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MECÂNICA VETORIAL PARA ENGENHEIROS:
ESTÁTICA
Nona Edição
Ferdinand P. Beer
E. Russell Johnston, Jr.
Notas de Aula:
J. Walt Oler
Texas Tech University
CAPÍTULO
© 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
2Estática das Partículas
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Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática
No
na
Ed
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o
Conteúdo
2 - 2
Introdução
Resultante de Duas Forças
Vetores
Adição de Vetores
Resultante de Várias Forças
Concorrentes
Problema Resolvido 2.1
Problema Resolvido 2.2
Componentes Retangulares de
uma Força: Vetores Unitários
Adição de Forças pela Soma
dos Componentes
Problema Resolvido 2.3
Equilíbrio de uma Partícula
Diagramas de Corpo Livre
Problema Resolvido 2.4
Problema Resolvido 2.6
Componentes Retangulares no Espaço
Problema Resolvido 2.7
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Introdução
2 - 3
• O objetivo desta parte é analisar o efeito de forças que atuam sobre
partículas:
- substituir múltiplas forças atuando em uma partícula por uma
única força equivalente ou resultante,
- analisar as relações entre forças que atuam em uma partícula
que está em estado de equilíbrio.
• O foco em partículas não implica uma restrição a pequenos corpos.
Significa que o estudo é restrito a análises nas quais o tamanho e o
formato dos corpos não afetam significativamente a resolução dos
problemas. Nesses casos, todas as forças que atuam sobre um dado
corpo podem ser consideradas como tendo um mesmo ponto de
aplicação.
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Resultante de Duas Forças
2 - 4
• Força: ação de um corpo sobre outro;
caracterizada por seu ponto de aplicação,
sua intensidade, sua direção, e seu sentido.
• Evidências experimentais mostram que o
efeito conjunto de duas forças pode ser
representado por uma única força resultante.
• A resultante de duas forças é equivalente à
diagonal de um paralelogramo que contém as
forças em lados adjacentes.
• Força é uma grandeza vetorial.
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Vetores
2 - 5
• Vetores: expressões matemáticas que têm intensidade, direção
e sentido e que se somam conforme a lei do paralelogramo.
Exemplos: deslocamentos, velocidades, acelerações.
• Classificações de vetores:
- Vetores fixos têm pontos de aplicação bem definidos e
não podem ser deslocados sem que se alterem as
condições do Problema.
- Vetores livres podem se mover livremente no espaço
sem que se alterem as condições do Problema.
- Vetores deslizantes podem ser deslocados ao longo de
suas linhas de ação sem que se alterem as condições do
Problema.
• Vetores iguais têm a mesma intensidade e o mesmo sentido.
• O vetor negativo de um vetor dado é aquele que tem sua
mesma intensidade e sentido oposto.
• Escalares: grandezas físicas que têm intensidade mas não
têm direção. Exemplos: massa, volume e temperatura.
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Adição de Vetores
2 - 6
• Regra do paralelogramo para soma de
vetores
• Regra do triângulo para soma de vetores
B
B
C
C
QPR
BPQQPR
cos2222
• Lei dos cossenos,
• Lei dos senos,
Q
senC
R
senB
P
senA
• A adição de vetores é comutativa,
PQQP
• Subtração de vetores
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Adição de Vetores
2 - 7
• Soma de três ou mais vetores por meio da
aplicação sucessiva da regra do triângulo.
• Regra do polígono para a soma de três ou mais
vetores.
• A adição de vetores é associativa,
SQPSQPSQP
• Multiplicação de um vetor por um escalar.
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Resultante de Várias Forças Concorrentes
2 - 8
• Forças concorrentes: conjunto de forças que
passam por um mesmo ponto.
Um conjunto de forças concorrentes
aplicadas em uma partícula pode ser
substituído por uma única força resultante
que é o vetor equivalente à soma das forças
aplicadas.
• Componentes do vetor força: dois ou mais
vetores que, juntos, têm o mesmo efeito que
um único vetor.
