Notas de aulas de Matematica´ - 2008 - UEL · PDF fileAnalise na Reta´ Notas de...

Analise na Reta

Notas de aulas de Matematica - 2008

Departamento de Matematica - UEL

Licenciatura em Matematica

Prof. Ulysses Sodre

ii

Ulysses Sodre 2008 [email protected]

Notas de aulas de Analise Real construıdas a partir de diversos materiais utilizadosem minhas aulas de Analise na Reta na Universidade Estadual de Londrina, no en-tanto eu desejo que elas sejam apenas um roteiro para as aulas e nao espero que taisnotas venham a substituir qualquer livro de Analise na reta. A ordem no materiale a normalmente utilizada em livros de Analise. Alguns conceitos foram extraıdosde alguns livros citados na Bibliografia, mas muitos deles foram fortemente modi-ficados. Em lıngua portuguesa existem poucos materiais de domınio publico, masem lıngua inglesa ha diversos materiais que estao disponıveis na Internet. Sugeri-mos que o leitor realize pesquisas para obter materiais gratuitos para os seus estudos.

Versao compilada no dia 25 de Fevereiro de 2008.

Pagina Matematica Essencial

“Porque Deus amou o mundo de tal maneira que deu o seu Filho unigenito,para que todo aquele que nele cre nao pereca, mas tenha a vida eterna.Porque Deus enviou o seu Filho ao mundo, nao para que julgasse omundo, mas para que o mundo fosse salvo por ele. Quem cre nEle nao ejulgado; mas quem nao cre, ja esta julgado; porquanto nao cre no nomedo unigenito Filho de Deus. E o julgamento e este: A luz veio ao mundo, eos homens amaram antes as trevas que a luz, porque as suas obras erammas. Porque todo aquele que faz o mal aborrece a luz, e nao vem para aluz, para que as suas obras nao sejam reprovadas. Mas quem pratica averdade vem para a luz, a fim de que seja manifesto que as suas obrassao feitas em Deus.” A Bıblia Sagrada, Joao 3:16-21

Elementos de Analise na Reta: Ulysses Sodre: Matematica: UEL: Londrina-PR: 2008

[email protected]

http://mat.uel.br/matessencial/

C

I. A importancia da Analise Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

I.1 Uma visao geral sobre a Analise Real – 1 • I.2 Contagem e medidas: Os numerosracionais – 3 • I.3 Relacoes e Funcoes – 3 • I.4 Raiz quadrada de 2 – 4 • I.5 Numerosdecimais – 4 • I.6 Areas e volumes – 5 • I.7 O numero Pi – 6 • I.8 Funcoes trigonometricascirculares – 7• I.9 Solucoes de equacoes e o papel da continuidade – 8• I.10 Logaritmos – 8• I.11 Taxa de variacao – 8 • I.12 Crescimento de funcoes – 9 • I.13 Equacoes diferenciais– 9 • I.14 Conclusoes sobre a Analise na Reta – 10 • I.15 Conversa com o aluno – 11

II. Elementos de Logica e Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

II.1 Proposicoes – 12• II.2 Tautologias e Equivalencia Logica – 16• II.3 Conjuntos definidospor proposicoes logicas – 19 • II.4 Operacoes com conjuntos atraves da Logica – 20 • II.5Quantificadores Logicos – 22 • II.6 Negacao de proposicoes com quantificadores – 23 •II.7 Proposicoes com valores logicos numericos – 26 • II.8 Conjuntos e suas principaispropriedades – 28 • II.9 Propriedades para numero maior de conjuntos – 30

III. Relacoes e Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

III.1 Par ordenado – 31 • III.2 Produto cartesiano – 31 • III.3 Produto de numero porconjunto – 32 • III.4 Relacoes – 32 • III.5 Aplicacoes – 32 • III.6 Domınio, contradomınioe imagem – 32 • III.7 Restricao de uma aplicacao – 33 • III.8 Extensao de uma aplicacao– 33 • III.9 Aplicacao injetiva – 34 • III.10 Aplicacao sobrejetiva – 34 • III.11 Aplicacaobijetiva – 34 • III.12 Compostas de aplicacoes – 34 • III.13 Imagem direta e inversa deconjunto – 36

IV. Conjuntos enumeraveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

IV.1 Equivalencia de conjuntos – 38 • IV.2 Relacao de equivalencia – 39 • IV.3 Relacao deordem – 40 • IV.4 Conjuntos finitos e infinitos – 40 • IV.5 Conjuntos enumeraveis – 40 •IV.6 Propriedades dos conjuntos enumeraveis – 41

V. O conjunto dos numeros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

V.1 O papel dos numeros reais – 44 • V.2 Grupos – 44 • V.3 Corpos – 46 • V.4 Corposordenados – 48 • V.5 O conjunto N dos numeros naturais – 50 • V.6 Princıpio de InducaoMatematica – 51 • V.7 Mınimo e Maximo de um conjunto – 56 • V.8 O conjunto Z dosnumeros inteiros – 59 • V.9 O conjunto Q dos numeros racionais – 65 • V.10 O conjuntoR dos numeros reais – 68


CONTEUDO iv

VI. Sequencias de numeros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

VI.1 Sequencias reais – 72 • VI.2 Convergencia – 74 • VI.3 Monotonicidade – 78 • VI.4Subsequencias – 79 • VI.5 Limitacao – 80 • VI.6 Medias usuais – 82 • VI.7 Medias versusprogressoes – 83 • VI.8 Harmonico global – 83 • VI.9 Desigualdades com medias – 84• VI.10 Aplicacoes geometricas – 85 • VI.11 A construcao do numero de Euler – 85 •VI.12 Sequencias aritmeticas e PA – 88 • VI.13 Sequencias geometricas e PG – 92 • VI.14Propriedades das sequencias – 99 • VI.15 Sequencias de Cauchy – 99

VII. Conceitos topologicos na reta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

VII.1 Intervalos reais – 101 • VII.2 Conceitos topologicos – 102 • VII.3 Conjuntos abertos– 104 • VII.4 Conjuntos fechados – 104 • VII.5 Conjuntos compactos – 110

VIII.Series numericas reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

VIII.1 Series reais – 113 • VIII.2 Series convergentes – 114 • VIII.3 Criterios de con-vergencia de series – 116 • VIII.4 Operacoes com series reais – 120

IX. Limites e continuidade de funcoes reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

IX.1 Limites de funcoes reais – 121 • IX.2 Limites laterais – 123 • IX.3 Limites infinitos –124 • IX.4 Teoremas sobre limites de funcoes – 125 • IX.5 Funcoes contınuas – 126 • IX.6Propriedades importantes das funcoes contınuas – 130 • IX.7 Continuidade uniforme –133

X. Derivadas de funcoes reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

X.1 Derivadas e funcoes diferenciaveis – 134 • X.2 Aplicacoes das funcoes diferenciaveis– 137 • X.3 Derivadas sucessivas – 139

XI. Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

XI.1 Particoes de intervalos – 141 • XI.2 Propriedades das funcoes integraveis – 147 • XI.3O Teorema Fundamental do Calculo – 147

XII. Sequencias e Series de funcoes Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

XII.1 Sequencias de funcoes – 149 • XII.2 Convergencia uniforme e continuidade – 152• XII.3 Series de funcoes – 152 • XII.4 Convergencia de series de funcoes – 153 • XII.5Criterios para convergencia uniforme – 154 • XII.6 Series de Potencias – 156 • XII.7 Seriesde Taylor e de MacLaurin – 159

XIII. Integrais improprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

XIII.1 Integrais improprias – 161 • XIII.2 Integrais improprias e series reais – 163 • XIII.3 Aplicacoesdas integrais improprias – 163


Cı I

“Tu, porem, permanece naquilo que aprendeste, e de que fosteinteirado, sabendo de quem o tens aprendido, e que desde ainfancia sabes as sagradas letras, que podem fazer-te sabio paraa salvacao, pela que ha em Cristo Jesus. Toda Escritura e divina-mente inspirada e proveitosa para ensinar, para repreender, paracorrigir, para instruir em justica; para que o homem de Deus sejaperfeito, e perfeitamente preparado para toda boa obra.” A BıbliaSagrada, II Timoteo 3:14-17

I.1. U A R

Apresentamos aqui, um simples resumo sobre a importancia da Analise Real, que e aarea da Matematica que trata sobre o formalismo e o rigor matematico para justificaros principais conceitos do Calculo Diferencial e Integral. Uma pequena parte destematerial foi extraıdo de [28].

Quando tais conceitos se tornam muito difıceis, e necessario usar processos intuitivosque amenizam tais estudos e neste contexto sao estudados com profundidade osconceitos de variavel, limite, continuidade, diferenciabilidade e integrabilidade defuncoes com o intenso uso de Logica e Teoria dos Conjuntos.

A Matematica e decomposta tradicionalmente em tres partes: Algebra, Geometria eAnalise, sendo que a Analise Real e a mais nova delas e consiste de ramificacoes doCalculo, uma teoria criada no seculo XVII por Newton e Leibniz, sendo este fato umevento ımpar na historia humana, que fez possıvel a existencia da Fısica Moderna.

O interesse pelo Calculo aparece no estudo de algum calculo envolvido em umcomplicado processo ocorrido natural, em uma maquina, na sociedade ou em ummundo ideal. Comecamos pela analise do que acontece localmente, sendo que apalavra localmente pode significar um intervalo de tempo muito curto, uma areapequena ou pequenas variacoes de qualquer outra quantidade.

Em muitos casos, e facil obter a forma com varias quantidades dependentes local-mente umas das outras. Uma area onde as formulas exprimem esta interdependenciae a area de Equacoes diferenciais.


I.1. UMA VISAO GERAL SOBRE A ANALISE REAL 2

A segunda tarefa consiste em gerar, a partir de leis simples que regem o aconteci-mento local, leis muito mais complicadas, descrevendo o acontecimento global. Estepasso usualmente envolve a resolucao de equacoes diferenciais, tarefa puramenteMatematica.

Resolver equacoes diferenciais pode significar coisas distintas que dependem dassituacoes. As vezes, e possıvel obter uma formula para a solucao, mas o mais comume garantir que existe uma solucao satisfazendo as condicoes desejadas e indicar ummetodo para o calculo aproximado dessa solucao.

Nenhum desses processos pode fornecer todas as respostas necessarias, pois comfrequencia se deseja saber como a solucao depende das varias quantidades queentram no problema e o que acontece quando estas sofrem pequenas oscilacoes ouse tornam muito grandes.

Um exemplo de Isaac Newton. O movimento de nosso sistema solar durante umcurto perıodo de tempo pode ser descrito da seguinte forma: Todo corpo celestemove-se em direcao a cada um dos demais corpos celestes com uma aceleracaodiretamente proporcional a massa do outro corpo e inversamente proporcional aoquadrado da distancia que o separa deste outro corpo.

Com base no comportamento instantaneo dos planetas e de seus satelites, pode-mos obter os seus movimentos verdadeiros, o que significa resolver as equacoesdiferenciais da Mecanica celeste.

Varias geracoes de matematicos tem desenvolvido metodos eficientes para isto, mashoje o trabalho pode ser feito com relativa facilidade com o uso de modernos com-putadores, mas os computadores nao podem nos dizer se o sistema solar preservaraa sua forma geral num futuro distante.

Para discutir este problema de estabilidade sao necessarias novas investigacoesteoricas. Acrescentamos que tais questoes de estabilidade sao muito mais impor-tantes do que pode parecer a primeira vista.

Desde a criacao do Calculo, a Analise penetrou praticamente em todas as areas daMatematica, tanto por causa de sua intrınseca riqueza, quanto pelas suas multiplasaplicacoes. Suas subdivisoes adquiriram vida propria e com frequencia sao estu-dadas com fins em si proprias.

A experiencia mostra que a teoria de equacoes diferenciais quase sempre utiliza osmetodos e ideias desenvolvidas nas partes mais remotas da Analise, bem como emoutros ramos da Matematica.

Algumas disciplinas ativas em Analise, nas quais resultados importantes tem sidoobtidos recentemente: Teoria da Medida, Funcoes de variaveis complexas, Analiseharmonica, Analise funcional, Equacoes diferenciais, Teoria das probabilidades, etc.

Na sequencia, apresentaremos algumas situacoes que justificam a necessidade doestudo da Analise na reta. Tais motivos nem sempre ficam claros quando se estudao Calculo Diferencial e Integral.


I.2. CONTAGEM E MEDIDAS: OS NUMEROS RACIONAIS 3

I.2. C : O

Contar e medir sao atividades fundamentais, associadas a Matematica e a Matematicaespera que exista um sistema onde isto seja possıvel. Esta introducao pretendemostrar ao aluno, alguns problemas encontrados no uso de numeros na realizacaode uma medida, problemas esses que nos motivam ao estudo da analise real.

O conjunto N = {1, 2, 3, 4, ...} dos numeros naturais e usado em contagens. Algunschegam a aceitar o zero como um numero natural, o que nao parece ser corretose estudarmos um pouco sobre a origem deste numero em livros de Historia daMatematica. Os numeros naturais nao sao suficientes para realizar todas as medidas.Com frequencia, necessitamos subdividir nossa unidade basica.

Ao dividir a unidade 1 em q partes e tomar p dessas, nos escrevemos o resultado comop/q. Numeros deste tipo sao denominados fracoes. Nas aplicacoes, e importantelevar em conta a direcao e a grandeza dos numeros, logo existe a necessidade denumeros negativos, inteiros e fracoes. Tais numeros negativos, juntos com o zero, osinteiros positivos e as fracoes proporcionam o conjunto dos numeros racionais.

Com numeros racionais, podemos dividir uma unidade em qualquer numero departes que desejarmos e os racionais sao suficientes para expressar resultados praticosde medidas, mas a precisao da medida nao pode ser melhorada. Tambem e util com-binar os numeros racionais com outros modos de apresentar medidas de quantidadesrelacionadas, assim, podemos somar, subtrair, multiplicar e dividir racionais, masnao podemos dividir por zero. Tudo isto e familiar ao aluno comum.

I.3. R F

Muitas vezes necessitamos relacionar uma das quantidades medidas com outrasquantidades. Por exemplo, podemos relacionar a distancia percorrida por umapedra que cai em funcao do tempo gasto para a pedra cair.

As vezes, ao relacionar duas variaveis medidas nos encontramos uma lei matematicasimples ligando tais variaveis, mas a lei pode ser mais complexa ou a relacao podeate mesmo nao ter uma regra explıcita.

Podemos descrever a relacao entre variaveis medidas matematicamente com o usode relacoes e funcoes. Pode-se desenvolver o conjunto dos racionais a partir doconjunto dos numeros naturais, as regras que governam suas combinacoes, as leissatisfeitas por tais combinacoes (associatividade, comutatividade, elemento neutro,elemento oposto, etc) e as definicoes e propriedades logicas das relacoes e funcoes,todas pertencentes ao assunto hoje denominado Algebra.

Acontece que dentro da Algebra, tais definicoes e descricoes sao finitas. Nos usamosuma teoria de numeros que parece estar adequada a uma descricao de medidas emvarias situacoes comuns, mas a Algebra nao e suficiente para isto e devemos usarprocessos infinitos, como mostraremos com o uso de sequencias.


I.4. RAIZ QUADRADA DE 2 4

I.4. R 2

Se o lado de um quadrado mede 1 cm, a sua diagonal pode ser vista como a hipotenusade um triangulo retangulo, que mede um pouco mais que 1, 4 cm. Podemos calculara medida da hipotenusa. Ao realizar esta operacao, obtemos

√2 cm, onde

√2 e um

numero positivo que multiplicado por ele mesmo fornece o numero 2.

��

��

��d=

√2

Figura I.1: Diagonal do quadrado

Pode-se demonstrar que√

2 nao e um numero racional mas cujo quadrado seja iguala 2 que e um numero racional. Isto nao e bom. Pode-se obter numeros que sao iguaisa√

4,√

9 ou√

49, mas tambem devemos saber calcular e explicar o que e√

2,√

3 ou√

n, onde n e um numero natural.

Isto nao e possıvel no conjunto dos numeros racionais, pois existem numeros racionaiscujos quadrados estao proximos de 2 e ate mesmo outros racionais cujos quadradosestejam mais proximos ainda de 2, mas nao e possıvel obter um numero racional cujoquadrado seja exatamente igual a 2. Os numeros racionais sao suficientes para algunsobjetos praticos, mas isto faz com que as raızes quadradas sejam complicadas. Osistema de numeros racionais deve ser estendido a algo mais significativo.

I.5. N

Um modo de calcular√

2 e pelo uso de numeros decimais. O que sao numerosdecimais? Pelo uso de nosso sistema de notacao posicional e pela escrita de dıgitosa direita de um dıgito da unidade, nos podemos escrever alguns racionais.

Assim 12 pode ser escrito como 0, 5 e 4

25 pode ser escrito como 0, 16, etc. Mas aotentar representar 1

3 nesta notacao, observamos que nao e possıvel. O algoritmousual da divisao fornece 0, 333..., mas o processo nunca termina. Nos podemosescrever 1

3 = 0, 333... e as vezes escrevemos 0, 3, mas o que e isto? E se nos temosoutra expressao, como 4

11 = 0, 3636..., poderıamos esperar que 2333 = 0, 6969.....? Como

multiplicar tais expressoes? Agora, o que significa√

2? Nos obtemos que

(1, 4)2 <√

2 < (1, 5)2

(1, 41)2 <√

2 < (1, 42)2

(1, 414)2 <√

2 < (1, 415)2

e assim por diante, tal que em algum sentido√

2 = 1, 4142....


I.6. AREAS E VOLUMES 5

Parece a primeira vista que nao aconteceu a repeticao no modelo dos dıgitos. Osignificado de sequencia de pontos nao esta muito claro. Se usarmos numerosdecimais para expressar racionais como 1

3 e objetos como√

2, estaremos a frente deum problema que precisa usar uma sequencia com infinitos dıgitos e o que fazemosprecisa ser explicado de forma adequada.

I.6. A

Sequencias infinitas ocorrem em muitas situacoes completamente diferentes. Porexemplo, para medir a area de um conjunto plano, a primeira tarefa e escolher umaunidade apropriada para a area. Como a area e a medida da quantidade de superfıciecoberta, uma unidade adequada para medir a area sera sempre a unidade de umafigura que quando for usada, cobrira todo o plano sem deixar espacos vazios.

Este criterio fornece varias unidades possıveis, como o uso de triangulos, quadrilateros,hexagonos regulares, mas a escolha classica e o quadrado, pois a sua forma e muitoconveniente. Ao tomar um particular quadrado como unidade, podemos obter, a me-dida da area de um retangulo, pela cobertura do retangulo com quadrados unitariosde forma simples e entao contar o numero de quadrados e as partes dos quadradosque foram utilizadas.

Se um retangulo como o da figura abaixo possui comprimento medindo 3 12 unidades

e largura medindo 2 13 unidades, a sua area e 81

6 unidades de area.

Figura I.2: Retangulo com dimensoes racionais

Modificando um retangulo, podemos obter a area de um paralelogramo e obter aarea de um triangulo e depois de um polıgono.

%%

%%

%%

%JJJJJJJ%

%%

%%

%%

Figura I.3: Retangulo, paralelogramo e triangulo

Se a curva nao e uma linha formada por segmentos de reta, o que acontece com


I.7. O NUMERO PI 6

uma regiao cuja fronteira e uma curva suave? O que podemos fazer para obter umamedida da area da forma geometrica irregular mostrada na figura I.4?

Figura I.4: Regiao (com fronteira suave) coberta por quadrados

Podemos cobrir esta forma irregular do melhor modo possıvel com quadradosunitarios, mas o que acontece com as regioes dos cantos? As funcoes que repre-sentam as curvas dos cantos nem sempre podem ser reconhecidas como fracoes dequadrados. Assim, nos perguntamos: Sera que existe um numero para a medida daarea da forma irregular dada? Em caso positivo, como podemos obter este numeropara uma dada forma?

Continuando a nossa subdivisao, obteremos um modo aproximado para medir aarea. Por meio dessa repetida subdivisao, nos estamos realmente inscrevendo umasequencia de polıgonos regulares, cada um dos quais cobrindo a forma de modomais completo que a subdivisao anterior.

Como o processo de aproximacao nunca terminara, somos levados a uma sequenciainfinita de areas que nos esperamos que se aproxime cada vez mais de algum numeroque pode ser identificado com area da regiao.

I.7. O P

Ao medir quantidades relacionadas com a circunferencia, usamos a razao entre operımetro da circunferencia e o seu diametro, que e uma constante denominada Pi,uma vez que todos os cırculos sao semelhantes. O numero Pi pode ser obtido aprox-imadamente pelo desenho de uma circunferencia e pela medida de seu perımetro edo diametro.

E muito util saber calcular o valor do numero Pi. Podemos obter boas aproximacoespara Pi, inscrevendo polıgonos regulares em um cırculo de forma que os numerosde lados dos polıgonos estejam aumentando e desta forma possamos determinar osperımetros dos referidos polıgonos.

Por exemplo, ao inscrever um hexagono regular em um cırculo com raio unitario


I.8. FUNCOES TRIGONOMETRICAS CIRCULARES 7

(raio=1), observamos que π > 3 raios. A palavra raio representa a medida do lado dohexagono que tambem e o raio do cırculo. Este processo e trabalhoso, mas tambem

Figura I.5: Hexagono inscrito em um cırculo

podemos calcular π pelo uso de algumas series infinitas. Por exemplo, π pode serobtido pela formula:

π = 4 (1 −13+

15−

17+

19−

111+ ...)

Aqui temos a soma de uma serie infinita de numeros. Como podemos realizar estasoma? Por que π e igual a esta particular soma desta serie de numeros reais?

A pagina The Miraculous Bailey-Borwein-Plouffe Pi Algorithm localizada emhttp://www.mathsoft.com/asolve/plouffe/plouffe.html contem detalhes sobreo numero Pi, alem da milagrosa formula:

π =∞∑

n=0

(4

8n + 1−

28n + 4

−1

8n + 5−

18n + 6

)(1

16)n

I.8. F

Para obter comprimentos e angulos, usamos as funcoes trigonometricas seno, cossenoe tangente, que podem ser definidas em funcao das razoes entre as medidas dos ladosde um triangulo retangulo. Por exemplo, para obter o seno de 40 graus, desenhamosum triangulo retangulo com um angulo de 40 graus, medimos dois de seus lados,mas a precisao neste processo nao sera grande e e preferıvel calcular.

Podemos usar series infinitas para avaliar as funcoes trigonometricas, como:

sin(x) = x −x3

3!+

x5

5!−

x7

7!+

x9

9!+ ...

que fornece o seno de x, quando x e medido em radianos. Esta serie e usada paracalculos com a precisao que desejarmos, mas de novo devemos entender o quesignifica a soma de uma serie com infinitos termos na forma de potencias de x.


http://www.mathsoft.com/asolve/plouffe/plouffe.html

I.9. SOLUCOES DE EQUACOES E O PAPEL DA CONTINUIDADE 8

I.9. S

Para calcular o numero de raızes ou o numero de zeros reais x tal que x2 = cos(x)e tambem a medida de tal calculo aproximado, desenhamos os graficos de y = x2 ey = cos(x) e obtemos os pontos de intersecao desses graficos.

Figura I.6: As intersecoes de dois graficos de funcoes

Como os graficos destas funcoes sao simetricos, existem dois zeros z e −z tal quez2 = cos(z). Chegamos a esta conclusao, aceitando que tais graficos representamfuncoes contınuas, isto e, nao sofrem interrupcao, de modo que deve existir um ponto zentre 0 e π/2 tal que a curva y = cos(x) deve cruzar sobre y = x2 neste intervalo paraque z2 = cos(z). Este ponto z e um zero de x2 = cos(x), mas a funcao f (x) = x2

− cos(x)e par (simetrica em relacao ao eixo x = 0), logo existe tambem −z tal que z2 = cos(z).

Precisamos entender o que e continuidade e verificar se uma certa funcao e contınua?Sera que para todo ponto no eixo OX corresponde algum valor numerico x?

I.10. L

O estudo de Logaritmos nos da um metodo familiar para acelerar multiplicacoesaproximadas de numeros muito grandes. Podemos usar log10(2) = 0, 30103... elog10(3) = 0, 47712... para realizar alguns calculos, mas, o que significa logaritmo?Demonstra-se que nao existe um numero racional x tal que 10x = 2, assim log10(2) sotem significado em algum outro conjunto que seja mais amplo que o conjunto dosracionais. Para calcular valores de logaritmos, devemos fazer uso de series infinitas.

I.11. T

Quando temos duas quantidades variaveis, as vezes, as suas medidas estao rela-cionadas com outras e o estudo de funcoes serve para descrever tal relacionamento.Quando temos uma situacao como esta, as vezes e importante conhecer a taxa se-gundo a qual uma variavel esta mudando enquanto ocorre a variacao na outra


I.12. CRESCIMENTO DE FUNCOES 9

variavel. Relacionando a distancia percorrida por um corpo em movimento em umintervalo de tempo, a taxa segundo a qual a distancia muda em relacao ao tempo ea medida da velocidade do corpo. Quando a taxa de variacao e constante, ela podeser facilmente medida pela razao:

∆y∆x=

mudanca na variavel dependentemudanca na variavel independente

Se a taxa de variacao nao e constante, a razao somente fornece uma taxa mediade variacao. Obter a taxa real de variacao em um certo instante, parece envolvermudancas infinitesimais nas variaveis. O Calculo Diferencial proporciona um metodopara calcular a taxa instantanea de variacao e novamente precisamos explicar o quesignifica a palavra diferencial.

I.12. C

Quando temos uma populacao (de pessoas, insetos ou atomos de Uranio, etc) edesejamos analisar a situacao futura desta populacao em um dado instante, e razoavelsupor que os fatores que causam crescimento ou decaimento afetam alguma parteda populacao. Um modelo matematico que parece servir e uma funcao do tempocuja taxa de variacao e proporcional ao seu tamanho em um instante qualquer. Paraestudar este modelo necessitamos trabalhar com a funcao exponencial, que pode serrepresentada por

exp(x) = 1 + x +x2

2!+

x3

3!+

x4

4!+ ...

De novo, aparece uma outra serie de potencias com infinitos termos e se desenvolver-mos as propriedades da funcao exponencial a partir desta definicao, poderemosoperar com grande seguranca com series infinitas.

I.13. E

Um ponto que valoriza o estudo do Calculo, pode ser descrito da seguinte forma: Aousar o Calculo em um processo complicado ocorrido na natureza, em uma maquina,na sociedade ou em um mundo ideal, comecamos pela analise do que acontecelocalmente, palavra esta que pode significar um intervalo de tempo muito curto, umaarea pequena ou pequenas variacoes de qualquer outra quantidade.

Muitas vezes, e facil obter a forma como algumas quantidades dependem de outraslocalmente e a area que trata disto e denominada Equacoes Diferenciais. Outra tarefaconsiste em usar leis simples que servem para descrever localmente o evento, paradescrever o possıvel acontecimento global, a partir de leis complexas.

Em geral, este segundo passo envolve a resolucao de equacoes diferenciais, que euma tarefa Matematica.


I.14. CONCLUSOES SOBRE A ANALISE NA RETA 10

A resolucao de equacoes diferenciais pode ter varios motivos, dependendo dasituacao. As vezes, e possıvel escrever uma formula para a solucao da equacao,mas o mais comum e garantir que existe uma solucao satisfazendo as condicoesdesejadas e indicar um metodo para o calculo aproximado dessa solucao.

Pode ser que nenhum dos dois processos forneca todas as respostas procuradas,pois com frequencia se deseja saber como a solucao depende das varias quantidadesenvolvidas no problema e o que acontece quando estas se tornam muito grandes.

O estudo do movimento de nosso sistema solar devido a Isaac Newton, em um curtoperıodo de tempo, pode ser descrito do seguinte modo: Todo corpo celeste move-seem direcao a cada um dos demais corpos celestes com uma aceleracao diretamenteproporcional a da massa do outro corpo e inversamente proporcional ao quadradoda distancia que o separa deste outro corpo.

Com base no comportamento instantaneo dos planetas e de seus satelites, podemosdeterminar seus movimentos verdadeiros, o que significa resolver equacoes difer-enciais da Mecanica celeste. Muitos matematicos tem construıdo metodos eficientespara isto, mas hoje o trabalho pode ser feito com grande facilidade com o uso de com-putadores, mas tais computadores nao podem garantir se o sistema solar mantera asua forma geral num futuro distante.

Para discutir este problema de estabilidade sao necessarias mais pesquisas teoricas etais estudos sao de grande importancia para o entendimento do modelo que se usa.

I.14. C A R

Os problemas apresentados, mostram a necessidade de introduzir processos infinitosem Matematica e devemos ter maior compreensao sobre: conjuntos de numeros,sequencias e series infinitas, continuidade, diferenciabilidade, integrabilidade e as-sim por diante. Nao basta saber realizar calculos de modo operacional, mas e essen-cial conhecer as caracterısticas qualitativas desses resultados.

Quando os processos infinitos foram estudados no passado, muitas tecnicas desen-volvidas serviram para dar respostas as questoes citadas acima e muitas outras, masnem todos os conceitos subjacentes as tecnicas e a sua validade foram investigadas,sendo encontrados muitos erros nesses estudos.

