NOTAS DE AULA DE ELETROMAGNETISMO€¦ · z = 1, 0 £ x £ 1, -1 £ y £ 4 (cos 2 cos 1) z 2 â l...

Notas de aula de Eletromagnetismo – Prof. Dr. Helder Alves Pereira

NOTAS DE AULA DE ELETROMAGNETISMO

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDECENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA

Prof. Dr. Helder Alves PereiraMarço, 2019


- CONTEÚDO DAS AULAS NAS TRANSPARÊNCIAS -

1. Estágio I: Campos eletrostáticos.

2. Estágio II: Campos elétricos em meio material.

3. Estágio III: Problemas de valor de fronteira em eletrostática.

4. Estágio IV: Campos magnetostáticos.

5. Estágio V: Forças, materiais e dispositivos magnéticos.


CAMPOS MAGNETOSTÁTICOS

- TÓPICOS DAS AULAS -

1. Introdução.

2. Lei de Biot-Savart.

3. Lei circuital de Ampère (3ª equação de Maxwell).

4. Densidade de fluxo magnético (4ª equação de Maxwell).

5. Equações de Maxwell no regime estático.

6. Potenciais magnéticos escalar e vetorial.

7. Solenóides e toróides.


Introdução

• Uma ligação definitiva entre campos elétricos e camposmagnéticos foi estabelecida por Oersted em 1820.

• Um campo eletrostático é gerado por cargas estáticas ouestacionárias.

• Se as cargas estão se movimentando com velocidade constante,um campo magnético estático é gerado.

• Um campo magnetostático é gerado por um fluxo de correnteconstante, ou corrente contínua.


• Existem duas leis fundamentais que governam os camposmagnetostáticos:

1. Lei de Biot-Savart: Lei geral da magnetostática.

2. Lei de Ampère: Um caso especial da lei de Biot-Savart e seaplica em problemas envolvendo distribuição simétrica decorrente.


Lei de Biot-Savart

• A intensidade do campo magnético dH, gerada em um ponto P,devido ao elemento diferencial de corrente Idl, éaproximadamente igual a

2

senR

IdldH a»

I

adl

R

PX

dH

Figura 1


• Ou ainda

onde k representa a constante de proporcionalidade, que no SI éigual a

• Portanto

2

senR

IdlkdH a=

p41

24senR

IdldHp

a=


• Na forma vetorial, temos que

• Da mesma maneira que podemos ter diferentes configurações decarga, podemos ter diferentes distribuições de corrente, taiscomo:

1. Corrente em uma linha.2. Corrente em uma superfície.3. Corrente em um volume.

32R

44â

RRlId

RlIdHd

pp

®®®® ´

=´

=


• Os elementos-fonte estão relacionados da seguinte forma:

dvJdSKlId®®®

ºº

Figura 2


• Dessa forma, em termos de fonte de corrente distribuída, a lei deBiot-Savart se torna

ò

ò

ò

®®®

®®®

®®®

´=

´=

´=

3

3

3

41

41

41

RRdvJH

RRdSKH

RRlIdH

p

p

pCorrente em uma linha

Corrente em uma superfície

Corrente em um volume


Exercícios

1. Determine o campo magnético no ponto P devido a uma correnteque percorre um condutor filamentar retilíneo de comprimentofinito AB.

2. Determine o campo magnético no ponto P devido a uma correnteque percorre um condutor filamentar retilíneo de comprimentosemi-infinito.

3. Determine o campo magnético no ponto P devido a uma correnteque percorre um condutor filamentar retilíneo de comprimentoinfinito.


Lei circuital de Ampère

• A integral de linha da componente tangencial do campomagnético em torno de um caminho fechado é igual à correntelíquida envolvida pelo caminho, ou seja,

• É similar à lei de Gauss e é de fácil aplicação para determinar ocampo magnético quando a distribuição de corrente forsimétrica.

ò =×®®

L

IldH env


• Aplicando o teorema de Stokes, temos que

• Portanto

òò ò®®®®®®®

×==×÷øö

çèæ ´Ñ=×

SL S

SdJISdHldH env

®®®

=´Ñ JH

3ª equação de Maxwell na forma diferencial.

O campo magnetostático não é conservativo.


Exercícios

4. Determine o campo magnético considerando uma correntepercorrendo uma linha infinita.

5. Determine o campo magnético considerando uma correntedistribuída ao longo de uma superfície infinita.

6. Determine o campo magnético considerando uma correntedistribuída ao longo de uma linha de transmissão infinitamentelonga.


Densidade de fluxo magnético

• µ0 representa a permeabilidade magnética do espaço livre, sendoigual a 4π x 10-7 H/m.

• O fluxo magnético, através da superfície S é dado por

onde Ψ é dado em Weber (Wb) e B em Wb/m² ou Tesla (T).

®®

= HB 0µ

ò®®

×=YS

SdB


• A linha de fluxo magnético é o caminho, na região do campomagnético, em relação ao qual o vetor densidade de fluxomagnético é tangente em cada ponto.

