Noções de Estatística ESTRATÉGIA.pdf

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P/ CAIXA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS

Prof. Arthur Lima – Aula 10

Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 1

AULA 10: NOÇÕES DE ESTATÍSTICA

SUMÁRIO PÁGINA

1. Teoria 01

2. Resolução de exercícios 49

3. Lista de questões vistas na aula 117

4. Gabarito 150

Olá. Nesta aula veremos alguns aspectos de Estatística para cobrirmos o

tópico abaixo do seu edital:

Noções de probabilidade e estatística

Daremos mais ênfase à área conhecida como “Estatística descritiva”. Uma

boa aula para todos nós!

1. TEORIA

A Estatística divide-se em dois ramos principais:

a) Estatística Descritiva (ou Dedutiva): tem por objetivo descrever um

conjunto de dados, resumindo as suas informações principais. Fazem parte deste

ramo tanto as técnicas para coletar os dados (técnicas de amostragem) quanto as

técnicas para o cálculo dos principais parâmetros (características) daquele grupo de

dados coletados. Também fazem parte deste ramo da Estatística as técnicas para a

apresentação de dados em tabelas e gráficos, bem como o cálculo de medidas

utilizadas para resumir estes dados (média, moda, mediana, desvio padrão, etc.).

b) Estatística Inferencial (ou Indutiva): tem por objetivo inferir/induzir, a partir

das informações de um conjunto de dados (amostra), informações sobre um

conjunto mais amplo (população). A teoria da Probabilidade faz parte deste ramo,

pois nela o nosso objetivo é, a partir do conhecimento de um fenômeno (ex.:

lançamento de um dado), inferir possíveis resultados para a ocorrência de um

determinado evento. Também fazem parte da estatística inferencial os testes de




hipóteses, que visam obter conclusões sobre uma população a partir da análise de

um subconjunto desta (amostra).

Nos próximos tópicos trabalharemos conceitos de Estatística Descritiva, que

nos permite conhecer noções básicas deste Estatística exigidas pelo seu edital.

1.1 ESTATÍSTICA DESCRITIVA

Para começarmos o estudo da Estatística Descritiva precisamos conhecer

alguns conceitos básicos:

- População: é o conjunto de todas as entidades sob estudo. Possui pelo menos

uma característica em comum que permite delimitar os seus integrantes. Ex.:

População dos moradores de Brasília; população dos alunos da escola A;

população dos animais de estimação do meu bairro;

- Censo: quando efetuamos o censo de uma população, analisamos todos os

indivíduos que compõem aquela população. Por exemplo: podemos contar um por

um os moradores de Brasília, ou todos os alunos da escola A, ou todos os animais

de estimação de meu bairro. Normalmente o nosso interesse não é simplesmente

contá-los, mas sim verificar um determinado atributo, ou característica que esses

indivíduos possuem. Exemplificando, pode ser que queiramos saber, de todos os

moradores de Brasília, quantos são Homens, ou quantos tem mais de 1,80m de

altura, ou quantos ganham mais que R$1.000,00 por mês.

- Amostra: em muitos casos é inviável, custoso ou desnecessário, observar um por

um dos membros de uma determinada população. Se queremos saber qual o

percentual de homens na população de Brasília, podemos analisar um subconjunto

daquela população, isto é, uma amostra. Se a amostra for suficientemente grande (e

bem escolhida, de acordo com o que veremos nesta aula), é possível que o

percentual de homens da amostra seja muito parecido com o que seria obtido se

analisássemos toda a população.

- Variável: é um atributo ou característica (ex: sexo, altura, salário etc.) dos

elementos de uma população que pretendemos avaliar.




- Observação: trata-se do valor que a variável assume para um determinado

membro da população. Ex.: a observação da variável SEXO referente a João,

membro da população brasiliense, tem valor “Masculino”.

Uma variável pode ser classificada em:

o qualitativa, quando não assume valores numéricos, podendo ser

dividida em categorias. Ex.: o sexo dos moradores de Brasília é uma

variável qualitativa, pois pode ser dividido nas categorias Masculino ou

Feminino. Se o objetivo fosse verificar quantos moradores possuem

AIDS, teríamos outra variável qualitativa, dividida nas categorias SIM e

NÃO.

o quantitativa, quando puder assumir diversos valores numéricos. Ex.: a

altura dos moradores é uma variável quantitativa: 1,80m; 1,55m;

1,20m; 2,10m etc. O mesmo ocorre com os salários desses

moradores. As variáveis quantitativas podem ser ainda divididas em:

� contínuas: quando não é possível separar o valor de uma

variável em relação ao próximo valor que ela possa assumir.

Ex.: a variável Altura é contínua. Se alguém tem exatamente

1,80m, qual o valor de altura imediatamente seguinte? 1,81m?

Errado, pois é possível que alguém tenha, por exemplo,

1,80000001m. Ou 1,80000000001m. É impossível saber qual o

valor que vem logo após (ou antes de) 1,80m, ou seja, essa

variável é contínua.

� discretas: quando podemos saber o valor que vem

imediatamente após (ou antes de) outro. Ex.: se nos dissessem

que só é possível medir as pessoas até a segunda casa

decimal, então a variável Altura torna-se discreta. Isso porque




sabemos que o próximo valor de altura é 1,81m, e o valor

anterior é 1,79m.

Chamamos uma variável de Variável Aleatória quando ela pode assumir, de

maneira aleatória (“ao acaso”), qualquer dos seus valores. Em estatística

trabalharemos sempre com variáveis aleatórias, que representamos por letras

maiúsculas. Ex.: X pode ser a variável idade dos moradores de Brasília. Utilizamos

letras minúsculas para representar valores específicos daquela variável.

Exemplificando, x = 25 anos é um dos valores possíveis para a variável aleatória X.

Finalizando, é preciso que você saiba que as variáveis aleatórias podem ser

classificadas em:

- variáveis nominais: são aquelas definidas por “nomes”, não podendo ser

colocadas em uma ordem crescente. Ex.: a variável “sexo dos moradores de

um bairro” é nominal, pois só pode assumir os valores “masculino” ou

“feminino”. Veja que não há uma ordem clara entre esses dois possíveis

valores (não há um valor maior e outro menor).

- variáveis ordinais: são aquelas que podem ser colocadas em uma ordem

crescente, mas não é possível (ou não faz sentido) calcular a diferença entre

um valor e o seguinte. Ex.: numa escola onde as notas dos alunos sejam

dadas em letras (A, B, C, D ou E), sabemos que a menor nota é “E” e a maior

é “A”. Porém não podemos mensurar quanto seria, por exemplo, a subtração

A – B.

- variáveis intervalares: são aquelas que podem ser colocadas em uma

ordem crescente, e é possível calcular a diferença entre um valor e o

seguinte. Ex.: se as notas dos alunos forem dadas em números (de 0 a 10),

sabemos que a nota 5 é maior que a nota 3, e que a diferença entre elas é

5 – 3 = 2.

Antes de prosseguir, trabalhe esta questão:




1. CESPE – CORREIOS – 2011) Julgue os itens seguintes, relacionados aos

conceitos de estatística.

( ) Escolaridade e número de filhos são exemplos de variáveis quantitativas

ordenável e discreta, respectivamente.

RESOLUÇÃO:

A variável “Escolaridade” pode assumir valores como: Nível Fundamental,

Nível Médio, Nível Superior, Pós Graduação etc. Trata-se, portanto, de uma variável

qualitativa, e não quantitativa. Isto já torna o item ERRADO.

Já a variável número de filhos é, de fato, quantitativa. Trata-se realmente de

uma variável discreta, uma vez que o número de filhos pode ser {0, 1, 2, 3 ...}, mas

não pode assumir qualquer valor entre 0 e 1, ou entre 1 e 2, por exemplo.

Resposta: E

1.1.1 TABELAS

Como já vimos, a estatística descritiva tem por objetivo descrever um

conjunto de dados, resumindo as suas informações principais. Para isso, as tabelas

e gráficos estatísticos são ferramentas muito importantes. Vamos começar tratando

das tabelas.

Para descrever um conjunto de dados, um recurso muito utilizado são tabelas

como essa abaixo, referente à observação da variável “Sexo dos moradores de

Brasília”:

Valor da variável Frequências (Fi)

Masculino 23

Feminino 27

Note que na coluna da esquerda colocamos as categorias de valores que a

variável pode assumir, e na coluna da direita colocamos o número de Frequências,

isto é, o número de observações relativas a cada um dos valores. Note que foi

analisada uma amostra de 50 pessoas, das quais 23 eram homens e 27 mulheres.

Estes são os valores de frequências absolutas. Podemos ainda representar as




frequências relativas (percentuais): sabemos que 23 em 50 são 46%, e 27 em 50

são 54%. Portanto, teríamos:

Valor da variável Frequências relativas (Fi)

Masculino 46%

Feminino 54%

Se essa amostra foi bem escolhida, ela nos dá uma boa estimativa de como

é distribuída a população brasiliense: cerca de 46% são homens e 54% mulheres.

Quanto maior a amostra (e mais bem escolhida), mais nos aproximaremos dos

percentuais que seriam obtidos na análise de toda a população.

Note que a frequência relativa é dada por Fi / n, onde Fi é o número de

frequências de determinado valor da variável, e n é o número total de observações.

Agora, veja a tabela abaixo, referente à observações da variável Altura dos

moradores de Brasília:


1,50m 15

1,51m 5

1,53m 4

1,57m 2

1,60m 10

1,63m 8

1,65m 1

1,71m 20

1,73m 10

1,75m 3

1,83m 2

Quando temos uma variável como esta, que pode assumir um grande

número de valores distintos, é interessante “resumir” os dados, criando intervalos de

valores para a variável (que chamaremos de classes). Veja um exemplo:

Classe Frequências (Fi)

1,50| – 1,60 26

1,60| – 1,70 19




1,70| – 1,80 33

1,80| – 1,90 2

O símbolo | significa que o valor que se encontra ao seu lado está incluído na

classe. Por exemplo, 1,50| - 1,60 nos indica que as pessoas com altura igual a 1,50

são contadas entre as que fazem parte dessa classe, porém as pessoas com

exatamente 1,60 não são contabilizadas.

Assim, temos as seguintes formas de criar as classes, onde “li” é o limite

inferior da classe (menor valor, ex.: 1,50) e “Li” é o limite superior (o maior valor, ex.:

1,60):

- li| – Li : limite inferior incluído na classe

- li – |Li : limite superior incluído na classe

- li| – |Li : limite inferior e superior incluídos na classe

- li – Li : limite inferior e superior excluídos da classe

Veja abaixo novamente a última tabela, agora com a coluna Frequências

absolutas acumuladas à direita:

Classe Frequências (Fi) Frequências absolutas

acumuladas (Fac)

1,50| – 1,60 26 26

1,60| – 1,70 19 45

1,70| – 1,80 33 78

1,80| – 1,90 2 80

A coluna da direita exprime o número de indivíduos que se encontram naquela

classe ou abaixo dela. Isto é, o número acumulado de frequências do valor mais

baixo da amostra (1,50m) até o limite superior daquela classe. Veja que, para obter

o número 45, bastou somar 19 (da classe 1,60| - 1,70) com 26 (da classe 1,50| -

1,60). Isto é, podemos dizer que 45 pessoas possuem altura inferior a 1,70m (limite

superior da última classe). Analogamente, 78 pessoas possuem altura inferior a

1,80m.

De posse das frequências absolutas acumuladas, podemos calcular as

frequências relativas acumuladas, que nada mais é que o percentual de indivíduos




cujo valor da variável (altura) é inferior a um determinado limite. Veja isso na coluna

da direita da tabela abaixo:

Classe Frequências

(Fi)

Frequências absolutas

acumuladas (Fac)

Frequências relativas

acumuladas (Frc)

1,50| – 1,60 26 26 32,50%

1,60| – 1,70 19 45 56,25%

1,70| – 1,80 33 78 97,50%

1,80| – 1,90 2 80 100%

Portanto, podemos concluir que 32,50% dos indivíduos observados possuem

menos de 1,60m. Já 56,25% possuem menos de 1,70m, e 97,50% tem menos de

1,80. Por fim, todos os indivíduos (100%) tem altura inferior a 1,90m, já que o maior

valor observado foi 1,83m.

Note que, para calcular o valor das frequências relativas acumuladas (Frc),

bastou dividir o valor das frequências absolutas acumuladas (Fac) por n, que é o

total de observações (n = 80 neste exemplo).

1.1.2 GRÁFICOS

Gráficos também são muito utilizados no estudo da Estatística Descritiva. O

principal deles, conhecido como Histograma, é um gráfico de barras que representa,

no seu eixo horizontal, as classes de valores que uma variável pode assumir, e em

seu eixo vertical os valores das frequências de cada classe. Para exemplificar,

vamos utilizar os dados da tabela abaixo, que já usamos anteriormente:

Classe Frequências

(Fi)

Frequências absolutas

acumuladas (Fac)

Frequências relativas

acumuladas (Frc)

1,50| – 1,60 26 26 32,50%

1,60| – 1,70 19 45 56,25%

1,70| – 1,80 33 78 97,50%

1,80| – 1,90 2 80 100%

O histograma das frequências de cada classe seria assim:




Note que, de fato, temos 26 frequências na classe 1,50| - 1,60; 19 na classe

1,60| - 1,70; e assim sucessivamente. Podemos traçar ainda o gráfico das

frequências absolutas acumuladas, que normalmente é representado por uma linha

como esta abaixo:

Este gráfico de freqüências acumuladas acima, onde ligamos os pontos

extremos (limites superiores) das classes de valores, é conhecido como ogiva.

Chamamos a figura formada no gráfico de polígono de freqüências.

Note que no gráfico de frequências acumuladas colocamos apenas o limite

superior de cada classe de dados.




Veja, por exemplo, que o ponto “A” no gráfico nos indica que 78 frequências

ocorrem abaixo de 1,80m. Finalmente, veja o gráfico das freqüências relativas

acumuladas:

Aqui, o ponto A nos indica que 97,50% das frequências são iguais ou

inferiores a 1,80m.

Observe agora o seguinte Histograma, relativo à observação das idades dos

moradores de um determinado bairro:

Note que esse gráfico possui um pico na classe de 30 a 40 anos, e à medida

que as classes se afastam desta (para a esquerda ou para a direita), a quantidade




de frequências é igual, dando um aspecto de simetria (ex.: temos 15 frequências

tanto no intervalo 20 - |30 como no intervalo 40 - |50).

Podemos ter também histogramas assimétricos. Neste abaixo, temos uma

assimetria à direita (assimetria positiva), pois temos o pico em 10-20 anos e os

dados se estendem para a direita (sentido positivo), assumindo valores de até 70

anos.

Já o histograma abaixo apresenta um caso de assimetria à esquerda

(negativa) , onde os dados se estendem para a esquerda (sentido negativo):

Antes de prosseguirmos, vejamos dois exercícios sobre gráficos e tabelas

estatísticas.




Instruções: Para resolver a questão seguinte, considere a tabela de frequências

relativas abaixo, que mostra a distribuição dos valores arrecadados, em 2008, sobre

determinado tributo, referente a um ramo de atividade escolhido para análise. Sabe-

se que:

I. As frequências absolutas correspondem às quantidades de recolhimentos, sendo

as frequências relativas do segundo e terceiro intervalos de classe iguais a x e y,

respectivamente.

II. O terceiro intervalo possui o dobro do número de recolhimentos do segundo

intervalo.

2. FCC – SEFAZ/SP – 2009 – Adaptada) A porcentagem de recolhimentos com

valores arrecadados maiores ou iguais a R$ 3.000,00 é

(A) 70%

(B) 65%

(C) 55%

(D) 45%

(E) 40%

RESOLUÇÃO:

Observe que as freqüências relativas somam 1, ou seja, 100%. Ou seja:

0,10 + x + y + 0,20 + 0,10 = 1

x = 0,60 – y

Como foi dito que o número de recolhimentos do terceiro intervalo é o dobro

do número de recolhimentos do segundo, então também podemos dizer que as

freqüências relativas do terceiro intervalo (y) são o dobro das freqüências relativas

do segundo (x):

y = 2x




Substituindo y por 2x na primeira equação, temos:

x = 0,60 – 2x

3x = 0,60

x = 0,20

Com isso,

y = 2x = 2.0,20 = 0,40

Com isso, temos a seguinte tabela:

Valores

arrecadados (R$)

Frequências

relativas

1000 |--- 2000 0,10

2000 |---3000 0,20

3000 |--- 4000 0,40

4000 |--- 5000 0,20

5000 |--- 6000 0,10

TOTAL 1,00

Assim, a porcentagem de valores arrecadados iguais ou superiores a 3000

reais é a soma das frequências relativas das três classes mais altas:

0,40 + 0,20 + 0,10 = 0,70 = 70%

Resposta: A

3. ESAF – IRB - 2006) No campo estatístico, ogivas são:

a) polígonos de freqüência acumulada.

b) polígonos de freqüência acumulada relativa ou percentual.

c) histograma de distribuição de freqüência.

d) histograma de distribuição de freqüência relativa ou percentual.




e) o equivalente à amplitude do intervalo.

RESOLUÇÃO:

A ogiva, como vimos ao estudar os gráficos estatísticos, é uma figura

formada no gráfico contendo, no eixo horizontal, os pontos extremos (limites

superiores) dos intervalos de classes de dados, e no eixo vertical as frequências

acumuladas. Reveja abaixo o exemplo que usamos na aula:

Como você pode ver, trata-se de um gráfico de freqüências acumuladas.

Resposta: A

1.1.3 MEDIDAS ESTATÍSTICAS

Além dos gráficos e tabelas, outro recurso importante para a estatística

descritiva é o uso de medidas estatísticas. Estas medidas tem por objetivo auxiliar o

entendimento de um conjunto de dados, resumindo-os e apresentando as suas

características mais relevantes. Dividimos as medidas estatísticas em alguns

grupos. Temos as medidas de posição (ou tendência central), medidas de dispersão

(ou variabilidade), medidas de associação e medidas de assimetria. Nesta aula

trabalharemos as medidas mais importantes: de posição e de dispersão.

1.1.3.1 MEDIDAS DE POSIÇÃO

As medidas de posição, ou de tendência central, nos fornecem pontos de

referência para interpretar uma distribuição de dados. Trata-se de “posições




características” que podem ser usadas para resumir toda a distribuição. A título de

exemplo, ao invés de apresentar toda uma distribuição de idades dos eleitores de

uma cidade, eu poderia fornecer-lhe apenas a idade média destes eleitores. Este

valor é um resumo daquela distribuição – e como todo resumo, ele acaba por omitir

algumas informações.

As principais medidas de posição são: média, moda e mediana. Vejamos

cada uma delas.

� Média aritmética:

É a soma de todos os valores da variável observada, dividida pelo total de

observações. Vamos usar a tabela abaixo para calcular a altura média:


1,50m 15

1,51m 5

1,53m 4

1,57m 2

1,60m 10

1,63m 8

1,65m 1

1,71m 20

1,73m 10

1,75m 3

1,83m 2

Veja que precisaremos somar as alturas de todos os indivíduos observados,

e a seguir dividor pelo número de indivíduos. Temos 15 indivíduos com 1,50m,

portanto a soma de suas alturas é 15 x 1,50 = 22,50m. Analogamente, temos 5

indivíduos com 1,51m, somando 5 x 1,51 = 7,55m. E assim por diante. Somando as

alturas de todos os indivíduos, temos:

Soma = 1,50x15 + 1,51x5 + 1,53x4 + 1,57x2 + 1,60x10 + 1,63x8 + 1,65x1 + 1,71 x

20 + 1,73x10 + 1,75x3 + 1,83x2 = 130,41m




Dividindo esse valor pelo total de indivíduos (isto é, soma de frequências Fi),

temos a média:

Média = 130,41 / 80 = 1,63m

Portanto, a fórmula para o cálculo da média de uma variável aleatória X é:

1

n

i

XiMédia

n==∑

Caso tenhamos dados em uma tabela de frequências como a que vimos

acima, a média é dada por:

1

1

( )n

in

i

Xi FiMédia

Fi

=

=

×=∑

∑

Nessas fórmulas, Xi representa cada um dos valores que a variável X (ex.:

altura) pode assumir, e Fi representa a frequência referente a cada um desses

valores.

Já se tivermos os dados agrupados em classes, devemos utilizar a seguinte

fórmula para calcular a média:

1

1

( )n

in

i

PMi FiMédia

Fi

=

=

×=∑

∑

Nessa fórmula, PMi é o ponto médio da classe “i”. Por exemplo, se temos a

classe 1,50|---1,60, o ponto médio será o valor PM = 1,55 (que é justamente a

média aritmética entre o limite inferior e superior da classe).

Comece a praticar os conceitos de média aritmética resolvendo essas

questões:

Instruções: Para resolver à questão seguinte (FCC – SEFAZ/SP – 2009), considere

a tabela de frequências relativas abaixo, que mostra a distribuição dos valores

arrecadados, em 2008, sobre determinado tributo, referente a um ramo de atividade

escolhido para análise. Sabe-se que:






respectivamente.

II. A média aritmética da distribuição, valor arrecadado por recolhimento, é igual a

R$ 3.350,00 (valor encontrado considerando que todos os valores incluídos num

certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo).