Matematicos que criam novos processos procuram encontrar solucoes para as neces-sidades de nossa epoca, mas no ultimo seculo, matematicos comecaram a tomar muitomais cuidado com os conceitos escondidos sob os processos infinitos e comecaram aexaminar a validade de algumas tecnicas. Foram descartadas varias explicacoes es-tranhas de matematicos (alguns famosos) que vieram antes deles e as mesmas foramsubstituıdas por descricoes precisas dos processos utilizados.

Examinar tais conceitos e pesquisas sobre a validade das tecnicas de processos infini-tos e estudar a Analise real, que e a area da Matematica que trata sobre o formalismoe o rigor matematico para justificar os conceitos do Calculo Diferencial e Integral.


I.15. CONVERSA COM O ALUNO 11

Se tais conceitos ficam muito difıceis, e necessario o uso de processos intuitivosque simplificam tais estudos e neste contexto sao estudados com profundidade osconceitos de variavel, limite, continuidade, diferenciabilidade e integrabilidade defuncoes com o uso intenso de Logica e Teoria dos Conjuntos.

A Analise Real e a mais nova das tres partes em que se divide tradicionalmente aMatematica e consiste de ramificacoes do Calculo, uma teoria criada no seculo XVIIpor Newton e Leibniz, sendo este fato um evento ımpar na historia humana, que fezpossıvel a existencia da Fısica moderna.

Desde a criacao do Calculo, a Analise Real penetrou praticamente em todas as areasda Matematica, tanto por causa da sua forma rica, quanto pela enorme quantidadede aplicacoes. Suas subdivisoes adquiriram vida propria e tais areas sao estudadasseparadamente. A experiencia mostra no entanto que a teoria de equacoes diferenci-ais quase sempre utiliza os metodos e ideias desenvolvidas nas partes mais estranhase antigas da Analise, bem como em outros ramos da Matematica.

Assuntos ativos em Analise Real com importantes resultados, sao: Teoria da Medida,Funcoes de variaveis complexas, Analise harmonica, Analise funcional, Equacoesdiferenciais Ordinarias e Parciais, Teoria das probabilidades, etc.

I.15. C

No livro [3], o Prof. Geraldo Avila apresenta a dica abaixo, que inseri sem a permissaodo autor, mas com a esperanca que o referido docente a autorizaria:

Ninguem aprende Matematica ouvindo o professor em sala de aula, pormais organizadas e claras que sejam as suas prelecoes, por mais que seentenda tudo o que ele explica. Isso ajuda muito, mas e preciso estudar porconta propria logo apos as aulas, antes que o benefıcio delas desaparecacom o tempo. Portanto, voce, leitor, nao vai aprender Matematica porqueassiste aulas, mas por que estuda. E esse estudo exige muita disciplina econcentracao: estuda-se sentado a mesa, com lapis e papel a mao, prontospara serem usados a todo momento. Voce tem de interromper a leituracom frequencia, para ensaiar a sua parte: fazer um grafico ou diagrama,escrever alguma coisa ou simplesmente rabiscar uma figura que ajudea seguir o raciocınio do livro, sugerir ou testar uma ideia; escrever umaformula, resolver uma equacao ou fazer um calculo que verifique se algumaafirmacao do livro esta mesma correta. Por isso mesmo, nao espere queo livro seja completo, sem lacunas a serem preenchidas pelo leitor; docontrario, esse leitor sera induzido a uma situacao passiva, quando o maisimportante e desenvolver as habilidades para o trabalho independente,despertando a capacidade de iniciativa individual e a criatividade. Voceestara fazendo progresso realmente significativo quando sentir que estaconseguindo aprender sozinho, sem ajuda do professor; quando sentir queesta realmente “aprendendo a aprender...”.


Cı II

“Tu, porem, permanece naquilo que aprendeste, e de que fosteinteirado, sabendo de quem o tens aprendido, e que desde ainfancia sabes as sagradas letras, que podem fazer-te sabio paraa salvacao, pela que ha em Cristo Jesus. Toda Escritura e divina-mente inspirada e proveitosa para ensinar, para repreender, paracorrigir, para instruir em justica; para que o homem de Deus sejaperfeito, e perfeitamente preparado para toda boa obra.” A BıbliaSagrada, II Timoteo 3:14-17

II.1. P

Nesta secao, nos tratamos sobre proposicoes (ou sentencas) logicas, suas validadese falsidades, alem do modo de combinar ou ligar proposicoes para produzir novasproposicoes. Primeiro, vamos apresentar uma definicao de proposicao logica.

1 Definicao. (Proposicao) Uma proposicao (ou sentenca ou frase) e um conjunto de palavrasou sımbolos que exprimem uma afirmacao de modo completo.

2 Definicao. (Proposicao logica) Uma proposicao (ou sentenca ou frase) logica e uma ex-pressao que e verdadeira ou falsa.

A Logica Matematica (bivalente) esta apoiada em dois princıpios:

1. Princıpio da nao contradicao: Uma proposicao nao pode ser ao mesmo tempo,verdadeira e falsa.

2. Princıpio do terceiro excluıdo: Toda proposicao, ou e verdadeira ou e falsa, masnao pode ser uma terceira situacao.

1 Observacao. Jan Lukasiewicz (1920) estudou a Logica trivalente, admitindo a existencia detres situacoes: Verdadeiro , falso ou e possıvel . Detalhes sobre isto podem ser encontradosna pagina 92 do livro “Introducao a Logica Matematica” de Benedito Castrucci, GEEM, SaoPaulo, 1973. O paranaense Newton C. A. Costa tambem estudou o assunto.

1 Exemplo. Proposicoes.

1. A proposicao 2+2=4 e verdadeira.


II.1. PROPOSICOES 13

2. A proposicao π e um numero racional e falsa.

Nao e funcao da Logica decidir se uma particular proposicao e verdadeira ou falsa,pois existem proposicoes cuja validade ou falsidade ainda nao tenha sido estabelecidaate hoje, como:

1 Teorema. (Conjectura de Goldbach) Todo numero par maior do que 2 e a soma de doisnumeros primos.

Existe um defeito em nossa definicao, pois nem sempre e facil determinar se umasentenca e uma sentenca logica ou nao.

Por exemplo, considere a sentenca Eu estou mentindo, nao estou? . O que vocepensa desta sentenca?

Existem sentencas que sao proposicoes logicas, do ponto de vista da nossa definicao.

3 Definicao. (Conectivos) Conectivos sao palavras ou grupos de palavras usadas para juntarduas sentencas.

Conectivo SignificadoConjuncao eDisjuncao ouNegacao naoCondicional se ... entaoBicondicional se, e somente se,

Na sequencia, iremos discutir modos de ligar proposicoes logicas com conectivospara formar novas proposicoes logicas.

4 Definicao. (Novas proposicoes logicas) Se p e q sao proposicoes logicas, definiremos cinconovas proposicoes logicas:

Nome da nova proposicao Notacao em Logica SignificadoConjuncao de p e q p ∧ q p e qDisjuncao de p e q p ∨ q p ou qNegacao de p ¬p nao pCondicional entre p e q p→ q p implica qBicondicional entre p e q p←→ q p equivale a q

5 Definicao. (Validade da Conjuncao) A conjuncao entre p e q, denotada por p ∧ q (le-se:p e q) e verdadeira se as duas proposicoes p e q sao ambas verdadeiras e e falsa nas outrassituacoes.

2 Exemplo. Conjuncao.

1. A proposicao 2+2=4 e 2+3=5 e verdadeira.2. A proposicao 2+2=4 e π e um numero racional e falsa.



2 Observacao (Tabela-Verdade da Conjuncao). Reunimos em uma tabela, todas asinformacoes relacionando afirmacoes Verdadeiras e Falsas sobre a conjuncao:

p q p ∧ qV V VV F FF V FF F F

6 Definicao. (Validade da Disjuncao) A disjuncao entre p e q, denotada por p ∨ q (le-se: pou q) e verdadeira se pelo menos uma das proposicoes p ou q e verdadeira, e e falsa nos outroscasos.

3 Exemplo. Disjuncao.

1. A proposicao 2+2=2 ou 1+3=5 e falsa.2. A proposicao 2+2=4 ou π e um numero racional e verdadeira.

3 Observacao (Tabela-Verdade da Disjuncao). Reunimos em uma tabela, todas as informacoesrelacionando afirmacoes Verdadeiras e Falsas sobre a disjuncao:

p q p ∨ qV V VV F VF V VF F F

4 Observacao. (Demonstrar uma disjuncao) Para demonstrar que uma proposicao p ∨ qe verdadeira, vamos assumir que a proposicao p e falsa e usar este fato para deduzir que aproposicao q e verdadeira. Se a proposicao p e verdadeira, o nosso argumento ja esta correto,nao importa se a proposicao q e verdadeira ou falsa.

7 Definicao. (Validade da Negacao) A negacao de p, denotada por ¬p (le-se: nao p) everdadeira se a proposicao p e falsa, e e falsa se a proposicao p e verdadeira.

4 Exemplo. Negacao.

1. A negacao da proposicao 2+2=4 e a proposicao 2 + 2 , 4 .2. A negacao da proposicao π e um racional e a proposicao π e um irracional .

5 Observacao. (Tabela-Verdade da Negacao) Reunimos em uma tabela, todas as informacoesrelacionando afirmacoes Verdadeiras e Falsas sobre a negacao:

p ¬pV FF V

8 Definicao. (Validade da Condicional) A condicional entre p e q, denotada por p→ q (le-se:se p, entao q) e verdadeira se a proposicao p e falsa ou se a proposicao q e verdadeira ou ambas,e e falsa nas outras situacoes.



6 Observacao. (Tabela-Verdade da Condicional] Reunimos em uma tabela, todas as informacoesrelacionando afirmacoes Verdadeiras e Falsas sobre a condicional:

p q p→ qV V VV F FF V VF F V

7 Observacao. (Sentenca falsa) Uma proposicao p→ q e falsa se a proposicao p e verdadeirae a proposicao q e falsa. Isto significa que construindo uma conclusao falsa de uma hipoteseverdadeira, o nosso argumento sera falso. Por outro lado, se a nossa hipotese e falsa ou se anossa conclusao e verdadeira, entao o nosso argumento ainda pode ser aceito.

5 Exemplo. Sentencas falsas.

1. A proposicao Se 2+2=4, entao π e um numero racional e falsa.2. A proposicao Se 2+2=2, entao 1+3=5 e verdadeira, pois a proposicao 2+2=2 e falsa.3. A proposicao Se π e um numero racional, entao 2+2=4 e verdadeira.

9 Definicao. (Validade da Bicondicional) A bicondicional entre p e q, denotada por p←→ q(le-se: p se e somente se q) e verdadeira se as proposicoes p e q sao ambas verdadeiras ou ambassao falsas, e e falsa nos outros casos.

6 Exemplo. Bicondicionais.

1. A proposicao 2+2=4 se, e somente se, π e um numero irracional e verdadeira.2. A proposicao 2+2=4 se, e somente se, π e um numero racional e falsa.

8 Observacao. (Tabela-Verdade da Bicondicional] Reunimos na tabela seguinte, todas asinformacoes relacionando afirmacoes Verdadeiras e Falsas sobre a bicondicional:

p q p←→ qV V VV F FF V FF F V

9 Observacao. (Tabela-Verdade das cinco novas proposicoes] Reunimos em uma tabela, asafirmacoes Verdadeiras e Falsas sobre as cinco novas proposicoes logicas, usando a letra Vpara a palavra Verdadeiro e a letra F para a palavra Falso.

p q p ∧ q p ∨ q ¬p p→ q p←→ qV V V V F V VV F F V F F FF V F V V V FF F F F V V V

10 Observacao. (Sobre a palavra ) Em Logica, a palavra ou pode ser entendida comouma coisa, ou outra coisa ou ambas as coisas. Se voce perguntar a alguma pessoa se ela gostade chocolate ou de cafe, nao se surpreenda com a resposta pois ela pode gostar dos dois!


II.2. TAUTOLOGIAS E EQUIVALENCIA LOGICA 16

II.2. T E L

10 Definicao. (Tautologia) Uma tautologia e uma proposicao cujo valor logico e sempre.

11 Observacao. (Sobre tautologia] Com o conceito de tautologia, podemos generalizar asdefinicoes de conjuncao ou disjuncao para proposicoes com mais do que duas proposicoes, eassim podemos escrever, p ∧ q ∧ r ou p ∨ q ∨ r sem nos preocuparmos com os parenteses.

12 Observacao. (Setas duplas] Usamos a seta dupla u⇐⇒ v para indicar que uma condi-cional da forma u←→ v e uma Tautologia. Como exemplo:

1. (p ∧ q) ∧ r⇐⇒ p ∧ (q ∧ r).2. (p ∨ q) ∨ r⇐⇒ p ∨ (q ∨ r).3. (p←→ q)⇐⇒ (p→ q) ∧ (q→ p)

11 Definicao. (Contradicao) Uma contradicao e uma proposicao cujo valor logico e sempre.

7 Exemplo (Tabela-Verdade de uma proposicao composta). Construiremos a Tabela-Verdade de uma proposicao composta como (p∨ q) ∧ ¬(p∧ q), utilizando novas variaveis u,v e w, para simplificar esta proposicao a forma u ∧ w, onde u : (p ∨ q), v : (p ∧ q) e w : ¬v.

1. Tabela-Verdade de u: (p ∨ q),

p q u : p ∨ qV V VV F VF V VF F F

2. Tabela-Verdade de v: (p ∧ q),

p q v : p ∧ qV V VV F FF V FF F F

3. Tabela-Verdade de w: ¬v.

v w : ¬vV FF VF VF V

4. Tabela-Verdade de u ∧ w:

u w u ∧ wV F FV V VV V VF V F

Como temos uma grande quantidade de informacoes, e comum reunir a Tabela-Verdade finalde u ∧ w com todas as operacoes, tomando a forma:

p q p ∨ q p ∧ q ¬(p ∧ q) (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q)V V V V F FV F V F V VF V V F V VF F F F V F



8 Exemplo (Algumas condicionais). Implicacoes.

1. Se p e verdadeira e q e verdadeira, entao p ∧ q e verdadeira.2. Se p e verdadeira ou q e verdadeira, entao p ∨ q e verdadeira.3. Se p e verdadeira e p→ q e verdadeira, entao q e verdadeira.4. Se ¬p e verdadeira e p ∨ q e verdadeira, entao q e verdadeira.5. Se ¬q e verdadeira e p→ q e verdadeira, entao ¬p e verdadeira.6. Se p ∨ q e verdadeira e p→ r e verdadeira e q→ r e verdadeira, entao r e verdadeira.7. Se p→ q e verdadeira e q→ r e verdadeira, entao p→ r e verdadeira.8. Se p e verdadeira, p→ q e verdadeira e q→ r e verdadeira, entao r e verdadeira.

9 Exemplo (Algumas bicondicionais). Tautologias:

1. (p ∧ (q ∧ r))⇐⇒ ((p ∧ q) ∧ r).2. (p ∧ q)⇐⇒ (q ∧ p).3. (p ∨ (q ∨ r))⇐⇒ ((p ∨ q) ∨ r).4. (p ∨ q)⇐⇒ (q ∨ p).

5. p ∨ ¬p.6. (p→ q)⇐⇒ (¬q→ ¬p).7. (p→ q)⇐⇒ (¬p ∨ q).8. ¬(p←→ q)⇐⇒ ((p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q).

2 Teorema. (Leis distributivas) Se p, q e r sao proposicoes logicas, as seguintes proposicoessao tautologias muito usadas em Matematica.

1. (p ∧ (q ∨ r))⇐⇒ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)) 2. (p ∨ (q ∧ r))⇐⇒ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r))

Demonstracao. (Primeira Lei distributiva) Vamos supor que a proposicao (p∧ (q∨ r))seja verdadeira. Entao, as duas proposicoes p e q ∨ r sao verdadeiras. Como q ∨ re verdadeira, pelo menos uma das proposicoes, q ou r deve ser verdadeira. Se averdadeira for q, entao segue que p e q sao verdadeiras e assim segue que p ∧ q everdadeira, logo p ∧ q ou p ∧ r e verdadeira, assim ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)) e verdadeira.

Reciprocamente, vamos supor que ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)) e uma proposicao verdadeira.Assim, pelo menos uma das proposicoes p∧ q ou p∧ r e verdadeira. Se a verdadeirafor p∧q, entao as duas proposicoes p e q sao verdadeiras, logo Q e verdadeira e segueque q ∨ r e verdadeira e temos que p ∧ (q ∨ r) e verdadeira.

Agora consideremos que as duas proposicoes ((p∧ q)∨ (p∧ r)) e p∧ (q∨ r) sao ambasverdadeiras ou ambas falsas, pois a verdade de uma implica a verdade da outra.Segue que a bicondicional (p ∧ (q ∨ r))←→ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)) e uma tautologia.A Demonstracao da Segunda Lei distributiva fica como exercıcio. �

Todas estas tautologias podem ser demonstradas atraves de suas Tabelas-Verdade.Sugiro que use esta metodologia para as proximas demonstracoes.

3 Teorema. (Leis de Augustus de Morgan) Se p e q sao proposicoes logicas, as seguintesproposicoes sao tautologias:

1. ¬(p ∧ q)←→ (¬p ∨ ¬q).2. ¬(p ∨ q)←→ (¬p ∧ ¬q).



4 Teorema. (Algumas leis de inferencia) Se p, q e r sao proposicoes logicas, as seguintesproposicoes sao tautologias:

1. M P: (p ∧ (p→ q))→ q.2. M T: ((p→ q) ∧ ¬q)→ ¬p.3. L : ((p→ q) ∧ (q→ r))→ (p→ r).

12 Definicao. (Sentencas equivalentes) Diz-se que duas proposicoes p e q sao logicamenteequivalentes se a proposicao p ←→ q e uma tautologia. Isto significa que as duas sentencaslogicas representam o mesmo objeto do ponto de vista da Logica.

10 Exemplo. (Sentencas equivalentes)

1. As proposicoes (p→ q) e (¬q→ ¬p) sao logicamente equivalentes, sendo que a proposicao(¬q→ ¬p) recebe o nome de contrapositiva da proposicao (p→ q).

2. As proposicoes p→ q e q→ p nao sao logicamente equivalentes, sendo que a proposicao(q→ p) e denominada a recıproca da proposicao (p→ q).

11 Exemplo. Quatro importantes equivalencias logicas. Usando as tabelas-verdade, mostrarque as quatro proposicoes logicas abaixo sao equivalentes:

1. p→ q

2. (¬q)→ (¬p)

3. (¬q) ∧ p⇒ F( Afirmacao absurda)4. (¬p) ∨ q⇒ V( Afirmacao verdadeira)

Exercıcio: Demonstrar que

1. Idempotencia da conjuncao: p ∨ p⇐⇒ p2. Idempotencia da disjuncao: p ∧ p⇐⇒ p3. Associatividade da conjuncao: (p ∧ q) ∧ r⇐⇒ p ∧ (q ∧ r)4. Associatividade da disjuncao: (p ∨ q) ∨ r⇐⇒ p ∨ (q ∨ r)5. Identidade da conjuncao com a verdade: p ∧ V ⇐⇒ p6. Identidade da conjuncao com a falsidade: p ∧ F⇐⇒ F7. Identidade da disjuncao com a verdade: p ∨ V ⇐⇒ V8. Identidade da disjuncao com a falsidade: p ∨ F⇐⇒ p9. Complementar com a conjuncao: p ∧ ¬p⇐⇒ F

10. Complementar com a disjuncao: p ∨ ¬p⇐⇒ V11. Complementar da verdade: ¬V ⇐⇒ F12. Complementar da falsidade: ¬F⇐⇒ V13. Negacao da negacao: ¬(¬p)⇐⇒ p

13 Observacao. (Setas simples e duplas] Algumas vezes usamos setas simples como ←→em bicondicionais, mas usamos setas duplas⇐⇒ para mostrar que a proposicao da esquerdae logicamente equivalente a proposicao da direita.


II.3. CONJUNTOS DEFINIDOS POR PROPOSICOES LOGICAS 19

12 Exemplo. Algumas equivalencias logicas.

1. p ∨ [q ∧ (¬q)]⇐⇒ p(p ∨ [q ∧ (¬q)] equivale a p)

2. p ∧ [q ∨ (¬q)]⇐⇒ p3. p→ q⇐⇒ (¬p) ∨ q4. ¬(p→ q)⇐⇒ p ∧ (¬q)

5. (p↔ q)⇐⇒ (p→ q) ∧ (q→ p)(p↔ q equivale a (p→ q) ∧ (q→ p))

6. (p↔ q)⇐⇒ (p ∧ q) ∨ [(¬p) ∧ (¬q)]7. p→ (q→ r)⇐⇒ (p ∧ q)→ r8. p→ q⇐⇒ (¬q)→ (¬p)

II.3. C

De uma forma bastante comum, surgem proposicoes como x e par com uma oumais variaveis, que sao denominadas funcoes sentenciais ou funcoes proposicionaisou simplesmente proposicoes logicas.

Vamos nos fixar no exemplo: x e par . Esta proposicao e verdadeira para algunsvalores de x e falsa para outros. Varias perguntas aparecem:

1. Quais sao os valores para x?2. A proposicao e verdadeira estes valores de x citados?3. A proposicao e verdadeira valores de x citados?

Para responder a primeira pergunta, nos necessitamos conhecer o universo U em queestamos trabalhando, mas para trabalhar com este conceito, necessitamos entenderqual e o significado da palavra conjunto.

Entendemos a palavra conjunto como uma palavra cujo sentido e conhecido portodos. Algumas vezes, nos usamos a palavra sinonima classe ou colecao. Noentanto, tais palavras aparecem nos livros, tendo significados diferentes.

Pelo que se ve, conjunto e um conceito abstrato que deve ser aceito por todos comoalgo comum do seu cotidiano. O importante sobre um conjunto nao e mas e , ou seja, quais sao os seus elementos?Sera que existe algum elemento?

Se P e um conjunto e x e um elemento de P, nos escrevemos x ∈ P para entender quex pertence ao conjunto P. O sımbolo ∈ e um sımbolo de pertinencia.

Um conjunto e usualmente descrito em uma das seguintes formas. Por:

1. enumeracao: {1, 2, 3} denota o conjunto com os numeros 1, 2 e 3 e nada mais.2. descricao ou propriedade com uma proposicao p(x): Aqui usamos um conjunto

universo U que contem todos os elementos x do conjunto. Assim, Nos escrevemosP = {x : x ∈ U e p(x) e verdadeira} ou simplesmente P = {x : p(x)}.

O conjunto que nao tem elementos e o conjunto vazio, denotado por ∅.


II.4. OPERACOES COM CONJUNTOS ATRAVES DA LOGICA 20

13 Exemplo. Alguns conjuntos importantes.

1. N = {1, 2, 3, 4, 5, ...,n,n + 1, ...} e o conjunto dos numeros naturais.2. Z = {...,−2,−1, 0, 1, 2, ...} e o conjunto dos numeros inteiros.3. {x : x ∈ N e − 2 < x < 2} = {1}.4. {x : x ∈ Z e − 2 < x < 2} = {−1, 0, 1}.5. {x : x ∈ N e − 1 < x < 1} = ∅.

II.4. O L

Se P e um conjunto descrito pela proposicao p = p(x), isto e, P = {x : p(x)} e Q e umconjunto descrito pela proposicao q = q(x), isto e Q = {x : q(x)}, sendo P e Q conjuntosrelativos a um certo universo U, definimos novos conjuntos:

Intersecao dos conjuntos P e Q P ∩Q = {x : p(x) ∧ q(x)}Reuniao dos conjuntos P e Q P ∪Q = {x : p(x) ∨ q(x)}

Complementar do conjunto P Pc = {x : ¬p(x)}Diferenca entre os conjuntos P e Q P −Q = {x : p(x) ∧ ¬q(x)}

Com as definicoes acima, nao e difıcil mostrar que

1. P ∩Q = {x : x ∈ P e x ∈ Q},

2. P ∪Q = {x : x ∈ P ou x ∈ Q},

3. Pc = {x : x < P},4. P −Q = {x : x ∈ P e x < Q}.

13 Definicao. (Subconjunto) Um conjunto P e um subconjunto do conjunto Q, denotadopor P ⊆ Q ou por Q ⊇ P, se todo elemento de P tambem e um elemento de Q.

14 Observacao. Se P = {x : p(x)} e Q = {x : q(x)} em um universo U, entao P ⊆ Q se, esomente se, a proposicao logica p(x)→ q(x) e verdadeira para todo x ∈ U.

14 Definicao. (Conjuntos iguais) Dois conjuntos P e Q sao iguais, denotado por P = Q,se eles contem os mesmos elementos, isto e, se cada conjunto e um subconjunto do outroconjunto, isto e, se P ⊆ Q e Q ⊆ P.

15 Definicao. (Conjuntos disjuntos) Dois conjuntos A e B sao disjuntos se, A ∩ B = ∅.

16 Definicao. (Subconjunto proprio) Dizemos que P e um subconjunto proprio de Q, deno-tado por P ⊂ Q ou por Q ⊃ P, se P ⊆ Q mas P , Q.

Os resultados sobre Conjuntos sao demonstrados a partir de seus analogos em Logica.

5 Teorema. (Leis distributivas) Se P, Q e R sao conjuntos, entao

1. P ∩ (Q ∪ R) = (P ∩Q) ∪ (P ∩ R), 2. P ∪ (Q ∩ R) = (P ∪Q) ∩ (P ∪ R).


II.4. OPERACOES COM CONJUNTOS ATRAVES DA LOGICA 21

Demonstracao. (Primeira lei distributiva para conjuntos) Faremos uso da Primeira leiDistributiva para proposicoes logicas.

Se as proposicoes p = p(x), q = q(x) e r = r(x) estao respectivamente relacionadasaos conjuntos P, Q e R com respeito a um dado universo U, entao P = {x : p(x)},Q = {x : q(x)} e R = {x : r(x)}. Assim, temos dois conjuntos

P ∩ (Q ∪ R) = {x : p(x) ∧ (q(x) ∨ r(x))}(P ∩Q) ∪ (P ∩ R) = {x : (p(x) ∧ q(x)) ∨ (p(x) ∧ r(x))}

Se x ∈ P∩ (Q∪R), entao p(x)∧ (q(x)∨ r(x)) e verdadeira. Pela primeira lei distributivapara funcoes sentenciais, a equivalencia logica

(p(x) ∧ (q(x) ∨ r(x)))←→ ((p(x) ∧ q(x)) ∨ (p(x) ∧ r(x)))

e uma tautologia.

Assim, (p(x) ∧ q(x)) ∨ (p(x) ∧ r(x)) e verdadeira, tal que x ∈ (P ∩Q) ∪ (P ∩ R). Isto da

(II.1) P ∩ (Q ∪ R) ⊂ (P ∩Q) ∪ (P ∩ R)

Se x ∈ (P ∩ Q) ∪ (P ∩ R). Entao (p(x) ∧ q(x)) ∨ (p(x) ∧ r(x)) e verdadeira. Segue daprimeira lei distributiva para funcoes sentenciais que p(x)∧ (q(x)∨ r(x)) e verdadeira,tal que x ∈ P ∩ (Q ∪ R). E segue outro um resultado:

(II.2) (P ∩Q) ∪ (P ∩ R) ⊂ P ∩ (Q ∩ R)

A demonstracao segue das duas inclusoes (II.1) e (II.2). �

6 Teorema. (Leis de De Morgan) Se P e Q sao conjuntos em um universo U, entao

1. (P ∩Q)c = Pc∪Qc, 2. (P ∪Q)c = Pc

∩Qc.

7 Teorema. Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, valem as seguintes propriedades

1. ∅ ⊂ A2. A ⊂ U

3. A ∩ B ⊂ A ⊂ A ∪ B4. A ∩ B ⊂ B ⊂ A ∪ B

8 Teorema. Se A e B sao conjuntos, demonstre que sao equivalentes as afirmacoes:

1. A ⊂ B 2. A = A ∩ B 3. B = A ∪ B

9 Teorema. (Propriedades da reuniao e da intersecao) Quaisquer que sejam os conjuntos A,B e C, valem as seguintes propriedades:

1. A ∪ ∅ = A2. A ∪ U = U

3. A ∪ A = A4. A ∪ B = B ∪ A5. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

6. A ∩ ∅ = ∅7. A ∩ U = A8. A ∩ A = A9. A ∩ B = B ∩ A

10. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)


II.5. QUANTIFICADORES LOGICOS 22

10 Teorema. Se S ⊂ U, entao U − S = U ∩ Sc.

Exercıcio: Definir a reuniao, a intersecao e as leis de De Morgan para tres conjuntos.

II.5. Q L

Vamos voltar ao exemplo x e par tratado no inıcio da Secao II.3, e restringir a nossaatencao aos valores de x pertencentes ao conjunto Z de todos os numeros inteiros.Assim:

1. A proposicao x e par e verdadeira apenas para alguns valores de x ∈ Z.

2. A proposicao Alguns elementos x em Z sao pares e verdadeira.

3. A proposicao Todos os elementos x em Z sao pares e falsa.

Em geral, usamos uma funcao proposicional da forma p = p(x), em que a variavel xesta em algum conjunto X muito bem estabelecido.

17 Definicao. (Quantificadores) Os sımbolos ∀ (para todo) e ∃ (existe um) sao, respectiva-mente, denominados quantificadores universal e existencial.

15 Observacao. (Sobre quantificadores) Os sımbolos ∀ (para todo) e ∃ (existe um) devem serusados sempre antes da afirmacao logica! Caso necessite usar apos a afirmacao, use palavrasnos lugares dos sımbolos.

