Notas de Aulas 2 - Retas e CircunferenciasProf Carlos A S Soares

1 Preliminares

1.1 Alguns fatos basicos

Para iniciarmos o estudo da gemetria analıtica e comveniente relembrarmos alguns fatos basicosde geometria euclidiana, quais sejam:

1. Dados dois pontos no plano existe uma unica reta que passa por eles.

2. Dada uma reta l e um ponto P no plano existe uma unica reta que passa por P e eperpendicular a l

3. Dada uma reta l e um ponto P no plano, fora de l, existe uma unica reta que passa porP e e paralela a l

4. Considere um triangulo retangulo em A, tal como ilustrado na figura abaixo.

α

A

B

C

a

b

c

Entao temos: (a) a2 = b2+c2(Teorema de Pitagoras) (b) tangente de α=tg (α) = tgα = cb

5. Se duas retas r e s sao ambas perpendiculares a uma terceira reta l, entao r e s saoparalelas.

1

1.2 O Plano Cartesiano e o Ponto

Voce certamente esta familiarizado com o plano cartesiano desde o ensino fundamental. Nesteinıcio do curso de Elementos de Calculo I, estaremos interessados em estudar conjuntos depontos no plano cartesiano e suas respectivas representacoes graficas. Observe abaixo a repre-sentacao de um sistema de eixos onde estao assinalados a escala e alguns pontos de coordenadasinteiras.

........... .........

...........

.........

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

yFigura1

A seguir temos a representacao de um sistema de eixos, onde a escala e oriunda do sistemaanterior, mas no eixo x estao assinalados alguns pontos onde a abscissa e multipla de π/2. Estetipo de representacao e muito usada quando estamos trabalhando com funcoes trigonometricas.

................. .........

−3π/2 −π −π/2 π/2 π 3π/2

......

...........

.........

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

yFigura2

Observacao 1.1 (O numero π) Ainda que seja redundante, lembramos que o numero π e umnumero irracional, isto e, sua representacao decimal e infinita e nao periodica. Na pratica,quando desejamos trabalhar com este numero, devemos aproxima-lo por um numero real derepresentacao decimal finita, por exemplo, uma aproximacao seria π ≈ 3.14159.

2

Como falado no inıcio, nosso objetivo e estudar conjuntos de pontos no plano e suas repre-sentacoes. Com certeza, os conjuntos mais simples sao aqueles formados por uma unico ponto.Vejamos alguns.

Exemplo 1.2 Seja Γ = {(1, 2)}. Ainda que voce nao tenha duvidas de como representar talconjunto no plano, segue abaixo sua representacao.

............

............

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

............

............

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

•

Figura3

Recordamos que, para um ponto P (x, y), teremos x(abscissa) indicando a distancia doponto ao eixo y e y(ordenada) indicando a distancia do ponto ao eixo x. Um ponto P (x, y)pertence ou esta no:

1. Primeiro quadrante se, e somente se, x > 0 e y > 0

2. Segundo quadrante se, e somente se, x < 0 e y > 0

3. Terceiro quadrante se, e somente se, x < 0 e y < 0

4. Quarto quadrante se, e somente se, x > 0 e y < 0

Abaixo temos os pontos P,Q,M e N respectivamente no primeiro, segundo, terceiro equarto quadrantes.

..............

..............

•

•

•

•x

yFigura4

PQ

N

M

Exemplo 1.3 (Bissetrizes dos quadrantes) Neste exemplo, destacamos dois conjuntos depontos no plano, a bissetriz dos quadrantes pares(BP ) e a bissetriz dos quadrantes ımpares(BI)definidos por

BP = {(x,−x); x ∈ R} BI = {(x, x); x ∈ R}.

3

Exemplo 1.4 Seja β o conjunto

β = {(x, x+ 1), x ∈ N}

.

E claro queβ = {(1, 2), (2, 3), . . .}

e, daı, podemos fazer somente representacoes de β plotando uma quantidade finita de pontos.Quantos pontos plotar, dependera do objetivo. Geralmente, marcamos pontos que de algumaforma evidencie o conjunto estudado, neste caso, β.

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

yFigura5

1.3 Distancia entre dois pontos

Considere dois pontos P (a, b) e Q(c, b) no plano. Como determinar a distancia entre estes doispontos? E simples, utilizando o teorema de Pitagoras e observando a figura a seguir, verificarque tal distancia, indicada por DPQ, sera dada por

DPQ =√

(a− c)2 + (b− d)2

.

4

........... .........

...........

.........

..............................................................................................................................................................................................................

•

•

x

yFigura

P

Q

a

b

c

d

D

Recordamos que um ponto P e dito equidistante de dois outros pontos A e Bse DPA = DPB.

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 1.5 Determine a distancia entre os pontos P (3, 1) e Q(1, 0).

Solucao 1.6DPQ =

√(3− 1)2 + (1− 0)2 =

√5.

Exemplo 1.7 Calcule o perımetro do triangulo cujos vertices sao A(2, 2), B(5, 4) e C(3, 6).

Solucao 1.8 Como o perımetro de um triangulo e a soma dos seus lados, inicialmente, cal-culemos os lados do triangulo. Teremos, entao:

DAB =√

(2− 5)2 + (2− 4)2 =√13

DAC =√

(2− 3)2 + (2− 6)2 =√17

DBC =√(5− 3)2 + (4− 6)2 =

√8

.

Logo, perımetro=√13 +

√17 +

√8. 1

Exemplo 1.9 Determine o ponto da bissetriz dos quadrantes ımpares que e equidistante dospontos A(−1,−4) e B(4, 3).

Solucao 1.10 Sabemos que qualquer ponto pertencente a bissetriz dos quadrantes ımpares edo tipo (x, x) logo, seja P (x, x) o ponto procurado. Como P deve ser equidistante de A e B,devemos ter DPA = DPB, isto e,√

(x+ 1)2 + (x+ 4)2 =√(x− 4)2 + (x− 3)2.

Elevando ao quadrado ambos os membros da igualdade vem

(x+ 1)2 + (x+ 4)2 = (x− 4)2 + (x− 3)2.

1Note que nao e verdade que√13 +

√17 +

√8 =

√13 + 17 + 8.

5

Desenvolvendo, teremos

x2 + 2x+ 1 + x2 + 8x+ 16 = x2 − 8x+ 16 + x2 − 6x+ 9

o que nos leva a24x = 8 ⇒ x = 1/3.

Logo, o ponto procurado e P (1/3, 1/3).

Observacao 1.11 Dados dois pontos A e B, indicaremos por AB o segmento de reta queune os pontos A e B. E simples verificar que, sendo A(x0, y0) e B(x1, y1), o ponto medio dosegmento AB sera o ponto M(x0+x1

2, y0+y1

2).

Exemplo 1.12 Determine o ponto medio do segemento AB, sendo A(−1, 3) e B(2,−5).

Solucao 1.13 Pela observacao acima, temos

M(−1 + 2

2,3 + (−5)

2) = (−1

2,−1).

1.4 Condicao para tres pontos estarem alinhados

Definicao 1.14 Tres pontos serao ditos alinhados se existe uma reta l que os contenha, istoe, se estao sobre uma mesma reta l.

