Notas de Aula de Mecânica Aplicada I – V.1

ÍNDICE

1 EMENTA ....................................................................................................................... 4

1.1 Mecânica................................................................................................................. 6

1.2 Corpo rígido............................................................................................................ 7

1.3 Princípios básicos da mecânica .............................................................................. 7

1.4 Leis de Newton....................................................................................................... 9

1.5 Sistemas de unidades .............................................................................................. 9

1.6 Grandezas escalares e vetoriais ............................................................................ 11

2 SISTEMAS DE FORÇAS............................................................................................ 12

2.1 Componentes cartesianas da força........................................................................ 12

2.2 Vetores unitários cartesianos ................................................................................ 12

2.3 Equilíbrio de um ponto material........................................................................... 13

2.4 Forças no espaço................................................................................................... 14

2.4.1 Sistemas de Forças Coplanares ou bidimensionais ...................................... 14

2.4.2 Sistemas de Forças tridimensionais.............................................................. 15

2.5 Sistemas de Forças Equivalentes.......................................................................... 15

2.6 Força resultante..................................................................................................... 16

2.7 Reações de apoio .................................................................................................. 17

2.8 Equilíbrio dos corpos rígidos em duas dimensões e em três dimensões .............. 20

2.9 Diagrama de Corpo Livre (DCL) ......................................................................... 22

3 ANÁLISE DE ESTRUTURAS E MÁQUINAS.......................................................... 24

3.1 Definição de treliça:.............................................................................................. 24

3.2 Tipos de treliças.................................................................................................... 25

3.3 Análise de treliças................................................................................................. 27

3.3.1 Classificação das treliças quanto ao grau de indeterminação....................... 27

3.4 Estruturas e Máquinas .......................................................................................... 28

4 FORÇAS DISTRIBUÍDAS.......................................................................................... 29

4.1 Baricentros e centróides ou momento de 1ª ordem .............................................. 29

4.2 Determinação de centróide por integração ........................................................... 30

4.3 Cargas distribuídas sobre vigas ............................................................................ 31

4.3.1 Carregamentos simples (retangulares e triangulares)................................... 31

4.3.2 Carregamento distribuído não-uniformes..................................................... 32

4.4 Diagrama de esforço cortante e momento fletor .................................................. 34

4.5 Relação entre Carregamento distribuído, Forças cortantes e Momentos fletores.36

4.6 Análise qualitativa dos diagramas de V e M ........................................................ 36

4.7 Momento de inércia ou momento de 2ª ordem..................................................... 38

4.8 Determinação do momento de inércia por integração.......................................... 40

4.9 Produto de inércia................................................................................................. 41

5 CABOS......................................................................................................................... 43

6 LISTAS DE EXERCÍCIOS.......................................................................................... 43

7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................... 53

1 EMENTA

1° Sem/09 – Profa Dra. Carla Anflor - UFRGS DEMEC - Departamento de Engenharia Mecânica ENG 03104 - Mecânica Aplicada I - A

Objetivos: Proporcionar aos alunos uma boa formação no domínio da Estática dos Corpos

Rígidos e da Geometria de sólidos.

Créditos: 4 créditos

carga horária: 60 horas/aula

pré-requisitos: Introdução a Engenharia Mecânica, Física I-C e Cálculo e Geometria

Analítica I - A

Súmula da disciplina:

Área I: 1 - Princípios Gerais; 2 - Vetores Força; 3 - Equilíbrio de um Ponto Material; 4 -

Resultantes de Sistemas de Forças; 5 - Equilíbrio de um Corpo Rígido;

Área II: 6 - Análise Estrutural; 7 - Forças Internas;

Área III: 9 - Centro de Gravidade e Centróide; 10 - Momentos de Inércia;

Sistema de avaliação: O aluno será avaliado por 3 provas e alguns trabalhos propostos

(desafios) em sala de aula durante o decorrer do semestre.

Aprovado: O aluno deverá obter média das três provas igual ou superior a seis. Os

conceitos serão atribuídos conforme padrão UFRGS (A, B, C, D e FF). Alunos com nota

inferior em alguma das provas realizadas inferior a 3, estarão automaticamente em exame.

( )1 2 3

1

2

2

A + A + A6,0

3

A 3

A 3

A 3

finalM ≥

≥

≥

≥

=

Conceitos:

f

f

f

6 M < 7,5 C

7,5 M < 9 B

9 M 10 A

≤

≤

≤ ≤

Exame: Para o exame o aluno deverá se preparar para todo o conteúdo ministrado durante

o semestre. Para aprovação é necessário alcançar nota C ou superior (nota maior do que

6,0). Aqueles alunos que não alcançarem média igual ou superior a 3,0 e não

apresentarem presença mínima de 75%, não poderão realizar o exame.

Reprovado: Aquele aluno que não atingir a média 6,0 ao final do semestre será reprovado.

Recuperatória: Esta prova será realizada no final do semestre e envolve a matéria das

áreas I, II e III e será realizada para alunos que:

- faltaram uma das provas sob justificativa médica e neste caso deverá apresentar atestado

médico.

