NORMA ABNT NBR BRASILEIRA - ipen.br · subconjunto de uma população (1.1) composto de uma ou mais...

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NORMA BRASILEIRA

ABNT NBRISO

3534-1

Primeira edição12.05.2010

Válida a partir de12.06.2010

Estatística — Vocabulário e símbolos Parte 1: Termos estatísticos gerais e termos usados em probabilidade

Statistics – Vocabulary and symbols Part 1: General statistical terms and terms used in probability

ICS 01.040.03; 03.120.30 ISBN 978-85-07-02066-0

Número de referência

ABNT NBR ISO 3534-1:201069 páginas

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Impresso por: Mery Piedad Zamudio Igami (ADM.)

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© ISO 2006 Todos os direitos reservados. A menos que especificado de outro modo, nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida ou utilizada por qualquer meio, eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia e microfilme, sem permissão por escrito da ABNT, único representante da ISO no território brasileiro. © ABNT 2010 Todos os direitos reservados. A menos que especificado de outro modo, nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida ou utilizada por qualquer meio, eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia e microfilme, sem permissão por escrito da ABNT. ABNT Av.Treze de Maio, 13 - 28º andar 20031-901 - Rio de Janeiro - RJ Tel.: + 55 21 3974-2300 Fax: + 55 21 3974-2346 [email protected] www.abnt.org.br

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Sumário Página

Prefácio Nacional....................................................................................................................................................... iv

Introdução ...................................................................................................................................................................v

Escopo.........................................................................................................................................................................1

1 Termos estatísticos gerais ...........................................................................................................................1

2 Termos usados em probabilidade .............................................................................................................21

Anexo A (informativo) Símbolos..............................................................................................................................48

Anexo B (informativo) Diagramas conceituais de termos estatísticos ...............................................................50

Anexo C (informativo) Diagramas conceituais de termos de probabilidade ......................................................56

Anexo D (informativo) Metodologia usada no desenvolvimento do vocabulário ........................................60 D.1 Introdução ...................................................................................................................................................60 D.2 Conteúdo de um item de vocabulário e a regra de substituição............................................................60 D.3 Relação entre conceitos e sua representação gráfica ............................................................................60 D.3.1 Generalidades ..............................................................................................................................................60 D.3.2 Relação genérica .........................................................................................................................................61 D.3.3 Relação partitiva ..........................................................................................................................................61 D.3.4 Relação associativa.....................................................................................................................................61 D.4 Diagramas de conceito ...............................................................................................................................62

Bibliografia ................................................................................................................................................................64

Índice alfabético........................................................................................................................................................65

Figuras

Figura B.1 — Conceitos básicos de população e amostra ..................................................................................50 Figura B.2 — Conceitos relativos aos momentos amostrais...............................................................................51 Figura B.3 — Conceitos de estimação ...................................................................................................................52 Figura B.4 — Conceitos relativos a testes estatísticos........................................................................................53 Figura B.5 — Conceitos relativos às classes e distribuições empíricas............................................................54 Figura B.6 — Diagrama conceitual de inferência estatística ...............................................................................55 Figura C.1 — Conceitos fundamentais em probabilidade....................................................................................56 Figura C.2 — Conceitos relativos a momentos.....................................................................................................57 Figura C.3 — Conceitos relativos às distribuições de probabilidade.................................................................58 Figura C.4 — Conceitos relativos às distribuições contínuas.............................................................................59 Figura D.1 — Representação gráfica de uma relação genérica...........................................................................61 Figura D.2 — Representação gráfica de uma relação partitiva ...........................................................................61 Figura D.3 — Representação gráfica de uma relação associativa.....................................................................61

Tabelas

Tabela 1 — Resultados para o Exemplo 1 ...............................................................................................................9 Tabela 2 —Exemplo da distribuição binomial .......................................................................................................27 Tabela 3 — Exemplo da distribuição normal padronizada...................................................................................28 Tabela 4 — Exemplo da distribuição hipergeométrica.........................................................................................39

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ABNT NBR IEC 3534-1:2010

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Prefácio Nacional

A Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) é o Foro Nacional de Normalização. As Normas Brasileiras, cujo conteúdo é de responsabilidade dos Comitês Brasileiros (ABNT/CB), dos Organismos de Normalização Setorial (ABNT/ONS) e das Comissões de Estudo Especiais (ABNT/CEE), são elaboradas por Comissões de Estudo (CE), formadas por representantes dos setores envolvidos, delas fazendo parte: produtores, consumidores e neutros (universidade, laboratório e outros).

Os Documentos Técnicos ABNT são elaborados conforme as regras das Diretivas ABNT, Parte 2.

A Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) chama atenção para a possibilidade de que alguns dos elementos deste documento podem ser objeto de direito de patente. A ABNT não deve ser considerada responsável pela identificação de quaisquer direitos de patentes.

A ABNT NBR ISO 3534-1 foi elaborada pela Comissão de Estudo Especial de Aplicações de Métodos Estatísticos (ABNT/CEE-83). O Projeto circulou em Consulta Nacional conforme Edital nº 04, de 25.03.2010 a 23.04.2010, com o número de Projeto 83:000.00-001/1.

Esta Norma é uma adoção idêntica, em conteúdo técnico, estrutura e redação, à ISO 3534:2006, que foi elaborada pelo Technical Committee Applications of Statistical Methods (ISO/TC 69), Subcommittee Terminology and Symbols (SC 01), conforme ISO/IEC Guide 21-1:2005.

Esta Norma cancela e substitui a ABNT NBR 10536:1988.

O Escopo desta Norma Brasileira em Inglês é o seguinte

Scope

This part of ABNT NBR ISO 3534 defines general statistical terms and terms used in probability which may be used in the drafting of other Standards. In addition, it defines symbols for a limited numbers of these terms.

The terms are classified as:

a) General statistics terms (Clause 1);

b) Terms used in probability (Clause 2).

Annex A gives a list of symbols and abbreviations recommended to be used for this part of ABNT NBR ISO 3534.

The entries in this part of ABNT NBR ISO 3534 are arranged in association with concept diagrams provides as Annexes B and C.

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Introdução

As versões atuais da ABNT NBR ISO 3534-1 e ISO 3534-2 foram desenvolvidas para serem compatíveis. Estas Normas compartilham do objetivo comum de restringir seus níveis matemáticos respectivos aos níveis mínimos necessários para alcançar definições coerentes, corretas e concisas. A Parte 1, referente aos termos usados em probabilidade e estatística, é fundamental, portanto por necessidade é apresentada em um nível matemático um tanto sofisticado. Reconhecendo que os usuários da ISO 3534-2 ou outras normas do TC 69 em estatística aplicada podem ocasionalmente consultar esta parte da ABNT NBR ISO 3534 para a definição de determinados termos, muitos dos termos são descritos de uma maneira menos técnica nas notas e ilustrados com exemplos. Embora estas descrições informais não sejam um substituto para definições formais, podem fornecer uma definição operacional dos conceitos para leigos, assim servindo às necessidades de usuários múltiplos destas normas de terminologia. Para acomodar mais o usuário aplicado que estaria envolvido normalmente com normas tais como ISO 3534-2 ou ISO 5725, por exemplo, notas e exemplos são oferecidos para fazer esta parte da ISO 3534 mais acessível.

Um conjunto bem definido e razoavelmente completo de termos de probabilidade e estatística é essencial ao desenvolvimento e ao uso eficaz de normas estatísticas. As definições fornecidas aqui devem ser suficientemente exatas e matematicamente sofisticadas para permitir que desenvolvedores das normas de estatística evitem ambigüidades. Naturalmente, explicações mais detalhadas dos conceitos, dos seus contextos e dos seus campos de aplicação podem ser encontradas em livros introdutórios de probabilidade e estatística.

Os diagramas conceituais são fornecidos em um anexo informativo para cada grupo de termos: 1) termos estatísticos gerais (Anexo B) e 2) termos usados em probabilidade (Anexo C). Há seis diagramas conceituais para termos estatísticos gerais e quatro para os termos relativos à probabilidade. Alguns termos aparecem em diagramas múltiplos para fornecer uma ligação de um conjunto de conceitos a outro. O Anexo D fornece uma breve introdução aos diagramas de conceito e à sua interpretação.

Estes diagramas foram instrumentos na elaboração desta revisão, pois ajudam a delinear as interdependências dos vários termos. Estes diagramas são também provavelmente úteis na tradução da norma para outros idiomas.

Como um comentário geral no que diz respeito à grande parte da norma, salvo indicação em contrário, as definições se relacionam ao caso unidimensional (univariada). Desta forma, elimina-se a necessidade de se mencionar o âmbito unidimensional para a maioria das definições.

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NORMA BRASILEIRA ABNT NBR ISO 3534-1:2010

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Estatística — Vocabulário e símbolos Parte 1: Termos estatísticos gerais e termos usados em probabilidade

Escopo

Esta parte da ABNT NBR ISO 3534 define termos estatísticos gerais e termos usados em probabilidade que podem ser utilizados na elaboração de outras Normas. Além disso, define símbolos para um número limitado destes termos.

Os termos são classificados como:

a) termos estatísticos gerais (Seção 1);

b) termos usados em probabilidade (Seção 2).

O Anexo A apresenta uma lista de símbolos e abreviaturas recomendados para esta parte da ABNT NBR ISO 3534.

Os termos desta parte da ABNT NBR ISO 3534 são organizados em associação com os diagramas de conceito mostrados nos Anexos B e C.

1 Termos estatísticos gerais

1.1 população totalidade dos itens considerados

NOTA 1 A população pode ser real e finita, real e infinita ou completamente hipotética. O termo "população finita" é usado às vezes, especialmente na amostragem de investigação. Do mesmo modo o termo "população infinita" é usado no contexto de amostragem a partir de um contínuo. Na Seção 2, a população será vista em um contexto probabilístico como o espaço amostral (2.1).

NOTA 2 Uma população hipotética permite que se imagine a natureza de dados adicionais sob várias suposições. Portanto, as populações hipotéticas são úteis no estágio de planejamento de investigações estatísticas, particularmente para determinar tamanhos de amostra apropriados. Uma população hipotética poderia ser finita ou infinita em número. É um conceito particularmente útil na estatística de inferência para auxiliar na avaliação da força de evidência em uma investigação estatística.

NOTA 3 O contexto de uma investigação pode ditar a natureza populacional. Por exemplo, se três cidades são selecionadas para um estudo demográfico ou de saúde, então a população consiste apenas nos residentes destas cidades. Alternativamente, se as três cidades foram selecionadas aleatoriamente entre todas as cidades em uma região específica, então a população consistiria em todos os residentes da região.

1.2 unidade amostral uma das partes individuais em que uma população (1.1) é dividida

NOTA Dependendo das circunstâncias, a menor parte da população de interesse pode ser um indivíduo, um domicílio, um distrito escolar, uma unidade administrativa e assim por diante.

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1.3 amostra subconjunto de uma população (1.1) composto de uma ou mais unidades amostrais (1.2)

NOTA 1 As unidades amostrais podem ser itens, valores numéricos ou mesmo entidades abstratas dependendo da população de interesse.

NOTA 2 A definição de amostra na ISO 3534-2 inclui um exemplo da estrutura de amostragem que é essencial para se obter uma amostra aleatória de uma população finita.

1.4 valor observado valor obtido de uma propriedade associada com um elemento de uma amostra (1.3)

NOTA 1 Os sinônimos comuns são "realização" e "dado".

NOTA 2 A definição não especifica a origem ou como este valor foi obtido. O valor pode representar a realização de uma variável aleatória (2.10), mas não necessariamente. Este pode ser um dos diversos valores que serão sujeitos posteriormente à análise estatística. Embora inferências apropriadas exijam certo embasamento estatístico, não há nada que impeça a utilização de sumários ou descrições gráficas de valores observados. O mecanismo estatístico se torna relevante e essencial somente quando forem consideradas algumas questões, tais como a determinação da probabilidade de um conjunto específico de realizações. O estágio preliminar de uma análise de valores observados é referido geralmente como análise de dados.

1.5 estatística descritiva descrição gráfica, numérica ou outras apresentações sumárias dos valores observados (1.4)

EXEMPLO 1 Os descritivos numéricas incluem média (1.15), amplitude (1.10), desvio-padrão amostral (1.17) e outras.

EXEMPLO 2 Exemplos de descrições gráficas incluem gráficos boxplot, diagramas, gráficos Q-Q, gráficos de quantis normais, diagramas de dispersão, diagramas de dispersão múltiplos e histogramas.

1.6 amostra aleatória amostra (1.3) que foi selecionada por um método de seleção aleatória

NOTA 1 Esta definição é menos restritiva do que a apresentada na ISO 3534-2 para populações infinitas.

NOTA 2 Quando a amostra de n unidades de amostragem é selecionada de um espaço amostral (2.1) finito, cada uma das combinações possíveis de n unidades de amostragem terá uma probabilidade (2.5) particular de ser tomada. Na avaliação de planos de amostragem, a probabilidade particular de cada combinação possível pode ser previamente determinada.

NOTA 3 Para avaliação da amostragem de um espaço amostral finito, uma amostra aleatória pode ser selecionada por planos de amostragem diferentes tais como a amostragem aleatória estratificada, amostragem aleatória sistemática, amostragem por conglomerados, amostragem com probabilidade de amostragem proporcional ao tamanho de uma variável auxiliar e muitas outras possibilidades.

NOTA 4 A definição refere-se geralmente aos valores observados (1.4) de fato. Estes valores observados são considerados como realizações das variáveis aleatórias (2.10), onde cada valor observado corresponde a uma variável aleatória. Quando estimadores (1.12), estatísticas de teste para testes estatísticos (1.48) ou os intervalos de confiança (1.28) são derivados de uma amostra aleatória, a definição faz referência às variáveis aleatórias oriundas das entidades abstratas na amostra mais do que aos valores observados reais destas variáveis aleatórias.

NOTA 5 As amostras aleatórias das populações infinitas são geradas freqüentemente por extrações repetidas do espaço amostral, conduzindo a uma amostra que consiste em variáveis aleatórias independentes distribuídas de maneira idêntica usando a interpretação desta definição mencionada na Nota 4.

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1.7 amostra aleatória simples <população finita> amostra aleatória (1.6) tal que cada subconjunto de um dado tamanho tenha a mesma probabilidade de seleção

NOTA Esta definição está em harmonia com a definição apresentada na ISO 3534-2, embora a frase aqui seja ligeiramente diferente.

1.8 estatística

função completamente especificada de variáveis aleatórias (2.10)

NOTA 1 Uma estatística é uma função de variáveis aleatórias em uma amostra aleatória (1.6) no sentido mencionado na Nota 4 de 1.6.

NOTA 2 Com referência à Nota 1, se nXXX ,...,, 21 for uma amostra aleatória de uma distribuição normal (2.50)

com média (2.35) µ desconhecida e desvio-padrão (2.37) desconhecido, então a expressão nXXX n /...21

é uma estatística denominada média amostral (1.15), enquanto que nXXX n /...21 não é uma estatística

porque envolve o valor desconhecido do parâmetro (2.9) µ .

NOTA 3 A definição apresentada é técnica, correspondendo ao tratamento encontrado na estatística matemática. Em termos de aplicação, a mesma palavra “estatística” pode se referir à disciplina técnica que envolve as atividades de análise descritas em Normas Internacionais do ISO/TC 69.

1.9 estatística de ordem estatística (1.8) determinada por sua classificação em um arranjo não decrescente das variáveis aleatórias (2.10)

EXEMPLO Sejam os valores observados de uma amostra 9, 13, 7, 6, 13, 7, 19, 6, 10 e 7. Os valores observados

da estatística de ordem são 6, 6, 7, 7, 7, 9, 10, 13, 13, 19. Estes valores constituem realizações de 1X até 10X .

NOTA 1 Sejam os valores observados (1.4) de uma amostra aleatória (1.6) nxxx ,...,, 21 e ordenados de forma não

decrescente designada como nk xxx ......1 . Então nk xxx ,...,,...,1 é o valor observado da estatística de

ordem nk XXX ,...,....,1 e kx é o valor observado da k-ésima estatística de ordem.

NOTA 2 Na prática, a estatística de ordem para uma série de dados é obtida com a ordenação dos dados como descrito formalmente na Nota 1. A forma ordenada da série de dados permite, então, obter uma estatística descritiva como apresentada nas próximas definições.

NOTA 3 As estatísticas de ordem envolvem valores da amostra identificados por sua posição após a ordenação na forma não decrescente. Como no exemplo, é mais fácil compreender a ordenação dos valores da amostra (realizações de variáveis aleatórias) do que a ordenação de variáveis aleatórias não observadas. Não obstante, pode-se conceber a organização em ordem não decrescente de variáveis aleatórias de uma amostra aleatória (1.6). Por exemplo, o máximo de n variáveis aleatórias pode ser estudado antes do seu valor realizado.

NOTA 4 A estatística de ordem individual é uma estatística que é uma função completamente especificada de uma variável aleatória. Esta função é simplesmente a função identidade com a identificação adicional da posição ou da classificação no conjunto organizado de variáveis aleatórias.

NOTA 5 Os valores coincidentes representam um problema potencial especialmente para variáveis aleatórias discretas e para as realizações que são expressas com baixa resolução. A palavra "não decrescente" é usada ao invés de "ascendente" como uma aproximação sutil ao problema. Deve-se enfatizar que os valores coincidentes são mantidos e não agrupados em um único valor. No exemplo acima, as duas realizações 6 e 6 são valores coincidentes.

NOTA 6 A ordenação ocorre em referência a valores reais e não aos valores absolutos das variáveis aleatórias.

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NOTA 7 O conjunto completo das estatísticas de ordem consiste em uma variável aleatória de n dimensões, onde n é o número de observações na amostra.

NOTA 8 Os componentes da estatística de ordem são referidos também como estatísticas de ordem, mas com um qualificador que forneça o número na seqüência de valores ordenados da amostra.

NOTA 9 O mínimo, o máximo e para tamanhos de amostra ímpares, a mediana amostral (1.13), são casos especiais

de estatísticas de ordem. Por exemplo, para o tamanho de amostra 11, 1X é o mínimo, 11X é o máximo e 6X

é a mediana amostral.

1.10 amplitude estatística de ordem (1.9) maior subtraída da estatística de ordem menor

EXEMPLO Continuando com o exemplo de 1.9, a amplitude observada da amostra é 19 – 6 = 13

NOTA Em controle de processo estatístico, a amplitude amostral é muitas vezes utilizada para monitorar a dispersão no tempo de um processo, notadamente quando os tamanhos das amostras são relativamente pequenos.

1.11 meio da amplitude média (1.15) da menor e da maior das estatísticas de ordem (1.9)

EXEMPLO O meio da amplitude observada para os valores do exemplo em 1.9 é (6 + 19)/2 = 12,5

NOTA O meio da amplitude fornece uma avaliação rápida e simples do meio de um pequeno conjunto de dados.

1.12 estimador

estatística (1.8) usada na estimação (1.36) do parâmetro

NOTA 1 Um estimador pode ser a média amostral (1.15) destinada a estimar a média (2.35) populacional, que poderia ser denotada por µ. Para uma distribuição (2.11) como a distribuição normal (2.50), o estimador "natural" da média populacional µ é a média amostral.

NOTA 2 Para estimar uma propriedade da população [por exemplo, a moda (2.27) para uma distribuição univariada (2.16)], um estimador apropriado poderia ser uma função dos estimadores dos parâmetros de uma distribuição ou poderia ser uma função complexa de uma amostra aleatória (1.6).

NOTA 3 O termo "estimador" é usado de uma forma abrangente. Inclui o estimador pontual para um parâmetro, assim como o estimador intervalar que é usado possivelmente para a predição (algumas vezes referido como um preditor). O estimador também pode incluir funções como estimadores de kernel e outras estatísticas de finalidade especial. Uma discussão adicional é fornecida nas notas de 1.36.

1.13 mediana amostral [(n+1)/2]-ésima estatística de ordem (1.9), se o tamanho de amostra n (ver 1.2.26 na ISO 3534-2:2006) for ímpar; a soma das (n/2)-ésima e [n/2) + 1]-ésima estatísticas de ordem divididas por 2, se o tamanho de amostra n for par

EXEMPLO Continuando com o exemplo de 1.9, o valor 8 é uma realização da mediana amostral. Neste caso (tamanho de amostra par igual a 10), o 5o e o 6o valores são 7 e 9, cuja média é 8. Na prática, isto seria relatado como "a mediana amostral é 8", embora, estritamente falando, a mediana amostral seja definida como uma variável aleatória.

