Noções de Matemática Aplicada - Instructure

135 Aula 5: Noções de Matemática Aplicada

AULA

5

Noções de Matemática Aplicada

NESTA AULA´ Conceito de função matemática e relações de dependência

´ Taxa Média de Variação

METAS dE coMprEENSão´ Explicar problemas como a evolução do montante ao longo do tempo ou em

função da taxa de juro, a evolução da receita ao longo do tempo ou em funçãodo nível de vendas, em termos de funções matemáticas.

´ Dada uma tabela ou um gráfico, identificar se representam uma relação dotipo funcional.

´ Explicar o que é a taxa de variação de uma função.

´ Analisar o comportamento de funções no contexto de problemas aplicados.

´ AprESENTAÇão

Nesta aula você verá que funções podem ser representadas de três formas diferen-

tes: numérica, visual e algébrica. Para poder acompanhar melhor nossa aula você po-

derá também assistir a algumas videoaulas do Novo Telecurso indicadas para relembrar

conceitos estudados.

Na primeira parte será apresentado o conceito de função e ao estudo da função afim.

Na segunda parte desta aula trataremos sobre o conceito de taxa de variação. Essa infor-

mação permite analisar situações de risco de investimentos, pois ajuda a entender quan-

do se está chegando a situações extremas do comportamento das quantidades envolvidas

no problema que se está estudando.

136 Matemática Aplicada

conceito de função matemática e relações de dependência

Nas aulas anteriores você pôde verificar a importância da Matemática como uma ferramenta para a análise de dados estatísticos e financeiros. Em particular na terceira e na quarta aula você acompanhou o uso do con-ceito de funções em Matemática Financeira para descrever os dois modelos de regime de capitalização e de desconto, o regime simples e o compos-to, mas sem que tenhamos discutido o conceito de função mais profunda-mente. De fato, o conceito de função apareceu nas aulas 3 e 4 quando se precisou mostrar a evolução do capital ou do juro no decorrer do tempo. Nesse caso, você pôde verificar que existe uma dependência do capital ou do juro em função do tempo ou do prazo de aplicação. Essa dependência foi primeiramente apresentada usando uma tabela de dados numéricos e depois na forma algébrica, usando equações ou fórmulas.

O conceito de função aparece em uma situação problema quando você percebe que o valor numérico de uma determinada quantidade depende do valor numérico de outra. Considere os seguintes exemplos:

Em regime de juros simples, você viu que o juro depende do prazo de aplicação de um capital. Vejamos essa situação considerando um exem-plo em que o capital inicial C=R$ 2.000,00 é aplicado a taxa de juros i=5% a.m.. A regra que relaciona o juro J e o prazo ou tempo de aplicação n édada pela equação J=C∙i∙n. Assim, para a situação considerada, se tem queo capital inicial multiplicado pela taxa de juros é igual

Assim, basta substituirmos na equação do juro esse valor, e se tem que

Para cada valor positivo de n, o prazo da aplicação está associado um único valor de J, neste caso se diz que J é uma função de n. Para este exemplo, basta multiplicar o prazo da aplicação por 100 para que tenha-mos o valor do juro. A equação dada anteriormente é um exemplo da re-presentação de uma função na sua forma algébrica.

Considere a tabela a seguir. Ela representa o total de vendas mensal de um determinado produto de uma loja durante um intervalo de cinco meses. Para cada mês existe um único valor correspondente de vendas daquele produto: também dizemos que o total de vendas depende do mês considerado, ou seja, o total de venda do produto é uma função do mês considerado.


Mês Venda

Janeiro 25

Fevereiro 35

Março 65

Abril 105

Maio 40

´ Figura 5.1 – cotação diária de uma ação da companhiado Vale do rio doce.

Em cada um dos exemplos anteriores, observe que existe uma lei ou regra explícita ou implícita segundo a qual, dado o valor de uma quan-tidade, fica determina um único valor da outra quantidade. Assim, se diz que a segunda quantidade é uma função da primeira. De maneira geral, se pode apresentar a seguinte definição para função.

O gráfico a seguir apresenta o comportamento da cotação diária de um tipo de ação da Companhia Vale do Rio Doce na Bovespa. Os dados são apre-sentados a partir do dia 13/12/2012. Para um dado dia, o gráfico fornece apenas uma cotação para a ação da Companhia Vale do Rio Doce. Para cada dia apresentado no gráfico existe apenas um único valor para a ação consi-derada. Esta situação também sugere uma dependência funcional entre a cotação da ação e o dia considerado.


Atenção à definiçãoUma função f qualquer é uma regra ou lei que relaciona duas quantidades

denominadas em geral de x e y=f(x), tal que existe um único y para um determinado valor de x. Chama-se de domínio D da função o conjunto de todos os valores admissíveis de x. A imagem Im da função é o conjunto de todos os valores admissíveis de y.

Em geral, as funções envolvidas nas situações-problema que apresenta-remos para você são tais que e são subconjuntos dos números reais.

SAibA

nomenclAturA e notAçãoOs números x e y são chamados de variáveis. Os valores de y

dependem da escolha dos valores de x, assim x é chamado de variável independente e y é chamado de variável dependente.

A notação f(x) usada para o número y indica que este é o valor de f calculado para um determinado x e deve ser lido como “f de x”. Nada impede de usar outra letra para identificar a função. Em geral, se utiliza uma letra que seja representativa da quantidade que se está analisando. Por exemplo, em um dos exemplos anteriores você observou que o juro pode ser representado pela letra J é a variável dependente e o prazo, representado pela letra n, é a variável independente. Usando a notação de função você poderia escrever a função para o primeiro exemplo da seguinte forma J(n)=100∙n, isto é, “J de n”. Mas em geral suprimimos o parêntesis com a variável independente para simplificar a nomenclatura.

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Vídeo

Assista à videoaula do Novo Telecurso, indicada para você complementar seu aprendizado.

Aula 27 – noção de funçãoDisponível em: http://www.youtube.com/watch?v=AZapJ-AVAe4Acesso em: 20 ago. 2013.

´ O plano cartesiano e o gráfico de funções

Todas as duplas de números x e y obtidas por uma determinada funçãoformam um conjunto de pares ordenados (x;y), que, segundo a definição anterior, não pode apresentar elementos distintos com o mesmo valor x.

Par ordenado:É uma dupla de

números na qual a ordem da dupla é

especificada. Se x for o primeiro número

e y o segundo,escrevemos cada par ordenado colocando

os dois números entre parênteses e

separados por ponto e vírgula, como (x;y).