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Problema Resolvido 2.1
2 - 9
As duas forças atuam sobre um
parafuso A. Determine sua
resultante.
SOLUÇÃO:
• Solução gráfica - construímos um
paralelogramo com lados nas mesmas
direções de P e Q desenhados em escala.
Avaliamos graficamente a resultante que
é equivalente à diagonal em direção e
proporcional em módulo.
• Solução trigonométrica – usamos a regra
do triângulo para soma de vetores em
conjunto com a lei dos cossenos ou a lei
dos senos para encontrar a resultante de P
e Q.
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Problema Resolvido 2.1
2 - 10
• Solução gráfica - Um paralelogramo com lados
iguais a P e Q é desenhado em escala. A
intensidade e o ângulo que define a direção da
resultante (diagonal do paralelogramo) são
medidos,
35N 98 R
• Solução gráfica – Um triângulo é desenhado
com P e Q no padrão ponta-a-cauda e em
escala. A intensidade e o ângulo que define a
direção da resultante (terceiro lado do triângulo)
são medidos,
35N 98 R
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Problema Resolvido 2.1
2 - 11
• Solução trigonométrica –Aplicamos a regra do
triângulo. B= 180o–25o=155o. Pela lei dos cossenos,
155cosN60N402N60N40
cos2
22
222 BPQQPR
A20α
15,04A
97,73N
60N155sen
R
QBsen Asen
R
Bsen
Q
Asen
N73,97R
Pela lei dos senos,
04,35
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Problema Resolvido 2.2
2 - 12
a) A força de tração em cada um
dos cabos para = 45o,
b) O valor de para o qual a tração
no cabo 2 é mínima.
Uma barcaça é puxada por dois
rebocadores. Se a resultante das
forças exercidas pelos rebocadores
é 22.250 N dirigida ao longo do
eixo da barcaça, determine:
SOLUÇÃO:
• Obtemos uma solução gráfica aplicando a
Regra do Paralelogramo para soma vetorial.
O paralelogramo tem lados nas direções dos
dois cabos e diagonal na direção do eixo da
barcaça com comprimento proporcional a
22.250 N.
• O ângulo para a tração mínima no cabo 2 é
determinado aplicando-se a Regra do Triân-
gulo e observando o efeito de variações em .
• Obtemos uma solução trigonométrica
aplicando a Regra do Triângulo para soma
vetorial. Com a intensidade e a direção da
resultante conhecida e as direções dos
outros dois lados, paralelas aos cabos
dados, aplicamos a Lei dos Senos para
encontrar as trações nos cabos.
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Problema Resolvido 2.2
2 - 13
• Solução gráfica –Aplicamos a regra do
paralelogramo conhecendo a direção e a
intensidade da resultante e as direções dos
lados
N500.11N200.16 21 TT
• Solução trigonométrica - Regra do
triângulo e Lei dos Senos
105
250.22
3045
21
sen
N
sen
T
sen
T
N 517.11N288.16 21 TT
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Problema Resolvido 2.2
2 - 14
• O ângulo para tração mínima no cabo 2 é
determinado aplicando a regra do triângulo e
observando o efeito de variações em .
• A tração mínima no cabo 2 ocorre quando T1
e T2 são perpendiculares
30sen N) (22.250T2NT 111252
30 cos N 22.250T1NT 192691
3090 60
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Componentes Retangulares de uma Força: Vetores Unitários
2 - 15
• Os componentes de um vetor podem ser expressos
como produtos dos vetores unitários pelas intensidades
dos componentes do vetor.