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NOTA 1 Para uma amostra aleatória (1.6) de tamanho de amostra n cujas variáveis aleatórias (2.10) são arranjadas na ordem não decrescente de 1 a n, a mediana amostral é a (n+1)/2-ésima variável aleatória se o tamanho de amostra for ímpar. Se o tamanho de amostra n for par, então a mediana amostral é a média da (n/2)-ésima e da (n+1)/2-ésima variáveis aleatórias.

NOTA 2 Conceitualmente, pode parecer impossível conduzir uma ordenação de variáveis aleatórias que ainda não foram observadas. Não obstante, a estrutura para compreender a estatística de ordem pode ser estabelecida, de modo que, com base na observação, a análise possa ser realizada. Na prática, são obtidos valores observados e, com base na classificação dos valores, são obtidas realizações da estatística de ordem. Estas realizações podem então ser interpretadas a partir da estrutura da estatística de ordem de uma amostra aleatória.

NOTA 3 A mediana amostral fornece um estimador do valor que ocupa a posição central de uma distribuição, com metade dos valores acima da mediana e metade abaixo.

NOTA 4 Na prática, a mediana amostral é útil em fornecer um estimador que é insensível aos valores muito extremos em uma série de dados. Por exemplo, as medianas das rendas e as medianas dos preços de moradia são freqüentemente relatadas como valores que resumem todos os dados.

1.14 momento amostral de ordem k

kXE

soma da k-ésima potência de variáveis aleatórias (2.10) em uma amostra aleatória (1.6), dividida pelo número de observações na amostra (1.3)

NOTA 1 Para uma amostra aleatória do tamanho de amostra n, isto é, nXXX ...,,, 21 o momento amostral de ordem k,

kXE , é

n

i

kiX

n 1

1

NOTA 2 Além disso, este conceito pode ser descrito como o momento amostral de ordem k em relação a zero.

NOTA 3 O momento amostral de ordem 1 será considerado na definição seguinte como a média amostral (1.15).

NOTA 4 Embora a definição seja dada para k arbitrário, exemplos de uso geral envolvem na prática k = 1 [média amostral (1.15)], k = 2 [associado com a variância amostral (1.16) e o desvio-padrão amostral (1.17)], k = 3 [relativo ao coeficiente de assimetria amostral (1.20)] e k = 4 [relativo ao coeficiente de curtose amostral (1.21)].

NOTA 5 O “E” em kXE vem de “valor esperado” ou de "esperança matemática" da variável aleatória X.

1.15 média amostral média média aritmética soma de variáveis aleatórias (2.10) em uma amostra aleatória (1.6) dividida pelo número de termos na soma

EXEMPLO Continuando com o exemplo de 1.9, a realização da média amostral é 9,7 porque a soma dos valores observados é 97 e o tamanho da amostra é 10.

NOTA 1 Considerada uma estatística, a média amostral é uma função de variáveis aleatórias de uma amostra aleatória no sentido dado na Nota 3 de 1.8. Deve-se distinguir este estimador do valor numérico da média amostral calculada dos valores observados (1.4) na amostra aleatória.

NOTA 2 A média amostral considerada uma estatística é usada frequentemente como um estimador para a média (2.35) populacional. Um sinônimo comum é a média aritmética.

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NOTA 3 Para uma amostra aleatória de tamanho de amostra n, isto é, nXXX ...,,, 21 , a média amostral é:

n

iiX

nX

1

1

NOTA 4 A média amostral pode ser reconhecida como o momento amostral de ordem 1.

NOTA 5 Para o tamanho de amostra 2, a média amostral, a mediana amostral (1.13) e o meio da amplitude (1.11) são os mesmos.

1.16 variância amostral

2S soma dos desvios quadrados das variáveis aleatórias (2.10) em uma amostra aleatória (1.6) em relação à sua média amostral (1.15), dividida pelo número de termos da soma menos um

EXEMPLO Continuando com o exemplo numérico de 1.9, a variância amostral pode ser calculada como 17,57. A soma de quadrados em relação à média amostral observada é 158,10 e o tamanho de amostra 10 menos 1 é 9, resultando no denominador apropriado.

NOTA 1 Considerada uma estatística (1.8), a variância amostral S2 é uma função de variáveis aleatórias de uma amostra aleatória. É necessário distinguir este estimador (1.12) do valor numérico da variância amostral calculada dos valores observados (1.4) na amostra aleatória. Este valor numérico é chamado de variância amostral empírica ou a variância amostral

observada e denotado geralmente por 2s .

NOTA 2 Para uma amostra aleatória de tamanho de amostra n, isto é, nXXX ...,,, 21 , com média amostral X

a variância amostral é:

n

ii XX

nS

1

22

1

1

NOTA 3 A variância amostral é uma estatística que é "quase" a média dos desvios quadrados das variáveis aleatórias (2.10) da média amostral ("quase" uma vez que n - 1 é usado ao invés n no denominador). O uso de n - 1 fornece um estimador não tendencioso (1.34) da variância (2.36) populacional.

NOTA 4 A grandeza n - 1 é conhecida como graus de liberdade (2.54).

NOTA 5 A variância amostral pode ser reconhecida como sendo o segundo momento amostral das variáveis aleatórias amostrais padronizadas (1.19).

1.17 desvio-padrão amostral S raiz quadrada não-negativa da variância amostral (1.16)

EXEMPLO Continuando com o exemplo numérico de 1.9, o desvio-padrão amostral observado é 4,192 uma vez que a variância amostral observada é 17,57.

NOTA 1 Na prática, o desvio-padrão amostral é usado para estimar o desvio-padrão (2.37). Novamente deve-se enfatizar que S também é uma variável aleatória (2.10) e não uma realização de uma amostra aleatória (1.6).

NOTA 2 O desvio-padrão amostral é uma medida da dispersão de uma distribuição (2.11).

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1.18 coeficiente de variação amostral desvio-padrão amostral (1.17) dividido pela média amostral (1.15)

NOTA Como para o coeficiente de variação (2.38), a utilidade desta estatística é limitada às populações que têm valores positivos. O coeficiente de variação é expresso geralmente como uma porcentagem.

1.19 variável aleatória amostral padronizada variável aleatória (2.10) menos sua média amostral (1.15), dividida pelo desvio-padrão amostral (1.17)

EXEMPLO Para o exemplo de 1.9, a média amostral observada é 9,7 e o desvio-padrão amostral observado é 4,192. Portanto, as variáveis aleatórias padronizadas observadas (com duas casas decimais) são:

- 0,17; 0,79; - 0,64; - 0,88; 0,79; - 0,64; 2,22; - 0,88; 0,07; - 0,62.

NOTA 1 A variável aleatória amostral padronizada é distinta de sua contraparte teórica variável aleatória padronizada (2.33). A intenção da padronização é transformar variáveis aleatórias de forma a resultar em médias zero e desvios-padrão unitários, para facilitar a interpretação e a comparação.

NOTA 2 Os valores observados padronizados têm uma média observada de zero e um desvio-padrão observado de 1.

1.20 coeficiente de assimetria amostral média aritmética da terceira potência das variáveis aleatórias amostrais padronizadas (1.19) de uma amostra aleatória (1.6)

EXEMPLO Continuando com o exemplo de 1.9, o coeficiente de assimetria amostral observado pode ser calculado como sendo 0,971 88. Para um tamanho de amostra de 10, como neste exemplo, o coeficiente de assimetria amostral é altamente variável e portanto deve ser usado com cuidado. Utilizando a fórmula alternativa da Nota 1, o valor calculado é 1,349 83.

NOTA 1 A fórmula correspondente à definição é

n

i

i

S

XX

n 1

31

Alguns programas estatísticos usam a seguinte fórmula para a correção de tendência (1.33) do coeficiente de assimetria amostral:

n

iiZ

nn

n

1

3

21

onde

S

XXZ i

i

Para um tamanho de amostra grande, a distinção entre as duas estimativas é insignificante. A razão da estimativa não tendenciosa em relação à tendenciosa é 1,389 para n = 10, 1,031 para n = 100 e 1,003 para n = 1 000.

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NOTA 2 Assimetria refere-se à falta de simetria. Valores desta estatística próximos de zero sugerem que a distribuição subjacente seja aproximadamente simétrica, enquanto que valores mais distantes de zero corresponderiam provavelmente a uma distribuição que apresenta valores extremos ocasionais em um dos lados do centro da distribuição. Os dados assimétricos também seriam refletidos nos valores da média amostral (1.15) e da mediana amostral (1.13), que não seriam semelhantes. Os dados de assimetria positiva (para a direita) indicam a possível presença de algumas observações extremas altas. Similarmente, os dados de assimetria negativa (para a esquerda) indicam a possível presença de algumas observações extremas baixas.

NOTA 3 O coeficiente de assimetria amostral pode ser reconhecido como o terceiro momento amostral das variáveis aleatórias amostrais padronizadas (1.19).

1.21 coeficiente de curtose amostral média aritmética da quarta potência das variáveis aleatórias amostrais padronizadas (1.19) de uma amostra aleatória (1.6)

EXEMPLO Continuando com o exemplo de 1.9, o coeficiente de curtose amostral observado pode ser calculado como 2,674 19. Para um tamanho de amostra de 10, como neste exemplo, o coeficiente de curtose amostral é altamente variável, desta forma deve ser usado com cuidado. Programas estatísticos utilizam vários ajustes no cálculo do coeficiente de curtose amostral (ver Nota 3 de 2.40). Utilizando a fórmula alternativa indicada na Nota 1, o valor calculado é 0,436 05. Os dois valores 2,674 19 e 0,436 05 não são diretamente comparáveis. Para tanto, tomar 2,67419 - 3 (para relacionar à curtose da distribuição normal que é 3), resultando em - 0,325 81, podendo ser apropriadamente comparado a 0,436 05.

NOTA 1 A fórmula que corresponde à definição é:

n

i

i

S

XX

n 1

41

Para a correção do bias (1.33) do coeficiente de curtose amostral e para indicar o desvio da curtose da distribuição normal (que é igual a 3), alguns programas estatísticos usam a seguinte fórmula:

n

ii nn

nZ

nnn

nn

1

24

32

13

321

1

onde

S

XXZ i

i

O segundo termo na expressão é aproximadamente 3 para valores elevados de n. Às vezes a curtose é expressa como um valor, como definido em 2.40, menos 3 para enfatizar comparações com a distribuição normal. Obviamente, os usuários de programas estatísticos precisam estar cientes se houver ajustes nos cálculos.

NOTA 2 A curtose se refere à intensidade das caudas de uma distribuição (unimodal). Para a distribuição normal (2.50), o coeficiente de curtose amostral é aproximadamente 3, sujeito à variabilidade da amostragem. Na prática, a curtose da distribuição normal fornece uma referência ou um valor de linha de base. As distribuições (2.11) com valores menores do que 3 apresentam caudas menos acentuadas do que a distribuição normal; as distribuições com valores maiores do que 3 mostram caudas mais acentuadas do que a distribuição normal.

NOTA 3 Para valores observados da curtose bem maior do que 3, existe a possibilidade de que a distribuição subjacente apresente caudas muito mais acentuadas do que a distribuição normal. Uma outra possibilidade a ser investigada é a presença de possíveis valores aberrantes.

NOTA 4 O coeficiente de curtose amostral pode ser reconhecido como sendo o quarto momento amostral das variáveis aleatórias amostrais padronizadas.

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1.22 covariância amostral

XYS

soma de produtos dos desvios de pares de variáveis aleatórias (2.10) em uma amostra aleatória (1.6) de suas médias amostrais (1.15), dividida pelo número de termos na soma menos um

EXEMPLO 1 Considerar a seguinte ilustração numérica que utiliza 10 conjuntos, apresentando, cada um, três valores observados. Para este exemplo, considerar somente x e y.

Tabela 1 — Resultados para o Exemplo 1

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 38 41 24 60 41 51 58 50 65 33

y 73 74 43 107 65 73 99 72 100 48

z 34 31 40 28 35 28 32 27 27 31

A média amostral observada para X é 46,1 e para Y é 75,4. A covariância amostral é igual a

[(38 – 46,1) × (73 – 75,4) + (41 – 46,1) × (74 – 75,4) +... + (33 – 46,1) × (48 – 75,4)]/9 = 257,178

EXEMPLO 2 Na tabela do exemplo anterior, considerar somente y e z. A média amostral observada para z é 31,3. A covariância amostral é igual a

[(73 – 75,4) × (34 – 31,3) + (74 – 75,4) × (74 – 31,3) +... + (48 – 75,4) × (31 - 31,3)]/9 = -54,356

NOTA 1 Considerada uma estatística (1.8), a covariância amostral é uma função dos pares de variáveis aleatórias

nn YXYXYX ,...,,,,, 2211 de uma amostra aleatória de tamanho n no sentido apresentado na Nota 3 de 1.6.

Este estimador (1.12) precisa ser distinguido do valor numérico da covariância amostral calculada dos pares observados de

valores das unidades de amostragem (1.2) nn yxyxyx ,...,,,,, 2211 na amostra aleatória. Este valor numérico

é chamado de covariância amostral empírica ou de covariância amostral observada.

NOTA 2 A covariância XYS amostral é dada como:

n

iii YYXX

n1

1

1

NOTA 3 O uso de n-1 fornece um estimador não tendencioso (1.34) da covariância (2.43) populacional.

NOTA 4 O exemplo na Tabela 1 consiste em três variáveis, enquanto que a definição refere-se a um par de variáveis. Na prática, é comum encontrar situações com múltiplas variáveis.

1.23 coeficiente de correlação amostral rxy covariância amostral (1.22) dividida pelo produto dos correspondentes desvios-padrão amostral (1.17)

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EXEMPLO 1 Continuando com o exemplo 1 de 1.22, o desvio-padrão observado é 12,945 para X e 21,329 para Y. Portanto, o coeficiente de correlação amostral observado (para X e Y) é descrito por:

257,118/(12,948 × 21,329) = 0,931 2

EXEMPLO 2 Continuando com exemplo 2 de 1.22, o desvio-padrão observado é 21,329 para Y e 4,165 para Z. Portanto, o coeficiente de correlação amostral observado (para Y e Z) é descrito por:

- 54,356/(21,329 × 4,165) = - 0,612

NOTA 1 Em termos de notação, o coeficiente de correlação amostral é calculado como:

,

1 1

22

1

n

i

n

iii

n

iii

YYXX

YYXX

Esta expressão é equivalente à razão entre a covariância amostral e a raiz quadrada do produto dos desvios-padrão. O símbolo rxy é usado às vezes para representar o coeficiente de correlação amostral. O coeficiente de correlação amostral observado é baseado nas realizações nn yxyxyx ,...,,,,, 2211 .

NOTA 2 O coeficiente de correlação amostral observado pode assumir valores dentro do intervalo [- 1, 1], com valores perto de 1 indicando forte correlação positiva e valores próximos de - 1 indicando forte correlação negativa. Valores próximos de 1 ou - 1 indicam que a localização dos pontos se aproxima de uma linha reta.

1.24 erro-padrão

^

desvio-padrão (2.37) de um estimador (1.12) ^

EXEMPLO Se a média amostral (1.15) for o estimador da média (2.35) populacional e o desvio-padrão de uma única

variável aleatória (2.10) for , então o erro-padrão da média amostral é n/ , onde n é o número de observações

na amostra. Um estimador do erro-padrão é nS (a fórmula correta deve conter a divisão), onde S é o desvio-padrão amostral (1.17).

NOTA 1 Na prática, o erro-padrão fornece uma estimativa natural do desvio-padrão de um estimador.

NOTA 2 Não existe nenhum termo complementar (apropriado) para o erro "não padrão". O erro-padrão pode ser visto como uma abreviação para a expressão do "desvio-padrão de um estimador". Geralmente, na prática, o erro-padrão está se referindo

implicitamente ao desvio-padrão da média amostral. A notação para o erro-padrão da média amostral é X

.

1.25 estimador de intervalo intervalo limitado por uma estatística (1.8) de limite superior e por uma estatística de limite inferior

NOTA 1 Uma das extremidades poderia ser , ou um limite natural do valor de um parâmetro.

Por exemplo, zero é um limite inferior natural para um estimador de intervalo da variância (2.36) populacional. Nesses casos, os intervalos são referidos geralmente como intervalos unilaterais.

NOTA 2 Um estimador de intervalo pode ser apresentado conjuntamente com uma estimação (1.36) do parâmetro (2.9). Presume-se que o estimador de intervalo contenha um parâmetro em uma proporção indicada de ocasiões, sob circunstâncias de amostragem repetida, ou em algum outro sentido probabilístico.

NOTA 3 Três tipos comuns de estimadores de intervalo incluem os intervalos de confiança (1.28) para parâmetro(s), os intervalos de predição (1.30) para as observações futuras e os intervalos de tolerância estatísticos (1.26) contidos em uma proporção de uma distribuição (2.11).

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1.26 intervalo de tolerância estatístico intervalo determinado de uma amostra aleatória (1.6), de tal maneira que haja um nível especificado de confiança que o intervalo contenha no mínimo uma proporção especificada da população (1.1) amostrada

NOTA A confiança neste contexto é a proporção a longo prazo de intervalos obtidos desta maneira que incluirão no mínimo a proporção especificada da população amostrada.

1.27 limite de tolerância estatístico estatística (1.8) que representa uma extremidade de um intervalo de tolerância estatístico (1.26)

NOTA Intervalos de tolerância estatísticos podem ser

unilaterais (com um de seus limites fixados no limite natural da variável aleatória), e neste caso apresenta um limite de tolerância estatístico que pode ser superior ou inferior, ou

bilaterais, e neste caso apresentam ambos os limites.

Um limite natural da variável aleatória pode fornecer um limite para um limite unilateral.

1.28 intervalo de confiança estimador de intervalo (1.25) 10, TT para o parâmetro (2.9) com a estatística (1.8) T0 e T1 como limites

de intervalo e para qual tem-se

110 TTP

NOTA 1 A confiança reflete a proporção de casos em que o intervalo de confiança conteria o valor verdadeiro do parâmetro em uma série longa de amostras aleatórias (1.6) repetidas sob circunstâncias idênticas. Um intervalo de confiança não reflete a probabilidade (2.5) do intervalo observado conter o valor verdadeiro do parâmetro (o intervalo contém ou não o valor verdadeiro).

NOTA 2 Associada com este intervalo de confiança está a característica de desempenho concomitante %1100 ,

onde é geralmente um número pequeno. A característica de desempenho, que é chamada coeficiente de confiança ou nível

de confiança, é frequentemente 95 % ou 99 %. A desigualdade 110 TTP vale para qualquer valor específico,

mas desconhecido da população de .

1.29 intervalo de confiança unilateral intervalo de confiança (1.28) com um de seus limites fixados em , , ou um limite fixo natural

NOTA 1 A definição 1.28 aplica-se com T0 em ou com T1 em . Intervalos de confiança unilaterais aparecem nas situações onde o interesse é estritamente focado em uma direção. Por exemplo, no teste do volume de áudio, no que diz respeito à segurança em telefones celulares, um limite de confiança superior interessante seria o que indicasse um limite superior para o volume produzido sob circunstâncias seguras presumidas. Para o teste mecânico estrutural, seria de interesse um limite de confiança inferior na força em que um dispositivo falha.

NOTA 2 Um outro exemplo de intervalos de confiança unilaterais ocorre nas situações em que um parâmetro tem um limite natural tal como zero. Para uma distribuição de Poisson (2.47) utilizada na modelagem de reclamações de clientes, zero é um limite inferior. Como um outro exemplo, um intervalo de confiança para a confiabilidade de um componente eletrônico poderia ser (0,98, 1), onde 1 é o limite superior natural.

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1.30 intervalo de predição amplitude dos valores de uma variável, derivados de uma amostra aleatória (1.6) de valores de uma população contínua, que se pode afirmar com uma dada confiança que não menos do que um dado número de valores estarão contidos em uma amostra aleatória adicional da mesma população (1.1)

NOTA Geralmente, o interesse é focado em uma única observação adicional, proveniente da mesma situação que as observações que são a base do intervalo de predição. Um outro contexto prático é a análise de regressão em que um intervalo de predição é construído para um espectro de valores independentes.

