Noções básicas sobre o núcleo e o declínio

radioactivo

20 de Abril de 2005

1 Constituição do núcleo

O átomo é uma nuvem de Z electrões que rodeia um núcleo constituído por Zprotões e N neutrões.

Figura 1: O núcleo tem Z protões e N neutrões (nucleões). Os nucleões são porsua vez constituidos por quarks.

Temos então que o número de massa A é dado por

A = Z + N. (1)

♦ A designação �número de massa� quer dizer a massa do núcleoem unidades de nucleão, já que protões e neutrões têm praticamente amesma massa.

1

Os núcleos são geralmente representados na forma AZX, em que X é o símbolo

químico do elemento. Por exemplo, o núcleo do Ferro é 5626Fe, o que quer dizer

que tem 26 protões (e portanto o átomo também tem 26 electrões) e que tem 56nucleões. Daqui se deduz que o número de neutrões é 30.

É o Z que determina o elemento. Para o mesmo Z podem haver vários valorespossíveis de N , e portanto de A. Aos núcleos com igual Z e diferente A chamamosisótopos.

♦ Isótopos famosos:

• O Hidrogénio tem três isótopos: o hidrogénio normal, 11H, o deutério,

21H e o trítio, 3

1H.

• O carbono tem 4 isótopos, 116 C, 12

6 C, 136 C e 14

6 C, sendo que o maisabundamnte é o 12

6 C, com aproximadamente 98.9% de abundânciarelativa e que o 13

6 C tem aproximadamente 1.1% de abundânciarelativa.

Os nucleões são constituídos, por sua vez, por quarks. Existem seis tiposde quarks: up (u), down (d), charm (c), strange (s), top (t) e bottom (b). Osquarks têm carga fraccionária. Up, charm e top têm carga +2/3 e down, starngee bottom têm carga -1/3. Os anti-quarks têm carga oposta. São fermiões, e porisso têm spin 1/2. Os nucleões são costituídos por quarks u e d. Assim,

• o protão é dado por 11p = uud

• o neutrão é dado por 10n = udd.

Porque é que os nucleões não se repelem?

Com efeito, os protões dever-se-iam repelir, já que têm a mesma carga. Aresposta é que no interior do núcleo faz-se sentir a força nuclear forte, que émuito mais intensa que a força electromagnética, embora de muito mais curtoalcance.

Tal como a força electromagnética é mediada pelos fotões (a interacção elec-tromagnética é a troca de um fotão), a força nuclear forte é mediada pelos gluões,que são trocados entre os quarks. Tal como cargas eléctricas opostas se atraem,os quarks têm uma carga de côr (vermelho, azul, verde, anti-vermelho, anti-azule anti-verde). A atracção dá-se entre cores diferentes e entre anti-cores. Coresiguais repelem-se.

2

Figura 2: Os nucleões são constituídos por quarks

2 Declínios Radioactivos

A maior parte dos núcleos que podem existir não são estáveis. Isto quer dizerque podem passar a um estado de mais baixa energia. Este estado por sua vezpode ou não ser estável. A cadeia acaba no estado de mais baixa energia, que éo núcleo estável.

A forma que o núcleo tem de procurar a estabilidade é �livrar-se� de partículas.Assim, os três tipos de emissão radioactiva são os seguintes

• Emissão α: o núcleo emite uma partícula α, que é um núcleo de Hélio, ouseja, dois protões e dois neutrões. Como as partículas α são muito massivastêm um fraco poder penetrante na matéria.

A emissão α corresponde a uma �ssão do núcleo. Este decaimento pode seresrito como

AZX →A−4

Z−2 Y +42 He. (2)

♦ Exemplos de declínios α:

23892 U→234

90 Th +42 He

22688 Ra→222

86 Rn +42 He

• Emissão β: o núcleo emite uma partícula β, que pode ser um electrão ouum positrão. São muitissimo mais leves do que as partículas α. Por issotêm um poder penetrante maior, precisamente porque a sua capacidade deinteractuar com a matéria também é mais reduzida.

3

A origem da emiisão β está noutra força: a força electrofraca. Esta in-teracção, que é mediada pelos bosões W± e Z0, permite que um quark u(ou d) se tranforme num quark d (ou u), com a emissão de um electrão(ou positrão) e um antineutrino (ou neutrino). Assim aparece a partículaβ que é emitida pelo núcleo. Portanto, a partícula β tem origem numatransformação de um quark noutro.

