noções de lógica

Introdução à

Lógica MatemáticaCurso de Tecnólogo em Processamento de Dados

Professora Marisa Gaspar

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Assuntos abordadosIntrodução à Lógica Matemática

Proposições e conectivos

Operações lógicas sobre proposições

Tabela-verdade: Tautologia, Contradição eContingência

Álgebra das proposições

Argumentos e suas validades

Notas e comunicados

Introdução à Lógica Matemática

Marisa Gaspar - Lógica Matemática http://mjgaspar.sites.uol.com.br/logica/logica

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PROGRAMA DE DISCIPLINA

CURSO: TECNÓLOGO ÁREA DE CIÊNCIAS EXATAS DA TERRA

DISCIPLINA: INTRODUÇÃO À LÓGICA

PERÍODO: 1º CÓDIGO: CM –3-454

CARGA HORÁRIA SEMANAL: 76

EMENTA: Proposições, conectivos. Operações Lógicas sobre proposições. Análise lógica dalinguagem cotidiana. Sentido lógico-matemático convencional dos conectivos. Simbolizaçãode sentenças da linguagem cotidiana. Tabela-verdade : Tautologias, contradições econtingências. Álgebra das proposições dos interruptores. Argumentos e suas validades.Regras de inferência. Noções sobre a álgebra de Boole

OBJETIVOS GERAIS: Capacitar o aluno para:

Ampliar a capacidade de, como emissor, organizar a mensagem em pensamentoslógicos e completos;

Codificar a mensagem de acordo com o contexto e com o nível sociocultural doreceptor;

Expressar-se com fluência, argumentando e discutindo pontos de vista sobre o assuntoem geral;

Investigar as relações entre a razão e a lógica, bem como o modo pelo qual a atividaderacional, que a lógica reflete em grande parte, acha-se ligada à experiência.

Ter capacidade de lidar com incertezas;

Ter flexibilidade para aceitar mudanças;

Criar e explorar sistematicamente novas oportunidades.

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO CARGAHORÁRIA

Proposições e conectivos

Conceito de proposição. Valores Lógicos das proposições.Proposições simples e compostas. Conectivos. Conversãode proposição na forma de linguagem corrente paralinguagem simbólica lógica e vice-versa.

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Operações Lógicas sobre proposições

Negação. Conjunção. Disjunção. Condicional.Bicondicional

10

Tabelas –verdade: Tautologias, contradições econtingências .

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Construção da tabela – verdade de uma proposiçãocomposta. Número de linhas de uma tabela verdade.Valor Lógico de uma proposição composta. Uso deparênteses . Ordem de precedência. Tautologia.Contradição e Contingência.

Álgebra das proposições.

Definição de Equivalência Lógica. Propriedades eequivalência lógicas fundamentais. Propriedades da:Conjunção, disjunção, conjunção e disjunção associadas,negação da condicional e negação da bicondicional.

12

Argumentos e sua validades

Definição de um argumento. Validade de um argumento.Critério de validade de um argumento. Argumentosválidos fundamentais. Regras de inferência. O fluxogramapara demonstrar a validade de um argumento.

22

Álgebra dos interruptores ( Circuito deChaveamento )

Circuito de chaveamento: Construção e interpretação.Circuitos em série e paralelo. Simplificação de circuitos.

14

Bibliografia recomendada

ALENCAR FILHO, Iniciação à Lógica Matemática. Ed. Nobel

JACCOB DAGHLIAN. Lógica e Álgebra de Boole. Ed. Atlas

MENDELSON. Álgebra Booleana e Circuitos de Chaveamento. Ed. McGraw-Hill do Brasil

Sites recomendados sobre Lógica Matemática.

1. Links da Disciplina de Lógica MatemáticaLÓGICA MATEMÁTICA. Notas de Aula. Listas de Exercícios. Notas dasAvaliações. Alguns Links Interessantes....URL: www.ime.usp.br/~simardi/disciplina/logica/logica.html

2. Cálculo de PredicadosCálculo de...URL: www.lmc.fc.ul.pt/~jnsilva/logica97/node15.html

3. Fontini – Apostila sobre Lógica http://www.angelfire.com/bc/fontini/logica.html


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História da Lógica

A história da lógica começa com os trabalhos do filósofo grego Aristóteles (384-322 a.C.) deEstagira (hoje Estavro), na Macedônia, não se conhecendo precursores de sua obra, nomundo antigo.