Fx e Fy são chamados de componentes escalares de .
jFiFF yx
F
• Pode-se decompor uma força em dois componentes
perpendiculares de forma que o paralelogramo
resultante é um retângulo. são chamados de
componentes retangulares e
yx FFF
yx F e F
• Definimos então os vetores unitários perpendiculares
que são paralelos aos eixos x e y.j e i
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Adição de Forças pela Soma dos Componentes
2 - 16
SQPR
• Deseja-se obter a resultante de 3 ou mais forças
concorrentes,
jSQPiSQP
jSiSjQiQjPiPjRiR
yyyxxx
yxyxyxyx
• Para isso, decompomos cada força em
componentes retangulares
x
xxxx
F
SQPR
• Os componentes escalares da resultante são
iguais à soma dos componentes escalares
correspondentes das forças dadas.
y
yyyy
F
SQPR
x
y
yxR
RRRR arctg22
• Para encontrar a intensidade e a direção da resultante,
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Problema Resolvido 2.3
2 - 17
Quatro forças atuam no parafuso A,
como mostrado na figura. Determine a
resultante das quatro forças no
parafuso.
SOLUÇÃO:
• Decompomos cada força em
componentes retangulares.
• Calculamos a intensidade e a direção
da resultante.
• Determinamos os componentes da
resultante somando os componentes
correspondentes de cada uma das
forças.
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Problema Resolvido 2.3
2 - 18
SOLUÇÃO:
• Decompomos cada força em componentes
retangulares.
25.996.6100
110.00110
75.227.480
75.0129.9150
(N) y, Comp.(N) x Comp.(N) Intens.Força
4
3
2
1
F
F
F
F
• Calculamos a intensidade e a direção da resultante.
22 3,141,199 R N 199,6R
N1,199
N3,14 tg 1,4
• Determinamos os componentes da resultante
somando os componentes correspondentes de
cada uma das forças.
1.199xR 3.14yR
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Equilíbrio de uma Partícula
2 - 19
• Quando a resultande de todas as forças que atuam sobre uma partícula é
zero, a partícula está em equilíbrio.
• Para uma partícula em equilí-
brio sob a ação de duas forças,
ambas as forças devem ter:
- mesma intensidade
- mesma linha de ação
- sentidos opostos
• Para uma partícula sob a ação de três ou mais forças:
- a solução gráfica gera um polígono fechado
- solução algébrica:
00
0
yx FF
FR
• Primeira Lei de Newton : Se a força resultante em uma partícula é nula, a
partícula permanecerá em repouso ou se moverá em velocidade constante em
linha reta.
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Diagramas de Corpo Livre
2 - 20
Diagrama espacial : Um esboço
mostrando as condições físicas
do problema.
Diagrama de Corpo Livre: Um esboço
mostrando apenas as forças que atuam
sobre a partícula escolhida para análise.
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Problema Resolvido 2.4
2 - 21
Numa operação de descarregamento
de um navio, um automóvel de
15.750 N é sustentado por um cabo.
Uma corda é amarrada ao cabo em A
e puxada para centrar o automóvel
para a posição desejada. Qual é a
tração na corda?
SOLUÇÃO:
• Construimos um diagrama de corpo livre
para a partícula na junção da corda e do
cabo.
• Aplicamos as condições de equilíbrio
criando um polígono fechado a partir das
forças aplicadas na partícula.
• Aplicamos relações trigonométricas
para determinar a intensidade das forças
desconhecidas.
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Problema Resolvido 2.4
2 - 22
SOLUÇÃO:
• Construimos um diagrama de corpo livre
para a partícula A.
• Aplicamos as condições de equilíbrio.
• Calculamos as intensidades das forças
desconhecidas.
58sen
N 15.750
2sen 120sen
ACAB TT
N16.084ABT
N648ACT
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Problema Resolvido 2.6
2 - 23
Deseja-se determinar a força de arrasto
no casco de um novo barco a vela a
uma dada velocidade. Um modelo é
colocado em um canal de teste e são
usados três cabos para alinhar sua proa
com a linha de centro do canal. A uma
dada velocidade, a tração é de 180 N no
cabo AB e de 270 N no cabo AE.
Determine a força de arrasto exercida
no casco e a tração no cabo AC.
SOLUÇÃO:
• Escolhendo o casco como um corpo
livre, desenhamos o diagrama de corpo
livre.
• Expressamos as condições de equilíbrio
para o casco escrevendo que a resultante
de todas as forças é zero.
• Decompomos a equação vetorial de
equilíbrio em duas equações para as
componentes. Resolvemos para as
trações desconhecidas nos dois cabos.