Se um dos números é um número decimal, para evitar confusão,

a separação é feita usando ponto e

vírgula. Note que, pela definição, a dupla (4;5)

é diferente da dupla (5;4).


Em geometria, o plano numérico é o conjunto de todos os pares ordena-dos (x;y). Assim, cada par ordenado corresponde a um único ponto P nesse plano e é também chamado de coordenadas cartesianas do ponto P. O valor de x está associado com a abscissa do ponto P e o valor de y está associado com a ordenada do ponto P.

Atenção à definiçãoAbscissa ou coordenada cartesiana é a distância ao eixo .

Ordenada ou coordenada cartesiana y é a distância do ponto P ao eixo x. Veja na Fig. 5.2 a geometria que define essas distâncias.

O plano numérico é definido geometricamente pela intersecção de duas retas. Uma reta é horizontal e é chamada de eixo x ou eixo das abscissas, a outra é vertical e chamada de eixo y ou eixo das ordenadas. As duas se cruzam no ponto (0;0) chamado de origem e identificado pela letra O. Uma unidade de comprimento, escolhida arbitrariamente, é associada a cada eixo, sendo que não é necessário usar a mesma unidade para ambos os ei-xos. A Figura 5.2 apresenta os elementos básicos do plano cartesiano.

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Vídeo

Assista às seguintes videoaulas do Novo Telecurso, para você acompanhar como se utiliza o plano numérico cartesiano para a construção do gráfico de uma função e do gráfico de uma equação. Nessas videoaulas você também pode acompanhar a interpretação de vários tipos de gráficos e suas aplicações no nosso cotidiano.

´ Figura 5.2 – Elementos geométricos do plano cartesiano.


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Vídeo

Aula 8 - coordenadasDisponível em:http://www.youtube.com/watch?v=v6GeILb87hA

Aula 28 – Gráfico de uma funçãoDisponível em:http://www.youtube.com/watch?v=CsFMtknIcyc

Aula 29 – Gráficos estão na vidaDisponível em:http://www.youtube.com/watch?v=k3Mc42SvOGg

Aula 65 – Gráfico de uma equaçãoDisponível em:http://www.youtube.com/watch?v=mVAGjuB_lUAAcesso em: 20 ago. 2013.

A forma mais comum de visualizar uma função é construindo o seu grá-fico no plano cartesiano. Essa visualização permite a você fazer interpre-tações sobre o comportamento das variáveis envolvidas na função, compa-rações entre os diversos tipos de funções e previsões do comportamento futuro das variáveis.

Atenção à definiçãoO gráfico de um função é a representação geométrica no plano cartesiano

do conjunto de todos os pares ordenados (x;y) gerados a partir da relação de dependência entre x e y, isto é, para os quais (x;y) é uma dupla ordenada em f.

Como você viu anteriormente, nos exemplos dados no início dessa seção, a relação de dependência pode ser dada explicitamente de forma algébrica (o exemplo do juro em regime de capitalização simples) ou então pode serobservada ou medida diretamente (o exemplo da cotação diária da ação daVale do Rio do Doce na Bovespa).

A seguir discutiremos alguns tipos de funções importantes para o seu curso. Nosso objetivo é o de fazer com que você ganhe experiência no tra-balho com funções para que possa aplicar esse conceito no seu cotidiano de trabalho.


Existem diversos tipos de funções elementares, mas neste texto estamos interessados naqueles tipos que aparecem na maioria das aplicações na área financeira e econômica. Para este estudo escolhemos uma represen-tante das funções polinomiais, a função polinomial do primeiro ou função afim. Essa escolha é devido ao fato de que essa função tem uma ampla apli-cação em situações-problema da área financeira, comercial e econômica.

Primeiramente faremos a apresentação da forma algébrica de cada tipo e o respectivo gráfico juntamente com a análise de comportamento. Após essa apresentação mostraremos algumas aplicações na área financeira, co-mercial e econômica da função afim.

LEiTUrAS iNdicAdAS

Uma leitura muito interessante de ser feita por você é a do primeiro capítulo de Stewart (2006). Neste capítulo o autor discute o papel das funções na modelagem de problemas. O autor dá destaque para as funções polinomiais, funções trigonométricas, função exponencial e função logarítmica.

STEWART, J. Cálculo. vol. 1. 5 ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006.

A Função Polinomial do Primeiro Grau também é chamada por alguns autores de Função Afim ou Função Linear. Talvez essa última nomencla-tura seja a mais conveniente, pois o conjunto de pares ordenados gerado por essa função apresenta graficamente o comportamento de uma reta. Contudo, você verá a seguir que existe uma diferença entre Função Afim e Função Linear.

A Função Polinomial do Primeiro Grau pode ser definida por

Onde m é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear. Esses coefi-cientes são números reais, mas, para garantir que se está lidando de fato com uma função polinomial do primeiro grau, é necessária a condição de que m seja diferente de zero, isto é, m≠0. A nomenclatura dos coeficientes dessa função está relacionada com o papel que cada um tem na descrição gráfica dessa função, cujos detalhes serão fornecidos posteriormente. Ago-ra podemos distinguir as duas outras nomenclaturas usadas para a função polinomial do primeiro grau apresentadas anteriormente. Se b≠0 se tem uma Função Afim, se b=0 se tem um Função Linear. Para o caso de uma Função Linear a forma algébrica é reduzida a y=f(x)=m∙x. Observe que na Função Linear as quantidades envolvidas no problema em questão são proporcionais, sendo que a constante de proporcionalidade é dada pelo coeficiente angular.

Em geral, o domínio e a imagem da função afim são dados pelo conjunto numérico dos reais, mas você deve ficar atento, pois nem sempre isso é ver-


dade. Não é incomum, em situações-problema do cotidiano profissional, li-mitarmos o domínio de uma função afim a um subconjunto dos números reais.

A seguir apresentaremos alguns exemplos de funções polinomiais do pri-meiro grau e o comportamento gráfico de cada uma.

