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NOTAS DE AULAS DE MATEMTICA APLICADA A ENGENHARIACsar de Oliveira UNESP SOROCABADocente: Sandra Regina Monteiro Masalskiene Roveda

Sumrio

1. Introduo41.1 Equaes Diferenciais41.1.1 - Definio41.2.2 - Classificao das equaes Diferenciais41.2.2.1 - Quanto as variveis independentes41.2.2.2 - Quanto a ordem51.2.2.3 - Quanto ao grau61.2.2.4 - Quanto aos coeficientes das Derivadas6

2. Equao Diferencial Ordinria de Primeira Ordem82.1 Mtodos92.1.1 Soluo de Equaes Lineares92.1.1.1. Equaes de variveis separveis112.1.1.2. Mtodo da variao dos parmetros122.1.1.3. Estratgia para resoluo de uma EDO de 1 ordem:142.1.1.4. Teorema de existncia e unicidade de solues142.1.1.5 Equaes exatas142.1.1.6. Equaes Autnomas202.1.1.6.1. Estudo Qualitativo das Equaes Diferenciais Autnomas212.1.1.6.2. Equao Logstica222.1.1.6.3. Limiar Crtico242.1.1.7. Equaes homogneas252.1.1.8. Equao de Bernoulli26

3. Equao Diferencial Ordinria de Ordem Superior283.1. Teorema de Existncia de uma soluo nica283.2. Equaes Homogneas283.2.1. Operadores Diferenciais293.2.2. Teorema da Superposio em Equaes Homogneas303.2.3. Wronskiano de funes303.2.4. Reduo de Ordem333.2.5. Equaes Lineares Homogneas com Coeficientes Constantes353.2.6. Equao Homognea de Cauchy-Euler373.3. Equaes No-Homogneas403.3.1. Equaes No-Homogneas de Coeficientes a Determinar423.3.1.1. Estratgia para resolver Equaes de Coeficientes a Determinar463.3.2. Mtodo da Variao dos Parmetros483.3.2.1. Estratgia para resolver problemas com o mtodo da Variao dos Parmetros493.4. Solues em Sries503.4.1. Classificao dos Pontos e Forma da Soluo503.4.1.1. Soluo em Ponto Ordinrio513.4.1.2. Soluo em Ponto Singular Regular52

4. Sistemas de Equaes Diferenciais de Primeira Ordem554.1. Viso Matricial de Sistemas de Equaes Diferenciais554.2. Sistemas Lineares Homogneos com Coeficientes Constantes574.3. Mtodo da Variao dos Parmetros para Sistemas Lineares No Homogneos60

Bibliografia62

1. Introduo1.1 Equaes DiferenciaisQuase todos os problemas em cincias fsicas e engenharia podem ser reduzidos a uma equao diferencial. Por esta razo saber reconhecer uma equao diferencial dentro de um problema especfico muito importante, para a busca de sua soluo. Da mesma forma, saber classificar uma equao diferencial o primeiro passo na busca de sua soluo, pois apesar de no existir um mtodo nico para se resolver todas as equaes diferenciais, a classificao delas ajuda a escolher o mtodo mais adequando de soluo.1.1.1 - DefinioUma equao diferencial uma equao que envolve uma funo incgnita e suas derivadas.1.2.2 - Classificao das equaes Diferenciais1.2.2.1 - Quanto as variveis independentes

a) Equao Diferencial Ordinria (E.D.O.) A funo incgnita depende apenas de uma varivel independente: y = f(x).b) Equao Diferencial Parcial (E.D.P.) A funo incgnita depende de duas ou mais variveis independentes: y = f(x, y, z, t).

Exemplo:

(1)

Figura 1 - Problema de uma viga bi-apoiada e flexionada sobre seu prprio peso.1.2.2.2 - Quanto a ordemA ordem de uma equao diferencial a ordem da mais alta derivada que aparece na equao.

Exemplos:

1) EDO de 1 Ordem

EDO de 2 Ordem

EDO de 2 Ordem

1.2.2.3 - Quanto ao grauO grau de uma equao diferencial a potncia a que se acha elevada a derivada de ordem mais alta.

Exemplos:

1) EDO de 1 Ordem e do 2 Grau

2) u = u(x, y, z)EDP de 2 Ordem e 1 Grau

ou

Onde o operador 2 chamado de Laplaciano.

1.2.2.4 - Quanto aos coeficientes das Derivadas

a) Lineares Os coeficientes dependem das variveis independentes.

b) Quase-Lineares Os coeficientes dependem das variveis independentes e/ou das variveis dependentes, mas no de suas derivadas.

c) No-Lineares Os coeficientes dependem das derivadas das variveis dependentesExemplos:

Linear:

Quase-Linear:

No-Linear:

OBS: Uma equao linear sempre do primeiro grau, uma equao do primeiro grau no e necessariamente linear.