• É sempre válida a afirmação de que as linhas de fluxo magnéticosão fechadas e não se cruzam, independente da distribuição decorrente.

• Isto se deve ao fato de que não é possível ter um pólo magnéticoisolado, ou seja, cargas magnéticas.

Figura 3


• Dessa forma, o fluxo total, através de uma superfície fechada emum campo magnético, deve ser zero, isto é,

• Aplicando o teorema da divergente, temos que

0=×ò®®

SSdB

0

0

=×Ñ

=÷øö

çèæ ×Ñ=×

®®

®®®®

òò

B

dvBSdBvS

4ª equação de Maxwell

Lei da conservação dofluxo magnético ou Leide Gauss para camposmagnetostáticos


Equações de Maxwell no regime estático

òò

ò

ò

òò

®®®®®®®

®®®®

®®®®

®®®®

×=×Û=´Ñ

=×Û=´Ñ

=×Û=×Ñ

=×Û=×Ñ

SL

L

S

vS

SdJldHJH

ldEE

SdBB

dvSdDD

00

00

vv rr Lei de Gauss

Não existemonopólomagnético

Campoeletrostáticoconservativo

Lei deAmpére


Potenciais magnéticos escalar e vetorial

• Identidades importantes:

0

0m

=÷øö

çèæ ´Ñ×Ñ

=÷øö

çèæÑ´Ñ

®®®

®®

A

V Vm representa o potencial magnético escalar

A representa o potencial magnético vetorial


• O potencial magnético escalar é definido como

• Da mesma forma, Vm também satisfaz a equação de Laplace

𝛻 " 𝐵 = 0

𝛻 " 𝛻𝑉' = 𝛻(𝑉' = 0, 𝐽 = 0• O potencial magnético vetorial é tal que

0sem ==´ÑÑ-=®®®®®

JHVH

®®®

´Ñ= AB


• Sabendo-se que

onde R é a distância do elemento de corrente, no ponto fonte, atéo ponto onde se quer determinar o campo, conforme ilustrado nafigura 4

ò®®

® ´=

L RRlIdB 3

0 '4pµ

o

r’

r

R

(x, y, z)

(x’, y’, z’)Idl

Figura 4


• Considerando que

temos que

• Aplicando a identidade vetorial

÷øö

çèæÑ-=

®®

RRR 13

ò ÷øö

çèæÑ´-=

®®®

L RlIdB 1'

40

pµ

®®®®®®

´÷øö

çèæÑ+´Ñ=÷

øö

çèæ´Ñ FfFfFf


• Obtemos

• Dessa forma,

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ´Ñ=´Ñ= ò

®®®®®

L RlIdAB '

40

pµ

ò

ò

ò

®®

®®

®®

=

=

=

v

S

L

RdvJA

RdSKA

RlIdA

'4

'4

'4

0

0

0

pµ

pµ

pµCorrente em uma linha

Corrente em uma superfície

Corrente em um volume


• Para o fluxo magnético, temos que

òòò®®®®®®®

×=×÷øö

çèæ ´Ñ=×=Y

LSS

ldASdASdB


Solenóides e toróides

• Exemplos típicos de solenóides

Figura 5


• Exemplos típicos de solenóides

Figura 6

Figura 7

Figura 8


• Exemplos típicos de toróides

Figura 9 Figura 10

Figura 11


Exercícios

7. Um solenóide de comprimento l e raio a consiste de N espirasde fio percorridas por uma corrente I. Demonstre que, em umponto P ao longo do seu eixo,

8. Um toróide tem N espiras e é percorrido por uma corrente I.Determine a intensidade do campo magnético dentro e fora dotoróide.

9. Uma distribuição de corrente dá origem a um potencialmagnético vetorial igual a (x²y, xy², -4xyz) Wb/m. Calculea) O vetor densidade de fluxo magnético no ponto (-1, 2, 5).b) O fluxo através da superfície definida por

41,10,1 ££-££= yxz

( ) z12 coscos2

âlNIH qq -=

®


Referências• SADIKU, M. N. O. Elementos de Eletromagnetismo. 5ª edição – 2012. Editora

Bookman.


- CONTEÚDO DAS AULAS NAS TRANSPARÊNCIAS -

1. Estágio I: Campos eletrostáticos.

2. Estágio II: Campos elétricos em meio material.

3. Estágio III: Problemas de valor de fronteira em eletrostática.

4. Estágio IV: Campos magnetostáticos.

5. Estágio V: Forças, materiais e dispositivos magnéticos.


NOTAS DE AULA DE ELETROMAGNETISMO

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDECENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA

Prof. Dr. Helder Alves PereiraMarço, 2019

NOTAS DE AULA DE ELETROMAGNETISMO€¦ · z = 1, 0 £ x £ 1, -1 £ y £ 4 (cos 2 cos 1) z 2 â l...

Documents

Transcript of NOTAS DE AULA DE ELETROMAGNETISMO€¦ · z = 1, 0 £ x £ 1, -1 £ y £ 4 (cos 2 cos 1) z 2 â l...