a continuación hemos trazado paralelas a los segmentos AB y AD, cuyo

punto de intersección es C.


Carlos Ueno Jacue



M U

N D

O G

E O

G E

B R

A

Figura 7. Construcción estándar de un paralelogramo

Si ahora seleccionamos “Relación” y hacemos clic en los segmentos a y c, obtenemos la

primera información, basada en cálculos numéricos, que muestra el comando (ver Figura 8):

Figura 8. Fase numérica de “Relación” al comparar dos lados.

Pero no queremos una comprobación que sea tan solo numéricamente aproximada, sino que

queremos una comprobación matemáticamente válida. Pulsemos pues el botón “Más” que aparece al

lado de la expresión “c tiene igual longitud que a” (ver Figura 9):


Carlos Ueno Jacue


M U

N

D

O

G

E

O

G

E

B

R

A

Figura 9. Fase ART de “Relación” al comparar dos lados.

Ahora GeoGebra nos comunica que los lados a y c tienen la misma longitud siempre que A y B

no sean puntos coincidentes y, además, el triángulo ABD no sea degenerado (lo que equivale a afirmar

que no deben estar alineados). Y esta información añadida invita a reflexionar de manera más

profunda sobre la construcción realizada. Efectivamente, si A y B son iguales es imposible trazar de

forma única la recta AB, y si, salvado este obstáculo, D se encuentra en la recta AB, entonces es

imposible determinar el punto C de intersección de las rectas AB y AD, puesto que ambas coinciden.

Exploremos ahora la afirmación recíproca. Supongamos que tenemos un cuadrilátero ABCD en

el que los lados AB y CD son congruentes, así como los lados BC y DA. ¿Será siempre dicho

cuadrilátero un paralelogramo? En primera instancia, posiblemente más de un profesor de

Matemáticas se inclinaría a afirmar que, efectivamente, es así. Vamos a investigar la situación con

GeoGebra. Construimos los tres puntos libres A, B, D, y a continuación dos circunferencias: una con

centro en B y radio AD, y otra con centro en D y radio AB. Estas circunferencias se intersecan en dos

puntos C y E, uno de los cuales (el que nombramos C) permite construir un cuadrilátero que parece

claramente un paralelogramo. Por construcción, tenemos que AD=BC, y AB=CD, y el paralelismo de

los lados opuestos parece conservarse, aunque desplacemos ligeramente los puntos libres A, B, D. Así,

parece deducirse que los lados opuestos deben ser siempre paralelos, pero… ¡Cuidado! En un

momento dado de la construcción hemos realizado una elección algo arbitraria, porque del mismo

modo que elegimos el punto C para formar el cuadrilátero ABCD podríamos haber elegido el punto E

para construir el cuadrilátero ABED, que también satisface AD=BE y AB=ED. ¡Y en este cuadrilátero

es falso que los lados opuestos son paralelos! (ver Figura 10)


Carlos Ueno Jacue



M U

N D

O G

E O

G E

B R

A

Figura 10. Dos construcciones con cuadriláteros de lados opuestos iguales.

Si utilizamos ahora nuestra herramienta “Relación” en esta construcción para comparar los

lados a y c, obtenemos sucesivamente los resultados que se muestran en la Figura 11.

:

Figura 11. Fases numérica y ART del comando “Relación”

Si nos centramos ahora en la segunda fase ART, podemos observar que la relación de igualdad

de los lados a y c, que ha sido la base de nuestra construcción, será siempre cierta (incluyendo

situaciones que podemos considerar degeneradas). Sin embargo, GeoGebra establece que la relación

de paralelismo es “parcialmente verdadera, parcialmente falsa”, puesto que en una de nuestras

construcciones sí es una afirmación verdadera (cuando elegíamos el punto C como cuarto vértice del

cuadrilátero), mientras que existe una construcción “paralela” (cuando tomamos E como cuarto

vértice) que desmiente la afirmación. Este tipo de situaciones “parcialmente verdaderas, parcialmente

falsas” aparece a menudo cuando tenemos dos alternativas al elegir el punto de intersección de un par


Carlos Ueno Jacue


M U

N

D

O

G

E

O

G

E

B

R

A

de circunferencias o de una recta y una circunferencia, porque el sistema no puede determinar cuál de

los puntos estamos seleccionando efectivamente para realizar nuestra construcción.

4. Conclusiones

Las últimas versiones de GeoGebra incluyen nuevas herramientas que nos ayudan a explorar

nuestros modelos geométricos y encontrar nuevas relaciones entre sus distintos elementos, con la

ventaja de poder “certificarlos” matemáticamente. En particular, estas nuevas herramientas

incorporadas al comando “Relación” se han implementado para que su utilización esté al alcance,

tanto de estudiantes que dan sus primeros pasos en Geometría, como de entusiastas de esta disciplina

que quieran descubrir resultados originales mediante la exploración de construcciones geométricas

más complejas. Este comando también incluye información sobre las condiciones que han de

satisfacerse para la completa veracidad de las inferencias realizadas, lo que permite reflexionar de

manera más precisa sobre las características de esas construcciones, y sobre sus ventajas o

limitaciones.

Bibliografía

Hauer B., Kovács Z., Recio, T. y Vélez, M. P. (2018). Automated reasoning in elementary geometry

towards inquiry learning. Pädagogische Horizonte, 2(2)

Hohenwarten, M., Kovács Z. y Recio, T. (2019) Determinando propiedades geométricas

simbólicamente con GeoGebra. Revista Números, N. 100, págs. 79-84

Kovács, Z. (2014). The relation tool in GeoGebra 5. In Proceedings ADG 2014 Revised Selected

Papers of the 10th International Workshop on Automated Deduction in Geometry. Volume 9201,

53-71

Kovács Z. (2017). Automated reasoning tools in GeoGebra: A new approach for experiments in planar

geometry. South Bohemia Mathematical Letters. Volume 25, No. 1, 48-65.

Kovács Z., Recio, T. y Vélez, M. P. (2017). Geogebra Automated Reasoning Tools: A tutorial.

Recuperado de http://mintlinz.pbworks.com/f/Kovacs-20160113.pdf

Kovács Z., Recio, T. y Vélez, M. P. (2018a). Detecting truth, just on parts. Revista Matemática

Complutense, Volume 32, Issue 2, 451–474

Kovács Z., Recio, T. y Vélez, M. P. (2018b) Using Automated Reasoning Tools in GeoGebra in the

Teaching and Learning of Proving in Geometry. International Journal of Technology in

Mathematics Education Vol 25, No 2

Ueno Jacue, C. (2016). Demostraciones geométricas automáticas en GeoGebra. Revista Números, Nº.

93, 141-150.

Ueno Jacue, C. (2017). Demostraciones geométricas automáticas en GeoGebra: Casos prácticos.

Revista Números, Nº. 94, 107-115.

Carlos Ueno Jacue. Pécsi Kodály Zoltán Gimnázium. Doctor en Matemáticas, participa en la actualidad

en el Programa de Secciones Bilingües del Ministerio de Educación y Formación Profesional, enseñando

matemáticas a alumnos de secundaria en el Pécsi Kodály Zoltán Gimnázium (Pécs, Hungría).


http://mintlinz.pbworks.com/f/Kovacs-20160113.pdf


ISSN: 1887-1984

Volumen 102, octubre de 2019, páginas 107-121



P R

O B

L E

M A

S

Hablemos de Paenza

(Problemas Comentados LII)

José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz (Club Matemático1)

Resumen Soluciones de los problemas planteados en artículo anterior. Estrategias para

resolución de problemas de organización de la información, ensayo y error,

búsqueda sistemática y simplificación, tablas de doble entrada o diagramas.

Hacemos una semblanza de Adrián Paenza, sus publicaciones y actuaciones, con

citas pedagógicas y reflexiones extraídas de sus libros.

Palabras clave Resolución de problemas. Estrategias de organización de información, ensayo y

error, tablas de doble entrada, diagramas y simplificación de situaciones.

Semblanza de Adrián Paenza, con bibliografía y citas sacadas de sus

publicaciones.

Abstract Solutions to the problems raised in the previous article. Strategies for solving

problems of information organization, trial and error, systematic search and

simplification, double entry tables or diagrams. We make a semblance of Adrián

Paenza, his publications and showing, with pedagogical quotes and reflections

extracted from his books.

Keywords Problem resolution. Strategies for organizing information, trial and error, double

entry tables, diagrams and simplification of situations. Semblanza by Adrián

Paenza, with bibliography and citations taken from his publications.

Siempre hay la posibilidad de cometer un error en nuestros artículos. En ocasiones,

intencionados, para premiar al que encuentre el gazapo. Pero en esta ocasión fue, más que un error, un

olvido: la dirección web de los problemas del Torneo.

Aquí está:

http://www.sinewton.org/web/index.php/actividades-mainmenu-28/torneo-2o-

eso-mainmenu-45/347-torneo-35

Y los del Torneo de Primaria están en:

http://www.sinewton.org/web/index.php/actividades-mainmenu-28/torneo-6o-

primaria-mainmenu-141/351-10-tp-4

1 El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz, jubilados del IES de Canarias-

Cabrera Pinto (La Laguna) y del IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de Tenerife), respectivamente. [email protected] /

[email protected]


http://www.sinewton.org/web/index.php/actividades-mainmenu-28/torneo-2o-eso-mainmenu-45/347-torneo-35


http://www.sinewton.org/web/index.php/actividades-mainmenu-28/torneo-6o-primaria-mainmenu-141/351-10-tp-4

http://www.sinewton.org/web/index.php/actividades-mainmenu-28/torneo-6o-primaria-mainmenu-141/351-10-tp-4


http://www.sinewton.org/web/index.php/actividades-mainmenu-28/torneo-2o-eso-mainmenu-45/347-torneo-35

Hablemos de Paenza. (Problemas Comentados LII)

J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz

108

P

R

O

B

L

E

M

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S

NÚMEROS Vol. 102 noviembre de 2019

Y un error ortográfico en el apellido de Adrián Paenza, que aparecía como “Paeza”. Nuestras

disculpas.

Siguen pendientes los problemas INTERVENCIÓN QUIRÚRGICA y LA PARCELA

TRIANGULAR

También quedaron nuevos retos en el último artículo. Aquí están nuestras soluciones.

PRIMER RETO

UNA CALCULADORA PARA LOS MÁS JÓVENES

Para facilitar su uso a los jóvenes, un fabricante de calculadoras ha puesto

en el mercado un modelo que sólo tiene una tecla de operación: Δ.

𝑎 ∆ 𝑏 = 1 − 𝑎

𝑏

Pero, ¿cómo vas a hacer las cuatro operaciones elementales básicas

ahora? Por supuesto, se pueden utilizar todas las teclas de la calculadora.

PROCESO DE RESOLUCIÓN

Comprender

Datos

Una calculadora especial.

Teclas para cada dígito del 0 al 1.

Tecla para encender y apagar.

Tecla IGUAL (=).

Tecla de segunda opción.

Teclas con dos opciones: encender/apagar (ON/OFF), 3/cambio de signo (+/-), única operación

DELTA (Δ), borrar pantalla (CE).

Objetivo

Cómo hacer las cuatro operaciones elementales básicas con esta calculadora.

Relación

La operación DELTA (Δ) está definida como: 𝑎 ∆ 𝑏 = 1 − 𝑎

𝑏

Pensar

Estrategias

Simplificar (casos más sencillos)

Ensayo y Error

Una calculadora muy, muy extraña. Problemas Comentados LI J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz

109

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O B

L E

M A

S


de Profesores de Matemáticas Vol. 102 julio de 2019

Organizar la Información mediante técnica algebraica

Ejecutar

Al tratarse de un problema complejo, es necesario ver qué sucede con los elementos singulares

(neutros) de las operaciones habituales.

Representaremos con n cualquier número. Utilizando la tecla de cambio de signo podemos

siempre representar -n.

Puesto que cualquier operación del tipo x Δ 0 dará un resultado con cero en el denominador, no

las consideramos.

Y entresacamos los siguientes resultados para posibles composiciones de operaciones:

0 Δ n = 1

n Δ 1 = 1 – n

1 Δ n = 1 – 1/n

-n Δ 1 = 1 + n

1 Δ -n = 1 + 1/n

-1 Δ n = 1 + 1/n

-n Δ -1 = 1 – n

-1 Δ -n = 1 – 1/n

El siguiente paso será ver qué pasa con dos números cualesquiera:

Nos quedamos con los siguientes resultados:

a Δ b = 1 – a/b = (b – a)/b

b Δ a = (a – b)/a

-a Δ b = (b + a)/b

b Δ -a = (a + b)/a

a Δ -b = (b + a)/b

-b Δ a = (a + b)/a

-a Δ -b = (b – a)/b

-b Δ -a = (a – b)/a

b

Δ 1 -1 n -n

a

0 1 1 1 1

1 0 2 1 – 1/n 1 + 1/n

-1 2 0 1 + 1/n 1 – 1/n

n 1 – n 1 + n 0 2

-n 1 + n 1 – n 2 0

b

Δ a -a b -b

a

a 0 2 (b – a)/b (a + b)/b

-a 2 0 (b + a)/b (b – a)/b

b (a – b)/a (a + b)/a 0 2

-b (a + b)/a (a – b)/a 2 0



110

P

R

O

B

L

E

M

A

S


Aquí se observan ya algunas propiedades curiosas, especialmente en los signos.

Se aprecia que aparecen expresiones de sumas y de restas, pero siempre con denominadores. Para

que queden solas las sumas y restas será necesario eliminar esos denominadores. Nos hará falta, pues,

introducir un término inverso 1/n.

Después de varios ensayos, combinando las expresiones simples que hemos investigado, se llega a la

siguiente expresión:

(1 Δ n) Δ 1 = (1 – 1/n) Δ 1 = 1 – [(1 – 1/n) / 1] = 1 – 1 + 1/n = 1/n

Haciendo ensayos con esta expresión y las anteriores llegamos al cálculo de la suma:

{[(-b Δ a)] Δ [(1 Δ a) Δ 1]} Δ 1 =

= {[(a + b)/a] Δ [ (1 – 1/a) Δ 1]} Δ 1 =

= {[(a + b)/a] Δ [ 1 - (1 – 1/a)]} Δ 1 =

= {[(a + b)/a] Δ [ (1/a)]} Δ 1 =

= {1 – {[(a + b)/a]/(1/a)}} Δ 1 =

= {1 – (a + b)} Δ 1 =

= 1 – [1 – (a + b)] =

= 1 – 1 + (a + b) =

= a + b

De análoga manera, llegamos a la expresión para el cálculo del producto:

{a Δ [ (1 Δ b) Δ 1]} Δ 1 =

= {a Δ [ (1 – 1/b) Δ 1]} Δ 1 =

= {a Δ [ 1 - (1 – 1/b)]} Δ 1 =

= {a Δ (1/b)} Δ 1 =

= {1 - ab} Δ 1 =

= 1 – (1 – ab) =

= ab

Las expresiones de la resta y la división serán más sencillas a partir de las expresiones inversas de

las ya encontradas. Quedan como tarea para casa.

Responder

Comprobar

Utilizaremos las expresiones anteriores para calcular la suma 3 + 5 y el producto 3 x 5.

3 + 5:

{[(-5 Δ 3)] Δ [ (1 Δ 3) Δ 1]} Δ 1 = {[(1 + 5/3)] Δ [ (1 Δ 3) Δ 1]} Δ 1 =


111

P R

O B

L E

M A

S



= {[(8/3)] Δ [ (1 – 1/3) Δ 1]} Δ 1 = {8/3 Δ [2/3 Δ 1]} Δ 1 = {8/3 Δ (1 – 2/3)} Δ 1 =

= {8/3 Δ 1/3} Δ 1 = (1 – 8) Δ 1 = -7 Δ 1 = 1 – (-7) = 1 + 7 = 8

3 x 5:

{3 Δ [ (1 Δ 5) Δ 1]} Δ 1 = {3 Δ [ (1 – 1/5) Δ 1]} Δ 1 = {3 Δ [1 – (1 – 1/5)]} Δ 1 =

= {3 Δ [1/5]} Δ 1 = {1 – 15} Δ 1 = (- 14) Δ 1 = 1 – (-14) = 1 + 14 = 15

Análisis

No se descartan otras posibles expresiones para los cálculos pedidos por el problema.

Respuesta

La suma y la multiplicación con la extraña calculadora deberán hacerse presionando las teclas

en la secuencia indicada en las siguientes expresiones:

Para la suma {[(-b Δ a)] Δ [ (1 Δ a) Δ 1]} Δ 1 = a + b

Para la multiplicación {a Δ [ (1 Δ b) Δ 1]} Δ 1 = a · b

SEGUNDO RETO

VACACIONES EN SILDAVIA

En Sildavia tienen un sistema monetario un poco extraño. Tiene

monedas de tres tipos, que valen uno, cinco y doce sildares.

En las vacaciones, Víctor y Mario fueron hasta allí. En el último día,

fueron a una tienda comprar una camiseta con la bandera del país.

Víctor pagó la suya con diez monedas, unas de "12 sildares" y otras

de "1 sildar".

Mario utilizó sus últimas once monedas, siendo unas de "5 sildares"

y las restantes de "1 sildar" para comprar la suya.

¿Cuál es el precio de una camiseta?


Comprender

Datos Un sistema monetario con monedas de tres tipos: 1, 5 y 12 sildares. Víctor y Mario compran,

cada uno, una camiseta.

Objetivo El precio de una camiseta.

Relación Víctor pagó la suya con 10 monedas, unas de "12" y otras de "1". Mario utilizó sus

últimas 11 monedas, siendo unas de "5" y las restantes de "1" para comprar la suya.

Diagrama Tabla. Lenguaje algebraico.



112

P

R

O

B

L

E

M

A

S


Pensar

Estrategias ORGANIZAR LA INFORMACIÓN de manera exhaustiva o utilizando una codificación

algebraica. MODELIZACIÓN de la situación a través de GEOGEBRA, partiendo de la

representación algebraica.

Ejecutar

Mediante un procedimiento exhaustivo:

Establecemos una tabla simple con todas las variables del problema.

Nº Monedas 1 sildar 5 sildares 12 sildares Total Resultado

Víctor

10 9 1 21

8 2 32

7 3 43 Coincide

6 4 54

5 5 65

4 6 76

3 7 87

2 8 98

1 9 109

Mario

11 10 1 15

9 2 19

8 3 23

7 4 27

6 5 31

5 6 35

4 7 39

3 8 43 Coincide

2 9 47

1 10 51

Podemos verlo gráficamente representando los totales de cada uno frente a la cantidad de monedas

de 1 sildar que emplean:

1 sildar Victor Mario

1 21 51

2 32 47

3 43 43

4 54 39

5 65 35

6 76 31

7 87 27

8 98 23

9 109 19

10

15

0

20

40

60

80

100

120

0 2 4 6 8 10 12

Victor

Mario


113

P R

O B

L E

M A

S



En realidad, aunque aparenta ser un ensayo y error, se trata de organizar la información de manera

exhaustiva. Contemplar todas las posibilidades de la compra para cada uno de los dos amigos y buscar las

coincidencias. En este caso sólo hay una coincidencia y, por tanto, solución única.

Mediante un proceso algebraico:

Comenzamos identificando las variables del problema:

P = precio de una camiseta

x = nº de monedas de un sildar usadas por Mario

11 – x = nº de monedas de 5 sildares usadas por Mario

y = nº de monedas de un sildar usadas por Víctor

10 – y = nº de monedas de 12 sildares usadas por Víctor

Las relaciones del problema quedan expresadas de la siguiente manera:

P = 5 (11 – x) + x P = 55 – 4 x

P = 12 (10 – y) + y P = 120 – 11 y

Y entonces, 55 – 4 x = 120 – 11 y, es decir: 4x = 11y – 65.

Pero además, por el propio enunciado, cada uno de ellos tiene al menos dos monedas de cada tipo, y

el problema debe tener solución única, pues no cabe el que la camiseta tenga dos o más precios diferentes.

y no puede ser inferior a 6 porque eso haría que x tomara un valor negativo, y 11y – 65 debe ser un

múltiplo de 4.

Contemplemos ahora la ecuación de esta manera: 11y = 65 + 4x.

x ha de tomar valores igual o mayor que 2 y el segundo miembro de la ecuación ha de ser un

múltiplo de 11.

Esta ecuación con dos incógnitas debe tener soluciones enteras según las condiciones estipuladas.

Por tanto, se trata de una ecuación diofántica: y = (65 + 4 x) / 11 ʌ “y es entero”.

Una manera de afrontar el problema puede ser usando esta propiedad para este tipo de ecuaciones

diofánticas:

“Dada la ecuación ax + by = c, para que ésta ecuación tenga solución, c tiene que ser divisible por el

máximo común divisor de a y b”.

En nuestro caso la ecuación queda así: – 4x + 11y = 65

Y al ser 4 y 11 primos ente si, el MCD (4, 11) = 1. Y c = 65 es divisible por 1, por lo que la

ecuación admite solución



114

P

R

O

B

L

E

M

A

S


Con estos antecedentes elaboramos la siguiente tabla:

y 11x – 65 x 65 + 4x

6 66 – 65 = 1 2 65 + 8 = 73

7 77 – 65 = 12 3 65 + 12 = 77

8 88 – 65 = 23 4 65 + 16 = 81

Y la solución es x = 3 e y = 7.

Aunque también se puede resolver actuando sistemáticamente buscando esos valores, x e y, sin

olvidar que han de ser inferiores a 11, y sin aplicar las restricciones vistas en las relaciones. Obtenemos:

x 4x 65 + 4x (65 + 4x) / 11 y

1 4 69 69 no es múltiplo de 11


3 12 77 77 / 11 7








Sólo encontramos una solución que concuerde con las condiciones del problema: x = 3.

Es decir, Mario compró la camiseta con x = 3 monedas de 1 sildar y, por tanto, con 11 – 3 = 8

monedas de 5 sildares, para un total de 43 sildares como precio de la camiseta.