Esses exemplos mostram três funções afins do tipo linear (b≠0). A tabela a seguir fornece alguns pares ordenados para a função f(x). A escolha do va-lor de x é arbitrária, você poderia escolher outros valores sem que isso alte-rasse nossas conclusões sobre as características específicas da função f(x).

x y=f(x)=2∙x (x,y)-3 y=2∙-3=-6 (-3;-6)-2 y=2∙-2=-4 (-2;-4)-1 y=2∙-1=-2 (-1;-2)0 y=2∙0=0 (0;0)1 y=2∙1=2 (0;2)2 y=2∙2=4 (2;4)3 y=2∙3=6 (3;6)

Você pode e deve construir tabelas semelhantes para os outros exem-plos. Os valores de x podem ser os mesmos que são apresentados na tabela anterior. A figura a seguir mostra os gráficos gerados pela planilha eletrôni-ca Excel para as funções dos exemplos anteriores. Cada gráfico cartesiano é uma composição de duas funções para poder facilitar a comparação de suas características.

Gráfico da esquerda: comparação entre a função f(x)=2∙x e a função h(x)=-2∙x.Gráfico da direita: comparação entre a função f(x)=2∙x e a função g(x)=3∙x.


A partir do gráfico da esquerda da Figura 5.3, você pode observar que as funções f(x) e g(x) são ambas crescentes, sendo que a função g(x) apresen-ta um crescimento maior que o observado para a função f(x). Esta caracte-rística da função afim é dada pelo valor do seu coeficiente angular. Se m>0 a função é crescente, se m<0 a função é decrescente. Além disso, o coefi-ciente angular está relacionado com a inclinação da reta. Assim, funções com maiores valores do coeficiente angular possuem maiores inclinações. De fato, a inclinação da função g(x) é maior do que a inclinação da função f(x). Contudo quando comparamos essa característica entre as funções f(x) e h(x), verificamos que a função g(x) é decrescente (veja o gráfico da direi-ta). Em outras palavras, h(x) apresenta uma inclinação negativa.

Atenção à definiçãoConsidere um intervalo de valores de x dentro do domínio da função

y=f(x). Considere também dois pares ordenados quaisquer gerados por uma função f(x) dados por (x_1;y_1) e (x_2;y_2 ), tal que x_2>x_1 dentro desse mesmo intervalo de valores de x. Considere as seguintes diferenças

∆x=x_2-x_1>0∆y=y_2-y_1

Uma função é crescente se para quaisquer pares ordenados dentro do intervalo se ∆x>0 se tem que ∆y>0. Uma função é decrescente se para quaisquer pares ordenados dentro do intervalo se ∆x>0 se tem que ∆y<0. Em outras palavras, uma função é crescente dentro de um intervalo de valores para x se você observa que para qualquer aumento nos valores de x corresponde um aumento nos valores de y.

Por outro lado, uma função é decrescente se, dentro de um intervalo de valores para x, você observa que para qualquer aumento nos valores de x corresponde uma diminuição nos valores de y. Observe a Tabela 1, a partir dos vários pares ordenados apresentados você pode concluir que a função f(x)=2∙x é do tipo crescente.

Após a construção de tabelas para as outras funções observe os respectivos pares ordenados obtidos e identifique novamente o comportamento em termos de crescimento e decrescimento de cada uma.

Outro comportamento que se destaca para as funções afins do tipo line-ar é que toda reta que descreve essas funções sempre passa pela origem do plano do cartesiano. Agora considere os dois exemplos de funções afins dados a seguir.


Primeiramente, você deve verificar se as funções são crescentes ou de-crescentes. Para os dois casos dados não é difícil identificar que as duas funções são crescentes, pois os coeficientes são positivos e têm a mesma inclinação, já que os seus coeficientes angulares são iguais. Além disso, as funções não são lineares, pois os seus coeficientes lineares são diferentes de zero. Assim, as suas retas não podem passar pela origem. A Figura 5.4 apresenta a comparação dos gráficos desses dois últimos exemplos com o gráfico da função f(x)=2∙x. Nessa comparação queremos mostrar o pa-pel que o coeficiente linear tem para o gráfico da função. Observe que ocoeficiente linear representa o ponto onde a reta cruza o eixo y do planocartesiano. Assim, para a função f(x) a reta cruza o eixo y na origem, poiso seu coeficiente linear é zero; para função i(x) a reta cruza o eixo y noponto 4, pois o seu coeficiente linear é igual a 4; e a reta da função j(x)cruza o eixo y no ponto -2, pois o seu coeficiente linear é igual a -2. Alémdessas características, outra importante informação sobre qualquer tipo defunção é a sua raiz ou zero da função. A raiz é um particular valor x parao qual y=f(x)=0. Assim, usando a função afim temos que a raiz é dada por

Resolvendo essa última equação se tem que

.Assim, para a função f(x)=2∙x do tipo linear e crescente tem raiz x=0,

pois b=0. Mas a função i(x)=2x+4 tem raiz

De fato, se substituirmos este valor na função, temos que

´ Figura 5.4 – Comparação entre os gráficos das funçõesf(x), i(x) e j(x).


A raiz também pode ser observada graficamente. Ela é representada pelo ponto onde a reta da função cruza o eixo x. Então, a partir do gráfico da Figura 5.4 a função f(x) tem raiz igual 0, pois sua reta cruza o eixo x na origem; a função i(x) tem raiz -2, pois sua reta cruza o eixo x no ponto -2; e a função j(x) tem raiz igual 1, pois sua reta cruza o eixo x no ponto 1.

Além das características estudadas anteriormente, a função afim pode ser analisada pelo sinal dos valores numéricos para y. Esta análise é cha-mada de estudo do sinal da função. Graficamente esse comportamento é representado pelo fato de que a reta cruza o eixo x e o sinal do valor numé-rico correspondente à variável y muda. Em outras palavras, os valores de y mudam de sinal quando a reta cruza o eixo x passando pela raiz da função. Contudo, a mudança de sinal ocorre de maneira distinta quando a função é crescente ou decrescente. Para o caso das funções que são crescentes, o sinal dos valores de y antes da função passar por sua raiz é negativo, depois é positivo (veja os gráficos da Figura 5.4). Isto ocorre de maneira inversa para funções decrescentes. Observe os gráficos da Figura 5.5, neles estão representadas duas funções p(x) e q(x).