Mais tarde, foram reunidos os trabalhos na obra denominada Organon, onde encontramosno capítulo Analytica Priora a parte essencial da Lógica.

Para Aristóteles, o raciocínio (dedutivo) reduz-se essencialmente ao tipo determinado que sedenomina silogismo.

Os componentes do silogismo aristotélico são sentenças universais ou particulares,afirmativas ou negativas, isto é , dos tipos seguintes:

A : Todos os animais são mortais – universal afirmativa

E : Nenhum animal é imortal – universal negativa

I : Alguns homens são sábios – particular afirmativa

O: Alguns homens não são sábios – particular negativa

Os silogismo aristotélicos constam de duas premissas e uma conclusão:

Num premissa "todo X é Y", X e Y são termos.

Ainda na antiguidade grega, temos a Lógica da escola dos estóicos e megáricos (Euclides deMegara – 400 A.C.). Esta lógica apresenta-se de modo diferente da aristotélica, pois, esta seliga ao Cálculo dos Predicados, ao passo que aquela se refere ao Cálculo Proposicional.Desenvolve aspectos não encontrados em Aristóteles. Pertence a essa escola, Zenão(336-204 A . C. ) que fundou o estoicismo. Crisipo foi o lógico mais fértil dessa época. Filo,também, dessa escola, ensinou que um condicional verdadeiro é a que não tem antecedenteverdadeiro e consequente falso, denominada, também, implicação material. Nesta escola,foram ainda dadas as diferenças entre "ou" inclusivo e o "ou" exclusivo e que "se..então.." sedefine em função de "não" e do "ou".

A Lógica moderna iniciou-se com a obra Investigation of the Laws of Thougt, de GeorgeBoole (1815 – 1864). Com isto deu novos rumos à Álgebra da Lógica. Paralelamente,Augustus De Morgan (1806-1871) desenvolveu, também, a Álgebra da Lógica.

As idéias de Boole e De Morgan foram objetos de publicações importantes de ChalesSanders Peirce (1839-1914), nos Estados Unidos.

Surge, então, Gottlob Frege (1848-1925), "o maior lógico dos tempos modernos", segundoAlonzo Church, com sua obra Begriffsschrift, onde pela primeira vez é desenvolvidoaxiomaticamente o Cálculo Sentencial, usando negação e implicação com conceitosprimitivos, seis axiomas e regras de modus ponens e de substituição.

Muitas idéias de Frege tratadas de maneira menos sistemática encontram-se em Peirce.


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A seguir vem Bertrand Russel a A.N. Witehead (1861-1947), com uma das mais importantesobras deste século Principia Matemática, em três volumes.

Entre o grande número de lógicos atuais, mencionamos, Kurt Godel e Alfred Tarski. A Godeldeve-se a primeira demonstração de completividade da Lógica elementar e daincompletividade de sistemas mais complexos, como a impossibilidade da existência de umsistema axiomático completo e consistente para a Aritmética usual.

A Tarski deve-se muito no que respeita ao progresso dos estudos lógicos. Dentre as suascontribuições, destaca-se, a definição semântica de verdade, que tem aplicações emnumerosos campos da Matemática, com repercussões na Filosofia.

É difícil dar hoje uma idéia da ampliação do campo de estudos da lógica, quanto àspesquisas e possibilidades, mas o que é certo é que um conhecimento preliminar ainda queintuitivo é necessário em quase todos os ramos de conhecimento.

Sabe-se que a lógica teve sua maior desenvoltura na Filosofia, caminhando pela Lingüística,Matemática e Ciência da Computação.

A Lógica na Ciência da ComputaçãoSegundo John Nolt (et al., 1991), "A lógica pode ser estudada de dois pontos de vista: aformal e a informal. Lógica formal é o estudo das formas de argumento, modelos abstratoscomuns a muitos argumentos distintos. Lógica informal é o estudo de argumentosparticulares em linguagem natural e do contexto no qual eles ocorrem." Cabe aqui ressaltarque os dois pontos de vista não são opostos, mas se complementam.

Do ponto de vista da ciência da computação, que se trabalha com o sentido semântico dosoperadores lógicos (princípio de bivalência - verdade, falso) a lógica formal predomina.

Esta disciplina nos introduzirá no mundo da lógica computacional (Ciência da Computação).Assim, veremos alguns conceitos e teremos a idéia da abrangência do mesmo.

