Notas de Aula - FIS32 - fis.ita.br · 9.5.2 Pot^encia M axima Transmitida . . . . . . . . . . . . ....

Notas de Aula - FIS32

Lara Kuhl Teles

21 de julho de 2008

Sumario

0 Topicos matematicos 9

0.1 Teoremas e propriedades de Calculo Vatorial . . . . . . . . . . 9

0.2 Propriedades de Divergente, Rotacional e Gradiente . . . . . . 10

1 Introducao 11

1.1 Forcas eletricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Propriedades da carga eletrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Lei de Coulomb 15

2.1 A Lei de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Princıpio de Superposicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Campo Eletrico 19

3.1 O Campo Eletrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 Distribuicoes Contınuas de Carga . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2.1 Tipos de Distribuicoes: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3 Linhas de Forcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.4 Fluxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.5 Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.5.1 Aplicando A Lei De Gauss: . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.6 Aplicacoes da Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.7 Divergencia de um vetor e Equacao de Poisson . . . . . . . . . 38

3.8 Teorema de Gauss e forma diferencial da Lei de Gauss . . . . 44

3

4 SUMARIO

4 Potencial Eletrostatico 51

4.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.1.1 Recordacao da Mecanica . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.2 Definicao do Potencial eletrostatico . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2.1 Calculo do pontencial eletrostatico gerado por uma

carga pontual q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.3 Calculo do Campo a partir do potencial . . . . . . . . . . . . 54

4.3.1 Equipontenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.4 Potencial de uma distribuicao de cargas . . . . . . . . . . . . . 55

4.4.1 Anel isolante uniformemente carregado . . . . . . . . . 56

4.4.2 Disco uniformemente carregado: a uma distancia z do

centro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.4.3 Disco uniformemente carregado: Calculo no Bordo . . . 58

4.4.4 Casca esferica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.5 Dipolo eletrico e expansao multipolar dos campos eletricos . . 60

4.6 Circulacao do campo eletrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5 Equacoes da Eletrostatica e Energia 69

5.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.2 Equacoes de Laplace e Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.3 Resumo das equacoes da eletrostatica . . . . . . . . . . . . . . 70

5.4 Condicoes de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.4.1 Relacao entre campos logo acima e abaixo de uma su-

perfıcie carregada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.4.2 Relacao entre os potenciais . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.4.3 Alguns outros comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.5 Exemplos de aplicacao das Equacoes de Poisson e Laplace . . 74

5.5.1 Exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.6 Energia Potencial Eletrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.6.1 Energia Potencial Eletrostatica de uma distribuicao de

cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

SUMARIO 5

5.6.2 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.6.3 Relacao entre Energia e Campo Eletrico . . . . . . . . 80

5.6.4 Princıpio da Superposicao . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6 Condutores 85

6.1 Breve Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.2 Propriedades dos Condutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.3 Carga Induzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.3.1 O campo numa cavidade de um condutor . . . . . . . . 87

6.4 Metodo das Imagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.4.1 Carga e o Plano Condutor Aterrado . . . . . . . . . . . 92

6.4.2 Densidade De Carga Induzida Na Superfıcie Do Plano 93

6.5 Poder das Pontas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.6 Carga Na Superfıcie e Forca Em Um Condutor . . . . . . . . . 96

7 Capacitores 97

7.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.2 Energia de um capacitor carregado . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.3 Calculos de Capacitancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.3.1 Capacitor de placas paralelas . . . . . . . . . . . . . . 99

7.3.2 Capacitor Cilındrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.3.3 Capacitor Esferico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7.4 Associacao de Capacitores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7.4.1 Capacitores em Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7.4.2 Capacitores em Serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

8 Dieletricos 109

8.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

8.2 Campo no interior de um dieletrico . . . . . . . . . . . . . . . 109

8.2.1 moleculas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

8.2.2 moleculas apolares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

6 SUMARIO

8.3 Polarizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

8.3.1 Definicao do vetor Polarizacao . . . . . . . . . . . . . . 111

8.3.2 Susceptibilidade Eletrica e constante dieletrica . . . . 113

8.4 Lei de Gauss e vetor deslocamento eletrico . . . . . . . . . . . 114

8.5 Energia eletrostatica em dieletricos . . . . . . . . . . . . . . 116

8.6 Condicoes de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

9 Corrente eletrica e Resistencia 121

9.1 Transporte de Carga e Densidade de Corrente . . . . . . . . . 121

9.1.1 Conceito De Densidade De Corrente . . . . . . . . . . 121

9.2 Equacao da Continuidade da Carga eletrica . . . . . . . . . . 124

9.2.1 Caso De Corrente Estacionaria . . . . . . . . . . . . . 126

9.3 Condutividade Eletrica e a Lei de Ohm . . . . . . . . . . . . . 127

9.3.1 Um Modelo Para a Conducao Eletrica . . . . . . . . . 127

9.4 Associacao de Resistores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

9.4.1 Associacao em Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

9.4.2 Associacao em Serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

9.5 Forca Eletromotriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

9.5.1 Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

9.5.2 Potencia Maxima Transmitida . . . . . . . . . . . . . . 138

9.6 Leis de Kirchoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

9.7 Circuito R-C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

9.7.1 Carregando um capacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

9.7.2 Descarregando um capacitor . . . . . . . . . . . . . . . 144

10 Magnetostatica 149

10.1 Campo Magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

10.2 Forca magnetica em fios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

10.3 Torque em espiras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

10.4 O Movimento Cyclotron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

10.5 A Ausencia de monopolos magneticos . . . . . . . . . . . . . . 159

SUMARIO 7

10.6 O Efeito Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

10.7 A Lei de Biot Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

10.7.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

10.7.2 Formas Alternativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

10.7.3 Aspectos Interessantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

10.7.4 Aplicacoes da Lei de Biot-Savart . . . . . . . . . . . . 166

10.8 A Lei Circuital de Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

10.8.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

10.8.2 A forma diferencial da Lei de Ampere . . . . . . . . . . 174

10.8.3 Aplicacoes da Lei de Ampere . . . . . . . . . . . . . . 175

10.9 Potencial Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

10.10Condicoes de Contorno na Magnetostatica . . . . . . . . . . . 189

10.10.1 Componente perpendicular a superfıcie . . . . . . . . . 190

10.10.2 Componente paralela a superfıcie e paralela a direcao

da corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

10.10.3 Componente paralela a superfıcie e perpendicular a

direcao da corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

10.11Expansao em multipolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

11 Lei da Inducao 195

11.1 O Fluxo Magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

11.2 A Lei de Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

11.3 Geradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

11.4 Efeitos Mecanicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

11.4.1 As correntes de Foucault . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

11.4.2 Atrito Magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

11.4.3 Canhao Magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

11.5 Indutancia Mutua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

11.6 Auto-Indutancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

11.7 Associacao de Indutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

11.7.1 Dois indutores em serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

8 SUMARIO

11.7.2 Dois indutores em paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . 215

11.8 Circuito R-L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

11.9 Circuito L-C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

11.10Analogia com sistema mecanico . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

11.11Circuito R-L-C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

11.11.1 Subcrıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

11.11.2 Crıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

11.11.3 Supercrıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

11.12Energia em Campos Magneticos . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

12 Equacoes de Maxwell 231

12.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

12.2 Modificacao na lei de Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

12.3 Equacoes de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

12.3.1 Forma diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

12.3.2 Forma integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

12.4 Equacoes de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

13 Materiais Magneticos 241

13.1 Propriedades Magneticas da Materia . . . . . . . . . . . . . . 241

13.2 Momentos magneticos e Momento angular . . . . . . . . . . . 243

13.3 Materiais Diamagneticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

13.4 Materiais Paramagneticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

13.5 Magnetizacao e o campo ~H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

13.6 Materiais Magneticos Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

13.7 Materiais Ferromagneticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

13.8 Energia em meios magneticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

Capıtulo 0

Topicos matematicos

0.1 Teoremas e propriedades de Calculo Va-

torial

Teorema 1 (Teorema de Stokes). Seja S uma superfıcie de bordo γ = ∂S e

seja ~F um campo de classe C1. Entao:∮γ=∂S

~F d~l =

∫∫S

~∇× ~F d~S (1)

Demonstracao. Encontrada em qualquer referencia de Calculo Vetorial

Teorema 2 (Teorema da Divergencia ou de Gauss). Seja R uma regiao do

espaco de bordo γ = ∂R e seja ~F um campo de classe C1. Entao:∫∫∫R

→∇→F dv =

∫∫∂R

~F d~S (2)

Demonstracao. Encontrada em qualquer referencia de Calculo Vetorial

Tais Teoremas sao de extrema importancia pois facilitam em determina-

das situacoes o calculo de um dos membros das equacoes por meio do ou-

9

10 CAPITULO 0. TOPICOS MATEMATICOS

tro, que pode ser obtido por um metodo de integracao mais rapido e menos

propıcio a erros.

0.2 Propriedades de Divergente, Rotacional

e Gradiente

1) o divergente de um rotacional vale sempre zero, quaisquer que sejam os

vetores associados.

2) o rotacional de um gradiente vale sempre zero, qualquer que seja o

campo escalar associado.

Capıtulo 1

Introducao

1.1 Forcas eletricas

Consideremos uma forca analoga a gravitacao que varie com o inverso do

quadrado da distancia, mas que seja bilhoes de bilhoes de bilhoes de vezes

mais intensa. E com outra diferenca: que haja duas classes de ”materia”que

poderıamos chamar de positiva e negativa. Se sao da mesma classe se repelem

e se sao de classes distintas se atraem, diferentemente de gravitacao que e so

atrativa.

Um conjunto de elementos positivos se repelem com uma forca enorme,

o mesmo ocorrendo com um conjunto de elementos negativos. Os elementos

opostos sao mantidos juntos por uma forca enorme de atracao. Estas terrıveis

forcas se equilibrarao perfeitamente e formarao uma mescla de elementos

positivos e negativos intimamente mesclados entre si de tal modo que duas

porcoes separadas nao sentirao nem atracao nem repulsao entre elas.

Uma forca como esta existe e e chamada de forca eletrica. E toda a

materia e uma mescla de protons positivos e eletrons negativos que estao

se atraindo e repelindo com uma grande forca. Mas, ha um equilıbrio tao

perfeito que com relacao ao conjunto nao se sente nenhuma forca resultante.

Atualmente, sabemos que as forcas eletricas determinam em grande parte,

11

12 CAPITULO 1. INTRODUCAO

as propriedades fısicas e quımicas da materia em toda a faixa que vai desde

o atomo ate a celula viva. Temos de agradecer por este conhecimento dos

cientistas do seculo XIX: Ampere, Faraday, Maxwell e muitos outros que

descobriram a natureza do eletromagnetismo; bem como fısicos e quımicos

do seculo XX que revelaram a estrutura atomica da materia.

O eletromagnetismo classico estuda as cargas e correntes eletricas e suas

acoes mutuas, como se todas as grandezas envolvidas pudessem ser medi-

das independentemente, com precisao limitada. Nem a revolucao da fısica

quantica, nem o desenvolvimento da relatividade especial deslustraram as

equacoes do campo eletromagnetico que Maxwell estabeleceu ha mais de cem

anos atras. Evidentemente, a teoria estava solidamente baseada na experi-

mentacao, e por causa disso era muito segura dentro dos limites do seu campo

de aplicacao original. No entanto, mesmo um exito tao grande nao garante

a validade num outro domınio, por exemplo, no interior de uma molecula.

Dois fatos ajudam a explicar importancia contınua da teoria classica do

eletromagnetismo na fısica moderna. Primeiro, a relatividade restrita nao

exigiu nenhuma revisao do eletromagnetismo classico. Cronologicamente, a

relatividade especial nasceu do eletromagnetismo classico e das experiencias

inspiradas por ele. As equacoes de Maxwell, deduzidas muito antes dos tra-

balhos de Lorentz e Einstein revelaram-se inteiramente compatıvel com a

relatividade. Em segundo lugar, as modificacoes quanticas das forcas eletro-

magneticas revelaram-se sem importancia ate distancias da ordem de 10−10

cm, cem vezes menores que o atomo. Podemos descrever a repulsao e atracao

de partıculas no atomo utilizando as mesmas leis que se aplicam as falhas

de um eletroscopio, embora necessitemos da mecanica quantica para prever

o comportamento sob acao dessas forcas.

Segundos relatos historicos, ja ao tempo da Grecia Antiga se tinha conhe-

cimento de que o ambar (uma especie de resina denominada de eletron na

lıngua grega), uma vez friccionado com la, adquiria a propriedade de atrair

pequenos fragmentos de papel, fiapos de tecidos, etc. Nenhum progresso

1.2. PROPRIEDADES DA CARGA ELETRICA 13

substancial ocorreu todavia nesse assunto ate o seculo XVIII, quando se des-

cobriu que o vidro friccionado com um pano de seda tambem apresentava

propriedades semelhantes a do ambar. Estas observacoes levaram a admitir

duas especies de eletricidade: a vıtrea e a resinosa.

Ainda dessas observacoes decorram as leis elementares da eletrostatica, a

saber: a) Eletricidades de mesmo nome se repelem b) Eletricidades de nomes

diferentes se atraem.

Benjamin Franklin foi o primeiro a falar em eletricidade positiva (a vıtrea)

e eletricidade negativa (a resinosa).

Hoje sabemos que esses efeitos sao devidos a existencia do que chamamos

de carga eletrica. Embora a carga eletrica nao seja definida sabemos que ela

e uma caracterıstica das partıculas fundamentais que constituem os atomos.

1.2 Propriedades da carga eletrica

Uma propriedade fundamental da carga eletrica e a sua existencia nas duas

especies que ha muito tempo foram chamadas de positivas e negativas. Observou-

se o fato de que todas as partıculas eletrizadas podem ser divididas em duas

classes, de tal forma que todos os componentes de uma classe se repelem

entre si, a o passo que atraem is componentes de outra classe.

Se A e B repelem-se e A atrai um terceiro corpo eletrizado C, entao B

atraiu C.

Nao podemos dizer com certeza, porque prevalece esta lei universal. Mas

hoje os fısicos tendem a considerar as cargas positivas e negativas, fundamen-

talmente como manifestacoes opostas de uma qualidade assim como direito

e esquerdo, manifestacoes opostas de lado.

O que nos chamamos de carga negativa poderia ter sido chamada de

positiva e vice-versa. A escolha foi um acidente historico.

A segunda propriedade e um dos princıpios fundamentais da Fısica: O

Princıpio da conservacao da carga eletrica. Esse princıpio e equivalente ao

14 CAPITULO 1. INTRODUCAO

POSTULADO DA TEORIA.

A carga total, num sistema isolado, nunca varia. (sistema isolado =

nenhuma materia atravessa os limites do sistema).

Observacao 1.1. Podemos ter a criacao de pares de cargas positivas e negati-

vas, mas uma carga positiva e negativa, mas uma carga positiva ou negativa

nao pode simplesmente desaparecer ou aparecer por si so.

A terceira propriedade esta relacionada com a quantidade da carga.

A experiencia da gota de oleo de Millikan, e diversas outras, demonstram

que a carga eletrica aparece a natureza em multiplos de um unico valor

unitario. Essa intensidade e representada por e 1 , a carga eletronica.

Experiencias mostram que a carga do proton e do eletron sao iguais com

uma precisao de 1 para 10−20. De acordo com as odeias atuais, o eletron e

o proton e o proton sao tao diferentes entre si como o podem ser quaisquer

outras partıculas elementares. Ninguem entende ainda porque suas cargas

devam ser iguais ate um grau tao fantastico de precisao.

Evidentemente a quantizacao da carga e uma lei profunda e universal da

natureza. Todas as partıculas elementares eletrizadas, ate o ponto em que

podemos determinar, tem cargas de magnitudes rigorosamente iguais.

Observacao 1.2. Nada na eletrodinamica requer que as cargas sejam quanti-

zadas este e um fato.

Observacao 1.3. Protons e neutrons sao compostos de tres quarks, cada qual

com cargas fracionadas ±23

e e ±13

e . No entanto, quarks livres parecem

nao existir na natureza, de qualquer forma isto nao alteraria o fato da carga

ser quantizada, so reduziria o modulo da unidade basica.

Observacao 1.4. Por outro lado, a nao-conservacao da carga (Propriedade

2) seria totalmente incompatıvel com a estrutura da teoria eletromagnetica

atual.

1e= 1, 6.10−19C

Capıtulo 2

Lei de Coulomb

2.1 A Lei de Coulomb

Voce provavelmente ja sabe que a interacao de cargas eletricas em repouso e

regida pela lei de Coulomb, que nos diz que entre duas cargas em repouso

ha uma forca diretamente proporcional ao produto das cargas e inversamente

proporcional ao quadrado da distancia que as separa. A forca se da na direcao

da reta que une as duas cargas.

→F1=

1

4πεo

q1q2

r21,2

r1,2 = −→F2 (2.1)

→F1 = forca que age sobre a partıcula 1

r1,2= versor na direcao de q1 e q2

r1,2 = distancia entre q1 e q2

No sistema CGS ou MES: k0 vale aproximadamente um (1)[→F]

= dina

1C = 2, 998.109 MES

Quando temos mais de duas cargas devemos complementar a lei de Cou-

lomb com outro jeito da natureza: o princıpio da superposicao.

15

16 CAPITULO 2. LEI DE COULOMB

Figura 2.1: Forca eletrica entre duas cargas

2.2 Princıpio de Superposicao

Considere o sistema constituıdo de n cargas puntiformes q0, q1, q2....qn . Po-

demos calcular a forca eletrica resultante sobre qualquer uma das cargas

aplicando o Princıpio da Superposicao. Suponha que desejamos calcular o

vetor forca eletrica resultante sobre a carga q0 . Para isso, determinaremos a

forca que cada uma das cargas exerce sobre q0 e em seguida somamos todas

as contribuicoes.

A forca resultante sobre q0 sera:

→F0=

→F0,1 +

→F0,2 +....+

→F0,n (2.2)

Sendo→F0,n a forca devido a qn

O Princıpio da Superposicao estabelece que a interacao entre quaisquer

duas cargas nao e afetada pela presenca das outras.

Assim,

→F0= K0q0

n∑i=1

qir2

0,i

r0,i (2.3)

Reescrevendo:

2.2. PRINCIPIO DE SUPERPOSICAO 17

→F0= K0q0

n∑i=1

qi

| →r i −→r 0 |3

(→r i −

→r 0) (2.4)

18 CAPITULO 2. LEI DE COULOMB

Capıtulo 3

Campo Eletrico

3.1 O Campo Eletrico

Suponhamos uma distribuicao de cargas q1, q2,..., qn fixas no espaco, e ve-

jamos nao as forcas que elas exercem ente si, mas apenas os efeitos que

produzem sobre alguma outra carga q0 que seja trazida as suas proximida-

des.

Sabemos que a forca sobre q0 e:

~Fo = Ko

n∑i=1

qoqir2o,i

ro,i

Assim, se dividirmos→F 0 por q0 teremos:

~Foqo

= Ko

n∑i=1

qir2o,i

ro,i (3.1)

uma grandeza vetorial que depende apenas da estrutura do sistema ori-

ginal de cargas q1, q2,..., qn e da posicao do ponto (x,y,z). Chamamos essa

funcao vetorial de x,y e z de campo eletrico criado por q1, q2,..., qn e usa-

mos o sımbolo→E . As cargas sao chamadas fontes do campo. Desta forma

19

20 CAPITULO 3. CAMPO ELETRICO

definimos o campo eletrico de uma distribuicao de cargas no ponto (x,y,z):

~E(x, y, z) = Ko

n∑i=1

qir2o,i

ro,i (3.2)

~Fo = qo ~E (3.3)

Note que utilizamos como condicao que as cargas fontes do campo es-

tavam fixas, ou seja, que colocar a carga q0 no espaco nao perturbara as

posicoes ou movimento de todas as outras cargas responsaveis pelos campos.

Muitas pessoas, as vezes, definem o campo impondo a q0 a condicao de

ser uma carga infinitesimal e tomando→E como: lim

qo→0

~Fqo

Cuidado! Na realidade este rigor matematico e falso. Lembre-se que no

mundo real nao ha carga menor que e!

Se considerarmos a Equacao 3.2 como definicao de→E , sem referencia

a uma carga de prova, nao surge problema algum e as fontes nao precisam

ser fixas. Casa a introducao de uma nova carga cause deslocamento das

cargas fontes, entao ela realmente produzira modificacoes no campo eletrico

e se quisermos prever a forca sobre a nova carga, devemos utilizar o campo

eletrico para calcula-la.

Conceito de campo: um campo e qualquer quantidade fısica que pos-

sue valores diferentes em pontos diferentes no espaco. Temperatura, por

exemplo, e um campo. Nesse caso um campo escalar, o qual nos escrevemos

como T(x,y,z). A temperatura poderia tambem variar com o tempo, e nos

poderıamos dizer que a temperatura e um campo dependente do tempo e

escrever T(x,y,z,t). Outro exemplo e o campo de velocidade de um lıquido

fluindo. Nos escrevemos→v =(x,y,z,t) para a velocidade do lıquido para cada

ponto no espaco no tempo t. esse e um campo vetorial. Existem varias ideias

criadas com a finalidade de ajudar a visualizar o comportamento dos campos.

A mais correta e tambem a mais abstrata: nos simplesmente considerarmos

os campos como funcoes matematicas da posicao e tempo.

3.2. DISTRIBUICOES CONTINUAS DE CARGA 21

O campo e uma grandeza vetorial e na unidade no SI eN

C(Newton/Coulumb).

Se tivermos somente uma carga:

~E =Koq

r2r

Observacao 3.1. Campo eletrico e radial e cai com a distancia ao quadrado

O Princıpio da superposicao tambem e aplicado para os campos eletricos,

ou seja, o campo eletrico resultante em um ponto P qualquer sera a soma

dos campos eletricos que cada uma das cargas do sistema gera nesse ponto.

~E = ~E1 + ~E2 + ...+ ~En

3.2 Distribuicoes Contınuas de Carga

Figura 3.1: Distribuicoes contınuas de carga

Usando o Princıpio da Superposicao: ~E =∫d ~E =Ko

∫dqr2r

3.2.1 Tipos de Distribuicoes:

a) linear: carga distribuıda ao longo de um comprimento (ex: fio, barra,

anel).

Densidade linear de carga = λ =dq

dldq = λdl


~E = Ko

∫λdlr2r

b) superficial: carga distribuıda ao longo de uma superfıcie(ex: disco,placa).

Densidade superficial de carga = σ =dq

dsdq = λds

~E = Ko

∫σdsr2r

c) volumetrica: carga distribuıda no interior de um volume(ex: esfera,

cubo, cilindro).

Densidade volumetrica de carga = ρ =dq

dvdq = ρdv

~E = Ko

∫ρdvr2r

Exercıcio 3.1. Determinar o campo eletrico no ponto P.

Figura 3.2: Determinacao do campo no ponto P

Resolucao. Se tomarmos limite quando b>>L temos:∣∣∣ ~EP ∣∣∣ = KoλL

b2= KoQ

b2NC

= carga pontual


Colocando uma carga q no ponto P, a forca e dada por:

~F = q ~EP = qKoλL

b(b− L)iN

Quando lim b >> L temos:

~F = KoqQ

b2i = forca de Coulomb entre duas cargas pontuais q e Q

Observacao 3.2. So funciona para materias isolantes. Com os metais terıamos

uma redistribuicao de carga no condutor quando a presenca da carga q.

Exercıcio 3.2. Determinar o campo eletrico no ponto P.

Figura 3.3: Determinacao do campo no ponto P


Exercıcio 3.3. Calcular o campo eletrico a uma distancia z de um anel de

raio R

Figura 3.4: Anel de raio R

Resolucao.

‖~r‖ = z2 +R2 dl = Rdθ

dEz = dE cosα =λRdθ

z2 +R2

z√z2 +R2

Por simetria so teremos componente na direcao z.

~E = k0

2π∫0

z√z2 +R2

λRdθ

z2 +R2k ⇒ ~E = k0

zRλ2π

(z2 +R2)32

k

~E =2πk0λRz

(z2 +R2)32

k

(N

C

)=

Qzλ

(z2 +R2)32

k

Analisando os limites R →∞ e z >> R:


z >> R : E =2πλRk0z

z3=k0Q

z2= carga puntual

R→∞:E→ 0, com1

R3se Q for fixa

com1

R3se λ constante

Exercıcio 3.4. Calcular o campo eletrico a uma distancia z de um disco

com densidade de carga σ.

Figura 3.5: Anel de raio R

Resolucao. Pela simetria so temos componente na direcao z.


ds = rdθdr

dEz = dE cosα = dEz√

r2 + z2

Ez = k0

2π∫0

R∫0

zσrdθdr√r2 + z2 (r2 + z2)

= k0zσ2π

R∫0

rdr

(r2 + z2)32

r2 + z2 = u du = 2rdr

Ez = k0zσ2π

R2+z2∫z2

du

(u)32

= k0zσπu−12

−12

∣∣∣∣∣R2+z2

z2

Ez = −k0zσ2π

(1√

R2 + z2− 1

|z|

)= 2πk0σ

(z

|z|− z√

R2 + z2

)

Analisando os limites:

z << R : Ez =σ

2ε0

z

|z|

~E =

σ

2ε0

, z > 0

− σ

2ε0

, z < 0

z >> R :

1− z√z2 +R2

= 1 +

(1 +

R2

z2

)− 12

= 1−(

1− 1

2

R2

z2+ ...

)≈ 1

2

R2

z2

⇒ Ez =σ

2ε0

R2

2z2=

σπR2

4πε0z2=

Q

4πε0z2


Ez =

σ

2ε0

(1− z√

z2 +R2

), z > 0

σ

2ε0

(−1− z√

z2 +R2

), z < 0

Fazendo os graficos:

z << R

Figura 3.6: Grafico para z << R

z >> R

Figura 3.7: Grafico para z >> R


3.3 Linhas de Forcas

Os esquemas mais utilizados para a representacao e visualizacao de um campo

eletrico sao:

a) Uso de vetores associamos um vetor a cada ponto do espaco

Figura 3.8: Linhas de forca-vetores

Quando q > 0 o campo e divergente.

Simples campo radial proporcional ao inverso do quadrado da distancia.

b) Desenhar as linhas de campo:

Linhas de forca de um campo, ou simplesmente linhas de campo sao retas

ou curvas imaginarias desenhadas numa regiao do espaco, de tal modo que, a

tangente em cada ponto fornece a direcao e o sentido do vetor campo eletrico

resultante naquele ponto.

As linhas de campo fornecem a direcao e o sentido, mas nao o modulo. No

entanto, e possıvel ter uma ideia qualitativa do modulo analisando as linhas.

A magnitude do campo e indicada pela densidade de linhas de campo.

Exemplo 3.1. carga puntual +q

Atencao: o desenho esta definido em duas dimensoes, mas na realidade

representa as tres dimensoes.

3.3. LINHAS DE FORCAS 29

Figura 3.9: Linhas de forca de um campo

Figura 3.10: Carga pontual + q

Se considerassemos duas dimensoes, a densidade de linhas que passam

atraves de uma circunferencia seria igual a

n

2πr

, o que faria com que

E ∝ 1

r

Caso 3D a densidade seria igual a

n

4πr2

e

E ∝ 1

r2


, o que e correto.

Existem algumas regras para desenhar as linhas:

1) As linhas de campo nunca se cruzam. Caso contrario, terıamos dois

sentidos diferentes para o campo no mesmo ponto. Isto nao faz sentido pois

o campo que elas significam e sempre o resultante.

2) As linhas de campo comecam na carga positiva e terminam na carga

negativa, ou no infinito.

3) O numero de linhas e proporcional ao modulo das cargas.

Q1

Q2

=n1

n2

Figura 3.11: Linhas de Campo

Exemplo 3.2.

3.4 Fluxo

Consideremos uma regiao no espaco, onde existe um campo eletrico como na

figura abaixo:

Uma superfıcie de area A perpendicular a direcao de E.

O fluxo atraves desta superfıcie e: f = EA

3.4. FLUXO 31

Figura 3.12: Fluxo na area A

Se esta superfıcie estiver na mesma direcao de

~E(~a⊥ ~E

)


Se esta superfıcie estiver inclinada em relacao as linhas de campo em um

angulo θ

Considere agora, uma superfıcie fechada qualquer. Divida a superfıcie em

pedacinhos, de tal forma que cada um possa ser considerado plano e o vetor



campo nao varie apreciavelmente sobre um trecho.

Nao deixe que a superfıcie seja muito rugosa nem que essa passe por uma

singularidade. (ex: carga puntiforme)

Figura 3.15: Superfıcie

A area de cada trecho tem certo valor e cada uma define univocamente

uma direcao e sentido, a normal a superfıcie orientada para fora. Para cada

trecho, temos um vetor→a j que define sua area e orientacao.

3.5. LEI DE GAUSS 33

O fluxo atraves desse pedaco de superfıcie e dado por: Φ =→Ej .

→a j

E o fluxo atraves de toda a superfıcie: Φ =∑j

→Ej .

→a j

Tornando os trechos menores, temos: Φ =∫ →E .d

→a em toda a superfıcie

3.5 Lei de Gauss

Tomemos o caso mais simples possıvel: o campo de uma unica carga punti-

forme. Qual e o fluxo Φ atraves de uma esfera de raio r centrada em q?

Figura 3.16: Fluxo devido a uma carga puntiforme


~E = k0q

r2r

d~a = r2senθdθdϕr

Φ =

∮s

~E · d~a =

∫∫©s

k0q

r2r2senθdθdϕr

= k0q

π∫0

2π∫0

senθdθdϕ =

= 4πk0q =4πq

4πε0

=q

ε0

Ou simplesmente:

E × area total = k0q

r24πr2 =

q

ε0

Portanto o fluxo nao depende do tamanho da superfıcie gaussiana.

Agora imagine uma segunda superfıcie, ou balao, mas nao esferica envol-

vendo a superfıcie anterior. O fluxo atraves desta superfıcie e o mesmo do

que atraves da esfera.

Figura 3.17: Fluxo devido a uma carga puntiforme

3.5. LEI DE GAUSS 35

Para ver isto podemos considerar a definicao de linhas de campo:

O numero de linhas que atravessam as duas superfıcies e o mesmo.

Ou entao podemos considerar um cone com vertice em q.

Figura 3.18: Comparacao de fluxos

O fluxo de um campo eletrico atraves de qualquer superfıcie que envolve

uma carga puntiforme eq

εo

Corolario 3.1. Fluxo atraves de uma superfıcie fechada e nulo quando a carga

e externa a superfıcie.

O fluxo atraves de uma superfıcie fechada deve ser independente do seu

tamanho e forma se a carga interna nao variar.

Superposicao:

Considere um certo numero de fontes q1, q2, ..., qn e os campos de cada

uma~E1, ~E2, ..., ~En

O fluxo Φ , atraves de uma superfıcie fechada S, do campo total pode ser

escrito:


Φ =

∮S

~E · d~s =

∮S

( ~E1 + ~E2 + ...+ ~En)·d~s

∮S

~Ei · d~s =qiε0

⇒ Φ =q1 + q2 + ...+ qn

ε0

=qint

ε0

LEI DE GAUSS:

O fluxo do campo eletrico→E atraves de qualquer superfıcie fechada e igual

a carga interna dividida por ε0 .∮S

~Ei · d~s =qint

ε0

Pergunta: A lei de Gauss seria valida se∣∣∣ ~E∣∣∣ ∝ 1

r3

?

Nao, pois:

Φ = ~E · ~A = EAtotal = k0q

r34πr2 =

q

ε0r

Por meio da lei de Gauss e possıvel calcular a carga existente numa regiao

dado um campo. Esta lei simplifica problemas complicados, porem limitados

a sistemas que possuem alta simetria.

3.5.1 Aplicando A Lei De Gauss:

1) Identifique as regioes para as quais E deve ser calculado.

2) Escolha superfıcies gaussianas observando a simetria do problema,

preferencialmente com E perpendicular e constante ou→E paralelo.

3) Calcule

Φ =

∮S

~Ei · d~s

3.6. APLICACOES DA LEI DE GAUSS 37

4) Calcule qint

5) Aplique a Lei de Gauss para obter→E

Figura 3.19: Simetrias mais comuns

3.6 Aplicacoes da Lei de Gauss

E essencial que a distribuicao tenha elemento de simetria (plana, axial,

esferica) de tal forma que se possa exprimir o fluxo tatalo atraves de uma

superfıcie gaussiana fechada judiciosamente escolhida para aproveitar a sime-

tria, em termos de magnitude do campo, a mesma em qualquer ponto desta

superfıcie.

Plano Uniformemente Carregado

Fio Cilındrico de densidade linear λ

Casca Esferica

O campo eletrico externo a camada e o mesmo que se toda a carga da

esfera estivesse concentrada no seu centro.

CAMPO ELETRICO NA SUPERFICIE DE UM CONDUTOR

A carga pode deslocar-se livremente no interior de um meio condutor.

No equilıbrio nao pode haver cargas no interior do condutor, pois as cargas

se deslocariam sob a acao do campo, rompendo o equilıbrio estatico. So e

possıvel ter componente do campo normal a superfıcie.


Figura 3.20: Plano Uniformemente Carregado

Figura 3.21: Fio Cilındrico de densidade linear λ

3.7 Divergencia de um vetor e Equacao de

Poisson

A lei de Gauss e um indicador global de presenca de cargas:

Φ =

∮S

~E · d~s =qint

ε0

3.7. DIVERGENCIA DE UM VETOR E EQUACAO DE POISSON 39

Figura 3.22: Casca esferica

Queremos agora achar um indicador local que analise a presenca de fontes

num ponto P.

Considere um ponto P:

Vamos colocar uma gaussiana ∆Σ de volume infinitesimal ∆V, a carga

dentro deste volume e ρ∆V, entao:

Φ∆Σ =

∮∆Σ

~E.d~s =qint

ε0

=

∫V

ρ∆V

ε0

⇒ 1

∆V

∮~E.d~s =

1

∆V

∫V

ρ∆V

ε0

lim∆V→0

1

∆V

∮∆Σ

~E.d~s =ρ(P )

ε0

(3.4)

Este limite caracteriza que a densidade de fontes do campo em P inde-

pende de ∆Σ e e uma caracterıstica local do campo.

Para um vetor qualquer, definimos a divergencia como sendo:

div~v(P ) = ~∇.~v = lim∆V→0

1

∆V

∮~v.d~s

onde ∆V e um volume arbitrario que envolve o ponto P e d→s (elemento

orientado de superfıcie).

De acordo com a Equacao 3.4


Figura 3.23: Esquema para aplicacao da Lei de Gauss


Figura 3.24: Continuacao

Figura 3.25: Gaussiana e volume infinitesimal

~∇. ~E =ρ

εo

Equacao de Poisson ou a forma local da Lei de Gauss

O divergente de→E num ponto P e o fluxo para fora de

→E por unidade de

volume nas vizinhancas do ponto P.

Mas sempre que for calcular o divergente nos temos que calcular pela

definicao?


Figura 3.26: Paralelepıpedo infinitesimal

~∇.~v = lim∆V→0

1

∆V

∮~v.d~s

Nao. Vamos ver a forma do~∇.~v

em coordenadas cartesianas:

Segundo a definicao ∆V e qualquer. Vamos considerar um paralelepıpedo

de lados ∆x, ∆y e ∆z centrado no ponto P (x,y,z).

Vamos calcular o fluxo de→v na face 2:

vx(2).∆y.∆z


Fluxo→v na face 1:

−vx(1).∆y.∆z

Observe que vx(2) 6= vx(1)

vx(2) = vx(x+1

2∆x, y, z) = vx(x+ y + z) +

1

2

∂vx∂x

∆x

vx(1) = vx(x−1

2∆x, y, z) = vx(x+ y + z)− 1

2

∂vx∂x

∆x

Fluxo sobre 1 e 2:

∑fluxos =

∂vx∂x

∆x∆y∆z

Da mesma forma se considerarmos as outras faces:

Φtotal =(∂vx∂x

+ ∂vy∂y

+ ∂vz∂z

)∆x∆y∆z

Φtotal =(∂vx∂x

+ ∂vy∂y

+ ∂vz∂z

)∆V

Φtotal = ∂∮~v • d~s =

(∂vx∂x

+ ∂vy∂y

+ ∂vz∂z

)∆V

Superfıcie infinitesimal = ∆Σ

~∇~v =∂vx∂x

+∂vy∂y

+∂vz∂z

Por outro lado se somarmos para todos os elementos:

~∇~v∆V =

∫V

~∇~vdV

Ao somarmos os fluxos sobre todos os elementos notamos que contri-

buicoes as superfıcies internas sao iguais a zero.


∑i

∮∆

Pi

~vd~s =

∮S

~vd~s

∫V

~∇~vdV =

∮S

~vd~s

Vimos que a definicao de divergente e:

div~v(P ) = ~∇.~v = lim∆Vi→0

1

Vi

∮Si

~v.d~si

sendo→v um campo vetorial qualquer, Vi e o volume que inclui o ponto

em questao e Si a superfıcie que envolve este volume Vi.

Significado de→∇ .

→v :

a) Fluxo por unidade de volume que sai de Vi no caso limite de Vi infi-

nitesimo;

b) Densidade de fluxo desse valor atraves da regiao;

c) Grandeza escalar que pode variar de ponto para ponto.

3.8 Teorema de Gauss e forma diferencial da

Lei de Gauss

Φ =

∮S

~Fd~s =n∑i=1

∮Si

~Fd~si =n∑i=1

∆Vi

∮Si

~Fd~si

∆Vi

Fazendo limN→∞

e Vi −→ 0∮S

~Fd~s =

∫V

~∇~FdV

Teorema de Gauss ou Teorema de Divergencia

Ja tınhamos visto a equacao de Poisson:

3.8. TEOREMA DE GAUSS E FORMA DIFERENCIAL DA LEI DE GAUSS45

~∇. ~E =ρ

εo

Vamos usar o teorema da divergencia para chegar neste resultado:

∮s

~Ed~s =

∫V

ρdV

ε0

Pelo teorema da divergencia:∮s

~Ed~s =

∫V

~∇ ~EdV =1

ε0

∫V

ρdV

Como o volume e qualquer, temos:

~∇. ~E =ρ

εo

sendo a relacao local entre densidade de carga e campo eletrico

O DIVERGENTE EM COORDENADAS CARTESIANAS:

Figura 3.27: Divergente


~F = Fxi+ Fy j + Fzk

~∇~F = limVi→0

1

Vi

∮si

~Fd~si

Queremos saber o→∇ .

→F no ponto P

Sabemos que:

∂Fy∂y

=Fy(x, y + ∆y, z)− Fy(x, y, z)

∆y

Fy(x, y + ∆y/2, z) = Fy(x, y, z) +∂Fy∂y

∆y

2

Fluxo por 2:

~F ~A = Fy(x, y + ∆y/2, z)∆x∆z =

(Fy(x, y, z) +

∂Fy∂y

∆y

2

)∆x∆z

Fluxo por 1:

~F ~A = −Fy(x, y −∆y/2, z)∆x∆z = −(Fy(x, y, z)− ∂Fy

∂y

∆y

2

)∆x∆z

Somando fluxo 1 + fluxo 2:

∂Fy∂y

∆x∆y∆


∂Fx∂x

∆x∆y∆z



∂Fz∂z

∆x∆y∆z

Figura 3.28: Superfıcies consideradas

Fluxo total que sai do volume Vi(∂Fx∂x

+∂Fy∂y

+∂Fz∂z

)∆x∆y∆z

~∇~F = lim∆Vi→0

1

∆Vi

(∂Fx∂x

+∂Fy∂y

+∂Fz∂z

)∆Vi =

∂Fx∂x

+∂Fy∂y

+∂Fz∂z

~F = Fxi+ Fy j + Fzk

Operador nabla: ~∇ =∂

∂xi+

∂

∂yj +

∂

∂zk

Em coordenadas esfericas: (r,θ,ϕ):

~∇~F =1

r2

∂

∂r(r2Fr) +

1

rsenθ

∂

∂θ(senθFθ) +

1

rsenθ

∂Fϕ∂ϕ

Em coordenadas cilındricas: (r,ϕ,z):

~∇~F =1

r

∂

∂r(rFr) +

1

ρ

∂Fϕ∂ϕ

+∂Fz∂z


Exemplo 3.3. Seja um cilindro com densidade volumetrica de cargas posi-

tivas uniforme.

Figura 3.29: Cilindro com densidade volumetrica de cargas uniforme

Resolucao.

E2πrL =ρπr2L

ε0

↔ E2πrL =ρπa2L

ε0

−→E =

ρr

2ε0

r (r < a)↔ E2πrL =ρπa2L

ε0

~∇ ~E (r < a) =1

r

∂

∂r(rEr) =

1

r

∂

∂r

(rρr

2ε0

)

~∇ ~E =ρ

ε0

~∇ ~E (r > a) =1

r

∂

∂r(rEr) =

1

r

∂

∂r

(rρa2

2ε0r

)

~∇ ~E = 0


O divergente do campo so e diferente de zero onde ha carga!

CARGA PONTIFORME

~E =1

4πε0

q

r2r

~∇ ~E =q

4πε0

1

r2

∂

∂r(r2Er) = 0 , r 6= 0

Nao faz sentido calcular o campo em cima dela mesma (a carga), ja que

ela gera o campo.

Capıtulo 4

Potencial Eletrostatico

4.1 Introducao

A utilizacao do campo eletrico, como visto no capıtulo anterior, para re-

solucao de problemas pode ser bastante complexa, principalmente devido ao

fato de o campo eletrico ser um campo vetorial. Dessa forma, o potencial

eletrico entra como uma excelente forma de simplificar os calculos a serem

realizados e possibilitar a resolucao de problemas ainda mais omplexos de

eletrostatica.

Inicialmente, porem, relembremos alguns conceitos basicos:

4.1.1 Recordacao da Mecanica

Sendo P1 e P2 pontos e c um caminho que liga P1 a P2. O trabalho realizado

por uma forca ao longo deste caminho de P1 a P2 e:

W(c)P1→P2

=

P2∫P1(c)

~F ·d~l

Dessa forma, pelo teorema do trabalho-energia cinetica temos:

51

52 CAPITULO 4. POTENCIAL ELETROSTATICO

∆T = W(c)P1→P2

T2 − T1 = W(c)P1→P2

Ou seja, o trabalho e igual a variacao da energia cinetica entre os pontos.

Assim temos que, se a forca ~F for conservativa, pela conservacao da energia

mecanica temos:

∆V + ∆T = cte = ∆Emec = 0

WP1→P2= −∆U

∆U = −P2∫P1

~F ·d~l

Que so depende dos pontos inicial e final.

4.2 Definicao do Potencial eletrostatico

Logo, assim como associamos a forca Peso um campo escalar U da energia

potencial gravitacional, podemos associar a forca eletrostatica um campo

escalar V, pois esse se trata tambem de um campo conservativo, da seguinte

forma:

W =

B∫A

~Fele · d~l

∆U = −B∫A

q ~E · d~l (4.1)

4.2. DEFINICAO DO POTENCIAL ELETROSTATICO 53

O que nos leva a

∆V =∆U

q= −−

B∫A

~E · d~l (4.2)

Ou seja

Potencial =EnergiaPotencialEletrostatica

carga

Porem a escolha do nıvel o qual o potencial e nulo e arbitrario, sendo

normalmente escolhido o infinito, assim, e conveniente escolher V (∞) = 0.

Exemplo:

4.2.1 Calculo do pontencial eletrostatico gerado por

uma carga pontual q

Sabe-se que:

~E =1

4πε0

q

r2r

Logo:

V (r2)− V (r1) = −P2∫P1

~E·d~l = −P2∫P1

1

4πε0

q

r2dr =

q

4πε0

(1

r2

− 1

r1

)

Entao, estabelecendo r1 →∞ e V (∞) = 0 temos que:

V (r) =q

4πε0

1

r


4.3 Calculo do Campo a partir do potencial

Como vimos, definimos o potencial eletrostatico atraves do campo eletrico,

mas, dado o potencial e possıvel obter o campo eletrico?

A resposta e sim, da seguinte forma:

Sabe-se pelo teorema do gradiente que:

∆V = −P2∫P1

~∇V ·d~l

Mas:

∆V = −P2∫P1

~E·d~l

Logo, como a igualdade e verdadeira para quaisquer pontos P1 e P2,

temos:

~E = −~∇V (4.3)

que nos da o vetor campo eletrico a partir do campo escalar V. Vale notar

que isso so e possıvel devido ao fato de o campo eletrico ser conservativo.

4.3.1 Equipontenciais

Nesse momento, faz-se necessario introduzir o conceito de equipontenciais.

Basicamente, as equipotenciais sao regioes com o mesmo potencial eletrostatico.

Alem disso, deve-se notar que a equacao dV = ~E · d~l implica que, se ~E⊥d~l:

dV = 0⇒ V = cte

Logo, as equipotenciais sao perpendiculares ao campo.

4.4. POTENCIAL DE UMA DISTRIBUICAO DE CARGAS 55

4.4 Potencial de uma distribuicao de cargas

O calculo do potencial e, muitas vezes, menos trabalhoso que o calculo do

campo eletrico. Dessa forma, veremos a seguir diversas formas de calcular

o potencial eletrostatico e alguns exemplos de aplicacao. Sempre lembrando

que ~E = −~∇VSabe-se, como o princıpio da superposicao e valido para o campo eletrico,

o mesmo acontece para o campo eletrostatico, assim temos que:

Figura 4.1: Esquema

V (P ) =n∑i=1

qi4πε0ri

Logo:

V (P ) =1

4πε0

∫dq

r(4.4)

Que, Para uma distribuicao:

Volumetrica: dq = ρdv

Superficial: dq = σdS

Linear: dq = λdl

Agora, vejamos alguns exemplos de aplicacao:


4.4.1 Anel isolante uniformemente carregado

Figura 4.2: Anel isolante carregado com densidade linear λ

Assim:

V (P ) =1

4πε0

2π∫0

λρdθ

(ρ2 + z2)1/2

V (P ) =Q

4πε0 (ρ2 + z2)1/2

Assim, como ~E = −~∇V , entao:

~E =Qz

4πε0 (ρ2 + z2)3/2z

4.4.2 Disco uniformemente carregado: a uma distancia

z do centro

Como dq = σds = σr′dr′dθ e r = (z2 + r′2)1/2 entao:

V =1

4πε0

2π∫0

R∫0

σr′dr′dθ

(z2 + r′2)1/2=

πσ

4πε0

R∫0

2r′dr′

(z2 + r′2)1/2


Figura 4.3: disco isolante carregado com densidade superficial σ

V =σ

4ε0

[2(z2 + r′2)1/2

]R0

=σ

2ε0

[√z2 +R2 − |z|

]Vale notar que, se lim |z| >> R entao:

√z2 +R2 = |z|

(1 +

(R

z

)2)1/2

= |z|(

1 +1

2

R2

z2+ ...

)Logo:

V ≈ σ

2ε0

R2

z |z|=

1

4πε0

Q

|z|Ou seja, caso observemos o disco de muito longe, ele ira se comportar

cada vez mais com uma carga pontual. Alem disso podemos obter ~E:

~E = − ∂

∂zV =

σ

2ε0

[z

|z|− z√

R2 + z2

]Desse exemplo nos podemos tirar algumas conclusoes:


⇒ Normalmente e mais difıcil achar o potencial em outros pontos fora do

eixo de simetria, pois a integral nao e tao simples apesar de bem conhecida

e tabelada (integrais elıpticas).

⇒ O campo, assim como o potencial, pode ser difıcil de calcular caso nao

haja simetria. Alem disso, ambos o potencial e o campo eletrico se aproxi-

mam daqueles gerados por cargas pontuais com o aumento da distancia.

Calculemos agora o exemplo do potencial no bordo do disco:

4.4.3 Disco uniformemente carregado: Calculo no Bordo


Assim:

dq = σr(2θ)dr

V =1

4πε0

∫dq

r

V =1

4πε0

∫σ(2θ)dr


Porem, pela geometria do triangulo:

r = 2R cos θ

dr = −2Rsenθdθ

Logo:

V =1

4πε0

0∫π/2

σ2θ(−2Rsenθ)dθ =Rσ

πε0

π/2∫0

θsenθdθ =Rσ

πε0

[senθ − θ cos θ]π/20

Vborda =Rσ

πε0

4.4.4 Casca esferica

Temos:

r2 = z2 +R2 − 2zR cos θ

dq = σds = σR2senθdθdφ

Assim:

V (z) =1

4πε0

2π∫0

π∫0

σR2senθdθdφ

(z2 +R2 − 2zR cos θ)1/2

V (z) =2πσR22

4πε02zR

[(z2 +R2 − 2zR cos θ)1/2

]π0

V (z) =σR

ε02z

[√z2 +R2 + 2zR−

√z2 +R2 − 2zR

]=

σR

ε02z

[√(z +R)2 −

√(z −R)2

]sez > R⇒ z −R > 0⇒

√(z −R)2 = z −R⇒ V (z) =

σR2

ε0z

sez < R⇒ z−R < 0⇒√

(z −R)2 = −(z−R)⇒ V (z) =σR

2ε0z[z +R− (R− z)] =

σR

ε0



O potencial dentro da esfera e constante. Assim temos:

V (z) =

{σR2

εoz= Q

4πεoz,r > R

σRεo

= Q4πεoR

,r < Re E(z) =

{Q

4πεoz2,r > R

0,r < R

Podemos entao, construir os graficos de E e V em funcao de r obtendo

assim:

4.5 Dipolo eletrico e expansao multipolar dos

campos eletricos

Por definicao, um dipolo eletrico esta relacionado com o potencial eletrico

gerado por um sistema de duas cargas.

Exemplo: Encontre o potencial eletrico em um ponto arbitrario no eixo

x.

4.5. DIPOLO ELETRICO E EXPANSAO MULTIPOLAR DOS CAMPOS ELETRICOS61

Figura 4.6: grafico de E e V por r

Figura 4.7: Esquema

Assim:

V (x) =1

4πε0

q

|x− a|+

1

4πε0

(−q)|x− a|

=q

4πε0

[1

|x− a|− 1

|x− a|

]Que, sendo V0 = q

4πε0aentao:

V (x)

V0

=1∣∣x

a− 1∣∣ − 1∣∣x

a− 1∣∣

Assim pode-se construir o grafico:


Figura 4.8: Grafico de V/V0 em funcao de x

Que diverge no local onde as cargas se encontram.

Agora, iremos analisar o caso anterior, mas com a posicao de referencia

sendo em qualquer ponto do plano. Assim temos:

Figura 4.9: Esquema

V =q

4πε0

[1

r+

− 1

r−

]Mas r2

± = r2 + a2∓ 2ra cos θ. Considerando uma posicao na qual r >> a


temos:

1

r±=(r2 + a2 ∓ 2ra cos θ

)−1/2 =1

r

1 +(ar

)2

∓ 2a

rcos θ︸︷︷︸

x

−1/2

mas se x << 1 entao (1 + x)−1/2 ' 1− 1

2x, e como a

r<< 1 entao:

1

r±=

1

r

(1− 1

2

(ar

)2

± a

rcos θ

)Logo:

V ≈ q

4πε0r

[1− 1

2

(ar

)2

+a

rcos θ − 1 +

1

2

(ar

)2

+a

rcos θ

]≈ q2a cos θ

4πε0r2=p cos θ

4πε0r2=

⇀p·r

4πε0r2

Na qual⇀p = 2aqk e o momento dipolo eletrico.

Vale notar tambem que V cai com r2 e nao com r, o que e razoavel, que

V decresca mais rapido que o potencial de uma unica carga, pois conforme

estamos mais e mais longe do dipolo, este parece mais e mais com uma

pequena unidade de carga zero.

Calculando o campo, sabendo que o gradiente em coordenadas esfericas

e dado por:

~∇ =∂

∂rr +

1

r

∂

∂θθ +

1

r sin θ

∂

∂ϕϕ

Entao:

Er = −∂V∂r

= +p cos θ

2πε0r3, Eθ = −1

r

∂V

∂θ= +

1

r

p sin θ

4πε0r2= +

p sin θ

4πε0r3


~E =p cos θ

2πε0r3r +

p sin θ

4πε0r3θ

A seguir faremos uma analise mais aprofundada do assunto, aplicando o

mesmo raciocınio anterior, poderemos deduzir que:

Em monopolo V cai com 1/r

Em um dipolo V cai com 1/r2

Em um quadripolo V cai com 1/r3

E assim sucessivamente...

Consideremos agora uma distribuicao de cargas na vizinhanca na ori-

gem do sistema de coordenadas, finita, e pode ser totalmente encenada por

uma esfera de raio a que e pequeno comparado a distancia ate o ponto de

observacao. Assim temos que:

Figura 4.10: Esquema

Na qual ρ = ρ(r′). Logo:

V (r) =1

4πε0

∫V

ρ(r′)

|~r − ~r′|dv′

Mas,se r >> r′


|~r − ~r′|−1= (r2 − 2~r.~r′ + r′2)−

1/2 =1

r

(1− 2

~r.~r′

r2+

(r′

r

)2)−1/2

|~r − ~r′|−1 ≈ 1

r

(1− 1

2

(−2

~r.~r′

r2+r′2

r2

))≈ 1

r︸︷︷︸Potencialdemonopolo

+~r.~r′

r3︸︷︷︸Potencialdedipolo,sendo~p=~r′q→ ~p.r

r2

+...

Logo, O potencial devido a uma distribuicao de carga arbitraria pode

sempre ser expresso em termos de uma expansao de multipolos. Assim, pela

Lei dos Cossenos: |~r′ − ~r|︸︷︷︸r

2

= r2 + r′2 − 2rr′ cos θ′

Note que foram definidos duas distancias, uma r e outra r nao se confunda!

r2 = r2

(1 +

(r′

r

)2

− 2r′

rcos θ′

)

r = r

(1 +

(r′

r

)2

− 2r′

rcos θ′

)1/2

r = r (1+ ∈)1/2 , ∈=

(r′

r

)2

− 2r′

rcos θ′

Logo:

1

r=

1

r(1+ ∈)−

1/2 =1

r

[1− 1

2∈ +

3

8∈2 − 5

16∈3 +...

]


=1

r

[1− 1

2

(r′

r

)2

+r′

rcos θ′ +

3

8

(r′

r

)4

+3

2

(r′

r

)2

cos2 θ′ − 3

2

(r′

r

)3

cos θ′ + ...

]

=1

r

[1 +

r′

rcos θ′ +

(r′

r

)2(3 cos2 θ′ − 1)

2+ ...

]Que, utilizando entao os polinomios de Legendre:

Pl(x) =1

2ll!

(d

dx

)l (x2 − 1

)lPodemos escrever:

1

r=

1

r

∞∑n=0

Pn (cos θ′)

(r′

r

)nLogo:

V (r) =1

4πε0

∫ρ(r′)dv′

r

∞∑n=0

Pn (cos θ′)

(r′

r

)n

V (r) =1

4πε0

∞∑n=0

1

rn+1

∫(r′)

nPn (cos θ′) ρ(r′)dv′

Note que temos agora a expansao multipolar do potencial em termos de

1/r, na qual: n = 0, contribuicao de monopolo

n = 1, dipolo

n = 2, quadrupolo

Com o menor termo nao nulo da expansao nos da aproximadamente o

potencial a grandes distancias, e os termos sucessivos aumentam a precisao

do resultado.

Nota-se tambem que o termo de dipolo e dado por:

Vdip =1

4πεo

1

r2r ·∫~r′ρ (r′) dr′︸︷︷︸

~p=momentodedipolodadistribuicao

4.6. CIRCULACAO DO CAMPO ELETRICO 67

pois r′ cos θ = ~r′ · r

4.6 Circulacao do campo eletrico

Como visto no capıtulo zero sabemos que:∮Γi

~c.d~l =(~∇x~c

).n∆S

Onde ~c e um campo vetorial qualquer.

Dessa forma, como sabemos que∮Γ

~E.d~l = 0,∀Γ

Entao: ∫S

(~∇x ~E

).d~s = 0,∀S

~∇x ~E = 0

Essa equacao resume basicamente toda a eletrostatica, visto que, ela mos-

tra que o campo eletrico e conservativo (na eletrostatica) e permite que o

campo eletrico seja o gradiente de uma funcao potencial, visto que ~∇x~∇V = 0

(o rotacional de um gradiente e sempre nulo).

Capıtulo 5

Equacoes da Eletrostatica e

Energia

5.1 Introducao

Neste momento, ja foram vistas praticamente todas as equacoes e formulas

referentes a eletrostatica. Dessa forma, nesse capıtulo estudaremos algumas

das relacoes entre o potencial eletrostatico, o campo eletrico e as densidades

de carga dos corpos. Alem disso, serao abordadas as equacoes de Laplace

e Poisson, que oferecem mais uma forma de efetuar calculos, as condicoes

de contorno da eletrostatica e as equacoes que fornecem a energia potencial

eletrostatica de um configuracao de cargas

5.2 Equacoes de Laplace e Poisson

Como ja vimos:~∇× ~E = 0 (5.1)

~∇· ~E =ρ

ε0

(5.2)

69

70 CAPITULO 5. EQUACOES DA ELETROSTATICA E ENERGIA

Alem disso, vimos que:

~∇× ~E = 0Permite→ ~E = −~∇V (5.3)

Assim, substituindo 5.3 em 5.2, obtemos:

~∇·~∇V = − ρ

ε0

~∇2V = − ρ

ε0

(5.4)

A equacao acima e chamada equacao de Poisson e relaciona o potencial

eletrostatico com a densidade de carga pontual. Com ela e possıvel calcular,

em cada ponto, o potencial eletrostatico, desde que se conhecam as condicoes

de contorno do problema, de forma a resolver as equacoes diferenciais que

serao obtidas.

A equacao de Laplace vem diretamente da equacao de Poisson, quando

ρ = 0. Assim:

~∇2V = 0 (5.5)

5.3 Resumo das equacoes da eletrostatica

A partir de duas observacoes experimentais, notadamente o princıpio da

superposicao e a Lei de Coulomb, foi possıvel depreender todas as outras

formulas da eletrostatica. Abaixo, segue um resumo de todas as equacoes

vistas ate aqui:

5.4 Condicoes de Contorno

Definidas as equacoes de Laplace e Poisson, devemos agora verificar de que

forma as grandezas involvidas se comportam. Vale ressaltar que algumas

5.4. CONDICOES DE CONTORNO 71

Figura 5.1: Equacoes da eletrostatica

dessas formas ja foram comentadas.

5.4.1 Relacao entre campos logo acima e abaixo de

uma superfıcie carregada

Nos notamos estudando alguns exemplos que o campo eletrico apresenta em

alguns casos uma descontinuidade. Isto ocorre quando temos uma superfıcie

carregada. Imagine uma superfıcie arbitraria

Considere a gaussiana desenhada com area A extremamente pequena e

espessura ε. Assim, pela lei de Gauss temos:∮S

~E·d~S =qint

ε0

=σA

ε0

Os lados nao contribuem para o fluxo, somente o topo e o fundo. De

forma que quando ε→ 0:

Em particular, quando nao ha uma superfıcie carregada E⊥ e contınua,


Figura 5.2: Esquema de uma superfıcie carregada com uma gaussiana

Figura 5.3: A componente normal de ~E e descontınua

exemplo: esfera solida uniformemente carregada.

Consideremos agora a circulacao de E na mesma superfıcie:∮~E·d~l = 0

quando ε→ 0. Assim:

~E‖acima·d~l1 + ~E

‖abaixo·d~l2 = 0


d~l1 = −d~l2 → ~E‖acima = ~E

‖abaixo

Logo a componente paralela do campo e contınua, entao:

~Eacima− ~Eabaixo =σ

ε0

n (5.6)

onde n e o vetor unitario perpendicular a superfıcie de cima para baixo.

5.4.2 Relacao entre os potenciais

Ao contrario do que acontece com o campo, o potencial e contınuo, pois:

∆V = −b∫

a

~E·d~l

Vb − Va = −b∫

a

~E·d~l

E quando ε→ 0 entaob∫a

~E·d~l→ 0, Logo

Vb = Va → Vabaixo = Vacima (5.7)

5.4.3 Alguns outros comentarios

Alem das condicoes ja mencionadas, vale lembrar tambem de alguns pontos:

* Ja vimos que, na maioria dos casos V (∞) = 0 * Quando ha distribuicao

de cargas nao pontual V 6=∞


5.5 Exemplos de aplicacao das Equacoes de

Poisson e Laplace

Com as condicoes de contorno em maos, somos capazes de aplicar as equacoes

de Poisson e Laplace para alguns exemplos.

5.5.1 Exemplo 1

Considere duas placas infinitas paralelas, condutoras, uma colocada em x = 0

e outra em x = L. Seja o potencial em x > 0 igual a V0 e em x = L igual

a zero. Determinar o potencial e o campo entre as placas considerando duas

situacoes: Densidade de carga entre as placas igual a zero; Densidade de

carga entre as placas e contante igual a ρ.

Figura 5.4: Esquema

No primeiro caso temos ρ = 0 assim, pela equacao de Laplace:

∇2V =d2V

dx2= 0

Logo:

V = ax+ b

Assim, pelas condicoes do problema, como para x = 0, V = V0, entao:

5.5. EXEMPLOS DE APLICACAO DAS EQUACOES DE POISSON E LAPLACE75

b = V

Alem disso, como para x = L, V = 0, entao

a = −V0

L

Logo:

V (x) = −V0

L+ V

Podemos calcular tambem o campo, assim:

~E = − d

dx

(−V0

Lx+ V0

)i =

V0

Li

No segundo caso temos ρ = ρ0, assim, pela equacao de Poisson:

∇2V = −ρ0

ε0

→ d2V

dx2= −ρ0

ε0

Logo:

V = −ρ0x2

2ε0

+ ax+ b

Aplicando as condicoes de contorno:

{V (0) = V0 → b = V0

V (L) = 0→ a = −V0

L+ ρ0L

2ε0

Logo:

V (x) = −ρ0x2

2ε0

+

(−V0

L+ρ0L

2ε0

)x+ V0

Tambem podemos calcular o potencial, assim:


~E = − d

dx

(−ρ0x

2

2ε0

+

(−V0

L+ρ0L

2ε0

)x+ V0

)i =

(ρ0

2ε0

x+V0

L− ρ0L

2ε0

)i

5.6 Energia Potencial Eletrostatica

Nos vimos que U = qV para uma carga q num ponto de um campo pre-

estabelecido de potencial V. Mas e para uma distribuicao qualquer de cargas?

5.6.1 Energia Potencial Eletrostatica de uma distri-

buicao de cargas

Vamos imaginar um conjunto de cargas no infinito e vamos trazer as car-

gas uma a uma do infinito (considera-se V (∞) = 0 para as suas posicoes,

formando uma configuracao escolhida, assim:

Para trazer a primeira carga q1, W = 0

Para trazer a segunda carga, como:

V = −r∫∞

~E·d~l =1

4πε0

q

r

temos; W = 14πε0

q1q2r12

Para a terceira temos:W = q34πε0

(q1r13

+ q2r23

)Assim sucessivamente...

Logo, obtemos a energia potencial da configuracao qualquer de cargas

pontuais:

U =1

4πε0

∑i<j

qiqjrij

=1

4πε0

1

2

∑i

∑j 6=i

qiqjrij

(5.8)

Na qual o 1/2 surge para compensar o fato de que, no somatorio duplo,

temos os termos qiqj e qjqi que sao contados duas vezes.

5.6. ENERGIA POTENCIAL ELETROSTATICA 77

Percebe-se pela formula 5.8 porem, que:

∑j 6=i

1

4πε0

qjrij

Representa o potencial de todas as outras cargas na posicao da carga i.

Assim:

U =1

2

∑i

qiVi

representa a energia potencial eletrostatica na posicao i. Logo, caso te-

nhamos uma distribuicao contınua, podemos extender o somatorio para:

U =1

2

∫ρV dv (5.9)

5.6.2 Exemplo

Uma esfera de raio R possui uma densidade de carga ρ(r) = kr (onde k e

uma constante). Ache a energia da configuracao.

Para calcular a energia, devemos inicialmente obter o potencial. Esse

pode ser obtido de duas formas, ou seja, utilizando V (r) = −r∫∞

~E·d~l ou pelas

equacoes de Poisson e Laplace.

Resolvendo por V (r) = −r∫∞

~E·d~l temos:

∫S

~E·d~S =qint

ε0

E4πr2 =1

ε0

R∫0

kr4πr2dr

Efora =k

ε0

R4

4r2r


Alem disso;

E =k

ε0

r4

4r2→ Edentro =

kr2

4ε0

r

Precisamos de V para valores de r < R, assim:

V (r) = −r∫∞

~E·d~l = −R∫∞

~Efora·d~l −r∫

R

~Eentre·d~l

V (r) = −R∫∞

kR4

4ε0r2dr −

r∫R

kr2

4ε0

dr =k

12ε0

(4R3 − r3)

Com o potencial em maos, podemos aplicar a equacao 5.9, assim:

U =1

2

∫ρV dv

U =1

2

R∫0

2π∫0

π∫0

krV (r)r2 sin θdθdϕdr (5.10)

Logo:

U =1

2

R∫0

4πk2r3

12ε0

(4R3 − r3)dr =πk2

7ε0

R7

Caso quisessemos calcular pelas equacoes de Laplace e Poisson, temos:

Para r < R:

∇2V = − ρ

ε0

Para r > R:

∇2V = 0

Para o primeiro caso r < R temos:


V = V (r)→ ∂V

∂θ=∂V

∂ϕ= 0

Mas o termo em r do operador ∇2 em coordenadas esfericas, com a con-

sideracao acima, e dado por:

∇2V =1

r2

∂

∂r

(r2∂V

∂r

)Logo:

∇2V =1

r2

d

dr

(r2dV

dr

)= − ρ

ε0

Assim, temos que:

1

r2

d

dr

(r2dV

dr

)= −kr

ε0

→ d

dr

(r2dV

dr

)= −kr

3

ε0

r2dV

dr= −kr

4

4ε0

+ A→ dV

dr= −kr

2

4ε0

+A

r2

Logo:

Vdentro(r) = − kr3

12ε0

− A

r+B

Para r > R, temos que:

∇2V = 0

1

r2

d

dr

(r2dV

dr

)= 0→ r2dV

dr= C

Vfora(r) = −Cr

+D

Aplicando as condicoes de contorno:{Vfora(∞) = 0

Vfora(R) = Vdentro(R)


Alem disso, como se trata de uma distribuicao volumetica:{Efora(R) = Edentro(R)⇒ V ′fora(R) = V ′dentro(R)

V (0) 6=∞

Assim:

Vfora(∞) = 0→ D = 0

Vdentro(0) 6=∞→ A = 0

Vdentro(R) = Vfora(R)→ − kr2

4ε0

∣∣∣r=R

= Cr2

∣∣r=R→ C = −kr4

4ε0

Logo:

B =kR4

4ε0R+kR3

12ε0

=kR3

3ε0

Dessa forma:

Vdentro(r) = − kr3

12ε0

+kR3

3ε0

=k

12ε0

(4R3 − r3)

Vfora(r) =kR4

4ε0r

Para o calculo de U procede-se da mesma forma que no caso 5.10, encontrando-

se o mesmo resultado

5.6.3 Relacao entre Energia e Campo Eletrico

Uma pergunta interessante de se fazer e onde esta localizada a energia ele-

trostatica?

Tambem poderıamos perguntar: e o que importa? Qual o significado

de uma pergunta como essa? Se temos um par de cargas interagindo, a

combinacao tem certa energia. E necessario dizermos que a energia esta

localizada em uma das cargas ou na outra, ou em ambas, ou no meio? Pode

ser que estas perguntas nao facam sentido, porque realmente so sabemos que a

energia se conserva. A ideia de que a energia esta localizada em alguma parte


nao e necessaria tambem pode aparecer. Mas sera mesmo que a pergunta

nao tem nenhuma utilidade?

Vamos supor que tenha sentido dizer, em geral, que a energia esta locali-

zada em certo lugar, como ocorre com a energia termica. Entao poderıamos

estender o princıpio da conservacao da energia com a ideia de que se a ener-

gia contida dentro de um volume dado varia, poderıamos explicar a variacao

mediante o fluxo de energia que entra ou sai deste volume. Poderıamos cha-

mar de princıpio de conservacao local de energia. Esse princıpio diria que a

energia dentro de qualquer volume varia unicamente da quantidade que flui

para fora ou para dentro deste volume. Terıamos, portanto, uma lei muito

mais detalhada que o simples enunciado da conservacao de energia total.

Tambem ha uma causa fısicapara que possamos decidir onde esta locali-

zada a energia. De acordo com a teoria da gravitacao, toda massa e uma fonte

de atracao gravitacional. Tambem sabemos que se E=mc2, entao massa e

energia sao equivalentes. Toda energia e uma fonte de forca gravitacional. Se

nao pudessemos localizar todas as massas nao poderıamos dizer onde estao

localizadas as fontes de campo gravitacional, a teoria da gravitacao estaria

incompleta. Se nos restringimos a eletrostatica, nao ha maneira de decidir

onde esta a energia se na carga ou no campo.

Porem, com o atual conhecimento, nao somos ainda capazes de responder

a esses questionamentos, as equacoes de Maxwell para a eletrodinamica sao

necessarias para nos dar mais informacoes. Por enquanto ficaremos somente

com esta resposta:

A energia esta localizada no espaco onde esta o campo eletrico. O que

e razoavel, pois quando as cargas aceleram elas irradiam campos eletricos.

Quando a luz ou as ondas de radio viajam de um ponto a outro, transpor-

tam sua energia com elas. Mas nao ha carga nas ondas. Desta forma, e

interessante localizar a energia no campo eletromagnetico e nao nas cargas.

Dessa forma, torna-se conveniente encontrar a energia eletrostatica em

funcao do campo eletrico, assim, como:


∇2V = − ρ

ε0

entao:

U =1

2

∫ρV dv = −ε0

2

∫V∇2V dv

Mas, matematicamente temos:

V∇2V = V(∂2V∂x2 + ∂2V

∂y2+ ∂2V

∂z2

)=

= ∂∂x

(V ∂V

∂x

)−(∂V∂x

)2+ ∂

∂y

(V ∂V

∂y

)−(∂V∂y

)2

+ ∂∂z

(V ∂V

∂z

)−(∂V∂z

)2=

= ~∇·(V ~∇V )− (~∇V )·(~∇V )

Logo;

U =ε0

2

∫(~∇V )·(~∇V )dv − ε0

2

∫~∇·(V ~∇V )dv

Mas, pelo teorema da divergencia, temos:∫v

~∇·(V ~∇V )dv =

∮s

(V ~∇V )·d~s

Agora, devemos fazer uma rapida analise. Para uma distribuicao finita

de cargas, sabemos que: V ∝ 1/r na melhor das hipoteses (Se a carga total

for zero, V ∝ 1/r2 ou mais...). Alem disso, ∇V ∝ 1/r2 e ds ∝ r2 portanto a

integral:

−ε0

2

∫~∇·(V ~∇V )dv

e proporcional a 1/r, assim, caso integremos no espaco, teremos que essa

integral se anula e:

U =ε0

2

∫R3

(~∇V )·(~∇V )dv


Logo, como ∇V = ~E, entao:

U =ε0

2

∫R3

~E· ~Edv (5.11)

Nos da a energia potencial eletrostatica da configuracao em funcao do

Campo eletrico. Vale notar tambem que devemos integrar em todo o espaco,

e nao so na regiao que contem

5.6.4 Princıpio da Superposicao

Vimos que campo e potencial obedecem o chamado princıpio da superposicao,

porem, devido ao fato da energia ser quadratica nos campos, ela nao obe-

dece o princıpio da superposicao, temos, pois, que:

Wtotal =ε0

2

∫E2dv =

ε0

2

∫( ~E1 + ~E2)2dv (5.12)

Vejamos um exemplo:

Considere duas cascas esfericas concentricas de raio a e b. Suponha que a

interna possui uma carga q e a externa -q ambas uniformemente distribuıdas

na superfıcie. Calcule a energia desta configuracao. Assim:

U =ε0

2

∫R3

E2dv

Mas

E =

0, r < a

q4πε0

1r2,a < r < b

0, r > b

Logo:


U =ε0

2

b∫a

q2

16π2ε20

1

r4r24πdr → U =

q2

8πε0

(1

a− 1

b

)Percebe-se contudo que, se calcularmos: U1 = ε0

2

∫R3

E21dv e U2 = ε0

2

∫R3

E22dv

U 6= U1 + U2

Como era de se esperar, o princıpio da superposicao nao foi valido.

Capıtulo 6

Condutores

6.1 Breve Introducao

Em um mau condutor, como vidro ou borracha, cada eletron esta preso a um

particular atomo. Num condutor metalico, de forma diferente, um ou mais

eletrons por atomo nao possuem restricoes quanto a movimentacao atraves

do material. Eles estao livres para estar na parte do condutor que desejarem.

( Em condutores lıquidos, como a agua com cloreto de sodio, agua com sal

de cozinha, sao os ıons que fazem esse movimento.

Um condutor perfeito poderia ser um material que possuısse a proprie-

dade de ser uma fonte ilimitada de cargas livres. Na vida real, nao existem

condutores perfeitos, mas muitas substancias estao muito proximas de ser.

A partir dessa pequena definicao, pode-se descobrir algumas propriedades

eletrostaticas de condutores ideais. Elas serao listadas logo abaixo.

6.2 Propriedades dos Condutores

Essas propriedades estao relacionadas com condutores em equilıbrio ele-

trostatico, ou seja, quando nao ha movimento ordenado de cargas eletricas

no seu interior e na sua superfıcie. Seus eletrons livres encontram-se em

85

86 CAPITULO 6. CONDUTORES

movimento aleatorio.

Propriedade 1 (Propriedade Basica). Um condutor e um solido que possui

muitos eletrons livres. Os eletrons podem se deslocar no interior da materia,

mas nao deixar a superfıcie.

Propriedade 2. O Campo eletrico dentro do condutor em equilıbrio

eletrostatico e nulo. ( E = 0 dentro do condutor )

Se tivesse campo dentro do condutor os eletrons iriam se mover e nao es-

tariam na situacao eletrostatica. Quando colocamos um condutor na presenca

de um campo externo as cargas dentro do condutor tenderao a se distribuir

de forma que o campo no interior do condutor cancele o campo externo.

Figura 6.1

Propriedade 3. A densidade volumetrica de carga dentro do con-

dutor e zero.( ρ = 0 dentro do condutor )~∇ · ~E = ρ

ε0, se ~E = 0→ ρ = 0, no interior do condutor nao ha cargas.

Propriedade 4. As cargas ficam localizadas na superfıcie do con-

dutor.

Propriedade 5. O condutor e uma equipotencial.

Se ~E = 0 dentro do condutor, entao ~E = −~∇V

Propriedade 6. ~E e perpendicular a superfıcie.

Se tivesse uma componente paralela a carga se moveria. Como, E = 0,∮~E · d~l = 0→ Va = Vb.

6.3. CARGA INDUZIDA 87

Figura 6.2

Propriedade 7. Vimos que a descontinuidade de E era ?/?0. Como

Edentro = 0, entao o campo imediatamente fora e proporcional

a densidade de carga local.

~E =σ

ε0

n

Em termos de potencial: σ = ε0

(−∂V

∂n

)Observacao 6.1. Esta equacao permite calcular a densidade de carga super-

ficial de um condutor.

6.3 Carga Induzida

Um condutor e um solido que possui muitos eletrons livres. Os eletrons

podem se deslocar livremente. Quando se aproxima uma carga eletrica de

um condutor carregado eletricamente, devido as fenomenos de atracao e re-

pulsao eletrostaticas, observa-se uma nova distribuicao das cargas eletricas

no condutor. A figura abaixo exemplifica o processo:

6.3.1 O campo numa cavidade de um condutor

Consideremos um condutor com uma cavidade vazia de forma arbitraria.

Consideremos uma superfıcie gaussiana S. Em todo ponto de S temos que E

= 0 (campo dentro do condutor = 0). Entao o fluxo atraves de S = 0, logo

a carga total dentro de S e zero.


Figura 6.3

Figura 6.4

Mas se a carga total e igual a zero, poderıamos dizer que ha igual quan-

tidade de cargas positivas e negativas, havendo, assim, a presenca de um

campo eletrico. Se tivessemos esta situacao,∮Γ

~E · d~l 6= 0, o que nao pode

ser. Portanto, nao pode haver campo dentro da cavidade, nem cargas na

superfıcie interna.

Nenhuma distribuicao estatica de cargas externas pode produzir campo

no interior do condutor.

Agora vamos considerar uma cavidade com uma carga q dentro dela.

Teremos cargas induzidas na superfıcie interna, afim de cancelar o campo

dentro do condutor ( Edentro = 0 ), Tracando uma gaussiana S que

contem a cavidade, percebe-se que o fluxo nessa gaussiana e zero, porem,

6.3. CARGA INDUZIDA 89

Figura 6.5

Figura 6.6

tracando-se outra gaussiana, contida na cavidade, percebe-se que o campo

na cavidade nao e zero.

Fato Importante:

Campo dentro do condutor e zero!

A cavidade e seu conteudo estao eletricamente isolados do mundo ex-

terno ao condutor. Nenhum campo externo penetra no condutor. Ele sera

cancelado pela carga induzida na superfıcie externa ( da mesma forma que a

cavidade vazia ). A cavidade esta isolada do mundo externo ao condutor.

Exemplo 6.1. Uma esfera condutora neutra centrada na origem possui uma

cavidade de formato desconhecido. Dentro da cavidade ha uma carga q. Qual

e o campo fora?

Havera dependencia com a forma da cavidade?

Resolucao. A carga +q induzida, por sua vez, na superfıcie externa ira se


Figura 6.7

distribuir uniformemente na superfıcie da esfera. (a influencia assimetrica da

carga +q interna foi cancelada pela carga -q induzida na superfıcie interna).

O campo externo sera igual ao produzido pela superfıcie esferica carregada

com carga +q.

~E =q

4πε0r2r

O condutor, dessa forma, cria uma barreira, nao deixando passar ne-

nhuma informacao sobre como e a cavidade, revelando somente a carga total

que a mesma possui.

6.4 Metodo das Imagens

Suponha uma carga q a uma distancia d de um plano condutor aterrado.

Pergunta: Qual e o potencial na regiao acima do plano?

Nao e so q4πε0r

, pois havera carga induzida no plano condutor e nao

sabemos quanta carga e induzida e como ela esta distribuıda.

Outra situac~ao: : Carga e uma esfera condutora.

6.4. METODO DAS IMAGENS 91

Figura 6.8

Figura 6.9

Antes de atacarmos este problema vamos recordar um problema muito

mais simples que ja estudamos: duas cargas +q e -q ; e A e B superfıcies

equipotenciais.

Figura 6.10

Considere a superfıcie equipotencial A. Suponha que pegamos uma folha

fina de metal da forma desta superfıcie. Se a colocarmos exatamente no

lugar da superfıcie equipotencial e ajustamos o seu potencial a um valor


apropriado de forma que nada mudasse, nos nao darıamos conta de que a

superfıcie metalica estaria ali.

Terıamos a solucao do novo problema:

Figura 6.11

O campo no exterior ao condutor e exatamente o mesmo campo de duas

cargas pontuais!

Dentro ~E = 0 e ~E e perpendicular a superfıcie.

Entao, para calcularmos os campos das situacoes discutidas, basta calcu-

lar o campo devido a uma carga q e uma carga -q imaginaria localizada em

um ponto apropriado.

Caso mais simples:

6.4.1 Carga e o Plano Condutor Aterrado

Figura 6.12

V (x, y, z) =1

4πεo

q(x2 + (y − d)2 + z2

) 12

− q(x2 + (y + d)2 + z2

) 12

6.4. METODO DAS IMAGENS 93

Figura 6.13

, para y ≥ 0.

Condicao de contorno

V (x, 0, z) = 0

V → 0parar→∞

6.4.2 Densidade De Carga Induzida Na Superfıcie Do

Plano

σ = −εo∂V

∂n= −εo

∂V

∂y

∣∣∣∣y=0

σ (x, y, z) = − εoq

4πεo

∂

∂y

1(x2 + (y − d)2 + z2

) 12

− 1(x2 + (y + d)2 + z2

) 12

∣∣∣∣∣∣y=0

σ (x, y, z) = − q

4π

2 (y − d)(−1

2

)(x2 + (y − d)2 + z2

) 32

−2 (y + d)

(−1

2

)(x2 + (y + d)2 + z2

) 32

∣∣∣∣∣∣y=0

σ (x, y, z) = − q

2π

d

(x2 + d2 + z2)32


⇒ σ e negativa como esperado.

A carga total induzida

Qinduzida =

∫σds = −ε0k2qd

∫ds

(x2 + y2 + z2)32

x2 + z2 = d2

ds = rdθdr

Qinduzida = −ε0k2qd

∞∫0

2π∫0

rdθdr

(r2 + d2)32

Qinduzida = −ε0kqd2π

∞∫d2

du

(u)32

=−ε0kqd

4πε0

2π

(2

d

)= −q

r2 + d2 = u

du = 2rdr

A carga q e atraıda pelo plano, pois ha carga negativa induzida.

Forca de atracao ~F = − q2

4πεo(2d)2j

Nos assumimos tudo igual ao sistema de duas cargas, mas cuidado, nem

tudo e igual.

A energia:

U =1

2

∫E2dv

Uduascargas = − 1

4πεo

q2

2d

6.5. PODER DAS PONTAS 95

Ucargaeplanocondutor = − 18πεo

q2

2dque e a metade. Por que?

Somente a regiao de y¿0 possui E 6= 0

A integral U = 12

∞∫0

E2dv = 12

12

∞∫−∞

E2dv

Tudo isso foi possıvel, pois:

Dado uma configuracao de condicoes de contorno, a solucao da equacao de

Laplace e unica, de modo que, se alguem obtiver uma solucao V (x, y, z) por

qualquer meio e se este V satisfizer todas as condicoes de contorno, ter-se-a

encontrado entao uma solucao completa do problema.

6.5 Poder das Pontas

Figura 6.14

Figura 6.15

VAαQ′ARA

VBαQ′BRB


VA = VB ⇒

Q′ARA

=Q′BRB

Q′ARA

=4πR2

Aσ′A

RA

=4πR2

Bσ′B

RB

⇒RAσ

′A = RBσ

′B

⇒σ′Aσ′B

=RB

RA

⇒σ′A =

RB

RA

σ′B

6.6 Carga Na Superfıcie e Forca Em Um Con-

dutor

Ja vimos que ~E = σεon (Campo externo ) e vimos que σ = −εo ∂V∂n .

Na presenca de um campo eletrico, uma superfıcie carregada ira sentir

uma forca.

⇒ Forca por unidade de area ~f = σ ~E.

Mas temos um problema: o campo e descontınuo na superfıcie. Qual devo

usar: ~Eacima, ~Eabaixo

Resposta: Voce deve usar a media dos dois:

~f = σ ~Emedia =1

2σ(~Eacima + ~Eabaixo

)

Capıtulo 7

Capacitores

7.1 Introducao

Capacitor e um dispositivo que armazena energia potencial.

Capacitores variam em forma e tamanho, mas a configuracao basica con-

siste de dois condutores de cargas opostas.

O exemplo mais simples de um capacitor consiste de dois condutores

planos de area A paralelos entre si e separados por uma distancia d.

Figura 7.1

A experiencia mostra que a quantidade de carga Q num capacitor e line-

armente proporcional a diferenca de potencial entre as placas.

Q ∝ |∆V |

Q = C |∆V |

97

98 CAPITULO 7. CAPACITORES

em que

C - constante de proporcionalidade chamada capacitancia

[C] = F (Farad)

Fisicamente, capacitancia e a medida da capacidade de armazenar carga

eletrica para uma diferenca de potencial ∆V .

Observacao 7.1. Lembremos que se chama de carga de um capacitor a carga

de uma de suas placas em valor absoluto, pois a carga total e zero.

Observacao 7.2. 1F e uma unidade muito grande como veremos adiante nos

exemplos.

Figura 7.2

Observacao 7.3. Se considerarmos o encerramento completo de um condutor

pelo outro, teremos a capacitancia independente de qualquer fator externo.

Se tivessemos, ao inves disso, diante de duas placas assimetricas nao encerra-

das uma na outra, como mostra a figura acima, poderıamos estar intrigados

com a seguinte questao;

qual e a carga que faz o papel de Q, em funcao da qual se deve

definir a capacitancia?

A resposta e: a carga que deveria ser transferida do condutor 1 ao

condutor 2 para igualar seus potenciais.

7.2. ENERGIA DE UM CAPACITOR CARREGADO 99

7.2 Energia de um capacitor carregado

Considere um capacitor de placas paralelas, inicialmente descarregado. Pau-

latinamente, este capacitor esta sendo carregado, por meio da transferencia

de cargas de uma placa para a outra.

Seja, q a quantidade de carga transferida ate um instante qualquer t.

Neste instante a capacitancia e dada por: C = q∆V

, sendo ∆V a diferenca

de potencial entre as placas.

Num instante posterior o trabalho necessario para a transferencia de uma

carga dq e:

dW = ∆V dq =q

Cdq

O trabalho total realizado na transferencia de uma carga Q sera:

W =

Q∫0

q

Cdq =

1

2

Q2

C

W =1

2CV 2

em que

W - trabalho realizado para carregar o capacitor de uma carga Q.

E igual a energia que o capacitor possui quando tem uma carga Q.

V - Diferenca de potencial final entra as placas.

7.3 Calculos de Capacitancias

7.3.1 Capacitor de placas paralelas

C =Q

|∆V |


Figura 7.3

Q = σA

∆V = Ed =σd

εo

C =Q

|∆V |=σAεoσd

C =Aεod

So depende de fatores geometricos!!

⇒ Capacitancia aumenta com a area A⇒ quanto maior for a area, maior

armazenamento de carga

⇒ Capacitancia inversamente proporcional a distancia d.

C = 1F, d = 1mm,A =?

A ≈ 100Km2

Energia:

U =ε0

2

∫E2dv =

ε0E2

2V =

ε0

2

σ2

ε20

Ad

Como : C =ε0A

de V 2 =

σ2d2

ε20

U =1

2CV 2

7.3. CALCULOS DE CAPACITANCIAS 101

7.3.2 Capacitor Cilındrico

Figura 7.4

L >> b− a

C =?

∆V = −b∫

a

~E · d~l

~E =?

Figura 7.5

∮~E.d~s =

Qint

ε0

E2πrL =Q

εo⇒ ~E =

Q

2πεoL

1

rr

∆V = − Q

2πεoLln (r)|ba = − Q

2πεoLln

(b

a

)


|∆V | = Q

2πεoLln

(b

a

)

C =Q

|∆V |=

2πεoL

ln(ba

)Sendo b = d+ a⇒ ln

(ba

)= ln

(da

+ 1)≈ d

a

C =2πεoLa

d=εoA

d

7.3.3 Capacitor Esferico

Figura 7.6

∆V = −b∫

a

~E · d~l

∮~E.d~s =

Qint

ε0

E4πr2 =Q

εo⇒ ~E =

1

4πεo

Q

r2r

∆V = − Q

4πεo

1

r

∣∣∣∣ba

=Q

4πεo

(a− b)ab

⇒ |∆V | = Q

4πεo

(b− a)

ab

7.4. ASSOCIACAO DE CAPACITORES 103

C =4πεoab

(b− a)

limites

b− a = d << a

7.4 Associacao de Capacitores

7.4.1 Capacitores em Paralelo

Figura 7.7

Mesmo potencial:

Q1 = C1V

Q2 = C2V

Q3 = C3V

Q1 +Q2 +Q3 = (C1 + C2 + C3)V

Q = CeqV


Ceq = C1 + C2 + C3

Para n capacitores em paralelo:

Ceq =n∑i=1

Ci

7.4.2 Capacitores em Serie

Figura 7.8

V = V1 + V2

Q = CeqV = Ceq (V1 + V2) = Ceq

(Q1

C1

+Q2

C2

)Mas:

Q1 +Q2 = Q⇒ Q

Ceq=

Q

C1

+Q

C2

1

Ceq=

1

C1

+1

C2

Para n capacitores em serie :


1

Ceq=

n∑i=1

1

Ci

Exercıcio 7.1. Um capacitor tem placas quadradas de lado a, que formam

um angulo θ entre si. Mostrar que para θ pequeno, a capacitancia e dada

por

εoa2

d

(1− aθ

2d

)

Figura 7.9

Suponha que o capacitor em questao e o capacitor equivalente de uma

associacao de capacitores em paralelo.

Figura 7.10

≡


Figura 7.11

Figura 7.12

Ci =εoA

di=εoadx

di

sendo

di = d+ xtgθ

Ceq =∑i

Ci = εoa

a∫0

dx

d+ xtgθ=εoa

tgθln (d+ xtgθ)|a0

Ceq =εoa

tgθln

(d+ atgθ

d

)


θpequeno⇒ tgθ ≈ θ

C =εoa

θln

(1 +

aθ

d

)Mas aθ

de pequeno e ln (1 + x) = x− x2

2+ x3

3+ ...−1 ≤ x ≤ 1

C =εoa

θ

(aθ

d− a2θ2

2d2

)=εoa

2

d

(1− aθ

2d

)Se θ = 0 voltamos ao resultado inicial para capacitores de placas paralelas:

C =εoa

2

d

Capıtulo 8

Dieletricos

8.1 Introducao

Ate agora, so discutimos campos eletricos no vacuo ou na presenca de con-

dutores, dentro dos quais ~E = 0. Porem, o que acontece se trabalharmos

com isolantes?

Cavendish, em 1773, e Faraday, independentemente, em 1837 1 desco-

briram que a capacitancia de um capacitor aumenta caso seja colocado um

isolante entre as placas, a capacitancia aumenta por um fator que depende

tao somente do tipo de material colocado. Mas por qual motivo isso ocorre?

Nesse capıtulo estudaremos mais profundamente as propriedades desses

materiais dieletricos, e a sua aplicacao na construcao de capacitores, alem de

estudar alguns dos fenomenos relacionados, como a polarizacao.

8.2 Campo no interior de um dieletrico

Nessa secao veremos mais a fundo o motivo que leva a esse aumento da

capacitancia, dessa forma, devemos considerar dois tipos de materiais, os

compostos por moleculas polares e os apolares:

1Nussenzveig, Herch Moyses, Curso de Fısica basica - Volume 3, 1a Edicao, pag 86

109

110 CAPITULO 8. DIELETRICOS

8.2.1 moleculas polares

As moleculas polares sao aquelas que apresentam um momento de dipolo

permanente ~p. Esse dipolo, quando colocado na presenca de um campo

eletrico tende a se alinhar com este devido a um torque resultante, que pode

ser observado na figura abaixo:

Figura 8.1: Dipolo molecular imerso em um campo

O alinhamento das moleculas do material na direcao do campo eletrico

externo e chamado de polarizacao eletrica.

8.2.2 moleculas apolares

Essas moleculas nao apresentam momento dipolo permanente, porem, tambem

estao sujeitas a uma polarizacao, devido ao surgimento de um dipolo indu-

zido:

8.3. POLARIZACAO 111

Figura 8.2: Ao ser imersa em um campo, surge um dipolo induzido namolecula

8.3 Polarizacao

Com o que vimos na Secao 8.2 existem dois tipos de dipolo, um induzido (no

caso das moleculas apolares), ou um permanente (caso das moleculas polares,

como a agua). Esses dipolos podem ser entao polarizados pela presenca de

um campo eletrico, como percebe-se na figura abaixo:

Figura 8.3: Material polarizado

Assumimos aqui que todos os dipolos estao alinhados com o eixo do ci-

lindro, o que nem sempre e verdade. Dessa forma, precisamos descobrir a

influencia desses dipolos no campo eletrico resultante.

8.3.1 Definicao do vetor Polarizacao

Definimos o vetor polarizacao como sendo:


−→P =

1

V

N∑i=1

~pi (8.1)

Na qual ~pi sao os dipolos, induzidos ou permanentes, presentes nos ma-

teriais. Perceba que ~P possui sentido que aponta das cargas negativas para

as positivas.

No caso do cilindro apresentado, considerando N dipolos orientados ~p

podemos dizer que:

−→P =

1

V

N∑i=1

~pi

Dessa forma, no total, terıamos que as cargas de cada dipolo iriam se anu-

lar dentro do cilindro, restando somente as cargas externas. Assim terıamos:

Figura 8.4: Esquema

Mas como podemos calcular Qp, ou seja, a carga polarizada?

Considerando um grande momento dipolo igual a soma de todos os vetors

dipolo menores Np. Assim, pela definicao de vetor dipolo: Qph = Np. Mas

Qp = σpA. Dessa forma, podemos dizer que, no caso das placas paralelas:

σp = ~P (8.2)

Caso as placas nao sejam paralelas, sendo A′ a nova area e A a area do

8.3. POLARIZACAO 113

caso paralelo, considerando o vetor n perpendicular a superfıcie e o angulo θ

que este faz com o vetor hatk, temos:

A′cosθ = A⇒ σp =Qpcosθ

A= ~Pcosθ = ~P · n (8.3)

Alem disso, pela lei de Gauss, como ~E = −~P/ε0 podemos dizer que:

Qp = −∮

~P · d~s (8.4)

Que, pelo teorema da divergencia:

∇ · ~P = −ρp (8.5)

Dessa forma, precebe-se a importancia do vetor polarizacao, visto que

ele permite o calculo da densidade superficial de carga polarizada, sem a

necessidade do conhecimento dos dipolos moleculares. Alem disso, podemos

dizer que:

~Ep = −~P

εo(8.6)

Dessa forma, o campo total ~E e dado por:

~E = ~Eexterno −~P

εo→ ~E < ~Eexterno (8.7)

O que mostra que a polarizacao diminui o campo eletrico final, causando

assim, o efeito observado por Cavendish (vide Secao 8.1).

8.3.2 Susceptibilidade Eletrica e constante dieletrica

Agora, sabemos que o vetor polarizacao pode nos ajudar a descobrir alguns

dos efeitos macroscopicos causados pelo uso de dieletricos. Como ja dito,

foi observado que a capacitancia variava por um valor que dependia basica-

mente da natureza do material estudado. Assim, pode-se montar a seguinte


equacao:

~P = χ~E (8.8)

Alem disso, foi observado que χ e normalmente linear, sendo denominado

susceptibilidade eletrica. Com isso, pela equacao 8.7, chamando Eexterno de

E0 temos:

~Eo = ~E +~P

εo= ~E

(1 +

χ

εo

)︸︷︷︸

K

(8.9)

Dessa forma, temos a relacao entre a susceptibilidade eletrica e a cons-

tante dieletrica, definida a partir da razao entre as diferentes capacitancias

observadas com e sem dieletricos nos capacitores, ou seja:

k =ε

ε0→ ε = ε0 + χ (8.10)

Onde ε e chamada a permissividade eletrica do meio.

Observacao: Ha varios livros que definem:

~P = εoχe ~E

Logo, temos que: χ = χeεo

e, nesse caso:

ε = εo (1 + χe)︸︷︷︸K

(8.11)

8.4 Lei de Gauss e vetor deslocamento eletrico

Como o campo nao se mantem o mesmo na presenca de um dieletrico, como

e possıvel equaciona-la?

Primeiramente relembremos a lei de Gauss:

8.4. LEI DE GAUSS E VETOR DESLOCAMENTO ELETRICO 115

∮~E·d~s =

Qint

εo(8.12)

Mas a carga eletrica e composta pela carga livre inicial mais a carga

polarizada, assim: ∮~E·d~s =

Q+Qp

εo(8.13)

Aplicando no caso especıfico de um capacitor temos:

EA =

(Q+Qp

εo

)⇒ E =

(σ + σpεo

)Mas, ja vimos que:

E =EoK

=σ

εoK=σ

ε

Logo, como :σ+σpεo

= σε, entao:∮

ε ~E · d~s = Qlivre (8.14)

Difinindo o vetor deslocamento eletrico como sendo ~D = ε ~E obtemos:∮~D · d~s = Qlivre (8.15)

Alem disso, sabemos que:

~D = ε ~E = εoK ~E = εo (1 + χe) ~E = εo ~E + ~P

Logo:~D = εo ~E + ~P (8.16)

Alem disso, pelo teorema da divergencia, podemos obter que:

~∇ · ~D = ρlivre (8.17)


Outra forma de chegarmos a mesma resposta seria, partindo da equacao

8.13, e sabendo da equacao 8.4 obtemos que:∮ (εo ~E + ~P

)· d~s = Qlivre (8.18)

Assim, definindo ~D = ~Eε+ ~P obteremos a equacao 8.15

Vale notar tambem que o vetor deslocamento eletrico e igual ao vetor

ε0~E0, ou seja, o campo externo vezes a permissividade do vacuo. Logo, ~D

depende tao somente das cargas externas e nao da natureza do material, for-

necendo assim, uma excelente ferramenta de calculo para os casos envolvendo

dieletricos. Alem disso, a relacao existente entre ~D e ~E, nos da condicoes,

conhecida a permissividade eletrica do meio ε, de descobrir tanto o proprio

campo ~E quanto o vetor polarizacao, podendo assim, obter as cargas polari-

zadas e as finais. Um outro fator interessante e que as equacoes que utilizam o

vetor deslocamento podem ser utilizadas mesmo que nao haja meio dieletrico,

mas elas cairao nas equacoes ja vistas em capıtulos anteriores.

8.5 Energia eletrostatica em dieletricos

Analisaremos agora qual o comportamento da energia eletrostatica armaze-

nada no campo caso exista um dieletrico no meio. Assim, sabemos que:

U =1

2

∫v

ρeV dv

Mas ρe =−→∇ .−→D

Assim, temos que:

U =1

2

∫(−→∇ .−→D)V dv (8.19)

Mas−→∇ .(−→DV ) = (

−→∇ .−→D)V +

−→D.−→∇V Logo:


U =1

2

∫(−→∇ .−→D)V dv =

1

2

∫ −→∇ .(−→DV )dv − 1

2

∫ −→D.−→∇V dv

Porem−→E = −

−→∇V . Assim, como fizemos no caso da energia eletrostatica

sem dieletricos, podemos fazer v →∞. Assim:

U =1

2

∫R3

−→D.−→Edv (8.20)

8.6 Condicoes de Contorno

Da mesma forma que definimos algumas condicoes de contorno para pro-

blemas de eletrostatica, devemos agora rever essas condicoes para o caso da

presenca de um dieletrico. Assim, recordando:

Figura 8.5: Esquema

Vimos que:

E⊥acima − E⊥abaixo =σ

ε0

Era obtido a partir da Lei de Gauss. Assim, com a Lei reescrita, podemos

obter:


Figura 8.6: Esquema 2

D⊥acimaA−D⊥abaixoA = σlA

Logo:

D⊥acima −D⊥abaixo = σl (8.21)

Porem, pela circulacao, obtemos:

E//acima = E

//abaixo

Mas, como:

−→E =

−→D

ε0

−−→P

ε0

Entao, obtem-se:

D⊥acimaA−D⊥abaixoA = P//acima − P

//abaixo (8.22)

Dessa forma, temos agora todas as ferramentas necessarias para realizar

o estudo de muitos dos problemas de eletrostatica, inclusive os que envol-

vem dieletricos, principalmente, aqueles que envolvem o calculo de capa-


citancias de diversos capacitores, totalmente ou parcialmente preenchidos

com dieletricos.

Capıtulo 9

Corrente eletrica e Resistencia

9.1 Transporte de Carga e Densidade de Cor-

rente

As correntes eletricas sao causadas pelo movimento de portadores de carga.

A corrente eletrica num fio e a medida da quantidade de carga que passa por

um ponto do fio por unidade de tempo.

I =dq

dt

[I] = A (Ampere)

9.1.1 Conceito De Densidade De Corrente

Consideremos uma area a .

Perguntamos: Quantas partıculas carregadas passam por unidade de

tempo?

Consideremos inicialmente que cada partıcula possui carga q e velocidade

~u e temos n partıculas por m3.

121

122 CAPITULO 9. CORRENTE ELETRICA E RESISTENCIA

Figura 9.1

Para o intervalo de tempo ∆t temos que a resposta sera:

todas as partıculas dentro de um volume de prisma.

V olume = base× altura

V olume=~a · ~u∆t = au∆t cos θ

Densidade de partıculas = n, entao o numero de partıculas,∆N , que

passa pela area a no intervalo ∆t e:

∆N = n~a · ~u∆t

Considerando que cada partıcula possui carga q :

∆Q = nq~a · ~u∆t

corrente =∆Q

∆t= nq~a · ~u = I (a)

Caso geral:

9.1. TRANSPORTE DE CARGA E DENSIDADE DE CORRENTE 123

Consideremos que ha partıculas diferentes com cargas diferentes, veloci-

dades diferentes em numero diferente. Entao a corrente sera dada por:

I (a) = n1q1~a · ~u1 + n2q2~a · ~u2 + ...+ nNqN~a · ~uN

I (a) =N∑i=1

niqi~a · ~ui =

I (a) = ~a ·N∑i=1

niqi~ui

ChamamosN∑i=1

niqi~ui de densidade de corrente ~J .

N∑i=1

niqi~ui = Densidade de corrente

~J =N∑i=1

niqi~ui

[~J]

=A

m2

I (a) = ~a · ~J

Examinemos agora a contribuicao da densidade de corrente para o caso

de eletrons que podem ter diferentes velocidades.

qi = −e

~J = −eN∑i=1

ni~ui

A velocidade media dos eletrons e dada por:


〈~ue〉 =1

Ne

∑i

ni~ui

Ne = Numero de eletrons por unidade de volume

~Je = −eNe 〈~ue〉

A corrente de eletrons que passara atraves da area a dependera somente

da velocidade media dos portadores (lembrando que esta de trata de

uma media vetorial).

A corrente I que atravessa qualquer superfıcie S e exatamente igual a

integral de superfıcie:

I =

∫S

~J · d~s

I e o ”fluxo”associado ao vetor ~J

9.2 Equacao da Continuidade da Carga eletrica

Figura 9.2

Consideremos uma superfıcie fechada qualquer S, que delimita um volume

V.

Dentro do volume V temos uma quantidade de carga total igual a:

9.2. EQUACAO DA CONTINUIDADE DA CARGA ELETRICA 125

∫V

ρdv

Como∮S

~J · d~s e igual a vazao instantanea de carga para fora do volume.

∮S

~J · d~s = − d

dt

∫V

ρdv

Usando o Teorema de Gauss temos:

∮V

~∇ · ~Jdv = − d

dt

∫V

ρdv

Mas como ρ = ρ (x, y, z, t) e a superfıcie que limita o volume permanece

no mesmo lugar:

d

dt

∫ρdv =

∫∂ρ

∂tdv

Entao:

∫V

~∇ · ~Jdv =

∫V

(−∂ρ∂t

)dv

Como a equacao e valida para qualquer V :

~∇ · ~J = −∂ρ∂t

Equac~ao da Continuidade da carga

Portanto, O Princıpio da Conservacao da Carga e traduzidos pelas

equacoes:

∮S

~J · d~s = − d

dt

∫V

ρdv (9.1)


e

~∇ · ~J = −∂ρ∂t

(9.2)

9.2.1 Caso De Corrente Estacionaria

Corrente nao varia com o tempo!!!

Figura 9.3

Suponha que temos um fio por onde passa uma corrente estacionaria (nao

varia com o tempo). Se considerarmos o volume V, a quantidade de carga

∆Q que entra num intervalo de tempo ∆t deve ser igual a que sai no mesmo

intervalo.∆Q∆t

dentro do volume = 0 ⇒ ∂ρ∂t

= 0

~∇ · ~J = 0

Esta equacao nada mais e do que a 1a Lei de Kirchoff , tambem co-

nhecida como Lei dos Nos, da teoria de circuitos eletricos.

Figura 9.4

9.3. CONDUTIVIDADE ELETRICA E A LEI DE OHM 127

Figura 9.5

9.3 Condutividade Eletrica e a Lei de Ohm

Consideremos que a corrente eletrica e produzida pela presenca de um campo

eletrico.

~E produz uma forca no portador de carga → se movimenta ⇒ corrente

eletrica

Se ha corrente eletrica ou nao, depende da natureza fısica do sistema em

que o campo atua, ou seja, o meio.

Uma das mais antigas descobertas experimentais sobre a corrente eletrica

na materia foi feita por G. S. Ohm, em um trabalho publicado em 1827

intitulado: ”Die Galvanische Ketle Mattematisch Bearbeitet”, e e expressa

atraves da Lei de Ohm:

V = RI

Observacao 9.1. ( OBSERVACAO IMPORTANTE )

Esta equacao provem da observacao experimental do comportamento de

muitas substancias familiares, nos nao a deduzimos das leis fundamentais do

eletromagnetismo.

9.3.1 Um Modelo Para a Conducao Eletrica

⇒ Modelo De Drude = Modelo Classico

Linha do tempo:


1827 - Ohm 1897 - J.J. Thompson → descoberta do eletron.

Impacto imediato nas teorias da estrutura da materia e sugeriu um me-

canismo para a conducao em metais.

1900 - Drude construiu sua teoria para a condutividade eletrica utilizando

a teoria cinetica dos gases para um metal, considerando um gas de eletrons

livres.

(Annalen der Phynik 1, 566 (1900) e Annalen der Phynik 3, 369 (1900))

Suposicoes:

Figura 9.6

Cada atomo contribui com z eletrons para a conducao → carga = -ez

Na ausencia de campo eletrico os eletrons se movem em todas as direcoes,

ao acaso, com velocidades que sao determinadas pela temperatura.

O eletron devera se mover em linha reta ate que sofra uma colisao.

As colisoes no modelo de Drude, como na teoria cinetica, sao eventos

instantaneos que alteram abruptamente a velocidade do eletron.

Nao ha relacao (tanto em modulo quanto em direcao e sentido) entre a

velocidade ~u do eletron em t = 0 e sua velocidade depois da passagem de um

certo intervalo de tempo.

Isto corresponde a dizer que apos um tempo t o vetor velocidade do


eletron podera ser encontrado apontando em qualquer direcao independente

da direcao que tinha em t = 0.

A probabilidade de um eletron sofrer uma colisao em um intervalo de

tempo dt e dtτ

, onde τ = tempo medio entre as colisoes.

Agora vamos aplicar um campo eletrico uniforme ~E ao sistema.

Com a presenca de um campo eletrico, o eletron ficara sujeito a uma forca

eletrica.

Figura 9.7

Seja:

~u = velocidade imediatamente apos a colisao.

Apos um determinado t, o eletron sofre um incremento de momento igual

a:

~pt = −e ~Et

Momento original logo apos a colisao era:

~po = me~u

me = massa do eletron

Entao, momento total apos um determinado tempo t deve ser:


~p = me~u− e ~Et

Com isso, o momento total do sistema sera:

∑~p =

∑i

me~ui +∑i

(−e ~E

)ti

O momento medio de todos os eletrons:

〈~p〉 =1

Ne

∑~p

〈~p〉 =1

Ne

∑i

(me~ui − e ~Eti

)

〈~p〉 = me

(1

Ne

∑i

~ui

)− e ~E

(1

Ne

∑i

ti

)Mas:1Ne

∑i

~ui = velocidade media dos eletrons imediatamente apos a colisao

→ deve ser igual a zero, pois ~ui tem as direcoes distribuıdas totalmente ao

acaso e, portanto, tem contribuicao nula para a media.1Ne

∑i

ti = tempo medio entre as colisoes = τ

〈~p〉 = −e ~Eτ

〈~u〉 = − eτme~E = velocidade media = velocidade de drift ou de ”arrasto”.

Ja vimos que a densidade de corrente pode ser escrita como:

~J = −Nee 〈~u〉

~J =Nee

2τ

me

~E

Seja:


σ =e2Neτ

me

Entao: Lei de Ohm

~J = σ ~E

onde σ = condutividade eletrica.

Vejamos que escrever ~J = σ ~E e equivalente a escrever V = RI.

Consideremos um fio de seccao transversal A:

Figura 9.8

V = El

e

I = JA

J = σE = σV

l

I

A= σ

V

l⇒ V =

l

σA︸︷︷︸R

I

Entao:


V = Ri

Definimos resistividade como sendo o inverso da condutividade:

ρ =1

σ

Temos:

R =ρl

A

⇒ De fato a resistencia deve ser diretamente proporcional a l e inversa-

mente proporcional a A.

R =comprimento× resistividade

areadasecaotransversal

Na realidade a resistividade de um material varia com a temperatura T.

ρ = ρo [1 + α (T − To)]

α = coeficiente de temperatura da resistividade

α > 0 para metais

α < 0 para semicondutores

Figura 9.9

9.4. ASSOCIACAO DE RESISTORES 133

9.4 Associacao de Resistores

9.4.1 Associacao em Paralelo

Figura 9.10

V = ReqIeq

Req =V

I1 + I2 + I3

1

Req

=I1

V+I2

V+I3

V=

1

R1

+1

R2

+1

R3

1

Req

=N∑i=1

1

Ri

9.4.2 Associacao em Serie

V = V1 + V2 = R1I +R2I

V = (R1 +R2) I

Req = (R1 +R2)


Figura 9.11

Req =N∑i=1

Ri

Exercıcio 9.1. Um material condutor possui condutividade dada por:

σ(x) = σa +(σb − σa)

lx

onde σa e σb sao constantes.

O condutor possui comprimento l e area de seccao transversal constante.

Determine a resistencia entre as faces A e B do condutor.

Figura 9.12

R =ρl

A⇒ R(x) =

l

σ(x)A

9.4. ASSOCIACAO DE RESISTORES 135

Figura 9.13

Req =n

Σi=1

Ri ⇒ R =

l∫0

dx

σ(x)A=

1

A

l∫0

dx

σa +(σb−σal

)x⇒

R =l

A(σb − σa)ln

(σbσa

)Exercıcio 9.2. Um material condutor e moldado na forma de um tronco de

cone. O raio da base menor e a e o raio da base maior e b. O comprimento

e l e a resistividade e uniforme. Determine a resistencia entre as bases.

Figura 9.14

R =∫dR⇒dR = ρdx

πr2(x)⇒ r (x) = a+ b−a

lx

R =ρ

π

l∫0

dx(a+

(b−al

)x)2 ⇒ R =

ρ

π

(l

b− a

)(−1

b+

1

a

)⇒

R =ρl

πabse a = b ⇒ R =

ρl

πa2


Exercıcio 9.3. Um material e moldado na forma de uma cunha, como ilus-

tra a figura abaixo. O material possui uma resistividade ρR. Determine a

resistencia entre as faces A e B

Figura 9.15

R =

∫dR dR =

ρdx(a+ (b−a)

lx)w

R =ρ

w

l∫0

dx

a+(b−al

)x⇒ R =

ρ

w

l

(b− a)ln

(b

a

)

se b→ a, (b− a)→ 0⇒ ln(ba

)= ln

(b−aa

+ 1)≈ b−a

a

⇒ R =ρl

w (b− a)

(b− a)

a=

ρl

aw

9.5 Forca Eletromotriz

E necessario se gastar energia eletrica para manter uma corrente constante

em um circuito fechado. A fonte de energia e chamada de fonte de forca

eletromotriz (fem - sımbolo ε ).

Exemplos: baterias, celulas solares, etc

Matematicamente: ε ≡ dwdq

Ou seja, o trabalho para mover uma unidade de carga na direcao do

potencial mais alto.

9.5. FORCA ELETROMOTRIZ 137

[ε] = V (volt)

Considere o circuito:

Figura 9.16

Assumindo que a bateria nao possui resistencia interna, entao a diferenca

de potencial VA − VB = V = ε

Corrente: I = εR

No entanto, uma bateria real sempre possui um resistencia interna r.

Neste caso, a diferenca de potencial nos terminais da bateria e:

Vc − Va = ∆V = ε− rI

Figura 9.17

No circuito todo:

ε− rI −RI = 0⇒ I =ε

r +R


Figura 9.18

. Voltagem cai ao passar por cada resistor.

. Nos fios e constante.

9.5.1 Potencia

A potencia e dada por:

dW

dt= V

dq

dt

Taxa de Transferencia de Energia

Como P = V I e sempre valido:

Usando a Lei de Ohm:

→ P = I2R

A potencia gasta pela bateria:

P = Iε = I (IR + Ir) = I2R + I2r

Potencia da fonte e igual a Potencia dissipada em R + Potencia

dissipada em r.

9.5.2 Potencia Maxima Transmitida

P = RI2

9.6. LEIS DE KIRCHOFF 139

Figura 9.19

I =ε

R + r

P =Rε2

(R + r)2

dP

dR= 0→ dP

dR=

ε2

(R + r)2 −2Rε2

(R + r)3 = 0

⇒ R + r = 2R

R = r

9.6 Leis de Kirchoff

As leis de Kirchoff:

1- Dos nos: ΣIentram = ΣIsaem

2- Das malhas: Σcircuitofechado

∆V = 0

Nos circuitos temos:

Va > Vb ⇒ ∆V = Vb − Va = −RI


Figura 9.20

Figura 9.21

Va < Vb ⇒ ∆V = Vb − Va = +ε

Exercıcio 9.4. Qual o valor de I1, I2 e I3?

Figura 9.22

Consideremos que o sentido das correntes sao como mostrados na figura.

Pela lei das malhas:

Comecando em A:

V1 −R1I1 −R3I1 +R3I2 = 0

Comecando em B:

−R3I2 +R3I1 −R2I2 + V2 = 0

9.7. CIRCUITO R-C 141

Temos duas equacoes e duas incognitas, I1 e I2

I3 = I1 − I2

Se I1 der negativo, entao o sentido da corrente e oposto ao que supomos

inicialmente, o mesmo para I2.

9.7 Circuito R-C

9.7.1 Carregando um capacitor

Considere o circuito abaixo:

Figura 9.23

Bateria com uma fem ε constante e resistencia interna nula.

Inicialmente o capacitor esta completamente descarregado q( t=0 ) = 0

e a chave passa para a posicao (1).

A corrente comeca a circular: I (0) = εR

A medida que o tempo passa ( t ¿ 0 ), o capacitor vai carregando ate

atingir a carga maxima ( t = tf ) Q = Cε

Analisemos o que ocorre entre os dois instantes ( 0 ¡ t ¡ tf ).

Pela Lei da Malhas: ε− I (t)R− q(t)C

= 0

Podemos resolver a equacao em termos da corrente ou da carga.

Escolhendo a carga:


Figura 9.24

ε−RI (t)− q (t)

C= 0

I (t) =dq (t)

dt⇒ ε−Rdq

dt− q

C= 0

⇒ dq

dt=

1

R

(ε− q

C

)⇒ dq

εC − q=

dt

RC

Integrando ambos os lados, temos:

q∫0

dq

q − εC= − 1

RC

t∫0

dt⇒ ln

(q − εC−εC

)= − t

RC

q − εC = −εC e−( tRC ) ⇒ q (t) = εC

(1− e−( t

RC ))

q (t) = Q(

1− e−tRC

)Onde Q e a carga maxima armazenada no capacitor.

I (t) =dq

dtq (t) = Q

(1− e

−tRC

)

I (t) =Q

RCe−tRC =

εC

RCe−tRC


Figura 9.25

I (t) =ε

Re−tRC

Figura 9.26

τ = RC e uma medida do tempo de decaimento da funcao exponencial.

Depois de t = τ a corrente cai de um fator de 1e

= 0, 368.

Tensao no Capacitor

Vc (t) =q (t)

C=Q

C

(1− e−

tRC

)= ε

(1− e−

tRC

)

t→∞⇒

q (t→∞) = Cε = Q

Vc (t→∞) = ε

I (t→∞) = 0


Figura 9.27

Depois de um tempo t = τ a diferenca de potencial entre os capacitores

aumenta de um valor igual a (1− e−1) = 0, 632 do seu valor final.

Vc (τ) = 0, 632ε

9.7.2 Descarregando um capacitor

Considerando que a chave permaneceu por um longo tempo na posicao (1),

vamos mudar a chave para a posicao (2).

Figura 9.28

Podemos prever que a corrente tera o mesmo comportamento que o pro-

cesso anterior, com a diferenca que mudara de sentido.

Idescarga (t) = −Icarga (t) = − εRe−

tRC

Montando a equacao:


q (t)

C−RI (t) = 0

I (t) = −dqdt

q (t)

C−Rdq (t)

dt= 0

dq (t)

dt= −q (t)

RC⇒ dq

q= − dt

RC⇒

q∫Q

dq

q= −

t∫0

dt

RC

ln

(q

Q

)= − t

RC⇒

q (t) = Qe−tRC

Vc (t) =q (t)

C=Q

Ce−

tRC = εe−

tRC

I (t) = −dqdt

=ε

Re−

tRC

Figura 9.29


Figura 9.30

Figura 9.31

Figura 9.32

t < 0⇒ Req = R1 +R2


τ = ReqC = (R1 +R2)C

q (t) = εC(

1− e−( tτ ))

Figura 9.33

Figura 9.34

τ ′ = R2C

q′ (t) = εCe−tτ ′

Corrente entre A e B como funcao do tempo depois que o circuito e

fechado.


ε = R1I1 ⇒ I1 =ε

R1

q (t)

C−R2I2 (t) = 0

q (t)

C+R2

dq2 (t)

dt= 0

Figura 9.35

dq2(t)

q2

= − dt

R2C⇒ q2 (t) = εCe

− tR2C

I2 (t) = − ε

R2

e− tR2C

I = I1 + I2 =ε

R1

+ε

R2

e− tR2C

Capıtulo 10

Magnetostatica

10.1 Campo Magnetico

Por meio de experimentos, notou-se que os portadores de carga sofriam in-

fluencias de outra forca, fora aquela resultante da acao do campo eletrico.

Tal forca dependia nao so da posicao da partıcula mas tambem da velocidade

de seu movimento, e ela recebeu o nome de forca magnetica.

Portanto, Em todo ponto do espaco temos duas quantidades vetoriais que

determinam a forca resultante que atua sobre uma carga:

• A primeira delas e a forca eletrica, a qual fornece uma componente

da forca independente do movimento da carga. E possıvel descreve-la,

como ja foi visto, em termos do campo eletrico.

• A segunda quantidade e uma componente adicional a forca denominada

forca magnetica, que sera apresentada a seguir.

Foi visto que o campo eletrico pode ser definido como a forca eletrica por

unidade de carga:

~E =~Feq

(10.1)

149

150 CAPITULO 10. MAGNETOSTATICA

Isso pode ser feito devido a existencia de monopolos eletricos. Porem o

ser humano nao observou, ate hoje, monopolos magneticos: Todos os corpos

magnetizados possuem um polo Norte e um polo Sul. Por causa disso, o

campo magnetico deve ser definido de outra maneira.

Observando o movimento de cargas eletricas em campos magneticos,

notou-se que:

• A forca magnetica e proporcional a carga da partıcula:

Fm ∝ q

• A forca magnetica e sempre perpendicular ao sentido de deslocamento

da partıcula:~Fm · ~v = 0

• Se o deslocamento da partıcula e paralelo a uma direcao fixa, a forca

magnetica e nula. Caso contrario, a forca magnetica e proporcional

a componente da velocidade que e perpendicular a essa direcao. Em

sıntese: sendo θ o angulo entre o vetor velocidade (~v) e essa direcao

fixa:

Fm ∝ v sin θ (10.2)

Todo esse comportamento pode ser descrito por meio da definicao do vetor

campo magnetico ~B1, cuja direcao especifica simultaneamente a direcao fixa

mencionada e a constante de proporcionalidade com a velocidade e a carga.

~Fm = q(~v × ~B

)(10.3)

Utilizando as equacoes 10.1 e 10.3, demonstra-se que a forca resultante

1Unidade do campo magnetico:[~B]

= T (tesla). 1T = 104G (gauss)=wb

m2(weber)

10.2. FORCA MAGNETICA EM FIOS 151

aplicada sobre uma carga eletrica e dada por:

~F = ~Fe + ~Fm (10.4)

~F = q(~E + ~v × ~B

)(10.5)

A equacao 10.5 representa a Forca de Lorentz, um dos axiomas da teoria

eletromagnetica. Sua importancia advem do fato dela ser a ponte entre a

dinamica e o eletromagnetismo.

Observacao: A forca magnetica NAO realiza trabalho, pois ela e sempre

perpendicular ao deslocamento da partıcula.

dW = ~Fm · d~l = q(~v × ~B

)· ~v dt = 0

Segue que a forca magnetica nao pode alterar apenas a direcao da veloci-

dade da carga (~v). Fica entao a pergunta: Como um ıma pode mover outro?

Veremos isso mais adiante.

10.2 Forca magnetica em fios

Vamos considerar um condutor pelo qual passa uma corrente eletrica I,

imerso em um campo magnetico ~B. Pode-se dizer que a quantidade de carga

que passa pela seccao transversal do fio em um tempo dt e:

dq = I dt (10.6)

De acordo com a equacao 10.3, a forca magnetica aplicada nesse elemento

de carga e:

d ~Fm = dq(~v × ~B

)(10.7)

Substituındo 10.6 em 10.7, temos:


d ~Fm = I dt(~v × ~B

)d ~Fm = I

(~v dt× ~B

)d ~Fm = I

(d~l × ~B

)(10.8)

Onde ~dl possui a mesma direcao e sentido da corrente. Entao integrando

a equacao 10.8 ao longo do comprimento do fio, encontramos a forca aplicada

nesse corpo:

~Fm =

∫Γ

I(

d~l × ~B)

(10.9)

Figura 10.1: Fio imerso em campo magnetico

Como exemplo, facamos uma analise para o caso no qual a corrente e o

campo sao constantes.

Como I e ~B nao variam, a integral apresentada em 10.9 fica da seguinte

maneira:

~Fm = I

∫Γ

(d~l)× ~B

(10.10)

Se somarmos todos os vetores elementares de comprimento ( d~l) de um

fio, obtemos como resultado o vetor ~l, que liga as duas extremidades desse

10.3. TORQUE EM ESPIRAS 153

objeto. Portanto, a equacao 10.10 torna-se:

~Fm = I(~l × ~B

)(10.11)

Nota-se que, para fios fechados (espiras), o vetor ~l e nulo, portanto a forca

magnetica resultante e zero.

Figura 10.2: Forca resultante na espira fechada e nula

Observacao: A forca magnetica resultante e nula, mas o torque nao o e!

10.3 Torque em espiras

Considere uma espira retangular imersa em um campo magnetico ~B de tal

forma que seus fios estejam paralelos aos vetores do campo, como mostrado

na figura 10.3. Vamos calcular a forca em cada lado da espira:

Figura 10.3: Espira retangular


Lado 1:~F1 = I

(~l1 × ~B

)= 0

Lado 2:~F2 = I

(~l2 × ~B

)= IBa

(−i× j

)~F2 = −IBak

Lado 3:~F3 = I

(~l3 × ~B

)= 0

Lado 4:~F4 = I

(~l4 × ~B

)= IBa

(i× j

)~F4 = IBak

Agora e possıvel calcular o torque das forcas ~F2 e ~F4 em relacao ao eixo que

passa pelo centro da espira e e perpendicular aos fios 1 e 3, como mostrado

na Figura 10.4.

Figura 10.4: Calculo do torque

Lado 2:

~τ2 = ~r2 × ~F2 =

(− b

2j

)×(−IBak

)~τ2 =

IBab

2i

Lado 4:

~τ4 = ~r4 × ~F4 =

(b

2j

)×(IBak

)

10.3. TORQUE EM ESPIRAS 155

~τ4 = −IBab2

i

Entao, o torque total e:

~τ = ~τ2 + ~τ4 = IBabi

Nota-se que o produto ab e a area da propria espira. Pode-se estender

o resultado acima para uma espira qualquer de area A percorrida por uma

corrente I. Sendo ~A um vetor normal a superfıcie da espira com modulo igual

a A, o torque nesse objeto e dado por:

~τ = I ~A× ~B (10.12)

Para uma espira com N voltas, temos:

~τ = NI ~A× ~B (10.13)

Observando-se a importancia do primeiro fator do membro direito da

equacao 10.13 , define-se o momento de dipolo magnetico ~µ como sendo:

~µ = NI ~A (10.14)

Logo a equacao 10.13 pode ser escrita como2:

~τ = ~µ× ~B (10.15)

Exercıcio 10.1. Em um dado instante, percebeu-se que uma bobina de N

voltas imersa em um campo magnetico ~B apresentou uma aceleracao angular

de rotacao igual a α. Sendo I seu momento de inercia, calcule a area da

bobina. Considere θ como sendo o angulo entre o plano da bobina e o vetor~B

Podemos calcular o torque de duas maneiras:

2analogia com a equacao do momento de dipolo para a eletrostatica


Figura 10.5: Espira imersa no campo magnetico

τ = Iα

~τ = ~µ× ~B

Logo:

Iα =∥∥∥~µ× ~B

∥∥∥ (10.16)

Calculando o momento de dipolo magnetico:

µ = i ~A = NiA~n (10.17)

Substituındo 10.17 em 10.16 :

Iα = NiAB∥∥∥~n×~j∥∥∥

Iα = NiAB cos θ

Entao a area e:

A =Iα

NiB cos θ

10.4. O MOVIMENTO CYCLOTRON 157

10.4 O Movimento Cyclotron

Um dos mecanismos utilizados em aceleradores de partıculas emprega campos

magneticos para que elas descrevam movimentos circulares. Tais aceleradores

sao conhecidos como Cyclotrons.

Uma partıcula lancada em um campo magnetico ~B com uma velocidade ~v

perpendicular a ~B, como mostrado na Figura 10.6, realizara esse tipo de mo-

vimento, no qual a forca magnetica desempenha o papel de forca centrıpeta.

Pode-se dizer entao que:

Figura 10.6: Movimento de uma partıcula no Cyclotron

Fm = qvB =mv2

R(10.18)

Os aceleradores de partıculas permitem a obtencao de certas caracterısticas

importantes desses corpos, tais como o momento linear. Sendo p = mv o mo-

mento linear de uma partıcula, pode-se manipular a equacao 10.18 e chegar

ao seguinte resultado:

p = qBR (10.19)

Desse modo, basta lancar a partıcula no campo e medir o raio de seu


movimento para medir o seu momento linear.

Sabe-se que a frequencia angular do movimento circular e ω = v/R.

Manipulando a equacao 10.18, tambem e possıvel determinar a frequencia

cyclotron:

ω =qB

m(10.20)

Outro aspecto interessante relativo a esse movimento e que, caso a partıcula

apresente uma componente da velocidade paralela ao campo magnetico, ela

descrevera uma trajetoria helicoidal.

Figura 10.7: Movimento helicoidal

Exercıcio 10.2. Um feixe de partıculas transitando por uma regiao com

campo magnetico ~B e campo eletrico ~E nao sofre aceleracoes. Depois,

retirou-se o campo magnetico, entao as partıculas passaram a executar um

movimento circular uniforme de raio R. De a relacao carga/massa dessas

partıculas

No primeiro caso, as forcas eletricas e magneticas devem equilibrar-se

para que nao haja aceleracoes. Ou seja, a Forca de Lorentz deve ser nula:

~F = q(~E + ~v × ~B

)= 0

~E + ~v × ~B = 0

E = vB

v =E

B(10.21)

Para o segundo caso, temos um movimento cyclotron. De acordo com

10.5. A AUSENCIA DE MONOPOLOS MAGNETICOS 159

a equacao que fornece o momento linear das partıculas nesse movimento,

temos:

mv = qBR

q

m=

v

BR(10.22)

Encontramos a relacao carga/massa por meio da substituicao de 10.21

em 10.22:

q

m=

E

B2R

Esse foi o processo pelo qual J. J. Thomson descobriu o eletron estudando

o comportamento de raios catodicos, em 1897.

10.5 A Ausencia de monopolos magneticos

Como foi dito anteriormente, nunca observaram-se monopolos magneticos, e

tal fenomeno foi tomado como outro axioma da teoria eletromagnetica. Isso

pode ser descrito matematicamente do seguinte modo, sendo S uma superfıcie

fechada e V o volume delimitado por essa superfıcie:∮S

~B · d~S = 0

Aplicando o Teorema de Gauss, encontramos que:∮S

~B · d~S =

∫V

~∇ · ~B dV = 0

~∇ · ~B = 0 (10.23)

A equacao 10.23 pertence as equacoes de Maxwell. Os principais signifi-

cados contidos nessa equacao sao:


• Ausencia de monopolos magneticos

• As linhas do campo magnetico sempre sao fechadas

Na eletrostatica, vimos que ~∇ · ~E =ρ

ε0. Conclui-se que nao ha analogo

magnetico para a carga eletrica. Nao ha cargas magneticas por onde o campo

magnetico possa emergir (nunca divergem de nenhum ponto!), pois ele so

surge na presenca de correntes eletricas. Observa-se tambem que as linhas

de campo magnetico sao sempre fechadas. Alem disso, pelo fato de o fluxo

atraves de uma superfıcie fechada ser igual a zero, todas as linhas que entram

nessa superfıcie devem sair. As linhas nunca comecam ou terminam em algum

lugar.

10.6 O Efeito Hall

Em 1979, E.H. Hall tentou determinar se a resistencia de um fio aumentava

quando este estava na presenca de um campo magnetico, uma vez que os

portadores de carga deveriam se acumular num lado do fio. Vamos analisar

tal fenomeno por meio da experiencia ilustrada na Figura 10.8.

Figura 10.8: Efeito Hall

Considere um condutor no qual o sentido da corrente e perpendicular ao

campo magnetico. Os portadores de carga negativa acumular-se-ao em uma

das extremidades do condutor, logo a extremidade oposta apresentara uma

carga positiva, o que resultara no surgimento de um campo eletrico ~EH no

interior do condutor. Os eletrons serao deslocados ate que as forcas eletricas

e magneticas entrem em equilıbrio, ou seja:

10.6. O EFEITO HALL 161

~Fe = ~Fm

Aplicando as equacoes 10.1 e 10.3, temos:

−e ~EH = −e(~v × ~B

)~EH = ~v × ~B (10.24)

Considerando o campo constante no interior do condutor, podemos medir

a diferenca de potencial entre as duas extremidades, denominada ddp Hall,

como sendo:

εH = EHd (10.25)

Nota-se que essa voltagem existe no sentido transversal a corrente.

E possıvel utilizar o Efeito Hall para investigar a natureza dos portadores

de carga no condutor, como mostrado nas Figuras 10.9 e 10.10, uma vez que

podemos prever como as cargas devem se comportar sob acao de campos

magneticos.

Figura 10.9: Efeito Hall para portadores de carga negativa


Figura 10.10: Efeito Hall para portadores de carga positiva

10.7 A Lei de Biot Savart

10.7.1 Introducao

Na eletrostatica, a Lei de Coulomb permite analisar como se da a relacao

entre o campo eletrico e as cargas eletricas. Sera que existe uma lei corres-

pondente para a magnetostatica? A resposta e sim, e ela e conhecida como

a Lei de Biot-Savart, que sera discutida a seguir.

Como foi visto anteriormente, definimos o campo magnetico por meio da

forca magnetica. Agora queremos defini-lo por meio de sua fonte, que e a

corrente eletrica.

Figura 10.11: Movimento da carga em relacao a um ponto P

Observe a Figura 10.11. Experimentalmente, pode-se constatar que:

B ∝ qv

r2

~B⊥~v

~B⊥~r

10.7. A LEI DE BIOT SAVART 163

Com base nisso, pode-se dizer que o elemento do campo magnetico produ-

zido por um elemento de de carga em movimento obedece a seguinte relacao:

d ~B ∝ dq~v × rr2

(10.26)

d ~B ∝ dqd~l

dt× r

r2

d ~B ∝ dq

dt

d~l × rr2

d ~B ∝ Id~l × rr2

d ~B =µ0

4πI

d~l × rr2

~B =µ0

4π

∫I

d~l × rr2

(10.27)

A equacao 10.27 e denominada lei de Biot-Savart.

A escolha da constante de proporcionalidade foi feita de modo a facilitar

os calculos subsequentes. No sistema MKS:

µ0

4π= 10−7 N

A2

Onde µ0 e a permeabilidade magnetica do vacuo.

10.7.2 Formas Alternativas

A Lei de Biot-Savart tambem pode ser escrita em termos da distribuicao de

corrente. Sabendo que I = j dS, a equacao 10.27 fica da seguinte maneira:

~B =µ0

4π

∫jdS

d~l × rr2

(10.28)

Vamos aplicar a equacao 10.28 para a situacao ilustrada na Figura ???x.

Neste caso, o sistema Oxyz e um referencial fixo, enquanto o sistema Ox′y′z′


estao situados no elemento de carga em estudo. Observe que ~R = ~r − ~r′.

Como ~j e d~l possuem a mesma direcao, podemos dizer que j d~l = ~j dl. Alem

disso, sabendo que dl dS = dV , pode-se dizer que a Lei de Biot-Savart fica

da seguinte maneira:

~B (~r) =µ0

4π

∫ ~j(~r′)× R

R2dv′

Vamos aplicar o divergente em relacao ao sistema Oxyz:

~∇ · ~B (~r) =µ0

4π

∫~∇ ·

~j(~r′)× R

R2

dv′ (10.29)

Aplicando a regra do divergente do produto vetorial3 ao divergente pre-

sente no membro direito da equacao 10.29 :

~∇ ·

~j(~r′)× R

R2

= −~j(~r′)· ~∇×

(R

R2

)+

R

R2· ~∇×~j

(~r′)

Nota-se queR

R2= ~∇

(− 1

R

). Logo ~∇×

(R

R2

)= 0 pois o rotacional do

gradiente e sempre nulo. Alem disso ~∇ × ~j(~r′)

= 0 pois o rotacional esta

aplicado em Oxyz enquanto ~j refere-se ao sistema Ox′y′z′. Obtemos entao

que:

~∇ · ~B = 0

Isso corrobora a validade da Lei de Biot-Savart.

3~∇ ·(~A× ~B

)= − ~A ·

(~∇× ~B

)+ ~B ·

(~∇× ~A

)


10.7.3 Aspectos Interessantes

Um resultando interessante pode ser obtido ao combinar a Lei de Biot-Savart

com a equacao 10.3 na seguinte situacao: imagine uma carga q1 movendo-se

com velocidade ~v1 tendo ao seu redor uma outra carga q movendo-se com

velocidade ~v. Qual a forca magnetica que q imprimira em q1?

A analise inicia-se por meio da integracao da equacao 10.26, empregando,

antes, a constante de proporcionalidade. Encontramos entao que:

~B =µ0

4πq~v × rr2

(10.30)

Substituındo a equacao 10.30 na equacao 10.3 aplicada para a carga q1:

~Fm = q1~v1 × ~B = q1~v1 ×(µ0

4πq~v × rr2

)Multiplicando e dividindo o membro direito por µ0:

~Fm = µ0ε0~v1 ×(~v × qq1r

4πε0r2

)Mas, pela Lei de Coulomb:

~Fe =qq1r

4πε0r2

Alem disso, sabendo que c2 = µ−10 ε−1

0 , temos:

~Fm =~v1

c×(~v

c× ~Fe

)Se considerarmos v << c, encontramos que:

~Fm ≤vv1

c2~Fe (10.31)

A equacao 10.31 diz que para velocidades pequenas comparadas com a

velocidade da luz, a interacao magnetica sera muito menor que a interacao


eletrica. Como Fm << Fe, pode parecer, a primeira vista, que a forca

magnetica poderia ser desprezada em comparacao com a forca eletrica, porem

existem sistemas de partıculas onde isso nao e assim. De fato, numa corrente

de conducao, onde estao presentes cargas positivas e negativas em iguais den-

sidades, o campo eletrico macroscopico e nulo, porem o campo magnetico das

cargas em movimento nao o e.

Outro aspecto importante que pode ser derivado por meio da Lei de Biot-

Savart e uma relacao entre o campo eletrico e o campo magnetico gerado

por uma mesma partıcula. Multiplicando o numerador e o denominador da

equacao 10.30 por ε0:

~B =µ0ε04πε0

q~v × rr2

~B =~v × ~E

c2

10.7.4 Aplicacoes da Lei de Biot-Savart

Agora vejamos alguns exemplos nos quais se aplica a Lei de Biot-Savart:

Exercıcio 10.3. Calcule, por meio da Lei de Biot Savart, o campo eletrico

nas vizinhancas de um fio reto.

Figura 10.12: Campo gerado por um fio reto


Podemos escrever a Lei de Biot-Savart do seguinte modo:

~B =µ0

4π

∫Id~l × rr2

=µ0

4π

∫Id~l × ~rr3

Para o fio reto, vale:

d~l = dxi

~r = −xi+ dj

Entao, fazendo as devidas substituicoes:

~B =µ0

4π

l/2∫−l/2

Idxi× r

(−xi+ dj

)(x2 + d2)

3/2

~B =µ0

4π

l/2∫−l/2

Iddx

(x2 + d2)3/2k

~B =µ0Id

4π

1

d2

x

(x2 + d2)1/2

∣∣∣∣∣∣l

2

−l2

Logo o campo e:

~B =µ0I

4πd

l(l2

4+ d2

)1/2k

Note que se considerarmos o fio como sendo infinito (l >> d), o campo

sera:


~B =µ0I

2πdk

Exercıcio 10.4. Calcule, por meio da Lei de Biot Savart, o campo eletrico

no eixo de uma espira circular.

Figura 10.13: Campo gerado por uma espira circular

Podemos escrever a Lei de Biot-Savart do seguinte modo:

~B =µ0

4π

∫Id~l × rr2

=µ0

4π

∫Id~l × ~rr3

Para a espira, vale:

d~l = a dθθ

~r = −ai+ zj

Pela simetria do problema, so teremos campo paralelo ao eixo da espira.

Logo precisamos calcular apenas uma componente do campo gerado por cada

elemento de corrente:

d ~B = d ~B1 cosα


Onde:

cosα =a√

a2 + z2

Entao, aplicando a Lei de Biot-Savart (para calcular apenas o elemento

de campo):

d ~B =µ0

4πI

d~l × ~rr3

cosα

Fazendo as devidas substituicoes:

d ~B =µ0

4π

Ia

(z2 + a2)3/2adθk

Integrando de 0 a 2π para cobrir toda a espira, encontramos o campo

desejado:

~B =µ0Ia

2

2 (a2 + z2)3/2k

Exercıcio 10.5. Para criar regioes com campos magneticos constantes em

laboratorio, empregam-se as bobinas de Helmholtz, esquematizadas na Fi-

gura 10.14.Calcule o valor do campo ao longo do eixo das bobinas e o ponto

no qual o campo e magnetico e maximo :

O campo gerado por uma espira circular e:

~B (z) =µ0Ia

2

2 (a2 + z2)3/2k

Entao, usando o princıpio da superposicao para as duas espiras, o campo

ao longo do eixo e:

~B (z) =µ0Ia

2

2

1

(a2 + z2)3/2

+1(

a2 + (2b− z)2)3/2

k


Figura 10.14: Bobinas de Helmholtz

Para calcular o ponto no qual o campo magnetico apresenta valor maximo,

basta encontrarmos o valor de z tal que a derivada da funcao acima se anula:

d ~B (z)

dz=µ0Ia

2

2

−3

2

2z

(a2 + z2)5/2− 3

2

2 (2b− z) (−1)(a2 + (2b− z)2)5/2

kVemos que:

d ~B (z)

dz= 0⇒ z = b

Agora veremos a condicao para que o campo nesse ponto seja aproxima-

damente constante. Derivando mais uma vez a funcao do campo magnetico:

d2 ~B (z)

dz2

∣∣∣∣∣z=b

= 0⇒ a2 − 4b2 = 0⇒ 2b = a

A condicao e que a separacao das bobinas seja igual ao raio.

Fazendo a expansao em series de Taylor, e possıvel calcular o quao proximo

esse campo esta de um campo constante:

10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPERE 171

Sabendo que B′′(a/2) = B′′′(a/2) = 0, a expansao fica:

~B (z) ≈ B(a

2

)+

1

24

(z − a

2

)4 ∂4B

∂z4

∣∣∣∣z=a

2

+ ...

~B (z) = B(a

2

)[1− 144

125

(z − a/2a

)4]

A partir desse resultado, e possıvel inferir que, para |z − a/2| < a/10 ⇒B (z) 6= B (a/2), o campo varia em menos de uma parte e meia em dez mil.

10.8 A Lei Circuital de Ampere

10.8.1 Introducao

As experiencias de Oersted, alem de comprovarem que correntes eletricas

geram campos magneticos ao seu redor, motivou a comunidade cientıfica a

compreeender a relacao entre fenomenos eletricos e magneticos. Apos tais

experimentos, uma semana foi tempo suficiente para que Ampere deduzisse

a apresentasse sua lei. Enquanto que a Lei de Biot-Savart corresponde a Lei

de Coulomb, a Lei de Ampere faz a vez da Lei de Gauss na magnetostatica.

Considere um fio infinito por onde passa uma corrente I, como mostrado

na Figura 10.15. Utilizando a Lei de Biot-Savart, demonstrou-se que o campo

gerado nesse caso e dado por:

Figura 10.15: Fio infinito


~B =µ0I

2πrθ

Calcularemos a circulacao do campo magnetico por meio de varios cami-

nhos ao redor do fio.

Considerando, inicialmente, o caminho como sendo um cırculo:

Figura 10.16: Caminho ao redor do fio para calculo da circulacao

∮Γ

~B · d~l =µ0I

2πr2πr = µ0I

Vamos calcular a circulacao pora outro caminho:


∮Γ

~B · d~l =

∮Γ1

~B · d~l +

∮Γ2

~B · d~l +

∮Γ3

~B · d~l +

∮Γ4

~B · d~l

Como os vetores ~B e d~l sao paralelos para os fios 2 e 4, as integrais para

Γ2 e Γ4 sao nulas. Logo temos o seguinte resultado:


∮Γ

~B · d~l =µ0I

2πr1

πr1 + 0 +µ0I

2πr2

πr2 = µ0I

Mais um caminho para calcular:


∮Γ

~B · d~l =

∮Γ1

~B · d~l +

∮Γ2

~B · d~l +

∮Γ3

~B · d~l +

∮Γ4

~B · d~l

A mesma observacao feita para os fios 2 e 4 anteriormente valem para

esse caso. Entao temos:∮Γ

~B · d~l =µ0I

2πr1

θr1 + 0 +µ0I

2πr2

(2π − θ) r2 = µ0I

Obsevou a semelhanca dos resultados? Entao vamos generaliza-los para

um caminho qualquer.



Em coordenadas cilındricas:

d~l = drr + r dθθ + dzk

Sabendo que ~B = Bθ, encontramos que:

~B · d~l = Br dθ =µ0I

2πrr dθ =

µ0I

2πdθ

Fazendo a integral ao redor do fio:

∮Γ

~B · d~l =

∮Γ

µ0I

2πdθ =

2π∫0

µ0I

2πdθ =

µ0I

2π2π

Disso resulta a Lei de Ampere:∮Γ

~B · d~l = µ0Iint (10.32)

Observacao: Na Lei de Coulomb, utilizavamos SUPERFICIES que en-

volviam as cargas para fazer o calculo do campo eletrico, mas na Lei de

Ampere, precisamos criar CURVAS que envolvam os condutores a fim de

calcular o campo magnetico.

Assim como a Lei de Coulomb, a Lei de Ampere sempre e valida. No

entanto sua maior utilidade se da em casos nos quais e possıvel notar simetria

no campo magnetico, como sera mostrado no exercıcios mais adiante.

10.8.2 A forma diferencial da Lei de Ampere

Aplicando o Teorema de Stokes no membro esquerdo da equacao 10.32:∮Γ

~B · d~l =

∫S

∫ (~∇× ~B

)· d~S (10.33)

Analisando o membro direito da equacao 10.32:


µ0I = µ0

∫S

∫~j · d~S (10.34)

Pela propria Lei de Ampere, podemos igualar 10.33 e 10.34, encontrando

que: ∫S

∫ (~∇× ~B

)· d~S = µ0

∫S

∫~j · d~S

Finalmente, temos a forma diferencial da Lei de Ampere:

~∇× ~B = µ0~j (10.35)

Se aplicarmos o divergente na equacao 10.35

~∇ ·(~∇× ~B

)= µ0

~∇ ·~j

~∇ ·~j = 0

Percebe-se algo importante diante desse resultado: a Lei de Ampere e

valida apenas para correntes estacionarias4

10.8.3 Aplicacoes da Lei de Ampere

Seguem alguns exemplos nos quais e fundamental a aplicacao da Lei de

Ampere para a resolucao dos problemas:

Exercıcio 10.6. Calcule o campo magnetico, em todo o espaco, gerado por

um ciclindro infinito percorrido por uma corrente I.

Devido a simetria cilındrica do problema, podemos escolher amperianas

circulares para calcular o campo no interior e ao redor do fio, pois o campo

magnetico sera constante ao longo de toda a curva, facilitando a integracao.

4corrente estacionaria:dρdt

= 0


Figura 10.20: Cilindro condutor

• Para r > R (Figura 10.21):

Figura 10.21: Amperiana fora do cilindro

∮Γ1

~B · d~l = µ0I → B2πr = µ0I

~B =µ0I

2πrθ

• Para r < R (Figura 10.22):

∮Γ2

~B · d~l = µ0Iint → B2πr = µ0Iπr2

πR2

~B =µ0Ir

2πR2θ


Figura 10.22: Amperiana dentro do cilindro

Sintetizando os resultados na forma de um grafico:

Figura 10.23: Campo magnetico gerado por um cilindro infinito

Exercıcio 10.7. Calcule o campo magnetico, em todo o espaco, gerado por

um cabo coaxial percorrido por correntes de mesma intensidade mas de sen-

tidos opostos em cada face.

Vamos dividir o espaco em 4 regioes e aplicar a Lei de Ampere para cada

uma delas:

• Para r < a:

Para determinar a corrente interna a amperiana, vamos considerar que


Figura 10.24: Cabo coaxial

a densidade de corrente ao longo do cabo e constante e igual a j, logo

sendo πr2 a area delimintada pela amperiana:

j =Iintπr2

=I

πa2

Iint =r2

a2

Aplicando a Lei de Ampere:

B2πr = µ0Ir2

a2→ ~B =

µ0Ir

2πa2θ

• Para a < r < b:

A corrente interna a amperiana sera sempre a corrente total que passa

pelo cabo interno, logo pela Lei de Ampere:

B2πr = µ0I → ~B =µ0I

2πrθ

• Para b < r < c:

A corrente interna a amperiana sera a corrente total que passa pelo

cabo interno menos a corrente que passa pela porcao do cabo externo


delimitada pela curva. Considerando tambem a densidade de corrente

constante no cabo externo:

Iint = I − r2 − b2

c2 − b2

Aplicando a Lei de Ampere:

B2πr = µ0I −µ0Iπ (r2 − b2)

π (c2 − b2)θ → ~B =

µ0I

2πr

(1− r2 − b2

c2 − b2

)θ

~B = µ0I

(c2 − r2

c2 − b2

)θ

• Para r > c:

A corrente interna a amperiana sera a soma das correntes que passam

pelo cabo interno e pelo cabo externo. Como as duas correntes possuem

a mesma intensidade mas possuem sentidos opostos, a soma sempre sera

nula. Entao, pela Lei de Ampere:

~B = 0

Exercıcio 10.8. Considere dois solenoides infinitos concentricos de raios a

e b. Calcule o campo magnetico em todo o espaco. As correntes de cada

solenoide possuem mesma intensidade mas tem sentidos contrarios.

Primeiro vamos analisar o campo gerado por um solenoide para depois

empregar o princıpio da superposicao

Observa-se que a corrente no interior da amperiana (Figura: 10.26) de-

pende do numero de espiras englobadas:

Iint = NI

Aplicando entao a Lei de Ampere:


Figura 10.25: Solenoides

Figura 10.26: Amperiana no interior do solenoide

∫Γ

~B · d~l =

∫Γ1

~B · d~l

︸︷︷︸=0pois ~B=0

+

∫Γ2

~B · d~l

︸︷︷︸=0pois ~B⊥d~l

+

∫Γ3

~B · d~l +

∫Γ4

~B · d~l

︸︷︷︸=0pois ~B⊥ d~l

Logo:

∫Γ

~B · d~l = µ0I → Bdentrol = µ0NI → Bdentro = µ0N

lI = µ0nI

onde n =N

lindica a densidade de espiras do solenoide

Agora, facamos uma amperiana para calcular o campo fora do solenoide


(Figura: 10.27) :

Figura 10.27: Amperiana externa ao solenoide

Note que, neste caso, a corrente interna a curva e zero. Portanto o campo

magnetico fora do solenoide infinite e nulo:

Bfora = 0

Agora, vamos usar o princıpio da superposicao para calcular o campo

para os dois solenoides.

• Para r < a :

Neste caso, temos a influencia dos campos dos dois solenoides. Sendo~B1 o campo gerado pelo solenoide interno e ~B2 o campo gerado pelo

solenoide externo:

~B = ~B1 − ~B2 = µ0In1 − µ0In2

~B = µoI (n1 − n2)

• Para a < r < b :

Aqui, temos influencia apenas do solenoide externo


~B = −µ0In2 (10.36)

• Para r > b :

Como estamos fora de ambos os solenoides, o campo neste caso e nulo

~B = 0

Exercıcio 10.9. Considere um cilindro de raio a com uma cavidade cilındrica

de raio b. A distancia entre os centros dos cilindros e d. Sendo j a densidade

de corrente no condutor, qual e o campo magnetico no interior da cavidade?

Figura 10.28: Condutor com cavidade

Considere como sendo ~x a posicao do ponto em questao em relacao ao

eixo do condutor e ~y como sendo a posicao do ponto em relacao ao eixo da

cavidade:

Para resolver esse exercıcio, sera necessaria a utilizacao do princıpio da

superposicao. Observe que a configuracao final do sistema pode ser obtida se

somarmos dois cilindros com sentidos de correntes opostos, como apresentado

na Figura 10.30 :

Portanto, devemos calcular o campo gerado pelo cilindro maior em um

ponto que dista x do seu eixo e somar com o campo gerado pelo cilindro


Figura 10.29: Posicionamento do ponto

Figura 10.30: Princıpio da superposicao

menor em um ponto que dista y de seu centro.

• Cilindro maior

Figura 10.31: Lei de Ampere para cilindro maior


∮Γ

−→B · d

−→l = µ0Iint

B12πx = µ0jπx2

~B1 =µ0jx

2

−→θ

~Bx =µ0

2

(−→j ×−→x

)• Cilindro menor

Figura 10.32: Lei de Ampere para cilindro menor

∮Γ

−→B · d

−→l = µ0Iint

B22πy = µ0jπy2

~B2 =µ0jy

2−→ϕ

~B2 =µ0

2

(−→j ×−→y

)Como os sentidos das correntes sao opostos, o campo resutante sera:

−→B =

−→B 1 −

−→B 2

−→B =

µ0

2

(−→j ×−→x

)− µ0

2

(−→j ×−→y

)−→B =

µ0

2

(−→j × (−→x −−→y )

)Mas a seguinte relacao sempre e valida: ~x − ~y = ~d . Portanto o campo

no interior da cavidade e constante e igual a:

−→B =

µ0

2

(−→j ×−→d)

10.9. POTENCIAL VETOR 185

Exercıcio 10.10. Calcule o campo no centro da secao circular de um toroide

de N espiras.

Figura 10.33: Toroide

Vamos passar uma amperiana no interior do toroide

Figura 10.34: Amperiana no toroide

Temos que a corrente interna a amperiana sera Iint = NI. Logo∫~B · d~l = µ0Iint → B2πr = µ0NI → ~B =

µ0NI

2πrθ

10.9 Potencial Vetor

As 4 equacoes que sintetizam a teoria eletromagnetica vistas ate agora sao:

ELETROSTATICA

~∇ · ~E =ρ0

ε0(10.37)

~∇× ~E = 0 (10.38)


MAGNETOSTATICA

~∇ · ~B = 0 (10.39)

~∇× ~B = µ0~j (10.40)

Para a eletrostatica, devido a equacao 10.38, percebe-se que o campo

eletrico e um campo conservativo. Logo foi possıvel definir o potencial eletrico

da seguinte forma:

~∇× ~E = 0⇒ ~E =(−~∇V

)Aplicando esse resultado a equacao 10.38:

~∇ · ~E = ~∇ ·(−~∇V

)= −∇2V

Segue que:

∇2V = −ρ0

ε0

Sera que e possıvel definir um potencial analogo para o campo magnetico?

Sabe-se que ~∇ · ~B = 0. A partir disso, pode-se inferir que ~B e um campo

rotacional. Em outras palavras, e possıvel encontrar um campo vetorial tal

que seu rotacional resulta no campo magnetico. Esse campo e denominado

potencial vetorial(~A)

, que e definido do seguinte modo:

~∇ · ~B = 0⇒ ~B =(~∇× ~A

)(10.41)

Aplicando esse resultado a equacao 10.40:

~∇× ~B = ~∇×(~∇× ~A

)= ~∇

(~∇ · ~A

)−∇2 ~A

Como pode-se determinar mais de um campo que satisfaca a equacao

10.41, e permitido escolher adequadamente um campo ~A tal que ~∇ · ~A = 05.

5Denomina-se isso como escolha de calibre, ou escolha de gauge

10.9. POTENCIAL VETOR 187

Segue entao que:

~∇× ~B = −∇2 ~A

∇2 ~A = −µ0~j (10.42)

Observacao: ∇2 ~A nao e o operador Laplaciano, pois esta sendo aplicado

a um campo vetorial. Na verdade, temos que:

∇2 ~A = ~∇(~∇ · ~A

)− ~∇×

(~∇× ~A

)Particularmente, para coordenadas cartesianas:

∇2Ax = −µ0jx

∇2Ay = −µ0jy

∇2Az = −µ0jz

Outras formas de expressar o potencial vetor em funcao das densidades

de corrente6 sao:

• Densidade volumetrica

~A (~r) =µ0

4π

∫ ~j(~r′)

dv′∣∣∣~r − ~r′∣∣∣ (10.43)

• Densidade superficial

~A (~r) =µ0

4π

∫ ~k(~r′)

ds′∣∣∣~r − ~r′∣∣∣ (10.44)

6~r:posicao do ponto em relacao ao referencial fixo. ~r′: posicao do ponto em relacao aum elemento de carga. (ver Figura 10.11)


• Densidade linear

~A (~r) =µ0

4π

∫ ~I(~r′)

dl′∣∣∣~r − ~r′∣∣∣ (10.45)

Facamos alguns exemplos:

Exercıcio 10.11. Calcule o potencial vetor para um fio finito percorrido por

uma corrente I.

Figura 10.35: Fio finito

Vamos aplicar a equacao que fornece o potencial vetor em funcao da

densidade linear de carga (equacao 10.45 ):

~A =µ0

4π

∫ ~Idzkr

, comr =√z2 + s2

~A =µ0I

4π

∫ dz√z2 + s2

k → ~A =µ0I

4πln(z +√z2 + s2

)∣∣z2z1k → ~A =

µ0I

4πln

(z2 +

√z2

2 + s2

z1 +√z2

1 + s2

)k

Observe que se aplicarmos o rotacional ao resultado, obtemos o vetor ~B:

10.10. CONDICOES DE CONTORNO NA MAGNETOSTATICA 189

~∇× ~A =

(∂As∂z− ∂Az

∂s

)θ.Assim,

~B = ~∇× ~A = −∂Az∂s

θ = − ∂

∂s

[µ0I

4πln

(z2 +

√z2

2 + s2

z1 +√z2

1 + s2

)]θ

~B

Exercıcio 10.12. (Griffths, pag , ex: 5.23) Qual densidade de corrente pro-

duziria um vetor potencial ~A = k ˆphi, em coordenadas cilındricas (k e cons-

tante)?

Para resolver esse exercıcio, primeiro aplicaramos o rotacional em ~A para

determinar o campo magnetico. Depois aplicaremos o rotacional em ~B para

determinar a densidade de corrente, de acordo com as equacoes da magne-

tostatica.

Observacao: aplicar o rotacional em coordendadas cilındricas

Aφ = k ⇒ ~B = ~∇× ~A =1

ρ

∂

∂ρ(ρAρ) k =

Aφk

ρ=k

ρk ~B = Bzk

~∇× ~B = µ0~J ⇒ ~j =

1

µ0

(~∇× ~B

)=

1

µ0

(−∂Bz

∂ρ

)φ = +

k

µ0ρ2φ

10.10 Condicoes de Contorno na Magnetostatica

Vimos que existe uma descontinuidade no campo eletrico em de superfıcies

carregadas, no sentido perpendicular a essa superfıcie. Da mesma forma, o

campo magnetico tambem e descontınuo numa superfıcie de corrente. Para

facilitar a analise desse fenomemo, vamos dividı-lo em 3 etapas, uma para

cada componente do campo magnetico7:

7B⊥ = B⊥superficie, B//// = B

//corrente//corrente , B//

⊥ = B//superficie⊥corrente


10.10.1 Componente perpendicular a superfıcie

Considere uma superfıcie percorrida por uma corrente I, cuja densidade su-

perficial e ~k. Vamos envolver uma porcao dessa superfıcie por um retangulo

cujas faces possuem area A, como mostrado na Figura 10.36.

Figura 10.36: Superfıcie fechada para calculo do fluxo de B⊥

Como nao ha monopolos magneticos:∮S

~B · d~S = 0

Considerando apenas a componente do campo perpendicular a superfıcie,

teremos fluxo apenas na face superior e inferior do retangulo, portanto:∮S

~B · d~S = B⊥acimaA−B⊥abaixoA = 0

B⊥acima = B⊥abaixo

Logo essa componente e contınua.

10.10.2 Componente paralela a superfıcie e paralela a

direcao da corrente

Para a mesma superfıcie descrita anteriormente, vamos tracar uma amperi-

ana da forma como esta apresentada na Figura 10.37 .

10.10. CONDICOES DE CONTORNO NA MAGNETOSTATICA 191

Figura 10.37: Amperiana para calculo de B////

Nota-se que a corrente que passa pelo interior da amperiana e nula. Entao,

aplicando a Lei de Ampere (10.32):∮Γ

~B · d~l = B////acimal −B

////abaixol = 0

B////acima = B

////abaixo

Logo essa componente tambem e contınua.

10.10.3 Componente paralela a superfıcie e perpendi-

cular a direcao da corrente

Agora, ainda na mesma superfıcie, tracaremos uma outra amperiana, desta

vez em outra direcao, como mostrado na Figura 10.38 .

Figura 10.38: Amperiana para calculo de B⊥//

A corrente que passa pelo interor da amperiana e Iint = kl. Aplicando a


Lei de Ampere (10.32) encontramos que:∮Γ

~B · d~l = B//⊥acimal −B

//⊥abaixol = µ0Iint

B//⊥acimal −B

//⊥abaixol = µ0kl

B//⊥acima −B

//⊥abaixo = µ0k

~B//⊥acima − ~B

//⊥abaixo = µ0

(~k × ~n

)Conclui-se que o campo magnetico, na direcao paralela a superfıcie e

perpendicular ao sentido da corrente, e descontınuo.