A partir da análise do gráfico podemos identificar que a função p(x) é uma função afim do tipo crescente, cujo coeficiente linear é igual a -8 (cru-zamento da reta com o eixo y) e sua raiz é igual a 2 (cruzamento da reta com o eixo x). Assim, o estudo do sinal da função indica que a função, ou os valores de y, são negativos para x<2 (antes da raiz da função) e positi-vos para x>2 (depois da raiz da função). Ainda falta determinar o valor do coeficiente angular. Este cálculo é fácil, basta conhecer dois pares ordena-dos cartesianos a partir do gráfico para podermos determiná-lo. Observe o gráfico e perceba que tanto o ponto que define o coeficiente linear, quanto o ponto que define a raiz da função podem ser usados para determinar ocoeficiente angular. Para a função p(x) o par ordenado que define o pontorelativo ao coeficiente linear é dado por P_1=(0;-8), ou seja, x_1=0 e y_1=-8. E o par ordenado que define o ponto relativo à raiz é dado por P_2=(2;0),tal que x_2=2 e y_2=0. Para determinar o coeficiente angular o cálculo éfeito da seguinte maneira:

´ Figura 5.5 – Interpretação gráfica.


Lembre-se que comentamos que o coeficiente angular também fornece a informação sobre a inclinação da reta, quanto maior for esse número, mais inclinada será a reta. Este comportamento será estudado com mais detalhes na próxima seção dessa aula, onde discutiremos taxa de variação. Assim, para o exemplo considerado temos

Portanto, a função afim é dada por p(x)=4x-8. De fato, não é necessário usar sempre esses dois pares ordenados, poderiam ser outros dois pares or-denados quaisquer. Agora é a sua vez de trabalhar. Refaça a mesma análise para a função q(x).

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Vídeo

Assista à videoaula sobre a função Polinomial do Primeiro Grau do Novo Telecurso para você complementar seu aprendizado. Observe que a definição usada para essa função na videoaula é , onde a é o coeficiente angular e b o coeficiente linear.

Aula 27 – A função Disponível em:http://www.youtube.com/watch?v=p5RDrzunHHgAcesso em: 20 ago. 2013.

A seguir você poderá acompanhar alguns exemplos de aplicação da função afim.

Na terceira aula, a Tabela 4 apresentou a evolução do capital aplicado durante um prazo de seis meses. Ao final de cada período de capitalização apresentamos naquela tabela o montante ou valor futuro. Agora podemos analisar melhor aqueles resultados para o montante a partir do ponto de vista das funções matemáticas. De fato, você deve perceber que, para um determinado capital e taxa de juro, cada montante da Tabela 4 é determi-nado em função do período de capitalização, que neste caso também faz o papel da passagem do tempo. Em outras palavras o montante tem umarelação de dependência com o período de capitalização que você quer con-siderar. Por exemplo, para n=4, o quarto mês da aplicação, o montante é M= R$ 20.280,00. Assim, o período de capitalização é variável independentee o montante é a variável dependente. Se utilizarmos os dados da primeirae última coluna daquela tabela para construção gráfica, teremos o obser-vado na Figura 5.6.


´ Figura 5.6 – Montante em função do períodode capitalização.

Observe que o período de capitalização assume apenas alguns valores, aqueles que comparecem na Tabela 4 da terceira aula. Como mencionado anteriormente, em problemas reais nem sempre a variável independen-te assume valores de subconjunto dos números reais. Note que, embora não tenhamos uma reta como àquelas observadas nos exemplos discutidos anteriormente, a relação de dependência do montante com o período de capitalização tem um comportamento de função afim. De fato, vamos rees-crever a terceira relação do Quadro 4 da aula 3 para que ela se apresente como uma função afim. Assim, como o montante é dado por

para cumprir o nosso objetivo vamos reescrevê-la usando a operação de distributiva indicada tal que tenhamos o seguinte resultado

Usando a definição de juros por período dada na aula 3 e introduzindo a nomenclatura de função temos que

E trocando a ordem das parcelas do lado direito da última relação final-mente obtemos

Note que o capital C faz o papel do coeficiente linear e os juros por pe-ríodo j faz o papel do coeficiente angular. Assim, para valores constantes do capital e da taxa de juros, a última relação demonstra que a equação do montante é uma função afim, cuja variável independente é dada pelo período de capitalização. Para o exemplo considerado, o capital é C=R$


20.000,00 e a taxa de juros é i=0,35%, tal que o juro por período é j=R$ 70,00. Para esses valores a função do montante para esse exemplo é

Se você substituir os valores para o período de capitalização da Tabela 4 da aula 3 nessa última relação, você obterá os mesmo valores daquela tabela para o montante. Portanto, todo o estudo que foi apresentado ante-riormente sobre a função afim pode ser aplicado para a função montante. Faça essa verificação.

Outra relação que já trabalhamos e que também pode ser convertida em uma função afim é a terceira relação para o Desconto Comercial Simples do Quadro 6 da aula 3. De fato, podemos fazer algo análogo ao que fizemos para a relação do montante. Daí,

onde d = N∙i é o desconto por período de antecipação. Lembre-se que n representa quantos períodos são antecipados para o resgate do título a ser descontado. Trocando a ordem das parcelas do lado direito da última relação temos que

Neste caso, o negativo do desconto por período é o coeficiente angular e o valor nominal é o coeficiente linear. Contudo, diferente da função do montante que é sempre crescente, como pode ser observado a partir do gráfico da Figura 5.6, a função do desconto é sempre decrescente, devido ao sinal negativo que comparece a frente do desconto por período. Para o exemplo da Tabela 5 da aula 3 temos

´ Figura 5.7 – Valor atual em função do períodode antecipação.


Novamente você poderá calcular o valor atual usando os valores de con-siderados na Tabela 5 da aula 3. O gráfico para essa função é apresentado na Figura 5.7.

Novamente você poderá usar a análise discutida para a função afim para ajudar a interpretar o gráfico da figura anterior. Faça essa verificação. Neste caso, você poderá observar uma distorção que pode aparecer quan-do se aplica o Desconto Comercial Simples. De fato, existe um período de antecipação em que o valor atual é igual a zero, que corresponde à raiz da função valor atual. Devido a essa situação, o desconto comercial simples é aplicado na prática para períodos de antecipação menores do que um ano. Agora vamos considerar algumas situações-problema que podem ser resol-vidas usando função afim.

´ Situação problema 1

O salário de um funcionário de uma empresa é composto por duas par-tes. Uma parte é dada por um salário fixo de R$ 2.000,00, e outra é obtida a partir de uma comissão de R$ 500,00 para cada contrato fechado pelo funcionário. a) Utilize a função afim para descrever o salário desse funcio-nário em função do número de contratos fechados por ele mensalmente.

a) Utilize a função afim para descrever o salário desse funcionário emfunção do número de contratos fechados por ele mensalmente.