Víctor compró la camiseta con y = 7 monedas de 1 sildar y, por tanto, con 10 – 7 = 3 monedas de 12

sildares, para un total, también, de 43 sildares como precio de la camiseta.

Mediante modelización con Geogebra:

Dejamos a nuestros lectores expertos en Geogebra que investiguen, descubran y nos envíen la forma

de utilizar esa aplicación didáctica para resolver este problema.

Solución 3 monedas de doce y 7 monedas de uno para Víctor. 8 monedas de cinco y 3 monedas de

uno para Mario. La camiseta costó 43 sildares.

Responder

Comprobación

Víctor pagó la camiseta con 10 monedas, 3 monedas de doce y 7 monedas de uno


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3·12 + 7·1 = 36 + 7 = 43

Mario pagó la camiseta con 11 monedas, 8 monedas de cinco y 3 monedas de uno

8·5 + 3·1 = 40 + 3 = 43

En ambos casos, la camiseta costó 43 sildares.

Análisis: Solución única.

Respuesta:

Víctor pagó la camiseta con 3 monedas de doce y 7 monedas de uno.

Mario pagó la camiseta con 8 monedas de cinco y 3 monedas de uno.

La camiseta costó 43 sildares.

TERCER RETO

UN SENCILLO PROBLEMA DE COMBINATORIA.

(Adaptado de Adrián Paenza; Matemagia)

Con las letras de la palabra BECAD (dad una beca), se forman todos los anagramas posibles

permutando sus cinco letras. Si colocamos las permutaciones ordenadas alfabéticamente, es decir:

ABCDE, ABCED, ACBDE, ACBED, ACDBE, ACDEB, etc. ¿Qué lugar ocupará la palabra

CEBAD? ¿Cuántas permutaciones son posibles con las cinco letras?


Comprender:

Datos: La palabra formada por las cinco primeras letras del alfabeto BECAD

Objetivos: (I) Calcular cuántos anagramas diferentes de cinco letras pueden formarse a partir de A-

B-C-D-E. (II) Encontrar el lugar que ocupa la palabra CEBAD una vez ordenados

alfabéticamente todos los anagramas.

Relación: Siempre son las mismas letras, pero colocadas en un orden diferente.

Pensar:

Estrategias: Organizar la Información.

Ejecutar:

Formar los anagramas y ordenarlos alfabéticamente. Cada anagrama es una permutación. Se utiliza

el orden alfabético. Se puede utilizar como técnica la conversión de las letras en cifras y ordenar los

números resultantes.



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Hay 5! = 5·4·3·2·1 = 120 anagramas distintos que se pueden formar con las cinco letras de BECAD.

La palabra CEBAD está más cerca del final del conjunto que del principio, puesto que los que

empiezan por A son 1·4·3·2·1 = 24, que son también los que empiezan por cada una de las otras cuatro

letras. Así pues, las que comienzan por A y por B suman 48 y las que comienzan por D y por E otras 48.

De las 24 que empiezan por C, la cuarta parte -6-, continúan con A (CA---) otra cuarta parte con B

(CB---), mientras que el tercer cuarto lo hace con CD--- y el último cuarto corresponde a CE---. Así

vemos que CEBAD estará en el último cuarto, es decir, más cerca del último anagrama que del primero.

Por ello vamos a calcular los anagramas posteriores a CEBAD en la ordenación.

1. Anagramas que empiezan por E: 4! = 24

2. Anagramas que empiezan por D: 4! = 24

3. Los que están después de CEBAD y antes de DABCE: CEDAB, CEDBA y CEBDA. Tres

anagramas.

En total son 24 + 24 + 3 = 51, que hemos de restar del total de 120 calculado al principio:

120 – 51 = 69, y este es el lugar que ocupa CEBAD.

Solución:

120 anagramas. CEBAD ocupa el lugar 69.

Responder.

Comprobar:

Otra forma de enfocar la solución consiste en asignar una cifra a cada letra: A = 1, B = 2, C = 3, D =

4 y D = 5. Entonces a ABCDE le corresponde 12345, y CEBAD sería 35214; siendo DABCE el número

41235

Puede resultar más sencilla la ordenación trabajando con números y más fácil ver que entre 35214 y

41235 están 35241, 35412 y 35421.

Análisis:

La solución es única.

Respuesta:

Hay 120 anagramas que comprenden algunos con significado (vocablos o palabras). El

vocablo CEBAD ocupa el lugar 69 del total de 120 que tenemos.

Es sabido por todos nuestros lectores y aquellos que nos conocen personalmente nuestra rendida

admiración por Martin Gardner. Nunca le dejaremos de estar agradecidos por todo lo que nos enseñó a

través de sus artículos primero y con sus libros después. Añoramos su presencia, pero el material que nos

dejó es tan rico que aún seguiremos utilizándolo durante mucho tiempo.


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Pero, al hilo de este último problema, tenemos que hacer mención especial de ese otro monstruo de

la divulgación matemática que es Adrián Paenza.

Este porteño, hombre de nuestra generación (la de los autores),

Adrián Arnoldo Paenza nació en Buenos Aires (Argentina) hace 70 años.

Matemático y profesor de matemáticas por la Facultad de Ciencias Exactas

y Naturales (UBA), es también un periodista y divulgador.

Su familia, de clase media, fomentó siempre su interés para que

realizara actividades diversas: deportivas (patinar sobre hielo) o artísticas

(tocar el piano). Con 14 años comenzó sus estudios en la Facultad de

Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad de Buenos Aires, donde se

doctoró en Matemáticas y fue profesor asociado. A los 16 años tuvo su

primer trabajo como periodista. La pasión por el deporte lo acercó al

periodismo deportivo y su pasión por las matemáticas lo acercó a la

ciencia.

Sus libros han sido un éxito de ventas en la Argentina, en otros países de Latinoamérica y también en

Alemania y España, donde se han editado algunos títulos. Asimismo, sus libros han sido publicados (o lo

serán próximamente) en Rusia, Italia, República Checa, Brasil y Portugal.

Como periodista, se inició en 1966 en La Oral Deportiva de Radio Rivadavia. Entre 1986 y 1997 fue

profesor asociado del departamento de matemáticas de esa institución. Ganador del Premio Konex en la

categoría Periodismo Deportivo Audiovisual en 1997, ejerce el periodismo en diversos medios, y es

conductor del programa Científicos Industria Argentina, galardonado con el Premio Martín Fierro en 2007,

2009 y 2011. Trabajó en las radios más importantes del país y en los cinco canales de aire de la Argentina.

Fue redactor especial de varias revistas y colabora con tres diarios nacionales: Clarín, Página/12 y La

Nación. Actualmente es columnista especial de Página/12. En 1997 recibió el Diploma al Mérito Konex a

Deportiva Audiovisual. En 2007 recibió el premio Konex de platino en la categoría «Divulgación

científica».

Ha recibido otros muchos premios como divulgador matemático y periodista deportivo.

A la vista de sus extensos agradecimientos en la introducción de sus obras, hemos de considerar que

mantiene una excelente relación con su familia, compañeros y amigos.

Desde hace 35 años, reside la mayor parte del tiempo en la ciudad de Chicago,

Estados Unidos.

Adrián Paenza como destacado matemático, periodista y divulgador de las

Matemáticas, autor de libros maravillosos como la serie "Matemáticas... ¿Estás ahí?",

expresa alguna de sus ideas sobre las Matemáticas y su docencia, recogidas de la

obras citadas, dignas de ser difundidas y aplicadas en nuestro quehacer diario. (Datos

obtenidos de wikipedia)

Como muestra reflejamos algunas referencias como las siguientes:

Mi experiencia como docente me permite decir que nuestra responsabilidad es la de

transmitir ideas en forma clara y gradual.

Uno necesita encontrar complicidades en el alumnado, mostrar que nos

importan. Que, en todo caso, sin ellos, sin alumnado, no hay docencia, ni

profesorado.



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Estimulemos al alumnado a preguntar todo el tiempo. No todos tenemos los mismos tiempos

para entender. Ni siquiera hay garantías de que lo que entendimos hoy lo entendamos

mañana. Nuestra tarea, la de los docentes, es prioritariamente la de generar preguntas, o

sea, motivar a los alumnos a que ellos se hagan preguntas. Nuestro desempeño no será

satisfactorio si sólo colaboramos en mostrar respuestas.

Es posible que parte de la matemática que se produce hoy no resuelva situaciones del

presente, pero podría resolver las del futuro. Hay muchos ejemplos en ese sentido.

En cualquier caso, el placer pasa por pensar, por dudar, por “entretener” en la cabeza un

problema que no sale y aprender a coexistir con algo no resuelto.

Debemos quebrar las competencias estériles. Nadie es mejor persona

porque entienda algo, ni porque lo haya entendido más rápido. Ni peor,

si no entiende. Estimulemos el esfuerzo que cada uno pone para

comprender.

La teoría tiene que estar al servicio de la práctica. Primero están los

problemas y mucho después la teoría, que (en todo caso) se supone que

ayuda a resolverlos. La idea es aprender a pensar, a plantear y a

resolver problemas.

No hemos de someter a alumnado a la supuesta autoridad académica del

docente. Si el alumno no entiende, el docente debe motivarlo a

preguntar, a porfiar, a discutir hasta que o bien entienda, o bien nos

haga advertir que ¡quienes no entendemos somos nosotros!"

Sus libros son un diálogo con el lector, donde frecuentemente pide (¿exige?) pausas de

reflexión, de análisis, dando la oportunidad de que el lector recapacite sobre lo planteado antes de

seguir leyendo. Aquí tenemos alguna de las reflexiones que expone en su libro “LA PUERTA

EQUIVOCADA”:

“(Para resolver este problema de frases verdaderas y falsas) no hizo falta

tener ningún tipo de conocimiento previo. Sólo se trató de hacer un análisis

exhaustivo de todas las posibilidades, y con eso fue suficiente para deducir la

respuesta. La vida está llena de problemas de este tipo en los que uno debe

plantearse diferentes escenarios y luego determinar cuáles son posibles y cuáles

no. La matemática llega en auxilio para dar un soporte lógico/técnico que

muchas veces permite decidir qué es lo que está bien y qué es lo que está mal.”

(página 273)

“…La satisfacción que yo siento cuando descubro cómo resolver un

problema nunca surge de leer lo que hizo otro. No quiere decir que muchísimas

veces no me haya quedado otra alternativa, pero prefiero aprender a coexistir

con la frustración durante un tiempo y pagar ese precio si al final logro que se

me ocurra a mí. Ese instante en donde es uno quien encuentra el camino que

lleva a la solución, ese momento en donde uno pasa de no entender a sí entender,

es impagable, y es por eso que no me canso de escribirlo y de compartirlo para

invitar a quien tiene un problema de cualquier tipo a que no se dé por vencido en

el intento. Hágalo hasta donde pueda. La recompensa intelectual y lo que aporta

a la autoestima merecen su dedicación y esfuerzo.” (página 280)

“(En algunos problemas) el objetivo no es otro que entrenar nuestra

capacidad lógica para elaborar estrategias. … La satisfacción que produce

compararse a uno mismo desde el momento en el que toma el primer contacto con



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la situación hasta que advierte qué es lo que hay que hacer para resolverlo es incomparable. De

hecho, es una buena forma de conocer nuestras propias capacidades que permanecen dormidas,

latentes, escondidas... elija el adjetivo que prefiera. Por eso, más que la solución propiamente dicha,

lo que vale la pena es el trayecto, la ruta y el descubrimiento que implica cada paso.” (página 287)

“No sé qué pasó a usted, pero créame que a mí me fascina la capacidad que

tenemos los humanos de encontrar un hecho escondido, oculto y que parecía

inalcanzable, usando simplemente la herramienta más poderosa que tenemos: el

cerebro.” (página 290)

“…Muchas veces nos embarcamos en establecer fronteras artificiales que

en la vida real no existen. Me explico: uno aprende en el colegio/escuela a resolver

problemas de matemática, de física, de química, de biología, de geología, etc., pero

los problemas en la vida cotidiana no vienen con una etiqueta que los separa o

distingue. Entonces, cuando llega el momento de enfrentar una situación cualquiera en donde se

requiere pensar, no sirve –en general– tratar de recordar lo que uno estudió, sino de crear y buscar

alternativas de solución desde cualquier ángulo posible.” (página 302)

“¿Qué le pasó a usted?, ¿se le ocurrió enseguida?, ¿hubo algo que le hizo sospechar que esas

áreas tenían que ser iguales?, ¿cómo pensó el problema? No sabe cómo me gustaría poder estar junto

a usted para escuchar sus reflexiones. Seguro que eso me ayudaría muchísimo para educar mi

percepción.” (página 320)

“La única gracia que tiene este tipo de problemas (análisis de un juego) es motivarlo para

bucear en algún otro lugar de su cerebro, llevarlo/la –eventualmente – por sitios que usted no

exploró… La idea final debería ser: mejorar su capacidad para razonar y elaborar estrategias.

(página 324)

“Una vez más, es muy poco probable, por no decir imposible, que aparezca alguna razón por la

cual uno tenga que (hacer estas cosas), pero esa no es la idea.

La idea es mostrar cómo somos capaces de elaborar diferentes

tipos de estrategias para resolver problemas. Puede que éste

no surja nunca en la vida cotidiana de ninguna persona que

usted y yo conozcamos, pero sí estoy seguro de que tanto

entrenarse y pensar en problemas que requieran la elaboración

de estrategias, uno desarrolla capacidades para la vida

cotidiana que no tendría si no las practicara.” (página 336)

Un par de enlaces a sus actuaciones divulgativas publicadas en “youtube”. A partir de estos se

pueden ver otros vídeos.

https://www.youtube.com/watch?v=V33U1OsFVnQ

https://www.youtube.com/watch?v=C342mLcbcd4

Libros del autor Adrián Paenza:

Matemática… ¿Estás ahí? (2005)

Matemática… ¿Estás ahí? Episodio 2

(2006)

Matemática… ¿Estás ahí? Episodio

3,14 (2007)

Matemática… ¿Estás ahí? Episodio

100 (2008)

https://www.youtube.com/watch?v=V33U1OsFVnQ

https://www.youtube.com/watch?v=C342mLcbcd4

na calculadora muy, muy extraña. Problemas Comentados LI


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Estrategias (2016) Matemática…

¿Estás ahí? La vuelta al mundo en 34

problemas y 8 historias (2010)

¿Cómo, esto también es matemática?

(2011)

Matemáticas para todos (2012)

Matemagia (2013)

La puerta equivocada (2014)

Detectives (2015)

En Robotilandia pasan cosas raras. 10

desafíos matemáticos para chicos

(2016)

La matemática del futuro (2017)

El que pierde gana. 10 desafíos

matemáticos para chicos (2017)

Matemática maravillosa. 15 desafíos

asombrosos para pensar distinto (2017)

¡Un Matemático Ahí, Por Favor!

(2018)

Festival matemático (2018)

Los libros de matemática recreativa publicados por Adrián Paenza se encuentran disponibles

para su descarga gratuita en la web del Departamento de Matemática de la Facultad de Ciencias

Exactas y Naturales de la Universidad de Buenos Aires:

http://cms.dm.uba.ar/material/paenza.

Pero no olvide que esa disponibilidad por parte de Paenza debe ser contrapesada por la compra

de alguno de esos libros en formato papel. Descargue aquellos que no pueda encontrar en la librería.

Compre aquellos que encuentre, léalos, disfrútelos y trabájelos. No se arrepentirá.

Y un par de retos (de Paenza, ¡faltaría más!) que proponemos para que ustedes practiquen y nos

envíen sus razonamientos y soluciones.

Los dos primeros problemas los hemos adaptado un poco, más como juego que para enmendar

la plana al maestro. Esperamos nos disculpe por ello. El tercero es un clásico:

1. Las guardias de recreo

Un centro escolar a principios de los años setenta del siglo pasado. Un grupo de cuatro

profesores, a quienes voy a llamar A, B, C y D, decidieron encargarse de las guardias en los recreos

del colegio. El encargo se hacía de manera semanal, pero con algunas condiciones que establecieron

entre ellos.

Estas son las cuatro condiciones que decidieron cumplir:

Los días en los que hacía guardia A, no la hacía B.

Los días en los que hacía guardia B también la hacía D, pero no la hacía C.

Los días en los que hacía guardia D, también la hacían A o B (o incluso los dos).

Nunca hubo dos días iguales, es decir en donde se repitieran los profesores que

salieron al patio de recreo para hacer la guardia.

En los siete días de la semana, ¿cuántos días estuvo de guardia D y con quién (o quienes)?

2. Inicio de curso

Existe la costumbre al principio de curso de pedir al alumnado que aporte el material suficiente

para trabajar durante el curso. Se deposita en la clase y, a medida que se va gastando, se surten de él

los alumnos que lo han aportado. El profesor a veces, previendo que habrá alumnos que no puedan

aportar todo el necesario, pone de su bolsillo o del presupuesto escolar de aula una cierta cantidad de

material básico. Supongamos que usted, profesor entró en un kiosco y compró tres tipos de materiales:

lápices, bolígrafos y gomas de borrar. Juntando todo lo que compró, se llevó 30 cajas por las que pagó

30 euros. Se sabe, además, que compró por lo menos una caja de cada producto.

http://cms.dm.uba.ar/material/paenza



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Cada uno de los productos venía envasado en su propio paquete y los precios por unidad

estaban distribuidos de la siguiente forma:

a) Cada caja de bolígrafos costaba tres euros,

b) Cada caja de lápices costaba dos euros, y finalmente,

c) Cada caja de gomas de borrar costaba 50 céntimos.

¿Es posible determinar cuál fue la distribución de lo que compró? Es decir, ¿es posible

determinar cuántas cajas de cada producto se llevó a su aula?

El que sigue es un problema clásico, que en la forma que Adrián Paenza lo presenta o en la que

dando z se tiene como incógnita una de las alturas, se encuentra en muchos libros de geometría. Por

ello lo trasladamos tal cual lo presenta su autor, solicitando de nuestros lectores que nos hagan llegar

las variantes que conozcan. ¡Colabore hombre! ¡o mujer!

3. Torres de telefonía celular

Suponga usted que hay dos torres de telefonía celular.

Estas torres se erigen en forma vertical. No importa la distancia

que hay entre una y otra, pero lo que sí se sabe es que una mide

seis metros y la otra cuatro.

Del extremo superior de cada una, sale un cable que llega

hasta la base de la otra. Obviamente, esos cables tienen que

cruzarse en alguna parte (ver Figura 1):

¿Puede deducir usted a qué altura del piso se cruzan? Mirando la figura, el problema consiste

en determinar cuánto mide “z”.

Y hasta aquí llegamos. Terminamos con nuestro mantra particular: resuelvan los problemas,

singulares y alejados de los cotidianos; utilícenlos con los alumnos y, sobre todo, aporten sus

comentarios a la revista, sus soluciones e, incluso, nuevas propuestas. O, simplemente, cuéntennos lo

sucedido en el transcurso de la clase en que probaron el problema. Queremos pensar que nuestras

propuestas tienen uso en el aula. Eso nos alegraría mucho y también al resto de lectores. Nos

repetimos: vamos, anímense… ¡Si es divertido!

Como siempre, aguardamos sus noticias a la espera de la próxima edición de la revista

.

Un saludo afectuoso del Club Matemático.

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ISSN: 1887-1984




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Juegos de alineamiento: variantes del tres en raya

José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz (Club Matemático1)

Resumen Hacemos una descripción de más de 25 variantes del 3 en raya o relacionadas con

el juego, algunas conocidas y populares como el ta-te-ti, Nine Men’s Morris, Molino,

Quarto, Go-Moku, Conecta 4; y otros menos conocidos o que comercialmente ya no se

producen: Tri-Ex, Sampan, Imagic, Pentago, etc. De muchos de ellos hacemos un

análisis con mayor profundidad que de otros, haciendo hincapié en su uso en el aula.

Palabras clave Variantes del tres en raya. Conocidas como el Ta-te-ti y más extrañas como el

Sampan. Aplicación de los juegos en el aula. Variantes de tableros, fichas y reglas.

Abstract We describe more than 25 variants of the 3 in a row or related to the game, some

known and popular as ta-te-ti, Nine Men’s Morris, Molino, Quarto, Go-Moku, Conecta 4;

and others less known or commercially no longer produced: Tri-Ex, Sampan, Imagic,

Pentago, etc. Many of them make an analysis in greater depth than others, emphasizing

their use in the classroom.

Keywords Variants of the three in a row. Known as Ta-te-ti and more strange as Sampan.

Application of games in the classroom. Variants of boards, chips and rules.

Está claro que los juegos de alineamiento, de la familia del Tres en Raya, merecen un segundo

artículo (ya se ha hecho una costumbre en nosotros) en el que haremos una descripción de la mayor

parte de ellos, los más interesantes, y un análisis un poco más profundo de alguno.

De las posibles variantes vamos a dejar un poco de lado aquellas más sencillas que se limitan a

modificar el tres en raya propiamente dicho y nos dedicaremos a los más comerciales. Es evidente que

a las casas fabricantes de juegos de mesa no les interesan juegos que necesiten poco material. Están

más por diseñar juegos con variantes que necesiten un tablero más espectacular con unas reglas de

juego que ofrezcan más posibilidades a los jugadores. O, también, aquellos que requieren una

presentación más artesana, fabricados en madera con decoraciones más vistosas.

Las variantes del Tres en Raya, como ya sabemos, buscan un atractivo suplementario

cambiando el objetivo del juego, las fichas del mismo, introduciendo reglas algo diferentes e, incluso,

elementos materiales o efectos físicos (gravedad, imanes, cartas, etc.). Varios de esos cambios son

posibles simultáneamente para dar una mayor espectacularidad al juego. En algunos casos tales

variantes son juegos con una entidad propia muy relevante.