O decaimento beta pode ser escrito comoAZX→A

Z+1 Y + β− + ν̄ (3)AZX→A

Z−1 Y + β+ + ν (4)

♦ Exemplos de desintegrações beta:13755 Cs→137

56 Ba + β− + ν̄

2211Na→22

10 Ne + β+ + ν

• Emissão γ: o núcleo emite uma partícula γ, que é um fotão. Estes fotõestêm uma grande energia (têm uma frequência muito superior à da luz visível,na banda dos raios-X). Têm portanto um grande poder de penetração namatéria.

A emisão γ tem origem na interacção electromagnética nos núcleos. Muitasvezes dá-se após um declínio beta ou alfa, que ainda deixaram o núcleo numestado excitado. A desexcitação dá-se através da emissão de um fotão. Odecçíbio gama não altera portanto os números atómico e de massa. Podeescrever-sr

AZX∗ →A

Z X + γ, (5)

onde o asterisco indica que o núcleo está num estado excitado.

3 Esquemas de declínio

Vejamos agora alguns esquemas de declínios radioactivos

• O 125B pode decair directamente para o 12

6C através de um declínio β− oupode primeiro decair para um estado excitado 12

5C∗, que por seua vez decai

para o estado �nal através de uma emissão gama.

De passagem note-se que a partícula β− também se pode escrever como0−1e e que portanto a equação do declínio se pode escrever numa forma quemostra directamente a conservação dos números atómico e de massa:

125B→12

6 C∗ + 0−1 e + ν̄ (6)

126C

∗ →126 C + γ. (7)

4

Figura 3: Declínio do 125B

♦ Uma nota sobre as energias: as energias em FísicaNuclear são expressas e múltiplos do electrão-Volt (eV). O que éum eV? É a energia adquirida ou (perdida) por um electrão que semove através de uma diferença de potencial de 1 V. E quanto é essaenergia? Sabemos que a variação da energia potencial ∆U de umacarga q que atravessa uma ddp de ∆V é ∆U = q∆V . Assim, nocaso de um electrão e 1 V,

1 eV = 1, 60× 10−19C · 1V = 1, 60× 10−19J. (8)

Assim, a diferença de energia entre o 125B e o 12

6C é de 13.4 MeV, ouseja 2.144× 10−12 J.

• Por vezes a série de declínios é longa. Uma série famosa, a série do 23892U,

está representada abaixo.

4 Probabilidade de Desintegração

Consideremos uma colecção muito grande de núcleos radioacticos. Consideremosque λ é a probabilidade de decaimento de um núcleo por unidade de tempo:

λ = probabilidade de desintegração, (9)

[λ] = s−1. (10)

λ não depende do tempo, isto é, não importa se um ado núcleo está à esperade decair há 1 milhão de anos ou há 1 dia � a probabilidade de que ele decaiano próximo segundo é sempre a mesma.

5

Figura 4: Declínio do 125B

Como se determina λ? Suponhamos que temos 1020 núcleos e que durante 5segundos decaem 105 núcleos. Então a probabilidade de decaimento em 5 s é

P [5s] =105

1020= 10−15. (11)

A probabilidade por unidade de tempo é então

P (s−1) =105

1020 · 5s= 2× 10−16 s−1 ≡ λ. (12)

De uma forma geral, se temos n(t) núcleos por decair num dado instantede tempo e se num intervalo in�nitésimal dt decaem dn(t) núcleos, então, poranalogia com exemplo anterior compreendemos que λ é dado por

λ =−dn(t)

dt · n(t)(13)

(o sinal (-) é porque λ > 0 mas dn < 0 já que n está a diminuir). odemosreescrever esta equação na forma

dn(t)

dt= −λn(t). (14)

6

Esta equação também se pode interpretar assim:

taxa de variação de n(t) = prob. de desint.×no de núcleos por decair, (15)

já que λn(t) deve dar o número de núcleos que decai por unidade de tempo, pelaprópria de�nição de λ.