Assim, podemos considerar as duas proposicoes abaixo, escritas nas suas respectivasformas simplificadas:

1. Qualquer que seja x ∈ X, p = p(x) e verdadeira, denotada em sımbolos por:

∀x ∈ X : p(x)

2. Existe um x ∈ X tal que p = p(x) e verdadeira, denotada em sımbolos por:

∃x ∈ X : p(x)

16 Observacao. (Variavel muda) A variavel x na proposicao ∀x : p(x) e uma variavelmuda, significando que a letra x pode ser trocada por qualquer outra letra. Assim, nao hadiferenca logica entre a proposicao ∀x : p(x) e a proposicao ∀y : p(y) ou a proposicao ∀z : p(z).

14 Exemplo. Algumas frases e as suas respectivas simplificacoes:

1. Para cada x real, x2 e nao negativo:

∀x ∈ R, x2≥ 0

2. Existe um numero real tal que x2 = 4:

∃x ∈ R : x2 = 4


II.6. NEGACAO DE PROPOSICOES COM QUANTIFICADORES 23

3. Para cada x real, existe y real tal que x + y = 0:

∀x ∈ R,∃y ∈ R : x + y = 0

4. Para quaisquer numeros reais x e a, vale a identidade x2− a2≡ (x − a)(x + a):

∀x, a ∈ R : x2− a2≡ (x − a)(x + a)

5. Para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que se |x − a| < δ entao | f (x) − f (a)| < ε:

∀ε>0,∃δ>0 : |x − a| < δ⇒ | f (x) − f (a)| < ε

6. (Lagrange): Todo numero natural e a soma dos quadrados de quatro inteiros:

∀n ∈ N,∃a, b, c, d ∈ Z : n = a2 + b2 + c2 + d2

7. (Goldbach): Todo numero par natural maior do que 2 e a soma de dois numeros primos:

∀n ∈ N − {1},∃p, q primos : 2n = p + q

Nao se sabe ate o momento se a conjectura de Goldbach e verdadeira ou falsa. Este e umproblema ainda sem solucao na Matematica.

II.6. N

Desenvolveremos uma regra para negar proposicoes com quantificadores. Ao afir-marmos que: Todos os alunos sao feios , talvez voce nao goste.

Temos a impressao que negar uma proposicao ∀x : p(x) e afirmar que ∃x : ¬p(x), istoe, existe alguem que nao e feio!

Existe um outro modo de entender isto. Seja U o universo e todos os valores de x paraos quais vale a proposicao logica p = p(x), assim definimos o conjunto P = {x : p(x)}.

Se a proposicao ∀x : p(x) e verdadeira, entao P = U, assim Pc = Uc = ∅, mas comoPc = {x : ¬p(x)}, assim, se a proposicao ∃x : ¬p(x) fosse verdadeira seguiria quePc , ∅, logo, (Pc)c , Uc = ∅, garantindo que P , ∅, o que seria uma contradicao.

Por outro lado, se a proposicao ∀x : p(x) e falsa, entao P , U, logo Pc , ∅ e segue quea proposicao ∃x : ¬p(x) e verdadeira.

Vamos acalmar o pessoal: Nem todos os alunos sao feios . Voce ainda reclamara,pois talvez nenhum de voces seja feio.

E natural suspeitar que a negacao de uma proposicao ∃x : p(x) seja a proposicao∀x : p(x). Isto nao e verdade!

Para resumir a forma de negar uma proposicao, nos devemos utilizar uma formasistematica mas bastante simples.



M p = p(x).

Suponhamos que exista uma proposicao bem complicada. Vamos aplicar ponto aponto a nossa simples regra. Por exemplo:

¬[∀x,∃y,∀z,∀w : p(x, y, z,w)]

e equivalente a∃x : ¬[∃y,∀z,∀w : p(x, y, z,w)]

que e equivalente a∃x,∀y : ¬[∀z,∀w : p(x, y, z,w)]

que equivale a∃x,∀y,∃z : ¬[∀w : p(x, y, z,w)]

que tambem e equivalente a

∃x,∀y,∃z,∃w : ¬p(x, y, z,w)

A regra criada e a seguinte. Devemos:

1. M ,2. T e3. N .

Exemplo: A negacao da conjectura de Goldbach pode ser escrita como

∃n ∈ N − {1},∀p, q numeros primos : 2n , p + q

significando que existe um numero natural par maior do que 2 que nao e a somade dois numeros primos. Para mostrar que a conjectura de Goldbach nao funciona,basta apresentar um contra-exemplo, isto e, os objetos satisfazendo aos conjuntosmas nao atendendo a conclusao.

Exercıcios:

1. Usando Tabelas-Verdade ou outro tipo de demonstracao, verificar que cada umadas seguintes proposicoes e uma tautologia:

(a) p→ (p ∨ q)(b) p→ (q→ p)(c) (p→ q)←→ (¬q→ ¬p)

(d) ((p ∧ ¬q)→ q)→ (p→ q)

(e) (p ∨ (p ∧ q))←→ p

2. Decidir (e justificar) se cada afirmacao e uma tautologia:(a) (p ∨ q)→ (q→ (p ∧ q))(b) ((p ∨ q) ∧ r)←→ (p ∨ (q ∧ r))(c) (p ∧ q)→ (p→ q)(d) (p→¬(q→r))↔ (¬(p→q)∨(p→¬r))(e) p→ (q ∧ (r ∨ s))(f) ¬[(p ∧ q) ∨ r]←→ ((¬p ∨ ¬q) ∧ ¬r)



(g) (p ∧ (q ∨ (r ∧ s)))←→ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r ∧ s))(h) ((p→ (q→r))→ ((p→q)→ (p→r))(i) (p ∧ q ∧ r)←→ (s ∨ t)(j) (¬[p→ q])←→ (¬p→ ¬q)

(k) ((r ∨ s)→ (p ∧ q))→ (p→ (q→ (r ∨ s)))(l) (¬[p→ q] ∧ (r←→ s))→ (t→ u)

(m) (p→ q)→ (q→ p)3. Para cada afirmacao, decidir se ela e verdadeira ou falsa, justificando a sua

assercao:(a) Se p e verdadeira e q e falsa, entao p ∧ q e verdadeira.(b) Se p e verdadeira, q e falsa e r e falsa, entao p ∨ (q ∧ r) e verdadeira.(c) A proposicao (p←→ q)←→ (q←→ p) e uma tautologia.(d) As proposicoes p ∧ (q ∨ r) e (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) sao logicamente equivalentes.

4. Listar os elementos de cada um dos conjuntos:

(a) {x ∈ N : x < 45}(b) {x ∈ Z : x < 45}(c) {x ∈ R : x2 + 2x = 0}

(d) {x ∈ Q : x2 + 4 = 6}(e) {x ∈ Z : x4 = 1}(f) {x ∈ N : x4 = 1}

5. Qual e o numero de elementos de cada conjunto abaixo? Tais conjuntos saodiferentes?

(a) ∅ (b) {∅} (c) {{∅}} (d) {∅, {∅}} (e) {∅, ∅}

6. Sejam U = {a, b, c, d}, P = {a, b} e Q = {a, c, d}. Escrever os seguinte conjuntos:

(a) P ∪Q (b) P ∩Q (c) Pc (d) Qc

7. Sejam U = R, A = {x ∈ R : x > 0}, B = {x ∈ R : x > 1} e C = {x ∈ R : x < 2}. Obtercada um dos seguintes conjuntos:

(a) A ∪ B(b) A ∪ C

(c) B ∪ C(d) A ∩ B

(e) A ∩ C(f) B ∩ C

(g) A − B(h) B − C

(i) A − C(j) Ac

(k) Bc

(l) Cc

8. Listar todos os subconjuntos do conjunto {1, 2, 3}. Quantos subconjuntos existem?9. Sejam A, B, C e D conjuntos tal que A ∪ B = C ∪D tal que A ∩ B = ∅ = C ∩D.

(a) Usando exemplos, mostrar que A ∩ C e B ∩D podem ser vazios.(b) Mostrar que se C ⊂ A, entao B ⊂ D.

10. Suponha que P, Q e R sao subconjuntos do conjunto N dos numeros naturais.Para cada ıtem, analise se e verdadeira ou falsa a afirmacao, justificando a suaassercao pelo estudo de proposicoes similares que existem em Logica:(a) P ∪ (Q ∩ R) = (P ∪Q) ∩ (P ∪ R).(b) P ⊂ Q se, e somente se, Q ⊂ P.(c) Se P ⊂ Q e Q ⊂ R, entao P ⊂ R.

11. Para cada proposicao, crie uma proposicao com palavras, faca a negacao daproposicao criada e escreva se a proposicao ou a negacao da proposicao e ver-dadeira:


II.7. PROPOSICOES COM VALORES LOGICOS NUMERICOS 26

(a) ∀z ∈ N : z2∈ N.

(b) ∀x ∈ Z,∀y ∈ Z,∃z ∈ z : z2 = x2 + y2.(c) ∀x ∈ Z : (x > y)→ (x , y).(d) ∀x, y, z ∈ R,∃w ∈ R : x2 + y2 + z2 = 8w.

12. Para cada proposicao abaixo, escrever uma proposicao logica correspondente e anegacao desta proposicao. Analisar se a proposicao que voce criou ou a negacaodesta proposicao e verdadeira.(a) Dados quaisquer inteiros, existe uma maior inteiro.(b) Existe um inteiro maior do que todos os outros inteiros.(c) Todo numero par e a soma de dois numeros ımpares.(d) Todo numero ımpar e a soma de dois numeros pares.(e) A distancia entre quaisquer dois numeros complexos e positiva.(f) Todo numero natural que e divisıvel por 2 e tambem por 3 e divisıvel por 6.

(Notacao: Escrever x|y se x divide y.)(g) Todo numero inteiro e a soma dos quadrados e dois numeros inteiros.(h) Nao existe um maior numero natural.

13. Seja p = p(x, y) uma funcao proposicional com as variaveis x e y. Discutir se cadaafirmacao e verdadeira do ponto de vista da Logica.(a) (∃x,∀y : p(x, y))→ (∀y,∃x : p(x, y))(b) (∀y,∃x : p(x, y))→ (∃x,∀y : p(x, y))

17 Observacao. Boa parte deste material recebeu a insercao de modulos de nossas notas deaulas e foi adaptado de DISCRETE MATHEMATICS, WWL CHEN, 1982, 2003, onde se le:This chapter originates from material used by the author at Imperial College, University ofLondon, between 1981 and 1990. It is available free to all individuals, on the understandingthat it is not to be used for financial gains, and may be downloaded and/or photocopied, withor without permission from the author. However, this document may not be kept on anyinformation storage and retrieval system without permission from the author, unless suchsystem is not accessible to any individuals other than its owners.

II.7. P

Na sequencia, substituiremos os valores logicos F e V das proposicoes p e q pelosvalores numericos 0 e 1, para gerar novas proposicoes com o uso de computadores.

18 Definicao. (Mınimo e Maximo entre numeros inteiros) Se p e q sao numeros inteiros,definimos o mınimo (respectivamente, maximo) entre p e q, denotado por min(p, q) (respecti-vamente max(p, q)), atraves de

min(p, q) ={

p se p ≤ qq se q < p max(p, q) =

{q se p ≤ qp se q < p


II.7. PROPOSICOES COM VALORES LOGICOS NUMERICOS 27

19 Definicao. (Tabelas-verdade com valores numericos) Sejam p e q duas proposicoes logicas,que assumem o valor logico 0 se a proposicao e falsa e o valor logico 1 se a proposicao everdadeira. A partir de tais valores logicos numericos de p e q, podemos definir as proposicoes:

Nome da proposicao Notacao Definicao com valores numericosConjuncao de p e q p ∧ q min(p, q)Disjuncao de p e q p ∨ q max(p, q)Negacao de p ¬p 1 − pCondicional entre p e q p→ q max(1 − p, q)Bicondicional entre p e q p←→ q max(min(p, q),min(1 − p, 1 − q))

15 Exemplo. (Tabelas-verdade com valores numericos) Sejam as proposicoes p e q, queassumem valores logicos verdadeiros (1) ou falsos (0).

P1 P2 Conjuncao Disjuncao Negacao Implicacao Equivalenciap q min(p,q) max(p,q) 1-p max(1-p,q) max(min(p,q),min(1-p,1-q))1 1 1 1 0 1 11 0 0 1 0 0 00 1 0 1 1 1 00 0 0 0 1 1 1

Trabalhos que devem ser realizados pelos alunos

1. Exibir situacoes com frases da vida e de Matematica onde aparecem exemplospraticos de proposicoes compostas.

2. Usar a Logica para desenvolver o raciocınio logico, identificando situacoes comoas dos livros: “Alice no Paıs das Maravilhas (Lewis Carrol)” ou “A Dama ouo Tigre?”, “Alice no Paıs dos Enigmas”, “O Enigma de Sherezade” de Ray-mond Smullyan, editados no Brasil por Jorge Zahar, para resolver problemasde raciocınio logico-matematico.

3. Estudar e exibir situacoes em que sao necessarias as tecnicas dedutivas parademonstrar proposicoes logicas. Exibir aplicacoes das tecnicas dedutivas, emresultados simples da aritmetica dos numeros inteiros, racionais e irracionaise tambem em conteudos deste curso. Estudar a equivalencia das tecnicas dedemonstracoes (direta, contrapositiva e por absurdo) usando a tabela verdade

4. Dar exemplos de situacoes com demonstracoes logicas diretas.5. Dar exemplos de situacoes que necessitam ser demonstradas pela contrapositiva.6. Dar exemplos de situacoes que necessitam que as demonstracoes sejam realizadas

“por absurdo”.7. Apresentar situacoes em que a inducao matematica nao e valida. Apresentar

situacoes onde a inducao matematica e necessaria.8. Para entender como usamos a Logica em jogos e quebra-cabecas como: quadrado

magico, Kakuro, jogos de tabuleiro de damas e Xadrez, alem de jogos de com-putador como o Freecell. Vejamos um problema de um Sudoku simples:


II.8. CONJUNTOS E SUAS PRINCIPAIS PROPRIEDADES 28

4 8 3 7 21 2 8

5 2 1 36 2 9 1

7 5 9 39 4 7 8

3 9 7 45 6 18 4 6 9

Figura II.1: Exemplo do problema Sudoku

II.8. C

Conjuntos sao usados para descrever propriedades matematicas. Para os nossosestudos, admitiremos que existe um conjunto universal com todos os elementos doambiente matematico que estamos trabalhando, denotando-o por U e um conjuntovazio que nao possui elementos, denotado por ∅.

18 Observacao. (Sımbolos de pertinencia e inclusao) Em geral, conjuntos sao indicadospor letras maiusculas e os elementos dos conjuntos indicados por letras minusculas. Se umelemento x pertence ao conjunto A, denotamos por x ∈ A. Se um elemento x nao pertenceao conjunto A, denotamos por x < A. Se os elementos de um conjunto A possuem a mesmapropriedade P = P(x), escrevemos

A = {x : P(x) e verdadeira} ou A = {x | P(x) e verdadeira}

20 Definicao. (Subconjunto) Um conjunto A e subconjunto de B se, para todo x ∈ A tem-seque x ∈ B, denotando esta inclusao, por A ⊂ B ou por B ⊃ A.

21 Definicao. (Superconjunto) Um conjunto A e superconjunto de B se B ⊂ A.

22 Definicao. (Conjuntos iguais) Dois conjuntos A e B sao iguais, se e somente se, todoelemento de A e elemento de B e todo elemento de B e elemento de A. Os conjuntos A e B saoiguais se, e somente se, A ⊂ B e B ⊂ A. Quando A e B sao iguais, usamos a notacao A = B.

23 Definicao. (Conjuntos diferentes) Se A e B nao sao iguais, diz-se que A e B sao diferentese usamos a notacao A , B.


II.8. CONJUNTOS E SUAS PRINCIPAIS PROPRIEDADES 29

24 Definicao. (Subconjunto proprio) Se A ⊂ B e A e diferente de B, diz-se que A e umsubconjunto proprio de B.

25 Definicao. (Superconjunto proprio) Se A ⊃ B e A e diferente de B, diz-se que A e umsuperconjunto proprio de B.

26 Definicao. (Reuniao de conjuntos) A reuniao de dois conjuntos A e B e o conjunto detodos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B:

A ∪ B = {x : x ∈ A ou x ∈ B}

27 Definicao. (Intersecao de conjuntos) A intersecao de dois conjuntos A e B e o conjuntode todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B:

A ∩ B = {x : x ∈ A e x ∈ B}

Exercıcio: Defina a reuniao de tres conjuntos e a intersecao de tres conjuntos.

11 Teorema. Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, valem as propriedades

1. ∅ ⊂ A ⊂ U 2. A ∩ B ⊂ A ⊂ A ∪ B 3. A ∩ B ⊂ B ⊂ A ∪ B

12 Teorema. Se A e B sao conjuntos, entao sao equivalentes as afirmacoes:

1. A ⊂ B 2. A = A ∩ B 3. B = A ∪ B

28 Definicao. (Conjuntos disjuntos) Dois conjuntos A e B sao disjuntos se,

A ∩ B = ∅

29 Definicao. (Conjunto complementar) Sejam S e U conjuntos tal que S ⊂ U. Define-se ocomplementar de S em U, denotado por U − S ou por U \ S, como:

U − S = {x ∈ U : x < S}

Se o conjunto U se refere ao universo U que se considera no contexto, e normal denotar ocomplementar de S, como:

Sc = {x ∈ U : x < S}

13 Teorema. Se S ⊂ U, entao U − S = U ∩ Sc.

14 Teorema. (Propriedades da reuniao e da intersecao) Quaisquer que sejam os conjuntosA, B e C, valem:

1. A ∪ ∅ = A2. A ∪ U = U

3. A ∪ A = A4. A ∪ B = B ∪ A5. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

6. A ∩ ∅ = ∅7. A ∩ U = A8. A ∩ A = A9. A ∩ B = B ∩ A

10. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)


II.9. PROPRIEDADES PARA NUMERO MAIOR DE CONJUNTOS 30

15 Teorema. (Distributividade) Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, valem:

1. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 2. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

16 Teorema. (Leis de Augustus de Morgan] Quaisquer que sejam os conjuntos A e B:

1. (A ∪ B)c = Ac∩ Bc 2. (A ∩ B)c = Ac

∪ Bc

Exercıcio: Exibir as leis de De Morgan para tres conjuntos.

II.9. P

19 Observacao. (Numero finito ou infinito de conjuntos) As propriedades apresentadas paradois conjuntos tambem sao validas para um numero finito de conjuntos, mas nem sempre saoverdadeiras para um numero infinito de conjuntos.Seja a colecao de conjuntos {Ai}i∈M, onde M = {1, 2, 3, ...,m}. A reuniao dos conjuntos Ai e oconjunto de todos os elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos Ai:

m⋃i=1

Ai = {x : x ∈ Ai para algum i ∈M}

A intersecao dos conjuntos Ai e o conjunto de todos os elementos que pertencem a todos osconjuntos Ai:

m⋂i=1

Ai = {x : x ∈ Ai para todo i ∈M}

Nas definicoes acima, se o conjunto M for substituıdo pelo conjunto N = {1, 2, 3, 4, ...} e aletra m for substituıda pelo sımbolo∞, a reuniao e a intersecao serao indicadas por:

∞⋃i=1

Ai = {x : x ∈ Ai para algum i ∈ N}

∞⋂i=1

Ai = {x : x ∈ Ai para todo i ∈ N}


Cı III

“E apliquei o meu coracao a inquirir e a investigar com sabedo-ria a respeito de tudo quanto se faz debaixo do ceu; essa en-fadonha ocupacao deu Deus aos filhos dos homens para nela seexercitarem. Atentei para todas as obras que se fazem debaixodo sol; e eis que tudo era vaidade e desejo vao. Ao Senhor, nossoDeus, pertencem a misericordia e o perdao; pois nos rebelamoscontra ele, e nao temos obedecido a voz do Senhor, nosso Deus,para andarmos nas suas leis, que nos deu por intermedio de seusservos, os profetas.” A Bıblia Sagrada, Eclesiastes 1:13-14

III.1. P

30 Definicao. (Par ordenado) Um par ordenado (a, b) e o conjunto na forma

(a, b) = {{a}, {a, b}}

Os elementos a e b do par (a, b) sao as coordenadas. A primeira coordenada recebe o nome deabscissa e a segunda coordenada recebe o nome de ordenada.

Exercıcio: Usando a definicao acima, demonstrar que dois pares ordenados (a, b) e(c, d) sao iguais se, e somente se, a = c e b = d.

III.2. P

31 Definicao. (Produto cartesiano) Se A e B sao conjuntos nao vazios, o produto cartesianoentre A e B, denotado por A × B, e o conjunto de todos os pares ordenados de A × B, isto e:

A × B = {(a, b) : a ∈ A e b ∈ B}

Em situacoes em que A = ∅ ou B = ∅, escrevemos A × B = A × ∅ = ∅ × B = ∅ × ∅ = ∅.


III.3. PRODUTO DE NUMERO POR CONJUNTO 32

III.3. P

32 Definicao. (Produto de numero por conjunto) O produto do numero r pelo conjunto X,e definido por r.X = {rx : x ∈ X}.

16 Exemplo. (Conjunto dos numeros pares) O produto do numero 2 pelo conjunto Z dosnumeros inteiros, e o conjunto dos numeros pares:

2Z = {2z : z ∈ Z} = {...,−6,−4,−2, 0, 2, 4, 6, ...}

III.4. R

33 Definicao. (Relacao) Sejam A e B dois conjuntos nao vazios. Uma relacao R no produtocartesiano A×B, e qualquer subconjunto de A×B, isto e, e um conjunto R tal que R ⊂ A×B.

III.5. A

34 Definicao. (Aplicacao) Sejam A e B dois conjuntos nao vazios. Uma aplicacao F noproduto cartesiano A × B, e uma relacao em A × B, que satisfaz as duas propriedades:1. Para cada x ∈ A, existe y ∈ B tal que (x, y) ∈ F.2. Se (x, y1) ∈ F e (x, y2) ∈ F, entao y1 = y2.

Na literatura em geral, uma aplicacao f em A × B e denotada por f : A→ B.

20 Observacao. (Relacao que nao e aplicacao) R = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1} e umarelacao em R2 que nao e uma aplicacao, pois para um mesmo elemento x = 0, existem doiscorrespondentes y = −1 e y = 1 tal que x2 + y2 = 1.

21 Observacao. (A palavra funcao] Em geral, a palavra aplicacao e substituıda pelapalavra funcao, mas ressaltamos que, na literatura recente, esta modificacao deve ser usadase B e um subconjunto do conjunto dos numeros reais.

22 Observacao. O nome da funcao e tomado do contradomınio Y.1. Se Y e um conjunto de numeros reais, temos uma funcao real.2. Se Y e um conjunto de vetores, temos uma funcao vetorial.3. Se Y e um conjunto de matrizes, temos uma funcao matricial.4. Se Y e um conjunto de numeros complexos, a funcao e complexa.

III.6. Dı, ı

35 Definicao. (Domınio, Contradomınio e Imagem de uma aplicacao) Seja f uma aplicacaoem A × B. Em geral, a aplicacao f e pensada em funcao do seu grafico, que e o desenho dacurva representativa de f , razao pela qual e conhecida como o grafico de f , denotada por

G( f ) = {(x, y) ∈ A × B : x ∈ A, y ∈ B, y = f (x)}


III.7. RESTRICAO DE UMA APLICACAO 33

sendo que f associa a cada x ∈ A um unico y ∈ B tal que y = f (x). O domınio de f , denotadopor Dom( f ) e o conjunto A, o contradomınio de f , denotado por Codom( f ) e o conjunto B e aimagem de f , denotada por Im( f ) e definida por

f (A) = {y ∈ B, existe x ∈ A : y = f (x)}

17 Exemplo. A funcao quadratica f : R→ [0,∞) pode ser escrita como:

G( f ) = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ R, y ∈ R, y = x2}

ou na forma f : R → R definida por f (x) = x2 sendo Dom( f ) = R, Codom( f ) = [0,∞) eIm( f ) = [0,∞).

III.7. R

36 Definicao. (Restricao de uma aplicacao) Se S e um subconjunto de A, podemo restringiro domınio de uma aplicacao f : A→ B de modo que a funcao restricao f |S : S→ B coincidecom a funcao original sobre o conjunto S, isto e, se para todo x ∈ S, tem-se que

f |S(x) = f (x)

18 Exemplo. A funcao f : R → R, definida por f (x) = x2 pode ter a sua definicao restritaao conjunto [0,∞) de modo que

f |[0,∞) : [0,∞)→ R, f (x) = x2

III.8. E

37 Definicao. (Extensao de uma aplicacao) Podemos estender uma aplicacao f : A → B aum conjunto M ⊃ A de modo que a aplicacao estendida f : M → B coincida com a funcaooriginal sobre o conjunto A, isto e, para todo , x ∈ A tem-se que

f (x) = f (x)

19 Exemplo. A funcao f : R − {0} → R definida por f (x) =sin(x)

xnao tem sentido para

x = 0, mas f pode ser estendida a funcao sinc sobre todo o conjunto R definindo f (0) = 1.Esta forma e muito usada em Analise.

sinc(x) =

sin(x)

xse x , 0

1 se x = 0

A funcao sinc e utilizada em transmissao digital de sinais.


III.9. APLICACAO INJETIVA 34

III.9. A

38 Definicao. (Aplicacao injetiva) Uma aplicacao f : A → B e injetiva, injetora, unıvocaou 1-1, se:

f (x1) = f (x2) implica que x1 = x2

ou equivalentemente,x1 , x2 implica que f (x1) , f (x2)

20 Exemplo. A funcao f : R → R, definida por f (x) = x2 nao e injetiva, uma vez quef (−2) = f (2), mas a funcao f : [0,∞)→ [0,∞) definida por f (x) = x2 e injetiva.

III.10. A

39 Definicao. (Aplicacao sobrejetiva) Uma aplicacao f : A → B e sobrejetiva, sobre ousobrejetora, se f (A) = B.

21 Exemplo. A funcao f : R → R definida por f (x) = x2 nao e sobrejetiva, pois nao existex ∈ R tal que f (x) = −2, mas a funcao f : [0,∞) → [0,∞) definida por f (x) = x2 esobrejetiva.

III.11. A

40 Definicao. (Aplicacao bijetiva) Uma aplicacao f : A → B e bijetiva, bijetora ou umacorrespondencia biunıvoca, se f e injetiva e tambem sobrejetiva.

22 Exemplo. A funcao f : R → R definida por f (x) = x2 nao e bijetiva, mas a funcaof : [0,∞)→ [0,∞) definida por f (x) = x2 e bijetiva.

23 Observacao. (A palavra sobre) Afirmar que f : A→ B e uma aplicacao injetiva o conjunto B, e equivalente a afirmar que f e bijetiva.

41 Definicao. (Aplicacao identidade) A identidade I : X → X e uma das mais importantesaplicacoes da Matematica, definida por I(x) = x para cada x ∈ X. Quando e importanteindicar o conjunto X onde a identidade esta atuando, a aplicacao identidade I : X → X edenotada por IX.

III.12. C

42 Definicao. (Aplicacao composta) Sejam as aplicacoes f : A → B e g : B → C. Aaplicacao composta g ◦ f : A→ C e definida, para todo x ∈ A, por

(g ◦ f )(x) = g( f (x))


III.12. COMPOSTAS DE APLICACOES 35

23 Exemplo. Sejam f : R→ R definida por f (x) = 2x e g : R→ R definida por g(y) = y2.A composta g ◦ f : R→ R e definida por

(g ◦ f )(x) = g( f (x)) = g(2x) = (2x)2 = 4x2

Tomando h : R→ R, por h(x) = 4x2, poderemos escrever h = g ◦ f .

43 Definicao. (Aplicacoes inversas a esquerda e a direita) Sejam f : A → B, g : B → Aaplicacoes e a ∈ A e b ∈ B elementos arbitrarios.

1. g e uma inversa a esquerda para f se g ◦ f = IA, isto e, (g ◦ f )(a) = a.2. g e uma inversa a direita para f se f ◦ g = IB, isto e, ( f ◦ g)(b) = b.3. A aplicacao f tem g como inversa se, g e uma inversa a esquerda e tambem a direita para

f , isto e, ( f ◦ g)(a) = IA(a) e (g ◦ f )(b) = IB(b).4. Nem sempre existe a inversa de uma aplicacao f , mas quando isto ocorre, ela e denotada

por f −1.5. Se a inversa f −1 existe, ela e unica e a inversa da inversa de f e a propria f , isto e,

( f −1)−1 = f .

17 Teorema. (Propriedades das aplicacoes compostas) Sejam as aplicacoes f : A → B,g : B→ C e h : C→ D. Entao, a composta dessas aplicacoes

1. e associativa, isto e ( f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h);2. possui elemento neutro, isto e, f ◦ I = I ◦ f = f .

Exercıcio: Sejam as aplicacoes f : A→ B e g : B→ C e g ◦ f : A→ C.

1. Exibir exemplos mostrando que a composta de duas aplicacoes nao e comutativa,isto e, em geral vale a relacao f ◦ g , g ◦ f .

