Notas de Aulas de Calculo Diferencial e Integral IIIprofandersonvieira.com/EC4AN/Calculo_III.pdf ·...

GRADUACAO EM ENGENHARIA CIVIL

PROF. DR. ANDERSON DA SILVA VIEIRA

Notas de Aulas deCalculo Diferencial e Integral III

Cotia

2017

SUMARIO

Introducao 3

Programacao - EC4AN 4

1 Topicos preliminares 5

1.1 Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Funcoes Vetoriais 7

2.1 Conceitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Limites e Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4 Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5 Comprimento de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Funcoes de varias variaveis 13

3.1 Funcoes de Duas Variaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1.1 Grafico de uma funcao de duas variaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.1.2 Curvas de nıvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 Funcoes de tres variaveis e superfıcies de nıvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3 Limite e Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.4 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 Derivadas parciais 19

SUMARIO 2

4.1 Definicao e interpretacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.1.1 Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.2 Funcoes Diferenciaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.3 Planos Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.4 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.5 Derivadas Direcionais e o Vetor gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.5.1 Vetor Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.5.2 Funcoes de Tres variaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.5.3 Maximizando a Derivada Direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.6 Valores maximos e mınimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5 Integrais Multiplas 31

5.1 Integrais Duplas sobre Retangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.1.1 Revisao da Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.1.2 Volumes e Integrais Duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.2 Integrais Iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.3 Integrais Duplas sobre regioes genericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.4 Propriedades da Integral Dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.5 Integrais Duplas em coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.6 Aplicacoes das Integrais Duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.6.1 Densidade e Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.6.2 Momentos e Centro de Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.6.3 Momento de Inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.7 Area de Superfıcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.8 Integrais Triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.8.1 Aplicacoes de Integral Tripla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.9 Integrais Triplas em coordenadas cilındricas e esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.9.1 Coordenadas Cilındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.9.2 Coordenadas Esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Referencias 47

INTRODUCAO

Aqui encontra-se as notas de aulas da disciplina Calculo III dadas ao curso de Engenharia Civil

na Faculdade Mario Schenberg para as turmas que estao no quarto semestre do curso.

Tais notas tem como referencias os seguinte livros: [1], [2], [3].

PROGRAMACAO - EC4AN

Avaliacoes

• Diversificadas:

1a 27/09

2a 22/11

• Multidisciplinar: 14/11

• Oficial: 06/12

• Substitutiva: 13/12

• Exame: 20/12

A Media das Avaliacoes Diversificas sera calculada atraves da seguinte formula:

D1 + 0, 7D2 + T

2+ 0, 3M

2.

onde T representa o somatorios dos trabalhos feitos durante o semestre.

Referencias

1. STEWART, James. Calculo v. 2. Thomson Learning, Sao Paulo: Pioneira, 4a edicao, 2001.

2. BOULOS, P, ABUD Z. I, Calculo Diferencial e Integral. v. 2. Sao Paulo: Pearson Education,Makron Books, 2006.

3. SWOKOWSKI, E. W. Calculo com geometria analıtica. v. 2. Sao Paulo: Makron Books, 1995.

4. GUIDORIZZI, H. L. Um curso de calculo. v. 3. Rio de Janeiro: LTC, 2004.

5. AYRES JR., F, MENDELSON E., Calculo Diferencial e Integral. Sao Paulo: Makron Books, 1999.

CAPITULO 1

TOPICOS PRELIMINARES

1.1 Funcoes

Dados dois conjuntos nao vazios A ⊂ R e B ⊂ R, uma relacao (ou correspondencia) que associa

a cada elemento x ∈ A um unico elemento y ∈ B recebe o nome de funcao de A em B. Notacao:

f : A → B

Funcao

R R

b

A B

bx y = f(x)

f

O subconjunto A e chamado domınio de f e pode ser denotado por Dom(f). O subconjunto B e

chamado contradomınio de f . Definimos o conjunto imagem da f : A → B para ser

Im(f) = {y ∈ B|y = f(x), x ∈ A}.

O grafico de f e o conjunto

Graf(f) = {(x, f(x))|x ∈ Dom(f)} .

Nota

⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆

1.1 Funcoes 6

x

y

A

B

x

f(x) = y

f

b

(x, f(x))

Exemplo 1.1.1. Determine o domınio de

(a) f(x) = 2x − 1

(b) f(x) = x2

(c) f(x) = x3

(d) f(x) =3√

x − 1

(e) f(x) =8√

x2 − 4

(f) f(x) =1

x − 8+

√x − 5

(g) f(x) =

√x − 4

x2 − 9

(h) f(x) = cos(x)

CAPITULO 2

FUNCOES VETORIAIS

2.1 Conceitos

Uma funcao vetorial e uma funcao cujo domınio e um conjunto de numeros reais e cuja imagem

e um conjunto de vetores.

Seja−→F : A ⊂ R → R

n uma funcao de uma variavel real a valores em Rn. Para cada t ∈ A, temos−→

F (t) = (F1(t), . . . , Fn(t)). As n funcoes Fi : A → R sao chamadas as funcoes coordenadas de−→F .

O domınio de−→F sao todos os valores de t para os quais a expressao

−→F esta definida.

Casos particulares:

• n = 2:

~r(t) = r(t) = f(t)~i + g(t)~j = (f(t), g(t)), t ∈ I = [a, b]

• n = 3:

~r(t) = r(t) = f(t)~i + g(t)~j + h(t)~k = (f(t), g(t), h(t)) t ∈ I = [a, b]

2.2 Limites e Continuidade 8

Exemplo 2.1.1. Determine as funcoes coordenadas e o domınio da funcao vetorial

~r(t) = t3~i + ln(3 − t)~j +√

t~k

Exemplo 2.1.2. Encontre a funcao vetorial que descreve a curva de interseccao do cilindro x2 + y2 = 4

e o plano x + y + 2z = 4.

Dadas−→F (t) = (F1(t), . . . , Fn(t)) e

−→G(t) = (G1(t), . . . , Gn(t)) definimos

• a funcao F · G : A → R dada por

−→F (t) · −→

G(t) = F1(t)G1(t) + · · · + Fn(t)Gn(t)

a qual chamamos de produto escalar de−→F e

−→G .

• em R3 a funcao F ∧ G : A → R dada por

−→F (t) ∧ −→

G(t) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~i ~j ~k

F1(t) F2(t) F3(t)

G1(t) G2(t) G3(t)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a qual chamamos de produto vetorial de−→F e

−→G .

Exemplo 2.1.3. Considere−→F (t) = t3~i + ln(3 − t)~j +

√t~k e

−→G(t) = cos(t)~i + sin(t)~j + t~k. Calcule:

(a)−→F (t) · −→

G(t)

(b)−→F (t) ∧ −→

G(t)

2.2 Limites e Continuidade

Seja−→F : A ⊂ R → R

n uma funcao de uma variavel real a valores em Rn e L = (L1, . . . , Ln) ∈ R

n,

entao

limt→t0

−→F (t) = L ⇔ lim

t→t0

Fi(t) = Li, i = 1, . . . , n.

Exemplo 2.2.1. Seja−→F (t) = cos(t)~i + sin(t)~j + t~k, calcule lim

t→ π

4

−→F (t).

Exemplo 2.2.2. Seja−→F (t) = cos(t)~i + sin(t)~j + t~k, calcule lim

h→0

−→F (t + h) − −→

F (t)

h.

2.3 Derivada 9

Definicao 2.2.1. Sejam−→F : A ⊂ R → R

n e t0 ∈ A. Definimos

−→F e contınua em t0 ⇔ lim

t→t0

−→F (t) =

−→F (t0).

Dizemos que−→F e contınua em B ⊂ A, se

−→F for contınua em todo t ∈ B e que

−→F e contınua, se

for contınua para cada t no seu domınio.

2.3 Derivada

Definicao 2.3.1. Sejam−→F : A ⊂ R → R

n e t0 ∈ A. Definimos a derivada de−→F em t0 por

−→F ′(t0) =

d−→F

dt(t0) = lim

t→t0

−→F (t) − −→

F (t0)

t − t0

desde que o limite exista.