4. FCC – SEFAZ/SP – 2009) A porcentagem de recolhimentos com valores

arrecadados maiores ou iguais a R$ 3.000,00 é

(A) 70%

(B) 65%

(C) 55%

(D) 45%

(E) 40%

RESOLUÇÃO:

Observe que o total de frequências é igual a 1. Ou seja:

0,10 + x + y + 0,20 + 0,10 = 1

x = 0,60 - y

Os pontos médios de cada faixa de valores arrecadados são dados pela

média aritmética entre os limites inferior e superior de cada faixa. Assim, estes

pontos médios (PMi) são, respectivamente: 1500, 2500, 3500, 4500 e 5500. Com

isso, podemos calcular a média através da fórmula:




1

1

( )

1500 0,10 2500 3500 4500 0,20 5500 0,10

1

3350 150 2500 3500 900 550

2500 3500 1750

25 35 17,5

n

in

i

PMi FiMédia

Fi

x yMédia

x y

x y

x y

=

=

×=

× + × + × + × + ×=

= + + + +

+ =

+ =

∑

∑

Como sabemos que x = 0,60 – y, podemos efetuar essa substituição na

equação acima:

25 (0,60 – y) + 35y = 17,5

15 – 25y + 35y = 17,5

10y = 2,5

y = 0,25

Portanto, x = 0,60 – y = 0,60 – 0,25 = 0,35.

O total de frequências com recolhimentos acima de 3000 reais é dado pela

soma das frequências das últimas 3 classes da tabela:

y + 0,20 + 0,10 = 0,25 + 0,20 + 0,10 = 0,55

Como o total de frequências na tabela é igual a 1, então podemos dizer que

0,55 corresponde a 55% dos recolhimentos.

Resposta: C

Vejamos algumas propriedades relativas à média de um conjunto de dados

(muito cobradas!!!):

- somando-se ou subtraindo-se um valor constante em todas as observações,

a média desse novo conjunto será somada ou subtraída do mesmo valor. Ex.:

se somarmos 3cm na altura de cada pessoa, a média passará de 1,63m para

1,66m.




- multiplicando-se ou dividindo-se todos os valores observados por um valor

constante, a média desse novo conjunto será multiplicada ou dividida pelo

mesmo valor. Ex.: se dividirmos todas as alturas encontradas por 2, a média

também será dividida por 2, tornando-se igual a 0,815m.

- a soma das diferenças entre cada observação e a média é igual a zero. Ex.?

A diferença entre a observação 1,51m e a média 1,63m é de –0,12m. Já a

diferença entre a observação 1,80m e a média 1,63m é de 0,17m. Somando

todas as diferenças, obteremos o valor zero.

- O valor da média é calculado utilizando todos os valores da amostra.

Portanto, qualquer alteração nesses valores poderá alterar a média. Assim,

costumamos dizer que a média é afetada pelos valores extremos da

distribuição. Ex.: se incluíssemos na amostra uma pessoa com 2,00m, ou

outra com apenas 0,60m, isso alteraria a média.

Veja essa questão, que é relativa às propriedades da média:

5. DOM CINTRA - PREF. PALMAS - 2010) A média aritmética das 25 notas de uma

prova de matemática foi igual a 6,0. Se o professor aumentar 0,5 em cada uma

dessas 25 notas, e, em seguida, calcular a média de todas elas, o valor encontrado

por ele será de:

a) 5,5

b) 6,0

c) 6,5

d) 7,0

e) 7,5

RESOLUÇÃO:

Aqui podemos usar uma das propriedades da média: se somarmos uma

constante k a todos os membros de uma amostra, a nova média será igual à

anterior, somada de k.

Portanto, se somamos k = 0,5 na nota de cada um dos alunos, basta somar

0,5 na média anterior e obtemos a nova média: 6 + 0,5 = 6,5.

Resposta: C.




� Mediana:

É a observação “do meio” quando os dados são organizados do menor para o

maior. Abaixo da mediana encontram-se 50% (metade) das observações, e a outra

metade encontra-se acima da mediana. Se temos n dados em uma distribuição, a

mediana será termo que se encontra na posição (n+1)/2. Vamos encontrar a

mediana para o conjunto de dados abaixo:

Valor da variável (altura) Frequências (Fi)

1,50m 15

1,51m 5

1,53m 4

1,57m 2

1,60m 10

1,63m 8

1,65m 1

1,71m 20

1,73m 10

1,75m 3

1,83m 3

Observe que temos 81 dados (acrescentei um a mais na altura 1,83m). Além

disso, veja que os valores da variável altura estão ordenados do menor para o maior

nessa tabela. Portanto, a mediana será o valor da posição (81+1)/2 = 41, isto é, a

41ª posição, pois existem 40 valores abaixo dele e outros 40 acima.

Para encontrar o 41º valor, precisamos obter as frequências acumuladas.

Valor da variável Frequências (Fi) Frequências absolutas

acumuladas (Fac)

1,50m 15 15

1,51m 5 20

1,53m 4 24

1,57m 2 26

1,60m 10 36

1,63m 8 44

1,65m 1 45




1,71m 20 65

1,73m 10 75

1,75m 3 78

1,83m 3 81

Veja que até a altura 1,60m temos 36 pessoas. Temos mais 8 pessoas na

altura 1,63m (abrangendo do 37º até o 44º). Portanto, a posição 41 tem altura igual

a 1,63m. Isto é, mediana = 1,63m.

Se tivéssemos um número par de elementos, a conta (n+1)/2 não teria

resultado exato. Nesse caso a mediana seria dada pela média dos dois valores

centrais da amostra. Veja o exemplo abaixo, no qual temos listadas a idade de 10

pessoas:

{ 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 11}

Veja que as idades já estão ordenadas da menor para a maior. Como temos

10 valores (número par), então (n+1)/2 = (10+1)/2 = 5,5. Não temos um elemento

central, que seria a mediana. Ao invés disso, vamos utilizar a média dos dois

elementos centrais, isto é, o 5º e o 6º elementos. Eles estão marcados em

vermelho:

{ 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 11}

A Mediana será igual a (7 + 8)/2 = 7,5. Pratique o conceito resolvendo este

exercício:

6. ESAF – SEFAZ/SP – 2009) Determine a mediana das seguintes observações:

17, 12, 9, 23, 14, 6, 3, 18, 42, 25, 18, 12, 34, 5, 17, 20, 7, 8, 21, 13, 31, 24, 9.

a) 13,5

b) 17

c) 14,5

d) 15,5

e) 14

RESOLUÇÃO:

Primeiramente devemos colocar as observações em ordem crescente:




3, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 12, 12, 13,14, 17, 17, 18, 18, 20, 21, 23, 24, 25, 31, 34, 42

Temos ao todo 23 observações, ou seja, n = 23. Como n é ímpar, então a

mediana será a observação na posição (n+1)/2 = (23+1)/2 = 12ª.

A décima segunda observação é igual a 17. Portanto, Mediana = 17.

Resposta: B

Muitas questões de concurso costumam exigir que o aluno conheça o método

de cálculo de mediana através de interpolação linear dos intervalos de classe. Esse

método é utilizado quando temos os dados distribuidos em intervalos de classes.

Vamos aprender a usá-lo através de um exemplo. A tabela abaixo apresenta os

intervalos de alturas de uma certa população, como já vimos anteriormente nesta

aula. Com base nisso, vamos obter a altura mediana.

Classe Frequências (Fi) Frequências absolutas

acumuladas (Fac)

1,50| – 1,60 26 26

1,60| – 1,70 19 45

1,70| – 1,80 33 78

1,80| – 1,90 2 80

1º passo: calcular a divisão n/2, onde n é o número total de frequências, obtendo a

posição da mediana.

Em nosso exemplo, n = 80 indivíduos, portanto a posição da mediana é 80/2

= 40. (muito cuidado, pois quando usamos esse método não calculamos (n+1)/2,

como vimos anteriormente).

2º passo: identificar a classe onde se encontra a mediana

Observe a coluna de frequências acumuladas. Veja que o elemento da

posição 40 encontra-se na classe 1,60|--1,70 (pois esta classe vai do 26 ao 45).

Portanto, essa é a classe da mediana.

3º passo: montar a proporção entre as frequências acumuladas e os limites da

classe da mediana




Neste passo vamos montar duas retas paralelas, como você vê abaixo, uma

delas com as frequências acumuladas e a outra com os valores de alturas

correspondentes:

Frequências: 26 40 45

|-----------------------------|----------------|

Valores: 1,60 X 1,70

|-----------------------------|----------------|

Repare eu associei (coloquei um abaixo do outro):

- a última frequência da classe anterior (26) com o limite de altura daquela classe

(1,60), que também é o limite inferior da classe da mediana;

- a frequência da mediana (40) com o valor da mediana (X), que buscamos;

- a última frequência da classe da mediana (40) com o limite de altura dessa classe

(1,70).

Feito isso, basta montar a proporção abaixo:

superior mediana superior mediana

superior inferior superior inferior

freq - freq valor - valor=

freq - freq valor - valor

Neste exemplo, teríamos:

45 - 40 1,70 - X=

45 - 26 1,70 - 1,60

Feito isso, basta encontrar o valor de X, que neste caso é X = 1,67m. Esta é

a mediana pelo método da interpolação linear. Exercite este método com a questão

abaixo:

7. FCC – SEFAZ/SP – 2006) O histograma de frequências absolutas abaixo

demonstra o comportamento dos valores arrecadados de um determinado tributo,

no ano de 2005, em uma região a ser analisada:




Observação: Considere que todos os intervalos de classe do histograma são

fechados à esquerda e abertos à direita.

Utilizando as informações contidas nesse histograma, calculou-se a média

aritmética destes valores arrecadados, considerando que todos os valores incluídos

num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo.

Também calculou-se a mediana de tais valores pelo método da interpolação linear.

Então, o módulo da diferença entre a média aritmética e a mediana é igual a:

a) R$100,00

b) R$400,00

c) R$800,00

d) R$900,00

e) R$1000,00

RESOLUÇÃO:

Para facilitar o nosso trabalho, vamos escrever os dados do gráfico em

tabela, e já calcular o ponto médio de cada intervalo de classe:

Classe (milhares de reais) Ponto Médio Frequências (Fi)

1 |--- 2 1,5 200

2 |--- 3 2,5 400

3 |--- 4 3,5 500

4 |--- 5 4,5 600

5 |--- 6 5,5 300

Assim, a média será:




1

1

( )1,5 200 2,5 400 3,5 500 4,5 600 5,5 300

3,7200 400 500 600 300

n

in

i

PMi FiMédia

Fi

=

=

×× + × + × + × + ×= = =

+ + + +

∑

∑

Veja que os valores no gráfico estão em milhares de reais, portanto a média

é de R$3700,00.

Para obter a mediana, veja que temos n = 2000 frequências ao todo. Pelo

método da interpolação linear, a mediana será o termo correspondente à posição

n/2 = 1000. Esta posição encontra-se no intervalo de 3 a 4 mil reais, como você

pode ver na tabela abaixo:

Classe (milhares de

reais)

Ponto Médio Frequências (Fi) Frequências

acumuladas (fac)

1 |--- 2 1,5 200 200

2 |--- 3 2,5 400 600

3 |--- 4 3,5 500 1100

4 |--- 5 4,5 600 1700

5 |--- 6 5,5 300 2000

Montando a proporção, temos:


|-----------------------------|----------------|

Valores: 3 X 4

|-----------------------------|----------------|

Assim, temos:

− −=− −

=

4 1100 10004 3 1100 600

3,8

X

X

Portanto, a mediana é igual a R$3800,00 reais. A diferença entre a média e a

mediana é de R$100,00.




Resposta: A

Para finalizar o estudo da Mediana, note que ela é um único número para um

determinado conjunto de observações. Não existem duas medianas para o mesmo

conjunto. Além disso, o seu valor não é afetado pela troca de algum valor extremo

(máximo ou mínimo) na distribuição. Para exemplificar, veja essas duas

distribuições:

3, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 12, 12, 13,14, 17, 17, 18, 18, 20, 21, 23, 24, 25, 31, 34, 42

e

3, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 12, 12, 13,14, 17, 17, 18, 18, 20, 21, 23, 24, 25, 31, 57, 88

Apesar de eu ter trocado dois termos extremos da primeira para a segunda

distribuição, ambas possuem a mesma mediana. Repare que a média se altera

(neste caso, a média da segunda distribuição certamente seria maior).

� Moda:

A moda é o valor da observação com maior número de frequências, ou

repetições (isto é, é o valor que está “na moda”). Ao contrário da média e da

mediana, que são valores únicos, uma amostra pode ter 1, 2 ou mais modas (ser

unimodal, bimodal etc.). Veja este conjunto de idades:

{ 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 11}

Note que a idade 8 é a que aparece mais vezes (3 vezes). Portanto, a moda

deste conjunto é igual a 8. Já na tabela de alturas, que reproduzo novamente, a

moda é a altura de 1,71m, pois ela aparece 20 vezes:


1,50m 15

1,51m 5

1,53m 4

1,57m 2

1,60m 10

1,63m 8




1,65m 1

1,71m 20

1,73m 10

1,75m 3

1,83m 3

Para fixar o que vimos até aqui, resolva a questão abaixo:

8. ESAF – SEFAZ/CE – 2006) O conjunto de notas dos alunos de uma determinada

prova é: {10, 5, 3, 4, 5, 10, 3, 8, 9, 3}. Assim, podemos dizer que a moda, média e

mediana deste conjunto são, respectivamente:

a) 3, 6 e 5.

b) 3, 4 e 5.

c) 10, 6 e 5.

d) 5, 4 e 3.

e) 3, 6 e 10.

RESOLUÇÃO:

Vamos obter inicialmente a mediana, colocando os dados em ordem

crescente:

3, 3, 3, 4, 5, 5, 8, 9, 10, 10

Veja que temos n = 10 notas. Como n é um número par, a mediana será a

média aritmética das duas notas centrais. Calculando (n+1)/2 = (10+1)/2 = 5,5,

vemos que as notas centrais são a da 5ª e 6ª posições. Na quinta posição temos

uma nota 5, e na sexta posição outra nota 5. Portanto, a mediana será (5 + 5)/2 = 5.

A moda é aquela nota que mais se repete. Neste caso, a nota 3 repete-se

três vezes, portanto esta é a moda.

A média é calculada pela soma das notas, dividido pela quantidade de notas:

3 3 3 4 5 5 8 9 10 10 606

10 10X

+ + + + + + + + += = =

Resposta: A




Os problemas mais difíceis envolvendo moda são aqueles onde é dada uma

tabela com classes de valores para a variável, como esta abaixo (que também já

utilizamos nessa aula):

Classe Frequências (Fi)

1,50| – 1,60 26

1,60| – 1,70 19

1,70| – 1,80 33

1,80| – 1,90 2

Para calcular a moda, você precisará seguir os seguintes passos:

1. Descobrir qual é a classe modal (CM). A classe modal é aquela que

apresenta o maior número de frequências. Neste caso, trata-se da classe

1,70| - 1,80, que apresenta 33 frequências. Já sabemos que a moda está ali

dentro, isto é, será um valor entre 1,70 e 1,80. Veja que o limite inferior dessa

classe é li = 1,70. Note ainda que todas as classes tem amplitude de 0,10m,

isto é, a diferença entre o menor (li) e maior (Li) valor da classe é de 0,10m.

2. Identificar a classe posterior (post) e a classe anterior (ant). Neste caso, a

classe posterior é a de 1,80| - 1,90, que possui 2 frequências; e a classe

anterior é a de 1,60| - 1,80, com 19 frequências.

3. Aplicar uma das duas fórmulas abaixo, dependendo do método de cálculo da

moda indicado pelo exercício:

a. Moda de King:

fpostModa li c

fant fpost

= + × +

Nesta fórmula, li é o limite inferior da classe modal (li = 1,70), c é a amplitude

da classe modal (c = Li – li), fpost é o número de frequências da classe posterior

(fpost = 2) e fant é o número de frequências da classe anterior (fant = 19). Portanto,

a moda será:

21,70 0,10 1,7095

2 19Moda m

= + × = +




b. Moda de Czuber:

2 ( )

fcm fantModa li c

fcm fant fpost

−= + × − +

Nessa fórmula fcm é o número de frequências da classe modal, que neste

caso é fcm = 33. Portanto, a moda em nosso exemplo será:

33 191,70 0,10 1,731

2 33 (19 2)Moda m

−= + × = × − +

Note que os valores obtidos são diferentes, motivo pelo qual você precisará

saber as duas fórmulas. Se a questão não especificar o método, sugiro tentar

primeiramente o método de Czuber.

E note um grande diferencial do método de Czuber: ele é o único que leva

em conta, no cálculo, as frequências da Classe Modal! Exercite esta fórmula com a

questão abaixo:

Instruções: Considere a distribuição de freqüências a seguir para resolver a próxima

questão.

9. FCC – BACEN – 2006) O valor da moda, obtida com a utilização da Fórmula de

Czuber*, é igual a (desprezar os centavos na resposta)

Dados:

* max

2. max ( )Z Zant

Moda Li hZ Zant Zpost

−= +− +

em que:

Li = limite inferior da classe modal




h = intervalo de classe modal

Zmax = freqüência da classe modal

Zant = freqüência da classe anterior à classe modal

Zpost = freqüência da classe posterior à classe modal

a) R$3201,00

b) R$3307,00

c) R$3404,00

d) R$3483,00

e) R$3571,00

RESOLUÇÃO:

Veja que a classe que apresenta maior número de freqüências é aquela entre

3000-4000 reais, com Zmax = 16 frequências. Essa é a classe modal. O seu limite

inferior é Li = 3000 reais, e o seu intervalo é de h = 1000 reais.

A classe anterior é a de 2000-3000 reais, que possui Zant = 8 frequências. E

a classe posterior é a de 4000-5000 reais, que possui Zpost = 10 frequências.

Assim, podemos aplicar a fórmula de Czuber:

max2. max ( )

16 83000 1000

2.16 (8 10)

83000 1000 3571,42

14

Z ZantModa Li h

Z Zant Zpost

Moda

Moda

−= +− +

−= +− +

= + =

Resposta: E

Finalizando o estudo da Moda, veja que o seu valor não é afetado pelos

valores extremos (mínimos e máximos) da distribuição. Isto é, a moda destas duas

distribuições abaixo é a mesma:

{ 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 11}

e

{ 1, 2, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 11}

Conhecendo a média, mediana e moda de uma amostra, podemos

determinar a simetria daquela distribuição de dados. Veja isso na tabela abaixo:




Simetria Média, Mediana e Moda

Simétrica Média = Mediana = Moda*

Assimétrica positiva (à direita) Média > Mediana > Moda

Assimétrica negativa (à esquerda) Média < Mediana < Moda

* se unimodal.

Você não precisa decorar essa tabela. Inicialmente, veja um exemplo de

distribuição simétrica, e perceba que, de fato, a média, mediana e moda encontram-

se na mesma posição:

Quanto às distribuições assimétricas, basta lembrar que uma curva com

assimetria negativa tem esse nome porque possui uma “cauda” para o lado

esquerdo, isto é, para o sentido negativo do eixo horizontal; e uma curva com

assimetria positiva possui uma cauda voltada para o sentido positivo do eixo

horizontal.

A existência de um prolongamento para um dos lados afeta a média,

“puxando-a” naquele sentido. Por exemplo, na curva com assimetria negativa, a

média é “puxada” para a esquerda, tornando-se a menor das três medidas de

posição. A moda corresponde ao pico da curva (maior número de freqüências), que

neste caso é “puxado” para a direita, tornando a moda o maior dos três valores:

Média, Mediana e

Moda




No caso da assimetria positiva, a cauda se estende para a direita, puxando a

média para este lado. A moda é puxada para a esquerda, pois há um pico de

frequências à esquerda. Veja:

Sobre este assunto, veja essa questão:

10. ESAF – IRB – 2006) Sendo a moda menor que a mediana e, esta, menor que

média, pode-se afirmar que se trata de uma curva

a) Simétrica.

b) Assimétrica, com freqüências desviadas para a direita.

c) Assimétrica, com freqüências desviadas para a esquerda.

média mediana moda

moda mediana média




d) Simétrica, com freqüências desviadas para a direita.

e) Simétrica, com freqüências desviadas para a esquerda.

RESOLUÇÃO:

No gráfico de distribuição de freqüências, a moda se localiza na posição onde

temos um pico de freqüências. Se a moda é o menor valor, ela está deslocada para

o lado esquerdo do eixo de valores (eixo horizontal). Isto significa que temos um

pico de freqüências à esquerda. Teremos também um prolongamento dos dados

para a direita, o que “puxa” a média para este lado, tornando-a maior que as demais

medidas de posição:

Assim, estamos diante de uma distribuição Assimétrica Positiva (à direita).

Resposta: B

� Quartis, decis e percentis:

Assim como a mediana divide os dados em 2, os quartis dividem os dados em 4.

Isto é, abaixo do primeiro quartil estão ¼, ou 25% das observações. Dele até o

segundo quartil, outros 25%. E assim por diante. Note que o segundo quartil é a

própria mediana, pois 50% dos dados são inferiores a ele. Para exemplificar, vamos

utilizar novamente a tabela abaixo:


1,50m 15

1,51m 5

1,53m 4

1,57m 2

1,60m 10




1,63m 8

1,65m 1

1,71m 20

1,73m 10

1,75m 3

1,83m 2

Veja que temos 80 observações (frequências), isto é, n = 80.

O primeiro quartil (Q1) está localizado na posição (n+1)/4, que neste caso é

(80+1)/4 = 20,25. Veja que não existe a posição 20,25. Precisamos, portanto, fazer

a média entre o valor da posição 20 e o da posição 21. Na posição 20 temos 1,51m,

e na posição 21 temos 1,53m. Portanto, Q1 = (1,51 + 1,53)/2 = 1,52m. Ou seja, 25%

dos indivíduos observados possuem altura inferior a 1,52m.

Já o segundo quartil (Q2) é a própria mediana, localizada na posição

2(n+1)/4, ou simplesmente (n+1)/2. Com n = 80, o Q2 está na posição 40,5. Como

essa posição não existe, precisamos fazer a média entre o valor da posição 40 (que

é 1,63m) e o da posição 41 (que também é 1,63m). Portanto, Q2 = (1,63 + 1,63)/2 =

1,63m. Isto é, 50% dos dados encontram-se abaixo de 1,63m.

