NOTAS DE AULAS DE MATEMTICA APLICADA A ENGENHARIA

Csar de Oliveira UNESP SOROCABA

Docente: Sandra Regina Monteiro Masalskiene Roveda

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Sumrio

1. Introduo .......................................................................................................................... 4

1.1 Equaes Diferenciais ...................................................................................................... 4 1.1.1 - Definio .................................................................................................................... 4

1.2.2 - Classificao das equaes Diferenciais ...................................................................... 4 1.2.2.1 - Quanto as variveis independentes ........................................................................... 4

1.2.2.2 - Quanto a ordem ........................................................................................................ 5 1.2.2.3 - Quanto ao grau ......................................................................................................... 6

1.2.2.4 - Quanto aos coeficientes das Derivadas .................................................................... 6

2. Equao Diferencial Ordinria de Primeira Ordem ............................................................. 8 2.1 Mtodos ........................................................................................................................... 9

2.1.1 Soluo de Equaes Lineares ....................................................................................... 9 2.1.1.1. Equaes de variveis separveis ............................................................................. 11

2.1.1.2. Mtodo da variao dos parmetros ......................................................................... 12 2.1.1.3. Estratgia para resoluo de uma EDO de 1 ordem: ................................................ 14

2.1.1.4. Teorema de existncia e unicidade de solues ........................................................ 14 2.1.1.5 Equaes exatas ....................................................................................................... 14

2.1.1.6. Equaes Autnomas .............................................................................................. 20 2.1.1.6.1. Estudo Qualitativo das Equaes Diferenciais Autnomas ................................... 21

2.1.1.6.2. Equao Logstica ................................................................................................ 22 2.1.1.6.3. Limiar Crtico ....................................................................................................... 24

2.1.1.7. Equaes homogneas ............................................................................................. 25 2.1.1.8. Equao de Bernoulli .............................................................................................. 26

3. Equao Diferencial Ordinria de Ordem Superior ........................................................... 28

3.1. Teorema de Existncia de uma soluo nica ................................................................ 28 3.2. Equaes Homogneas .................................................................................................. 28

3.2.1. Operadores Diferenciais ............................................................................................. 29 3.2.2. Teorema da Superposio em Equaes Homogneas ................................................ 30

3.2.3. Wronskiano de funes .............................................................................................. 30 3.2.4. Reduo de Ordem ..................................................................................................... 33

3.2.5. Equaes Lineares Homogneas com Coeficientes Constantes ................................... 35 3.2.6. Equao Homognea de Cauchy-Euler ....................................................................... 37

3.3. Equaes No-Homogneas .......................................................................................... 40 3.3.1. Equaes No-Homogneas de Coeficientes a Determinar ......................................... 42

3.3.1.1. Estratgia para resolver Equaes de Coeficientes a Determinar .............................. 46 3.3.2. Mtodo da Variao dos Parmetros ........................................................................... 48

3.3.2.1. Estratgia para resolver problemas com o mtodo da Variao dos Parmetros........ 49 3.4. Solues em Sries ........................................................................................................ 50

3.4.1. Classificao dos Pontos e Forma da Soluo ............................................................. 50 3.4.1.1. Soluo em Ponto Ordinrio .................................................................................... 51 3.4.1.2. Soluo em Ponto Singular Regular ......................................................................... 52

3

4. Sistemas de Equaes Diferenciais de Primeira Ordem .................................................... 55

4.1. Viso Matricial de Sistemas de Equaes Diferenciais .................................................. 55 4.2. Sistemas Lineares Homogneos com Coeficientes Constantes ....................................... 57

4.3. Mtodo da Variao dos Parmetros para Sistemas Lineares No Homogneos ............. 60

Bibliografia .......................................................................................................................... 62

4

1. Introduo

1.1 Equaes Diferenciais

Quase todos os problemas em cincias fsicas e engenharia podem ser reduzidos a uma equao

diferencial. Por esta razo saber reconhecer uma equao diferencial dentro de um problema

especfico muito importante, para a busca de sua soluo. Da mesma forma, saber classificar

uma equao diferencial o primeiro passo na busca de sua soluo, pois apesar de no existir

um mtodo nico para se resolver todas as equaes diferenciais, a classificao delas ajuda a

escolher o mtodo mais adequando de soluo.

1.1.1 - Definio

Uma equao diferencial uma equao que envolve uma funo incgnita e suas

derivadas.

1.2.2 - Classificao das equaes Diferenciais

1.2.2.1 - Quanto as variveis independentes

a) Equao Diferencial Ordinria (E.D.O.) A funo incgnita depende apenas de uma

varivel independente: y = f(x).

b) Equao Diferencial Parcial (E.D.P.) A funo incgnita depende de duas ou mais variveis

independentes: y = f(x, y, z, t).

Exemplo:

qdx

udEI

4

4

(1)

5

Figura 1 - Problema de uma viga bi-apoiada e flexionada sobre seu prprio peso.

1.2.2.2 - Quanto a ordem

A ordem de uma equao diferencial a ordem da mais alta derivada que aparece na

equao.

Exemplos:

1) )(ou)( tuuxuu

EDO de 1 Ordem

uu 1'

EDO de 2 Ordem

xuu 4''

EDO de 2 Ordem

)(tfRuucum

6

1.2.2.3 - Quanto ao grau

O grau de uma equao diferencial a potncia a que se acha elevada a derivada de

ordem mais alta.

Exemplos:

1) )(ou)( tuuxuu

EDO de 1 Ordem e do 2 Grau

22 2')'( xuuu

2) u = u(x, y, z)

EDP de 2 Ordem e 1 Grau

02

2

2

2

2

2

z

u

y

u

x

u

ou

02 u

Onde o operador 2 chamado de Laplaciano.

2

2

2

2

2

22

zyx

1.2.2.4 - Quanto aos coeficientes das Derivadas

a) Lineares Os coeficientes dependem das variveis independentes.

b) Quase-Lineares Os coeficientes dependem das variveis independentes e/ou das variveis

dependentes, mas no de suas derivadas.

c) No-Lineares Os coeficientes dependem das derivadas das variveis dependentes

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Exemplos:

Linear:

0 )()()( xcfxbdx

dfxa

Quase-Linear:

0 )()()( xcfxbdx

dfxf

No-Linear:

02

2

2

2

),( yxd

y

f

x

f

x

f

y

f

OBS: Uma equao linear sempre do primeiro grau, uma equao do primeiro grau no e

necessariamente linear.

8

2. Equao Diferencial Ordinria de Primeira Ordem

Uma equao diferencial ordinria (EDO) uma equao da forma:

. ( ) ( ) ( ) ( )( )/

Envolvendo uma funo incgnita ( ) e suas derivadas ou suas diferenciais. a varivel

independente, a varivel dependente e o smbolo ( ) denota a derivada de ordem n da

funo.

A ordem da equao diferencial a ordem da mais alta derivada da funo incgnita que

ocorre na equao. Grau o valor do expoente para a derivada mais alta da equao, quando a

equao tem a forma de um polinmio na funo incgnita e em suas derivadas. Podemos

classificar as equaes de primeira ordem em vrios tipos, porm os mais importantes so:

equaes lineares, separveis e exatas.