Se−→F admite derivada em t0, entao diremos que

−→F e derivavel ou diferenciavel em t0. Dizemos

que−→F e diferenciavel em B ⊂ Dom(f), se

−→F for diferenciavel em todo t ∈ B e que

−→F e diferenciavel, se

o for para cada t no seu domınio.

Vejamos uma interpretacao para uma curva C em R3. Suponhamos que a curva C e dada pela

funcao vetorial −→F (t) = F1(t)~i + F2(t)~j + F3(t)~k.

xy

z

C

b

b

PQ

−→F (t) − −→

F (t0)

−→F (t)

−→F (t0)

xy

z

C

b

b

PQ

−→F (t) − −→

F (t0)

t − t0

−→F (t)

−→F (t0)

−→F ′(t)

Logo,

d−→F

dt(t0) = lim

t→t0

−→F (t) − −→

F (t0)

t − t0

= limt→t0

(F1(t)~i + F2(t)~j + F3(t)~k) − (F1(t0)~i + F2(t0)~j + F3(t0)~k

t − t0

= limt→t0

(F1(t) − F1(t0)

t − t0

~i +F2(t) − F2(t0)

t − t0

~j +F3(t) − F3(t0)

t − t0

~k

= F ′1(t0)~i + F ′

2(t0)~j + F ′3(t0)~k.

2.3 Derivada 10

De modo geral, temos o resultado

Teorema 2.3.1. Sejam−→F = (F1, . . . , Fn) e t0 ∈ Dom(

−→F ). Entao,

−→F sera derivavel em t0 se, e somente

se, cada coordenada de−→F o for; alem disso, se

−→F for derivavel em t0

−→F ′(t0) = (F ′

1(t0), . . . , F ′n(t0)).

Com a interpretacao geometrica, temos a seguinte definicao

Definicao 2.3.2. Seja−→F : A → R

n derivavel em t0, com

−→F

dt(t0) 6= ~0. Dizemos que

−→F

dt(t0) e um vetor

tangente a trajetoria de−→F , em

−→F (t0). A reta

X =−→F (t0) + λ

−→F

dt(t0), λ ∈ R

denomina-se reta tangente a trajetoria de−→F no ponto

−→F (t0).

Exemplo 2.3.1. Seja−→F (t) =

(

sin(3t), et2

, t)

. Calcule−→F ′(t) e

−→F ′(0)

Exemplo 2.3.2. Seja −→r (t) =(

t2, arctan(2t), e−t)

. Calculed−→rdt

ed2−→rdt2

Exemplo 2.3.3. Seja−→F (t) = (cos(t), sin(t)), t ∈ R. Determine a equacao da reta tangente a trajetoria

de−→F no ponto

−→F

(

π

4

)

.

Teorema 2.3.2 (Regras de Derivacao). Sejam−→F ,

−→G : A → R

n, f : A → R derivaveis em A. Entao,

(a)d

dt(−→F ± −→

G)(t) =d−→F

dt(t) ± d

−→G

dt(t)

(b)d

dt(f

−→F )(t) = f ′(t)

−→F (t) + f(t)

d−→F

dt(t)

(c)d

dt(−→F · −→

G)(t) =d−→F

dt(t) · −→

G(t) +−→F (t) · d

−→G

dt(t)

(d)d

dt(−→F ◦ f)(t) =

d−→F

dt(f(t))f ′(t)

(e) para n = 3,d

dt(−→F ∧ −→

G)(t) =d−→F

dt(t) ∧ −→

G(t) +−→F (t) ∧ d

−→G

dt(t)

Exemplo 2.3.4. Seja−→F : A → R

n derivaveis em A e tal que∥

∥

∥

−→F (t)

∥

∥

∥ = k, para todo t ∈ A e k uma

constante. Prove que

−→F (t) · d

−→F

dt(t) = 0

para todo t ∈ A.

2.4 Integral 11

Vimos que −→F ′(t0) = (F ′

1(t0), . . . , F ′n(t0)).

Logo, −→F ′′(t0) = (F ′′

1 (t0), . . . , F ′′n (t0)).

De forma geral, −→F (n)(t0) = (F

(n)1 (t0), . . . , F (n)

n (t0)),

onde n ≥ 1 e um numero natural.

Derivadas de ordem superiores

⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆

2.4 Integral

Definicao 2.4.1. Se−→F : [a, b] → R

n e uma funcao contınua em [a, b], dividimos o intervalo [a, b] em k

subintervalos de comprimentos iguais ∆t =b − a

k. Seja to(= a), t1, t2, t3, . . . , tk(= b) os extremos desses

subintervalos e vamos escolher os pontos amostrais t∗1, t∗

2, . . ., t∗k nesses subintervalos de tal forma que

t∗i esta no i-esimo subintervalo [ti−1, ti]. Entao a integral definida de

−→F e

∫ b

a

−→F (t) dt = lim

k→∞

k∑

i=1

−→F (t∗

i )∆t.

Entao, escrevendo−→F = (F1, . . . , Fn), da definicao acima,

∫ b

a

−→F (t) dt = lim

k→∞

k∑

i=1

−→F (t∗

i )∆t

=

(

limn→∞

k∑

i=1

F1(t∗i )∆t, . . . , lim

k→∞

k∑

i=1

Fn(t∗i )∆t

)

=

(

∫ b

aF1(t) dt, . . . ,

∫ b

aFn(t) dt

)

Se−→F for integravel em [a, b] e

−→G uma primitiva de

−→F em [a, b] teremos

∫ b

a

−→F (t) dt =

−→G(b) − −→

G(a).

Exemplo 2.4.1. Calcule

∫ 1

0t~i + 4~j + t2~k dt.

2.5 Comprimento de arco 12

2.5 Comprimento de arco

Suponhamos que uma curva C seja definida pela equacao γ : [a, b] → Rn, onde γ e derivavel em

[a, b].

Definicao 2.5.1 (Comprimento de Arco). Definimos comprimento L(γ) da curva γ por

L(γ) =

∫ b

a

∥

∥γ′(t)∥

∥ dt.

Exemplo 2.5.1. Calcule o comprimento da curva γ(t) = (cos(t), sin(t), t), t ∈ [0, 2π].

CAPITULO 3

FUNCOES DE VARIAS VARIAVEIS

Ate o momento, trabalhamos apenas com funcoes de uma variavel. No entanto, frequentemente,

encontramos situacoes em que uma quantidade depende de duas, tres ou mais quantidades. Por exemplo:

• Volume de um cilindro de raio r e altura h:

V = V (r, h) = πr2h

• Volume de uma caixa retangular de largura l, comprimento w e altura h:

V = V (l, w, h) = lwh

3.1 Funcoes de Duas Variaveis

Definicao 3.1.1 (Funcao de duas variaveis). Seja D = {(x, y)|x, y ∈ R} um subconjunto do plano xy

(R2). Uma funcao f de duas variaveis e uma relacao que associa a cada par ordenado de numeros

reais (x, y) ∈ D a um numero real z. O conjunto D e chamado de domınio de f e o conjunto dos valores

correspondentes de z e chamado de imagem de f , dito de outra forma,

Im(f) = {z ∈ R|z = f(x, y), (x, y) ∈ D} .

As variaveis x e y sao chamadas de variaveis independente e z de variavel dependente.

3.1 Funcoes de Duas Variaveis 14

x

y

x

y

z

b

(x, y)+ z = f(x, y)

f

Exemplo 3.1.1. Seja f(x, y) = x2 − xy + 2y. Encontre o domınio de f e os valores f(1, 2), f(2, 1),

f(x2, y) e f(x + y, x − y).

Exemplo 3.1.2. Encontre e desenhe o domınio das funcoes:

(a) f(x, y) =√

y2 − x

(b) f(x, y) =ln(x + y + 1)

y − x

3.1.1 Grafico de uma funcao de duas variaveis

Definicao 3.1.2 (Grafico). Seja f uma funcao de duas variaveis com domınio D. O grafico de f e o

conjunto

S = Graf(f) = {(x, y, z)|z = f(x, y), (x, y) ∈ D}

S e tambem chamada de superfıcie.