- ou que desejam recuperar um dos conceitos mais baixos. Neste caso para participar da

recuperatória, o aluno deverá obter nota igual ou superior a 5 em cada uma das provas (P1,

P2 e P3).

Bibliografia:

1 - Mecânica Vectorial para Engenheiros. Estática , BEER, Ferdinand P.; e JOHNSTON,

E. Russel Jr., 1998, McGraw-Hill (7ª Edição)

2 - HIBBELER, R.C. Engenharia Mecânica - Vol. Estática. Ed. Livro Técnico Científico

S.A. 8ª edição. R.J. 1999

3 - MERIAM, J.L. e KRAIGE, L.G. - Engenharia Mecânica, Estática. Ed. Livro Técnico

Científico S.A. 4ª edição. R.J. 1999

INTRODUÇÃO À ESTÁTICA

Prezados alunos esta é uma apostila de notas de aula de estática, fundamentada em

livros referentes a este assunto. Algumas partes foram reproduzidas em sua íntegra da

literatura abordada e os créditos citados ao longo do texto e as respectivas obras

referenciadas ao final das apostila nas referências bibliográficas. Outras partes são resumos,

entendimentos e anotações do professor ao estudar para ministrar esta disciplina. Alguns

exercícios são propostos e outros são resolvidos em sala de aula para entendimento do

aluno. Estimo que esta apostila venha a ajudar no estudo desta disciplina. Profa. Dra. Carla

Anflor.

1.1 Mecânica

Mecânica é a ciência que descreve e prevê as condições de repouso ou movei mento

dos corpos sob a ação de forças. A mecânica é classificada em três partes a serem citadas:

mecânica dos corpos rígidos, mecânica dos corpos deformáveis e mecânica dos fluidos. Um

esquema didático desta classificação está apresentado conforme a Figura 1. A mecânica dos

corpos rígidos é subdividida em duas partes, ou seja, a parte estática e dinâmica. A parte

estática estuda os corpos em repouso enquanto que a parte dinâmica estuda o movimento

deste. Para a mecânica dos corpos deformáveis a principal interesse está no comportamento

de uma estrutura quando as forças ou cargas impostas causam deformação ao sólido em

questão. Alguns critérios de falha considerando o tipo de material devem ser empregados

para avaliar se o material está ou não próximo ao colapso. Pode-se citar como critério de

falha para materiais dúcteis, o critério de Von Mises (critério da máxima energia de

distorção) e o critério da máxima tensão de cisalhamento. Para materiais frágeis, o critério

mais usual é o da teoria da máxima tensão normal. A terceira e ultima classificação é a

mecânica dos fluidos, que é subdivida em fluídos compressíveis e incompressíveis.

Figura 1 – Classificação da Mecânica.

1.2 Corpo rígido

Corpo rígido é aquele que não sofre deformações.

1.3 Princípios básicos da mecânica

Existem quatro conceitos básicos na mecânica: espaço, tempo, massa e força.

Espaço: O espaço está associado à posição de um ponto P. O ponto P pode ser definido nas

três direções cartesianas x, y, z a partir de um ponto de referencia previamente definido ou

a partir da origem.

Tempo: Quando se define um evento, além de sua posição, o tempo também deve ser

fornecido.

Massa: A massa é um conceito muito importante, devido à aceleração da gravidade da

terra.

Força: a força é representada por um vetor e pode ser aplicada diretamente por contato ou a

determinada distância, como por exemplo, por forças eletromagnéticas ou gravitacionais.

Mecânica dos Fluídos Mecânica de corpos

deformáveis

Mecânica

Mecânica de

corpos rígidos

Estática Dinâmica Fluidos

compressíveis

Fluidos

incompressíveis

Na mecânica Newtoniana, as três variáveis, espaço tempo e massa são conceitos

independentes entre si. Porém, é importante salientar que o conceito de força não é

independente das outras três variáveis, pois na mecânica newtoniana a força resultante que

atua em um determinado corpo está relacionada à massa e ao modo pelo qual a velocidade

desta varia com o tempo.

O estudo da mecânica é estabelecido em seis princípios fundamentais:

• A lei do paralelograma para a adição de forças

• O princípio da transmissibilidade Figura 2: “Estabelece que as condições de

equilíbrio ou movimento de um corpo rígido permanecerão inalteradas se uma força

F que atue em um dado ponto do corpo rígido for substituída por uma força F’ de

intensidade, direção e sentidos iguais, mas atuando em um ponto diferente, desde

que essas duas forças tenham igual linha de ação” (Beer, 1994).

Figura 2 – Princípio da transmissibilidade

• As três leis fundamentais de Newton

• A lei de Newton da gravitação

1.4 Leis de Newton

Formuladas por Sir Isaac Newton e são enunciadas da seguinte maneira:

• PRIMEIRA LEI Estabelece que se a força resultante que atua em uma partícula for

nula, a partícula permanecerá em repouso (se originalmente em repouso) ou se

moverá a velocidade constante em movimento retilíneo.

• SEGUNDA LEI Se a força resultante que atua sobre uma partícula não for nula, a

partícula terá uma aceleração de magnitude proporcional à magnitude da resultante

e na mesma direção dessa força resultante.