10.11 Expansao em multipolos

Assim como foi feito para o campo eletrico, buscaremos uma forma de expres-

sar o potencial vetorial em uma serie de potencias de1

r, onde r e a distancia

do multipolo ate o ponto em questao. A ideia e que esta equacao seja util

para analisar o comportamento do campo magnetic a grandes distancias.

Considere a espira apresentada na Figura 10.39 .

Figura 10.39: Posicao do ponto P em relacao a espira

Vimos na Secao 10.9 que o potencial vetor, para densidades lineares, e

dado por:

10.11. EXPANSAO EM MULTIPOLOS 193

~A (~r) =µ0

4π

∮Γ

~I(~r′)

dl′∣∣∣~r − ~r′∣∣∣ (10.46)

Podemos reescrever o denominador do integrando da seguinte maneira:

1∣∣∣−→r −−→r′ ∣∣∣ =1√

r2 + r′2 − 2rr′ cos θ′=

1

r

∞∑n=0

(r′

r

)npn cos θ′ (10.47)

Onde pn e o Polinomio de Legendre8. Considerando a corrente cons-

tante e substituındo 10.47 em 10.46 , encontramos a expressao de multipolos

magneticos:

~A (~r) =µ0I

4π

∞∑n=0

1

rn+1

∮Γ

(r′)npn cos (θ′) d~l′

E interessante notar que o termo correspondente ao monopolo (n=0) e1

r

∮Γ

d~l′ = 0, o que esta de acordo com os observacoes. Entao, o termo mais

importante da sequencia corresponde ao dipolo magnetico (n=1):

~Adipolo =µ0I

4πr2

∮Γ

(r · ~r′

)d~l′ =

µ0

4πr2~µ× r

Onde µ e o momento de dipolo magnetico definido na equacao 10.14.

8Pn(x) =1

2nn!

(d

dx

)n (x2 − 1

)n

Capıtulo 11

Lei da Inducao

Com as experiencias de Oersted, viu-se que correntes eletricas geram campos

magneticos. Ficou entao a seguinte duvida: Pode o campo magnetico gerar

corrente? Michael Faraday (1791-1867), um dos maiores fısicos experimen-

tais, interessou-se em descobrir e estudar essa relacao.

Em 1831, Faraday montou dois solenoides, com 70 metros de fio de co-

bre em cada. Os dois foram concatenados, mas um foi ligado a um gerador,

enquanto o outro foi conectado a um galvanometro, como mostrado na Fi-

gura 11.1 .

Figura 11.1: Solenoides concatenados

195

196 CAPITULO 11. LEI DA INDUCAO

Notou-se quando uma corrente contınua passava pelo solenoide 1, o gal-

vanometro nao acusava passagem de corrente. No entanto, sempre que a

chave era ligada ou desligada, surgia uma corrente no circuito 2. Isso le-

vou Faraday a supor que a forca eletromotriz no circuito 2 resultava de uma

variacao do campo magnetico no interior dos solenoides. Continuando seus

experimentos, ele construiu o circuito apresentado na Figura 11.2 .

Figura 11.2: Experimento de Faraday

Quando um ıma era aproximado ou afastado do solenoide, observava-se

uma deflexao do galvanometro. Se o ıma permanecesse imovel em relacao ao

circuito, a deflexao era nula. Ainda nesse experimento, Faraday notou que a

area dos solenoides tambem influenciava na forca eletromotriz induzida.

Suas descobertas podem ser sintetizadas em termos matematicos da se-

guinte maneira:

εind ∝dB

dt

εind ∝ A

Para melhor compreender esse fenomeno, precisamos definir o que e fluxo

magnetico.

11.1 O Fluxo Magnetico

Vimos que a forca eletromotriz depende tanto da variacao do campo magnetico

quanto da area dos solenoides. A grandeza que relaciona o vetor ~B e a area

11.2. A LEI DE LENZ 197

S permeada por esse campo e denominada de fluxo magnetico , e e definida

como:

φB = ~B · ~S = BS cos θ (11.1)

Ate agora, tendo em vista as constatacoes de Faraday, podemos dizer que:

|εind| =dφBdt

(11.2)

Substituındo 11.1 em 11.2 :

|εind| =dB

dtA cos θ +B

dA

dt−BA sen θ

dθ

dt(11.3)

Percebe-se entao que e possıvel induzir corrente em uma espira imersa em

um campo magnetico por meio dos seguintes metodos:

• variando a intensidade do campo.

• variando a area como tempo

• variando o angulo entre os vetores ~A e ~B com o tempo

Ainda podemos analisar o fenomeno da inducao levando em conta a cor-

rente induzida. Sabe-se que εind = RIind, logo:

Iind =1

R

∣∣∣∣ dφBdt

∣∣∣∣11.2 A Lei de Lenz

Vimos que a variacao do fluxo magnetico gera corrente eletrica em conduto-

res. Mas o que determina o sentido da corrente induzida? Isso e explicado

pela Lei de Lenz:

A corrente induzida produz um campo magnetico que tende

se opor a variacao do fluxo magnetico que a gerou


Considere o exemplo da Figura 11.3. Se o ıma aproxima-se da espira, o

fluxo magnetico no interior desta aumentara, entao deve surgir uma corrente

no sentido anti-horario para reduzir o fluxo. Caso o ıma afaste-se da espira, o

fluxo no interior desta diminuira, logo, pela Lei de Lenz, surge uma corrente

no sentido horario.

Figura 11.3: Deflexao do galvanometro

Se aplicarmos a Lei de Lenz na 11.2 , teremos a Lei de Faraday:

εind = − dφBdt

(11.4)

O sinal negativo representa a resistencia que o circuito apresenta a va-

riacao do fluxo magnetico

E interessante notar que se fizermos a integral de linha do campo eletrico

na espira, teremos: ∮Γ

~E · d~l = εind (11.5)

Ora, vimos na eletrostatica que essa integral de linha deveria ser nula

sempre! Qual sera a inconsistencia?

Na verdade, nao ha inconsistencia. Ocorre que o campo eletrico estudado

na eletrostatica tem natureza diferente do campo eletrico induzido.

O campo eletrico oriundo de cargas eletricas sempre e conservativo, por

isso a integral de linha em um circuito fachado e nula. Mas, devido a equacao

11.5, nota-se que o campo eletrico induzido pela variacao de fluxo magnetico


nao e conservativo. Por isso, e importante distinguir os dois tipos campos

eletricos.

Seguem alguns exemplos da aplicacao da Lei de Lenz:

Exercıcio 11.1. Suponha uma barra condutora, deslizando sem atrito sobre

um trilho condutor, em meio a um campo magnetico perpendicular ao plano

dos trilhos, conforme mostrado na Figura 11.4 . Calcule: a forca eletromotriz

induzida, a corrente induzida a forca magnetica e a velocidade da barra em

funcao do tempo.

Figura 11.4: Trilho magnetico

• Forca eletromotriz

Temos que o fluxo magnetico na barra e dado por:

φB = BA = Blx

portanto a forca eletromotriz e:

|εind| =dφBdt

= Bldx

dt= Blv

• Corrente induzida:

Iind =εindR

=Blv

R

• Forca magnetica:

Temos que a forca em fios e dada por:


~F = I~l × ~B = IindBl =B2l2v

R− i (11.6)

• Velocidade do fio:

Aplicando a segunda lei de Newton ao reultado da equacao 11.6 :

mdv

dt=B2l2v

R

Resolvendo essa equacao diferencial separavel:

∫ v(t)

v0

dv

v= −

∫ t0

B2l2

Rmdt→ ln

(v(t)

v0

)= −B

2l2

Rmt

v(t) = v0e−B

2l2t/Rm

Vemos entao que a forca tende a frear a barra.

Exercıcio 11.2. Considere um campo magnetico uniforme que aponta pra

dentro da folha e esta confinado numa regiao circular de raio R. Suponha que

a magnitude de ~B aumenta com o tempo. Calcule o campo eletrico induzido

em todo o espaco:

Figura 11.5: Campo magnetico

Vimos que o campo eletrico induzido pode ser calculado por:∮Γ

~Eind · d~l = εind = − dφBdt


Entao precisaremos descrever curvas fechadas para calcular o campo eletrico

induzido. Pela simetria do problema, fazermos circunferencias de raio r.

• Para r < R :

Figura 11.6: Curva para calculo do campo induzido

Como a circunferencia aborda apenas uma porcao do campo, a variacao

fluxo no seu interior sera:

φB = Bπr2 → dφBdt

=dB

dtπr2

Logo:

∮Γ

~Eind · d~l =dB

dtπr2

Eind2πr =dB

dtπr2 → Eind =

dB

dt

r

2

• Para r > R :

Como a circunferencia aborda todo o campo, a variacao fluxo no seu

interior sera:

φB = BπR2 → dφBdt

=dB

dtπR2

Logo:


Figura 11.7: Curva para calculo do campo induzido

∮Γ

~Eind · d~l =dB

dtπR2

Eind2πr =dB

dtπR2 → Eind =

dB

dt

R2

2r

Sintetizando os resultados na forma de um grafico;

Figura 11.8: Campo induzido vs distancia

11.3 Geradores

As experiencias de Faraday lancaram os princıpios de funcionamento de mo-

tores eletricos e geradores de eletricidade.

Considere uma espira imersa em um campo magnetico ~B rotacionando

com uma velocidade angular constante ω =θ

t. Substiuındo θ na equacao

11.3 , temos que:

11.4. EFEITOS MECANICOS 203

|εind| = ωBA senωt

Em termos de corrente induzida:

Iind =ωBA

Rsenωt

Calculando a potencia gerada para N espiras:

P = I|εind| =(NBAω sin(ωt))2

R

Observa-se que a bobina gerara corrente alternada. Para evitar isso,

empregam-se comutadores no circuito.

Isso que foi visto e o princıpio de funcionamento de varios tipos de usinas

de geracao de energia, como as hidreletricas, termoeletricas, eolicas e nucle-

ares. Todas elas envolvem a transferencia de energia mecanica de um fluido

(agua, vento) para a bobina, fazendo-a girar.

11.4 Efeitos Mecanicos

A inducao magnetica, quando aliada a outros fenomenos fısicos, pode resultar

em efeitos interessantes. Vejamos alguns exemplos

11.4.1 As correntes de Foucault

Considere uma chapa metalica e um pente metalico, inicialmente em movi-

mento uniforme, entrando em cum campo magnetico, conforme esquemati-

zado na Figura 11.9 .

Experimentalmente, observa-se que o chapa metalica sobre uma reducao

de velocidade mais acentuada que o pente. Por que?

Isso ocorre pois, durante a imersao no campo magnetico, a variacao do

fluxo magnetico no interior da chapa e maior do que no pente. Logo a corrente


Figura 11.9: Objetos aproximando-se de um campo magnetico

induzida, a corrente de Foucault nesse caso, na chapa e superior. Mas a acao

do campo magnetico sobre a corrente induzida gera uma forca que tende a

frear o objeto, portanto a chapa sofre uma maior reducao de velocidade.

Figura 11.10: Correntes de Foucault

Pode-se dizer tambem que as correntes de Foucault resultam em uma

maior dissipacao por efeito Joule, aquecendo o material que imerge em um

campo magnetico.

11.4.2 Atrito Magnetico

Se uma espira condutora e solta em queda livre sobre um ima permanente, a

corrente induzida criara um dipolo magnetico que tende a ser repelido pelo

ima, produzindo uma forca de freamento da espira analoga a uma forca de

atrito viscoso (ver Figura 11.11) .

11.5. INDUTANCIA MUTUA 205

Figura 11.11: Comportamento da espira em queda

11.4.3 Canhao Magnetico

Considere um solenoide enrolado em um eixo isolante e, acoplado nesse

mesmo eixo, uma espira. Quando uma corrente passar pela espira, o fluxo

do campo magnetico no interior da espira sera alterado. A corrente induzida

fara com que a espira seja lancada no sentido oposto ao do solenoide.

Figura 11.12: Canhao Magnetico

11.5 Indutancia Mutua

Induntancia mutua refere-se ao surgimento de uma corrente induzida em um

circuito em funcao da passagem de corrente eletrica em um outro circuito.

Considere duas espiras em repouso. Se aplicarmos uma corrente I1 na

espira 1, ocorrera uma variacao do fluxo de campo magneticodφ21

dtna espira

2, surgindo entao uma forca eletromotriz induzida ε2 dada por:


Figura 11.13: Exemplo de indutancia mutua

ε2 = − dφ21

dt

Mas a variacao do fluxo do campo magnetico depende de uma variacao

de corrente na espira 1:

dφ21

dt∝ dI1

dt

Entao podemos substituir essa proporcionalidade por uma igualdade por

meio da definicao da constante de inducao mutua M211:

dφ21

dt= M21

dI1

dt(11.7)

M21 =dφ21

dI1

(11.8)

Experimentalmente, observa-se que a constante de inducao mutua de-

pende apenas da geometria das espiras e tambem da distancia entre elas.

Neumann deduziu uma formula que permite determinar essa constante.

Temos que o fluxo do campo magnetico pode ser calculado por:

1[M21] = H(henry) =Tm2

A


φ21 =

∫S2

∫~B · d~S2 =

∫S2

∫ (~∇× ~A1

)· d~S2

Aplicando o Teorema de Stokes:

φ21 =

∫S2

∫ (~∇× ~A1

)· d~S2 =

∮Γ2

~A1 · d~l2

Pela equacao 10.45 :

φ21 =µ0

4πI1

∮ ∮d~l1 · d~l2

r

φ21

dt=µ0

4π

∮ ∮d~l1 · d~l2

r

dI1

dt(11.9)

Comparando as equacoes 11.9 e 11.7 encontramos a Formula de Neumann:

M21 =µ0

4π

∮ ∮d~l1 · d~l2

r(11.10)

Como podemos comutar os fatores da formula, conclui-se que:

M12 = M21 = M

Isso indica que, independentemente das formas e posicoes das espiras, o

fluxo atraves de 2 quando uma corrente I passa em 1 e identico ao fluxo

atraves de 1 quando a passamos a corrente I ao redor de 2.

No entanto, ainda e mais interessante calcular M por meio da equacao

11.8 do que pela Formula de Neumann, como veremos nos exemplos a seguir.

Exercıcio 11.3. Calcule a indutancia mutua entre duas espirar coplanares

e concentricas de raios R1 e R2, com R1 >> R2.

Para calcular a indutancia mutua, precisamos calcular uma relacao entre

a variacao de corrente em uma espira e a variacao do fluxo magnetico na


Figura 11.14: Espiras coplanares e concentricas

outra espira.

Sabemos que a campo magnetico no centro de uma espira circular e B =µ0I

2R1

. Como R1 >> R2, pode-se considerar que o campo no interior da espira

2 e constante, logo o fluxo no seu interior sera:

φ21 = BA =µ0I

2R1

πR22

Entao temos que:

dφ21

dI=

µ0

2R1

πR22

Logo a indutancia mutua e:

M =µ0

2R1

πR22

Exercıcio 11.4. Calcule a indutancia mutua entre dois solenoides concentricos

de desnsidades de espiras n1 e n2.


a variacao de corrente em um solenoide e a variacao do fluxo magnetico no

outro.

Sabemos que a campo magnetico no interior do solenoide 1 e B = µ0In1.

Como o campo no interior do solenoide 2 e constante, o fluxo no seu interior

sera:


Figura 11.15: Solenoides concentricos

φ21 = BAn2l = µ0In1n2lπR22

Entao temos que:

dφ21

dI= µ0n1n2lπR

22


M = µ0n1n2lπR22

Exercıcio 11.5. Calcule a indutancia mutua entre dois toroides concatena-

dos com N1 e N2 enrolamentos.

Figura 11.16: Toroides concatenados


a variacao de corrente em um toroide e a variacao do fluxo magnetico no

outro.


Sabemos que a campo magnetico no interior do toroide 1 e B =µ0N1I

2πr.

Considerando que o campo no interior do toroide apresenta simetria cilındrica,

o fluxo no seu interior deve ser calculado por meio a seguinte integral:

Figura 11.17: Elemento de area na secao do toroide

φ21 = N2

∫~B1 · d~s2 = N2

b∫a

µ0N1I1

2πrhdr

φ21 =µ0N1N2I1

2πh ln(

b

a)I

Entao temos que:

dφ21

dI=µ0N1N2

2πh ln(

b

a)


M =µ0N1N2

2πh ln(

b

a)

11.6 Auto-Indutancia

Considere novamente uma espira de N voltas pela qual passa uma corrente

I. Se ocorre alguma alteracao na corrente, o fluxo atraves da espira varia

11.6. AUTO-INDUTANCIA 211

com o tempo, entao, de acordo com a lei de Faraday, uma forca eletromotriz

induzida surgira para gerar um campo no sentido oposto a variacao do fluxo

de ~B inicial. Entao podemos dizer que o proprio campo opoe-se a qualquer

mudanca da corrente, e assim temos o fenomeno da auto-indutancia.

Figura 11.18: Efeitos da auto-indutancia

Definimos matematicamente a auto-indutancia L2 da seguinte maneira:

dφBdt

=dφBdI

dI

dt= L

dI

dt

L =dφBdI

(11.11)

Do mesmo modo que a indutancia mutua, a auto indutancia depende

apenas de fatores geometricos da espira em questao.

Exercıcio 11.6. Calcule a auto-indutancia de um solenoide.

Figura 11.19: Solenoide

Para calcular a auto-indutancia, precisamos calcular como uma variacao

2[L] = H(henry)


de corrente no solenoide varia o fluxo magnetico no interior do proprio so-

lenoide.

Sabemos que a campo magnetico no interior desse objeto e B = µ0In.

Como o campo no interior do solenoide e constante, o fluxo no seu interior

sera:

φB = BAnl = µ0In2lπR2

Entao temos que:

dφBdI

= µ0n2lπR2

Logo a auto-indutancia e:

L = µ0n2lπR2

Exercıcio 11.7. Calcule a auto-indutancia de um toroide de secao retangu-

lar.

Figura 11.20: Toroide

Para calcular a auto-indutancia, precisamos calcular como uma variacao

de corrente no toroide varia o fluxo magnetico no interior do proprio toroide.

Sabemos que a campo magnetico no interior desse objeto e B =µ0NI

2πr.

Considerando que o campo no interior do toroide apresenta simetria cilındrica,

o fluxo no seu interior deve ser calculado por meio a seguinte integral:

11.7. ASSOCIACAO DE INDUTORES 213

Figura 11.21: Elemento de area na secao do toroide

φB = N

∫~B · d~s =

b∫a

µ0N2I

2πrhdr =

µ0N2I

2πh ln(

b

a)

Entao temos que:

dφ21

dI=µ0N

2

2πh ln(

b

a)

Logo a auto-indutancia e:

L =µ0N

2

2πh ln(

b

a)

11.7 Associacao de Indutores

Indutores sao componentes eletronicos que apresentam elevada indutancia.

Devido a Lei de Lenz, tais elementos evitam variacoes bruscas de corrente,

sendo essa uma das principais funcoes desempenhadas pelos indutores em

circuitos eletronicos. Sabe-se que a diferenca de potencial nos terminais de

um indutor tem a mesma magnitude da forca eletromotriz induzida nele, ou


seja:

V = LdI

dt(11.12)

Quando um circuito apresenta mais de um indutor associado, e possıvel

substituı-los por um indutor equivalente, a fim de simplificar os futuros

calculos relativos ao circuito. Mas para calcular a indutancia equivalente, de-

vemos levar em conta tanto os efeitos de auto-inducao quanto de indutancia

mutua entre os componentes da associacao.

Faremos, como exemplo, a associacao de dois indutores em serie e dois

indutores em paralelo.

11.7.1 Dois indutores em serie


Em uma associacao em serie, a corrente e a mesma em todos os indutores.

LdI

dt= L1

dI

dt+M

dI

dt+ L2

dI

dt+M

dI

dt= (L1 + L2 + 2M)

dI

dt

11.7. ASSOCIACAO DE INDUTORES 215

Observe que o primeiro e o terceiro termo referem-se as auto-indutancias

de 1 e 2, respectivamente, ja o segundo e o quarto termo referem-se as in-

dutancias mutuas. Segue entao que:

L = L1 + L2 + 2M (11.13)

11.7.2 Dois indutores em paralelo


Em uma associacao em paralelo, a diferenca de potencial e a mesma para

todos os indutores. Calculando a ddp para cada ramo:

V1 = L1dI1

dt+M

dI2

dt(11.14)

V2 = L2dI2

dt+M

dI1

dt(11.15)

Multiplicando as duas equacoes pela constante de indutancia mutua:

V1M = L1MdI1

dt+M2dI2

dt(11.16)

V2M = L2MdI2

dt+M2dI1

dt(11.17)

Multiplicando agora a equacao 11.14 por L2 e a 11.15 por L1:


V1L2 = L1L2dI1

dt+ML2

dI2

dt(11.18)

V2L1 = L2L1dI2

dt+ML1

dI1

dt(11.19)

Mas, da associacao em paralelo, temos que:

V = V1 = V2

I = I1 + I2

Logo, subtraındo 11.16 de 11.19 e 11.17 de 11.18, encontramos que:

V (L1 −M) = L1L2dI2

dt−M2 dI2

dt(11.20)

V (L2 −M) = L1L2dI1

dt−M2 dI1

dt(11.21)

Somando as equacoes 11.20 e 11.21:

V (L1 + L2 − 2M) =(L1L2 −M2

) dI

dt

L =L1L2 −M2

L1 + L2 − 2M(11.22)

Nota-se que, se desconsiderarmos os efeitos da indutancia mutua, a asso-

ciacao de indutores e identica a associacao de resistores.

11.8 Circuito R-L

Considere o circuito da Figura 11.24, com as condicoes iniciais:

11.8. CIRCUITO R-L 217

Figura 11.24: Circuito R-L

t = 0 , I(t) = 0

t =∞ , I(t) =V

R

A equacao do circuito e:

V −RI − LdIdt

= 0 (11.23)

V

R− I =

L

R

dI

dtt∫

0

−RLdt =

I(t)∫0

dI

I − VR

ln

(I − V

R

)I(t)0

= −RLt

I(t)− V

R= −V

R

−RLt


I(t) =V

R

(1− e−

RLt)

(11.24)

Quanto maior for a indutancia L do indutor no circuito, maior sera o

tempo para a corrente se aproximar da maxima Imax = V/R.

Figura 11.25: Grafico de corrente de um circuito R-L

11.9 Circuito L-C

Considere o circuito da Figura 11.26, com o capacitor inicialmente carregado

com uma carga Q0, ou seja, as condicoes iniciais:

t = 0 , Q(t = 0) = Q0

t = 0 , I(t = 0) = 0

A equacao do circuito e:

Q

C− L dI

dt= 0 (11.25)

Como o capacitor esta descarregando, I = −dQ/dt, e portanto:

11.9. CIRCUITO L-C 219

Figura 11.26: Circuito L-C

d2Q

dt2+

1

LCQ = 0 (11.26)

Que e a equacao de um oscilador harmonico, cuja solucao e:

Q(t) = Q0 cos(ωt) (11.27)

Onde:

ω2 =1

LC

I(t) = −dQdt

= ωQ0 sen(ωt)

I0 = Q0ω

Analise de energia:


Figura 11.27: Grafico de corrente e carga no capacitor em um circuito L-C

UE = Ucapacitor =1

2CV 2 =

Q2

2C

UE =Q2

2Ccos2(ωt)

UB = Uindutor =1

2LI2 =

L

2I2

0 sin2(ωt) =LQ2

0ω2

2sen2(ωt) =

Q20

2Csen2(ωt)

U = UE + UC =Q2

2C

Figura 11.28: Energia em um circuito L-C

11.10. ANALOGIA COM SISTEMA MECANICO 221

11.10 Analogia com sistema mecanico

Analogia com sistema mecanico massa-mola:

d2x

dt2+K

Mx = 0

d2Q

dt2+

1

LCQ = 0

U =1

2mv2 +

K

2x2 U =

1

2LI2 +

1

2CQ2

Figura 11.29: Analogia do circuito LC com sistema mecanico.

m L

1/k C

x Q

v = x I = Q

mv2/2 LI2/2kx2

2Q2

2C


md2x

dt2= −kx+mg L

dI

dt+Q

C= V

x(t) = h+ A cos(ω0t) q(t) = q1 + (q0 − q1) cos(ω0t)

x(0) = h+ A q(0) = q0

x(0) = 0 q(0) = 0

Molas em serie Capacitores em paralelo

x = x1 + x2 = F(

1K1

+ 1K2

)q = ε(C1 + C2)

Molas em paralelo Capacitores em serie

11.11 Circuito R-L-C

Considere o circuito da Figura 11.30, com o capacitor inicialmente com carga

Q0. A equacao do circuito e:

Q

C−RI − LdI

dt= 0

11.11. CIRCUITO R-L-C 223

Figura 11.30: Circuito R-L-C

Fazendo I = −dQdt

:

d2Q

dt2+R

L

dQ

dt+

Q

LC= 0 (11.28)

Com a condicao inicial: Q(0) = Q0

O analogo mecanico a este circuito e o oscilador amortecido:

d2x

dt2+ 2β

dx

dt+ ω2

0x = 0 (11.29)

Cuja solucao e dada por:

x(t) = e−βt[A1 exp(

√β2 − ω2

0t) + A2 exp(−√β2 − ω2

0t)

](11.30)

A analise deve ser dividida em tres casos:

• ω20 > β: subcrıtico

• ω20 = β: crıtico

• ω20 < β: supercrıtico


Figura 11.31: Comportamentos do oscilador amortecido.

11.11.1 Subcrıtico

ω21 = ω2

0 − β2, ω21 > 0

Q(t) = e−βt [A1 exp(iω1t) + A2 exp(−iω1t)]

A solucao pode ser reescrita como:

Q(t) = Ae−βt cos(ω1t− δ)

Que corresponde a uma oscilacao de frequencia angular ω1, com uma

amplitude decrescente com o tempo de um fator e−βt.

11.11.2 Crıtico

Q(t) = (A+Bt)e−βt

11.11.3 Supercrıtico

Q(t) = e−βt [A1 exp(ω2t) + A2 exp(−ω2t)]

11.12. ENERGIA EM CAMPOS MAGNETICOS 225

Figura 11.32: Oscilador amortecido subcrıtico.

11.12 Energia em Campos Magneticos

Vimos anteriormente que a energia eletrica podia ser escrita em termos do

campo eletrico, o que nos fornecia a interpretacao da energia armazenada no

campo. Agora vejamos como seria a energia magnetica em termos do campo.