5 Equação do declínio radioactivo

Esta equação (14) é fácil de integrar, pois é a equação a que satisfaz uma expo-nencial. Assim, n(t) tem a forma

n(t) = Ce−λt, (16)

em que C é uma constante a determinar. Essa determinação é trivial. Sabemosque em t = 0 ainda nenhum n�cleo decaíu e portanto n(t = 0) = n0, em que n0

é o número inicial de núcleos. Temos então

n(t = 0) = Ce0 = n0 ⇒ C = n0. (17)

Portanto, a expressão �nal para n(t) é

n(t) = n0e−λt. (18)

Este é o número de núcleos que restam em cada instante t. A equação (18) é aequação do declínio radioactivo. Mostra que o número de núcleos por decairdiminui de forma exponencial ao longo do tempo.

6 Vida Média

Dada uma amostra com um número muito grande de núcleos e probabilidade dedeclínio λ, quanto é que um núcleo vive en média? Por outras palavras, qual é asua vida média? A �gura que se segue mostra o raciocínio básico para chegarà expressão da vida média:

Nesta �gura estamos a tomar um incremento de ∆t = 1s. Se tomarmos agora∆t → dt, então o número de núcleos que viveram entre t e t + dt é dado porn(t)− n(t + dt) = −dn.

No caso ∆t = 1s calcularíamos a vida média como uma média pesada,tomando o peso do intervalo i como sendo n(ti−1) − n(ti) e o intervalo seriarepresentado pelo seu valor médio. Assim,

τ =0.5 · (n(0)− n(1)) + 1.5 · (n(1)− n(2)) + . . .

n(0)(19)

7

Figura 5: O número de núcleos por decair para uma espécie com λ = 0.02s−1.

No caso em que ∆t passa a dt temos n(ti−1)− n(ti)→ −dn e∑→ ∫

, pelo que

τ =1

n(0)

∫ ∞0

t(−dn) =1

λ. (20)

♦ Este resultado mostra-se de forma simples. Começamos por no-tar que de acordo com a equação do declínio radioactivo se tem dn =−λn0e

−λtdt. Fica então

τ = λ∫ ∞0

te−λtdt = λ[−e−λt

(1

λ2+

t

λ

)]∞0

=1

λ.

Chegamos então à conclusão de que a vida média é o inverso da proba-

bilidade de desintegração (e tem unidades de s, claro).

7 Período

O Período de desintegração, T , é o intervalo de tempo em que o número denúcleos por decair se reduz a metade do número inicial. Assim,

n(T ) =n0

2⇒ noe

−λT =n0

2⇒ −λT = − ln 2, (21)

ou seja

T =ln 2

λ= τ ln 2. (22)

8

Figura 6: O tempo de vida dos núcleos em função de n(t).

8 Actividade

Não podemos medir n(t) e portanto a equação do declínio radioactivo, como está,não nos serve de muito. No entanto podemos medir o número de declínios porunidade de tempo. Como já vimos, isso vale

λn(t) = −dn

dt≡ A(t). (23)

A(t) é a actividade, que já pode,mos medir, com um contador Geiger, porexemplo. É fácil de ver que a actividade satisfaz à mesma equação que n(t):

dA

dt= λ

dn

dt= λ[−λn(t)] ≡ λA(t). (24)

Se A(t) satisfaz à mesma equação diferencial que n(t), então também satisfaz àmesma equação de declínio:

A(t) = A0e−λt, (25)

com A0 = A(t = 0) = λn(t = 0) = λn0.Podemos medir a actividade com um contador Geiger e através desta con-

tagem determinar λ e assim n0.

9

Figura 7: Determinando τ a partir das medidas da actividade.

9 A Estatística do declínio radioactivo

A desintegração de um núcleo radioactivo é um processo aleatório: numa colecçãode núcleos não podemos prever qual será o próximo a decair e para um núcleoem particular não sabemos quando decairá. Vimos no entanto que se λ é aprobabilidade de desintegração por unidade de tempo, então λn(t) é a taxa devariação temporal de n(t), o número de núcleos por decair. Isto ainda quer dizerque podemos interpretar λn(t) como o número de declínios por unidade de tempo.

Suponhamos agora que fazemos repetidas medidas do número de desinte-grações num intervalo de tempo ∆t. Então, se n(t) praticamente não variar em∆t temos que o número médio de desintegrações em ∆t é

∆n = λn(t)∆t. (26)

Se ∆n � n(t), então podemos considerar que n(t) não varia e tomamos n(t) ≡N =Const. Para que isto aconteça devemos ter, por (26),

∆n

N= λ∆t� 1⇒ τ � ∆t. (27)

Agora é fácil de compreender que

• τ � ∆t é uma condição necessária e su�ciente (vimos apenas a necessária)para que

1. n(t) se possa considerar constante, =N , e

10

2. λn(t)∆t = λN∆t é o valor médio de desintegrações em ∆t.