0 vetor soma de todas as forças igual a zero.

e 0 então 0

F

F m a F a

=

= ⋅ = =

∑

• TERCEIRA LEI As forças de ação e reação entre corpos em contato tem a mesma

intensidade, a mesma linha de ação e sentidos opostos.

1.5 Sistemas de unidades

Relembrando que os quatro conceitos básicos na mecânica são: espaço, tempo, massa

e força. Associadas aos quatro conceitos estão as suas respectivas unidades cinéticas. Como

a 2° Lei de Newton rege os movimentos dos corpos, as unidades devem se coerentes com a

fórmula F = m a. Os três primeiros conceitos (espaço, tempo e massa) são denominados

unidades básicas enquanto que o ultimo conceito (força) denomina-se unidade derivada.

Atualmente os Estados Unidos ainda não completaram plenamente a sua conversão de

unidades ao SI. No sistema universal de Unidades (SI), as unidades básicas são:

Comprimento -> [m]

Massa -> Quilograma [kg]

Tempo -> Segundo [s]

A unidade de força é denominada por newton [N] e é definida como sendo a força

que imprime uma aceleração de 1m/s2 a uma massa de 1 kg. Então é possível escrever:

21N = (1 kg) (1 m/s )⋅

Outro fator muito importante é que as unidades SI formam um sistema absoluto de

unidades, ou seja, as três unidades básicas escolhidas são independentes do local em que as

medições são feitas. Logo, o metro, o segundo e o quilograma, podem ser utilizados em

qualquer lugar da terra e até mesmo em outro planeta, pois terão sempre o mesmo

significado.

O peso de um corpo, ou força da gravidade exercida sobre esse corpo, deve ser

expresso em newtons, como qualquer outra força. O peso de um corpo de massa 1 kg sob a

ação da gravidade da terra é:

2

W = m g

W = (1 kg) (9,81 m/s )

W = 9,81 N

⋅

⋅

1.6 Grandezas escalares e vetoriais

Demonstrado em sala de aula

2 SISTEMAS DE FORÇAS

2.1 Componentes cartesianas da força

Figura 3 – Componentes cartesianas da força.

2.2 Vetores unitários cartesianos

Designam as direções e sentidos dos eixos x, y, e z. A orientação do vetor A é

definida pelos ângulos diretores coordenados (alfa), (beta) e (gamma), medidos entre a

direção de A e os eixos x, y e z positivos que passam pela origem de A. Estes ângulos

estarão sempre entre 0° e 180°.

cos , cos , cosyx zAA A

A A Aα β γ= = =

Define-se um vetor unitário como:

Plano II

Plano I

A

Ay

Ax

Az

A

Representação dos vetores

cartesianos:

x y zA A i A j A k= + +

Módulo de um vetor

cartesiano

2 2 2x y zA A A A= + +

Por Pitágoras:

2 2

' 2

2 2 2

' para o plano I

' para o plano II

A =

x y

z

x y z

A A A

A A A

A A A

= +

= +

+ +

yxA zAAu AA

i j ku A A A A

= = + +

�

�

2.3 Equilíbrio de um ponto material

Quando a resultante de todas as forças que atuam na partícula é igual à zero (1° Lei

de Newton), a partícula está em equilíbrio. Seja uma partícula com duas forças de mesma

magnitude, atuantes na mesma linha de ação, porém de sentidos opostos, tem-se a força

resultante igual a zero. Logo se diz que a partícula está em equilíbrio.

Para o equilíbrio de um ponto material no plano0, existem duas equações de

equilíbrio:

x yF e F∑ ∑

O que significa que o número máximo de incógnitas a ser determinadas deve ser de

no máximo igual a duas.

Quando a partícula está em equilíbrio sob a ação de três forças, o problema pode ser

resolvido desenhando-se um triângulo de forças. Quando a partícula está em equilíbrio sob

45 N

45 N

0

0x y

R F condição de equilíbrio

F F condição necessária e suficiente para o equilíbrio

= =

= =

∑∑ ∑

a ação de mais de três forças, o problema pode ser resolvido desenhando-se um polígono de

forças.

Figura 4 – Exemplo de triângulo e polígono de forças.

2.4 Forças no espaço

As forças no espaço podem ser bidimensionais ou tridimensionais.

2.4.1 Sistemas de Forças Coplanares ou bidimensionais

Quando uma partícula está sujeita a um sistema de forças que se apóiam no plano x-

y, este é dito coplanar. Para solucionar problemas bidimensionais, dispomos de duas

equações de equilíbrio:

TAB TBC

700 N

30°

40° 40°

80°

60° TBC

TAB

700 N

DCL Triângulo de forças

1800 N

900 N

779,4 N

1350 N 1800 N

900N

1350 N

779,4 N 30°

30°

DCL Polígono de forças

700

60 40 80AB BCT T N

sen sen sen= =

° ° °

x yF e F∑ ∑

Sabemos que para atingir o equilíbrio devemos atender a 1° Lei de Newton, ou seja,

“A soma algébrica de todas as componentes x e y de todas as forças atuantes na partícula

deve ser nula”.