2. Demonstrar que se f e g sao injetivas, entao a composta g ◦ f tambem e injetiva.3. Demonstrar que se f e g sao sobrejetivas, entao a composta g ◦ f tambem e

sobrejetiva.4. Demonstrar que se f e g sao bijetivas, entao a composta g ◦ f tambem e bijetiva.5. Demonstrar que se g ◦ f e injetiva, entao f e injetiva.6. Demonstrar que se g ◦ f e e sobrejetiva, entao g e sobrejetiva.7. Demonstrar que se g ◦ f e injetiva e f e injetiva, entao g e injetiva.8. Considere a seguinte afirmacao:

“Se g ◦ f e injetiva e g e sobrejetiva, entao f e sobrejetiva.”

E verdadeira a afirmacao acima? Se for falsa, apresente um contra-exemplo paraesta afirmacao, isto e, uma situacao em que g ◦ f e injetiva e g e sobrejetiva, masf NAO e sobrejetiva.


III.13. IMAGEM DIRETA E INVERSA DE CONJUNTO 36

III.13. I

No que segue, usaremos uma aplicacao f : X → Y para a qual X e o domınio de f eY e o contradomınio de f .

44 Definicao. (Imagem direta de um conjunto) Sejam A ⊂ X e B ⊂ X. Define-se a imagemdireta do conjunto A pela aplicacao f por

f (A) = { f (a) : a ∈ A}

18 Teorema. Sao validas as seguintes afirmacoes:1. Para todo x ∈ X, tem-se que f ({x}) = { f (x)}.2. Se A , ∅ entao f (A) , ∅3. Se A ⊂ B entao f (A) ⊂ f (B)4. f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B)5. f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B)

45 Definicao. (Imagem inversa de um conjunto) Sejam U ⊂ Y e V ⊂ Y. Definimos aimagem inversa do conjunto U pela aplicacao f por

f −1(U) = {x ∈ X : f (x) ∈ U}

19 Teorema. Sao validas as seguintes afirmacoes:1. f −1(∅) = ∅2. Se U ⊂ V entao f −1(U) ⊂ f −1(V)3. f −1(U ∪ V) = f −1(U) ∪ f −1(V)4. f −1(U ∩ V) = f −1(U) ∩ f −1(V)5. f −1(Vc) = [ f −1(V)]c

6. Se U ⊂ V entao f −1(V −U) = f −1(V) − f −1(U)

20 Teorema. Se f : X→ Y e uma aplicacao, entao1. se A ⊂ X, entao A ⊂ f −1( f (A)).2. se V ⊂ Y, entao f ( f −1(V)) ⊂ V.

Exercıcio: Seja f : X→ Y uma aplicacao. Demonstrar que:1. f e injetiva se, e somente se, quaisquer que sejam A,B ⊂ X, f (A∩B) = f (A)∩ f (B).

Demonstracao. Mostraremos que se f e injetiva, entao f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B).A inclusao f (A∩B) ⊂ f (A)∩ f (B) vale em geral mas a inclusao f (A)∩ f (B) ⊂ f (A∩B),necessita que f seja injetiva.Se y ∈ f (A) ∩ f (B), entao existe a ∈ A com y = f (a) e existe b ∈ B tal que y = f (b).Se f e injetiva, entao a afirmacao f (a) = f (b) implica que a = b, assim a ∈ A ∩ B edesse modo y = f (a) ∈ f (A ∩ B).Mostraremos agora que se f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B) entao f e injetiva.Negaremos a tese e chegaremos a negacao da hipotese. Realmente, se f nao einjetiva, existem x1, x2 ∈ X sendo x1 , x2 tal que f (x1) = f (x2). Assim, existemdois conjuntos unitarios A = {x1} e B = {x2} tal que A ∩ B = ∅, garantindo quef (A ∩ B) = { f (x1} ∩ { f (x2} = ∅ mas f (A) ∩ f (B) = { f (x1} ∩ { f (x2} , ∅, contrario ahipotese, logo, a afirmacao e verdadeira. �


III.13. IMAGEM DIRETA E INVERSA DE CONJUNTO 37

2. f e injetiva se, e somente se, para todo Y ⊂ X tem-se f (X − Y) = f (X) − f (Y).

Demonstracao. Mostraremos que se f e injetiva, entao f (X − Y) = f (X) − f (Y).A inclusao f (X−Y) ⊂ f (X)− f (Y) vale em geral e nao necessita da injetividade dafuncao f . Para demonstrar a inclusao f (X)− f (Y) ⊂ f (X−Y), existe a necessidadeque f seja injetiva.Se y ∈ f (X) − f (Y), entao y ∈ f (X) e y < f (Y), assim existe x ∈ X com y = f (x) eexiste z < Y tal que y = f (z). Se f e injetiva, entao f (x) = f (z) implica que x = z,assim x = z ∈ X − Y e desse modo y = f (x) ∈ f (X − Y).Mostraremos agora que se f (X − Y) = f (X) − f (Y) entao f e injetiva.Negaremos a tese e chegaremos a negacao da hipotese. Realmente, se f nao einjetiva, existem x1, x2 ∈ X sendo x1 , x2 tal que f (x1) = f (x2). Assim, podemosconstruir dois conjuntos X = {x1, x2} e Y = {x2} tal que X−Y = {x1}, garantindo quef (X−Y) = { f (x1}mas f (X)− f (Y) = {y}−{y} = ∅, contrario a hipotese. Concluımosque a afirmacao e verdadeira. �

3. f e injetiva se, e somente se, para quaisquer A,B ⊂ X tem-se f (A−B) = f (A)− f (B).

Demonstracao. Caso particular do ıtem anterior com X = A e Y = B. �

4. f e injetiva se, e somente se, para todo A ⊂ X tem-se f −1( f (A)) = A.

Demonstracao. Demonstracao: Para qualquer funcao f , tem-se em geral quef −1( f (A)) ⊂ A. Basta mostrar que se f e injetiva entao f −1( f (A)) ⊂ A. Sejax ∈ f −1( f (A)). Assim, f (x) ∈ f (A). Como f (x) esta na imagem f (A), existe x1 ∈ Atal que f (x) = f (x1). Como f e injetiva, segue que x = x1, assim x ∈ A. Concluımosassim que, se f e injetiva, entao f −1( f (A)) = A.

�

5. f e sobrejetiva se, e somente se, V ⊂ Y tem-se f ( f −1(V)) = V.6. f e bijetiva se, e somente se, para todo A ⊂ X e para todo V ⊂ Y, tem-se que

f −1( f (A)) = A e f ( f −1(V)) = V.


Cı IV

“E, como aos homens esta ordenado morrerem uma so vez, vindodepois o juızo, assim tambem Cristo, oferecendo-se uma so vezpara levar os pecados de muitos, aparecera segunda vez, sempecado, aos que o esperam para salvacao.” A Bıblia Sagrada,Hebreus 9:27-28

IV.1. E

46 Definicao. (Conjuntos equivalentes) Dois conjuntos A e B sao equivalentes se, existeuma bijecao f : A→ B. Se A e B sao conjuntos equivalentes, usamos a notacao A ∼ B.

24 Observacao. De modo grosseiro, conjuntos equivalentes sao aqueles que possuem omesmo numero de elementos, mas veremos que este conceito precisa ser melhorado!

24 Exemplo. Conjuntos equivalentes. Todas as funcoes apresentadas sao bijetoras.

À V = {a, e, i, o,u} ∼ I5 = {1, 2, 3, 4, 5}, pois existe pelo menos uma bijecao entre V e I5.Apresente pelo menos uma delas das 120 possıveis bijecoes entre V e I5?

Á N = {1, 2, 3, 4, ...} ∼ N2 = {2, 4, 6, 8, ...}, pois existe f : N→ N2 definida por f (n) = 2n.

Â N = {1, 2, 3, 4, ...} ∼ P = {0, 2, 4, 6, 8, ...}, pois existe f : N → P definida por f (n) =2(n − 1).

Ã N = {1, 2, 3, 4, ...} ∼ I = {1, 3, 5, 7, ...}, pois existe f : N→ I definida por f (n) = 2n−1.

Ä I1 = [0, 1] ∼ Ia = [0, a] (a > 0), pois f : I1 → Ia definida por f (x) = ax.

Å I = [a, b] ∼ Ih = [a + h, b + h], pois f : I→ Ih definida por f (x) = x + h e bijetora.

Æ I = (0, 1) ∼ J = (0,∞), pois f : I→ J definida por f (x) = 1/x e bijetora.

Ç I = (−1, 1) ∼ J = (−∞,∞), pois f : I→ J definida por f (x) =x

1 − |x|e bijetora.

25 Exemplo. Uma relacao interessante. A colecao de todos os conjuntos equivalentes A, B,C, ... caracterizados pela relacao A ∼ B definida antes, possui as propriedades:

1. Reflexiva: A ∼ A.Justificativa: A aplicacao identidade IA : A→ A e bijetora.


IV.2. RELACAO DE EQUIVALENCIA 39

2. Simetrica: Se A ∼ B entao B ∼ A.Justificativa: Se f : A→ B e bijetora, a sua inversa f −1 : B→ A tambem e bijetora.

3. Transitiva: Se A ∼ B e B ∼ C, entao A ∼ C.Justificativa: Se f : A → B e bijetora e g : B → C e bijetora, a aplicacao compostah = g ◦ f : A→ C tambem e bijetora.

IV.2. R

25 Observacao. (Notacao de elementos relacionados) Para indicar que dois elementos x, y ∈U estao relacionados por uma relacao R, denotamos por: xRy ou (x, y) ∈ R ou x ≡ y (mod R).

47 Definicao. (Relacao de equivalencia) Uma relacao R definida sobre um conjunto U e umarelacao de equivalencia se e:

R Reflexiva: Qualquer que seja x ∈ U, tem-se que xRx.S Simetrica: Se xRy entao yRx.T Transitiva: Se xRy e yRz, entao xRz.

26 Exemplo. (Relacao de paridade). Seja o conjunto Z dos numeros inteiros e a relacao sobreZ definida por, xRy se, e somente se, x − y e um numero par. Mostramos que esta e umarelacao de equivalencia, pois valem as propriedades:

R Qualquer que seja x ∈ Z, tem-se que x − x = 0 e par, logo xRx.S Se xRy entao x − y e par, logo y − x tambem e par, assim yRx.T Se xRy e yRz, entao x−y e par e y−z e par. Dessa maneira, a soma (x−y)+(y−z) = x−z

e par, garantindo que xRz.

27 Exemplo. (Congruencia modulo p) Seja Z o conjunto dos numeros inteiros e a relacaosobre Z definida por: x ≡ y mod (p) se, e somente se, x − y e um multiplo inteiro de p. Epossıvel mostrar que valem as tres propriedades:

R Qualquer que seja x ∈ Z, tem-se que x − x = 0 e multiplo de p, logo x ≡ x mod (p).S Se x ≡ y mod (p) entao x− y e multiplo de p, logo y− x tambem e multiplo de p, assim

y ≡ x mod (p).T Se x ≡ y mod (p) e y ≡ z mod (p), entao x− y e multiplo de p e y− z e multiplo de p,

assim, a soma desses numeros e um multiplo de p, logo (x− y)+ (y− z) = x− z e multiplode p e temos entao que x ≡ z mod (p).

28 Exemplo. (Relacao de equivalencia com conjuntos) Seja a colecao de todos os conjuntosem um universo U e A,B ∈ U. A relacao R definida por, ARB se, e somente se, A = B, possuias propriedades: Reflexiva, Simetrica e Transitiva.

48 Definicao. (Classe de equivalencia) Seja R uma relacao equivalencia definida sobre umconjunto U. A classe de equivalencia do elemento a ∈ U e o subconjunto de U, definido por

a = {x ∈ U : x ≡ a mod (R)}


IV.3. RELACAO DE ORDEM 40

29 Exemplo. (Classes de equivalencia de paridade) Seja o conjunto Z dos numeros inteirose a relacao sobre Z definida por: xRy se, e somente se, x − y e um numero par. O conjunto Zpode ser decomposto em duas classes de equivalencia disjuntas e nao vazias, isto e, Z = 0∪ 1,onde

0 = {x ∈ Z : x ≡ 0 mod (2)} Conjunto dos numeros pares

1 = {x ∈ Z : x ≡ 1 mod (2)} Conjunto dos numeros ımpares

30 Exemplo. (Classes de congruencia modulo 3) Seja o conjunto Z dos numeros inteiros ea relacao sobre Z definida por: x ≡ y (mod 3) se, e somente se, x − y e divisıvel por 3. Oconjunto Z pode ser decomposto em tres classes de equivalencia disjuntas e nao vazias, istoe, Z = 0 ∪ 1 ∪ 2, onde 0 = {x ∈ Z : x ≡ 0 mod (3), 1 = {x ∈ Z : x ≡ 1 mod (3)} e2 = {x ∈ Z : x ≡ 2 mod (3)}.

IV.3. R

49 Definicao. (Relacao de ordem) Uma relacao R definida sobre um conjunto U e umarelacao de ordem se e:

R Reflexiva: Qualquer que seja x ∈ U, tem-se que xRx.A Anti-Simetrica: Se xRy e yRx entao x = y.T Transitiva: Se xRy e yRz, entao xRz.

IV.4. C

50 Definicao. (Conjunto finito) Um conjunto A e finito se, A e vazio ou A e equivalente aIn = {1, 2, 3, ...,n}. Um conjunto A e infinito se ele nao e finito.

21 Teorema. (Subconjunto finito de um finito) Se B e um conjunto finito e S ⊂ B, entao Stambem e um conjunto finito.

IV.5. C

51 Definicao. (Conjunto enumeravel) Um conjunto A e enumeravel se A e equivalente aN = {1, 2, 3, ...}. Se A nao e enumeravel, diz-se que A e nao-enumeravel.

52 Definicao. (Conjunto contavel) Um conjunto A e contavel se, A e enumeravel ou A efinito.

26 Observacao. Para as nossas demonstracoes, um conjunto X enumeravel tomara a formaordenada como X = {xk}k∈N, escritos pela apresentacao dos seus elementos na forma geral

X = {x1, x2, x3, ..., xn, ...}

sendo os ındices elementos do conjunto N = {1, 2, 3, ...} dos numeros naturais.


IV.6. PROPRIEDADES DOS CONJUNTOS ENUMERAVEIS 41

IV.6. P

22 Teorema. (Conjuntos enumeraveis e contaveis) Se B e um conjunto enumeravel e S ⊂ B,entao S e um conjunto contavel.

Demonstracao. Se S ⊂ B e B e um conjunto enumeravel, existe uma aplicacao bijetoraf : B→ N. Acontece que o subconjunto S pode ser finito ou infinito.

S e finito: A restricao f ao subconjunto S definida por f |S : S→ In para algum n ∈ Ntambem e bijetora e segue que S ∼ In.

S e infinito: A restricao de f ao subconjunto S, definida por f |S : S → N tambem ebijetora e segue que S ∼ N.

Reunindo as duas informacoes, concluımos que S e contavel. �

23 Teorema. (Contavel dentro de contavel) Se B e um conjunto contavel e S ⊂ B, entao S eum conjunto contavel.

24 Teorema. (Reuniao de dois conjuntos enumeraveis) Se A e B sao conjuntos enumeraveis,a reuniao A ∪ B e um conjunto enumeravel.

Demonstracao. Se A e B sao conjuntos enumeraveis, escrevemos A = {a1, a2, a3, ..., an, ...}e B = {b1, b2, b3, ..., bn, ...} e tomamos a reuniao na forma:

A ∪ B = {a1, b1, a2, b2, a3, b3, ..., an, bn, ...}

Podemos definir a funcao f : A ∪ B→ N tal que

f (an) = 2n − 1 e f (bn) = 2n

Esta aplicacao e bijetora e garantimos que A ∪ B ∼ N. �

25 Teorema. (Z e um conjunto enumeravel) O conjunto Z de todos os numeros inteiros eenumeravel.Dica para a demonstracao: Decompor Z na forma Z = A ∪ B onde A = {0, 1, 2, 3, ...,n, ...} eB = {−1,−2,−3, ...,−n, ...}.

26 Teorema. (Reuniao de tres conjuntos enumeraveis) Se A, B e C sao conjuntos enu-meraveis, a reuniao A ∪ B ∪ C e um conjunto enumeravel.

Dica: Escreva A = {a1, a2, a3, ..., an, ...}, B = {b1, b2, b3, ..., bn, ...} e C = {c1, c2, c3, ..., cn, ...} etome a reuniao:

A ∪ B ∪ C = {a1, b1, c1, a2, b2, c2, a3, b3, c3, ..., an, bn, cn, ...}

e defina a funcao bijetora f : A ∪ B ∪ C→ N tal que

f (an) = 3n − 2, f (bn) = 3n − 1 e f (cn) = 3n



27 Teorema. (Reuniao de n conjuntos enumeraveis) Se E = {A1,A2, ...,An} e uma colecaofinita de conjuntos enumeraveis, entao a reuniao A = A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An tambem e umconjunto enumeravel.

Dica: Escreva

A1 = {a11, a12, a13, ..., a1n},

A2 = {a21, a22, a23, ..., a2n}, ...

Ak = {ak1, ak2, ak3, ..., akn}, ...

An = {an1, an2, an3, ..., ann}.

Tome a reuniao como:

A = A1 ∪ A2 ∪ ...An = {a11, a21, ..., ai1, ..., an1,

= a12, a22, ..., ai2, ..., an2,

= a13, a23, ..., ai3, ..., an3, ...,

a1 j, a2 j, ..., ai j, ..., anj, ...,

a1n, a2n, ..., ain, ..., ann}

e defina a funcao bijetora f : A→ N tal que

f (ai j) = (i − 1)n + j (1 ≤ i, j ≤ n)

28 Teorema. (Reuniao de infinitos conjuntos enumeraveis) Se C = {C1,C2, ...,Cn, ...} e umacolecao infinita de conjuntos enumeraveis, entao a reuniao C = C1 ∪ C2 ∪ ... ∪ Cn.. tambeme um conjunto enumeravel.

29 Teorema. (Produto cartesiano de conjuntos enumeraveis) Se A e B sao conjuntos enu-meraveis entao A × B e um conjunto enumeravel.

Demonstracao. Se A e B sao conjuntos enumeraveis, tomamos A = {a1, a2, a3, ..., an, ...}e B = {b1, b2, b3, ..., bn, ...} para escrevermos o produto cartesiano como a reuniao

A × B = C1 ∪ C2 ∪ ... ∪ Ci ∪ ...

onde os conjuntos Ci com i = 1, 2, 3, ... sao:

C1 = {a1} × B = {(a1, b1), (a1, b2), (a1, b3), ..., (a1, bn), ...}C2 = {a2} × B = {(a2, b1), (a2, b2), (a2, b3), ..., (a2, bn), ...}C3 = {a3} × B = {(a3, b1), (a3, b2), (a3, b3), ..., (a3, bn), ...}, ...Ci = {ai} × B = {(ai, b1), (ai, b2), (ai, b3), ..., (ai, bn), ...}

... ...

Como cada conjunto Ci e equivalente ao conjunto B, temos que cada Ci e um con-junto enumeravel e a reuniao C de conjuntos enumeraveis, tambem e um conjuntoenumeravel, logo, A × B e um conjunto enumeravel. �



30 Teorema. (Produto cartesiano NxN) Se N = {1, 2, 3, 4, ...} e o conjunto dos numerosinteiros positivos entao N ×N tambem e um conjunto enumeravel.

31 Teorema. (Q e um conjunto enumeravel) O conjunto Q de todos os numeros racionais eenumeravel.

Demonstracao. O conjunto Q dos numeros racionais pode ser escrito como

Q = C1 ∪ C2 ∪ ... ∪ Cn ∪ ...s =⋃∞

n=1Cn

isto e, a reuniao dos conjuntos Cn com n = 1, 2, 3, ..., sendo:

C1 = {m1

: m ∈ Z} =11

Z

C2 = {m2

: m ∈ Z} =12

Z

C3 = {m3

: m ∈ Z} =13

Z

C4 = {m4

: m ∈ Z} =14

Z... ...

Cn = {mn

: m ∈ Z} =1n

Z... ...

Cada conjunto Cn e equivalente ao conjunto Z, assim cada Cn e um conjunto enu-meravel e segue que Q e enumeravel pois e a reuniao de conjuntos enumeraveis. �

6 9 4 8 3 5 1 7 2

3 1 2 6 7 4 5 8 9

8 7 5 2 9 1 3 6 4

5 3 8 4 6 2 7 9 1

7 2 6 5 1 9 8 4 3

9 4 1 7 8 3 2 5 6

1 6 3 9 5 7 4 2 8

4 5 9 3 2 8 6 1 7

2 8 7 1 4 6 9 3 5

Figura IV.1: Solucao do problema do Sudoku


Cı V

“Nao julgueis, para que nao sejais julgados. Porque com o juızocom que julgais, sereis julgados; e com a medida com que medisvos medirao a vos.” A Bıblia Sagrada, Mateus 7:1-2

V.1. O

O estudo da Analise Real inicia com um tratamento rigoroso dos numeros reais ealgumas razoes para isto sao: Para entender a linguagem e as ideias da Analise,devemos manter uma forte conexao entre os numeros e os pontos da reta numer-ada; Para realizar calculos, devemos conhecer as propriedades que podemos usarpara realizar estimativas com desigualdades; e a demonstracao analıtica de muitosteoremas e resultados, so e possıvel com as propriedades dos numeros reais.

V.2. G

53 Definicao. (Aplicacao binaria) Seja S , ∅. Uma aplicacao binaria em S e uma aplicacaof : S × S→ S, significando que a acao de f sobre dois elementos quaisquer S deve pertencerao conjunto S.

27 Observacao. A aplicacao f (m,n) = m + n pode ser escrita como m + n. Usando m.n,entendemos que existe uma operacao de multiplicacao f (m,n) = m.n. Se nao ficar clara aoperacao, usaremos outros sinais como: ∗, ◦, ⊕ ou � para substituir a referida operacao.

28 Observacao. Quando usarmos a notacao (S, ∗), estaremos entendendo que o conjunto Se nao vazio e sobre este conjunto S esta definida uma operacao binaria denotada por ∗.

31 Exemplo. Seja N = {1, 2, 3, ...} o conjunto dos numeros inteiros positivos. f (m,n) = m+ne uma aplicacao binaria em N, mas g(m,n) = m − n nao e uma aplicacao binaria em N pois,em geral, m − n < N.


V.2. GRUPOS 45

54 Definicao. (Operacoes binarias) Seja ∗ uma operacao binaria sobre um conjunto S. Diz-seque

1. ∗ e comutativa em S se, para todo m ∈ S, n ∈ S, tem-se m ∗ n = n ∗m.2. ∗ e associativa em S se, (m ∗ n) ∗ p = m ∗ (n ∗ p), para todo m ∈ S, n ∈ S e p ∈ S.3. um elemento e ∈ S e elemento neutro S com relacao a ∗ se para todo n ∈ S, tem-se

e ∗ n = n ∗ e = n.4. Se e ∈ S e o elemento neutro e existe n′ ∈ S tal que n ∗ n′ = n′ ∗ n = e entao n′ e o inverso

de n em S para a operacao ∗.5. o inverso de m ∈ S e denotado por m−1 quando a operacao e multiplicativa.

32 Teorema. Seja ∗ uma operacao binaria sobre um conjunto S. Demonstrar que

1. se existe um elemento neutro em S, ele e unico.2. se ∗ e associativa em S, S possui elemento neutro e para cada m ∈ S existe um elemento

inverso em S, entao cada inverso deve ser unico.3. O inverso multiplicativo de um elemento m ∈ S, denotado por m−1 satisfaz a relacao

(m−1)−1 = m.

55 Definicao. (Grupo) Se ∗ e uma operacao binaria sobre S, a estrutura (S, ∗) e um grupo,se:

1. (S, ∗) e associativa;2. (S, ∗) possui um elemento neutro e3. todo elemento m ∈ S possui um inverso m−1

∈ S com relacao a operacao ∗.

29 Observacao. Se ∗ e a multiplicacao, o grupo e multiplicativo. Se ∗ e a adicao, o grupo eaditivo. Se (S, ∗) e comutativo o grupo recebe o nome de grupo abeliano.

32 Exemplo. (O Grupo Z dos numeros inteiros) O conjunto Z dos numeros inteiros munidocom a operacao usual de adicao, tem uma estrutura (Z,+) de grupo abeliano, pois:

À Quaisquer que sejam m,n ∈ Z : m + n ∈ Z.

Á Quaisquer que sejam m,n, p ∈ Z : (m + n) + p = m + (n + p).

Â Existe 0 ∈ Z tal que para todo m ∈ Z vale: 0 +m = m + 0 = m.

Ã Para cada m ∈ Z existe −m ∈ Z tal que m + (−m) = 0.

Ä Quaisquer que sejam m,n ∈ Z : m + n = n +m.

33 Exemplo. (Um grupo com dois elementos) Se sobre o conjunto S = {1,−1} utilizamos aoperacao ∗ de multiplicacao de numeros inteiros, a estrutura (S, ∗) e um grupo abeliano.

34 Exemplo. (Tabelas e grupos) E bastante comum estudar conjuntos S munidos comoperacoes definidas por tabelas de dupla entrada com o resultado das operacoes dos elementosda primeira coluna pelos elementos da primeira linha aparecendo no cruzamento de cada linhacom a coluna.


V.3. CORPOS 46

Seja o conjunto S = {0, 1, 2, 3} com a estranha operacao de adicao definida pela tabela daesquerda, logo abaixo.

+ 0 1 2 30 0 1 2 31 1 2 3 02 2 3 0 13 3 0 1 2

∗ 1 i −1 −i1 1 i −1 −ii i −1 −i 1−1 −1 −i 1 i−i −i 1 i −1

Seja T = {1, i,−1,−i} com a operacao de multiplicacao de numeros complexos definida pelatabela da direita que esta acima. (S,+) e (T, ∗) sao grupos abelianos.

35 Exemplo. (Interpretacao das tabelas)

1. A simetria em relacao a diagonal principal nao e um objeto ludico mas a propriedadecomutativa.

2. A linha do 0 se repete em relacao a linha do sinal + significando que 0 e o elemento neutro.3. Quando aparece 0 no cruzamento de uma linha com uma coluna, significa que o primeiro

elemento da linha e o primeiro elemento da coluna sao inversos um do outro, como e o casode 3 e 2, pois 3 + 2 = 0.

4. A associatividade deve ser verificada para todos os elementos.

56 Definicao. (Isomorfismo de grupos) Uma aplicacao f : S → T e um isomorfismo entreos grupos (S, ·) e (T,�), se:

1. f : S→ T e bijetora e2. para quaisquer x, y ∈ S, tem-se que f (x · y) = f (x) � f (y).

Se existe um isomorfismo entre os grupos (S, .) e (T,�), diz-se que os grupos (S, .) e (T,�) saoisomorfos.

36 Exemplo. (Isomorfismo) Sejam S = {0, 1, 2, 3} e T = {1, i,−1,−i} os conjuntos cujasoperacoes binarias foram apresentados nas duas tabelas. Os grupos (S,+) e (T, ∗) sao isomorfos,pois existe uma aplicacao f : S→ T definida por f (0) = 1, f (1) = i, f (2) = −1 e f (3) = −1ou de uma forma simplificada

f (m) = im = i ∗ i ∗ i... ∗ i (m vezes)

que e um isomorfismo entre (S,+) e (T, ∗). O elemento neutro 0 ∈ S e levado pela aplicacao fno elemento neutro 1 ∈ T.

V.3. C

57 Definicao. (Distributividade) Seja S um conjunto onde podem ser definidas duas operacoesbinarias + e ∗. A operacao ∗ e distributiva em relacao a operacao +, se para todo x, y, z ∈ S,valem

x ∗ (y + z) = x ∗ y + x ∗ z

e(x + y) ∗ z = x ∗ z + y ∗ z


V.3. CORPOS 47

37 Exemplo. Seja o conjunto S = {0, 1, 2, 3} com as operacoes de adicao e multiplicacaodefinidas pelas tabelas:

+ 0 1 2 30 0 1 2 31 1 2 3 02 2 3 0 13 3 0 1 2

∗ 0 1 2 30 0 0 0 01 0 1 2 32 0 2 3 13 0 3 1 2

A multiplicacao ∗ e distributiva em relacao a adicao +. Nem sempre as palavras adicao emultiplicacao tem os mesmos significados do Ensino basico.

58 Definicao. (Corpo) Seja S um conjunto onde podem ser definidas duas operacoes binarias+ e ∗. A estrutura (S,+, ∗) recebe o nome de corpo se:

1. (S,+) e um grupo abeliano;2. (S − {0}, ∗) e um grupo abeliano;3. a operacao ∗ e distributiva em relacao a operacao +.

38 Exemplo. A estrutura (Z,+, ∗), em que Z e o conjunto dos numeros inteiros com asoperacoes usuais de adicao e multiplicacao, nao e um corpo, pois nem todo numero inteiropossui inverso em Z.

33 Teorema. Seja (S,+, ∗) um corpo.

1. Se existe 0 ∈ S, entao para todo x ∈ S: x ∗ 0 = 0 ∗ x = 0.2. Para cada x ∈ S, tem-se que −(−x) = x.3. Para quaisquer x ∈ S e y ∈ S: (−x) ∗ y = x ∗ (−y) = −(x ∗ y).4. Para quaisquer x ∈ S e y ∈ S: x ∗ y = (−x) ∗ (−y).5. Se x ∗ y = 0 para x ∈ S e y ∈ S, entao x = 0 ou y = 0.6. Se x ∗ y , 0 para x ∈ S e y ∈ S, entao x , 0 e y , 0.