3.2 Funcoes de tres variaveis e superfıcies de nıvel 15

3.1.2 Curvas de nıvel

Definicao 3.1.3. As curvas de nıvel de uma funcao f de duas variaveis sao as curvas no plano xy

com equacoes f(x, y) = k, onde k e uma constante na imagem de f .

A curva de nıvel com equacao f(x, y) = k e o conjunto de todos os ponto no domınio de f

correspondente para os pontos sobre a superfıcie z = f(x, y) tendo a mesma altura k. Quando desenhamos

as curvas de nıvel para diversos valores de k na imagem, obtemos uma aplicacao de contorno.

Exemplo 3.1.3. Esboce uma aplicacao de contorno para a funcao definida por f(x, y) = y − x.

Exemplo 3.1.4. Esboce uma aplicacao de contorno para a superfıcie descrita por f(x, y) = x2+y2 usando

os nıveis 0, 1, 4, 9 e 16.

3.2 Funcoes de tres variaveis e superfıcies de nıvel

Definicao 3.2.1 (Funcao de tres variaveis). Seja D = {(x, y, z)|x, y, z ∈ R} um subconjunto do espaco

xyz (R3). Uma funcao f de tres variaveis e uma relacao que associa a cada tripla ordenada de numeros

reais (x, y, z) ∈ D a um numero real w. O conjunto D e chamado de domınio de f e o conjunto dos

valores correspondentes de z e chamado de imagem de f , dito de outra forma,

Im(f) = {w ∈ R|w = f(x, y, z), (x, y, z) ∈ D} .

As variaveis x, y e z sao chamadas de variaveis independente e w de variavel dependente.

Definicao 3.2.2. As curvas de nıvel de uma funcao f de tres variaveis sao as superfıcies no espaco

xyz com equacoes f(x, y, z) = k, onde k e uma constante na imagem de f .

Exemplo 3.2.1. Encontre os superfıcies de nıvel da funcao f definida por

f(x, y, z) = x2 + y2 + z2

3.3 Limite e Continuidade 16

3.3 Limite e Continuidade

Definicao 3.3.1. Seja f uma funcao de duas variaveis cujo domınio D contem pontos arbitrarios pro-

ximos de (a, b). Entao, dizemos que o limite de f(x, y) quanto (x, y) converge para (a, b) e L e

escrevemos

lim(x,y)→(a,b)

f(x, y) = L,

se para todo numero ε > 0, existe uma numero correspondente δ > 0 tal que

se (x, y) ∈ D e 0 <√

(x − a)2 + (y − b)2 < δ, entao |f(x, y) − L| < ε.

x

y

a

b

z

b

(a, b)

f

δ

(x, y)

b LL − ε

L + ε

Podemos escrever√

(x − a)2 + (y − b)2 = ‖(x, y) − (a, b)‖.Notacao

⋆⋆

Exemplo 3.3.1. Se f(x, y) = k e uma funcao constante, entao, para todo (a, b) em R2,

lim(x,y)→(a,b)

f(x, y) = k.

Exemplo 3.3.2. Suponhamos que lim(x,y)→(a,b)

f(x, y) = L. Seja γ uma curva em R2, contınua em t0, com

γ(t0) = (a, b) e, para todo t 6= t0, γ(t) 6= γ(t0) com γ(t) ∈ D. Entao, limt→t0

f(γ(t)) = L.

O Exemplo acima nos garante que se existem duas curvas γ1 e γ2 nas mesmas hipoteses e

limt→t0

f(γ1(t)) = L1 e limt→t0

f(γ2(t)) = L2

com L1 6= L2, entao lim(x,y)→(a,b)

f(x, y) nao existira.

Nota

⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆

3.4 Propriedades 17

Exemplo 3.3.3. Se f(x, y) =x2 − y2

x2 + y2tem limite em (0, 0)? Justifique.

Exemplo 3.3.4. Se f(x, y) =xy

x2 + y2tem limite em (0, 0)? Justifique.

Exemplo 3.3.5. Seja f(x, y) =2xy2

x2 + y4.

(a) Descreva as curvas de nıvel.

(b) Considere a reta γ(t) = (at, bt), com a2 + b2 > 0; mostre que, quaisquer que sejam a e b,

limt→0

f(γ(t)) = 0.

(c) Calcule limt→0

f(δ(t)), onde δ(t) = (t2, t).

(d) lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) existe? Por que?

Exemplo 3.3.6. Mostre que lim(x,y)→(0,0)

3x2y

x2 + y2= 0

3.4 Propriedades

1. (Teorema do confronto) Se f(x, y) ≤ g(x, y) ≤ h(x, y), para 0 < ‖(x, y) − (a, b)‖ < r e se

lim(x,y)→(a,b)

f(x, y) = lim(x,y)→(a,b)

h(x, y),

entao,

lim(x,y)→(a,b)

g(x, y) = L.

2. Se lim(x,y)→(a,b)

f(x, y) = 0 e se |g(x, y)| ≤ M , para 0 < ‖(x, y) − (a, b)‖ < r, onde r > 0 e M > 0 sao

reais fixos, entao

lim(x,y)→(a,b)

f(x, y)g(x, y) = 0.

3.4 Propriedades 18

3. Se lim(x,y)→(a,b)

f(x, y) = L1 e lim(x,y)→(a,b)

g(x, y) = L2, entao

(a) lim(x,y)→(a,b)

[f(x, y) + g(x, y)] = L1 + L2.

(b) lim(x,y)→(a,b)

kf(x, y) = kL1.

(c) lim(x,y)→(a,b)

f(x, y)g(x, y) = L1L2.

(d) lim(x,y)→(a,b)

f(x, y)

g(x, y)=

L1

L2, com L2 6= 0.

Exemplo 3.4.1. Calcule, caso exista, lim(x,y)→(0,0)

x3

x2 + y2

Exemplo 3.4.2. Calcule, caso exista, lim(x,y)→(0,0)

x2

x2 + y2

Definicao 3.4.1. Seja f uma funcao de duas variaveis cujo domınio D contem pontos arbitrarios proxi-

mos de (a, b). Entao, dizemos que f e contınua em (a, b) se

lim(x,y)→(a,b)

f(x, y) = f(a, b),

ou seja, se para todo numero ε > 0, existe uma numero correspondente δ > 0 tal que

se (x, y) ∈ D e ‖(x, y) − (a, b)‖ < δ, entao |f(x, y) − f(a, b)| < ε.

Diremos que f e contınua em D, se f e contınua em todo(a, b) ∈ D.

Exemplo 3.4.3. A funcao f(x, y) =

x2 − y2

x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)e contınua em (0, 0)? Justifique.

Exemplo 3.4.4. A funcao f(x, y) =

3x2

x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)e contınua em (0, 0)? Justifique.

Exemplo 3.4.5. Determine onde a funcao e contınua

(a) f(x, y) =xy(x2 − y2)

x2 + y2

(b) f(x, y) =1

y − x2

Teorema 3.4.1 (Continuidade de uma funcao composta). Se f e contınua em (a, b) e g e contınua em

f(a, b), entao a funcao composta h = g ◦ f definido por h(x, y) = g(f(x, y)) e contınua em (a, b).

Exemplo 3.4.6. Determine onde a funcao e contınua

(a) F (x, y) = sin(xy)

(b) G(x, y) =12 cos(2x2 + y2)

1 + 2x2 + y2

CAPITULO 4

DERIVADAS PARCIAIS

4.1 Definicao e interpretacao

Seja z = f(x, y) uma funcao real de duas variaveis e seja (a, b) ∈ Df . Fixemos y = b. Entao,

z = f(x, b) e uma funcao de uma variavel que e dada pela curva C que e interseccao do plano y = b com

a superfıcie z = f(x, y).

Se

limh→0

f(a + h, b) − f(a, b)

h

existe, mede o angulo da reta tangente T a curva C no ponto (a, b, f(a, b)) e a taxa de variacao de f(x, y)

com respeito a x.

Similarmente, fixando x = a, z = f(a, y) e uma funcao de uma variavel que e dada pela curva C

que e interseccao do plano x = a com a superfıcie z = f(x, y).

4.1 Definicao e interpretacao 20

Se

limk→0

f(a, b + k) − f(a, b)

k

existe, mede o angulo da reta tangente T a curva C no ponto (a, b, f(a, b)) e a taxa de variacao de f(x, y)

com respeito a y.

Diante do exposto acima, temos a definicao

Definicao 4.1.1. Sejam z = f(x, y) e (a, b) ∈ Df . A derivada parcial de f com respeito a x em

(a, b) e∂f

∂x(a, b) = lim

h→0

f(a + h, b) − f(a, b)

h= lim

x→a

f(x, b) − f(a, b)

x − a

e a derivada parcial de f com respeito a y em (a, b) e

∂f

∂y(a, b) = lim

k→0

f(a, b + k) − f(a, b)

k= lim

y→b

f(a, y) − f(a, b)

y − b

desde que cada limite exista.

Para calcular∂f

∂x, consideramos y como uma constante e diferenciamos na maneira usual com

respeito a x, uma operacao que denotamos por∂

∂x.

Para calcular∂f

∂y, consideramos x como uma constante e diferenciamos na maneira usual

com respeito a y, uma operacao que denotamos por∂

∂y.

Calculando as derivadas parciais

Exemplo 4.1.1. Seja f(x, y) = 2xy − 4y. Determine

(a)∂f

∂x(x, y)


(b)∂f

∂y(x, y)

(c)∂f

∂x(1, 1)

(d)∂f

∂y(−1, 1)

Exemplo 4.1.2. Seja z = f(x, y) = arctan(x2 + y2). Determine

(a)∂f

∂x(x, y)

(b)∂f

∂y(x, y)

(c)∂f

∂x(1, 1)

(d)∂f

∂y(0, 0)

Exemplo 4.1.3. Seja z = f(x, y) dada implicitamente por x2 + y2 + z2 = 1. Determine

(a)∂z

∂x

(b)∂z

∂y

A notacao∂f

∂x(x, y) e a derivada de f(x, y) com respeito a x, onde y e olhado como constante,

Por outro lado, a notacaod

dx[f(x, y)] e a derivada de f(x, y), onde y deve ser olhado como funcao

de x. Exemplos:∂

∂x(x2 + y2) = 2x

d

dx(x2 + y2) = 2x + 2y

dy

dx

Cuidados com notacao

Exemplo 4.1.4. Seja f(x, y) =

x3 − y2

x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)Calcule

(a)∂z

∂x

(b)∂z

∂y


Para funcoes de tres variaveis temos:

Definicao 4.1.2. Sejam w = f(x, y, z) e (a, b, c) ∈ Df . A derivada parcial de f com respeito a x

em (a, b, c) e

∂f

∂x(a, b, c) = lim

h→0

f(a + h, b, c) − f(a, b, c)

h= lim

x→a

f(x, b, c) − f(a, b, c)

x − a,

a derivada parcial de f com respeito a y em (a, b, c) e

∂f

∂y(a, b, c) = lim

k→0

f(a, b + k, c) − f(a, b, c)

k= lim

y→b

f(a, y, c) − f(a, b, c)

y − b

e a derivada parcial de f com respeito a z em (a, b, c) e

∂f

∂z(a, b, c) = lim

l→0

f(a, b, c + l) − f(a, b, c)

l= lim

z→c

f(a, b, z) − f(a, b, c)

z − c

desde que cada limite exista.

Exemplo 4.1.5. Calcule as derivadas parciais de f(x, y, z, w) = exyzw.

4.1.1 Derivadas de ordem superior

Consideremos a funcao z = f(x, y) de duas variaveis. Claramente,∂f

∂xe

∂f

∂ysao funcoes de x e

y. Entretanto, podemos determinar as derivadas parciais de cada uma dessas funcoes para obtermos as

quatros derivadas parciais de segunda ordem de f :

• fxx =∂2f

∂x2=

∂

∂x

(

∂f

∂x

)

• fxy =∂2f

∂y∂x=

∂

∂y

(

∂f

∂x

)

• fyx =∂2f

∂x∂y=

∂

∂x

(

∂f

∂y

)

• fyy =∂2f

∂y2=

∂

∂y

(

∂f

∂y

)

Chamamos fxy e fyx de derivadas parciais mistas.

Exemplo 4.1.6. Encontre as derivadas parciais de segunda ordem de f(x, y) = 2xy2 − 3x2 + xy3.

Teorema 4.1.1 (Teorema de Clairaut). Se f(x, y) e suas derivadas fx, fy, fxy e fyx sao contınuas em

uma regiao aberta R entao

fxy(x, y) = fyx(x, y).

Exemplo 4.1.7. Seja f(x, y, z) = xeyz. Determine fxzy e fyxz.

4.2 Funcoes Diferenciaveis 23

4.2 Funcoes Diferenciaveis

Definicao 4.2.1. Sejam f : A → R, A ⊂ R2 aberto e (a, b) ∈ A. Dizemos que f e diferenciavel em

(a, b) se, e somente se, existem reais a e b tais que

lim(h,k)→(0,0)

f(a + h, b + k) − f(a, b) − ah − bk

‖(h, k)‖ = 0.

Teorema 4.2.1. Se f e diferenciavel em (a, b), entao f e contınua em (a, b).

Teorema 4.2.2. Sejam f : A → R, A ⊂ R2 aberto e (a, b) ∈ A. Se f e diferenciavel em (a, b), entao f

admitira derivadas parciais em (a, b).

Corolario 4.2.2.1. Sejam f : A → R, A ⊂ R2 aberto e (a, b) ∈ A. Entao, f e diferenciavel em (a, b) se,

e somente se,

1. f admite derivadas parciais em (a, b);

2. lim(h,k)→(0,0)

E(h, k)

‖(h, k)‖ = 0, onde E(h, k) = f(a + h, b + k) − f(a, b) − ∂f

∂x(a, b)h − ∂f

∂y(a, b)k.

Dizemos que f e diferenciavel em B ⊂ Df , se f e diferenciavel para todo (x, y) ∈ B.

Exemplo 4.2.1. Prove que f(x, y) = x2y e diferenciavel.

Exemplo 4.2.2. Verifique se

f(x, y) =

2xy2

x2 + y4se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)

e diferenciavel em (0, 0).

Exemplo 4.2.3. Verifique se

f(x, y) =

x3

x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)

e diferenciavel em (0, 0).

O resultado a seguir nos da uma condicao suficiente para diferenciabilidade.

Teorema 4.2.3. Sejam f : A → R, A ⊂ R2 aberto e (a, b) ∈ A. Se as derivadas parciais

∂f

∂xe

∂f

∂yexistirem em A e forem contınuas em (a, b), entao f e diferenciavel em (a, b).

4.3 Planos Tangente

Suponhamos que a superfıcie S tenha equacao z = f(x, y), onde f tem derivadas parciais de

primeira ordem contınuas e seja P (x0, y0, z0) um ponto sobre S.

4.4 Regra da Cadeia 24

Uma equacao do plano tangente a superfıcie z = f(x, y) no ponto P (x0, y0, z0) e dada por

z − z0 =∂f

∂x(x0, y0)(x − x0) +

∂f

∂y(x0, y0)(y − y0).

Exemplo 4.3.1. Determine o plano tangente ao paraboloide elıptico z = 2x2 + y2 no ponto (1, 1, 3).

20

-2210-1-2

-15

-10

-5

0

5

10

15

4.4 Regra da Cadeia

Recordemos que a regra da cadeia para para funcoes de uma variavel da a regra para derivacao

de uma funcao composicao. Se y = f(x) e x = g(t), onde f e g sao funcoes diferenciaveis, entao y e uma

funcao diferenciavel de t edy

dt=

dy

dx.dx

dt.

Teorema 4.4.1 (Regra da Cadeia - Caso 1). Suponhamos que z = f(x, y) e uma funcao diferenciavel de

x e y, onde x = f(t) e y = g(t) sao ambas diferenciaveis de t. Entao, z e uma funcao diferenciavel de t e

dz

dt=

df

dx

dx

dt+

df

dy

dy

dt.

4.5 Derivadas Direcionais e o Vetor gradiente 25

Exemplo 4.4.1. Se z = x2y + 3xy4, onde x = sin(2t) e y = cos(t), encontredz

dtem t = 0.