Segundo o dicionário Aurélio, lógica significa "coerência de raciocínio, de idéias. Modo deraciocinar peculiar a alguém, ou a um grupo. Seqüência coerente, regular e necessária deacontecimentos, de coisas."

Um outro conceito seria: a ciência das leis ideais do pensamento e a arte de aplicá-loscorretamente no processo de investigação e demonstração da verdade.

No nosso dia a dia nos deparamos com vários problemas, nos quais, usamos a "lógica" deforma "consciente" para resolvê-los, isto é, um raciocínio detalhista, minucioso, combastante clareza, ou, raciocinamos de forma lógica sem tomarmos conhecimento,intuitivamente. Para que fique claro, criemos uma situação !!!

Você está viajando e fura um pneu de seu carro. Encosta-o e para. Será que você é capaz dedescrever todos os passos desde a parada do carro até o pneu trocado?

Dê um tempo! Tente ... pegue uma folha e descreva passo a passo ... depois prossiga aleitura.

Se você tentou, agora responda algumas perguntas:


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Você desligou o carro?

Você ligou o alerta?

Você tirou o sinto de segurança?

Você abriu a porta do carro?

Você puxou o freio de mão?

Você levou a chave para abrir o porta-malas?

Você verificou se o socorro estava cheio?

Teríamos N detalhes que muitas vezes fizemos intuitivamente e não nos preocupamos comisso, no entanto, quando os descrevemos chegamos a esquecer muitos deles. A lógica seriaa seqüência detalhada e clara do fato.

Quando alguém pergunta qual é a soma de 20 + 30, o resultado multiplicado por 4 e esteresultado dividido por dois, você faz os cálculos "de cabeça", no entanto você geralmentesegue um raciocínio, uma lógica, como:

- Primeiro, obter o resultado da soma (20+30=50) que chamaremos de resultado1.

- Segundo, pegar o resultado 1 que é 50 e multiplica por 4 (50*4=200) assim,chamaremos este de resultado 2.

- Terceiro, pegar o resultado 2 que é 200 e dividir por 2 (200/2=100) quechamaremos de resultado 3.

- Quarto, responder o resultado 3 para quem o perguntou, que neste caso é 100.

Raciocínio Lógico

Veja a seguinte charada !!!

Existe um rio a ser atravessado por três pessoas que pesam 50, 50 e 100 Kg. Paraatravessar este rio, as três pessoas dispõe de uma canoa que leva no máximo 100 Kg porviagem. Esta canoa tem que ser conduzida, isto é, ela não anda sozinha. Eis a questão, comoestas pessoas chegam no outro lado da margem? É um problema com resolução simples.

Depois de resolver este problema ou alguém lhe mostrar a solução, você é capaz de resolverproblemas semelhante a este ou outros do gênero e até mais complexos.

Esta é uma forma de "despertar" o Raciocínio Lógico. É impossível alguém lhe ensinar alógica, pois ela já está em você, o máximo que se pode fazer é torná-la consciente.

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UNIDADE I - Proposições e conectivos


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Proposição - é todo o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento desentido completo, isto é, afirmam fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito dedeterminados entes.

Exemplo:a) a lua é um satélite da Terra;

b) O sol é amarelo;

c) Brasília é a capital do Brasil.

Princípios Adotados como Regras Fundamentais do Pensamento, naLógica Matemática

Princípio da não contradição - uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmotempo.

Princípio do terceiro excluído - toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, esto é,verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro.

Valores Lógicos das Proposições

Chama-se valor lógico de uma proposição a verdade se a proposição é verdadeira e afalsidade se a proposição é falsa.

ValorLógico

Símbolo deDesignação

Verdade V

Falsidade F

Toda proposição tem um e um só dos valores V , F ( de acordo os dois princípiossupracitados).

Exemplo:a) o mercúrio é mais pesado que a água; valor lógico da proposição : verdade (V)b) o sol gira em torno da Terra; valor lógico da proposição : falsidade (F)

Tipos de Proposição

Simples ou Atômicas - é a proposição que não contém nenhuma outra proposição comoparte integrante de si mesma. As proposições simples são geralmente designadas por letrasminúsculas p, q, r, s ..., chamadas letras proposicionais.

Observação: Pode ser usada qualquer letra do alfabeto minúsculo para representar umaproposição simples.