O terceiro quartil (Q3) está na posição 3(n+1)/4, que neste caso é igual a

60,75. Fazendo a média entre o valor da posição 60 (1,71) e o da posição 61

(também 1,71), temos que Q3 = 1,71m. Isto é, 75% das observações encontram-se

abaixo de 1,71m.

Resumindo, temos:

Quartil Posição

1 (n+1)/4

2 2(n+1)/4

3 3(n+1)/4

Analogamente aos quartis, que dividem os dados em 4 grupos, temos os

decis (que dividem em 10 grupos) e os percentis (que dividem em 100 grupos). Veja

que a mediana, o 2º quartil, o 5º decil e o 50º percentil são o mesmo valor.

Chamamos de amplitude interquartílica a distância entre o 1º e o 3º quartis de

uma distribuição, ou seja:

AI = Q3 – Q1




O método da interpolação linear usado para o cálculo da mediana pode ser

aplicado aqui, com as devidas adaptações. Observe isso na questão abaixo:

11. ESAF – AFRFB – 2003) Considere a tabela de freqüências seguinte

correspondente a uma amostra da variável X. Não existem observações

coincidentes com os extremos das classes.

Assinale a opção que corresponde à estimativa do valor x da distribuição amostral

de X que não é superado por cerca de 80% das observações.

a) 10.000

b) 12.000

c) 12.500

d) 11.000

e) 10.500

RESOLUÇÃO:

Para resolver essa questão vamos usar os mesmos conceitos de

interpolação linear que vimos no estudo da mediana. Através da coluna de

freqüências relativas (%) acumuladas, veja que a observação que se encontra na

posição 80% está na classe de 10.000 – 12.000.

Assim, podemos montar a seguinte proporção:

Frequência: 77% 80% 89%

|-----------------------------|----------------|

Valores: 10000 X 12000

|-----------------------------|----------------|

Assim, temos a proporção:




0,89 0,80 120000,89 0,77 12000 10000

X− −=− −

0,09 120000,12 2000

X−=

X = 10500

Portanto, podemos dizer que 80% das observações são iguais ou inferiores a

10500.

Resposta: E

Obs.: observe que nessa questão o que obtivemos foi o valor do 8º decil (D8),

ou do 80º percentil (P80) da distribuição. Desta mesma forma você consegue obter

qualquer quartil, decil ou percentil solicitado por uma questão.

1.1.3.1 MEDIDAS DE VARIABILIDADE

As medidas de dispersão (ou variabilidade) medem o grau de espalhamento

dos dados de uma distribuição. Se você anotar as idades dos seus colegas de

faculdade, provavelmente verá que a maioria deles se concentra numa faixa muito

estreita (talvez entre 19 e 24 anos), com evidente predominância dos jovens,

havendo um ou outro caso que destoa dessa faixa. Agora, se você tentar anotar as

idades das pessoas que frequentam uma determinada praia, verá que a dispersão é

muito maior, isto é, existem quantidades significativas de crianças, jovens, adultos e

idosos.

Para quantificar essa dispersão (ou variabilidade) existem diversas medidas,

dentre as quais as principais são: a variância, o desvio padrão e o coeficiente de

variação.

� Variância:

Chamamos de variância a média do quadrado das distâncias de cada

observação até a média aritmética. Complicado? Vamos por partes...

A distância de uma observação Xi até a média aritmética X é dada pela

subtração iX X− . O quadrado desta distância é 2( )iX X− . A média do quadrado




dessas distâncias é dado pelo somatório de todos os valores 2( )iX X− , dividido pelo

total de observações (n). Portanto, a fórmula da variância é:

2

2 1

( )n

iX XVariancia

nσ

−= =

∑

Como você viu nesta fórmula, costumamos simbolizar a variância por 2σ .

Exemplificando, vamos calcular a variância do seguinte conjunto de dados: {1, 3, 5,

5, 8, 9}. Repare que temos n = 6 elementos, cuja média é:

1 3 5 5 8 96

6X

+ + + + += =

Assim, a variância é:

22 2 2 2 2 2

2 1

2

( )(1 6) (3 6) (5 6) (5 6) (8 6) (9 6)

625 9 1 1 4 9

8,166

n

iX X

nσ

σ

−− + − + − + − + − + −= =

+ + + + += =

∑

Esta é a fórmula básica da variância. Entretanto, dependendo do exercício

pode ser que seja mais conveniente usar alguma das fórmulas a seguir, que são

meras variações desta primeira:

� Caso os dados estejam em uma tabela de frequências (fi):

2

2 1

1

[ ( ) ]n

i i

n

i

f X X

fσ

× −=∑

∑

� Caso os dados estejam em uma tabela de frequências, porém agrupados em

intervalos de classes, devemos usar os pontos médios PMi no lugar dos

valores individuais Xi:

2

2 1

1

[ ( ) ]n

i i

n

i

f PM X

fσ

× −=∑

∑




Veja que em todas as fórmulas para cálculo da variância é preciso

inicialmente obter o valor da média da população. Entretanto, a fórmula abaixo nos

permite encontrar a variância sem precisar calcular a média: 2

2

1 12

1n n

i ii i

X Xn

nσ = =

− =

∑ ∑

Veja que, nesta fórmula, só é preciso obter o valor do somatório das

observações (1

n

ii

X=∑ ), bem como o somatório dos quadrados das observações

( 2

1

n

ii

X=∑ ), que são cálculos relativamente fáceis.

Se os dados estiverem agrupados, você pode alterar esta última fórmula,

utilizando a seguinte: 2

2

1 12

1( ) ( )

n n

i i i ii i

X f X fn

nσ = =

× − × =

∑ ∑

E se estiverem em intervalos de classes, você pode utilizar os pontos médios: 2

2

1 12

1( ) ( )

n n

i i i ii i

PM f PM fn

nσ = =

× − × =

∑ ∑

ATENÇÃO: todas as fórmulas vistas acima permitem calcular a variância de

uma POPULAÇÃO. Caso o exercício apresente apenas uma amostra da população,

devemos fazer uma pequena alteração nas fórmulas acima, calculando a variância

AMOSTRAL, que é simbolizada por s2. Esta alteração consiste em subtrair uma

unidade (1) no denominador das fórmulas.

Exemplificando, ao invés de

2

2 1

( )n

iX X

nσ

−=∑

, teremos:

2

2 1

( )

1

n

iX Xs

n

−=

−

∑




Analogamente, ao invés de

2

2 1

1

[ ( ) ]n

i i

n

i

f X X

fσ

× −=∑

∑, teremos:

2

2 1

1

[ ( ) ]

1

n

i i

n

i

f X Xs

f

× −=

−

∑

∑

E ao invés de

2

2

1 12

1( ) ( )

n n

i i i ii i

PM f PM fn

nσ = =

× − × =

∑ ∑, usaremos:

2

2

1 12

1( ) ( )

1

n n

i i i ii i

PM f PM fn

sn

= =

× − × =

−

∑ ∑

Resolva as questões abaixo antes de prosseguir:

12. ESAF – ATRFB – 2009) Obtenha o valor mais próximo da variância amostral da

seguinte distribuição de frequências, onde xi representa o i-ésimo valor observado e

fi a respectiva frequência.

xi : 5 6 7 8 9

fi : 2 6 6 4 3

a) 1,429.

b) 1,225.

c) 1,5.

d) 1,39.

e) 1,4.

RESOLUÇÃO:

Aqui temos uma amostra, e não uma população. Portanto, a fórmula da

variância é:

2

2 1

( )( )

1

n

Xi XVariancia amostra S

n

−= =

−

∑

O primeiro passo é calcular a média, que é dada por:




1

1

( )n

in

i

Xi FiMédia

Fi

=

=

×=∑

∑

5 2 6 6 7 6 8 4 9 3 1477

2 6 6 4 3 21Média

× + × + × + × + ×= = =+ + + +

Para o cálculo da variância, temos:

2 2 2 2 22 (5 7) 2 (6 7) 6 (7 7) 6 (8 7) 4 (9 7) 3 30

1,521 1 20

S− × + − × + − × + − × + − ×= = =

−

Resposta: C

13. ESAF – SEFAZ/SP – 2009 – Adaptada) Considerando que uma série de

observações constituem uma amostra aleatória simples X1, X2, ..., Xn de uma

variável aleatória X, determine o valor mais próximo da variância amostral, usando

um estimador não tendencioso da variância de X.

Considere que:

a) 96,85

b) 92,64

c) 94,45

d) 90,57

e) 98,73

RESOLUÇÃO:

Para resolver essa questão é preciso lembrar que a variância pode ser

calculada com a seguinte fórmula, sem a necessidade de obtenção da média

amostral:




2

2

1 12

1

1= =

− =

−

∑ ∑n n

i ii i

X Xn

sn

Veja que foi dado que n = 23, e que:

2

1

8676=

=∑n

ii

X e 1

388=

=∑n

ii

X

Portanto,

( )2

2 2

1 12

2

1 18676 388

231 23 1

96,84

= =

− − = =

− −=

∑ ∑n n

i ii i

X Xn

sn

s

Resposta: A

� Desvio padrão ( σ ):

Obtida a variância, fica fácil calcular o desvio-padrão de uma população ou

amostra. Basta tirar a raiz quadrada da variância. Isto é:

Desvio padrão Variância=

Assim, podemos dizer que 2σ σ= (desvio padrão populacional) e que

2s s= (desvio padrão amostral).

Lembrando que o desvio-padrão e a variância são medidas de dispersão dos

dados, é bom você saber que, quanto maiores estes valores forem, mais

espalhados estão os dados (caso da praia), e quanto menor, mais próximos estão

os dados (caso da faculdade).

Resolva a questão a seguir:

14. CESPE – MEC – 2009) Merendas escolares demandadas em 10 diferentes

escolas:

200, 250, 300, 250, 250, 200, 150, 200, 150, 200.

Com base nessas informações, julgue os próximos itens.




( ) A mediana da distribuição do número diário de merendas escolares é igual a

225.

( ) O desvio padrão amostral dos números diários de merendas escolares é

superior a 50.

RESOLUÇÃO:


225.

Para obter a mediana, o primeiro passo é colocar os dados em ordem

crescente. Veja isso abaixo:

150, 150, 200, 200, 200, 200, 250, 250, 250, 300.

Temos 10 elementos, portanto n = 10. A seguir devemos calcular o valor de

(n+1)/2, que neste caso será (10+1)/2 = 5,5. Veja que não obtivemos um valor

exato, pois n é par. Assim, a mediana será a média aritmética dos dois termos

centrais da amostra, que são aqueles mais próximos da “posição” 5,5, ou seja, o 5º

e o 6º termo:

200 200200

2Mediana

+= =

Item ERRADO.


superior a 50.

O desvio padrão amostral é dado por:

2

1

( )

1

n

ii

X Xs

n=

−=

−

∑

onde n é o número de elementos (n = 10), Xi representa cada elemento da

amostra e X é a média da amostra. A média, neste caso, é:

150 150 200 200 200 200 250 250 250 300215

10X

+ + + + + + + + += =




Portanto, o desvio padrão será:

2

1

2 2 2 2

2 2 2 2

( )

1

2 (150 215) 4 (200 215) 3 (250 215) 1 (300 215)10 1

2 ( 65) 4 ( 15) 3 (35) 1 (85)9

8450 900 3675 72252250

9

n

ii

X Xs

n

s

s

s

=−

=−

× − + × − + × − + × −=−

× − + × − + × + ×=

+ + += =

∑

Observe que esse número é inferior a 50, pois 50 = 2500 . Assim, o item

está ERRADO.

Resposta: E E

É importante você conhecer as seguintes propriedades do desvio padrão e

da variância (caem bastante!):

- se somarmos ou subtrairmos um mesmo valor de todos os elementos de uma

amostra, o desvio padrão e a variância permanecem inalterados. Isso porque essas

são medidas de dispersão. Ao somar o mesmo número em todos os elementos, eles

não se tornam mais dispersos (mais espalhados), apenas deslocam-se juntos para

valores mais altos.

- se multiplicarmos ou dividirmos todos os elementos da amostra pelo mesmo valor,

o desvio padrão é multiplicado/dividido por este mesmo valor. Já a variância é

multiplicada/dividida pelo quadrado desse valor (pois ela é igual ao quadrado do

desvio padrão).

Assim, se temos uma variável X, com desvio padrão xσ , e definimos uma

variável Y como sendo Y = a.X + b (ou seja, a distribuição Y é formada pelos

mesmos termos da distribuição X, porém multiplicados por a e depois somados com

b), podemos dizer que:

- o desvio padrão de Y será: y xaσ σ= × (veja que o b nem aparece aqui);

- a variância de Y será 2 2 2y xaσ σ= ×

Em alguns casos, você pode ser apresentado a duas populações diferentes

(ex.: moradores da cidade A e da cidade B), sendo fornecidos o número de

elementos de cada amostra (nA e nB), bem como a variância de cada amostra. Com




isso em mãos, é possível calcular a variância que teria uma amostra composta pela

união dos indivíduos de A com os indivíduos de B usando a fórmula abaixo:

A A B BA B

A B

Variância n Variância nVariância

n n∪× + ×=

+

� Coeficiente de variação (CV):

Trata-se da razão entre o desvio padrão e a média, sendo normalmente

expresso na forma percentual:

CVσµ

=

Veja essa questão sobre o CV:

15. FCC – BACEN – 2006) Em um colégio, a média aritmética das alturas dos 120

rapazes é de m centímetros com uma variância de d2 centímetros quadrados (d >

0). A média aritmética das alturas das 80 moças é de (m – 8) centímetros com um

desvio padrão igual a 2021

d centímetros. Se o correspondente coeficiente de

variação encontrado para o grupo de rapazes é igual ao coeficiente de variação

encontrado para o grupo de moças, tem-se que a média aritmética dos dois grupos

reunidos é de

a) 162,0 cm

b) 164,6 cm

c) 164,8 cm

d) 166,4 cm

e) 168,2 cm

RESOLUÇÃO:

O coeficiente de variação é dado por CVσµ

= (desvio padrão dividido pela

média). O enunciado nos disse que, para os rapazes, mµ = e 2 2dσ = (portanto,

dσ = ). Portanto, o coeficiente de variação para os rapazes é:

rapazes

dCV

m

σµ

= =




Para as moças, foi dito que 8mµ = − e 20

21dσ = , levando ao seguinte

coeficiente de variação:

2021

8moças

dCV

m

σµ

= =−

Como foi dito que rapazes moçasCV CV= , então:

2021

8

dd

m m=

−

Logo,

201 21

8m m=

−

208

21m m− =

208

21m m− =

18

21m =

168m =

Portanto, a média de altura dos 120 rapazes é de 168cm, e a média de altura

das 80 moças é 160cm. Calculando a média do grupo inteiro, temos:

120 168 80 160164,8

120 80Média cm

× + ×= =+

Resposta: C

1.2 AMOSTRAGEM

Chamamos de técnicas de amostragem aquelas técnicas utilizadas para

selecionar, dentre os indivíduos de uma população, aqueles que farão parte de

nossa amostra, sobre a qual calcularemos os dados estatísticos de nosso interesse.

Existem diversas formas de se formar uma Amostra de uma determinada

população. Algumas dessas formas são chamadas de probabilísticas (casuais), pois

permitem (cientificamente) que utilizemos as técnicas de inferência estatística,

extrapolando os resultados para o restante da população, calculando margens de




erros etc. As demais formas são chamadas de não-probabilísticas (não casuais).

Apesar de muito utilizadas, elas não permitem (com o mesmo rigor) a utilização das

técnicas de inferência que estudaremos.

1.2.1 TÉCNICAS CASUAIS DE AMOSTRAGEM (PROBABILÍSTICAS):

Digamos que queremos estimar o percentual de homens residentes em um

determinado bairro. Vejamos técnicas probabilísticas para escolher uma amostra

desta população, evitando ter que analisar cada um dos moradores daquele bairro.

1.2.1.1 AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES

Uma primeira forma de amostragem probabilística é a escolha aleatória dos

indivíduos da população que farão parte da amostra (em uma lista, por exemplo).

Trata-se da amostragem aleatória (ou casual) simples. Esta amostragem pode ser

feita com reposição (onde um mesmo indivíduo pode ser escolhido mais de uma vez

para a amostra) ou sem reposição (onde cada indivíduo só pode ser escolhido uma

vez).

Repare que, para fazer uma amostragem aleatória, é preciso que você tenha

acesso aos dados de todos os indivíduos da população, para, a partir dessa

listagem, efetuar uma seleção aleatória de indivíduos.

1.2.1.2 AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA

Uma outra forma de escolher os indivíduos do bairro que farão parte da

amostra é utilizando a amostragem sistemática. Tendo a lista de todos os indivíduos

em mãos, e algumas características destes indivíduos, podemos criar um critério

para a escolha dos selecionados. Exemplificando, imagine que decidimos visitar

apenas os moradores das casas cujo número é múltiplo de 10. Veja que criamos um

sistema de escolha, motivo pelo qual esse tipo de amostragem é conhecido como

sistemático.

1.2.1.3 AMOSTRAGEM POR CONGLOMERADOS (AGRUPAMENTOS)

Ao invés de criar um sistema de escolha, como fizemos na amostragem

sistemática, podemos decidir analisar subgrupos inteiros da população. Trata-se da

amostragem por conglomerados (ou agrupamentos). Ex.: podemos selecionar,




aleatoriamente, quarteirões inteiros daquele bairro, e verificar todos os indivíduos

que ali residem.

Repare que neste exemplo, os conglomerados foram definidos como sendo

quarteirões inteiros do bairro. Esta é uma boa forma de escolha, pois os

conglomerados são mutuamente exclusivos, isto é: cada indivíduo só fará parte de 1

conglomerado.

1.2.1.4 AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA

Em alguns casos, podemos dividir a população em estratos, que são

subconjuntos da população compostos por indivíduos com algumas semelhanças

entre si. A diferença entre estratos e conglomerados é que, nos estratos, os

indivíduos devem ter alguma característica em comum que os torna mais

semelhantes, enquanto os conglomerados são meros agrupamentos com base em

um critério qualquer. Os estratos também devem ser mutuamente exclusivos, para

que cada indivíduo participe de apenas 1 estrato. Feito isso, podemos selecionar

uma quantidade de indivíduos dentro de cada estrato para efetuar a nossa análise.

Por exemplo, podemos dividir todos os moradores em intervalos de idades

(estratos): de 0 a 15 anos, de 15 a 30, de 30 a 45 etc. Feito isso, podemos analisar

uma quantidade de indivíduos dentro de cada estrato.

Como escolher a quantidade de indivíduos de cada estrato que será

analisada? Os principais métodos de escolha são:

- alocação uniforme: neste caso, escolhe-se uma quantidade igual de indivíduos

dentro de cada estrato.

- alocação proporcional: neste caso, escolhe-se quantidades de indivíduos dentro de

cada estrato de maneira proporcional à representatividade daquele estrato na

população inteira.

- alocação de Neyman (ou repartição ótima): leva em conta a variância dentro de

cada estrato da população.

1.2.2 TÉCNICAS NÃO-CASUAIS DE AMOSTRAGEM (NÃO PROBA BILÍSTICAS):




Um exemplo de técnica não-probabilística é aquela usada em algumas

pesquisas de opinião, onde o pesquisador fica em um local com grande circulação

de pessoas (ex.: estação de metrô) e vai entrevistando pessoas ao acaso

(acidentalmente). Trata-se da amostragem acidental.

Outro exemplo seria a escolha intencional, por parte do entrevistador, de

pessoas que ele acredita serem relevantes para a sua pesquisa. Trata-se da

amostragem intencional.

Outra conhecida forma de amostragem não probabilística é a amostragem

por cotas. Nela, o primeiro passo é dividir a população em grupos – como é feito nas

amostragens estratificada ou por conglomerados – e, a seguir, extrair quantidades

pré-definidas (“cotas”) de indivíduos de cada grupo para se montar a amostra. Veja

que a diferença deste tipo de amostragem para os tipos probabilísticos é que as

quantidades de indivíduos em cada grupo/estrato são pré-definidas, não

obedecendo qualquer critério estatístico.

Também temos a amostragem de voluntários. Imagine que você pretende

fazer experiências de um novo remédio, e para isso precise de cobaias. Como você

não pode obrigar pessoas a participarem do experimento, você precisa contar com

voluntários. Assim, a amostra de indivíduos que você vai utilizar não tem

fundamento estatístico.

Note que escolhas ruins do tipo de amostragem podem levar a conclusões

absurdas. Exemplificando, digamos que queremos estimar o percentual de homens

na população de nosso bairro. Para isso, decidimos criar nossa amostra da seguinte

forma: percorrer todos os salões de beleza do bairro, anotando o número de

homens e o número de mulheres. Veja que provavelmente chegaremos a uma

conclusão absurda (muito mais mulheres do que homens). Essa distorção no

resultado se deve ao fato de que, em regra, as mulheres costumam frequentar mais

os salões de beleza do que os homens. Portanto, a nossa técnica de amostragem

foi falha.




2. RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS

Passemos agora a uma bateria de exercícios sobre todos os tópicos vistos na

aula de hoje. Tente resolvê-los antes de ler a minha resolução! E já vá preparando o

seu resumo com as fórmulas mais importantes!

16. FCC – SEFAZ/SP – 2010 – Adaptada) Em um setor de um órgão público é

realizado um levantamento com relação aos salários de seus funcionários

administrativos. O resultado pode ser visualizado na tabela abaixo.

Com relação a este levantamento, tem-se que 60% dos funcionários:

(A) ganham até 3.000 reais.

(B) ganham mais de 3.000 reais.

(C) ganham de 1.500 a 2.500 reais, inclusive.

(D) ganham de 2.000 a 3.000 reais, inclusive.

(E) ganham 1.500 ou 3.500 reais.