2.4.2 Sistemas de Forças tridimensionais

2.5 Sistemas de Forças Equivalentes

Uma força pode ter um efeito de transladar ou rotacionar um corpo, a forma como ela

faz isso depende de onde e como esta força é aplicada. Para tal efeito é necessário que o

sistema força e momento produzam o mesmo efeito “externo” de translação e rotação do

corpo que suas resultantes. Quando isto ocorre os dois conjuntos de carga são ditos

equivalentes. Surge então o conceito de “momento de uma força”. Momento de uma força

pode ser expresso como a tendência ao giro de um corpo ao ter uma força aplicada sobre si.

2.6 Força resultante

A força resultante nada mais é do que a soma de todas as forças atuantes em uma

partícula ou corpo. Porém, se esta afirmação é verdadeira, aonde deve ser aplicada à força

resultante, para que ainda se tenha o mesmo efeito no corpo?

Sabemos que M = Fd

Agora posso escrever que MR = FRd

2.7 Reações de apoio

Toda a estrutura é apoiada sobre pilares ou pelo piso, ou fixada por soldas. O

componente que apóia a estrutura deve retornar uma força contraria e de igual magnitude

do peso da estrutura que está apoiada.

Quando um corpo está apoiado sobre alguma coisa, alguns questionamentos devem ser

realizados, como por exemplo:

• Este apoio permite rotação?

• Permite translação na direção x?

• Permite translação na direção y?

• Apresenta atrito?

Com base na respostas destas questões pode-se definir o tipo de vínculos e substituir as

restrições fisicamente impostas por forças ou momentos aplicados.

Alguns exemplos de apoios bidimensionais estão apresentados na Figura 5.

Figura 5 – Tipos de vinculações em 2D. Fonte Hibbler (1996).

As estruturas também se apresentam tridimensionalmente, e para este caso os tipos de

apoios estão na Figura 6.

Figura 6 – Tipos de vinculações em 3D. Fonte: Beer (1994).

2.8 Equilíbrio dos corpos rígidos em duas dimensões e em três dimensões

Para que haja equilíbrio entre os corpos, seja em 3D ou 2D é necessário que,

0i if F= =∑ ∑

A variável representa as forças externas ao corpo enquanto que a variável f

representa as forças internas do corpo. As forças internas são originadas por interações com

partículas adjacentes. A resultante das forças externa representa a ação da gravidade,

magnetismo ou uma força de contato.

Pela terceira lei de Newton as forças internas já se encontram em equilíbrio, restando

apenas as forças externas. Conseqüentemente podemos escrever que:

0iF =∑

Agora, se escolhemos um ponto arbitrário O, podemos calcular os momentos

gerados por cada uma das forças externas em relação a este ponto. Utilizando a equação de

equilíbrio, tem-se que:

( ) 0i i i i i i ir f F r f r F× + = × + × =

Estendendo para as demais partículas do corpo, tem-se que,

( ) 0i i i i ii ir f F r f r F× + = × + × =∑ ∑

Conforme discutido anteriormente, as forças internas são nulas (pois são colineares,

de mesma intensidade e de sentidos opostos). Resulta então em:

o i iM r F= ×∑

Assim as duas equações de equilíbrio para um corpo rígido são podem ser expressas

por:

0

0

oM

F

=

=

∑∑

Então, resumindo o que se deve saber para corpos sob ação de forças em 2D e 3D:

o

F1

F2

F3

F4

i

o

Fi

i

ri

fi

(a) (b)

2D 3D

0xF =∑ 0 0x xF e M= =∑ ∑

0yF =∑ 0 0y yF e M= =∑ ∑

0oM =∑ 0 0z zF e M= =∑ ∑

Além disso, a seguinte condição deve ser atendida:

N° de equações ≥ n° de incógnitas

Para o caso 2D

3 eqs. de equilíbrio ≥ n° de incógnitas

Temos 6 equações de equilíbrio e um número máximo de seis incógnitas.

Fx, Fy, Mz

Para o caso 3D

6 eqs. de equilíbrio ≥ n° de incógnitas

Temos 6 equações de equilíbrio e um número máximo de seis incógnitas.

Fx, Fy, Fz, Mx, My, Mz

2.9 Diagrama de Corpo Livre (DCL)

Geralmente um projeto é muito bem elaborado, tanto do ponto de vista prático quanto

do ponto de vista de design. O Diagrama de corpo livre (DCL) tem por objetivo retirar

todas as informações de um projeto que não são necessárias para a análise estrutura, por

exemplo, não importa a cor ou se há um detalhe sem funcionalidade estrutural no projeto.

Apenas as ações das forças referentes a carregamentos e suas respectivas reações de

vinculo. Por exemplo, uma estrutura conforme a figura abaixo:

Figura 7 – (a) Modelo real e (b) DCL. Fonte: Hibbler (1996).

O Diagrama de corpo livre apresentado na Figura 7 (b), representa o DCL do

modelo real sem todos os demais detalhes, como as paredes de alvenaria e as treliças

apoiadas na viga em estudo.

Molas:

Sf = 0,6m

S0 = 0,4m

F = K(Sf-S0) [N]

K = rigidez [N/m]

S = [m]

Cabos e polias:

Considera-se que,

Cabos – despreza-se peso próprio e admite-se que seja indeformável.

Polia – despreza-se o atrito e admite-se que a força trativa (Ft) é constante ao longo do

cabo, para qualquer ângulo θ.

Figura 8 – Considerações sobre cabos e polias.

3 ANÁLISE DE ESTRUTURAS E MÁQUINAS

3.1 Definição de treliça:

As treliças são as estruturas mais utilizadas, por ser uma solução pratica e

econômicas em muitas situações de aplicação do ponto de vista de engenharia. Tais

estruturas são comumente encontradas em projetos de pontes, edifícios, andaimes, gruas,

pontes rolantes, entre outros.

Uma treliça consiste de barras retas articuladas nas juntas ou nós. Em estruturas

reais existem treliças planas e espaciais. Uma treliça espacial consiste de uma união de

várias treliças planas com o objetivo de formar uma estrutura 3D. Cada treliça é projetada

para suportar cargas em seu plano, podendo assim ser tratada como um caso bidimensional.

Ft

Ft

θ

É importante salientar que estruturas treliçadas somente suportam o esforço de

tração ou compressão, tal esforço é conhecido por esforço Normal [N]. Como as barras das

treliças suportam apenas esforço normal, é importante verificar que o carregamento esteja

sempre posicionado nas rótulas da estrutura, a fim de impedir a transmissão de momentos

fletores ou torçores.

Para determinarmos os esforços que atuam na treliça devemos observar alguns

pontos importantes:

• treliças são estruturas que suportam esforços aplicados somente nas junções entre os

membros (nós);

• os membros são unidos por rótulas, isto é, elementos que permitem o giro. A

principal conseqüência é o fato de as ligações não transmitirem momentos fletores e/ou

torsores

Da última hipótese, verificamos que em treliças não existem esforços cortantes e

nem momentos. Como conseqüência direta da primeira hipótese, verificamos que os

esforços normais que atuam em cada um dos membros da treliça são constantes ao longo do

comprimento (pois não existem outros esforços aplicados, somente nos nós).

Para obtermos os esforços normais aplicados, podemos fazer uso dos seguintes

métodos:

• Método dos nós

• Método das seções

3.2 Tipos de treliças

As treliças são classificadas em planas ou em espaciais. Para efeito ilustrativo a Figura 9

apresenta os tipos mais usuais de treliças planas, muito comumente chamadas também por

tesouras.

Figura 9 – Alguns tipos de treliças.

As treliças espaciais nada mais são do que a união de várias treliças planas resultando em

uma estrutura tridimensional.

Treliças típicas para pontes

Pratt

Howe

Warren

Treliças para telhados

Pratt Howe

Partes de uma treliça

Banzo inferior

Banzo superior

diagonal

montante Nós ou uniões

Vínculo ou apoio

3.3 Análise de treliças

3.3.1 Classificação das treliças quanto ao grau de indeterminação

Antes da verificação por cálculo de uma treliça, utiliza-se uma fórmula que envolve

o seu n° de vinculações, n° de barras e n° de nós. Com esta fórmula já podemos classificar

o tipo de comportamento da estrutura e somente após a aplicação desta fórmula utilizamos

um dos métodos mencionados (método dos nós ou método das seções) para calcular a

treliça em questão.

Então, empregando-se a seguinte fórmula,

2m r n+ =

Sendo, m é o número de barras, e r é o número de reações e n o número de nós.

As treliças podem ser classificadas em três tipos:

Se m+r < 2n a treliça é dita parcialmente vinculada (não é rígida e é deformável)

m+r > 2n a treliça é dita indeterminada

m+r = 2n a treliça é dita completamente vinculada e determinada

exemplo de verificação de um treliça, conforme a Figura 10:

Figura 10 – Classificação das treliças.

3.4 Estruturas e Máquinas

n = 15

m = 26

m = 2n - 3

26 = 2 × 15 - 3

26 < 27

m < 2n-3 a treliça não é rígida e é

deformável!!!

trocar as vinculações...

m = 2n - 4

26 = 2 × 15 - 4

26 = 26

m = 2n-3 a treliça é completamente

vinculada e determinada!!!

Exemplo

4 FORÇAS DISTRIBUÍDAS

4.1 Baricentros e centróides ou momento de 1ª ordem

A primeira questão que devemos nos impor é: Por quê determinar o CG de

um corpo? Vamos a um exemplo prático, seja um helicóptero em operação e

tentando elevar um carregamento conforme Figura 11 abaixo. Aonde devemos

aplicar a carga e por quê? Resposta: Exatamente no CG do helicóptero, pois assim,

não haverá momento e o helicóptero levantará a carga verticalmente.

Figura 11 – Helicóptero com carregamento aplicado em seu CG.

Um exemplo bem simples, será demonstrado em sala de aula como

determinar o CG de gravidade de uma figura geométrica em forma de L.

CG

0M =∑

4.2 Determinação de centróide por integração

Este ponto será apresentado em aula.