Exemplo:p : Oscar é prudente;

q : Mário é engenheiro;

r : Maria é morena.


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Composta ou Molecular - é a proposição formada pela combinação de duas ou maisproposições. São habitualmente designadas por letras maiúsculas P, Q, R, S ..., tambémdenominadas letras proposicionais.

Exemplo:p : Walter é engenheiro E Pedro é estudante;

q : Mauro é dedicado OU Pedro é trabalhador;

r : SE Flávio é estudioso ENTÃO será aprovado.

Observação: As proposições compostas são também denominadas fórmulas proposicionaisou apenas fórmulas. Quando interessa destacar que uma proposição composta P é formadapela combinação de proposições simples, escreve-se: P ( p, q, r ...);

Conectivos - são palavras que se usam para formar novas proposições a partir de outras.

Exemplo:P : 6 é par E 8 é cubo perfeito;

Q : NÃO vai chover;

R : SE Mauro é médico, ENTÃO sabe biologia;

S : o triângulo ABC é isósceles OU equilátero;

T : o triângulo ABC é equilátero SE E SOMENTE SE é equilátero.

São conectivos usuais em lógica Matemática as palavras que estão grifadas, isto é "e", "ou","não", "se ... então", "... se e somente se ..."

Tabela Verdade

Proposição simples - Segundo o princípio do terceiro excluído, toda proposição simplesp,é verdade ou falsa, isto é, tem o valor lógico verdade (V) ou o valor lógico falso (F).

p

V

F

Proposição composta - O valor lógico de qualquer proposição composta dependeunicamente dos valores lógicos das proposições simples componentes, ficando por elesunivocamente determinados.

Tabela-Verdade

É um dispositivo prático muito usado para a determinação do valor lógico de umaproposição composta. Neste dispositivo figuram todos os possíveis valores lógicos daproposição composta, correspondentes a todas as possíveis atribuições de valores lógicos àsproposições simples componentes.

Proposição Composta - 02 proposições simples

Assim, por exemplo, no caso de uma proposição composta cujas proposições simples


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componentes são p e q, as únicas possíveis atribuições de valores lógicos a p e a q são:

p q

V V

V F

F V

F F

Observe-se que os valores lógicos V e F se alternam de dois em dois para a primeiraproposição p e de um em um para a segunda proposição q, e que, além disso, VV, VF, FV eFF são os arranjos binários com repetição dos dois elementos V e F.

Proposição Composta - 03 proposições simples

No caso de uma proposição composta cujas proposições simples componentes são p, q e r asúnicas possíveis atribuições de valores lógicos a p, a q e a r são:

p q r

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

Analogamente, observe-se que os valores lógicos V e F se alternam de quatro em quatropara a primeira proposição p, de dois em dois para a segunda proposição q e de um em umpara a terceira proposição r, e que, além disso, VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV e FFFsãos os arranjos ternários com repetição dos dois elementos V e F.

Notação

O valor lógico de uma proposição simples p indica-se por V(p). Assim, exprime-se que p éverdadeira (V), escrevendo: V(p) = V.Analogamente, exprime-se que p é falsa (F), escrevendo: V(p) = F.

Exemplos:p : o sol é verde;q : um hexágono tem nove diagonais;r : 2 é raiz da equação x² + 3x - 4 = 0

V(p) = FV(q) = VV(r) = F

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UNIDADE II - Operações lógicas sobre proposições

Operações Lógicas Fundamentais

Quando pensamos, efetuamos muitas vezes certas operações sobre proposições, chamadasoperações lógicas. As operações lógicas obedecem regras de um cálculo, denominadocálculo proposicional, semelhante ao da aritmética sobre números

Negação

Chama-se negação de uma proposição p a proposição representada por "não p", cujo valorlógico é verdade (V) quando p é falso e falsidade quando p é verdadeiro.Assim, "não p" tem valor lógico oposto daquele de p.

Simbolicamente, a negação de p é indicada com notação "~ p", que se lê "não p". O valorlógico da negação de uma proposição é, portanto, definido pela seguinte tabela-verdade:

p ~ p

V F

F V

ou seja, pelas igualdades

~ V = F e ~ F = V

V (~ p) = ~ V(p)

O valor lógico da negação de p é igual à negação do valor lógico de p.

Em linguagem comum a negação efetua-se nos casos mais simples, antepondo o advérbio"não" ao verbo da proposição dada.