A soluo de uma equao diferencial uma funo que satisfaz a equao diferencial

sobre algum intervalo aberto. Uma equao ( ) somente uma soluo da funo se ela

diferenvel at a ordem da maior derivada citada na funo e se esta satisfizer a mesma. A

soluo mais geral possvel que admite uma equao diferencial denominada soluo geral,

enquanto que outra soluo chamada uma soluo particular.

As equaes diferenciais ordinrias tm vrias solues e para se escolher uma nica

soluo, so necessrias informaes adicionais. Se as condies adicionais forem especificadas

para um mesmo valor de , por exemplo, , temos um Problema de Valor Inicial (PVI). Caso

estas condies adicionais sejam dadas para mais de um valor de , temos um Problema de Valor

de Contorno (PVC).

Uma grande quantidade de problemas prticos pode ser resolvida com a resoluo deste

tipo de equaes, como por exemplo: o decaimento radioativo (muito til quando se trata de um

solo contaminado com algum componente como urnio), o crescimento populacional (que pode

estar ligado tentativa muitas vezes falhas de engenheiros ambientais tentarem reestabelecer a

fauna nativa de um ambiente anteriormente degradado porm sem considerarem danos externos e

o tempo de procriao da mesma), problemas de misturas (que podem ser efluentes lquidos e

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seus devidos oxidantes ), comparao entre taxas de entradas e sadas ( que podem ser utilizadas

para a analisar se a demanda bioqumica de oxignio de um rio suportar a vazo de produtos

qumicos que constantemente despejado nele), modelagem das variaes de temperaturas

(clculo muito utilizado atualmente uma vez que se pretende tentar controlar o agravamento do

efeito estufa) e at mesmo controlar a explorao de recursos naturais.

2.1 Mtodos

2.1.1 Soluo de Equaes Lineares

Uma equao linear de ordem n uma equao da seguinte forma:

( )

( )

( )

( ) ( )

O problema em questo trata de uma equao linear de primeira ordem, portanto tem o seguinte

formato:

( )

( ) ( )

Esta equao precisa ser colocada na forma padro, onde o coeficiente do primeiro termo

(derivada de ordem 1) deve ser 1, assim, todos os termos da equao so divididos por ( ):

( )

( )

( )

( )

Podemos colocar a equao da seguinte forma:

( ) ( )

Onde ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

10

Propriedade: a soluo de uma ED a soma de duas solues: sua homognea associada e uma

soluo particular da equao no homognea.

( )

Onde a soluo homognea associada e a soluo particular da equao no homognea.

Sabendo que y soluo, temos que:

( ) ( )( )

Rearranjando temos:

( )

( ) ( )

Como,

( )

J que soluo associada homognea. Teremos:

( ) ( )

Note que isso coerente, j que, por hiptese soluo particular da equao no homognea.

( ) ( )

11

2.1.1.1. Equaes de variveis separveis

Note tambm, que na situao de uma equao homognea, como est abaixo, pode-se encontrar

a soluo por meio do que chamamos de equaes de variveis separveis.

( )

Separando as variveis temos:

( )

Ento:

( )

Integrando ambos os lados tm-se:

| | ( )

Para explicitar o y, aplicamos a exponencial equao e temos:

( )

Por convenincia,

( )

Entretanto, para encontrar a soluo particular da equao no homognea, precisamos utilizar o

mtodo da variao dos parmetros.

12

2.1.1.2. Mtodo da variao dos parmetros

Partindo da hiptese ( ) onde u uma funo, j que se fosse uma simples constante

real, seria apenas um mltiplo da soluo homognea.

Substituindo em

( ) ( ) , temos:

( ( ) ( )) ( ) ( ) ( )

Utilizando a regra da cadeia, temos:

( ) ( )

Fatorando u(x) temos:

(

( ) )

( )

Como temos que:

( )

Ento:

( )

Percebemos que as variveis so separveis:

( )

( )

Integrando temos:

( )

13

Como ( ) temos:

( )

( )

( ( ) ( ) ) ( ( ) )

( ) ( ) ( )

Sendo yp a soluo da equao linear no-homognea.

Desta forma, a soluo geral ser da forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Sendo essa a soluo geral, vamos aplica-la na equao diferencial linear de primeira ordem no-

homognea da forma

( ) ( ). A soluo dada encontrada utilizando-se o fator

integrante ( ) . Utilizando o fator integrante na equao temos:

( ) ( )

( ( ) ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Note que, multiplicando por ( ) retornamos equao original.

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

Portanto, assim demonstramos o mtodo de resoluo de EDOs de 1 ordem por fator integrante.

14

2.1.1.3. Estratgia para resoluo de uma EDO de 1 ordem:

1. Dada a equao na forma padro

( ) ( )

2. Multiplicar a EDO pelo fator integrante ( )

3. Teremos

( ( ) ) ( ) ( ) , basta integrar e teremos ( )

( ) ( )

2.1.1.4. Teorema de existncia e unicidade de solues

Se F e

so contnuas em um aberto D de R2, domnio da EDO y=F(x,y), dado p0 de D, existe

uma soluo que passa por esse ponto. Duas solues que passam p0 coincidem na interseo de

seus domnios.

2.1.1.5 Equaes exatas

Veja a seguinte equao diferencial:

Note que uma equao separvel, mas existe outra forma de resolver essa equao, note que ela

pode ser reagrupada (o lado esquerdo) como a diferencial:

( )

Integrando a equao, temos:

Mas como podemos ver, o que fizemos foi uma manipulao numa funo de 1 varivel, mas se

diferenciarmos funes de 2 variveis como f(x,y) teremos:

Exemplo:

( ) ( )

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Definio:

Uma expresso diferencial ( ) ( ) uma diferencial exata em uma regio

R do plano xy se corresponde diferencial de alguma funo f(x,y).

Uma EDO de 1 ordem da forma

( ) ( )

chamada de equao exata se a expresso esquerda for uma diferencial exata.

Para exemplificar como se identifica uma diferencial exata, usamos a equao

na forma acima, e note que:

Ou seja

( )

Toda vez que uma diferencial se enquadrar na condio ( ), ela ser uma diferencial exata.

Teorema

Sejam ( ) ( ) contnuas e com derivadas parciais de 1 ordem contnuas em uma

regio R definida por a

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Logo, ( )

( )

Assim,

.

/

.

/

Portanto:

() Volta

Devemos mostrar agora que h uma funo f para a qual ( )

( )

sempre que

. Assim, ser demonstrado um mtodo de resoluo para equaes exatas:

Mtodo de resoluo de equaes exatas

Dada uma equao diferencial da forma ( )

( )

, determinaremos se

( )

Se ( ) for verdadeira, existe uma funo f(x,y) para a qual

( ). Integrando em

relao x, temos:

( ) ( ) ( )

Onde g(y) a funo constante arbitrria.

Calculando

temos:

( ) ( )

17

Por outro lado:

( )

Logo:

( ) ( )

( )

Integrando toda a expresso em relao a y, encontramos a funo g(y) e consequentemente a

soluo.