4.3 Cargas distribuídas sobre vigas

As cargas distribuídas sobre uma estrutura podem ser retangulares, triangulares ou

aleatórias. A Figura 12 apresenta exemplos práticos de carregamento distribuído retangular,

triangular e aleatório. Um carregamento retangular pode ser representado por uma pilha de

sacos de areia enquanto que o carregamento triangular pode ser representado pela pressão

hidrostática imposta pela águas em uma placa. Inúmeros outros eventos (carga de lenha,

carga de containeres, carga humana, etc.) podem causar uma distribuição de forças

retangulares ou triangulares, mas a nível de engenharia, nos importa apenas, qual o tipo e a

forma da distribuição da carga.

Figura 12 – Tipos de carregamentos.

4.3.1 Carregamentos simples (retangulares e triangulares)

Quando o carregamento é do tipo triangular ou retangular, sabe-se que integral da

carga é a força resultante, e esta está concentrada no centro de gravidade da carga. O CG do

triângulo é localizado em 1/3 de sua base enquanto que o CG do retângulo em 1/2 de sua

base. A Figura 13 demonstra o procedimento para concentrar cargas distribuídas (FR)

Carregamento retangular

(sacos de areia)

Carregamento triangular

(pressão hidrostática)

retangulares e triangulares. Após as cargas serem concentradas devemos aplicar esta no

centro de gravidade da mesma.

Figura 13 – Concentrando e localizando cargas.

4.3.2 Carregamento distribuído não-uniformes

Carregamentos distribuídos não uniformes podem ser representados, por exemplo,

pela intensidade de vento em uma das faces de um edifício. Então com alguns sensores

apropriados e placas de aquisição, adquire-se pontos discretos da velocidade do vento ao

longo da parede do edifício. Ao graficar-se os pontos adquiridos ajusta-se um polinômio

que melhor descreva a curva obtida. Temos então uma função, que podemos integrar na

dimensão do edifício. A Figura 14 explica de maneira singela o procedimento para se obter

matematicamente a função para um carregamento não uniforme.

( )

4 20 / 80

R

R

q dx carga concentrada F

F m N m N

=

= ⋅ =

∫

4 m

20

b

CG = (½)*b FR = 80 N

( )

(4 20 / ) / 2 40

R

R

q dx carga concentrada F

F m N m N

=

= ⋅ =

∫

4 m

20

b

FR = 40

CG =

(1/3)*

b

Aonde aplico a FR?

No CG da carga.

Figura 14 – De onde surgem as cargas não-uniformes?

Assim como é reduzido o carregamento distribuido para uma carga equivalente

concentrada nos casos de cargas trinagulares e retangulares, o mesmo procedimento deves

ser realizado para os carregamentos não uniformes, veja a Figura 15.

0 m

24 m

sensores 0 m 24

função polinomial

de aproximação

0 m 24

x3+x

2+sen(x)

vento

x3+x

2+sen(x)

24

0

3 2

RF (x +x +sen(x))dx= ∫

Figura 15 – Redução de um sistema simples de carga distribuída. Fonte: Hibbler (1996).

4.4 Diagrama de esforço cortante e momento fletor

Quando um carregamento é vertical e as barras são horizontais, as barras são

chamadas de vigas. O carregamento pode ser concentrado ou distribuído, ou ainda, a

combinação de ambos.

Para determinação dos esforços internos será utilizado o método das seções, o qual será

explicado ao desenvolver exercícios. Também há o método de Funções de singularidade ou

Função Heavyside, mas este somente será apresentado na disciplina de Mecânica dos

Sólidos I.

Os tipos de esforços internos presentes nas vigas são:

** A convenção de sinais:

Neste tópico iremos estabelecer uma convenção de sinais caracterizando os sentidos

“positivo” e “negativo” para estes esforços atuantes no interior da viga.

O momento fletor é positivo quando este tende a causar uma compressão (sinal - )

na fibra superior da viga e uma tração na fibra inferior (sinal +).

A força cisalhante ou esforço de corte será positivo quando este tende a causar um

giro anti-horário na viga em relação ao RA.

N+

V+

M+

R R

N

V

M

+ + + + + + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Fibras sob tração

Fibras sob

N

V

M M = momento fletor

[kNm]

4.5 Relação entre Carregamento distribuído, Forças cortantes e Momentos fletores.

É muito importante que se tenha conhecimento das relações entre o tipo de

carregamento imposto à estrutura em estudo e seus esforços internos resultantes.

( )

,

( )

V w x dx

M V dx

da mesma maneira que

dVw x

dx

dMV

dx

= −

=

= −

=

∫

∫

4.6 Análise qualitativa dos diagramas de V e M

Conhecendo-se bem a relação entre carga distribuída, esforço de corte e momento

fletor, é perfeitamente possível construir os gráficos de corte e momento de forma

qualitativa, isto é, sem entrar no mérito de cálculo. Isto possibilita ao engenheiro um

entendimento melhor do comportamento das estruturas em relação à solicitação de carga

imposta a estas. Sem entrar no mérito de cálculo, desenhe o diagrama de esforço de corte e

momento fletor para as seguintes vigas:

V

M

V

M

V

M

V

M

4.7 Momento de inércia ou momento de 2ª ordem

Inércia pode ser definida como a resistência a um movimento imposto. Para efeito de

exemplificação, seja uma viga com um perfil de seção retangular, bi-apoiada e carregada

com uma carga uniformemente distribuída em sua linha média, qual a melhor posição para

se armar a viga?

