Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan...

Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II

Prof. Willyan Machado Giufrida

Vigas

Flexão em vigas



• Vigas

• Estrutura linear que trabalha em posição horizontal ou inclinada, assentada em um ou mais apoios e que tem a função de suportar os carregamentos normais a sua direção (se a direção da viga é horizontal, os

carregamentos são verticais).carregamentos são verticais).



• Posição



• Formato



• Seção Transversal



• Apoios

• Apoios ou vínculos são componentes ou partesde uma mesma peça que impedem o movimentoem uma ou mais direções. Considerando omovimento no plano, podemos estabelecer trêsmovimento no plano, podemos estabelecer trêspossibilidades de movimento:

• Translação horizontal;• Translação vertical;• Rotação.



As cargas externas aplicadas sobre as vigas exercem esforços sobre os apoios, que por sua vez produzem reações para que

seja estabelecido o equilíbrio do sistema.



• Classificação

– Os apoios são classificados de acordo com o grau de

liberdade, ou seja, os movimentos que permitem. Desta forma temos:forma temos:



• Classificação das vigas quanto aos apoios:



• Cargas

• Carga Concentrada

– Classificamos como carga concentrada, quando asuperfície ocupada pela carga quando a superfícieocupada pela carga e relativamente pequena emocupada pela carga e relativamente pequena emrelação a viga. Exemplos: pés das bases de

maquinas; rodas de veículos, etc.



• Carga Distribuída Uniforme

– Quando o carregamento e igualmente distribuído em um determinado comprimento ou por toda a viga.viga.



• Carga Distribuída Variável

• Quando o carregamento é distribuído de formavariável em um terminado comprimento ou por todaa viga.



FlexãoFlexão

• Flexão provoca uma tensão de tração de um

lado da viga e uma tensão de compressão do

outro lado.



A fórmula da FlexãoA fórmula da Flexão

• O momento resultante na seção transversal éigual ao momento produzido pela distribuiçãolinear da tensão normal em torno do eixoneutro.neutro.

σ = tensão normal no membro

M = momento interno

I = momento de inércia

y = distância perpendicular do eixo neutro



ExemploExemplo• A viga tem seção transversal retangular e está sujeita à

distribuição de tensão mostrada na figura abaixo. Determine omomento de interno M na seção provocado pela distribuiçãode tensão.



•• Flexão Reta ou NormalFlexão Reta ou Normal

– solicitação que provoca, ou tende a provocar, curvaturanas peças.

– O esforço solicitante responsável por este comportamento

é chamado de momento fletor, podendo ou não seracompanhado de esforço cortante e força normal.



Flexão Reta ou NormalFlexão Reta ou Normal

• Quando desenvolvemos a fórmula da flexão, impusemos acondição de que a área da seção transversal fosse simétricaem torno de um eixo perpendicular ao eixo neutro e tambémque o momento interno resultante M agisse ao longo do eixoque o momento interno resultante M agisse ao longo do eixoneutro.



Esforço cortante (V) e Momento Esforço cortante (V) e Momento

FletorFletor (M)(M)



• A determinação da tensão normal e decisalhamento máximas, requer a identificação doesforço cortante e do momento fletor máximosatuantes na viga.

• O esforço cortante e o momento fletor em umdeterminadoponto de uma viga é encontrado,determinadoponto de uma viga é encontrado,passando-se uma seção através do ponto desejado e aplicando-se as equações de equilíbrio daestática para o trecho cortado.

• Convenção de sinais para os esforçosV e V’ epara os momentosM eM’.



Exemplo 1.• Para a viga e o carregamento mostrado na figura, construa o diagrama de

esforço cortante e de momento fletor e determine a tensão normal máximadevido à flexão.



• Momento Fletor

– No dimensionamento de peças submetidas a flexão,admitem-se somente deformações elásticas. A tensão detrabalho e fixada pelo fator de segurança, através datensão admissível.



ExercícioExercício• A viga simplesmente apoiada tem a área de seção transversal

mostrada na figura. Determine a tensão de flexão máximaabsoluta na viga e represente a distribuição de tensão naseção transversal nas localizações B, C e D.



• Flexão Obliqua ou Assimétrica– Ocorre em vigas com seções assimétricas;

– Vigas com seção simétrica e fora do plano de simetria;



• Para cargas inclinadas passando pelocentróide, deve-se decompor a carga em duascomponentes:



• Os momentos em uma seção distante “x” podem ser determinados em função das componentes Py e Pz:



• O momento fletor “M” na seção “x” é a resultante dos momentos My e Mz e tem a inclinação θ com o eixo “z”.