´ Resolução comentada

De fato, a cada contrato firmado ele recebe , este valor representa o coeficiente angular e o salário fixo de representa o coeficientelinear. Assim, o salário do funcionário pode ser representado poruma função afim, que é escrita da seguinte forma:

Onde s(x) é o salário do funcionário, e x representa o número de contratos firmados mensalmente.

b) Quantos contratos devem ser fechados pelo funcionário para que oseu salário mensal seja de R$ 8.000,00?


A função salário s(x)=500∙x+2.000 pode ser utilizada para determi-nar o número de contratos. Assim, para determinar o número de contratos, a condição é

Substituindo no lado esquerdo dessa última igualdade a expressão relativa ao salário do funcionário, temos que


Resolvendo essa equação do primeiro grau, obtemos o número de contratos a ser firmado mensalmente para se ter um salário de R$ 8.000,00. De fato, esse número é x=6 contratos. Para confirmar esse resultado, substitua esse valor para x na função salário e ve-rifique que o mesmo é igual a R$ 8.000,00.

c) Construa o gráfico que representa o salário do funcionário em fun-ção do número de contratos fechados, sabendo que o máximo decontratos fechados mensalmente é de 15.

Usando a planilha Excel para a construção de gráficos de dispersãovocê pode obter o seguinte resultado.


Uma empresa investe R$ 4.800,00 na compra de novos equipamentospara modernizar sua linha de produção e diminuir seus custos. O contador da empresa leva em consideração que o valor contábil do equipamento decresce a uma taxa constante anual, de tal forma que o valor contábil do equipamento ao fim de 8 anos será zero.

a) Construa e apresente a função polinomial do primeiro grau que des-creve esse problema.


Para o problema proposto, a função que descreve a depreciação dos equipamentos pode ser apresentada da seguinte forma

onde x representa o tempo em anos e v(x) é o valor contábil dos equipamentos para um determinado tempo x. Para determinar o coeficiente angular m considere que, no momento da comprados equipamentos, o tempo pode ser considerado igual a 0 (iní-

´ Figura 5.8 – Salário do funcionário.


cio da contagem do tempo). Assim, nós temos que inicialmente x_1=0 e que o preço dos equipamentos nesse momento é igual a v_1=R$ 4.800,00. Além dessa informação, sabemos que após 8 anos os equipamentos apresentam o valor contábil igual a zero. Assim, x_2=8 anos e v_2=R$ 0,00.

O coeficiente angular é obtido usando

Note que o coeficiente angular é negativo. De fato, para a depre-ciação do valor contábil dos equipamentos se espera que a função seja decrescente. Além disso, observe que o coeficiente angular possui uma unidade de medida que representa a diminuição (sinal negativo) em reais que o valor contábil dos equipamentos apre-senta por ano. A função ainda não está pronta, mas sabemos que o valor inicial dos equipamentos é justamente o ponto para o quala reta da função cruza o eixo , pois neste caso se tem . Portanto,o valor contábil inicial de R$ 4.800,00 é justamente o coeficientelinear da função. Assim, a função que descreve o valor contábil doequipamento é dada por

b) Construa o gráfico da função usando uma planilha eletrônica.

Usando a planilha eletrônica Excel se obtém o seguinte resultado:

c) Determine o valor contábil dos equipamentos após sete anos de uso.

´ Figura 5.9 – Valor contábil dos equipamentos.



Usando a função obtida anteriormente, substituímos nela o valor x= 7 anos. Daí, ,

Assim, em 7 anos de uso o valor contábil dos equipamentos será de R$ 600,00.

d) Quantos anos devem se passar para que o valor contábil do equi-pamento seja de R$ 2.400,00?


Neste caso, temos a seguinte condição v(x)=R$ 2.400,00. Subs-tituindo a expressão da função no lado esquerdo dessa condição temos que

Resolvendo esta equação do primeiro grau se obtém que x=4 anos.


Uma indústria de autopeças tem um custo de manutenção de R$15.000,00 por mês. Este custo é devido aos custos fixos que a empresa tem com financiamentos, aluguel do ponto, entre outras pendências. Cada peça produzida tem um custo de R$ 6,00 devido aos insumos utilizados na sua produção. Devido à concorrência o preço de venda praticado pela indústria é de R$ 10,00 por peça.

a) Construa e apresente a função custo, a função receita e a função lu-cro considerando as informações dadas no enunciado do problema.


A função custo C(x) depende do custo de manutenção, que será considerado um custo fixo e, portanto, é o coeficiente linear da função. O coeficiente angular dessa função é representado pelo custo de produção de cada produto. Assim, a função que descreve o custo é dada por

A função receita R(x) é definida pela multiplicação do preço de venda pela quantidade vendida de peças. A função receita é uma função afim do tipo linear, isto é, o coeficiente angular é zero, pois se nada é vendido, ou seja, x=0 a receita é zero. Daí,


A função lucro L(x) é definida pela diferença entre a receita e o custo da indústria. Portanto, esta diferença pode escrita daseguinte forma:

Substituindo a expressão da receita e do custo na última relação, temos que

Fazendo a distributiva do sinal negativo para os dois termos dentro do parêntesis se tem que

Ou seja,

Assim, a função custo é dada por C(x)=6∙x+15.000, a função receita é R(x)=10∙x, e a função lucro L(x)=4∙x-15.000.

b) Quantas peças devem ser produzidas para a indústria ter um lucrode R$ 30.000,00 por mês?


A seguinte condição deve usada para resolver essa questão

Substituindo a expressão do lucro no lado esquerdo dessa última igualdade temos que

Resolvendo a equação anterior temos que a quantidade de peças a serem produzidas e vendidas é de x=11.250

c) A partir de quantas peças a indústria não terá nem lucro enem prejuízo?

´ Resolução comentada:

A situação desejada é chamada de ponto de nivelamento. Para este ponto o valor da receita é igual ao do custo da empresa, de tal for-ma que o lucro seja zero. De fato, este cálculo é a determinação da raiz função lucro.


Assim, a condição a ser usada para resolver essa questão é dada por

Esta condição também pode ser apresentada da seguinte forma:

Vamos utilizar essa última relação substituindo nela as expressões para a receita e para o custo. Daí,

Resolvendo esta equação, percebemos que a indústria precisa pro-duzir e vender x=3.750 peças para se tornar sustentável. Se essa meta for atingida, pelo menos a indústria não terá nem lucro e nem prejuízo.

d) Construa em um mesmo plano cartesiano os gráficos das funçõescusto, receita e lucro. Usando a planilha Excel os gráficos das fun-ções são apresentados na figura a seguir.

e) Faça uma análise da situação contábil da indústria considerando oponto de nivelamento como referência para as metas de vendas.