RESOLUÇÃO:

Como os itens versam sobre percentuais, já calculei na tabela abaixo as

freqüências relativas e as freqüências relativas acumuladas. Para isso, é importante

verificar que o total de funcionários é n = 50. Veja:

Salário Frequências (fi) Frequências

relativas

Frequências

relativas

acumuladas

1000 5 10% 10%

1500 10 20% 30%

2000 10 20% 50%

2500 12 24% 74%

3000 8 16% 90%

3500 3 6% 96%

4000 2 4% 100%

Com essa tabela em mãos, vamos analisar cada alternativa de resposta:





Falso. Veja na coluna das freqüências relativas acumuladas que 90%

ganham até 3.000 reais.


Falso. Se 90% ganham até 3.000 reais, então 100% - 90% = 10% ganham

mais de 3.000 reais.


Falso. Somando as freqüências relativas simples das linhas de 1.500, 2.000 e

2.500 reais, temos 20% + 20% + 24% = 64%.


Verdadeiro. Somando as freqüências relativas simples das linhas de 2.000,

2.500 e 3.000 reais, temos 20% + 24% + 16% = 60%.


Falso. Somando as freqüências relativas simples das linhas de 1.500 e 3.000

reais, temos 20% + 16% = 36%.

Resposta: C

17. ESAF – IRB – 2006) Histograma e Polígono de freqüência são

a) a mesma representação gráfica (idênticas) de uma distribuição de freqüência.

b) um texto descritivo e uma representação gráfica de uma distribuição de

freqüência.

c) um texto descritivo e uma função gráfica de uma distribuição de freqüência.

d) duas representações gráficas de uma distribuição de freqüência.

e) duas representações gráficas de uma distribuição de freqüência, porém com

sentidos opostos.

RESOLUÇÃO:




O histograma é o gráfico barras com a distribuição de freqüências. Já o

polígono de freqüências é o gráfico de linha representando essa mesma distribuição

de freqüências, porém utilizando apenas os limites superiores de cada classe.

Assim, ambos são representações gráficas de uma distribuição de

freqüências.

Resposta: D

18. CESPE – CORREIOS – 2011) Julgue o item a seguir:

( ) Define-se variável como o conjunto de resultados possíveis para uma

característica avaliada.

RESOLUÇÃO:

CORRETO. Considerando a característica “idade” das pessoas, definimos a

variável Idade como sendo os valores desta característica em uma determinada

amostra ou população.

Resposta: C

19. CESPE – TRE/ES – 2011)

A tabela acima apresenta uma distribuição hipotética das quantidades de eleitores

que não votaram no segundo turno da eleição para presidente da República bem

como os números de municípios em que essas quantidades ocorreram. Com base

nessa tabela, julgue os itens seguintes, relativos à análise exploratória de dados.




( ) Na tabela de frequências, o uso de intervalos de classe permite concluir que a

variável em questão é contínua.

RESOLUÇÃO:

Apesar de a tabela do enunciado ter utilizado intervalos de classe, repare que

as variáveis “número de eleitores” ou “número de municípios”, não são contínuas.

Afinal, é possível ter 20 eleitores, ou 21, mas não é possível ter 20,5 eleitores.

Trata-se de variáveis discretas. Isto torna o item ERRADO.

Porém atenção: também é possível utilizar intervalos para representar

variáveis contínuas!

Resposta: E

20. CESPE – TRE/ES – 2011)

Com base na tabela acima, referente às eleições de 2010, que apresenta a

quantidade de candidatos para os cargos de presidente da República, governador

de estado, senador, deputado federal e deputado estadual/distrital, bem como a

quantidade de candidatos considerados aptos pela justiça eleitoral e o total de

eleitos para cada cargo pretendido, julgue os itens a seguir.




( ) O histograma é a representação gráfica ideal para a distribuição de frequências

do número de candidatos aptos segundo o cargo pretendido.

( ) A variável “cargo” classifica-se como uma variável qualitativa ordinal.

RESOLUÇÃO:



Recorde-se da nossa definição de histograma: gráfico de barras que

representa, no seu eixo horizontal, as classes de valores que uma variável pode

assumir, e em seu eixo vertical os valores das frequências de cada classe.

Entretanto, a variável “cargo” é qualitativa. Assim, por mais que possamos

ordenar os cargos do menor para o maior, não podemos mensurar a diferença entre

eles para dispor na escala horizontal do gráfico. É possível, sim, fazer um gráfico de

barras que represente a variável cargo, mas este gráfico NÃO é um histograma, que

representa apenas variáveis quantitativas. Item ERRADO.


CORRETO. A variável “cargo” é qualitativa, como já dissemos, e os seus

valores podem ser ordenados do menor para o maior (de deputado estadual/distrital

até presidente da república). Assim, esta variável é “ordinal”. Se não pudéssemos

ordenar, esta variável seria qualitativa nominal. Um exemplo é a variável “sexo das

pessoas”. Esta variável pode assumir dois valores qualitativos (masculino e

feminino), porém estes valores não podem ser colocados em uma ordem crescente.

Resposta: E C

21. FCC – BACEN – 2006) A média aritmética dos salários dos 100 empregados

em uma empresa é de R$ 1500,00. Na hipótese de serem demitidos 20

empregados, que ganham cada um o salário de R$ 2500,00, e ser concedido,

posteriormente, um aumento de 10% em todos os salários dos remanescentes, a

nova média aritmética dos salários será de

a) R$ 1 375,00




b) R$ 1 350,00

c) R$ 1 345,00

d) R$ 1 320,00

e) R$ 1 300,00

RESOLUÇÃO:

Chamando de Si o salário de cada empregado, e sabendo que a média de

salários dos 100 empregados (n = 100) é 1500, podemos dizer que:

1

n

ii

SMédia

n==∑

100

11500100

ii

S==∑

Portanto,

100

1

1500 100 150000ii

S=

= × =∑

Ou seja, a soma dos salários dos 100 empregados é de 150000 reais. Retirar

20 empregados que ganham 2500 reais cada, significa retirar 20x2500 = 50000

reais desta soma, sobrando 150000 – 50000 = 100000 reais. Além disso, o número

de funcionários passou a ser de 80.

Após essa retirada, é concedido aumento de 10% para os funcionários, o que

faz a soma dos salários (100mil) aumentar em 10%, chegando a 110000 reais.

Deste modo, para obter a nova média dos salários, basta dividir a soma total

(110mil) pelo novo número de empregados (80):

Média = 110000/80 = 1375 reais

Resposta: A

22. DOM CINTRA - CREMERJ/RJ - 2011) A média aritmética das idades de 10

alunos de uma determinada turma é igual a 15 anos. Se dois alunos, um com 12

anos e outro com 18 anos, saírem dessa turma, a média aritmética das idades dos 8

alunos restantes será igual a:




A) 13

B) 14

C) 15

D) 16

E) 17

RESOLUÇÃO:

A média das idades dos 10 alunos da turma original é dada por:

1510

XiMédia

n

Xi

=

=

∑

∑

Podemos assim obter o valor da soma das idades dos alunos:

15 10 150Xi = × =∑

A soma das idades dos alunos ( Xi∑ , na fórmula acima) pode ser

representado por S + 12 + 18, ou simplesmente S + 30, onde S é a soma das idades

dos 8 alunos que restaram na turma. Substituindo isso na equação acima, temos:

150Xi =∑

S + 30 = 150

S = 120

Portanto, a soma das idades dos alunos que restaram na turma é de 120.

Como são apenas 8 alunos restantes, a nova média será:

Média = 120 / 8 = 15 (letra C)

Note que a média se manteve, mesmo com a saída de 2 alunos. Isso porque

foram retirados 2 alunos cuja média de idades era igual à média de idade do total,

isto é, 15 anos: (18+12)/2 = 15. Se tivéssemos tirados 2 alunos muito velhos ou

muito novos, a média com certeza se alteraria.

Resposta: C




23. FCC – BACEN – 2006) O histograma de freqüências absolutas a seguir foi

elaborado com base nas informações contidas na revista “O Empreiteiro”, de junho

de 2005, que demonstra o comportamento das empresas construtoras do ramo da

construção civil no Brasil que obtiveram faturamento em 2004 maior ou igual a 15

milhões de reais e menor ou igual a 120 milhões de reais

Com base nestas informações, obteve-se a média aritmética do faturamento das

empresas deste estudo, considerando que todos os valores incluídos num certo

intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo. Com

relação ao total de empresas deste histograma, o valor encontrado para esta média

pertence ao intervalo de classe que contém

a) 24% das empresas

b) 16% das empresas.

c) 9% das empresas.

d) 7% das empresas.

e) 5% das empresas.

RESOLUÇÃO:

Podemos representar os dados da tabela acima pela seguinte tabela:

Classe

(milhões de

reais)

Frequências (Fi)

15 |--- 30 31

30 |--- 45 24

45 |--- 60 16

60 |---75 9

75 |---90 5

90 |---105 7

105 |---120 8




Calculando os pontos médios de cada classe, temos:

Classe

(milhões de

reais)

Ponto médio

(milhões de

reais)

Frequências (Fi)

15 |--- 30 22,5 31

30 |--- 45 37,5 24

45 |--- 60 52,5 16

60 |---75 67,5 9

75 |---90 82,5 5

90 |---105 97,5 7

105 |---120 112,5 8

Com isso em mãos, podemos calcular o faturamento médio através da

fórmula 1

1

( )n

in

i

PMi FiMédia

Fi

=

=

×=∑

∑. A coluna da direita da tabela abaixo nos auxilia a

implementar essa fórmula:

Classe

(milhões de

reais)

Ponto médio

(milhões de

reais)

Frequências

(Fi) ×PMi Fi

15 |--- 30 22,5 31 697,5

30 |--- 45 37,5 24 900,0

45 |--- 60 52,5 16 840,0

60 |---75 67,5 9 607,5

75 |---90 82,5 5 412,5

90 |---105 97,5 7 682,5

105 |---120 112,5 8 900,0

Somando os valores da coluna da direita, temos: 1

( ) 5040=

× =∑n

i

PMi Fi . Veja

ainda que a soma da coluna das freqüências é 1

100=

=∑n

i

Fi .

Portanto, o faturamento médio é:




1

1

( )5040

50, 40100

=

=

×= = =∑

∑

n

in

i

PMi FiMédia

Fi

Este valor de faturamento (50,40 milhões de reais) está na 3ª classe (de 45 a

60 milhões de reais), que contém 16 empresas. Portanto, o percentual de empresas

que se encontram nesta classe é igual a 16/100 = 16%.

Resposta: B

24. ESAF – SEFAZ/CE - 2006) A média aritmética discreta de uma população

qualquer é dada pela seguinte formulação:

RESOLUÇÃO:




Veja que o exercício menciona POPULAÇÃO, e não AMOSTRA.

Normalmente utilizamos X para representar a média amostral, e µ para

representar a média populacional.

Portanto, a fórmula correta para a média populacional é:

iX

nµ = ∑

Temos isso na letra C.

Resposta: C

25. ESAF – SEFAZ/CE - 2006) Qual a variação (índice de aumento ou redução) do

preço médio verificado na tabela de compras abaixo?

a) 25%.

b) 33%.

c) 50%.

d) 125%.

e) 133%

RESOLUÇÃO:

Vamos calcular o preço médio em cada ano, lembrando da fórmula para a

média:

i i

i

X FMédia

F

×= ∑

∑

Veja que a coluna “Qtde.” apresenta o número de freqüências (Fi). Já a

coluna a “Valor Total” apresenta o valor da multiplicação do preço unitário Xi pelo

número de freqüências Fi , ou seja, os produtos i iX F× da fórmula acima.

Portanto, a média de cada ano será:




20 20 20 30( 0) 1,5

10 20 10 20i i

i

X FMédia ano

F

× + + += = =+ + +

∑∑

e

40 60 40 40( 1) 2

20 30 20 20i i

i

X FMédia ano

F

× + + += = =+ + +

∑∑

Portanto, de um ano para o outro o preço médio variou:

21 33,3%

1,5− =

Resposta: B

26. FCC – Banco do Brasil – 2006) Os salários dos 40 empregados de uma

empresa, em 31 de dezembro de 2005, estavam distribuídos conforme a tabela

abaixo:

Neste caso, tem-se que a média aritmética dos salários dos empregados é

(A) R$ 1 400,00

(B) R$ 1 230,00

(C) R$ 1 150,00

(D) R$ 1 100,00

(E) R$ 1 050,00

RESOLUÇÃO:

Como temos uma tabela de frequência, podemos usar a fórmula:

1

1

( )n

in

i

Xi FiMédia

Fi

=

=

×=∑

∑

400 4 550 8 1000 10 1400 16 1800 21050

4 8 10 16 2Média

× + × + × + × + ×= =+ + + +




Resposta: E

27. FCC – Banco do Brasil – 2011) Palmira faz parte de um grupo de 10

funcionários do Banco do Brasil cuja média das idades é 30 anos. Se Palmira for

excluída do grupo, a média das idades dos funcionários restantes passa a ser 27

anos. Assim sendo, a idade de Palmira, em anos, é

(A) 60.

(B) 57.

(C) 54.

(D) 52.

(E) 48.

RESOLUÇÃO:

Seja P a idade de Palmira e S a soma das idades dos 9 colegas restantes.

Como a média destes 9 colegas seria 27 anos, então:

Média dos restantes = S / 9

27 = S / 9

S = 27 x 9 = 243 anos

Como a média total, incluindo a idade de Palmira, é de 30 anos, temos que:

Média = (S + P) / 10

30 = (243 + P) / 10

P = 57 anos

Resposta: B

28. FCC – BANESE – 2012) O número de caixas eletrônicos disponíveis em cada

agência de um banco varia de acordo com o tamanho da agência. O gráfico a seguir

mostra como estão distribuídos esses caixas nas várias agências.




O número médio de caixas eletrônicos disponíveis por agência desse banco é igual

a

(A) 3,25.

(B) 3,4.

(C) 3,5.

(D) 3,6.

(E) 3,75.

RESOLUÇÃO:

A partir do gráfico temos a seguinte tabela de frequências:

Xi fi

1 10

2 15

3 49

4 33

5 37

6 6

Assim, a média é dada por:




1

1

( )n

in

i

Xi FiMédia

Fi

=

=

×=∑

∑

1 10 2 15 3 49 4 33 5 37 6 63,6

10 15 49 33 37 6Média

× + × + × + × + × + ×= =+ + + + +

Resposta: D

29. FCC – SPPREV – 2012) O professor de Biologia do Ensino Médio, após a

correção das provas de sua turma, costuma organizar uma tabela, contendo a

porcentagem de acertos em cada questão. Observe os resultados da última prova:

O professor atribuiu apenas as notas 0 (zero) ou 1,25 (um inteiro e vinte e cinco

centésimos), respectivamente, a cada questão errada ou certa e calculou a média

das notas da prova. O resultado obtido foi

(A) 6,0.

(B) 4,5.

(C) 4,0.

(D) 5,0.

(E) 5,5.

RESOLUÇÃO:

Podemos obter a nota média multiplicando o percentual de acertos em cada

questão pela pontuação do acerto (1,25). Ou seja:

Média = 40% x 1,25 + 25% x 1,25 + 75% x 1,25 + 70% x 1,25 + 60% x 1,25 + 35% x

1,25 + 45% x 1,25 + 50% x 1,25

Média = (40% + 25% + 75% + 70% + 60% + 35% + 45% + 50%) x 1,25

Média = 4 x 1,25 = 5

Resposta: D




Obs.: veja que quando trabalhamos com frequências relativas (%) não

precisamos dividir pela soma das frequências para obter a média. Isto porque a

soma das frequências relativas é de 100%, ou seja, 1.

30. FCC – TRE/SP – 2012) Em uma empresa trabalham 125 funcionários, sendo 45

com nível superior e 80 com nível médio. A média aritmética dos salários dos

funcionários com nível superior supera a dos funcionários com nível médio em R$

1.750,00 e a média aritmética de todos os 125 funcionários é igual a R$2.880,00. O

valor da soma da média aritmética dos salários dos funcionários com nível superior

com a média aritmética dos salários dos funcionários com nível médio é

(A) R$ 6.000,00.

(B) R$ 6.250,00.

(C) R$ 6.500,00.

(D) R$ 6.750,00.

(E) R$ 7.000,00.

RESOLUÇÃO:

Seja S a soma dos salários dos funcionários de nível superior, e M a soma

dos salários dos funcionários de nível médio. Portanto, as respectivas médias

salariais são:

Média nível superior = S / 45

Média nível médio = M / 80

Média total = (S + M) / 125

A média aritmética dos salários dos funcionários com nível superior supera a

dos funcionários com nível médio em R$ 1.750,00:

Média nível superior – Média nível médio = 1750

S / 45 - M / 80 = 1750

S / 45 = 1750 + M / 80

S = 78750 + 45M / 80

A média aritmética de todos os 125 funcionários é igual a R$ 2.880,00:

Média total = (S + M) / 125

2880 = (S + M) / 125

S + M = 360000




S = 360000 – M

Como S = 78750 + 45M / 80 e também S = 360000 – M, então:

78750 + 45M / 80 = 360000 – M

80M/80 + 45M/80 = 360000 – 78750

125M/80 = 281250

M = 281250 x 80 / 125

M = 180000

S = 360000 – 180000 = 180000

Assim,

Média nível superior = 180000 / 45 = 4000

Média nível médio = 180000 / 80 = 2250

A soma destas médias é 4000 + 2250 = 6250 reais.

Resposta: B

Instruções: Para resolver a questão seguinte (FCC – SEFAZ/SP – 2009), considere



escolhido para análise. Sabe-se que as frequências absolutas correspondem às

quantidades de recolhimentos, sendo as frequências relativas do segundo e terceiro

intervalos de classe iguais a x e y, respectivamente.

31. FCC – SEFAZ/SP – 2009 – Adaptada) Sabendo que x = 0,35 e y = 0,25, e

utilizando o método da interpolação linear, tem-se que o valor da respectiva

mediana é

(A) R$ 3.120,00




(B) R$ 3.200,00

(C) R$ 3.400,00

(D) R$ 3.600,00

(E) R$ 3.800,00

RESOLUÇÃO:

Como o número de frequências é n = 1, através do método de interpolação

linear sabemos que a mediana será o termo da posição n/2 = 0,5. Olhando a coluna

das frequências acumuladas (tabela abaixo), vemos que esta posição encontra-se

no intervalo de classe de 3000 a 4000 reais:

Classe (valores

arrecadados)

Frequências (Fi) Frequências

acumuladas

(fac)

1000 |--- 2000 0,10 0,10

2000 |--- 3000 0,35 0,45

3000 |--- 4000 0,25 0,70

4000 |--- 5000 0,20 0,90

5000 |--- 6000 0,10 1,00

Montando a proporção, temos:

Frequência: 0,45 0,50 0,70

|-----------------------------|----------------|

Valores: 3000 X 4000

|-----------------------------|----------------|

Assim, temos:

− −=− −

=

4000 0,70 0,504000 3000 0,70 0,45

3200

X

X

A mediana é igual a R$3200,00.

Resposta: B





questão.

32. FCC – BACEN – 2006) O valor da mediana dos salários dos empregados da

empresa XYZ, obtida pelo método da interpolação linear, é igual a:

a) R$3500,00

b) R$3625,00

c) R$3650,00

d) R$3800,00

e) R$4000,00

RESOLUÇÃO:

Na tabela dada, temos os salários distribuídos em intervalos. Ao todo temos

40 frequências, ou seja, n = 40. Portanto, o elemento que representa a mediana é o

salário que se encontra na posição n/2 = 40/2 = 20 (atenção: dividimos n por 2, e

não n+1, pois vamos utilizar o método da interpolação linear).

Incluindo uma coluna a mais na tabela, para calcular as freqüências

acumuladas, podemos ver que a freqüência 20 encontra-se no intervalo de 3000 a

4000:

Salários Frequências

simples absolutas

Frequências

acumuladas absolutas

1000 |--- 2000 2 2

2000 |---3000 8 10

3000 |--- 4000 16 26

4000 |--- 5000 10 36

5000 |--- 6000 4 40




Portanto, precisamos montar uma proporção para obter um valor entre 3000

e 4000 que seja equivalente à posição 20. Veja isso no esquema abaixo:

Frequência: 10 20 26

|-----------------------------|----------------|

Salário: 3000 X 4000

|-----------------------------|----------------|

Assim, temos:

4000 26 204000 3000 26 10

X− −=− −

Resolvendo essa equação, podemos obter o valor de X:

4000 61000 16

4000 1000 0,375

4000 375 3625

X

X

X

− =

− = ×= − =

Resposta: B

33. CEPERJ – PREF. SÃO GONÇALO – 2011) As temperaturas máximas diárias

de uma cidade, no inverno, foram medidas durante 12 dias, como é mostrado a

seguir.

21°C, 17°C, 20°C, 15°C, 23°C, 21°C, 12°C, 15°C, 15°C, 16°C, 23°C, 11°C

A moda e a mediana dessas temperaturas foram, respectivamente, de:

A) 21°C e 17,4°C

B) 23°C e 17°C

C) 15°C e 16,5°C

D) 11°C e 17°C

E) 17°C e 16°C

RESOLUÇÃO:

Colocando as temperaturas em ordem crescente, temos:

11, 12, 15, 15, 15, 16, 17, 20, 21, 21, 23, 23

A moda é o valor com maior número de frequências. Veja que o 15 repete-se

3 vezes, portanto esta é a moda.




Já a mediana é o termo da posição (n+1)/2, isto é, (12+1)/2 = 6,5. Como esta

não é uma posição exata, devemos tirar a média entre o termo anterior (6º) e o

próximo (7º), que são 16 e 17. Assim, a mediana é igual a 16,5.

Resposta: C.