2. Equao Diferencial Ordinria de Primeira OrdemUma equao diferencial ordinria (EDO) uma equao da forma:

Envolvendo uma funo incgnita e suas derivadas ou suas diferenciais. a varivel independente, a varivel dependente e o smbolo denota a derivada de ordem n da funo.A ordem da equao diferencial a ordem da mais alta derivada da funo incgnita que ocorre na equao. Grau o valor do expoente para a derivada mais alta da equao, quando a equao tem a forma de um polinmio na funo incgnita e em suas derivadas. Podemos classificar as equaes de primeira ordem em vrios tipos, porm os mais importantes so: equaes lineares, separveis e exatas.A soluo de uma equao diferencial uma funo que satisfaz a equao diferencial sobre algum intervalo aberto. Uma equao somente uma soluo da funo se ela diferenvel at a ordem da maior derivada citada na funo e se esta satisfizer a mesma. A soluo mais geral possvel que admite uma equao diferencial denominada soluo geral, enquanto que outra soluo chamada uma soluo particular.As equaes diferenciais ordinrias tm vrias solues e para se escolher uma nica soluo, so necessrias informaes adicionais. Se as condies adicionais forem especificadas para um mesmo valor de , por exemplo, , temos um Problema de Valor Inicial (PVI). Caso estas condies adicionais sejam dadas para mais de um valor de , temos um Problema de Valor de Contorno (PVC). Uma grande quantidade de problemas prticos pode ser resolvida com a resoluo deste tipo de equaes, como por exemplo: o decaimento radioativo (muito til quando se trata de um solo contaminado com algum componente como urnio), o crescimento populacional (que pode estar ligado tentativa muitas vezes falhas de engenheiros ambientais tentarem reestabelecer a fauna nativa de um ambiente anteriormente degradado porm sem considerarem danos externos e o tempo de procriao da mesma), problemas de misturas (que podem ser efluentes lquidos e seus devidos oxidantes ), comparao entre taxas de entradas e sadas ( que podem ser utilizadas para a analisar se a demanda bioqumica de oxignio de um rio suportar a vazo de produtos qumicos que constantemente despejado nele), modelagem das variaes de temperaturas (clculo muito utilizado atualmente uma vez que se pretende tentar controlar o agravamento do efeito estufa) e at mesmo controlar a explorao de recursos naturais.2.1 Mtodos

2.1.1 Soluo de Equaes Lineares

Uma equao linear de ordem n uma equao da seguinte forma:

O problema em questo trata de uma equao linear de primeira ordem, portanto tem o seguinte formato:

Esta equao precisa ser colocada na forma padro, onde o coeficiente do primeiro termo (derivada de ordem 1) deve ser 1, assim, todos os termos da equao so divididos por :

Podemos colocar a equao da seguinte forma:

Onde

Propriedade: a soluo de uma ED a soma de duas solues: sua homognea associada e uma soluo particular da equao no homognea.

Onde a soluo homognea associada e a soluo particular da equao no homognea. Sabendo que y soluo, temos que:

Rearranjando temos:

Como,

J que soluo associada homognea. Teremos:

Note que isso coerente, j que, por hiptese soluo particular da equao no homognea.

2.1.1.1. Equaes de variveis separveis Note tambm, que na situao de uma equao homognea, como est abaixo, pode-se encontrar a soluo por meio do que chamamos de equaes de variveis separveis.

Separando as variveis temos:

Ento:

Integrando ambos os lados tm-se:

Para explicitar o y, aplicamos a exponencial equao e temos:

Por convenincia,

Entretanto, para encontrar a soluo particular da equao no homognea, precisamos utilizar o mtodo da variao dos parmetros.

2.1.1.2. Mtodo da variao dos parmetrosPartindo da hiptese onde u uma funo, j que se fosse uma simples constante real, seria apenas um mltiplo da soluo homognea.Substituindo em , temos:

Utilizando a regra da cadeia, temos:

Fatorando u(x) temos:

Como temos que:

Ento:

Percebemos que as variveis so separveis:

Integrando temos:

Como temos:

Sendo yp a soluo da equao linear no-homognea.

Desta forma, a soluo geral ser da forma:

Sendo essa a soluo geral, vamos aplica-la na equao diferencial linear de primeira ordem no-homognea da forma . A soluo dada encontrada utilizando-se o fator integrante . Utilizando o fator integrante na equao temos:

Note que, multiplicando por retornamos equao original.

Portanto, assim demonstramos o mtodo de resoluo de EDOs de 1 ordem por fator integrante.

2.1.1.3. Estratgia para resoluo de uma EDO de 1 ordem:1. Dada a equao na forma padro 2. Multiplicar a EDO pelo fator integrante 3. Teremos , basta integrar e teremos

2.1.1.4. Teorema de existncia e unicidade de soluesSe F e so contnuas em um aberto D de R2, domnio da EDO y=F(x,y), dado p0 de D, existe uma soluo que passa por esse ponto. Duas solues que passam p0 coincidem na interseo de seus domnios.

2.1.1.5 Equaes exatasVeja a seguinte equao diferencial:

Note que uma equao separvel, mas existe outra forma de resolver essa equao, note que ela pode ser reagrupada (o lado esquerdo) como a diferencial:

Integrando a equao, temos:

Mas como podemos ver, o que fizemos foi uma manipulao numa funo de 1 varivel, mas se diferenciarmos funes de 2 variveis como f(x,y) teremos:

Exemplo:

Definio:Uma expresso diferencial uma diferencial exata em uma regio R do plano xy se corresponde diferencial de alguma funo f(x,y).Uma EDO de 1 ordem da forma

chamada de equao exata se a expresso esquerda for uma diferencial exata.