59 Definicao. (Isomorfismo de corpos) Sejam os corpos (S,+,×) e (T,⊕,⊗). A aplicacaof : S→ T e um isomorfismo entre estes corpos, se:

1. f : S→ T e uma bijecao;2. f : (S,+)→ (T,⊕) e um isomorfismo de grupos;3. f : (S − {0},×)→ (T − {0},⊗) e um isomorfismo de grupos.

Para esta aplicacao f : S → T temos que, para quaisquer x ∈ S e y ∈ S, valem as duaspropriedades:

f (x + y) = f (x) ⊕ f (y)

ef (x × y) = f (x) ⊗ f (y)

Se existe tal isomorfismo, os corpos (S,+, ∗) e (T,⊕,⊗) sao isomorfos.


V.4. CORPOS ORDENADOS 48

34 Teorema. Em um corpo (S,+, .) valem as propriedades:

1. −0 = 02. Se x , 0 entao x−1 , 0.3. −(x + y) = (−x) + (−y) = −x − y4. −(x − y) = y − x5. Se e e o elemento neutro, entao e−1 = e.6. x/y = 0 se, e somente se, x = 07. Se x , 0, entao (x · y = x · z)⇒ y = z.8. Se x , 0 e y = z entao x.y = x.z9. Se b , 0 e d , 0 entao

ab+

cd=

a · d + b · cb · d

10. Se b , 0 e d , 0 entaoab·

cd=

a · cb · d

11. x · (y − z) = x · y − x · z

12. (x − y) + (y − z) = x − z

13. (x − y) − (z − y) = x − z

14. (x−y)·(z−w) = (x·z+y·w)−(x·w+y·z)

15. x − y = z − w, sse, x + w = y + z

16. A equacao a · x + b = 0 possui uma unicasolucao se a , 0.

17. A equacao a · x+ b = 0 nao possui solucaose a = 0 e b , 0.

18. A equacao a · x + b = 0 possui infinitassolucoes se a = 0 e b = 0.

V.4. C

60 Definicao. (Conjunto de numeros positivos) Seja (K,+, ∗) um corpo e P ⊂ K. P e umconjunto dos numeros positivos, se valem as tres propriedades:

1. se x ∈ P e y ∈ P entao x + y ∈ P;2. se x ∈ P e y ∈ P entao x ∗ y ∈ P;3. se x ∈ K entao x ∈ P ou −x ∈ P ou x = 0.

30 Observacao. Em geral, denotamos −P = {−x : x ∈ P} e escrevemos K = P ∪ {0} ∪ −P.Se x ∈ P, diz-se que x e positivo. Se x ∈ −P, diz-se que x e negativo.

61 Definicao. (Relacao de ordem em um corpo) Seja um corpo (K,+, ∗) e P um subconjuntode todos os numeros positivos em K. Para x, y ∈ K, definimos a relacao de ordem x e menordo que y, denotado por x < y, se y−x ∈ P e definimos a relacao y e maior do que x, denotadopor x < y, se y − x ∈ P.

31 Observacao. Do ponto de vista geometrico, afirmar que x < y, significa indicarmos queo numero x esta a esquerda de y em uma reta orientada da esquerda para a direita.

32 Observacao. (Detalhes sobre a ordem) Da definicao de relacao de ordem, segue que:

1. 0 < x e equivalente a x − 0 = x ∈ P.2. x > 0 e equivalente a x − 0 = x ∈ P.3. x < 0 e equivalente a 0 − x = −x ∈ P que e equivalente a x ∈ −P.4. x > 0 e equivalente a 0 − x = −x ∈ P que e equivalente a x ∈ −P.

33 Observacao. Usamos a notacao x ≤ y para entender que x < y ou x = y e a notacaox ≥ y para entender que x > y ou x = y.


V.4. CORPOS ORDENADOS 49

62 Definicao. (Corpo ordenado] Seja (K,+, ∗) um corpo e P o conjunto de todos os numerospositivos em K. K e um corpo ordenado se e possıvel definir a ordem x < y, para todosx, y ∈ K.

39 Exemplo. (Alguns corpos ordenados)

À E um corpo ordenado o conjunto dos numeros racionais:

Q = {pq

: p ∈ Z, q ∈ Z, q , 0}

Á E um corpo ordenado o conjunto:

Q(√

2) = {a + b√

2 : a ∈ Q, b ∈ Q}

Â O conjunto R de todos os numeros reais e um corpo ordenado.

Ã Nao e um corpo ordenado o conjunto dos numeros complexos:

C = {a + bi : a ∈ R, b ∈ R, i2 = −1}

63 Definicao. (Tricotomia) Seja K um corpo ordenado e x, y ∈ K. Entao, vale somenteuma das tres possibilidades: x < y ou x > y ou x = y.

35 Teorema. Seja K um corpo ordenado e x, y, z ∈ K.

1. Se x < y e y < z entao x < z.2. Se x < y entao x + z < y + z.3. Se x < y entao x − z < y − z.4. Se x < y e z < w entao x + z < y + z.5. Se x > 0 entao x−1 > 0.6. Se x < 0 entao x−1 < 0.7. Se x < y e z > 0 entao x · z < y · z.8. Se x < y e z > 0 entao x/z < y/z.9. Se x < y e z < 0 entao x · z > y · z.

10. Se x < y e z < 0 entao x/z > y/z.

11. Se 0 < x < y e 0 < z < w entao0 < x.z < y.w.

12. Se x > 0 e y > 0 entao 0 < x + y.13. Se x > 0 e y > 0 entao 0 < x · y.14. Se x > 0 e y < 0 entao x · y < 0.15. Para todo x ∈ K segue que x2

≥ 0.16. Para todo x ∈ K − {0} segue que x2 > 0.17. Se 0 < x < y entao 0 < 1/y < 1/x.18. 0 < 1.19. Se x ≤ y e y ≤ x entao x = y.

64 Definicao. (Modulo) Seja K um corpo ordenado. Define-se o valor absoluto (ou modulo)de x, denotado por |x|, atraves de

|x| =

x se x > 00 se x = 0−x se x < 0

34 Observacao. Geometricamente, |x| representa a distancia entre os numeros x e 0, oelemento neutro da adicao.

65 Definicao. (Distancia entre pontos na reta) Definimos a distancia entre x e y, por

|x − y| = d(x, y)


V.5. O CONJUNTO N DOS NUMEROS NATURAIS 50

36 Teorema. (Propriedades do modulo) Seja K um corpo ordenado e x, y ∈ K. Entao:

1. |x| ≥ 02. |x| = 0, sse, x = 03. |x| = | − x|4. |x · y| = |x| · |y|5. x · y ≤ |x.y|6. |x2

| = |x|2

7. |x| ≤ y, sse, −y ≤ x ≤ y

8. |x| < y, sse, −y < x < y9. −|x| ≤ x ≤ |x|

10. |x + y| ≤ |x| + |y|11. |x − y| ≤ |x| + |y|12. | |x| − |y| | ≤ |x + y|13. | |x| − |y| | ≤ |x − y|14. Para todo ε > 0 : |x| < ε, sse, x = 0.

66 Definicao. (Maximo e Mınimo) Seja K um corpo ordenado. Define-se o maximo e omınimo entre os numeros x e y, por:

max(x, y) ={

x se y ≤ xy se x < y min(x, y) =

{y se y ≤ xx se x < y

37 Teorema. Se K e um corpo ordenado entao, para quaisquer x, y ∈ K valem:

1. max(x,−x) = |x|2. min(x,−x) = −|x|3. max(x, y) +min(x, y) = x + y4. max(x, y) −min(x, y) = |x − y|

5. max(x, y) =12

(x + y + |x − y|)

6. min(x, y) =12

(x + y − |x − y|)

7. min(−x,−y) = −max(x, y)

Exercıcio: Construir as expressoes matematicas para max(x, y, z) e para min(x, y, z).

V.5. O N

Aqui, estudaremos com um pouco mais de cuidado o conjunto dos numeros naturais,que ja foi usado antes sem uma devida discussao axiomatica. A partir daqui, oselementos de um corpo ordenado K serao denominados numeros.

67 Definicao. (Conjunto indutivo) Um conjunto S em um corpo ordenado K recebe o nomede conjunto indutivo, se possui as duas propriedades:

1. O elemento neutro 1 do corpo K pertence ao conjunto S, isto e, 1 ∈ S;2. Se x ∈ S entao x + 1 ∈ S.

40 Exemplo. (Conjuntos indutivos)

À Todo corpo ordenado K e um conjunto indutivo.

Á Se o elemento neutro 1 de um corpo K esta no conjunto P dos numeros positivos dessecorpo K, entao o conjunto P e um conjunto indutivo.

Â Se K e um corpo, o conjunto C = {x : x ≥ 1} ⊂ K e indutivo.


V.6. PRINCıPIO DE INDUCAO MATEMATICA 51

68 Definicao. (Numero natural) Um numero n do corpo ordenado K e um numero naturalse n pertence a todos os conjuntos indutivos de K. O conjunto de todos os numeros naturaisem K e denotado por N.

35 Observacao. Com a definicao, observamos que o conjunto N esta contido em todos osconjuntos indutivos do corpo ordenado K.

38 Teorema. O conjunto N de todos os numeros naturais e um conjunto indutivo.

Demonstracao. Para mostrar que N e indutivo, devemos mostrar que 1 ∈ N e que sen ∈ N entao n + 1 ∈ N. A propria definicao de conjunto indutivo garante que 1 ∈ N.Se n ∈ N, entao n ∈ S, para todo subconjunto S indutivo do corpo ordenado K. Peladefinicao de conjunto indutivo, se n ∈ S, entao n + 1 ∈ S. Assim n + 1 pertence atodos os conjuntos indutivos de K, o que garante que n + 1 e um numero natural,logo n + 1 ∈ N. Concluımos que N e um conjunto indutivo. �

V.6. Pı IM

39 Teorema. (Princıpio fraco de inducao) Se S e um conjunto indutivo contido no conjuntoN dos numeros naturais, entao S = N.

Demonstracao. Pela definicao de numero natural, segue que N ⊂ S para todo conjuntoindutivo e como por hipotese S ⊂ N, entao S = N. �

40 Teorema. (PIM: Princıpio de Inducao Matematica) Se para cada numero natural npodemos definir uma proposicao P(n) que satisfaz as duas situacoes:

1. P(1) e verdadeira;2. Para todo numero natural k > 1, a proposicao P(k) implica que P(k + 1) e verdadeira,

entao P(n) e verdadeira para todo n ∈ N.

Demonstracao. Tomemos S = {n ∈ N : P(n) e verdadeira}. Como S foi construıdo,segue que S ⊂ N e S e um conjunto indutivo pois 1 ∈ S e se k ∈ S entao k + 1 ∈ S, oque garante pelo Princıpio fraco de inducao que S = N. Assim, a proposicao P(n) everdadeira para todo n ∈ N. �

41 Teorema. (Segundo Princıpio de Inducao Matematica) Seja S ⊂ N e para cada n ∈ Ndefinimos a colecao Sn = {m ∈ N : m < n} sendo S1 = ∅. Se para cada n ∈ N, Sn ⊂ S implicarque n ∈ S, entao S = N.

36 Observacao. (Importancia do PIM) O princıpio de Inducao Matematica serve parademonstrar propriedades dos numeros naturais, bem como definir conceitos envolvendo osnumeros naturais. Na Matematica, o uso de recursividade faz intenso uso deste princıpio.



41 Exemplo. A soma dos n primeiros numeros naturais pode ser definida, de um modorecursivo, por S1 = 1 e Sn+1 = Sn + n + 1, para cada n ∈ N. Pode-se observar que:

S1 = 1, S2 = 3, S3 = 6, S4 = 10, S5 = 15, S6 = 21, S7 = 28, S8 = 36, ...

Usando o PIM, e possıvel demonstrar que para todo n ∈ N:

Sn =12

n(n + 1)

Exercıcios usando o Princıpio de Inducao Matematica

1. Demonstrar que se m ∈ N e n ∈ N entao m + n ∈ N.Dica: Definir Sm = {k ∈ N : m + k ∈ N} e mostrar que Sm e indutivo.

2. Demonstrar que se m ∈ N e n ∈ N tal que m < n entao n −m ∈ N.3. Demonstrar que se m ∈ N e n ∈ N entao m.n ∈ N.

Dica: Definir Pm = {k ∈ N : m.k ∈ N} e mostre que Pm e indutivo.4. Mostrar que se m ∈ N, entao nao existe n ∈ N tal que m < n < m + 1.5. Mostrar que se m ∈ N e n ∈ N sao tais que m ≤ n ≤ m+1, entao m = n ou n = m+1.6. Mostrar que se m ∈ N e n ∈ N sao tais que m ≤ n < m + 1, entao m = n.7. Mostrar que se m ∈ N e n ∈ N sao tais que m < n ≤ m + 1, entao n = m + 1.8. Mostrar que o produto de dois numeros naturais consecutivos e par, isto e, se

n ∈ N entao, todo numero da forma f (n) = n(n + 1) e divisıvel por 2.

Demonstracao. A expressao matematica f (1) = 1 × 2 = 2 e divisıvel por 2. Va-mos assumir que f (n) = n(n + 1) e par, isto e, existe k ∈ N tal que f (n) = 2k.Demonstraremos que f (n + 1) = (n + 1)(n + 2) tambem e par. Realmente,

f (n + 1) = (n + 1)(n + 2) = (n + 1)n + 2(n + 1) = 2k + 2(n + 1)

Assim, f (n + 1) = 2(k + n + 1) e segue o resultado desejado. �

9. Mostrar que o f (n) = n(n + 1)(n + 2), isto e, o produto de tres numeros naturaisconsecutivos, e divisıvel por 3 e por 6.

Demonstracao. A expressao matematica f (1) = 1 × 2 × 3 = 6 e divisıvel por 6.Assumiremos que f (n) = n(n+ 1)(n+ 2) e multiplo de 6, isto e, existe k ∈ N tal quef (n) = 6k. Demonstraremos que f (n+ 1) = (n+ 1)(n+ 2)(n+ 3) tambem e multiplode 6. Assim

f (n + 1) = (n + 1)(n + 2)(n + 3) = n(n + 1)(n + 2) + 3(n + 1)(n + 2)

Pelo exercıcio anterior, o ultimo termo da expressao acima (n + 1)(n + 2) e par e ooutro e f (n) = n(n + 1)(n + 2) = 6k, assim

f (n + 1) = f (n) + 3.2p = 6k + 6p = 6(k + p)

e segue o resultado desejado. �

10. Mostrar que se n ∈ N, o numero f (n) = (n − 1)n(n + 1)(3n + 2) e divisıvel por 24.



Demonstracao. Pelo Princıpio de Inducao Finita. Consideremos a proposicao P(n)tal que

f (n) = (n − 1)n(n + 1)(3n + 2) e divisıvel por 24

A proposicao P(1) e verdadeira, pois f (1) = 0 e divisıvel por 24.Considerando valida a Hipotese de Inducao P(n), mostraremos que P(n + 1) everdadeira, o que significa mostrar que P(n + 1) e valida, ou seja, que f (n + 1) edivisıvel por 24.

f (n + 1) − f (n) = n(n + 1)(n + 2)(3n + 5) − (n − 1)n(n + 1)(3n + 2)= n(n + 1)[(n + 2)(3n + 5) − (n − 1)(3n + 2)]= n(n + 1)[(3n2 + 11n + 10) − (3n2

− n − 2)]= n(n + 1)(12n + 12)= 12n(n + 1)(n + 1)= 12 · 2k · (n + 1) = 24k(n + 1)

A ultima passagem foi possıvel pois o produto dois dois numeros naturais con-secutivos n(n + 1) e par, isto e, n(n + 1) = 2k para algum k inteiro.Como a Hipotese de Inducao garante que existe m ∈ N tal que f (n) = 24m, entao

f (n + 1) = f (n) + 24k(n + 1) = 24m + 24k(n + 1) = 24[m + k(n + 1)]

e garantimos que P(n + 1) e verdadeira. �

69 Definicao. (Somatorios ou Somas finitas) Usamos a letra grega sigma maiuscula∑

parasomas finitas ou infinitas. Em geral, usamos a palavra somatorio no lugar de soma.

n∑k=1

f (k) = f (1) + f (2) + ... + f (n)

∞∑k=1

f (k) = f (1) + f (2) + ... + f (n) + ...

42 Exemplo. (Somas finitas e infinitas)

1.n∑

k=1

5 = 5 + 5 + ... + 5

2.n∑

k=1

k = 1 + 2 + ... + n

3.n∑

k=1

2k = 21 + 22 + ... + 2n

4.∞∑

k=1

12k=

121 +

122 + ... +

12n + ...

Exercıcio especial: A sequencia de Fibonacci pode ser definida por

f1 = 1, f2 = 1, fn+2 = fn + fn+1 (n ∈ N)

Obter a regra geral para o termo geral desta sequencia que esta na forma de umconjunto:

F = {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...}



Dica:

1. Suponha que existem numeros reais r , 0 tal que fn = rn;2. Substitua a expressao obtida na equacao recursiva fn+2 = fn + fn+1;3. Resolva a equacao do segundo grau que aparece para obter as duas raızes reais

r1 e r2;4. Escreva a combinacao fn = Arn

1 + Brn2 ;

5. Tente obter os valores das constantes A e B que satisfazem as condicoes f1 = 1 ef2 = 1;

6. Apos algum trabalho, voce obtera a formula de Binet, que gera o termo geral dasequencia de Fibonacci para n natural.

Exercıcios: Utilizar nas demonstracoes os Princıpios de Inducao Matematica.

1. Mostrar que para todo n ∈ N vale a desigualdade: n < 2n.2. Defina n! = 1.2.3...n e mostre que, se n ∈ N com n ≥ 4, entao 2n < n!.3. Mostrar que para todo n ∈ N com n > 9, vale: n3 < 2n.4. A sequencia: s1 = 1 e sn+1 = sn + (n + 1) para n ∈ N, fornece as somas dos n

primeiros numeros naturais de modo recursivo. Mostrar que sn = n(n + 1)/2.5. A sequencia: s1 = 1 e sn+1 = sn + (n + 1)2 para n ∈ N, fornece as somas dos

quadrados dos n primeiros numeros naturais de modo recursivo. Mostrar quevale a forma geral: sn = n(n + 1)(2n + 1)/6.

6. A sequencia: s1 = 1 e sn+1 = sn + (n + 1)3 para n ∈ N, fornece as somas dos cubosdos n primeiros numeros naturais de uma forma recursiva. Demonstrar que paratodo n ∈ N, vale a forma geral: sn = n2(n + 1)2/4.

7. A sequencia: s1 = 1 e sn+1 = sn+ (n+1)4 para n ∈ N, fornece as somas dos quarticosdos n primeiros numeros naturais de uma forma recursiva. Mostrar que para todon ∈ N, vale a forma geral: sn = n(n + 1)(2n + 1)(3n2 + 3n − 1)/30.

8. A sequencia: s1 = 1/2 e sn+1 = sn+1

(n + 1)(n + 2)tem a forma geral: sn = n/(n+1) e

sera usada em capıtulos posteriores para mostrar que a serie∞∑

n=1

1n(n + 1)

converge.

9. Mostrar que a sequencia: s1 = 1 e s2 = 3 e sn+2 = 3sn+1 − 2sn possui a forma geralsn = 2n

− 1.Dica: Tome s(n) = rn, substitua na equacao recursiva dada, resolva a equacaopara obter as raızes r = 1 ou r = 2 e concluir que s(n) = A · 1n + B2n, ...

10. Seja K um corpo ordenado, a, r ∈ K, r , 1 e n ∈ N. A sequencia definida por:s1 = a e sn+1 = sn + arn, determina a formula geral para a soma dos n primeirostermos de uma progressao geometrica e pode ser escrita como:

sn = a1 − rn

1 − re sera usada em capıtulos posteriores para mostrar que a importante serie geometrica

S(r) =∞∑

n=1

arn

e convergente, quando |r| < 1.



11. Mostre que se m1,m2, ...,mn ∈ N, entao m1 +m2 + ... +mn ∈ N.12. Mostre que se m1,m2, ...,mn ∈ N, entao m1.m2...mn−1.mn ∈ N.13. Mostre que se p1, p2, ..., pn ∈ P, entao p1 + p2 + ... + pn ∈ P.14. Mostre que se p1, p2, ..., pn ∈ P, entao p1.p2.pn−1.pn ∈ P.15. Mostre que se x1 , 0, x2 , 0, ..., xn , 0, entao x1.x2...xn , 0 e alem disso

(x1.x2...xn)−1 = x1−1.x2

−1.xn−1

16. Seja K um corpo ordenado e {mn} ⊂ K para cada n ∈ N. Mostre que se m1 > 1,m2 >1, ...,mn > 1, entao

m1.m2...mn > n

Exercıcio: Usando o PIM, demonstrar as propriedades das somas finitas:

1. Se C e uma constante, entaon∑

k=1

C = nC.

2. Propriedade da soma:n∑

k=1

{ f (k) + g(k)} =n∑

k=1

f (k) +n∑

k=1

g(k).

3. Propriedade da homogeneidade:n∑

k=1

c f (k) = cn∑

k=1

f (k).

4. Propriedade telescopica:n∑

k=1

{ f (k + 1) − f (k)} = f (n + 1) − f (1).

Exercıcio: Usando propriedades telescopicas e a funcao indicada, demonstre que:

1. se f (n) = n2, entao a soma dos n primeiros numeros naturais e:

n∑k=1

k =12

n(n + 1)

2. se f (n) = n3, entao a soma dos n primeiros numeros ımpares e:

n∑k=1

(2k − 1) = n2

3. se f (n) = n3, a soma dos quadrados dos n primeiros numeros naturais e:

n∑k=1

k2 =16

n(n + 1)(2n + 1)

4. se f (n) = n4, entao a soma dos cubos dos n primeiros numeros naturais e:

n∑k=1

k3 =14

n2(n + 1)2


V.7. MıNIMO E MAXIMO DE UM CONJUNTO 56

5. se f (n) = n5, entao a soma dos quarticos dos n primeiros numeros naturais e:

n∑k=1

k4 =1

30n(n + 1)(2n + 1)(3n2 + 3n − 1)

6. se f (n) = n6, entao a soma dos quınticos dos n primeiros numeros naturais e:

n∑k=1

k5 =???

V.7. Mı M

70 Definicao. (Mınimo de um conjunto) Seja S um conjunto em um corpo ordenado K.Diz-se que S possui um mınimo (menor elemento), denotado por s0 = min(S), se:

1. so ∈ S2. para cada s ∈ S tem-se que so ≤ s

71 Definicao. (Maximo de um conjunto) Seja S um conjunto em um corpo ordenado K.Diz-se que S possui um maximo (maior elemento), denotado por t0 = max(S), se:

1. to ∈ S2. para cada s ∈ S tem-se que s ≤ to.

42 Teorema. (Unicidade do mınimo de um conjunto) Se S e um subconjunto do conjunto Ndos numeros naturais em um corpo ordenado K contendo um mınimo so, entao so e unico.

Demonstracao. Vamos supor que existam numeros naturais n0 ∈ S e n1 ∈ S, distintostal que n0 = min(S) e n1 = min(S). Como n0 e mınimo, entao n0 e menor ou igual quetodos os elementos de S e em particular, n0 ≤ n1. Da mesma forma, n1 e mınimo deS, entao n1 e menor ou igual que todos os elementos de S e em particular, n1 ≤ n0.Como n0 ≤ n1 e n1 ≤ n0, entao n0 = n1, o que contradiz a hipotese assumida que taiselementos sao distintos. �

43 Teorema. (Unicidade do maximo de um conjunto) Se S e um conjunto em um corpoordenado K contendo um maior elemento to, entao to e unico.

72 Definicao. (Conjunto bem ordenado] Um conjunto S em um corpo ordenado K e bemordenado se, todo subconjunto do conjunto S possui um menor elemento.

43 Exemplo. (Exemplos de conjuntos bem ordenados)

À Todo subconjunto finito de um corpo ordenado K e bem ordenado.

Á O conjunto N = {1, 2, 3, ...} e bem ordenado.

Â Todo subconjunto do conjunto N = {1, 2, 3, ...} dos numeros naturais e bem ordenado.



44 Teorema. (Segundo Princıpio de Inducao Matematica) Seja S ⊂ N e para cada n ∈ Ndefinimos a colecao Sn = {m ∈ N : m < n} sendo S1 = ∅. Se para cada n ∈ N, Sn ⊂ S implicarque n ∈ S, entao S = N.

73 Definicao. (Potencias com expoentes naturais) Seja x em um corpo ordenado K. Defini-mos x1 = x e para cada n ∈ N definimos xn+1 = xn

· x.

Exercıcio: Se a > 1, mostre que 1 < a < a2 < ... < an < ... e usar este resultado parademonstrar que se m < n entao am < an, com m,n ∈ N.

Demonstracao. Consideremos a proposicao P(n) definida para todo n ∈ N tal que se1 < a entao an < an+1.

A proposicao P(1) e verdadeira pois multiplicando a desigualdade 1 < a por a (quee positivo), obtemos 1 · a < a · a, assim temos que a1 < a2. Tambem valem as duasdesigualdades 1 < a < a2.

Consideremos verdadeira a proposicao P(n), isto e, se n > 1 entao an < an+1.

Multiplicando ambos os membros da desigualdade an < an+1 (hipotese de inducao)pelo numero positivo a, obtemos

a · an < a · an+1

ou sejaan+1 < an+2

que corresponde a veracidade da proposicao P(n + 1).

Concluımos que quando os expoentes da potencia a > 1 crescem, os valores de an

tambem crescem, para todo n ∈ N, isto e,

1 < a < a2 < ... < an < ...

Se m < n, existe um numero p > 0 tal que m + p = n, garantindo pela demonstracaoacima que ap > 1.

Multiplicando esta ultima desigualdade por am, obtemos

am = 1 · am < ap· am = am+p = an

�

Exercıcio: Mostrar que se k ∈ K tal que 0 < k < 1, entao para todo n ∈ N tem-se que0 < kn < 1.



45 Teorema. (Propriedades das potencias com expoentes naturais) Seja K um corpo ordenado,x, y ∈ K e m,n ∈ N. Entao:

1. xm· xn = xm+n

Dica: Defina S = {n ∈ N : xm· xn = xm+n

} e mostre que S e indutivo.2. (xm)n = xm·n

Dica: Defina S = {n ∈ N : (xm)n = xm.n} e mostre que S e indutivo.

3. (x · y)n = xn· yn

4. (x/y)n = xn/yn

Exercıcios: Utilizar os Princıpios de Inducao Matematica em cada exercıcio.

1. Mostrar que para todo n ∈ N vale a desigualdade: n < 2n.2. Defina n! = 1.2.3...n e mostre que, se n ∈ N com n ≥ 4, entao 2n < n!.3. Mostrar que para todo n ∈ N com n > 9, vale: n3 < 2n.4. A sequencia: s1 = 1 e sn+1 = sn + (n + 1) para n ∈ N, fornece as somas dos n

primeiros numeros naturais de modo recursivo. Mostrar que sn = n(n + 1)/2.5. A sequencia: s1 = 1 e sn+1 = sn + (n + 1)2 para n ∈ N, fornece as somas dos

quadrados dos n primeiros numeros naturais de modo recursivo. Mostrar quevale a forma geral: sn = n(n + 1)(2n + 1)/6.

6. A sequencia: s1 = 1 e sn+1 = sn + (n + 1)3 para n ∈ N, fornece as somas dos cubosdos n primeiros numeros naturais de uma forma recursiva. Demonstrar que paratodo n ∈ N, vale a forma geral: sn = n2(n + 1)2/4.

7. A sequencia: s1 = 1 e sn+1 = sn+ (n+1)4 para n ∈ N, fornece as somas dos quarticosdos n primeiros numeros naturais de uma forma recursiva. Mostrar que para todon ∈ N, vale a forma geral: sn = n(n + 1)(2n + 1)(3n2 + 3n − 1)/30.

8. A sequencia: s1 = 1/2 e sn+1 = sn+1

(n + 1)(n + 2)tem a forma geral: sn = n/(n+1) e

sera usada em capıtulos posteriores para mostrar que a serie∞∑

n=1

1n(n + 1)

converge.

9. Mostrar que a sequencia: s1 = 1 e s2 = 3 e sn+2 = 3sn+1 − 2sn possui a forma geralsn = 2n

− 1.Dica: Tome s(n) = rn, resolva a equacao que aparece para obter as raızes r = 1 our = 2 e concluir que s(n) = A · 1n + B2n, ...

10. Seja K um corpo ordenado, a, r ∈ K, r , 1 e n ∈ N. A sequencia definida por:s1 = a e sn+1 = sn + arn, determina a formula geral para a soma dos n primeirostermos de uma progressao geometrica e pode ser escrita como:

sn = a1 − rn

1 − r

e sera usada em capıtulos posteriores para mostrar que a importante serie geometrica

S(r) =∞∑

n=1

arn

e convergente, quando |r| < 1.