Teorema 4.4.2 (Regra da Cadeia - Caso 2). Suponhamos que z = f(x, y) e uma funcao diferenciavel de

x e y, onde x = f(s, t) e y = g(s, t) sao ambas diferenciaveis de s e t. Entao, z e uma funcao diferenciavel

de s e t e

∂z

ds=

∂f

∂x

∂x

∂s+

∂f

∂y

∂y

∂se

∂z

dt=

∂f

∂x

∂x

∂t+

∂f

∂y

∂y

∂t.

Exemplo 4.4.2. Se z = ex sin(y), onde x(s, t) = st2 e y(s, t) = s2t, encontre∂z

dse

∂z

dt.

Teorema 4.4.3 (Regra da Cadeia - Caso Geral). Suponhamos que u e uma funcao diferenciavel de n

variaveis x1, x2, . . . , xn, onde cada xj e uma funcao diferenciavel de m variaveis t1, t2, . . . , tm. Entao, u

e uma funcao diferenciavel det1, t2, . . . , tm variaveis e

∂u

dti

=∂u

∂x1

∂x1

∂ti

+∂u

∂x2

∂x2

∂ti

+ · · · +∂u

∂xn

∂xn

∂ti

onde j = 1, 2, . . . , n.

Exemplo 4.4.3. Escreva a regra da cadeia para o caso onde w = f(x, y, z, t) e x = x(u, v), y = y(u, v),

z = z(u, v) e t = t(u, v).

Exemplo 4.4.4. Se u = x4y + y2z3, onde x = x(r, s, t) = rset, y = y(r, s, t) = rse−t e z = z(r, s, t) =

r2s sin(t), encontre os valor de∂u

∂sonde r = 2, s = 1 e t = 0.

Exemplo 4.4.5. Se g(s, t) = f(s2 − t2, t2 − s2) e f e diferenciavel, prove que g satisfaz a equacao

t∂g

∂s+ s

∂g

∂t= 0.

Exemplo 4.4.6. Se z = f(x, y) tem derivadas parciais de segunda ordem contınuas e x = r2 + s2 e

y = 2rs, encontre

(a)∂z

∂r

(b)∂2z

∂r2

4.5 Derivadas Direcionais e o Vetor gradiente

Suponhamos que queiramos determinar a taxa de variacao de z no ponto (x0, y0) na direcao de

um vetor unitario u = (a, b). Consideremos a superfıcies S com equacao z = f(x, y) e z0 = f(x0, y0). O

ponto P (x0, y0, z0) pertence a S. O plano vertical que passa por P na direcao de u intercepta S em uma

curva C. A inclinacao da reta tangente T a C em P e a taxa de variacao de z na direcao de u.


x

y

(x0, y0)sin(θ)

θ

cos(θ)

u

Definicao 4.5.1. A derivada direcional de f em (x0, y0) na direcao do vetor unitario u = (a, b) e

Duf(x0, y0) = limh→0

f(x0 + ha, y0 + hb) − f(x0, y0)

h

se o limite existir.

Teorema 4.5.1. Se f e uma funcao diferenciavel em x e y, entao f tem derivada direcional na direcao

de qualquer versor u = (a, b) e

Duf(x, y) = fx(x, y)a + fy(x, y)b.

Exemplo 4.5.1. Determine a derivada direcional Duf(x, y) se f(x, y) = x3 − 3xy + 4y2 e u e um vetor

unitario dado pelo angulo θ =π

6. Qual e Duf(1, 2)?

4.5.1 Vetor Gradiente

Note que

Duf(x, y) = fx(x, y)a + fy(x, y)b

= 〈(fx(x, y), fy(x, y)), (a, b)〉= 〈(fx(x, y), fy(x, y)), u〉

Definicao 4.5.2. Se f e uma funcao de duas variaveis x e y, o gradiente de f e a funcao vetorial ∇f

definida por

∇f(x, y) = (fx(x, y), fy(x, y)) =∂f

∂x~i +

∂f

∂y~j.

Exemplo 4.5.2. Se f(x, y) = sin(x) + exy. Determine:

(a) ∇f(x, y)


(b) ∇f(0, 1)

Pela definicao anterior, podemos escrever

Duf(x, y) = 〈∇f(x, y), u〉

Exemplo 4.5.3. Determine a derivada direcional da funcao f(x, y) = x2y3 − 4y no ponto (2, −1) na

direcao v = 2~i + 5~j.

∇f(−2, 1)v

y

x

(2,−1)

4.5.2 Funcoes de Tres variaveis

Definicao 4.5.3. A derivada direcional de f em (x0, y0, z0) na direcao do vetor unitario u = (a, b, c) e

Duf(x0, y0, z0) = limh→0

f(x0 + ha, y0 + hb, z0 + hc) − f(x0, y0, z0)

h


Definicao 4.5.4. Se f e uma funcao de tres variaveis x, y e z, o gradiente de f e a funcao vetorial

∇f definida por

∇f(x, y, z) = (fx(x, y, z), fy(x, y, z), fz(x, y, z)) =∂f

∂x~i +

∂f

∂y~j +

∂f

∂z~k.

Pela definicao, podemos escrever

Duf(x, y, z) = 〈∇f(x, y, z), u〉

4.6 Valores maximos e mınimos 28

Exemplo 4.5.4. Se f(x, y, z) = x sin(yz), determine

1. ∇f(x, y)

2. a derivada direcional de f no ponto (1, 3, 0) na direcao v =~i + 2~j − ~k

4.5.3 Maximizando a Derivada Direcional

Teorema 4.5.2. Suponha que f seja uma funcao diferenciavel de duas ou tres variaveis. O valor maximo

da derivada direcional Duf(x) e |∇f(x)| e ocorre quando u tem a mesma direcao que o vetor gradiente

∇f(x).

Exemplo 4.5.5. Se f(x, y) = xey, determine a taxa de variacao de f no ponto P (2, 0) na direcao de P

a Q(12 , 2). Em que direcao f tem a maxima taxa de variacao? Qual e a maxima taxa de variacao?

y

0

2

f(x, y) = xey

44

2

0

x

-400

-200

0

200

400

600

∇f(2, 0)

P

Q

Exemplo 4.5.6. Suponha que a temperatura num ponto (x, y, z) do espaco seja dada por T (x, y, z) =80

1 + x2 + y2 + 3z2, onde T e a medida em graus Celsius e x, y e z em metros. Em que direcao no ponto

(1, 1, −2) a temperatura aumenta mais rapidamente? Qual e a taxa maxima de aumento?

4.6 Valores maximos e mınimos

Definicao 4.6.1. Uma funcao f de duas variaveis tem maximo absoluto(ou maximo global) em

(a, b), se f((a, b)) ≥ f(x, y), para todo x ∈ D, onde D e o domınio de f . O numero f(a, b) e chamado

de valor maximo de f em D. Uma funcao f tem mınimo absoluto(ou mınimo global) em (a, b),

se f(a, b) ≤ f(x, y), para todo x ∈ D, onde D e o domınio de f . O numero f(a, b) e chamado de valor

mınimo de f em D. Os valores maximo e mınimos de f sao chamados de valores extremos de f .


Teorema 4.6.1. Se uma funcao f tem um maximo ou mınimo local em (a, b) e as derivadas parciais de

primeira ordem de f existem nesses pontos, entao fx(a, b) = 0 e fy(a, b) = 0.

Definicao 4.6.2. Um ponto (a, b) e dito ponto crıtico (ou ponto estacionario) de f se fx(a, b) = 0 e

fy(a, b) = 0, ou se as derivadas parciais nao existirem.

Exemplo 4.6.1. Determine os valores extremos de f(x, y) = x2 + y2 − 2x − 6y + 14.

Exemplo 4.6.2. Determine os valores extremos de f(x, y) = y2 − x2.

10

5y

f(x, y) = x2 + y2 − 2x− 6y + 14

0

-5-50

x

5100

5

10

15

20

-2

x0

f(x, y) = y2 − x2

22

0y

-2

-10

-5

0

5

10

Teorema 4.6.2 (Teste da derivada segunda). Suponhamos que as derivadas de segunda ordem de f sao

contınuas sobre um disco centrado em (a, b), fx(a, b) = 0 e fy(a, b) = 0. Seja

D = D(a, b) = fxx(a, b)fyy(a, b) − (fxy(a, b))2 =

∣

∣

∣

∣

∣

fxx(a, b) fxy(a, b)

fyx(a, b) fyy(a, b)

∣

∣

∣

∣

∣

(a) Se D > 0 e fxx(a, b) > 0, entao f(a, b) e um mınimo local.