• Momento decomposto em cada eixo



• Momento aplicado arbitrariamente– Podemos expressar a tensão normal resultante em

qualquer ponto na seção transversal, em termos gerais,como:

σ = tensão normal no ponto

y, z = coordenadas do ponto medidas emy, z = coordenadas do ponto medidas em

relação a x, y, z

My, Mz = componentes do momento interno

resultante direcionados ao longo dos eixos y e z

Iy, Iz = momentos principais de inércia

calculados em torno dos eixos y e z



• Orientação do eixo neutro– O ângulo α do eixo neutro pode ser determinado

aplicando σ = 0. Temos:

IMPORTANTE: utilizar um sistema x, y e z orientadopela regra da mão direita.Ângulo � é positivo se medido no sentido do eixo +ypara +z, do contrário serão negativos.My = M.sen� e Mz = M.cos�



Exemplo 1• A seção transversal retangular mostrada na Figura está sujeita

a um momento fletor M = 12 kN · m. Determine a tensãonormal desenvolvida em cada canto da seção e especifique aorientação do eixo neutro.



Exemplo 2• Uma viga em T está sujeita a um momento fletor de 15 kN.m.

Determine a tensão normal máxima na viga.



• Ambas as componentes do momento são positivas. Temos:



• Para propriedades da seção, temos:

mA

Azz 089,0

)03,0).(2,0()1,0).(04,0(

)115,0).(03,0).(2,0()05,0).(1,0).(04,0( =++==

∑∑



• Pelo teorema dos eixos paralelos,

os principais momentos da inércia são:

2AdII +=



• A maior tensão de tração ocorre em B e a maior tensão de compressão ocorre em C.



• Exercício 1.– A viga em T está sujeita a um momento fletor M = 15 kN·m

direcionado, como mostra a figura. Determine a tensão deflexão máxima na viga e a orientação do eixo neutro. Alocalização y do centroide, C, deve ser determinada.



• Exercício 2– A viga tem seção transversal retangular. Se estiver sujeita a

um momento fletor M = 3.500N.m direcionado comomostra a figura, determine a tensão de flexão máxima naviga e a orientação do eixo neutro.



• Vigas compostas– Vigas construídas de dois ou mais materiais diferentes são

denominadas vigas compostas.

– A fórmula da flexão foi desenvolvida para vigas de materialhomogêneo. Entretanto vamos modificar a seçãotransversal da viga em uma seção feita de um únicotransversal da viga em uma seção feita de um únicomaterial e utilizar a fórmula.



• Método da seção transformada– Se um momento for aplicado a essa viga, então, como

ocorre a um material homogêneo, a área total da seçãotransversal permanecerá plana após a flexão, e porconseqüência, as deformações normais variarãolinearmente de zero no eixo neutro a máxima no materiallinearmente de zero no eixo neutro a máxima no materialmais afastado desse eixo.



O método consiste em transformar a viga em outra feita de um ÚNICO material.



• A altura da viga deve permanecer a mesma parapreservar a distribuição de deformações.

1 + rígido; 2 – rígido - Regra: numerador o material que será substituído! O fator de transformação é uma razão entre os módulos dos diferentes materiais que compõem a viga.



“Uma vez determinada a tensão da seção transformada, ela deve ser multiplicada pelo

fator de transformação para obter a tensão na viga verdadeira”viga verdadeira”



• Exemplo 1• Uma viga composta é feita de madeira e reforçada com uma

tira de aço localizada em sua parte inferior. Ela tem a área deseção transversal mostrada na figura abaixo. Se for submetidaa um momento fletor M=2KN.m, determine a tensão normalnos pontos B e C. Considere E =12GPa e E =200GPa.nos pontos B e C. Considere Emad=12GPa e Eaço=200GPa.



• Transformaremos a seção em outra feita inteiramentede aço, substituindo a madeira.

A seção transformada é mostrada na figura ao lado.A localização do centroide (eixo neutro) é:



• Portanto, o momento de inércia em torno do eixo neutro é

• Aplicando a fórmula da flexão, a tensão normal em B’ e C• Aplicando a fórmula da flexão, a tensão normal em B’ e C

• A tensão normal na madeira em B é



• Exemplo 2 (6.121 – Hibbeler)

– As partes superior e inferior da viga de madeira são reforçadascom tiras de aço, como mostra a figura. Determine a tensão deflexão máxima desenvolvida na madeira e no aço se a viga forsubmetida a um momento fletor M = 5 kN.m. Trace umrascunho da distribuição de tensão que age na seçãorascunho da distribuição de tensão que age na seçãotransversal. Considere Emad = 11 Gpa, Eaço = 200 Gpa.



055,0200

11 ===GPa

GPa

E

En

aço

mad



mb

mb

bnb

aço

aço

madaço

11,0

2,0.055,0

.