1.31 estimativa valor observado (1.4) de um estimador (1.12)

NOTA A estimativa refere-se a um valor numérico obtido dos valores observados. No que diz respeito à estimação (1.36) de um parâmetro (2.9) de uma distribuição de probabilidade (2.11) hipotética, o estimador refere-se à estatística (1.8) que pretende estimar o parâmetro e a estimativa refere-se ao resultado usando valores observados. O adjetivo "pontual" é introduzido às vezes para enfatizar que um único valor está sendo estimado ao invés de um intervalo dos valores. Similarmente, o adjetivo "intervalo" é introduzido antes da estimativa nos casos em que a estimação de intervalo está ocorrendo.

1.32 erro de estimação estimativa (1.31) menos o parâmetro (2.9) ou a propriedade da população que se pretende estimar

NOTA 1 A propriedade da população pode ser uma função do parâmetro, parâmetros ou outra grandeza relativa à distribuição de probabilidade (2.11).

NOTA 2 O erro do estimador poderia envolver as contribuições provenientes da amostragem, incerteza de medição, arredondamento ou outras fontes. Na prática, o erro do estimador representa o desempenho de base de interesse para os usuários. A determinação das contribuições primárias ao erro do estimador é um fator crítico nos esforços de melhoria da qualidade.

1.33 tendência expectativa (2.12) do erro de estimação (1.32)

NOTA 1 Esta definição difere da ISO 3534-2: 2006 (3.3.2) e do VIM: 1993 (5.25 e 5.28). Tendência é usada aqui em um sentido genérico como indicado na Nota 1 de 1.34.

NOTA 2 Na prática, a existência de tendência pode conduzir a conseqüências indesejadas. Por exemplo, a subestimação da resistência de materiais devido a tendências (bias) poderia conduzir a falhas inesperadas de um dispositivo. Em uma amostragem, tendência poderia conduzir a decisões incorretas em uma pesquisa política.

1.34 estimador não tendencioso estimador (1.12) que tem tendência (1.33) igual a zero

EXEMPLO 1 Para uma amostra aleatória (1.6) de n variáveis aleatórias independentes (2.10), cada um com a mesma

distribuição normal (2.50) com média µ (2.35) e desvio-padrão (2.37) , a média amostral X (1.15) e a variância

amostral 2S (1.16) são estimadores não tendenciosos para a média e a variância (2.36) 2 , respectivamente.

EXEMPLO 2 Como é mencionado na Nota 1 de 1.37, o estimador de máxima verossimilhança (1.35) da variância 2 usa o denominador n em vez de n - 1 e portanto é um estimador tendencioso (com bias). Na prática, o desvio-padrão

amostral (1.17) é muito usado, mas é importante notar que a raiz quadrada da variância amostral usando n - 1 é um estimador tendencioso (com bias) do desvio-padrão da população (2.37).

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EXEMPLO 3 Para uma amostra aleatória de n pares independentes de variáveis aleatórias, cada par com a mesma distribuição normal bivariada (2.65) com covariância (2.43) igual a XY , a covariância amostral (1.22) é um estimador

não tendencioso para a covariância da população. O estimador de máxima verossimilhança usa n em vez de n - 1 no denominador e é portanto tendencioso (com bias).

NOTA Os estimadores não tendenciosos são desejáveis porque, na média, eles fornecem o valor correto. Certamente, os estimadores não tendenciosos fornecem um ponto de partida útil na busca dos estimadores "ótimos" de parâmetros da população. A definição dada aqui é de natureza estatística.

Na prática, os usuários tentam evitar introduzir tendências em um estudo, assegurando, por exemplo, que a amostra aleatória é representativa da população de interesse.

1.35 estimador de máxima verossimilhança estimador (1.12) que atribui o valor do parâmetro (2.9), onde a função de verossimilhança (1.38) alcança ou se aproxima de seu valor mais elevado

NOTA 1 A estimação de máxima verossimilhança é um método bem conhecido para se obter as estimativas do parâmetro, onde uma distribuição (2.11) foi especificada [por exemplo, normal (2.50), gama (2.56), Weibull (2.63), e assim por diante]. Estes estimadores têm propriedades estatísticas desejáveis (por exemplo, invariância sob a transformação monótona) e em muitas situações fornecem o método de escolha para a estimação. Nos casos em que o estimador de máxima verossimilhança é tendencioso (com bias), às vezes ocorre uma simples correção da tendência (1.33). Como mencionado no Exemplo 2 de 1.34, o estimador de máxima verossimilhança para a variância (2.36) da distribuição normal é tendencioso (com bias), mas pode ser corrigido pelo uso de n - 1 ao invés de n. A extensão da tendência diminui nesses casos com o aumento do tamanho da amostra.

NOTA 2 A abreviatura MLE (Maximum Likekihood Estimator) é comumente usada para o estimador de máxima verossimilhança e estimação de máxima verossimilhança, e o contexto indica qual a escolha apropriada.

1.36 estimação procedimento que obtém uma representação estatística de uma população (1.1) de uma amostra aleatória (1.6) selecionada desta população

NOTA 1 Em particular, o procedimento envolvido na operação de passagem de um estimador (1.12) a uma estimativa (1.31) específica constitui a estimação.

NOTA 2 A estimação é compreendida em um contexto bastante amplo para incluir a estimação pontual, a estimação de intervalo ou a estimação de propriedades de populações.

NOTA 3 Freqüentemente, uma representação estatística refere-se à estimação de um parâmetro (2.9) ou parâmetros ou uma função dos parâmetros de um modelo assumido. Em geral, a representação da população poderia ser menos específica, como a estatística relativa aos impactos dos desastres naturais (vítimas, danos corporais, perdas de propriedades e perdas agrícolas - que um gerente da emergência pode desejar estimar).

NOTA 4 A consideração da estatística descritiva (1.5) poderia sugerir que um modelo assumido fornecesse uma representação inadequada dos dados, como indicado por uma qualidade de ajuste do modelo aos dados. Nesses casos, outros modelos poderiam ser considerados e o processo de estimação continuado.

1.37 estimação de máxima verossimilhança estimação (1.36) baseada no estimador de máxima verossimilhança (1.35)

NOTA 1 Para a distribuição normal (2.50), a média amostral (1.15) é o estimador de máxima verossimilhança (1.35) do parâmetro (2.9) µ, enquanto que a variância amostral (1.16), usando o denominador n ao invés de n - 1, fornece

o estimador de máxima verossimilhança de 2 . O denominador n - 1 é geralmente usado, já que este valor fornece um estimador não tendencioso (1.34).

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NOTA 2 A estimação de máxima verossimilhança é usada, às vezes, para descrever a derivação de um estimador (1.12) da função de verossimilhança.

NOTA 3 Embora em alguns casos uma expressão analítica possa existir usando a estimação de máxima verossimilhança, há outras situações em que a estimação da máxima verossimilhança requer uma solução iterativa a um conjunto de equações.

NOTA 4 A abreviatura MLE (Maximum Likelihood Estimator) é de uso geral para o estimador de máxima verossimilhança e estimação de máxima verossimilhança, e o contexto indica qual a escolha apropriada.

1.38 função de verossimilhança função de densidade de probabilidade (2.26) avaliada nos valores observados (1.4) e considerada uma função dos parâmetros (2.9) da família de distribuições (2.8)

EXEMPLO 1 Considerar uma situação em que dez itens são selecionados aleatoriamente de uma população (1.1) muito grande e três dos itens têm uma característica específica. Desta amostra, uma estimativa (1.31) intuitiva da proporção da população que tem a característica é 0,3 (3 de 10). Sob o modelo da distribuição binomial (2.46), a função de verossimilhança (função de massa de probabilidade em função de p com o n fixado em 10 e x em 3) atinge seu máximo em p = 0,3, concordando com a intuição.

[Isto pode ser melhor verificado traçando-se a função de massa de probabilidade da distribuição binomial (2.46)

73 1120 pp em função de p].

EXEMPLO 2 Para a distribuição normal (2.50) com desvio-padrão (2.37) conhecido, pode-se mostrar que, geralmente, a função de probabilidade tem seu máximo com µ igual à média amostral.

1.39 função de perfil de verossimilhança função de verossimilhança (1.38) em função de um único parâmetro (2.9) com todos parâmetros restantes ajustados para maximizá-lo

1.40 hipótese H afirmação sobre uma população (1.1)

NOTA Geralmente a afirmação sobre a população refere-se a um ou mais parâmetros (2.9) em uma família de distribuições (2.8) ou sobre a família de distribuições.

1.41 hipótese nula

0H

hipótese (1.40) a ser testada por meio de um teste estatístico (1.48)

EXEMPLO 1 Em uma amostra aleatória (1.6) de variáveis aleatórias (2.10) independentes com a mesma distribuição normal (2.50), com média (2.35) desconhecida e desvio-padrão (2.37) desconhecido, uma hipótese nula para a média µ pode ser que a média seja inferior ou igual a um dado valor µ0 e isso é escrito geralmente da seguinte maneira: 00 :H .

EXEMPLO 2 Uma hipótese nula pode ser que o modelo estatístico para uma população (1.1) seja uma distribuição normal. Para este tipo de hipótese nula, a média e o desvio-padrão não são especificados.

EXEMPLO 3 Uma hipótese nula pode ser que o modelo estatístico para uma população consista em uma distribuição simétrica. Para este tipo de hipótese nula, a forma da distribuição não é especificada.

NOTA 1 Explicitamente, a hipótese nula pode consistir em um subconjunto de um conjunto de distribuições de probabilidade possíveis.

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NOTA 2 Esta definição não deveria ser considerada de forma independente à hipótese alternativa (1.42) e do teste estatístico (1.48), porque a aplicação apropriada do teste de hipótese exige todos estes componentes.

NOTA 3 Na prática, nunca se prova a veracidade de uma hipótese nula, mas sim a avaliação em uma dada situação pode ser inadequada para rejeitar a hipótese nula. A motivação original para conduzir o teste de hipótese provavelmente teria sido uma expectativa de que o resultado favorecesse uma hipótese alternativa específica relevante ao problema em questão.

NOTA 4 Deixar de rejeitar a hipótese nula não é "prova" de sua validade, mas pode ser uma indicação de que não há evidência suficiente para rejeitá-la. Ou a hipótese nula (ou uma muito próxima a ela) é de fato verdadeira, ou o tamanho de amostra é insuficiente para detectar uma diferença em relação a ela.

NOTA 5 Em algumas situações, o interesse inicial é centrado sobre a hipótese nula, mas a possibilidade de um desvio em relação a ela pode ser de interesse. A consideração apropriada do tamanho de amostra e do poder em detectar um desvio ou uma alternativa específica pode conduzir à construção de um procedimento de teste para apropriadamente avaliar a hipótese nula.

NOTA 6 A aceitação da hipótese alternativa em contraste com a impossibilidade de rejeitar a hipótese nula é um resultado positivo na medida em que suporta a conjectura de interesse. A rejeição da hipótese nula em favor da alternativa é um resultado com menos ambigüidade do que um resultado tal como a "falha em rejeitar a hipótese nula neste momento."

NOTA 7 A hipótese nula é a base para construir a estatística do teste (1.52) correspondente usada para avaliar a hipótese nula.

NOTA 8 A hipótese nula é freqüentemente denotada por 0H (H que tem um zero subscrito).

NOTA 9 Convém que o subconjunto que identifica a hipótese nula, se possível, seja selecionado de tal maneira que a formulação seja incompatível com a conjectura a ser estudada. Ver nota 2 de 1.48 e o exemplo em 1.49.

1.42 hipótese alternativa

A 1,H H

afirmação que seleciona um conjunto ou um subconjunto de todas as distribuições de probabilidade (2.11) possíveis que não pertencem à hipótese nula (1.41)

EXEMPLO 1 A hipótese alternativa à hipótese nula dada no exemplo 1 de 1.41 é que a média (2.35) seja maior do que o valor especificado, que é escrito da seguinte maneira: 0A :H .

EXEMPLO 2 A hipótese alternativa à hipótese nula dada no exemplo 2 AH de 1.41 é que o modelo estatístico da

população não seja uma distribuição normal (2.50).

EXEMPLO 3 A hipótese alternativa à hipótese nula dada no exemplo 3 de 1.41 é que o modelo estatístico da população consista em uma distribuição assimétrica. Para esta hipótese alternativa, a forma específica da assimetria não é especificada.

NOTA 1 A hipótese alternativa é o complemento da hipótese nula.

NOTA 2 A hipótese alternativa pode igualmente ser denotada por 1H ou AH sem uma preferência clara, contanto que

o simbolismo esteja em paralelo com a notação da hipótese nula.

NOTA 3 A hipótese alternativa é uma afirmação que contradiz a hipótese nula. A estatística de teste correspondente (1.52) é usada para decidir entre as hipóteses nula e alternativa.

NOTA 4 A hipótese alternativa não deve ser considerada de forma independente da hipótese nula nem do teste estatístico (1.48).

NOTA 5 A aceitação da hipótese alternativa em contraste à decisão de não rejeitar a hipótese nula é um resultado positivo que suporta a conjectura de interesse.

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1.43 hipótese simples hipótese (1.40) que especifica uma distribuição única em uma família de distribuições (2.8)

NOTA 1 Uma hipótese simples é uma hipótese nula (1.41) ou uma hipótese alternativa (1.42) na qual o subconjunto selecionado consiste somente em uma única distribuição de probabilidade (2.11).

NOTA 2 Em uma amostra aleatória (1.6) de variáveis aleatórias (2.10) independentes com a mesma distribuição normal (2.50) com média (2.35) desconhecida e desvio-padrão (2.37) conhecido , uma hipótese simples para a média µ

é que a média é igual a um dado valor µ0 e isto é geralmente escrito da seguinte maneira: 00 :H .

NOTA 3 Uma hipótese simples especifica completamente a distribuição de probabilidade (2.11).

1.44 hipótese composta hipótese (1.40) que especifica mais de uma distribuição (2.11) em uma família de distribuições (2.8)

EXEMPLO 1 As hipóteses nulas (1.41) e as hipóteses alternativas (1.42) dadas nos exemplos de 1.41 e 1.42 são todas exemplos de hipóteses compostas.

EXEMPLO 2 Em 1.48, a hipótese nula no Caso 3 do Exemplo 3 é uma hipótese simples. A hipótese nula no Exemplo 4 é igualmente uma hipótese simples. As outras hipóteses de 1.48 são compostas.

NOTA Uma hipótese composta é uma hipótese nula ou hipótese alternativa na qual o subconjunto selecionado consiste em mais do que uma única distribuição de probabilidade.

1.45 nível de significância α teste estatístico probabilidade (2.5) máxima de rejeitar a hipótese nula (1.41) quando de fato ela for verdadeira

NOTA Se a hipótese nula for uma hipótese simples (1.43), então a probabilidade de rejeitar a hipótese nula, caso esta seja verdadeira, torna-se um valor único.

1.46 erro Tipo I rejeição da hipótese nula (1.41) quando ela de fato for verdadeira

NOTA 1 De fato, um erro Tipo I é uma decisão incorreta. Portanto, é desejável manter a probabilidade (2.5) de tomar uma decisão incorreta a menor possível. Para obter uma probabilidade zero de um erro Tipo I, nunca se deveria rejeitar a hipótese nula. Em outras palavras, não obstante a evidência, a mesma decisão é tomada.

NOTA 2 É possível que em algumas situações (por exemplo, testando o parâmetro binomial p) que um nível de significância pré-especificado, tal como 0,05, não seja atingível devido à descontinuidade dos resultados.

1.47 erro Tipo II decisão de não rejeitar a hipótese nula (1.41) quando de fato a hipótese nula não for verdadeira

NOTA De fato, um erro Tipo II é uma decisão incorreta. Portanto, é desejável manter a probabilidade (2.5) de tomar uma decisão incorreta como a menor possível. O erro Tipo II ocorre geralmente nas situações onde os tamanhos de amostra são insuficientes para revelar um desvio em relação à hipótese nula.

1.48 teste estatístico teste de significância procedimento para decidir se uma hipótese nula (1.41) deve ser rejeitada em favor de uma hipótese alternativa (1.42)

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EXEMPLO 1 Como um exemplo, se uma variável aleatória contínua (2.29) real puder assumir valores entre e e houver uma suspeita que a distribuição de probabilidade verdadeira não é uma distribuição normal (2.50), então as hipóteses serão formuladas como segue.

O escopo da situação é todas as distribuições de probabilidade contínuas (2.23), que pode assumir valores entre e .

A conjectura é que a verdadeira distribuição de probabilidade não é uma distribuição normal.

A hipótese nula é que a distribuição de probabilidade é uma distribuição normal.

A hipótese alternativa é que a distribuição de probabilidade não é uma distribuição normal.

EXEMPLO 2 Se a variável aleatória seguir uma distribuição normal com um desvio-padrão (2.37) conhecido e se suspeitar

que seu valor de expectativa µ se desvia de um dado valor 0 , então as hipóteses estarão formuladas de acordo com

o Caso 3 no exemplo seguinte.

EXEMPLO 3 Este exemplo considera três possibilidades no teste estatístico.

Caso 1. Conjectura-se que a média do processo seja mais elevada do que a média-alvo de 0 . Esta conjectura conduz às

seguintes hipóteses:

Hipótese nula: 00 : H

Hipótese alternativa: 01 : H

Caso 2. Conjectura-se que a média do processo seja menor do que a média-alvo de 0 . Esta conjectura conduz às seguintes

hipóteses:

Hipótese nula: 00 : H


Caso 3. Conjectura-se que a média do processo não seja compatível com a média do processo, mas o sentido não está especificado. Esta conjectura conduz às seguintes hipóteses:

Hipótese nula: 0 0:H μ μ


Em todos os três casos, a formulação das hipóteses foi conduzida por uma conjectura a respeito da hipótese alternativa e seu desvio a partir de uma condição de referência.

EXEMPLO 4 Este exemplo considera como seu escopo todas as proporções p1 e p2 entre zero e uma das proporções de defeitos em dois lotes 1 e 2. Pode-se suspeitar que os dois lotes sejam diferentes e conseqüentemente conjecturar que as proporções de defeitos nos dois lotes sejam diferentes. Esta conjectura conduz às seguintes hipóteses:

Hipótese nula: 210 : ppH

Hipótese alternativa: 211 : ppH

NOTA 1 Um teste estatístico é um procedimento que é válido sob circunstâncias especificadas, para decidir, por meio das observações de uma amostra, se a distribuição de probabilidade verdadeira pertence à hipótese nula ou à hipótese alternativa.

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NOTA 2 Antes que um teste estatístico seja realizado o conjunto possível de distribuições de probabilidade é inicialmente determinado com base na informação disponível. Em seguida, as distribuições de probabilidade, que poderiam ser verdadeiras com base na conjectura a ser estudada, são identificadas em seguida para constituir a hipótese alternativa. Finalmente, a hipótese nula é formulada como complemento à hipótese alternativa. Em muitos casos, o conjunto possível de distribuições de probabilidade e portanto também a hipótese nula e a hipótese alternativa podem ser determinados pela referência aos conjuntos dos valores de parâmetros relevantes.

NOTA 3 Como a decisão é feita com base em observações de uma amostra, há risco de cometer um erro Tipo I (1.46), rejeitando a hipótese nula quando de fato está correta, ou um erro Tipo II (1.47), decidindo não rejeitar a hipótese nula em favor da hipótese alternativa quando a hipótese alternativa é verdadeira.

NOTA 4 O Caso 1 e o Caso 2 do Exemplo 3 acima são exemplos de testes unilaterais. O Caso 3 é um exemplo de um teste bilateral. Em todos os três casos, a escolha entre o unilateral e o bilateral é determinada pela consideração da região do parâmetro µ que corresponde à hipótese alternativa. De maneira mais geral, testes unilaterais e bilaterais podem ser governados pela região para a rejeição da hipótese nula que corresponde à estatística de teste escolhida. Isto é, a estatística de teste tem uma região crítica associada favorecendo a hipótese alternativa, mas pode não relacionar-se diretamente a uma descrição simples do espaço do parâmetro, como nos Casos 1, 2 e 3.

NOTA 5 A atenção cuidadosa às suposições subjacentes deve ser feita ou a aplicação do teste estatístico pode ficar sem fundamento. Os testes estatísticos que conduzem à inferências estáveis mesmo sob especificações não completamente corretas (ou especificações inadequadas) das suposições subjacentes são referidos como robustos. O teste t de amostra única para a média é um exemplo de um teste considerado muito robusto para distribuições não normais. O teste de Bartlett para a homogeneidade de variâncias é um exemplo de um procedimento não robusto, conduzindo possivelmente à rejeição excessiva da igualdade das variâncias nos casos distribucionais para os quais as variâncias eram de fato idênticas.