(b) Se D > 0 e fxx(a, b) < 0, entao f(a, b) e um maximo local.

(c) Se D < 0, entao f(a, b) nao e um mınimo ou maximo local.

No caso (c) o ponto (a, b) e chamado de ponto de sela de f e o grafico de f corta seu plano

tangente em (a, b).

Exemplo 4.6.3. Encontre os valores de mınimo e maximo local e pontos de sela de f(x, y) = x4 + y4 −4xy + 1


-2

x0

2210

y-1-2

2

-2

4

5

-3

3

-1

0

1

f(x, y) = x4 + y4 − 4xy + 1

Exemplo 4.6.4. Encontre e classifique os pontos crıticos da funcao

f(x, y) = 10x2y − 5x2 − 4y2 − x4 − 2y4.

-4

-2

x

0

2

432

y10-1-2

-10

10

5

0

-5

f(x, y) = 10x2y − 5x2− 4y2 − x4

− 2y4

x

-3 -2 -1 1 2 3

y

-1.5

-1

-0.5

1

1.5

2

2.5

3

Exemplo 4.6.5. Encontre a menor distancia do ponto (1, 0, −2) para o plano x + 2y + z = 4.

Exemplo 4.6.6. Uma caixa retangular sem a tampa e feito de 12m2 de papelao. Encontre o volume

maximo da caixa.

Teorema 4.6.3 (Teorema de valores extremos). Se f e contınuo sobre um conjunto D limitado e fechado

D em R2, entao f assume maximo absoluto f(x1, y1) e mınimo absoluto f(x2, y2) em algum ponto (x1, y1)

e (x2, y2) em D

Exemplo 4.6.7. Encontre os valores maximo e mınimos absolutos da funcao f(x, y) = x2 − 2xy + 2y

sobre o retangulo D = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2}.

CAPITULO 5

INTEGRAIS MULTIPLAS

5.1 Integrais Duplas sobre Retangulos

Na tentativa de resolver o problema de determinar areas, chegamos a definicao de integral defi-

nida. Vamos aplicar procedimento semelhante para calcular volume de um solido e no processo chegar a

definicao de integral dupla.

5.1.1 Revisao da Integral Definida

Se f(x) e definida para a ≤ x ≤ b, subdividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos [xi−1, xi] de

comprimento igual ∆x =b − a

ne escolhemos pontos arbitrarios x∗

i em cada um desses subintervalos. Em

seguida, formamos a soma de Riemannn∑

i=1

f(x∗i )∆x

e tomando o limite dessa soma quando n → ∞ para obter a integral definida de a ate b da funcao f .

∫ b

af(x) dx = lim

n→∞

n∑

i=1

f(x∗i )∆x

No caso especial, em que f(x) ≥ 0, a soma de Riemann pode ser interpretada como a soma das

areas dos retangulos aproximados (da area) da figura abaixo e

∫ b

af(x) dx representa a area sob a curva

y = f(x) de a ate b.

5.1 Integrais Duplas sobre Retangulos 32

5.1.2 Volumes e Integrais Duplas

De modo semelhante, vamos considerar uma funcao f de duas variaveis definidas em um retangulo

fechado

R = [a, b] × [c, d] ={

(x, y) ∈ R2|a ≤ x ≤ b e c ≤ y ≤ d

}

e vamos supor inicialmente f(x, y) ≥ 0. O gra´fico de f e a superfıcie com equacao z = f(x, y). Seja S o

solido que esta contido na regiao acima de R e abaixo do grafico de f , ou seja,

S ={

(x, y, z) ∈ R3|0 ≤ z ≤ f(x, y)

}

.

Nosso objetivo e determinar o volume de S.

Dividiremos o retangulo R em sub-retangulos, ou seja, dividiremos o intervalo [a, b] em m interva-

los [xi−1, xi] e [c, b] em n intervalos [yi−1, yi] com os respectivos comprimentos ∆x =b − a

me ∆x =

d − c

n.

Assim temos os sub-retangulos

Rij = [xi−1, xi] × [yi−1, yi] ={

(x, y) ∈ R2|xi−1 ≤ x ≤ xi e yi−1 ≤ y ≤ yi

}

cada um dos quais com area ∆A = ∆x∆y.

5.1 Integrais Duplas sobre Retangulos 33

Vamos escolher um ponto arbitrario, que chamaremos ponto amostra, (x∗ij , y∗

ij) em cada Rij.

Note que o volume da parte de S que esta acima da regiao de cada Rij tem volume

f(x∗ij, y∗

ij)δA.

Entao,

V ≈m∑

i=1

n∑

j=1

f(x∗ij , y∗

ij)δA.

Portanto, se fizermos m, n → ∞, melhoraremos a estimativa e

V = limm,n→∞

m∑

i=1

n∑

j=1

f(x∗ij, y∗

ij)∆A

5.2 Integrais Iteradas 34

Sendo assim temos:

Definicao 5.1.1. A integral dupla de f sobre o retangulo R e

∫∫

Rf(x, y) dA = lim

m,n→∞

m∑

i=1

n∑

j=1

f(x∗ij, y∗

ij)∆A

se esse limite existir.

Se f(x, y) ≥ 0, entao o volume do solido que esta acima do retangulo R e abaixo da superfıcie

z = f(x, y) e

V =

∫∫

Rf(x, y) dA.

5.2 Integrais Iteradas

Suponha que f seja uma funcao de duas variaveis, contınua no retangulo R = [a, b] × [c, d].

Usaremos a notacao

∫ d

cf(x, y) dy significando que x e mantido constante e e f(x, y) e integrado em

relacao y de y = c ate y = d. Esse procedimento e chamado integracao parcial em relacao a y. Como∫ d

cf(x, y) dy e um numero que depende do valor de x, ele define uma funcao de x

A(x) =

∫ d

cf(x, y) dy.

Se integrarmos a funcao A com relacao a variavel x de x = a ate x = b obteremos

∫ b

aA(x) dx =

∫ b

a

[

∫ d

cf(x, y) dy

]

dx. (5.1)

A integral do lado direito da Equacao (5.1) e chamada integral iterada. Usualmente os colchetes sao

suprimidos. Entao,∫ b

a

∫ d

cf(x, y) dy dx =

∫ b

a

[

∫ d

cf(x, y) dy

]

dx, (5.2)

significando que primeiro integramos com relacao a y de c a d e depois em relacao a x de a ate b.

Da mesma forma, Entao,

∫ d

c

∫ b

af(x, y) dx dy =

∫ d

c

[

∫ b

af(x, y) dx

]

dx, (5.3)

significando que primeiro integramos com relacao a x de a ate b e depois em relacao a y de c a d.

Exemplo 5.2.1. Calcule o valor das integrais

(a)

∫ 3

0

∫ 2

1x2y dx dy

(b)

∫ 2

1

∫ 3

0x2y dy dx

5.2 Integrais Iteradas 35

Teorema 5.2.1 (Teorema de Fubini). Se f for contınua no retangulo

R = [a, b] × [c, d] ={

(x, y) ∈ R2|a ≤ x ≤ b e c ≤ y ≤ d

}

,

entao∫∫

Rf(x, y) dA =

∫ b

a

∫ d

cf(x, y) dy dx =

∫ d

c

∫ b

af(x, y) dx dy.

Da figura abaixo, podemos ver que A(x) e a area da curva C suja funcao e z = f(x, y), onde x

e mantida constante e c ≤ y ≤ d.

Portanto,

A(x) =

∫ d

cf(x, y) dy

e temos∫∫

Rf(x, y) dA = V =

∫ b

aA(x) dx =

∫ b

a

∫ d

cf(x, y) dy dx.

Exemplo 5.2.2. Calcule a integral

∫∫

R(x − 3y2) dA, onde R = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2}.


∫∫

R(y sin(xy)) dA, onde R = [1, 2] × [0, π].