Se você pensou na opção “a”, está correto, pois é nesta posição que o perfil tem

maior resistência em torno do seu eixo z. Isto pode ser verificado através de uma fórmula

para cálculo de inércia bem simples para perfis retangulares ou quadrados. Agora

verifiquemos com engenheiros...

x

x y

y

(a (b

O momento de inércia I é definido por:

2 2

4 4[ ] [ ]

x y

x y

I y dA I x dA

I e I momento de inércia retangular

unidade mm ou cm

= =

=

∫ ∫

A inércia Ix significa a resistência do corpo ao girar em torno do eixo x, e Iy a resistência do

corpo ao girar em torno do eixo y.

Para perfis retangulares a

fórmula da inércia é: I = bh3/12

b = 30 mm

h = 80 mm x

y

Determine qual a melhor posição para montagem da viga, para

que se tenha maior resistência para suportar o carregamento

Os valores de inércia, ao contrário do momento de primeira ordem serão sempre positivos.

• Momento de inércia polar [Jo]

Momento de inércia polar é a resistência de o corpo girar em torno do ponto O, ou melhor,

do eixo z.

2 2 2 2 2

4 4

( )

[ ] [ ]

o

o x y

J r dA x y dA x dA y dA

J I I

unidade mm ou cm

= = + = + =

= +

∫ ∫ ∫ ∫

4.8 Determinação do momento de inércia por integração

Teorema dos eixos paralelos:

Sabemos que 2xI y dA= ∫ , mas esta fórmula é válida quando o eixo de referência

é coincidente com o eixo centroidal da peça. Quando isto não ocorre temos que utilizar o

“teorema dos eixos paralelos”.

x

y

dA

r2=x

2+y

2

x

y

Figura 16 – Teorema do eixos paralelos.

4.9 Produto de inércia

O produto de inércia determina se existe outro eixo além dos inicialmente arbitrados,

de inércia maior ou menor. Então devemos calular os eixos principais de inércia x’ e y’.

O produto de inércia é definido por:

xyI xy dA= ∫

Ao contrário do momento de inércia, o produto de inércia pode ser positivo, negativo ou

nulo. O valor nulo indica que além da peça ser simétrica, os eixos x e y inicialmente

arbitrados, apresentam os valores máximo e mínimo de inércia. Simplificando, posso girar

o perfil que em nehuma outra posição este terá valores de inércia maior e menor do que nos

eixos iniciais. Por exemplo, veja a Figura 17.

Figura 17 – Produto de inércia nulo.

C = centróide C

dA

B’

d

B y’

A A’

y

BB’ não é coincidente com

o eixo AA’

Imáx = eixo x

Imín = eixo y

Ixy = zero

x

y

x

y

y’ x’

Imáx = não está em x’

Imín = não está em y’

Quando o produto de inércia for diferente de zero, devemos calcular a posição dos novos

eixos (chamados de eixos principais) e sua inclinação. Também faz-se necessário saber em

qual destes novos eixos x’ e y’ o valor de inércia é máximo.

Por exemplo,

Figura 18- Produto de inércia.

Para determinar a inclinação dos eixos principais, utilizamos a seguinte fórmula:

2tan(2 ) xy

x y

I

I Iθ

−=

−

Para determinar os valores de inércia para cada um dos eixos principais, utilizamos:

CG

θ x

y

y’ x’

eixos principais

eixos iniciais

CG

θ x

y’ x’

melhor posição para armar o

perfil de uma viga

'

'

2

2m ,

cos(2 ) sin(2 )2 2

cos(2 ) sin(2 )2 2

I2 2

x y x y

x xy

x y x y

y xy

x y x y

áx mín xy

I I I II I

I I I II I

I I I II

θ θ

θ θ

+ −= + −

+ −= − +

+ + = ± +

5 CABOS

O tópico sobre cabos será abordado em sala de aula através de exercícios.

6 LISTAS DE EXERCÍCIOS

Ao final de cada uma das áreas, recomenda-se que o aluno

resolva as listas de exercícios para um bom rendimento da matéria e

resultado de prova.

Lista de exercícios n° 1

1) Determine o módulo e a direção θ da força F e sua posição d sobre a viga de modo que o

sistema de cargas seja equivalente a uma força resultante de 10 kN atuante verticalmente

para baixo no ponto A e um momento de 45 kN·m no sentido horário.

2) Determine o peso máximo que pode ser suspenso pelo sistema de correntes da figura de

modo a não exceder a uma força de 450 lb na corrente AB e de 480 lb na corrente AC.

Considere θ = 30°.

7

24 25

θ

5 kN F

3 kN

d

3 m 4 m 6 m

A

3) As extremidades dos três cabos mostrados na figura são fixados ao anel em A e às

bordas de uma placa uniforme. Determine a maior massa que a placa pode ter considerando

que cada cabo pode suportar uma tração máxima de 15 kN.