Dados tres pontos Q(a, b), P (c, d) e R(e, f), queremos determinar condicoes para que estestres pontos estejam alinhados. Trataremos separadamente 3 casos.

Caso 1: Existem dois dos pontos dados com a mesma abscissa. Neste caso a reta que passapor estes dois pontos e uma reta vertical e os tres pontos estarao alinhados se, e somente se,o terceiro ponto pertence a esta reta vertical, isto e, se, e somente se, o terceiro ponto possuira mesma abscissa dos outros dois.

Caso 2: De maneira analoga, suponhamos existirem dois dos pontos dados com a mesmaordenada. Neste caso a reta que passa por estes dois pontos e uma reta horizontal e os trespontos estarao alinhados se, e somente se, o terceiro ponto pertence a esta reta horizontal, istoe, se, e somente se, o terceiro ponto possuir a mesma ordenada dos outros dois.

Caso 3: Dentre os tres pontos dados nao existem dois com a mesma abscissa ou mesmaordenada. Se os tres pontos estao alinhados, temos uma representacao tal como na figuraabaixo com os dois angulos assinalados iguais(α). Vide figura abaixo.

Entao, observando os triangulos QTR e ROP devemos ter, respectivamente, tgα = f−be−a

e

tgα = d−fc−e

, isto e, devemos terf − b

e− a=

d− f

c− e.

Reciprocamente, se f−be−a

= d−fc−e

, entao os angulos assinalados serao iguais e os tres pontosestarao alinhados. Logo, temos, neste caso,

Q,P,R estarao alinhados ⇔ f − b

e− a=

d− f

c− e.

6

x

y

α

P

a

b

c

d

α

e

f

Q

RO

T

Exemplo 1.15 Os pontos A(1, 1), B(3,−2), C(5, 2) estao alinhados? Justifique!

Solucao 1.16 Observando que

−2− 1

3− 1=

−3

2= 2− (−2)

5− 3= 2,

pelo exposto acima, emos que os pontos nao estao alinhados.

Exemplo 1.17 Determine o valor de k de modo que os pontos (k, 4), (11, k), (−1, 3) estejamalinhados.

Solucao 1.18 Temos

3−4−1−k

= 3−k−1−11

⇔ −1−1−k

= 3−k−12

⇔ 1k+1

= 3−k−12

⇔ (3− k)(k + 1) = −12 ⇔

⇔ 3k + 3− k2 − k + 12 = 0 ⇔ k2 − 2K − 15 = 0 ⇔ k = −3 ou k = 5.

Exemplo 1.19 Calcule a mediana AM 2 de um retangulo cujos vertices sao A(−3, 32), B(1, 5), C(6,−1).

Solucao 1.20 O ponto medio M do segmento BC e

M(1 + 6

2,5 + (−1)

2) = (

7

2, 2).

logo, teremos

DAM =

√(−3− 7

2)2 + (

3

2− 2)2 =

√169

4+

1

4=

√170

2.

1.5 Exercıcios

1) Mostrar que o triangulo cujos vertices sao (-2,-1), (2,2) e (5,-2) e isosceles e calcular suaarea.

2segmento de reta unindo o vertice A ao ponto medio M do lado oposto, isto e, BC

7

2) Mostrar que o triangulo cujos vertices sao (-8,4), (2,-2) e (5,3) e retangulo e calcular suaarea.

3) Mostrar que os pontos (0,1), (3,5), (7,2) e (4,-2) sao os vertices de um quadrado.

4) Sendo A(−5, k− 2), B(5, 5) e C(2,−2), determine k de modo que o triangulo ABC sejaretangulo em B.

5) Os pontos A(1, 2) e B(5,−1) sao vertices consecutivos de um quadrado. Determine ascoordenadas dos outros vertices.

6) Dados A(a, 4), B(−3,−2) e C(5, 2), determine o valor de a de modo que o ponto A sejaequidistante de B e C.

7) Determine os pontos do eixo x, cujas distancias ao ponto A(2, 3) sao iguais a 5.

8) Determine o ponto da bissetriz dos quadrantes pares que e equidistante dos pontosA(−1,−4) e B(4, 3).

9) Determine o valor de a modo que o triangulo ABC, de vertices A(a, 4), B(−7, 2a −1), C(0, 0) seja retangulo em C.

10) Determine o valor de a sabendo que a distancia entre os pontos (7, 1) e (3, a) e igual a5.

11) Os pontos (2, 2), (−1,−3), (1, 1) estao alinhados? Justifique!

12) Os pontos (1, 3), (4, 5), (−2, 1) estao alinhados? Justifique!

13) Para quais valores de a os pontos A(a−1, a), B(−a, 1−a), C(a−2, a−1) estao alinhados?Justifique!

2 Equacoes da Reta

2.1 Determinacao de uma reta

Tal como lembrado na primeira secao, sabemos que uma reta fica determinada conhecidosdois pontos pelos quais ela passa. Temos, ainda, que uma reta tambem estara conhecida sesabemos um ponto pelo qual ela passa e sua direcao no plano, por exemplo, o angulo que estareta forma com um dos eixos coordenados. Em geometria analıtica iremos sempre cacterizaruma reta l de uma das seguintes formas:

1) Explicitando dois pontos pelos quais l passa

2) Explicitando um ponto pelo qual l passa e o angulo α que l forma com o eixo x tomadosempre a partir deste eixo, no sentido anti-horario. Vide figura a seguir.

8

x

y

αα

Note que teremos sempre 0 ≤ α < π(0 ≤ α < 180o) 3 e 0 ≤ α < 1800 que se a reta evertical, entao α = 0. Por razoes que se tornarao obvias a seguir, no caso (2) acima, se a retanao e vertical, ao inves de nos referirmos ao angulo α nos referiremos sempre a tangente de αou tgα. Temos, emtao, a definicao.

Definicao 2.1 Seja l uma reta nao vertical. Chamamos coeficiente angular de l ou declividadede l, representado por ml, a tangente do angulo α ja referido acima, isto e,

coeficiente angular de l = ml = tgα.

Observamos que sendo α > π2(= 90o) temos tgα = −tg (π − α) = −tg (180o − α) e, daı,

vemos que se α < π2, temos tgα < 0. Lembramos ainda que tg π

3= tg 60o =

√3, tg π

6=

tg 30o =√33

e tg π4= tg 45o = 1.

Observe, abaixo, a representacao de uma reta l passando pelos pontos Q(a, b) e P (c, d)

x

y

α

P

Q

a

b

c

d

O

Observando, na figura, o triangulo OPQ, vemos que

ml = tgα =d− b

c− a.

3Observe a diferenca nos casos quando a medida de α e dado em radianos ou graus.

9

Logo, se conhecemos quaisquer dois pontos (x2, y2) e (x1, y1) pelos quais passa umareta nao vertical l, podemos determinar seu coeficiente angular facilmente pois,teremos,

ml =y1 − y2x1 − x2

=y2 − y1x2 − x1

.

Insistimos que, para retas verticais, nao temos o coeficiente angular!

Exemplo 2.2 Qual o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A(−2, 1) e B(−1, 2)?Qual o valor de um dos angulos que esta reta forma com o eixo x?

Solucao 2.3 Teremos

m =2− 1

−1− (−2)=

1

1= 1,

logo um dos angulos sera π4= 45o.