Sabemos que:

φB = LI

Por outro lado:

φB =

∫S

~B · d~s =

∫S

(~∇× ~A) · d~s

Aplicando o Teorema de Stokes:


∫S

(~∇× ~A) · d~s =

∮Γ

~A · d~l

φB =

∮Γ

~A · d~l = LI

A energia magnetica e dada por:

U =1

2LI2 =

I

2

∮Γ

~A · d~l

Sabendo que Id~l = ~Jdv:

U =I

2

∫V

( ~A · ~J)dv

Mas ~∇× ~B = µ0~J , entao:

U =1

2µ0

∫V

~A · (~∇× ~B)dv

Utilizando a identidade:

~∇ · ( ~A× ~B) = ~B · (~∇× ~A)− ~A · (~∇× ~B)

~A · (~∇× ~B) = ~B · (~∇× ~A)− ~∇ · ( ~A× ~B) = ~B · ~B − ~∇ · ( ~A× ~B)

Temos:

U =1

2µ0

∫V

~B · ~B −∫V

~∇ · ( ~A× ~B)dv


Aplicando o teorema da divergencia:

U =1

2µ0

∫V

~B · ~B − 1

2µ0

∫S

( ~A× ~B)d~s

Fazendo V → todo espaco, o segundo termo tende a zero, portanto:

UB =1

2µ0

∫R3

B2dv (11.31)

A densidade de energia do campo magnetico e dado por:

uB =B2

2µ0

(11.32)

Note a similaridade das energias dos campos eletrico e magnetico:

UE = 12

∫V

ρV dv =ε

2

∫3

E2dv

UB = 12

∫V

(~A · ~J

)dv =

1

2µ0

∫3

B2dv

Exemplo 11.1. Cabo coaxial.

Calcular a energia armazenada em uma secao de comprimento l.

Resolucao. Pela lei de Ampere, o campo magnetico no cabo e dado por:


∮~B · d~l = µ0I

B2πr = µ0I

B =µ0I

2πr

B =

µ0I

2πrθ , a < r < b

0 , r < a ou r > b

A densidade de energia e dada por:

u =B2

2µ0

=µ2

0I2

2µ04π2r2=

µ0I2

8π2r2

A energia armazenada em um trecho sera:

U =

∫∫∫µ0I

2

8µ0π2r2rdθdrdz,

0 ≤ θ ≤ 2π

a ≤ r ≤ b

0 ≤ z ≤ l

U =µ0I

2

8π22πl

b∫a

1

rdr =

µ0I2

4πl ln

(b

a

)

Pelo metodo anterior, terıamos que, primeiro, calcular a auto-indutancia:


φ =

∫~B · d~s =

∫∫µ0I

2πrdrdz,

{a ≤ r ≤ b

o ≤ z ≤ l

φ =µ0I

2πl ln

(b

a

)L =

dφ

dI=µ0l

2πln

(b

a

)A energia armazenada sera entao:

U =LI2

2

U =µ0I

2

4πl ln

(b

a

)

Capıtulo 12

Equacoes de Maxwell

12.1 Introducao

Ate Faraday, o campo eletrico e o campo magnetico eram tratados indepen-

dentemente. Com a Lei da inducao de Faraday, vimos que a variacao do

campo magnetico com o tempo gera campo eletrico.

∮Γ

~E · d~l = − d

dt

∫S

~B · d~s

O campo eletrico e magnetico nao sao mais tratados independentemente,

sendo assim chamado de campo eletromagnetico. Em aproximadamente 1860

J.C. Maxwell constatou uma inconsistencia entre as equacoes ate entao e na

equacao da continuidade.

As equacoes que conhecemos ate agora, na forma diferencial, sao:

231

232 CAPITULO 12. EQUACOES DE MAXWELL

~∇× ~E = −∂~B

∂t~∇× ~B = µ0

~J

~∇ · ~E =ρ

ε0

~∇ · ~B = 0

E a equacao da continuidade (Equacao 9.2):

~∇ · ~J +∂ρ

∂t= 0

Se aplicarmos o divergente na lei de Ampere, temos:

~∇ · (~∇× ~B) = µ0~∇ · ~J

~∇ · ~J = 0

Ou seja, a lei de Ampere, na forma atual, nao e sempre valida, mas

somente para corrente estacionaria.

E possıvel tambem verificar a inconsistencia a partir da forma integral da

lei de Ampere.

12.2. MODIFICACAO NA LEI DE AMPERE 233

Considere o carregamento do capacitor na figura.Vamos aplicar a Lei de

Ampere, mas vamos considerar duas superfıcies abertas e distintas, ambas

delimitadas pela mesma curva γ:

(a)∮~B · d~l = µ0

~I (b)∮~B · d~l = 0

Figura 12.1: Duas superfıcies possıveis para aplicar a lei de Ampere.

As duas integrais deveriam ter o mesmo valor, pois tem o mesmo bordo!

Assim, ha uma inconsistencia na lei de Ampere, que requer uma modificacao

feita por Maxwell.

12.2 Modificacao na lei de Ampere

Podemos encontrar essa modificacao de duas formas.

Primeira Forma

Retomando o exemplo anterior, vimos que:∮S1

~J · d~s1 −∮S2

~J · d~s2 6= 0

Entao, considerando o sentido de d~S1 e d~S2 e que S1 e S2 juntas formam

uma superfıcie fechada, utilizando a equacao da continuidade:


(a)∮~B · d~l = µ0

~I (b)∮~B · d~l = 0

Figura 12.2: Duas superfıcies possıveis para aplicar a lei de Ampere.

∮S

~J · d~s = − d

dt

∫ρdv 6= 0

A corrente de transporte, ou de conducao, nao se anula, pois a carga esta

se acumulando no capacitor, ou seja ∂ρ∂t6= 0.

A lei de Ampere original implica em∇· ~J = 0, mas nesse caso,∇· ~J = −∂ρ∂t

.

Entao algo dever ser adicionado a lei de Ampere para torna-la consistente

com a conservacao da carga neste caso.

Podemos calcular ρ da lei de Gauss:

12.2. MODIFICACAO NA LEI DE AMPERE 235

~∇ · ~E =ρ

ε0

⇒ ρ = ε0~∇ · ~E

~∇ · ~J = −ε0∂

∂t~∇ · ~E = ~∇ ·

(−ε0

∂ ~E

∂t

)

~∇ ·

(~J + ε0

∂ ~E

∂t

)= 0

Maxwell entao substituiu ~J da Lei de Ampere por ~J ′ = ~J + ε0∂ ~E∂t

. Entao,

chegamos na lei de Ampere-Maxwell:

~∇× ~B = µ0~J + µ0ε0

∂ ~E

∂t(12.1)

Ou, na forma integral:

∮~B · d~l = µ0I + µ0ε0

∂

∂t

∫~E · d~s (12.2)

Entao:

∮~B · d~l = µ0I + µ0ε0

dφEdt

O termo adicional µ0ε0dφEdt

, Maxwell chamou de corrente de desloca-

mento, apesar dela nao significar corrente no sentido que conhecemos.

Significado: A variacao de campo eletrico, mesmo na ausencia de cor-

rente, gera campo magnetico

Segunda Forma

Novamente considerando S1 e S2, no caso de um capacitor de placas paralelas.


C =Q

V= ε0

A

d⇒ ε0A = Q d

V⇒ ε0E = Q

A

dQ

dt= ε0A

dE

dt

~JD =1

A

dQ

dt= ε0

dE

dt

Enquanto o capacitor esta carregando o campo eletrico varia no tempo.

O fluxo de ~E por S2 varia no tempo:

12.3. EQUACOES DE MAXWELL 237

~∇× ~B = µ0( ~J+?)⇒ ~∇× ~B = µ0( ~J + ~JD)

~∇× ~B = µ0~J + µ0ε0

∂ ~E

∂t

Desta forma, Maxwell construiu uma teoria unificada e consistente. Ao

conjunto formado pela Lei de Ampere modificada e as outras 3 ja conhecidas,

da-se o nome de Equacoes de Maxwell.

12.3 Equacoes de Maxwell

As equacoes de Maxwell no vacuo sao:

12.3.1 Forma diferencial

~∇ · ~E =ρ

ε0

~∇ · ~B = 0

~∇× ~E = −∂~B

∂t

~∇× ~B = µ0~J + µ0ε0

∂ ~E

∂t


12.3.2 Forma integral

∮~E · d~s =

Qint

ε0∮~B · d~s = 0∮~E · d~l = − d

dt

∫S

~B · d~s

∮~B · d~l = µ0I + µ0ε0

∂

∂t

∫~E · d~s

Estas equacoes formam a base de todos os fenomenos eletromagneticos

e em conjunto com a equacao da forca de Lorentz e a 2a lei de Newton

descrevem de forma completa a dinamica classica da interacao de partıculas

carregadas e seus campos eletromagneticos.

12.4 Equacoes de Onda

As equacoes de Maxwell, para ρ = 0 e ~J = ~0 sao:

~∇ · ~E = 0 (I)

~∇ · ~B = 0 (II)

~∇× ~E = −∂~B

∂t(III)

~∇× ~B = µ0ε0∂ ~E

∂t(IV)

Aplicando o rotacional em III, temos:

12.4. EQUACOES DE ONDA 239

~∇× ~∇× ~E = − ∂

∂t~∇× ~B

~∇× ~∇× ~E = ~∇ · (~∇ · ~E)− ~∇2 ~E ⇒ −~∇2 ~E = − ∂

∂t

(µ0ε0

∂ ~E

∂t

)

~∇2 ~E − ∂

∂t

(µ0ε0

∂ ~E

∂t

)= 0

Que e a equacao de onda para o campo eletrico:

v =1

√µ0ε0

= c

~∇2 ~E − 1

c2

∂2 ~E

∂t2= 0

~∇2 ~E − 1

c2

∂2 ~E

∂t2= 0 (12.3)

O campo eletromagnetico no vacuo se propaga a velocidade da luz, o

que foi uma das principais evidencias para se concluir que a luz e uma onda

eletromagnetica.

Para ~B, basta aplicar o rotacional em IV:

~∇× ~∇× ~B = ~∇ · ~∇ · ~B − ~∇2 ~B

−~∇2 ~B = µ0ε0∂

∂t~∇× ~E

~∇2 ~B − µ0ε0∂2 ~B

∂t2= 0


~∇2 ~B − 1

c2

∂2 ~B

∂t2= 0 (12.4)

O campo magnetico se propaga no vacuo com velocidade c.

Isso mostra que a luz e uma onda eletromagnetica, caracterizando assim

a natureza ondulatoria da luz. Maxwell fez a unificacao de dois campos da

fısica ate entao distintos, o Eletromagnetismo e na Optica. Sem Maxwell nao

entenderıamos radiacao eletromagnetica. A relatividade restrita originou-se

dos Equacoes de Maxwell.

Capıtulo 13

Materiais Magneticos

13.1 Propriedades Magneticas da Materia

Apresentaremos neste topico uma discussao qualitativa tentando nao usar a

mecanica quantica. No entanto, devemos ter em mente que:

Nao e possıvel compreender os efeitos magneticos da materia

do ponto de vista da fısica classica! As propriedades magneticas dos

materiais sao fenomenos completamente quanticos.

Apesar disso, faremos uso de descricoes classicas, embora erradas, para

termos uma visao, ainda que muito limitada, do que esta acontecendo.

Inicialmente, vamos pressupor ja conhecidos alguns conceitos:

1. Atomo: nucleo no centro e eletrons orbitando ao seu redor;

2. Eletron e negativamente carregado

3. O eletron possui um momento angular intrınseco que e denominado

spin.

Vejamos entao inicialmente:

241

242 CAPITULO 13. MATERIAIS MAGNETICOS

Figura 13.1: Producao de campo magnetico pelo eletron.

Efeitos devido as orbitas dos eletrons

- Eletrons nos atomos produzem campos magneticos.

Os eletrons giram ao redor do nucleo em orbitas, o que e o mesmo se

tivessemos espiras de corrente. Por outro lado, correntes produzem campo

magnetico.

Normalmente, no entanto, este e um efeito pequeno, pois no total ha um

cancelamento, visto que as orbitas estao aleatoriamente orientadas.

- O que acontece entao se colocarmos o material na presenca de um campo

externo ~B? Pelo que ja estudamos sabemos que, pela lei de Lenz, teremos

correntes induzidas, de sentido tal a se opor ao aumento do campo. Desta

forma, os momentos magneticos induzidos nos atomos sao opostos ao campo

magnetico.

Desta forma o efeito resultante e: o campo magnetico total resultante e

menor.

13.2. MOMENTOS MAGNETICOS E MOMENTO ANGULAR 243

13.2 Momentos magneticos e Momento an-

gular

Consideremos uma carga q se movendo numa orbita circular.

Figura 13.2: Carga em orbita circular.

O momento angular classico orbital e:

~L = ~r × ~p

|~L| = mvr

Por outro lado, sabemos que a corrente e:

I =carga

tempo=

q2πrv

=qv

2πr

Sabemos tambem que o momento magnetico e:

µ = IA = Iπr2 =qv

2πrπr2 =

qvr

2

Das equacoes acima, temos:

~µ =q

2

~L

m(13.1)

No caso do eletron, temos:


Figura 13.3: Momento magnetico da orbita do eletron.

~µ = − e~L

2me

(13.2)

Isto e o que se espera classicamente e como milagre tambem vale quanti-

camente.

Alem do momento angular orbital, eletrons possuem um momento angular

intrınseco (spin), que associado a este ha um momento magnetico:

~µs = − e

me

~S (13.3)

Algumas propriedades:

• Lei de Lenz nao se aplica, pois este campo esta associado ao eletron

por si mesmo.

• O proprio ~S nao pode ser medido. Entretanto, sua componente ao

longo de qualquer eixo pode ser medida.

• Uma componente medida de ~S e quantizada.

Quantizacao de Sz:

13.2. MOMENTOS MAGNETICOS E MOMENTO ANGULAR 245

Sz = ms~

ms = ±1

2

~ =h

2π

Sendo h a constante de Plank, cujo valor e de 6, 63× 10−34J.s.

Portanto, o momento magnetico de spin sera dado por:

µs,z = −ems~me

= ± e~2me

= ±µB

µB =e~

2me

=eh

4πme

= 9, 27× 10−24 J

T

A constante µB e chamada magneton de Bohr. Momentos magneticos de

spins de eletrons e de outras partıculas sao entao expressos em termos de µB.

Da mesma forma que o spin, o momento angular orbital ~L nao pode ser

medido, apenas a sua componente ao longo de qualquer eixo.

L = ml~

ml = 0,±1,±2, · · ·

Onde ml e o numero quantico magnetico orbital.

µ = − eL

2me

= −eml~2me

= −mlµB

Vimos durante o nosso curso que se colocassemos uma espira passando

corrente num campo magnetico, esta sentia uma forca, e observamos a tendencia

do alinhamento do momento magnetico ~µ com ~B.


Figura 13.4: Torque causado por um campo magnetico em uma espira.

~τ = ~µ× ~B

Desta forma, se colocarmos um material composto por atomos que pos-

suem um momento magnetico permanente, inicialmente orientado em direcoes

distribuıdas ao acaso, na presenca de um campo magnetico, esses momentos

magneticos se orientarao na direcao do campo, resultando em uma mag-

netizacao diferente de zero. Entao como resultado teremos que o campo

magnetico resultante sera maior que o original.

A grandeza magnetizacao e definida como o dipolo magnetico por uni-

dade de volume:

~M = lim∆v→0

1

∆v

∑i

~µi =d~µ

dv(13.4)

O que implica em:

~µtotal =

∫v

~Mdv

Analise dimensional:

13.3. MATERIAIS DIAMAGNETICOS 247

[~M]

=momento magne tico

volume=

corrente x a rea

comprimento=A

m=

[~B]

µ0

(13.5)

Perceba que esta grandeza e analoga a polarizacao de materiais dieletricos.

Resumo ate entao

• Lei de Lenz nas orbitas dos eletrons se opoe ao aumento do campo no

material. Isto pode ser pensado como se o eletron fosse acelerado ou

retardado em sua orbita.

• Torque magnetico agindo em eletrons individualmente aumentando o

campo magnetico no material.

Ou seja, temos dois comportamentos opostos. Qual deles e mais impor-

tante? Isto dependera das propriedades do material (estrutura quımica, se

ha eletrons livres, etc). Podemos, no entanto notar que e muito mais custoso

mudar as orbitas dos eletrons que seus spins.

A este respeito, podemos separar os materiais em tres categoriais:

1. Materiais diamagneticos;

2. Materiais paramagneticos;

3. Materiais ferromagneticos.

13.3 Materiais Diamagneticos

Sao materiais que apresentam uma magnetizacao oposta ao campo magnetico.

• O campo magnetico no interior do material e menos intenso que o

externo.


Figura 13.5: Substancias diamagneticas sao repelidas do campo magnetico,deslocando-se para a regiao de campo magnetico menos intenso.

• Lei de Lenz ganha do efeito do spin.

O diamagnetismo e muito fraco e difıcil de se ver.

A Lei de Lenz sempre esta presente em todos os materiais. O efeito do

spin, se estiver presente, sera sempre mais forte. Logo, os materiais dia-

magneticos sao aqueles onde nao ha o efeito do spin.

Exemplos de materiais diamagneticos:

• Orbitais que possuem os eletrons emparelhados ⇒ nao ha momento

magnetico resultante.

13.4 Materiais Paramagneticos

Sao materiais nos quais a magnetizacao aumenta na presenca de um campo

externo.

• O campo magnetico no interior do material e mais intenso que o ex-

terno.

• Efeito de spin ganha da Lei de Lenz.

Os atomos possuem um momento magnetico resultante e permanente

~µ. Na ausencia de campo externo estes momentos estao orientados de forma

13.5. MAGNETIZACAO E O CAMPO ~H 249

Figura 13.6: Substancias paramagneticas sao atraıdas para regiao de campomagnetico mais intenso.

aleatoria, e o momento de dipolo magnetico resultante do material e nulo. En-

tretanto, se uma amostra do material for colocada em um campo magnetico

externo, os momentos tendem a se alinhar com o campo, o que da um mo-

mento magnetico total ~µtotal nao nulo na direcao do campo externo ~Bext.

13.5 Magnetizacao e o campo ~H

Relembrando a definicao de magnetizacao (Equacao 13.4):

~M =d~µ

dv=

momento de dipolo magne tico

unidade de volume

Definimos um novo campo magnetico ~H , tal que:

~B = µ0

(~H + ~M

)(13.6)

~H ≡~B

µ0

− ~M (13.7)

• ~B: campo magnetico total = inducao magnetica

• ~H: campo magnetico devido as correntes externas


• ~M : magnetizacao, componente de ~B devido as propriedades do mate-

rial.

Voce pode estar se perguntando, mas esta formula de ~H caiu do ceu?

Podemos chegar nela da seguinte forma:

Como um dos exercıcios da lista, voce deve ter obtido que o potencial

vetor de um unico dipolo e dado por:

~A (~r) =µ0

4π

~µ× RR

Se pensarmos num material, entao cada elemento de volume possui um

momento de dipolo magnetico ~M dv, logo:

~A (~r) =µ0

4π

∫ ~M (~r′)× RR2

dv′


~∇′(

1

R

)=

R

R2

Temos:

~A (~r) =µo4π

∫ [~M (~r′)× ~∇′

(1

R

)]dv′


~∇×(f ~M

)= f

(~∇× ~M

)− ~M ×

(~∇f)

⇒ ~M ×(~∇f)

= f(~∇× ~M

)− ~∇×

(f ~M

)

Ficamos com:

13.5. MAGNETIZACAO E O CAMPO ~H 251

~A (~r) =µ0

4π

∫

1

R

(~∇′ × ~M (~r′)

)dv′ −

∫~∇′ ×

(~M (~r′)

R

)dv′

~A (~r) =

µ0

4π

∫ ~∇′ × ~M (~r′)

Rdv′ +

µ0

4π

∮ ~M (~r′)× n′

Rds′

Relembrando, tınhamos escrito:

~A (~r) =µ0

4π

∫ ~J (~r′)

Rds′

Desta forma, podemos identificar dois termos:

~A (~r) =µ0

4π

∫ ~JM (~r′)

Rdv′ +

µ0

4π

∮~κM (~r′)

Rdv′

• ~JM (~r′) = ~∇′ × ~M (~r′): Densidade de corrente de magnetizacao;

• ~κM (~r′) = ~M (~r′) × n′: Densidade superficial de corrente de magne-

tizacao.

Similar a:

ρp = −~∇ · ~P

σp = ~p · n

Havendo corrente de magnetizacao e, simultaneamente, correntes livres

(que nao podemos controlar), o campo de inducao magnetica tem a sua

origem em ambas:


~∇× ~B = µ0

(~Jlivre + ~JM

)︸︷︷︸

densidade de corrente total

~∇× ~B = µ0

(~Jlivre + ~∇× ~M

)~∇× ~B − ~∇× µ0

~M = µ0~Jlivre

~∇×(~B − µ0

~M)

︸︷︷︸µ0~H

= µ0~Jlivre

~∇× µ0~H = µ0

~Jlivre

~∇× ~H = ~Jlivre (13.8)

Entao agora a nomenclatura ficou:

• ~B: campo de inducao magnetica;

• ~H: campo magnetico proveniente da contribuicao devida as correntes

livres;

• ~M : magnetizacao devido as corrente de magnetizacao.

Podemos determinar um campo a partir de seu gradiente e de seu rotaci-

onal. Ja obtemos o rotacional, e podemos determinar seu gradiente a partir

de sua definicao (Equacao 13.7):

~H =~B

µ0

− ~M

÷ ~H =÷ ~Bµ0

−÷ ~M

÷ ~H = −÷ ~M

13.6. MATERIAIS MAGNETICOS LINEARES 253

Observacao 13.1. Deve-se tomar cuidado com a analogia entre os campos ~H

e ~B. Apesar da similaridade entre as expressoes de seus rotacionais, deve-

mos lembrar que um campo nao e determinado somente pelo seu rotacional.

Em especial, mesmo que nao haja nenhuma corrente livre, na presenca de

materiais magneticos, o campo ~H pode ser nao nulo.

13.6 Materiais Magneticos Homogeneos, Li-

neares e Isotropicos

Neste caso, a magnetizacao ~M do material varia linearmente com o campo

magnetico ~H:

~M = χM ~H

Onde χM e a susceptibilidade magnetica do meio, que e uma grandeza

adimensional.

Assim:

~B = µo

(~H + ~M

)= µo

(~H + χM ~H

)= µo (1 + χM) ~H

= µoµr ~H

~B = µ ~H

Cuidado com a notacao: Aqui, µ e a permeabilidade magnetica do meio

(nao confundir com o momento magnetico).

O sinal de χM depende do tipo de material:

~B = µo (1 + χM) ~H


• Em materiais diamagneticos, B < H, e portanto:

χM < 0

• Em materiais paramagneticos, B > H, e portanto:

χM > 0

13.7 Materiais Ferromagneticos

A nao linearidade entre ~M e ~H o distingue do paramagnetismo. Em materiais

ferromagneticos, ~M e ~H nao possuem uma relacao simples. A magnetizacao

permanece mesmo apos o campo magnetico ser desligado.

Razao: Mecanica Quantica ⇒ termo de troca ⇒ interacao dos spins de

atomos.

A interacao de troca produz um forte alinhamento de dipolo atomico ad-

jacente em um material ferromagnetico. Os momentos magneticos de muitos

atomos tendem a se alinhar em pequenas regioes iguais a domınios ( 0.1mm),

no entanto estes domınios, se nenhum campo magnetico externo for aplicado,

estao alinhados aleatoriamente orientados, resultando numa magnetizacao do

material nula. Por isso que o ferro nao atrai nenhum metal a princıpio.

Fe: solido policristalino

Se magnetizarmos uma amostra de Fe colocando-a em um campo magnetico

externo de intimidade gradualmente crescente, havera um crescimento em ta-

manho dos domınios que estao orientados ao longo do campo externos.

A curva que descreve a relacao entre H e B para um material ferro-

magnetico e chamada de histerese ou ciclo de histerese.

De a ate b mostra o comportamento da amostra se magnetizando. Apos

H1 diminui-se H ate H = 0 (ponto c): valor de B diminui conforme b → c

muito mais lentamente do que inicialmente tinha aumentado. Em c, ha uma

13.7. MATERIAIS FERROMAGNETICOS 255

(a) Antes: ~M = 0 (b) Apos: ~M 6= 0

Figura 13.7: Orientacao dos domınios de um material ferromagnetico napresenca de campo magnetico.

Figura 13.8: Alinhamento dos domınios do material na presenca de campomagnetico externo.

magnetizacao remanescente B 6= 0. Para se conseguir B = 0 aplica-se um

campo ~H com sentido inverso. Se aumentar ~H em modulo atinge-se o ponto

d. Se zerar ~H novamente, B diminui em modulo de acordo com d → e, e

mesmo em e, B 6= 0.

Temperatura de Curie

A temperatura de Curie TC e a temperatura acima da qual o material ferro-

magnetico perde a sua magnetizacao.

• T > TC : fase desordenada paramagnetica


Figura 13.9: Ciclo de histerese de materiais ferromagneticos.

• T < TC : fase ordenada ferromagnetico

A transicao de fase e abrupta.

Para T > TC , o movimento aleatorio dos momentos magneticos se torna

tao forte que eles nao conseguem mais se alinhar para formar os domınios.

Para o Fe, TC = 770oC. A Tabela 13.1 mostra a temperatura de Curie para

outros materiais ferromagneticos.

Material Temperatura de Curie (K)Co 1388Fe 1043

MnBi 630Ni 627

MnSb 587CrO2 386MnAs 318

Gd 292

Tabela 13.1: Temperatura de Curie de materiais ferromagneticos

13.8. ENERGIA EM MEIOS MAGNETICOS 257

13.8 Energia armazenada no campo magnetico

na presenca de meios magneticos

Vimos que:

Um =1

2

∫V

~Jlivre · ~Adv

Mas ~Jl = ~∇× ~H, entao:

Um =1

2

∫V

(~∇× ~H

)· ~Adv

Aplicando a identidade:

~∇ ·(~A× ~H

)=(~∇× ~A

)· ~H −

(~∇× ~H

)· ~A

Chegamos em:

Um =1

2

∫V

(~∇× ~A

)· ~Hdv − 1

2

∫V

~∇ ·(~A× ~H

)dv

Um =1

2

∫V

~B · ~Hdv − 1

2

∫V

~∇ ·(~A× ~H

)dv

Fazendo V → todo espaco, o segundo termo tende a zero, portanto:

UB =1

2

∫R3

~B · ~Hdv (13.9)

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