V.8. O CONJUNTO Z DOS NUMEROS INTEIROS 59

11. Mostre que se m1,m2, ...,mn ∈ N, entao m1 +m2 + ... +mn ∈ N.12. Mostre que se m1,m2, ...,mn ∈ N, entao m1 ·m2...mn−1 ·mn ∈ N.13. Mostre que se p1, p2, ..., pn ∈ P, entao p1 + p2 + ... + pn ∈ P.14. Mostre que se p1, p2, ..., pn ∈ P, entao p1 · p2 · pn−1 · pn ∈ P.15. Mostre que se x1 , 0, x2 , 0, ..., xn , 0, entao x1 · x2...xn , 0 e alem disso

(x1 · x2...xn)−1 = x1−1· x2−1· xn

−1

16. Considere que K e um corpo ordenado e para cada m ∈ N se tem que {mn} ⊂ K.Demonstrar que se m1 > 1,m2 > 1, ...,mn > 1, entao

m1 ·m2...mn > n

V.8. O Z

A soma de dois numeros naturais m e n nao e nula. Se m+n = 0, devemos dar sentidoao elemento oposto aditivo, o que nao e possıvel no conjunto N dos numeros naturaismas que tem sentido no conjunto dos inteiros, que sera estudado na sequencia. Oconjunto dos opostos dos elementos de N, sera denotado por

−N = {x ∈ K : −x ∈ N}

74 Definicao. (Numero inteiro) Seja z ∈ K. Diz-se que z e um numero inteiro se, z ∈ N ouz = 0 ou −z ∈ N. O conjunto de todos os numeros inteiros sera denotado pela letra Z (doalemao: zahlen) e pode ser escrito como:

Z = N ∪ {0} ∪ (−N)

37 Observacao. Cada numero inteiro pode ser construıdo como a diferenca de dois numerosnaturais, isto e, cada inteiro z pode ser posto na forma z = m − n onde m,n ∈ N.

46 Teorema. O conjunto dos numeros inteiros, munido da operacao binaria de adicao,denotado por (Z,+) e um grupo comutativo.Dica: Mostrar que se m,n ∈ Z entao m + n ∈ Z, m.n ∈ Z e cada m ∈ Z possui oposto.

75 Definicao. (Limitante inferior em Z) Seja S ⊂ Z em um corpo ordenado K. Diz-se quez0 ∈ K e um limitante (ou cota) inferior para o conjunto S se z0 ≤ s para todo s ∈ S. Diz-setambem que o conjunto S e limitado inferiormente por z0.

76 Definicao. (Limitante superior em Z) Seja S inZ em um corpo ordenado K. Diz-se quew0 ∈ K e um limitante (ou cota) superior para o conjunto S se s ≤ w0 para todo s ∈ S. Diz-setambem que o conjunto S e limitado superiormente por w0.

77 Definicao. (Conjunto limitado) Diz-se que um subconjunto S de numeros inteiros emum corpo ordenado K e limitado, se possui um limitante superior e tambem um limitanteinferior. Diz-se que o conjunto S e limitado inferiormente e superiormente.



78 Definicao. (Mınimo de um conjunto de inteiros) Seja S um subconjunto de numerosinteiros em um corpo ordenado K. S possui um mınimo (menor elemento) so = min(S) se:1. so ∈ S2. para cada s ∈ S tem-se que so ≤ s.

Exercıcio: Demonstrar que, se existe o mınimo de um conjunto S de numeros inteiros,este mınimo e unico.

79 Definicao. (Maximo de um conjunto de inteiros) Seja S um subconjunto de numerosinteiros em um corpo ordenado K. S possui um maximo (maior elemento) to = max(S) se:1. to ∈ S2. para cada s ∈ S tem-se que s ≤ to.

Exercıcio: Demonstrar que, se existe o maximo de um conjunto S de numeros inteiros,este maximo e unico.

38 Observacao. Todo conjunto de numeros inteiros da forma S = {z ∈ Z : z ≥ 0} possui umconjunto simetrico com relacao ao elemento 0 (zero), que e dado por:

−S = {−z ∈ Z : z ≥ 0}

Desse modo, obter propriedades de um conjunto S de numeros inteiros nao negativos equivalea obter propriedades semelhantes para o conjunto −S de numeros inteiros nao positivos,motivo pelo qual tem sentido definir o conceito de maximo de um conjunto.

44 Exemplo. (Conexao entre mınimo e maximo)

À O conjunto N = {1, 2, 3, ...} possui mınimo mas nao possui maximo.Á Para o conjunto C = {−2,−1, 0, 1, 2, 3}, tem-se que min(C) = −2 e max(C) = 3.Â O conjunto P de todos os numeros positivos de um corpo ordenado K nao possui mınimo.

80 Definicao. (Princıpio da Boa Ordem) (aceito sem demonstracao) Todo conjunto S naovazio de numeros inteiros nao negativos possui mınimo.

81 Definicao. (Princıpio da Boa Ordem) (forma alternativa) Todo conjunto S nao vazio denumeros inteiros nao positivos possui maximo.

47 Teorema. Nao existe um numero inteiro k tal que 0 < k < 1.

Demonstracao. (Por reducao ao absurdo) Vamos supor que existe pelo menos umk ∈ Z tal que 0 < k < 1 e entao construımos o conjunto

S = {k ∈ Z : 0 < k < 1}

Se existe k ∈ Z tal que 0 < k < 1, entao S nao e vazio e e formado por numeros inteirosnao negativos. Pelo Princıpio da Boa Ordem, S possui mınimo. Se m = min(S), entaom ∈ S e 0 < m < 1. Multiplicando estas desigualdades por m, obtemos

0 < m2 < m < 1

e segue que existe m2∈ S que e um outro numero de S que e menor que m = min(S),

o que e falso, pois o mınimo, quando existe, deve ser unico. �



1 Corolario. O menor numero k ∈ Z positivo e k = 1.

Demonstracao. Pelo Teorema anterior, nao existe k ∈ Z tal que 0 < k < 1, logo k = 1deve ser o menor numero inteiro positivo. �

2 Corolario. Se a, b ∈ Z tal que a > 0 e b > 0 e a.b = 1, entao a = 1 ou b = 1.

Demonstracao. Pelo Corolario anterior, segue que 1 ≤ a e 1 ≤ b. Multiplicando adesigualdade 1 ≤ a por b, obtemos b ≤ a.b e como a.b = 1, entao b ≤ 1. Assim b = 1 esubstituindo este valor na relacao a.b = 1, obtemos a = 1. �

48 Teorema. (Arquimedes) Se a, b ∈ Z tal que a > 0 e b > 0, entao existe n ∈ N tal queb < a.n.

Demonstracao. (Por reducao ao absurdo) Negar a tese e afirmar que, para todo n ∈ Nexistem a, b ∈ N tal que a.n ≤ b. Assim, para todo n ∈ N existem numeros inteiros daforma b− a.n tal que b− a.n ≥ 0 e podemos definir o conjunto S de todos os numerosda forma b − a.n onde n ∈ N, isto e,

S = {b − a.n : n ∈ N}

S e nao vazio pois a negacao da tese, afirma que existem a, binN tal que para qualquerpara todo n ∈ N, os numeros inteiros b − a.n ≥ 0. Como o conjunto S e limitadoinferiormente por 0, segue pelo Princıpio da Boa Ordem, que S possui mınimo, aquidenotado por m = min(S). Como m e um elemento de S, ele pode ser escrito comom = b − a.k para algum k ∈ N.Como o conjunto S e formado por todos os numeros inteiros da forma b− a · n sendon ∈ N, entao se n = k, o numero b − a.k ∈ S e se n = k + 1, o numero b − a · (k + 1) ∈ S.Como a > 0, segue que

b − a · (k + 1) = b − a · k − a = m − a < m

assim b−a·(k+1) ∈ S e e menor que m = min(S), o que e uma contradicao. Concluımosque a afirmacao do teorema (Arquimedes) e verdadeira. �

49 Teorema. Se x ∈ R, entao existem numeros inteiros m e n tal que m < x < n.

50 Teorema. Se x ∈ R, entao existe um unico numero inteiro m tal que m ≤ x < m.

Demonstracao. (Existencia) Pelo Teorema anterior, existem numeros inteiros m e n talque m < x < n. Vamos construir o conjunto S de todos os numeros naturais quesomados com o numero menor m ultrapassam o valor de x, isto e:

S = {p ∈ N : m + p > x}

O numero p0 = n −m pertence ao conjunto S pois

m < x < n = (n −m) +m = p0 +m



Isto garante que existe um inteiro nao negativo p0 ∈ S e o Princıpio da Boa Ordem,garante que este conjunto S possui mınimo, denotado por α = min(S).Tomando α = p0 +m − 1, segue que

α = p0 +m − 1 ≤ x < p0 +m = α + 1

Assim, apresentamos um numero inteiro α tal que α ≤ x < α + 1. �

Demonstracao. (Unicidade) Suponhamos que existam dois numeros inteiros distintosp e q satisfazendo as desigualdades

p ≤ x < p + 1(V.1)q ≤ x < q + 1(V.2)

Como p e q sao distintos, podemos assumir que

(V.3) p < q

pois se p > q entao todas as operacoes feitas com p, seriam substituıdas pelasoperacoes com q e terıamos o mesmo resultado.Usando as desigualdades acima, podemos escrever

p < q ≤ x < p + 1(3) (2) (1)

Cada numero em parenteses na equacao acima, indica a desigualdade utilizada parajustificar a respectiva passagem. Temos entao que

p < q ≤ x < p + 1

Subtraindo p de todos os termos das desigualdades indicadas, obtemos

p − p < q − p ≤ x − p < (p + 1) − p

Assim, o numero inteiro q − p satisfaz as desigualdades

0 < q − p < 1

o que e um absurdo. Concluımos que, para cada x ∈ R, existe um unico numerointeiro m tal que m ≤ x < m + 1. �

82 Definicao. (Maior inteiro menor ou igual a x) O numero m tal que m ≤ x < m obtidoantes, usualmente denotado por [x], e o maior numero inteiro que e menor ou igual a x. Afuncao f (x) = [x] e conhecida como a funcao que toma a parte inteira de x, para cada x ∈ K.

51 Teorema. Se S e um subconjunto do conjunto dos numeros inteiros e limitado inferior-mente, entao S possui mınimo.



Demonstracao. Se S e limitado inferiormente, entao existe um numero inteiro α ∈ Ztal que α ≤ s para todo s ∈ S. O conjunto S pode ser escrito na forma

S = {w ∈ Z : α ≤ w} = {w ∈ Z : w − α ≥ 0} = {z ∈ Z : z = w − α ≥ 0} = T

Como T e formado por numeros inteiros nao negativos, o Princıpio da Boa Ordem,garante que este conjunto S possui mınimo. Tomando z0 = min(T) segue que α+ z0 =min(S) e o mınimo para o conjunto S. �

52 Teorema. Se S um subconjunto do conjunto dos numeros inteiros e limitado superior-mente, entao S possui maximo.

Demonstracao. Se S e limitado superiormente, entao existe um numero inteiro β ∈ Ztal que s ≤ β para todo s ∈ S. O conjunto S pode ser escrito na forma

S = {w ∈ Z : w ≤ β} = {w = z + β : z ≤ 0} = β +U

onde U = {z : z ≤ 0}. Como U e formado por numeros inteiros nao positivos,o Princıpio da Boa Ordem, garante que o conjunto U possui maximo. Tomandou0 = max(T) segue que β + u0 = max(S) e o maximo de S. �

53 Teorema. Se S e um subconjunto limitado do conjunto Z dos numeros inteiros entao S eum conjunto finito.

Demonstracao. Vamos reunir os resultados dos teoremas anteriores. Se S e limitado,entao S possui mınimo e possui maximo. Sejam s0 = min(S) e t0 = max(S) doisnumeros inteiros tal que para todo s ∈ S, se tem

s0 ≤ s ≤ t0

Assim, como t0 − s0 e um numero finito, o conjunto S e um conjunto finito:

S = {s0, s0 + 1, s0 + 2, ..., s, ..., t0 − 2, t0 − 1, t0}

�

83 Definicao. (Potencias com expoentes negativos) Se x ∈ K, x , 0, entao, definimos: x0 = 1e para n ∈ −N:

x−n =1xn

54 Teorema. (Propriedades das potencias inteiras) Sejam x e y elementos de um corpoordenado K, e, m e n numeros inteiros. Entao:

1. xm· xn = xm+n

2. xm÷ xn = xm−n

3. (xm)n = xm.n

4. (x · y)n = xn· yn

5. (x ÷ y)n = xn÷ yn



Realizaremos a demonstracao de xm· xn = xm+n. Tomaremos m ∈ N e analisaremos

as seguinte quatro variantes possıveis para n ∈ Z: n = 0, n > 0, n < 0 com −n < m en < 0 com m < −n. Trocando m por n, obteremos os mesmos resultados.

Demonstracao. (m ∈ N e n = 0) Se m ∈ N e n = 0, entao

xm· xn = xm

· x0 Justi f icativa := xm

· 1 Justi f icativa := xm Justi f icativa := xm+0 Justi f icativa := xm+n Justi f icativa :

�

Demonstracao. (m ∈ N e n ∈ N) Se m,n ∈ N, o item 1 do Teorema 45, assegura averacidade da afirmacao. �

Demonstracao. (m ∈ N e n ∈ −N, com −n < m) Se n < 0 entao −n > 0. Como estamostomando −n < m, a situacao grafica seguinte auxiliara a demonstracao.

-

n

6

0

6

-n

6

m

6

Se −n < m, existe um numero p ∈ N tal −n + p = m. Assim

xm· xn = x(−n+p)

· xn Justi f icativa :

= x−n· xp· xn Justi f icativa :

= x−n· xn· xp Justi f icativa :

= x−n·

1x−n · x

p Justi f icativa :

= x−n−(−n)· xp Justi f icativa :

= x0· xp Justi f icativa :

= 1 · xm+n Justi f icativa :�

Demonstracao. (m ∈ N e n ∈ −N, com m < −n) Se n < 0 entao −n > 0. Como tomamosm < −n, a situacao grafica abaixo auxiliara a demonstracao.

-

n

6

0

6

m

6

-n

6


V.9. O CONJUNTO Q DOS NUMEROS RACIONAIS 65

Se m < −n, existe um numero q ∈ N tal m + q = −n. Assim:

xm.xn = xm·

1x−n Justi f icativa :

= xm·

1xm+q Justi f icativa :

= xm·

1xm · xq Justi f icativa :

= xm·

1xm ·

1xq Justi f icativa :

= xm−m·

1xq Justi f icativa :

= x0· x−q Justi f icativa :

= 1 · xm+n Justi f icativa :

�

Demonstracao. (m,n ∈ −N) Se m,n ∈ −N, entao −m ∈ N e −n ∈ N. Assim:

xm.xn =1

x−m ·1

x−n Justi f icativa :

=1

x(−m)+(−n)Justi f icativa :

=1

x−(m+n)Justi f icativa :

= xm+n Justi f icativa :�

Exercıcio com potencias: Demonstrar que

1. Se a > 1 entao, para todo p ∈ N vale a desigualdade ap > 1.2. Sejam a > 1 e m,n ∈ N. Assim, m < n, se e somente se, am < an.3. Se o < a < 1 entao, para todo p ∈ N valem as desigualdades 0 < ap < 1.4. Sejam 0 < a < 1 e m,n ∈ N. Assim, m < n, se e somente se, an < am.5. Sejam 0 < a , 1 e m,n ∈ Z. Assim, m = n, se e somente se, am = an.6. Sejam a > 0, b > 0 e n ∈ Z − {0}. a = b, se e somente se, an = bn.7. Se n ∈ Z, entao 1n = 1.8. Se n ∈ Z, entao (−1)2n = 1.9. Se n ∈ Z, entao (−1)2n+1 = −1.

V.9. O Q

Quando m · n = 1 com m ∈ Z sendo m , 1, o numero n nao pode ser um numerointeiro. Neste caso, devemos dar sentido ao elemento inverso multiplicativo, o quenao e possıvel no conjunto Z dos numeros inteiros, e assim, foi criado um conjunto



de numeros racionais, que permite tal operacao. O conjunto dos numeros racionais,alem de ser um corpo ordenado, possui propriedades muito importantes dentro doconjunto dos numeros reais. Muitas propriedades do conjunto dos numeros racionaisserao estudadas neste curso de Analise Real.

84 Definicao. (Numero racional) Seja x ∈ K. x e um numero racional se existem m ∈ Z en ∈ Z, n , 0 tal que x.n = m. Quando tais numeros existem, denotamos o numero racionalpor q = m/n = m.n−1. O conjunto de todos os numeros racionais e denotado por:

Q ={m

n: m ∈ Z,n ∈ Z,n , 0

}A letra Q provem de quociente ou razao (em Latim: ratio), pois todo numero racional e arazao (divisao) entre dois numeros inteiros.

85 Definicao. (Numero irracional) Se x ∈ K mas x < Q este numero recebe o nome denumero irracional e o conjunto de todos os numeros irracionais e denotado por Irr = K−Q.

Exercıcio: Seja Q o conjunto dos numeros racionais em um corpo K. Mostrar que:

1. Se q1, q2 ∈ Q entao q1 + q2 ∈ Q.Dica: Ver o Teorema 24, ıtem 9.

2. Se q1, q2 ∈ Q entao q1 · q2 ∈ Q.Dica: Ver o Teorema 24, ıtem 10.

3. Se q ∈ Q − {0}, entao q possui inverso multiplicativo.Dica: Ver o Teorema 24, ıtem 10, exigiendo que o produto seja igual a 1.

4. O conjunto Q ⊂ K e um corpo.5. Se η ∈ Irr, entao r · η ∈ Irr para todo numero racional r , 0.

Dica: Suponha que r · η ∈ Q e assuma que r ∈ Q, para obter um absurdo.6. Se η ∈ Irr, entao r + η ∈ Irr para todo numero racional r ∈ Q.

Dica: Suponha que r + η ∈ Q e assuma que r ∈ Q, para obter um absurdo.

86 Definicao. (Raiz quadrada) Sejam x, y ∈ K com x ≥ 0 e y ≥ 0. Diz-se que x e a raizquadrada de y se x2 = y. A raiz quadrada de y e denotada por

√y.

Exercıcios

1. Um numero m ∈ Z e par se, e somente se, m2∈ Z e par.

2. Um numero n ∈ Z e ımpar se, e somente se, m2∈ Z e ımpar.

3. Mostrar que√

2 nao e um numero racional.4. Se p e um numero primo, entao

√p nao e um numero racional.

55 Teorema. O conjunto (Q,+, ∗) dos numeros racionais, munido com as operacoes binariasde adicao e multiplicacao, e um corpo ordenado com as mesmas operacoes de (K,+, ∗).

87 Definicao. (Corpo arquimediano) Um corpo ordenado K e arquimediano se, para cadax > 0, existe um numero natural n tal que x < n.



56 Teorema. (Corpo arquimediano) Um corpo ordenado K e arquimediano se, e somente se,para quaisquer numeros positivos x, y ∈ K existe um numero natural n tal que x < n.y.

Demonstracao. Assumindo que K seja um corpo arquimediano, demonstraremos quese x, y ∈ K sao numeros positivos, existe um numero natural n tal que x < n.y.Realmente, se x > 0 e y > 0, entao

xy> 0 e como K e arquimediano, entao existe n ∈ N

tal quexy< n, garantindo que x < n.y.

Reciprocamente, vamos assumir que para quaisquer x > 0 e y > 0, existe n ∈ N talque x < n.y. Tomando em particular y = 1, segue que x < n. �

57 Teorema. Se K e um corpo arquimediano, valem as seguintes propriedades:

1. Dado ε > 0, existe n ∈ N tal que 0 < 1/n < ε.

Demonstracao. Se ε > 0, entao1ε> 0 e como K e um corpo arquimediano, segue

que existe n ∈ N tal que 0 <1ε< n, o que e equivalente a

0 <1n< ε

�

2. Se x ∈ K, entao existem m,n ∈ Z tal que m < x < n.Dica: Teorema 40.

3. Se x > 0, entao existe n ∈ N tal que 0 < 1/2n < x.

Demonstracao. Se x > 0 e K e um corpo arquimediano, existe n ∈ N tal que0 < x < n. Como para todo n ∈ N: n < 2n, entao 0 < x < n < 2n, que equivale a

0 <12n < x

�

4. Se x ∈ K, entao existe um unico numero inteiro n ∈ Z tal que n ≤ x < n + 1. O numerointeiro que satisfaz a esta propriedade e denotado por n = [x].Dica: Teorema 41.

5. Se Q e o corpo ordenado de numeros racionais em K, entao Q e tambem um corpoarquimediano.

Demonstracao. Se q1 > 0 e q2 > 0 numeros racionais no corpo arquimediano K,podemos escrever

q1 =m1

n1q2 =

m2

n2

onde m1,m2,n1,n2 ∈ N. Estes mesmos numeros racionais podem ser escritos comum mesmo denominador, na forma:

q1 =m1 · n2

n1 · n2q2 =

m2 · n1

n1 · n2


V.10. O CONJUNTO R DOS NUMEROS REAIS 68

o que garante que q1 · n1 · n2 = m1 · n2 e q2 · n1 · n2 = m2 · n1.Assim, m1 · n2 e m2 · n1 sao dois numeros naturais positivos. Como o corpo K earquimediano, existe um numero natural p tal que m1 · n2 < p ·m2 · n1 ou seja

q1 · n1 · n2 < p · q2 · n1.n2

assim, existe p ∈ N tal queq1 < p · q2

garantindo que o corpo Q e arquimediano. �

6. Se z ∈ Irr positivo e x > 0 com x ∈ K, mostre que existe m ∈ N tal que 0 <zm< x.

Demonstracao. Pelo Teorema 45, se x > 0 e z > 0 em um corpo arquimediano K,independentemente de z ser racional ou irracional, entao existe m ∈ N tal que

0 < z < m · x

assim0 <

zm< x

�

88 Definicao. (Conjunto denso) Seja K um corpo ordenado. Um subconjunto S ⊂ K e densoem K se, entre quaisquer dois elementos de K, e possıvel inserir um elemento de S.

58 Teorema. Seja K um corpo arquimediano e Q o seu conjunto de numeros racionais. Entao:

1. Q e denso em K.2. O conjunto Irr = K −Q dos numeros irracionais e denso em K.

V.10. O R

89 Definicao. (Limitante inferior em R) Um numero real a e um limitante inferior paraS ⊂ R se para todo s ∈ S tem-se que a ≤ s. Se um conjunto S ⊂ R possui um limitanteinferior, S e limitado inferiormente.

90 Definicao. (Limitante superior em R) Um numero real b e um limitante superior paraS ⊂ R se para todo s ∈ S tem-se que s ≤ b. Se um conjunto S ⊂ R possui um limitantesuperior, S e limitado superiormente.

Exercıcio: Mostrar que se X e um subconjunto de R limitado superiormente, entao−X e limitado inferiormente.Dica: Construir um esboco grafico da situacao.

59 Teorema. (Conjunto limitado) Uma condicao necessaria e suficiente para que um conjuntoX ⊂ R seja limitado e que exista um numero b ∈ R tal que |x| ≤ b para todo x ∈ X.



91 Definicao. (Supremo de um conjunto) Seja K um corpo ordenado e S um subconjuntonao vazio em K. O supremo do conjunto S, denotado por β = sup(S), e definido como onumero β ∈ K satisfazendo as duas propriedades:

1. β e limitante superior para S;2. se existir y ∈ K que e limitante superior para S, entao β ≤ y.

O supremo de S e o menor dos limitantes superiores de S. Esta definicao pode ser escrita naforma simbolica como: β = sup(S) se, dado ε > 0, existe pelo menos um s0 ∈ S tal que

β − ε < s0 ≤ β

92 Definicao. (Infimo de um conjunto) Seja K um corpo ordenado e S um subconjunto naovazio em K. O ınfimo do conjunto S, denotado por α = inf(S), e definido como o numeroα ∈ K, satisfazendo as duas propriedades:

1. α e limitante inferior para S;2. se existir x ∈ K que e limitante inferior para S, entao x ≤ α.

O ınfimo de S e o maior dos limitantes inferiores de S. Esta definicao pode ser escritasimbolicamente como: α = in f (S) se, dado ε > 0, existe pelo menos um t0 ∈ S tal que

α < t0 ≤ α + ε

60 Teorema. (Unicidade do supremo) Um conjunto S nao vazio em um corpo ordenado Kpossui um unico supremo.

61 Teorema. (Unicidade do ınfimo) Um conjunto S nao vazio em um corpo ordenado Kpossui um unico ınfimo.

62 Teorema. (Desigualdade entre o inf(S) e sup(S)) Se S e um conjunto S nao vazio elimitado em um corpo ordenado K entao, para todo s ∈ S, vale a desigualdade

inf(S) ≤ s ≤ sup(S)

39 Observacao. Quando sup(X) ∈ X, entao sup(X) coincide com max(X) e quandoinf(X) ∈ X, segue que inf(X) coincide com min(X).

Exercıcio: Mostrar que a media aritmetica m entre dois numeros positivos a e b emum corpo ordenado K satisfaz as desigualdades a < m < b.Dica: Construir um esboco grafico desta situacao.

45 Exemplo. (Conjunto sem maximo e sem mınimo) O conjunto C = {x ∈ R : 0 < x < 1}nao possui maximo, pois se C possuısse maximo, denotado por n = max(C), entao n ∈ Ce alem disso 0 < n < 1. Como a media aritmetica m entre n e 1 satisfaz a desigualdaden < m < 1, segue que 0 < m < 1 e alem disso m e maior do que max(C), o que e um absurdo,pois C nao pode possuir dois maximos. Da mesma forma o intervalo real I = (a, b) nao possuimaximo e nem mınimo.



Exercıcio: Se X e um subconjunto nao vazio, que possui supremo em um corpoordenado K e −X = {−x : x ∈ X}, entao

sup(X) = − inf(−X)

1. Como o conjunto X e nao vazio, entao −X tambem e nao vazio.2. Como X possui supremo, denotaremos este supremo por α = sup(X).3. Como α e um limitante superior para X, segue que x ≤ α para todo x ∈ X.

Multiplicando esta desigualdade por −1, segue que −α ≤ −x para todo x ∈ X,garantindo que o conjunto −X possui um limitante inferior que e −α.

4. Como −X e nao vazio e limitado inferiormente no corpo ordenado K, segue queo conjunto −X possui ınfimo, denotado aqui por β = inf(−X).

5. Pela definicao de sup(X), dado ε > 0, existe w ∈ X tal que α − ε < w ≤ α.Multiplicando estas desigualdades por −1, segue que −α ≤ −w < −α + ε, assim,−α = inf(−X).

6. Desse modo sup(X) = α = −(−α) = − inf(−X).

Exercıcio: Sejam X,Y ⊂ R tal que X , ∅ e X ⊂ Y.

1. Se Y e limitado superiormente, entao sup(X) ≤ sup(Y).

Demonstracao. (a) (a) Existe sup(Y): Se X , ∅ e X ⊂ Y, entao Y , ∅. Como Y elimitado superiormente, Y possui supremo.

(b) (b) Existe sup(X): Se X , ∅ e X ⊂ Y, entao Y , ∅. Se Y e limitado superior-mente, existe α ∈ K tal que y ≤ α para todo y ∈ Y. Como X ⊂ Y, entao paratodo x ∈ X segue que x ∈ Y e como Y e limitado superiormente, segue que Xe limitado superiormente, garantindo que X possui supremo.

(c) (c) Desigualdade sup(X) ≤ sup(Y): Seja α = sup(X) e β = sup(Y). Desejamosmostrar que α ≤ β. Neguemos a tese, supondo que β < α. Pela definicao desupremo de X, temos que para qualquer ε > 0 , existe um elemento x ∈ X talque

α − ε < x ≤ α

Mas, se tomarmos em particular ε = α − β > 0, seguira que

β < x ≤ α

Como x ∈ X entao x ∈ Y e x e maior que sup(Y), o que e um absurdo, assim

α = sup(X) ≤ sup(Y) = β

�

2. Se Y e limitado inferiormente, entao inf(Y) ≤ inf(X).3. Se Y e limitado, entao inf(Y) ≤ inf(X) ≤ sup(X) ≤ sup(Y).

93 Definicao. (Corpo ordenado completo via supremo) Um corpo ordenado K e completo, setodo subconjunto S de K que e nao vazio e limitado superiormente possui supremo em K.



94 Definicao. (Corpo ordenado completo via ınfimo) Um corpo ordenado K e completo, setodo subconjunto S de K que e nao vazio e limitado inferiormente possui ınfimo em K.

46 Exemplo. (Corpo ordenado que nao e completo) Seja Q o corpo ordenado dos numerosracionais e o subconjunto S = {q ∈ Q : q2 < 2} do conjunto Q. Assim:

À S , ∅;

Á S e limitado superiormente por 2;

Â S possui supremo;

Ã sup(S) =√

2 < Q;

Ä sup(S) =√

2 < S;

Å Q nao e um corpo ordenado completo.

40 Observacao. (Existencia de corpo ordenado completo) Assumiremos que existe um corpoordenado completo, denominado o sistema dos numeros reais ou simplesmente o conjuntodos numeros reais, denotado daqui em diante por R. No ambiente algebrico, diz-se que existeum unico corpo ordenado completo, a menos de isomorfismo, pois se existir um outro corpoordenado completo, este deve ser isomorfo a R.

63 Teorema. O sistema R = (R,+, ·) dos numeros reais e um corpo arquimediano.

64 Teorema. (Existencia da raiz quadrada) Existe um numero x ∈ R tal que x2 = 2, isto e,√

2 ∈ R.

Demonstracao. Se C = {x ∈ R : x2 < 2}, entao C ⊂ R, C , ∅, C e limitado superiormentepor 2. Como R e um corpo ordenado completo, segue que C possui supremo, quesera denotado por z = sup(C). Demonstraremos que z2 = 2.

Negando a tese (que z2 = 2), teremos dois casos: (a) z2 < 2 ou (b) z2 > 2.