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Problema Resolvido 2.6
2 - 24
SOLUÇÃO:
• Escolhendo o casco como um corpo livre,
desenhamos o diagrama de corpo livre.
26,60
75,1m 1,2
m 2,1 tg
56,20
375,0m 1,2
m 0,45 tg
• Expressamos as condições de
equilíbrio para o casco escrevendo que
a resultante de todas as forças é zero.
0 DAEACAB FTTTR
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Problema Resolvido 2.6
2 - 25
• Decompomos a equação vetorial de equilíbrio
em duas equações para as componentes.
Resolvemos para as trações desconhecidas nos
dois cabos.
jN 270 T0,9363N 89,29
iFT0,3512N 156,29
0R
iFF
jN 270T
jT0,9363iT0,3512
j20,56 cos Ti20,56sen TT
jN 89,29iN 156,29
j60,26 cos N 180i60,26sen N 180T
AC
DAC
DD
AE
ACAC
ACACAC
AB
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Problema Resolvido 2.6
2 - 26
jN 270T0,9363N 89,29
iFT0,3512N 156,29
0R
AC
DAC
Esta equação só é satisfeita se cada componente
da resultante é igual a zero.
0270T0,9363N 89,29:0
0FT0,3512N 156,29:0
AC
DAC
y
x
F
F
N 5,88
N 193
D
AC
F
T
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Componentes Retangulares no Espaço
2 - 27
• O vetor está
contido no plano
OBAC.
F
• Decompomos em
uma componente
horizontal e outra
vertical
yh FF sen
F
yy FF cos
• Decompomos em
componentes retangulareshF
sen senF
senFF
cossenF
cosFF
y
hz
y
hx
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Componentes Retangulares no Espaço
2 - 28
• Com os ângulos entre e os eixos x, y e z temos,F
kji
F
kjiF
kFjFiFF
FFFFFF
zyx
zyx
zyx
zzyyxx
coscoscos
coscoscos
coscoscos
• é um vetor unitário ao longo da linha de ação
de e são os cossenos
que orientam a linha de ação de . F
F
zyx e cos cos,cos
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Componentes Retangulares no Espaço
2 - 29
A direção de uma força é definida
pelas coordenadas de dois pontos,
em sua linha de ação.
222111 ,, e ,, zyxNzyxM
d
FdF
d
FdF
d
FdF
kdjdidd
FF
zzdyydxxd
kdjdid
NMd
zz
y
yx
x
zyx
zyx
zyx
1
e liga que vetor
121212
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Problema Resolvido 2.7
2 - 30
A tração no cabo de sustentação da torre
é 2500 N. Determine:
a) os componentes Fx, Fy e Fz da força
que atua no parafuso em A,
b) os ângulos x, y e z que definem a
direção da força.
SOLUÇÃO:
• Considerando a posição relativa dos
pontos A e B, determinamos o vetor
unitário orientado de A para B.
• Utilizamos o vetor unitário para
determinar os componentes da força
atuando em A.
• Observando que os componentes do
vetor unitário são os cossenos que
orientam a direção do vetor, calculamos
os ângulos correspondentes.
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Problema Resolvido 2.7
2 - 31
SOLUÇÃO:
• Determinamos o vetor unitário orientado de Apara B.
m 3,94
m30m80m40
m30m80m40
222
AB
kjiAB
• Determinamos os componentes da força.
kji
kji
FF
N 795N 2120N1060
318,0848,0424,0N 2500
kji
kji
318,0848,0424,0
3,94
30
3,94
80
3,94
40
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Problema Resolvido 2.7
2 - 32
• Observando que os componentes do vetor
unitário são os cossenos que orientam a direção
da força, calculamos os ângulos correspondentes.
kji
kji zyx
318,0848,0424,0
coscoscos
5,71
0,32
1,115
z
y
x
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Exercícios
2 - 33
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Exercícios
2 - 34
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Exercícios
2 - 35
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Exercícios
2 - 36
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Exercícios
2 - 37
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Exercícios
2 - 38