´ Função 5.10 – Função custo, função receita e função lu-cro para a indústria de peças.



Esta análise nada mais é que o estudo do sinal da função lucro. Neste caso, como já sabemos, o ponto de nivelamento é a raiz da função lucro e pode ser usado para definir as metas de vendas da indústria. Assim, para um total de vendas maior que 3.750 peças (x>3.750), a indústria de fato terá lucro, ou seja, superávit.

Para níveis de venda abaixo de 3.750 peças a indústria terá pre-juízo ou déficit (x<3.750). Graficamente, a raiz da função lucro pode ser observada diretamente na Figura 5.9, mas, devido ao ajuste de escala da planilha eletrônica, o seu valor não pode visualizado diretamente.

Mas pela interpretação gráfica é possível observar que a função lucro apresenta valores negativos antes da raiz e valores positivos depois dela.


A empresa BrokenMachine precisa contratar um serviço de manutençãopara o conserto de uma de suas máquinas que apresentou defeito. A em-presa tem duas opções.

A primeira é da empresa Consertatudo que cobra R$ 190,00 para fazer a visita para verificação da máquina e R$ 50,00 por hora de trabalho no local. A outra empresa é a Semdefeito que cobra R$ 120,00 para fazer a visita para verificação da máquina e R$ 85,00 por hora de trabalho no local.

a) Apresente as duas funções que modelam os custos de serviço dasempresas que podem consertar as máquinas.


Usando os conceitos desenvolvidos anteriormente, você pode per-ceber que o coeficiente angular da função relativa à empresa Con-sertatudo é R$ 50,00 e o coeficiente linear é igual a R$ 190,00 que representa o custo fixo da visita. Assim, a sua função é descrita por

Onde x representa as horas gastas para fazer o serviço de reparo e p_C (x) é o preço total cobrado pelo serviço feito pela Con-sertatudo. Analogamente, se tem para a empresa Semdefeito a seguinte função:


b) Construa em um mesmo plano cartesiano as duas funções.

A seguir a Figura 5.11 apresenta os dois gráficos relativos às fun-ções obtidas no item anterior.

c) Interprete o gráfico anterior respondendo sob que condições aBrokenmachine deve contratar os serviços da Consertatudo ouda Semdefeito.


Se você interpretar corretamente o gráfico anterior perceberá que, para um serviço que dure menos do que duas horas, é mais vantajo-so contratar a empresa Semdefeito. Para serviços que ultrapassem as duas horas é mais vantajoso contratar a empresa Consertatudo. Se o serviço durar exatamente duas horas, você poderá escolher qualquer uma das empresas consultadas para fazer o orçamento, pois o custo do serviço é igual para essa quantidade de horas.

Ao final dessa aula você terá de resolver algumas atividades para verificar o seu desempenho, após conhecer os conceitos de fun-ções aplicadas aos problemas da área financeira e econômica. Na próxima seção vamos discutir o conceito de taxa média de varia-ção também aplicada a problemas da área financeira e econômi-ca. Mas, antes de iniciarmos esse estudo, veja o que diz Stewart (2006) sobre a aplicação do conceito de função na solução de problemas reais.

´ Figura 5.11 – custos dos serviços das empresas conserta-tudo e Semdefeito.


pALAVrA dE AUTor

Um modelo matemático é uma descrição matemática (frequentemente por meio de uma função ou de uma equação) de um fenômeno do mundo real, como o tamanho de uma população, a demanda por um produto, a velocidade de um objeto caindo, a concentração de um produto em uma reação química, expectativa de vida de uma pessoa ao nascer ou o custo da redução dos poluentes. O propósito do modelo é entender o fenômeno e talvez fazer predições sobre um comportamento futuro.

(STEWART, 2006, p. 25)

Taxa Média de VariaçãoVocê sabe que um dos mais importantes conceitos da área financeira é o

conceito de taxa de juros. Essa quantidade é um dos exemplos de aplicação de taxas médias de variação e nessa seção o que nos interessa é entender o seu significado e como utilizar essa informação nas análises de problemasna área financeira e econômica.

Na seção anterior, você observou que o coeficiente angular pode ser determinado pela relação

Esta é uma maneira de definir taxa média de variação. Contudo, para a função afim, essa taxa média de variação é constante, consequentemente, a reta que representa a função tem inclinação constante.

Um conceito importante da taxa média de variação é que ela possui uma unidade de medida associada ao seu valor numérico. De fato, a taxa média de variação informa como se dá a variação de uma quantidade em relação à variação de outra quantidade. A última equação apresenta de forma ex-plícita este conceito, pois os deltas (∆) naquela equação são variações das quantidades representadas pelas variáveis x e y. A unidade de medida da taxa média de variação fornece diretamente o seu significado.

Por exemplo, na situação-problema 2, o coeficiente angular da função que descreve o valor contábil dos equipamentos adquiridos pela empresa é m=-600 reais por ano. Isto significa que a cada intervalo de um ano, isto é ∆x=1 ano, o valor contábil do equipamento é reduzido de maneira constan-te em R$ 600,00, ou seja, ∆v=-R$ 600,00, em que o sinal negativo indica a redução. Assim, o coeficiente angular ficou definido por


Entendendo o coeficiente angular como uma taxa média de variação, à qual está associada uma unidade de medida, se torna mais fácil identificá-lo nas situações-problema discutidas anteriormente. De fato, nos proble-mas práticos, quando se menciona a informação do coeficiente angular, eladeve ser dada considerando uma unidade de medida relativa entre duasquantidades. Nos exemplos anteriores, em geral, a unidade de medida docoeficiente angular era dada por um valor monetário relativo a uma unida-de de medida de tempo. Por exemplo, na situação problema 2, o coeficien-te angular foi dado em reais por ano. Na situação problema 3, o custo deprodução é dado em reais por unidade de produto e na situação problema4, o serviço de conserto das empresas Consertatudo e Semdefeito foi dadona unidade de reais por hora.