1.49 valor de p probabilidade (2.5) de obter o valor observado da estatística de teste (1.52) ou qualquer outro valor desfavorável à hipótese nula (1.41)

EXEMPLO Considerar o exemplo numérico introduzido originalmente em 1.9. Supor para ilustração que estes valores são observações de um processo do qual seja esperado ter nominalmente uma média de 12,5, e baseado em experiências anteriores, o engenheiro associado ao processo considerou que este estava consistentemente mais baixo do que o valor nominal. Um estudo foi empreendido e uma amostra aleatória de tamanho 10 foi coletada com os resultados numéricos de 1.9. As hipóteses apropriadas são:

Hipótese nula: 5,12:0 H

Hipótese alternativa: 5,12:1 H

A média amostral é 9,7, o que está no sentido da conjectura, mas está suficientemente longe de 12,5 para dar suporte à conjectura. Para este exemplo, a estatística de teste (1.52) é - 1,976 4 com valor de p correspondente a 0,040. Isto quer dizer que há menos de quatro chances em cem de se observar um valor estatístico de teste de - 1,976 4 ou menor, se a média verdadeira do processo estiver, de fato, em 12,5. Se o nível de significância pré-especificado original foi 0,05, então a hipótese nula deveria ser tipicamente rejeitada em favor da hipótese alternativa.

Supor alternativamente que o problema foi formulado de forma um tanto diferente. Imaginar que o interesse era que o processo estivesse fora do valor nominal 12,5, mas o sentido não foi especificado. Isto conduz às seguintes hipóteses:

Hipótese nula: 5,12:0 H

Hipótese alternativa: 5,12:1 H

Com os mesmos dados coletados de uma amostra aleatória, a estatística de teste é a mesma, - 1,976 4. Para esta hipótese alternativa, uma pergunta de interesse é "qual é a probabilidade de se ter um valor tão extremo ou mais extremo?". Neste caso, há duas regiões pertinentes, valores inferiores ou iguais a - 1,976 4 ou valores superiores ou iguais a 1,976 4. A probabilidade de uma estatística de teste t ocorrendo em uma destas regiões é 0,080 (duas vezes o valor unilateral). Há oito chances em cem de se observar um valor da estatística de teste tão extremo ou ainda maior. Assim, a hipótese nula não é rejeitada no nível de significância 0,05.

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NOTA 1 Se o valor de p for 0,029, por exemplo, então há menos de três chances em cem de que um valor tão extremo da estatística de teste ou de um ainda mais extremo, ocorra sob a hipótese nula. Com base nesta informação, pode-se sentir tentado a rejeitar a hipótese nula, como este é um valor de p razoavelmente pequeno. De maneira mais formal, se o nível de significância for estabelecido como 0,05, então definitivamente o valor de p de 0,029 sendo menor que 0,05 conduziria à rejeição da hipótese nula.

NOTA 2 O termo valor de p é referido às vezes como a probabilidade de significância que não deve ser confundida com o nível de significância (1.45), que é uma constante especificada para uma dada aplicação.

1.50 poder do teste um menos a probabilidade (2.5) do erro Tipo II (1.47)

NOTA 1 O poder do teste para um valor especificado de um parâmetro desconhecido (2.9) em uma família de distribuições (2.8) é igual à probabilidade de se rejeitar a hipótese nula (1.41) para o valor daquele parâmetro.

NOTA 2 Na maioria dos casos de interesse prático, aumentar o tamanho de amostra aumentará o poder de um teste. Ou seja, a probabilidade de rejeitar a hipótese nula, quando a hipótese alternativa (1.42) for verdadeira, aumenta com o tamanho de amostra crescente, reduzindo desse modo a probabilidade de erro Tipo II.

NOTA 3 É desejável em situações de teste que, conforme o tamanho da amostra se torne extremamente grande, mesmo pequenos desvios da hipótese nula sejam detectados, conduzindo à rejeição da hipótese nula. Ou seja, o poder do teste deve se aproximar de 1 para cada alternativa à hipótese nula, conforme o tamanho da amostra se torne infinitamente grande. Tais testes são referidos como consistentes. Comparando-se dois testes no que diz respeito ao poder, o teste com poder maior é considerado o mais eficiente quando os níveis de significância são idênticos, assim como as hipóteses nulas e alternativas particulares. Há descrições matemáticas mais formais da consistência e da eficiência que estão além do objetivo desta parte da ABNT NBR ISO 3534. (Consultar as várias enciclopédias ou livros sobre estatística).

1.51 curva de poder coleção de valores do poder de um teste (1.50) em função do parâmetro (2.9) de população de uma família de distribuições (2.8)

NOTA A função de poder é igual a um menos a curva característica de operação.

1.52 estatística de teste estatística (1.8) usada conjuntamente com um teste estatístico (1.48)

NOTA A estatística de teste é usada para avaliar se a distribuição de probabilidade (2.11) considerada é consistente com a hipótese nula (1.41) ou com a hipótese alternativa (1.42).

1.53 estatística descritiva gráfica estatística descritiva (1.5) em forma gráfica

NOTA Geralmente, a intenção da estatística descritiva é reduzir um grande número de valores a um número manejável ou apresentá-los de forma a facilitar a visualização. Os exemplos de sumários gráficos incluem diagramas de caixa (boxplots), curvas de probabilidade, gráficos Q-Q, gráficos normais de quantil, gráficos de dispersão, gráficos de dispersão multidimensionais e histogramas (1.61).

1.54 estatística descritiva numérica estatística descritiva (1.5) na forma numérica

NOTA A estatística descritiva numérica inclui a média (1.15), amplitude amostral (1.10), desvio-padrão amostral (1.17), amplitude interquartil, e assim por diante.

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1.55 classes

NOTA Supõe-se que as classes sejam mutuamente exclusivas e exaustivas. A linha real abrange todos os números reais entre e .

1.55.1 classe característica qualitativa subconjunto de itens de uma amostra (1.3)

1.55.2 classe característica ordinal conjunto de uma ou mais categorias adjacentes em uma escala ordinal

1.55.3 classe característica quantitativa intervalo da linha real

1.56 limites de classe fronteiras de classe característica quantitativa valores que definem os limites superiores e inferiores de uma classe (1.55)

NOTA Esta definição refere-se aos limites de classe associados às características quantitativas.

1.57 ponto médio da classe característica quantitativa média (1.15) dos limites de classe superior e inferior (1.56)

1.58 largura da classe característica quantitativa limite superior de uma classe menos o limite inferior de uma classe (1.55)

1.59 freqüência número das ocorrências ou dos valores observados (1.4) em uma classe especificada (1.55)

1.60 distribuição de freqüência relação empírica entre as classes (1.55) e o seu número de ocorrências ou de valores observados (1.4)

1.61 histograma representação gráfica de uma distribuição de freqüência (1.60) que consiste em retângulos contíguos, cada um com a largura da base igual à largura da classe (1.58) e área proporcional à freqüência da classe

NOTA Deve-se ter cuidado em relação às situações nas quais os dados aparecem em classes com larguras da classe desiguais.

1.62 diagrama de barras representação gráfica de uma distribuição de freqüência (1.60) de uma propriedade nominal que consiste em um conjunto de retângulos de largura uniforme com altura proporcional à freqüência (1.59)

NOTA 1 Às vezes os retângulos são mostrados como imagens tridimensionais para finalidades aparentemente estéticas, embora isto não apresente nenhuma informação adicional e não seja uma apresentação recomendada. Para um diagrama de barras, os retângulos não precisam ser contíguos.

NOTA 2 A distinção entre histogramas e diagramas de barras tornou-se cada vez menos nítida depois que os programas estatísticos disponíveis não seguem sempre as definições apresentadas nesta Norma.

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1.63 freqüência cumulativa freqüência (1.59) para classes até (e incluindo) um limite especificado

NOTA Esta definição só é aplicável para valores especificados que correspondam aos limites de classe (1.56).

1.64 freqüência relativa freqüência (1.59) dividida pelo número total de ocorrências ou valores observados (1.4)

1.65 freqüência relativa acumulada freqüência cumulativa (1.63) dividida pelo número total de ocorrências ou valores observados (1.4)

2 Termos usados em probabilidade

2.1 espaço amostral conjunto de todos os resultados possíveis

EXEMPLO 1 Considerar os tempos de falha de baterias compradas por um consumidor. Se a bateria não funcionar no uso inicial, seu tempo de falha é 0. Se a bateria funcionar por algum tempo, ela apresenta tempo de falha de algumas horas. Conseqüentemente, o espaço amostral consiste nos resultados a bateria falha na tentativa inicial e a bateria falha após x horas, onde x é maior que zero. Este exemplo será utilizado durante todo este item. Uma discussão extensiva deste exemplo é feita em 2.68.

EXEMPLO 2 Uma caixa contém 10 resistores que são etiquetados 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Se dois resistores forem amostrados aleatoriamente sem reposição desta coleção de resistores, o espaço amostral consiste nos seguintes 45 resultados: (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (1,9) (1, 10), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (2, 9), (2,10), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (3, 9), (3, 10), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8), (4, 9), (4, 10), (5, 6), (5, 7), (5, 8), (5, 9), (5,10), (6, 7), (6, 8), (6, 9), (6, 10), (7, 8), (7, 9), (7, 10), (8, 9), (8, 10), (9, 10). O evento (1, 2) é considerado o mesmo que (2, 1), de modo que a ordem em que os resistores são amostrados não importa. Alternativamente, se a ordem importar, de forma que (1, 2) seja considerado diferente de (2, 1), então há um total de 90 resultados no espaço amostral.

EXEMPLO 3 Se no exemplo precedente a amostragem fosse executada com reposição, então os eventos adicionais (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7), (8, 8), (9, 9) e (10, 10) precisariam igualmente ser incluídos. No caso em que a ordem não importa, haveria 55 resultados no espaço amostral. Na situação em que a ordem importa, haveria 100 resultados no espaço amostral.

NOTA 1 Os resultados poderiam ser obtidos de um experimento real ou de um experimento completamente hipotético. Este conjunto poderia ser uma lista explícita, um conjunto numerável tal como os inteiros positivos, 1, 2, 3,..., ou a linha real, por exemplo.

NOTA 2 O espaço amostral é o primeiro componente de um espaço de probabilidade (2.68).

2.2 evento A subconjunto do espaço amostral (2.1)

EXEMPLO 1 Continuando com o Exemplo 1 de 2.1, seguem exemplos de eventos 0, (0, 2), 5,7, [7, +∞ ) , correspondendo, respectivamente, a uma bateria que falhe na tentativa inicial, uma bateria que funcione inicialmente mas falhe antes de duas horas, uma bateria que falhe exatamente no tempo 5,7 h e uma bateria que ainda não falhou após 7 h. 0 e 5,7 são conjuntos de um único valor; (0, 2) é um intervalo aberto da linha real; [7, +∞ ) é um intervalo infinito fechado à esquerda da linha real.

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EXEMPLO 2 Continuando com o Exemplo 2 de 2.1, considerar a seleção sem reposição e sem registrar a ordem da seleção. Um evento possível A é definido por pelo menos um dos resistores de número 1 ou 2 é incluído na amostra. Este evento contém os 17 resultados (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (1, 9), (1, 10), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (2, 9), e (2, 10). Um outro evento possível B é nenhum dos resistores de número 8, 9 ou 10 é incluído na amostra. Este evento contém os 21 resultados (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (4, 5), (4,6), (4, 7), (5, 6), (5, 7), (6, 7).

EXEMPLO 3 Continuando com o Exemplo 2, a interseção dos eventos A e B (isto é, ao menos um dos resistores de número 1 e 2 seja incluído na amostra, mas nenhum dos resistores de número 8, 9 e 10), contém os seguintes 11 resultados (1,2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7).

A união dos eventos A e B contém os seguintes 27 resultados: (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (1, 9), (1, 10), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (2, 9), (2, 10), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (5, 6), (5, 7), e (6, 7).

O número de resultados na união dos eventos A e B (isto é, que pelo menos um dos resistores de número 1 e 2 ou nenhum dos resistores de número 8, 9, e 10, seja incluído na amostra) é 27, que é igual a 17 + 21 - 11, a saber, o número dos resultados em A mais o número de resultados em B menos o número de resultados na interseção, sendo igual ao número de resultados na união dos eventos.

NOTA Dado um evento e um resultado de um experimento, diz-se que o evento ocorreu, se o resultado pertencer ao evento. Eventos de interesse prático pertencem à sigma álgebra dos eventos (2.69), o segundo componente do espaço de probabilidade (2.68). Eventos ocorrem naturalmente em contextos de jogo (pôquer, roleta, e assim por diante) onde a determinação do número de resultados que pertencem a um evento determina as probabilidades para apostar.

2.3 evento complementar

cA espaço amostral (2.1) com exclusão de um dado evento (2.2)

EXEMPLO 1 Continuando com o Exemplo 1 da bateria de 2.1, o complemento do evento 0 é o evento (0, +∞), que é equivalente a dizer que o complemento do evento que a bateria não funcionou inicialmente é o evento que a bateria funcionou inicialmente. Similarmente, o evento [0, 3) corresponde aos os casos em que a bateria não estava funcionando inicialmente ou funcionou menos de três horas. O complemento deste evento é [3, ∞), que corresponde a uma bateria que funcionava no tempo de 3 h e seu tempo de falha é maior que este valor.

EXEMPLO 2 Continuando com Exemplo 2 de 2.2. O número de resultados em B pode ser encontrado facilmente considerando o evento complementar à B = a amostra contém pelo menos um dos resistores 8, 9 ou 10. Este evento contém os 7 + 8 + 9 = 24 resultados (1, 8), (2, 8), (3, 8), (4, 8), (5, 8), (6, 8), (7, 8), (1, 9), (2, 9), (3, 9), (4, 9), (5, 9), (6, 9), (7, 9), (8, 9), (1, 10), (2, 10), (3, 10), (4, 10), (5, 10), (6, 10), (7, 10), (8, 10), (9, 10). Como o espaço amostral inteiro contém 45 resultados neste caso, o evento B contém 45 - 24 = 21 resultados [(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (5, 6), (5, 7), (6, 7)].

NOTA 1 O evento complementar é o complemento do evento no espaço amostral.

NOTA 2 O evento complementar também é um evento.

NOTA 3 Para um evento A, o evento complementar a A é representado pelo símbolo cA .

NOTA 4 Em muitas situações, pode ser mais fácil computar a probabilidade do complemento de um evento do que a probabilidade do evento. Por exemplo, o evento definido por "ao menos um defeito ocorre em uma amostra de 10 itens escolhidos aleatoriamente de uma população de 1 000 itens, tendo um número suposto de defeitos de um por cento" tem um número enorme de resultados a serem listados. O complemento deste evento (nenhum defeito encontrado) é muito mais fácil de ser tratado.

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2.4 eventos independentes pares de eventos (2.2) tais que a probabilidade (2.5) da interseção dos dois eventos seja o produto das probabilidades individuais

EXEMPLO 1 Considerar a situação do lançamento de dois dados, com um dado vermelho e um dado branco para distinguir os 36 resultados possíveis com probabilidade 1/36 atribuída a cada um. iD é definido como o evento no qual a soma dos

pontos nos dados vermelho e branco é i. W é definido como o evento no qual o dado branco apresenta a face um. Os eventos

7D e W são independentes, enquanto que os eventos iD e W não são independentes para i = 2, 3, 4, 5 ou 6. Eventos que não

são independentes são denominados eventos dependentes.

EXEMPLO 2 Eventos independentes e dependentes aparecem naturalmente em aplicações. Nos casos nos quais os eventos ou as circunstâncias são dependentes, é útil saber o resultado de um evento relacionado. Por exemplo, um indivíduo prestes a submeter-se a uma cirurgia de coração poderia ter prognóstico de sucesso muito diferente, no caso deste indivíduo ter histórico de fumo ou outros fatores de risco. Assim, nos procedimentos invasivos fumo e morte poderiam ser dependentes. Ao contrário, provavelmente a morte seria independente do dia da semana no qual esta pessoa nasceu. Em um contexto de confiabilidade, os componentes que têm uma causa comum de falha não têm tempos de falha independentes. Hastes de combustível em um reator têm possivelmente probabilidade baixa de ocorrência de rachaduras, mas quando uma haste de combustível se racha, a probabilidade de rachadura na haste adjacente pode aumentar substancialmente.

EXEMPLO 3 Continuando o Exemplo 2 de 2.2, supor que a amostragem foi feita pela amostragem aleatória simples, tais que todos os resultados tenham a mesma probabilidade 1/45. Então P (A) = 17/45 = 0,377 8, P (B) = 2 1/45 = 0,466 7 e P (A e B) = 11/45 = 0,244 4. Entretanto, o produto P (A) × P (B) = (17/45) × (21/45) = 0,1763, que é diferente de 0,244 4, portanto os eventos A e B não são independentes.

NOTA Esta definição é dada no contexto de dois eventos, mas pode ser estendida. Para os eventos A e B, a condição da independência é BPAPBAP . Para três eventos A, B e C serem independentes, é necessário:

CPBPAPCBAP

BPAPBAP

CPAPCAP e

CPBPCBP

Geralmente, para mais de dois eventos, A1, A2,..., An , serem independentes, a probabilidade da intersecção de qualquer subconjunto dado dos eventos iguala o produto dos eventos individuais, devendo esta condição ser válida para cada subconjunto. É possível construir um exemplo em que cada par de eventos seja independente, mas os três eventos não são independentes (isto é, independência por pares, mas não independência completa).

2.5 probabilidade de um evento A AP

número real no intervalo fechado [0, 1] atribuído a um evento (2.2)

EXEMPLO Continuando com o Exemplo 2 de 2.1, a probabilidade de um evento pode ser encontrada adicionando-se as probabilidades para todos os resultados que constituem o evento. Se todos os 45 resultados tiverem a mesma probabilidade, cada um deles terá a probabilidade 1/45. A probabilidade de um evento pode ser encontrada contando o número de resultados e dividindo este número por 45.

NOTA 1 A medida de probabilidade (2.70) fornece atribuição de números reais para cada evento de interesse no espaço amostral. Tomando um evento individual, a atribuição pela medida de probabilidade dá a probabilidade associada com o evento. Ou seja, a medida de probabilidade dá o conjunto completo de atribuições para todos os eventos, enquanto que a probabilidade representa uma atribuição específica para um evento individual.

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NOTA 2 Esta definição refere-se à probabilidade como probabilidade de um evento específico. A probabilidade pode ser relacionada a uma freqüência relativa de ocorrências de longo prazo ou a um grau de confiança na provável ocorrência de um evento. Tipicamente, a probabilidade de um evento A é denotada por P (A). A notação A que usa a letra é utilizada nos

contextos nos quais há necessidade de se considerar explicitamente a formalidade de um espaço de probabilidade (2.68).

2.6 probabilidade condicional BAP |

probabilidade (2.5) da interseção de A e de B dividida pela probabilidade de B

EXEMPLO 1 Continuando o Exemplo 1 da bateria de 2.1, considerar o evento (2.2) A definido como a bateria funciona por pelo menos três horas, a saber [3, ∞). Seja o evento B definido como a bateria funcionou inicialmente, a saber (0, ∞). A probabilidade condicional de A dado B leva em consideração que se trata de baterias funcionando inicialmente.

EXEMPLO 2 Continuando com o Exemplo 2 de 2.1, se a seleção for sem reposição, a probabilidade de selecionar o resistor 2 na segunda extração é igual a zero, dado que já foi selecionado na primeira extração. Se as probabilidades forem iguais para que todos os resistores sejam selecionados, a probabilidade para selecionar o resistor 2 na segunda extração é igual a 0,111 1, dado que não foi selecionado na primeira extração.

EXEMPLO 3 Continuando com o Exemplo 2 de 2.1, se a seleção for feita com reposição e as probabilidades forem as mesmas para que todos os resistores sejam selecionados dentro de cada extração, então a probabilidade de selecionar o resistor 2 na segunda extração será 0,1, seja o resistor 2 selecionado na primeira extração ou não. Assim os resultados da primeira e da segunda extrações são eventos independentes.

NOTA 1 A probabilidade do evento B deve ser maior que zero.

NOTA 2 “A dado B” pode ser formulado de maneira mais completa como "o evento A dado que o evento B ocorreu". A barra vertical no símbolo para a probabilidade condicional é pronunciada "dado".

