Notas de aulas André Arbex Hallack Janeiro/2008 · No¸cões Topológicas no IRn 3 A...

Analise II (a parte no IRn)

Notas de aulas

Andre Arbex Hallack

Janeiro/2008

Indice

1 Nocoes Topologicas no IRn 1

1.1 O espaco vetorial IRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Sequencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Topologia usual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Limites e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Compacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6 Conexidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.7 Norma de uma transformacao linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.8 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Diferenciabilidade 25

2.1 Definicao: diferenciabilidade de uma aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2 Exemplos de aplicacoes diferenciaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3 Funcoes reais de m variaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.5 A Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.6 Teorema/Desigualdade do valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.7 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.8 As classes de diferenciabilidade Ck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.9 O vetor Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.10 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3 Funcoes implıcitas 57

i

3.1 Motivacao: superfıcies regulares no IR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.2 O Teorema da Funcao Implıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.3 Generalizacao: Variedades diferenciaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4 Derivadas de ordem superior e a Formula de Taylor 69

4.1 Inversao na ordem de derivacao: Teorema de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2 Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.3 A Formula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Referencias 77

Capıtulo 1

Nocoes Topologicas no IRn

1.1 O espaco vetorial IRn

Consideremos o conjunto IRn = (x1, x2, . . . , xn) ; xi ∈ IR , i = 1, 2, . . . , n das n-uplas de

numeros reais.

Dados x = (x1, x2, . . . , xn) , y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ IRn e α ∈ IR, definimos:

x + y = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)

α.x = (αx1, αx2, . . . , αxn)

Estas operacoes fazem do IRn um espaco vetorial de dimensao n sobre o corpo IR dos

numeros reais.

Produto interno no espaco IRn:

Definimos o PRODUTO INTERNO CANONICO < , > : IRn × IRn → IR pondo:

< x, y > = x1y1 + x2y2 + . . . + xnyn ∀ x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ IRn

Normas:

A partir do Produto Interno Canonico acima definido, construımos a NORMA(?)

EUCLI-

DIANA ‖ ‖e : IRn → IR pondo:

‖x‖e =√

< x, x > ∀ x ∈ IRn

1

2 CAPITULO 1

Obs.: Outras duas normas(?)

se destacam no IRn:

A NORMA DO MAXIMO ‖ ‖m : IRn → IR dada por

‖x‖m = max |x1| , |x2| , . . . , |xn| ∀ x = (x1, . . . , xn) ∈ IRn

A NORMA DA SOMA ‖ ‖s : IRn → IR dada por

‖x‖s = |x1|+ |x2|+ . . . + |xn| ∀ x = (x1, . . . , xn) ∈ IRn

E facil mostrar(?)

que estas duas normas nao provem de produto interno algum no IRn.

Para todo x ∈ IRn temos(?)

:

‖x‖m ≤ ‖x‖e ≤ ‖x‖s ≤ n. ‖x‖m

Metricas, bolas e conjuntos limitados:

A partir de qualquer norma ‖ ‖ no IRn podemos construir, de modo natural, uma metrica

d : IRn × IRn → IR (nocao de distancia), pondo:

d(x, y) = ‖x− y‖ ∀ x, y ∈ IRn

Seguem definicoes de certos lugares geometricos basicos:

Definicao 1.1. Consideremos uma norma ‖ ‖ no IRn. Dados um ponto a ∈ IRn e um

numero real r > 0, definimos:

(i) BOLA ABERTA de centro a e raio r: B(a; r) = x ∈ IRn ; ‖x− a‖ < r

(ii) BOLA FECHADA de centro a e raio r: B[a; r] = x ∈ IRn ; ‖x− a‖ ≤ r

(iii) ESFERA de centro a e raio r: S[a; r] = x ∈ IRn ; ‖x− a‖ = r

Obs.: E claro que os lugares geometricos acima definidos dependem da norma ‖ ‖considerada.

A seguir definimos uma relacao de equivalencia entre normas:

Definicao 1.2. Duas normas ‖ ‖1 e ‖ ‖2 no IRn sao ditas EQUIVALENTES quando,

sempre que for dada uma bola aberta, considerando uma das normas, e possıvel obter uma

bola aberta de mesmo centro, considerando a outra norma, contida na primeira.

Nocoes Topologicas no IRn 3

A “equivalencia”, assim definida, alem de SIMETRICA (por definicao), e REFLEXIVA E

TRANSITIVA, sendo portanto uma RELACAO DE EQUIVALENCIA(?)

.

Proposicao 1.3.(?)

Duas normas ‖ ‖1 e ‖ ‖2 no IRn sao equivalentes se, e somente se,

existem constantes k, l > 0 tais que:

l. ‖x‖2 ≤ ‖x‖1 ≤ k. ‖x‖2 ∀ x ∈ IRn

Ja vimos antes que ‖x‖m ≤ ‖x‖e ≤ ‖x‖s ≤ n. ‖x‖m , para todo x ∈ IRn.

Portanto as normas Euclidiana, do Maximo e da Soma sao EQUIVALENTES!

Definicao 1.4. Um conjunto X ⊂ IRn e limitado (“em relacao a norma ‖ ‖”) quando existir

uma constante c > 0 tal que ‖x‖ ≤ c para todo x ∈ X.

E imediato que se duas normas ‖ ‖1 e ‖ ‖2 no IRn sao equivalentes entao um conjunto

X ⊂ IRn e limitado em relacao a norma ‖ ‖1 se, e somente se, X e limitado em relacao a

norma ‖ ‖2.(?)

Proposicao 1.5.(?)

Um conjunto X ⊂ IRn e limitado (em relacao a qualquer norma equi-

valente a Norma do Maximo) se, e somente se, todas as suas projecoes

X1 = π1(X), X2 = π2(X), . . . , Xn = πn(X)

sao conjuntos limitados em IR.

1.2 Sequencias

Definicao 1.6. Dizemos que uma sequencia (xk) no IRn converge para o limite a ∈ IRn

(“em relacao a norma ‖ ‖”) quando, para cada ε > 0 dado, e possıvel obter um ındice

k0 ∈ IN tal que k > k0 ⇒ ‖xk − a‖ < ε. Neste caso escrevemos: a = lim xk ou xk → a.

De modo equivalente temos que, para cada ε > 0 , os termos xk estao na bola aberta

B(a; ε) (em relacao a norma considerada), para todo k suficientemente grande.

Uma consequencia importante da definicao acima e que, se duas normas no IRn sao

equivalentes, entao a convergencia de uma sequencia independe de qual das nor-

mas equivalentes e considerada(?)

.

4 CAPITULO 1

Consequencias imediatas:(?)

(i) lim xk = a ⇔ lim ‖xk − a‖ = 0

(ii) Toda sequencia convergente e limitada.

(iii) Se lim xk = a entao toda subsequencia de (xk) converge para a.

(iv) O limite de uma sequencia convergente e unico.

Uma sequencia (xk) no IRn equivale a n sequencias de numeros reais, ou seja, para todo

k ∈ IN , xk =(x

(k)1 , x

(k)2 , . . . , x

(k)n

), onde x

(k)i = πi(xk) = i-esima coordenada de xk. Essas n

sequencias sao ditas as Sequencias DAS COORDENADAS de (xk).

Proposicao 1.7.(?)

Uma sequencia (xk) no IRn converge (em relacao a qualquer norma

equivalente a Norma do Maximo) para o ponto a = (a1, a2, . . . , an) se, e somente se, para

cada i = 1, 2, . . . , n tem-se lim x(k)i = ai , ou seja, cada coordenada de xk converge para a

coordenada correspondente de a.

Corolario 1. Dadas as sequencias convergentes (xk), (yk) no IRn e (αk) em IR, sejam

lim xk = a, lim yk = b e lim αk = α. Entao:

(i) lim(xk + yk) = a + b

(ii) lim αk.xk = α.a

(iii) lim < xk, yk > = < a, b >

A seguir dois importantes resultados, onde usamos o fato de IRn ter dimensao finita:

Teorema 1.8. (Bolzano-Weierstrass)(?)

Toda sequencia limitada (em relacao a qualquer

norma equivalente a Norma do Maximo) em IRn possui uma subsequencia convergente.

Prova: Exercıcio (Sugestao: use o mesmo resultado em IR para as sequencias das coorde-

nadas, juntamente com a proposicao anterior)

Teorema 1.9. Duas normas quaisquer no espaco IRn sao equivalentes.

Demonstracao:

Sejam ‖ ‖s : IRn → IR a Norma da Soma, dada por

‖x‖s = |x1|+ |x2|+ . . . + |xn| ∀ x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ IRn

e ‖ ‖ : IRn → IR uma norma qualquer no IRn.


Temos:

(i) Por transitividade, se mostrarmos que ‖ ‖s e ‖ ‖ sao equivalentes, entao o teorema

estara demonstrado.

(ii) Para a Norma da Soma valem os resultados anteriores, pois ela e equivalente a Norma

do Maximo.

Consideremos a Base Canonica β = e1, e2, . . . , en do IRn.

Para todo vetor x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ IRn, temos:

‖x‖ = ‖x1e1 + . . . + xnen‖ ≤ |x1| . ‖e1‖+ . . . |xn| . ‖en‖ ≤ b.(|x1|+ . . . + |xn|) = b. ‖x‖s

onde b = max ‖e1‖ , . . . , ‖en‖ (repare que este b esta bem definido, pois tomamos o

maximo em um conjunto finito de numeros reais).

Logo ‖x‖ ≤ b. ‖x‖s para todo x ∈ IRn. (1)

Resta mostrarmos que existe a > 0 tal que ‖x‖s ≤ a. ‖x‖ ∀x ∈ IRn.

De fato: se isto nao ocorrer temos que para todo k ∈ IN e possıvel obter um xk ∈ IRn

tal que ‖xk‖s > k. ‖xk‖ (pois k nao serviria como tal a > 0 ).

Tomemos, para cada k ∈ IN, uk =xk

‖xk‖s

(note que a sequencia (uk) esta bem definida,

pois ‖xk‖s > 0 ∀k )

Como ‖uk‖s = 1 para todo k (verifique), temos que (uk) e limitada em relacao a Norma

da Soma.

Pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass, (uk) tem uma subsequencia (ukj) convergente (na

Norma da Soma) para um ponto u ∈ IRn.

Temos entao que∥∥ukj

∥∥s→ ‖u‖s. Logo ‖u‖s = 1 , o que significa que u 6= 0.

Agora, dado ε > 0, e possıvel obter kj0 tal que∥∥ukj0

− u∥∥

s<

ε

2be

1

kj0

<ε

2.

Logo

‖u‖ ≤∥∥ukj0

− u∥∥ +

∥∥ukj0

∥∥ ≤ b.∥∥ukj0

− u∥∥

s+

1

kj0

< b.ε

2b+

ε

2= ε .

Assim ‖u‖ = 0 ⇒ u = 0 (contradicao!)

Entao, obrigatoriamente, existe a > 0 tal que ‖x‖s ≤ a. ‖x‖ ∀x ∈ IRn. (2)

Por (1) e (2), ‖ ‖s e ‖ ‖ sao equivalentes, qualquer que seja a norma ‖ ‖ no IRn.

6 CAPITULO 1

Por transitividade, temos entao que duas normas quaisquer no IRn sao equivalentes.

Obs.: A luz deste ultimo teorema, temos tambem que os resultados anteriores sao

validos para qualquer norma considerada no IRn.

Proposicao 1.10. (IRn e Banach)(?)

Uma sequencia (xk) no IRn e convergente (em

relacao a qualquer norma ‖ ‖ considerada) se, e somente se, ela e uma Sequencia de Cauchy.

Prova: Exercıcio (Sugestao: use a norma do maximo, a proposicao 1.7 e o resultado ja

conhecido para sequencias de numeros reais)

Prove tambem o resultado acima sem usar o que ja foi provado para sequencias de numeros

reais(?)

.

1.3 Topologia usual

Conjuntos abertos:

Definicao 1.11. Um ponto a e dito um PONTO INTERIOR a um conjunto X ⊂ IRn

quando existe ε > 0 tal que B(a; ε) ⊂ X. Se denotarmos por int X o conjunto dos pontos

interiores a X (INTERIOR de X), e imediato que int X ⊂ X. Se a ∈ int X entao X e dito

uma VIZINHANCA de a.

Um conjunto A ⊂ IRn e dito ser ABERTO (em IRn) quando A = int A.

Um conjunto B ⊂ X e dito ser um conjunto ABERTO EM X quando existe um conjunto

aberto (em IRn) A tal que B = X ∩ A .


(i) φ e IRn sao abertos.

(ii) A intersecao A = A1 ∩ . . . ∩ Al de uma colecao FINITA de abertos e um aberto.

(iii) A reuniao A =⋃λ∈L

Aλ de uma colecao arbitraria Aλλ∈L de abertos e um aberto.

(iv) Toda bola aberta B(a; r) e um conjunto aberto.

(v) Para todo X ⊂ IRn tem-se: int X =⋃

A ⊂ X

A aberto

A


Conjuntos fechados:

Definicao 1.12. Um ponto a e dito um PONTO ADERENTE a um conjunto X ⊂ IRn

quando existe uma sequencia (xk) em X ( xk ∈ X ∀ k ) tal que xk → a . Se denotarmos por

cl X o conjunto dos pontos aderentes a X (FECHO de X), e imediato que X ⊂ cl X.

Um conjunto F ⊂ IRn e dito ser FECHADO (em IRn) quando F = cl F .

Um conjunto B ⊂ X e dito ser um conjunto FECHADO EM X quando existe um conjunto

fechado (em IRn) F tal que B = X ∩ F .

Dado X ⊂ IRn , definimos fr X = cl X ∩ cl (IRn\X) (FRONTEIRA de X).

Sejam Y ⊂ X ⊂ IRn . Dizemos que Y e DENSO em X quando X ⊂ cl Y (todo ponto

de X e limite de uma sequencia de pontos de Y ).


(i) a ∈ cl X ⇔ toda vizinhanca de a possui algum ponto de X.

(ii) F ⊂ IRn e fechado ⇔ A = IRn\F e aberto.

(iii) φ e IRn sao fechados.

(iv) A reuniao F = F1 ∪ . . . ∪ Fl de uma colecao FINITA de fechados e um fechado.

(v) A intersecao F =⋂λ∈L

Fλ de uma colecao arbitraria Fλλ∈L de fechados e um fechado.

(vi) Toda bola fechada B[a; r] e um conjunto fechado.

(vii) Toda esfera S[a; r] e um conjunto fechado.

(viii) Qn e denso no IRn.

(ix) Para todo X ⊂ IRn tem-se: cl X =⋂

F ⊃ X

F fechado

F

Pontos de acumulacao:

Definicao 1.13. Um ponto a e dito um PONTO DE ACUMULACAO de um conjunto

X ⊂ IRn quando existe uma sequencia (xk) em X\ a ( xk ∈ X , xk 6= a ∀ k ) tal que

xk → a . Denotamos por X ′ o conjunto dos pontos de acumulacao de X.

Se a ∈ X nao e ponto de acumulacao de X, entao a e um PONTO ISOLADO de X.

Se todos os pontos de X sao isolados, X e chamado um conjunto DISCRETO.

8 CAPITULO 1


(i) a ∈ X ′ ⇔ toda vizinhanca de a possui algum ponto de X\ a.

(ii) a ∈ X ′ ⇔ toda bola aberta B(a; r) possui uma infinidade de pontos de X.

(iii) Se X ′ 6= φ entao X e infinito.

(iv) O conjunto X ′ dos pontos de acumulacao de X e fechado.

(v) Se X ⊂ IRn e infinito e limitado, entao X ′ 6= φ (Bolzano-Weierstrass)

1.4 Limites e continuidade

Estudaremos agora nocoes de limites e continuidade para aplicacoes f : X → IRn ,

com X ⊂ IRm . Podemos sempre identificar aplicacoes como esta atraves de suas funcoes

coordenadas:

A cada aplicacao f : X ⊂ IRm → IRn correspondem n funcoes f1, f2, . . . , fn : X → IR

dadas por fi = πi f ( i = 1, . . . , n ), ditas as FUNCOES COORDENADAS da aplicacao f .

Para todo x ∈ X temos f(x) = (f1(x), f2(x), . . . , fn(x)) .

Escrevemos f = (f1, f2, . . . , fn).

Limites:

Definicao 1.14. Sejam f : X ⊂ IRm → IRn e a ∈ X ′ (a e ponto de acumulacao de X).

Dizemos que b ∈ IRn e o LIMITE DE f(x) QUANDO x TENDE PARA a e escrevemos

b = limx→a

f(x)

quando, para cada ε > 0 dado, e possıvel obter δ > 0 tal que

x ∈ X, 0 < ‖x− a‖ < δ ⇒ ‖f(x)− b‖ < ε

Proposicao 1.15.(?)

Sejam f : X ⊂ IRm → IRn e a ∈ X ′ .

A fim de que limx→a

f(x) = b ∈ IRn e necessario e suficiente que, para toda sequencia (xk)

em X\ a com xk → a se tenha f(xk) → b .

Proposicao 1.16.(?)

Seja a um ponto de acumulacao de X ⊂ IRm. Dada a aplicacao

f : X → IRn , cujas funcoes coordenadas sao f1, f2, . . . , fn : X → IR , tem-se

limx→a

f(x) = b = (b1, b2, . . . , bn) ∈ IRn se, e somente se, limx→a

fi(x) = bi ∀ i = 1, 2, . . . , n.


Continuidade:

Definicao 1.17. Uma aplicacao f : X ⊂ IRm → IRn e CONTINUA NO PONTO a ∈ X


x ∈ X, ‖x− a‖ < δ ⇒ ‖f(x)− f(a)‖ < ε

Se f como acima e contınua em todos os pontos do conjunto X, dizemos simplesmente que

f e uma aplicacao CONTINUA.

Proposicao 1.18.(?)

Seja f : X ⊂ IRm → IRn . A fim de que f seja contınua em a ∈ X

e necessario e suficiente que, para toda sequencia (xk) em X com xk → a se tenha

f(xk) → f(a) .

Proposicao 1.19.(?)

Uma aplicacao f : X ⊂ IRm → IRn e contınua se, e somente se, para

cada A aberto do IRn (ou para cada F fechado do IRn ), sua imagem inversa f−1(A) e

um conjunto aberto em X (ou f−1(F ) e um conjunto fechado em X).

Proposicao 1.20.(?)

A composta de duas aplicacoes contınuas e contınua.

Proposicao 1.21.(?)

Seja a ∈ X ⊂ IRm. Dada a aplicacao f : X → IRn , cujas funcoes

coordenadas sao f1, f2, . . . , fn : X → IR , tem-se: f e contınua em a se, e somente se, cada

uma das suas funcoes coordenadas fi = πi f : X → IR e contınua no ponto a.

Corolario 1. Dadas f : X → IRm e g : X → IRn , seja h = (f, g) : X → IRm × IRn dada

por h(x) = (f(x), g(x)) . Entao h e contınua se, e somente se, f e g sao ambas contınuas.

Uma consequencia deste corolario: se f, g : X ⊂ IRm → IRn e α : X → IR sao contınuas

entao sao tambem contınuas (f + g) : X → IRn dada por (f + g)(x) = f(x) + g(x) ,

(α.f) : X → IRn dada por (α.f)(x) = α(x).f(x) , < f, g > : X → IR dada por

< f, g > (x) = < f(x), g(x) >.

Obs.: Se, para obtermos f(x) (onde temos f : X ⊂ IRm → IRn e f = (f1, f2, . . . , fn) ),

para cada funcao coordenada aplicada em x ( fi(x) ) submetemos as coordenadas do ponto

x = (x1, . . . , xm) a operacoes definidas por funcoes contınuas, entao f e contınua.

Exemplos: f(x, y) = (( sen x).y, x2y3, ex cos y) define uma funcao contınua f : IR2 → IR3.

A funcao determinante det : Mn(IR) → IR e contınua.

10 CAPITULO 1

Continuidade uniforme:

Ao estudarmos a continuidade de uma aplicacao f : X ⊂ IRm → IRn num ponto do

domınio X, o δ obtido para cada ε (veja a definicao) depende, em geral, nao apenas do ε

dado, mas tambem depende do ponto onde estamos analisando a continuidade de f .

Quando, para cada ε dado, for possıvel obter um δ que dependa apenas de ε e portanto

sirva (como na definicao) para TODOS OS PONTOS DE X, temos um fenomeno conhecido

como Continuidade Uniforme:

Definicao 1.22. Uma aplicacao f : X ⊂ IRm → IRn e dita UNIFORMEMENTE CONTINUA


x, y ∈ X, ‖x− y‖ < δ ⇒ ‖f(x)− f(y)‖ < ε

Resultados relacionados com a continuidade uniforme:(?)

(i) Uma aplicacao f = (f1, . . . , fn) : X ⊂ IRm → IRn e uniformemente contınua se, e somente

se, suas funcoes coordenadas f1, . . . , fn : X → IRn o sao.

(ii) Uma aplicacao f : X ⊂ IRm → IRn e uniformemente contınua se, e somente se, para todo

par de sequencias (xk), (yk) em X, com lim(xk − yk) = 0 tem-se lim[f(xk)− f(yk)] = 0 .

(iii) Se f : X ⊂ IRm → IRn e uniformemente contınua entao, para todo a ∈ X ′ , existe o

limite limx→a

f(x) .

Uma fonte natural de aplicacoes uniformemente contınuas:

Definicao 1.23. Uma aplicacao f : X ⊂ IRm → IRn e dita LIPSCHITZIANA quando existe

uma constante k > 0 (chamada CONSTANTE DE LIPSCHITZ DE f) tal que

‖f(x)− f(y)‖ ≤ k. ‖x− y‖ ∀ x, y ∈ X

Alguns resultados:

(i) Toda aplicacao lipschitziana e uniformemente contınua.(?)

(ii) Toda transformacao linear A : IRm → IRn e lipschitziana (mostre), logo uniformemente

contınua e portanto contınua.

(iii) Se ϕ : IRm× IRn → IRp e uma aplicacao bilinear (linear em cada componente) entao ϕ

e lipschitziana em cada parte limitada de IRm × IRn = IRm+n.

Portanto toda aplicacao bilinear e contınua.

Exemplos: multiplicacao de numeros reais ( ϕ(x, y) = x.y ); Produto Interno Canonico

( < x, y > = x1y1 + . . . + xnyn ); multiplicacao de matrizes ( ϕ(A, B) = A.B )


(iv) As projecoes πi : IRm → IR , dadas por πi(x) = xi ∀ x = (x1, x2, . . . , xm) ∈ IRm

( i = 1, 2, . . . ,m ), sao lineares, logo lipschitzianas e portanto contınuas.

Homeomorfismos:

Definicao 1.24. Dados os conjuntos X ⊂ IRm e Y ⊂ IRn , um HOMEOMORFISMO entre

X e Y e uma bijecao contınua f : X → Y cuja inversa f−1 : Y → X tambem e contınua.

Diz-se entao que X e Y sao conjuntos homeomorfos.

Resultados imediatos:

(i) O inverso de um homeomorfismo e um homeomorfismo.

(ii) A composta de dois homeomorfismos e um homeomorfismo.

(iii) Se dois conjuntos X e Y sao homeomorfos, eles possuem a mesma estrutura topologica,

ou seja, um homeomorfismo “leva” abertos de X em abertos de Y e seu inverso “leva”

abertos de Y em abertos de X.(?)

Exemplos:

1) Qualquer aplicacao linear invertıvel A : IRn → IRn e um homeomorfismo.

2) As translacoes Ta : IRm → IRm , onde Ta(x) = x + a, a ∈ IRm (fixado).

3) As homotetias Hλ : IRm → IRm , onde Hλ(x) = λ.x, 0 6= λ ∈ IR (fixado).

4) Duas bolas abertas quaisquer no IRm sao homeomorfas, o mesmo ocorrendo com duas

bolas fechadas arbitrarias no IRm ou duas esferas no mesmo espaco.(?)

5) Toda bola aberta no IRm e homeomorfa ao espaco IRm.(?)

6) Seja f : X ⊂ IRm → IRn uma aplicacao contınua. Seu GRAFICO e o conjunto G ⊂IRm × IRn formado pelos pontos (x, f(x)) , com x ∈ X . O domınio X e o grafico G da

aplicacao contınua f sao homeomorfos.

12 CAPITULO 1

7) Sejam Sm =x ∈ IRm+1 ; < x, x > = 1

⊂ IRm+1 a esfera unitaria m-dimensional e

p = (0, 0, . . . , 0, 1) ∈ Sm seu POLO NORTE.

A PROJECAO ESTEREOGRAFICA ϕ : Sm\ p → IRm e um homeomorfismo.

1.5 Compacidade

Definicao 1.25. Um conjunto K ⊂ IRn sera dito um conjunto COMPACTO quando for

limitado e fechado.

Buscaremos agora novas caracterizacoes para os compactos do IRn:

Teorema 1.26.(?)

Um subconjunto K ⊂ IRn e compacto se, e somente se, toda sequencia

(xk) ⊂ K possui uma subsequencia convergente para um ponto de K.

Teorema 1.27.(?)

(Propriedade de Cantor) Dada uma sequencia “decrescente” de conjuntos

compactos e nao-vazios K1 ⊃ K2 ⊃ . . . ⊃ Ki ⊃ . . . , sua intersecao K =∞⋂i=1

Ki (limitada e

fechada) nao e vazia.

Lema 1.28.(?)

Todo conjunto X ⊂ IRn e separavel, isto e, possui um subconjunto enumeravel

E = x1, x2, . . . , xl, . . . ⊂ X, E denso em X.


Lema 1.29. (Lindelof) Considere um conjunto arbitrario X ⊂ IRn . Toda cobertura aberta

X ⊂⋃

Aλ admite uma subcobertura enumeravel.

Chegamos entao ao resultado que nos interessa:

Teorema 1.30. Um conjunto K ⊂ IRn e compacto se, e somente se, toda cobertura aberta de

K admite uma subcobertura finita.

Demonstracao:

(⇐) (Exercıcio)(?)

(⇒) Borel-Lebesgue:

Suponhamos que K seja compacto (limitado e fechado).

Seja K ⊂⋃

Aλ uma cobertura aberta de K.

Pelo Lema de Lindelof, ela admite uma subcobertura enumeravel

K ⊂∞⋃i=1

Aλi= Aλ1 ∪ Aλ2 ∪ . . .

Para cada i = 1, 2, 3, . . . ∈ IN ponha

Ki = K⋂

(IRn\ (Aλ1 ∪ . . . ∪ Aλi))

Ki ⊂ K (limitado) ⇒ Ki e limitado.

Aλ1 ∪ . . . ∪ Aλie aberto ⇒ IRn\ (Aλ1 ∪ . . . ∪ Aλi

) e fechado. Como K e fechado, temos

entao que Ki e fechado.

Assim, para todo i ∈ IN, Ki e limitado e fechado.

Observemos agora que K ⊃ K1 ⊃ K2 ⊃ K3 ⊃ . . . ⊃ Ki ⊃ . . .

Dado x ∈ K, existe λi′ tal que x ∈ Aλi′(pois K ⊂

∞⋃i=1

Aλi) ⇒ x 6∈ Ki′

Logo∞⋂i=1

Ki = φ .

Pela Propriedade de Cantor, podemos concluir que existe i0 tal que Ki0 = φ e teremos

φ = Ki0 = K⋂ (

X\ (Aλ1 ∪ . . . ∪ Aλi0))⇒ K ⊂ (Aλ1 ∪ . . . ∪ Aλi0

)

Portanto toda cobertura aberta de K admite uma subcobertura finita.

14 CAPITULO 1

Destacamos a seguir os principais resultados relativos a compacidade:

Teorema 1.31. Seja K ⊂ IRm um conjunto compacto. Se f : K → IRn e uma aplicacao

contınua, entao sua imagem f(K) e um conjunto compacto do IRn.

Corolario 1.(?)

(Weierstrass) Toda funcao real contınua f : K → IR definida num compacto

K ⊂ IRm atinge seu maximo e seu mınimo em K, isto e, existem pontos x1, x2 ∈ K tais que

f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2) para qualquer x ∈ K.

Corolario 2.(?)

Seja K ⊂ IRm compacto. Toda aplicacao contınua f : K → IRn e fechada,

ou seja, se F ⊂ K e fechado, entao f(F ) ⊂ IRn e fechado.

Corolario 3.(?)

A inversa de uma bijecao contınua definida num compacto e uma funcao

contınua, isto e, toda bijecao contınua definida num conjunto compacto e um homeomorfismo

sobre sua imagem.

Teorema 1.32.(?)

Toda aplicacao contınua f : K → IRn definida num conjunto compacto

K ⊂ IRm e uniformemente contınua.

1.6 Conexidade

Definicao 1.33. Uma CISAO de um conjunto X ⊂ IRn e uma decomposicao X = A ∪ B ,

onde A e B sao disjuntos ( A ∩B = φ ) e abertos em X.

Todo conjunto X ⊂ IRn admite a chamada CISAO TRIVIAL X = X ∪ φ .

Um conjunto X ⊂ IRn e dito CONEXO quando so admite a cisao trivial. Caso contrario

ele e dito DESCONEXO.


Proposicao 1.34.(?)

Uma decomposicao X = A ∪ B e uma cisao de X se, e somente

se, nenhum dos conjuntos A, B contem um ponto aderente ao outro, ou seja, se tivermos

cl A ∩B = φ = A ∩ cl B .

Proposicao 1.35.(?)

X ⊂ IR e conexo se, e somente se, X e um intervalo da reta.

Destacamos a seguir o principal resultado relativo a conexidade:

Teorema 1.36. Seja X ⊂ IRm um conjunto conexo. Se f : X → IRn e uma aplicacao

contınua, entao sua imagem f(X) e um conjunto conexo do IRn.

Corolario 1.(?)

(Teorema do Valor Intermediario) Seja f : X → IR uma funcao real

contınua, definida num conjunto conexo X ⊂ IRm . Se existem a, b ∈ X e d ∈ IR tais que

f(a) < d < f(b) , entao existe c ∈ X tal que f(c) = d .

Veremos a seguir uma serie de resultados sobre conexidade:

Proposicao 1.37.(?)

(Teorema da Alfandega) Seja X ⊂ IRn . Se um conjunto conexo

C ⊂ IRn contem um ponto a ∈ X e um ponto b 6∈ X , entao C contem algum ponto da

fronteira de X.

Sugestao: use que IRn = int X ∪ fr X ∪ int (IRn\X)

Lema 1.38.(?)

Seja X = A ∪ B uma cisao do conjunto X ⊂ IRn . Se Y ⊂ X e conexo e

nao-vazio entao ou Y ⊂ A ou Y ⊂ B .

16 CAPITULO 1

Proposicao 1.39.(?)

Se X ⊂ IRn e conexo e X ⊂ Y ⊂ cl X , entao Y e conexo.

Corolario 1. Se X ⊂ IRn e conexo e Y e formado a partir de X adicionando-se alguns ou

todos os pontos de seu fecho, entao Y e conexo.

Teorema 1.40. A reuniao de uma famılia de conjuntos conexos com um ponto em comum e

um conjunto conexo.

Corolario 1.(?)

A fim de que X ⊂ IRn seja conexo e (necessario e) suficiente que, para

quaisquer a, b ∈ X , exista um conjunto conexo Cab com a, b ∈ Cab ⊂ X .

Corolario 2.(?)

Dados X ⊂ IRm e Y ⊂ IRn , o produto cartesiano X × Y ⊂ IRm+n e

conexo se, e somente se, X e Y sao conexos.

Definicao 1.41. (Componentes conexas) Seja X ⊂ IRn . Para cada ponto x ∈ X , definimos

a COMPONENTE CONEXA do ponto x em X como sendo a reuniao Cx de todos os

subconjuntos conexos de X que contem o ponto x.

E imediato que Cx e o maior subconjunto conexo (veja o teorema anterior) de X que

contem o ponto x.

Segue tambem que, dados dois pontos x, y ∈ X , suas componentes conexas Cx, Cy em

X, ou coincidem ou sao disjuntas(?)

.

Assim, a relacao “x e y pertencem a mesma componente conexa em X” e uma relacao

de equivalencia em X(?)

e as componentes conexas dos pontos de X o dividem em classes de

equivalencia, as quais denominaremos as COMPONENTES CONEXAS de X.


Proposicao 1.42.(?)

Seja h : X → Y um homeomorfismo. Se Cx e a componente conexa

do ponto x em X, entao Dy = h(Cx) e a componente conexa do ponto y = h(x) em Y .

Portanto, um homeomorfismo h : X → Y estabelece uma bijecao entre as componentes

conexas de X e as componentes conexas de Y .(?)

(Exemplos)

Um CAMINHO num conjunto X ⊂ IRn e uma aplicacao contınua f : I → X definida

num intervalo I ⊂ IR.

Dizemos que os pontos a, b ∈ X PODEM SER LIGADOS POR UM CAMINHO EM X

quando existe um caminho f : I → X tal que a, b ∈ f(I)

Por exemplo, se X e convexo entao cada dois pontos a, b ∈ X podem ser ligados por um

caminho em X, a saber, o caminho retilıneo [a, b] = t.a + (1− t).b ; t ∈ [0, 1] .

Se a, b ∈ X podem ser ligados por um caminho f : I → X entao existe um caminho

ϕ : [0, 1] → X tal que ϕ(0) = a e ϕ(1) = b.(?)

Um conjunto X ⊂ IRn e dito CONEXO POR CAMINHOS quando cada dois pontos

a, b ∈ X podem ser ligados por um caminho em X.

Por exemplo: todo conjunto convexo e conexo por caminhos.

Teorema 1.43. Todo conjunto conexo por caminhos e conexo. (Exercıcio)

Obs.: Nem todo conjunto conexo e conexo por caminhos:

Exemplo: X = (x, sen 1/x) ; x ∈ (0, +∞) ∪ (0, 0) ⊂ IR2 e conexo mas nao e conexo

por caminhos.

Isto nao ocorre se o conjunto em questao for aberto:

Teorema 1.44. Se A ⊂ IRn e aberto e conexo entao A e conexo por caminhos.

Prova: Exercıcio.

18 CAPITULO 1

1.7 Norma de uma transformacao linear

Seja A : IRm → IRn uma transformacao linear.

Fixadas duas normas: ‖ ‖m em IRm e ‖ ‖n em IRn , existe c > 0 tal que

‖Ax‖n ≤ c. ‖x‖m ∀ x ∈ IRm

Temos entao: ‖x‖m = 1 ⇒ ‖Ax‖n ≤ c e podemos definir ...

Definicao 1.45. Fixadas duas normas: ‖ ‖m em IRm e ‖ ‖n em IRn , definimos

uma norma(?)

em L(IRm; IRn) = Mn×m(IR) = IRnm pondo, para cada transformacao linear

A : IRm → IRn ∈ L(IRm; IRn) :

‖A‖ = sup ‖Ax‖n ; ‖x‖m = 1

Proposicao 1.46. Nas condicoes da definicao acima, temos:

‖A‖ = sup ‖Ax‖n ; ‖x‖m ≤ 1

= inf c > 0 ; ‖Ax‖n ≤ c. ‖x‖m ∀ x ∈ IRm

Obs.: Note que para cada par de normas fixadas, em IRm e IRn, temos uma norma

em L(IRm; IRn) = Mn×m(IR) = IRnm . De qualquer jeito, nao vamos esquecer que as normas

obtidas neste ultimo espaco sao todas equivalentes.

Proposicao 1.47.(?)

Nas mesmas condicoes da definicao anterior, temos:

‖Ax‖n ≤ ‖A‖ . ‖x‖m ∀ x ∈ IRm

‖AB‖ ≤ ‖A‖ . ‖B‖ se B ∈ L(IRp; IRm) e A ∈ L(IRm; IRn)

Obs.: Na segunda parte da proposicao acima, consideramos a mesma norma em IRm .


1.8 Exercıcios

1. Se c ∈ [a, b] = t.a + (1− t).b ; t ∈ [0, 1] entao ‖b− a‖ = ‖b− c‖+ ‖c− a‖ . Se a norma

provem de um produto interno, vale a recıproca. Para uma norma arbitraria, pode-se ter a

igualdade acima com c 6∈ [a, b] .

2. Se a norma provem de um produto interno e a 6= b em IRn sao tais que ‖a‖ ≤ r e ‖b‖ ≤ r

entao ‖(1− t).a + t.b‖ < r para todo t ∈ (0, 1) (ou seja, a esfera nao contem segmentos de

reta).

3. Qualquer que seja a norma adotada no IRn (n > 1), a esfera unitaria Sn−1 = x ∈ IRn ; ‖x‖ = 1 e um conjunto infinito.

4. Um conjunto X ⊂ IRn e dito CONVEXO quando, para todos os pares de pontos a, b ∈ X,

o SEGMENTO (RETILINEO) [a, b] = t.a + (1− t).b ; t ∈ [0, 1] que os liga cumpre [a, b] ⊂X . Mostre que a intersecao de uma famılia arbitraria de conjuntos convexos e um conjunto

convexo.

5. Dado X ⊂ IRn, a ENVOLTORIA CONVEXA DE X e a intersecao co (X) de todos os

subconjuntos convexos do IRn que contem X. Prove que co (X) e o conjunto de todas as

combinacoes lineares α1x1 + . . . + αkxk tais que x1, . . . , xk ∈ X , α1 ≥ 0, . . . , αk ≥ 0 e

α1 + . . . + αk = 1 .

6. Mostre que o fecho de qualquer conjunto convexo no IRn e tambem convexo.

7. As seguintes afirmacoes a respeito de uma sequencia (xk) de pontos do IRn sao equivalentes:

(a) lim ‖xk‖ = +∞ ;

(b) (xk) nao possui subsequencia convergente ;

(c) Para todo conjunto limitado L ⊂ IRn, o conjunto dos ındices k tais que xk ∈ L e finito.

8. Prove que lim xk = a em IRn se, e so se, lim < xk, y > = < a, y > para todo y ∈ IRn .

9. Toda matriz n× n e limite de uma sequencia de matrizes invertıveis n× n .

10. Se nenhum ponto do conjunto X ⊂ IRn e ponto de acumulacao entao se pode escolher,

para cada ponto x ∈ X, uma bola aberta Bx, de centro x, de tal maneira que, para x 6= y

em X se tenha Bx ∩By = φ .

11. Todo conjunto discreto e enumeravel. Em outras palavras: todo conjunto nao-enumeravel

contem (pelo menos) um ponto de acumulacao.

20 CAPITULO 1

12. Se A ⊂ IRn e aberto entao sua fronteira fr A tem interior vazio. De exemplo de um

conjunto X ⊂ IRn cuja fronteira fr X seja um conjunto aberto.

13. Se F ⊂ IRn e fechado entao sua fronteira fr F tem interior vazio.

14. Seja E ⊂ IRn um subespaco vetorial. Se E 6= IRn entao int E = φ .

15. A ⊂ IRn e aberto se, e somente se, A ∩ cl (IRn\A) = φ .

16. Seja B(X; ε) a reuniao das bolas abertas B(x; ε) de raio ε e centro em algum ponto

x ∈ X . Prove que cl X =⋂ε>0

B(X; ε) .

17. (i) Mostre que para toda sequencia decrescente F1 ⊃ F2 ⊃ . . . ⊃ Fk ⊃ . . . de conjuntos

fechados e nao-vazios Fk ⊂ IRn , com lim diam Fk = 0 ( diam X = sup d(x, y) ; x, y ∈ X ),

existe um ponto a ∈ IRn tal que∞⋂

k=1

Fk = a.

(ii) (Teorema de Baire) Mostre que se F =∞⋃

k=1

Fk , onde cada Fk e fechado em IRn e tem

interior vazio, entao int F = φ . (Sugestao: olhe o livro sobre Espacos Metricos do Elon)

(iii) O que podemos concluir se IRn =∞⋃

k=1

Fk , onde cada Fk e fechado no IRn ?

18. Seja f : X → IRn contınua. Dada uma sequencia xk em X com lim xk = a ∈ X e

‖f(xk)‖ ≤ c para todo k ∈ IN entao ‖f(a)‖ ≤ c .

19. Sejam f, g : X → IRn contınuas no ponto a ∈ X . Se f(a) 6= g(a) entao existe uma

bola B de centro a tal que x, y ∈ B ⇒ f(x) 6= g(x) .

20. Seja f : X → IRn contınua no ponto a ∈ X . Se f(a) nao pertence a B[b; r] ⊂ IRn

entao existe δ > 0 tal que x ∈ X, ‖x− a‖ < δ ⇒ f(x) 6∈ B[b; r] .

21. Sejam f : X → IRn e a ∈ X . Suponha que, para todo ε > 0 , exista g : X → IRn ,

contınua no ponto a, tal que ‖f(x)− g(x)‖ < ε para todo x ∈ X . Entao f e contınua no

ponto a .

22. Seja f : IRm → IRn contınua. Se X ⊂ IRm e limitado entao f(X) ⊂ IRn e limitado.

23. Se f : IRm → IRn e contınua entao, para cada parte limitada x ⊂ IRm , a restricao f |Xe uniformemente contınua.


24. Se a aplicacao linear A : IRm → IRn e injetiva, entao existe c > 0 tal que ‖Ax‖ ≥ c ‖x‖para todo x ∈ IRm .

25. Se B e a bola aberta de centro na origem e raio 1 no IRn, a aplicacao contınua f : B → IRn

definida por f(x) =x

1− ‖x‖nao e uniformemente contınua.

26. Considerando as sequencias de pontos zk = (k, 1/k) e wk = (k, 0) no IR2 , prove que

a aplicacao ϕ : IR2 → IR dada por ϕ(x, y) = xy nao e uniformemente contınua. Use

um argumento analogo para provar que uma aplicacao bilinear ϕ : IRm × IRn → IRp so e

uniformemente contınua se for identicamente nula.

27. O cone C =

(x, y, z) ∈ IR3 ; z ≥ 0 , x2 + y2 − z = 0

e homeomorfo ao IR2 .

28. Estabeleca um homeomorfismo entre IRn+1\ 0 e Sn × IR .

29. O quadrante P =

(x, y) ∈ IR2 ; x ≥ 0 , y ≥ 0

e homeomorfo ao semi-plano superior

S = (x, y) ; y ≥ 0 .

30. Os conjuntos X =

(x, y) ∈ IR2 ; y = 0 , 0 < x < 1

e Y =

(x, y) ∈ IR2 ; y = 0

sao homeomorfos, mas nao existe um homeomorfismo h : IR2 → IR2 tal que h(X) = Y .

31. Estabeleca um homeomorfismo entre os conjuntos X = x ∈ IRn ; 0 < ‖x‖ ≤ 1 (bola

unitaria fechada menos a origem) e Y = y ∈ IRn ; ‖y‖ ≥ 1 (complementar da bola unitaria

aberta).

32. Seja f : IR2 → IR definida por f(x, y) =(x2 − y)y

x4se 0 < y < x2 e f(x, y) = 0 nos

demais pontos. Prove que o limite de f(x, y) e zero quando (x, y) tende para (0, 0) ao

longo de qualquer reta que passe pela origem, mas nao se tem lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) = 0 .

33. Seja f : IR2 → IR definida por f(0, 0) = 0 e f(x, y) =x2 − y2

x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0) .

Mostre que limx→0

(limy→0

f(x, y)

)6= lim

y→0

(limx→0

f(x, y))

.

34. O conjunto das matrizes invertıveis n× n e aberto no IRn2

.

35. O conjunto das aplicacoes lineares injetivas e aberto em L(IRm; IRn) . Idem para as

sobrejetivas.

36. f : X → IRn e contınua se, e so se, para todo Y ⊂ X , tem-se f(X ∩ cl Y ) ⊂ cl f(Y ) .

22 CAPITULO 1

37. O conjunto das matrizes n × n com determinante 1 e um conjunto fechado, ilimitado e

com interior vazio em IRn2

.

38. O conjunto dos valores de aderencia de uma sequencia limitada e um conjunto compacto

e nao-vazio.

39. As matrizes ortogonais n× n formam um subconjunto compacto do IRn2

.

40. Todo conjunto infinito X ⊂ IRn possui um subconjunto nao-compacto.

41. Seja X ⊂ IRn . Se todo conjunto homeomorfo a X for limitado, entao X e compacto.

42. Seja f : IRm → IRn contınua. As seguintes afirmacoes sao equivalentes:

(a) limx→∞

f(x) = ∞ ;

(b) A imagem inversa f−1(K) de todo compacto K ⊂ IRn e compacta.

43. Sejam X ⊂ IRm , K(compacto) ⊂ IRn , f : X ×K → IRp contınua e c ∈ IRp . Suponha

que, para cada x ∈ X , exista um unico y ∈ K tal que f(x, y) = c . Prove que esse y

depende continuamente de x .

44. Toda aplicacao localmente lipschitziana definida num conjunto compacto e lipschitziana.

45. Um subconjunto conexo nao-vazio X ⊂ Qn consta de um unico ponto.

46. Um conjunto conexo enumeravel X ⊂ IRn possui no maximo um ponto.

47. O conjunto das matrizes invertıveis n× n e um aberto desconexo em IRn2

. Tambem e

desconexo (mas nao aberto) o conjunto das matrizes ortogonais.

48. Se X ⊂ IRn e compacto, entao toda aplicacao contınua aberta f : X → Sn e sobrejetiva.

49. Seja X ⊂ IRm . Uma aplicacao f : X → IRn diz-se localmente constante quando

para cada x ∈ X existe uma bola B de centro x tal que f |(B∩X) e constante. X e conexo

se, e somente se, toda aplicacao localmente constante f : X → IRn e constante.

50. Se X ⊂ IRn e conexo por caminhos e f : X → IRn e contınua, entao f(X) e conexo

por caminhos.

51. Se X ⊂ IRm e Y ⊂ IRn sao conexos por caminhos entao X × Y ⊂ IRm+n e conexo por

caminhos.


52. A reuniao de uma famılia de conjuntos conexos por caminhos com um ponto em comum

e conexa por caminhos.

53. O fecho de um conjunto conexo por caminhos pode nao ser conexo por caminhos.

54. As componentes conexas de um subconjunto aberto em IRn sao conjuntos abertos.

55. Dada uma aplicacao linear A : IRm → IRn e fixadas normas em IRm e IRn, a imagem por

A da esfera unitaria S = x ∈ IRm ; ‖x‖ = 1 e um conjunto limitado no IRn . Pondo, para

cada A ∈ L(IRm; IRn) , ‖A‖ = sup ‖Ax‖ ; x ∈ S , a funcao A 7→ ‖A‖ e uma norma no

espaco vetorial L(IRm; IRn) , para a qual vale a desigualdade ‖Ax‖ ≤ ‖A‖ · ‖x‖ para todo

x ∈ IRm . Alem disso, se A ∈ L(IRm; IRn) e B ∈ L(IRn; IRp) entao, fixadas normas em

IRm , IRn e IRp , tem-se ‖BA‖ ≤ ‖B‖ · ‖A‖ .

56. Seja G o grupo das matrizes invertıveis n×n . Mostre que se A ∈ G e ‖Ax‖ ≥ |c| . ‖x‖para todo x ∈ IRn entao ‖A−1‖ ≤ 1/c . Conclua que se X ∈ G e ‖X − A‖ < c/2 entao

‖X−1‖ ≤ 2/c . Em seguida, use a identidade X−1 − A−1 = X−1(I − XA−1) para mostrar

que limX→A

X−1 = A−1 . Logo, f : G → G dada por f(X) = X−1 e contınua.

57. Dada A ∈ L(IRm; IRn) , supomos fixadas normas em IRm e IRn e definimos, como antes,

‖A‖ = sup ‖Ax‖ ; x ∈ IRm , ‖x‖ = 1 . Mostre que, com essa definicao de ‖A‖ , temos

tambem ‖A‖ = inf c ∈ IR ; ‖Ax‖ ≤ c ‖x‖ para todo x ∈ IRm .

58. Defina convergencia e convergencia absoluta (ou normal) de uma serie∑

xk , cujos

termos xk = (xk1, xk2, . . . , xkn) pertencem ao IRn . Prove que a serie∑

xk converge (resp.

converge absolutamente) se, e somente se, para cada i = 1, . . . , n , a serie∑

k xki converge

(resp. converge absolutamente). Conclua que toda serie absolutamente convergente no IRn e

convergente.

59. Dada uma sequencia de aplicacoes lineares Ak : IRm → IRn , suponha que para todo

x ∈ IRm exista Ax = limk→∞

Akx . Prove que a aplicacao linear A : IRm → IRn assim definida e

linear, que lim Ak = A relativamente a qualquer norma em L(IRm; IRn) e que a convergencia

Akx → Ax e uniforme em qualquer parte limitada de IRm .

60. Mostre que para toda aplicacao X ∈ L(IRn) ' IRn2

, a serie∞∑

k=0

Xk

k!e absolutamente

convergente. Indiquemos sua soma por eX . Usando que eX · eY = eX+Y se XY = Y X ,

conclua que para toda X ∈ L(IRn) temos que eX e invertıvel, com (eX)−1 = e−X .

24 CAPITULO 1

Capıtulo 2

Diferenciabilidade

2.1 Definicao: diferenciabilidade de uma aplicacao

Definicao 2.1. Uma aplicacao f : U → IRn , definida no aberto U ⊂ IRm diz-se diferenciavel

no ponto a ∈ U quando existe uma transformacao linear T : IRm → IRn tal que, para todo

v ∈ IRm com a + v ∈ U , temos

f(a + v) = f(a) + T (v) + r(v) com limv→0

r(v)

‖v‖= 0

A diferenciabilidade de f no ponto a significa que podemos obter uma “boa aproximacao

linear”para f numa vizinhanca de a. Essa boa aproximacao de f(a+ v) por f(a)+T (v) numa

vizinhanca de a e expressa pela condicao limv→0

r(v)

‖v‖= 0.

Pondo ρ(v) =r(v)

‖v‖se v 6= 0 e ρ(0) = 0 , podemos exprimir a diferenciabilidade de f no

ponto a por:

f(a + v) = f(a) + T (v) + ρ(v) · ‖v‖ com limv→0

ρ(v) = 0

Alguns resultados imediatos:

Seja f : U(aberto) ⊂ IRm → IRn uma aplicacao diferenciavel no ponto a ∈ U .

Entao existe uma transformacao linear T : IRm → IRn tal que, para todo v ∈ IRm com

a + v ∈ U :

f(a + v) = f(a) + T (v) + ρ(v) · ‖v‖ com limv→0

ρ(v) = 0

25

26 CAPITULO 2

(A) f e contınua em a

Antes do proximo resultado apresentaremos o conceito de derivada direcional.

Seja f : U → IRn definida num aberto U ⊂ IRm.

A derivada direcional de f num ponto a ∈ U , relativamente a um vetor v ∈ IRm e, por

definicao:∂f

∂v(a) = lim

t→0

f(a + tv)− f(a)

t∈ IRn quando existir tal limite

Se f = (f1, f2, . . . , fn) , onde fi : U → IR (i = 1, . . . , n) sao as funcoes coordenadas de

f , entao∂f

∂v(a) =

(∂f1

∂v(a) , . . . ,

∂fn

∂v(a)

)

Quando v = ej e o j-esimo vetor da base canonica do IRm, escrevemos∂f

∂xj

(a).

(B) T (v) =∂f

∂v(a) ∀ v ∈ IRm

Diferenciabilidade 27

Consequencias de (B):

(i) A derivada direcional de f em a , se f e diferenciavel em a, depende linearmente do

vetor relativamente ao qual e considerada.

(ii) A transformacao linear T : IRm → IRn que da a boa aproximacao para f perto de

a e unica e chamada a derivada de f no ponto a , que indicaremos por f ′(a) ou Df (a).

(iii) Podemos obter a matriz que representa a transformacao linear f ′(a) em relacao as

bases canonicas de IRm e IRn, que sera uma n×m matriz chamada a matriz jacobiana de f

no ponto a e indicada por Jf(a). Sua j-esima coluna e dada por

f ′(a).ej = T (ej) =∂f

∂xj

(a) =

(∂f1

∂xj

(a) , . . . ,∂fn

∂xj

(a)

)∈ IRn

onde ej e o j-esimo vetor da base canonica do IRm (j = 1, 2, . . . ,m).

Entao:

Jf(a) = [f ′(a)] =

∂f1

∂x1

(a)∂f1

∂x2

(a) . . .∂f1

∂xm

(a)

∂f2

∂x1

(a)∂f2

∂x2

(a) . . .∂f2

∂xm

(a)

......

...

∂fn

∂x1

(a)∂fn

∂x2

(a) . . .∂fn

∂xm

(a)

(C) Temos: f(a + v) = f(a) + f ′(a)(v) + r(v) com limv→0

r(v)

‖v‖= 0

Se f = (f1, f2, . . . , fn) e r = (r1, r2, . . . , rn) , a condicao acima e equivalente a

fi(a + v) = fi(a) +

[∂fi

∂x1

(a)∂fi

∂x2

(a) . . .∂fi

∂xm

(a)

]· v + ri(v) com lim

v→0

ri(v)

‖v‖= 0

para todo ∀ i = 1, 2, . . . , n.

Temos entao o ...

28 CAPITULO 2

Teorema 2.2. A aplicacao f : U → IRn e diferenciavel no ponto a ∈ U se, e somente se,

cada uma das suas funcoes coordenadas f1, f2, . . . , fn : U → IR e diferenciavel em a.

Corolario 1. A aplicacao f = (g, h) : U → IRn × IRp , dada por f(x) = (g(x), h(x)) e

diferenciavel no ponto a ∈ U se, e somente se, cada uma das aplicacoes g : U → IRn e

h : U → IRp e diferenciavel em a.

Em caso afirmativo, temos: f ′(a) = (g′(a), h′(a)) : IRm → IRn × IRp.

2.2 Exemplos de aplicacoes diferenciaveis

A) Aplicacoes constantes: Uma aplicacao constante e diferenciavel em todo ponto e sua

derivada em qualquer ponto e a transformacao linear nula O .

B) Transformacoes lineares: Qualquer transformacao linear T : IRm → IRn e diferen-

ciavel em todos os pontos a ∈ IRm e DT (a) = T ′(a) = T ∀ a ∈ IRm.

C) Aplicacoes bilineares: Qualquer aplicacao bilinear ϕ : IRm×IRn → IRp e diferenciavel

em cada ponto (a, b) ∈ IRm × IRn e ϕ′(a, b) = Dϕ(a, b) : IRm × IRn → IRp e a transformacao

linear dada por:

ϕ′(a, b) (v, w) = ϕ(v, b) + ϕ(a, w) ∀ (v, w) ∈ IRm × IRn


D) Aplicacoes k-lineares: Qualquer aplicacao k-linear µ : IRm1× IRm2× . . .× IRmk → IRp

e diferenciavel em cada ponto (a1, a2, . . . , ak) e

Dµ(a1, . . . , ak) (v1, . . . , vk) = µ(v1, a2, . . . , ak) + µ(a1, v2, a3, . . . , ak)+. . .+ µ(a1, . . . , ak−1, vk)

Exemplo: det : IRn2

= IRn × IRn × . . .× IRn → IR e n-linear e portanto e diferenciavel em

cada n× n matriz real A. Dada A = (A1, A2, . . . , An) , onde cada Ai = (ai1 ai2 . . . ain) e

a i-esima linha de A, temos que det′(A) : IRn2 → IR e a transformacao linear dada por

det′(A)(V ) =n∑

i=1

det(A1, . . . , Ai−1, Vi, Ai+1, . . . , An) ∀ n× n matriz real V

30 CAPITULO 2

E) A derivada da “analise na reta” :

Sejam f : U (aberto) ⊂ IR → IR e a ∈ U .

Dizemos que existe a derivada de f em a quando existir o limite

limt→0

f(a + t)− f(a)

t= f ′(a) ∈ IR

Ja vimos que f e derivavel em a se, e somente se, existir uma constante c ∈ IR tal que,

para todo t ∈ IR onde a + t ∈ U , tenhamos

f(a + t) = f(a) + c · t + r(t) com limt→0

r(t)

t= 0

Em caso afirmativo, temos ainda que f ′(a) = c.

Se considerarmos a transformacao linear T : IR → IR dada por T (x) = c.x ∀x ∈ IR e

observarmos que limt→0

r(t)

t= 0 ⇔ lim

t→0

r(t)

|t|= 0 podemos entao concluir que

f e derivavel em a ⇔ f e diferenciavel em a

F) Caminhos diferenciaveis:

Um caminho em IRn e uma aplicacao f : I → IRn cujo domınio e um intervalo I ⊂ IR.

O vetor velocidade (vetor tangente) do caminho f : I → IRn em um ponto a ∈ int I e

definido por:

df

dt(a) = lim

t→0

f(a + t)− f(a)

t∈ IRn desde que esse limite exista


Temos f = (f1, f2, . . . , fn) , fi : I → IR , i = 1, 2, . . . , n.

O caminho f possui vetor velocidade em um ponto a se, e somente se, cada fi for derivavel

(ou seja, diferenciavel) em a. Isto ocorrera portanto se, e somente se, f for diferenciavel em

a. (ver teorema 2.2).

Teremos, em caso afirmativo:

df

dt(a) =

df1

dt(a)

...

dfn

dt(a)

=

f ′1(a)

...

f ′n(a)

que pode ser “visto” tanto como um vetor em IRn (o vetor velocidadedf

dt(a) de f em a)

quanto como uma transformacao linear de IR em IRn (a derivada de f em a, dada por

f ′(a)(t) =df

dt(a) · t ).

Aplicacao: Dada uma aplicacao f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn diferenciavel em a ∈ U ,

tentaremos obter, via caminhos, uma interpretacao para f ′(a)(v) , onde v ∈ IRm.

Dado v ∈ IRm, consideremos um caminho α : (−ε, ε) → U ⊂ IRm dado por

α(t) = a + tv

Temos que ∃ dα

dt(0) = lim

t→0

α(0 + t)− α(0)

t= lim

t→0

a + tv − a

t= v (v e o vetor veloci-

dade de α em t = 0)

Geometricamente, a imagem do caminho α e uma curva (neste caso um segmento de reta)

em U , passando pelo ponto a e tendo v como vetor tangente em a.

Vamos agora olhar para o caminho γ = f α : (−ε, ε) → f(U) ⊂ IRn , correspondente a

aplicacao de f ao caminho α (composicao).

Geometricamente, a imagem do caminho γ e uma curva em f(U) , passando por f(a).

Temos:

∃ dγ

dt(0) = lim

t→0

(f α)(t)− (f α)(0)

t= lim

t→0

f(a + tv)− f(a)

t=

∂f

∂v(a) = f ′(a)(v)

32 CAPITULO 2

Portanto, f ′(a)(v) e o vetor velocidade de γ em t = 0 (geometricamente, e o vetor tangente

a imagem de γ, em f(a) ):

2.3 Funcoes reais de m variaveis

Seja f : U ⊂ IRm → IR uma funcao real de m variaveis definida num aberto U ⊂ IRm.

Temos: f e diferenciavel em a ∈ U se, e somente se, existe uma transformacao linear

T : IRm → IR (funcional linear) tal que, sempre que a + v ∈ U , temos:

f(a + v) = f(a) + T (v) + r(v) com limv→0

r(v)

‖v‖= 0

Em caso afirmativo, temos T = f ′(a) ∈ (IRm)∗ , derivada de f em a.

Equivalentemente, f e diferenciavel em a ∈ U se, e somente se, existirem constantes

A1, A2, . . . , Am tais que, para todo v = (v1, v2, . . . , vm) ∈ IRm com a + v ∈ U , tem-se:

f(a + v) = f(a) + A1v1 + A2v2 + . . . + Amvm + r(v) com limv→0

r(v)

‖v‖= 0

Como Jf(a) =

[∂f

∂x1

(a)∂f

∂x2

(a) . . .∂f

∂xm

(a)

], chegamos a outra definicao equivalente:

f e diferenciavel em a ∈ U se, e so se, existirem as derivadas parciais∂f

∂x1

(a), . . . ,∂f

∂xm

(a)

e, para todo vetor v = (v1, v2, . . . , vm) ∈ IRm com a + v ∈ U tivermos

f(a + v) = f(a) +∂f

∂x1

(a).v1 + . . . +∂f

∂xm

(a).vm + r(v) com limv→0

r(v)

‖v‖= 0


A diferencial

Seja f : U (aberto) ⊂ IRm → IR uma funcao diferenciavel em a ∈ U .

Sua derivada f ′(a) , em a, e uma transformacao linear f ′(a) : IRm → IR, ou seja, um

funcional linear sobre IRm, que denotaremos por df(a) e chamaremos a diferencial de f

no ponto a:

df(a) = f ′(a) : IRm → IR , df(a) ∈ (IRm)∗

Para todo vetor v = (v1, v2, . . . , vm) ∈ IRm, temos: df(a)(v) =∂f

∂v(a) =

m∑j=1

∂f

∂xj

(a).vj

Nosso interesse agora sera, uma vez que df(a) ∈ (IRm)∗, exprimir df(a) como combinacao

linear de funcionais que formem uma base de (IRm)∗. Para tal, utilizaremos a base dual da

base canonica de IRm:

Sejam B = e1, e2, . . . , em a base canonica do IRm e B∗ sua base dual, em (IRm)∗.

Temos B∗ = π1, π2, . . . , πm , onde πj : IRm → IR e dado por πj(x1, . . . , xm) = xj , para

todo j = 1, 2, . . . ,m (πj e a projecao na j-esima coordenada).

E comum denotarmos πj por xj . Logo B∗ = x1, x2, . . . , xm (aqui cada xj e um

funcional linear).

Para todo j = 1, . . . ,m temos que xj = πj : IRm → IR e uma transformacao linear, logo

diferenciavel em todos os pontos de IRm e sua derivada (diferencial) em cada ponto e a propria

transformacao linear xj .

Portanto: xj = dxj(x) ∀ x ∈ IRm, ∀ j = 1, . . . ,m. Logo escreveremos xj = dxj , para

todo j = 1, . . . ,m.

Assim, B∗ = dx1, dx2, . . . , dxm e a base dual da base canonica do IRm.

Para todo j = 1, . . . ,m temos: df(a)(ej) =∂f

∂xj

(a) e pela relacao entre B e B∗ , temos:

df(a) =∂f

∂x1

(a).dx1 +∂f

∂x2

(a).dx2 + . . . +∂f

∂xm

(a).dxm

Conseguimos portanto escrever df(a) como combinacao linear dos funcionais da base B∗

(que sao tambem diferenciais), dual da base canonica B de IRm.

34 CAPITULO 2

Uma util condicao suficiente

Teorema 2.3. Se uma funcao f : U (aberto) ⊂ IRm → IR possui derivadas parciais em todos

os pontos de uma vizinhanca de a ∈ U e cada uma delas e contınua no ponto a ∈ U , entao

f e diferenciavel em a.


Um exemplo interessante

Seja f : U ⊂ IR2 → IR uma funcao contınua definida num aberto U ⊂ IR2.

Considere o conjunto S = gr f = (x, y, f(x, y)); (x, y) ∈ U ⊂ IR3 (grafico de f).

Seja g : U → S a aplicacao dada por g(x, y) = (x, y, f(x, y)).

Temos g = (g1, g2, g3) , sendo suas funcoes coordenadas dadas por:

g1(x, y) = x , g2(x, y) = y , g3(x, y) = f(x, y)

Ja vimos que g e um homeomorfismo de U em S, ou seja, S e topologicamente identico a

um “pedaco” U do plano (S e uma superfıcie).

Consideremos agora f diferenciavel em a ∈ U .

E imediato entao que g e diferenciavel em a (olhe para as funcoes coordenadas de g).

Fixemos v ∈ IR2.

O caminho α : (−ε, ε) → U dado por α(t) = a + tv e geometricamente um segmento de

reta passando por a e tem v como um vetor tangente em a (vetor velocidade em t = 0)

Temos entao (veja Aplicacao do exemplo F) que g α : (−ε, ε) → S e um caminho cuja

imagem e uma curva em S, passando por g(a) e tendo neste ponto g′(a)(v) como vetor tan-

gente:

36 CAPITULO 2

Procedendo desta forma para cada vetor v ∈ IR2, temos que g′(a)(v) fornece um vetor

tangente a uma curva na superfıcie S, no ponto g(a)

Vamos dar uma olhada para

Jg(a) = [g′(a)] =

∂g1

∂x(a)

∂g1

∂y(a)

∂g2

∂x(a)

∂g2

∂y(a)

∂g3

∂x(a)

∂g3

∂y(a)

=

1 0

0 1

∂f

∂x(a)

∂f

∂y(a)

(matriz de g′(a) em relacao as bases canonicas)

Temos que a dimensao da imagem de g′(a) e igual a 2 e portanto o conjunto dado por

Tg(a)(S) =g(a) + g′(a)(v), v ∈ IR2

e um plano (plano tangente ao grafico S de f em

g(a) = (a, f(a)) ).


2.4 Exercıcios

1. (Derivadas direcionais) Sendo f ′(x)(h) = limt→0

f(x + th)− f(x)

te admitindo a existencia

das derivadas em questao, calcule:

a) f ′(z)(h), com z = (4,−1), h = (1, 2) e f : IR2 → IR2 dada por f(x) = (x2 + y, x + y2).

b) ϕ′(x)(v), onde x, v ∈ IRm sao vetores quaisquer e ϕ : IRm → IR e definida por

ϕ(x) = f(x).g(x), sendo f, g : IRm → IR funcionais lineares.

c) ξ′(x)(h), onde h ∈ IRm e um vetor arbitrario e ξ : U → IR e definida do seguinte modo

no aberto U ⊂ IRm : sao dadas f, g : U → IRp diferenciaveis e ξ(x) = < f(x), g(x) > , para

todo x ∈ U , e o produto interno dos vetores f(x) e g(x).

2. (Diferenciabilidade) Seja E o espaco das matrizes n× n (se achar conveniente, identifique

E com IRn2

). Defina f : E → E pondo f(X) = X3 para cada matriz X. Mostre que f e

diferenciavel em todos os pontos de E (use o metodo do exercıcio anterior para determinar o

candidato a f ′(X)).

3. (Diferenciabilidade) Sejam U ⊂ IRm e f, g : U → IRn diferenciaveis no ponto a ∈ U ,

com f(a) = g(a). Mostre que f ′(a) = g′(a) se, e so se, limv→0

f(a + v)− g(a + v)

‖v‖= 0.

4. (Diferenciabilidade e matriz Jacobiana) Seja f : IR3 → IR4 dada por

f(x, y, z) = (x2 − y2, xy, xz, zy)

a) Prove que f e diferenciavel em todos os pontos de IR3 e calcule sua matriz jacobiana.

b) Mostre que a derivada f ′(x, y, z) : IR3 → IR4 e uma transformacao linear injetora, exceto

no eixo Oz (isto e, para x = y = 0).

c) Determine a imagem de f ′(0, 0, z) : IR3 → IR4.

5. (Derivada) Seja f : U → IRn diferenciavel no aberto U ⊂ IRm. Se, para algum b ∈ IRn, o

conjunto f−1(b) possui um ponto de acumulacao a ∈ U entao f ′(a) : IRm → IRn nao e injetiva.

6. (Derivada; matriz Jacobiana) Seja f : IR2 → IR3 dada por

f(x, y) = (x2, y2, (x + y)2)

Mostre que f ′(x, y) : IR2 → IR3 tem posto 2, exceto na origem (isto e, f ′(x, y)(e1) e f ′(x, y)(e2)

sao linearmente independentes salvo quando x = y = 0).

7. (Derivada) Seja f : IRm → IRm diferenciavel, com f(0) = 0. Se a transformacao linear f ′(0)

nao tem valor proprio 1 entao existe uma vizinhanca V de 0 em IRm tal que f(x) 6= x para

todo x ∈ V − 0.

38 CAPITULO 2

8. (Derivada; matriz Jacobiana) Seja f : IR3 → IR3 dada por

f(x, y, z) = (x + y + z, x2 + y2 + z2, x3 + y3 + z3)

Mostre que f ′(x, y, z) : IR3 → IR3 e uma aplicacao biunıvoca, salvo se duas das coordenadas

x, y, z sao iguais.

9. (Diferenciabilidade) Seja E = IRn2

o espaco vetorial formado pelas matrizes n × n. Indi-

cando com X∗ a transposta de uma matriz X, considere a aplicacao f : E → E definida por

f(X) = XX∗. Descreva a derivada f ′(X) : E → E. Mostre que f ′(X)(H) e simetrica, para

cada H ∈ E e que se X e ortogonal (isto e, X∗ = X−1) entao, para toda matriz simetrica S,

existe pelo menos uma matriz H tal que f ′(X)(H) = S.

10. (Maximos e mınimos relativos interiores) Seja U ⊂ IRm aberto. Se f : U → IR atinge um

maximo (ou mınimo) relativo no ponto x ∈ U , e f e diferenciavel no ponto x, entao f ′(x) = 0

(transformacao linear nula).

11. (Condicoes necessarias, nao suficientes) Obtenha aplicacoes f : U(aberto)⊂ IRm → IRn

tais que:

a) Existem todas as derivadas parciais de f em um ponto mas nao existem todas as derivadas

direcionais (f nao e diferenciavel neste ponto).

b) Existem todas as derivadas parciais de f em um ponto mas f nao e contınua nesse ponto

(f nao e diferenciavel neste ponto).

c) Existem todas as derivadas direcionais de f em um ponto mas f nao e contınua nesse ponto

(f nao e diferenciavel neste ponto).

d) Existem todas as derivadas direcionais de f em um ponto a ∈ U , f e contınua nesse

ponto, mas a derivada direcional de f em a, relativamente a um vetor v ∈ IRm, nao depende

linearmente de v (f nao e diferenciavel neste ponto).

e) Existem todas as derivadas direcionais de f em um ponto a ∈ U , f e contınua nesse ponto,

a derivada direcional de f em a, relativamente a um vetor v ∈ IRm, depende linearmente de v,

mas f nao e diferenciavel neste ponto.

12. (Derivada do determinante) Seja E = IRn2

o espaco vetorial das matrizes n× n. Sabemos

que a funcao determinante det : E → IR e diferenciavel em toda matriz A ∈ E (ver exemplo

D nas notas de aula). Verifique, para as matrizes 4× 4, a validade da expressao

∂ det

∂xij

(A) = (−1)i+j det A[i,j], onde A[i,j] e a n−1×n−1 matriz obtida eliminando-se a i-esima

linha e a j-esima coluna da matriz A (a expressao foi obtida tambem no exemplo D), escolhendo

uma variavel xij.


13. (Caminhos diferenciaveis) Determine as equacoes parametricas das retas tangentes as

seguintes curvas em IR3 nos pontos especificados:

a) g : t → (x, y, z) = (t, t2, t3) nos pontos correspondentes a t = 0 e t = 1.

b) f : t → (x, y, z) = (t− 1, t2, 2) nos pontos correspondentes a t = 0 e t = 1.

c) h : t → (x, y, z) = (2 cos t, 2 sen t, t) nos pontos correspondentes a t = π/2 e t = π.

14. (Caminhos diferenciaveis, EDOs) Consideremos o problema de obter um caminho

y = y(t) : I ⊂ IR → IRp tal que:

y(n)(t) = F (t, y(t), y′(t), y′′(t), ..., y(n−1)(t))

y(0) = η1

y′(0) = η2

...

y(n−1)(0) = ηn

Sao dados

F : IRnp+1 → IRp

η1, η2, ..., ηn ∈ IRp

Mostre que podemos resolver este problema resolvendo um sistema de equacoes de primeira

ordem, que equivale ao problema da forma:

x′1(t) = f1(t, x1(t), x2(t), ..., xn(t))

x′2(t) = f2(t, x1(t), x2(t), ..., xn(t))

...

x′n(t) = fn(t, x1(t), x2(t), ..., xn(t))

x1(0) = η1

x2(0) = η2

...

xn(0) = ηn

x1, x2, ..., xn : I ⊂ IR → IRp

Sao dados

f1, f2, ..., fn : IRnp+1 → IRp

η1, η2, ..., ηn ∈ IRp

Mostre agora que podemos reduzir o problema acima a um outro, na forma:

x′(t) = f(t, x(t))

x(0) = η0

x : I ⊂ IR → IRnp

Sao dados

f : IRnp+1 → IRnp

η0 ∈ IRnp

Finalmente, se quisermos, podemos ainda reduzir o problema acima a um outro, autonomo

(“independente” de t):w′(t) = g(w(t))

w(0) = ηw : I ⊂ IR → IRnp+1

Sao dados

g : IRnp+1 → IRnp+1

η ∈ IRnp+1

40 CAPITULO 2

15. (Caminhos diferenciaveis, EDOs) Usando a ideia do exercıcio anterior, reduza cada pro-

blema abaixo a um formado por uma unica equacao de primeira ordem:

a) y′′ + y′2 = 0, y(0) = a, y′(0) = b, y = y(t) : I ⊂ IR → IR

b) (1− t2)y′′ − 2ty′ + 2y = 0, y(0) = a, y′(0) = b, y = y(t) : I ⊂ IR → IR

c) y′′′ − 2y′′ + 3y′ − y = 0, y(0) = a, y′(0) = b, y′′(0) = c, y = y(t) : I ⊂ IR → IR

16. (Caminhos diferenciaveis, EDOs) Consideremos o problema:x′(t) = f(t, x(t))

x(0) = x0

Sao dados

f : IRn+1 → IRn, contınua

x0 ∈ IRn

a) Mostre que x = x(t) : I ⊂ IR → IRn e solucao do problema acima se, e somente se:

x(t) = x0 +

∫ t

0

f(s, x(s)) ds , para todo t ∈ I

b) Um importante resultado (Teorema de Picard) assegura que, se f e lipschitziana em relacao

a variavel x (existe uma constante k > 0 tal que ||f(t, x)− f(t, y)|| ≤ k ||x− y||, para todos

(t, x), (t, y) ) numa vizinhanca de (0, x0) entao existe uma solucao para o problema acima,

definida numa vizinhanca de t = 0 de modo unico. Mais ainda, o Teorema de Picard fornece

uma sequencia de caminhos x1, x2, ... : I → IRn que converge para a solucao, sequencia esta

dada por:

x1(t) = x0 , x2(t) = x0 +

∫ t

0

f(s, x1(s))ds , ..., xn+1(t) = x0 +

∫ t

0

f(s, xn(s))ds ,...

Use a sequencia acima para obter a unica solucao x = x(t) : IR → IRn do problema:x′(t) = A(x(t)) (x′ = Ax)

x(0) = x0

A : IRn → IRn, linear, n× n matriz de coef. constantes

x0 ∈ IRn

OBS.: Boas justificativas para o estudo de sistemas lineares de coeficientes constantes

x′ = Ax se encontram nao so no fato de que uma serie de problemas sao desta natureza,

bem como em um outro resultado importante, o Teorema de Hartman, que de um certo modo

diz que, dado um problema x′ = f(x), f ∈ C1 (note que f nao e necessariamente linear), se

x0 e ponto singular (f(x0) = 0) e os autovalores de Df(x0) tem todos parte real nao nula

(neste caso x0 e dito ser um ponto singular hiperbolico), entao o comportamento das solucoes

x = x(t) numa vizinhanca de x0 pode ser aproximado pelo comportamento das solucoes do

sistema linear x′ = Df(x0)x (repare que este e linear) numa vizinhanca de 0 (origem do IRn).


17. (Funcoes reais de m variaveis) Mostre que se uma funcao f : U(aberto)⊂ IRm → IR possui

derivadas parciais em todos os pontos de uma vizinhanca de a ∈ U e m−1 delas sao contınuas

no ponto a, entao f e diferenciavel em a.

18. (Graficos de funcoes, planos tangentes) Seja f : U ⊂ IR2 → IR uma funcao contınua

definida num aberto U ⊂ IR2. Tomando S = (x, y, f(x, y))|(x, y) ∈ U ⊂ IR3 (grafico de f),

sabemos que g : U → S dada por g(x, y) = (x, y, f(x, y)) e um homeomorfismo entre U e S

(de uma olhada na Secao 2.3). Se f e diferenciavel em um ponto a ∈ U entao e imediato que

g tambem e diferenciavel em a e sabemos que existe o Plano Tangente a S (grafico de f) no

ponto g(a): Tg(a)(S).

Seja f : IR2 → IR a funcao dada por f(x, y) = x2 + y2.

Faca um esboco de S (grafico de f).

Fixemos um ponto a ∈ IR2, digamos a = (2, 1). Dado um vetor v ∈ IR2, consideremos o

caminho γ = γ(t) : IR → IR2 dado por γ(t) = a + tv (geometricamente a imagem de γ e uma

reta em IR2, passando por a e tendo em a vetor tangente igual a v). Sabemos que (g γ)(IR)

e uma curva em S (lembremos que g(x, y) = (x, y, f(x, y)), conforme acima) e que o vetor

tangente a (g γ)(IR) no ponto g(a), dado por (g γ)′(0) = g′(a)(v), e um vetor tangente a S

em g(a) (g(a) + g′(a)(v) ∈ Tg(a)(S)).

Dados os vetores v1 = e1 = (1, 0), v2 = e2 = (0, 1), v3 = (2, 1), v4 = (1, 3), v5 = (3,−2)

em IR2, utilizando a Matriz Jacobiana de g em a = (2, 1), calcule g′(a)(vi), i = 1, ..., 5 (alguns

vetores tangentes a S em g(a) = (2, 1, 5)), faca um esboco considerando os vetores tangentes

g′(a)(v1) e g′(a)(v2) e finalmente verifique que todos esses cinco vetores tangentes a S em

g(a) = (2, 1, 5) sao coplanares, como era de se esperar.

19. (Graficos de funcoes, planos tangentes) Com as mesmas consideracoes do exercıco anterior

para uma funcao f : U ⊂ IR2 → IR definida num aberto U ⊂ IR2, determine os Planos

Tangentes a S (grafico de f) nas situacoes abaixo (faca os esbocos):

a) f1(x, y) = x2 + y2 . Determine T(0,0,f1(0,0))(S) e T(1,2,f1(1,2))(S) .

b) f2(x, y) = x2 − y2 . Determine T(0,0,f2(0,0))(S) e T(1,2,f2(1,2))(S) .

c) f3(x, y) = (4− (x2 + y2))1/2

. Determine T(0,0,f3(0,0))(S) e T(1,1,f3(1,1))(S) .

42 CAPITULO 2

2.5 A Regra da Cadeia

Teorema 2.4. (Regra da Cadeia) Sejam U ⊂ IRm e V ⊂ IRn conjuntos abertos,

f : U → IRn uma aplicacao diferenciavel no ponto a ∈ U , com f(U) ⊂ V e g : V → IRp

uma aplicacao diferenciavel no ponto b = f(a) ∈ V .

Entao a aplicacao composta g f : U → IRp e diferenciavel no ponto a e temos ainda que

(g f)′(a) = g′(b) f ′(a) : IRm → IRp


Algumas consequencias:

(A) Interpretacao geometrica para f ′(a)(v):

Corolario 1. Seja f : U ⊂ IRm → IRn uma aplicacao diferenciavel em a ∈ U . Dado v ∈ IRm,

seja α : (−ε, ε) → U um caminho em U , diferenciavel em t = 0 (existe vetor velocidade em

t = 0), com α(0) = a e α′(0) = v.

Entao f ′(a)(v) e o vetor velocidade do caminho f α : (−ε, ε) → IRn em t = 0 (geometri-

camente e o vetor tangente a curva (f α) (−ε, ε) em f(a) ).

(B) Derivada da aplicacao inversa:

Corolario 2. Seja f : U → IRn diferenciavel em a ∈ U ⊂ IRm e suponha que f admite uma

inversa g = f−1 : V → IRm , V ⊂ IRn (f(U) = V, g(V ) = U, f g = idV e g f = idU)

que e diferenciavel no ponto b = f(a).

Entao f ′(a) : IRm → IRn e um isomorfismo cujo inverso e g′(b) : IRn → IRm e em particular

temos que m = n.

44 CAPITULO 2

(C) Regra da Cadeia e derivadas parciais:

Corolario 3. No teorema anterior, suponha f = (f1, f2, . . . , fn) e g = (g1, g2, . . . , gp).

Entao para cada i = 1, . . . , p e j = 1, . . . ,m , temos:

∂(gi f)

∂xj

(a) =n∑

k=1

∂gi

∂yk

(b) · ∂fk

∂xj

(a)

(D) Regras de diferenciacao:

Corolario 4. Sejam f, g : U → IRn diferenciaveis no ponto a ∈ U (aberto) ⊂ IRm e λ um

numero real. Entao:

f + g : U → IRn e diferenciavel em a , com (f + g)′(a) = f ′(a) + g′(a)

λf : U → IRn e diferenciavel em a , com (λf)′(a) = λ · f ′(a)

Se ϕ : IRn × IRn → IRp e uma aplicacao bilinear entao a aplicacao ϕ(f, g) : U → IRp ,

definida por x 7→ ϕ(f(x), g(x)) e diferenciavel no ponto a , com

[ϕ(f, g)] ′(a)(v) = ϕ (f ′(a)(v), g(a)) + ϕ (f(a), g′(a)(v))


Algumas aplicacoes:

(i) “Derivada do produto”: Sejam f, g : U ⊂ IR → IR diferenciaveis (derivaveis) em

a ∈ U . Entao fg : U → IR dada por fg(x) = f(x) · g(x) e derivavel em a com

(fg) ′(a) = f ′(a) · g(a) + f(a) · g′(a)

(ii) Seja f : IRm → IR dada por f(x) = ‖x‖2 = < x, x > . Entao

f ′(a)(v) = 2 < v, a > ∀ v, a ∈ IRm

(iii) Seja n : IRm → IR dada por n(x) = ‖x‖ = < x, x >1/2 (norma proveniente de um

produto interno). Entao

n′(a)(v) =< v, a >

< a, a >1/2∀ v ∈ IRm, a 6= 0 ∈ IRm

46 CAPITULO 2

2.6 Teorema/Desigualdade do valor medio

Tentaremos agora generalizar o Teorema do Valor Medio de Lagrange, estudado no

curso de analise na reta.

Teorema 2.5. (Generalizacao do TVM de Lagrange da “Analise na Reta”)

Seja f : U ⊂ IRm → IR diferenciavel em todos os pontos do segmento de reta aberto

(a, a + v) = a + tv , 0 < t < 1 ⊂ U e tal que sua restricao ao segmento de reta fechado

[a, a + v] ⊂ U seja contınua.

Entao existe t0 ∈ (0, 1) tal que f(a + v)− f(a) = f ′(a + t0v)(v)

OBS.: Apesar de conseguirmos acima generalizar o Teorema do Valor Medio de La-

grange para funcoes (contradomınio = IR), o mesmo nao pode ser feito para aplicacoes

f : U ⊂ IRm → IRn em geral, conforme ilustra o contra-exemplo abaixo.

Contra-Exemplo:

Seja f : IR → IR2 a aplicacao (caminho) dada por f(t) = (cos t, sen t) ∀ t ∈ IR

Para todo t ∈ IR , temos: f ′(t) = (− sen t, cos t) 6= (0, 0)

Agora f(2π)− f(0) = (0, 0) 6= f ′(t).2π ∀ t ∈ IR

OBS.: Conforme veremos a seguir, o teorema do valor medio, quando temos uma aplicacao

f : U ⊂ IRm → IRn , n > 1, aparece sob a forma de desigualdade.

Isto nao impede que dele seja extraıda uma serie de resultados significativos, conforme

veremos adiante.


Teorema 2.6. (“Versao fraca” da Desigualdade do Valor Medio)

Dado U ⊂ IRm , aberto, seja f : U → IRn diferenciavel em cada ponto do segmento de

reta aberto (a, a + v) e tal que sua restricao ao segmento de reta fechado [a, a + v] ⊂ U seja

contınua.

Entao existem uma constante real θ > 0 e um ponto ci0 ∈ (a, a + v) tais que

‖f(a + v)− f(a)‖ ≤ θ. ‖f ′(ci0)(v)‖ ≤ θ. ‖f ′(ci0)‖ . ‖v‖

Em particular, se ‖f ′(x)‖ ≤ M para todo x ∈ (a, a + v) , temos

‖f(a + v)− f(a)‖ ≤ θ.M. ‖v‖ se ‖f ′(x)‖ ≤ M

48 CAPITULO 2

Teorema 2.7. (“Versao completa” da Desigualdade do Valor Medio)

Dado U ⊂ IRm , aberto, seja f : U → IRn diferenciavel em cada ponto do segmento de

reta aberto (a, a + v) e tal que sua restricao ao segmento de reta fechado [a, a + v] ⊂ U seja

contınua.

Se ‖f ′(x)‖ ≤ M para todo x ∈ (a, a + v) entao ‖f(a + v)− f(a)‖ ≤ M. ‖v‖.

Demonstracao: veja em Lima, E.L. - Analise no Espaco IRn - Capıtulo 5, Teorema 2, pag.

27 (1a Edicao).

OBS.: Se a norma considerada em IRn provem de um produto interno, entao podemos

garantir ainda que existe um ponto ci0 ∈ (a, a + v) tal que

‖f(a + v)− f(a)‖ ≤ ‖f ′(ci0)(v)‖ ≤ ‖f ′(ci0)‖ . ‖v‖

A demonstracao neste caso fica mais simples e pode ser encontrada em Bartle, R.G. - Ele-

mentos de Analise Real - Capıtulo 7 (Secao 40), pags. 329-330 (2a Edicao).

Algumas consequencias:

(A) Uma fonte natural de aplicacoes Lipschitzianas:

Corolario 1. Seja U ⊂ IRm aberto e convexo. Se f : U → IRn e diferenciavel, com

‖f ′(x)‖ ≤ M para todo x ∈ U entao f e Lipschitziana, com ‖f(y)− f(x)‖ ≤ M. ‖y − x‖quaisquer que sejam x, y ∈ U .

OBS.: Para concluırmos que f e Lipschitziana basta a “Versao fraca”(Teo 2.6)


(B) Generalizacao de um resultado canonico:

Corolario 2. Se f : U → IRn e diferenciavel no aberto e conexo U ⊂ IRm e f ′(x) = O

(transformacao linear nula) para todo x ∈ U entao f e constante.

(C) Um lema muito util:

Corolario 3. Sejam U ⊂ IRm aberto, [a, a + v] ⊂ U e f : U → IRn diferenciavel em cada

ponto do segmento aberto (a, a + v) com f∣∣[a,a+v]

contınua.

Seja T : IRm → IRn uma transformacao linear.

Se ‖f ′(x)− T‖ ≤ M ∀ x ∈ (a, a + v) entao ‖f(a + v)− f(a)− T (v)‖ ≤ M. ‖v‖

50 CAPITULO 2

2.7 Exercıcios

1. (Regra da Cadeia) a) Se f(x, y) = x2 + y2 e g(t) = (3t + 1, 2t− 3), seja F (t) = (f g)(t).

Calcule F ′(t) diretamente e aplicando a Regra da Cadeia.

b) Se f(x, y, z) = xyz e g(s, t) = (3s + st, s, t), seja F (s, t) = (f g)(s, t).

Calcule∂F

∂se

∂F

∂tdiretamente e aplicando a Regra da Cadeia.

2. (Regra da Cadeia) Seja f : U → IRn\ 0 diferenciavel no aberto conexo U ⊂ IRm. A fim de

que seja ‖f(x)‖ =constante, e necessario e suficiente que f ′(x)(v) seja perpendicular a f(x),

para todo x ∈ U e todo v ∈ IRm (considere a norma euclidiana e o produto interno canonico).

3. (Regra da Cadeia) Sejam U(aberto)⊂ IRm e p ∈ IRm\U . Prove que a funcao f : U → IR

dada por f(x) = ‖x− p‖, para todo x ∈ U (funcao distancia a p) e diferenciavel em U e

obtenha df(a)(v) = f ′(a)(v), onde a ∈ U e v ∈ IRm.

4. (Regra da Cadeia: mudanca de coordenadas e EDPs) Suponhamos que se queira obter

solucoes para a equacao da onda :

∂2u

∂t2= c2∂2u

∂x2, onde c ∈ IR, c 6= 0, e u = u(x, t) : U(aberto)⊂ IR2 → IR

Introduzindo a mudanca de variaveis (ξ, η) = m(x, t), onde

ξ = m1(x, t) = x + ct

η = m2(x, t) = x− ct, temos:

(ξ, η) = (x + ct, x− ct) = (m1(x, t), m2(x, t)) = m(x, t)

Fazendo v(ξ, η) = u(x, t), temos u = v m.

Impondo a equacao acima, mostre que chegamos a∂2v

∂ξ∂η= 0 .

Obtenha v = v(ξ, η), solucao geral desta ultima equacao, “volte” atraves da mudanca de

variaveis m para obter u = u(x, t), solucao da equacao inicial, e verifique algumas solucoes

particulares.

5. (Desigualdade do valor medio) Seja U ⊂ IRm um aberto e f : U → IRn. Suponha que

U contem os pontos a, b e o segmento de reta [a, b] que os une, e que f e diferenciavel em

todo ponto de [a, b]. Mostre que existe uma transformacao linear L : IRm → IRn tal que

f(b)− f(a) = L(b− a).

6. (Desigualdade do valor medio) Sejam U ⊂ IRm aberto, [a, b] ⊂ U, f : U → IRn contınua

em [a, b] e diferenciavel em (a, b). Mostre que para cada y ∈ IRn existe cy ∈ (a, b) tal que

< f(b)− f(a), y > = < f ′(cy)(b− a), y >.


7. (Desigualdade do valor medio) Seja U ⊂ IRm convexo. Dada f : U → IRn diferenciavel,

considere as seguintes afirmacoes:

a) ‖f ′(x)‖ ≤ c para todo x ∈ U ;

b) ‖f(x)− f(y)‖ ≤ c ‖x− y‖ para quaisquer x, y ∈ U ;

c) f e uniformemente contınua ;

d) Para todo x0 ∈ cl U , existe limx→x0

f(x) ;

e) Se U e limitado entao f(U) e limitado.

Mostre que a ⇔ b ⇒ c ⇒ d ⇒ e , mas as demais implicacoes sao todas falsas.

2.8 As classes de diferenciabilidade Ck

A aplicacao derivada e a Classe C1

Seja f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn uma aplicacao diferenciavel.

Definimos a APLICACAO DERIVADA DE f como a aplicacao

f ′ : U → L(IRm; IRn)

x 7→ f ′(x)

Agora questionamos: dado a ∈ U , quando a aplicacao derivada f ′ e contınua em a ?

Para cada x ∈ U vamos identificar f ′(x) com sua Matriz Jacobiana:

Jf(x) =

∂f1

∂x1

(x)∂f1

∂x2

(x) . . .∂f1

∂xm

(x)

∂f2

∂x1

(x)∂f2

∂x2

(x) . . .∂f2

∂xm

(x)

......

...

∂fn

∂x1

(x)∂fn

∂x2

(x) . . .∂fn

∂xm

(x)

onde fi : U → IR (i = 1, . . . , n) sao as funcoes coordenadas de f : f = (f1, f2, . . . , fn).

52 CAPITULO 2

Observamos entao que

∂fi

∂xj

: U → IR

x 7→ ∂fi

∂xj

(x)

i = 1, . . . , n

j = 1, . . . ,m

sao as funcoes coordenadas da aplicacao derivada (de f) f ′ : U → L(IRm; IRn).

Ora, sabemos que uma aplicacao e contınua em um ponto se, e somente se, suas funcoes

coordenadas sao contınuas nesse ponto.

Podemos entao concluir: a aplicacao derivada f ′ : U → L(IRm; IRn) e contınua em um

ponto a ∈ U se, e somente se, as funcoes∂fi

∂xj

: U → IR sao contınuas em a , para todos

i = 1, . . . , n e j = 1, . . . ,m.

Dizemos que f pertence a classe C1(U) se, e somente se, sua aplicacao derivada

f ′ : U → L(IRm; IRn) e contınua (em todos os pontos de U).

As classes de diferenciabilidade Ck

Definicao 2.8. Uma aplicacao f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn e dita ser de classe Ck

(k = 1, 2, . . .) no aberto U ⊂ IRm quando existem e sao contınuas em U todas as derivadas

parciais de ordem ≤ k das funcoes coordenadas de f . Notacao: f ∈ Ck(U) .

Dizemos que f e de classe C0 se f e contınua.

Dizemos que f e de classe C∞ em U quando f ∈ Ck(U) para todo k = 0, 1, 2, . . . .

Obs.: Dizer que f ∈ Ck(U) (k = 1, 2, 3, . . .) equivale a dizer que f e diferenciavel e sua

aplicacao derivada f ′ : U → L(IRm; IRn) e uma aplicacao de classe Ck−1 em U .

Temos, com o estudo das derivadas de ordem superior, que a condicao acima ainda e equiva-

lente a dizer que f e k vezes diferenciavel e sua derivada de ordem k, f (k) , e contınua em U .

O resultado a seguir e um corolario da Regra da Cadeia e fica como exercıcio:

Proposicao 2.9. A composta de duas aplicacoes de classe Ck e tambem de classe Ck.


2.9 O vetor Gradiente

Definicao 2.10. (Vetor Gradiente)

Seja f : U ⊂ IRm → IR uma funcao definida num aberto U ⊂ IRm .

Se f e diferenciavel em um ponto a ∈ U entao existe um unico vetor ua ∈ IRm tal que

df(a)(v) = f ′(a)(v) = < ua, v > para todo v ∈ IRm ,

onde <,> e o produto interno canonico no IRm (Justifique).

Tal vetor ua e chamado o vetor gradiente de f em a, sera denotado por grad f(a) ou ∇af

e e dado por:

grad f(a) =

(∂f

∂x1

(a),∂f

∂x2

(a), ...,∂f

∂xm

(a)

)

Consideremos o caso em que grad f(a) 6= 0 (vetor nulo) e f ∈ C1 .

Podemos obter informacoes interessantes sobre o crescimento de f a partir do ponto a e do

vetor gradiente de f em a.

• O gradiente aponta para uma direcao segundo a qual f e crescente (EXERCICIO).

Os vetores v que apontam para direcoes ao longo das quais a funcao f cresce sao aqueles

tais que∂f

∂v(a) = < grad f(a), v > e positivo, ou seja, sao aqueles que formam um angulo

agudo com grad f(a) ).

• Dentre todas as direcoes ao longo das quais a funcao f cresce, a direcao do gradiente e

a de crescimento mais rapido, ou seja, se v for um vetor tal que ‖v‖ = ‖ grad f(a)‖, entao

∂f

∂v(a) ≤ ∂f

∂ grad f(a)(a) (EXERCICIO).

Veremos (nos exercıcios a seguir) uma terceira e importante propriedade do vetor gradiente.

54 CAPITULO 2

2.10 Exercıcios

1. (Gradiente) Para cada uma das funcoes f : U(aberto)⊂ IR2 → IR dadas abaixo, faca:

a) Um esboco do grafico de f .

b) Considerando um ponto a ∈ U dado, tente, a partir de seu esboco e sem calcular o grad f(a),

descobrir a direcao ao longo da qual f tem o crescimento mais rapido a partir do ponto a dado.

c) Calcule o gradiente de f no ponto a e verifique se sua tentativa na letra b) acima foi bem

sucedida.

i) f1(x, y) = x2 + y2 no ponto a = (1, 2).

ii) f2(x, y) = (4− x2)1/2

no ponto a = (1, 1).

iii) f3(x, y) = (9− (x2 + y2))1/2

no ponto a = (2, 2).

2. (Pontos crıticos, valores regulares, etc.) Seja f : U → IRn uma aplicacao diferenciavel

definida num aberto U ⊂ IRm.

Pontos crıticos de f : dizemos que um ponto a ∈ U e um ponto crıtico de f quando a

derivada f ′(a) : IRm → IRn nao e sobrejetiva. Neste caso dizemos que a imagem f(a) ∈ IRn do

um ponto crıtico a e um valor crıtico de f .

Valores regulares de f : um ponto c ∈ IRn que nao e um valor crıtico de f (ou seja, nao e

imagem por f de nenhum ponto crıtico de f) e dito um valor regular de f .

a) Se f : U ⊂ IRm → IR e uma funcao diferenciavel, entao caracterize seus pontos crıticos.

Um resultado importante (veremos mais tarde) nos garante que se f : U ⊂ IRm → IR e

uma funcao diferenciavel, f ∈ C1(U) (o que equivale a dizer que as derivadas parciais de f sao

contınuas) e c ∈ f(U) e um valor regular de f , entao o conjunto

M = f−1(c) = x ∈ U ; f(x) = c

e uma VARIEDADE DIFERENCIAVEL DE DIMENSAO m− 1, o que significara que:

• M e localmente homeomorfo ao espaco IRm−1

• M e “suave” (sera de classe C1, neste caso)

Dois casos serao de nosso maior interesse:

i) m = 2 : neste caso temos f : U ⊂ IR2 → IR e M = f−1(c) tera dimensao 1 : M sera uma

curva (de nıvel c)

ii) m = 3 : neste caso temos f : U ⊂ IR3 → IR e M = f−1(c) tera dimensao 2 : M sera uma

superfıcie (de nıvel c)


Por enquanto nos restringiremos ao segundo caso (superfıcies).

b) Para cada uma das superfıcies M dadas abaixo, faca: um esboco de M , verifique as condicoes

para que o resultado acima enunciado possa ser valido e descreva qual a superfıcie dada.

i) f1(x, y, z) = x− 2y + 3z, M1 = f−11 (3)

ii) f2(x, y, z) = x2 + y2 + z2, M2 = f−12 (4)

iii) f3(x, y, z) = x2 + y2 + z, M3 = f−13 (−1)

iv) f4(x, y, z) = x2 + y2, M4 = f−14 (1)

c) Mostre agora que, nas condicoes do resultado apresentado anteriormente, o vetor gradiente

da funcao f no ponto a ∈ M = f−1(c) e perpendicular a variedade M em a, ou seja, para

todo caminho diferenciavel γ : (−ε, ε) → M em M (sua imagem e uma curva contida em M)

passando pelo ponto a ∈ M , o vetor grad f(a) (gradiente de f em a) e perpendicular ao vetor

tangente a curva γ(−ε, ε) em a. Dizemos tambem que o gradiente e perpendicular ao espaco

tangente a M no ponto a (Ta(M), que tem a mesma dimensao de M).

(Sugestao: olhe para a composicao f γ e aplique a Regra da Cadeia)

d) Para cada uma das superfıcies M da letra b) escolha um ponto a ∈ M e tente, sem calcular

o gradiente de f em a obter a direcao do gradiente (visualmente mesmo!). Agora calcule o

gradiente de f em a e verifique a validade da letra c) anterior.

3. (Mais superfıcies) Seja f : U(aberto)⊂ IR2 → IR diferenciavel e tal que f ∈ C1(U).

Ja fizemos uma serie de consideracoes a respeito de S = (x, y, f(x, y)) ; (x, y) ∈ U(grafico de f) (ver Secao 2.3).

a) Mostre, indo na direcao do resultado utilizado no exercıcio anterior, que S e a imagem

inversa de um valor regular c de uma funcao h = h(x, y, z) de classe C1.

Consequencia importante deste fato: o vetor gradiente de h em um ponto b = (a, f(a)) ∈ S

(obtenha grad h(b)) e o vetor normal ao plano tangente a S em b = (a, f(a)) (Tb(S)).

b) Obtenha as equacoes dos planos tangentes aos graficos das seguintes funcoes nos pontos

especificados abaixo (tente fazer um esboco):

i) f1(x, y) = x2 + y2 no ponto b1 = (−1, 3, 10)

ii) f2(x, y) = x2 − y2 no ponto b2 = (0, 2,−4)

iii) f3(x, y) = cos y no ponto b3 = (2, π,−1)

56 CAPITULO 2

Capıtulo 3

Funcoes implıcitas

3.1 Motivacao: superfıcies regulares no IR3

Definicao 3.1. Um subconjunto S ⊂ IR3 e uma SUPERFICIE REGULAR quando, para

cada ponto p ∈ S existem uma vizinhanca V de p em IR3 e uma aplicacao χ : U → V ∩ S

definida num aberto U ⊂ IR2 tal que:

(1) χ ∈ C∞(U) (χ e “suave”);

(2) χ e um homeomorfismo;

(3) Para todo q ∈ U , a derivada χ′(q) : IR2 → IR3 tem posto 2, isto e, χ′(q) e injetora.

Observacoes:

Uma aplicacao χ como acima e dita uma PARAMETRIZACAO LOCAL de S em (uma

vizinhanca de) p. Temos χ = χ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) .

(u, v) ∈ U sao ditas COORDENADAS LOCAIS de S em (uma vizinhanca de) p.

Se p = χ(u0, v0) , χ(u0, v) e χ(u, v0) sao ditas CURVAS COORDENADAS por p.

57

58 CAPITULO 3

Dado q ∈ U , temos: Jχ(q) =

∂x

∂u(q)

∂x

∂v(q)

∂y

∂u(q)

∂y

∂v(q)

∂z

∂u(q)

∂z

∂v(q)

Portanto χ′(q) tem posto 2 se, e somente se, χ′(q) e injetora e isto ocorre se, e somente se,

as colunas da matriz acima sao vetores L.I. no IR3 , ou equivalentemente, um dos determinantes

abaixo e nao-nulo em q :

det

[∂(x, y)

∂(u, v)

]=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∂x

∂u

∂x

∂v

∂y

∂u

∂y

∂v

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ , det

[∂(y, z)

∂(u, v)

], det

[∂(x, z)

∂(u, v)

]

O teorema seguinte (consequencia do Teorema da Aplicacao Inversa), e bem util para

garantirmos a continuidade da inversa χ−1 : χ(U) → U :

Teorema 3.2. Seja χ : U (aberto)⊂ IR2 → IR3 tal que:

(1) χ ∈ C1(U)

(2) χ : U → χ(U) e BIJECAO;

(3) Para todo q ∈ U , a derivada χ′(q) : IR2 → IR3 tem posto 2, isto e, χ′(q) e injetora.

Entao χ−1 : χ(U) → U e contınua (o que implica em χ ser um homeomorfismo).

Exemplos:

(A) Todo plano π ⊂ IR3 e uma superfıcie regular.

Funcoes implıcitas 59

(B) Esfera S2 ⊂ IR3. S2 =

(x, y, z) ∈ IR3 ; x2 + y2 + z2 = 1.

Obs.: Nao e possıvel obter uma unica parametrizacao para toda a esfera (global), pois

a esfera e um compacto do IR3 e a parametrizacao deve ser um homeomorfismo entre um

aberto U ⊂ IR2 e sua imagem.

60 CAPITULO 3

Podemos, porem, mapear toda a esfera com apenas duas parametrizacoes:


(C) Cilindro: C =

(x, y, z) ∈ IR3 ; x2 + y2 = 1.

(D) Este exemplo vem sob a forma de proposicao (e um caso geral):

Proposicao 3.3. Seja f : U (aberto) ⊂ IR2 → IR uma funcao “suave”(C∞).

Entao o grafico de f : G = (u, v, f(u, v)) ; (u, v) ∈ U e uma superfıcie regular.

62 CAPITULO 3

3.2 O Teorema da Funcao Implıcita

Teorema 3.4. (Teorema da Funcao Implıcita)

Sejam Ω (aberto) ⊂ IRm×IR = IRm+1 e (a, b) ∈ Ω , de forma que a = (a1, . . . , am) ∈ IRm

e b ∈ IR .

Seja f : Ω → IR uma funcao, f = f(x, y) = f(x1, . . . , xm, y) , tal que

f ∈ Ck(Ω) , f(a, b) = r ∈ IR e∂f

∂y(a, b) 6= 0 .

Entao existem uma bola U = B(a; δ) ⊂ IRm e um intervalo J = (b− ε, b + ε) tais que

1) U × [b− ε, b + ε] ⊂ Ω e∂f

∂y(x, y) 6= 0 para todo (x, y) ∈ U × [b− ε, b + ε] ;

2) Para cada x ∈ U existe um unico y = ξ(x) ∈ J tal que

f(x, y) = f(x, ξ(x)) = r ,

sendo a funcao assim definida ( ξ : U → J ) de classe Ck e suas derivadas parciais em cada

ponto x ∈ U dadas por

∂ξ

∂xi

(x) = −

∂f

∂xi

(x, ξ(x))

∂f

∂y(x, ξ(x))

“Descricao Esquematica”:


Demonstracao:

64 CAPITULO 3

(E) Finalmente relacionamos superfıcies regulares com o Teorema da Funcao Implıcita:

Proposicao 3.5. Seja f : Ω (aberto) ⊂ IR3 → IR uma funcao “suave”(C∞).

Se r ∈ IR e um VALOR REGULAR de f , ou seja, f−1(r) nao possui pontos crıticos de

f , entao o conjunto S = f−1(r) e uma superfıcie regular.


Observacao:

No Teorema da Funcao Implıcita nao existe nada de especial em relacao a ultima coorde-

nada (y), alem da simplificacao da escrita na demonstracao.

Em geral: Se em c ∈ Ω temos f(c) = r e∂f

∂xj

(c) 6= 0 , entao existe uma certa vizinhanca

V de c tal que f−1(r) ∩ V e o grafico de uma funcao ξ : U(aberto) ⊂ IRm → IR de classe

Ck, onde xj = ξ(x1, . . . , xj−1, xj+1, . . . , xm, y) para os pontos do grafico dessa funcao ξ .

3.3 Generalizacao: Variedades diferenciaveis

Neste capıtulo foi introduzido o conceito de SUPERFICIE REGULAR no IR3 como mo-

tivacao para o estudo do Teorema da Funcao Implıcita, uma vez que este Teorema se relaciona

fortemente com a obtencao de superfıcies atraves de imagens inversas de valores regulares de

funcoes de IR3 em IR (veja Proposicao 3.5).

Na verdade o conceito de superfıcie regular no IR3 faz parte de uma nocao mais geral, ja

abordada em exercıcios sobre Gradiente (veja final do Capıtulo 2), a qual veremos a seguir.

Definicao 3.6. (Variedades Diferenciaveis)

Um subconjunto M ⊂ IRn e uma VARIEDADE DIFERENCIAVEL DE DIMENSAO m

(m ≤ n ) quando, para cada ponto p ∈ M existem uma vizinhanca V de p em IRn e uma

aplicacao χ : U → V ∩M definida num aberto U ⊂ IRm tal que:

(1) χ ∈ C∞(U) (χ e “suave”);

(2) χ e um homeomorfismo;

(3) Para todo q ∈ U , a derivada χ′(q) : IRm → IRn tem posto m, isto e, χ′(q) e injetora.

66 CAPITULO 3

Observacoes:

1) Comparando as definicoes apresentadas, e facil ver que uma superfıcie regular no IR3 e,

em particular, uma variedade diferenciavel de dimensao 2 no IR3 .

As variedades de dimensao 2 sao geralmente chamadas SUPERFICIES e as de dimensao 1

sao chamadas CURVAS.

2) Assim como utilizamos fortemente o Teorema da Funcao Implıcita para obtermos su-

perfıcies regulares, atraves da Proposicao 3.5 e utilizando funcoes de IR3 em IR , e possıvel

produzir variedades diferenciaveis de dimensao m no IRm+1, quando olhamos imagens inversas

de valores regulares de funcoes de IRm+1 em IR e utilizamos o mesmo Teorema da Funcao

Implıcita.

3) Existe tambem a definicao de variedade de classe Ck, quando na primeira condicao pede-

se que a parametrizacao χ seja apenas de classe Ck em U (k ≥ 1).

4) A terceira condicao na definicao de variedade diferenciavel, que χ′(q) : IRm → IRn seja

uma transformacao linear injetora para todo q ∈ U , confere a chamada REGULARIDADE a

variedade, garantindo a existencia de um ESPACO TANGENTE a variedade em cada um de

seus pontos.

Se a variedade em questao tem dimensao m, entao esse espaco tangente (em cada ponto)

e um espaco vetorial m-dimensional. No caso particular das SUPERFICIES (de dimensao 2)

temos o chamado PLANO TANGENTE em cada um de seus pontos.

3.4 Exercıcios

1. Utilizando a Proposicao 3.5, mostre que os exemplos (A) (PLANO), (B) (ESFERA) e

(C) (CILINDRO) representam superfıcies regulares no IR3 .

2. Consideremos uma circunferencia e uma reta, coplanares e disjuntas, no IR3. Girando

a circunferencia em torno da reta, obtemos um solido de revolucao chamado TORO.

Mostre que o Toro e uma superfıcie regular no IR3 e faca um esboco.

(Sugestao: Use a Proposicao 3.5 e, para simplificar as contas, considere o caso em que a reta

- eixo de rotacao - e um dos eixos cartesianos).


3. Seja f : U → IR de classe C1 no aberto U ⊂ IRn . Se f nao possui pontos crıticos,

prove que a imagem f(A) de todo aberto A ⊂ U e um conjunto aberto em IR , ou

seja, f e uma “aplicacao aberta”. Conclua que as projecoes πi : IRn → IR , dadas por

πi(x1, x2, . . . , xm) = xi sao aplicacoes abertas.

4. Considerando toda a notacao adotada no Teorema da Funcao Implıcita e os resultados

obtidos no mesmo, exceto as expressoes para as derivadas parciais de ξ , use a Regra da

Cadeia em f(x, ξ(x)) = r ∀ x ∈ B para DEDUZIR as expressoes obtidas paras as derivadas

parciais de ξ .

5. Seja f : IR3 → IR dada por f(x, y, z) = x4 + 2x · cos y + sen z .

Prove que numa vizinhanca de 0 = (0, 0, 0), a equacao f(x, y, z) = 0 define z como funcao

de classe C∞ das variaveis x e y e obtenha as derivadas parciais dessa funcao.