As taxas de juros e de descontos também seguem esta lógica. Como já foi discutido em aulas anteriores, a taxa de juros é uma informação rela-tiva. Por exemplo, se o capital está aplicado à taxa de juros de 2% a.m., isto significa que a cada período de capitalização (∆x=1 mês), para cada R$ 100,00 aplicados, você tem o rendimento de R$ 2,00. Em outras palavras, cada R$ 100,00 aplicados por você sofrerão a variação de R$ 2,00 por mês. Assim, essa taxa de juros pode ser representada da seguinte maneira:

Usando esse exemplo, poderíamos definir a taxa de juros como sendo dada por

onde ∆C(%) representa a variação percentual do capital e ∆x é o intervalo de tempo para a capitalização. Assim, a taxa de juros pode ser interpreta-da como a taxa média de variação percentual do capital aplicado, relativo ao período de capitalização daquela aplicação. A utilização de taxa média de variação na forma percentual facilita a comparação entre o rendimento de diferentes aplicações e até mesmo a comparação do rendimento de um mesmo tipo de aplicação, mas para diferentes instituições financeiras.

A discussão feita até aqui sobre taxa média de variação serve para en-tender seu significado dentro de um determinado problema. Para todas as situações problema estudadas, o coeficiente angular ou a taxa média de variação das quantidades envolvidas eram constantes. Este fato também pode ser observado graficamente, pois a inclinação da reta é constante, já que ela é definida justamente por essa quantidade. Assim, se você observar os gráficos com mais detalhes, você também poderá perceber que a taxa média de variação das quantidades está de alguma forma representada.

Observe o gráfico da Figura 5.12. Esse é o gráfico da situação-problema 1, mas usamos uma outra escala para analisá-lo melhor. Nele é possível


observar com mais detalhes como ocorre a variação das quantidades envol-vidas e, assim, visualmente você perceberá que a taxa média de variação está fazendo o seu papel como coeficiente angular na construção gráfica. De fato, de um ponto para outro ocorrem a seguintes variações: o salário aumenta de ∆s(x)=R$ 500,00 e o número de contratos aumenta de uma unidade ∆x=1 contrato. Assim, o coeficiente angular ou a taxa média de variação do salário em relação ao número de contratos é dada por

Este valor também pode ser obtido para quaisquer dois pontos que você escolha no gráfico da Figura 5.12.

´ Figura 5.12 – Detalhes gráficos para observação da taxamédia de variação para a evolução do salário do funcio-nário para a situação problema 1.

Assim, de fato a taxa média de variação assume o mesmo papel que o coeficiente angular. Se a taxa média for positiva estamos querendo dizer que as quantidades envolvidas assumem um comportamento de crescimen-to. Isto é, se a quantidade que representa a variável independente cresce, a quantidade dependente também acompanha esse comportamento. Se a taxa média de variação for negativa se tem um comportamento de de-crescimento. Ou seja, se a quantidade que representa a variável indepen-dente cresce, a quantidade dependente desta apresenta o comportamento de decrescimento.

Agora vamos estudar um caso em que a taxa média de variação as-sociada a duas quantidades correlacionadas não é constante. Assim, graficamente a evolução dos valores numéricos dessas quantidades não pode ser representada por uma reta. Veja, por exemplo, o comportamento da cotação diária de uma ação da Companhia do Vale do Rio Doce apresen-tada na Figura 5.1. Contudo, mesmo aquele gráfico complicado pode ser


aproximado, considerando que algumas de suas partes podem ser descritas aproximadamente por uma taxa média de variação constante. Vejamos isso de maneira mais detalhada.

A partir da Figura 5.1 você pode observar que entre o 1º e o 4º dia a cotação apresenta um crescimento aproximadamente constante. Então va-mos usar esses dois pontos para determinar a função da reta y=m∙x+b que descreverá esse crescimento. Vamos utilizar o que você já aprendeu nessa aula. Primeiro você deve calcular o coeficiente angular da reta usando o fato de que ∆y=41-38,5=2,5 e ∆x=4-1=3. Tal que

Assim, em média a ação aumenta aproximadamente 0,83 pontos por dia. Para determinar o coeficiente angular usaremos um dos dois pontos usados para calcular o coeficiente angular. Para este cálculo, usaremos o par or-denado (4;41) tal que

Resolvendo a última equação temos que b≅37,68. Assim, a equação que descreve o crescimento é dada por

O mesmo procedimento pode ser aplicado para outros intervalos daque-le gráfico para obtenção das funções afim que descrevem essas partes do gráfico. Em particular entre o 4º dia e o 15º dia o valor da cotação varia muito pouco. Assim, podemos considerar que o coeficiente angular nesse intervalo é zero, de tal forma que se tem uma reta horizontal. Do 15º dia para o 16º dia há uma discrepância entre os dois valores da cotação. A partir do 16º dia até o 19º dia teremos uma função afim decrescente até a cotação atingir um mínimo para depois ocorrer novamente aumento. Nesse último intervalo, a função afim é dada por

Nesta função observamos que a cotação da ação diminui em média 0,63 ponto por dia.

A Figura 5.13, mais adiante, representa as aproximações usando a fun-ção afim feitas para descrever o comportamento da cotação diária da ação. Nessa aproximação, as informações mais importantes são os coeficientes angulares, pois eles informam como se dá o crescimento ou decrescimento da cotação diária da ação.

Além dessa aplicação da taxa média de variação também devemos con-siderar o fato de que em gráficos como aquele da Figura 5.1 as quantidade


apresentam mudança de tendência depois que atingem valores máximos e mínimos. Você pode observar que essa situação ocorre de maneira bem de-finida no 19º dia. Antes desse dia a cotação estava caindo e depois desse dia a cotação volta a subir. O uso da taxa média de variação para acompanhar a evolução da cotação pode ser muito útil para prever aproximadamente o momento em que a tendência de queda será revertida para tendênciade alta, ou vice-versa. Para demonstrar essa aplicação, vamos utilizar osdados entre o 16º e o 20º dia para efetuar os cálculos que nos ajudarãona análise dessa situação-problema que é a de se saber em que momentoaproximadamente ocorrerá a mudança na tendência dos dados.

A Tabela a seguir mostra os dados dia a dia após o 15º dia. Além disso, nessa tabela calculamos as variações diárias na cotação da ação, cujos resultados são apresentados na última coluna. Desta forma, se pode obter diretamente a taxa média de variação diária, pois estaremos considerando que ∆x=1 dia.