1 El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García

Déniz, jubilados del IES de Canarias-Cabrera Pinto (La Laguna) y del IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de

Tenerife), respectivamente. [email protected] / [email protected]







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Empezaremos viendo un par de variantes sencillas, por lo general no comerciales, pero poco

conocidas para, después, presentar algunos de los juegos de este tipo de nuestra colección particular.

Tres en Raya numérico o alfabético.

Son variantes donde las piezas del juego se sustituyen por números o letras para logra formar

determinadas sumas o palabras. En algunos de ellos, las piezas tienen sus dos caras distintas y es

preciso darles la vuelta según determinadas reglas complementarias.

Con números: Suma 15

Cada jugador, en su turno, coloca una ficha (números de 1 a 9) sobre una casilla vacía del

tablero.

Gana el primer jugador que consigue sumar con sus tres fichas (no vale sólo con dos) un total de

15.

Si tras colocar las seis fichas ningún jugador consigue sumar 15, cada jugador, por turno, puede

levantar una de sus fichas y colocarla en cualquier otra casilla que esté libre. Continúa la partida hasta

que algún jugador consiga 15 o los dos decidan dejar la partida en tablas.

Con letras: S.O.S. y OXO

En un tablero rectangular cuadriculado que suele ser delimitado

en una hoja de papel cuadriculado, los jugadores, alternándose, van

dibujando en cada cuadrícula una de las letras “S” u “O”. Cada vez que

un jugador logra completar la serie “SOS” en cualquier dirección, se lo

anota como suya. Lógicamente gana el que logra anotarse más cadenas

“SOS”.

La misma idea pero con las letras X y O sirvieron para crear una

simulación electrónica en 1952, que se denominó “OXO” y se

considera el primer videojuego de la historia.

Con palabras: HOT

Se trata de colocar en los nueve cuadros del tablero las palabras “SPIT, NOT, SO, FAT, FOP,

AS, IF, IN, PAN”, de tal manera que en cada línea aparezca cada vocal una sola vez. Se puede jugar

como un solitario también.

Existen varias versiones españolas con nueve tarjetas. Una de ellas contiene las siguientes

palabras: CURA DON LIS MAS POR SECO TIRE VENA ZINC. Se colocan las nuevas tarjetas

boca arriba sobre la mesa y cada jugador, por turno, va eligiendo una tarjeta del montón y colocándola

junto a él también boca arriba. Gana el primer jugador que consigue tres palabras que tengan una letra

en común. Si nadie lo consigue la partida se considera en tablas.

Tri-Ex, Tres en raya triangular o Tres en raya áureo

También se le puede encontrar con el nombre de TRIHEX.

Requiere un tablero como el de la figura y dos juegos de tres fichas de

dos colores diferentes.

Los dos jugadores, por turno, van colocando una ficha en una

casilla que este vacía. Si después de colocar sus tres fichas ninguno de

los dos jugadores ha conseguido poner sus tres fichas en línea recta, los

jugadores van desplazando, por turno, una de sus fichas a lo largo de una

línea a otra casilla vacía. Gana quien consiga colocar sus tres fichas en

http://2.bp.blogspot.com/_8fYYQ_kig7o/TMpRKgG_axI/AAAAAAAAAy8/_wJc4HCKV7k/s1600/Oxo.jpg

Juegos de alineamiento: variantes del tres en raya J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz



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línea recta.

El tablero sobre el que se juega a las tres en raya está formado por

nueve casillas dispuestas en ocho líneas de tres casillas cada una (filas,

columnas y diagonales. Thomas O’Beirne, de Glasgow, autor de Puzzles and

Paradoxes (Oxford, 1965), diseñó este tablero. En cada una de las

alineaciones de tres puntos, el central corresponde a la sección áurea del

segmento definido por los puntos extremos.

Tatetí

Cada jugador dispone de 5 piezas distinguibles de las de su rival, que van colocando sobre el

tablero alternándose. También se conoce esta modalidad sin movimientos de las fichas con los

nombres de Tic-Tac-Toe o “Noughts and Crosses” (ceros y cruces). Dan lugar a una serie de

subvariantes como el “Ta-Te-Tí Loco”, en el que cada jugador coloca una pieza del color que quiera o,

en su versión sobre papel, dibuja una cruz o un círculo según le parezca. O el “Titatá Loco” donde en

cada jugada los contendientes pueden elegir entre el “0” y la “+”, y el primero en hacer tres en raya

pierde.

Sampan

Los dos jugadores necesitan 8 fichas de 2 colores (4 de cada) y un tablero de 3x3. Los jugadores

eligen su color de fichas o quién va primero. Las fichas se colocan alternadas en el tablero y se deja

vacío el centro. Los jugadores por turno mueven una de sus fichas un espacio en cualquier dirección

hacia una celdilla vacía. Los jugadores pueden saltar las fichas contrarias (no las propias), pero no hay

captura. El ganador es el primero en tener tres de sus propias fichas: (i) en línea en una fila, columna

o diagonal, o (ii) juntas de tal forma que cada una de las tres fichas toque las otras dos.

El Tatetí de Harary

Sobre un tablero cuadriculado se van coloreando casillas, cada jugador con un color. El objetivo

es construir un “animal” determinado de entre los que son posibles con poliminos.

Evitando tres en raya

Sobre un tablero de 8x8 se van colocando alternativamente las

piezas y pierde el jugador que se ve obligado a alinear una tercera ficha

con otras dos, formando una línea de tres.

Muchas variantes del tres en raya, jugadas en tableros superiores

a 3x3 piden alineamientos de cuatro fichas o de cinco para poder ganar.

Aquí les mostramos algunas.

Cuatro en raya, totalmente semejante al tres en raya, pero

tratando de alinear cuatro fichas en un tablero de 4x4.

Coloca cuatro (Score Four) o Conecta cuatro

Es una versión comercializada y muy difundida que podemos denominar “Gravitatoria” puesto

que las fichas se dejan deslizar por unas columnas paralelas, que pueden ser más de cuatro,

permitiendo también, más de cuatro fichas en cada columna.




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Ambos jugadores sitúan sus fichas (una por movimiento) en el tablero.

La regla para colocarlas consiste en que la estas siempre "caen hasta abajo".

Es decir, una ficha puede ser colocada bien en la parte inferior de una

columna o bien sobre otra de alguna otra columna. La siguiente imagen

muestra un ejemplo de la posición de una partida en curso donde las cruces

verdes señalan las casillas donde el jugador puede colocar una nueva ficha.

La partida termina si una de las siguientes condiciones se cumple:

Uno de los jugadores coloca cuatro o más fichas en una línea

continua vertical, horizontal o diagonalmente. Este jugador gana la partida.

Todas las casillas del tablero están ocupadas y ningún jugador cumple la condición

anterior para ganar. En este caso la partida finaliza en empate.

Aquí se muestran las distintas posiciones de la próxima jugada a realizar sobre

el tablero.

Cinco en raya, de manera similar al anterior pero con un par de variantes

orientales que resultan muy interesantes.

Go-moku.

Básicamente consiste en formar cinco en raya sobre las

intersecciones de un tablero de “Go”. Se conoce también como go-bang

o cinco en línea.

Se juega sobre el tablero de Go con cien fichas blancas y cien

negras. El objetivo es intentar colocar cinco de nuestras fichas en línea

una detrás de otra en horizontal, vertical o diagonal.

El juego comienza con el tablero completamente vacío, en él se van

colocando las fichas por turnos y de una en una sobre las intersecciones

de las líneas intentando alinear cinco de nuestras fichas de forma consecutiva en horizontal, vertical o

diagonal y a la vez evitando que el contrario logre hacer lo mismo.

Coloca la primera ficha el jugador que maneja las negras.

Si se han colocado todas las fichas sin que nadie haya logrado el

objetivo del juego (difícil que esto pase) se puede elegir entre

proclamar tablas o continuar el juego desplazando las fichas por

turno horizontal o verticalmente de una intersección a otra libre

adyacente hasta que un jugador logre el alineamiento. El

primero en conseguir alinear sus cinco fichas gana la partida.

Si se quieren hacer más cortas las partidas puede usarse ,

en lugar de un tablero 19 x 19, uno más sencillo de 13 x 13 o de

8 x 8 casillas, con menos cantidad de fichas y algunos cambios

en las reglas.

Pente

El “Pente” es una variante que combina el Go con el Go-

moku, inventada por Gary Gabel (USA); las reglas que se emplean

son: Se colocan alternativamente por cada jugador una de sus

piezas en alguna de las 19x19 intersecciones del tablero. La

primera pieza se ha de colocar en el centro. Si al colocar una pieza




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se encierran dos del contrario entre dos propias, se retiran del tablero las así encerradas. Gana quien

tenga más fichas propias en el tablero al tener este todas sus intersecciones cubiertas.

Variantes más alejadas del Tres en raya

Morris o Molino

Cada jugador dispone de nueve piezas, u "hombres", que se mueven en el

tablero entre veinticuatro intersecciones. El objetivo del juego es dejar al

oponente con menos de tres piezas o sin movimiento posible.

El juego comienza con un tablero vacío. Los jugadores se turnan para

colocar sus piezas en las intersecciones vacías. Si un jugador es capaz de formar

una fila de tres piezas a lo largo de una de las líneas del tablero, tiene un

"molino" y puede eliminar una de las piezas de su oponente en el tablero; las

piezas quitadas no podrán ser colocadas de nuevo. Los jugadores deben eliminar

cualquier otra pieza antes de eliminar una pieza de un molino formado. Una vez

que todas las dieciocho piezas se han colocado, los jugadores se turnan

moviendo. Para moverse, el jugador desliza una de sus piezas a lo largo de una

línea en el tablero a una intersección vacía adyacente. Si no puede hacerlo, ha

perdido el juego. Todos los estudiosos del juego dan por buena la teoría de que

los juegos de Morris son herederos directos del Alquerque.

Hay versiones para tres fichas (Three Men’s Morris), para seis fichas

(Three Men’s Morris), para nueve y para doce. Estos últimos son los más

interesantes.

Nine Men’s Morris

El tablero tiene tres cuadrados concéntricos unidos por caminos rectos en los puntos medios de

los lados. Eso da un total de 24 intersecciones para posicionar las fichas.

Twelve Men’s Morris.

Con el tablero modificado de tal manera que ahora aparecen unidos los vértices de los

cuadrados concéntricos entre si con cuatro nuevos segmentos. Las intersecciones son las mismas pero

ahora hay más caminos por donde deslizar las fichas.

Calypso

Calypso es un juego para viaje diseñado en 1987 por Philip

Shoptaugh (US patent nº 3.603.591) para la empresa Shoptaugh Games

Incorporated. Incorpora los colores a los juegos del Tres en Raya.

Gana el primero en hacer tres en una fila del mismo color superior

en cualquier fila, columna o diagonal. Los jugadores alternan turnos

colocando nuevas piezas en el tablero, cambiando el color de sus piezas

ya jugadas invirtiéndolas o reposicionando cualquiera de sus piezas sin

invertirlas.

El juego se presenta en un estuche de viaje de bolsillo, con tablero

de juego, 14 piezas y las instrucciones detalladas.

Cronet




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Cronet es un juego de cálculo y estrategia para dos jugadores

a partir de 7 años. Es de la casa Borrás (Ref. 8612), diseñado en

1986 por Jim Winslow, bajo licencia de The Michael Kohner

Corporation.

El jugador deberá obtener un tres en raya doble, alineando en

cualquier dirección sus tres fichas grandes y sus tres fichas

pequeñas.

Cada jugador tomará seis fichas de un mismo color (tres

grandes y tres pequeñas) y seguidamente las colocará sobre el

tablero con estas posiciones: las tres fichas grandes sobre los

círculos grandes de su mismo color y las tres fichas pequeñas

también sobre los círculos pequeños del mismo color.

Se decide por cualquier sistema quién moverá primero.

Cada jugador en su turno puede mover una ficha grande o una pequeña sucesivamente, hasta

que uno de ambos jugadores gane, al tener sus tres fichas grandes y las tres pequeñas todas en raya.

Un tres en raya, puede ser: horizontal, vertical o diagonal.

Ver cuatro ejemplos de las múltiples combinaciones posibles.

Una ficha grande puede moverse en cualquier dirección tantos espacios como unidades de

energía tenga, ocupando siempre el centro de los cuadros.

Por cada ficha pequeña, propia o del contrario que estén situadas en los ángulos de los

cuadrados, la ficha grande recibe de una a cuatro unidades de energía (según fichas pequeñas tenga

alrededor) que le permitan avanzar de uno a cuatro espacios. La ficha grande puede disponer de un

máximo de cuatro unidades de energía.

Las fichas pequeñas siempre se moverán ocupando los ángulos de los cuadros del tablero.

Una ficha pequeña puede moverse en cualquier dirección tantos ángulos como unidades de

energía tenga.

Las fichas pequeñas se desplazarán sobre las líneas amarillas ocupando siempre los ángulos

formados por el cruce de líneas, recibiendo a su vez la energía de las fichas grandes que estén situadas

en los cuadrados de su alrededor. Una ficha pequeña puede disponer de un máximo de cuatro unidades

de energía.

Una ficha grande o pequeña puede moverse de uno a cuatro espacios según unidades de energía

tenga, pero es opcional el efectuar todos los movimientos ya que el jugador puede interesarle en un

momento dado el efectuar uno o más movimientos.

Cuando una ficha (grande o pequeña) queda bloqueada porque no tiene energía a su alrededor

puede ser recuperada si el propio jugador efectúa un movimiento de retroceso con otra ficha para que

la ficha bloqueada pueda moverse.




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Imagic

Imagic es un juego ideado por Oded Berman para la

empresa © AMCOR AMHAD. Se avanza comparando los

dibujos. Para ganar en el juego, hay que bajar las cartas.

Incluye 8 fichas de madera, 4 claras y 4 oscuras, 34

cartas y un tablero de fieltro con 9 perforaciones.

Cada uno de los jugadores recibe 4 fichas del mismo

color. Se mezclan las cartas. Cada uno de los jugadores recibe

5 cartas, que colocará en el lugar previsto al borde del tablero.

Los demás jugadores no podrán mostrar sus cartas. El resto del fajo será colocado boca abajo sobre la

mesa.

El jugador que tenga las fichas claras comenzará el juego. Colocará una de las fichas en el hoyo

vacío en el centro del tablero. Su contrincante colocará una ficha en el hoyo que ha quedado

desocupado.

Cada uno de los jugadores deberá

utilizar sus fichas a fin de reproducir uno

de los esquemas de sus cartas. En caso

de lograrlo, colocará la carta apropiada

boca arriba sobre la mesa, y cogerá otra

del fajo. El primer jugador que logre

colocar 5 cartas boca arriba será el ganador.

La partida podrá jugarse también con 10 cartas. En ese caso, el primer jugador que pueda

alinear 10 cartas boca arriba será el ganador.

Asimismo, podrá jugarse también con todas las cartas. En este caso, el ganador será el jugador

que logre alinear el mayor número de cartas boca arriba sobre la mesa.

Interplay

Interplay es un clásico juego de habilidad para dos jugadores. Su

objetivo es ser el Primero en hacer "5 en una fila" con piezas de su color en una

línea recta en cualquier dirección, horizontal, vertical o diagonal. Es un juego de

viaje (serie nº 745), diseñado en 1986 por Philip Shoptaugh (US patent nº

4.239.230) para Shoptaugh Games Incorporated.

El diseño único del tablero permite a los jugadores

jugar dentro o alrededor de las piezas de los demás para

construir un patrón ganador. El juego se vuelve más

complejo a medida que mejora el nivel de habilidad del jugador. Interplay fue

elegido como uno de los mejores 100 juegos por la revista Games y ganó el

premio a la elección de los padres.

Contiene un tablero de juego de tamaño estándar e incluye 36 piezas de

juego con instrucciones detalladas.

Magic 4

Magic 4 es una oferta de juego de DISET INTERNATIONAL. Su promoción indica: “Usted

puede luchar contra su oponente, pero… ¿Podrá vencer a la “fuerza oculta”?”




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El tablero tiene debajo una serie de imanes que han de ser

colocados aleatoriamente antes de comenzar el juego. Programable

magnéticamente con 245.760 combinaciones.

Las piezas son cilindros o prismas transparentes que contienen

en su interio una ficha con una cara blanca y la otra roja, con distinta

polaridad, lo que hace que al colocarla sobre el tablero permanezca o

cambie su color dependiendo del polo del imán que está debajo.

Las instrucciones indican:

El blanco siempre inicia el juego. Se coloca cualquier ficha

redonda en cualquier especio de la fila Base Blanca.

Una vez entrada al tablero, cualquier ficha puede ser movida por ambos jugadores, sin importar

la forma o el color.

Si alinea usted cuatro fichas consecutivas (cuadradas y/o redondas) con su color a la vista, sea

cual fuere la dirección de la hilera, ¡ha ganado!

Es muy sorprendente y divertido. Uno piensa que va a colocar la pieza ganadora para finalizar el

juego y, de repente, al colocarla en el sitio elegido, el imán hace voltear la ficha y resultar que ha

jugado para el contrario.

Pentago

Pentago es un juego abstracto de estrategia creado por Tomas

Flodén y comercializado por la compañía sueca Mindtwister. Un

cinco en línea para partidas con muchos giros.

El pentago se juega sobre un tablero de 6x6 dividido en cuatro

partes de 3x3. Cada jugador, por turnos, debe colocar una de sus

fichas en una casilla vacía y a

continuación, girar 90 grados

uno de los cuadrantes.

El tablero se divide en cuatro partes móviles.

Además del tablero, el juego contiene 2 juegos de 18

piezas de distinto color.

Gana el jugador que consigue alinear cinco de sus fichas

(en diagonal, vertical u horizontalmente), independientemente de

si lo consigue antes o después de la rotación.

Si se llega a ocupar todo el tablero sin haber conseguido el

objetivo, el juego queda en tablas.

Pirámides

Es un juego de la casa comercial GEYPER. Su

slogan es: “Dos estrategias frente a frente. Sencillo como

el A-B-C. ¡Divierte! ¡Apasiona!”

El juego contiene 12 pirámides doradas y 12

pirámides negras. El objetivo del juego es colocar 5 de tus

Pirámides en línea, tanto vertical, horizontal como




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diagonal.

Primero se determina quién comienza.

Al jugador que le corresponde salir (A), colocará una

Pirámide en la superficie de juego (no hay tablero). El 2º jugador

(B), colocará una suya de forma que toque en una esquina o en uno

de los lados de la Pirámide que colocó el jugador (A). (Ver

gráficos)

Los jugadores alternativamente irán situando sus Pirámides en la superficie de juego hasta que

alguno de ellos logre colocar 5 Pirámides en línea.

Si después de colocar todas las Pirámides en la

superficie de juego, ninguno de los dos jugadores ha

conseguido ganar, el juego continuará, para ello y

manteniendo el turno, cada jugador irá retirando de la

superficie una de sus Pirámides y colocándola en otro

lugar pero no podrá mover ninguna Pirámide que deje a

otra Pirámide o a un grupo de ellas aislada o separada de

la formación principal. (Ver diagrama)

Hay dos juegos casi idénticos en el formato, sólo

con una pequeña diferencia sobre cómo se pone cada

ficha del juego y que, por razones comerciales, se han

difundido con dos nombres diferentes: Quarto y Gobblet!.

Gobblet!

Es un juego original de Thierry Dénoual para la empresa estadounidense Blue Orange Games y

ahora, en el año 2001, para Gigamic.

Reglamento sencillo, apto para todo tipo de edades,

partidas rápidas y con un aspecto decorativo significativo. El

material para el juego consiste en un tablero de tamaño 4x4 y

de 12 piezas de color natural y otras 12 de color oscuro. Las

piezas, no obstante, tienen 4 tamaños distintos, y por lo tanto,

cada jugador tiene 3 piezas muy pequeñas, 3 piezas pequeñas,

3 piezas grandes y 3 piezas muy grandes. Lo divertido de todo

esto, es que las piezas grandes pueden tapar a las que son más

pequeñas que ellas. Esto da un cierto parecido con las

muñecas rusas que se introducen unas dentro de otras.

Al iniciar la partida, el tablero está vacío y cada jugador tiene tres pilas de cuatro piezas con las

más grandes englobando a las más pequeñas. Un turno consiste en introducir una de las piezas que

tengamos en la parte superior de nuestras pilas en cualquier casilla libre del tablero o mover una pieza

ya jugada sobre el tablero a otra casilla cualquiera vacía o bien a una casilla en la que se encuentre una

pieza de cualquier color de menor tamaño que la que está moviendo y en este caso la pieza movida

http://photos1.blogger.com/blogger/610/376/1600/gobblet.jpg




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taparía la que estaba anteriormente. La segunda regla consiste en que, si un jugador forma tres piezas

en línea, ya sea en diagonal, vertical u horizontal el otro jugador puede jugar una pieza no introducida

en el tablero directamente sobre una de las tres piezas que forman la línea. El ganador del juego es el

primero en conseguir una formación de cuatro piezas en línea, ya sea en diagonal, horizontal o

vertical.

Si un jugador mueve una pieza que tapaba a otra, el jugador solo puede mover la pieza superior,

la pieza que se encontrase debajo pasaría ahora a estar libre. Se puede tapar una pieza propia. Si un

jugador mueve dando un cuatro en raya al otro jugador, el jugador que hizo 4 en raya gana. El

reglamento prohíbe levantar una pieza para ver lo que hay debajo.

Quarto

Es un diseño del suizo Blaise Müller en 1991 para

la empresa francesa de juegos GiGamic S.A.

El juego contiene un tablero de 16 casillas, 16

piezas diferentes con 4 características cada una: clara u

oscura, redonda o cuadrada, alta o baja, maciza o hueca.

Al inicio de la partida, las piezas se colocarán al

lado del tablero. Y el objetivo es formar en el tablero un

alineamiento de 4 piezas, que tengan como mínimo una

característica en común. Este alineamiento puede ser

horizontal, vertical o diagonal.