NOTA 3 Se a probabilidade condicional do evento A dado que o evento B ocorreu for igual à probabilidade que ocorra A, os eventos A e B são independentes. Ou seja, o conhecimento da ocorrência de B não sugere nenhum ajuste à probabilidade de A.

2.7 função de distribuição de uma variável aleatória X xF

função de x que dá a probabilidade (2.5) do evento (2.2) x,

NOTA 1 O intervalo x, é o conjunto de todos os valores até e incluindo x .

NOTA 2 A função de distribuição descreve completamente a distribuição de probabilidade (2.11) da variável aleatória (2.10). As classificações das distribuições, assim como classificações de variáveis aleatórias em classes discretas ou contínuas, são baseadas em classificações de funções de distribuição.

NOTA 3 Uma vez que variáveis aleatórias assumem valores que são números reais ou k-tuplos ordenados de números reais, é implícito na definição que x é igualmente um número real ou um k-tuplo ordenado de números reais. A função de distribuição para uma distribuição multivariada (2.17) dá a probabilidade (2.5) de que cada uma das variáveis aleatórias da distribuição multivariada seja inferior ou igual a um valor especificado. Em termos de notação, uma função de distribuição multivariada é dada por nnn xXxXxXPxxxF ...,,,...,,, 221121 . Uma função de distribuição é também não

decrescente. Em um conjunto univariado, a função de distribuição é dada por xXPxF , que dá a probabilidade

do evento em que a variável aleatória X assume um valor menor ou igual a x .

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NOTA Geralmente, as funções de distribuição são classificadas em funções de distribuição discreta (2.22) e funções de distribuição contínua (2.23), mas há outras possibilidades. Recordando o exemplo 2.1 da bateria, uma função de distribuição possível é como segue:

0exp19,01,0

01,0

00

xifx

xif

xif

xF

A partir desta especificação da função de distribuição, a vida da bateria é não negativa. Há uma possibilidade de 10 % de que a bateria não funcione na tentativa inicial. Se a bateria, de fato, funcionar inicialmente, então a vida de bateria tem uma distribuição exponencial (2.58) com vida média de 1 h.

NOTA 5 A abreviatura fda (função de distribuição acumulada) é dada frequentemente para a função de distribuição.

2.8 família de distribuições conjunto de distribuições de probabilidade (2.11)

NOTA 1 O conjunto de distribuições de probabilidade é frequentemente indexado por um parâmetro (2.9) da distribuição de probabilidade.

NOTA 2 Frequentemente, a média (2.35) e/ou a variância (2.36) da distribuição de probabilidade são usadas como o índice da família de distribuições, ou como parte do índice nos casos onde mais de dois parâmetros são necessários para indexar a família de distribuições. Em outras situações, a média e a variância não são necessariamente parâmetros explícitos na família de distribuições, mas sim uma função dos parâmetros.

2.9 parâmetro índice de uma família de distribuições (2.8)

NOTA 1 O parâmetro pode ser unidimensional ou multidimensional.

NOTA 2 Os parâmetros são referidos, às vezes, como parâmetros de posição, particularmente se o parâmetro corresponder diretamente à média da família de distribuições. Alguns parâmetros são descritos como parâmetros de escala, particularmente se forem exatamente o desvio-padrão (2.37) da distribuição ou proporcionais a ele. Os parâmetros que não são parâmetros de posição nem de escala forem referidos geralmente como parâmetros de forma.

2.10 variável aleatória função definida em um espaço amostral (2.1) onde os valores da função são k-tuplos ordenados de números reais

EXEMPLO Continuando o exemplo da bateria introduzido em 2.1, o espaço amostral consiste em eventos que são descritos em palavras (a bateria falha na tentativa inicial, a bateria funciona inicialmente e então falha em x horas). Tais eventos são difíceis de serem trabalhados matematicamente, por isso é natural associar com cada evento o tempo (dado como um número real) em que a bateria falha. Se a variável aleatória tomar o valor 0, então se reconheceria que este resultado corresponde a uma falha inicial. Para um valor da variável aleatória maior que zero, compreende-se que a bateria funcionou inicialmente e então falhou subsequentemente neste valor específico. A representação da variável aleatória permite que se responda a perguntas como "qual é a probabilidade de que a bateria exceda sua garantia de vida útil, isto é, 6 h?".

NOTA 1 Um exemplo de um k-tuplo ordenado é kxxx ...,,, 21 . Um k-tuplo ordenado é, em outras palavras, um vetor em

k dimensões (um vetor linha ou um vetor coluna).

NOTA 2 Tipicamente, a variável aleatória tem a dimensão denotada pelo k. Se k = 1, a variável aleatória é dita unidimensional ou univariada. Para k > 1, a variável aleatória é dita multidimensional. Na prática, quando a dimensão é um número dado, k, a variável aleatória seria k-dimensional.

NOTA 3 Uma variável aleatória unidimensional é uma função de valor real definida no espaço amostral (2.1), que é parte de um espaço de probabilidade (2.68).

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NOTA 4 Uma variável aleatória com valores reais dados em pares ordenados é dita bidimensional. A definição estende o conceito de par ordenado aos k-tuplos ordenados.

NOTA 5 O j-ésimo componente de uma variável aleatória k-dimensional é a variável aleatória que corresponde somente ao j-ésimo componente do k-tuplo. O j-ésimo componente de uma variável aleatória k-dimensional corresponde a um espaço de probabilidade onde os eventos (2.2) são determinados somente nos termos dos valores do componente considerado.

2.11 distribuição de probabilidade distribuição

medida de probabilidade (2.70) induzida por uma variável aleatória (2.10)

EXEMPLO Continuando com o exemplo da bateria de 2.1, a distribuição da vida de bateria descreve completamente as probabilidades com que os valores específicos ocorrem. Não se sabe com certeza qual o tempo em que uma dada bateria irá falhar ou mesmo não se sabe (antes do ensaio) se a bateria irá funcionar na tentativa inicial. A distribuição de probabilidade descreve completamente a natureza probabilística de um resultado incerto. Na Nota 4 de 2.7, uma representação possível da distribuição de probabilidade foi dada, a saber, uma função de distribuição.

NOTA 1 Existem numerosas representações matemáticas equivalentes a uma distribuição que incluem a função de distribuição (2.7), a função de densidade de probabilidade (2.27), se existir, e a função característica. Com níveis variáveis de dificuldade, estas representações permitem determinar a probabilidade com que uma variável aleatória assume valores em uma dada região.

NOTA 2 Uma vez que uma variável aleatória é uma função em subconjuntos do espaço amostral na linha real, é o caso, por exemplo, de que a probabilidade de que uma variável aleatória assuma qualquer valor real seja 1. Para o exemplo da bateria, 10 XP . Em muitas situações, é muito mais fácil tratar diretamente a variável aleatória e uma de suas representações do

que se interessar pela medida de probabilidade subjacente. Entretanto, na conversão de uma representação à outra, a medida de probabilidade assegura a consistência.

NOTA 3 Uma variável aleatória com um único componente é chamada distribuição de probabilidade unidimensional ou univariada. Se uma variável aleatória tiver dois componentes, fala-se de distribuição de probabilidade bidimensional ou bivariada, e com mais de dois componentes, a variável aleatória tem uma distribuição de probabilidade multidimensional ou multivariada.

2.12 esperança matemática integral de uma função de uma variável aleatória (2.10) em relação a uma medida de probabilidade (2.70) sobre o espaço amostral (2.1)

NOTA 1 A esperança matemática da função g de uma variável aleatória X é denotada por XgE e é calculada por:

kR

xdFxgdPXgXgE

onde xF é a a função de distribuição correspondente.

NOTA 2 O “E” em XgE vem de “valor esperado” ou de “esperança matemática” da variável aleatória X. E pode ser visto

como um operador ou uma função que represente uma variável aleatória na linha real de acordo com o cálculo acima.

NOTA 3 Duas integrais são dadas para XgE . A primeira trata a integração sobre o espaço amostral que constitui uma

representação conceitualmente atraente mas não de uso prático, em razão da dificuldade de tratar os próprios eventos

(por exemplo, se dados verbalmente). A segunda integral descreve o cálculo sobre kR que é de maior interesse prático.

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NOTA 4 Em muitos casos de interesse prático, a integral acima se reduz a uma forma reconhecível de cálculo. Exemplos

são dados nas notas de momento de ordem r (2.34) onde rxxg , média (2.35) onde xxg e variância (2.36), onde

2XExxg .

NOTA 5 A definição não é restrita às integrais unidimensionais como os exemplos e notas precedentes poderiam sugerir. Para situações de dimensões superiores, ver 2.43.

NOTA 6 Para uma variável aleatória discreta (2.28), a segunda integral na nota 1 é substituída pelo símbolo dosomatório Exemplos podem ser encontrados em 2.35.

2.13 quantil de ordem p fractil de ordem p

pp xX ,

valor de x igual ao ínfimo de todo x tal que a função de distribuição (2.7) xF seja superior ou igual a p, para

10 p

EXEMPLO 1 Considerar uma distribuição binomial (2.46) com a função de massa de probabilidade dada na Tabela 2. Este conjunto de valores corresponde a uma distribuição binomial com os parâmetros n = 6 e p = 0,3. Para este caso, alguns quantis de ordem p selecionados são:

x0,1 = 0

x0,25 = 1

x0,5 = 2

x0,75 = 3

x0,90 = 3

x0,95 = 4

x0,99 = 5

x0,999 = 5

O caráter discreto da distribuição binomial conduz a valores inteiros dos quantis de ordem p.

Tabela 2 — Exemplo da distribuição binomial

X xXP xXP xX P0 0,117 649 0,117 649 0,882 3511 0,302 526 0,420 175 0,579 825 2 0,324 135 0,744 310 0,255 690 3 0,185 220 0,929 530 0,070 470 4 0,059 535 0,989 065 0,010 935 5 0,010 206 0,999 271 0,000 729 6 0,000 729 1,000 000 0,000 000

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EXEMPLO Considerar uma distribuição normal padronizada (2.51) com valores selecionados a partir de sua função de distribuição dada na tabela 3. Alguns valores de quantis de ordem p:

Tabela 3 — Exemplo da distribuição normal padronizada

p x tal que pxXP

0,1 -1,282

0,25 -0,674

0,5 0,000

0,75 0,674

0,841 344 75 1,000

0,9 1,282

0,95 1,645

0,975 1,960

0,99 2,326

0,995 2,576

0,999 3,090

Considerando-se que a distribuição de X é contínua, o título de segunda coluna poderia igualmente ser: x tal que

pxXP .

NOTA 1 Para distribuições contínuas (2.23), se p for 0,5 então o quantil 0,5 corresponde à mediana (2.14). Para p igual a 0,25, o quantil 0,25 é conhecido como o quartil inferior. Para distribuições contínuas, 25 % da distribuição estão abaixo do quantil 0,25 enquanto 75 % estão acima do quantil 0,25. Para p igual a 0,75, o quantil 0,75 é conhecido como o quartil superior.

NOTA 2 Geralmente, 100 p % de uma distribuição estão abaixo do quantil de ordem p ; 100 (1 - p ) % de uma

distribuição estão acima do quantil de ordem p . Há uma dificuldade em definir a mediana para distribuições discretas, uma

vez que se poderia discutir que existem múltiplos valores satisfazendo a definição.

NOTA 3 Se F for contínua e estritamente crescente, o quantil de ordem p é a solução para pxF . Nesse caso,

a palavra “ínfimo” na definição poderia ser substituída por “mínimo”.

NOTA 4 Se a função de distribuição for constante e igual a p em um intervalo, então todos os valores nesse intervalo são os quantis de ordem p para F.

NOTA 5 Os quantis de ordem p são definidos para as distribuições univariadas (2.16).

2.14 mediana quantil de ordem 0,5 (2.13)

EXEMPLO Para o exemplo da bateria da Nota 4 em 2.7, a mediana é 0,587 8, que é a solução para x em 5,0exp19,01,0 x

NOTA 1 A mediana é um dos quantis de ordem p geralmente mais aplicados (2.13) no uso prático. A mediana de uma distribuição univariada (2.16) contínua é tal que a metade da população (1.1) seja maior ou igual que a mediana e a metade da população seja menor ou igual que a mediana.

NOTA 2 As medianas são definidas para distribuições univariadas (2.16).

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2.15 quartil quantil 0,25 (2.13) ou quantil 0,75

EXEMPLO Continuando com o exemplo da bateria de 2.14, pode-se mostrar que o quantil de ordem 0,25 é 0,182 3 e o quantil de ordem 0,75 é 1,280 9.

NOTA 1 O quantil de ordem 0,25 é conhecido igualmente como quartil inferior, enquanto o quantil de ordem 0,75 é conhecido como quartil superior.

NOTA 2 Os quartis são definidos para distribuições univariadas (2.16).

2.16 distribuição de probabilidade univariada distribuição univariada distribuição de probabilidade (2.11) de uma única variável aleatória (2.10)

NOTA Distribuições de probabilidade univariadas são unidimensionais. As distribuições binomial (2.46), Poisson (2.47), normal (2.50), gama (2.56), t (2.53), Weibull (2.63) e beta (2.59) são exemplos de distribuições de probabilidade univariadas.

2.17 distribuição de probabilidade multivariada distribuição multivariada distribuição de probabilidade (2.11) de duas ou mais variáveis aleatórias (2.10)

NOTA 1 Para distribuições de probabilidade com exatamente duas variáveis aleatórias, o qualificador multivariado é frequentemente substituído pelo qualificador bivariado mais restritivo. Como mencionado no Prefácio, a distribuição de probabilidade de uma única variável aleatória pode ser chamada explicitamente de uma distribuição univariada (2.16) ou unidimensional. Uma vez que esta situação é predominante, é habitual presumir uma situação univariada, a menos que indicado de outra maneira.

NOTA 2 A distribuição multivariada é algumas vezes denominada de distribuição combinada.

NOTA 3 A distribuição multinominal (2.45), a distribuição normal bivariada (2.65) e a distribuição normal multivariada (2.64) são exemplos de distribuições de probabilidade multivariadas cobertas nesta parte da ABNT NBR ISO 3534.

2.18 distribuição de probabilidade marginal distribuição marginal distribuição de probabilidade (2.11) de um subconjunto não vazio, restrito, dos componentes de uma variável aleatória (2.10)

EXEMPLO 1 Para uma distribuição com três variáveis aleatórias X, Y e Z, há três distribuições marginais com duas variáveis aleatórias, a saber: para (X, Y), (X, Z) e (Y, Z) e três distribuições marginais com uma única variável aleatória, a saber: para X, Y e Z.

EXEMPLO 2 Para a distribuição normal bivariada (2.65) dos pares de variáveis (X, Y), as distribuições de cada uma das variáveis X e Y consideradas separadamente são distribuições marginais, sendo ambas distribuições normais (2.50).

EXEMPLO 3 Para a distribuição multinomial (2.45), a distribuição de 21, XX é uma distribuição marginal se k > 3.

As distribuições de kXXX ...,,, 21 são também distribuições marginais, se consideradas separadamente. Cada uma destas

distribuições marginais são distribuições binomiais (2.46).

NOTA 1 Para uma distribuição combinada em k dimensões, um exemplo de distribuição marginal inclui a distribuição de probabilidade de um subconjunto de kk 1 variáveis aleatórias.

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NOTA 2 Dada uma distribuição de probabilidade multivariada (2.17) contínua (2.23) representada por sua função de densidade de probabilidade (2.26), a função de densidade de probabilidade de sua distribuição de probabilidade marginal é determinada integrando a função de densidade de probabilidade no domínio das variáveis que não são consideradas na distribuição marginal.

NOTA 3 Dada uma distribuição de probabilidade multivariada discreta (2.22) representada por sua função de massa de probabilidade (2.24), a função de massa de probabilidade de sua distribuição de probabilidade marginal é determinada somando a função de massa de probabilidade no domínio das variáveis que não são consideradas na distribuição marginal.

2.19 distribuição de probabilidade condicional distribuição condicional distribuição de probabilidade (2.11) restrita a um subconjunto não vazio do espaço amostral (2.1) e ajustada para ter probabilidade total de um, no espaço amostral restrito

EXEMPLO 1 No exemplo da bateria em 2.7, Nota 4, a distribuição condicional da vida de bateria é exponencial (2.58), dado que ela funciona inicialmente.

EXEMPLO 2 Para a distribuição normal bivariada (2.65), a distribuição de probabilidade condicional de Y, dado que X = x, reflete o impacto em Y do conhecimento de X.

EXEMPLO 3 Considerar uma variável aleatória X que descreve a distribuição de custos anuais da perda dos segurados na Flórida devido a furacões. Esta distribuição teria uma probabilidade diferente de zero para custos anuais de perda iguais a zero, devido à possibilidade de que nenhum furacão cause impactos na Flórida em um dado ano. Pode haver interesse na distribuição condicional de custos de perda para aqueles anos em que um evento realmente ocorra.

NOTA 1 Como exemplo para uma distribuição com duas variáveis aleatórias X e Y, há distribuições condicionais para X e distribuições condicionais para Y. Uma distribuição de X condicionada por Y = y é denominada como "distribuição condicional de X, dado que Y = y", enquanto que uma distribuição de Y condicionada por X = x é denominada "distribuição condicional de Y dado X = x".

NOTA 2 As distribuições de probabilidade marginais (2.18) podem ser vistas como distribuições incondicionais.

NOTA 3 O exemplo 1 acima ilustra a situação em que uma distribuição univariada é ajustada condicionalmente para obter uma outra distribuição univariada, que, neste caso, é uma distribuição diferente. Ao contrário, para a distribuição exponencial, a distribuição condicional que uma falha ocorrerá dentro da próxima hora, dado que nenhuma falha ocorreu durante as primeiras 10 h, é exponencial com de o mesmo parâmetro.

NOTA 4 Distribuições condicionais podem ser aplicadas para determinadas distribuições discretas nas quais resultados específicos são impossíveis. Por exemplo, a distribuição de Poisson poderia servir como um modelo para o número de pacientes que sofrem de câncer em uma população de pacientes afetados, se condicionada a ser estritamente positiva (um paciente sem tumores não é por definição afetado).

NOTA 5 Distribuições condicionais se aplicam no contexto de restringir o espaço amostral a um subconjunto particular. Para (X, Y) tendo uma distribuição normal bivariada (2.65), pode ser de interesse considerar a distribuição condicional de (X, Y), sabendo que o resultado deve ocorrer no quadrado unitário [0, 1] x [0, 1]. Outra possibilidade é a distribuição

condicional de (X, Y), dado que rYX 22 . Este caso corresponde a uma situação na qual, por exemplo, uma peça satisfaça uma tolerância e existe o interesse em propriedades adicionais baseadas na conformidade a este desempenho.

2.20 curva de regressão conjunto de valores de esperança matemática (2.12) da distribuição de probabilidade condicional (2.19) de uma variável aleatória (2.10) Y, dada uma variável aleatória X = x

NOTA Aqui, a curva de regressão é definida no contexto de (X, Y) tendo uma distribuição bivariada (ver a Nota 1 de 2.17). Portanto, é um conceito diferente daquele encontrado na análise de regressão, no qual Y é relacionado a um conjunto determinístico de valores independentes.

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2.21 superfície de regressão conjunto de valores da esperança matemática (2.12) da distribuição de probabilidade condicional (2.19) de uma variável aleatória (2.10) Y, dadas as variáveis aleatórias 11 xX e 22 xX .

NOTA Aqui, como em 2.20, a superfície da regressão é definida no contexto de 21,, XXY ser uma distribuição

multivariada (2.17). Como com a curva de regressão, a superfície de regressão envolve um conceito distinto daqueles encontrados na análise de regressão e na metodologia de superfície de resposta.

2.22 distribuição de probabilidade discreta distribuição discreta distribuição de probabilidade (2.11) para a qual o espaço amostral (2.1) é finito ou contável até o infinito

EXEMPLO Exemplos de distribuições discretas neste documento são: multinomial (2.45), binomial (2.46), Poisson (2.47), hipergeométrica (2.48) e binomimial negativa (2.49).

NOTA 1 O termo "Discreta" implica que o espaço amostral pode ser dado em uma lista finita ou com o início de uma lista infinita em que o padrão subseqüente é aparente, como, por exemplo, o número de defeitos sendo 0, 1, 2,... Adicionalmente, a distribuição binomial corresponde a um espaço amostral finito 0, 1, 2,..., n, enquanto que a distribuição de Poisson corresponde a um espaço amostral contável até o infinito 0, 1, 2,....