34. FCC – ARCE – 2012) A tabela abaixo apresenta a distribuição de frequências

absolutas dos salários dos funcionários de uma empresa em número de salários

mínimos (S.M.):

O salário médio desses funcionários, obtido por meio dessa tabela, calculado como

se todos os valores de cada faixa salarial coincidissem com o ponto médio da

referida faixa, foi de 3,8 S.M. Nessas condições, o salário mediano dos funcionários

da empresa, calculado, através dessa tabela pelo método da interpolação linear,

está compreendido no intervalo de S.M. dado por

(A) 3,75 3,80

(B) 3,80 3,85

(C) 3,85 3,90

(D) 3,90 3,95

(E) 3,95 4,00

RESOLUÇÃO:

Reescrevendo a tabela já com os pontos médios, temos:

PMi fi

2 30

3 x – 30

4 x

5 60

A média é dada por:




1

1

( )n

in

i

PMi FiMédia

Fi

=

=

×=∑

∑

2 30 3 ( 30) 4 5 603,8

30 30 60

x x

x x

× + × − + × + ×=+ − + +

270 73,8

2 60

x

x

+=+

7,6 228 270 7x x+ = + 70x =

Portanto, a tabela de frequências é: Intervalo PMi fi

1,5 |--- 2,5 2 30

2,5 |--- 3,5 3 40

3,5 |--- 4,5 4 70

4,5 |--- 5,5 5 60

Temos ao todo 200 frequências, de modo que a mediana (pelo método da

interpolação linear) estará na posição n/2 = 200/2 = 100. Escrevendo a coluna das

frequências acumuladas, vemos que a 100ª frequência está na classe 3,5|---4,5 :

Intervalo PMi fi faci

1,5 |--- 2,5 2 30 30

2,5 |--- 3,5 3 40 70

3,5 |--- 4,5 4 70 140

4,5 |--- 5,5 5 60 200

Montando a proporção:


|-----------------------------|----------------|

Valores: 3,5 X 4,5

|-----------------------------|----------------|

Portanto,

140 - 100 4,5 -

140 - 70 4,5 - 3,5

X=

3,92X =




Este valor encontra-se no intervalo 3,90 3,95.

Resposta: D

35. FCC – TRE/SP – 2012) A distribuição de frequências absolutas abaixo refere-se

aos salários dos 200 funcionários de um setor público no mês de dezembro de

2011.

Observação: fi é a frequência da i-ésima classe.

O valor da mediana, obtido pelo método da interpolação linear, é igual a

R$4.625,00. Se 76 funcionários possuem um salário superior a R$ 5.000,00, então a

porcentagem dos funcionários que possuem um salário de, no máximo, R$ 4.000,00

é igual a

(A) 20%.

(B) 24%.

(C) 30%.

(D) 32%.

(E) 40%.

RESOLUÇÃO:

O enunciado nos diz que Mediana = 4625 e que f4 + f5 = 76 (funcionários que

ganham mais de 5000 reais). O total de frequências é f1 + f2 + f3 + f4 + f5 = 200. É

solicitado o percentual representado pelo número de funcionários que ganham até

4000 reais, isto é, (f1 + f2) / 200.

Pelo valor da mediana, vemos que ela se encontra na 3ª classe. Como temos

200 elementos, a mediana está na posição n/2 = 200/2 = 100. Pelo método da

interpolação linear, temos:




Frequências: f1 + f2 100 f1 + f2 + f3

|-----------------------------|----------------|

Valores: 4000 4625 5000

|-----------------------------|----------------|

Montando a proporção:

1 2 3

1 2 3 1 2

( ) 100 5000 4625

( ) ( ) 5000 4000

f f f

f f f f f

+ + − −=+ + − + −

Aqui é importante notar que:

f1 + f2 + f3 + f4 + f5 = 200

f1 + f2 + f3 = 200 – (f4 + f5)

f1 + f2 + f3 = 200 – 76

f1 + f2 + f3 = 124

Portanto,

3

124 100 375

1000f

− =

3 64f =

Deste modo,

f1 + f2 + f3 = 124

f1 + f2 + 64 = 124

f1 + f2 = 60

Assim, o percentual representado pelos funcionários que ganham até 4000

reais é:

P = (f1 + f2) / 200 = 60 / 200 = 30%

Resposta: C

36. DOM CINTRA - CREMERJ/RJ - 2011) As idades dos 10 alunos de uma turma

de Inglês são respectivamente iguais a:

12; 12; 12; 13; 13; 15; 15; 15; 15; 16.




A moda desses dez valores corresponde a:

A) 16

B) 15

C) 14

D) 13

E) 12

RESOLUÇÃO:

A moda é definida como sendo aquele valor que mais se repete, isto é, com

maior número de frequências. Veja que existem 4 alunos com a idade de 15 anos, 3

com 12, 2 com 13 e apenas 1 com 16. Portanto, a moda é igual a 15 anos.

Resposta: B

37. FCC – SEFAZ/SP – 2010) Em um setor de um órgão público é realizado um

levantamento com relação aos salários de seus funcionários administrativos. O

resultado pode ser visualizado na tabela abaixo.

Com relação a este levantamento e às medidas de posição, tem-se que

(A) a média aritmética, a mediana e a moda possuem o mesmo valor.

(B) o valor da média aritmética e o valor da mediana superam, cada um, o valor da

moda em R$ 250,00.

(C) o valor da moda é superior ao valor da média aritmética e também ao valor da

mediana.

(D) o valor da moda é igual ao valor da mediana, porém supera o valor da média

aritmética.

(E) a soma dos valores da média aritmética, da mediana e da moda é igual a R$

7.250,00.

RESOLUÇÃO:

Veja, inicialmente, que a moda é o salário R$2500,00, afinal ele é o que

possui o maior número de frequências (12).

Ao todo temos n = 50 frequências, número par. Como (n+1)/2 = 25,5, a

mediana será o valor médio entre os termos 25 e 26. Como os valores dos salários

já estão em ordem crescente (da esquerda para a direita), repare que o termo 25




possui salário R$2000,00 e o termo 26 possui salário R$2500,00. Assim, a mediana

será (2000 + 2500)/2 = 2250 reais.

Por fim, a média é simplesmente:

1

1

1000 5 1500 10 2000 10 2500 12 3000 8 3500 3 4000 2

50

n

i ii

n

ii

X FMédia

F

=

=

×× + × + × + × + × + × + ×= =

∑

∑

2250Média=

Portanto, a média é igual à mediana, e a moda é superior a esses dois.

Resposta: C

38. ESAF – AFRFB – 2009) Considere a seguinte amostra aleatória das idades em

anos completos dos alunos em um curso preparatório. Com relação a essa amostra,

marque a única opção correta:

29, 27, 25, 39, 29, 27, 41, 31, 25, 33, 27, 25, 25, 23, 27, 27,

32, 26, 24, 36, 32, 26, 28, 24, 28, 27, 24, 26, 30, 26, 35, 26,

28, 34, 29, 23, 28.

a) A média e a mediana das idades são iguais a 27.

b) A moda e a média das idades são iguais a 27.

c) A mediana das idades é 27 e a média é 26,08.

d) A média das idades é 27 e o desvio-padrão é 1,074.

e) A moda e a mediana das idades são iguais a 27.

RESOLUÇÃO:

A mediana será a idade abaixo da qual se encontrarem metade das

freqüências. O primeiro passo aqui é colocar as idades em ordem:

23, 23, 24, 24, 24, 25, 25, 25, 25, 26, 26, 26, 26, 26, 27, 27, 27, 27, 27, 27, 28, 28,

28, 28, 29, 29, 29, 30, 31, 32, 32, 33, 34, 35, 36, 39, 41

Assim, temos ao todo n = 37 frequências. A mediana será a idade localizada

na posição (n+1)/2 = (37+1)/2 = 19. Note que a 19ª posição é ocupada pela idade

27. Assim, mediana = 27.




A moda é aquela idade que possui maior número de freqüências (repetições).

Neste caso, veja que a idade 27 possui 6 repetições, mais do que qualquer outra.

Portanto, moda = 27. Chegamos ao gabarito, que é a letra E.

Para exercitar, veja como seria a tabela de freqüências, bem como as

frequências acumuladas (identifique nessa tabela a mediana e a moda):

Idade Freqüências (fi) Freqüências

acumuladas (fac)

23 2 2

24 3 5

25 4 9

26 5 14

27 6 20

28 4 24

29 3 27

30 1 28

31 1 29

32 2 31

33 1 32

34 1 33

35 1 34

36 1 35

39 1 36

41 1 37

TOTAL 37 37

Resposta: E

39. ESAF – AFRFB – 2005 – Adaptada) Para dados agrupados representados por

uma curva de freqüências, as diferenças entre os valores da média, da mediana e

da moda são indicadores da assimetria da curva. Indique a relação entre essas

medidas de posição para uma distribuição negativamente assimétrica.




a) A média apresenta o maior valor e a mediana se encontra abaixo da moda.

b) A moda apresenta o maior valor e a média se encontra abaixo da mediana.

c) A média apresenta o menor valor e a mediana se encontra acima da moda.

d) A média, a mediana e a moda são coincidentes em valor.

e) A moda apresenta o menor valor e a mediana se encontra abaixo da média.

RESOLUÇÃO:

Em uma distribuição com assimetria negativa, a existência de um

prolongamento à esquerda “puxa” a média para baixo, tornando-a a menor das

medidas de posição. Da mesma forma, o deslocamento do pico da curva para a

direita torna a moda o maior dos três valores. Assim, temos:

Média < Mediana < Moda

Temos isso na letra B.

Resposta: B


da variável X, que representa o número de empregados numa amostra de 100

indústrias.

Sabendo que 5y − 4x = 4, o valor da soma Média (X) + Mediana (X) + Moda (X) é

igual a

(A) 121,2.

(B) 122,5.

(C) 122,8.

(D) 126,2.

(E) 126,5.

RESOLUÇÃO:

Como o total de frequências é igual a 100, então:




100 = 2y + 2y + 2x + y + 3y + 2x

100 = 8y + 4x

25 = 2y + x

x = 25 – 2y

Como foi dito que 5y − 4x = 4, então:

5y − 4x = 4

5y – 4 (25 – 2y) = 4

5y – 100 + 8y = 4

y = 8

Logo, x = 25 – 2 . 8 = 9. Reescrevendo a tabela de frequências, temos:

X fi

10 16

20 16

30 18

40 8

50 24

60 18

Portanto, a média é:

1

1

( )3620

36, 2100

n

in

i

Xi FiMédia

Fi

=

=

×= = =∑

∑

A moda é o valor com mais frequências, isto é, Moda = 50 (pois tem 24

frequências).

Como temos n = 100 elementos, para obter a mediana devemos buscar a

posição (n + 1) / 2 = (100 + 1) / 2 = 50,5. Isto é, devemos fazer média aritmética

entre o 50º e 51º elementos. Escrevendo a coluna das frequências acumuladas,

temos:




X fi faci

10 16 16

20 16 32

30 18 50

40 8 58

50 24 82

60 18 100

Portanto, o 50º termo vale 30 e o 51º vale 40, de modo que a mediana é dada

por:

Mediana = (30 + 40) / 2 = 35

Somando média, moda e mediana temos:

36,2 + 50 + 35 = 121,2

Resposta: A


questão.

41. FCC – BACEN – 2006) A amplitude do intervalo entre o primeiro decil e o

terceiro quartil, encontrados pelo método da interpolação linear, é:

a) R$2500,00

b) R$2400,00

c) R$2150,00

d) R$2000,00

e) R$1400,00

RESOLUÇÃO:




Temos ao todo n = 40 frequências. Assim, o primeiro decil está na posição

n/10 = 40/10 = 4. Escrevendo abaixo a tabela de freqüências acumuladas, vemos

que a posição 4 está na classe de 2000-3000 reais:


simples absolutas

Frequências


1000 |--- 2000 2 2

2000 |---3000 8 10

3000 |--- 4000 16 26

4000 |--- 5000 10 36

5000 |--- 6000 4 40



Frequência: 2 4 10

|-----------------------------|----------------|


|-----------------------------|----------------|

Assim, temos:

3000 10 43000 2000 10 2

X− −=− −


3000 61000 8

2250

X

X

− =

=

O terceiro quartil está na posição 3n/4 = 3x40/4 = 30. Repetindo abaixo a

tabela de freqüências acumuladas, vemos que a posição 30 está na classe de 4000-

5000 reais:





simples absolutas

Frequências


1000 |--- 2000 2 2

2000 |---3000 8 10

3000 |--- 4000 16 26

4000 |--- 5000 10 36

5000 |--- 6000 4 40



Frequência: 26 30 36

|-----------------------------|----------------|


|-----------------------------|----------------|

Assim, temos:

5000 36 305000 4000 36 26

X− −=− −


5000 61000 10

4400

X

X

− =

=

Portanto, a amplitude entre o primeiro decil e o terceiro quartil é:

4400 – 2250 = 2150 reais

Resposta: C

42. FCC – SEFAZ/SP – 2010) Seja uma amostra aleatória simples extraída de uma

população, com tamanho 10 e representada por Xi; i = 1, 2, ... , 10. Sabe-se que




A variância desta amostra apresenta o valor de

(A) 67,3

(B) 63,0

(C) 61,0

(D) 59,7

(E) 57,0

RESOLUÇÃO:

Para resolver essa questão devemos lembrar da fórmula para cálculo da

variância amostral que não necessita da média ( X ) da distribuição:

2

2

1 12

1

1

n n

i ii i

X Xn

sn

= =

− =

−

∑ ∑

Veja que n = 10, e, além disso:

102

1

7803ii

X=

=∑ e 10

1

270ii

X=

=∑

Substituindo esses valores na fórmula, temos:

( )2

2

1 17803 270 7803 72900

10 1010 1 10 1

s− −

= =− −

2 7803 729057

9s

−= =

Resposta: E

43. ESAF – MDIC – 1998) Num estudo sobre a distribuição do preço de venda de

um produto obteve-se, a partir de uma amostra aleatória de 25 revendedores, a

tabela de freqüências seguinte:




As quantidades mi e fi representam o ponto médio e a freqüência da classe de

preços i. Sabendo-se que

2 2( ) ( ) / 25 694i i i if m f m− ≈∑ ∑

assinale a opção que melhor aproxima o desvio padrão amostral.

a) 0,5 (347/3)0.5

b) 6

c) 0,9 (345/3)0.5

d) 28,91

e) 8

RESOLUÇÃO:

Veja que nessa questão temos uma notação matemática diferente para os

intervalos de classe. Neste caso, o colchete fechado [ significa que o limite inferior

está incluído no intervalo, e o parênteses ) indica que o limite superior está excluído

do intervalo.

Quando temos os dados em intervalos de classes, como na tabela acima, e

pretendemos usar os pontos médios (PMi) para obter o desvio padrão amostral, a

fórmula abaixo é bem útil:

2

2

1 1

1( ) ( )

1= =

× − × =

−

∑ ∑n n

i i i ii i

PM F PM Fn

sn

Veja que a expressão 2

2

1 1

1( ) ( )

= =

× − ×

∑ ∑n n

i i i ii i

PM F PM Fn

que temos nesta fórmula

é exatamente aquela dada no enunciado:




2 2( ) ( ) / 25 694i i i if m f m− ≈∑ ∑

Portanto,

0,5 0,5

0,5 0,5 0,5

0,5

694 694 347

25 1 24 12

347 1 347

4 3 4 3

3470,5

3

= = = −

= = × ×

= ×

s

s

s

Resposta: A

44. ESAF – MDIC - 1998) No contexto da QUESTÃO ANTERIOR deseja-se obter

informação sobre o preço mediano praticado na amostra. Assinale a opção que

melhor aproxima este valor.

a) 16

b) 19

c) 17

d) 11

e) 14,2

RESOLUÇÃO:

Temos n = 25 frequências. Como os dados estão em intervalos de classes,

devemos utilizar o método de interpolação linear para calcular a mediana.

Nossa primeira tarefa é descobrir em que classe se encontra a observação

da posição n/2 = 25/2 = 12,5. Reescrevendo a tabela do enunciado, incluindo uma

coluna para as freqüências acumuladas, temos:




Classe de preços Mi Fi

Freqüências

acumuladas

[5 – 9) 7 3 3

[9 – 13) 11 5 8

[13 – 17) 15 7 15

[17 – 21) 19 6 21

[21 – 25) 23 3 24

[25 – 29) 27 1 25

Repare na classe [13 – 17). A classe anterior a ela vai até a frequência 8,

enquanto essa classe vai até a frequência 15. Portanto, a freqüência 12,5 deve

estar nesta classe.

Descoberta a classe da mediana, basta montar a seguinte proporção entre as

freqüências e os valores:

Frequência: 8 12,5 15

|-----------------------------|----------------|

Salário: 13 X 17

|-----------------------------|----------------|

Assim, temos a proporção:

15 12,5 1715 8 17 13

X− −=− −

2,5 177 4

X−=

X = 15,57

Resposta: A

45. ESAF – AFRFB – 2009) A tabela mostra a distribuição de frequências relativas

populacionais (f’) de uma variável X:




Sabendo que “a” é um número real, então a média e a variância de X são,

respectivamente:

RESOLUÇÃO:

A média é calculada por:

1

1

( )n

in

i

Xi FiMédia

Fi

=

=

×=∑

∑

2 6 1 1 2 30,5

6 1 3

a a aMédia

a a a

− × + × + ×= = −+ +

A variância de uma população (veja que o enunciado falou em frequências

populacionais) é dada por:

2

1

( )n

Xi XVariancia

n

−=∑

2 2 2( 2 0,5) 6 (1 0,5) 1 (2 0,5) 33, 45

10

a a aVariancia

a

− + × + + × + + ×= =




Resposta: A

Texto para as 2 questões seguintes:

O custo médio nacional para a construção de habitação com padrão de acabamento

normal, segundo levantamento realizado em novembro de 2008, foi de R$ 670,00

por metro quadrado, sendo R$ 400,00/m2 relativos às despesas com materiais de

construção e R$ 270,00/m2 com mão-de-obra. Nessa mesma pesquisa, os custos

médios regionais apontaram para os seguintes valores por metro quadrado: R$

700,00 (Sudeste), R$ 660,00 (Sul), R$ 670,00 (Norte), R$ 640,00 (Centro-Oeste) e

R$ 630,00 (Nordeste).

Sistema Nacional de Pesquisa de Custos e Índices da Construção

C i v i l. S I NA P I / I BG E , n o v . / 2 0 0 8 ( c o m a d a p t a ç õ e s ) .

46. CESPE – CEHAP/PB – 2009) Com base nas informações apresentadas no

texto, assinale a opção correta.

A) A média aritmética dos custos médios regionais por metro quadrado é igual ao

custo médio nacional do metro quadrado.

B) O custo médio por metro quadrado relativo à região Sul corresponde à mediana

dos custos médios regionais por metro quadrado.

C) Mais de 65% do custo médio nacional do metro quadrado é relativo às despesas

com materiais de construção.

D) O custo médio por metro quadrado relativo à região Sudeste é 10% superior ao

custo relativo à região Nordeste.

RESOLUÇÃO:

Vamos analisar cada alternativa dada.



A média aritmética dos custos médios regionais por metro quadrado é dada

pelo cálculo abaixo:

700 660 670 640 630660

5Média

+ + + += =

Veja que este valor é inferior ao custo nacional. Item ERRADO.






Para obter a mediana dos custos médios regionais, devemos primeiro colocá-

los em ordem:

630, 640, 660, 670, 700

Veja que temos n = 5 valores. Como n é ímpar, a mediana será simplesmente

o termo da posição central, que é a posição (n+1)/2 = (5+1)/2 = 3. O 3º termo é o

660. Portanto, a mediana tem o mesmo valor do custo da região Sul. Item

CORRETO.



Do total de 670 reais, temos que 400 referem-se a materiais. Para obter o

percentual representado pelos materiais, podemos usar a regra de três abaixo:

670 ---------------- 100%

400 ---------------- X

X = 59,7%

Veja que os materiais representam menos de 65% do total. Portanto, o item

está ERRADO.



O custo da região Nordeste é de 630, enquanto o da Sudeste é de 700. Para

saber quanto o custo da região Sudeste representa em relação a região Nordeste,

temos:

630 ---------------- 100%

700 ---------------- X

X = 111,1%

Portanto, o custo da região Sudeste é 11,1% (isto é, 111,1% - 100%) superior

ao da região Nordeste. Item ERRADO.

Resposta: B




47. CESPE – CEHAP/PB – 2009) O desvio padrão dos custos médios regionais por

metro quadrado foi

A) inferior a R$ 30,00.

B) superior a R$ 30,01 e inferior a R$ 40,00.

C) superior a R$ 40,01 e inferior a R$ 50,00.

D) superior a R$ 50,01

RESOLUÇÃO:

O cálculo do desvio padrão pode ser feito como vemos abaixo, lembrando

que a média é 670X = e n = 5:

2

1

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

( )

(700 670) (660 670) (670 670) (640 670) (630 670)5

(30) ( 10) (0) ( 30) ( 40)5

900 100 0 900 1600700

5

n

ii

X X

nσ

σ

σ

σ

=

−=

− + − + − + − + −=

+ − + + − + −=

+ + + += =

∑

Esse número é inferior a 30, pois 30 = 900 . Assim, a alternativa correta é a

letra A.

Resposta: A

Obs.: veja que nessa questão eu usei a fórmula do desvio padrão

populacional (σ ), e não do desvio padrão amostral (s), uma vez que aqui foi

fornecida toda a “população” de regiões do Brasil, e não apenas uma amostra.