´ Tabela 5.1 – cotação da ação após o 15º dia.

dia cotaçãoVariação da

cotação16 42,09

17 41,17 -0,92

18 40,35 -0,82

19 40,1 -0,25

20 40,3 +0.20

Observe que a taxa média de variação muda de tendência após o 19º dia. Antes desse dia a cotação apresentava queda e depois a cotação está em alta. Outro detalhe, que de fato ajuda a identificar aproximadamente em que momento se dará a mudança de tendência, é dado pelos próprios valores da taxa média de variação. Observe que a taxa média de variação apresenta gradualmente uma diminuição na tendência de baixa até que após certo momento a tendência se torna de alta.

De fato, se deve prestar a atenção nesse detalhe acompanhando dia a dia os valores da taxa média de variação. Se esses valores tendem a zero, como podemos observar para a sequência que estamos estudando, significa que, provavelmente, mas não com toda a certeza, poderá ocorrer uma mudança na tendência dos dados. Em outras palavras, para a situação ana-lisada a cotação atingirá um mínimo para depois voltar a apresentar alta. De fato, sabemos que isso ocorrerá, pois já temos os dados da cotação registrados. Contudo, se a sequência ainda está sendo construída, então, se poderá ter duas situações possíveis. Pode ocorrer de fato a mudança na tendência, mas também pode ocorrer uma inflexão. Neste caso, a tendên-cia de baixa pode parar de ocorrer durante certo período de tempo, tal que a cotação se estabiliza em um determinado nível. Mas depois pode voltar a apresentar uma tendência de queda novamente. Uma situação próxima disso é o que ocorreu antes e depois do 4º dia. A tendência era de alta an-tes do 4º dia, mas depois a cotação permanece aproximadamente estável


pENSE NiSSo

Embora a aproximação por funções afim seja uma aproximação válida, ela é apenas uma possibilidade entre tantas outras funções disponíveis para serem usadas para esse fim. Além disso, existem outros métodos para determinar a função afim que melhor descreve os intervalos de tempo considerados anteriormente para o problema em questão. Mas, de qualquer forma, você deve perceber a partir da discussão anterior a importância do papel do coeficiente angular para análise de problemas em que as variáveis são representadas por gráficos complicados.

Em geral, variáveis financeiras e econômicas apresentam esse grau de dificuldade para análise, e o uso da informação do coeficiente angular pode ajudar na discussão e na rápida tomada de decisão por parte dos gestores de uma empresa com relação ao problema sendo abordado.

´ Figura 5.13 – comparação entre a cotação real e aproxi-mação feita usando função afim.

durante vários dias até que novamente apresenta uma tendência de alta a partir do 14º dia.

A utilização dessa metodologia para analisar a tendência de quantidades de interesse financeiro e econômico para a empresa é bastante eficiente na prática. Assim, o uso do conceito de taxa média de variação se tornou uma das ferramentas mais importantes para a análise de situações-problema em que as informações são apresentadas por tabelas de dados e seus respectivos grá-ficos, cujos valores são atualizados considerando certo intervalo de tempo.

Em geral, as cotações de ações e de quantidades financeiras e econô-micas que comparecem nas bolsas de valores de todo o mundo são ótimos exemplos de aplicação dessa metodologia de análise.


Além do conceito de taxa média de variação existe o conceito de taxa instantânea de variação. Em Cálculo Diferencial e Integral este conceito é aplicado para qualquer função elementar da Matemática. No item Saiba mais, a seguir, tiramos de Stewart (2006) um trecho em que define esse conceito. Esse conceito tem uma importante consequência na análise de uma função, pois está relacionado com a inclinação da reta tangente a qualquer ponto do gráfico de uma função. Embora não façamos aqui uma discussão sobre taxa instantânea de variação, é importante que você saiba que esse conceito existe e pode também ser aplicado para resolução de problemas na área financeira, comercial e econômica.

SAibA

O quociente diferenças

é denominado de taxa média de variação de em relação a [...]é denominado de taxa média de variação de y em relação a x [...]Por analogia com a velocidade, consideramos a taxa média

de variação em intervalos cada vez menores fazendo x2 tender a x1 e, portanto, fazendo ∆x tender a 0. O limite dessas taxas médias de variação é chamado taxa (instantânea) de variação de y em relação a x em x=x1, que é interpretada como a inclinação da tangente à curva y=f(x) em P(x1,f(x1 )):

Taxa de variação instantânea

(STEWART, 2006, pg. 154)


SÍNTESE

ATiVidAdES

O aluguel de um carro na agência Alugafácil é de mais por quilômetro rodado. A agência Carrofácil cobra mais por quilômetro rodado.

Qual a agência que oferece o melhor preço de aluguel? Faça o gráfico para discutir em que condições o preço de cada agência será melhor.

Após essa aula você aprendeua. A fazer a análise e a interpretação gráfica das funções polinomiais

do primeiro grau.b. A determinar o coeficiente angular e, consequentemente, identificar

se a função afim é do tipo crescente ou decrescente.c. A identificar o coeficiente linear e, consequentemente, identificar

onde a função afim cruza o eixo y.d. A distinguir se a função afim é do tipo linear ou não.e. A determinar a raiz da função afim.f. A analisar o sinal da função afim.g. A aplicar o conceito de função afim para problemas financeiros e

econômicos.h. O que é taxa média de variação e sua relação com taxa de juros e o

coeficiente angular da função afim;i. A usar o conceito taxa média de variação para determinar a

tendência de quantidades financeiras e econômicas.

TrocANdo idEiAS

Discuta com seus colegas no Fórum do ambiente virtual os resultados obtidos nas atividades propostas a seguir. Nessa discussão apresente a interpretação, a estruturação e os cálculos que você fez para chegar às respostas das duas atividades propostas nesse final de aula.


ATiVidAdESA tabela a seguir são 30 dados referentes ao risco Brasil. Construa o gráfico desses dados

usando uma planilha eletrônica ou outro editor gráfico qualquer disponível. Interprete o gráfico analisando-o em termos de tendência de alta, de baixa e de estabilização do risco Brasil. Obtenha alguma informação em termos da taxa média de variação do risco Brasil.

dia pontos dia pontos dia pontos0 134 10 145 20 1511 134 11 143 21 1572 134 12 148 22 1493 141 13 148 23 1544 146 14 147 24 1505 147 15 147 25 1546 143 16 146 26 1587 147 17 145 27 1558 144 18 147 28 1529 147 19 147 29 156

Noções de Matemática Aplicada - Instructure

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