Caso a: Se z2 < 2, mostraremos que existe um numero z+1/n ∈ R tal que (z+1/n)2 < 2.

Para cada n ∈ N, segue que

(z + 1/n)2 = z2 + 2z/n + 1/n2 < z2 + 2z/n + 1/n

assim, tomaremos z ∈ R tal que z2 + (2z + 1)/n < 2. Este numero esta bem definido,

pois dado o numero real positivo2 − z2

2z + 1existe um n ∈ N tal que

0 <1n<

2 − z2

2z + 1Assim

(z + 1/n)2 = z2 + 2z/n + 1/n2 < z2 + 2z/n + 1/n = z2 + (2z + 1)/n < 2

Caso b: Se z2 > 2, exibiremos um n ∈ N tal que z − 1/n < z tal que (z − 1/n)2 > 2.

Tomando (z − 1/n)2 = z2− 2z/n + 1/n2 > z2

− 2z/n segue que

z2− 2

2z> 2

Concluımos que se z = sup(C), z2 nao podera ser menor que e nem maior que 2, logo,existe z ∈ R tal que z2 = 2. �


Cı VI

“Nao se turbe o vosso coracao; credes em Deus, crede tambem emmim. Na casa de meu Pai ha muitas moradas; se nao fosse assim,eu vo-lo teria dito; vou preparar-vos lugar. E, se eu for e vospreparar lugar, virei outra vez, e vos tomarei para mim mesmo,para que onde eu estiver estejais vos tambem. E para onde eu vouvos conheceis o caminho. Disse-lhe Tome: Senhor, nao sabemospara onde vais; e como podemos saber o caminho? Respondeu-lhe Jesus: Eu sou o caminho, e a verdade, e a vida; ninguem vemao Pai, senao por mim.” A Bıblia Sagrada, Joao 14:1-6

VI.1. S

95 Definicao. (Sequencia real) Uma sequencia (ou sucessao) real e uma funcao f : N → Rque associa a cada numero natural n ∈ N um numero real f (n) ∈ R. O conjunto dos numerosnaturais sera indicado por:

N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}

47 Exemplo. Sequencias reais: f (n) = n, f (n) = n2, f (n) = 2n, f (n) = 1/n e f (n) = 10.

41 Observacao. (Sequencia real) O valor numerico f (n) e o termo de ordem n da sequencia.Pela definicao, o domınio de uma sequencia f e um conjunto infinito, mas o contradomıniopodera ser finito ou infinito. O domınio de uma sequencia f e indicado por Dom( f ) = N e aimagem de uma sequencia f por Im( f ) = {a1, a2, a3, ...}. Como a imagem de f , dada por

f (N) = { f (n) : n ∈ N}

esta contida no conjunto dos numeros reais, esta sequencia e dita real.

42 Observacao. (Problemas com notacoes) Embora nao seja correto, e usual representar umasequencia pelo seu conjunto imagem, pois facilita o entendimento do conceito de sequencia.Para a sequencia f : N → R definida por f (n) = 1/n, o conjunto imagem f (N) destasequencia e dado por

f (N) = {1,12,

13,

14, ...,

1n, ...}

Como e mais facil trabalhar com conjuntos do que com funcoes, muitos utilizam o conjuntoimagem como sendo a propria sequencia, mas nao devemos confundir uma funcao com as suaspropriedades.


VI.1. SEQUENCIAS REAIS 73

48 Exemplo. (Sequencias reais muito importantes).

1. Identidade f : N → R definida por f (n) = n, pode ser representada graficamentede varias formas, sendo que uma delas e o diagrama de Venn-Euler e outra e o graficocartesiano

2. Numeros pares f : N→ R definida por f (n) = 2n. Aqui Im( f ) = {2, 4, 6, ...}.3. Numeros ımpares f : N→ R definida por f (n) = 2n − 1.4. Recıprocos dos naturais f : N → R definida por f (n) = 1/n. Neste caso Im( f ) ={1, 1/2, 1/3, 1/4, ..., 1/n, ...}.

5. Constante f : N→ R definida, por exemplo, por f (n) = 3.6. Nula f : N→ R definida por f (n) = 0. A imagem e o conjunto Im( f ) = {0}.7. Alternada f : N → R definida por f (n) = (−1)nan. Os valores desta sequencia

ficam alternando o sinal, sendo um negativo e o seguinte positivo, etc. Im( f ) ={−a1,+a2,−a3,+a4,−a5,+a6, ...}.

8. Aritmetica f : N → R definida por: f (n) = a1 + (n − 1)r. Neste caso: Im( f ) ={a1, a1 + r, a1 + 2r, ..., a1 + (n − 1)r, ...}.

9. Geometrica f : N → R definida por: f (n) = a1qn−1.Neste caso, temos que Im( f ) ={a1, a1q, a1q2, ..., a1qn−1, ...}.

96 Definicao. (Sequencia recursiva) Uma sequencia e recursiva se, o termo de ordem n eobtido como combinacao linear dos termos das posicoes anteriores.

49 Exemplo. (Sequencia de Fibonacci) Sequencias de Fibonacci aparecem de forma naturalem estudos de Biologia, Arquitetura, Artes e Padroes de beleza. O livro “A divina proporcao:Um ensaio sobre a Beleza na Matematica”, H. E. Huntley, Editora Universidade de Brasılia,1985, trata do assunto.

Uma sequencia de Fibonacci pode ser definida pela funcao f : N → R tal que f (1) = 1e f (2) = 1 com f (n + 2) = f (n) + f (n + 1) para n ≥ 1. O conjunto imagem e Im( f ) ={1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...}. Tais numeros sao obtidos por:

f (1) = 1f (2) = 1f (3) = f (1) + f (2) = 1 + 1 = 2f (4) = f (2) + f (3) = 1 + 2 = 3f (5) = f (3) + f (4) = 2 + 3 = 5f (6) = f (4) + f (5) = 3 + 5 = 8f (7) = f (5) + f (6) = 5 + 8 = 13f (8) = f (6) + f (7) = 8 + 13 = 21f (9) = f (7) + f (8) = 13 + 21 = 34... = ... = ...

43 Observacao. (Grafico de uma sequencia) O grafico de uma sequencia nao e formado poruma colecao contınua de pontos mas por uma colecao discreta. As vezes, usamos retas oucurvas entre dois pontos dados para melhor visualizar o grafico, mas nao podemos considerartais linhas como representativas do grafico da sequencia.


VI.2. CONVERGENCIA 74

44 Observacao. (O Conjunto imagem de uma sequencia) Toda vez que nos referirmos a umasequencia f : N → R tal que f (n) = an, simplesmente usaremos a imagem da sequencia f ,atraves do conjunto

Im( f ) = {a1, a2, a3, ..., an−1, an, ...}

50 Exemplo. (Conjunto imagem de uma sequencia)

1. As sequencias f : N → R definidas por f (n) = 0, g(n) = (−1)n e h(n) = cos(nπ/3)sao finitas e suas imagens sao, respectivamente dadas por: Im( f ) = 0, Im(g) = {−1, 1} eIm(h) = {1/2,−1/2,−1, 1}.

2. As sequencias f : N → R definidas por f (n) = 2n, g(n) = (−1)nn, h(n) = sin(n) ek(n) = cos(3n) sao infinitas, pois suas imagens possuem infinitos termos.

3. A sequencia infinita f : N → R, cujo conjunto imagem e Im( f ) = {5, 10, 15, 20, ...}.Temos que f (1) = 5 = 5 × 1, f (2) = 10 = 5 × 2, f (3) = 15 = 5 × 3, ..., f (n) = 5n. Este eum exemplo de uma sequencia aritmetica, o que garante que ela possui uma razao r = 5,o que permite escrever cada termo como

f (n) = f (1) + (n − 1)r

No ambito do Ensino Medio, esta expressao e escrita como:

an = a1 + (n − 1)r

VI.2. C

97 Definicao. (Sequencia limitada) Uma sequencia real f e limitada se o conjunto f (N) elimitado em R.

51 Exemplo. As sequencias f (n) = n, f (n) = n2 e f (n) = 2n nao sao limitadas, masf (n) = 1/n mas f (n) = 10 e limitada.

98 Definicao. (Sequencia convergente) Uma sequencia f : N → R converge para umnumero real L (limite da sequencia) se, para cada ε > 0 e arbitrario, existe um ındice no ∈ Ntal que para todo n > no tem-se que:

| f (n) − L| < ε

Neste caso, indicamos queL = lim f (n) = lim

n→∞f (n)

45 Observacao. (Sobre o limite de uma sequencia)

1. Se uma sequencia nao e convergente, ela e dita divergente.2. Pela definicao acima, existe no maximo um numero finito de elementos do conjunto f (N)

que esta fora do intervalo (L − ε,L + ε);3. A convergencia de uma sequencia, depende dos ultimos termos da mesma.



52 Exemplo. Seja a sequencia f (n) = 1/n. Para um numero natural n grande o valor de1/n e pequeno. Construiremos uma tabela contendo apenas as potencias de 10.

n 1 101 102 103 104 105→ ∞

f (n) 1 10−1 10−2 10−3 10−4 10−5→ 0

decimais 1 0, 1 0, 001 0, 0001 0, 00001 0, 000001 → 0

Neste caso, escrevemos:

limn→∞

1n= 0

Como R e um corpo arquimediano, dado ε > 0, segue que1ε> 0 e existe n0 ∈ N tal que

1ε> n0. Tomando os inversos nesta desigualdade, obtemos a existencia de n0 ∈ N tal que

1n0< ε, assim, para todo n > n0 vale

|1n− 0| =

1n<

1n0< ε

65 Teorema. (Unicidade do limite) Se uma sequencia f = f (n) converge para um limite L,este limite e unico.

66 Teorema. (Confronto) Se f = f (n), g = g(n) e h = h(n) sao sequencias reais tal quef (n) ≤ g(n) ≤ h(n) e alem disso lim f (n) = L = lim h(n), entao lim g(n) = L.

46 Observacao. O teorema do confronto e conhecido como a regra do sanduıche.

47 Observacao. (Relacao de Stifel) A relacao de Stifel, apresentada na sequencia, e muitoconhecida pelo alunos do segundo grau e pode ser interpretada no conhecido Triangulo Chines(de Pascal?), quando somamos dois numeros binomiais seguidos na mesma linha para obtero numero binomial que fica na linha seguinte em baixo do ultimo numero binomial somado.

67 Teorema. (Relacao de Stifel) Se n, k ∈ N com n > k, entao(nk

)+

(n

k + 1

)=

(n + 1k + 1

)Demonstracao. Desenvolvendo o membro da esquerda, obtemos:(

nk

)+

(n

k + 1

)=

n!k!(n − k)!

+n!

(k + 1)!(n − k − 1)!

=n!(k + 1)

(k + 1)k!(n − k)!+

n!(n − k)(k + 1)!(n − k)(n − k − 1)!

=n!(k + 1)

(k + 1)!(n − k)!+

n!(n − k)(k + 1)!(n − k)!

=n!(k + 1 + n − k)

(k + 1)![(n + 1) − (k + 1)]!=

(n + 1)n!(k + 1)![(n + 1) − (k − 1)]!

=(n + 1)!

(k + 1)![(n + 1) − (k − 1)]!=

(n + 1k + 1

)�



68 Teorema. (Binomial para n finito) Sejam h > 0 e n ∈ N. Assim:

(1 + h)n =

n∑k=0

(nk

)hn = 1 + nh +

n(n − 1)2!

h2 +n(n − 1)(n − 2)

3!h3 + ... + hn

69 Teorema. (Desigualdade de Bernoulli com 2 termos) Se h ∈ R com 1 + h > 0 e n ∈ N,entao:

(1 + h)n≥ 1 + nh

Demonstracao. Para n = 1, segue que (1 + h)1 =≥ 1 + 1h. Se (1 + h)n≥ 1 + nh e

verdadeiro, mostraremos que (1 + h)n+1≥ 1 + (n + 1)h. Realmente,

(1 + h)n+1 = (1 + h) · (1 + h)n

≥ (1 + h) · (1 + nh)= 1 + h + nh + nh2

≥ 1 + (n + 1)h

�

70 Teorema. (Desigualdade de Bernoulli com 3 termos) Se h > 0 e n ∈ N, entao

(1 + h)n≥ 1 + nh +

n(n − 1)2!

h2

Demonstracao. Se n = 1 entao (1+ h)1≥ 1+ 1h+ 0.h2. Se (1+ h)n

≥ 1+ nh+n(n − 1)

2!h2

e verdadeiro, mostraremos que

(1 + h)n+1≥ 1 + (n + 1)h +

(n + 1)n2

h2

(1 + h)n+1 = (1 + h) · (1 + h)n

≥ (1 + h) · (1 + nh +n(n − 1)

2h2)

= 1 + nh +n(n − 1)

2!h2 + h + nh2 +

n(n − 1)2

h3

= 1 + (n + 1)h +n(n − 1)

2h2 +

2n2

h2 +n(n − 1)

2!h3

≥ 1 + (n + 1)h +n(n − 1)

2h2 +

2n2

h2

= 1 + (n + 1)h +(n + 1)n

2h2

�



53 Exemplo. (Limite da potencia n-esima de um numero real) Seja a sequencia f (n) = an

definida para a ∈ R e n ∈ N.

1. Caso a > 1. Escrevendo a = 1 + h, onde h > 0, teremos:

an = (1 + h)n≥ 1 + nh→∞

2. Caso a < −1 e n par. Aqui temos:

an = [−(−a)]n = (−1)n· (−a)n = (−a)n

→∞

3. Caso a < −1 e n ımpar. Temos:

an = [−(−a)]n = (−1)n· (−a)n = −(−a)n

→ −∞

4. Caso a = −1. A sequencia nao converge, pois:

an =

{+1 se n e par−1 se n e ımpar

5. Caso a = 1. Neste caso, an = 1→ 1.6. Caso a = 0. Neste caso, an = 0→ 0.7. Caso 0 < a < 1. Como 1/a > 1, entao 1/a = 1 + h onde h > 0, logo

0 ≤ an = (1 + h)n =1

(1 + h)n ≤1

1 + nh→ 0

8. Caso −1 < a < 0. Basta tomar 0 < −a < 1 e escrever

an = [−(−a)]n = (−1)n· (−a)n

→ 0

54 Exemplo. (Limite da raiz n-esima de um numero real nao negativo) Seja a sequenciaf (n) = n

√a definida para a > 0 e n ∈ N.

1. Caso a > 1. Aqui, n√

a > 1, assim para cada n ∈ N, escrevemos n√

a = 1+ hn onde hn > 0,e isto significa que

a = (1 + hn)n≥ 1 + n.hn

logo

0 < hn ≤a − 1

n→ 0

assim hn → 0 e mostramos que

n√a = 1 + hn → 1

2. Caso 0 < a < 1. Aqui, temos que 0 < n√

a < 1, logo

1n√

a> 1


VI.3. MONOTONICIDADE 78

para cada n ∈ N, existe hn > 0 tal que

1n√

a= 1 + hn

logo

a =1

(1 + hn)n ≤1

1 + n.hn

Temos entao que

1 + n.hn ≤1a

ou seja

0 < hn ≤

1a − 1

n→ 0

que garante que hn → 0, assim

1n√

a= 1 + hn → 1

Entaon√a→ 1

55 Exemplo. (Limite da raiz n-esima de n) Usando a desigualdade de Bernoulli com 3 termos,mostrar que n

√n→ 1.

VI.3. M

99 Definicao. (Sequencias monotonas) Uma sequencia real f = f (n) e monotona

1. Crescente (ou nao decrescente) se m < n implica que f (m) ≤ f (n).2. Decrescente (ou nao crescente) se m < n implica que f (m) ≥ f (n).3. Estritamente crescente se m < n implica que f (m) < f (n).4. Estritamente decrescente se m < n implica que f (m) > f (n).

100 Definicao. (Sequencia monotona, forma alternativa) Uma sequencia real f = f (n) e

1. Crescente (ou nao decrescente) se para todo n ∈ N tem-se que f (n) ≤ f (n + 1).2. Decrescente (ou nao crescente) se para todo n ∈ N tem-se que f (n) ≥ f (n + 1).3. Estritamente crescente se para todo n ∈ N tem-se que f (n) < f (n + 1).4. Estritamente decrescente se para todo n ∈ N tem-se que f (n) > f (n + 1).


VI.4. SUBSEQUENCIAS 79

VI.4. S

101 Definicao. (Subsequencia) Seja f : N → R uma sequencia de numeros reais. Se existeuma sequencia estritamente crescente de numeros naturais i : N→ N cujo conjunto imagemi(N) e infinito, a sequencia fi : N→ R, definida como a composta fi = f ◦i e uma subsequenciade f e uma sequencia cujo conjunto imagem e:

fi(N) = f (i(N)) = { f (i(n)) : n ∈ N}

O novo conjunto imagem fi(N) e um subconjunto de f (N), razao pela qual a compostafi = f ◦ i recebe o nome de subsequencia de f .

48 Observacao. (Importantes sobre subsequencias)

1. A partir de uma dada sequencia f = f (n), podemos construir muitas subsequencias,sendo que algumas delas poderao ser convergentes.

2. A subsequencia mais simples de uma dada sequencia f = f (n), ocorre quando tomamosi(n) = n, pois ( fi)(n) = f (i(n)) = f (n).

3. Como a sequencia de numeros naturais i : N → N e estritamente crescente, segue quepara cada n ∈ N, vale a desigualdade i(n) ≥ n.

4. O tratamento da convergencia de uma subsequencia e realizado do mesmo modo que o deuma sequencia, ate mesmo porque uma subsequencia tambem e uma sequencia..

56 Exemplo. Sejam as sequencias f (n) = 1/n e i(n) = n2. A composta das sequencias f e igera uma subsequencia fi = f ◦ i de f dada por:

fi(n) = f (i(n)) =1n2

sendo que o ındice natural n foi substituıdo por n2 na sequencia original f .

Trabalhando com as imagens dos conjuntos, temos que:

fi(N) = {1,14,

19,

116,

125, ...,

1n2 , ...}

e um subconjunto de

f (N) = {1,12,

13,

14,

15, ...,

1n, ...}

71 Teorema. Se uma sequencia f = f (n) e convergente para um limite L, entao todas assuas subsequencias sao convergentes para o mesmo limite L.

72 Teorema. Se uma sequencia f = f (n) tem duas subsequencias, sendo que cada umaconverge para um limite diferente, entao a sequencia f = f (n) nao e convergente.

73 Teorema. Se uma sequencia f = f (n) possui uma subsequencia que nao e convergente,entao a sequencia f = f (n) nao e convergente.


VI.5. LIMITACAO 80

102 Definicao. (Divergencia para +∞) Uma sequencia f = f (n) diverge para +∞ se paracada M > 0, existe um ındice n0 = n0(M) tal que para todo n > n0, temos que f (n) >M.

103 Definicao. (Divergencia para −∞) Uma sequencia f = f (n) diverge para −∞ se paracada M < 0, existe um ındice n0 = n0(M) tal que para todo n > n0, temos que f (n) <M.

57 Exemplo. f (n) = n diverge para +∞ e g(n) = −n2 diverge para −∞.

104 Definicao. (Sequencia oscilante) Diz-se que que uma sequencia f = f (n) e oscilante, seela e divergente, mas nao diverge nem para +∞, nem para −∞.

58 Exemplo. f (n) = (−1)n e g(n) = cos(nπ) sao sequencias oscilantes, mas h(n) = sin(nπ)nao e uma sequencia oscilante.

74 Teorema. (Troca de termos em sequencia) Se um numero finito de termos e trocado emuma sequencia f = f (n) para formar uma outra sequencia g = g(n), entao f = f (n) convergese, e somente se, g = g(n) converge, e os limites destas sequencias sao iguais.

59 Exemplo. (A sequencia mais importante) A sequencia f (n) = 1/n converge para 0.Substituindo os cinco primeiros termos desta sequencia pelos numeros 10, 20, 30, 40, 50,obteremos uma outra sequencia g = g(n) com conjunto imagem:

g(N) = {10, 20, 30, 40, 50, 1/6, 1/7, 1/8, ..., 1/n, ...}

mas ainda assim, a sequencia g = g(n) tera limite 0 pois a alteracao de um numero finitoou dos primeiros termos da sequencia, nao altera o valor limite da mesma, uma vez que estelimite depende apenas dos termos finais da sequencia.

Exercıcio: Se f (n) = C (constante), mostre que lim f (n) = C.

49 Observacao. (Sobre o calculo do limite) Como nem sempre e facil obter o limite de umasequencia como por exemplo

f (n) = (1 +1n

)n

atraves da definicao apresentada, em geral, devemos utilizar as propriedades geometricas dassequencias relacionadas com a sua limitacao, para facilitar o trabalho.

VI.5. L

105 Definicao. (Sequencia limitada) Uma sequencia f = f (n) e limitada:

1. superiormente se existe M > 0 tal que para todo n ∈ N: f (n) <M.2. inferiormente se existe N < 0 tal que para todo n ∈ N: N < f (n).3. se e limitada superiormente e limitada inferiormente, isto e, existem M,N ∈ R tal que

N ≤ f (n) ≤M, para todo n ∈ N.4. se existe M > 0 tal que para todo n ∈ N: | f (n)| <M.


VI.5. LIMITACAO 81

75 Teorema. (Convergencia implica limitacao) Se f = f (n) e uma sequencia convergenteem R, entao f (n) e limitada.

Demonstracao. Se f = f (n) e convergente para um numero real L, entao, para cadaε > 0 existe n0 = n0(ε) ∈ N tal que se n > n0, entao | f (n) − L| < ε. Se tomarmos emparticular ε = 1, segue a existencia de um numero n0 ∈ N tal que | f (n) − L| < 1.

Pela desigualdade triangular, temos que | f (n)| − |L| ≤ | f (n) − L| garantindo que paran > n0, vale a desigualdade

| f (n)| ≤ 1 + |L|

Tomando M = max(| f (1)|, | f (2)|, | f (3)|, ..., | f (n0)|, 1 + |L|), segue que

−M ≤ −| f (1)| ≤ f (1) ≤ | f (1)| ≤M−M ≤ −| f (2)| ≤ f (2) ≤ | f (2)| ≤M−M ≤ −| f (3)| ≤ f (3) ≤ | f (3)| ≤M−M ≤ −| f (4)| ≤ f (4) ≤ | f (4)| ≤M

...−M ≤ −| f (n0)| ≤ f (n0) ≤ | f (n0)| ≤M−M ≤ −| f (n)| ≤ f (n) ≤ | f (n)| ≤M

Desse modo −M ≤ f (n) ≤M para todo n ∈ Ne segue que f = f (n) e limitada. �

76 Teorema. (Monotonia limitada implica convergencia) Se f = f (n) e uma sequenciamonotona e limitada, entao f (n) e convergente.

Demonstracao. Se f = f (n) e uma sequencia limitada, o conjunto imagem C = f (N) ={ f (n) : n ∈ N} tambem e limitado, logo, o conjunto C e limitado superiormente em R,e segue que o conjunto C possui supremo em R, que denotaremos por α = sup(C).Pela definicao de supremo, para cada ε > 0, existe um numero natural n0 tal que

α − ε < f (n0) ≤ α

Se a sequencia f = f (n) e monotona crescente, entao, para todo n > n0, segue quef (n) ≥ f (n0), assim

α − ε < f (n0) ≤ f (n) ≤ α

e e claro que para todo n > n0, temos que

α − ε < f (n) ≤ α + ε

assim| f (n) − α| < ε

garantindo que lim f (n) = α, ou seja, f = f (n) converge para sup( f (N)). �


VI.6. MEDIAS USUAIS 82

77 Teorema. Se f = f (n) e uma sequencia limitada em R, ela possui uma subsequenciaconvergente.

Demonstracao. Se f = f (n) e uma sequencia limitada, segue que o conjunto imagemf (N) = { f (n) : n ∈ N} tambem e limitado, logo f (N) e limitado superiormente em R ef (N)) possui supremo em R, que denotaremos por α = sup( f (N)).

Para ε = 1, existe um numero natural n1 tal que α − 1 < f (n1) < α + 1.

Para ε = 1/2, existe um numero natural n2 tal que α − 12 < f (n2) < α + 1

2 .

Para ε = 1/3, existe um numero natural n3 tal que α − 13 < f (n3) < α + 1

3 .

Em geral, para ε = 1/m, existe um numero natural nm tal que α − 1m < f (nm) < α + 1

m .

Tomando a funcao i : N → N definida por i(1) = n1, i(2) = n2, i(3) = n3, ..., i(m) = nm,..., segue que fi(m) = f (nm) e uma subsequencia de f = f (n), alem disso

α −1m< fi(m) < α +

1m

ou seja, para cada m ∈ N:

| fi(n) − α| <1m

e quando m tende a∞, segue que limm→∞

fi(n) = α. �

VI.6. M

106 Definicao. (Media aritmetica) Se m > 0 e n > 0 tal que m ≤ n, definimos a mediaaritmetica entre m e n por

A(m,n) =m + n

2Se x1, x2, x3, ..., xn sao numeros reais positivos, definimos a media aritmetica entre eles por

A(x1, x2, x3, ..., xn) =x1 + x2 + x3 + ... + xn

n

107 Definicao. (Media geometrica) Se m > 0 e n > 0 tal que m ≤ n, definimos a mediaaritmetica entre m e n por

G(m,n) =√

mn

Se x1, x2, x3, ..., xn sao numeros reais positivos, definimos a media geometrica entre eles por

G(x1, x2, x3, ..., xn) = n√

x1 · x2 · x3 · ... · xn

108 Definicao. (Media harmonica) Se m > 0 e n > 0 tal que m ≤ n, definimos a mediaaritmetica entre m e n por

2H(m,n)

=1m+

1n


VI.7. MEDIAS VERSUS PROGRESSOES 83

Se x1, x2, x3, ..., xn sao numeros reais positivos, definimos a media harmonica entre eles por

1H(x1, x2, x3, ..., xn)

=1x1+

1x2+

1x3+ ... +

1xn

VI.7. M

109 Definicao. (PA) Tres numeros positivos a, b e c, nesta ordem, formam uma progressaoaritmetica, se o termo b e a media aritmetica entre os termos a e c.

110 Definicao. (PG) Tres numeros positivos a, b e c, nesta ordem, formam uma progressaogeometrica, se o termo b e a media geometrica entre os termos a e c.

111 Definicao. (PH) Tres numeros positivos a, b e c, nesta ordem, formam uma progressaoharmonica, se o termo b e a media harmonica entre os termos a e c.

Exercıcio: Pesquisar materiais de Geometria euclidiana para interpretar geometrica-mente as medias: aritmetica, geometrica e harmonica.

Exercıcio: Mostrar que se a, b e c sao numeros positivos que estao em progressaoharmonica, entao, tambem estao em progressao harmonica, os tres numeros:

ab + c

,b

a + ce

ca + b

Dica: Mostrar que a media harmonica entrea

b + ce

ca + b

e igual ab

a + c, usando como

valida a relacao b =2a.ca + c

ou equivalentemente, 2a.c = a.b + b.c.

H(a

b + c,

ca + b

) =2.

ab + c

.c

a + ba

b + c+

ca + b

=2.a.c

a · (a + b) + c · (b + c)= ...

VI.8. H

112 Definicao. (Harmonico global) Se m e n sao numeros reais positivos, definimos oharmonico global entre m e n, denotado por h = h(m,n) satisfazendo a relacao harmonica:

1h(m,n)

=1m+

1n

Neste caso, a media harmonica e o dobro do harmonico global, isto e, H(m,n) = 2h(m,n).


VI.9. DESIGUALDADES COM MEDIAS 84

Na Pagina Matematica Essencial voce encontra muitos materiais didaticos con-tendo aplicacoes da Matematica. Na pasta Alegria, existem alguns passatemposmatematicos e um link sobre Harmonia e Matematica, onde tratamos sobre o usodo harmonico global em aplicacoes no calculo de tempos, resistencias, capacidadeseletricas, capacidades motivas, lentes, geometria, etc.

VI.9. D

113 Definicao. (Funcao crescente) Uma funcao f : X → R e crescente, se x < y implicarque f (x) ≤ f (y).

1 Lema. (Funcao raiz quadrada) A funcao f : [0,∞) → [0,∞) definida por f (x) =√

x ebijetiva, e alem disso, f e crescente, isto e, se x ≤ y entao

√x ≤√

y.

78 Teorema. Em geral H(m,n) ≤ G(m,n) e a igualdade ocorre se m = n, isto e, H(n,n) =G(n,n) = n.

Demonstracao. Como (n−m)2≥ 0, entao m2 + n2

− 2mn ≥ 0. Somando 4mn em ambosos lados da desigualdade, obtemos m2+n2+2mn ≥ 4mn que tambem pode ser escritacomo

(m + n)2≥ 4mn

Extraindo a raiz quadrada de cada lado da desigualdade:

m + n ≥ 2√

mn

de onde segue que2

m + n≤

√mn

mnsignificando que

H(m,n) ≤ G(m,n)

�

79 Teorema. Em geral, vale a desigualdade G(m,n) ≤ A(m,n) e a igualdade ocorre quandom = n, isto e, G(n,n) = A(n,n) = n.


− 2mn ≥ 0. Somando 4mn em ambosos lados da desigualdade, obtemos m2 + n2 + 2mn ≥ 4mn que pode ser escrita como

(m + n)2≥ 4mn

Extraindo a raiz quadrada de cada lado da desigualdade, obtemos m + n ≥ 2√

mn eassim

m + n2≥√

mn

o que garante que A(m,n) ≤ G(m,n). �


http://www.mat.uel.br/matessencial

http://www.mat.uel.br/matessencial/alegria/harmonia.htm

VI.10. APLICACOES GEOMETRICAS 85

80 Teorema. Em geral, vale a desigualdade G(m,n) ≤ A(m,n) e a igualdade so ocorre quandom = n, isto e, G(n,n) = A(n,n) = n.