Para exemplificar como se identifica uma diferencial exata, usamos a equao na forma acima, e note que:

Ou seja

Toda vez que uma diferencial se enquadrar na condio , ela ser uma diferencial exata.

TeoremaSejam contnuas e com derivadas parciais de 1 ordem contnuas em uma regio R definida por a 0 quando o valor de y pequeno, h(y) decresce com o crescimento de y, e h(y) 1.

Mtodo de resoluoComo y diferente de zero, temos

Fazendo a substituio temos

Finalmente chegamos seguinte equao linear de 1 ordem:

3. Equao Diferencial Ordinria de Ordem SuperiorEquaes lineares de ordem superior so da forma:

3.1. Teorema de Existncia de uma soluo nicaSejam, ,... e contnuas em um intervalo I e seja nesse intervalo. Se x = x0 algum ponto deste intervalo ento existe uma nica soluo y(x) do PVI neste intervalo.

3.2. Equaes HomogneasSo equaes da forma:

A no ser que se diga o contrrio, o enunciado de definies e teoremas sobre equaes lineares tambm valem para equaes homogneas: Coeficientes ai(x), i=0,1,...n so contnuas. O segundo membro g(x) contnuo. a0(x) em algum intervalo I.

OBS.: relembrando lgebra Linear sabemos que, um elemento pertencente um espao vetorial pode ser gerado por uma base desse espao vetorial, como uma soluo geral de uma equao diferencial pertence ao espao vetorial das funes, ento, com uma base do espao vetorial das funes podemos gerar a soluo da EDO, isso o que veremos em seguida.

3.2.1. Operadores DiferenciaisUm operador diferencial de uma funo f no ponto a uma transformao linear que associa a cada vetor V de Rn a derivada direcional de f no ponto a. Representada por:

Em geral

Um operador linear uma transformao linear de V V, que o caso dos operadores diferenciais. Seguindo as regras de linearidade das transformaes, vemos que:

Portanto, um operador linear.

Podemos escrever qualquer equao diferencial linear em termos de operadores lineares.Exemplo:

Equaes homogneas:

Equaes lineares no-homogneas

3.2.2. Teorema da Superposio em Equaes HomogneasSejam y1, y2,... yk solues da EDO homogneas de ordem n em um intervalo I. Ento, a combinao linear ser:

Onde ci so constantes arbitrrias e yj solues da EDO.

Demonstrao (usando k=2)Sejam y1 e y2 solues de EDO linear homognea de ordem n.

Corolrios: Um mltiplo constante de uma soluo y1(x) de uma EDO homognea tambm soluo. Uma EDO linear homognea sempre tem soluo trivial.

3.2.3. Wronskiano de funesDefinio:Suponha que cada uma das funes linearmente independentes f1(x), f2(x),... fn(x) tenha pelo menos n-1 derivadas.O determinantew(f1, f2,... fn) =

o Wronskiano, que o resultado do determinante dessa matriz quadrada, formada pelas funes na primeira linha, primeira derivada das funes na segunda linha, e assim por diante, at a (n-1)-sima derivada das funes na n-sima linha.Wronskiano uma funo aplicada especialmente no estudo de equaes diferenciais. O nome dessa funo uma homenagem ao matemtico polons Josef Wronski.

TeoremaSejam y1, y2,... yn , n solues da EDO linear homognea de ordem n em um intervalo I. Ento, o conjunto das solues ser LI em I, se e somente se, w(f1, f2,... fn) .

DefinioQualquer conjunto y1, y2,... yn , de solues no intervalo LI da EDO homognea de ordem n em um intervalo I chamado de conjunto fundamental de solues.

TeoremaExiste um conjunto fundamental de solues para a ED linear em um intervalo I.

TeoremaSejam y1, y2,... yn , n solues LI para a ED linear homognea de n-sima ordem em um intervalo I.

Ento, toda soluo y(x) para ED uma combinao linear das n solues independentes y1, y2,... yn , ou seja, podemos encontrar c1, c2,... cn , tais que

DemonstraoProvaremos para o caso n = 2.Seja y(x) uma soluo e sejam e duas solues LI para

No intervalo I.Suponha que x = t seja um ponto desse intervalo para o qual w(y1, y2) 0.Suponha tambm que os valores y(t) e y(t) sejam y(t) = k1 e y(t)=k2.Se examinarmos o sistema

Podemos encontrar as c1 e c2 de maneira nica desde que W(y1, y2) 0. Mas, por hiptese, esse det 0, pois as solues so LI. Logo, podemos definir as solues como:

Observe que1) G(x) satisfaz a ED pelo princpio da superposio.2) G(x) satisfaz as condies iniciais.3) Y(x) satisfaz a mesma ED e as mesmas condies iniciais.

Como, pelo teorema de existncia e unicidade, esse PVI tem soluo nica, temos que Y(x) = G(x). Portanto,

a soluo geral da equao neste intervalo.3.2.4. Reduo de OrdemSuponha que y1 denote uma soluo no-trivial da equao

e que esteja em um intervalo I.

Procuramos uma segunda soluo, y2, de tal forma que y2 e y1 sejam LI em I.Assim:

Caso Geral Reduo de Ordem

Seja

Na forma padro (dividindo todos por a2):

em que P(x) e Q(x) so contnuas em algum intervalo I. Vamos supor ainda que y1(x) seja uma soluo conhecida em I e que y1(x) 0 para todo x no intervalo. Queremos encontrar uma segunda soluo y2 que seja LI a y1, ou seja:

Onde uma funo de x.Supondo que seja soluo, vamos deriv-la e aplicar na equao:

Substituindo na equao e agrupando os termos, temos:

Note que pois soluo da equao homognea, ento:

Fazendo a substituio temos:

Observe que essa equao linear e separvel! Portanto, simples resolv-la:

Como W = temos:

Escolhendo convenientemente = 1 e = 0:

Como temos por fim, o caso geral da reduo de ordem:

3.2.5. Equaes Lineares Homogneas com Coeficientes ConstantesConsiderando o caso especial da equao de segunda ordem:

Suponha que y = emx seja soluo da equao acima.Assim y = memx e y=memxSubstituindo na equao, temos

ou

Como emx nunca se anula para valores reais de x, ento a nica maneira de fazer essa funo exponencial satisfazer a equao diferencial escolher m de tal forma que ele seja raiz da equao quadrtica (Equao auxiliar):

Essa ltima equao chamada de equao auxiliar ou equao caracterstica da equao diferencial. Consideramos trs casos, a saber: as solues para a equao auxiliar correspondem a razes reais distintas, razes reais iguais e razes complexas conjugadas.

CASO I Razes Reais Distintas

Sejam m1 e m2 razes da equao auxiliar e distintas entre si. As solues sero dadas por:

(A soluo geral ser a combinao linear das duas solues).Podemos provar que so LI utilizando o wronskiano (fica como exerccio essa verificao).Soluo Geral:

CASO II Razes Reais Iguais

Sejam m1 e m2 razes da equao auxiliar e distintas entre si. As solues sero dadas por:

Para encontrar a segunda soluo realizamos uma reduo de ordem.

Onde P(x) = b/a.

Mas note que, como a equao auxiliar tem razes iguais (ento =0), ento

Portanto:

Soluo geral:

CASO III Razes Complexas Conjugadas

Agora, as solues da equao auxiliar so complexas, ou seja:

Sejam e so reais e i2 = -1.

A soluo geral ser dada por

Entretanto, no de nosso interesse manter a soluo com uma parte imaginria, queremos uma soluo real. Para este fim, usamos a frmula de Euler:

Frmula de Euler:

Aplicando a frmula de Euler na soluo geral que temos at agora, temos:

3.2.6. Equao Homognea de Cauchy-Euler Uma equao de Cauchy-Euler (ou de Euler-Cauchy em alguns livros) tem a forma:

A chave para se identificar uma equao de Cauchy-Euler perceber que a potncia do x tem a mesma ordem da derivada a qual est multiplicando e que o seu coeficiente constante.Para esse tipo de equao, supomos que a soluo da forma y = xm.Neste curso, trabalharemos com a equao de Cauchy-Euler de segunda ordem, que tem a forma:

Para encontrar a sua equao auxiliar (e consequentemente, o valor de m) substitumos na equao as derivadas da sua suposta soluo.

Logo:

Note que aps a substituio, todos os x passaram a ter potncia m (propriedade da equao de Cauchy-Euler) e esse xm ser fator comum, logo:

Como a soluo no trivial, ento, para que a equao acima se verifique, devemos ter:

Que a equao auxiliar, com raz m. Note que ela difere da equao auxiliar do mtodo dos coeficientes constantes pelo .CASO I Razes Reais DistintasSejam m1 e m2 razes da equao auxiliar e distintas entre si. As solues sero dadas por:

A independncia linear entre as duas solues pode ser provada com o Wronskiano!A soluo geral dada por:

CASO II Razes Reais Iguais

Sejam m1 e m2 razes da equao auxiliar e distintas entre si. A primeira considerao a ser feita que esse resultado (razes iguais) se deve ao discriminante ser nulo (ou seja, =0). O que indica que:

Onde b = e a = da equao original.Ento, a equao diferencial fica:

Identificamos e . Assim:

Como temos:

E como temos:

Portanto, a soluo geral ser dada por:

CASO III Razes Complexas Conjugadas

Agora, as solues da equao auxiliar so complexas, ou seja:

Sejam e so reais e i2 = -1.

A soluo geral ser dada por

Utilizaremos novamente a frmula de Euler para tornar essa soluo inteiramente real:

Assim:

Somando e subtraindo esses dois ltimos resultados, temos, respectivamente:

Como uma soluo para qualquer valor nas constantes, se fizermos primeiramente c1 = c2 = 1 e c1=1, c2 = -1, teremos:

e

OU

e

Que tambm soluo. E como o wronskiano W( no intervalo (0,), conclumos que:

Portanto, a soluo geral real ser:

3.3. Equaes No-Homogneas Agora iniciaremos o estudo da busca por solues de equaes no-homogneas, que tem a forma:

Note que a diferena fundamental aqui entre o que estudamos at agora e o que iniciaremos, a existncia de uma funo g(x) no lado direito da equao, j que at agora trabalhamos com o lado direito nulo.