48. ESAF – AFRFB – 2005) Uma empresa verificou que, historicamente, a idade

média dos consumidores de seu principal produto é de 25 anos, considerada baixa

por seus dirigentes. Com o objetivo de ampliar sua participação no mercado, a

empresa realizou uma campanha de divulgação voltada para consumidores com

idades mais avançadas. Um levantamento realizado para medir o impacto da

campanha indicou que as idades dos consumidores apresentaram a seguinte

distribuição:




Assinale a opção que corresponde ao resultado da campanha considerando o

seguinte critério de decisão:

se a diferença 25X − for maior que o valor 2 x

n

σ, então a campanha de divulgação

surtiu efeito, isto é, a idade média aumentou; caso contrário, a campanha de

divulgação não alcançou o resultado desejado.

a) A campanha surtiu efeito, pois 25 2,1X − = é maior que 2

1,53x

n

σ = .

b) A campanha não surtiu efeito, pois 25 0X − = é menor que 2

1,64x

n

σ = .

c) A campanha surtiu efeito, pois 25 2,1X − = é maior que 2

1,41x

n

σ = .

d) A campanha não surtiu efeito, pois 25 0X − = é menor que 2

1,53x

n

σ = .

e) A campanha surtiu efeito, pois 25 2,5X − = é maior que2

1,41x

n

σ = .

RESOLUÇÃO:

Veja que na tabela temos classes de idades com intervalos. Assim,

precisaremos calcular o ponto médio de cada intervalo para então calcular a média

através da fórmula:

1

1

( )n

in

i

PMi FiMédia

Fi

=

=

×=∑

∑




Reproduzo abaixo a tabela, já incluindo os pontos médios:

Idade (X) Idade (ponto médio

- PMi)

Freqüência (Fi) Porcentagem

18 |---- 25 21,5 20 40

25 |---- 30 27,5 15 30

30 |---- 35 32,5 10 20

35 |---- 40 37,5 5 10

Assim, você pode colocar essas informações na fórmula acima e calcular a

média.

Ao invés disso, como já foi dada a porcentagem que cada freqüência

representa, podemos utilizar essa informação para calcular a média:

Média = 21,5 x 0,40 + 27,5 x 0,30 + 32,5 x 0,20 + 37,5 x 0,10

Média = 27,1

Portanto, X – 25 = 27,1 – 25 = 2,1. Com isso, ficamos entre as alternativas

a e c (50% de chance de acertar no chute!).

Para obter 2 x

n

σ, precisamos calcular o desvio padrão. Ele é dado por:

2

1

1

[ ( ) ]

1

n

amostra n

Fi PMi XS

Fiσ

× −= =

−

∑

∑

Para isso, podemos incluir outras colunas à direita da nossa tabela (suprimi a

coluna “Porcentagem”, que não mais será útil):

Idade (X) PMi Fi PMi - X (PMi – X )2 x Fi

18 |---- 25 21,5 20 -5,6 627,2

25 |---- 30 27,5 15 0,4 2,4

30 |---- 35 32,5 10 5,4 291,6

35 |---- 40 37,5 5 10,4 540,8




A soma da última coluna é:

2

1

( ) 1462n

i ii

PM X F=

− × =∑

E sabemos que1

1 50 1 49n

ii

F=

− = − =∑ . Portanto,

14625, 46

49amostra Sσ = = =

Portanto, 2 x

n

σ = 1,54. Portanto, temos a letra A.

Resposta: A

49. ESAF – AFRFB – 2005) De posse dos resultados de produtividade alcançados

por funcionários de determinada área da empresa em que trabalha, o Gerente de

Recursos Humanos decidiu empregar a seguinte estratégia: aqueles funcionários

com rendimento inferior a dois desvios padrões abaixo da média (Limite Inferior - LI)

deverão passar por treinamento específico para melhorar seus desempenhos;

aqueles funcionários com rendimento superior a dois desvios padrões acima de

média (Limite Superior - LS) serão promovidos a líderes de equipe.

Assinale a opção que apresenta os limites LI e LS a serem utilizados pelo Gerente

de Recursos Humanos.

a) LI = 4,0 e LS = 9,0




b) LI = 3,6 e LS = 9,4

c) LI = 3,0 e LS = 9,8

d) LI = 3,2 e LS = 9,4

e) LI = 3,4 e LS = 9,6

RESOLUÇÃO:

Obs.: considere que o segundo intervalo é 2|--4, e não 2|--6 como aparece na

tabela. Caso contrário seria impossível resolver.

Teremos que calcular o desvio padrão e a média da população acima (veja

que temos a população inteira, e não apenas uma amostra). Vamos iniciar

calculando os pontos médios das classes de freqüências:

Indicador (X) Indicador (ponto

médio - PMi) Freqüência (Fi) PMi x Fi

0 |---- 2 1 10 10

2 |---- 4 3 20 60

4 |---- 6 5 240 1200

6 |---- 8 7 410 2870

8 |-----10 9 120 1080

Somando a última coluna, temos que:

1

5220n

i ii

PM F=

× =∑

Portanto, a média será:

1

1

( )n

in

i

PMi FiMédia

Fi

=

=

×=∑

∑=5220/800 = 6,52

Vamos agora calcular o desvio padrão, com a fórmula abaixo:

2

1

( )n

Xi XVariancia

nσ

−= =

∑

Você pode fazer isso preenchendo as colunas da direita da tabela abaixo:




Indicador

(ponto médio -

PMi)

Freqüência (Fi) PMi – X (PMi – X )2 (PMi – X )2 x Fi

1 10 -5,52 30,47 304,7

3 20 -3,52 12,39 247,8

5 240 -1,52 2,31 554,5

7 410 0,48 0,23 94,46

9 120 2,48 6,15 738,04

Somando a última coluna, temos que:

2

1

( ) 1939,52n

i ii

PM X F=

− × =∑

Como 1

800n

ii

F=

=∑ , então:

1939,521,55

800σ = =

O limite inferior estabelecido foi:

LI = Média – 2xσ

LI = 6,52 – 2x1,55 = 3,42

O limite superior estabelecido foi:

LS = Média + 2xσ

LS = 6,52 + 2x1,55 = 9,62

Resposta: E

50. ESAF – SEFAZ/SP – 2009) Seguem algumas observações de uma variável

aleatória:

17, 12, 9, 23, 14, 6, 3, 18, 42, 25, 18, 1, 34, 5, 17, 20, 7, 8, 21, 13, 31, 24, 9




Considerando que as observações apresentadas acima constituem uma amostra

aleatória simples X1, X2, ..., Xn de uma variável aleatória X, determine o valor mais

próximo da variância amostral, usando um estimador não tendencioso da variância

de X.

Considere que:

a) 96,85

b) 92,64

c) 94,45

d) 90,57

e) 98,73

RESOLUÇÃO:

Para resolver essa questão vamos usar a seguinte fórmula:

2

2

1 12

1

1= =

− =

−

∑ ∑n n

i ii i

X Xn

sn

Foi dado que n = 23, e que:

2

1

8676=

=∑n

ii

X e 1

388=

=∑n

ii

X

Portanto,

( )2

2 2

1 12

2

1 18676 388

231 23 1

96,84

= =

− − = =

− −=

∑ ∑n n

i ii i

X Xn

sn

s

Resposta: A




51. CEPERJ –SEFAZ/RJ – 2011) Seja X uma variável aleatória normalmente

distribuída com média µ e variância 2σ . Seja Y variável aleatória Xα β+ , onde β

é uma constante positiva. Se a média de Y for igual a zero e sua variância for

unitária, então α e β serão, respectivamente, iguais a:

a) σµ

− e σ

b) µ e 2σ

c) 1

e µσ σ

−

d) 0 e 1

e) e µ σσ

RESOLUÇÃO:

Se Y = Xα β+ , então a média de Y será: α β µ+ × . Como o exercício disse

que essa média é igual a 0, então:

0α β µ+ × =

Já a variância de Y será igual a 2 2β σ× . Como o exercício disse que essa

variância é unitária, então:

2 2 1β σ× =

Da última equação podemos isolar o valor de β :

22

1βσ

=

2

1 1βσ σ

= =

Agora, podemos voltar na primeira equação para isolar o valor de α :

0α β µ+ × =

α β µ= − ×




1 µα µσ σ = − × = −

Resposta: C.

52. FCC – ARCE – 2012) O desvio padrão e a média de uma população de

tamanho N são dados, respectivamente, por 2 e 3. A soma dos quadrados dos

elementos dessa população é igual a 390. Nessas condições, o valor de N é

(A) 90.

(B) 80.

(C) 60.

(D) 40.

(E) 30.

RESOLUÇÃO:

Como a média desta população é igual a 2, então:

12

n

i

Xi

N==∑

1

2n

i

Xi N=

=∑

Como o desvio padrão é 3, então a variância é 2 9σ = . Foi dito ainda que a

soma dos quadrados dos elementos é 390, ou seja, 2

1

390n

ii

X=

=∑ .Lembrando que:

2

2

1 12

1n n

i ii i

X XN

Nσ = =

− =

∑ ∑

Temos:

( )21390 2

9N

NN

−=

390 49

N

N

−=

9 390 4N N= −

30N =

Resposta: E




53. ESAF – AFRFB – 2005) Em uma determinada semana uma empresa recebeu

as seguintes quantidades de pedidos para os produtos A e B:

Assinale a opção que apresente os coeficientes de variação dos dois produtos:

a) CVA = 15,1% e CVB = 12,3%

b) CVA = 16,1% e CVB = 10,3%

c) CVA = 16,1% e CVB = 12,3%

d) CVA = 15,1% e CVB = 10,3%

e) CVA = 16,1% e CVB = 15,1%

RESOLUÇÃO:

O coeficiente de variação é dado pela divisão do desvio padrão pela média

de cada amostra. Para a amostra A, a média é:

1 39 33 25 30 41 36 3734,42

7

n

ii

A

XX

n= + + + + + += = =∑

Para a amostra B, temos:

1 50 52 47 49 54 40 4347,85

7

n

ii

B

XX

n= + + + + + += = =∑

O desvio-padrão, calculado utilizando a fórmula

2

1

( )σ

−=∑

n

iX X

n, pode ser

obtido com auxílio da tabela abaixo:

XA ( )−iX X 2( )−iX X

39 4,57 20,90

33 -1,42 2,04

25 -9,42 88,90

30 -4,42 19,61

41 6,57 43,18

36 1,57 2,47




Somando a coluna da direita, temos que:

2

1

( ) 183,71− =∑n

iX X

Portanto,

2

1

( )183,71

5,531 6

σ−

= = =−

∑n

i

A

X X

n

Para B, temos:

XB ( )−iX X 2( )−iX X

50 2,14 4,59

52 4,14 17,16

47 -0,86 0,73

49 1,14 1,31

54 6,14 37,73

40 -7,86 61,73

Somando a coluna da direita, temos que:

2

1

( ) 146,86− =∑n

iX X

Portanto,

2

1

( )146,86

4,941 6

σ−

= = =−

∑n

i

B

X X

n

Assim, podemos calcular os coeficientes de variação:

CVA = 5,53 / 34,42 = 0,1607 = 16,07%

CVB = 4,94 / 47,85 = 0,1034 = 10,34%

Resposta: B

54. FCC – BACEN – 2006) Com relação às medidas de posição e de dispersão, é

correto afirmar:




a) Dobrando todos os valores dos salários dos funcionários de uma empresa, tem-

se que o salário médio destes funcionários e a respectiva variância também ficam

dobrados.

b) A diferença entre a variância e o desvio padrão de uma seqüência de números é

nula somente no caso em que a variância e o desvio padrão são iguais a zero.

c) Em qualquer distribuição de valores, a diferença entre a média e a moda é

sempre maior ou igual a zero.

d) Multiplicando todos os valores de uma seqüência de números positivos por um

número positivo tem-se que o respectivo coeficiente de variação não se altera.

e) O coeficiente de variação correspondente a uma série de números positivos é

igual à divisão do quadrado da respectiva média aritmética pela variância.

RESOLUÇÃO:

Vamos analisar as alternativas:



dobrados.

Quando multiplicamos todos os elementos de uma amostra por um número, a

média é multiplicada pelo mesmo número, já a variância é multiplicada pelo

quadrado desse número. Item Falso.



Falso. Para que a diferença entre a variância e o desvio padrão seja nula, é

preciso que eles sejam iguais. Sabendo que a variância ( 2σ ) é igual ao quadrado do

desvio padrão (σ ), vejamos os casos onde eles podem ser iguais:

2σ σ=

Essa igualdade é respeitada quando 0σ = . Mas repare que ela também é

respeitada quando 1σ = , afinal 1 = 12. Item Falso.






Numa distribuição simétrica, pode ser que a média e a moda sejam iguais,

tornando a diferença igual a zero. Além disso, pode ser que a moda seja maior que

a média, de modo que a diferença entre eles é menor que zero. Item Falso.



O coeficiente de variação é dado pela divisão entre desvio padrão e média.

Sabemos que, ao multiplicar todos os valores de uma amostra por um número, a

média é multiplicada por aquele número, assim como o desvio padrão. Portanto, a

divisão entre eles não se altera. Item Verdadeiro.



O coeficiente de variação é igual à divisão do desvio padrão pela média

aritmética. Item Falso.

Resposta: D

55. FCC – SEFAZ/SP – 2006) Considerando as respectivas definições e

propriedades relacionadas às medidas de posição e de variabilidade, é correto

afirmar:

a) Dividindo todos os valores de uma sequência de números estritamente positivos

por 4, tem-se que o respectivo desvio padrão fica dividido por 2

b) Em qualquer distribuição de valores em estudo, a diferença entre a mediana e a

moda é sempre diferente de zero

c) Concedendo um reajuste de 10% em todos os salários dos empregados de uma

empresa, tem-se também que a respectiva variância fica multiplicada por 1,10

d) Definindo o coeficiente de variação (CV) como sendo o quociente da divisão do

desvio padrão pela respectiva média aritmética (diferente de zero) de uma

sequência de valores, tem-se então que CV também poderá ser obtido dividindo a

correspondente variância pelo quadrado da média

e) Subtraindo um valor fixo de cada salário dos funcionários de uma empresa, tem-

se que o respectivo desvio padrão dos novos valores é igual ao valor do desvio

padrão dos valores anteriores.

RESOLUÇÃO:




Vamos analisar cada alternativa:



Multiplicando ou dividindo todos os elementos de uma amostra por um

número, o desvio padrão fica multiplicada ou dividido pelo mesmo número (e a

variância pelo quadrado desse número). Item Falso.



A mediana, moda e média podem ser iguais em distribuições simétricas.

Neste caso, a diferença entre mediana e moda é igual a zero. Item Falso.



Multiplicando todos os elementos de uma amostra por um número, a

variância é multiplicada pelo seu quadrado. Neste caso, por 1,21. Item Falso.





Como CVσµ

= , temos que 2

22

CVσµ

= . Ou seja, dividindo a variância (que é o

quadrado do desvio padrão) pelo quadrado da média, não se obtém CV, mas sim o

quadrado de CV. Item Falso.




Item Verdadeiro, pois ao somar/subtrair um valor fixo em todos os elementos

de uma amostra, o desvio padrão não é alterado.

Resposta: E




56. ESAF – IRB – 2006) O grau ao qual os dados numéricos tendem a dispersar-se

em torno de um valor médio chama-se

a) média.

b) variação ou dispersão dos dados.

c) mediana.

d) correlação ou dispersão.

e) moda.

RESOLUÇÃO:

Como vimos nessa aula, analisamos a dispersão dos dados em torno de um

valor médio através das medidas de dispersão dos dados (letra B).

A média, mediana e moda são medidas de posição. A correlação, por sua

vez, é uma medida de associação entre 2 variáveis aleatórias.

Resposta: B

57. FCC – TRE/SP – 2012) Considere duas variáveis X e Y representando o peso

(em kg) e a altura (em cm), respectivamente, dos 100 sócios de um clube. Em um

censo realizado neste clube, foram apurados os seguintes resultados:

Xi e Yi são o peso e a altura, respectivamente, do i-ésimo sócio (i = 1, 2, 3, . . . ,100).

Está correto afirmar que o coeficiente de variação de

(A) X é maior que o coeficiente de variação de Y.

(B) X é igual a 9%.

(C) Y é igual a 10%.

(D) X é igual à metade do coeficiente de variação de Y.

(E) Y terá seu valor modificado caso seja alterada em seu cálculo a unidade de

medida de centímetro para metro.

RESOLUÇÃO:

A média de X é:




1 600060

100

n

i

XiMédia

n== = =∑

A média de Y é:

1 16000160

100

n

i

YiMédia

n== = =∑

A variância de X é dada por:

( )2

2 2

1 12

1 1363600 6000

100 36100

n n

i ii i

X Xn

nσ = =

− − = = =

∑ ∑

Portanto, o seu desvio padrão é:

2 36 6σ σ= = =

A variância de Y é dada por:

( )2

2 2

1 12

1 12662400 16000

100 1024100

n n

i ii i

Y Yn

nσ = =

− − = = =

∑ ∑

Portanto, o seu desvio padrão é:

2 1024 32σ σ= = =

Logo, os coeficientes de variação são:

CVσµ

=

60,1

60XCV = =

320,2

160YCV = =




Logo, o coeficiente de variação de X é igual à metade do coeficiente de

variação de Y.

Resposta: D

58. FGV – Senado Federal – 2008) A respeito dos principais tipos de amostragem,

é correto afirmar que:

a) a amostragem sistemática possui caráter não-probabilístico.

b) na amostragem aleatória estratificada há a possibilidade de que nenhuma

unidade de um ou mais estratos sejam selecionadas.

c) as informações obtidas através de uma amostragem acidental permitem a

obtenção de inferências científicas de características da população.

d) na amostragem de conglomerados todos os conglomerados são sempre

selecionados.

e) a amostragem estratificada é geralmente mais eficiente do que a amostragem

aleatória simples de mesmo tamanho.

RESOLUÇÃO:


Falso. A técnica de amostragem sistemática é científica, isto é, probabilística

(ou casual).



Falso. Na amostragem estratificada é preciso selecionar indivíduos de todos

os estratos.



Falso. A amostragem acidental é considerada não-probabilística, não

permitindo a obtenção científica de características da população.


selecionados.

Falso. Ao criar os conglomerados (ex.: quarteirões de um bairro),

selecionaremos apenas alguns deles, aleatoriamente, para a nossa análise.






Verdadeiro. A amostragem estratificada é mais elaborada, pois nos “obriga” a

selecionar indivíduos de todos os estratos, tendo uma visão melhor do total da

população. Ex.: na pesquisa sobre o percentual de homens no bairro, fomos

obrigados a analisar indivíduos de todas as idades presentes na população.

Resposta: E

59. FCC – TRT/3ª – 2009) O objetivo de uma pesquisa era o de se obter,

relativamente aos moradores de um bairro, informações sobre duas variáveis: nível

educacional e renda familiar. Para cumprir tal objetivo, todos os moradores foram

entrevistados e arguídos quanto ao nível educacional, e, dentre todos os domicílios

do bairro, foram selecionados aleatoriamente 300 moradores para informar a renda

familiar. As abordagens utilizadas para as variáveis nível educacional e renda

familiar foram, respectivamente,

(A) censo e amostragem por conglomerados.

(B) amostragem aleatória e amostragem sistemática.

(C) censo e amostragem casual simples.

(D) amostragem estratificada e amostragem sistemática.

(E) amostragem sistemática e amostragem em dois estágios.

RESOLUÇÃO:

No caso do nível educacional, analisou-se todos os indivíduos da população.

Portanto, efetuou-se um censo.

No caso da renda, selecionou-se aleatoriamente (isto é, ao acaso) 300

indivíduos, que serviram de amostra. Trata-se, portanto, da técnica de amostragem

aleatória (ou casual) simples.

Resposta: C

60. CESPE – TJ/ES – 2011) No que concerne aos planos amostrais, julgue os itens

a seguir.

( ) Tanto na amostragem estratificada quanto na amostragem por conglomerados, a

população é dividida em grupos. Na amostragem por conglomerados, de cada grupo




seleciona-se um conjunto de elementos; na amostragem estratificada, devem-se

selecionar quais estratos serão amostrados e, desses, observar todos os elementos.

RESOLUÇÃO:

Na amostragem por conglomerados, dividimos uma população em grupos

(por exemplo, dividimos os habitantes de uma cidade de acordo com os bairros que

habitam), escolhemos alguns grupos para formar a amostra (3 bairros, por exemplo)

e analisamos todos os indivíduos destes grupos. Na amostragem estratificada,

também dividimos uma população em grupos com alguma característica em comum

(ex.: crianças, jovens, adultos e idosos) e, dentro de cada um destes grupos,

selecionamos uma quantidade de indivíduos para formarem a amostra (ex.:

selecionamos 10% dos indivíduos de cada faixa etária). Isto é o contrário do que foi

afirmado no enunciado. Item ERRADO.

Resposta: E

61. CESPE – STM – 2011) Com relação aos planos amostrais, julgue o próximo

item.

( ) A diferença principal entre amostragem estratificada e amostragem por

conglomerados é que, no caso da estratificada, a população é dividida

artificialmente em estratos, e, no caso da amostragem por conglomerados, a

população já é naturalmente dividida em subpopulações.

RESOLUÇÃO:

Na amostragem estratificada é que a população já é naturalmente dividida

em subpopulações. Por exemplo, ao analisar os indivíduos de uma cidade, um

exemplo de divisão natural em estratos é: crianças, jovens, adultos, idosos. Em

cada um desses estratos será analisada uma quantidade de indivíduos.

Já na amostragem por conglomerados, a divisão feita é artificial. Por

exemplo, podemos selecionar os indivíduos que habitam 3 bairros e, então, analisar

todos os integrantes destas subpopulações.

Item ERRADO.

Resposta: E

62. FUNIVERSA – 2010 – CEB) Para saber das condições dos animais de uma

fazenda, será realizada uma pesquisa por amostragem estratificada, a partir de uma




amostra de 15 animais. A tabela seguinte apresenta o efetivo de animais dessa

fazenda.