NOTA 2 Situações com dados de atributo na amostragem de aceitação envolvem distribuições discretas.

NOTA 3 A função de distribuição (2.7) de uma distribuição discreta tem valores discretos.

2.23 distribuição de probabilidade contínua distribuição contínua distribuição de probabilidade (2.11) para qual a função de distribuição (2.7) avaliada em x pode ser expressa como uma integral de uma função não negativa de a x

EXEMPLO Situações onde as distribuições contínuas ocorrem são virtualmente qualquer uma daquelas que envolvem dados do tipo variável encontrados em aplicações industriais.

NOTA 1 Exemplos de distribuições contínuas são: normal (2.50), normal padronizada (2.51), t (2.53), F (2.55), gama (2.56), qui-quadrado (2.57), exponencial (2.58), beta (2.59), uniforme (2.60), valor extremo de tipo I (2.61), valor extremo de tipo II (2.62), valor extremo de tipo III (2.63) e lognormal (2.52).

NOTA 2 A função não negativa referida na definição é a função de densidade de probabilidade (2.26). É excessivamente restritivo insistir que uma função de distribuição seja diferenciável em toda parte. Entretanto, para considerações práticas, muitas distribuições contínuas de uso geral se beneficiam da propriedade que a derivada da função de distribuição fornece a função de densidade de probabilidade correspondente.

NOTA 3 As situações com dados variáveis em aplicações de amostragem de aceitação correspondem às distribuições de probabilidade contínuas.

2.24 função de massa de probabilidade distribuição discreta função que dá a probabilidade (2.5) de que uma variável aleatória (2.10) iguale a um valor dado

EXEMPLO 1 A função de massa de probabilidade que descreve a variável aleatória X igual ao número de caras que resultam de lançamento de três moedas não viciadas é:

8/10 XP

8/31 XP

8/32 XP

8/13 XP

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EXEMPLO 2 Várias funções de massa de probabilidade são dadas ao se definir as distribuições discretas (2.22) comuns encontradas nas aplicações. Os exemplos subseqüentes de distribuições discretas univariadas incluem: binomial (2.46), Poisson (2.47), hipergeométrica (2.48) e binomial negativa (2.49). Um exemplo de uma distribuição discreta multivariada é a multinomial (2.45).

NOTA 1 A função de massa de probabilidade pode ser dada como ii pxXP , onde X é a variável aleatória, xi é um

valor dado e pi é a probabilidade correspondente.

NOTA 2 A função de massa de probabilidade foi introduzida no exemplo 1 do quantil de ordem p de 2.13, usando a distribuição binomial (2.46).

2.25 moda da função de massa de probabilidade valores nos quais uma função de massa de probabilidade (2.24) alcança um máximo local

EXEMPLO A distribuição binomial (2.46) com n = 6 e p = 1/3 é unimodal com moda em 3.

NOTA Uma distribuição discreta (2.22) é unimodal se sua função de massa de probabilidade tiver exatamente uma moda, bimodal, se sua função de massa de probabilidade tiver exatamente duas modas e multimodal se sua função de massa de probabilidade tiver mais de duas modas.

2.26 função de densidade de probabilidade xf

função não negativa que quando integrada de a x dá a função de distribuição (2.7) avaliada em x de uma distribuição contínua (2.23)

EXEMPLO 1 Várias funções de densidade de probabilidade são dadas ao definir as distribuições de probabilidade comuns encontradas na prática. Os exemplos subseqüentes incluem as distribuições: normal (2.50), normal padronizada (2.51), t (2.53), F (2.55), gama (2.56), qui-quadrado (2.57), exponencial (2.58), beta (2.59), uniforme (2.60), normal multivariada (2.64) e normal bivariada (2.65).

EXEMPLO 2 Para a função de distribuição definida por 32 23 xxxF onde 10 x , a função de densidade

de probabilidade correspondente é xxxf 16 , onde 10 x .

EXEMPLO 3 Continuando com o exemplo da bateria de 2.1, não há uma função de densidade de probabilidade associada com a função de distribuição especificada, devido à probabilidade positiva de um resultado zero. Entretanto, a distribuição condicional dada que a bateria está funcionando inicialmente tem xxf exp para x > 0 como sua função de densidade

de probabilidade, que corresponde à distribuição exponencial.

NOTA 1 Se a função de distribuição F for continuamente diferenciável, então a função de densidade de probabilidade é

xxFxf d/d

nos pontos x onde a derivada existe.

NOTA 2 Um gráfico de f(x) em função de x sugere descrições tais como simétrica, com presença de pico, com cauda grande, unimodal, bimodal e assim por diante. Um gráfico de uma f(x) ajustada sobre um histograma fornece uma avaliação visual da compatibilidade entre uma distribuição ajustada e os dados.

NOTA 3 Uma abreviatura comum da função de densidade de probabilidade é fdp.

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2.27 moda da função de densidade de probabilidade valores nos quais uma função de densidade de probabilidade (2.26) alcança um máximo local

NOTA 1 Uma distribuição contínua (2.23) é unimodal se sua função de densidade de probabilidade tiver exatamente uma moda, bimodal se sua função de densidade de probabilidade tiver exatamente duas modas e multimodal se sua função de densidade de probabilidade tiver mais de duas modas.

NOTA 2 A distribuição em que as modas constituem um conjunto conectado também é denominada unimodal.

2.28 variável aleatória discreta variável aleatória (2.10) que tem uma distribuição discreta (2.22)

NOTA As variáveis aleatórias discretas consideradas nesta parte da ABNT NBR ISO 3534 incluem as variáveis aleatórias binomial (2.46), Poisson (2.47), hipergeométrica (2.48) e multinomial (2.45).

2.29 variável aleatória contínua variável aleatória (2.10) que tem uma distribuição contínua (2.23)

NOTA Variáveis aleatórias contínuas consideradas nesta parte da ABNT NBR ISO 3534 incluem as variáveis: normal (2.50), normal padronizada (2.51), distribuição de t (2.53), distribuição de F (2.55), gama (2.56), qui-quadrado (2.57), exponencial (2.58), beta (2.59), uniforme (2.60), de valor extremo de tipo I (2.61), de valor extremo de tipo II (2.62), de valor extremo de tipo III (2.63), lognormal (2.52), normal multivariada (2.64) e normal bivariada (2.65).

2.30 distribuição de probabilidade centrada distribuição de probabilidade (2.11) de uma variável aleatória centrada (2.31)

2.31 variável aleatória centrada variável aleatória (2.10) da qual sua média (2.35) é subtraída

NOTA 1 Uma variável aleatória centrada tem a média igual a zero.

NOTA 2 Este termo aplica-se somente às variáveis aleatórias com uma média. Por exemplo, a média da distribuição de t (2.53) com um grau de liberdade não existe.

NOTA 3 Se uma variável aleatória X tiver média (2.35) igual a µ, a variável aleatória centrada correspondente é X - µ, tendo média igual a zero.

2.32 distribuição de probabilidade padronizada distribuição de probabilidade (2.11) de uma variável aleatória padronizada (2.33)

2.33 variável aleatória padronizada variável aleatória centrada (2.31) cujo desvio-padrão (2.37) é igual a 1

NOTA 1 Uma variável aleatória (2.10) é padronizada automaticamente se sua média for zero e seu desvio-padrão for 1.

A distribuição uniforme (2.60) no intervalo 5,05,0 3,3 tem média zero e desvio-padrão igual a 1. A distribuição normal

padronizada (2.51), naturalmente, é padronizada.

NOTA 2 Se a distribuição (2.11) da variável aleatória X tiver média (2.35) e desvio-padrão , então a variável

aleatória padronizada correspondente é /X .

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2.34 momento de ordem r r-ésimo momento

esperança matemática (2.12) da r-ésima potência de uma variável aleatória (2.10)

EXEMPLO Considerar uma variável aleatória tendo função de densidade de probabilidade (2.26) xxf exp para

x > 0. Usando integração por partes do cálculo elementar, pode-se mostrar que 1XE , 22 XE , 63 XE ,

e 244 XE ou, de forma geral, !rXE r . Esse é um exemplo de distribuição exponencial (2.58).

NOTA 1 No caso discreto univariado, a fórmula apropriada é:

n

ii

ri

r xpxXE1

para um número finito n de resultados e

1i

iri

r xpxXE

para um número infinito enumerável de resultados. No caso contínuo univariado, a fórmula apropriada é:

xxfxXE rr d

NOTA 2 Se a variável aleatória tiver a dimensão k, então se aplica a r-ésima potência elemento a elemento.

NOTA 3 Os momentos dados aqui usam a variável aleatória X elevada a uma potência. De maneira mais geral, pode-se considerar momentos de ordem r de X ou /X .

2.35 Médias

2.35.1 média momento de ordem r = 1

distribuição contínua momento de ordem r no qual r é igual a 1, calculado como a integral do produto de x e da função de densidade de probabilidade (2.26), f (x), sobre a linha real

EXEMPLO 1 Considerar uma variável aleatória contínua (2.29) X que tem a função de densidade de probabilidade

xxxf 16 , onde 0 ≤ x ≤ 1. A média de X é:

1

0

2 5,0d16 xxx

EXEMPLO 2 Continuando com o exemplo da bateria de 2.1 e 2.7, a média é igual a 0,9 já que com probabilidade 0,1 a média da parte discreta da distribuição é 0 e com probabilidade 0,9 a média da parte contínua da distribuição é 1. Esta distribuição é uma mistura de distribuições contínua e discreta.

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NOTA 1 A média de uma distribuição contínua (2.23) é denotada por E (X) e é calculada por:

xxxfXE d

NOTA 2 Não existe média para todas as variáveis aleatórias (2.10). Por exemplo, se X for definido por sua função de

densidade de probabilidade 121

xxf , a integral correspondente a E (X) é divergente.

2.35.2 média distribuição discreta somatório do produto de xi e da função de massa de probabilidade (2.24) p(xi)

EXEMPLO 1 Considerar uma variável aleatória discreta X (2.28) que representa o número de caras resultando do lançamento de três moedas não viciadas. A função de massa de probabilidade é

8/10 XP

8/31 XP

8/32 XP

8/13 XP

Portanto, a média de X é

5,18/128/138/328/318/10

EXEMPLO 2 Ver o Exemplo 2 em 2.35.1.

NOTA A média de uma distribuição discreta (2.22) é denotada por E (X) e calculada por:

n

iii xpxXE

1

para um número finito de resultados, e

1i

ii xpxXE

para um número de resultados contáveis até o infinito.

2.36 variância V momento de ordem r (2.34) onde r é igual a 2 na distribuição de probabilidade centrada (2.30) da variável aleatória (2.10)

EXEMPLO 1 Para a variável aleatória discreta (2.28), no exemplo de 2.24, a variância é

3

0

2 75,05,1i

ii xXPx

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EXEMPLO 2 Para a variável aleatória contínua (2.29), no Exemplo 1 de 2.26, a variância é

1

0

2 05,0d165,0 xxxxi

EXEMPLO 3 Para o exemplo da bateria de 2.1, a variância pode ser determinada por reconhecer que a variância

de X é 22 XEXE . Do Exemplo 3 de 2.35, 9,0XE . Usando o mesmo tipo de argumento de condicionamento,

2XE pode ser demonstrado como sendo 1,8. Assim, a variância de X é 29,08,1 , que é igual a 0,99.

NOTA A variância pode ser definida de forma equivalente como a esperança matemática (2.12) do quadrado da variável

aleatória menos sua média (2.35). A variância de uma variável aleatória X é denotada por 2XEXEXV .

2.37 desvio-padrão raiz quadrada positiva da variância (2.36)

EXEMPLO Para o exemplo da bateria de 2.1 e 2.7, o desvio-padrão é 0,995.

2.38 coeficiente de variação CV variável aleatória positiva desvio-padrão (2.37) dividido pela média (2.35)

EXEMPLO Para o exemplo da bateria de 2.1 e 2.7, o coeficiente de variação é 0,99/0,995, que é igual a 0,99497.

NOTA 1 O coeficiente de variação é expresso geralmente como uma porcentagem.

NOTA 2 O termo predecessor "desvio-padrão relativo” tem sido substituído pelo termo “coeficiente de variação”.

2.39 coeficiente de assimetria 1 momento de ordem 3 (2.34) na distribuição de probabilidade padronizada (2.32) de uma variável aleatória (2.10)

EXEMPLO Continuando com o exemplo da bateria de 2.1 e 2.7, que tem uma distribuição mista contínua discreta, usando o resultado do exemplo em 2.34, tem-se:

9,019,001,0 XE

8,129,001,0 22 XE

4,569,001,03 XE

6,21249,001,04 XE

Para calcular o coeficiente de assimetria, notar que 3233 23 XEXEXEXEXEXE e de 2.37 o

desvio-padrão é 0,995. O coeficiente de assimetria é então 33 995,0/9,028,19,034,5 ou 1,998.

NOTA 1 Uma definição equivalente é baseada na esperança matemática (2.12) da terceira potência de /X ,

denotada por 33 /XE

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NOTA 2 O coeficiente de assimetria é uma medida da simetria de uma distribuição (2.11) e é denotado às vezes por √1. Para distribuições simétricas, o coeficiente de assimetria é igual a 0 (supondo que os momentos apropriados na definição existam). Exemplos de distribuições com assimetria igual a zero incluem a distribuição normal (2.50),

a distribuição beta (2.59) para e a distribuição de t (2.53), contanto que os momentos existam.

2.40 coeficiente de curtose

2

momento de ordem 4 (2.34) na distribuição de probabilidade padronizada (2.32) de uma variável aleatória (2.10)

EXEMPLO Continuando com o exemplo da bateria de 2.1 e 2.7, para calcular o coeficiente de curtose, notar que

422

344

36

4

XEXEXE

XEXEXEXEXE

O coeficiente de curtose é então

[21,6 - 4 (0,9) (5,4) + 6 (0,9)2 (2) - 3 (0,9)4]/(0,995)4

ou 8,94.

NOTA 1 Uma definição equivalente é baseada na esperança matemática (2.12) da quarta potência de

/X , denotada por 44 /XE .

NOTA 2 O coeficiente de curtose é uma medida da densidade das caudas de uma distribuição (2.11). Para a distribuição uniforme (2.60), o coeficiente de curtose é 1,8; para a distribuição normal (2.50), o coeficiente de curtose é 3; para a distribuição exponencial (2.58), o coeficiente de curtose é 9.

NOTA 3 Deve-se ter cuidado ao se considerar valores relatados de curtose, porque alguns usuários subtraem 3 (a curtose da distribuição normal) do valor que é calculado pela definição.

2.41 momento combinado de ordens r e s média (2.35) do produto da r-ésima potência de uma variável aleatória (2.10) e da s-ésima potência de uma outra variável aleatória em sua distribuição de probabilidade (2.11) combinada

2.42 momento combinado central de ordens r e s média (2.35) do produto da r-ésima potência de uma variável aleatória centrada (2.31) e da s-ésima potência de uma outra variável aleatória centrada em sua distribuição de probabilidade (2.11) combinada

2.43 covariância

XY

média (2.35) do produto de duas variáveis aleatórias centradas (2.31) em sua distribuição de probabilidade (2.11) combinada

NOTA 1 A covariância é o momento centrado combinado de ordens 1 e 1 (2.42) para duas variáveis aleatórias.

NOTA 2 Em termos de notação, a covariância é

YX YXE ,

onde XXE e YYE

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2.44 coeficiente de correlação média (2.35) do produto de duas variáveis aleatórias padronizadas (2.33) em sua distribuição de probabilidade (2.11) combinada

NOTA O coeficiente de correlação é referido às vezes simplesmente como correlação. Entretanto, este uso confunde-se com as interpretações da correlação como uma associação entre duas variáveis.

2.45 distribuição multinomial distribuição discreta (2.22) que tem a função de massa de probabilidade (2.24)

kk xXxXxXP ...,,, 2211

xkk

xx

k

pppxxx

n...

!!...!

! 22

11

21

onde

kxxx ...,,, 21 são os inteiros não negativos tais que

nxxx k ...21 com parâmetros pi >0 para todos os ki ...,,2,1 com 1...21 kppp

k é um inteiro maior ou igual a 2

NOTA A distribuição multinomial fornece a probabilidade do número de vezes que cada um dos k possíveis resultados ocorrerem nos n experimentos independentes, onde cada experimento tem os mesmos k eventos mutuamente exclusivos e as probabilidades dos eventos são as mesmas para todos os experimentos.

2.46 distribuição binomial distribuição discreta (2.22) que tem a função de massa de probabilidade (2.24)

xnx ppxnx

nxXP

1

!!

!

onde x = 0, 1, 2,..., n e com parâmetros de índice n = 1, 2,..., e 0 < p < 1.

EXEMPLO A função de massa de probabilidade descrita no Exemplo 1 de 2.24 pode ser considerada correspondente à distribuição binomial com os parâmetros de índice n = 3 e p = 0,5.

NOTA 1 A distribuição binomial é um caso especial da distribuição multinomial (2.45) com k = 2.

NOTA 2 A distribuição binomial dá a probabilidade do número de vezes que cada um de dois resultados possíveis ocorreu em n experimentos independentes, onde cada experimento tem os mesmos dois eventos mutuamente exclusivos (2.2) e as probabilidades (2.5) dos eventos são as mesmas para todos os experimentos.

NOTA 3 A média (2.35) da distribuição binomial é igual a np. A variância (2.36) da distribuição binomial é igual a np(1 – p).

NOTA 4 A função de massa de probabilidade binomial pode alternadamente ser expressa, utilizando-se o coeficiente binomial dado por

!!

!

xnx

n

x

n

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2.47 distribuição de Poisson distribuição discreta (2.22) que tem a função de massa de probabilidade (2.24)

ex

xXPx

!

onde x = 0, 1, 2,... e com 0 .

NOTA 1 A distribuição de Poisson com parâmetro é o limite da distribuição binomial (2.46), à medida que n se aproxima de e p tende a zero de tal maneira que o produto np tende a

NOTA 2 A média (2.35) e a variância (2.36) da distribuição de Poisson são ambas iguais a .

NOTA 3 A função de massa de probabilidade (2.24) da distribuição de Poisson dá a probabilidade para o número de ocorrências de uma propriedade de um processo em um intervalo de tempo de comprimento unitário satisfazendo determinadas condições, por exemplo, o número de ocorrências independende do tempo.

2.48 distribuição hipergeométrica distribuição discreta (2.22) tendo como função de probabilidade de massa (2.24)

!!!

!!

!

!!

!

nNnN

xnMNxn

MN

xMx

M

xXP

onde máximo xNM,0 mínimo nM, com parâmetros inteiros

...,2,1N

1...,,2,1,0 NM

Nn ...,,2,1

NOTA 1 A distribuição (2.11) hipergeométrica origina-se do número de itens marcados em uma amostra aleatória simples (1.7) de tamanho n, tomada sem reposição de uma população (ou lote) de tamanho N contendo exatamente M itens marcados.

NOTA 2 A compreensão da distribuição hipergeométrica pode ser facilitada pela Tabela 4.

Tabela 4 — Exemplo da distribuição hipergeométrica

Conjunto de referência

Itens marcados ou não marcados

Itens marcados

Itens não marcados

População N M N - M

Itens dentro da amostra

n x N - x

Itens fora da amostra

N - n M - x N - n - M + x

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NOTA 3 Sob determinadas circunstâncias (por exemplo, n pequeno em relação a N), então a distribuição hipergeométrica pode ser aproximada pela distribuição binomial com n e p = M/N.

NOTA 4 A média (2.35) da distribuição hipergeométrica é igual a NnM / . A variância (2.36) da distribuição

hipergeometrica é

11

N

nN

N

M

N

Mn

2.49 distribuição binomial negativa distribuição discreta (2.22) que tem a função de massa de probabilidade (2.24)

xc ppcx

xcxXP

1!1!

!1

onde x = 0, 1, 2,..., n com parâmetro c > 0 e o parâmetro p que satisfaz 0 < p < 1.

NOTA 1 Se c = 1, a distribuição binomial negativa é conhecida como a distribuição geométrica e descreve a probabilidade (2.5) que o primeiro incidente do evento (2.2) cuja probabilidade é p ocorrerá no experimento (x + 1).

NOTA 2 A função de massa de probabilidade pode também ser escrita da seguinte maneira:

xc ppx

cxXP

1

O termo "distribuição binomial negativa" emerge da maneira de escrever a função de massa de probabilidade.