Mas se µ = λN∆t é o valor médio, isto quer dizer que todas as medidas vãodar o valor µ de contagens? Claro que não. Se �zermos muitas contagens de∆t segundos, os resultados vão oscilar em torno de µ. A forma como se dá essaoscilação é descrita pela distribuição de Poisson:

P (n, µ) =µne−µ

n!, (28)

em que n é o número de contagens, µ = λN∆t é o número médio de contagens eP (n, µ) é a probabilidade de ter n contagens se µ for o número médio de contagens.Assim, no nosso caso pobemos ainda escrever

P (n, λN∆t) =(λN∆t)ne−λN∆t

n!. (29)

A forma da distribuição está ilustrada na �gura. À medida que µ → ∞ adistribuição de Poisson tende para uma distribuição do tipo gaussiano.

Figura 8: A distribuição de Poisson para µ = 5.

Vejamos agora as propriedades da distribuição de Poisson;

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• Normalização A soma de todas as probabilidades deve dar 1, ou seja∞∑

n=0

P (n, µ) = 1. (30)

♦ É fácil ver:∞∑

n=0

P (n, µ) =

( ∞∑n=0

µn

n!

)e−µ.

Mas a expansão em série de eµ é precisamente pela soma entreparêntesis. Assim,

∞∑n=0

P (n, µ) = eµe−µ = 1.

• Valor Médio O valor médio para qualquer distribuição de probabilidadenão é mais do que a média pesada: n̄ =

∑n npn. Assim, neste caso temos

que o número médio de contagens é

n̄ =∞∑

n=0

nP (n, µ) = µ. (31)

♦ Este resultado tinha de ser ser assim, já que a µ é, porhipótese, o valor médio. Temos

n̄ =∞∑

n=0

nP (n, µ) =∞∑

n=0

nµn

n!e−µ = µe−µ

∞∑n=1

µn−1

(n− 1)!= . . .

onde só se usou o facto de que o termo n = 0 é nulo e se passaramos elementos constantes para fora da soma. Se �zermos agora amudança de variável k = n− 1 temos

. . . = µe−µ∞∑

k=0

µk

k!= µe−µeµ = µ.

• Variância De uma forma geral, a variância é dada por

σ2 =1

N − 1

∞∑i=0

(xi − x̄2). (32)

É fácil ver que se N →∞, então σ2 se pode antes escrever

σ2 =1

N

∞∑i=0

x2i − x̄2. (33)

No nosso caso isto vai implicar

σ =√

n. (34)

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♦ Mostremos este resultado: a aplicação directa de (33) dá

σ2 =∞∑

n=0

n2µn

n!e−µ − µ2 =

∞∑n=0

nµn

(n− 1)!e−µ − µ2 =

= µe−µ∞∑

n=1

nµn−1

(n− 1)!− µ2 = µe−µ d

dµ

∞∑n=1

µn

(n− 1)!− µ2

Se agora �zermos de novo a mudança de índice k = n−1, a expressão�ca

µe−µ d

dµ

∞∑k=0

µk+1

k!− µ2 = µe−µ d

dµ

[µ∞∑

k=0

µk

k!

]− µ2

= µe−µ d

dµ[µeµ]− µ2 = µe−µ(eµ + µeµ)− µ2 = µ

Este resultado quer dizer que quando fazemos contagens a variância aumentacom o número de contagens, já que σ =

√n.

♦ Imaginemos que fazemos muitas medições num dado intervalo decontagem e que o valor médio de contagens é 9. Isto quer dizer queas contagens se distribuem à volta do valor 9 com uma dispersão de±√

9 = ±3. Se agora aumentarmos o tempo de contagem e passarmosa ter µ = 100, então passamos a ter valores de contagem distribuídos emtorno de n = 100, com uma dispersão de ±

√100 = ±10.

Questão Quer isto dizer que a estatística piora com o número decontagens?

Para uma contagem individual também assumimos uma variância de√n, porque a contagem já é em si uma amostra estatística (p. ex.:

medida única de 547 contagens. Então o resultado é n = 547±√

547).

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