4) Substitua o sistema de forças atuante sobre a estrutura por uma força resultante

equivalente e calcule onde a linha de ação desta resultante intercepta o elemento AB.

Considere o ponto A como referência.

6 m 6 m

6 m

4 m

2 m

10 m 2 m

2 m

B

C D

A

12 m

x

z

y

5) Substitua o carregamento por uma força resultante equivalente e calcule sua localização

sobre a viga medida a partir do ponto A.

6) Determine a força resultante equivalente e o momento no ponto O.

7) Devido a uma distribuição não-uniforme do combustível nos tanques localizados nas

asas de um avião , os centros de gravidade da fuselagem A e das asas B e C são localizados

conforme indicado na figura. Se estes componentes têm pesos WA, WB e WC, determine a

reação normal das rodas D, E e F sobre o solo.

8) Determine as reações em A e B para o equilíbrio do sistema.

Respostas:

1) F = 2,61 kN; d = 2,64 m

2)W1 = 259,81 lb; W2 = 240 lb

3) W = 25,714 kN

4) F = 922 lb; θ = 77,5°; x = 3,56 ft

5) FR = 3,1 kN; x = 2,06 m

6) FR = 3 kN ; Mo = 2,25 kN·m

7) RD = 22,6 kip; RE = 22,6 kip; RF = 13,7 kip

8) RA = 8 kN; RBx = 5,2 kN; RBy = 5 kN

“Às vezes nem Deus ajuda, então resta estudar muito.”

Lista de exercícios n° 2 - treliças e vigas

1. Utilizando o método das seções, determine FCE, FEF e especifique se a barra está sob

tração ou compressão.

2. Usando o método dos nós, determine a força em cada barra da treliça ilustrada. Verifique

se cada barra está tracionada ou comprimida.

3. Sem entrar no mérito de valores numéricos, desenhe o gráfico dos diagramas para cada

caso e após este procedimento realize o procedimento de cálculo e apresente as respectivas

equações para cada trecho (AC, CD e DB). Verifique se as suas equações satisfazem ao seu

desenho inicial dos diagramas. Defina exatamente o local da viga onde ocorrerá o momento

máximo. Verifique a sua resposta utilizando o método gráfico (ensinado em aula) e o ftool.

3 m 3 m 3 m 3 m

5 m

10 kN 10 kN 10 kN

A

B

C

D

E

F

G

H

I

6 m 6 m 6 m

7,5

A B C

H

10 kN D

6 m

F G E

1.2 m 1.2 m 1.8 m

B A C D

33.3 kN/m 100 kN

A

1.2 m 1.2 m 1.8 m

B A C D

300 kN/m 150 kN

3 m 1.2 1 m

B C D

100 kN 30 kN/m 20 kN/m 15 kN/m

E F

2 m 2 m

1.2 m 1 m 0.8 m

B A C

D

15 kN/m

3 kN

(a)

(b)

(c)

(d)

A

3 m 1.2 1 m

B C D

50 kN 30

E F

2 m 2 m

30 kN/m

15 kN/m

10 kN (e) (45°

70 kN/m

Lista de exercícios n° 3 - Cabos, CG e Momento de Inércia

Exercícios:

1) Para o cabo sob carregamento concentrado: qual o valor máximo da tensão?

2) Seja um cabo parabólico com carga distribuída igual a w = 0,3kg/m calcule: xb, T0 e

Tmáx.

yb = 0,025m

yb = 0,1m

xa xb

1,125m

A

B

w = 0,3kg/m y

x

Resposta:

xb = 0,375m

T = 8,277N

E

A

D C

B

5 m 5 m 5 m 5 m

hc = 8 m 6 m

18 kN

12 kN

18 kN

Resposta:

Tmáx = 44,6 kN

Ex = 30 kN

3) Para o elemento de máquina mostrado na figura, determine a coordenada x do centro de gravidade.

4) Calcule o momento de inércia e o raio de giração da superfície em relação ao eixo x.

10 mm 10 mm

10 mm 10 mm

40 mm

20 mm

20 mm

20 mm

20 mm

40 mm 40 mm

x

y Resposta:

Ix = 7,36×106 mm4

k = 32 mm

y

z 18 mm

40 mm

120 mm 54 mm

60 mm

x

Resposta:

x = 64,2 mm

a a = 27 mm

r = 16 mm

r

7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BEER, F. R. (1994); Johnston Jr., E. R. . Mecânica Vetorial para Engenheiros:

Estática; Vol. I, 5ª Edição, Ed. Makron Books / McGraw-Hill, São Paulo.

HIBBELER, R. C. (1996). Mecânica: Estática; Vol. I, Ed. Campus Ltda, Rio de

Janeiro.

BORESI, A. P. (2003); SCHMIDT, R. J. . Estática; Ed. Pioneira Thompson

Learning, São Paulo.

SHAMES, I. H. (2002). Mecânica para Engenharia; Vol. I, 4ª Edição, Ed. Pearson

Education do Brasil, São Paulo.