=

=

=

.cM

4

33

10.2981,212

3,0.189,0

12

34,0.2,0

−=

−=

I

I

.698,3

3698707

10.2981,2

170,0.10.5

.

)max(

)max(

4

3

)max(

)max(

MPa

Pa

I

cM

aço

aço

aço

aço

=

=

=

=

−

σσ

σ

σ



27,163178

10.2981,2

150,0.10.5055,0

..

4

3

)max(

)max(

Pa

I

cMn

mad

mad

=

=

=

−

σ

σ

σ

55,3263565

10.2981,2

150,0.10.5

.

4

3

)15,0(

)15,0(

Pa

I

cM

maço

maço

=

=

=

−

σ

σ

σ

.16,0

27,163178

)max(

)max(

MPa

Pa

mad

mad

=

=

σσ

.263,3

55,3263565

)15,0(

)15,0(

MPa

Pa

maço

maço

=

=

σσ



• Exemplo 3 (6.123 – Hibbeler)– A viga em U de aço é usada para reforçar a viga de

madeira. Determine a tensão máxima no aço e na madeira se a viga for submetida a um momento M = 1,2 KN.m. (Eaço

= 200 GPa, E = 12 GPa)= 200 GPa, Emad = 12 GPa)



• Vigas de concreto armado

Observação: O diagrama de tensão para concreto revela que o mesmo podeser 12,5 vezes mais resistente sob compressão do que tração



Na análise de uma viga de concreto simples (sem armadura), a mesma rompebruscamente tão logo que surge a primeira fissura, (Figura 12a).

Entretanto, colocando-se uma armadura convenientemente posicionada na região dastensões de tração, eleva-se significativamente a capacidade resistente da viga (Figura12b).



• Em situações reais de projeto com concreto armado, a capacidade do concreto de suportar qualquer carga de tração é desprezada – a

fratura do concreto é imprevisível.

• A análise de tensão requer localizar o eixo• A análise de tensão requer localizar o eixoneutro e determinar a tensão máxima no aço

e no concreto.

• Usa-se o fator de transformação:concreto

aço

E

En =



• Considera-se n > 1 convertendo o ferro em função do aço.

“É preciso uma quantidade “maior” de concreto para substituir o aço”para substituir o aço”

( ) 0'2

'' =−−

hdnA

hbh aço



• Exemplo 1– A viga de concreto armado tem a área de seção transversal

como mostra a figura abaixo. Se for submetida a um momentofletor M = 60 kN·m, determine a tensão normal em cada umadas hastes de reforço de aço e a tensão normal máxima noconcreto. Considere E = 200 GPa e E = 25 Gpa.concreto. Considere Eaço= 200 GPa e Econc= 25 Gpa.



• A área total de aço é



• Exige-se que o centroide se encontre no eixo neutro.



• O momento de inércia da seção transformada, calculado em torno do eixo neutro, é

• Aplicando a fórmula da flexão à seção transformada, atensão normal máxima no concreto é



• A tensão normal em cada uma das duas hastes é,portanto,portanto,



Vigas

Projeto de Vigas em flexão



• Objetivo – Análise e projeto de vigas;

• Vigas– membro estrutural suportando cargas ao longo do seu comprimento;

• Cargas transversal em vigas são classificadas em cargas concentradasou cargas distribuídas;

• As cargas aplicadas resultam em forças

internas, consistindo de esforço cortanteinternas, consistindo de esforço cortante

e momento fletor, gerando tensões de

cisalhamento e tensões normais, respectivamente;

• A tensão normal é, comumente, o critério crítico usado para o projeto;

• Requer a determinação da localização e da magnitude do momento máximo.



“Para projetar uma viga com base na resistência, exigem-se que as tensões de flexão e de cisalhamento verdadeiras não ultrapassem as tensões admissíveis

para o material”.

• Reque a determinação do “módulo de resistência à flexão” da viga (S(W)=I/c).

• A tensão normal máxima ocorre no ponto onde o momento fletor é máximo;

• Módulo de resistência à flexão (w): Representa o tipo de seção reage ao esforço, ou seja, representa a resistência da seção em relação ao esforço de flexão. Para cada tipo de seção transversal estudada tem-se uma equação diferente para se calcular o valor de W.



Tabela de Módulo de resistência a flexão em relação ao eixo x.



Exemplo 2.• A viga simplesmente apoiada da figura deve suportar o carregamento

indicado. Sabendo-se que atensão admissível do material usado é de160MPa, selecione o perfil de abas largas a ser utilizado.



Dimensionamento da seção transversal

Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan...

Documents

Transcript of Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan...