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7/21/2019 notadeaula2

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1 Equaes de retas e planos

Uma reta no plano xy determinada quando um ponto e uma direo (inclinao ou

coeficiente angular da reta) so dados. A equao da reta pode ser escrita utilizando-se a

forma ponto-inclinao.

Da mesma forma, uma reta L no espao tridimensional determinada quando conhe-

cemos um ponto P0(x0, y0, z0) em L e a direo de L. Em trs dimenses, a direo de

uma reta convenientemente descrita por um vetor. Seja v um vetor paralelo a L. Seja

P(x, y, z) um ponto arbitrrio sobre L e sejam r0 e r os vetores posio de P0 e P (isto

, eles tm representantesOP0 e

OP). Se a o vetor com representante

P0P, como na

figura 1, ento pela Regra do Tringulo para a soma de vetores temos r = r0+ a. Mas,uma vez que ae v so vetores paralelos, h um escalar t de tal modo que a= tv. Assim:

r= r0+tv

que a equao vetorial deL. Cada valor do parmetro tfornece o vetor posio

r de um ponto de L.

Figura 1

Se o vetor v, que fornece a direo da reta L, escrito sob a forma de componentes

v = a,b,c, temos que tv = ta, tb, tc. Tambm podemos escrever r = x, y, z e

r0 = x0, y0, z0 de modo que a equao r= r0+tv se torna

x, y, z= x0+ta, y0+tb, z0+tc

Dois vetores iguais tm as componentes correspondentes iguais. Assim, temos trs

equaes escalares:

x= x0+at y= y0+bt z=z0+ct


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Captulo 1. Equaes de retas e planos 2

onde t R. Essa equaes so chamadas equaes paramtricas da reta L, que

passa pelo ponto P0(x0, y0, z0)e paralela ao vetor v=a,b,c. Cada valor do parmetro

t fornece um ponto (x , y , z ) em L.

EXEMPLO 1:

a) Determine as equaes vetorial e paramtrica de uma reta que passa pelo ponto

(5, 1, 3) e paralela ao vetor i+ 4j 2k.

b) Determine outros dois pontos na reta.

Em geral, se um vetor v = a,b,c usado para descrever a direo de uma reta L,

ento os nmeros a, b e c so as componentes do vetor diretor de L. Uma vez que

qualquer vetor paralelo v pode ser usado, vemos que quaisquer trs nmeros proporcionais

a a, be c poderiam tambm ser usados como componentes do vetor diretor de L.

Outra maneira de descrever uma reta L eliminar o parmetro t das equaes x=

x0+ at,y= y0+ bte z=z0+ ct. Se nenhum dos nmeros a, b e c for zero, podemos isolar

t em cada uma das equaes e igualar os resultados, obtendo

xx0a

= yy0b

= zz0c

Essa equaes so chamadas equaes simtricas de L.

EXEMPLO 2:

a) Determine as equaes paramtricas e simtricas da reta que passa pelos pontos

A(2, 4,3) e B(3,1, 1).

b) Qual a interseo dessa reta com o plano xy?

De um modo geral, sabemos a partir das equao r= r0+ tv que a equao vetorial de

uma reta partindo (do fim) do vetor r0 na direo de um vetorv r= ro+tv. Se a reta

tambm passa por (a ponta) r1, ento podemos tomar v= r1 r0 e ento sua equao

vetorial

r= r0+t(r1 r0) = (1 t)r0+t r1

O segmento de reta de r0 at r1 dado pelo intervalo do parmetro 0 t 1.

O segmento de reta de r0 at r1 dado pela equao vetorial

r(t) = (1 t)r0+t r1 com 0 t 1.

EXEMPLO 3: Mostre que as retas L1 eL2 com as equaes paramtricas dadas por


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x= 1 +t y = 2 + 3t z= 4 t

x= 2s y= 3 +s z=3 + 4s

so retas reversas, isto , so retas que no se interceptam e no so paralelas (no

pertencendo a um mesmo plano).

Planos: um plano no espao fica determinado se conhecermos um ponto P0(x0, y0, z0)

no plano e um vetor n que seja ortogonal ao plano. Esse vetor ortogonal n chamado

vetor normal. Seja P(x, y, z)ser um ponto arbitrrio no plano e sejam r0 e r os vetores

posio deP0 e P. Ento o vetor r r0 representado poPoP(figura 2). O vetor normal

n ortogonal a todo vetor do plano. Em particular, n ortogonal a r r0 e assim temos

n (r r0)

que pode ser reescrito como

n r= n r0

As equaes acima so as equaes vetoriais do plano.

Figura 2

Temos que se n= a,b,c,r= x , y , z e r0=x0, y0, z0 a equao

a(x x 0) +b(y y0) +c(z z0) = 0

a equao escalar do plano que passa por P0(x0, y0, z0) com vetor normal

n= a,b,c.Agrupando os termos da equao acima, podemos reescrever a equao do plano como

ax+by+cz+d= 0


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onde d = (ax0+ by0+ cz0). Essa equao chamada de equao linearem x, y ez.

EXEMPLO 4: Determine uma equao do plano que passa pelo ponto (2, 4,1)e tem como vetor normal n = 2, 3, 4. Encontre tambm sua intersees com os eixos

coordenados e faa um esboo do plano.