Com base nessas informações, a quantidade de bovinos e suínos que serão usados

na pesquisa é de

a) 5

b) 6

c) 7

d) 8

e) 9

RESOLUÇÃO:

Observe que ao todo temos uma população de 900 animais, dos quais

devemos escolher 15. Destes 900, 300 são bovinos e 250 são suínos, totalizando

550. A regras de três simples abaixo nos permite calcular quantos bovinos e suínos

teremos na amostra:

15 animais na amostra ---------------------------------- 900 animais ao todo

X bovinos e suínos na amostra ---------------------------- 550 bovinos e suínos ao todo

900X = 15 x 550

X = 9,1 bovinos e suínos na amostra

Resposta: E

63. FGV – SEFAZ/RJ – 2011) A respeito das técnicas de amostragem

probabilística, NÃO é correto afirmar que

a) na amostragem por conglomerado a população é dividida em diferentes grupos,

extraindo-se uma amostra apenas dos conglomerados selecionados.

b) na amostragem estratificada, se a população pode ser dividida em subgrupos

que consistem em indivíduos bastante semelhantes entre si, pode-se obter uma

amostra aleatória em cada grupo.




c) na amostragem aleatória simples se sorteia um elemento da população, sendo

que todos os elementos têm a mesma probabilidade de serem selecionados.

d) na amostragem por voluntários a população é selecionada de forma a estratificar

aleatoriamente os grupos selecionados.

e) na amostragem sistemática os elementos da população se apresentam

ordenados, e a retirada dos elementos da amostra é feita periodicamente.

RESOLUÇÃO:



CORRETO. Primeiro são criados os grupos (conglomerados), e deles apenas

alguns serão analisados.




CORRETO. Os estratos caracterizam-se por serem constituídos de

elementos que possuam características semelhantes entre si, sendo mais

homogêneos do que o restante da população.



CORRETO. Qualquer elemento da amostra tem a mesma probabilidade de

ser selecionado, pois a amostragem é puramente aleatória.



ERRADO. Veja que nem tratamos sobre este tipo de amostragem. Não se

trata de uma amostragem probabilística. Trata-se de uma amostragem onde é

necessário a concordância de voluntários para participarem da amostra, como

ocorre nas amostragens para testes de novos remédios.






CORRETO. Define-se uma regra, ou sistema de seleção, e com isso os

elementos são retirados periodicamente (de acordo com o critério).

Resposta: D

64. CESPE – CORREIOS – 2011) Um analista deseja inspecionar um lote de 500

pacotes com encomendas internacionais. Como essa inspeção requer a abertura de

cada pacote, ele decidiu fazê-la por amostragem, selecionando n pacotes desse

lote. O analista dispõe de um cadastro que permite localizar precisamente cada

pacote do lote por meio de um código de identificação.

Com base nessas informações e nos conceitos de amostragem, julgue os itens a

seguir.

( ) Considere que o lote de pacotes seja dividido em dois estratos segundo a massa

de cada pacote: o primeiro, formado por 400 pacotes que possuem massas

inferiores a 1 kg, e o segundo, por 100 pacotes com massas superiores a 1 kg.

Nessa situação, se o analista efetuar uma amostragem estratificada de tamanho n =

50 com alocação uniforme, então essa amostra deverá contemplar 40 pacotes do

primeiro estrato e 10 pacotes do segundo.

( ) A disponibilidade do cadastro permite que o analista efetue uma seleção por

amostragem aleatória simples ou por amostragem sistemática com base nos

códigos de identificação dos pacotes

( ) Se o analista optar pela amostragem sistemática, a seleção de uma amostra de

tamanho n = 50 será efetuada de 10 em 10 pacotes, e o primeiro pacote a ser

inspecionado será, necessariamente, o primeiro pacote registrado no cadastro.

RESOLUÇÃO:










ERRADO. Na amostragem estratificada uniforme, seleciona-se igual

quantidade de elementos de cada estrato (neste exemplo, 25 elementos de cada

estrato para formar a amostra de 50 elementos). No caso da amostragem

estratificada proporcional as quantidades de elementos selecionadas de cada

estrato seriam proporcionais à sua representatividade na população, e aí sim seriam

escolhidos 40 pacotes do primeiro estrato e 10 pacotes do segundo estrato.




CORRETO. Um exemplo de amostragem sistemática seria escolher apenas

os pacotes cujo código de identificação termine em 5.




ERRADO. O analista pode começar pelo segundo pacote, e a partir daí

escolher o 12º, 22º, 32º e assim por diante.

Resposta: E C E

65. CESPE – FUB – 2011) Com relação às técnicas de amostragem de populações

finitas, julgue os seguintes itens.

( ) As amostragens aleatórias simples, sistemática, estratificada e por cotas

representam planos de amostragem probabilísticos

RESOLUÇÃO:

ERRADO. A amostragem por cotas não faz parte do rol de técnicas

probabilísticas de amostragem que estudamos nesta aula. Trata-se do caso onde o

analista define grupos populacionais (a exemplo da amostragem estratificada)

porém escolhe quantidades pré-definidas (“cotas”) de elementos dentro de cada

grupo.

Resposta: E




66. FEPESE – SEFAZ/SC – 2010) A amostragem estratificada proporcional, a

amostragem por cotas e a amostragem por conglomerados são, respectivamente,

amostragem:

a) Não Casual, Casual e Casual.

b) Não Casual, Não Casual e Casual.

c) Casual, Não Casual e Não Casual.

d) Casual, Não Casual e Casual.

e) Casual, Casual e Casual.

RESOLUÇÃO:

Sabemos que as amostragens estratificada proporcional e por

conglomerados são probabilísticas, isto é, casuais. Já a amostragem por cotas não

é probabilística, sendo não casual. Assim, temos: casual, não casual, casual.

Resposta: D

67. CESPE – MS – 2010) Para estimar o salário médio mensal, os 5.000

empregados de uma empresa foram divididos em quatro estratos: homens com

menos de 40 anos de idade, homens com mais de 40 anos de idade, mulheres com

menos de 40 anos de idade e mulheres com mais de 40 anos de idade, conforme a

tabela a seguir.

Uma amostra estratificada proporcional de 200 empregados apresenta os seguintes

salários médios observados nos estratos, em R$:

De acordo com os dados acima, julgue os próximos itens.




( ) A amostra consiste de 48 homens com menos de 40 anos, 72 homens com mais

de 40 anos, 24 mulheres com menos de 40 anos, e 56 mulheres com mais de 40

anos.

RESOLUÇÃO:

Veja que os homens com menos de 40 anos são 1200 de 5000 empregados.

Assim, na amostra de 200 elementos, eles serão:

5000 empregados ao todo -------------------- 200 elementos no total da amostra

1200 homens com menos de 40 -------------- X homens com menos de 40 na amostra

5000X = 1200 x 200

X = 48 homens com menos de 40

Os homens com mais de 40 anos são 1800 na população. Assim, na amostra

serão:


1800 homens com mais de 40 -------------- X homens com mais de 40 na amostra

5000X = 1800 x 200

X = 72 homens com mais de 40

Analogamente, para as mulheres temos:


1400 mulheres com menos de 40 -------------- X mulheres com menos de 40 na amostra

5000X = 1400 x 200

X = 56 mulheres com menos de 40


600 mulheres com mais de 40 -------------- X mulheres com mais de 40 na amostra

5000X = 600 x 200




X = 24 mulheres com mais de 40

O item está ERRADO porque os números das mulheres com menos e mais

de 40 anos encontram-se trocados.

Resposta: E

68. FCC – TRT/9ª – 2010) Com relação à teoria geral de amostragem, considere:

I. A realização de amostragem aleatória simples só é possível se o pesquisador

possuir uma lista completa, descrevendo cada unidade amostral.

II. A amostragem estratificada consiste na divisão de uma população em grupos

segundo alguma característica conhecida. Os estratos da população devem ser

mutuamente exclusivos.

III. Em uma amostra por conglomerados, a população é dividida em sub-populações

distintas.

IV. Na amostragem em dois estágios, a população é dividida em dois grupos: um

será o grupo controle e o outro será o experimental.

É ERRADO o que consta APENAS em

a) II e III.

b) I, II e III.

c) I e II.

d) Nenhuma das afirmativas.

e) I e III.

RESOLUÇÃO:



CORRETO. É preciso ter acesso a todos os elementos da população para se

efetuar a amostragem aleatória simples.







CORRETO. Cada elemento só pode ser associável a 1 dos estratos. Deste

modo, os estratos devem excluir-se mutuamente.


distintas.

CORRETO. A população é dividida em grupos, ou sub-populações,

chamadas de conglomerados.

Resposta: D

69. FCC – MPU – 2007 – Adaptada) Com relação à teoria geral de amostragem, é

correto afirmar que:

a) na amostragem aleatória simples, a seleção das unidades amostrais só pode ser

realizada sem reposição.

b) a amostragem por conglomerados em geral é mais eficiente e menos econômica

quando comparada com o método de amostragem aleatória simples.

c) na amostragem estratificada, os estratos da população não necessitam ser


d) o aumento do tamanho da amostra tem como conseqüência o aumento do erro

padrão das estimativas.

e) a amostragem aleatória simples, ao contrário da amostragem por cotas, é uma

técnica probabilística.

RESOLUÇÃO:



ERRADO. É possível fazer a amostragem aleatória simples com ou sem

reposição.






ERRADO. A amostragem por conglomerados é mais econômica, pois nela

nos concentramos em apenas alguns grupos (conglomerados), evitando gastos com

deslocamentos excessivos para efetuar uma pesquisa.



ERRADO. Cada elemento da população deve ser compatível com apenas um

estrato, de modo que os estratos devem ser mutuamente exclusivos.



ERRADO. O aumento do tamanho da amostra reduz o erro das estimativas.



CORRETO. Vimos que a amostragem aleatória simples é uma técnica

probabilística, enquanto a amostragem por cotas é não probabilística.

Resposta: E

70. FCC – Banco do Brasil – 2006) O histograma de freqüências absolutas abaixo

demonstra o comportamento dos salários dos 160 empregados de uma empresa em

dezembro de 2005:

Utilizando as informações nele contidas, calculou-se a média aritmética dos valores

dos salários destes empregados, considerando que todos os valores incluídos num




certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo.

Escolhendo aleatoriamente um empregado da empresa, a probabilidade dele

pertencer ao mesmo intervalo de classe do histograma ao qual pertence a média

aritmética calculada é

(A) 6,25%

(B) 12,50%

(C) 18,75%

(D) 31,25%

(E) 32,00%

RESOLUÇÃO:

A partir do gráfico fornecido podemos formar a seguinte tabela:

Classe de salários Ponto médio (PMi) Frequências (fi)

0 – 0,5 0,25 0

0,5 – 1,0 0,75 10

1,0 – 1,5 1,25 20

1,5 – 2,0 1,75 40

2,0 – 2,5 2,25 50

2,5 – 3,0 2,75 30

3,0 – 3,5 3,25 10

Portanto, a média é:

0,25 0 0,75 10 1,25 20 1,75 40 2,25 50 2,75 30 3,25 102,0625

160i i

i

PM fX

f

× × + × + × + × + × + × + ×= = =∑∑

Portanto, a média salarial encontra-se no intervalo 2,0 – 2,5. Observando o

gráfico, vemos que 50 dos 160 empregados encontram-se nessa faixa salarial.

Escolhendo um empregado ao acaso, a chance de ele se encontrar neste mesmo

intervalo é de 50 em 160, ou seja, 50/160 = 0,3125 = 31,25%.

Resposta: D

********************************************

Fim de aula e fim de curso! Agradeço bastante a sua confiança em mim

depositada. Espero que os conceitos vistos ao longo destas 10 aulas sejam

decisivos para a sua aprovação neste concurso da CAIXA.




Saudações,

Prof. Arthur Lima

3. LISTA DE QUESTÕES VISTAS NA AULA

1. CESPE – CORREIOS – 2011) Julgue os itens seguintes, relacionados aos

conceitos de estatística.

( ) Escolaridade e número de filhos são exemplos de variáveis quantitativas

ordenável e discreta, respectivamente.

Instruções: Para resolver a questão seguinte, considere a tabela de frequências

relativas abaixo, que mostra a distribuição dos valores arrecadados, em 2008, sobre

determinado tributo, referente a um ramo de atividade escolhido para análise. Sabe-

se que:



respectivamente.

II. O terceiro intervalo possui o dobro do número de recolhimentos do segundo

intervalo.

2. FCC – SEFAZ/SP – 2009 – Adaptada) A porcentagem de recolhimentos com

valores arrecadados maiores ou iguais a R$ 3.000,00 é

(A) 70%

(B) 65%

(C) 55%

(D) 45%

(E) 40%




3. ESAF – IRB - 2006) No campo estatístico, ogivas são:

a) polígonos de freqüência acumulada.

b) polígonos de freqüência acumulada relativa ou percentual.

c) histograma de distribuição de freqüência.

d) histograma de distribuição de freqüência relativa ou percentual.

e) o equivalente à amplitude do intervalo.

Instruções: Para resolver à questão seguinte (FCC – SEFAZ/SP – 2009), considere



escolhido para análise. Sabe-se que:



respectivamente.

II. A média aritmética da distribuição, valor arrecadado por recolhimento, é igual a

R$ 3.350,00 (valor encontrado considerando que todos os valores incluídos num

certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo).

4. FCC – SEFAZ/SP – 2009) A porcentagem de recolhimentos com valores

arrecadados maiores ou iguais a R$ 3.000,00 é

(A) 70%

(B) 65%

(C) 55%

(D) 45%

(E) 40%




5. DOM CINTRA - PREF. PALMAS - 2010) A média aritmética das 25 notas de uma

prova de matemática foi igual a 6,0. Se o professor aumentar 0,5 em cada uma

dessas 25 notas, e, em seguida, calcular a média de todas elas, o valor encontrado

por ele será de:

a) 5,5

b) 6,0

c) 6,5

d) 7,0

e) 7,5

6. ESAF – SEFAZ/SP – 2009) Determine a mediana das seguintes observações:

17, 12, 9, 23, 14, 6, 3, 18, 42, 25, 18, 12, 34, 5, 17, 20, 7, 8, 21, 13, 31, 24, 9.

a) 13,5

b) 17

c) 14,5

d) 15,5

e) 14

7. FCC – SEFAZ/SP – 2006) O histograma de frequências absolutas abaixo

demonstra o comportamento dos valores arrecadados de um determinado tributo,

no ano de 2005, em uma região a ser analisada:

Observação: Considere que todos os intervalos de classe do histograma são

fechados à esquerda e abertos à direita.




Utilizando as informações contidas nesse histograma, calculou-se a média

aritmética destes valores arrecadados, considerando que todos os valores incluídos

num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo.

Também calculou-se a mediana de tais valores pelo método da interpolação linear.

Então, o módulo da diferença entre a média aritmética e a mediana é igual a:

a) R$100,00

b) R$400,00

c) R$800,00

d) R$900,00

e) R$1000,00

8. ESAF – SEFAZ/CE – 2006) O conjunto de notas dos alunos de uma determinada

prova é: {10, 5, 3, 4, 5, 10, 3, 8, 9, 3}. Assim, podemos dizer que a moda, média e

mediana deste conjunto são, respectivamente:

a) 3, 6 e 5.

b) 3, 4 e 5.

c) 10, 6 e 5.

d) 5, 4 e 3.

e) 3, 6 e 10.


questão.

9. FCC – BACEN – 2006) O valor da moda, obtida com a utilização da Fórmula de

Czuber*, é igual a (desprezar os centavos na resposta)

Dados:




* max

2. max ( )Z Zant

Moda Li hZ Zant Zpost

−= +− +

em que:

Li = limite inferior da classe modal

h = intervalo de classe modal

Zmax = freqüência da classe modal

Zant = freqüência da classe anterior à classe modal

Zpost = freqüência da classe posterior à classe modal

a) R$3201,00

b) R$3307,00

c) R$3404,00

d) R$3483,00

e) R$3571,00

10. ESAF – IRB – 2006) Sendo a moda menor que a mediana e, esta, menor que

média, pode-se afirmar que se trata de uma curva

a) Simétrica.

b) Assimétrica, com freqüências desviadas para a direita.

c) Assimétrica, com freqüências desviadas para a esquerda.

d) Simétrica, com freqüências desviadas para a direita.

e) Simétrica, com freqüências desviadas para a esquerda.

11. ESAF – AFRFB – 2003) Considere a tabela de freqüências seguinte

correspondente a uma amostra da variável X. Não existem observações

coincidentes com os extremos das classes.

Assinale a opção que corresponde à estimativa do valor x da distribuição amostral

de X que não é superado por cerca de 80% das observações.




a) 10.000

b) 12.000

c) 12.500

d) 11.000

e) 10.500

12. ESAF – ATRFB – 2009) Obtenha o valor mais próximo da variância amostral da

seguinte distribuição de frequências, onde xi representa o i-ésimo valor observado e

fi a respectiva frequência.

xi : 5 6 7 8 9

fi : 2 6 6 4 3

a) 1,429.

b) 1,225.

c) 1,5.

d) 1,39.

e) 1,4.

13. ESAF – SEFAZ/SP – 2009 – Adaptada) Considerando que uma série de

observações constituem uma amostra aleatória simples X1, X2, ..., Xn de uma

variável aleatória X, determine o valor mais próximo da variância amostral, usando

um estimador não tendencioso da variância de X.

Considere que:

a) 96,85

b) 92,64

c) 94,45

d) 90,57

e) 98,73




14. CESPE – MEC – 2009) Merendas escolares demandadas em 10 diferentes

escolas:

200, 250, 300, 250, 250, 200, 150, 200, 150, 200.

Com base nessas informações, julgue os próximos itens.


225.


superior a 50.

15. FCC – BACEN – 2006) Em um colégio, a média aritmética das alturas dos 120

rapazes é de m centímetros com uma variância de d2 centímetros quadrados (d >

0). A média aritmética das alturas das 80 moças é de (m – 8) centímetros com um

desvio padrão igual a 2021

d centímetros. Se o correspondente coeficiente de

variação encontrado para o grupo de rapazes é igual ao coeficiente de variação

encontrado para o grupo de moças, tem-se que a média aritmética dos dois grupos

reunidos é de

a) 162,0 cm

b) 164,6 cm

c) 164,8 cm

d) 166,4 cm

e) 168,2 cm

16. FCC – SEFAZ/SP – 2010 – Adaptada) Em um setor de um órgão público é

realizado um levantamento com relação aos salários de seus funcionários

administrativos. O resultado pode ser visualizado na tabela abaixo.

Com relação a este levantamento, tem-se que 60% dos funcionários:









17. ESAF – IRB – 2006) Histograma e Polígono de freqüência são

a) a mesma representação gráfica (idênticas) de uma distribuição de freqüência.

b) um texto descritivo e uma representação gráfica de uma distribuição de

freqüência.

c) um texto descritivo e uma função gráfica de uma distribuição de freqüência.

d) duas representações gráficas de uma distribuição de freqüência.

e) duas representações gráficas de uma distribuição de freqüência, porém com

sentidos opostos.

18. CESPE – CORREIOS – 2011) Julgue o item a seguir:

( ) Define-se variável como o conjunto de resultados possíveis para uma

característica avaliada.

19. CESPE – TRE/ES – 2011)

A tabela acima apresenta uma distribuição hipotética das quantidades de eleitores

que não votaram no segundo turno da eleição para presidente da República bem

como os números de municípios em que essas quantidades ocorreram. Com base

nessa tabela, julgue os itens seguintes, relativos à análise exploratória de dados.




( ) Na tabela de frequências, o uso de intervalos de classe permite concluir que a

variável em questão é contínua.

20. CESPE – TRE/ES – 2011)

Com base na tabela acima, referente às eleições de 2010, que apresenta a

quantidade de candidatos para os cargos de presidente da República, governador

de estado, senador, deputado federal e deputado estadual/distrital, bem como a

quantidade de candidatos considerados aptos pela justiça eleitoral e o total de

eleitos para cada cargo pretendido, julgue os itens a seguir.




21. FCC – BACEN – 2006) A média aritmética dos salários dos 100 empregados

em uma empresa é de R$ 1500,00. Na hipótese de serem demitidos 20

empregados, que ganham cada um o salário de R$ 2500,00, e ser concedido,

posteriormente, um aumento de 10% em todos os salários dos remanescentes, a

nova média aritmética dos salários será de

a) R$ 1 375,00




b) R$ 1 350,00

c) R$ 1 345,00

d) R$ 1 320,00

e) R$ 1 300,00

22. DOM CINTRA - CREMERJ/RJ - 2011) A média aritmética das idades de 10

alunos de uma determinada turma é igual a 15 anos. Se dois alunos, um com 12

anos e outro com 18 anos, saírem dessa turma, a média aritmética das idades dos 8

alunos restantes será igual a:

A) 13

B) 14

C) 15

D) 16

E) 17

23. FCC – BACEN – 2006) O histograma de freqüências absolutas a seguir foi

elaborado com base nas informações contidas na revista “O Empreiteiro”, de junho

de 2005, que demonstra o comportamento das empresas construtoras do ramo da

construção civil no Brasil que obtiveram faturamento em 2004 maior ou igual a 15

milhões de reais e menor ou igual a 120 milhões de reais

Com base nestas informações, obteve-se a média aritmética do faturamento das

empresas deste estudo, considerando que todos os valores incluídos num certo

intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo. Com

relação ao total de empresas deste histograma, o valor encontrado para esta média

pertence ao intervalo de classe que contém

a) 24% das empresas

b) 16% das empresas.




c) 9% das empresas.

d) 7% das empresas.

e) 5% das empresas.

24. ESAF – SEFAZ/CE - 2006) A média aritmética discreta de uma população

qualquer é dada pela seguinte formulação:

25. ESAF – SEFAZ/CE - 2006) Qual a variação (índice de aumento ou redução) do

preço médio verificado na tabela de compras abaixo?




a) 25%.

b) 33%.

c) 50%.

d) 125%.

e) 133%

26. FCC – Banco do Brasil – 2006) Os salários dos 40 empregados de uma

empresa, em 31 de dezembro de 2005, estavam distribuídos conforme a tabela

abaixo:

Neste caso, tem-se que a média aritmética dos salários dos empregados é

(A) R$ 1 400,00

(B) R$ 1 230,00

(C) R$ 1 150,00

(D) R$ 1 100,00

(E) R$ 1 050,00

27. FCC – Banco do Brasil – 2011) Palmira faz parte de um grupo de 10

funcionários do Banco do Brasil cuja média das idades é 30 anos. Se Palmira for

excluída do grupo, a média das idades dos funcionários restantes passa a ser 27

anos. Assim sendo, a idade de Palmira, em anos, é

(A) 60.

(B) 57.

(C) 54.




(D) 52.

(E) 48.

28. FCC – BANESE – 2012) O número de caixas eletrônicos disponíveis em cada

agência de um banco varia de acordo com o tamanho da agência. O gráfico a seguir

mostra como estão distribuídos esses caixas nas várias agências.

O número médio de caixas eletrônicos disponíveis por agência desse banco é igual

a

(A) 3,25.

(B) 3,4.

(C) 3,5.

(D) 3,6.

(E) 3,75.

29. FCC – SPPREV – 2012) O professor de Biologia do Ensino Médio, após a

correção das provas de sua turma, costuma organizar uma tabela, contendo a

porcentagem de acertos em cada questão. Observe os resultados da última prova:




O professor atribuiu apenas as notas 0 (zero) ou 1,25 (um inteiro e vinte e cinco

centésimos), respectivamente, a cada questão errada ou certa e calculou a média

das notas da prova. O resultado obtido foi

(A) 6,0.

(B) 4,5.

(C) 4,0.

(D) 5,0.

(E) 5,5.

30. FCC – TRE/SP – 2012) Em uma empresa trabalham 125 funcionários, sendo 45

com nível superior e 80 com nível médio. A média aritmética dos salários dos

funcionários com nível superior supera a dos funcionários com nível médio em R$

1.750,00 e a média aritmética de todos os 125 funcionários é igual a R$2.880,00. O

valor da soma da média aritmética dos salários dos funcionários com nível superior

com a média aritmética dos salários dos funcionários com nível médio é

(A) R$ 6.000,00.

(B) R$ 6.250,00.

(C) R$ 6.500,00.

(D) R$ 6.750,00.

(E) R$ 7.000,00.

Instruções: Para resolver a questão seguinte (FCC – SEFAZ/SP – 2009), considere



escolhido para análise. Sabe-se que as frequências absolutas correspondem às

quantidades de recolhimentos, sendo as frequências relativas do segundo e terceiro

intervalos de classe iguais a x e y, respectivamente.




31. FCC – SEFAZ/SP – 2009 – Adaptada) Sabendo que x = 0,35 e y = 0,25, e

utilizando o método da interpolação linear, tem-se que o valor da respectiva

mediana é

(A) R$ 3.120,00

(B) R$ 3.200,00

(C) R$ 3.400,00

(D) R$ 3.600,00

(E) R$ 3.800,00


questão.

32. FCC – BACEN – 2006) O valor da mediana dos salários dos empregados da

empresa XYZ, obtida pelo método da interpolação linear, é igual a:

a) R$3500,00

b) R$3625,00

c) R$3650,00

d) R$3800,00

e) R$4000,00

33. CEPERJ – PREF. SÃO GONÇALO – 2011) As temperaturas máximas diárias

de uma cidade, no inverno, foram medidas durante 12 dias, como é mostrado a

seguir.

21°C, 17°C, 20°C, 15°C, 23°C, 21°C, 12°C, 15°C, 15°C, 16°C, 23°C, 11°C

A moda e a mediana dessas temperaturas foram, respectivamente, de:

A) 21°C e 17,4°C

B) 23°C e 17°C

C) 15°C e 16,5°C




D) 11°C e 17°C

E) 17°C e 16°C


absolutas dos salários dos funcionários de uma empresa em número de salários

mínimos (S.M.):

O salário médio desses funcionários, obtido por meio dessa tabela, calculado como

se todos os valores de cada faixa salarial coincidissem com o ponto médio da

referida faixa, foi de 3,8 S.M. Nessas condições, o salário mediano dos funcionários

da empresa, calculado, através dessa tabela pelo método da interpolação linear,

está compreendido no intervalo de S.M. dado por

(A) 3,75 3,80

(B) 3,80 3,85

(C) 3,85 3,90

(D) 3,90 3,95

(E) 3,95 4,00

35. FCC – TRE/SP – 2012) A distribuição de frequências absolutas abaixo refere-se

aos salários dos 200 funcionários de um setor público no mês de dezembro de

2011.

Observação: fi é a frequência da i-ésima classe.




O valor da mediana, obtido pelo método da interpolação linear, é igual a

R$4.625,00. Se 76 funcionários possuem um salário superior a R$ 5.000,00, então a

porcentagem dos funcionários que possuem um salário de, no máximo, R$ 4.000,00

é igual a

(A) 20%.

(B) 24%.

(C) 30%.

(D) 32%.

(E) 40%.

36. DOM CINTRA - CREMERJ/RJ - 2011) As idades dos 10 alunos de uma turma

de Inglês são respectivamente iguais a:

12; 12; 12; 13; 13; 15; 15; 15; 15; 16.

A moda desses dez valores corresponde a:

A) 16

B) 15

C) 14

D) 13

E) 12

37. FCC – SEFAZ/SP – 2010) Em um setor de um órgão público é realizado um

levantamento com relação aos salários de seus funcionários administrativos. O

resultado pode ser visualizado na tabela abaixo.

Com relação a este levantamento e às medidas de posição, tem-se que

(A) a média aritmética, a mediana e a moda possuem o mesmo valor.

(B) o valor da média aritmética e o valor da mediana superam, cada um, o valor da

moda em R$ 250,00.

(C) o valor da moda é superior ao valor da média aritmética e também ao valor da

mediana.

(D) o valor da moda é igual ao valor da mediana, porém supera o valor da média

aritmética.




(E) a soma dos valores da média aritmética, da mediana e da moda é igual a R$

7.250,00.

38. ESAF – AFRFB – 2009) Considere a seguinte amostra aleatória das idades em

anos completos dos alunos em um curso preparatório. Com relação a essa amostra,

marque a única opção correta:

29, 27, 25, 39, 29, 27, 41, 31, 25, 33, 27, 25, 25, 23, 27, 27,

32, 26, 24, 36, 32, 26, 28, 24, 28, 27, 24, 26, 30, 26, 35, 26,

28, 34, 29, 23, 28.

a) A média e a mediana das idades são iguais a 27.

b) A moda e a média das idades são iguais a 27.

c) A mediana das idades é 27 e a média é 26,08.

d) A média das idades é 27 e o desvio-padrão é 1,074.

e) A moda e a mediana das idades são iguais a 27.

39. ESAF – AFRFB – 2005 – Adaptada) Para dados agrupados representados por

uma curva de freqüências, as diferenças entre os valores da média, da mediana e

da moda são indicadores da assimetria da curva. Indique a relação entre essas

medidas de posição para uma distribuição negativamente assimétrica.

a) A média apresenta o maior valor e a mediana se encontra abaixo da moda.

b) A moda apresenta o maior valor e a média se encontra abaixo da mediana.

c) A média apresenta o menor valor e a mediana se encontra acima da moda.

d) A média, a mediana e a moda são coincidentes em valor.

e) A moda apresenta o menor valor e a mediana se encontra abaixo da média.


da variável X, que representa o número de empregados numa amostra de 100

indústrias.




Sabendo que 5y − 4x = 4, o valor da soma Média (X) + Mediana (X) + Moda (X) é

igual a

(A) 121,2.

(B) 122,5.

(C) 122,8.

(D) 126,2.

(E) 126,5.


questão.

41. FCC – BACEN – 2006) A amplitude do intervalo entre o primeiro decil e o

terceiro quartil, encontrados pelo método da interpolação linear, é:

a) R$2500,00

b) R$2400,00

c) R$2150,00

d) R$2000,00

e) R$1400,00




42. FCC – SEFAZ/SP – 2010) Seja uma amostra aleatória simples extraída de uma

população, com tamanho 10 e representada por Xi; i = 1, 2, ... , 10. Sabe-se que

A variância desta amostra apresenta o valor de

(A) 67,3

(B) 63,0

(C) 61,0

(D) 59,7

(E) 57,0

43. ESAF – MDIC – 1998) Num estudo sobre a distribuição do preço de venda de

um produto obteve-se, a partir de uma amostra aleatória de 25 revendedores, a

tabela de freqüências seguinte:

As quantidades mi e fi representam o ponto médio e a freqüência da classe de

preços i. Sabendo-se que

2 2( ) ( ) / 25 694i i i if m f m− ≈∑ ∑

assinale a opção que melhor aproxima o desvio padrão amostral.

a) 0,5 (347/3)0.5

b) 6

c) 0,9 (345/3)0.5

d) 28,91




e) 8

44. ESAF – MDIC - 1998) No contexto da QUESTÃO ANTERIOR deseja-se obter

informação sobre o preço mediano praticado na amostra. Assinale a opção que

melhor aproxima este valor.

a) 16

b) 19

c) 17

d) 11

e) 14,2

45. ESAF – AFRFB – 2009) A tabela mostra a distribuição de frequências relativas

populacionais (f’) de uma variável X:

Sabendo que “a” é um número real, então a média e a variância de X são,

respectivamente:

Texto para as 2 questões seguintes:

O custo médio nacional para a construção de habitação com padrão de acabamento

normal, segundo levantamento realizado em novembro de 2008, foi de R$ 670,00

por metro quadrado, sendo R$ 400,00/m2 relativos às despesas com materiais de




construção e R$ 270,00/m2 com mão-de-obra. Nessa mesma pesquisa, os custos

médios regionais apontaram para os seguintes valores por metro quadrado: R$

700,00 (Sudeste), R$ 660,00 (Sul), R$ 670,00 (Norte), R$ 640,00 (Centro-Oeste) e

R$ 630,00 (Nordeste).

Sistema Nacional de Pesquisa de Custos e Índices da Construção

C i v i l. S I NA P I / I BG E , n o v . / 2 0 0 8 ( c o m a d a p t a ç õ e s ) .

46. CESPE – CEHAP/PB – 2009) Com base nas informações apresentadas no

texto, assinale a opção correta.









47. CESPE – CEHAP/PB – 2009) O desvio padrão dos custos médios regionais por

metro quadrado foi

A) inferior a R$ 30,00.

B) superior a R$ 30,01 e inferior a R$ 40,00.

C) superior a R$ 40,01 e inferior a R$ 50,00.

D) superior a R$ 50,01

48. ESAF – AFRFB – 2005) Uma empresa verificou que, historicamente, a idade

média dos consumidores de seu principal produto é de 25 anos, considerada baixa

por seus dirigentes. Com o objetivo de ampliar sua participação no mercado, a

empresa realizou uma campanha de divulgação voltada para consumidores com

idades mais avançadas. Um levantamento realizado para medir o impacto da

campanha indicou que as idades dos consumidores apresentaram a seguinte

distribuição:




Assinale a opção que corresponde ao resultado da campanha considerando o

seguinte critério de decisão:

se a diferença 25X − for maior que o valor 2 x

n

σ, então a campanha de divulgação

surtiu efeito, isto é, a idade média aumentou; caso contrário, a campanha de

divulgação não alcançou o resultado desejado.

a) A campanha surtiu efeito, pois 25 2,1X − = é maior que 2

1,53x

n

σ = .

b) A campanha não surtiu efeito, pois 25 0X − = é menor que 2

1,64x

n

σ = .

c) A campanha surtiu efeito, pois 25 2,1X − = é maior que 2

1,41x

n

σ = .

d) A campanha não surtiu efeito, pois 25 0X − = é menor que 2

1,53x

n

σ = .

e) A campanha surtiu efeito, pois 25 2,5X − = é maior que2

1,41x

n

σ = .

49. ESAF – AFRFB – 2005) De posse dos resultados de produtividade alcançados

por funcionários de determinada área da empresa em que trabalha, o Gerente de

Recursos Humanos decidiu empregar a seguinte estratégia: aqueles funcionários

com rendimento inferior a dois desvios padrões abaixo da média (Limite Inferior - LI)

deverão passar por treinamento específico para melhorar seus desempenhos;

aqueles funcionários com rendimento superior a dois desvios padrões acima de

média (Limite Superior - LS) serão promovidos a líderes de equipe.




Assinale a opção que apresenta os limites LI e LS a serem utilizados pelo Gerente

de Recursos Humanos.

a) LI = 4,0 e LS = 9,0

b) LI = 3,6 e LS = 9,4

c) LI = 3,0 e LS = 9,8

d) LI = 3,2 e LS = 9,4

e) LI = 3,4 e LS = 9,6

50. ESAF – SEFAZ/SP – 2009) Seguem algumas observações de uma variável

aleatória:

17, 12, 9, 23, 14, 6, 3, 18, 42, 25, 18, 1, 34, 5, 17, 20, 7, 8, 21, 13, 31, 24, 9

Considerando que as observações apresentadas acima constituem uma amostra

aleatória simples X1, X2, ..., Xn de uma variável aleatória X, determine o valor mais

próximo da variância amostral, usando um estimador não tendencioso da variância

de X.

Considere que:

a) 96,85

b) 92,64




c) 94,45

d) 90,57

e) 98,73

51. CEPERJ –SEFAZ/RJ – 2011) Seja X uma variável aleatória normalmente

distribuída com média µ e variância 2σ . Seja Y variável aleatória Xα β+ , onde β

é uma constante positiva. Se a média de Y for igual a zero e sua variância for

unitária, então α e β serão, respectivamente, iguais a:

a) σµ

− e σ

b) µ e 2σ

c) 1

e µσ σ

−

d) 0 e 1

e) e µ σσ

52. FCC – ARCE – 2012) O desvio padrão e a média de uma população de

tamanho N são dados, respectivamente, por 2 e 3. A soma dos quadrados dos

elementos dessa população é igual a 390. Nessas condições, o valor de N é

(A) 90.

(B) 80.

(C) 60.

(D) 40.

(E) 30.

53. ESAF – AFRFB – 2005) Em uma determinada semana uma empresa recebeu

as seguintes quantidades de pedidos para os produtos A e B:

Assinale a opção que apresente os coeficientes de variação dos dois produtos:




a) CVA = 15,1% e CVB = 12,3%

b) CVA = 16,1% e CVB = 10,3%

c) CVA = 16,1% e CVB = 12,3%

d) CVA = 15,1% e CVB = 10,3%

e) CVA = 16,1% e CVB = 15,1%

54. FCC – BACEN – 2006) Com relação às medidas de posição e de dispersão, é

correto afirmar:



dobrados.









55. FCC – SEFAZ/SP – 2006) Considerando as respectivas definições e

propriedades relacionadas às medidas de posição e de variabilidade, é correto

afirmar:

















56. ESAF – IRB – 2006) O grau ao qual os dados numéricos tendem a dispersar-se

em torno de um valor médio chama-se

a) média.

b) variação ou dispersão dos dados.

c) mediana.

d) correlação ou dispersão.

e) moda.

57. FCC – TRE/SP – 2012) Considere duas variáveis X e Y representando o peso

(em kg) e a altura (em cm), respectivamente, dos 100 sócios de um clube. Em um

censo realizado neste clube, foram apurados os seguintes resultados:

Xi e Yi são o peso e a altura, respectivamente, do i-ésimo sócio (i = 1, 2, 3, . . . ,100).

Está correto afirmar que o coeficiente de variação de

(A) X é maior que o coeficiente de variação de Y.

(B) X é igual a 9%.

(C) Y é igual a 10%.

(D) X é igual à metade do coeficiente de variação de Y.

(E) Y terá seu valor modificado caso seja alterada em seu cálculo a unidade de

medida de centímetro para metro.

58. FGV – Senado Federal – 2008) A respeito dos principais tipos de amostragem,

é correto afirmar que:










selecionados.



59. FCC – TRT/3ª – 2009) O objetivo de uma pesquisa era o de se obter,

relativamente aos moradores de um bairro, informações sobre duas variáveis: nível

educacional e renda familiar. Para cumprir tal objetivo, todos os moradores foram

entrevistados e arguídos quanto ao nível educacional, e, dentre todos os domicílios

do bairro, foram selecionados aleatoriamente 300 moradores para informar a renda

familiar. As abordagens utilizadas para as variáveis nível educacional e renda

familiar foram, respectivamente,

(A) censo e amostragem por conglomerados.

(B) amostragem aleatória e amostragem sistemática.

(C) censo e amostragem casual simples.

(D) amostragem estratificada e amostragem sistemática.

(E) amostragem sistemática e amostragem em dois estágios.

60. CESPE – TJ/ES – 2011) No que concerne aos planos amostrais, julgue os itens

a seguir.

( ) Tanto na amostragem estratificada quanto na amostragem por conglomerados, a

população é dividida em grupos. Na amostragem por conglomerados, de cada grupo

seleciona-se um conjunto de elementos; na amostragem estratificada, devem-se

selecionar quais estratos serão amostrados e, desses, observar todos os elementos.

61. CESPE – STM – 2011) Com relação aos planos amostrais, julgue o próximo

item.

( ) A diferença principal entre amostragem estratificada e amostragem por

conglomerados é que, no caso da estratificada, a população é dividida




artificialmente em estratos, e, no caso da amostragem por conglomerados, a

população já é naturalmente dividida em subpopulações.

62. FUNIVERSA – 2010 – CEB) Para saber das condições dos animais de uma

fazenda, será realizada uma pesquisa por amostragem estratificada, a partir de uma

amostra de 15 animais. A tabela seguinte apresenta o efetivo de animais dessa

fazenda.

Com base nessas informações, a quantidade de bovinos e suínos que serão usados

na pesquisa é de

a) 5

b) 6

c) 7

d) 8

e) 9

63. FGV – SEFAZ/RJ – 2011) A respeito das técnicas de amostragem

probabilística, NÃO é correto afirmar que















64. CESPE – CORREIOS – 2011) Um analista deseja inspecionar um lote de 500

pacotes com encomendas internacionais. Como essa inspeção requer a abertura de

cada pacote, ele decidiu fazê-la por amostragem, selecionando n pacotes desse

lote. O analista dispõe de um cadastro que permite localizar precisamente cada

pacote do lote por meio de um código de identificação.

Com base nessas informações e nos conceitos de amostragem, julgue os itens a

seguir.













65. CESPE – FUB – 2011) Com relação às técnicas de amostragem de populações

finitas, julgue os seguintes itens.

( ) As amostragens aleatórias simples, sistemática, estratificada e por cotas

representam planos de amostragem probabilísticos

66. FEPESE – SEFAZ/SC – 2010) A amostragem estratificada proporcional, a

amostragem por cotas e a amostragem por conglomerados são, respectivamente,

amostragem:

a) Não Casual, Casual e Casual.




b) Não Casual, Não Casual e Casual.

c) Casual, Não Casual e Não Casual.

d) Casual, Não Casual e Casual.

e) Casual, Casual e Casual.

67. CESPE – MS – 2010) Para estimar o salário médio mensal, os 5.000

empregados de uma empresa foram divididos em quatro estratos: homens com

menos de 40 anos de idade, homens com mais de 40 anos de idade, mulheres com

menos de 40 anos de idade e mulheres com mais de 40 anos de idade, conforme a

tabela a seguir.

Uma amostra estratificada proporcional de 200 empregados apresenta os seguintes

salários médios observados nos estratos, em R$:

De acordo com os dados acima, julgue os próximos itens.

( ) A amostra consiste de 48 homens com menos de 40 anos, 72 homens com mais

de 40 anos, 24 mulheres com menos de 40 anos, e 56 mulheres com mais de 40

anos.

68. FCC – TRT/9ª – 2010) Com relação à teoria geral de amostragem, considere:










distintas.

IV. Na amostragem em dois estágios, a população é dividida em dois grupos: um

será o grupo controle e o outro será o experimental.

É ERRADO o que consta APENAS em

a) II e III.

b) I, II e III.

c) I e II.

d) Nenhuma das afirmativas.

e) I e III.

69. FCC – MPU – 2007 – Adaptada) Com relação à teoria geral de amostragem, é

correto afirmar que:











70. FCC – Banco do Brasil – 2006) O histograma de freqüências absolutas abaixo

demonstra o comportamento dos salários dos 160 empregados de uma empresa em

dezembro de 2005:




Utilizando as informações nele contidas, calculou-se a média aritmética dos valores

dos salários destes empregados, considerando que todos os valores incluídos num

certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo.

Escolhendo aleatoriamente um empregado da empresa, a probabilidade dele

pertencer ao mesmo intervalo de classe do histograma ao qual pertence a média

aritmética calculada é

(A) 6,25%

(B) 12,50%

(C) 18,75%

(D) 31,25%

(E) 32,00%




4. GABARITO

01 E 02 A 03 A 04 C 05 C 06 B 07 A

08 A 09 E 10 B 11 E 12 C 13 A 14 EE

15 C 16 C 17 D 18 C 19 E 20 EC 21 A

22 C 23 B 24 C 25 B 26 E 27 B 28 D

29 D 30 B 31 B 32 B 33 C 34 D 35 C

36 B 37 C 38 E 39 B 40 A 41 C 42 E

43 A 44 A 45 A 46 B 47 A 48 A 49 E

50 A 51 C 52 E 53 B 54 D 55 E 56 B

57 D 58 E 59 C 60 E 61 E 62 E 63 D

64 ECE 65 E 66 D 67 E 68 D 69 E 70 D

Noções de Estatística ESTRATÉGIA.pdf

Documents

Transcript of Noções de Estatística ESTRATÉGIA.pdf