El primer jugador será elegido por sorteo. Éste elegirá una de las 16 piezas y la entregará a su

adversario, el cual deberá colocarla en una de las casillas del tablero y elegir, seguidamente, una de las

15 piezas restantes para entregarla a su adversario. A su vez, éste la coloca en una casilla libre, y así

sucesivamente... La partida es ganada por el primer jugador que anuncia “QUARTO!”

1 – Un jugador hace “QUARTO!” y gana la partida cuando, colocando la pieza entregada:

crea el alineamiento de 4 piezas claras o 4 oscuras o 4 piezas redondas o 4 cuadradas o 4

piezas altas o 4 bajas o 4 piezas llenas o 4 huecas.

Se pueden acumular varias características.

No está obligado a haber colocado él mismo las otras 3 piezas.

Debe cantar su victoria anunciando “QUARTO!”.

2 – Si dicho jugador no se ha dado cuenta del alineamiento y entrega una pieza a su adversario:

Este último puede “en ese momento”, anunciar “QUARTO!” y mostrar el alineamiento,

quedando por lo tanto, vencedor de la partida.

3 – Si ninguno de los jugadores se da cuenta del alineamiento durante el turno de juego en el

cual se crea, éste pierde su valor y la partida continúa.

Puede haber empate si todas las piezas han sido colocadas sin vencedor. La duración de la

partida es de 10 a 20 minutos.

En un torneo, es posible asignar a cada jugador un tiempo límite de un minuto por jugada.

Para iniciarse progresivamente, se puede jugar tomando únicamente 1, 2 o 3 características

como criterios de alineamiento. Ejemplo: Formar en el tablero un alineamiento de 4 piezas que tengan

el mismo color (Una sola característica elegida).




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El objetivo del juego es crear un alineamiento o un cuadrado de 4 piezas que tengan, como

mínimo una característica en común.

De esta manera, existirían 9 posibilidades suplementarias de hacer “QUARTO!”.

Las piezas de juego tienen la forma de pequeños prismas o cilindros de madera, cada una de las

cuales forma una de las combinaciones posibles de cuatro características: clara u oscura, redonda o

cuadrada, alta o baja, llena o hueca. Por ejemplo, una pieza puede ser clara + cuadrada + alta + hueca.

Premios: Dé d’Or (FRANCE); Toy Award (BELGIQUE); Super As d’Or (CANNES); Oscar du

Jouet (FRANCE); Jeu de l’année (BRUSSELS); Parents choice award (USA); Mensa’s top five best

games (USA); Speelgoed van’t Jaar (NETHERLANDS); Selezionato al Gioco dell’anno (ITALY);

Games magazine top 100 games (USA); Best bet of the toy testing council (CANADA); Prix

d’excellence des consommateurs (QUÉBEC); Auf der Auswahiliste des Jähres (DEUTSCHLAND);

International Awards.

Este juego fue muy difundido por la Sociedad Francesa de Profesores de Matemáticas, a través

de un artículo de François Jaquet, publicado en la revista MATH-ECOLE, nº 154, pp. 27 a 29, de

Septiembre de 1992. Hace falta mucha atención, lógica, anticipación, creatividad estratégica para

ganar. Como esas cualidades no son siempre tenidas en cuenta por la escuela, un eterno “cangrejo”

puede derrotar a un licenciado en matemáticas porque la valía (en el Quatro) no atiende al número de

años.

En los planes de estudio de la escuela primaria, en el capítulo de conjuntos y relaciones, se

hallan las nociones de complementario, de negación, de unión, de intersección, etc. Los medios de

enseñanza se fundan bien a menudo en ejercicios artificiales o formales.

¿Un juego como Quarto permitiría trabajar todas estas nociones, de manera natural, sin hacer

llamadas a formalismos o a una terminología que nuestros alumnos son incapaces de asimilar?

El modo de empleo, por ejemplo, presenta las dieciséis piezas bien arregladas, sin hacer

llamadas a un diagrama: están simplemente dispuestas según cuatro rangos, los subconjuntos aparecen

claramente, y la dicotomía de los criterios está señalada por las simetrías de la disposición.

Cuando un jugador se prepara para elegir la pieza que va a ofrecer a su adversario, no necesita

anotaciones o términos especiales, se contenta con formar sus conjuntos de piezas reagrupándolas

espacialmente. Si, por ejemplo, debe evitar dar una pieza cuadrada o una pieza clara, las guarda. El

complementario de “cuadrada o clara” se impone a la evidencia, ¡sin diagrama y sin haber estudiado

las leyes de de Morgan!

Y, sobre todo, en este juego, no se constituyen los conjuntos para agradar al maestro o para

cumplir con su programa de matemáticas, sino simplemente para ganar.

Alguno se sirve todavía de los bloques lógicos de Dienes, material inseparable de la reforma de

las “matemáticas modernas”. Con dieciséis de ellos, se construye fácilmente un juego de Quarto. Se

podría entonces volver a sacarlos de los armarios, presentarlos y ofrecer un nuevo porvenir en las

actividades que realizan, esta vez, ¡con sentido para el alumno y para el maestro!

También hay variantes que exploran las tres dimensiones del espacio, apareciendo los llamados

Tres o Cuatro en raya 3-D

Qubic

Es el nombre comercial de un juego de cuatro en línea jugado en una matriz de 4×4×4, vendido

por Parker Brothers en la década de 1960. La caja original, y la reedición de 1972, describía el juego

como "un juego de cuatro en línea 3D de Parker Brothers".




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Los jugadores, por turnos, colocan sus piezas para intentar lograr una línea de 4 horizontalmente

o diagonalmente en uno de los niveles, o verticalmente en una columna o una línea diagonal a través

de los cuatro niveles.

Los cuatro niveles del tablero están hechos de plástico transparente (con un diseño simple para

los escaques en la versión original y con un diseño más original para la reedición 1972) y las piezas

son circulares, parecidas a las pequeñas fichas de póquer, color rojo, azul y amarillo. Cada jugador

utiliza un solo color. Las piezas pueden ser colocadas en cualquier espacio desocupado, en lugar de ser

apiladas en un lugar como en cuatro en línea tridimensional.

El juego ya no se fabrica.

Dos o tres jugadores pueden participar en el juego. En una partida de dos personas, el primer

jugador ganará, si hay dos jugadores óptimos. Hay 76 líneas ganadoras. Fue débilmente resuelto por

Eugene Mahalko en 1976, Oren Patashnik en 1980 y luego vuelto a resolver por Victor Allis usando la

búsqueda de prueba-número. Un juego de computadora 3D basado en un plóter fue escrito por Arthur

Hu y Carl Hu en 1975 en una HP-9830 en Lindbergh High School. Usaba 4 trapezoides apilados.

Más tarde fue portado a la cinta demo de HP 2647 con una interfaz gráfica, usando una simple

transformación matemática para resolver la posición de entrada 3D. También fue incluido en el

Microsoft Windows Entertainment Pack en la década de 1990 como parte de TicTactics .

Cuatro en raya tridimensional

Es otra variante muy conocida donde se trata de hacer cuatro en

raya en cualquiera de las tres dimensiones del espacio, pero con

intervención del efecto gravitatorio.

Este es uno de los juegos de inteligencia que ayuda al desarrollo de

la visión espacial. Es un juego para dos jugadores, fácil de aprender a

jugar, pero es muy difícil jugarlo verdaderamente bien.

Cuanto más se juega mejor se aprende a planear los movimientos y

a enfrentarse al adversario.

Se comienza jugando sobre un tablero vacío. Cada jugador elige su color. Cuando le llega el

turno, cada jugador coloca una bolita en el palo que desee. El jugador que logre colocar cuatro bolitas

en línea vertical, horizontal o diagonal, gana el juego. Si el jugador que ha logrado colocar cuatro

bolitas en línea no se ha declarado ganador antes de que el adversario lo haga, pierde el juego. Si todos

los dieciséis palos están llenos de bolitas sin que nadie se haya declarado ganador, el juego se

considera empatado.




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Tres en línea 3D

Es una creación de la española

CEFA Toys (NR. 04006). El juego se

compone de una bandeja, dos plataformas

transparentes, cuatro columnas y doce

bolas (cuatro colores). Es un juego de

lógica para dos, tres y cuatro jugadores de

siete a noventa años.

Antes de comenzar a jugar hay que

preparar el tablero. Coger una columna

roja e introducirla en la ranura de la

bandeja; a continuación, colocar las dos bandejas transparentes en la

misma columna en diferentes alturas. Realizar las mismas operaciones con las columnas restantes.

Una vez el juego montado girar las cuatro barras a 180º para que no se desmonte.

Cada jugador elegirá tres bolas del mismo color; el primer jugador colocará una de sus bolas en

el centro de cualesquiera de las bandejas; a continuación, y por turno,

cada jugador intentará formar tres en raya del mismo color en cualquiera

de los tres niveles. También se puede jugar a conseguir montar tres bolas

del mismo color en vertical o diagonal.

Ganará la partida el jugador que consiga colocar sus 3 bolas

formando tres en raya, tanto en vertical, horizontal o diagonal en

cualquiera de sus tres niveles, o vertical y diagonal si se juega al otro

nivel.

En estas otras variantes, el tablero toma forma de pirámide

escalonada.

Quixo

El juego del Quixo se realiza sobre un tablero en el que

se colocan 25 cubos (5 filas por 5 columnas). Cada cubo

presenta una cara con cruz, otra con círculo y otra sin figura o

neutra (de color claro, siendo las otras tres restantes de un

color oscuro).

Cada cubo se caracteriza por su cara superior, una vez

colocado en el tablero; al principio se colocan todos los cubos

con una cara neutra hacia arriba.

El objetivo del juego es crear una línea horizontal, vertical

o diagonal de 5 cubos con su marca.

Por sorteo se determina quien inicia y quien juega con las

cruces o con los círculos. Por turnos, cada jugador elige un cubo

y lo desplaza según las siguientes reglas:

Elección y retirada del cubo: El jugador elige y

retira un cubo neutro o con su marca de la

periferia del tablero. En la primera vuelta es

obligatorio retirar un cubo neutro. Nunca se

puede retirar un cubo con la marca del contrario.




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Cambio de marca del cubo: Ya se trate de un cubo neutro o con la marca del jugador,

siempre se colocará con la marca del jugador en la cara superior.

Colocación del cubo: El jugador coloca el cubo en uno de los extremos que elija de

las filas incompletas creadas al retirar los cubos: empuja el extremo y coloca el cubo.

Nunca se puede colocar el cubo en el lugar del que fue retirado.

El ganador es el jugador que crea y anuncia una línea de cubos con su marca.

Super Cuatro

Es un juego de la casa Borrás (Ref. 8971). Su lema

publicitario es: “Bloquea a tu adversario y consigue un

cuatro en fila.”

Es un intrigante juego de estrategia para dos

jugadores o equipos. Tiene como novedoso la aparición de

tarjetas o cartas y un tablero con coordenadas. El tablero

tiene 36 casillas ordenadas en seis filas (A, B, C, D, E, F) y

en seis columnas (1, 2, 3, 4, 5, 6). Contiene también 12

tarjetas, conteniendo cada una de ellas una letra o un

número de los indicados y 18 fichas rojas y 18 fichas

negras..

Los contrincantes pondrán a prueba su ingenio,

compitiendo con tarjetas de letras y tarjetas de números para ver

quién es el primero en conseguir con sus fichas un cuatro en fila

en posición horizontal, vertical o diagonal.

Super Cuatro es un juego dinámico, de fácil comprensión y

de alta participación por parte de los jugadores.

Cada jugador tomará un color de fichas y se decidirá

mediante el azar (con las tarjetas boca abajo) quién jugará con las

tarjetas de letras y quién utilizará las de números.

Loa colocación de las fichas sobre el tablero

será el resultado de la decisión secreta de ambos

jugadores, quienes simultáneamente mostrarán una de

sus tarjetas.

Una vez repartidas las fichas y las tarjetas, por

suerte (moneda o dado, pares o nones), se decide qué

jugador empezará la partida.

A continuación, cada jugador elegirá una de sus

tarjetas en secreto. Una del 1 a 6 para quien tenga las

de números, y una entre la A y la F para quien tenga las de letras. Seguidamente, se mostrarán ambas

tarjetas al mismo tiempo, situándolas cerca del tablero. El jugador en turno leerá ambos conceptos y

colocará su ficha en el cuadro correspondiente (A2, D3, F6, etc.).

Una vez colocada la ficha, los jugadores volverán a guardar sus cartas y elegirán en secreto la

carta para el próximo turno.

El juego finaliza cuando uno de los jugadores ha conseguido situar en línea de cuatro sus fichas,

obteniendo así un cuatro en fila. Puede darse el caso de que el juego termine en tablas, cuando

habiéndose ocupado todas las casillas del tablero, no se ha conseguido una línea de cuatro.




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Es un juego de coordenadas. Las cartas indicarán dónde debe ser jugada cada ficha. Como hay

dos grupos de cartas, sus combinaciones indicarán todas las casillas posibles en que jugar. Se elegirá

una pareja de ellas para realizar una jugada. Podría ser al azar o (las dos simultáneamente, estando en

dos montones boca abajo sobre la mesa) o con estrategia (las cartas se reparten y el que acaba de jugar

saca una carta que debe ser completada por otra carta del que le toca jugar).

Tac-Tic-Turn

Es un juego de 1987, original de Ned Strongin para Irwin

Games. Se juega en un tablero de 6 x 6, dividido en nueve piezas de 2 x

2. Además del tablero trae fichas de dos colores.

El objetivo es ser el primer jugador en poner 4, 5 o 6 fichas de su

color en una línea vertical, horizontal o diagonal. Hay tres versiones del

juego: poner 4 en una línea es bastante fácil, poner 5 es bastante difícil

y poner 6 es muy difícil.

La publicidad del juego indica: “Concéntrese en el

desplazamiento del adversario, ponga atención, él no tiene medio de

sostener la situación; si el adversario está ganando, usted se inclina sobre el tablero y con un pequeño

movimiento rápido de muñeca, gira el cuadro 90º y la partida es suya.”

Los jugadores colocan las fichas coloreadas sobre el tablero de juego por turno. Cada jugador,

durante su turno, a su elección, coloca una ficha o gira el cuadro 90º (solamente 90º) en el sentido de

las agujas del reloj, o al contrario, sin olvidar que el objetivo es el de poner 4, 5 o 6 de sus fichas en

línea.

Después de que un jugador ha girado un cuadro 90º, el otro jugador no puede volverlo a hacer.

Sin embargo, el adversario puede girar el cuadro otros 90º.

Cada vez que gire un cuadro, puede perder la ocasión de añadir otra de sus fichas en el tablero

de juego. En general, sólo hay que girar un cuadro para ganar o impedir que el adversario gane.

El primer jugador que pone (4, 5 o 6) fichas en una fila vertical horizontal o diagonal durante su

turno, gana.

Este juego es para personas de 5 años en adelante.

Tria

El juego consta de un tablero de 3 x 3 y seis cubos, 3 por

cada jugador. Las caras de cada cubo están marcadas con 6

símbolos.

Gana el juego quien consiga tres símbolos idénticos en fila

(horizontal, vertical o diagonal) independientemente del color

(claro, oscuro o mezcla).

Movimientos:

1.- Mover un cubo cualquiera (propio o del contrario) a un espacio libre, en cualquier dirección,

(incluso en diagonal) sin saltar sobre otro cubo ni cambiar la cara a la vista.




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2.- Girar un cubo propio en su sitio para obtener otro símbolo. No

puede girar el cubo del contrario.

Ningún jugador puede mover o girar el cubo que ha sido movido o

girado por el contrario en el turno anterior.

Y posiblemente (¡seguro!) existen más variantes de este tipo de juego.

Nosotros nos hemos limitado a presentar aquellos que conocemos de manera

directa. A tal fin, tal y como habíamos escrito en nuestro anterior artículo, ya

está disponible para visitar la exposición temporal de nuestra colección de juegos “Juegos de

alineamiento. Tres en raya y variantes” en el Aula de Juegos que la Sociedad “Isaac Newton” de

Profesores de Matemáticas posee en sus instalaciones de la Casa-Museo de la Matemática Educativa

en la ciudad de San Cristóbal de La Laguna. Es probable que en un corto tiempo esté disponible un

reportaje fotográfico de la exposición en la página de sinewton.org.

De esa forma, nuestros lectores que vivan en las cercanías podrán ver en vivo todo aquello que

exponemos en nuestros artículos. Dichas exposiciones irán cambiando de acuerdo con el contenido de

nuestros futuros artículos, de manera que siempre haya la posibilidad de ver juegos que, de otra

manera, sería casi imposible conocer de primera mano. Además de la exposición del Tres en raya, en

estos momentos también están disponibles para visitar tres pequeñas exposiciones temporales: “El

Dominó y sus variantes”, “Los solitarios de saltar y comer” y “los puzles secuenciales del tipo Rubik”.

Los juegos que hemos comentado en este artículo se pueden conseguir de muy diferentes

maneras. Algunos podremos fabricarlos fácilmente; requieren un tablero sencillo y fichas de cualquier

tipo. Otros pueden encontrarse en las jugueterías a módicos precios y algunos no tan módicos. Pero

hay muchos que ya están descatalogados y resultan prácticamente imposibles de encontrar, salvo que

busquen en tiendas virtuales de segunda mano como puedan ser Amazon o Ebay. Los que tenemos

nosotros fueron rastreados a lo largo de años en tiendas en trance de desaparecer o rebuscando restos

en almacenes a punto de cerrar. Debemos decir aquí que seguimos añorando la juguetería “La

Partidita”, en Santa Cruz de Tenerife, donde tantas novedades encontrábamos. Una pena su

desaparición.

En cuanto a la bibliografía existe una abundante cantidad de libros sobre estos juegos. Basta con

acercarse a Internet para encontrar artículos y tesis sobre Tres en Raya y sus variantes. Nosotros

hemos utilizado de manera primordial las propias instrucciones de los juegos. Y, claro está, todo el

material que a lo largo de los años hemos ido acumulando sobre los juegos de Alineamiento.

Como ven, un amplio mundo a partir de un juego simple. Esperamos que les haya gustado este

repaso sobre uno de los juegos más antiguos del mundo y su continua evolución.

Hasta el próximo

pues. Un saludo.

Club Matemático

N Ú M E R O S Revista de Didáctica de las Matemáticas




ISSN: 1887-1984


Actividades estadísticas para 4.º de la ESO utilizando datos reales

Neus Muñoz Capitán

Pablo Vicente Monserrat

Gabriel Mateu García

Fco. Javier Prado Bayarri (Universitat Jaume I. España)



Resumen Una de las áreas de las Matemáticas en la que los alumnos de secundaria tienen un menor

conocimiento y encuentran más dificultades para su aprendizaje es la estadística. En el

presente artículo se propone mejorar el conocimiento de la estadística mediante la

realización de actividades en las que el alumnado identifica su utilidad de forma práctica

y sencilla utilizando datos extraídos de situaciones cotidianas. En las diversas actividades

propuestas se trabajan aspectos tales como la toma de datos de varios tipos de variables

estadísticas, la elaboración de sus respectivas tablas de frecuencias y la representación de

los resultados. Además, se incluye el uso del R-Commander para la comprobación de los

cálculos y su representación estadística, así como el uso de la técnica de aprendizaje

cooperativo 1-2-4.

Palabras clave Actividades, aprendizaje cooperativo, estadística, secundaria, R-Commander.

Title Statistical activities for 4.º of ESO using actual data

Abstract One of the areas of Mathematics in which high school students have less knowledge and

find it more difficult to learn is statistics. This article proposes to improve the knowledge

of statistics by carrying out activities in which students identify their usefulness in a

practical and simple way using data extracted from everyday situations. In the various

activities proposed, aspects such as the collection of data from various types of statistical

variables, the elaboration of their respective frequency tables and the representation of

the results are worked on. In addition, it includes the use of the R-Commander for

checking the calculations and their statistical representation, as well as the use of the 1-2-

4 cooperative learning technique.

Keywords Activities, cooperative learning, statistics, high school, R-Commander.

1. Introducción

La estadística es una ciencia muy útil en el día a día y su conocimiento resulta esencial para

entender algunas situaciones cotidianas. Además, se aplica en profesiones de ámbito científico,

económico y social, entre otros.

Debido a su utilidad, la estadística se incluye en el temario de matemáticas durante toda la

educación secundaria con la finalidad de dar al alumnado una formación básica en esta materia.


Actividades estadísticas para 4.º de la ESO utilizando datos reales N. Muñoz Capitán, P. Vicente Monserrat, G. Mateu García, F. J. Prado Bayarri


Una de las dificultades que se ha observado para su comprensión es que el alumnado en

ocasiones no entiende ni su utilidad ni su razonamiento y, además, se encuentra con mucha simbología

nueva. Asimismo, cabe destacar que habitualmente forma parte del último bloque de la programación

temporal, por lo que en muchas ocasiones se omite por la falta de tiempo.

Por todo ello, el presente trabajo tratar de potenciar la comprensión de la estadística mediante la

realización de actividades en las que el alumnado puede identificar su utilidad de forma muy sencilla

con datos extraídos de situaciones cotidianas. La resolución de los ejercicios se plantea de dos

maneras, tanto de forma tradicional como utilizando un software informático.

2. Descripción de la problemática

En primer lugar, cabe destacar que uno de los objetivos principales de la educación es formar a

los ciudadanos para que tengan una perspectiva crítica —que se cuestionen las cosas y, en la medida

de lo posible, que sean poco o nada manipulables— para lo cual la competencia matemática es muy

útil y, principalmente, la estadística, puesto que ayuda a que en la sociedad de la información en la que

vivimos el alumnado sea capaz de discernir si los datos que recibe están bien analizados, si las

conclusiones sobre los mismos que le son transmitidas son veraces y si las inferencias o previsiones

realizadas se pueden llevar a cabo. En este sentido, Batenero y Godino (2005) afirmaron que la

estadística ha sido un elemento relevante en el progreso de la sociedad, ya que dota de herramientas

para resolver problemas reales, tratar la información, diseñar óptimamente experimentos y estudios,

poder tomar decisiones más adecuadamente, fomentar la capacidad de comunicación y el trabajo en

equipo, etc. Asimismo, también señalan que su enseñanza se ha introducido cada vez en mayor medida

en los centros docentes tanto por su valor instrumental como por la importancia que tiene en la

sociedad de la información que está llena de situaciones de incertidumbre en las que hay que decidir

entre varias opciones.