Suponhamos que f pode ser fatorada da forma f(x, y) = g(x)h(y) e R = [a, b] × [c, d]. Entao,

pelo Teorema de Fubini,

∫∫

Rf(x, y) dA =

∫ b

a

∫ d

cg(x)h(y) dy dx =

∫ b

ag(x) dx

∫ d

ch(y) dy.


∫∫

Rsin(x) sin(y) dA, onde R =

[

0, π2

]

×[

0, π2

]

.

5.3 Integrais Duplas sobre regioes genericas 36

5.3 Integrais Duplas sobre regioes genericas

Para integrais unicas, a regiao sobra a qual integramos e sempre um intervalo. Mas para integrais

dupla, queremos integrar a funcao f nao somente sobre retangulos, mas tambem sobre regioes D de

formatos mais gerais, tal como a figura ilustrada abaixo:

Suponhamos que D e uma regiao limitada, o que significa que D pode ser cercada por uma regiao

retangular como a figura abaixo:

Entao, definimos a nova funcao F com domınio R por

F (x, y) =

{

f(x, y), (x, y) ∈ D

0, (x, y) ∈ R\D(5.4)

Se F e integravel sobre R, entao definimos a integral dupla de f sobre D por

∫∫

Df(x, y) dA =

∫∫

RF (x, y) dA,

onde F e dada pela equacao (5.4).

A regiao plana D e dita de tipo I se esta limitada entre graficos de duas funcoes contınuas de

5.3 Integrais Duplas sobre regioes genericas 37

x, isto e,

D = {(x, y)|a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)}

onde g1 e g2 sao contınuas sobre [a, b].

Definicao 5.3.1. Se f e contınua sobre uma regiao D do tipo I tal que

D = {(x, y)|a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)}

entao,∫∫

Df(x, y) dA =

∫ b

a

∫ g2(x)

g1(x)f(x, y) dy dx.

Tambem consideramos regioes planas do Tipo II, que pode ser expressa como

D = {(x, y)|c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y)}

onde h1 e h2 sao contınuas sobre [c, d].

Entao,∫∫

Df(x, y) dA =

∫ d

c

∫ h2(y)

h1(y)f(x, y) dx dy.

Exemplo 5.3.1. Avalie

∫∫

D(x + 2y) dA, onde D e a regiao limitada pelas parabolas y = 2x2 e y = 1+ x2

5.4 Propriedades da Integral Dupla 38

Exemplo 5.3.2. Determine o volume do solido que esta contido debaixo do paraboloide z = x2 + y2 e

acima da regiao D do plano xy limitada pela reta y = 2x e pela parabola y = x2


∫∫

Dxy dA, onde D e a regiao limitada pela reta y = x − 1 e pela parabola

y2 = 2x + 6.

Exemplo 5.3.4. Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e

z = 0.

Exemplo 5.3.5. Calcule a integral iterada

∫ 1

0

∫ 1

xsin(y2) dy dx.

5.4 Propriedades da Integral Dupla

Suponhamos que todas as integrais existam em uma regiao D.

∫∫

D[f(x, y) + g(x, y)] dA =

∫∫

Df(x, y) dA +

∫∫

Dg(x, y) dA

∫∫

Dcf(x, y) dA = c

∫∫

Dg(x, y) dA

Se f(x, y) ≥ g(x, y), para todo (x, y) ∈ D, entao

∫∫

Df(x, y) dA ≥

∫∫

Dg(x, y) dA

Se D = D1 ∪ D2, onde D1 e D2 nao se sobrepoem exceto talvez nas fronteiras, entao

∫∫

Df(x, y) dA =

∫∫

D1

f(x, y) dA +

∫∫

D2

g(x, y) dA.

Se integrarmos uma funcao constante f(x, y) = 1 sobre uma regiao D obteremos a area de D:

∫∫

D1 dA = A(D).

5.5 Integrais Duplas em coordenadas polares 39

5.5 Integrais Duplas em coordenadas polares

Suponha que queremos calcular a integral dupla

∫∫

Rf(x, y) dA, onde R e uma das regioes abaixo

(a) R = {(r, θ)|0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π} (b) R = {(r, θ)|1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2π}

Recordemos da figura abaixo que as coordenadas polares (r, θ) de um ponto relacionadas com as

coordenadas retangulares (x, y) pelas equacoes

r2 = x2 + y2 x = r cos θ y = r sin(θ).

Definicao 5.5.1 (Mudanca para Coordenadas Polares numa Integral Dupla). Se f e contınua no retangulo

polar R dado por 0 ≤ a ≤ r ≤ b, α ≤ θ ≥ β, onde 0 ≤ β − α ≤ 2π, entao

∫∫

Rf(x, y) dA =

∫ β

α

∫ b

af(r cos θ, r sin θ)r dr dθ


∫

R(3x+4y2) dA, onde R e aregiao no semiplano superior limitada pelos cırculos

x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4.

Exemplo 5.5.2. Determine o volume do solido limitado pelo plano z = 0 e pelo paraboloide z = 1−x2−y2.

Definicao 5.5.2. Se f e contınua no retangulo polar da forma

D = {(r, θ)|α ≤ θ ≤ β, h1(θ) ≤ r ≤ h1(θ)} ,

5.6 Aplicacoes das Integrais Duplas 40

entao∫∫

Df(x, y) dA =

∫ β

α

∫ h2(θ)

h1(θ)f(r cos θ, r sin θ)r dr dθ

Exemplo 5.5.3. Determine o volume do solido que esta sob o paraboloide z = x2 + y2, acima do plano

xy e dentro do cilindro x2 + y2 = 2x.

5.6 Aplicacoes das Integrais Duplas

5.6.1 Densidade e Massa

Ja vimos como calcular momentos e centro de massa de placas finas ou laminas de densidade

constante usando integrais simples. Agora com o auxılio das integrais duplas, temos condicoes de consi-

derar laminas com densidade variavel. Suponha uma lamina colocada numa regiao D do plano xy e cuja

densidade (em unidades de massa por unidade de area) no ponto (x, y) ∈ D e dada por ρ(x, y), onde ρ

e uma funcao contınua sobre D. Isso significa que

ρ(x, y) = lim∆m

∆A

onde ∆m e ∆A sao a massa e a area do pequeno retangulo que contem (x, y) e tomamos o limite quando

as dimensoes do retangulo se aproximam de 0.

Entao,

m =

∫∫

Dρ(x, y) dA.

Fısicos consideram ainda outros tipos de densidade que podem ser tratados da mesma maneira.

Se uma carga eletrica esta distribuıda sobre uma regiao D e a densidade de carda (em unidades de carga

por unidade de area) e dada por σ(x, y) num ponto (x, y) ∈ D, entao a carga Q e dada por

Q =

∫

Dσ(x, y) dA.

Exemplo 5.6.1. A carga e distribuıda sobre uma regiao D da figura abaixo de modo que a densidade de

carga em (x, y) seja σ(x, y) = xy, medida em coulombs por metro quadrado (C/m2). Determine a carga

total.

5.6 Aplicacoes das Integrais Duplas 41

5.6.2 Momentos e Centro de Massa

Veremos como determinar o centro de massa (ou centro de gravidade) da lamina com densidade

ρ(x, y) que ocupa a regiao D.

O momento da lamina inteira e

em torno do eixo x: Mx =

∫∫

Dyρ(x, y) dA;

em torno do eixo y: My =

∫∫

Dxρ(x, y) dA.

As coordenadas (x, y) do centro de massa de uma lamina ocupando a regiao D e tendo funcao

densidade ρ(x, y) sao

x =My

m=

1

m

∫∫

Dyρ(x, y) dA y =

Mx

m=

1

m

∫∫

Dxρ(x, y) dA,

onde a massa m e dada por

m =

∫∫

Dρ(x, y) dA.

Exemplo 5.6.2. Determine a massa e o centro de massa de uma lamina triangular com vertices (0, 0),

(1, 0) e (0, 2) se a funcao densidade e ρ(x, y) = 1 + 3x + y.

Exemplo 5.6.3. A densidade em qualquer ponto de uma lamina semicircular e proporcional a distancia

do centro do cırculo. Determine o centro de massa da lamina.