TeoremaSeja yp uma soluo particular qualquer da equao diferencial linear no homognea de ordem n em um intervalo I, e seja {y1, y2, ... yn} um conjunto fundamental de solues da equao diferencial homognea associada em I. Ento, a soluo geral da equao no intervalo :

Em palavras: a soluo geral a soma da soluo da equao homognea associada e da soluo particular.DemonstraoSeja L o operador diferencial e L(y) = g(x) a equao diferencial no homognea de grau n. Seja u(x) = y(x) - yp.Teremos:

Portanto, L(u) soluo da equao homognea associada.Podemos escrever

Outro teorema importante, especialmente para o primeiro mtodo de resoluo de equaes no homogneas que veremos o:Teorema do Princpio da Superposio (para equaes no homogneas)Sejam yp1, yp2, ... ypk, k solues particulares da equao linear no-homognea de ordem n em um intervalo I correspondendo por sua vez a k funes distintas g1, g2, ... gk.Isto , suponha que ypi denote uma soluo particular da equao diferencial correspondente:

Onde i = 1, 2, ... k.Ento:

uma soluo particular de

Em palavras: a soluo particular de uma equao diferencial onde o g(x) a soma de funes, a soma das solues das equaes diferenciais com cada uma dessas funes. Ento, por exemplo, se tivermos a equao diferencial

Podemos primeiro encontrar uma soluo para que seria yp1 e depois encontrar uma soluo particular para que seria yp2 e assim, segundo o teorema que acabamos de enunciar, a soluo particular seria yp = yp1 + yp2.Esse teorema ser importantssimo para o mtodo que ser agora enunciado.3.3.1. Equaes No-Homogneas de Coeficientes a DeterminarObservao inicial: Os coeficientes ditos indeterminados (ou a determinar) so os coeficientes do lado direito da equao (at agora sempre chamado de g(x)), os coeficientes do lado esquerdo so sempre constantes.Para entendermos esse mtodo fica mais simples partir de um exemplo ilustrativo para depois partir para o caso geral.Coeficientes Indeterminados PolinomiaisVamos encontrar, como exemplo, a soluo geral da a equao .Como j sabemos que a soluo geral a soma da soluo particular com a soluo homognea associada, iniciamos procurando a soluo da equao homognea associada, que notamos ser uma equao com coeficientes constantes, e tem como soluo (verifique!):

Agora, para encontrar a soluo particular, assim como fizemos em outros mtodos, vamos supor uma soluo, que para esse caso, ter a forma:

O que implica que:

Substituindo em temos:

Agora se deve ser feita uma observao muito importante!!! Para construir-se o sistema para encontrar os valores A, B e C, devemos nos atentar ao seguinte: devemos igualar somente os elementos com mesma potncia de x. Por exemplo, note que na ltima manipulao, do lado esquerdo h e do lado direito do sinal de igualdade h , com esses dois elementos, fazemos:

Ou seja, devemos criar uma nova equao para cada potncia de x da equao, e fazendo isso sucessivamente, chegamos todos os valores de coeficientes (A, B e C).Seguindo essa linha de raciocnio, temos:

E finalmente:

Portanto, a soluo particular ser:

E a soluo geral ser

Coeficientes Indeterminados TrigonomtricosAgora, digamos que a equao diferencial seja y- 2y 3y = 2.senx.Seguindo a mesma linha de raciocnio, devemos inicialmente encontrar a soluo homognea.

Logo, yh = C1e- x + C2 e 3x. A seguir, vamos tomar yp como sendo da forma:yp =A.cosx + B.senxyp = - A.senx + B.cosxyp = - A.cosx - B.senxPrimeiramente, no supomos a soluo como simplesmente um mltiplo de seno, mas de seno e tambm um mltiplo de cosseno. Se a equao original tivesse cosseno em lugar de seno, agiriamos da mesma maneira!Substituindo na equao, obtemos:

Portanto, yp uma soluo, desde que os coeficientes dos termos correspondentes sejam iguais. Obtemos, ento, o sistema

que tem solues A = e B = . Logo, a soluo geral

A forma da soluo homognea no Exemplo anterior no tinha nenhum termo do mesmo tipo que a funo na equao No entanto, se a equao diferencial no exemplo anterior fosse da forma

No faria sentido tentar uma soluo particular da forma y = Ae- x j que essa funo soluo da equao homognea. Em tais casos, devemos multiplicar pela menor potncia de x que remova a duplicao. Para esse problema em particular, tentaramos yp = Axe- x. O prximo exemplo ilustra esse tipo de situao.Coeficientes Indeterminados ExponenciaisSeja a equao diferencial y 2y = x + 2ex. Utilizando o teorema da superposio temos que:Para encontrar a soluo da homognea, utilizamos a equao caracterstica, , logo

Como , nossa primeira escolha para seria . No entanto, como j contm um termo constante , multiplicamos a parte polinomial por x e usamos:

Substituindo na equao diferencial, obtemos

Igualando os coeficientes dos termos correspondentes, obtemos o sistemaque tem solues A = B = e C = . Portanto: E por fim, a soluo geral

3.3.1.1. Estratgia para resolver Equaes de Coeficientes a DeterminarFeitos os exemplos numricos, fica mais fcil entender a forma geral.Como vimos, o mtodo aceita apenas, como a funo que causa a no homogeneidade, polinmios (incluindo constantes), exponenciais e as funes seno e cosseno alm das funes que so produtos de outras funes dos tipos enunciadas anteriormente. A seguir esto duas tabelas, a primeira com os casos gerais e uma segunda com casos numricos que ilustram a primeira tabela.Tabela Casos gerais de solues particulares

Onde, so constantes reais que podem ser zero. Isso significa que o f(x) pode ser somente ou s , entretanto, a suposio da soluo sempre ser J a constante s a que garante que a soluo particular no ter componentes que j existem na soluo da equao homognea associada. Mas de qual forma? Primeiro devemos analisar se a soluo homognea tem algum componente com a mesma forma da soluo particular que estamos supondo. Se no houver nenhuma parecida, s=0, logo, ela no ir interferir no resultado. Agora, se houver, o nmero s ser igual ao menor inteiro positivo que seja maior que a potncia que causa o conflito entre a soluo particular e a homognea.Por exemplo, se uma equao tem f(x) = 2x, e uma das solues homogneas x ou x, vai ser necessrio que s=1, assim, a suposta soluo ser .Tabela Exemplos dos casos gerais

3.3.2. Mtodo da Variao dos ParmetrosAgora, digamos que o g(x) no seja polinmio, nem funo exponencial nem funo seno ou cosseno. Para esses casos tm-se o mtodo da variao dos parmetros, que segue uma linha parecida com o mtodo de mesmo nome utilizada em equaes de primeira ordem.A premissa bsica a de que a soluo particular ser uma soma de mltiplos das solues linearmente independentes que compem a soluo da equao homognea associada, na verdade, coloca-se em aspas a palavra mltiplos pois at agora sempre a utilizamos para falar de um produto entre uma funo e um nmero, mas nesse caso, esse mltiplo ser uma outra funo, que denotaremos por (x). A soluo particular ento seria:

Onde e formam o conjunto fundamental de solues num intervalo I da equao homognea associada. Diferenciando temos:

Aplicando essas derivadas na equao diferencial e agrupando-as, temos:

Para entender o que foi feito, perceba que em os termos entre colchetes so solues da equao diferencial homognea associada, por isso so nulos. Na parte final, usada a propriedade da soma de derivadas (a soma de derivadas a derivada da soma).Para prosseguirmos, precisamos fazer uma conjectura: como queremos achar duas incgnitas (1(x) e 2(x)) sero necessrias duas equaes para encontra-las. Pois bem, analisando a manipulao (agrupamento) que fizemos nas equaes acima nessa seo, podemos definir as seguintes equaes (pense sobre isso mais tarde) e montar o seguinte sistema:

Utilizando a regra de Cramer, encontramos a soluo pelos determinantes:

e

Onde:

3.3.2.1. Estratgia para resolver problemas com o mtodo da Variao dos ParmetrosNormalmente no uma boa ideia decorar frmulas, mas nesse caso, como o procedimento feito longo e custoso, podendo causar confuses no meio do seu caminho. interessante resumir o caminho nos seguintes passos (no simplesmente decorar, mas estabelecer uma sequncia lgica de ideias):

Dada a equao .a) Encontrar a soluo da equao homognea associada e com elas construir o conjunto fundamental {y1, y2}.b) Colocar a equao na forma padro.c) Calcular o Wronskiano W = W(y1, y2).d) Calcular e e) Integrar e e encontre a soluo particular por:

f) A soluo geral ser dada por

3.4. Solues em SriesPois bem, aps discutirmos a resoluo de equaes diferenciais homogneas, percebemos que uma caracterstica importante dos mtodos que eles s funcionam para equaes diferenciais com determinados formatos, entretanto, existe um mtodo que ser mais abrangente, que ser abordado nessa seo, que a soluo por meio de sries, esse mtodo apresenta maior dificuldade para se fazer manualmente comparado aos mtodos anteriormente apresentados (j que eles se resumiam a expresses algbricas), mas computacionalmente so bastante eficientes. Faremos aqui uma abordagem leve, porm apresentando boa parte da sua conceituao formal.3.4.1. Classificao dos Pontos e Forma da SoluoTrabalharemos com equaes de segunda ordem, que tem a forma:

E o ponto estudado sempre ser x=0.Devemos coloc-la na forma padro (no caso, dividir a equao por a2) e teremos:

A classificao do ponto ser dada da seguinte maneira:a) Se P(x) e Q(x) forem contnuas em x=0, ento o ponto x=0 um ponto ordinrio. O que significa que o denominador no ser 0, j que, como h a diviso da equao pela funo a2(x) (apesar dela tambm poder ser constante), provavelmente P(x) e Q(x) sero funes racionais, que so indeterminadas quando o denominador zero. O ponto ser ordinrio significa que a funo analtica nesse ponto, ou seja, existe uma srie de Taylor ao redor desse ponto correspondente essa funo.b) Se P(x) e/ou Q(x) forem descontnuas em x=0, ento o ponto x=0 um ponto singular. Um ponto singular quando a srie no analtica. No caso dos pontos singulares, deve-se ainda, analisar a analiticidade de x.P(x) e x.Q(x), se realizar-se essas multiplicaes x.P(x) e x.Q(x) ainda resultarem em funes no-analticas (descontnuas), ento o ponto x=0 classificado como ponto singular irregular, e no ser estudado nesse curso, entretanto, se de x.P(x) e x.Q(x) forem analticos, o ponto classificado como ponto singular regular, que no prximo item ter sua forma de soluo discutida. Para entender melhor esse procedimento, imagine que e , ao fazermos de x.P(x) e x.Q(x) nota-se que P(x) = Q(x) = 1, que contnua, logo, tambm analtica e x=0 um ponto singular regular. Agora, se P(x) tivesse uma potncia no denominador maior que um, e Q(x) uma potncia maior que dois, o ponto x=0 seria ponto singular irregular.E agora, como tratamos essa informao?3.4.1.1. Soluo em Ponto OrdinrioQuando o ponto ordinrio, est garantido que existam duas solues linearmente dependentes (S(x) e T(x)) na forma de sries de potncia:

Note que, no caso convencionado para nosso curso, sempre analisaremos o ponto x = 0, ou seja, na soluo, o valor de a, na nossa prtica, ser sempre nulo, ento, S(x) e T(x) tero a forma:

E como estudaremos solues de equaes diferenciais de segunda ordem, as derivadas sero:

Que devero ser aplicadas na equao do exerccio e aps manipulaes, sero encontradas as formas das duas solues. 3.4.1.2. Soluo em Ponto Singular RegularPara soluo em ponto singular regular, fazemos uso do seguinte teorema:Teorema de FrobeniusSe x = x0 for um ponto singular regular da equao diferencial ento existir pelo menos uma soluo da forma

Como trabalharemos sempre com x=0, e colocando todos os elementos dentro do somatrio, temos:

Onde r uma constante a ser determinada. A constante r fundamental para se saber qual a forma da soluo por ser um elemento fundamental da equao indicial:Equao IndicialSe x=0 for um ponto singular regular de ento, sendo x.P(0) = P0 e x.Q(0)=Q0, teremos como equao indicial:

Temos 3 casos diferentes para resultados especficos dessa equao indicial:Caso 1 Razes no diferem por um inteiro.Se r1 e r2 so razes distintas e a diferena (r1 - r2) entre elas no um inteiro positivo, ento existem 2 solues para a equao diferencial, na forma:

a0 e b0 so diferentes de zero.Caso 2 Razes diferem por um inteiro.Existem 2 solues para a equao diferencial, na forma:

Sendo que, a constante C pode ser zero!

Caso 3 Razes indiciais iguais.Se r1 e r2 so iguais, h sempre duas solues linearmente independentes na forma:

Onde notamos que diferentemente do caso 2, no existe um mltiplo nulo de na soluo .

4. Sistemas de Equaes Diferenciais de Primeira Ordem4.1. Viso Matricial de Sistemas de Equaes DiferenciaisPara se estudar esse tpico, necessria que esteja clara a maneira de se obter a matriz de um sistema de equaes diferenciais. Um sistema de equaes de primeira ordem na forma normal :

Supomos e contnuas em um intervalo comum I. Quando para todo i, o sistema linear chamado de homogneo, seno, de no homogneo.Se X, A(t) e F(t) denotarem, respectivamente, as matrizes:

Ento a forma matricial do sistema ser:

Ou simplesmente:

Dizemos que o vetor X que satisfaa o vetor soluo do sistema.Um problema de valor inicial dar o vetor-soluo aplicado em um ponto t0.Resolver: Sujeito a: Similarmente ao teorema de existncia e unicidade das equaes de primeira ordem, em sistemas, a existncia de uma nica soluo se d quando todos os elementos das matrizes A(t) e F(t) so contnuos em um intervalo I (comum aos dois) que contenha o ponto t0. Tambm vale em sistemas o princpio da superposio, que pode ser enunciada da seguinte maneira:Sejam X1, X2,... Xn um conjunto de vetores soluo do sistema homogneo no intervalo I. Ento, a combinao linear

Com ci constantes arbitrrias. Quando se verifica quando todas as constantes so nulas, indica que esse conjunto de vetores soluo linearmente independente, mas se houver alguma constante no nula, o conjunto linearmente dependente.Tambm pode-se analisar a independncia linear de solues com o wronskiano de vetores soluo:

E quando um conjunto de vetores soluo do tipo for linearmente independente, ele ser um conjunto fundamental de solues. Que nico para o sistema homogneo em um intervalo I.E a soluo homognea Xc dada matricialmente por:

E igualmente aos casos estudados anteriormente, a soluo geral dada pela soma da soluo da equao homognea associada e da soluo particular.