En general, las matemáticas para los estudiantes de la Educación Secundaria Obligatoria (ESO)

resulta ser una asignatura difícil de comprender y muchos de ellos ya la comienzan con carencias en

esta área, llegando incluso a 4.º de la ESO con deficiencias en algún estándar de aprendizaje.

Habitualmente estas carencias se dan en los contenidos de las unidades didácticas programadas para

impartir en los últimos meses del curso. En muchas ocasiones se omite la explicación de estas por falta

de tiempo.

En cuanto a la estadística, se incluye dentro de los contenidos que el alumnado debe asimilar

desde el primer curso hasta el cuarto curso de la ESO. Además, para aquellos estudiantes que después

quieran cursar la asignatura de matemáticas en el Bachillerato, ya sea como optativa u obligatoria,

también es importante que adquieran unos buenos conocimientos de este bloque. Dicha importancia se

debe a que los conocimientos de estadística en este nivel educativo son bastante relevantes y requiere

de una base consolidada de los estándares de aprendizaje. Tal y como se puede corroborar en el Real

Decreto 1105/2014, de 26 de diciembre, por el que se establece el currículo básico de la Educación

Secundaria Obligatoria y del Bachillerato.

Ahora bien, uno de los problemas que se observa en el aprendizaje de la estadística es que

habitualmente cuando se organizan cronológicamente los estándares de aprendizaje a desarrollar con

el alumnado, este se deja para impartirlo al final del curso y, en numerosas ocasiones, no se suele

hacer por falta de tiempo o, en el caso en que se trabaje, se realiza de forma muy breve. Por lo tanto,

muchos estudiantes llegan al 4.º curso de la ESO con pocos conocimientos de estadística y,

obviamente, de su simbología —obstáculo didáctico—.

Actividades estadísticas para 4.º de la ESO utilizando datos reales N. Muñoz Capitán, P. Vicente Monserrat, G. Mateu García y F. J. Prado Bayarri



Al problema descrito en los párrafos anteriores se une también que generalmente al alumnado

de la ESO le cuesta comprender determinados conceptos estadísticos —obstáculo epistemológico—,

ya que no son capaces de vislumbrar su aplicación práctica en el momento en el que se les enseña

estadística porque se suele realizar de manera muy abstracta, sobre todo en edades tempranas; tal y

como señalaron Batanero, Godino, Green, Holmes y Vallecillos (1994).

Por otro lado, decir que el alumnado de secundaria, en la mayoría de los casos, no tienen claro

la utilidad que podrá tener la estadística en su futuro académico, profesional o personal. Aunque

conocerla, evidentemente, podría ser un elemento motivador en el aprendizaje de la misma. En ese

sentido cabe mencionar Batanero, Díaz, Contreras y Roa (2005) indicaron que: “(…) la enseñanza

actual transmite una estadística sin sentido para los estudiantes”. Además, Batanero (2000)

expuso que es importante tratar que el alumnado llegue a comprender y valorar el método estadístico

de manera que desarrolle una actitud favorable hacia su aprendizaje.

Finalmente, siguiendo a Batenero y Godino (2005), poner de relieve la importancia que tiene

como metodología de enseñanza de la estadística la experimentación con fenómenos aleatorios (real o

simuladamente). Aparte de ello, queremos indicar que usar el software estadístico R para el

aprendizaje de la estadística puede ser un elemento motivador, a lo que hay que añadir que es un

programa de código abierto y gratuito.

3. Objetivos del trabajo

Conocido el problema que presenta la estadística en la educación secundaria, el objetivo del

trabajo es facilitar el aprendizaje teórico de la estadística para que entiendan su utilidad aplicando los

conocimientos y conceptos vistos en clase mediante la realización de diversas actividades y ejercicios

por el alumnado.

Para alcanzar el objetivo general del trabajo se deben desarrollar los objetivos específicos que se

definen a continuación:

1. Acercar las matemáticas al entorno del alumnado.

2. Aprender estadística mediante la aplicación de la teoría a datos obtenidos por los alumnos.

3. Interpretar los resultados en gráficos estadísticos.

4. Comprender la manera en que funcionan los estudios estadísticos.

5. Aprender el manejo de un programa estadístico.

6. Comprobar los resultados estadísticos obtenidos mediante los cálculos realizados por los

alumnos con los que se consiguen con un programa informático.

7. Ser capaces de extraer conclusiones e inferir los datos de un estudio estadístico.

8. Acercar a la vida cotidiana los conceptos teóricos que estudian en clase de matemáticas.

9. Fomentar la adquisición de hábitos de trabajo en equipo cooperativo.

4. Competencias

Las competencias didácticas están definidas como las capacidades humanas que constan de

diferentes conocimientos, habilidades, pensamientos, carácter y valores de manera integral en las

distintas interacciones que tienen las personas para la vida en los ámbitos personal, social y laboral.

Se identifican claramente siete competencias clave según la Ley 8/2013, de 9 de diciembre, para

la mejora de la calidad educativas (LOMCE).



4.1. Comunicación lingüística (CL).

Se refiere a la habilidad para utilizar la lengua, expresar ideas e interactuar con otras personas

de manera oral o escrita.

4.2. Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT).

La primera alude a las capacidades para aplicar el razonamiento matemático para resolver

cuestiones de la vida cotidiana; la competencia en ciencia se centra en las habilidades para utilizar los

conocimientos y métodos científicos para explicar la realidad que nos rodea; y la competencia

tecnológica, en cómo aplicar estos conocimiento y métodos para dar respuesta a los deseos y

necesidades humanas.

4.3. Competencia digital (CDIG).

Implica el uso seguro y crítico de las TIC para obtener, analizar, producir e intercambiar

información.

4.4. Competencias sociales y cívicas (CSC).

Hacen referencia a las capacidades para relacionarse con las personas y participar de manera

activa, participativa y democrática en la vida social y cívica.

4.5. Conciencia y expresiones culturales (CEC).

Hace referencia a la capacidad para apreciar la importancia de la expresión a través de la

música, las artes plásticas y escénicas o la literatura.

4.6. Aprender a aprender (AA).

Es una de las principales competencias, ya que implica que el alumno desarrolle su capacidad

para iniciar el aprendizaje y persistir en él, organizar sus tareas y tiempo, y trabajar de manera

individual o colaborativa para conseguir un objetivo.

4.7. Sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (SIEE).

Implica las habilidades necesarias para convertir las ideas en actos, como la creatividad o las

capacidades para asumir riesgos y planificar y gestionar proyectos.

4.8. Aplicación en las actividades descritas en el presente trabajo de las 7 competencias clave.

En las actividades que se describen en el presente trabajo se intenta desarrollar las 7

competencias clave como se muestra en la tabla siguiente:

Aplicación en las actividades descritas en el presente trabajo de las7 competencias clave:

Comunicación lingüística

Comunicación escrita.

Utilizar la terminología estadística.

Vocabulario.

Competencia matemática y

competencias básicas en

ciencia y tecnología

Cálculos estadísticos.

Interpretar resultados y gráficos

Programa estadístico.

Analizar y extraer conclusiones a partir de unos datos estadísticos.

Competencia digital

Ordenador.

Calculadora.

Fuentes de información.

Competencias sociales y

cívicas

Códigos de conducta en clase.

Dominar los conceptos como media para analizar críticamente la

información recibida por la sociedad.




Conciencia y expresiones

culturales

Manifestación artística.

Imaginación y creatividad.

Aprender a aprender

Interés y motivación.

Planteamiento de hipótesis.

Conocimiento sobre lo que sabe.

Evaluación del trabajo.

Sentirse protagonista del proceso.

Sentido de iniciativa y

espíritu emprendedor

Recogida de datos.

Tener iniciativa.

Pensamiento crítico.

Hacer evaluación y autoevaluación.

Tabla 1.

5. Destinatarios

Las actividades y ejercicios que se incluyen en el presente trabajo están destinada para el

alumnado de 4.º de la ESO de matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas.

Dicho alumnado ha superado los anteriores cursos de la ESO, por lo que se considera que tienen

unas nociones mínimas de las diferentes asignaturas, entre ellas la de matemáticas, aunque puede

ocurrir que algún alumno/a no haya superado las matemáticas de 3.º de la ESO. No obstante, en el

caso de haber alumnado con la asignatura de matemáticas suspendida del curso anterior, las

actividades se han diseñado para que puedan ser realizadas por todo el alumnado independientemente

de las dificultades que puedan tener en matemáticas.

Adicionalmente a lo anterior, comentar que los resultados se comprobarán en un programa

informático, por lo que es necesario que los alumnos posean unas nociones básicas en el manejo de

ordenadores. Estas nociones seguramente hayan sido adquiridas en la asignatura de informática o por

el propio alumnado fuera del centro educativo. En caso de que el alumnado no tenga adquiridas estas

nociones básicas, se dedicará una sesión adicional para trabajarlas.

6. Actividades

En este apartado se describen las actividades, se concretan los objetivos, se planifica su

temporalización y su evaluación.

Inicialmente, es necesario aclarar para el correcto desarrollo de las actividades, la necesidad del

alumnado de poseer unas nociones mínimas sobre la estadística. Por ello, el profesorado explicará la

unidad didáctica de estadística con anterioridad a la realización de las mismas y, asimismo, explicará

el criterio de evaluación de este bloque temático.

La estadística tiene por objeto el desarrollo de técnicas para el conocimiento numérico de un

conjunto de datos empíricos (recogidos mediante experimentos o encuestas). Según el colectivo a

partir del cual se obtenga la información y el objetivo que se persiga a la hora de analizar esos datos, la

estadística se llama descriptiva o inferencial.

La estadística descriptiva trata de describir y analizar algunos caracteres de los individuos de un

grupo dado (población) sin extraer conclusiones para un grupo mayor.



La estadística inferencial trabaja con muestras y pretende, a partir de ellas “inferir”

características de toda la población. Es decir, pretende tomar como generales propiedades que solo se

han verificado para casos particulares.

En este trabajo se incluyen diferentes actividades que el alumnado debe realizar distribuidas en

diferentes sesiones tal y como se muestra en la tabla siguiente:

Actividad Número de sesiones

1. Toma de datos. 1

2. Análisis de datos. 2

3. Explicación y análisis de los datos mediante programa

informático. 2

4. Técnica 1, 2, 4. 1

5. Evaluación final de la actividad. 2

TOTAL SESIONES 8

Tabla 2.

6.1. Actividad 1: Toma de datos

6.1.1. Descripción

Esta actividad consistirá en recoger muestras representativas. Se toman datos de diferentes

variables. A continuación se detalla la manera de realizar la recogida de datos.

Variable cualitativa: El alumnado deberá de realizar una toma de datos de campo. Para ello todo

el alumnado sale del aula. Si fuese posible tener acceso visual desde el patio del centro sobre el tráfico,

se tomarán como datos el número de vehículos de cada color que pasen por una determinada calle

durante un tiempo determinado. Si no fuese posible, el alumnado realizará una salida.

Variable cuantitativa continua y discreta: Para la toma de datos de este tipo de variable, será

necesario realizar una salida del centro. El alumnado deberá medir la longitud de los bancos del

pueblo. Luego deberán estimar el aforo del banco. También pondrán en común con el resto de sus

compañeros el número de libros que han leído en el último mes. Con estos datos habrán de estimar si

son aficionados a la lectura.

El alumnado, al final de la clase, comparará y comprobará que todos disponen de los mismos

datos plasmándolos en la pizarra. De esta forma, podrán verificar entre ellos los resultados

posteriormente.

6.1.2. Objetivos

Como objetivos de esta actividad cabe destacar:

Motivar al alumnado utilizando situaciones reales y cercanas.

Acercar y conocer la estadística.

Interactuar con los compañeros.

Fomentar la adquisición de hábitos de trabajo en equipo.

6.1.3. Planificación temporal

Esta actividad se realizará durante una sesión (55 minutos).




6.1.4. Evaluación

El profesorado se asegurará del correcto desarrollo de la actividad mediante observación.

Prestará atención a la actitud y participación del alumnado.

6.2. Actividad 2: Análisis de datos

6.2.1. Descripción

En esta sesión el alumnado realizará una tabla de frecuencias con los datos recopilados en la

sesión anterior, teniendo en cuenta los diferentes tipos de variables estadísticas. Además, se realizará

una representación mediante gráficos estadísticos de los diferentes tipos de variables.

A continuación se muestran los tres ejercicios planteados con los datos obtenidos y su solución.

6.2.1.1. Ejercicio resuelto para variable cualitativa.

Enunciado

Una conocida marca de coches ha elaborado un nuevo modelo que va a poner a la venta durante

el próximo año. Se requiere saber cuál es el color más demandado por la población para poder llegar al

consumidor y ganar cuota de mercado. Por tanto, se habrá realizado un estudio de campo para

determinar este dato (ver apartado 6.1), obteniéndose los siguientes datos:

Color Amarillo Azul Blanco Gris Negro Otros Plata Rojo

Coches 3 5 25 9 11 6 7 4

Tabla 3.

1. Elabora la tabla de frecuencias completa.

2. Calcula el porcentaje de cada color.

3. Di cuál es la moda.

4. Calcula la media y la varianza. Razona la respuesta.

5. Construye el diagrama de barras de frecuencias absolutas.

6. Construye el diagrama de sectores de frecuencias absolutas.

Solución:

𝒙𝒊 𝒏𝒊 𝒇𝒊 𝑵𝒊 𝑭𝒊 % Grados

Amarillo 3 0’043 3 0’043 4’3 15’5

Azul 5 0’071 8 0’114 7’1 25’56

Blanco 25 0’357 33 0’471 35’7 128’52

Gris 9 0’129 42 0’600 12’9 46’44

Negro 11 0’157 53 0’757 15’7 56’52

Otros 6 0’086 59 0’843 8’6 30’96

Plata 7 0’100 66 0’943 10’0 36

Rojo 4 0’057 70 1’00 5’7 20’52

TOTAL 70 1 - - 100 360

Tabla 4.

La moda es el color más repetido, por tanto, será el que mayor frecuencia absoluta tenga:

𝑛𝑖 𝑚á𝑥 → 𝑛𝑏𝑙𝑎𝑛𝑐𝑜 = 25 → 𝑀𝑜 = 𝑏𝑙𝑎𝑛𝑐𝑜



En este caso no se puede calcular la media y la varianza, ya que se trata de una variable

cualitativa.

Figura 1.

6.2.1.2. Ejercicio resuelto para variable cuantitativa continua.

Enunciado

La alcaldesa de nuestro municipio ha lanzado una iniciativa en la cual se quiere instalar unos

bancos nuevos para uso y disfrute de todo el pueblo. Para asegurarse que no malgastan el dinero en

asientos nada útiles por su poco aforo, deciden realizar un estudio. En él se determinará la longitud de

los bancos existentes y el aforo que estos tienen. Se obteniéndose los siguientes datos:

Longitud de los bancos de la localidad en cm:

157 160 163 173 156

174 159 163 154 168

160 150 161 157 155

162 155 156 157 170

160 157 165 150 180

Tabla 5.

1. Elabora la tabla de frecuencias.

2. Añade a la tabla de frecuencias una columna en la que se indiquen los porcentajes.

3. Halla la media aritmética.

4. Calcula la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación.

5. Construye el histograma de frecuencias absolutas.


Solución:

𝑳𝒊−𝟏 − 𝑳𝒊 𝑪𝒊 𝒏𝒊 𝒇𝒊 𝑵𝒊 𝑭𝒊 % 𝑪𝒊 ⋅ 𝒏𝒊 𝒏𝒊 ⋅ 𝑪𝒊𝟐 Grados

(150, 156] 153 5 0’20 5 0’20 20 765 117045 72

(156, 162] 159 11 0’44 16 0’64 44 1749 278091 158’4

(162, 168] 165 4 0’16 20 0’80 16 660 108900 57’6

(168, 174] 171 3 0’12 23 0’92 12 513 87723 43’2

(174, 180] 177 2 0’08 25 1’00 8 354 62658 28’8

Total - 25 1’00 - - 100 4041 654417 360

Tabla 6.




Media aritmética:

�̅� =∑ ni

𝑛𝑖=1 × 𝐶𝑖

𝑛=

4041

25= 161,64

Varianza:

𝑉𝑎𝑟 =∑ ni

𝑛𝑖=1 × Ci

2

𝑛− �̅�2 =

654417

25− 161,642 = 49,19

Desviación típica: σ = √Var = 7,01

Coeficiente de variación: C. V. =σ

�̅�=

7′01

161′64= 0′043

Figura 2.

6.2.1.3. Ejercicio resuelto para variable cuantitativa discreta.

Enunciado:

Actualmente las nuevas teconogías ocupan buena parte de nuestro tiempo de ocio, desplazando

a un segundo plano otras actividades más beneficiosas como puede ser la lectura. En el instituto se está

debatiendo si aplicar un proyecto que fomente la lectura o no es necesario. Para ello, se realiza un

estudio en una clase de 4º de Eso sobre la cantidad de libros leídos en el último mes:

Cantidad de libros leídos en el último mes por el alumnado de 4º

de ESO:

4 3 3 4 4 3

2 4 3 4 3 3

5 4 4 5 3 6

2 4 4 4 3 4

Tabla 7.

1. Obtener la tabla de frecuencias completa.

2. ¿Qué porcentaje existe en la muestra?

3. Indica el porcentaje del alumnado cuya lectura ha sido inferior a 5 libros.

4. Calcula la mediana, la moda y la media.


6. Representa las frecuencias en un diagrama de barras.

7. Representa las frecuencias en un diagrama de sectores.



Solución:

𝐱𝐢 𝒏𝒊 𝒇𝒊 𝑵𝒊 𝑭𝒊 % 𝑪𝒊 ⋅ 𝒏𝒊 𝒏𝒊 ⋅ 𝑪𝒊𝟐 Grados

2 2 0’08 2 0’08 8,3 4 8 30

3 8 0’33 10 0’41 33,33 24 72 120

4 11 0’46 21 0’87 45,83 44 176 165

5 2 0’08 23 0’95 8,3 10 50 30

6 1 0’04 24 0’99 4,16 6 36 15

Total 24 0’99 - - - 88 342 360

Tabla 8.

Figura 3.

Porcentaje del alumnado cuya lectura ha sido inferior a 5 libros.

(𝑓1 + 𝑓2 + 𝑓3) × 100 = 87%

Mediana 24

2= 12.

Buscamos el valor que ocupa la posición número 12 en la tabla de frecuencias

𝐹4 = 12 → 𝑥𝑖 = 4 → 𝑀𝑒 = 4

Moda

Es el valor más repetido en el muestreo:

ni máx → n4 = 4 → M0 = 4

Media

�̅� =∑ ni

𝑛𝑖=1 × 𝐶𝑖

𝑛=

88

24= 3,67

Varianza

𝑉𝑎𝑟 =∑ ni

𝑛𝑖=1 × Ci

2

𝑛− �̅�2 =

342

24− 3,672 = 0,81

Desviación típica

σ = √Var = 0,9

Coeficiente de variación C. V. =σ

�̅�=

0,9

3,67= 0,24




6.2.2. Objetivos

Los objetivos para esta sesión son:

Realizar un análisis estadístico.

Aprender estadística mediante la aplicación de la teoría a datos obtenidos por los alumnos.

Interpretar los resultados en gráficos estadísticos.

Comprender de la manera en que funcionan los estudios estadísticos.

Ser capaces de extraer conclusiones e inferir los datos de un estudio estadístico.

Acercar conceptos teóricos que estudian en clase a la vida cotidiana.


Se utilizarán un total de dos sesiones para la realización de los diferentes estudios estadísticos

de las variables. Se realizará íntegramente en clase. En caso de no terminar la actividad en las dos

sesiones previstas el alumnado tendrá la opción de terminar o repasar la actividad en horario fuera de

clase. En la siguiente sesión se dedicaría una parte a verificar que los resultados obtenidos son

correctos.

6.2.4. Evaluación

En este caso no se realizará ninguna evaluación de los resultados. La evaluación realizada por

parte del profesorado consistirá en observación directa.

6.3. Actividad 3: Análisis de datos mediante R-Commander

6.3.1. Descripción

En esta actividad se pretenden comparar los resultados obtenidos en los cálculos de la actividad

anterior con los resultados que nos daría el programa R-Commander.

El programa R tiene una doble naturaleza: es un programa y también un lenguaje de

programación. También es de los más utilizados en la investigación científica. R-Commander es una

interfaz gráfica para la programación en R, especialmente utilizado en estadística.

Antes de resolver los casos propuestos, el profesorado utilizará una sesión para explicar el

funcionamiento y las herramientas de R-Commander con la resolución de ejemplos sencillos.

A continuación, se muestran los ejercicios planteados y resueltos anteriormente —con alguna

pequeña variación— con el programa R-Commander.

6.3.1.1. Ejercicio resuelto para variable cualitativa.

Enunciado:

Una conocida marca de coches ha elaborado un nuevo modelo que va a poner a la venta durante

el próximo año. Se requiere saber cuál es el color más demandado por la población para poder llegar al

consumidor y ganar cuota de mercado. Por tanto, se habrá realizado un estudio de campo para

determinar este dato (ver apartado 6.1), obteniéndose los siguientes datos:

Color Amarillo Azul Blanco Gris Negro Otros Plata Rojo

Coches 3 5 25 9 11 6 7 4

Tabla 9.


2. Calcula el porcentaje de cada color.




4. Calcula la media y la varianza. Razona la respuesta.



Solución:

El primer dato que vamos a obtener es la tabla de frecuencias. En R-Commander se obtiene la

frecuencia absoluta y la frecuencia relativa multiplicada por cien.

Figura 4.

Como el dato que nos da el programa es la frecuencia absoluta, de aquí podemos sacar la moda

que es el color que más se repite. El color Blanco.

Variable Amarillo Azul Blanco Gris Negro Otros Plata Rojo

𝒏𝒊 3 5 25 9 11 6 7 4

Tabla 10.

El programa nos da el dato del porcentaje. Para sacar la frecuencia relativa, dividiremos el dato

obtenido en el programa entre 100. Así pues, obtenemos que las frecuencias relativas son:

Variable Amarillo Azul Blanco Gris Negro Otros Plata Rojo

% 4,29% 7,14% 35,71% 12,86% 15,71% 8,57 % 10% 5,71%

𝒇𝒊 0,0429 0,0715 0,3571 0,1286 0,1571 0,0857 0,1 0,0571

Tabla 11.

Puesto que se trata de una variable cualitativa el programa no permite el cálculo de la media y la

mediana ya que no tiene.

Por último elaboramos los gráficos:

Figura 5.




6.3.1.2. Ejercicio resuelto para variable cuantitativa continua.

Enunciado

La alcaldesa de nuestro municipio ha lanzado una iniciativa en la cual se quiere instalar unos

bancos nuevos para uso y disfrute de todo el pueblo. Para asegurarse que no malgastan el dinero en

asientos nada útiles por su poco aforo, deciden realizar un estudio. En él se determinará la longitud de

los bancos existentes y el aforo que estos tienen. Se obteniéndose los siguientes datos:

Longitud de los bancos de la localidad en cm:

157 160 163 173 156

174 159 163 154 168

160 150 161 157 155

162 155 156 157 170

160 157 165 150 180

Tabla 12.

1. Elabora la tabla de frecuencias.

2. Añade a la tabla de frecuencias una columna en la que se indiquen los porcentajes.

3. Halla la media aritmética.




Solución:

Obtenemos la tabla de frecuencias. R-Commander solo realiza tablas de frecuencias para datos

cualitativos o categóricos. Puesto que en este caso se tratan de grupos numéricos, tenemos que

agruparlos en intervalos. Hacemos cinco intervalos.

Figura 6.

El dato que nos da el programa es la frecuencia absoluta, de aquí podemos sacar la moda que es

la longitud que más se repite. El intervalo (156, 162].

Variable (152 , 158] (158 , 164] (164 , 170] (170 , 176] (176 , 182]

𝒏𝒊 5 11 4 3 2

Tabla 13.

La frecuencia relativa nos la da multiplicada por cien, por lo tanto la hallamos dividiendo los

valores que nos da por 100. Obtenemos que las frecuencias relativas son:

Variable (152 , 158] (158 , 164] (164 , 170] (170 , 176] (176 , 182]

% 20% 44% 16% 12% 8%

𝒇𝒊 0,20 0,44 0,16 0,12 0,08

Tabla 14.



A continuación, calcularemos la media, la mediana y la desviación típica. Para ello debemos

obtener un resumen de todos estos datos.

Figura 7.

El valor denominado “mean” corresponde a la media aritmética:

�̅� = 161,64 𝑐𝑚

Para calcular la mediana hay que fijarse en el percentil 50%, ya que este coincide con la

medianaMediana = 160 cm

La desviación típica viene dada por sd

σ = 7,05

Para sacar la varianza únicamente deberemos elevar al cuadrado la desviación típica:

𝜎2= 49,7025


Figura 8.

6.3.1.3. Ejercicio resuelto para variable cuantitativa discreta.

Enunciado:

Actualmente las nuevas teconogías ocupan buena parte de nuestro tiempo de ocio, desplazando

a un segundo plano otras actividades más beneficiosas como puede ser la lectura. En el instituto se está

debatiendo si aplicar un proyecto que fomente la lectura o no es necesario. Para ello, se realiza un

estudio en una clase de 4º de Eso sobre la cantidad de libros leídos en el íltimo mes:




Cantidad de libros leídos en el último mes por el alumnado de 4º

de ESO:

4 3 3 4 4 3

2 4 3 4 3 3

5 4 4 5 3 6

2 4 4 4 3 4

Tabla 15.

1. Obtener la tabla de frecuencias completa.

2. ¿Qué porcentaje existe en la muestra?

3. Indica el porcentaje del alumnado cuya lectura ha sido inferior a 5 libros.

4. Calcula la mediana, la moda y la media.


6. Representa las frecuencias en un diagrama de barras.

7. Representa las frecuencias en un diagrama de sectores.

Resolución:

El primer dato que vamos a obtener es la tabla de frecuencias. R-Commander solo realiza tablas

de frecuencias para datos cualitativos o categóricos. Puesto que en este caso se tratan de grupos

numéricos, tenemos que definir los grupos. De hacemos cinco grupos, lectura de dos, tres, cuatro,

cinco o seis libros. El programa, nos da la frecuencia absoluta y la frecuencia relativa multiplicada por

cien.

Figura 9.

El dato que nos da el programa es la frecuencia absoluta, de aquí podemos sacar la moda que es

número de libros leidos que más se repite. El en este caso, la moda es que el alumnado lea cuatro

libros.

Nº miembros 2 3 4 5 6

𝒏𝒊 2 8 11 2 1

Tabla 16.

La frecuencia relativa nos la da multiplicada por cien, por lo tanto vale con dividirla para sacar

el valor. Obtenemos que las frecuencias relativas son:

Nº miembros 2 3 4 5 6

% 8% 33% 46% 8% 4%

𝒇𝒊 0,8 0,33 0,46 0,8 0,4

Tabla 17.

A continuación, calcularemos la media, la mediana y la desviación típica. Para ello debemos

obtener un resumen de todos estos datos.



Figura 10.

El valor denominado “mean” corresponde a la media aritmética:

�̅� = 3,67

Para calcular la mediana hay que fijarse en el percentil 50%, ya que este coincide con la

medianaMediana = 4

La desviación típica viene dada por sd

σ = 0,91

Para sacar la varianza únicamente deberemos elevar al cuadrado la desviación típica:

𝜎2 = 0,8281


Figura 11.

6.3.2. Objetivos

Los objetivos para las actividades propuestas son:

Interpretar los resultados en gráficos estadísticos.

Comprender de la manera en que funcionan los estudios estadísticos.

Aprender el manejo de un programa estadístico.

Comprobar los resultados estadísticos obtenidos mediante los cálculos realizados por los

alumnos con los que se consiguen con un programa informático.

Ser capaces de extraer conclusiones e inferir los datos de un estudio estadístico.

Acercar conceptos teóricos que estudian en clase a la vida cotidiana.


Se utilizarán un total de 3 sesiones (55 minutos por sesión), incluyendo una sesión para que el

alumnado conozca la programación en R.




6.3.4. Evaluación

La evaluación del correcto funcionamiento de la actividad será realizada por el propio alumnado

mediante la comparación de los resultados obtenidos en las actividades 2 y 3. Posteriormente, también

se realiza esta evaluación a través de los diferentes grupos cooperativos con la técnica 1-2-4.

6.4. Actividad 4: Técnica 1, 2, 4

6.4.1. Descripción

Una vez comparados los resultados de las dos actividades anteriores individualmente. El

alumnado trabajará en equipo cooperativamente de la forma 1-2-4 para contrastar los resultados

obtenidos entre los compañeros.

La técnica de aprendizaje cooperativo 1-2-4 es aconsejable a la hora de proyectar un trabajo

práctico realizado en el aula. En primer lugar, un alumno trabaja de forma individual hasta alcanzar la

solución. En segundo lugar, se colocan en grupo de dos. Estos dos alumnos intercambian sus

respuestas y comentan las diferencias entre ellos hasta alcanzar un acuerdo y resolver las posibles

dudas aparecidas entre ellos. Finalmente, en tercer lugar se forma un equipo de cuatro alumnos, es

decir, la unión de un grupo de dos con otro grupo de dos, que comentan los resultados entre ellos hasta

consensuar los resultados a los ejercicios propuestos.

A esta actividad dedicaremos 10 minutos de las sesiones anteriores con la intención que el

alumnado lleve a cabo un aprendizaje cooperativo desde la primera sesión y pueda debatir los

resultados a medida que los va obteniendo.

6.4.2. Objetivos

Los objetivos para esta actividad son:

Fomentar la adquisición de hábitos de trabajo en equipo.

Trabajar de forma cooperativa y tomar decisiones conjuntas.


Se utilizará parte de las sesiones destinadas a elaborar las actividades anteriores (10 minutos)

para poner en práctica esta técnica.

6.4.4. Evaluación

La evaluación del correcto funcionamiento de la actividad será realizada por el propio alumnado

mediante la comparación de los resultados obtenidos en las actividades 2 y 3, a su vez el profesorado

observará el funcionamiento de cada uno de los grupos.

6.5. Actividad 5: Prueba final

6.5.1. Descripción

Se realizará una prueba final individual al alumnado en el que se evaluarán las destrezas

adquiridas durante el proyecto. Para la prueba final el alumnado dispondrá de todo tipo de material

que considere necesario (libros, apuntes, calculadoras, etc.). El profesorado distribuirá al alumnado en

el aula de forma individual para la realización de la prueba que deberán entregar al final de la sesión

con los ejercicios resueltos.

A continuación se muestran los ejercicios propuestos para la prueba final:

Ejercicio 1



Los alumnos de 3.º ESO quieren participar en un concurso en el cual pueden ganar un viaje de

fin de curso. El concurso está propuesto por una conocida marca de material escolar y los alumnos

participantes deberán diseñar un nuevo modelo de mochila.

Para establecer el color predominante de la mochila han realizado una encuesta en su instituto

entre los alumnos de su mismo nivel académico. En ella se les preguntaba el color de su mochila,

obteniéndose los siguientes datos:

Color Verde Azul Marrón Gris Negro Otros Granate Rojo

Coches 5 21 19 8 15 6 4 7

Tabla 18.


2. Añade a la tabla de frecuencias una columna en la que se indiquen los porcentajes de cada

color.




6. Atendiendo a los cálculos realizados, ¿qué color será el elegido como predominante?

Ejercicio 2

Se ha preguntado los pesos propios al alumnado de un curso de 4.º de la ESO, siendo estos los

que figuran en la siguiente tabla en kilogramos:

Peso del alumnado en Kg de un curso de 4º de ESO:

59 65 52 57 58

64 61 65 60 55

52 53 63 59 64

53 57 58 59 72

62 51 67 62 75

Tabla 19.

1. Elabora la tabla de frecuencias, incluyendo la marca de clase y el porcentaje para cada

intervalo.

2. Calcula la media aritmética.

3. Halla la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación.



Ejercicio 3

En la jornada de la liga de fútbol del pasado fin de semana en primera y segunda división se han

marcado en cada uno de los partidos los goles que se reflejan en la siguiente tabla:

Goles de los partidos de primera y segunda división

2 4 3 3 1 1 3

2 2 1 1 1 2 1

2 3 3 2 2 3 4

Tabla 20.




1. Elabora la tabla de frecuencias, incluyendo la marca de clase y el porcentaje para cada

intervalo.

2. Indica el porcentaje de partidos en los que se metieron 2 goles.

3. Di el porcentaje de partidos en los que se metieron 3 o menos goles.

4. Calcula la media aritmética.

5. Halla la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación.



6.5.2. Objetivos

Los objetivos para esta sesión son:

Comprobar que el alumno ha comprendido el funcionamiento de los análisis estadísticos.

Determinar la capacidad del alumnado de utilizar el conocimiento y aplicar procedimientos.

Trabajar de forma individual.


Se realizará la prueba durante 1 sesión (55 minutos).

6.5.4. Evaluación

El profesor corregirá y calificará de 0 a 10 la prueba final y se asignará esta nota obtenida al

tema de estadística del curso académico.

7. Evaluación de las actividades

La evaluación de todo el conjunto de actividades propuestas consistirá en una evaluación inicial

que se llevará a cabo por observación durante las sesiones previas a las actividades. Durante estas

sesiones, el profesorado verá el nivel del alumnado antes de realizar las actividades descritas en el

presente trabajo. Estos conocimientos iniciales, se compararán con una prueba final. Con su

evaluación se determinará el grado de aprovechamiento de las actividades.

También se evaluará mediante una evaluación formativa la progresión de los estudiantes. Para

la realización de la evaluación formativa, el profesorado observará el trabajo del alumnado para ver

cómo toma los datos y realiza los cálculos, a la vez que evalúa su comportamiento y participación en

la tarea.

De ambas evaluaciones se obtendrá una nota final, será la correspondiente a la unida didáctica y

mediará con las demás notas obtenidas de las unidades didácticas desarrolladas en la tercera

evaluación.

Además se evaluará internamente el conjunto de actividades con un cuestionario al alumnado

participante con el fin de saber sus impresiones y su grado de satisfacción (Anexo 1).

Bibliografía

Batanero, C. (2000). ¿Hacia dónde va la educación estadística? Blaix, 15(2), 13.

Batanero C., Díaz C., Contreras J. M., Roa R. (2013). El sentido estadístico y su desarrollo. Números.

Revista de Didáctica de las Matemáticas, 83, pp. 7-12.

Batanero, C. y Godino, J. D. (2005). Perspectivas de la educación estadística como área de

investigación. En R. Luengo (Ed.). Líneas de investigación en Didáctica de las Matemáticas (pp.

203-226). Badajoz: Universidad de Extremadura.



Batanero, C., Godino, J. D., Green, D. R., Holmes, P., & Vallecillos, A. (1994). Errores y dificultades

en la comprensión de los conceptos estadísticos elementales. International Journal of Mathematics

Education in Science and Technology, 25(4), 527-547.

Fragueiro Barreiro, M., Muñoz Prieto, M., & Soto Fernández, J. (2013). «1-2-4». Una técnica de

aprendizaje cooperativo sencilla aplicada al área de Conocimiento del medio natural, social y

cultural. Innovación educativa, 0(22).

Ley Orgánica 8/2013, de 9 de diciembre, para la mejor de la calidad educativa (LOMCE) (de 10 de

diciembre). Boletín oficial del estado. Núm. 295 (97585-97924). Madrid.

Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo, de Educación (LOE) (de 4 de mayo). Boletín oficial del estado.

Núm. 103. (17158-17207). Madrid.

Real Decreto 1105/2014, de 26 de diciembre, por el que se establece el currículo básico de la

Educación Secundaria Obligatoria y del Bachillerato (de 3 de enero de 2015). Boletín Oficial del

Estado. Núm. 3 (169-546). Madrid.

Anexo 1

CUESTIONARIO / ENCUESTA ALUMNADO

ACTIVIDADES ESTADÍSTICAS PARA 4.º ESO UTILIZANDO DATOS REALES

Por favor, indica el grado de acuerdo con cada una de las preguntas.

1 (Totalmente en desacuerdo) – 2 – 3 – 4 – 5 (Totalmente de acuerdo)

AFIRMACIONES 1 2 3 4 5

Las actividades realizadas me han servido para consolidar los

conocimientos de estadística.

Comprobar/ Resolver los ejercicios a través del R-

Commander me ha resultado interesante.

Gracias a la realización de las actividades me he dado cuenta

de que la estadística tiene importantes aplicaciones prácticas

en la vida real.

Considero que los conocimientos adquiridos de estadística y

R-Commander me pueden ser de utilidad en un futuro

(estudios, vida profesional, etc.).

El profesor ha resuelto mis dudas para poder finalizar las

actividades adecuadamente.

Pienso que trabajar en equipo ha sido útil para que la tarea se

haya llevado a cabo adecuadamente.

Me siento satisfecho de las relaciones con mis compañeros

durante la realización de las actividades.

En general, me ha gustado realizar las actividades.

Tabla 21.




Neus Muñoz Capitán. Nacida el 15/06/1990 en Valencia. Grado en Arquitectura Técnica. Máster

Universitario en Eficiencia Energética y Sostenibilidad por la Universidad Jaume I. Email:

[email protected]

Pablo Vicente Monserrat. Nacido el 28/03/1991 en Castellón. Ingeniero Industrial por la Universidad

Jaume I. Email: [email protected]

Gabriel Mateu García. Nacido el 08/06/1984 en la Vall d’Uixó (Castellón). Licenciado en Ingeniería

Industrial (Universidad Jaume I). En la actualidad es director y profesor en AcadèmiaTecniCiència en la

Vall d’Uixó. Email: [email protected]

Fco. Javier Prado Bayarri. Ingeniero Técnico Industrial (Especialidad: Mecánica) e Ingeniero Industrial

(Bloque intensificación: Medio Ambiente) por la Universidad Politécnica de Valencia.




ISSN: 1887-1984


Aproximación didáctica a las matemáticas

a través de la programación en R

Javier Calahorra Tovar

Teresa Aguilar Ávila

Samuel Diciembre Sanahuja

Daniel Sanchiz Rubert

(Universidad Jaume I)



Resumen Distintas fuentes bibliográficas consultadas nos aportan evidencias sobre la falta de

reflexión y las deficiencias en el aprendizaje de determinados conceptos matemáticos, así

como de la falta de formación académica sobre la programación informática. El objetivo

de este artículo de innovación educativa es mejorar el aprendizaje de las matemáticas de

una forma visual e intuitiva mediante el uso del lenguaje de programación R, al mismo

tiempo que también se inicia al alumnado en el mundo de la programación informática.

El destinatario del proyecto formativo es el alumnado de primero de Bachillerato en la

asignatura Matemáticas I. Se ha diseñado un seminario por cada trimestre: posición

relativa entre 2 rectas, concepto de límite y concepto de integral.

Palabras clave innovación, comprensión, programación, R, matemáticas, posición relativa entre rectas,

concepto de límite, cálculo integral.

Title Didactic approach to mathematics through programming in R

Abstract Several bibliographic sources have provided us with strong evidence about the lack of

real learning in certain abstract mathematic concepts and in the field of computer

programming. The final goal of this educative innovation project is to improve the

mathematics apprenticeship in an intuitive and visual way by using the programming

software R, while initiating the students in the field of mathematics programming. Our

project is aimed to the students at 1.0 Bachillerato level and the Matemáticas I subject.

We have designed a group of three different seminars for the subject: Relative position of

two lines in the plane, concept of limit and concept of integral calculus.

Keywords innovation, understanding, programming, R, mathematics, position of two lines in the

plane, concept of limit, integral calculus.

1. Descripción de la problemática

Con este trabajo pretendemos abordar cuatro problemáticas que se han detectado por los autores

en la asignatura de Matemáticas I de primero de Bachillerato en los centros de la provincia de

Castellón IES El Caminàs (Castellón de la Plana), IES Almenara (Almenara) y Centro Privado de

Enseñamiento Illes Columbretes y IES Jaume I (Burriana):


Aproximación didáctica a las matemáticas a través de la programación en R J. Calahorra Tovar, T. Aguilar Ávila, S. Diciembre Sanahuja, D. Sanchiz Rubert


1. Una parte del alumnado no es capaz de asimilar conceptos complejos como el de límite,

derivada, integral… Limitándose a superar la asignatura sin entender de una forma intuitiva

dichos conceptos:

“no todo el alumnado es capaz de identificar algunas imágenes mentales

sobre el concepto de límite (aproximación gráfica, aproximación estimada, el

límite como valor de la función en un punto y el límite considerado como un

algoritmo de cálculo)”. (Contreras, García y Font, 2012).

La investigación que se presenta pretende explicar de qué forma se puede llegar a la

presencia de este tipo de imágenes mentales en los alumnos y alumnas como resultado del

proceso de instrucción.

2. La mayor parte del alumnado inicia carreras universitarias de índole científica sin ningún

tipo de formación académica sobre la programación informática. Además:

“los sistemas educativos deben preparar a nuestros jóvenes para vivir en el

mundo digital, para lo cual deben de dominar un nuevo lenguaje sin el que se

convertirían en analfabetos digitales. Por tanto, en la escuela no debemos

formar únicamente en alfabetismo lingüístico y numérico, sino también en

alfabetización digital”. (Llorens, José, Molero y Vendrell, 2017).

No obstante, en dicho artículo se afirma que se confunde el objetivo de alfabetización

digital y, a la hora de realizar el cambio necesario en los niveles educativos, se intenta hacer

hueco a la informática como asignatura para enseñar a programar con el fin de que el resto

de las asignaturas no cambien. Además, los viejos contenidos se ven más constreñidos por

los nuevos contenidos curriculares

3. También se puede detectar, en parte del alumnado, una deficiencia en la capacidad del

pensamiento abstracto que limita un aprendizaje profundo de las matemáticas:

“aunque no sea posible establecer una distinción clara entre las Matemáticas

elementales y avanzadas, sí se pueden señalar algunos rasgos definitivos, uno

de los cuales es la complejidad de los contenidos y la forma de controlarla;

los procesos más potentes son aquellos que permiten este control, en

particular la representación y abstracción. Además, el éxito en Matemáticas

se puede relacionar con la riqueza y la flexibilidad de las representaciones

mentales de los conceptos matemáticos”. (Azcárate, Camacho y Sierra,

1999).

4. Por último, también existe una necesidad de fomentar la reflexión sobre los ejercicios a

realizar y la creatividad reforzando, de esta forma, el concepto de autoformación:

“Estimular la formación de preguntas abiertas es esencial para desarrollar la

creatividad y la capacidad de investigación. (…) Algunas innovaciones

institucionales: diseño de planes de estudios considerando el aprendizaje de

las matemáticas más allá de los contenidos: procesos de pensamiento

matemático, creatividad, conexiones intramatemáticas e interdisciplinares y

contribución a la capacidad de autoaprendizaje”. (Malaspina, 2013).

2. Objetivos del proyecto

El objetivo a alcanzar en este artículo de investigación es mejorar el aprendizaje de las

matemáticas, especialmente de aquellos conceptos complejos como el de límite, integral, … que

requieren para su profunda comprensión de una capacidad de abstracción que muchos alumnos y

alumnas de secundaria no poseen. Así mismo pretendemos que este proyecto sirva como estrategia




para avanzar en más de una de las competencias definidas como clave por la actual ley educativa. Se

pretende con ello:

que el alumnado, mediante la representación gráfica, convierta complejos conceptos

matemáticos en otros más intuitivos y sencillos;

introducir a los alumnos en el mundo de la programación;

que el alumnado mejore su creatividad en la resolución de problemas.

Ya se han realizado algunas aproximaciones al cálculo integral mediante Derive obteniendo

grandes resultados. Algunas opiniones del alumnado tras la realización de los seminarios fueron:

“El contenido fue el mismo visto teóricamente y por lo tanto se hizo fácil

manejar dicho contenido.

Las gráficas ayudan a visualizar los resultados, los hacen más palpables.

Se trabaja mucho más rápido con DERIVE que hacerlo sin el programa.

Facilita la comprensión.

Es una clase muy interesante y dinámica. Nos gusta porque nunca

habíamos trabajado en una práctica con computadora”. (Rivero, 2015).

2.1. Competencias

De las 7 competencias clave que define la LOMCE y que el alumnado debería alcanzar durante

su etapa educativa, en este artículo se pretenden trabajar las siguientes:

La competencia matemática requiere de conocimientos sobre los números, las medidas y las

estructuras, así como de las operaciones y las representaciones matemáticas, y la comprensión

de los términos y conceptos matemáticos.

La competencia digital es aquella que implica el uso creativo, crítico y seguro de las

tecnologías de la información y la comunicación. Adecuación a los cambios que introducen

las nuevas tecnologías en la alfabetización, la lectura y la escritura, un conjunto nuevo de

conocimientos, habilidades y actitudes necesarias hoy en día para ser competente en un

entorno digital.

Aprender a aprender incluye conocimientos sobre los procesos mentales implicados en el

aprendizaje (cómo se aprende): el conocimiento que tiene acerca de lo que sabe y desconoce,

de lo que es capaz de aprender, de lo que le interesa, …; el conocimiento de la disciplina en la

que se localiza la tarea de aprendizaje y el conocimiento del contenido concreto y de las

demandas de la tarea misma y el conocimiento sobre las distintas estrategias posibles para

afrontar la tarea.

2.2. Innovación

En primer lugar, en este artículo se presenta una innovación a nivel pedagógico ya que se

implementa una nueva estrategia referida a cómo enseñar las matemáticas atendiendo a los nuevos

conocimientos sobre cómo aprende el alumnado. Además, implica una innovación curricular

mejorando de esta forma el currículo que ofrecen los institutos al introducir la programación

informática dentro de la formación académica. Finalmente, es una Innovación TIC, basada en el uso

de nuevos recursos tecnológicos y de programación.



3. Destinatarios

Los seminarios están dirigidos a aquel alumnado que se encuentre cursando Matemáticas I, es

decir, aquellos alumnos y alumnas que a priori desean desarrollar su actividad laboral en el ámbito

científico. Además:

Los conocimientos matemáticos que se explican en primero de Bachillerato son

suficientemente complejos como para que tenga sentido la aplicación de técnicas informáticas

para la visualización y aplicación de estos.

Según el decreto 87/2015 de 5 de junio, del Consell de la Generalitat, por el cual se establece

el currículo y se desarrolla la ordenación general de la Educación Secundaria, uno de los fines

a los que se debería orientar la concreción curricular en Bachillerato es:

“Desarrollar metodologías didácticas activas e innovadoras que incluyan el

uso de métodos y técnicas de investigación por parte del alumnado para

aprender por sí mismo, el trabajo autónomo y en equipo, la aplicación de los

aprendizajes en contextos reales, y el uso sistemático de las tecnologías de la

información y la comunicación”.

Por tanto, el alumnado de primero de Bachillerato tiene la necesidad de aprender conceptos

matemáticos abstractos y la capacidad de hacer uso de la programación informática para

representarlos de forma gráfica e intuitiva y que de otra forma no sería posible visualizar,

facilitando el aprendizaje de éstos.

No se considera al alumnado de segundo de Bachillerato como susceptible de recibir este

seminario ya que dicho curso está orientado a superar las Pruebas de Acceso a la Universidad que se

realizan al terminar dicho curso.

4. Justificación del uso de R en Bachillerato

El software R es un entorno de programación, análisis estadístico y generación de gráficos

distribuido bajo licencia GNU. 'Es un poderoso aliado para la investigación y una excepcional

herramienta de trabajo para la docencia. Mediante R es posible ejecutar simples análisis descriptivos o

aplicar los más complejos y novedosos modelos formales. Además, la incorporación a R de interfaces

gráficas como Rcommander que crean entornos de trabajo amigables muy similares al entorno del

SPSS permiten saltar la barrera de la accesibilidad, y utilizarlo sin ningún tipo de reparo en la

docencia: libre, gratuito, asequible, accesible y siempre a la vanguardia' (Elosua, 2009).

R posee una estructura versátil, fácilmente adaptable a las necesidades del usuario básico,

medio o avanzado y, por tanto, del estudiante o del profesor. Tiene una gran capacidad de análisis y

además se enmarca en la filosofía de software libre, abierto y dispone de versiones para distintas

plataformas -Microsoft Windows, Linux/UNIX o Macintosh-. Desde su creación, R crece gracias a las

aportaciones de funciones y librerías de la comunidad científica, que convierte a R 'en un entorno

dinámico formado por una comunidad en movimiento continuo y acelerado que se inscribe dentro de

la filosofía del software libre' (Elosua, 2009).

En definitiva, R es asequible, accesible además de fiable y eficaz. Además, el entorno de

programación es amigable y el software puede adaptarse al nivel del alumnado en cualquiera de sus

etapas educativas.




5. Contexto de los seminarios

5.1. Temporalización

En este artículo se han programado tres seminarios, uno en cada trimestre. Los seminarios se

realizarán una vez ya se hayan impartido las unidades didácticas a las que complementan. El objetivo,

pues, no es tanto enseñar desde cero sino consolidar y mejorar el entendimiento de los conceptos más

abstractos.

La duración de cada uno de los seminarios constará de dos clases de 55 minutos distribuidos de

la siguiente forma:

Primera sesión

8:55 - 9:00 Llegar al aula de informática y encender los ordenadores.

9:00 - 9:15 Realización del test inicial.

9:15 - 9:25 Explicación de los comandos R a utilizar.

9:25 - 9:35 Lectura común del trabajo a realizar y resolución de las

dudas que puedan surgir al alumnado respecto al seminario.

9:35 - 9:50 Tiempo de trabajo individual.

Tabla 1. Temporalización de la primera sesión

Segunda sesión

8:55 - 9:00 Llegar al aula de informática y encender los ordenadores.

9:00 - 9:30 Tiempo de trabajo individual.

9:30 - 9:45 Segunda realización del test.

9:45 - 9:50 Realización de la encuesta

Tabla 2. Temporalización de la segunda sesión

La temporalización y programación de los seminarios será la comentada anteriormente ya que

consideramos que es la duración suficiente para reforzar los conceptos matemáticos y seguir

motivando al alumnado mediante la innovación y mejora didáctica.

5.2. Aula de trabajo

Los seminarios se impartirán en el aula de informática del centro educativo ya que

necesitaremos al menos tener acceso a un ordenador cada dos personas. La situación didáctica ideal

sería que cada alumno o alumna pudiera trabajar de forma individual.

6. Seminarios

6.1. Comandos R

seq (from, to, length, ...). Genera secuencias regulares desde from hasta to -[from, to]- de

longitud length donde lenght-1 es el número de partes en las que divide el intervalo [from, to].



vector. En programación se denomina vector a una zona de almacenamiento contiguo que

contiene una serie de elementos del mismo tipo.

Figura 1. Matriz unidimensional con 10 elementos.

plot(x, y, …, xlim, ylim, ... ). Es el comando más habitual de R para hacer gráficas donde x e y

representan las coordenadas de la función.

○ lines (…). Añade una nueva función en la gráfica actual.

○ abline (h, ...). Este comando añade una o más funciones constantes horizontales sobre

la gráfica actual, por ejemplo, y=1.

○ abline (v, ...). Este comando añade una o más funciones constantes verticales sobre la

gráfica actual, por ejemplo, x=3.

○ xlim = c (min, max). Define el intervalo del eje X que utilizaremos en la ventana

gráfica.

○ ylim = c (min, max). Define el intervalo del eje Y que utilizaremos en la ventana

gráfica.

○ legend (…) Crea una leyenda configurable para acompañar a la representación.

rbind (A, b). Añade la fila b al vector o matriz A.

solve (…). Obtiene la solución analítica del sistema.

for (i in vector) {secuencia de comandos;}

Veamos este ejemplo extraído de Algunas estructuras de programación. Creación de

funciones en R.

“for (i in 1:5) {print(i);}

[1] 1

[1] 2

[1] 3

[1] 4

[1] 5”.

(Algunas estructuras de programación. Creación de funciones en R).

Para pensar un poco más. Intenta dibujar en el recuadro inferior la ventana gráfica resultante de

ejecutar el siguiente código:

plot(1,1, ylim = c(0,6))

for(i in 1:5) {abline(h=i)}

6.2. Cálculo de la posición relativa de dos rectas

6.2.1. Problema 1

Estudia la posición relativa de las rectas y .

Cálculo de la solución gráfica

https://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3n




El alumnado debe expresar ambas rectas de forma explícita con el objetivo de averiguar la

solución gráfica.

r: y = 3 – x,

s: y = 2x – 2.

x = seq(0 ,20, length = 100 ); # Donde [0,20] define el intervalo en el eje de abscisas en el cual

se van a representar las funciones y length es el número de puntos en el que interpolaremos la función.

y1 = 3 – x;

y2 = 2*x-2;

plot( x, y1, type="l", col="red" ) # Empleamos el patrón type=”l” para unir los puntos

previamente definidos obteniendo la representación de la recta.

lines( x, y2, col="blue" ) # Utilizamos el comando lines ya que, si usáramos plot de nuevo, se

reiniciaría la ventana gráfica.

abline( h = 0 )

legend( "bottomleft", col = c("blue","red"), legend = c("s: y = 2x-2","r: y = 3-x"), lwd=2 ) #

Podemos añadir una leyenda mediante el comando legend() donde “bottomleft” representa la posición

de la leyenda.

Figura 2.

Se le podría proponer al alumnado readaptar la ventana gráfica ajustándola a las características

del problema. Existen varias alternativas para lograrlo, una de ellas sería mediante el comando x =

seq( 0, 20, length = 100 ).



Figura 3. Ambas rectas se intersecan y, además, dicha intersección se produce con x, y є [1,2].

Cálculo de la solución analítica

Puede resultar interesante reflexionar con los alumnos y alumnas que el método gráfico permite

aproximarnos a la solución, pero no obtenerla. Seguidamente, se calculará la solución analítica

mediante R. Algunas librerías de R tienen implementadas funciones capaces de resolver sistemas de 2,

3, 4 o más variables.

# Sea el sistema matricial AX = B, donde

A = rbind( c(1, 1), c(2, -1) )

B = c(3, 2 )

# Obtenemos X = BA-1

de la siguiente forma:

solve( A, B )

# Solución analítica en forma decimal.

[1] 1.666667 1.333333

# Solución analítica en forma fraccionaria.

fractions(solve( A, B ))

[1] 5/3 4/3

6.2.2. Problema 2

Estudia la posición relativa de las rectas y .


Se procedería de la misma forma que en el primer ejercicio, escribiendo ambas rectas de forma

explícita.




Figura 4.

Al ver el gráfico, el alumnado podría interpretar que ambas rectas son coincidentes existiendo

infinitas soluciones. Se podría proponer un debate al respecto, recordando que

1. debemos ajustar la ventana gráfica a la naturaleza del problema;

2. el método gráfico no es válido para obtener soluciones; 3. se podría razonar que, como las rectas r y s no son iguales ni proporcionales, las rectas

nunca serán coincidentes.

x = seq( 0, 20, length = 100 )

y1 = 3*x-4

y2 = 3*x-8

plot( x, y1, type = "l", col = "red" )

lines(x, y2, col="blue" )

abline( h = 0 )



Figura 5. Como cabía esperar, las rectas son paralelas.


A = rbind( c(1, -3), c(1, -3) )

b = c(-4, -8)

solve(A, b)

Error in solve.default(A, b) : Lapack routine dgesv: system is exactly singular: U[2,2] = 0

Concluyendo que el sistema no tiene solución.

6.3. Límites. Representación de una asíntota

6.3.1. Problema 1

Estudia la continuidad de la función f en el punto x=3 siendo

.


Dibujamos la función siguiendo el procedimiento de la primera actividad del seminario.




x1 = seq( -20, 3, length=100 )

x2 = seq( 3, 20, length=100 )

y1 = (x1)^2-1

y2 = 3/(x2+5)

plot( x1, y1, type="l", col="blue", ylim = c( -10, 30 ), xlim = c( -10, 20 ), lwd = 2 )

lines( x2, y2, col="red", lwd=2 )

abline( h=0 )

abline( v=0 )

abline( v=3, col=”grey”)

Figura 6.

El alumnado puede comprobar gráficamente que existe una discontinuidad en x=3, tomando

valores distintos la función en f(3+) y f(3

-).


El alumnado ya ha descubierto a lo largo de la unidad didáctica que, por definición, una función

es continua en un punto si

.

Por tanto, en primer lugar, deberá evaluar la función en x=3:



En segundo lugar, el alumnado debería averiguar qué valores toma la función a medida que se

aproxima a 3 por la izquierda y la derecha

x = c( 2.9, 2.99, 2.999, 2.9999, 2.99999)

for( i in x ) { y = (x^2)-1; }

x Valor de x2-1

2.9 7.41

2.99 7.9401

2.999 7.994001

2.9999 7.9994

2.99999 7.99994

2.999999 7.999994

Tabla 3.

x = c( 3.1, 3.01, 3.001, 3.0001, 3.00001)

for ( i in x ) { y=3/(x+5); }

x Valor de 3/(x+5)

3.1 0.3703704

3.01 0.3745318

3.001 0.3749531

3.0001 0.3749953

3.00001 0.3749995

3.000001 0.375

Tabla 4.

Por último, quedaría reforzar la justificación gráfica concluyendo que la función es

discontinua en x=3 ya que:

,

.

6.3.2. Problema 2

Estudia la continuidad de la siguiente función en el punto x=-2.





x = seq( -10, 10, length =10000 )

y = (x^3+5*x^2+6*x)/(x^3+x^2-8*x-12)

plot( x, y, type = "l", col = "blue", ylim = c( -100, 100 ) )

abline( h = 0 )

abline( v = 0 )

Figura 7.

Al representar la función, el alumnado descubrirá que tiene dos asíntotas verticales en algún

punto de los intervalos [-5,0] y [0,5], centrando el estudio entorno a x=-2.

X = seq( -5, 0, length =10000 )

y = (x^3+5*x^2+6*x)/(x^3+x^2-8*x-12)

plot( x, y, type = "l", col = "blue", ylim = c( -100, 100 ) )

abline( h = 0 )

abline ( v = 0 )



Figura 8.

El alumnado debería reflexionar que, pese a que sí existe una asíntota entorno a x=-2, el método

gráfico no permite aseverar que la discontinuidad se presente exactamente en x=-2.

x1 = seq( -5, -2, length = 10000 )

x2 = seq( -2, 1, length = 10000 )

y1 = (x^3+5*x^2+6*x)/(x^3+x^2-8*x-12)

y2 = (x^3+5*x^2+6*x)/(x^3+x^2-8*x-12)

plot (x1, y1, type = "l", col = "blue", ylim = c( -50, 50 ), xlim = c( -5, 0 ) )

lines( x2, y2, type = "l", col = "blue")

legend( "bottomleft", col = "blue", legend = c("(x^3+5*x^2+6*x)/(x^3+x^2-8*x-12)"), lwd=2)




Figura 9.


En primer lugar, el alumnado deberá evaluar la función en x=-2.

No existe

La función no está definida en x=-2, por lo tanto, ya se puede afirmar que no es continua en

dicho punto. No obstante, el alumnado podría replicar el análisis anterior.

x Valor de f(x)

-2.1 -3.705882

-2.01 -39.71856

-2.001 -399.7199

-2.0001 -3999.72

-2.00001 -39999.65

-2.000001 -3999640.2

Tabla 5.



x Valor de f(x)

-1.9 4.265306

-1.99 40.27856

-1.999 400.2799

-1.9999 4000.28

-1.99999 40000.34

Tabla 6.

Por último, quedaría reforzar la justificación gráfica concluyendo que sí hay una asíntota

vertical en x=-2 y, por tanto, la función es discontinua en x=3, verificándose que:

,

.

6.4. Cálculo y representación de una integral

6.4.1. Problema 1

Calcula el área comprendida entre la función y el eje de abscisas en el intervalo

.


# Primer paso: dibujar f(x) en [0,π]

x = seq( from = 0, to = pi, length =100 )

plot( x, cos(x) )

plot( x, cos(x), type = "l" )

# Segundo paso: dibujar el eje de abscisas

abline( h = 0 )




Figura 10.

Después de esta observar esta gráfica el alumnado ya debería intuir el resultado de la integral en

. Se les puede hacer preguntas tales como: ¿podríais decirme cuál es el resultado de la integral

después de ver la gráfica?


.

Con este ejercicio se busca que el alumnado visualice una aproximación intuitiva al concepto

abstracto de integral y que pueda comprobar que tanto la parte gráfica como la analítica coinciden.

6.4.2. Problema 2

Calcula el área comprendida entre la función y el eje de abscisas en el intervalo

.


# Primer paso: dibujar f(x) en [0,π/2]

x = seq( from = 0, to = pi/2, length = 100 )

plot( x, cos(x) )

plot( x, cos(x), type = "l" )

# Segundo paso: dibujar el eje de abscisas

abline( h=0 )



abline( v=0 )

Figura 11.

Cálculo de una primera aproximación

Aproximamos el resultado de la integral mediante la partición formada por 10 puntos que definen 9

intervalos regulares e idénticamente distribuidos en el intervalo .

# Creamos la partición

P = seq( from = 0, to = pi/2, length=10 )

# Calculamos la base de los rectángulos

IncX = ((pi/2)-0) / (length(P)-1);

areaRectangulos = c() # Vector auxiliar

for (i in P) { areaRectangulos = c(areaRectangulos, IncX*cos(i)) }

# El resultado de la aproximación es la suma de las áreas de todos los rectángulos

ResultadoAprox1Integral = sum(areaRectangulos)

ResultadoAprox1Integral = 1.084727

Cálculo de una segunda aproximación




Aproximamos el resultado de la integral mediante la partición formada por 100.000 puntos que

definen 99.999 intervalos regulares e idénticamente distribuidos en el intervalo .

P = seq( from = 0, to = pi/2, length=100000 )

IncX = ((pi/2)-0) / (length(P)-1);

areaRectangulos = c()

for (i in P) { areaRectangulos = c(areaRectangulos, IncX*cos(i)) }

ResultadoAprox1Integral = sum(areaRectangulos)

ResultadoAprox1Integral = 1.000008

¿Cuál crees que es la solución que más se aproxima al resultado analítico? Justifica tu respuesta

El alumnado debería ser capaz de intuir que la mejor aproximación es la segunda ya que la

partición es más fina. Posteriormente, les mostraríamos la siguiente imagen para consolidar la idea

intuitiva que hay detrás de la demostración del Teorema de Integración de Riemann.

Figura 12.




.

Por último, ¿de qué formas se puede mejorar las aproximaciones obtenidas?

Tras la realización del ejercicio, el alumnado debería ser capaz de razonar que alguna de las

formas de mejorar las aproximaciones obtenidas podría ser:

1. hacer una partición más fina. Enfatizar con el alumnado que el concepto de integral nace de la

suma de infinitos rectángulos de base infinitesimal;

2. evaluar la función en el punto medio del intervalo y no en el extremo.

7. Evaluación

7.1. Evaluación del proyecto

La evaluación del proyecto se basará en dos ítems:

1. Test. El seminario se iniciará y finalizará con la realización de una prueba de conocimientos.

La comparación entre ambas pruebas nos servirá para evaluar el grado de mejora derivado de

la realización del seminario.

2. Encuestas. La última actividad del seminario consistirá en la realización de una encuesta al

alumnado para valorar su grado de satisfacción, su percepción acerca de la necesidad de este y

posibles aspectos de mejora. Se trata de obtener un feedback para poder reorientar o reforzar

aquellos puntos débiles de cara a proyectos futuros.

7.2. Evaluación del alumnado

Con el objetivo de motivar e incentivar la participación del alumnado en el seminario, la nota

final de la unidad didáctica se compondrá de:

80%, evaluación habitual de la unidad didáctica,

20%, evaluación del seminario.

Por su parte, la evaluación del seminario considerará:

1. la resolución de los problemas realizados durante el tiempo de trabajo individual,

2. la nota obtenida en el segundo test,

donde cada uno de dichos ítems supondrá el 50% de la nota final del seminario.

Bibliografía

Azcárate, C.; Camacho, M. y Sierra, M. (1999). Perspectivas de investigación en didáctica de las

matemáticas. Investigación en didáctica del análisis. Actas del III SEIEM.

Contreras, A.; García, M. y Font, V. (2012). Análisis de un proceso de estudio sobre la enseñanza del

límite de una función. Boletim de educação matemática, 26 (42).

http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_serial&pid=0103-636X&lng=en&nrm=iso




Depool, R. (2005). La enseñanza y aprendizaje del Cálculo Integral en un entorno computacional.

Actitudes de los estudiantes hacia el uso de un Programa de Cálculo Simbólico. Números. Revista

de Didáctica de las Matemáticas, 62, 3-31.

Elosua, P. (2009). ¿Existe vida más allá del SPSS? Descubre R. Psicothema, 21 (4).

Llorens, F.; José, F.; Molero, X. y Vendrell, E. (2017). La enseñanza de la informática, la

programación y el pensamiento computacional en los estudios preuniversitarios. Education in the

knowledge society, 18 (2).

Malaspina, U. (2013). La enseñanza de las matemáticas y el estímulo a la creatividad. Uno. Revista de

Didáctica de las Matemáticas, 63.

Javier Calahorra Tovar. Grado en Matemática Computacional por la Universidad Jaume I. Máster en

Matemática Computacional por la Universidad Jaume I. Estudiante del Máster Universitario en Profesor/a

de Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato, Formación Profesional y Enseñanzas de Idiomas.

Grupo de alto rendimiento 145 de la Universidad Jaume I. Email1: [email protected]. Email2:

[email protected].

Teresa Aguilar Ávila. Arquitecta. Estudiante del Máster Universitario en Profesor/a de Educación

Secundaria Obligatoria y Bachillerato, Formación Profesional y Enseñanzas de Idiomas.

Samuel Diciembre Sanahuja. Graduado en Matemática Computacional por la Universidad Jaume I.

Estudiante del Máster de Profesorado en Educación Secundaria, Bachillerato, FP y enseñanza de Idiomas.

Lugar de residencia: Castellón. Email: [email protected].

Daniel Sanchiz Rubert. Unbuilt Architecture, Valencia. Arquitecto por la universidad politécnica de

Valencia (España). Proyecto final de carrera realizado en la Hokkaido University de Sapporo (Japón). 3D

Artist. Nacido en Burriana en 1990.

http://www.sinewton.org/numeros/index.php?view=weblink&catid=44%3Avolumen-62&id=86%3Ala-ensenanza-y-aprendizaje-del-calculo-integral-en-un-entorno-computacional-actitudes-de-los-estudiantes-hacia-el-uso-de-un-programa-de-calculo-simbolico&option=com_weblinks



http://www.sinewton.org/numeros/index.php?view=weblink&catid=44%3Avolumen-62&id=86%3Ala-ensenanza-y-aprendizaje-del-calculo-integral-en-un-entorno-computacional-actitudes-de-los-estudiantes-hacia-el-uso-de-un-programa-de-calculo-simbolico&option=com_weblinks



Anexo I. Test. Concepto de integral

1. ¿Para qué se usa el cálculo integral?

a. para calcular el área encerrada entre la gráfica de la función y el eje de abscisas.

b. para calcular el área encerrada entre dos curvas.

c. para calcular la pendiente de la recta tangente en cada punto.

d. a y b son correctas.

2. Sombrea la región que representa .

3. Calcula a partir de la gráfica de la función. Justifica en el recuadro inferior los

resultados obtenidos.

4. Dibuja y calcula una aproximación al resultado de la integral . Justifica en el

recuadro inferior los resultados obtenidos.




Anexo II. Encuesta

Valora del 1 al 5 las siguientes cuestiones siendo 1 - nada de acuerdo y 5 - totalmente de

acuerdo. 1. ¿Consideras que era necesario repasar el concepto de integral?

1 2 3 4 5

2. Después de realizar la tarea, ¿entiendes mejor el concepto de integral?

1 2 3 4 5

3. ¿Te ha gustado usar R para repasar el concepto de integral?

1 2 3 4 5

4. ¿Te ha resultado sencillo el manejo de R durante la realización de la actividad?

1 2 3 4 5

5. ¿Consideras que la duración de la actividad ha sido adecuada?

1 2 3 4 5

6. En general, ¿estás satisfecho con la actividad?

1 2 3 4 5

7. Sugerencias de mejora



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ISSN: 1887-1984


Las matemáticas de la luz

Manuel de León

Ágata A. Timón

EDITORIAL CATARATA

Colección: ¿Qué sabemos de?

ISBN: 978-84-00-10249-4

126 páginas

2017

En este libro los autores nos describen el avance de las investigaciones sobre la luz, los colores

y la forma en los que el ser humano las capta a través de la vista. Se narran los avances de diferentes

científicos relevantes desde la edad antigua hasta la actualidad. Se trata de un libro de divulgación

recomendable para los profanos en esta temática, pero también resultará interesante para los mas

iniciados. Utiliza un lenguaje sencillo, en alguna ocasión apoyado en el leguaje matemático empleado

por los investigadores y científicos citados en el libro, introduciendo al lector en los teoremas y

demostraciones más relevantes de cada época.


¿Qué sabemos de? Las matemáticas de la luz Reseña: J.F. Balsa González – M.E. Segade Pampín


Los autores comienzan el desarrollo del libro en la Grecia clásica para terminar en la edad

moderna. A través de los 7 primeros capítulos van recorriendo los avances y descubrimientos

científicos más importantes de cada época acerca de la luz y la visión. Los dos últimos capítulos se

salen de este recorrido: en el penúltimo capítulo se entra en detalle sobre la composición y

funcionamiento del ojo y la visión humana y en el último capítulo se trata de como a lo largo de la

historia se fue discutiendo acerca de la composición de los colores.

El primer capítulo comienza en la Grecia clásica tratando acerca de las primeras aproximaciones

del funcionamiento de la visión humana; los grandes filósofos y científicos de la época dudaban entre

si los ojos emitían o captaban los rayos, así como la trayectoria que seguía la luz. En el siguiente

capítulo le toca el turno a la Edad de Oro del islam y como los grandes científicos árabes

fundamentaban su conocimiento en la experimentación; a diferencia de la Grecia clásica, más teórica y

filosófica. En esta etapa se parte de los trabajos de los grandes filósofos griegos como Aristóteles y

Euclides, se empieza a estudiar el ojo humano, la composición del color y la velocidad de la luz. Se

detallan los grandes trabajos de Alhacén en óptica.

Durante los siguientes capítulos se trata de la revolución científica en la edad moderna. Los

científicos producen notables avances durante esta época en contraste con los siglos anteriores. En los

siglos XVI y XVII aparecen grandes personajes que desarrollan la óptica geométrica: Kepler,

Descartes, Fermat, etc. Kepler construye el primer telescopio refractante que permite una observación

más precisa de los objetos astronómicos, lo que conlleva a los siguientes descubrimientos sobre los

astros y el comportamiento de la luz. La ley de refracción o de Snell y el principio de Fermat son

algunos de los conocimientos más relevantes de esta época.

A medida que avanzan la complejidad de las teorías, experimentos y demostraciones científicas

los autores emplean figuras para ayudarse en la explicación de los conceptos, como por ejemplo en el

capítulo de corpúsculos y ondas donde los autores hacen un inciso sobre los elementos de una onda y

se relaciona la longitud de onda y su velocidad de transmisión con la frecuencia.

Siguiendo el desarrollo del libro llegamos al punto en el que los científicos aún no tienen clara

la naturaleza de la luz, Newton y Huygens se contraponen, el primero tiene la idea de que la luz tiene

una naturaleza corpuscular y su comportamiento puede modelarse por la teoría de la gravitación, el

segundo científico que la luz tiene una naturaleza ondulatoria, por lo que la define como una distorsión

de la materia. No será hasta siglos después se resuelva esta discusión.

En el libro se detallan los experimentos y demostraciones de Fresnel y el experimento propuesto

por Poisson acerca de las interferencias provocadas por la difracción de las ondas provenientes de un

punto luminoso y también se detalla el experimento de la rendija de Young que demuestra la teoría

ondulatoria de Huygens. La revolución empieza con la relación del campo eléctrico y el magnético de

Faraday y posteriormente las ecuaciones de Maxwell que definen esta relación.

En el siguiente capítulo se entra en la época de la mecánica cuántica y la teoría de la relatividad.

En esta etapa se trata el papel primordial de Einstein junto con otros grandes científicos coetáneos en

la que se desarrolla el modelo del espacio-tiempo, en el cual el tiempo pasa a ser una dimensión más

junto con el espacio. Con la mecánica cuántica la naturaleza de la luz quedará definida como una

dualidad onda-corpúsculo. En este momento quedan definidas y sin relación entre si la mecánica

clásica y la mecánica cuántica, Einstein trató de encontrar alguna relación sin resultados.

Los dos últimos capítulos del libro se salen de la línea cronológica y tratan sobre dos puntos: la

visión humana y la teoría de los colores. En el primero se explican y detallan los componentes y el

¿Qué sabemos de? Las matemáticas de la luz Reseña: J.F. Balsa González – M.E. Segade Pampín



funcionamiento del ojo además del papel que juega el cerebro en la visión, el segundo trata sobre los

colores y como se compone toda la gama de colores visibles por el ojo humano.

Se puede decir que es un libro de divulgación ya que trata de forma somera los contenidos

científicos y se centra en la historia de las investigaciones sobre cómo funciona la luz, los colores y el

ojo humano. Es de destacar el detalle sobre la vida y obra de los científicos más relevantes en cada

etapa, estas aclaraciones ayudan al lector a contextualizar el momento histórico como otros trabajos de

los científicos.

J.F. Balsa González (Universidade da Coruña)

M.E. Segade Pampín (Universidade da Coruña)

José Francisco Balsa González Facultad de Ingeniería Informática. Universidade da Coruña


María Elena Segade Pampín. Facultad de Ciencias de la Educación. Universidade da Coruña.




ISSN: 1887-1984




M. C. Escher Calidociclos

Doris Schattschneider

Wallace Walker

EDITORIAL TASCHEN

ISBN 10: 3822806757

ISBN 13: 9783822806753

96 páginas

Año 2015

Un calidociclo es un objeto tridimensional construido con tetraedros (6, 8, 10 o cualquier otro número

par superior) y tiene la curiosa propiedad de que se puede girar de dentro a fuera mediante un giro

anular. Combinando su peculiar forma con algunas de las más bellas imágenes de M.C. Escher, los

autores consiguieron ingeniosamente trasladar a la tridimensionalidad los maravillosos diseños de

Escher.

Creado por la matemática Doris Schattschneider y el diseñador gráfico Wallace Walker, este libro

explora las implicaciones espaciales de los diseños bidimensionales de Escher. Cada ejemplar cuenta

con reproducciones y diagramas para hacer las figuras, instrucciones de ensamblaje y una fascinante

lectura de unas 30 páginas sobre los principios geométricos y los desafíos artísticos que subyacen a la

transformación de los diseños de Escher en los modelos tridimensionales. El kit proporciona las


M. C. Escher Calidociclos Reseña: M. Sagasti Escalona


cartulinas de papel troquelado necesarias para que, al desplegarse, a lo largo de los bordes perforados,

los diseños del artista se transformen en complejos objetos intrincados y entrelazados con los patrones

de flores, mariposas, lagartos y conchas marinas propios de M.C. Escher. Contiene materiales para

hacer 17 modelos tridimensionales diferentes.

Los patrones intrincados, geometrías elegantes y fantásticos gráficos son el distintivo del mágico

mundo visual del artista holandés Maurits Cornelis Escher (1898-1972). Misteriosas y matemáticas a

la vez, sus obras han cautivado a científicos, académicos y también a una gran parte de la cultura

popular, inspirando videojuegos, portadas de libros, películas, dibujos animados, carteles, carátulas,

rompecabezas y hasta construcciones de LEGO como “Escher's "Relativity" in LEGO®”.

Este libro pone las sorprendentes creaciones teseladas de Escher en tus propias manos, para que

puedas formar curiosas figuras geométricas con ellas. Para que vayas practicando, aquí encontrarás la

plantilla (polyhedra.net) para hacer un caleidociclo octogonal:

https://www.polyhedra.net/en/model.php?name-en=octagonal-kaleidocycle

María Sagasti Escalona (Universidad de Almería)

https://www.polyhedra.net/en/model.php?name-en=octagonal-kaleidocycle


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Etnomatemáticas

Entre las tradiciones y la modernidad

Ubiratan D’Ambrosio

EDITORIAL DÍAZ DE SANTOS

ISBN 978-84-9969-457-3

118 páginas

Año 2013

El autor en este libro hace una serie de reflexiones sobre la Etnomatemática, que es una

corriente de educación matemática que tiene especial importancia en América, y nos presenta un

análisis de la matemática en la cultura occidental y su contribución a la conformación de la identidad

latinoamericana. El objetivo de este libro cuya reseña presentamos es plasmar la importancia de la

matemática en las diversas culturas, y mostrar cómo las especificidades de cada grupo cultural pueden

modificar la concepción de la matemática.

En el capítulo 1, el autor argumenta la importancia de la Etnomatemática. El imaginario

europeo se vio estimulado por el descubrimiento del continente americano, donde se encuentran otras

formas de pensar y entender el conocimiento del medio. En pleno apogeo del colonialismo aumenta el

interés de las naciones europeas, por conocer otros pueblos y tierras del planeta. Surgen grandes


Etnomatemáticas. Entre las tradiciones y la modernidad Reseña: L. López Martín


expediciones científicas en los siglos XVIII y XIX, entre las de Alexander von Humboldt que defiende

un racionalismo eurocéntrico, reconociendo en los demás pueblos algo fundamental que diferencia sus

conocimientos. Al finalizar la Primera Guerra Mundial, el filósofo alemán Spengler entiende la

matemática como una manifestación cultural viva, que se ve reflejada en catedrales y templos, en

plena integración con otros elementos de la cultura, que hoy en día entenderíamos como

contextualización de la matemática con todos los ámbitos de la vida. Por todo ello, podemos entender

la Etnomatemática como un programa de investigación cuyo objetivo es entender el saber y el hacer

matemático a lo largo de la historia de la humanidad, contextualizado en diversos grupos de interés, ya

sean comunidades, pueblos o naciones. Las diversas formas de hacer y de saber que caracterizan una

cultura forman parte del conocimiento y del comportamiento de estas comunidades. Estas maneras de

saber y de hacer están fuertemente interrelacionadas.

La geometría y los calendarios son excelentes ejemplos también de Etnomatemática asociada al

sistema de producción y de respuesta a primeras necesidades de las sociedades organizadas. La

geometría es el resultado de la práctica de los faraones para distribuir la alimentación al pueblo en los

años de baja productividad, y distribuir y medir las tierras después de las inundaciones. Los

calendarios, a su vez, sintetizan el conocimiento y comportamiento que se necesitan para el éxito de

las etapas de cultivo, cosecha y almacenamiento.

En el capítulo 2 el autor nos muestra su visión de las diversas dimensiones de la

Etnomatemática. La respuesta a los impulsos de supervivencia y de trascendencia en la cuestión

existencial de la especie humana nos marca la dimensión conceptual. En cuanto a la dimensión

histórica encontramos en la modernidad una incorporación del raciocinio cuantitativo gracias a la

aritmética y culminado con las computadoras. Encontramos la dimensión cognitiva en las ideas

matemáticas en los procesos de comparar, clasificar, cuantificar, medir, explicar, generalizar y evaluar,

que están presentes en toda la especie humana. Respecto a la dimensión educativa podemos aclarar

que la propuesta de la Etnomatemática no significa el rechazo de la matemática académica; hoy en día

esos conocimientos y comportamientos que están incorporados en la modernidad sintetizan una ética

del respeto, solidaridad y cooperación. El razonamiento cualitativo, también llamado analítico, gana

importancia en el mundo moderno y se usa en áreas de investigación contextualizada como la

estadística, probabilidad, programación, modelización, fractales y la inteligencia artificial.

Finalmente en el capítulo 4 el autor hace un análisis del cambio del sistema educativo. Para

organizar los conocimientos se ha propuesto recientemente un trivium a partir de los conceptos de

literacia, materacia y tecnoracia. Podríamos definir la literacia como la capacidad de procesar la

información escrita y hablada en cualquier medio comunicativo (instrumentos comunicativos). La

materacia sería la capacidad de interpretar y analizar señales y códigos y elaborar abstracciones sobre

representaciones de lo real (instrumentos analíticos). Finalmente, define la tecnoracia como la

capacidad de usar y combinar instrumentos, evaluando sus posibilidades y limitaciones en situaciones

diversas (instrumentos materiales).

El carácter holístico de la educación implica que el alumnado sea un individuo que sea capaz de

conseguir sus aspiraciones y responder a sus inquietudes, insertándose en la sociedad utilizando

estrategias de ella para cumplir las expectativas, que incluyen los agentes y los instrumentos para

ejecutarlas y siendo el contenido parte de la estrategia.

Se trata pues, de un libro dirigido a lectores que tengan interés en tener visión general de la

etnomatemática, centrada sobre todo en los aspectos teóricos.

Luis López Martín


ISSN: 1887-1984




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Congresos

Fecha: 11 al 14 de Diciembre de 2019.

Lugar: Mexicali. Baja California. México.

Organiza: Univeridad Autónoma de Baja Califonia.

Convoca: Red de Centros de Investigación en Matemáticas Educativa.

Información: http://eime.org/

Fecha: 12 y 13 de Diciembre de 2019.

Lugar: Puerto Montt. Chile.

Convoca: Sociedad Chilena de Educación Matemática.

Información: http://www.jornadasmatematica.cl/



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C

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The 8th European

Congress of Mathematics

Fecha: Del 5 al 11 d Julio del 2020.

Lugar: Eslovenia.

Convoca: European Mathematical Society.

Información: https://www.8ecm.si/

Fecha: Del 12 al 19 de Julio del 2020.

Lugar: Shanghai, China.

Convoca: The International Mathematical Union (IMU)

Información: https://www.icme14.org/



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S

Fecha: Del 20 al 24 de Julio de 2020.

Lugar: Montevideo. Uruguay.

Convoca: Unión Matemática de América Latina y el Caribe.

Información: https://www.clam2020.cmat.edu.uy/

Fecha: Del 7 al 9 de Julio de 2021.

Lugar: Cracovia. Polonia.

Convoca: Red de Investigación de Aprendizaje.

Información: https://sobreaprendizaje.com/congreso-2021


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Fecha: 8 al 12 de Julio de 2021.

Lugar: Faculdade de Ciências Exatas e Tecnologias da Pontifícia Universidade Católica de Sao

Paulo (PUC-SP). Brasil.

Organiza: Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM)

Convoca: Federación Iberoamericana de Sociedades de Educación Matemática (FISEM)

Información: https://www.pucsp.br/es.cibem2021/




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1. Podrá presentar sus artículos para publicar cualquier persona, salvo los miembros del Comité editorial y los

de la Junta Directiva de la Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas.

2. Los trabajos se enviarán por correo electrónico a la dirección: [email protected]

3. Los trabajos presentados para su posible publicación deben ser originales y no estar en proceso de revisión

o publicación en ninguna otra revista.

4. Se presentarán dos versiones del artículo. Una versión con toda la información y otra “versión ciega”, en la

que se hayan eliminado todas las referencias a los autores del trabajo. Tanto en el cuerpo como en la

bibliografía.

5. Los artículos remitidos para publicar deben tener las siguientes características:

Se enviarán en el formato de la plantilla que se encuentra en la página web de la revista.

Tendrán un máximo de 25 páginas incluidas notas, tablas, gráficas, figuras y bibliografía.

Los datos de identificación de los autores deben figurar en la última página: nombre, dirección electrónica,

dirección postal, teléfono. Con el fin de garantizar el anonimato en el proceso de evaluación, esos datos

sólo estarán en esta última página.

Al final del artículo se incluirá una breve nota biográfica (no más de cinco líneas) de cada uno de los

autores, en la que se puede incluir lugar de residencia, centro de trabajo, lugar y fecha de nacimiento,

títulos, publicaciones... Se indicarán las instituciones a las que pertenecen.

Hay que incluir un Resumen de no más de diez líneas y una relación de palabras clave; también, en inglés,

un Abstract y un conjunto de keywords.

Se hará figurar las fechas de recepción y aceptación de los artículos.

Tipo de letra Times New Roman, tamaño 11 e interlineado sencillo. Es importante no cambiar el juego de

caracteres, especialmente evitar el uso del tipo “Symbol” u otros similares.

Para las expresiones matemáticas debe usarse el editor de ecuaciones.

Las figuras, tablas e ilustraciones contenidas en el texto deberán ir incluidas en el archivo de texto (no

enviarlas por separado).

Las referencias bibliográficas dentro del texto deben señalarse indicando, entre paréntesis, el autor, año de

la publicación y página o páginas (Freudenthal, 1991, pp. 51-53).

Al final del artículo se incluirá la bibliografía, que contendrá las referencias citadas en el texto, ordenadas

alfabéticamente por el apellido del primer autor, de acuerdo con el siguiente modelo:

o Para libro: Lovell, K. (1999). Desarrollo de los conceptos básicos matemáticos y científicos en los

niños. Madrid: Morata.

o Para capítulo de libro, actas de congreso o similar: Fuson, K. (1992). Research on whole number

addition and subtraction. En Grouws, D. (ed.) Handbook of Research on Mathematics Teaching and

Learning, 243-275. MacMillan Publishing Company: New York.

o Para artículo de revista: Greeno, J. (1991). Number sense as situated knowing in a conceptual domain.

Journal for Research in Mathematics Education, 22 (3), 170-218.

o Para artículo de revista electrónica o información en Internet: Cutillas, L. (2008). Estímulo del

talento precoz en matemáticas.Números [en línea], 69. Recuperado el 15 de febrero de 2009, de

http://www.sinewton.org/numeros/

6. Los artículos recibidos se someterán a un proceso de evaluación anónimo por parte de colaboradores de la

Revista. Como resultado del mismo, el Comité editorial decidirá que el trabajo se publique, con

modificaciones o sin ellas, o que no se publique.

7. El autor recibirá los comentarios de los revisores y se le notificará la decisión del Comité Editorial. Si a

juicio de los evaluadores el trabajo es publicable con modificaciones, le será devuelto al autor con las

observaciones de los árbitros. El autor deberá contestar si está de acuerdo con los cambios propuestos,

comprometiéndose a enviar una versión revisada, indicando los cambios efectuados, en un periodo no

mayor de 3 meses. De no recibirse en ese plazo, el Comité Editorial dará por sentado que el autor ha

desistido de su intención de publicar en la Revista.


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