5.6.3 Momento de Inercia

O momento de inercia, tambem chamado de segundo momento, de uma partıcula de massa

m em torno de um eixo e definido como mr2, onde r e a distancia da partıcula ao eixo. Estendemos o

conceito a uma lamina com funcao densidade ρ(x, y) e ocupando uma regiao D pelo mesmo processo que

fizemos para momento simples.

O resultado e momento de inercia da lamina e

5.7 Area de Superfıcie 42

em torno do eixo x: Ix =

∫∫

Dy2ρ(x, y) dA;

em torno do eixo y: Iy =

∫∫

Dx2ρ(x, y) dA.

E de interesse ainda considerar omomento de inercia em torno da origem, tambem chamado

momento polar de inercia

Io = Ix + Iy =

∫∫

D(x2 + y2)ρ(x, y) dA

Exemplo 5.6.4. Determine os momentos de inercia Ix, Iy e I0 do disco homogeneo D com densidade

ρ(x, y) = ρ, centro na origem e raio a.

5.7 Area de Superfıcie

Calcularemos aqui a area de uma superfıcie cuja equacao e dada por z = f(x, y), o grafico de

um funcao de duas variaveis.

Seja S a superfıcie com equacao z = f(x, y), onde f tem derivadas parciais contınuas. Conside-

remos a seguinte figura:

A area da superfıcie S e dada por

A(S) = limm,n→∞

n∑

i=1

m∑

j=1

∆Tij .

Note que

∆Tij = ‖a × b‖

5.8 Integrais Triplas 43

Temos que

a = ∆x~i + fx(xi, yj)∆x~k b = ∆y~j + fx(xi, yj)∆y~k

logo

∆Tij = ‖a × b‖ =√

[fx(xi, yj)]2 + [fy(xi, yj)]2 + 1∆A.

Portanto

A(S) =

∫∫

D

√

[fx(x, y)]2 + [fy(x, y)]2 + 1∆A.

Exemplo 5.7.1. Determine a area da parte da superfıcie z = x2 +2y que esta acima da regiao triangular

T no plano xy com vertices (0, 0), (1, 0) e (1, 1).

Exemplo 5.7.2. Determine a area da parte do paraboloide z = x2 + y2 que esta abaixo do plano z = 9.

5.8 Integrais Triplas

Consideremos o caso mais simples, quando f e definida em uma caixa retangular:

B = {(x, y, z)|a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, r ≤ z ≤ s}.

Definicao 5.8.1. A integral tripla de f sobre a caixa B e

∫∫∫

Bf(x, y, z) dV = lim

l,m,n

l∑

i=1

m∑

j=1

n∑

k=1

f(xi, yj , zk)∆V


Teorema 5.8.1 (Teorema de Fubini para Integrais Triplas). Se f e contınua em uma caixa retangular

B = [a, b] × [c, d] × [r, s], entao

∫∫∫

Bf(x, y, z) dV =

∫ s

r

∫ d

c

∫ b

af(x, y, z) dx dy dz.

5.8 Integrais Triplas 44

Exemplo 5.8.1. Calcule a integral tripla

∫∫∫

Bxyz2 dV , onde B e a caixa retangular dada por

B = {(x, y, z)|0 ≤ x ≤ −1, −1 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3}.

Definiremos agora a integral tripla sobre uma regiao limitada generica E no espaco tridimensional.

Consideremos

E = {(x, y, z)|a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x), u1(x, y) ≤ z ≤ u2(x, y)}.

Entao,∫∫∫

Bf(x, y, z) dV =

∫ b

a

∫ g2(x)

g1(x)

∫ u2(x,y)

u1(x,y)f(x, y, z) dz dy dx.


∫∫∫

Ez dV , onde E e o tetraedro solido delimitado pelos quatro planos x = 0,

y = 0, z = 0 e x + y + z = 1.


∫∫∫

E

√

x2 + z2 dV , onde E e a regiao limitada pelo paraboloide y = x2 + z2 e

pelo plano y = 4.

5.8.1 Aplicacoes de Integral Tripla

O volume de um solido e e

V (E) =

∫∫∫

EdV.

Exemplo 5.8.4. Utilize uma integral tripla para determinar o volume do tetraedro T limitado pelos planos

x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0.

Se a funcao densidade de um objeto solido que ocupa a regiao E e ρ(x, y, z), em unidade de

massa por unidade de volume, em qualquer ponto (x, y, z), entao sua massa e

m =

∫∫∫

Eρ(x, y, z) dV

e seus momentos em relacao aos tres planos coordenados sao

Myz =

∫∫∫

Exρ(x, y, z) dV ;

Mxz =

∫∫∫

Eyρ(x, y, z) dV ;

Mxy =

∫∫∫

Ezρ(x, y, z) dV.

O centro de massa esta localizado no ponto (x, y, z), onde

x =Myz

m

y =Mxz

m

z =Mxy

m

5.9 Integrais Triplas em coordenadas cilındricas e esfericas 45

Se a densidade e constante, o centro de massa do solido e chamado centroide de E. Os momentos de

inercia em relacao aos tres eixos coordenados sao

Ix =

∫∫∫

E(y2 + z2)ρ(x, y, z) dV ;

Iy =

∫∫∫

E(x2 + z2)ρ(x, y, z) dV ;

Iz =

∫∫∫

E(x2 + y2)ρ(x, y, z) dV.

Exemplo 5.8.5. Determine o centro de massa de um solido com densidade constante que e limitado pelo

cilindro parabolico x = y2 e pelos planos x = z, z = 0 e x = 1.

5.9 Integrais Triplas em coordenadas cilındricas e esfericas

Nesta secao veremos que algumas integrais triplas sao mais simples de calcular utilizando coor-

denadas polares ou esfericas.

5.9.1 Coordenadas Cilındricas

Suponha que f seja contınua e

E = {(x, y, z)|(x, y) ∈ D, u1(x, y) ≤ z ≤ u2(x, y)}

onde

D = {(r, θ)|α ≤ θ ≤ β, h1(θ) ≤ r ≤ h2(θ)}

.

A formula para integracao tripla em coordenadas cilındricas e

∫∫∫

Ef(x, y, z) dV =

∫ β

α

∫ g2(θ)

h1(θ)

∫ u2(r cos(θ),r sin(θ))

u1(r cos(θ),r sin(θ))f(r cos(θ), r sin(θ), z)r dz dr dθ.

Exemplo 5.9.1. Um solido E esta contido no cilindro x2 + y2 = 1, abaixo do plano z = 4 e acima do

paraboloide z = 1 − x2 − y2. A densidade em qualquer ponto e proporcional a distancia do ponto ao eixo

do cilindro. Determine a massa de E.


∫ 2

−2

∫

√4−x2

−√

4−x2

∫ 2

√x2+y2

(x2 + y2) dz dy dx.

5.9.2 Coordenadas Esfericas

As coordenadas esfericas (ρ, θ, φ) de um ponto P

Indice Remissivo 46

sao dadas por

x = ρ sin φ cos θ

y = ρ sin φ sin θ

z = ρ cos φ

Nesse sistema de coordenadas o correspondente a caixa retangular e uma cunha esferica

E = {(ρ, θ, φ)|a ≤ ρ ≤ b, α ≤ θ ≤ β, c ≤ φ ≤ d}

onde a ≥ 0, β − α ≤ 2π e β − α ≤ 2π e d− c ≤ π. Entao, a formula para integracao tripla em coordenadas

esfericas e

∫∫∫

Ef(x, y, z) dV =

∫ d

c

∫ β

α

∫ b

af(ρ sin(φ) cos(θ), ρ sin(φ) sin(θ), ρ cos(φ))ρ2 sin(φ) dρ dθ dφ.


∫∫∫

Be(x2+y2+z2)

3

2 dV , onde B = {(x, y, z)|x2 + y2 + z2 ≤ 1}.

REFERENCIAS

[1] Guidorizzi, H. Um curso de calculo, vol. 3. LTC, 2001.

[2] Leithold, L. O Calculo com geometria analıtica, vol. 2. Harbra, 1994.

[3] Stewart, J., M. A.; Martins, A. Calculo, vol. 2. Cengage Learning, 2010.

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