Observao:

Note que existe a garantia de que g(y) ser um resultado unicamente em funo de y, para isso

derivamos o lado direito em relao a x para verificamos se o resultado ser zero, se for significa

que a expresso est em funo de y, logo, numa derivada parcial em x seus valores se tornam

constantes e o resultado zero.

( ( )

( ) )

(

( ) )

Algumas vezes, possvel converter uma equao diferencial no exata em uma equao exata

multiplicando-a por uma funo (x,y) chamada fator de integrao. Porm, a equao exata

resultante:

M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0

pode no ser equivalente original no sentido de que a soluo para uma tambm a soluo

para a outra. A multiplicao pode ocasionar perdas ou ganhos de solues.

Exemplo: Se a equao diferencial

( )

for multiplicada pelo fator integrante (x,y) = x, a equao resultante

( )

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exata, ou seja,

.

Pode ser difcil encontrar um fator integrante. No entanto, existem duas classes de equaes

diferenciais cujos fatores integrantes podem ser encontrados de maneira rotineira - aquelas que

possuem fatores integrantes que so funes que dependem apenas de x ou apenas de y. O

Teorema a seguir, que enunciaremos sem demonstrao, fornece um roteiro para encontrar esses

dois tipos especiais de fatores integrantes.

Mtodo dos Fatores Integrantes

Considere a equao diferencial ( ) ( )

1. Se

( ), ( ) ( )- ( )

uma funo s de x, ento ( ) um fator integrante.

2. Se

( ), ( ) ( )- ( )

uma funo s de y, ento ( ) um fator integrante.

Exemplo:

Encontre a soluo geral da equao diferencial ( )

Soluo:

A equao dada no exata, pois [ ( ) ( )] .Entretanto, como

( )[ ( ) ( )]

, - ( )

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temos que ( ) = xdx ee 1 um fator integrante. Multiplicando a equao dada por ex,

obtemos a equao diferencial exata

( xe xe ) xe

cuja soluo obtida da seguinte maneira:

( ) ( ) ( xe ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Logo

( )

O que implica que na soluo geral

Outra forma de fator integrante

Observao: Um outro fator integrante :

Se ( ) ( ) ( ) ( ), ento:

( )

( ) ( )

20

2.1.1.6. Equaes Autnomas

Uma importante classe de Equaes Diferenciais de primeira Ordem so aquelas cuja varivel

independente no aparece explicitamente, e so chamadas Equaes Autnomas e so da forma:

( )

Crescimento populacional:

Dado ( ) a populao de certa espcie no tempo x. A hiptese mais simples referente

variao da populao que a taxa de variao de y proporcional ao valor corente desta mesma

funo, ou seja,

( )

Onde a constante de proporcionalidade r chamada de taxa de crescimento ou declnio,

dependendo de seu sinal, positivo ou negativo. Ao resolver a Equao ( ) sujeita condio

inicial e assumindo r>0, a populao estar crescendo:

( ) ( )

Obtm-se,

( )

O modelo matemtico constitudo pelas equaes ( ) e ( ) conhecido como Problema do Valor

Inicial (PVI) que tem a Equao ( ) como sua soluo. Como r>0 o modelo prediz que a

populao crescer exponencialmente por todo o tempo. Sob condies ideais, a Equao (4)

pode ser observada e experimentada para muitas populaes, pelo menos por perodos limitados

de tempo. Mas, se as condies ideais no continuam indefinidamente, por limitaes no espao,

comida e suprimentos, a taxa de crescimento ser reduzida e interromper o crescimento

exponencial.

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2.1.1.6.1. Estudo Qualitativo das Equaes Diferenciais Autnomas

possvel, tendo em mos uma equao diferencial autnoma, esboar seu grfico a partir do seu

estudo qualitativo. Que tem um processo muito parecido com o que feito com funes

quaisquer utilizando suas derivadas de ordem 1 e 2 (visto normalmente em Clculo 1).

Procedimento:

a) Esboce o grfico de f(y) em funo de y;

b) Determine os pontos crticos (de equilbrio);

c) Desenhe a reta de fase (classificando as solues como ser visto a seguir) e esboce o grfico

de algumas solues.

Exemplo: Faa o estudo qualitativo da equao diferencial abaixo

( ) ( )

O grfico de f(y) pode ser esboado a partir da observao de que sua expresso um polinmio

de grau 4, com uma raz simples em y = -1, uma raz dupla em y = 0 e outra raz simples em y =

1. Estudando ainda o sinal da funo nos intervalos y < -1, -1 < y < 0, 0 < y < 1 e y > 1, obtm-se

o esboo indicado abaixo.

Agora fcil determinar os pontos crticos, ou de equilbrio, da equao, pois so aqueles para os

quais a funo f(y) se anula. Assim, os pontos crticos so y = -1, y = 0 e y = 1.

A classificao dos pontos pode ser feita estudando o sinal da funo f(y) em torno de cada um

desses pontos crticos. Por exemplo, do grfico acima percebe-se que, se uma soluo y(t) tal

que y(t) < -1, ento a sua derivada y(t) = f(y(t)) positiva, e portanto a funo crescente, e

tende a se aproximar de -1. Da mesma forma, se a soluo y(t) tal que -1 < y(t) < 0, ento a sua

derivada negativa, e a funo decrescente, e tende a se aproximar de -1. Procedendo-se de

forma anloga com os outros pontos, obtm-se a reta de fase indicada abaixo.

22

A classificao das solues de equilbrio na reta de fase so classificadas em:

Atratoras (estveis)

Repulsoras (instveis)

Semi-estveis

Onde as setas indicam se para onde a funo cresce. A figura 2 representa a reta de fase do

exemplo:

Figura 2 Reta de Fase das solues de equilbrio

Com essas informaes em mos possvel esboar o grfico:

Figura 3 Esboo do grfico

2.1.1.6.2. Equao Logstica

Considerando o fato de que a taxa de crescimento depende da populao atual, pode-se

substituir a constante r da Equao ( ) por uma funo h(y) tal que:

( )

23

Seja h(y) = r > 0 quando o valor de y pequeno, h(y) decresce com o crescimento de y, e

h(y)

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2.1.1.6.3. Limiar Crtico

Considere a equao,

.

/ ( )

onde r e T so constantes positivas. Esta equao difere da Equao Logstica pela presena do

sinal negativo em r e pela substituio do parmetro K por T. Contudo as solues da Equao

( ) comportam-se diferentemente da Equao ( ). O grfico representado pela Figura 2.3:

Figura 5 - y por x para ( )

Observando a Figura 2 fica claro que com o aumento de x, ou y se aproxima de zero ou

cresce indefinidamente, dependendo se o valor inicial, , menos ou maior que T. Dessa forma,

T um Limiar, abaixo do qual, o crescimento no ocorre.

As populaes de algumas espcies exibem o fenmeno limiar. Se h poucos indivduos

presentes, a espcie no capaz de se propagar com eficincia e a populao torna-se extinta.

Mas, se uma populao maior que o nvel limiar puder ser reunida, ento o crescimento pode

ocorrer.

25

2.1.1.7. Equaes homogneas

Definio

Uma equao diferencial da forma

( ) ( )

chamada de homognea se ambos os coeficientes M e N so funes homogneas de mesmo

grau.