EXEMPLO 5: Encontre uma equao do plano que passa pelos pontos P(1, 3, 2),

Q(3,1, 6) e R(5, 2, 0).

EXEMPLO 6: Determine o ponto no qual a reta com equaes paramtricasx = 2+3t,

y=4t, z= 5 +t intercepta o plano 4x+ 5y 2z= 18

EXEMPLO 7:

a) Determine o ngulo entre os planos x+y+z= 1 e x 2y+ 3z= 1.

b) Determine as equaes simtricas da reta interseo L desses dois planos.

Distncia entre ponto e plano:

D= |ax1+by1+cz1+d|a2+b2+c2

EXEMPLO 8: Determine a distncia entre os dois planos paralelos 10x + 2y2z= 5

e 5x+y z= 1.


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2 Cilindros e Superfcies Qudricas

2.1 Cilindros

Um cilindro uma superfcie constituda de todas as retas (chamadas geratrizes)

que so parelas a uma reta dada e que passam por uma curva plana.

EXEMPLO 1: Esboce o grfico da superfcie z=x2.

EXEMPLO 2: Identifique e esboce as superfcies:

a) x2 +y2 = 1

b) y2 +z2 = 1

2.2 Superfcies Qutricas

Uma superfcie qudrica o grfico de uma equao de segundo grau nas trs

variveisx, y e z. A equao mais geral

Ax2 +By2 +C z2 +Dxy +Eyz+F xz+Gx+H y+I z+j = 0

onde A, B, C, ..., J so constantes, mas por rotao e translao essa equao pode ser

posta em uma de duas forma padro

Ax2 +By2 +Cz2 +J= 0

ou

Ax2 +By2 +I z= 0

As superfcies qudricas so as correspondentes tridimensionais das cnicas no plano.

2.2.1 Superfcies qudricas centradas

Elipside: Sua equao

(xh)2a2

+ (yk)2

b2 + (zl)

2

c2 = 1 ; se seu centro o ponto (h, k, l)

ex2

a2+ y

2

b2+ z

2

c2 = 1 ; se seu centro o ponto (0, 0, 0)

Hiperbolide de uma folha: Sua equao


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Captulo 2. Cilindros e Superfcies Qudricas 6

x2

a2+ y

2

b2 z

2

c2 = 1 ; ao longo do eixo do z;

x2

a2 y

2

b2+ z

2

c2 = 1 ; ao longo do eixo do y; e

x2

a2+ y

2

b2+ z

2

c2 = 1 ; ao longo do eixo do x;

Hiperbolide de duas folhas: Sua equao

x2

a2+ y

2

b2 z

2

c2 = 1 ; ao longo do eixo do y;

x2

a2 y

2

b2 z

2

c2 = 1 ; ao longo do eixo do x; e

x2

a2 y

2

b2+ z

2

c2 = 1 ; ao longo do eixo do z.

2.2.2 Superfcies qudricas no centradas

Parabolide elptico: Sua equao

x2

a2+ y

2

b2 =cz; ao longo do eixo do z;

x2

a2+ z

2

c2 =by ; ao longo do eixo do y; e

y2

b2 + z

2

c2 =ax ; ao longo do eixo do x.

Parabolide hiperblico: Sua equao

y2

b2 x

2

a2 =cz; ao longo do eixo do z;

z2

c2 x

2

a2 =by ; ao longo do eixo do y; e

z2

c2 + y2

b2 =ax ; ao longo do eixo do x.

2.2.3 Superfcie cnica

x2

a2+ y

2

b2 z

2

c2 = 0

EXEMPLO 3: Utilize cortes para fazer o esboo da superfcie qudrica com equao

x2 + y2

9 + z

2

4 = 1.

EXEMPLO 4: Utilize cortes para esboar a superfcie z= 4x2 +y2.

EXEMPLO 5: Esboce a superfcie z=y2 x2.

EXEMPLO 6: Esboce a superfcie x2

4 +y2 z

2

4 = 1.


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Captulo 2. Cilindros e Superfcies Qudricas 7

EXEMPLO 7: Idenifique e esboce as superfcies 4x2 y2 + 2z2 + 4 = 0.

EXEMPLO 8: Classifique a superfcie qudrica x2

+ 2z2

6x y+ 10 = 0.

2.3 Exerccios

1. a) O que a equao y=x2 representa como uma curva em R2?

b) O que ela representa como uma superfcie em R3?

c) O que a equao z=y2 representa?

2. Descreva e esboce a superficie y2 + 4z2 = 4.

3. Coloque a equao na forma padro(cannica) e classifique a superfcie:

a) 9x2 + 4y2 + 36z2 = 36

b) 36x294y2 4z2 = 36

c) 4x2 9y2 36z= 0

d) x2 y2 + 2z2 = 4

4. Determine uma equao vetorial e uma equao paramtrica para a reta que passa

pelo ponto (1, 0, 6) e perpendicular ao plano x+ 3y+z= 5.

5. Determine as equaes paramtricas e as equaes simtricas para a reta que passa

pelos pontos(0, 12

, 1) e (2, 1,3).

6. A reta que passa por(4,6, 1) e (2, 0,3) paralela reta que passa pelos

pontos (10, 18, 4) e (5, 3, 14)?

7. Determine a equao do plano que passa pelo ponto (6, 3, 2) e perpendicular ao

vetor2, 1, 5.

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