Agora obtenha essa funcao explicitamente e verifique os resultados obtidos acima.

6. Seja f : IR3 → IR dada por f(x, y, z) = x2 · y · z .

Prove que numa vizinhanca de (1, 1, 1), a equacao f(x, y, z) = 1 define x como funcao de

classe C∞ das variaveis y e z e obtenha as derivadas parciais dessa funcao.

Agora obtenha essa funcao explicitamente e verifique os resultados obtidos acima.

7. Seja g : IR5 → IR dada por g(u, v, w, x, y) = uy + vx + w + x6 .

Prove que numa vizinhanca de (2, 1, 0,−1, 0), a equacao g(u, v, w, x, y) = 0 define x como

funcao de classe C∞ das variaveis u, v, w e y, x = ξ(u, v, w, y) , e obtenha grad ξ (2, 1, 0, 0) .

Agora pense como seria difıcil (senao impossıvel !) obter a expressao explıcita da funcao

x = ξ(u, v, w, y) .

Perceba entao a forca do Teorema da Funcao Implıcita ao garantir a existencia de tal funcao

(de classe C∞ !!!), mesmo que nao possamos obter sua expressao explıcita. De “bandeja”,

pudemos tambem obter grad ξ (2, 1, 0, 0) .

8. Prove que a esfera unitaria S[0; 1] no IRm+1 e uma variedade diferenciavel de dimensao

m (por isso usamos a notacao Sm: S1 e a circunferencia unitaria no IR2, S2 e a esfera unitaria

no IR3, etc.).

68 CAPITULO 3

Capıtulo 4

Derivadas de ordem superior e a

Formula de Taylor

4.1 Inversao na ordem de derivacao: Teorema de Schwarz

Seja f = (f1, f2, . . . , fn) : U(aberto) ⊂ IRm → IRn .

Para todos j = 1, 2, . . . ,m temos as derivadas parciais de 1a ordem (m aplicacoes):

∂f

∂xj

: U → IRn

x 7→ ∂f

∂xj

(x)

Admitindo que cada uma dessas aplicacoes pode ser derivada parcialmente, temos para

todos k, j = 1, 2, . . . ,m as derivadas parciais de 2a ordem (m2 aplicacoes):

∂2f

∂xk∂xj

: U → IRn

x 7→ ∂2f

∂xk∂xj

(x)

(primeiro em relacao a xj e depois em relacao a xk)

Prosseguindo desta forma (se possıvel), temos as derivadas parciais de 3a ordem, de 4a

ordem, etc.

A questao e: Mudancas na ordem de derivacao parcial alteram o resultado ?

Por exemplo:∂2f

∂x1∂x3

=∂2f

∂x3∂x1

?

69

70 CAPITULO 4

Veremos uma condicao suficiente: se as derivadas parciais em questao sao contınuas entao

elas coincidem.

Observacoes:

1) Como∂f

∂xj

=

(∂f1

∂xj

,∂f2

∂xj

, . . . ,∂fn

∂xj

), podemos considerar, sem perda de generali-

dade, f : U(aberto) ⊂ IRm → IR (funcao).

2) Como derivadas parciais de ordem superior a 1 sao sempre tomadas iteradamente

Exemplo:∂3f

∂x1∂x3∂x2

=∂

∂x1

(∂2f

∂x3∂x2

)vamos considerar, novamente sem perda de generalidade, f : U(aberto) ⊂ IR2 → IR , para

obtermos∂2f

∂y∂x=

∂2f

∂x∂ysob certas condicoes.

O lema tecnico abaixo ira nos ajudar na obtencao do resultado desejado

Lema 4.1. Sejam f : U(aberto) ⊂ IR2 → IR e (a, b) ∈ U .

Se existem∂f

∂xe

∂2f

∂y∂xem U e

∂2f

∂y∂x: U → IR e contınua em (a, b) entao

∂2f

∂y∂x(a, b) = lim

(h,k)→(0,0)

f(a + h, b + k)− f(a + h, b)− f(a, b + k) + f(a, b)

h · k

Demonstracao:

Seja dado ε > 0 . Como∂2f

∂y∂xe contınua em (a, b) , existe δ > 0 tal que

|h| < δ , |k| < δ ⇒∣∣∣∣ ∂2f

∂y∂x(a + h, b + k) − ∂2f

∂y∂x(a, b)

∣∣∣∣ < ε (I)

Fixemos |k| < δ e definamos para todo |h| < δ :

Bk(h) = f(a + h, b + k)− f(a + h, b)

Como existe∂f

∂xem U , temos que Bk e derivavel e

B′k(z) =

∂f

∂x(a + z, b + k)− ∂f

∂x(a + z, b) (II)

Derivadas de ordem superior e a Formula de Taylor 71

Observemos que A(h, k) = f(a+h, b+k)−f(a+h, b)−f(a, b+k)+f(a, b) = Bk(h)−Bk(0)

e segue portanto do Teorema do Valor Medio de Lagrange que

A(h, k) = B′k(h0) · h , com 0 < |h0| < |h|

Agora, de (II) e novamente do TVML, temos

B′k(h0) =

∂f

∂x(a + h0, b + k)− ∂f

∂x(a + h0, b) =

∂2f

∂y∂x(a + h0, b + k0) · k , com 0 < |k0| < |k|

Assim, obtemos:

A(h, k)

h · k=

∂2f

∂y∂x(a + h0, b + k0) , com

0 < |h0| < |h|0 < |k0| < |k|

(III)

De (I) e (III) temos finalmente:

0 < |h| < δ , 0 < |k| < δ ⇒∣∣∣∣ A(h, k)

h · k− ∂2f

∂y∂x(a, b)

∣∣∣∣ < ε

Finalmente temos o ...

Teorema 4.2. (Schwarz) Sejam f : U(aberto) ⊂ IR2 → IR e (a, b) ∈ U .

Se existem∂f

∂x,

∂f

∂y,

∂2f

∂y∂xem U e

∂2f

∂y∂x: U → IR e contınua em (a, b) , entao

existe∂2f

∂x∂y(a, b) e temos ainda

∂2f

∂x∂y(a, b) =

∂2f

∂y∂x(a, b) .

72 CAPITULO 4

Corolario 1. Se f : U(aberto) ⊂ IRm → IRn e de classe Ck em U entao suas derivadas

parciais ate a ordem k nao dependem da ordem em que sao calculadas.

Observacoes:

1) Seja f : IR2 → IR dada por f(x, y) =xy(x2 − y2)

x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0) e f(0, 0) = 0 .

Temos:∂2f

∂y∂x(0, 0) 6= ∂2f

∂x∂y(0, 0) (faca as contas)

Este exemplo mostra que a simples existencia das derivadas parciais de segunda ordem nao

garante o resultado obtido com o Teorema de Schwarz.

2) Existe uma outra versao do Teorema de Schwarz, pela qual exigimos apenas que f

seja k−vezes diferenciavel (veremos o significado das derivadas de ordem superior na proxima

secao) para garantirmos que as derivadas parciais ate a ordem k nao dependam da ordem em

que sao obtidas, ou seja, as aplicacoes nao precisam ser rigorosamente de classe Ck .


4.2 Derivadas de ordem superior

Vamos comecar estudando as derivadas de segunda ordem...

Definicao 4.3. Dizemos que uma aplicacao f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn e 2 VEZES

DIFERENCIAVEL no ponto a ∈ U quando existe um aberto V ⊂ IRm , com a ∈ V ⊂ U ,

tal que f e diferenciavel em V (∃ f ′(x) ∀ x ∈ V ) e a aplicacao derivada f ′ : V → L(IRm; IRn)

x 7→ f ′(x)e diferenciavel em a .

Observacoes:

1) Uma aplicacao e diferenciavel num ponto se, e somente se, suas funcoes coordenadas sao

todas diferenciaveis neste ponto.

2) As funcoes coordenadas de f ′ : V → L(IRm; IRn) sao as m.n derivadas parciais

∂fi

∂xj

: V → IR .

Pelas observacoes acima, temos entao a seguinte caracterizacao:

Proposicao 4.4. Uma aplicacao f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn e 2 vezes diferenciavel no

ponto a ∈ U se, e somente se, f e diferenciavel numa vizinhanca aberta V de a (V ⊂ U) e

as m.n derivadas parciais∂fi

∂xj

: V → IR sao todas diferenciaveis em a.

Obs.: Fixado v = (v1, . . . , vm) ∈ IRm temos, para cada x ∈ V na proposicao acima:

∂f

∂v(x) = f ′(x)(v) = f ′(x)(v1e1 + . . . + vmem) =

= v1f′(x)(e1) + . . . + vmf ′(x)(em) = v1

∂f

∂x1

(x) + . . . + vm∂f

∂xm

(x)

Conseguimos assim uma nova caracterizacao:

Proposicao 4.5. Uma aplicacao f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn e 2 vezes diferenciavel no

ponto a ∈ U se, e somente se, f e diferenciavel numa vizinhanca aberta V de a (V ⊂ U) e,

para cada vetor v ∈ IRm , a derivada direcional∂f

∂v: V → IRn e diferenciavel em a.

Consideremos entao, a partir de agora, uma aplicacao f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn , 2

vezes diferenciavel em um ponto a ∈ U .

74 CAPITULO 4

O que e f ′′(a) ?

Como f ′′(a) e a derivada de f ′ : V ⊂ IRm → L(IRm; IRn)x 7→ f ′(x)

no ponto a , temos entao

f ′′(a) : IRm → L(IRm; IRn) (LINEAR), ou seja,

f ′′(a) ∈ L( IRm; L(IRm; IRn) )

Ora, existe um isomorfismo natural entre L( IRm; L(IRm; IRn) ) e o espaco L(2 IRm; IRn)

das aplicacoes BILINEARES de IRm × IRm no IRn .

De fato, dada ϕ ∈ L( IRm; L(IRm; IRn) ) , ϕ pode ser vista como uma aplicacao bilinear

ϕ : IRm × IRm → IRn da seguinte forma:

ϕ(v, w) = [ϕ(v)] (w) ∀ v, w ∈ IRm

E claro que ϕ e bilinear, pois ϕ ∈ L( IRm; L(IRm; IRn) ) .

Voltando a derivada segunda de f no ponto a, tınhamos f ′′(a) ∈ L( IRm; L(IRm; IRn) ) .

Podemos portanto enxergar f ′′(a) ∈ L(2 IRm; IRn) da seguinte forma:

f ′′(a)(v, w) = [f ′′(a)(v)] (w) ∀ v, w ∈ IRm

Portanto f ′′(a) e uma aplicacao bilinear de IRm × IRm no IRn !!!

Uma vez esclarecida a natureza de f ′′(a) , vamos agora tentar enxergar melhor sua atuacao

enquanto aplicacao bilinear.

Dados v, w ∈ IRm , temos:

f ′′(a)(v, w) = [f ′′(a)(v)] (w) =

[∂f ′

∂v(a)

](w) =

[limt→0

f ′(a + tv)− f ′(a)

t

](w) =

= limt→0

[f ′(a + tv)− f ′(a)

t

](w)

= lim

t→0

f ′(a + tv)(w)− f ′(a)(w)

t=

= limt→0

∂f

∂w(a + tv)− ∂f

∂w(a)

t=

∂

∂v

(∂f

∂w

)(a) =

∂2f

∂v∂w(a) .


Obs.: Considerando ainda o Teorema de Schwarz (∂2f

∂v∂w(a) =

∂2f

∂w∂v(a) quando f e

2 vezes diferenciavel em a) segue que f ′′(a) e uma aplicacao bilinear e SIMETRICA.

Podemos portanto resumir os resultados obtidos da seguinte forma:

Se f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn e 2 vezes diferenciavel no ponto a ∈ U entao

f ′′(a) e uma aplicacao bilinear e simetrica de IRm × IRm no IRn e temos

f ′′(a)(v, w) =∂2f

∂v∂w(a) ∀ v, w ∈ IRm .

Definimos entao diferenciabilidade para ordens superiores, de maneira indutiva:

Definicao 4.6. Uma aplicacao f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn e dita k VEZES DIFEREN-

CIAVEL no ponto a ∈ U quando existe um aberto V ⊂ IRm , com a ∈ V ⊂ U , tal que

f e diferenciavel em V e a aplicacao derivada f ′ : V → L(IRm; IRn)

x 7→ f ′(x)

e (k − 1) vezes

diferenciavel em a .

Prosseguindo de forma analoga ao estudo que fizemos para a derivada segunda, podemos

chegar a conclusoes semelhantes para derivadas de 3a ordem, de 4a ordem, etc.

Assim, de um modo geral, podemos concluir que...

Se f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn e k vezes diferenciavel no ponto a ∈ U entao

f (k)(a) e uma aplicacao k-linear e simetrica de IRm × . . .× IRm (k vezes) no IRn e

temos

f (k)(a)(v1, . . . , vk) =∂kf

∂v1∂v2 . . . ∂vk

(a) ∀ v1, . . . , vk ∈ IRm .

Obs.: NOTACAO: Dado v ∈ IRm , iremos considerar

f (k)(a) · v(k) = f (k)(a)(v, . . . , v) .

sendo (v, . . . , v) ∈ IRm × . . .× IRm (k vezes).

76 CAPITULO 4

4.3 A Formula de Taylor

A Formula de Taylor infinitesimal

Lema 4.7. Seja B ⊂ IRm uma bola aberta de centro 0. Se r : B → IRn e s vezes diferenciavel

em B, s + 1 vezes diferenciavel no ponto 0 e, alem disso, r(j)(0) = 0 para 0 ≤ j ≤ s + 1 ,

entao

limx→0

r(x)

‖x‖s+1 = 0 .

Teorema 4.8. (Taylor infinitesimal) Seja U (aberto) ⊂ IRm . Se f e s vezes diferenciavel

em U e, num ponto a ∈ U , existe f (s+1)(a) , entao

f(a + h) = f(a) + f ′(a) · h +1

2!f ′′(a) · h(2) + . . . +

1

(s + 1)!f (s+1)(a) · h(s+1) + r(h) ,

com

limh→0

r(h)

‖h‖s+1 = 0

A Formula de Taylor com resto integral

Teorema 4.9. (Taylor com resto integral) Seja f : U ⊂ IRm → IRn uma aplicacao de classe

C(s+1) . Se o segmento de reta [a, a + h] esta contido no aberto U , entao

f(a + h) = f(a) + f ′(a) · h +1

2!f ′′(a) · h(2) + . . . +

1

s!f (s)(a) · h(s) + r(h) ,

com

r(h) =

∫ 1

0

(1− t)s

s!f (s+1)(a + th) · h(s+1) dt .

A Formula de Taylor com resto de Lagrange

Teorema 4.10. (Taylor com resto de Lagrange) Seja f : U ⊂ IRm → IRn; uma aplicacao de

classe C(s+1) . Se o segmento de reta [a, a + h] esta contido no aberto U e se tivermos ainda∥∥f (s+1)(x) · w(s+1)∥∥ ≤ M. ‖w‖(s+1) para todo x ∈ [a, a + h] e todo w ∈ IRm , entao

f(a + h) = f(a) + f ′(a) · h +1

2!f ′′(a) · h(2) + . . . +

1

s!f (s)(a) · h(s) + r(h) ,

com

‖r(h)‖ ≤ M

(s + 1)!‖h‖s+1 .

Referencias

[1] Bartle, Robert G., Elementos de Analise Real, Editora Campus

[2] Lima, Elon L., Curso de Analise, vol. 2, Projeto Euclides, IMPA

[3] Lima, Elon L., Analise no Espaco IRn, Editora Edgard Blucher LTDA.

[4] Lima, Elon L., Analise Real, vol. 2, Colecao Matematica Universitaria, IMPA

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Notas de aulas André Arbex Hallack Janeiro/2008 · No¸cões Topológicas no IRn 3 A...

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