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Notas de aula: www.fap.if.usp.br/~hbarbosa LabFlex: www.dfn.if.usp.br/curso/LabFlex Aula 2, Experiência 3 Circuitos CA e Caos Prof. Henrique Barbosa [email protected] Ramal: 6647 Ed. Basílio Jafet, sala 100

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Notas de aula: www.fap.if.usp.br/~hbarbosa

LabFlex: www.dfn.if.usp.br/curso/LabFlex

Aula 2, Experiência 3

Circuitos CA e Caos

Prof. Henrique Barbosa

[email protected]

Ramal: 6647

Ed. Basílio Jafet, sala 100

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Objetivos Estudar circuitos elétricos em corrente alternada com a

finalidade de explorar fenômenos caóticos

Aprender algumas técnicas avançadas de processamento de sinais e análise de dados

5 aulas

Noções de CA, filtro RC e circuito integrador

Análise de Fourier unidimensional

Ressonância de um circuito RLC simples

Funções caóticas: mapa logístico

Caos em circuito RLD

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Objetivos da Semana Observar as transformadas de Fourier na entrada e na

saída do circuito integrador

Isso significa utilizar uma freqüência para a qual você sabe que o circuito está funcionando como um bom integrador

Comparar o resultado com a previsão teórica

E projetar dois filtros

Um passa-alta

e outro passa-baixa

E verificar que eles se comportam como esperado

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TAR

EFA

S SE

MA

NA

PA

SSA

DA

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Circuito Integrador Montar o filtro RC de fc=500Hz Alimentá-lo com uma onda quadrada de freqüência f>>fc, ou seja, de modo que a onda na saída seja a integral da onda na entrada Anote as amplitudes (Volts) do sinal de entrada e saída,

compare as duas e fotografe

Para obter a transformada de Fourier das ondas na entrada e na saída, utilize o DataStudio com a função FFT (Fast Fourier Transform) Obtenha as amplitudes e freqüências que compõem

esses sinais e compare quantitativamente com a previsão teórica Faça o gráfico de amplitude X freqüência para a onda da

entrada e da saída

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Uma boa análise

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E a saída triangular?

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Indo além do óbvio...

A.A.P. Suaide & M. Tabacniks (Lablfex, 2008)

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Como medir os picos

A.A.P. Suaide & M. Tabacniks (Lablfex, 2008)

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Mas porque a FFT tem tanto ruído?

A.A.P. Suaide & M. Tabacniks (Lablfex, 2008)

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O Intervalo de Amostragem

A.A.P. Suaide & M. Tabacniks (Lablfex, 2008)

A FFT “amarra” o começo com o final

E o resultado fica assim...

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Outros resultados – Vs e Ve

É preciso cuidado com o formato do sinal de entrada e saída...

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Quadrada A maioria comparou com a previsão teórica

Esse grupo simulou!

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Triangular

Problemas na medida

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Ganho

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Para esta semana O que precisa entregar:

Como são construídos os filtros

Os valores de R e C em cada caso e a justificativa

Fotos do sinal de entrada e saída em cada caso.

Comente o desempenho dos filtros:

Houve atenuação do sinal de interesse? Qual o ganho, em cada caso?

E quanto ao sinal que se quer descartar? Meça os ganhos.

Tudo isso para os dois filtros, passa-baixa e -alto

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ˆ G ˆ V Sˆ V e

ˆ Z C

( ˆ Z R ˆ Z C )

j

C

(R j

C)

Filtro RC

G0 1

1

C

2

ˆ G ˆ V Sˆ V e )ˆˆ(

ˆ

CR

R

ZZ

Z

)(C

jR

R

20

1

1

C

G

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Uma boa análise

Passa baixa Passa alta

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Outros resultados

A amplitude de saída maior que de entrada!

Sinal de 60hz não foi atenuado totalmente

Quem viu a diferença de fase devia ter quantificado!

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Ganho dos filtros

fc

2/1

Seno Ruido

Vários grupos usaram uma freq de corte maior que a freq do ruído no passa-alto!Faz sentido ?!?!

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Objetivos Estudar circuitos elétricos em corrente alternada com a

finalidade de explorar fenômenos caóticos

Aprender algumas técnicas avançadas de processamento de sinais e análise de dados

5 aulas

Noções de CA, filtro RC e circuito integrador

Análise de Fourier unidimensional

Ressonância de um circuito RLC simples

Funções caóticas: mapa logístico

Caos em circuito RLD

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Ressonância em Circuito RLC Ressonância:

ocorre em todo tipo de fenômeno ondulatório

ondas mecânicas

Em todo tipo de meio

Ondas eletromagnéticas

?

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Ao passar uma corrente elétrica por um indutor, um campo magnético é criado proporcional a corrente

Se a corrente for variável no tempo, o campo também será! O que nos faz lembrar da lei de Faraday:

A tensão elétrica εL nos terminais do indutor é proporcional à variação de fluxo magnético através dele.

dt

d BL

O Indutor

iB

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Como a única coisa que varia é a corrente:

Vamos chamar a constante de L, ou indutância, e a força eletromotriz induzida, εL, que é a queda de tensão no

indutor, será VL:

Em notação complexa, a corrente passando pelo indutor é:

dt

tdicte

dt

dBA

dt

d BL

O Indutor

dt

tdiLtVL

L é a indutância, medida em Henry (H)

tj

Leii ˆ

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Indutor – Notação Complexa

E a tensão será então:

Assim a impedância é dada por:

Ou, usando a fórmula de Euler:

tj

LL eLijdt

diLV

Ljei

eLij

ti

tVZ

tj

L

tj

LLL

ˆ

ˆˆ Reatância indutiva

j

L LeLjZ Portanto a tensão está adiantada

de /2 em relação a corrente

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Corrente:

Indutor:

Como era no capacitor?

2exp

ˆˆˆ

tjLi

tiZtV

L

LL

A fase da tensão

2exp

1

ˆˆˆ

tji

C

tiZtV

C

CC

tj

Leiti )(ˆ

adiantada

atrasada

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Capacitor e Indutor...Quem estava adiantado e quem estava atrasado mesmo??

I. S

anto

s, U

NB

(20

08

)

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Circuito RLC

Já sabíamos tudo sobre capacitores

Agora sabemos tudo sobre indutores

O próximo passo é obvio... Vamos juntar tudo!

Dado um sinal de entrada Vg(t), qual a tensão em cada um dos elementos e qual a corrente no circuito?

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A equação básica é:

No indutor temos:

No resistor temos:

No capacitor temos:

Circuito RLC

tVtVG cos0 2

2

dt

tqdL

dt

diLtVL

dt

tdqRtRitVR

C

tqtVC

tVtVtVtV GCRL

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Substituindo tudo na equação se obtém:

tVtq

Cdt

tdqR

dt

tqdL o cos

12

2

A solução para q(t) é a solução geral da homogênea mais uma solução particular da equação acima.

• Solução da homogênea• comportamento transitório do circuito (quando ele é ligado ou

desligado): oscilador harmônico amortecido• Solução particular

• comportamento em regime estacionário, depois que o comportamento transitório desaparece: oscilador forçado

A dedução não vai ser feita em detalhe aqui, mas pode ser encontrada no capítulo 2 de Mecânica de K. R. Symon e nas notas de aula do curso FAP–212, aulas 4 e 5.

A Equação do Circuito RLC

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Como é um circuito em série a impedância complexa total do circuito é a soma das impedâncias complexas de cada elemento:

A impedância real será:

E a fase será:

CLjR

CjLjRZZZZ CLR

11ˆˆˆˆ

2

2* 1ˆˆ

CLRZZZ

RCR

L

Z

Ztg

1

]ˆRe[

]ˆIm[

Caminho mais fácil...

jZeZ ˆ

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Sendo a tensão de entrada:

A corrente pode ser escrito como:

Portanto:

tj

GG eVV ˆ

A Corrente no Circuito RLC

)(

ˆˆ itjG ei

Z

Vi

)(

2

2

)(

1

ˆ

tjGtjG

j

tj

G e

CLR

Ve

Z

V

Ze

eVi

A fase da corrente vem da impedância total.

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Agora o problema está resolvido, pois como a corrente é a mesma em todo o circuito, podemos calcular a tensão no:

Resistor:

Capacitor

Indutor:

)(

0ˆ tj

R eRitV

)2/(

0

1)(ˆ

tj

C eiC

tV

)2/(

0ˆ tj

L eLitV

Tensões Nos Elementos

tj

GeV

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Mas o que esta acontecendo realmente?

O número complexo V(t) muda de posição no plano complexo com o passar do tempo.

Qual é sua trajetória? Mov. Circular Uniforme

)(

00 tj

eVV̂

Fasores e Correntes Alternadas)(

00)(ˆ

tj

eVtV

)cos()(

)(ˆRe)(

00

tVtV

tVtV

x, Re

y,Im

0V

0 t

tempo

]ˆRe[V

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Mas e o capacitor e o indutor??

RV̂

Fasores e o Circuito RLC

TotalV̂

CV̂

LV̂

t

2/

2/

CL VV ˆˆ

)(

0ˆ tj

R eRitV

)2/(

0

1)(ˆ

tj

C eiC

tV

)2/(

0ˆ tj

L eLitV

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Algo passou quase despercebido.

A amplitude da corrente (e de todas as tensões) depende de uma maneira bastante peculiar da freqüência.

A corrente é máxima quando:

O circuito RLC é ressonante!

Ressonância em Corrente

2

2

0

1

CLR

Vi G

0 e 1

01

0

0

0

LC

CL

d

di

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Para a carga (tensão no capacitor) é diferente:

A tensão é máxima quando, , portanto:

O capacitor tem carga para =0

As freq. de ressonância são diferentes!

Pergunta: podemos medir essa diferença?

2

2

00

1

CLRC

V

C

iV G

C

Ressonância em Carga

2

2

01

2

2

2

01

L

R

CLRC

d

d

0/0 ddVC

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As tensões e correntes têm um máximo num valor definido Ressonância

Ressonância: Circuito RLC

◦ O que define a posição são as constantes (R, L e C)

◦ A posição dos máximos não são necessariamente a mesma para todos os sinais (verifiquem o valor para a tensão no indutor)

Mas o que define a altura e a largura dessas curvas?

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Fator de Qualidade

Um rádio AM usa um circuitos ressonantes RLC para selecionar a estação.

◦ A seleção tem que conseguir separar estações vizinhas, sem perder o sinal da estação que se quer ouvir.

◦ Os engenheiros definiram o fator de qualidade:

U = Energia armazenada por ciclo

U = Energia dissipada por ciclo

aressonânciU

UQ

2

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Fator de qualidade do circuito:

U é a energia armazenada no circuito na condição de ressonância:

ΔU é a energia dissipada pelo circuito durante um período de oscilação:

Fator de Qualidade

2

0

2

02

1

2

1CCVLiU

TRiTPU 2

02

1

02

resU

UQ Largura em

) Pot (curva 2

) i (curva 2

0

0

P

i

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A potência entregue a um bipolo é o produto entre a tensão e a corrente.

no caso de correntes alternadas, o que vai interessar saber é a potência média dissipada num ciclo, em cada um dos elementos

cos2

1

2cos2

1)cos(

2

1

0 0

PP

T T

PPPP

iV

dttiV

Tdt

iV

TP

)cos()2cos(2

1

)cos()cos(

tiV

titV

titVtP

PP

PP

=0

Potência

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Portanto a potência média absorvida pelo circuito RLC (veja também a apostila de Corrente Alternada) pode ser escrita como:

Na condição de ressonância, =0 e Z0=R, portanto, a potência média por ciclo vai ser máxima:

cos2

cos2

1

0

2

000

Z

ViVP G

G

R

VP G

2

2

0

Ressonância em Energia

O máximo da potência ocorre para a mesma freqüência em que ocorre a ressonância para a corrente. A ressonância de corrente é também chamada de ressonância de energia.

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Resumindo:

Somente a resistência dissipa potência, capacitores e indutores puros não dissipam potência num período:

O que eles retiram do circuito na metade do período, eles devolvem na outra metade

Existem capacitores e indutores puros ou ideais?

O capacitor é ideal e vocês verificaram

E o indutor, o que acham?

Há outras resistências, além do resistor no circuito?

Potência

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Você pode verificar isso!

Na condição de ressonância de corrente, ω=ω0 e:

Portanto:

Ou seja, se medir VG0 e i0 na ressonância você descobre qual é a resistência total, R, do circuito

00 RiVG

RC

LRZ

2

2

0

1

011

00

RC

Ltg

Se Φ0=0, corrente e tensão

estão em fase, o circuito é puramente resistivo

Circuito RLC: Dissipação de Energia

VG0 é a tensão de pico aplicada pelo gerador e i0 é a corrente de pico no circuito

Quanto vale R ??

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Atividades da Semana

A freqüência de ressonância é ligeiramente diferente se observarmos a corrente, tensão no capacitor ou indutor

Contudo, é muito difícil quantificar experimentalmente

CONCLUSÃO: Vamos medir apenas uma curva de ressonância e tentar aprender o máximo possível com ela. Ressonância em corrente.

O que podemos obter da curva de ressonância?

Freqüência e largura

Fator de qualidade (Q) Energia armazenada e dissipada no circuito.

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Levantar a curva de ressonância de corrente do circuito RLC

Ajustar e Comparar com a curva teórica O que usar? Ondas harmônicas simples ou quadrada + FFT ?

Calcular a potência média dissipada por ciclo em função da freqüência

Obter o valor de Q e comparar com a previsão

Na ressonância, medir VL e VC

Qual a diferença de fase entre as duas? Compare uma com a outra e ambas com a amplitude da tensão no gerador. Comente.

Fazer isso para dois circuitos diferentes:

R1=1Ω, C=1μF e L=35mH

R1=33Ω, C=1μF e L=35mH

Para entregar

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Como fazer a medida? Precisamos medir o sinal de saída em função da

freqüência... Podemos usar o método da FFT?

Quando usamos a FFT, só determinamos em alguns pontos, não foi? Porque?

Medimos os pontos correspondentes aos picos, pois o ruído dos dois sinais não são correlacionados!

Qual a resolução que conseguimos (separação entre os picos da FFT) com uma onda quadrada?

Qual a largura da curva de ressonância?

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CuidadosUsar o abaixador de impedâncias do gerador de áudio!

Será que o gerador pode ser considerado ideal? Como saber se é? O que muda na teoria se não for?

O que vão medir? Onde colocar o terra?

Lembre-se de medir um número de pontos que permita obter curvas bem definidas