Exemplo:

p : o sol é uma estrela

~p : o sol não é uma estrela

Outra maneira de efetuar a negação consiste em antepor à proposição dada expressões taiscomo "não é verdade que", "é falso que".Exemplo:q : Carlos é engenheiro~q : é falso que Carlos é engenheiro;~q : não é verdade que Carlos é engenheiro.

~q : não acontece que Carlos é engenheiro.

Conjunção

Chama-se conjunção de duas proposições p e q a proposição representada por "p e q", cujovalor lógico é a verdade (V) quando as proposições p e q são verdadeiras e a falsidade (F)nos demais casos.


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p q p Ù q

V V V

V F F

F V F

F F F

Disjunção

Chama-se disjunção de duas proposições p e q a proposição representada por p ou q, cujo ovalor lógico é a verdade (V) quando ao menos uma das proposições p e q é verdadeira e afalsidade (F) quando as proposições p e q são ambas falsas.

p q p Ú q

V V V

V F V

F V V

F F F

Disjunção Exclusiva

Chama-se disjunção exclusiva de duas proposições p e q a proposição representadasimbolicamente por p V q, que se lê: "ou p ou q" ou "p ou q, mas não ambos", cujo valorlógico é a verdade (V) somente quando p é verdadeira ou q é verdadeira, mas não quando pe q são ambas verdadeiras, e a falsidade (F) quando p e q são ambas verdadeiras ou falsas.

p q p Ú q

V V F

V F V

F V V

F F F

Condicional

Chama-se proposição condicional ou apenas condicional uma proposição representada por"se p então q", cujo valor lógico é a falsidade (F) no caso em que p é verdadeira e q é falsa ea verdade (V) nos demais casos.

p q p ® q

V V V

V F F

F V V

F F V

Bicondicional

Chama-se proposição bicondicional ou apenas bicondicional uma proposição representada


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por "p se e somente q", cujo valor lógico é a verdade(V) quando p e q são ambas verdadeirasou ambas falsas, e a falsidade (F) nos demais casos.

p q p « q

V V V

V F F

F V F

F F V

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UNIDADE III - Tabelas-verdade: Tautologia,Contradição e Contingência

Construção de Tabelas - Verdade

Dada várias proposições simples p, q, r , ..., podemos combiná-las pelos conectivos lógicos:

Negação ~

Conjunção Ù

Disjunção Ú

Condicional ®

Bicondicional «

e construir proposições compostas, tais como:

P(p,q) = ~ p Ú (p ® q)Q(p,q) = (p « ~ q) Ù qR(p,q,r) = (p® ~ q Ú r ) Ù ~ (q Ú (p « ~ r))

Tabela Verdade de uma Proposição Composta

Então, com o emprego das tabelas verdade das operações lógicas fundamentais é possívelconstruir a tabela verdade esta que mostrará exatamente os casos em que a proposiçãocomposta será verdadeira (V) ou falsa (F), admitindo-se, como é sabido, que o seu valorlógico só depende dos valores lógicos das proposições simples componentes.

Números de Linhas de uma Tabela Verdade

O número de linhas da tabela verdade de uma proposição composta depende do número deproposições simples que a integram, sendo dado pelo seguinte teorema:A tabela-verdade de uma proposição composta, com n proposições simples componentes,contém 2 elevado a n linhas.

Para se construir a tabela-verdade de uma proposição composta dada, procede-se daseguinte maneira:


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determina-se o número de linhas da tabela- verdade que se quer construir;a.observa-se a precedência entre os conectivos, isto é, determina-se a forma dasproposições que ocorrem no problema;

b.

aplicam-se as definições das operações lógicas que o problema exigir.c.

ExemploConstruir a tabela-verdade da proposição: P(p,q) = ~ (p Ù ~ q)

p q ~ q p Ù ~ q~ (p Ù ~

q)

V V F F V

V F V V F

F V F F V

F F V F V

O uso de parênteses

É óbvia a necessidade de usar parêntesis na simbolização das proposições, que devem sercolocados para evitar qualquer tipo de ambigüidade. Assim, por exemplo, a expressão p Ù qÚ r dá lugar, colocando parêntesis, às duas seguintes proposições:

(i) (p Ù q) Ú r

(ii) p Ù ( q Ú r)

que não têm o mesmo significado lógico, pois na (i) o conectivo principal é "Ú ", e na (ii), oconectivo principal é "Ù ".