4.2. Sistemas Lineares Homogneos com Coeficientes ConstantesPara facilitar o entendimento do mtodo que ser explicado, devemos relembrar como era a suposta soluo de uma equao homognea de coeficientes constantes, que tinha a forma: onde m a raiz de uma equao caracterstica. Como os sistemas estudados so uma coleo de equaes homogneas de coeficientes constantes, supomos que a soluo da forma:

Onde K a matriz de constantes arbitrrias e a raiz da equao caracterstica, mas qual equao caracterstica utilizaremos para sistemas?Temos como informao at agora que:

E como ento , mas, lembremos que o sistema homogneo tem a forma , com isso, conclumos que:

Ento, por fim, como o vetor K no nulo, definimos a equao caracterstica como sendo , que no nada mais nada menos do que a equao polinomial caracterstica da matriz A que define os autovalores (por isso no nos surpreendemos com a escolha da letra ). Assim que os autovalores forem encontrados, ao se aplicar cada equao encontramos o vetor K correspondente, a quem chamamos de autovetor K associado ao autovalor . Assim, definimos a soluo geral da equao homognea como:

E agora precisamos vamos definir mais precisamente a forma da soluo geral para os seguintes casos:CASO I Autovalores Reais DistintosSejam n autovalores reais e distintos de coeficientes A do sistema homogneo e sejam os autovetores correspondentes. Ento a soluo geral no intervalo (-,) ser dada por:

CASO II Autovalores Reais RepetidosTratando especialmente do caso de autovalores com multiplicidade dois, definindo o autovalor com multiplicidade dois, uma soluo pode ser obtida da forma:

Substituindo essa soluo no sistema homogneo temos:

Como esta ltima equao deve ser vlida para todos os valores de t, devemos ter (verifique):

Como sabemos que K o autovetor de A associado a , resolvemos e aps encontramos K, com ele encontramos uma soluo da forma , e tambm com o autovetor K encontrado, o substitumos em e encontramos o vetor P, assim, podendo construir a soluo geral com autovalor de multiplicidade dois, que relembrando, ter a forma:

CASO III Autovalores ComplexosNeste caso, o autovalor tem a forma com e reais. K1 um autovetor correspondente . Dividimos o soluo em duas partes, uma parte real e outra parte conjugada (com um barra superior):

Que so solues de .Entretanto, podemos aqui utilizar a frmula de Euler para tornar a soluo real, j que a soluo geral na forma contm nmeros complexos. Aplicando a frmula de Euler temos:

Pelo princpio da superposio temos os seguintes valores:

Tanto como so nmeros reais para qualquer nmero complexo . Portanto, as coordenadas nos vetores coluna e so nmeros reais. Assim, podemos definir:

E com essas informaes, podemos montar a soluo geral apenas com nmeros reais:Solues gerais correspondentes a um autovalor complexo

Que so linearmente independentes no intervalo (-,).4.3. Mtodo da Variao dos Parmetros para Sistemas Lineares No HomogneosComo j abordado anteriormente, a soluo da equao homognea associada a expresso:

Aonde iremos agora acrescentar uma nova notao: note que separamos a matriz em duas matrizes (que se multiplicam e retorna-se ao original), adicionaremos a seguinte notao:

Onde

a Matriz Fundamental. Que anloga ao conjunto fundamental de solues, por conter todas as solues da equao homognea, mas dentro do universo dos sistemas lineares.E a matriz C a matriz-linha de constantes.Para podermos usar esse novo conceito (matriz fundamental) devem se fazer algumas consideraes: A matriz fundamental singular. Se for uma matriz fundamental do sistema , ento:

O determinante de o wronskiano W(X1, X2,... Xn), que tem a garantia de ser diferente de zero, j que as solues que preenchem cada coluna so linearmente independentes em todo o intervalo na qual esto definidos. E por ser uma matriz singular (e ter determinante diferente de zero) a matriz inversa existe.Com esses resultados em mos, podemos definir um mtodo para determinar a soluo particular de um sistema de equaes lineares de primeira ordem, que segue a linha de raciocnio de um velho conhecido nosso, que a variao dos parmetros: Nossa meta agora ser encontrar uma matriz de funes que possa substituir a matriz de constantes C. Seja . Queremos determinar condies para que que soluo particular da equao Onde , se fizermos e temos:

Mas lembre-se que nas nossas consideraes iniciais tnhamos que:

Podemos substituir na equao anterior, que ficar:

Note que h dos dois lados da equao, ento ela ser anulada, e portanto

Perceba que nosso objetivo definir a matriz de funes , que pode ser encontrada mais aps as manipulaes que fizemos e se recordarmos que a matriz possui inversa e que o produto resulta na matriz identidade, logo:

E integrando os dois lados da equao, temos:

Como havamos definido que ento conclumos que:

O que implica finalmente que a soluo geral do sistema no homogneo de equaes lineares de primeira ordem :

BibliografiaBOLDRINI, J.L. et al. lgebra Linear. So Paulo: Harper & Row, 1980.BOYCE, William E. ; DIPRIMA, Richard C. Equaes Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno, 9ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011.FIGUEIREDO, D. ; NEVES, A. Equaes Diferenciais Aplicadas. Rio de Janeiro: IMPA, 2001.ZILL, Dennis. Equaes Diferenciais com Aplicaes em Modelagem. So Paulo: Cegange Learning, 2011.