Obs.: Uma funo de grau n homognea quando a funo f satisfaz

( ) ( )

Exemplo:

( ) ( )

Onde

( ) ( ) ( )

Ento M(x,y) uma funo homognea.

( ) ( ) ( )

Ento N(x,y) uma funo homognea.

Portanto, ( ) ( ) equao homognea.

Observao:

Se f(x,y) for homognea de grau n, podemos escrever:

( ) .

/ ( ) (

)

Em que .

/ e .

/ so ambas homogneas de grau zero.

Mtodo de resoluo

Podemos resolver uma equao diferencial homognea

( ) ( ) ( )

26

Atravs de uma substituio algbrica. Especificamente, a substituio ou , em

que u e v so as novas variveis independentes, transformar a equao em EDO de 1 ordem

separvel.

Vejamos:

Seja logo

Substituindo em ( ) temos

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ( ) ( )) ( )

Logo

( ( ) ( )) ( )

Assim,

( )

( ) ( ) ( )

2.1.1.8. Equao de Bernoulli

Definio

Uma equao diferencial da forma

( ) ( )

uma equao de Bernoulli, onde n > 1.

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Mtodo de resoluo

Como y diferente de zero, temos

( ) ( )

Fazendo a substituio temos

( )

( )

( )

( ) ( )

Finalmente chegamos seguinte equao linear de 1 ordem:

( )

( ) ( )

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3. Equao Diferencial Ordinria de Ordem Superior

Equaes lineares de ordem superior so da forma:

( )

( )

( )

( ) ( )

3.1. Teorema de Existncia de uma soluo nica

Sejam ( ), ( ),... ( ) e ( ) contnuas em um intervalo I e seja ( ) nesse

intervalo. Se x = x0 algum ponto deste intervalo ento existe uma nica soluo y(x) do PVI

neste intervalo.

3.2. Equaes Homogneas

So equaes da forma:

( )

( )

( )

( )

A no ser que se diga o contrrio, o enunciado de definies e teoremas sobre equaes lineares

tambm valem para equaes homogneas:

Coeficientes ai(x), i=0,1,...n so contnuas.

O segundo membro g(x) contnuo.

a0(x) em algum intervalo I.

OBS.: relembrando lgebra Linear sabemos que, um elemento pertencente um espao vetorial

pode ser gerado por uma base desse espao vetorial, como uma soluo geral de uma equao

diferencial pertence ao espao vetorial das funes, ento, com uma base do espao vetorial das

funes podemos gerar a soluo da EDO, isso o que veremos em seguida.

29

3.2.1. Operadores Diferenciais

Um operador diferencial de uma funo f no ponto a uma transformao linear que associa a

cada vetor V de Rn a derivada direcional de f no ponto a. Representada por:

Em geral

( ) ( )

( ) ( )

Um operador linear uma transformao linear de V V, que o caso dos operadores

diferenciais. Seguindo as regras de linearidade das transformaes, vemos que:

* ( ) ( )+ ( ( )) ( ( ))

* ( )+ ( ( ))

Portanto, um operador linear.

Podemos escrever qualquer equao diferencial linear em termos de operadores lineares.

Exemplo:

( )

Equaes homogneas:

Equaes lineares no-homogneas

( )

30

3.2.2. Teorema da Superposio em Equaes Homogneas

Sejam y1, y2,... yk solues da EDO homogneas de ordem n em um intervalo I. Ento, a

combinao linear ser:

( ) ( ) ( )

Onde ci so constantes arbitrrias e yj solues da EDO.

Demonstrao (usando k=2)

Sejam y1 e y2 solues de EDO linear homognea de ordem n.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Corolrios:

Um mltiplo constante ( ) de uma soluo y1(x) de uma EDO homognea

tambm soluo.

Uma EDO linear homognea sempre tem soluo trivial.

3.2.3. Wronskiano de funes

Definio:

Suponha que cada uma das funes linearmente independentes f1(x), f2(x),... fn(x) tenha pelo

menos n-1 derivadas.

O determinante

w(f1, f2,... fn) = ||

||

31

o Wronskiano, que o resultado do determinante dessa matriz quadrada, formada pelas funes

na primeira linha, primeira derivada das funes na segunda linha, e assim por diante, at a (n-1)-

sima derivada das funes na n-sima linha.

Wronskiano uma funo aplicada especialmente no estudo de equaes diferenciais. O nome

dessa funo uma homenagem ao matemtico polons Josef Wronski.

Teorema

Sejam y1, y2,... yn , n solues da EDO linear homognea de ordem n em um intervalo I. Ento, o

conjunto das solues ser LI em I, se e somente se, w(f1, f2,... fn) .

Definio

Qualquer conjunto y1, y2,... yn , de solues no intervalo LI da EDO homognea de ordem n em

um intervalo I chamado de conjunto fundamental de solues.

Teorema

Existe um conjunto fundamental de solues para a ED linear em um intervalo I.

Teorema

Sejam y1, y2,... yn , n solues LI para a ED linear homognea de n-sima ordem em um intervalo

I.

Ento, toda soluo y(x) para ED uma combinao linear das n solues independentes y1, y2,...

yn , ou seja, podemos encontrar c1, c2,... cn , tais que

( ) ( ) ( ) ( )

32

Demonstrao

Provaremos para o caso n = 2.

Seja y(x) uma soluo e sejam e duas solues LI para

( )

( )

( )

No intervalo I.

Suponha que x = t seja um ponto desse intervalo para o qual w(y1, y2) 0.

Suponha tambm que os valores y(t) e y(t) sejam y(t) = k1 e y(t)=k2.

Se examinarmos o sistema

( ) ( )

( ) ( )

Podemos encontrar as c1 e c2 de maneira nica desde que W(y1, y2) 0. Mas, por hiptese, esse

det 0, pois as solues so LI. Logo, podemos definir as solues como:

( ) ( ) ( )

Observe que

1) G(x) satisfaz a ED pelo princpio da superposio.

2) G(x) satisfaz as condies iniciais.

3) Y(x) satisfaz a mesma ED e as mesmas condies iniciais.

Como, pelo teorema de existncia e unicidade, esse PVI tem soluo nica, temos que Y(x) =

G(x). Portanto,

( ) ( ) ( )

a soluo geral da equao neste intervalo.

33

3.2.4. Reduo de Ordem

Suponha que y1 denote uma soluo no-trivial da equao

( )

( )

( )

e que esteja em um intervalo I.

Procuramos uma segunda soluo, y2, de tal forma que y2 e y1 sejam LI em I.

Assim:

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Caso Geral Reduo de Ordem

Seja

( )

( )

( )

Na forma padro (dividindo todos por a2):

( )

( )

em que P(x) e Q(x) so contnuas em algum intervalo I. Vamos supor ainda que y1(x) seja uma

soluo conhecida em I e que y1(x) 0 para todo x no intervalo. Queremos encontrar uma

segunda soluo y2 que seja LI a y1, ou seja:

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Onde ( ) uma funo de x.

34

Supondo que ( ) seja soluo, vamos deriv-la e aplicar na equao:

( )

( )

Substituindo na equao e agrupando os termos, temos:

(

) (

)

Note que

pois soluo da equao homognea, ento:

(

)

Fazendo a substituio temos:

( )

Observe que essa equao linear e separvel! Portanto, simples resolv-la:

| |

Como W = temos:

Escolhendo convenientemente = 1 e = 0:

Como ( ) ( ) ( ) temos por fim, o caso geral da reduo de ordem:

( )

35

3.2.5. Equaes Lineares Homogneas com Coeficientes Constantes

Considerando o caso especial da equao de segunda ordem:

( )

( )

( )

Suponha que y = emx

seja soluo da equao acima.

Assim y = memx e y=memx

Substituindo na equao, temos

02 mxmxmx cebmeeam ou .0)( 2 cbmamemx

Como emx

nunca se anula para valores reais de x, ento a nica maneira de fazer essa funo

exponencial satisfazer a equao diferencial escolher m de tal forma que ele seja raiz da

equao quadrtica (Equao auxiliar):

02 cbmam

Essa ltima equao chamada de equao auxiliar ou equao caracterstica da equao

diferencial. Consideramos trs casos, a saber: as solues para a equao auxiliar correspondem a

razes reais distintas, razes reais iguais e razes complexas conjugadas.

CASO I Razes Reais Distintas

Sejam m1 e m2 razes da equao auxiliar e distintas entre si. As solues sero dadas por:

(A soluo geral ser a combinao linear das duas solues).

Podemos provar que so LI utilizando o wronskiano (fica como exerccio essa verificao).

Soluo Geral:

( )

36

CASO II Razes Reais Iguais

Sejam m1 e m2 razes da equao auxiliar e distintas entre si. As solues sero dadas por:

Para encontrar a segunda soluo realizamos uma reduo de ordem.

( )

Onde P(x) = b/a.

Mas note que, como a equao auxiliar tem razes iguais (ento =0), ento

Portanto:

Soluo geral:

CASO III Razes Complexas Conjugadas

Agora, as solues da equao auxiliar so complexas, ou seja:

Sejam e 0 so reais e i2 = -1.

A soluo geral ser dada por

( ) ( )

( )

Entretanto, no de nosso interesse manter a soluo com uma parte imaginria, queremos uma

soluo real. Para este fim, usamos a frmula de Euler:

37

Frmula de Euler: sencos ie i

Aplicando a frmula de Euler na soluo geral que temos at agora, temos:

, ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))-

,( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ( ) ( ))

3.2.6. Equao Homognea de Cauchy-Euler

Uma equao de Cauchy-Euler (ou de Euler-Cauchy em alguns livros) tem a forma:

A chave para se identificar uma equao de Cauchy-Euler perceber que a potncia do x tem a

mesma ordem da derivada a qual est multiplicando e que o seu coeficiente constante.

Para esse tipo de equao, supomos que a soluo da forma y = xm.

Neste curso, trabalharemos com a equao de Cauchy-Euler de segunda ordem, que tem a forma:

Para encontrar a sua equao auxiliar (e consequentemente, o valor de m) substitumos na

equao as derivadas da sua suposta soluo.

( )

Logo:

( )

( )

Note que aps a substituio, todos os x passaram a ter potncia m (propriedade da equao de

Cauchy-Euler) e esse xm ser fator comum, logo:

38

( ( ) )

Como a soluo no trivial, ento, para que a equao acima se verifique, devemos ter:

( )

( )

Que a equao auxiliar, com raz m. Note que ela difere da equao auxiliar do mtodo dos

coeficientes constantes pelo ( ) .

CASO I Razes Reais Distintas

Sejam m1 e m2 razes da equao auxiliar e distintas entre si. As solues sero dadas por:

A independncia linear entre as duas solues pode ser provada com o Wronskiano!

A soluo geral dada por:

( )

CASO II Razes Reais Iguais

Sejam m1 e m2 razes da equao auxiliar e distintas entre si. A primeira considerao a ser feita

que esse resultado (razes iguais) se deve ao discriminante ser nulo (ou seja, =0). O que indica

que:

( )

Onde b = e a = da equao original.

Ento, a equao diferencial fica:

Identificamos

e

.

/ . Assim:

. /

39

Como .

/

temos:

E como ( ) temos:

( )

Portanto, a soluo geral ser dada por:

( )

CASO III Razes Complexas Conjugadas

Agora, as solues da equao auxiliar so complexas, ou seja:

Sejam e 0 so reais e i2 = -1.

A soluo geral ser dada por

( ) ( )

( )

Utilizaremos novamente a frmula de Euler para tornar essa soluo inteiramente real:

( )

Assim:

( ) ( )

Somando e subtraindo esses dois ltimos resultados, temos, respectivamente:

( )

( )

Como ( ) ( )

( ) uma soluo para qualquer valor nas constantes, se

fizermos primeiramente c1 = c2 = 1 e c1=1, c2 = -1, teremos:

( )

e

( )

40

OU

( ( )

e

( ( )

Que tambm soluo. E como o wronskiano W( ( ( ) ( ( ))

no intervalo (0,), conclumos que:

( ( ))

( ( ))

Portanto, a soluo geral real ser:

( ) , ( ) ( )-

3.3. Equaes No-Homogneas

Agora iniciaremos o estudo da busca por solues de equaes no-homogneas, que tem a

forma:

( )

( )

( )

( ) ( )

Note que a diferena fundamental aqui entre o que estudamos at agora e o que iniciaremos, a

existncia de uma funo g(x) no lado direito da equao, j que at agora trabalhamos com o

lado direito nulo.

Teorema

Seja yp uma soluo particular qualquer da equao diferencial linear no homognea de ordem n

em um intervalo I, e seja {y1, y2, ... yn} um conjunto fundamental de solues da equao

diferencial homognea associada em I. Ento, a soluo geral da equao no intervalo :

( )

Em palavras: a soluo geral a soma da soluo da equao homognea associada e da soluo

particular.

41

Demonstrao

Seja L o operador diferencial e L(y) = g(x) a equao diferencial no homognea de grau n. Seja

u(x) = y(x) - yp.

Teremos:

( ) ( ( ) ) ( ( )) ( ) ( ) ( )

Portanto, L(u) soluo da equao homognea associada.

Podemos escrever

( )

( )

( )

Outro teorema importante, especialmente para o primeiro mtodo de resoluo de equaes no

homogneas que veremos o:

Teorema do Princpio da Superposio (para equaes no homogneas)

Sejam yp1, yp2, ... ypk, k solues particulares da equao linear no-homognea de ordem n em

um intervalo I correspondendo por sua vez a k funes distintas g1, g2, ... gk.

Isto , suponha que ypi denote uma soluo particular da equao diferencial correspondente:

( )

( )

( )

( ) ( )

Onde i = 1, 2, ... k.

Ento:

( ) ( ) ( ) ( )

uma soluo particular de

42

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

Em palavras: a soluo particular de uma equao diferencial onde o g(x) a soma de funes,

a soma das solues das equaes diferenciais com cada uma dessas funes. Ento, por

exemplo, se tivermos a equao diferencial

( )

Podemos primeiro encontrar uma soluo para que seria yp1 e depois encontrar

uma soluo particular para ( ) que seria yp2 e assim, segundo o teorema que

acabamos de enunciar, a soluo particular seria yp = yp1 + yp2.

Esse teorema ser importantssimo para o mtodo que ser agora enunciado.

3.3.1. Equaes No-Homogneas de Coeficientes a Determinar

Observao inicial: Os coeficientes ditos indeterminados (ou a determinar) so os coeficientes

do lado direito da equao (at agora sempre chamado de g(x)), os coeficientes do lado esquerdo

so sempre constantes.

Para entendermos esse mtodo fica mais simples partir de um exemplo ilustrativo para depois

partir para o caso geral.

Coeficientes Indeterminados Polinomiais

Vamos encontrar, como exemplo, a soluo geral da a equao .

Como j sabemos que a soluo geral a soma da soluo particular com a soluo homognea

associada, iniciamos procurando a soluo da equao homognea associada, que notamos ser

uma equao com coeficientes constantes, e tem como soluo (verifique!):

( )

( )

Agora, para encontrar a soluo particular, assim como fizemos em outros mtodos, vamos supor

uma soluo, que para esse caso, ter a forma:

43

O que implica que:

Substituindo em temos:

( ) ( )

Agora se deve ser feita uma observao muito importante!!! Para construir-se o sistema para

encontrar os valores A, B e C, devemos nos atentar ao seguinte: devemos igualar somente os

elementos com mesma potncia de x. Por exemplo, note que na ltima manipulao, do lado

esquerdo h e do lado direito do sinal de igualdade h , com esses dois elementos,

fazemos:

Ou seja, devemos criar uma nova equao para cada potncia de x da equao, e fazendo isso

sucessivamente, chegamos todos os valores de coeficientes (A, B e C).

Seguindo essa linha de raciocnio, temos:

E finalmente:

Portanto, a soluo particular ser:

E a soluo geral ser ( )

( )

44

Coeficientes Indeterminados Trigonomtricos

Agora, digamos que a equao diferencial seja y- 2y 3y = 2.senx.

Seguindo a mesma linha de raciocnio, devemos inicialmente encontrar a soluo homognea.

( ) ( )

Logo, yh = C1e- x

+ C2 e 3x

. A seguir, vamos tomar yp como sendo da forma:

yp = A.cosx + B.senx

yp = - A.senx + B.cosx

yp = - A.cosx - B.senx

Primeiramente, no supomos a soluo como simplesmente um mltiplo de seno, mas de seno e

tambm um mltiplo de cosseno. Se a equao original tivesse cosseno em lugar de seno,

agiriamos da mesma maneira!

Substituindo na equao, obtemos:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

Portanto, yp uma soluo, desde que os coeficientes dos termos correspondentes sejam iguais.

Obtemos, ento, o sistema

que tem solues A =

e B =

. Logo, a soluo geral

A forma da soluo homognea

no Exemplo anterior no tinha nenhum

45

termo do mesmo tipo que a funo ( ) na equao ( ) No entanto, se a

equao diferencial no exemplo anterior fosse da forma

No faria sentido tentar uma soluo particular da forma y = Ae- x

j que essa funo soluo da

equao homognea. Em tais casos, devemos multiplicar pela menor potncia de x que remova a

duplicao. Para esse problema em particular, tentaramos yp = Axe- x

. O prximo exemplo ilustra

esse tipo de situao.

Coeficientes Indeterminados Exponenciais

Seja a equao diferencial y 2y = x + 2ex. Utilizando o teorema da superposio temos que:

Para encontrar a soluo da homognea, utilizamos a equao caracterstica,

( ) , logo

Como ( ) , nossa primeira escolha para seria ( ) . No entanto,

como j contm um termo constante , multiplicamos a parte polinomial por x e usamos:

Substituindo na equao diferencial, obtemos

( ) ( )

( )

46

Igualando os coeficientes dos termos correspondentes, obtemos o sistema

que tem solues A = B = e C = . Portanto:

E por fim, a soluo geral ( )

3.3.1.1. Estratgia para resolver Equaes de Coeficientes a Determinar

Feitos os exemplos numricos, fica mais fcil entender a forma geral.

Como vimos, o mtodo aceita apenas, como a funo que causa a no homogeneidade, polinmios

(incluindo constantes), exponenciais e as funes seno e cosseno alm das funes que so produtos de

outras funes dos tipos enunciadas anteriormente. A seguir esto duas tabelas, a primeira com os casos

gerais e uma segunda com casos numricos que ilustram a primeira tabela.

Tabela Casos gerais de solues particulares

( )

( )

( ) ( ) ( ( ) ( ))

( )

( )( )

( ( ) ( )) ( ( ) ( ))

( ( ) ( ))( )

( )( ( ) ( ))

Onde, so constantes reais que podem ser zero. Isso significa que o f(x) pode ser somente

( ) ou s ( ), entretanto, a suposio da soluo sempre ser ( ( ) ( ))

J a constante s a que garante que a soluo particular no ter componentes que j existem na soluo

da equao homognea associada. Mas de qual forma? Primeiro devemos analisar se a soluo homognea

47

tem algum componente com a mesma forma da soluo particular que estamos supondo. Se no houver

nenhuma parecida, s=0, logo, ela no ir interferir no resultado. Agora, se houver, o nmero s ser igual

ao menor inteiro positivo que seja maior que a potncia que causa o conflito entre a soluo particular e a

homognea.

Por exemplo, se uma equao tem f(x) = 2x, e uma das solues homogneas x ou x, vai ser necessrio

que s=1, assim, a suposta soluo ser ( )

.

Tabela Exemplos dos casos gerais

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (

) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

48

3.3.2. Mtodo da Variao dos Parmetros

Agora, digamos que o g(x) no seja polinmio, nem funo exponencial nem funo seno ou

cosseno. Para esses casos tm-se o mtodo da variao dos parmetros, que segue uma linha

parecida com o mtodo de mesmo nome utilizada em equaes de primeira ordem.

A premissa bsica a de que a soluo particular ser uma soma de mltiplos das solues

linearmente independentes que compem a soluo da equao homognea associada, na

verdade, coloca-se em aspas a palavra mltiplos pois at agora sempre a utilizamos para falar

de um produto entre uma funo e um nmero, mas nesse caso, esse mltiplo ser uma outra

funo, que denotaremos por (x). A soluo particular ento seria:

Onde e formam o conjunto fundamental de solues num intervalo I da equao

homognea associada. Diferenciando temos:

Aplicando essas derivadas na equao diferencial e agrupando-as, temos:

( ) ( )

[

] [

]

[

]

[ ]

[

]

[

]

[

]

[

] ( )

Para entender o que foi feito, perceba que em [

] [

]

os termos entre colchetes so solues da equao diferencial homognea associada, por isso so

nulos. Na parte final, usada a propriedade da soma de derivadas (a soma de derivadas a

derivada da soma).

49

Para prosseguirmos, precisamos fazer uma conjectura: como queremos achar duas incgnitas

(1(x) e 2(x)) sero necessrias duas equaes para encontra-las. Pois bem, analisando a

manipulao (agrupamento) que fizemos nas equaes acima nessa seo, podemos definir as

seguintes equaes (pense sobre isso mais tarde) e montar o seguinte sistema:

( )

Utilizando a regra de Cramer, encontramos a soluo pelos determinantes:

( )

e

( )

Onde:

|

|

| ( )

|

| ( )

|

3.3.2.1. Estratgia para resolver problemas com o mtodo da Variao dos Parmetros

Normalmente no uma boa ideia decorar frmulas, mas nesse caso, como o procedimento feito

longo e custoso, podendo causar confuses no meio do seu caminho. interessante resumir o

caminho nos seguintes passos (no simplesmente decorar, mas estabelecer uma sequncia lgica

de ideias):

50

Dada a equao

( ).

a) Encontrar a soluo da equao homognea associada e com elas construir o conjunto

fundamental {y1, y2}.

b) Colocar a equao na forma padro.

c) Calcular o Wronskiano W = W(y1, y2).

d) Calcular | ( )

|

|

|

( )

|

| e

| ( )

|

|

|

( )

|

|

e) Integrar e e encontre a soluo particular por:

f) A soluo geral ser dada por

3.4. Solues em Sries

Pois bem, aps discutirmos a resoluo de equaes diferenciais homogneas, percebemos que

uma caracterstica importante dos mtodos que eles s funcionam para equaes diferenciais

com determinados formatos, entretanto, existe um mtodo que ser mais abrangente, que ser

abordado nessa seo, que a soluo por meio de sries, esse mtodo apresenta maior

dificuldade para se fazer manualmente comparado aos mtodos anteriormente apresentados (j

que eles se resumiam a expresses algbricas), mas computacionalmente so bastante eficientes.

Faremos aqui uma abordagem leve, porm apresentando boa parte da sua conceituao formal.

3.4.1. Classificao dos Pontos e Forma da Soluo

Trabalharemos com equaes de segunda ordem, que tem a forma:

E o ponto estudado sempre ser x=0.

Devemos coloc-la na forma padro (no caso, dividir a equao por a2) e teremos:

( ) ( )

51

A classificao do ponto ser dada da seguinte maneira:

a) Se P(x) e Q(x) forem contnuas em x=0, ento o ponto x=0 um ponto ordinrio. O que

significa que o denominador no ser 0, j que, como h a diviso da equao pela funo

a2(x) (apesar dela tambm poder ser constante), provavelmente P(x) e Q(x) sero funes

racionais, que so indeterminadas quando o denominador zero. O ponto ser ordinrio

significa que a funo analtica nesse ponto, ou seja, existe uma srie de Taylor ao

redor desse ponto correspondente essa funo.

b) Se P(x) e/ou Q(x) forem descontnuas em x=0, ento o ponto x=0 um ponto singular.

Um ponto singular quando a srie no analtica. No caso dos pontos singulares, deve-

se ainda, analisar a analiticidade de x.P(x) e x.Q(x), se realizar-se essas multiplicaes

x.P(x) e x.Q(x) ainda resultarem em funes no-analticas (descontnuas), ento o ponto

x=0 classificado como ponto singular irregular, e no ser estudado nesse curso,

entretanto, se de x.P(x) e x.Q(x) forem analticos, o ponto classificado como ponto

singular regular, que no prximo item ter sua forma de soluo discutida. Para entender

melhor esse procedimento, imagine que ( )

e ( )

, ao fazermos de x.P(x) e

x.Q(x) nota-se que P(x) = Q(x) = 1, que contnua, logo, tambm analtica e x=0 um

ponto singular regular. Agora, se P(x) tivesse uma potncia no denominador maior que

um, e Q(x) uma potncia maior que dois, o ponto x=0 seria ponto singular irregular.

E agora, como tratamos essa informao?

3.4.1.1. Soluo em Ponto Ordinrio

Quando o ponto ordinrio, est garantido que existam duas solues linearmente dependentes

(S(x) e T(x)) na forma de sries de potncia:

( ) ( )

( ) ( )

52

Note que, no caso convencionado para nosso curso, sempre analisaremos o ponto x = 0, ou seja,

na soluo, o valor de a, na nossa prtica, ser sempre nulo, ento, S(x) e T(x) tero a forma:

E como estudaremos solues de equaes diferenciais de segunda ordem, as derivadas sero:

( )

Que devero ser aplicadas na equao do exerccio e aps manipulaes, sero encontradas as

formas das duas solues.

3.4.1.2. Soluo em Ponto Singular Regular

Para soluo em ponto singular regular, fazemos uso do seguinte teorema:

Teorema de Frobenius

Se x = x0 for um ponto singular regular da equao diferencial

ento

existir pelo menos uma soluo da forma

( ) ( )

Como trabalharemos sempre com x=0, e colocando todos os elementos dentro do somatrio,

temos:

Onde r uma constante a ser determinada.

53

A constante r fundamental para se saber qual a forma da soluo por ser um elemento

fundamental da equao indicial:

Equao Indicial

Se x=0 for um ponto singular regular de

ento, sendo x.P(0) = P0 e

x.Q(0)=Q0, teremos como equao indicial:

( )

Temos 3 casos diferentes para resultados especficos dessa equao indicial:

Caso 1 Razes no diferem por um inteiro.

Se r1 e r2 so razes distintas e a diferena (r1 - r2) entre elas no um inteiro positivo, ento

existem 2 solues para a equao diferencial, na forma:

a0 e b0 so diferentes de zero.

Caso 2 Razes diferem por um inteiro.

Existem 2 solues para a equao diferencial, na forma:

( )

Sendo que, a constante C pode ser zero!

54

Caso 3 Razes indiciais iguais.

Se r1 e r2 so iguais, h sempre duas solues linearmente independentes na forma:

( )

Onde notamos que diferentemente do caso 2, no existe um mltiplo nulo de ( ) na

soluo .

55

4. Sistemas de Equaes Diferenciais de Primeira Ordem

4.1. Viso Matricial de Sistemas de Equaes Diferenciais

Para se estudar esse tpico, necessria que esteja clara a maneira de se obter a matriz de um

sistema de equaes diferenciais. Um sistema de equaes de primeira ordem na forma normal

:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Supomos e contnuas em um intervalo comum I. Quando para todo i, o sistema

linear chamado de homogneo, seno, de no homogneo.

Se X, A(t) e F(t) denotarem, respectivamente, as matrizes:

[

] ( ) [

] ( ) [

]

Ento a forma matricial do sistema ser:

[

] [

] [

] [

]

Ou simplesmente:

( )

56

Dizemos que o vetor X que satisfaa ( ) o vetor soluo do sistema.

Um problema de valor inicial dar o vetor-soluo aplicado em um ponto t0.

Resolver:

Sujeito a: ( )

Similarmente ao teorema de existncia e unicidade das equaes de primeira ordem, em sistemas,

a existncia de uma nica soluo se d quando todos os elementos das matrizes A(t) e F(t) so

contnuos em um intervalo I (comum aos dois) que contenha o ponto t0.

Tambm vale em sistemas o princpio da superposio, que pode ser enunciada da seguinte

maneira:

Sejam X1, X2,... Xn um conjunto de vetores soluo do sistema homogneo no intervalo

I. Ento, a combinao linear

Com ci constantes arbitrrias.