Por outro lado, em muitos casos, parêntesis podem ser suprimidos, a fim de simplificar asproposições simbolizadas, desde que, naturalmente, ambigüidade alguma venha a aparecer.

A supressão de parêntesis nas proposições simbolizadas se faz mediante algumasconvenções, das quais são particularmente importante as duas seguintes:

A "ordem de precedência" para os conectivos é:

(1º) ~ ; (2º) Ù e Ú ; (3º) ® ; (4º) «

Portanto o conectivo mais "fraco" é "~" e o conectivo mais "forte" é "« ".

Assim, por exemplo, a proposição:

p® q « s Ù r

é uma bicondicional e nunca uma condicional ou uma conjunção. Para convertê-la numacondicional há que usar parêntesis: p® (q « s Ù r)

e para convertê-la em uma conjunção: (p® q « s) Ù r

Quando um mesmo conectivo aparece sucessivamente repetido, suprimem-se os parêntesis,fazendo-se a associação a partir da esquerda.


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Exemplo:

((~ (~ (p Ù q))) Ú (~ p) fica como ~ ~ (p Ù q ) Ú ~ p

Tautologias, Contradições e Contingências

Tautologia - Chama-se tautologia toda a proposição composta cuja última coluna de suatabela-verdade encerra somente a letra V (verdadeira). Em outros termos, Tautologia é todaproposição composta P(p, q, r, ...) cujo valor lógico é sempre (V) verdade, quaisquer quesejam os valores lógicos das proposições simples componentes.

Exemplos:a) A proposição "~ (p Ù ~ p)" (Princípio da não contradição) é tautológica, conforme se vêpela sua tabela-verdade:

p ~ pp Ù ~

p~ (p Ù~ q)

V F F V

F V F V

b) A proposição "p Ú ~ p" (Princípio do terceiro excluído) é uma tautologia.

p ~ pp Ú ~

p

V F V

F V V

Contradição - Chama-se contradição toda a proposição composta cuja última coluna da suatabela-verdade encerra somente a letra F (falsidade).

Em outros termos, contradição é toda proposição composta P(p, q, r,...) cujo valor lógico ésempre F (falsidade), quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simplescomponentes p, q, r, ...Como uma tautologia é sempre verdadeira (V), a negação de uma tautologia é sempre falsa(F), ou seja, é uma contradição, e vice-versa.

p ~ p p Ù ~ p

V F F

F V F

p ~ p p « ~ p

V F F

F V F

Contingência - Chama-se contingência toda a proposição composta em cuja última coluna


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de sua tabela-verdade figuram as letras V e F cada uma pelo menos uma vez.Em outros termos, contingência é toda proposição composta que não é tautologia nemcontradição.As contingências são também denominadas proposições contingentes ou proposiçõesindeterminadas.

p ~ p p ® ~ p

V F F

F V V

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UNIDADE IV -Álgebra das proposições

Equivalência Lógica

Diz-se que uma proposição P (p, q, r, ...) é logicamente equivalente ou apenas equivalente auma proposição Q (p, q, r, ...), se as tabelas-verdade destas duas proposições são idênticas.

Indica-se que a proposição P (p, q, r, ...) é equivalente a proposição Q (p, q, r, ...) com anotação

P (p, q, r, ...) Û Q (p, q, r, ...)

Em particular, se as proposições P (p, q, r, ...) e Q (p, q, r, ...) são ambas tautológicas ou sãoambas contradições, então são equivalentes.

Equivalências Notáveis

Propriedades da Conjunção

Sejam p, q e r proposições simples quaisquer e sejam t e c proposições também simplescujos valores lógicos respectivos são V (verdade) e F (falsidade).

(a) Idempotente : p Ù p Û p

p p Ù p p Ù p « p

V V V

F F V

(b) Comutativa : p Ù q Û q Ù p

p q p Ù q q Ù p p Ù q « q Ùp

V V V V V


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V F F F V

F V F F V

F F F F V

(c) Associativa : (p Ù q) Ù r Û p Ù (q Ù r)

p q r p Ù q (p Ù q)Ù r

q Ùr

p Ù (q Ùr)

(p Ù q) Ù r « p Ù (qÙ r)

V V V V V V V V

V V F V F F F V

V F V F F F F V

V F F F F F F V

F V V F F V F V

F V F F F F F V

F F V F F F F V

F F F F F F F V

As colunas 5 e 7 são equivalentes

(d) Identidade : p Ù t Û p e p Ù c Û c

p t c p Ù t p Ù c p Ù t «p

p Ù c « c

V V F V F V V

F V F F F V V

As colunas equivalentes são 1, 4 e 3, 5.