Exemplo 2.4 Qual o coeficiente angular de cada reta, r e s, representadas abaixo?

x

y

5π/6π/3

sr

Solucao 2.5 Temos

mr = tg 5π6= −tg (π − 5π

6) = −tg π

6= −tg 30o = −

√33

ms = tg π6= tg 60o =

√3

2.2 A equacao geral

Determinar a equacao de uma reta l significa encontrar uma equacao nas variaveis x e y queseja satisfeita por todos os pontos de l e so pelos pontos de l. Consideremos dois casos:

1) Determinando a equacao de uma reta l conhecidos dois pontos (x0, y0) e (x1, y1) perten-centes a l. Neste caso, temos:

1.1) Se x0 = x1, e simples ver que a reta l e uma reta vertical e, portanto, uma equacaopara l sera

x = x0 ou ainda x− x0 = 0.

10

Note que a equacao nao e unica, por exemplo, 2x = 2x0 tambem seria uma equacao para l.

1.2) Se x0 = x1, um ponto (x, y) estara na reta l se, e somente se, os pontos (x, y), (x0, y0), (x1, y1)estiverem alinhados, isto e, se, e somente se,

y1 − y0x1 − x0

=y1 − y

x1 − x

ou ainda

(x1 − x)y1 − y0x1 − x0

= y1 − y

o que nos leva a

y =y1 − y0x1 − x0

(x− x1) + y1.

Observe que, no caso em que y1 = y0, a reta l sera horizontal com equacao y = y1.

2) Determinando a equacao de uma reta l conhecidos um ponto (x0, y0) pertencentes a l eseu coeficiente angular ml.

Neste caso, um ponto (x, y) estara na reta l se, e somente se, os coeficientes angulares dasretas l e da reta que passa pelos pontos (x0, y0) e (x, y) sao iguais, isto e,

y − y0x− x0

= ml

ou ainday − y0 = ml(x− x0)

nos levando ay = ml(x− x0) + y0.

Novamente observamos que, se a reta e horizontal, teremos ml = 0 e sua equacao sera y = y0.

Resumindo, poderıamos, facilmente, demonstrar o seguinte teorema.

Teorema 2.6 Um conjunto de pontos no plano sera uma reta se, e somente se, seus pontossatisfazem uma equacao do tipo Ax + By + C = 0, onde A, B e C sao numeros reais quecaracterizam tal reta, com A e B nao simultaneamente nulos.

A equacao referida no teorema acima e dita equacao geral da reta. Note queesta equacao nao e unica, pois podemos multiplicar toda a equacao por qualquernumero diferente de zero e ainda teremos uma equacao geral para a reta.

Exemplo 2.7 Em cada item abaixo, determine a equacao geral da reta que passa pelos pontos:

(a)(−3, 1) e (0, 9) (b)(1, 0) e (1,−1) (c)(3,−1) e (5/4,−1)

Solucao 2.8 (a) m = 9−10−(−3)

= 83. Usando o ponto (−3, 1) temos a equacao y − 1 = 8

3(x+ 3),

ou, 3y − 3 = 8x+ 24, o que nos leva a equacao geral

8x− 3y + 27 = 0.

Note que poderıamos ter optado por usar o ponto (0, 9).

(b) Como as abscissas dos pontos e a mesma , teremos uma reta vertical dada por x = 1ou equacao geral

x− 1 = 0.

(c) Como as ordenadas dos pontos e a mesma , teremos uma reta horizontal dada pory = −1 ou equacao geral

y + 1 = 0.

11

2.3 A equacao reduzida da reta

Consideremos uma reta l nao vertical. Entao sua equacao geral sera do tipo Ax+By+C = 0com B = 0 e, entao, podemos isolar y, obtendo y = −A

Bx− C

B, que pode ser escrita na forma

y = mx + n e esta equacao sera dita equacao reduzida da reta. E claro que, conhecida aequacao reduzida de uma reta, o numero n e obtido apos substituırmos x = 0 nesta equacaoe, daı, temos que n e exatamente a ordenada do ponto onde a reta toca o eixo y e por isto ne dito coeficiente linear de l. E obvio que m e o coeficiente angular da reta l. Novamente,insistimos que retas verticais nao possuem equacao reduzida!

Exemplo 2.9 Determine, se existir, a equacao reduzida da reta representada na figura abaixo.

............

............

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

............

............

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

•

•Figura7

Solucao 2.10 Note que a reta dada passa pelos pontos (−1,−2) e (1, 4). Devemos, entao,encontrar uma equacao do tipo y = mx + n que seja satisfeita pelos pontos (−1,−2) e (1, 4).Uma primeira solucao seria resolver o sistema abaixo.{

m.1 + n = 4m.(−1) + n = −2

ou ainda, devemos resolver o sistema{m+ n = 4−m+ n = −2

E simples encontrar como solucao m = 3 e n = 1. Logo, a equacao procurada e dada por

y = 3x+ 1.

Uma segunda solucao pode ser obtida usando que o coeficiente da reta que e dado porm = 4−(−2)

1−(−1)= 3 e, agora, podemos usar o que desenvolvemos na primeira secao encontrando a

equacaoy − 4 = 3(x− 1)

ou ainday = 3x+ 1.

12

Exemplo 2.11 Determine a equacao reduzida da reta paralela ao eixo x representada na figuraabaixo.

............

............

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

............

............

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Figura8

Solucao 2.12 Neste caso, observamos que a reta e uma reta vertical e, portanto, sua equacaoreduzida sera

y = 3.

Note que nos dois ultimos exemplos a equacao geral de cada reta seria dada por 3x−y+1 = 0e y − 3 = 0, respectivamente.

Exemplo 2.13 Determine, se existir, a equacao reduzida da reta paralela ao eixo y represen-tada abaixo.

............

............

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

............

............

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

...........

............

............

............

............

............

............

............

............

............

............

............

............

............

............

............

.....

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Figura9

Solucao 2.14 Como a reta e vertical nao temos equacao reduzida. Uma equacao geral seriax− 1 = 0.

13

Exemplo 2.15 Em cada item abaixo determine, se existir, a equacao reduzida da reta quepassa pelos pontos:

(a)(−3, 1) e (0, 9) (b)(1, 0) e (1,−1) (c)(3,−1) e (5/4,−1)

Solucao 2.16 (a) Ja sabemos por um exemplo anterior que a equacao geral desta reta e 8x−3y + 27 = 0. Logo, isolando y, obtemos sua equacao reduzida, qual seja

y =8

3x+ 9.

(b) Sabemos que esta reta e uma reta vertical e, portanto, nao temos equacao reduzida nestecaso.

(c) y = −1.

2.4 A equacao segmentaria da reta

Consideremos uma reta oblıqua 4 que nao passa pela origem. Necessariamente, esta retacortara os eixos x e y conforrme, por exemplo, a figura abaixo.

..............

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

x

yl

a

b

A equacao desta reta l pode ser determinada, facilmente, verificando que a reta passa pelospontos (a, 0) e (0, b) e, daı, sua equacao sera

bx+ ay − ab = 0 ou ainda bx+ ay = ab.

Dividindo todos os termos por ab, teremos a equacao escrita na forma

x

a+

y

b= 1.

Nos referimos a esta equacao como equacao segmentaria da reta l.

Exemplo 2.17 Determine, se existir, a equacao segmentaria da reta cuja equacao geral e5x+ 6y − 30 = 0.

Solucao 2.18 Temos

5x+ 6y = 30 ⇔ 5

30x+

6

30y = 1 ⇔ 1

6x+

1

5y = 1

o que nos leva a equacao segmentaria

x

6+

y

5= 1.

4Uma reta e dita oblıqua se nao e vertical nem horizontal.

14

Exemplo 2.19 Determine, se existir, a equacao segmentaria da reta cuja equacao geral e6x− 20y − 15 = 0.

Solucao 2.20 Temos

6x− 20y = 15 ⇔ 6

15x− 20

15y = 1 ⇔ 2

5x− 4

3y = 1

o que nos leva a equacao segmentaria

x

5/2+

y

−3/4= 1.

Lembre-se que ab= 1

ba

.

Exemplo 2.21 Determine, se existir, a equacao segmentaria da reta cuja equacao geral e6x+ 20y + 15 = 0.

Solucao 2.22 Temos

6x+ 20y = −15 ⇔ 6

−15x+

20

−15y = 1 ⇔ 2

−5x+

4

−3y = 1

o que nos leva a equacao segmentaria

x

−5/2+

y

−3/4= 1.

Exemplo 2.23 Determine, se existir, a equacao segmentaria da reta que passa pelos pontos:

(a)(−3, 1) e (0, 9) (b)(1, 0) e (1,−1) (c)(3,−1) e (5/4,−1)

Solucao 2.24 (a) Sabemos que a equacao geral desta reta e 8x− 3y + 27 = 0, o que nos levaa

8x− 3y = −27 ⇔ 8

−27x++

3

27y = 1

obtendo, entao, a equacao segementaria

x

−27/8+

y

27/3= 1.

(b) Reta vertical, nao temos equacao segmentaria.

(c) Reta horizontal, nao temos equacao segmentaria

Exemplo 2.25 Determine as equacoes geral e reduzida da reta cuja equacao segmentaria ex−12

+ y

− 32

= 1.

Solucao 2.26 Temos x−12

+ y

− 32

= 1 ⇔ −2x − 23y = 1 ⇔ −2

3y = 2x + 1 ⇔ −2y = 6x + 3 ⇔

y = −3x − 32o que nos leva as equacoes −2x − 2

3y − 1 = 0 e y = −3x − 3

2, respectivamente,

equacoes geral e reduzida.

Exemplo 2.27 Para cada reta representada abaixo determine, se exitir, sua equacao seg-mentaria.

Solucao 2.28 reta r : x7/2

+ y7/2

= 1 reta s : x3/2

+ y−2

= 1.

15

x

y

-2

3/2 7/2

7/2

r

s

2.5 Retas paralelas e Retas perpendiculares

A proposicao abaixo, que admitiremos sem demonstracao, nos sera muito util.

Proposicao 2.29 Sejam l e m duas retas de equacoes y = a1x+ b1 e y = a2 + b2 respectiva-mente. Entao, teremos:

1. l e m serao perpendiculares se, e somente e, a1a2 = −1

2. l e m serao paralelas se, e somente e, a1 = a2

Observe que, para utilizar o teorema acima, devemos trabalhar com as equacoesreduzidas das retas!

Exemplo 2.30 Determine os valores de a para os quais as retas r e s de equacoes ax+3y+1 =0 e 12x+ ay + 3 = 0, respectivamente, sejam paralelas.

Solucao 2.31 A equacao reduzida da reta r e dada por y = −a3x − 1

3. Para determinarmos

a equacao reduzida da reta s devemos considerar separadamente dois casos a = 0 e a = 0.Supondo a = 0, sua equacao reduzida sera y = −12

ax− 3

ae , neste caso, r e s serao paralelas

se, e somente se,−a

3=

−12

aisto e − a2 = −36 ou ainda a = ±6.

Se a = 0 as equacoes de r e s serao, repectivamente, 3y + 1 = 0 e 12x + 3 = 0 que nao saoparalelas pois uma e horizontal e outra vertical. Logo, as retas dadas so serao paralelas sea = ±6.

Exemplo 2.32 Determine os valores de a para os quais as retas r e s de equacoes ax+3y+1 =0 e 12x+ ay + 3 = 0, respectivamente, seja perpendiculares.

Solucao 2.33 A equacao reduzida da reta r e dada por y = −a3x − 1

3. Novamente, para

determinarmos a equacao reduzida da reta s devemos considerar separadamente dois casos

16

a = 0 e a = 0. Supondo a = 0, sua equacao reduzida sera y = −12ax− 3

ae , neste caso, r e s

serao perpendiculares se, e somente se,

−a

3.−12

a= −1 isto e − 4 = −1

o que nao e verdadeiro para nenhum a. Se a = 0 as equacoes de r e s serao, repectivamente,3y + 1 = 0 e 12x+ 3 = 0 que sao perpendiculares pois uma e horizontal e outra vertical. Logoas retas dadas so serao perpendiculares se a = 0.

Exemplo 2.34 Determine a equacao de uma reta que passe pelo ponto (−5, 2/3) e seja para-lela a reta r de equacao −4x+ 9y + 1 = 0.

Solucao 2.35 Note que o coeficiente angular de reta r e igual a 49. Como a reta procurada

deve ser paralela a r, seu coeficiente angular deve ser 49e como deve, ainda, passar pelo ponto

(−5, 2/3), temos que sua equacao sera

y − 2

3=

4

9(x+ 5).

Exemplo 2.36 Determine os valores de a para os quais as retas r e s de equacoes y = −3x−4e 12x+ ay + 3 = 0, respectivamente, seja perpendiculares.

Solucao 2.37 Se a = 0 as retas nao serao perpendiculares pois uma e oblıqua e a outravertical. Se a = 0 a equacao reduzida de s sera y = −12

ax − 3

ae, portanto, r e s serao

perpendiculares se, e somente se, −12a.− 3 = −1, isto e, a = 36. Logo, as retas r e s so serao

perpendiculares se a = 36.

Exemplo 2.38 Determine a equacao de uma reta s que passe pelo ponto (−1, 4) e seja per-pendicular a reta r de equacao 3x+ 5y − 2 = 0

Solucao 2.39 Temos que o coeficiente angular da reta r e −35e, portanto, o coeficiente angular

da reta s, ms, deve satisfazer

ms.−3

5= −1

e daı obtemos ms =53. Uma equacao para s sera, entao,

y − 4 =5

3(x+ 1).

Exemplo 2.40 Determine a equacao da mediatriz do segmento AB, sendo A(1, 5) e B(3, 9).5

Solucao 2.41 O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A e B e igual a 9−53−1

= 2.

O ponto medio do segmento AB e o ponto(1+32, 5+9

2

)= (2, 7). Logo, uma equacao para a

mediatriz seray − 7 = 2(x− 2).

5Mediatriz de um segmento de reta e a reta que e perpendicular a esse segmento e passa pelo seu pontomedio.

17

2.6 Distancia de Ponto a Reta

Sejam l uma reta de equacao Ax+By +C = 0 e um ponto P (x0, y0). E possıvel mostrar quea distancia entre l e P , indicada por DPl, e dada por

DPl =|Ax0 + by0 + C|√

A2 +B2. 6

Poderıamos mostrar este resultado facilmente, determinando a equacao da reta s que passapelo ponto P e e perpendicular a reta l. A seguir, determinamos o ponto Q de intersecao dasreta l e s e, por fim, calculamos a distancia entre P e Q.(tente faze-lo!)

Exemplo 2.42 Determine a distancia entre o ponto P (−2, 5) e a reta l de equacao 8x−15y+11 = 0.

Solucao 2.43 Teremos

DPl =|8.(−2) + (−15).5 + 11|√

82 + (−15)2=

| − 80|√289

=80

17.

Exemplo 2.44 Determine o valor de k, de modo que a distancia entre o ponto P (−1, 3) e areta s de equacao 24x+ 7y + k = 0 seja igual a 4.

Solucao 2.45 Temos

DPs =|24.(−1) + 7.3 + k|√

242 + 72=

|k − 3|25

.

Como, devemos ter, DPs = 4, vem

|k − 3|25

= 4 ⇔ |k − 3| = 100 ⇔ k − 3 = 100 ou k − 3 = −100 ⇔ k = 103 ou k = −97.

Exemplo 2.46 A distancia entre o ponto A(3, 6) e uma reta r de coeficiente angular −4 eiguala 5. Determine a equacao da reta r.

Solucao 2.47 Como o coeficiente ngular da reta r e −4 sua equacao reduzida sera do tipo

y = −4x+ n,

o que nos leva a equacao geral,4x+ y − n = 0.

Devemos ter, entao,

DAr =|4.3 + 1.6− n|√

42 + 12=

|18− n|√17

= 5

o que nos leva a

|18− n| = 5√17 ⇔ 18− n = 5

√17 ou 18− n = −5

√17 ⇔ n = 18− 5

√17 ou n = 18 + 5

√17.

Logo, temos duas solucoes para a reta r, quais sejam

4x+ y − 18 + 5√17 = 0 ou 4x+ y − 18− 5

√17 = 0.

6Lembramos que, sendo x ∈ R, teremos |x| =√x2 = x se x > 0 e − x se x < 0. Note que |x| = a ⇔ x =

a ou x = −a.

18

Exemplo 2.48 Considere as retas r e s de equacoes 3x− 4y + 3 = 0 e y = 2x + 2, respecti-vamente. Determine um ponto P na reta s cuja distancia a reta r seja igual a 6.

Solucao 2.49 Seja P (a, b) o ponto procurado. Como P ∈ s, devemos ter, b = 2a + 2 e,portanto, P (a, 2a+ 2). Como a distancia de P a r deve ser igual a 6, teremos,

DPr =|3a+ (−4)(2a+ 2) + 3|√

32 + (−4)2=

| − 5a− 5|5

= | − a− 1| = 6

o que nos leva aa = −7 ou a = 5.

Temos, entao, duas solucoes para o ponto P , quais sejam, P (5, 12) e P (−7,−12).

Exemplo 2.50 Considere o triangulo ABC cujos vertices sao os pontos A(1, 2), B(3, 7) eC(6, 3). Determine a altura deste triangulo relativa ao lado BC. Determine, ainda, a areadeste triangulo.

Solucao 2.51 A altura relativa ao lado BC e simplesmente a distancia entre o ponto A ea reta r que passa por B e C. A reta que passa por B e C tem equacao 4x + 3y − 33 =0(certifique− se!) e, portanto, teremos,

h = DAr =|4.1 + 3.2− 33|√

42 + 32=

| − 23|5

=23

5.

A area S do triangulo sera igual a DBC .h2

. Logo

S =

√(3− 6)2 + (7− 3)2.23/5

2=

23

2.

2.7 Exercıcios

1) Determine a equacao da reta que passa pelos pontos (1, 2) e (0, 1). Qual o angulo que areta encontrada faz com o semi eixo positivo x?

2) Determine a equacao da reta de coeficiente angular 2 e que paasa pelo ponto (−3, 4).Determine outros dois pontos pelos quais a reta encontrada passa.

3) a) Mostre que se (x1, y1) e (x2, y2) sao dois pontos sobre a reta de equacao y = ax + bentao

a =y2 − y1x2 − x1

=y1 − y2x1 − x2

.

b) Qual o coefifiente angular da reta que passa pelos pontos (1/2,−1) e (4, 0)?

4) (a) Determine a equacao geral da reta paralela a reta de equacao y = −x−2 e que paasapelo ponto (−3, 4)

(b) Determine a equacao geral da reta perpendicular a reta de equacao y = −x− 2 e quepaasa pelo ponto (−3, 4).

19

(c) Faca um esboco das retas no plano.

d) Qual a interesecao da reta inicial com a reta encontrada no item (b)?

5) Uma reta passa pelos pontos (-2,-3) e (4,1). Calcular a ordenada de um ponto situadosobre esta reta e cuja abscissa e 10.

6) Mostrar que os pontos (1,1), (5,3), (8,0) e (4,-2) sao os vertices de um paralelogramo.

7) A reta que passa pelos pontos (-2,5) e (4,1) e perpendicular a reta que passa pelos pontos(-1,1) e (3,7)? Justifique!

8) A reta l1 passa pelos pontos (3,2) e (-4,-6) e a reta l2 passa pelo ponto (-7,1) e peloponto A de ordenada -6. Determine a abscissa do ponto A sendo l1 perpendicular a l2.

9) As intersecoes de uma reta sobre os eixos X e Y sao, respectivamente, 2 e -3. Determinesua equacao.

10) Determine a equacao da reta cula declividade e -3 e cuja intersecao sobre o eixo Y e -2.

11) Os pontos (-5,2), (1,4) e (4,5) sao colineares? Justifique!

12) Determine a area do triangulo retangulo formado pelos eixos coordenados e pela retacuja equacao e 5x+ 4y + 20 = 0.

13) Determine k se a reta kx+ (k − 1)y − 18 = 0 deve ser paralela a reta 4x+ 3y + 7 = 0.

14)Determine k se a reta k2x+(k+1)y+3 = 0 deve ser perpendicular a reta 3x−2y−11 = 0.

15) Determine a e b se as equacoes ax+(2−b)y−23 = 0 e (a−1)x+by+15 = 0 repesentamretas que passam pelo ponto (2,-3).

16) Determine k se a reta 4x + 5y + k = 0 deve formar com os eixos coordenados umtriangulo retangulo de area 2,5.

17) Determine a distancia da reta 4x− 5y + 10 = 0 ao ponto (2,-3).

18) Os vertices de um triangulo sao os pontos A(-4,1), B(-3,3) e C(3,-3). Determine ocomprimento da altura relativa ao lado BC e a area do triangulo

3 Circunferencia

3.1 Conceitos Iniciais

Sejam C(a,b) um ponto e r > 0 um numero real. Chamaremos circunferencia de centro C eraio r o conjunto de todos os pontos P(x,y) tais que a distancia entre C e P e igual r.

20

Exemplo 3.1 Determine a equacao da circunferencia de centro (-1,2) e raio√3

Solucao 3.2 Claramente, temos

(x+ 1)2 + (y − 2)2 = (√3)2 = 3.

Exemplo 3.3 Determine os valores de k para os quais o ponto P (k, 5) pertence a circun-ferencia de centro C(5,−2) e raio

√85.

Solucao 3.4 Como P pertence a circunferencia, sua distancia ao centro deve ser igual aoraio, isto e, devemos ter √

(k − 5)2 + (−2− 5)2 = (√85)2

ou ainda(k − 5)2 + 49 = 85 ⇔ (k − 5)2 = 36 ⇔ k − 5 = ±6.

Portantok = 11 ou k = −1.

Exemplo 3.5 Calcule o raio da circunferencia de centro C(−2, 7) e que passa pelo pontoA(3,−1)

Solucao 3.6 Como a circunferencia passa por A devemos ter DAC = raio, isto e,

r =√

(3 + 2)2 + (−1− 7)2 =√89.

Exemplo 3.7 Determine a equacao da circunferencia que tem o segmento AB como diametro,sendo A(−3, 2) e B(7, 6).

Solucao 3.8 Sendo AB o diametro, o centro sera o ponto medio de AB e o raio sera adistancia do centro a qualquer um dos pontos A ou B ou, ainda, a metade da distancia entreA e B. Logo

centro = C

(−3 + 7

2,2 + 6

2

)= C(2, 4) e r = DCA =

√(2 + 3)2 + (4− 2)2 =

√29.

Portanto, a equacao sera(x− 2)2 + (y − 4)2 = 29.

Observacao 3.9 E simples verificar que a equacao de uma circunferencia de centro C(a,b) eraio r e dada por

(x− a)2 + (y − b)2 = r2 (1)

A equacao acima, geralmente, e referida como equacao padrao da circunferencia de centro(a,b) e raio r.

21

Ao desenvolvermos a equacao (1), obtemos

x2 + y2 − 2ax− 2by + a2 + b2 − r2 = 0

que pode ser escrita na forma

x2 + y2 + Ax+By + C = 0 (2)

onde A = −2a, B = −2b e C = a2 + b2 − r2. Segue, portanto, que a equacao de qualquercircunferencia pode ser escrita da forma (2), denominada equacao geral da circunferencia. Aquestao que naturalmente surge e, ao contrario, saber se cada equacao da forma (2) representauma circunferencia. Para responder tal pergunta, usaremos um procedimento conhecido comocompletar quadrados. Vejamos um exemplo.

Exemplo 3.10 Verifique se cada equacao abaixo representa uma circunferencia. Se este foro caso, determine seu centro e raio.

(a) x2 + y2 − 6x+ 4y − 3 = 0

(b) x2 + y2 − 4x− 6y + 13 = 0

(c) x2 + y2 − 2x− 4y + 7 = 0

(d) 2x2 + 2y2 − 12x+ 8y − 15 = 0

Solucao 3.11 (a) Temos

x2 + y2 − 6x+ 4y = 3 ⇔ x2 − 6x+ 32 + y2 + 4y + 22 = 3+ 32 + 22 ⇔ (x− 3)2 + (y + 2)2 = 16.

Circunferencia de centro C(3,−2) e raio r = 4.

(b) Temos

x2+y2−4x−6y = −13 ⇔ x2−4x+22+y2−6y+32 = −13+22+32 ⇔ (x−2)2+(y−3)2 = 0.

Ponto P (2, 3)

(c) Temos

x2+ y2− 2x− 4y = −7 ⇔ x2− 2x+1+ y2− 4y+22 = −7+1+22 ⇔ (x− 1)2+(y− 2)2 = −2.

Nao temos ponto que satisfaca tal equacao.

(d) Temos 2x2+2y2−12x+8y = 15 ⇔ x2+y2−6x+4y = 152⇔ x2−6x+32+y2+4y+22 =

= 152+9+4 ⇔ (x− 3)2+(y+2)2 = 41

2. Circunferencia de centro C(3,−2) e raio r =

√412.

Note que em todos os exemplos acima, tomamos a equacao x2 + y2 + Ax + By = −C esomamos a ambos os lados da igualdade os numeros (A

2)2 e (B

2)2.

Observacao 3.12 Quando estivermos buscando determinar a equacao de uma circunferencia,em alguns casos, pode ser mais conveniente tentar encontrar uma equacao da forma (1), jaem outros da forma (2). E muito importante lembrarmos, e quando necessario usarmos, aspropriedades de circunferencia conhecidas da geometria plana. Vejamos alguns exemplos.

22

Exemplo 3.13 1) Determine a equacao da circunferencia cujo centro se encontra sobre a reta3x+ 7y + 2 = 0 e que passa pelos pontos A(6, 2) e B(8, 0).

2) Determine a equacao da circunferencia de raio 2√5 e que passa por A(1, 4) e B(7,−2).

3) Represente no plano cartesiano os pontos que satisfazem y =√9− x2.

4) Para quais valores de m a equacao x2 + y2 − 2x + 6y +m = 0 representa uma circun-ferencia? Justifique!

Solucao 3.14 1) Seja C(a, b) o centro da circunferencia procurada. Como este centro per-tence a reta, devemos ter 3a + 7b + 2 = 0. Como a circunferencia passa pelos pontos A e Btemos que D2

CA = D2CB, isto e,

(a− 6)2 + (b+ 2)2 = (a− 8)2 + b2

ou aindaa2 − 12a+ 36 + b2 − 4b+ 4 = a216a+ 64 + b2 ⇔ 4a− 4b = 24.

Devemos, entao, resolver o seguinte sistema{a− b = 6

3a+ 7b = −2.

Resolvendo, encontramos a solucao, a = 4 e b = −2, ou seja, o centro e o ponto C(4,−2).

Calculando DCA, que e o raio, temos r =√20(Calcule!), o que nos leva a equacao da

circunferencia(x− 4)2 + (y + 2)2 = 20.

2) Suponhamos C(a, b) o centro da circunferencia. Entao sua equacao sera

(x− a)2 + (y − b)2 = 20.

Como os pontos A e B pertencem a circunferencia, substituindo suas coordenadas na equacaoda circunferencia, teremos as equacoes (1 − a)2 + (4 − b)2 = 20(substituindo A)e (7 − a)2 +(−2− b)2 = 20(substituindo B). Desenvolvendo, somos levados ao sistema{

a2 + b2 − 2a− 8b = 3a2 + b2 − 14a+ 4b = −33

.

Uma forma simples de resolver este sistems, e subtrair suas equacoes, obtendo 12a− 12b = 36ou a − b = 3. Agora, podemos fazer a = b + 3 e voltar a uma das equacoes do sistema.Escolhendo a primeira equacao, teremos

(3 + b)2 + b2 − 2(3 + b)− 8b = 3

ou b2 − 2b = 0, o que nos leva a solucao b = 2 ou b = 0 e, dai, temos respectivamente, a = 5e a = 3, consequentemente os centros C(5, 2) e C(3, 0). Logo, temos duas circunferencias quesatisfazem o exercıcio, quais sejam

(x− 5)2 + (y − 2)2 = 20 e (x− 3)2 + y2 = 20.

3) Observe que y =√9− x2 ⇒ y2 = 9 − x2 ⇔ x2 + y2 = 9. Logo os pontos procurados

fazem parte da circunferencia de centro C(0, 0) e raio 3, mas somente os pontos de ordenadapositiva ou nula nos interessam. Na proxima figura temos os pontos assinalados.

23

x

y

3

3

-3 C

4) Temos

x2 + y2 − 2x+ 6y +m = 0 ⇔ x2 − 2x+ 1 + y2 + 6y + 32 = −m+ 1 + 9.

Logo, a equacao representara uma circunferencia se, e somente se, −m + 10 > 0, isto e,m < 10

Exercıcio Resolvido 3.15 Determine a equacao da circunferencia que passa pelos pontosA(0, 2), B(7,−5) e C(6,−6).

Solucao 3.16 Apresentaremos duas solucoes para este exercıcio que devem ser bem entendi-das.

Primeira solucao: Inicialmente, relembremos uma propriedade que diz que se A e B saopontos distintos de uma circunferencia, entao a meiatriz do segmento AB passa pelo centro.No nosso caso, entao, as mediatrizes dos segmentos AB e BC devem passar pelo centro. Logo,a ideia e determinar as equacoes dessas mediatrizes e depois buscar o ponto comum a elas,que sera o centro. Determinemos a equacao da mediatriz r do segmento AB. O coeficienteangular da reta que passa por A e B e igual a mAB = −1 e, como r deve ser penpendiculara AB, teremos mr.(−1) = −1 e, daı, mr = 1. Temos, ainda, que a reta r deve passar pelo

ponto medio de AB, isto, e, r deve passar pelo ponto(

0+72, 2+(−5)

2

)= (7/2,−3/2). Logo uma

equacao para r sera dad por

y − 7

2= (x+

3

2) ou x− y − 5 = 0.

De maneira analoga determinamos a equacao da reta s mediatriz do segmento BC, encontrado,

x+ y − 1 = 0(Determine!).

O centro da circunferencia sera a solucao do sistema{x− y = 5x+ y = 1

.

Resolvendo o sistema, encontramos o ponto D(3,−2), que e o centro da circunferencia.

24

Para determinarmos o raio, basta calcular a distancia de D a qualquer dos pontos A,B ouC, daı, temos

r = DDA =√

32 + (−2− 2)2 = 5.

Logo, a equacao da circunferencia e

(x− 3)2 + (y + 2)2 = 25.

Segunda solucao: Pelo exposto aneriormente, sabemos que a equacao de uma circunferenciapode ser escirta na forma

x2 + y2 + kx+my + n = 0. (1)

Se a circunferencia procurada passa pelos pontos A(0, 2), B(7,−5) e C(6,−6), devemos ter,substituindo estes pontos em (1),

02 + 22 + k.0 +m.2 + n = 072 + (−5)2 + k.7 +m.(−5) + n = 062 + (−6)2 + k.6 +m.(−6) + n = 0

logo devemos resolver o sistema2m+ n+ 4 = 0

7k − 5m+ n+ 74 = 06k − 6m+ n+ 72 = 0

.

Para resolver tal sistema, basta escolher uma equacao, isolar uma variavel, susbstituı-la nasoutras duas equacoes, obtendo, assim, um sistema de duas equacoes e duas variaveis. Porexemplo, vamos isolando n na primeira equacao, teremos n = −2m − 4. Ao subsituırmos nasegunda e terceira equacoes teremos

7k − 5m+ (−2m− 4) + 74 = 06k − 6m+ (−2m− 4) + 72 = 0

o que nos leva ao sistema {7k − 7m = −706k − 8m = −68

.

Resolvendo este sistema temos a solucao k = −6,m = 4 e, retornando, encontramos n = −12e temos a equacao

x2 + y2 − 6x+ 4y − 12 = 0.

3.2 Posicao de um ponto em relacao a uma circunferencia

Considere uma circunferencia de centro C e raio P. Diremos que um ponto P esta:

1) No interior da circunferencia, se a distancia entre C e P e menor que r;

2) No exterior da circunferencia, se a distancia entre C e P e maior que r;

3) Sobre a circunferencia, se a distancia entre C e P e igual a r.

Exemplo 3.17 Considere a circunferencia de centro C(−2,−1) e raio√8 e os pontos A(1,−1),

B(−4,−2) e D(0, 1). Entao:

DCA =√(−2− 1)2 + (−1 + 1)2 =

√9 = 3 >

√8 ⇒ A esta no exterior da circunferencia.

DCB =√

(−2 + 4)2 + (−1 + 2)2 =√5 <

√8 ⇒ B esta no interior da circunferencia.

DCD =√

(−2− 0)2 + (−1− 1)2 =√8 =

√8 ⇒ D esta sobre a circunferencia.

25

Abaixo temos representados a circunferencia e os pontos.

x

y

A

B

D

C

Observacao 3.18 Se temos a equacao de uma circunferencia C na forma(x− xc)

2 + (y − yc)2 = r2 ou x2 + y2 + Ax+By + C = 0 nao e difıcil ver que:

1) Um ponto A(x0, y0) esta no interior de C ⇔ (x0 − xc)2 + (y0 − yc)

2 < r2 oux20 + y20 + Ax0 +By0 + C < 0

2) Um ponto A(x0, y0) esta no exterior de C ⇔ (x0 − xc)2 + (y0 − yc)

2 > r2 oux20 + y20 + Ax0 +By0 + C > 0

3) Um ponto A(x0, y0) esta sobre C ⇔ (x0 − xc)2 + (y0 − yc)

2 = r2 oux20 + y20 + Ax0 +By0 + C = 0

Exemplo 3.19 Verifique a posicao do ponto A(7, 5) em relacao a circunferencia de equacaox2 + y2 − 2x+ 6y − 6 = 0

Solucao 3.20 Usando a observacao anterior e substituindo as coordenadas do ponto na equacaoda circunferencia, teremos

72 + 52 − 2.7 + 6.5− 6 = 84 > 0

portanto P esta no exterior de C.

Exemplo 3.21 Verifique a posicao do ponto A(3,−2) em relacao a circunferencia de equacaox2 + y2 + 4x+ 5y − 17 = 0

Solucao 3.22 Novamente, usando a observacao anterior e substituindo as coordenadas doponto na equacao da circunferencia, teremos

32 + (−2)2 + 4.3 + 5.(−2)− 17 = −2 < 0

portanto P esta no interior de C.

Exemplo 3.23 Esboce no plano o conjunto do pontos (x, y) que satisfazem a inequacao x2 +y2 − 2x− 2y − 3 ≤ 0.

26

Solucao 3.24 Observe que a equacao x2+y2−2x−2y−3 = 0 representa uma circunferenciade centro (1, 1) e raio

√5. Logo os pontos que satisfazem a inequacao dada sao todos os pontos

que estao sobre a circunferencia e os pontos que sao interiores a circunferencia. Logo, temosa regiao assinalada.

x

y

C1

1

Exemplo 3.25 Esboce no plano o conjunto do pontos (x, y) que satisfazem a inequacao x2 +y2 − 2x− 2y − 3 ≥ 0.

Solucao 3.26 Novamente, observe que a equacao x2 + y2 − 2x − 2y − 3 = 0 representa umacircunferencia de centro (1, 1) e raio

√5. Logo os pontos que satisfazem a inequacao dada sao

todos os pontos que estao sobre a circunferencia e os pontos que sao exteriores a circunferencia.Logo, temos a regiao assinalada abaixo

x

y

C1

1

27

Exemplo 3.27 Esboce no plano o conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem cada sistema deinequacoes abaixo:

(a)

{x2 + y2 − 2x− 2y − 3 ≥ 0x2 + y2 − 4x− 4y + 9/2 ≥ 0

(b)

{x2 + y2 − 2x− 2y − 3 ≤ 0x2 + y2 − 4x− 4y + 9/2 ≤ 0

(c)

{x2 + y2 − 2x− 2y − 3 ≥ 0x2 + y2 − 4x− 4y + 9/2 ≤ 0

(d)

{x2 + y2 − 2x− 2y − 3 ≤ 0x2 + y2 − 4x− 4y + 9/2 ≥ 0

Solucao 3.28 A primeira inequacao representa todos os pontos que estao sobre e sao exterioresa circunferencia de centro (1, 1) e raio

√5. A segunda inequacao representa todos os pontos

que estao sobre e sao exteriores a circunferencia de centro (2, 2) e raio√7/2. Logo os pontos

que satisfazem o sistema dada sao todos os pontos que satisfazem as duas inequacoes, isto e,todos os pontos que estao sobre e sao exteriores as duas circunferencias.

x

y

C1

1

(a)

(b)

(c)

(d)

C

2

2

3.3 Posicao de uma reta em relacao a uma uma circunferencia

Diremos que uma reta e uma circunferencia sao:

1) Secantes, se possuem dois pontos comuns

2) Tangentes, se possuem um ponto comum

3) Exteriores, se nao possuem pontos comuns.

Exemplo 3.29 Verifique a posicao relativa da reta r de equacao 8x− 6y − 3 = 0 e a circun-ferencia x2 + y2 − 10x− 4y + 13 = 0. 7

7Verificar a posicao relativa significa decidir se sao secantes, exteriores ou tangentes.

28

Solucao 3.30 Para saber quantos pontos em comum a reta e a circunferencia possuem, de-vemos saber quantas solucoes possui o sistema{

x2 + y2 − 10x− 4y + 13 = 08x− 6y − 3 = 0

.

Isolando x na segunda equacao obtemos x = 6y+38

. Agora, substituindo na segunda, teremos

(6y + 3

8)2 + y2 − 10(

6y + 3

8)− 4y + 13 = 0

e, simplificando, vem100y2 − 700y + 601 = 0.

Nao precisamos resolver esta equacao, somente determinarmos quantas solucoes temos e, paratanto, vemos que

∆ = (−700)2 − 4.100.601 = 7002 − 400.601 > 0.

Logo, a circunferencia e a reta sao secantes.

Observacao 3.31 Considere uma reta l e uma circunferencia C de centro num ponto P eraio r. E simples ver que:

1) l e C serao secantes ⇔ DPl < r

2) l e C serao tangentes ⇔ DPl = r

3) l e C serao exteriores ⇔ DPl > r

Exemplo 3.32 Solucao do ultimo exercıcio usando a observacao acima. Inicialmente deter-minamos o centro e o raio, fazendo

x2+y2−10x−4y+13 = 0 ⇔ x2−10x+52+y2−4y+22 = −13+52+22 ⇔ (x−5)2+(y−2)2 = 16.

Logo, centro e C(5, 2) e raio r = 4. Agora comparamos a distancia do centro a reta com oraio, isto e,

DCr =|8.5− 6.2− 3|√

82 + (−6)2=

25

10=

5

2< 4 = r.

Exemplo 3.33 Verifique a posicao relativa da circunferencia x2 + y2 − 4x− 2y − 8 = 0 e dareta 3x− 2y + 9 = 0.

Solucao 3.34 Poderıamos resolver este exercıcio da mesma forma como resolvemos o ultimoexemplo, isto e, verificando quantos pontos a circunferencia e a reta possuem em comum. Umasegunda solucao, que faremos, e usar a observacao anterior, isto e, determinar a distancia entreo centro da circunferencia e a reta. Observe que o centro da circunferencia e o ponto P (2, 1)e o raio e igual a

√13.(Faca as contas para determina-los!) Logo, teremos,

DPl =|3.2− 2.1 + 9|√

32 + (−2)2=

13√13

=√13.

Portanto a reta e a circunferencia sao tangentes.

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Exemplo 3.35 Para quais valores de k a circunferencia C de equacao x2+y2−6x−6y+13 = 0e a reta l de equacao 2x− y + k = 0 sao secantes?

Solucao 3.36 Note que

x2+y2−6x−6y+13 = 0 ⇔ x2−6x+9+y2−6y+9 = −13+9+9 ⇔ (x−3)2+(y−3)2 =√5,

isto e, raio =√5 e centro = P (3, 3). Pela ultima observacao, para que C e l sejam secantes

devemos ter DPl >√5. Mas,

DPl =|2.3− 3 + k|√

5=

|k + 3|√5

e, portanto, devemos ter

|k + 3|√5

<√5

o que nos leva a|k + 3| < 5 ⇔ −5 < k + 3 < 5 ⇔ −8 < k < 2. 8

Logo, a circunferencia e a reta serao secantes se, e somente se, k ∈]− 8, 2[.

3.4 Exercıcios

1) Escreva a equacao de cada circunferencia cujos centros e raio sao dados abaixo:

(a) C(5,3) e r=2 (b) C(2/3,1) e r=2√2 (c) C(0,0) e r=8 (d) C(-1,0) e r=2

√3

2) Encontre o centro e o raio das circunferencias dadas abaixo:

(a)(x− 3)2 + (y − 4)2 = 49 (b)(x− 3)2 + (y − 4)2 + 20 = 49 (c)x2 + y2 = 6(d)x2 + y2 − 6x+ 4y − 3 = 0 (e)x2 + y2 + 3x+−8y + 15 = 0 (f)x2 + y2 − 8y + 12 = 0

3) Para quais valores de k a equacao

x2 + y2 + 4x− k = 0

representa uma circunferencia? Justifique!

4)Sendo k e m numeros reais, determine as condicoes para que a equacao

x2 + y2 − 4x+ ky +m = 0

represente uma circunferencia que passa pelo ponto (3,5).

5) Represente no plano cartesiano as figuras correspondentes as equcoes:

(a)y =√

4x+ 2y − x2 + 5 (b)x− 4 =√

6y − y2 − 5 (c)x = −√16− y2

6) Qual a equacao da circunferencia de centro C(-1,4) e que passa pelo ponto A(2,-7).

7)Os pontos (-1,4) e (3,2) sao vertices consecutivos de um quadrado. Determine as equacoesdas circunferencias circunscrita e inscrita ao quadrado.

8lembramos que |x| < a ⇔ −a < x < a

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8) Uma circunferencia passa pelos pontos A(3,1) e B(4,0) e seu centro esta sobre o eixo dasordenadas. Calcule o raio dessa circunferencia e escreva sua equacao.

9) Determine a equacao da circunferencia de raio√13 e que passa pelos pontos A(1,4) e

B(2,-1).

10) Verifique se os pontos dados abaixo estao no interior, no exterior ou sobre a circun-ferencia de equacao x2 + y2 + 4x+ 2y − 15 = 0.

(a)(1,-3) (b)(-4,3) (c)(-2,-1) (d)(2,2)

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