Quando se verifica quando todas as constantes so nulas, indica

que esse conjunto de vetores soluo linearmente independente, mas se houver alguma

constante no nula, o conjunto linearmente dependente.

Tambm pode-se analisar a independncia linear de solues com o wronskiano de vetores

soluo:

( ) [

]

57

E quando um conjunto de vetores soluo do tipo [

] for linearmente

independente, ele ser um conjunto fundamental de solues. Que nico para o sistema

homogneo em um intervalo I.

E a soluo homognea Xc dada matricialmente por:

[

] , -

E igualmente aos casos estudados anteriormente, a soluo geral dada pela soma da soluo da

equao homognea associada e da soluo particular.

4.2. Sistemas Lineares Homogneos com Coeficientes Constantes

Para facilitar o entendimento do mtodo que ser explicado, devemos relembrar como era a

suposta soluo de uma equao homognea de coeficientes constantes, que tinha a forma:

onde m a raiz de uma equao caracterstica. Como os sistemas estudados so uma

coleo de equaes homogneas de coeficientes constantes, supomos que a soluo da forma:

[

]

Onde K a matriz de constantes arbitrrias e a raiz da equao caracterstica, mas qual

equao caracterstica utilizaremos para sistemas?

Temos como informao at agora que:

E como ento

, mas, lembremos que o sistema homogneo tem a forma

, com isso, conclumos que:

58

( )

Ento, por fim, como o vetor K no nulo, definimos a equao caracterstica como sendo

( ) , que no nada mais nada menos do que a equao polinomial caracterstica da

matriz A que define os autovalores (por isso no nos surpreendemos com a escolha da letra ).

Assim que os autovalores forem encontrados, ao se aplicar cada equao ( )

encontramos o vetor K correspondente, a quem chamamos de autovetor K associado ao

autovalor .

Assim, definimos a soluo geral da equao homognea como:

E agora precisamos vamos definir mais precisamente a forma da soluo geral para os seguintes

casos:

CASO I Autovalores Reais Distintos

Sejam n autovalores reais e distintos de coeficientes A do sistema homogneo

e sejam os autovetores correspondentes. Ento a soluo geral no

intervalo (-,) ser dada por:

CASO II Autovalores Reais Repetidos

Tratando especialmente do caso de autovalores com multiplicidade dois, definindo o autovalor

com multiplicidade dois, uma soluo pode ser obtida da forma:

Substituindo essa soluo no sistema homogneo temos:

( ) ( )

Como esta ltima equao deve ser vlida para todos os valores de t, devemos ter (verifique):

( ) ( )

59

Como sabemos que K o autovetor de A associado a , resolvemos ( ) e aps

encontramos K, com ele encontramos uma soluo da forma , e tambm com o

autovetor K encontrado, o substitumos em ( ) e encontramos o vetor P, assim,

podendo construir a soluo geral com autovalor de multiplicidade dois, que relembrando, ter a

forma:

CASO III Autovalores Complexos

Neste caso, o autovalor tem a forma com e reais. K1 um autovetor

correspondente . Dividimos o soluo em duas partes, uma parte real e outra parte conjugada

(com um barra superior):

Que so solues de .

Entretanto, podemos aqui utilizar a frmula de Euler para tornar a soluo real, j que a soluo

geral na forma contm nmeros complexos. Aplicando a frmula de Euler

temos:

( ( ) ( ))

( ( ) ( ))

Pelo princpio da superposio temos os seguintes valores:

(

)

( )

( ( )

( )

( ( )

(

)

( )

( ( )

( )

( ( )

Tanto

( ) como

( ) so nmeros reais para qualquer nmero complexo

. Portanto, as coordenadas nos vetores coluna

( ) e

( ) so

nmeros reais.

60

Assim, podemos definir:

( )

( )

E com essas informaes, podemos montar a soluo geral apenas com nmeros reais:

Solues gerais correspondentes a um autovalor complexo

, ( ) ( )-

, ( ) ( )-

Que so linearmente independentes no intervalo (-,).

4.3. Mtodo da Variao dos Parmetros para Sistemas Lineares No Homogneos

Como j abordado anteriormente, a soluo da equao homognea associada a

expresso:

[

] , -

Aonde iremos agora acrescentar uma nova notao: note que separamos a matriz em duas

matrizes (que se multiplicam e retorna-se ao original), adicionaremos a seguinte notao:

[

] , - ( )

Onde

( ) [

]

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a Matriz Fundamental. Que anloga ao conjunto fundamental de solues, por conter todas

as solues da equao homognea, mas dentro do universo dos sistemas lineares.

E a matriz C a matriz-linha de constantes.

Para podermos usar esse novo conceito (matriz fundamental) devem se fazer algumas

consideraes:

A matriz fundamental ( ) singular.

Se ( ) for uma matriz fundamental do sistema , ento:

( ) ( )

O determinante de ( ) o wronskiano W(X1, X2,... Xn), que tem a garantia de ser diferente de

zero, j que as solues que preenchem cada coluna so linearmente independentes em todo o

intervalo na qual esto definidos. E por ser uma matriz singular (e ter determinante diferente de

zero) a matriz inversa ( ) existe.

Com esses resultados em mos, podemos definir um mtodo para determinar a soluo particular

de um sistema de equaes lineares de primeira ordem, que segue a linha de raciocnio de um

velho conhecido nosso, que a variao dos parmetros:

Nossa meta agora ser encontrar uma matriz de funes que possa substituir a matriz de

constantes C.

Seja ( ) [

]. Queremos determinar condies para que ( ) ( ) que soluo

particular da equao ( )

Onde ( ) ( ) ( ) ( ), se fizermos e temos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Mas lembre-se que nas nossas consideraes iniciais tnhamos que:

( ) ( )

Podemos substituir na equao anterior, que ficar:

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( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Note que h ( ) ( ) dos dois lados da equao, ento ela ser anulada, e portanto

( ) ( ) ( )

Perceba que nosso objetivo definir a matriz de funes ( ), que pode ser encontrada mais

aps as manipulaes que fizemos e se recordarmos que a matriz ( ) possui inversa e que o

produto ( ) ( ) resulta na matriz identidade, logo:

( ) ( ) ( )

E integrando os dois lados da equao, temos:

( ) ( ) ( )

Como havamos definido que ( ) ( ) ento conclumos que:

( ) ( ) ( )

O que implica finalmente que a soluo geral do sistema no homogneo de equaes lineares de

primeira ordem :

( ) ( ) ( ) ( )

Bibliografia

BOLDRINI, J.L. et al. lgebra Linear. So Paulo: Harper & Row, 1980.

BOYCE, William E. ; DIPRIMA, Richard C. Equaes Diferenciais Elementares e Problemas

de Valores de Contorno, 9ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011.

FIGUEIREDO, D. ; NEVES, A. Equaes Diferenciais Aplicadas. Rio de Janeiro: IMPA, 2001.

ZILL, Dennis. Equaes Diferenciais com Aplicaes em Modelagem. So Paulo: Cegange

Learning, 2011.