Propriedades da Disjunção

Sejam p, q e r proposições simples quaisquer e sejam t e c proposições também simplescujos valores lógicos respectivos são V (verdade) e F (falsidade).

(a) Idempotente : p Ú p Û p

p p Ú p p Ú p « p

V V V

F F V

(b) Comutativa : p Ú q Û q Ú p


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p q p Ú q q Ú p p Ú q « qÚ p

V V V V V

V F V V V

F V V V V

F F F F V

(c) Associativa : (p Ú q) Ú r Û p Ú (q Ú r)

p q r p Úq

(p Ú q)Ú r

q Úr

p Ú (qÚ r)

(p Ú q) Ú r « p Ú (qÚ r)

V V V V V V V V

V V F V V V V V

V F V V V V V V

V F F V V F V V

F V V V V V V V

F V F V V V V V

F F V F V V V V

F F F F F F F V


(d) Identidade : p Ú t Û t e p Ú c Û p

p t c p Ú t p Ú c p Ú t «p

p Ú c «c

V V F V V V V

F V F V F V V

As colunas equivalentes são 1, 5 e 2, 4.

Propriedades da Conjunção e da Disjunção

(a) Distributivas

(i) p Ù (q Ú r) Û (p Ù q) Ú (p Ù r)

p q r q Úr

p Ù (q Úr)

p Ùq

p Ùr

(p Ù q) Ú (pÙ r)


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V V V V V V V V

V V F V V V F V

V F V V V F V V

V F F F F F F F

F V V V F F F F

F V F V F F F F

F F V V F F F F

F F F F F F F F


(ii) p Ú (q Ù r) Û (p Ú q) Ù (p Ú r)

p q r q Ùr

p Ú (q Ùr)

p Úq

p Úr

(p Ú q) Ù (pÚ r)

V V V V V V V V

V V F F V V V V

V F V F V V V V

V F F F V V V V

F V V V V V V V

F V F F F V F F

F F V F F F V F

F F F F F F F F


(b) Absorção

(i) p Ù (p Ú q) Û p

p q p Úq

p Ù (p Úq)

p Ù (p Ú q)« p

V V V V V

V F V V V

F V V F V

F F F F V


18 de 23 26-07-2012 14:36


(ii) p Ú (p Ù q) Û p

p q p Ùq

p Ú (p Ùq)

p Ú (p Ù q)« p

V V V V V

V F F V V

F V F F V

F F F F V


(c) Regras de DE MORGAN (1806 – 1871)

(i) ~ (p Ù q) Û ~ p Ú ~ q

p q p Ùq

~ (p Ùq)

~p

~q

~ p Ú ~ q

V V V F F F F

V F F V F V V

F V F V V F V

F F F V V V V


(ii) ~ (p Ú q) Û ~ p Ù ~ q

p q p Úq

~ (p Úq)

~p

~q

~ p Ù ~ q

V V V F F F F

V F V F F V F

F V V F V F F

F F F V V V V


Condicional

p ® q Û ~ p Ú q


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p q p ®q

~p

~ p Ú q

V V V F V

V F F F F

F V V V V

F F V V V


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UNIDADE V - Argumentos e suas validades

Representação de argumentos usando o fluxograma

Introdução

A quem interessa o estudo da lógica? Aos filósofos? Aos matemáticos? Aos homens deciências?

Proposta: analise as mensagens abaixo e seus argumentos.

Ou você é a favor do presidente ou você é contra a reeleição.

Você não é a favor do presidente.

Conclui-se que: Você é contra a reeleição.

Criança que tem brinquedo roletrex é feliz.

A criança é feliz.

Conclui-se que: A criança tem brinquedo roletrex.

O primeiro argumento tem um erro de falsa dicotomia e o segundo induz a pensar que oantecedente segue do conseqüente, ou o contrário.

Vivemos no nosso dia-a-dia recebendo mensagens publicitárias através dos mais diversosmeios e argumentando com nossos interlocutores a respeito dos mais diversos assuntos.Para que não caiamos prisioneiros de argumentos enganosos (as falácias) ou de frasesambíguas, faz-se necessário um mínimo de conhecimento de lógica. Assim, podemos afirmarque o estudo da lógica interessa a todos.

Definição de Argumento

Consideremos a informação extraída da seção Ciência, do Jornal do Brasil,


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de 5 de julho de 1997, a respeito do pouso da sonda Pathfinder, em Marte.

"Um sinal de rádio emitido pela nave para euforia dos cientistas que acompanhavam amissão do centro de controle indicou que a Pathfinder havia penetrado com sucesso naatmosfera marciana..."

Podemos reconstituir esta informação da seguinte maneira:

Alguns cientistas acompanhavam a missão do centro de controle (NASA).

Um sinal de rádio foi emitido pela nave (para o centro de controle).

(O sinal de rádio) indicou que a Pathfinder havia penetrado com sucesso a atmosferamarciana.

Os cientistas ficaram eufóricos.

Notemos nesta reconstituição que a afirmação "Os cientistas ficaram eufóricos" decorre dasdeclarações anteriores. Temos, aí, um argumento.

Sejam P1, P2,...,Pn e Q proposições quaisquer, simples ou compostas.

Chama-se argumento toda a afirmação de que uma dada seqüência finita P1, P2,...,Pn deproposições tem como conseqüência ou acarreta uma proposição final Q.

As proposições P1, P2,..., Pn dizem-se as premissas do argumento, e a proposição final Qdiz-se a conclusão do argumento.

Um argumento de premissas P1, P2,...,Pn e de conclusão Q indica-se por:

P1, P2,...,Pn a Q, onde se lê: "P1P2,...,Pn acarretam Q".

Na forma padronizada as premissas invocadas para "servir de justificativa", acham-se sobreo traço horizontal e a conclusão do argumento estará sob o mesmo traço horizontal.

Validade de um Argumento

Um argumento P1,P2,...,Pn a Q diz-se válido se e somente se a conclusão Q é verdadeiratodas as vezes que as premissas P1,P2,...,Pn são verdadeiras.

Portanto, todo argumento válido goza da seguinte característica: A verdade das premissas éincompatível com a falsidade da conclusão.

Um argumento não-válido diz-se um sofisma.

Deste modo, todo argumento tem um valor lógico, digamos V se é válido(correto, legítimo)ou F se é um sofisma(incorreto, ilegítimo).

As premissas dos argumento são verdadeiras ou, pelo menos admitidas como tal. Aliás, aLógica só se preocupa com a validade dos argumentos e não com a verdade ou falsidade daspremissas e das conclusões.

A validade de um argumento depende exclusivamente da relação existente entre aspremissas e a conclusão. Portanto, afirmar que um dado argumento é válido significa


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afirmar que as premissas são verdadeiras.

Regras de inferência usadas para demonstrar a validade dos argumentos

Regra deadição (AD):

i) ii)

Regra desimplificação(SIMP):

i) ii)

Regra daconjunção(CONJ):

i) ii)

Regra daabsorção(ABS):

Regra modusponens(MP):

Regra modustollens(MT):

Regra dosilogismodisjuntivo(SD):

i) ii)

Regra dosilogismohipotético(SH):

Regra do dilemaconstrutivo(DC):

Regra do dilemadestrutivo(DD):

Com o auxílio destas dez regras de inferência pode-se demonstrar a validade de um grandenúmero de argumento mais complexos.

A validade de qualquer argumento pode ser demonstrada, verificada e testada medianteTabelas-verdade, Regra de Inferência, Equivalências e Fluxogramas. Nos deteremos, agora,nos fluxogramas.

O fluxograma constitui um método alternativo para as Tabelas-verdade na verificação davalidade de um argumento, no qual se ilustra o raciocínio utilizado.

Neste método, para verificação da validade de um argumento ou prova de um teorema,procede-se da seguinte maneira:

consideram-se as premissas verdadeiras;1.aplicam-se as definições dos conectivos lógicos para determinar o valor lógico daconclusão que deverá se a verdade(V), para que o argumento seja válido ou o teoremaprovado;

2.

Caso ocorram situações em que não se possa determinar o valor lógico da conclusão, ou emque F = V(contradição), o argumento não é válido.

O teste de validade de argumentos ou prova de teoremas mediante o uso do fluxogramapode ser feito pelo método direto ou indireto (por absurdo).

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