NOTA 3 A versão da função de massa de probabilidade dada na definição é frequentemente chamada "distribuição de Pascal" contanto que c seja um inteiro superior ou igual a 1. Nesse caso, a função de massa de probabilidade descreve a probabilidade que o c-ésimo incidente do evento (2.2), cuja probabilidade (2.5) é p, ocorra no experimento (c + x).

NOTA 4 A média (2.35) da distribuição binomial negativa é pcp 1/ . A variância (2.36) da binomial negativa

é 21/ pcp .

2.50 distribuição normal distribuição gaussiana

distribuição contínua (2.23) que tem a função de densidade de probabilidade (2.26)

2

2

2

2

1

x

exf

onde x e com parâmetros e 0 .

NOTA 1 A distribuição normal é uma das distribuições de probabilidade (2.11) mais amplamente utilizada em estatística aplicada. Devido à forma da função de densidade, é referida informalmente como a curva "em forma de sino". Além de servir como modelo para fenômenos aleatórios, origina-se como a distribuição limite de médias (1.15). Como uma distribuição de referência em estatística, é amplamente utilizada para avaliar resultados experimentais incomuns.

NOTA 2 O parâmetro de posição é a média (2.35) e o parâmetro de escala é o desvio-padrão (2.37) da distribuição normal.

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2.51 distribuição normal padronizada distribuição gaussiana padronizada distribuição normal (2.50) com 0 e 1

NOTA A função de densidade de probabilidade (2.26) da distribuição normal padronizada é

2/2

2

1 xexf

onde x . As tabelas da distribuição normal envolvem esta função de densidade de probabilidade, dando, por

exemplo, a área sob f para valores entre , .

2.52 distribuição lognormal distribuição contínua (2.23) que tem a função de densidade de probabilidade (2.26)

2

2

2

ln

2

1

x

ex

xf

onde 0x e com parâmetros e 0 .

NOTA 1 Se Y tiver uma distribuição normal (2.50) com média (2.35) e desvio-padrão (2.37) , então a transformação dada por X = exp (Y) tem a função de densidade de probabilidade dada na definição. Se X tiver uma distribuição lognormal com função de densidade como dada na definição, então o ln(X) tem uma distribuição normal com média e desvio-padrão .

NOTA 2 A média da distribuição lognormal é 2/exp 2 e a variância é o 1exp2exp 22 . Isto indica que

a média e a variância da distribuição lognormal são funções dos parâmetros e 2 .

NOTA 3 A distribuição lognormal e a distribuição de Weibull (2.63) são normalmente empregadas em aplicações de confiabilidade.

2.53 distribuição t distribuição de Student


2/12

12/

2/1

v

v

t

vv

vtf

NOTA 1 A distribuição t é amplamente utilizada para avaliar a média amostral (1.15), no caso comum em que o desvio-padrão populacional é estimado dos dados. A estatística t da amostra pode ser comparada à distribuição t com n – 1 graus de liberdade para avaliar uma média específica como uma descrição verdadeira da média populacional.

NOTA 2 A distribuição t é a distribuição do quociente de duas variáveis aleatórias (2.10) independentes, em que o numerador tem uma distribuição normal padronizada (2.51) e o denominador é distribuído como a raiz quadrada positiva de uma distribuição qui-quadrado (2.57) depois de dividida pelos seus graus de liberdade. O parâmetro v é referido como graus de liberdade (2.54).

NOTA 3 A função gama é definida em 2.56.

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2.54 graus de liberdade v

número de termos em uma soma menos o número de restrições nos termos da soma

NOTA Este conceito foi encontrado previamente no contexto de usar n - 1 no denominador do estimador (1.12) da variância amostral (1.16). O número de graus de liberdade é usado para modificar parâmetros. O termo "graus de liberdade" é da mesma forma amplamente utilizado na ISO 3534-3, onde as médias quadráticas são dadas como somas quadráticas divididas pelos graus de liberdade apropriados.

2.55 distribuição F distribuição contínua (2.23) que tem a função de densidade de probabilidade (2.26)

2/21

12/2/

22/

121

2121

121

2/2/

2/vv

vvv

vxv

xvv

vv

vvxf

onde

0x

1v e 2v são inteiros positivos

é a função gama definida em 2.56.

NOTA 1 A distribuição F é uma distribuição de referência útil para avaliar a razão de variâncias (2.36) independentes.

NOTA 2 A distribuição F é a distribuição do quociente de duas variáveis aleatórias independentes, cada uma tendo uma

distribuição qui-quadrado (2.57), dividida por seus graus de liberdade (2.54). O parâmetro 1v é o grau de liberdade

do numerador e 2v é o grau de liberdade do denominador da distribuição F.

2.56 distribuição gama distribuição contínua (2.23) que tem função de densidade de probabilidade (2.26)

/1 xexxf

onde x > 0 e parâmetros > 0, > 0.

NOTA 1 A distribuição gama é usada em aplicações de confiabilidade para modelar tempo de falha. Inclui a distribuição exponencial (2.58) como um caso especial, assim como outros casos com taxa de falha que aumenta com o tempo.

NOTA 2 A função gama é definida por dxex x 0

1 .

Para valores inteiros de , !1

NOTA 3 A média (2.35) da distribuição gama é . A variância (2.36) da distribuição gama é 2.

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2.57 distribuição qui-quadrado

distribuição 2

distribuição contínua (2.23) que tem função de densidade de probabilidade (2.26)

2/2 2/

2/1

2

v

exxf

v

xv

onde x > 0 e v > 0.

NOTA 1 Para dados originados de uma distribuição normal (2.50) com desvio-padrão (2.37) conhecido, a estatística 22 /nS tem uma distribuição qui-quadrado com n - 1 graus de liberdade. Este resultado é a base para se obter intervalos de

confiança para 2 . Outra área de aplicação da distribuição qui-quadrado é como uma distribuição de referência para testes de qualidade de ajuste.

NOTA 2 Esta distribuição é um exemplo especial de distribuição gama (2.56) com parâmetros 2/v e 2 . O

parâmetro v é denominado graus de liberdade (2.54).

NOTA 3 A média (2.35) da distribuição qui-quadrado é v. A variância (2.36) da distribuição qui-quadrado é 2v.

2.58 distribuição exponencial distribuição contínua (2.23) que tem função de densidade de probabilidade (2.26)

/1 xexf

onde x > 0 e > 0.

NOTA 1 A distribuição exponencial fornece uma referência nas aplicações de confiabilidade, correspondendo ao caso de "falta de envelhecimento" ou ao caso de propriedade de falta de memória.

NOTA 2 A distribuição exponencial é um caso especial da distribuição gama (2.56) com = 1 ou de forma equivalente, a distribuição qui-quadrado (2.57) com v = 2.

NOTA 3 A média (2.35) da distribuição exponencial é . A variância (2.36) da distribuição exponencial é 2 .

2.59 distribuição beta


11 1

xxxf

onde 0 ≤ x ≤ 1 e , > 0.

NOTA A distribuição beta é altamente flexível, tendo uma função de densidade de probabilidade que tem uma variedade de formas (unimodal, forma de "j", forma de "u"). A distribuição pode ser usada como um modelo da incerteza associada a uma proporção. Por exemplo, em uma aplicação de modelagem de seguro contra furacões, a proporção prevista de dano em um tipo de estrutura para uma dada velocidade de vento pode ser 0,40, embora nem todas as casas submetidas a esta velocidade de vento sofrerão o mesmo dano. Uma distribuição beta com média 0,40 serviria para modelar a disparidade nos danos para este tipo de estrutura.

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2.60 distribuição uniforme distribuição retangular

distribuição contínua (2.23) que tem função de densidade de probabilidade (2.26)

ab

xf

1

onde a ≤ x ≤ b

NOTA 1 A distribuição uniforme com a = 0 e b = 1 é a distribuição subjacente para geradores típicos de números aleatórios.

NOTA 2 A média (2.35) da distribuição uniforme é 2/ba . A variância (2.36) da distribuição uniforme é 12/2ab .

NOTA 3 A distribuição uniforme é um caso especial da distribuição beta com = 1 e = 1.

2.61 distribuição de valor extremo do tipo I distribuição de Gumbel

distribuição contínua (2.23) que tem função de distribuição (2.7)

baxeexF/

onde x e com parâmetros a , 0b .

NOTA As distribuições de valor extremo fornecem referências apropriadas às distribuições de estatística de ordem (1.9) extremas 1X e nX . As três distribuições-limite possíveis quando n tende a são fornecidas pelos três tipos de

distribuições de valor extremo dadas em 2.61, 2.62 e 2.63.

2.62 distribuição de valor extremo do tipo II distribuição de Fréchet

distribuição contínua (2.23) que tem a função de distribuição (2.7)

k

b

ax

exF

onde x > a e com parâmetros 0,0, kba .

2.63 distribuição de valor extremo do tipo III distribuição de Weibull

distribuição contínua (2.23) que tem a função de distribuição (2.7)

k

b

ax

exF

1

onde x > a com parâmetros 0,0, kba

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NOTA 1 Além de servir como uma das três possíveis distribuições limite de estatística de ordem extrema, a distribuição de Weibull ocupa um lugar proeminente em diversas aplicações, em particular, em confiabilidade e engenharia. A distribuição de Weibull se revelou capaz de fornecer ajustes empíricos a uma variedade de conjuntos de dados.

NOTA 2 O parâmetro a é um parâmetro de posição no sentido que é o valor mínimo que a distribuição de Weibull pode atingir. O parâmetro b é um parâmetro de escala [relativo ao desvio-padrão (2.37) da distribuição de Weibull]. O parâmetro k é um parâmetro de forma.

NOTA 3 Para k = 1, a distribuição de Weibull pode incluir a distribuição exponencial. Considerando uma distribuição exponencial com a = 0 e parâmetro b à potência 1/k, obtém-se a distribuição de Weibull na definição. Outro caso especial da distribuição de Weibull é a distribuição de Rayleigh (para a = 0 e k = 2).

2.64 distribuição normal multivariada distribuição contínua (2.23) que tem função de densidade de probabilidade (2.26)

22/2/

1

2

xx

n

T

exf

onde

ix para cada i;

é um vetor de parâmetro n-dimensional;

é uma matriz de parâmetros definida, positiva e simétrica de n x n;

o negrito indica vetores n-dimensionais.

NOTA Cada uma das distribuições marginais (2.18) da distribuição multivariada neste item tem uma distribuição normal. Todavia, há muitas outras distribuições multivariadas com distribuições marginais normais além da versão de distribuição dada aqui.

2.65 distribuição normal bivariada distribuição contínua (2.23) que tem a função de densidade de probabilidade (2.26)

22

222

12

1exp

12

1,

y

y

y

y

x

x

x

x

yx

yyxxyxf

onde

1

0

0

,

,

,

y

x

y

x

y

x

NOTA Como a notação sugere, para (X,Y) que tem a função de densidade de probabilidade (2.26) acima,

22,,, yxyx YVXVYEXE , e é o coeficiente de correlação (2.44) entre X e Y.

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2.66 distribuição normal bivariada padronizada distribuição normal bivariada (2.65) que tem componentes de distribuição normal padronizada (2.51)

2.67 distribuição de amostragem distribuição de uma estatística

NOTA Exemplos de distribuições de amostragem específicas são dados na Nota 2 de 2.53, Nota 1 de 2.55 e Nota 1 de 2.57.

2.68 espaço de probabilidade

,,

espaço amostral (2.1), um sigma álgebra de eventos (2.69) associada e uma medida de probabilidade (2.70)

EXEMPLO 1 Como um caso simples, o espaço amostral pode consistir em todos os 105 itens manufaturados em um dia especificado em uma planta. A sigma álgebra de eventos consiste em todos os subconjuntos possíveis. Tais eventos incluem nenhum item, item 1, item 2,... item 105, item 1 e item 2,..., todos os 105 itens. Uma medida de probabilidade possível poderia ser definida como o número de itens em um evento dividido pelo número total de itens manufaturados. Por exemplo, o evento item 4, item 27, item 92 tem a medida de probabilidade 3/105.

EXEMPLO 2 Como um segundo exemplo, considerar vida útil de baterias. Se as baterias chegarem às mãos do cliente e não tiverem nenhuma energia, o tempo de sobrevivência é 0 h. Se as baterias forem funcionais, então seus tempos de sobrevida seguem alguma distribuição de probabilidade (2.11), como uma exponencial (2.58). A coleção de tempos de sobrevida é então regida por uma distribuição que seja uma mistura entre discreta (a proporção de baterias que não são funcionais no início) e contínua (um tempo de sobrevida real). Para simplicidade neste exemplo, supor que as vidas das baterias são relativamente curtas, comparadas ao tempo do estudo, e que todos os tempos de sobrevida são medidos no contínuo. Na prática, a possibilidade de tempos de sobrevida definidos à esquerda ou à direita (por exemplo, sabe-se que o tempo de falha é de pelo menos 5 h ou o tempo de falha está entre 3 e 3,5 h) poderia ocorrer e, neste caso, esta estrutura poderia oferecer vantagens adicionais. O espaço amostral consiste em metade da linha real (números reais maiores ou iguais a zero). A sigma álgebra dos eventos inclui todos os intervalos da forma [0, x) e o conjunto 0. Adicionalmente, a sigma álgebra inclui todas as uniões e interseções contáveis destes conjuntos. A medida de probabilidade envolve determinar, para cada conjunto, seus componentes que representam baterias não funcionais e aquelas que têm um tempo de sobrevida positivo. Detalhes sobre os cálculos associados aos tempos de falha foram fornecidos quando apropriado.

2.69 sigma álgebra de eventos -álgebra sigma campo -campo

conjunto dos eventos (2.2) com as propriedades:

a) pertence a ;

b) se um evento pertencer a , então o seu evento complementar (2.3) igualmente pertence a ;

c) se iA for qualquer conjunto de eventos em , então a união

1i iA e a interseção

1i iA dos eventos

pertencem a .

EXEMPLO 1 Se o espaço amostral for o conjunto dos inteiros, então uma sigma álgebra de eventos pode ser escolhido como o conjunto de todos os subconjuntos dos inteiros.

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EXEMPLO 2 Se o espaço amostral for o conjunto dos números reais, então um sigma álgebra de eventos pode ser escolhido para incluir todos os conjuntos que correspondem aos intervalos na linha real e todas suas uniões e interseções finitas e contáveis destes intervalos. Este exemplo pode ser estendido a dimensões mais elevadas considerando "intervalos" k-dimensionais. Em particular, em duas dimensões, o conjunto de intervalos poderia consistir nas regiões definidas por tysxyx ,:, para todos os valores reais de s e t.

NOTA 1 Um sigma álgebra é um conjunto constituído de conjuntos, como seus membros. O conjunto de todos os resultados possíveis é um membro do sigma álgebra de eventos, como indicado na propriedade a).

NOTA 2 A propriedade c) envolve operações de conjuntos em uma coleção dos subconjuntos (possivelmente contáveis até o infinito) do sigma álgebra de eventos. A notação dada indica que todas as uniões e interseções contáveis destes conjuntos igualmente pertencem ao sigma álgebra de eventos.

NOTA 3 A propriedade c) inclui o fechamento (os conjuntos pertencem ao sigma álgebra de eventos) sob uniões ou interseções finitas. O qualificador sigma é usado para reforçar que A está fechado mesmo sob operações contáveis até o infinito em conjuntos.

2.70 medida de probabilidade

função não negativa definida no sigma álgebra de eventos (2.69), tal que

a) ,1

onde denota o espaço amostral (2.1),

b)

11

iii i AA

onde iA é uma seqüência de eventos (2.2) separada por pares

EXEMPLO Continuando o exemplo da vida de bateria de 2.1, considerar o evento que a bateria sobrevive menos de uma hora. Este evento consiste no par separado de eventos não funciona e funciona menos de uma hora, mas funciona inicialmente. De forma equivalente, os eventos podem ser denotados 0 e (0,1). A medida de probabilidade de 0 é a proporção de baterias que não funcionam na tentativa inicial. A medida de probabilidade do conjunto (0,1) depende da distribuição de probabilidade contínua específica [por exemplo, exponencial (2.58)] regendo a distribuição de falhas.

NOTA 1 A medida de probabilidade de A atribui um valor de [0,1] para cada evento no sigma álgebra de eventos. O valor 0 corresponde a um evento que é impossível, quando o valor 1 representar a certeza da ocorrência. Em particular, a medida de probabilidade associada com o conjunto nulo é zero e a medida de probabilidade atribuída ao espaço amostral é 1.

NOTA 2 A propriedade b) indica que, se uma seqüência de eventos não tiver nenhum elemento em comum quando considerada em pares, então a medida de probabilidade da união é a soma das medidas de probabilidade individuais. Como indicado na propriedade b), isto vale se o número de eventos for contável até o infinito.

NOTA 3 Os três componentes da probabilidade são efetivamente relacionados por variáveis aleatórias. As probabilidades (2.5) dos eventos no conjunto imagem da variável aleatória (2.10) derivam das probabilidades dos eventos no espaço amostral. A um evento no conjunto imagem da variável aleatória é atribuída a probabilidade do evento no espaço amostral que lhe é aplicada pela variável aleatória.

NOTA 4 O conjunto imagem da variável aleatória é o conjunto de números reais ou o conjunto de n-tupletos ordenados de números reais. (Notar que o conjunto imagem é o conjunto em que a variável aleatória se aplica.)

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Anexo A (informativo)

Símbolos

Símbolo(s) Termo em português Termo em inglês Item

A evento event 2.2 CA

evento complementar complementary event 2.3

sigma álgebra de eventos, -álgebra, sigma campo,

-campo

sigma algebra of events, σ algebra, sigma field σ-field

2.69

α nível de significância significance level 1.45 α, λ, μ, β, σ, ρ, γ, p, N, M, c, v a b, k

parâmetro parameter

2 coeficiente de curtose coefficient of Kurtosis 2.40

kXE momento amostral de ordem k

sample moment of order k

1.14

XgE esperança matemática da função g de uma variável aleatória X

expectation of the function g of a randon variable X

2.12

xF função de distribuição distribuition function 2.7

xf função de densidade de probabilidade

probability density function

2.26

1 coeficiente de assimetria

coefficient of skewness 2.39

H hipótese hypothesis 1.40

0H hipótese nula null hypothesis 1.41

1H,H A hipótese alternativa alternative hypothesis 1.42

k dimensão dimension

k, r, s momento de ordem order of a moment 1.14, 2.34, 2.41, 2.42

média mean 2.35

v graus de liberdade degrees of freedom 2.54 n tamanho de amostra sample size

espaço amostral sample space 2.1

,, espaço de probabilidade probability space 2.68

AP probabilidade de um evento A

probability of an event A 2.5

BAP | probabilidade condicional de A dado B

conditional probability of A given B

2.6

medida de probabilidade probability measure 2.70

xyr coeficiente de correlação amostral

sample correlation coefficient

1.23

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Símbolo(s) Termo em português Termo em inglês Item

S valor observado de um desvio-padrão amostral

observed value of a sample standard deviation

S desvio-padrão amostral sample standard deviation

1.17

2S variância amostral sample variance 1.16

XYS covariância amostral sample covariance 1.22

desvio-padrão standard deviation 2.37

V variância variance 2.36

XY covariância covariance 2.43

^

erro-padrão standard error 1.24

X erro-padrão da média

amostral standard error of the sample mean

θ parâmetro de uma distribuição

parameter of a distribution

estimador estimator 1.12

V(X) variância de uma variável aleatória X

variance of a randon variable X

2.36

X(i) i-ésima estatística de ordem

ith order statistic 1.9

x, y, z valor observado observed value 1.4

X, Y, Z, T variável aleatória random variable 2.10

Xp, xp quantil de ordem p; fractil de ordem p

p-quantile p-fractile

2.13

X , X média amostral, média average, sample mean 1.15

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Anexo B (informativo)

Diagramas conceituais de termos estatísticos

♦ mediana amostral (1.13)

♦ (estatística de ordem extrema)

♦ meio da amplitude (1.11)

♦ amplitude amostral (1.10)

♦ população (1.1)

♦ amostra (1.3)

♦ unidade de amostragem (1.2) ♦ função de distribuição (2.7)

♦ valor observado (1.4)

♦ estatística (1.8)

♦ estatística de ensaio (1.52)

♦ amostra aleatória (1.6)

♦ variável aleatória (2.10)

♦ amostra aletória simples (1.7)

♦ estatistica descritiva (1.5)

♦ estatística de ordem (1.9)

♦ estimador (1.12)

...

...

Figura B.1 — Conceitos básicos de população e amostra

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2/00

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0




♦ variância amostral (1.16)

♦ coeficiente de variação amostral (1.18)

♦ coeficiente de assimetria amostral (1.20)

♦ variável aleatória amostral padronizada (1.19)

♦ desvio-padrão amostral (1.17) ♦ coeficiente de correlação amostral (1.23)

♦ coeficiente de curtose amostral (1.21)

♦ covariância amostral (1.22)

♦ amostra aleatória simples (1.7)

♦ momento amostral de ordem (1.14)

♦ média amostral (1.15) ...

Figura B.2 — Conceitos relativos aos momentos amostrais

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♦ estimador não tendencioso (1.34)

Tendência (1.33)

♦ estimador de intervalo (1.25)

♦ estimador de máxima verossimillhança (1.35)

♦ estimação de máxima verossimilhança (1.37)

♦ parâmetro (2.9)

♦ intervalo de predição (1.30)

♦ estimativa (1.31)

♦ erro de estimação (1.32)

♦ desvio-padrão (1.24)

♦ estimador (1.12) ♦ estimação (1.36)

... ... ...

♦ função de verossimilhança (1.38)

♦ intervalo de confiança (1.28)

♦ função de densidade de probabilidade (2.26)

♦ família de distribuições (2.8)

♦ função de perfil de verossimilhança (1.39)

♦ intervalo de tolerância estatístico (1.26)

♦ intervalo de confiança unilateral (1.29)

♦ função de massa de probabilidade (2.24)

♦ limite de tolerância estatístico (1.27)

...

Figura B.3 — Conceitos de estimação

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♦ estatística de teste (1.52)

♦ valor de p (1.49)

♦ teste estatístico (1.48)

♦ hipótese (1.40)

♦ hipótese nula (1.41)

♦ hipótese alternativa(1.42)

♦ hipótese simples (1.43)

♦ hipótese composta (1.44)

♦ nível de significância (1.45)

♦ erro Tipo I (1.46)

♦ teste estatístico (1.48)

♦ erro Tipo II (1.47)

♦ poder do teste (1.50)

♦ curva de poder (1.51)


Figura B.4 — Conceitos relativos a testes estatísticos

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♦ estatística descritiva (1.5)

♦ freqüência (1.59)

♦ estatística descritiva gráfica (1.53)

♦ estatística descritiva numérica (1.54)

♦ limites de classe (1.56)

♦ classe (1.55)

♦ ponto médio da classe (1.57)

♦ largura da classe (1.58)

♦ distribuição de frequência (1.60)

♦ frequência cumulativa (1.63)

♦ frequência relativa (1.64)

♦ representação de uma distribuição de frequência

♦ frequência relativa acumulada (1.65)

♦ histograma (1.61) ♦ diagrama de barras (1.62)


...

Figura B.5 — Conceitos relativos às classes e distribuições empíricas

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♦ população finita

♦ população infinita

♦ população hipotética

♦ população (1.1) ♦ modelo estatístico

♦ amostra (1.3) ♦ parametro (2.9) ♦ variável aleatória (2.10)


♦ estatística de inferência

♦ teste estatístico (1.48) ♦ (predição) ♦ estimação (1.36)

Figura B.6 — Diagrama conceitual de inferência estatística

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Anexo C (informativo)

Diagramas conceituais de termos de probabilidade

♦ quartil (2.15) ♦ mediana (2.14)

♦ esperança matemática (2.12)

♦ eventos independentes (2.4)

♦ probabilidade condicional de A dado B (2.6)

♦ sigma álgebra

de eventos , (2.69)

♦ espaço de probabilidade (2.68)

♦ evento complementar (2.3)

♦ medida de

probabilidade, (2.70)

♦ função de distribuição (2.7)

♦ quantil de ordem p (2.13)

♦ distribuição de probabilidade (2.11)

♦ parâmetro (2.9)


♦ probabilidade (2.6) ♦ evento (2.2)


♦ espaço amostral, Ω (2.68)

( , x)

...

Figura C.1 — Conceitos fundamentais em probabilidade

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♦ esperança matemática (2.12) ♦ distribuição de

probabilidade (2.11)

♦ variável aleatória discreta (2.28)

♦ variável aleatória contínua (2.29)

♦ momento combinado de ordens r e s (2.41)

♦ variável aleatória centrada (2.31)

♦ momento combinado central de ordens r e s (2.42)

♦ momento de ordem r (2.34)

♦ distribuição de probabilidade centrada (2.30)

♦ média (2.35)

♦ covariância (2.43)

♦ variável aleatória

padronizada (2.33)

♦ variância (2.36)

♦ distribuição padronizada de probabilidade (2.32)

♦ desvio-padrão (2.37)

♦ coeficiente de variação (2.38)

♦ coeficiente de assimetria (2.39)

♦ coeficiente de curtose (2.40)

♦ erro-padrão (1.24)

♦ correlação (2.44)

...

...

... ...

...

...

... ...

Figura C.2 — Conceitos relativos a momentos

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♦ distribuição de probabilidade (2.11)

♦ distribuição de probabilidade univariada (2.16)

♦ distribuição de probabilidade multivariada (2.17)

♦ distribuição de probabilidade discreta (2.22)

♦ função de densidade de probabilidade (2.26)

♦ distribuição de probabilidade contínua (2.23)

♦ função de massa de probabilidade (2.24)

♦ moda da função de densidade de probabilidade (2.27)

♦ moda da função de massa de probabilidade (2.25)

♦ distribuição marginal (2.18)

♦ distribuição de probabilidade condicional (2.19)

♦ distribuição multinomial (2.45)

♦ distribuição de Poisson (2.47)

♦ distribuição hipergeométrica (2.48)

♦ distribuição binomial negativa (2.49)

♦ curva de regressão (2.20)

♦ superfície de regressão (2.21)

♦ distribuição de probabilidade univariada (2.16)

♦ distribuição de probabilidade multivariada (2.17)

♦ distribuição binomial (2.46)

...

...

Figura C.3 — Conceitos relativos às distribuições de probabilidade

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...

...

♦ distribuição de probabilidade contínua (2.23)

♦ distribuição normal (2.50)

♦ distribuição lognormal (2.52)

♦ distribuição t (2.53)

♦ graus de liberdade(2.54)

♦ distribuição normal padronizada (2.51)

♦ distribuição gama (2.56)

♦ distribuição F (2.55)

♦ distribuição beta (2.59)

♦ (lei dos valores extremos)

♦ distribuição normal multivariada (2.64)

... ...

...

... ...

♦ distribuição normal bivariada (2.65)

♦ distribuição normal bivariada padronizada (2.66)

♦ distribuição qui-quadrado (2.57)

♦ distribuição exponencial (2.58)

♦ distribuição uniforme (2.60)

♦ distribuição de valores extremos tipo III, Weibull (2.63)

♦ distribuição de valores extremos tipo II, Frechet (2.62)

♦ distribuição de valores extremos tipo I, Gumbel (2.61)

Figura C.4 — Conceitos relativos às distribuições contínuas

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Anexo D (informativo)

Metodologia usada no desenvolvimento do vocabulário

D.1 Introdução

A aplicação universal da família de normas ISO exige a utilização de vocabulário coerente e harmonizado que seja facilmente compreensível por todos os usuários potenciais das normas de estatística aplicada.

Os conceitos são inter-relacionados, e uma análise das relações entre conceitos dentro do campo da estatística aplicada e a ordenação destes em diagramas de conceito são uma condição prévia de um vocabulário coerente. Tal análise foi usada no desenvolvimento desta parte da ABNT NBR ISO 3534. Uma vez que os diagramas de conceito empregados durante o processo de desenvolvimento podem ser úteis em um sentido informativo, estes são reproduzidos em D.4.

D.2 Conteúdo de um item de vocabulário e a regra de substituição

O conceito forma a unidade de transferência entre idiomas (incluindo variantes dentro de um idioma, por exemplo, inglês americano e inglês britânico). Para cada idioma, o termo mais apropriado para a transparência universal do conceito neste idioma, isto é, não um enfoque literal da tradução, é escolhido.

Uma definição é formada descrevendo-se somente aquelas características que são essenciais para identificar o conceito. Informações a respeito do conceito que são importantes, mas não são essenciais para sua descrição, são apresentadas em uma ou mais notas da definição.

Quando um termo é substituído por sua definição, sujeita a pequenas mudanças de sintaxe, não deveria haver mudança no significado do texto. Tal substituição fornece um método simples de verificar a exatidão de uma definição. Entretanto, onde a definição é complexa, no sentido de conter certo número de termos, a substituição é melhor realizada tomando-se uma ou, no máximo, duas definições de cada vez. A substituição completa da totalidade dos termos torna-se difícil de conseguir sintaticamente e não tem utilidade, sob o ponto de vista do entendimento.

D.3 Relação entre conceitos e sua representação gráfica

D.3.1 Generalidades

No trabalho de terminologia, as relações entre conceitos são baseadas na formação hierárquica das características de uma espécie, de forma que a descrição mais concisa de um conceito seja formada, nomeando-se sua espécie e descrevendo as características que a distinguem de seus conceitos superiores e do mesmo nível hierárquico.

Há três formas primárias de relações de conceitos indicadas neste anexo: genérica (B.3.2), partitiva (B.3.3) e associativa (B.3.4).

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D.3.2 Relação genérica

Os conceitos subordinados dentro da hierarquia herdam todas as características do conceito do nível superior e contêm descrições destas características que as distinguem do conceito superior (pai) e dos seus pares (irmãos), por exemplo, a relação de primavera, verão, outono e inverno à estação.

As relações genéricas são descritas por um diagrama de tipo “ventilador” ou “árvore”, sem setas (ver Figura D.1).

estação

Primavera Verão Outono Inverno

Figura D.1 — Representação gráfica de uma relação genérica

D.3.3 Relação partitiva

Os conceitos subordinados dentro da hierarquia de partes constituintes do conceito superior, por exemplo, a primavera, o verão, o outono e o inverno podem ser definidos como partes do conceito ano. Comparativamente, é impróprio definir tempo ensolarado (uma característica possível do verão) como parte de um ano.

As relações partitivas são descritas por um diagrama (ver Figura D.2). Partes unitárias são descritas por uma linha, partes múltiplas por linhas duplas.

ano

primavera verão outono inverno

Figura D.2 — Representação gráfica de uma relação partitiva

D.3.4 Relação associativa

As relações associativas não podem fornecer a economia na descrição que está presente em relações genéricas e partitivas, mas são úteis para identificar a natureza do relacionamento entre um conceito e outro, dentro de um sistema de conceito, por exemplo causa e efeito, atividade e posição, atividade e resultado, ferramenta e função, material e produto.

Relações associativas são descritas por uma linha com setas em cada extremidade (ver Figura D.3).

tempo ensolarado verão

Figura D.3 — Representação gráfica de uma relação associativa

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D.4 Diagramas de conceito

As Figuras B.1 a B.5 mostram diagramas de conceito nos quais as definições da Seção 1 desta parte da ABNT NBR ISO 3534 são baseadas. A Figura B.6 é um diagrama de conceito adicional que indica a relação de determinados termos que aparecem previamente nas Figuras B.1 a B.5. As Figuras C.1 a C4 mostram os diagramas de conceito nos quais as definições da Seção 2 desta parte da ABNT NBR ISO 3534 são baseadas. Há diversos termos que aparecem em vários diagramas de conceito, fornecendo assim uma ligação entre eles. Estes são indicados como segue:

Figura B.1 Conceitos básicos de população e amostra:

estatística descritiva (1.5)

amostra aleatória simples (1.7)

estimador (1.12)

estatística de teste (1.52)

variável aleatória (2.10)

função de distribuição (2.7)

Figura B.5

Figura B.2

Figura B.3

Figura B.4

Figura C1, C2

Figura C1

Figura B.2 Conceitos relativos a momentos amostrais:

amostra aleatória simples Figura B.1

Figura B.3 Conceitos de estimação:

estimador (1.12)

parâmetro (2.9)

família de distribuições (2.8)

função de densidade de probabilidade (2.26)

função de massa de probabilidade (2.24)

Figura B.1

Figura C.1

Figura B.4, C.1

Figura C.3

Figura C.3

Figura B.4 Conceitos relativos a testes estatísticos:

estatística de teste (1.52)

função de densidade de probabilidade (2.26)



Figura B.1

Figura B.3, C.3

Figura B.3, C.3

Figura B.3, C.1

Figura B.5 Conceitos relativos a classes e distribuições empíricas:

estatística descritiva (1.5) Figura B.1

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Figura B.6 Diagrama conceitual de infefência estatística:

população (1.1)

amostra (1.3)

valor observado (1.4)

estimação (1.36)

teste estatístico (1.48)

parâmetro (2.9)


Figura B.1

Figura B.1

Figura B.1, B.5

Figura B.3

Figura B.4

Figura B.3, C.1

Figura B.1, C.1, C.2

Figura C.1 Conceitos fundamentais em probabilidade:


distribuição de probabilidade (2.11)


função de distribuição (2.7)

parâmetro (2.9)

Figura B.1, C.2

Figura C.2, C.3

Figura B.3, B.4

Figura B.1

Figura B.3

Figura C.2 Conceitos relativos a momentos:



Figura B.1, C.1

Figura C.1, C.3

Figura C.3 Conceitos relativos às distribuições de probabilidade:



distribuição contínua (2.23)

distribuição univariada (2.16)

distribuição multivariada (2.17)

Figura C.1, C.2

Figura B.3, B.4

Figura C.4

Figura C.4

Figura C.4

Figura C.4 Conceitos relativos às distribuições contínuas:

distribuição univariada (2.16)

distribuição multivariada (2.17)

distribuição contínua (2.23)

Figura C.3

Figura C.3

Figura C.3

Como uma nota final da Figura C.4, as distribuições seguintes são exemplos de distribuições univariadas: normal, distribuição t, distribuição F, normal padronizada, gama, beta, qui-quadrado, exponencial, uniforme, valor extremo de Tipo I, valor extremo de Tipo II, e valor extremo de Tipo III. As distribuições seguintes são exemplos de distribuições multivariadas: normal multivariada, normal bivariada e normal bivariada padronizada. Incluir a distribuição univariada (2.16) e a distribuição multivariada (2.17) no diagrama de conceito tornaria a figura indevidamente carregada.

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Bibliografia

[1] ISO 31-11:1992, Quantities and units – Part 11: Mathematical signs and symbols for use in the physical sciences and technology

[2] ISO 3534-2:2006, Statistics – Vocabulary and symbols – Part 2: Applied statistics

[3] ISO 5725 (all parts), Accuracy (trueness and precision) of measurements methods and results

[4] VIM:1993, International vocabulary of basic and general terms in metrology, NIPM, IEC, IFCC, ISO, OIML, IUPAC, IUPAP

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Índice alfabético

Índice alfabético -álgebra 2.69

-campo 2.69

A

amostra 1.3

amostra aleatória 1.6

amostra aleatória simples 1.7

amplitude 1.10

C

classe 1.55.1, 1.55.2, 1.55.3

classes 1.55

coeficiente de assimetria 2.39

coeficiente de assimetria amostral 1.20

coeficiente de correlação 2.44

coeficiente de correlação amostral 1.23

coeficiente de curtose 2.40

coeficiente de curtose amostral 1.21

coeficiente de variação 2.38

coeficiente de variação amostral 1.18

covariância 2.43

covariância amostral 1.22

curva de poder 1.51

curva de regressão 2.20

D

desvio-padrão 2.37

desvio-padrão amostral 1.17

diagrama de barras 1.62

distribuição 2.11

distribuição beta 2.59

distribuição binomial 2.46

distribuição binomial negativa 2.49

distribuição condicional 2.19

distribuição contínua 2.23

distribuição qui-quadrado 2.57

distribuição 2 2.57

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distribuição de amostragem 2.67

distribuição de Fréchet 2.62

distribuição de freqüência 1.60

distribuição de Gumbel 2.61

distribuição de Poisson 2.47

distribuição de probabilidade 2.11

distribuição de probabilidade centrada 2.30

distribuição de probabilidade condicional 2.19

distribuição de probabilidade contínua 2.23

distribuição de probabilidade discreta 2.22

distribuição de probabilidade marginal 2.18

distribuição de probabilidade multivariada 2.17

distribuição de probabilidade padronizada 2.32

distribuição de probabilidade univariada 2.16

distribuição de Student 2.53

distribuição de valor extremo do tipo I 2.61

distribuição de valor extremo do tipo II 2.62

distribuição de valor extremo do tipo III 2.63

distribuição de Weibull 2.63

distribuição discreta 2.22

distribuição exponencial 2.58

distribuição F 2.55

distribuição gama 2.56

distribuição gaussiana 2.50

distribuição gaussiana padronizada 2.51

distribuição hipergeométrica 2.48

distribuição lognormal 2.52

distribuição marginal 2.18

distribuição multinomial 2.45

distribuição multivariada 2.17

distribuição normal 2.50

distribuição normal bivariada 2.65

distribuição normal bivariada padronizada 2.66

distribuição normal multivariada 2.64

distribuição normal padronizada 2.51

distribuição retangular 2.60

distribuição t 2.53

distribuição uniforme 2.60

distribuição univariada 2.16

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E

erro de estimação 1.32

erro-padrão 1.24

erro Tipo I 1.46

erro Tipo II 1.47

espaço amostral 2.1

espaço de probabilidade 2.68

esperança matemática 2.12

estatística 1.8

estatística de ordem 1.9

estatística de teste 1.52

estatística descritiva 1.5

estatística descritiva gráfica 1.53

estatística descritiva numérica 1.54

estimação de máxima verossimilhança 1.37

estimação 1.36

estimador 1.12

estimador de intervalo 1.25

estimador de máxima verossimilhança 1.35

estimador não tendencioso 1.34

estimativa 1.31

evento 2.2

evento complementar 2.3

eventos independentes 2.4

F

família de distribuições 2.8

fractil de ordem p 2.13

freqüência 1.59

freqüência cumulativa 1.63

freqüência relativa 1.64

freqüência relativa acumulada 1.65

fronteiras de classe 1.56

função de densidade de probabilidade 2.26

função de distribuição de uma variável aleatória X 2.7

função de massa de probabilidade 2.24

função de perfil de verossimilhança 1.39

função de verossimilhança 1.38

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2.55

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G

graus de liberdade 2.54

H

hipótese 1.40

hipótese alternativa 1.42

hipótese composta 1.44

hipótese nula 1.41

hipótese simples 1.43

histograma 1.61

I

intervalo de confiança unilateral 1.29

intervalo de confiança 1.28

intervalo de predição 1.30

intervalo de tolerância estatístico 1.26

L

largura da classe 1.58

limite de tolerância estatístico 1.27

limites de classe 1.56

M

média amostral 1.15

média aritmética 1.15

média 1.15, 2.35.1, 2.35.2

mediana 2.14

mediana amostral 1.13

medida de probabilidade 2.70

meio da amplitude 1.11

moda da função de densidade de probabilidade 2.27

moda da função de massa de probabilidade 2.25

momento amostral de ordem k 1.14

momento combinado de ordens r e s 2.41

momento combinado central de ordens r e s 2.42

momento de ordem r 2.34

momento de ordem r = 1 2.35.1

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0.40

2.55

2/00

05-5

0




N

nível de significância 1.45

P

parâmetro 2.9

poder do teste 1.50

ponto médio da classe 1.57

população 1.1

probabilidade condicional 2.6

probabilidade de um evento A 2.5

Q

quantil de ordem p 2.13

quartil 2.15

R

r-ésimo momento 2.34

S

sigma álgebra de eventos 2.69

sigma campo 2.69

superfície de regressão 2.21

T

tendência 1.33

teste estatístico 1.48

teste de significância 1.48

U

unidade de amostragem 1.2

V

valor de p 1.49

valor observado 1.4

variância 2.36

variável aleatória 2.10

variável aleatória amostral padronizada 1.19

variável aleatória centrada 2.31

variável aleatória contínua 2.29

variável aleatória discreta 2.28

variável aleatória padronizada 2.33

variância amostral 1.16

Exe

mpl

ar p

ara

uso

excl

usiv

o -

CO

MIS

SÃ

O N

AC

ION

AL

DE

EN

ER

GIA

NU

CLE

AR

- IP

EN

-CN

EN

/SP

- 0

0.40

2.55

2/00

05-5

0


NORMA ABNT NBR BRASILEIRA - ipen.br · subconjunto de uma população (1.1) composto de uma ou mais...

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