− 2mn ≥ 0. Somando 4mn em ambosos lados da desigualdade, obtemos m2 + n2 + 2mn ≥ 4mn que pode ser escrita como

(m + n)2≥ 4mn

Extraindo a raiz quadrada de cada lado da desigualdade, obtemos m + n ≥ 2√

mn eassim

m + n2≥√

mn

o que garante que A(m,n) ≤ G(m,n). �

VI.10. A

1. Dentre todos os retangulos cuja soma de duas arestas contıguas e igual a 16,determinar aquele que possui a maior area S.Dica: Se a e b sao as medidas dos lados do retangulo, entao S(a, b) = ab indica aarea do retangulo e a+b = 16. Em geral, G(a, b) ≤ A(a, b), mas o maximo da mediageometrica G = G(a, b) ocorre, quando G = A. Este fato garante que a = b = 8.

2. Dentre todos os retangulos com perımetro 2p, obter aquele que tem area maxima.Dica: Sejam a e b as medidas de dois lados contıguos do retangulo, S(a, b) = aba area do retangulo e a + b = p. Assim, G(a, b) ≤ A(a, b) e o maximo da mediageometrica G = G(a, b) ocorre, se G = A, isto e, quando a = b, logo a = b = p/2.

3. Dentre todos os paralelepıpedos cuja soma de tres arestas que partem de ummesmo vertice e uma constante 3p, determinar aquele que possui o maior volume.Dica: Se a, b e c sao as tres arestas que partem de um vertice do paralelepıpedo,entao V(a, b, c) = abc e o volume do paralelepıpedo e a + b + c = 3p. O maximo damedia geometrica G = G(a, b, c) ocorre quando G = A, onde A e a media aritmeticae este fato, faz com que a = b = c = p.

VI.11. A E

O numero e, cujo valor aproximado e 2, 7182818285490, aparece com frequencia emMatematica e este numero e usado para definir o logaritmo natural. Este numeroe pode ser definido atraves de limites de duas sequencias, uma crescente e outradecrescente, mas sera introduzida uma terceira sequencia para facilitar os trabalhos.Nesta secao, as tres sequencias serao denotadas por xn, yn e zn.

81 Teorema. A sequencia real definida por xn =(1 +

1n

)n

e crescente.


VI.11. A CONSTRUCAO DO NUMERO DE EULER 86

Demonstracao.

n+1√

xn =n+1

√(1 +

1n

)n

=n+1

√1.

(1 +

1n

)n

= G(1, 1 +1n, 1 +

1n, ..., 1 +

1n

) ≤ A(1, 1 +1n, 1 +

1n, ..., 1 +

1n

)

=1 + n(1 +

1n

)

n + 1=

n + 2n + 1

= 1 +1

n + 1

Elevando a potencia n + 1 o primeiro e o ultimo termos da desigualdade, obtemos

xn ≤

(1 +

1n + 1

)n+1

= xn+1

garantindo que (xn) e crescente. �

82 Teorema. A sequencia real definida por yn =(1 −

1n

)n

e crescente.

Demonstracao.

n+1√

yn =n+1

√(1 −

1n

)n

=n+1

√1.

(1 −

1n

)n

= G(1, 1 −1n, 1 −

1n, ..., 1 −

1n

) ≤ A(1, 1 −1n, 1 −

1n, ..., 1 −

1n

)

=1 + n(1 −

1n

)

n + 1=

nn + 1

= 1 −1

n + 1

Elevando a potencia n+1 o primeiro e o ultimo termos da desigualdade acima, temos

yn ≤

(1 −

1n + 1

)n+1

= yn+1

garantindo que (yn) e crescente. �

83 Teorema. A sequencia real definida por zn =(1 +

1n

)n+1

e decrescente.

Demonstracao. Usaremos o fato que (yn) e crescente.

zn+1 =(1 +

1n + 1

)n+2

=(n + 2n + 1

)n+2

=1(n + 1

n + 2

)n+2 =1(

1 −1

n + 2

)n+2 =1

yn+2

Como yn+1 ≤ yn+2, garantimos que zn e decrescente, pois

zn+1 =1

yn+2≤

1yn+1

= zn

�


VI.11. A CONSTRUCAO DO NUMERO DE EULER 87

84 Teorema. Para as sequencias reais definidas por xn =(1 +

1n

)n

, zn =(1 +

1n

)n+1

e para

todo n > 1, valem as desigualdades

2 = x1 < xn < zn < z1 = 4

50 Observacao. Pelo Teorema 81, a sequencia (xn) e crescente, pelo Teorema 83 a sequencia(zn) e decrescente, pelo Teorema 84 ambas sao limitadas em R e pelo Teorema 76 da secao VI.5,ambas as sequencias convergem em R.114 Definicao. (Numero e de Euler) Definimos o numero e atraves do limite

e = limn→∞

xn = limn→∞

(1 +

1n

)n

85 Teorema. Para todo n ∈ N, vale a desigualdade: xn < e.86 Teorema. O numero e tambem pode ser definido por

e = limn→∞

zn = limn→∞

(1 +

1n

)n+1

87 Teorema. Para todo n ∈ N, vale a desigualdade: e < zn.88 Teorema. Mostrar que para todo n ∈ N, vale a desigualdade(n

e

)n< n!

Demonstracao. Usaremos o Princıpio de Inducao Matematica (PIM) e a desigualdadexn < e. Para n = 1, a desigualdade e verdadeira. Consideremos verdadeira adesigualdade para n = m, isto e, (m

e

)m< m!

Assim

(m + 1)! = (m + 1).m! > (m + 1)(m

e

)m= (m + 1) ·

mm

em

=(m + 1)(m + 1)m

em+1 ·e ·mm

(m + 1)m

=(m + 1)m+1

em+1 ·e ·mm

(m + 1)m

=(m + 1)m+1

em+1 · e · (m

m + 1)m

=(m + 1)m+1

em+1 ·e

(m + 1

m)m=

(m + 1)m+1

em+1 ·e

xm

>(m + 1)m+1

em+1 · 1 >(m + 1)m+1

em+1

�

89 Teorema. Mostrar que para todo n ∈ N, vale a desigualdade

n! < e(n + 1

e

)n+1


VI.12. SEQUENCIAS ARITMETICAS E PA 88

VI.12. S PA

Sequencias aritmeticas sao muito usadas em processos lineares em Matematica.Tais sequencias sao conhecidas no ambito do Ensino Medio, como Progressoes Ar-itmeticas infinitas, mas uma Progressao Aritmetica finita nao e uma sequencia, pois odomınio da funcao que define a progressao, e um conjunto finito {1, 2, 3, ...,m} contidono conjunto N dos numeros naturais.

115 Definicao. (Progressao Aritmetica finita) Uma colecao finita de numeros reais, con-struıda de modo que, cada termo a partir do segundo, e obtido pela soma do anterior com umnumero fixo r, denominada razao da PA.

Na sequencia, apresentamos os elementos basicos de uma Progressao Aritmetica daforma:

C = {a1, a2, a3, ..., an, ..., am−1, am}

1. m e o numero de termos da PA.2. n indica uma posicao na sequencia e o ındice para a ordem do termo geral an no

conjunto C.3. an e o n-esimo termo da PA, que se le: a ındice n.4. a1 e o primeiro termo da PA, que se le: a ındice 1.5. a2 e o segundo termo da PA, que se le: a ındice 2.6. am e o ultimo elemento da PA.7. r e a razao da PA e e possıvel observar que

a2 = a1 + r, a3 = a2 + r, ..., an = an−1 + r, ..., am = am−1 + r

A razao de uma Progressao Aritmetica, pode ser obtida, subtraindo o termo anterior(antecedente) do termo posterior (consequente), ou seja:

a2 − a1 = a3 − a2 = a4 − a3 = ...an − an−1 = r

60 Exemplo. (Progressoes Aritmeticas finitas)

1. A PA definida pelo conjunto C = {2, 5, 8, 11, 14} possui razao r = 3, pois 2 + 3 = 5,5 + 3 = 8, 8 + 3 = 11 e 11 + 3 = 14.

2. A PA definida pelo conjunto M = {1, 2, 3, 4, 5} possui razao r = 1, pois 1 + 1 = 2,2 + 1 = 3, 3 + 1 = 4 e 4 + 1 = 5.

3. A PA definida por M(3) = {3, 6, 9, 12, 15, 18} possui razao r = 3, pois 6 − 3 = 9 − 6 =12 − 9 = 15 − 12 = 3.

4. A PA definida por M(4) = {0, 4, 8, 12, 16} possui razao r = 4, pois 4 − 0 = 8 − 4 =12 − 8 = 16 − 12 = 4.

90 Teorema. (Formula do Termo geral da PA) Seja a PA com razao r, definida por P ={a1, a2, a3, ..., an−1, an}. A formula do termo geral desta sequencia e dada por

an = a1 + (n − 1)r



Demonstracao. Observamos que:

a1 = a1 = a1 + 0ra2 = a1 + r = a1 + 1ra3 = a2 + r = a1 + 2ra4 = a3 + r = a1 + 3r... ... ...an = an−1 + r = a1 + (n − 1)r

e obtemos a formula do termo geral da PA:

an = a1 + (n − 1)r

�

Com o material apresentado, podemos obter qualquer termo de uma ProgressaoAritmetica (PA), sem precisar escrever a PA completamente.

61 Exemplo. (Sobre termos de uma PA)

1. Seja a PA com razao r=5, dada pelo conjunto C = {3, 8, ..., a30, ..., a100}. O trigesimo e ocentesimo termos desta PA podem ser obtidos, substituindo os dados da PA na formula dotermo geral an = a1 + (n − 1)r. Assim:

a30 = 3 + (30 − 1)3 = 90a100 = 3 + (100 − 1)3 = 300

Qual e o termo de ordem n = 220 desta PA?2. Para inserir todos os multiplos de 5, que estao entre 21 e 623, montaremos uma tabela.

21 25 30 ... 615 620 623a1 a2 a3 ... an−2 an−1 an

Aqui, o primeiro multiplo de 5 e a1 = 25, o ultimo multiplo de 5 e an = 620 e a razao er = 5. Substituindo os dados na formula do termo geral, obtemos

620 = 25 + (n − 1)5

de onde segue que n = 120, assim o numero de multiplos de 5 entre 21 e 623, e igual a120. O conjunto de tais numeros e dado por

C5 = {25, 30, 35, ..., 615, 620}

116 Definicao. (Progressoes Aritmeticas monotonas) Quanto a monotonia, uma PA podeser:

1. crescente se para todo n ≥ 1: r > 0 e an < an+1.2. constante se para todo n ≥ 1: r = 0 e an+1 = an.3. decrescente se para todo n ≥ 1: r < 0 e an+1 < an.



62 Exemplo. 1. A PA definida pelo conjunto C = {2, 4, 6, 8, 10, 12} e crescente, pois r = 2e a1 < a2 < ... < a5 < a6.

2. A PA finita G = {2, 2, 2, 2, 2} e constante.3. A PA definida pelo conjunto Q = {2, 0,−2,−4,−6} e decrescente com razao r = −2 e

a1 > a2 > ... > a4 > a5.

Exercıcio: Em uma PA com m termos, mostrar que a razao r pode ser escrita na forma

r =am − a1

m − 1.

117 Definicao. (Extremos e Meios em uma PA) Em uma Progressao Aritmetica (finita) dadapelo conjunto:

C = {a1, a2, a3, ..., an, ..., am−1, am}

os termos a1 e am sao os extremos e os demais: a2, a3, ..., am−2, am−1 sao os meios aritmeticos.

63 Exemplo. Na PA definida por C = {1, 3, 5, 7, 9, 11}, os numeros 1 e 11 sao os extremos osnumeros 3, 5, 7 e 9 sao os meios aritmeticos.

118 Definicao. (Termos equidistantes dos extremos) Em uma PA com m termos, dois termossao equidistantes dos extremos se a soma de seus ındices e igual a m + 1.

51 Observacao. (Termos equidistantes dos extremos) Para a sequencia indicada acima, saoequidistantes dos extremos os pares de termos

a1 e am

a2 e am−1

a3 e am−2

... ... ...

Se a PA possui um numero m par de termos, temos m/2 pares de termos equidistantes dosextremos.

64 Exemplo. A PA definida por C = {4, 8, 12, 16, 20, 24}, possui um numero par de termose os extremos sao a1 = 4 e a6 = 24, assim:

a2 + a5 = 8 + 20 = 28 = a1 + a6

a3 + a4 = 12 + 16 = 28 = a1 + a6

a4 + a3 = 16 + 12 = 28 = a1 + a6

a5 + a2 = 20 + 8 = 28 = a1 + a6

Se o numero m de termos e ımpar, temos (m − 1)/2 pares de termos equidistantes e aindateremos um termo isolado, de ordem (m + 1)/2, que e equidistante dos extremos.

65 Exemplo. Na PA de C = {1, 3, 5, 7, 9} os numeros 1 e 9 sao os extremos da PA e osnumeros 3, 5 e 7 sao os meios da PA. O par de termos equidistante dos extremos e formadopor 3 e 7, e alem disso o numero 5 que ficou isolado tambem e equidistante dos extremos.



66 Exemplo. A PA definida por C = {4, 8, 12, 16, 20}, possui um numero ımpar de termos eos extremos sao a1 = 4 e a5 = 20, logo

a2 + a4 = 8 + 16 = 24 = a1 + a5

a3 + a3 = 12 + 12 = 24 = a1 + a5

a4 + a2 = 16 + 8 = 24 = a1 + a5

119 Definicao. (Interpolacao aritmetica) Interpolar k meios aritmeticos entre os numeros ae b, significa obter uma PA com k + 2 termos cujo primeiro termo e a e b e o ultimo termo.Para realizar a interpolacao, basta determinar a razao da PA.

67 Exemplo. Para interpolar 6 meios aritmeticos entre a = −9 e b = 19, e o mesmo que obter

uma PA tal que a1 = −9, am = 19 e m = 8. Como r =am − a1

m − 1, entao r =

19 − (−9)7

= 4 eassim a PA ficara na forma do conjunto:

C = {−9,−5,−1, 3, 7, 11, 15, 19}

91 Teorema. (Soma dos n primeiros termos de uma PA finita) Em uma PA (finita), a somados n primeiros termos e dada pela formula:

Sn =(a1 + an)n

2

Demonstracao. Em uma PA finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremose igual a soma dos extremos desta PA. Assim:

a2 + am−1 = a3 + am−2 = a4 + am−3 = ... = an + am−n+1 = ... = a1 + am

Seja a soma Sn dos n primeiros termos da PA, dada por

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an − 2 + an−1 + an

Como a soma de numeros reais e comutativa, escrevemos:

Sn = an + an−1 + an − 2 + ... + a3 + a2 + a1

Somando membro a membro as duas ultimas expressoes acima, obtemos:

2Sn = (a1 + an) + (a2 + an−1) + ... + (an−1 + a2) + (an + a1)

Como todas as n expressoes em parenteses sao somas de pares de termos equidis-tantes dos extremos, segue que a soma de cada termo, sempre sera igual a a1 + an,entao:

2Sn = (a1 + an)n

Assim, temos a formula para o calculo da soma dos n primeiros termos da PA.

Sn =(a1 + an)n

2�


VI.13. SEQUENCIAS GEOMETRICAS E PG 92

68 Exemplo. Para obter a soma dos 30 primeiros termos da PA definida por C = {2, 5, 8, ..., 89}.Aqui a1 = 2, r = 3 e n = 30. Aplicando a formula da soma, obtida acima, temos:

Sn =(a1 + an)n

2=

(2 + 89) × 302

=91 × 30

2= 1365

Exercıcio: Construir um trabalho relacionando sequencias aritmeticas com MatematicaComercial e Financeira.

VI.13. S PG

Sequencias importantes sao as geometricas, conhecidas no ambito do Ensino Medio,como Progressoes Geometricas (PG) infinitas, mas uma Progressao Geometrica finitanao e uma sequencia, uma vez que o domınio da PG finita e um conjunto finito{1, 2, 3, ...,m} que e um subconjunto proprio de N.

Sequencia geometricas sao usadas em estudos de Matematica Financeira, para anal-isar o Montante de um valor capitalizado, estudar Taxas de juros, Financiamentose Prestacoes. Sequencias geometricas tambem aparecem em estudos de decaimentoradioativo (teste do Carbono 14 para a analise da idade de um fossil ou objeto antigo).

No Ensino Superior tais sequencias aparecem em estudos de Sequencias e Series denumeros e de funcoes, sendo que a serie geometrica (um tipo de sequencia obtidapelas somas de termos de uma sequencia geometrica) e importante para obter outrasseries numericas e series de funcoes.

120 Definicao. (Progressao Geometrica finita) Uma Progressao Geometrica finita, e umacolecao finita de numeros reais com as mesmas caracterısticas que uma sequencia geometrica,mas com um numero finito de elementos. As Progressoes Geometricas (PG) sao caracterizadaspelo fato que a divisao do termo seguinte pelo termo anterior e um quociente fixo. Se esteconjunto possui m elementos, ele pode ser denotado por

G = {a1, a2, a3, ..., an, ..., am−1, am}

No caso de uma Progressao Geometrica finita, temos os seguintes termos tecnicos.

1. m e o numero de termos da PG.2. n indica uma posicao na sequencia e tambem o ındice para a ordem do termo geral an no

conjunto G.3. an e o n-esimo termo da PG, que se le a ındice n.4. a1 e o primeiro termo da PG, que se le a ındice 1.5. a2 e o segundo termo da PG, que se le a ındice 2.6. am e o ultimo elemento da PG.7. q e a razao da PG, que pode ser obtida pela divisao do termo posterior pelo termo anterior,

ou seja na PG definida por

G = {a1, a2, a3, ..., an−1, an}



temos quea2

a1=

a3

a2=

a4

a3= ... =

an

an−1= q

52 Observacao. Na Progressao Geometrica (PG), cada termo e a media geometrica entreo antecedente (anterior) e o consequente (seguinte) do termo tomado, daı a razao de taldenominacao para este tipo de sequencia.

92 Teorema. (Formula do termo geral da PG) A formula do termo geral de uma PG de razaoq, cujo primeiro termo e a1, o numero de termos e n e an e o n-esimo termo, e

an = a1qn−1

Demonstracao. Observamos que:

a1 = a1 = a1q0

a2 = a1q = a1q1

a3 = a2q = a1q2

a4 = a3q = a1q3

... = ... = ...an = an−1q = a1qn−1

Assim temos a formula do termo geral da PG, dada pela forma indutiva:

an = a1qn−1

�

69 Exemplo. (Progressoes geometricas finitas)

1. Seja a PG finita, definida por G = {2, 4, 8, 16, 32}. A razao q = 2 desta PG e obtida peladivisao do consequente pelo antecedente, isto e,

3216=

168=

84=

42= 2

2. Para a PG definida por G = {8, 2, 1/2, 1/8, 1/32}, a divisao de cada termo seguinte peloanterior e q = 1/4, pois:

1/321/8

=1/81/2=

1/22=

28=

14

3. Para a PG definida por T = {3, 9, 27, 81}, temos:

q =93=

273=

813= 3

4. Para a PG A = {10, 100, 1000, 10000}, temos:

q =10010=

1000100

=100001000

= 10



5. Para obter o termo geral da sequencia geometrica E = {4, 16, 64, ...}, tomamos a1 = 4 ea2 = 16. Assim q = 16/4 = 4. Substituindo estes dados na formula do termo geral dasequencia geometrica, obtemos:

f (n) = a1 · qn−1 = 41· 4n−1 = 4(n−1)+1 = 4n

6. Para obter o termo geral da PG tal que a1 = 5 e q = 5, usamos a formula do termo geralda PG, para escrever:

an = a1 · qn−1 = 5 · 5n−1 = 51· 5n−1 = 51+(n−1) = 5n

121 Definicao. (Progressoes Geometricas monotonas) Quanto ao aspecto de monotonia, umaPG pode ser:

1. Crescente, se para todo n ≥ 1: q > 1 e an < an+1.2. Constante, se para todo n ≥ 1: q = 1 e an = an+1.3. Decrescente, se para todo n ≥ 1: 0 < q < 1 e an > an+1.4. Alternada, se para todo n ≥ 1: q < 0.70 Exemplo. 1. A PG definida por U = {5, 25, 125, 625} e crescente, pois a1 < a2 < a3 < a4.2. A PG definida por O = {3, 3, 3} e constante, pois a1 = a2 = a3 = 3.3. A Progressao Geometrica definida por N = {−2,−4,−8,−16} e decrescente, pois a1 >

a2 > a3 > a4.4. A Progressao Geometrica definida por N = {−2, 4,−8, 16} e alternada, pois q = −2 < 0.

122 Definicao. (Interpolacao geometrica) Interpolar k meios geometricos entre dois numerosdados a e b, equivale a obter uma PG com k + 2 termos, em que a e o primeiro termo da PG, be o ultimo termo da PG. Para realizar a interpolacao geometrica, basta obter a razao da PG.

71 Exemplo. Para interpolar tres meios geometricos entre 3 e 48, basta tomar a1 = 3,an = 48, k = 3 e n = 5 para obter a razao da PG. Como an = a1qn−1, entao 48 = 3q4 e segueque q4 = 16, garantindo que a razao e q = 2. Temos entao a PG: R = {3, 6, 12, 24, 48}.

93 Teorema. (Formula da soma dos termos de uma PG finita) Seja a PG finita, Y ={a1, a1q, a1q2, ..., a1qn−1

}. A soma dos n primeiros termos desta PG e dada por

Sn = a11 − qn

1 − q

Demonstracao. Seja a soma dos n termos dessa PG, indicada por:

Sn = a1 + a1q + a1q2 + ... + a1qn−1

Se q = 1, temos:Sn = a1 + a1 + a1 + ... + a1 = na1

Se q e diferente de 1, temos

Sn = a1 + a1q + a1q2 + a1q3 + ... + a1qn−1



Multiplicando ambos os membros da igualdade acima pela razao q, obtemos

qSn = a1q + a1q2 + a1q3 + a1q4 + ... + a1qn−1 + a1qn

Dispondo estas expressoes de uma forma alinhada, obtemos:

Sn = a1+ a1q+ ... +a1qn−1

qSn = a1q+ ... +a1qn−1 +a1qn

Subtraindo membro a membro, a expressao de baixo da expressao de cima, obtemos

Sn − qSn = a1 − a1qn

que pode ser simplificada em

Sn(1 − q) = a1(1 − qn)

ou seja

Sn = a11 − qn

1 − q= a1

qn− 1

q − 1

que e a formula para a soma dos n termos de uma PG finita de razao q,0. �

72 Exemplo. (Somas dos termos em uma PG)

1. Para obter a razao da PG definida por W = {3, 9, 27, 81}, devemos dividir o termo posteriorpelo termo anterior, para obter q = 9/3 = 3. Como a1 = 3 e n = 4, substituımos os dadosna formula da soma dos termos de uma PG finita, para obter:

S4 = 334− 1

3 − 1= 3

81 − 12= 3

802= 120

Confirmacao: S4 = 3 + 9 + 27 + 81 = 120.2. Para obter a soma dos 5 primeiros termos de uma PG cuja razao e q = 1 e a1 = 2, podemos

identificar a PG com o conjunto X = {2, 2, 2, 2, 2}. Como a razao da PG e q = 1, temosque a soma dos seus termos e obtida por S5 = 2 × 5 = 10.

53 Observacao. Uma sequencia geometrica (infinita) e semelhante a uma PG, mas nessecaso ela possui infinitos elementos, pois o domınio desta funcao e o conjunto N.

94 Teorema. (Soma de uma serie geometrica) Seja uma sequencia geometrica f : N → Rdefinida por f (n) = a1qn−1, cujos termos estao no conjunto infinito:

F = {a1, a1q, a1q2, a1q3, ..., a1qn−1, ...}

Se −1 < q < 1, a soma dos termos desta sequencia geometrica, e dada por

S =a1

1 − q



Demonstracao. A soma dos termos desta sequencia geometrica, e a serie geometricade razao q e nao e obtida da mesma forma que no caso das PGs (finitas), mas oprocesso finito e usado no presente calculo.

Consideremos a soma dos termos desta sequencia geometrica, como:

S = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...

que tambem pode ser escrita da forma

S = a1 + a1q + a1q2 + a1q3 + ... + a1qn−1 + ...

ou na forma simplificada

S = a1(1 + q + q2 + q3 + ... + qn−1 + ...)

A expressao matematica dentro dos parenteses

Soma = 1 + q + q2 + q3 + ... + qn−1 + ...

e carente de significado, pois temos uma quantidade infinita de termos e dependendodo valor de q, esta expressao, perdera o sentido real.

Analisaremos alguns casos possıveis, sendo que o ultimo e o mais importante nasaplicacoes.

1. Se q > 1, digamos q = 2, temos que

S = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 2n−1 + ... = infinito = ∞

e o resultado nao e um numero real.2. Se q = 1, temos que

S = 1 + 1 + 1 + ... + 1 + ... = ∞

e o resultado nao e um numero real.3. Se q = −1, temos que

S = −1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1... − 1 + 1 + ...

e dependendo do modo como reunirmos os pares de numeros consecutivos destaPG infinita, obtemos:

S = 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + ... + (−1 + 1) + ... = 1

mas se tomarmos:

S = (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + ... + (1 − 1) + ... = 0

ficara claro que q = −1, a soma dos termos desta serie se tornara complicada.4. Se q < −1, digamos q = −2, temos que

S = 1 − 2 + 4 − 8 + 16 − 32 − 64 + ... + 2n−1− 2n + ...

que tambem e uma expressao carente de justificativa.



5. Se −1 < q < 1, temos o caso mais importante para as aplicacoes. Neste caso asseries geometricas sao conhecidas como series convergentes. Quando uma serienao e convergente, dizemos que ela e divergente. Consideremos

Soma = 1 + q + q2 + q3 + ... + qn−1 + ...

A soma dos n primeiros termos desta serie geometrica, sera indicada por:

Sn = 1 + q + q2 + q3 + ... + qn−1

e ja mostramos antes que

Sn =1 − qn

1 − q

mas se tomamos −1 < q < 1, a potencia qn se aproxima do valor zero, a medidaque o expoente n se torna muito grande e sem controle (os matematicos dao onome infinito ao pseudo-numero com esta propriedade).Para obter o valor de Soma, devemos tomar o limite de Sn quando n tende a infinito.Assim, concluımos que para −1 < q < 1, vale a igualdade:

S = 1 + q + q2 + q3 + ... + qn−1 + ... =1

1 − q

De uma forma geral, se −1 < q < 1, a soma

S = a1 + a1q + a1q2 + a1q3 + ... + a1qn−1 + ...

pode ser obtida por:S =

a1

1 − q

�

73 Exemplo. (Somas de series geometricas)

1. Para obter a soma dos termos da sequencia geometrica S = {2, 4, 8, 16, ...}, devemos obtera razao, que neste caso e q = 2. Assim, a soma dos termos desta PG infinita e dada por:

S = 2 + 4 + 8 + 16 + ...

e esta serie e divergente.2. Para obter a soma dos termos da sequencia geometrica definida pelo conjunto Y ={5, 5/2, 5/4, 5/8, 5/16, ...}, temos que a razao e q = 1/2 e a1 = 5, recaindo no caso(e), assim, basta tomar

S =5

1 − 2= 10



Exercıcios:

1. Seja a sequencia f tal que f (N) = {3, 6, 9, 12, 15, 18, ...}. Determinar os elementosindicados:

(a) f (1) (b) f (3) (c) f (4) − f (1) (d) f (4) + f (2)

2. Consideremos a sequencia f : N → R dos numeros ımpares positivos, definidapor f (n) = 2n − 1, determinar:(a) Os 4 primeiros termos da sequencia.(b) A imagem de f.(c) O n-esimo termo da sequencia.(d) A soma dos n primeiros numeros ımpares positivos.

3. Seja a sequencia f : N→ R dada por f (n) =1 + 3n

2n.

(a) Calcular a soma dos 4 primeiros termos de f.(b) Verificar se os numeros 30/19 e 31/20 sao termos da sequencia e se forem,

indique as suas ordens.(c) Analisar se esta e uma sequencia geometrica.

4. Uma famılia marcou um churrasco, com amigos e parentes no dia 13 de fevereirode um certo ano. A dona da casa esta preocupada, pois o acougueiro entregacarne de tres em tres dias. Sabendo-se que ele entregou carne no dia 13 de janeiro,sera que ele entregara carne no dia 13 de fevereiro?

5. Apresente o conjunto imagem da sequencia f que indica a altura de um aviaoque levanta voo do solo numa proporcao de 3 metros por minuto.

6. Qual e a sequencia (funcao) real f tal que f (N) = {2, 7, 12, ...}?7. Obter o quinto termo da sequencia aritmetica definida por C = {a + b, 3a − 2b, ...}.8. Calcular o numero de termos da PA definida por W = {5, 10, ..., 785}.9. Um garoto dentro de um carro em movimento, observa a numeracao das casas

do outro lado da rua, comecando por 2, 4, 6, 8. De repente passa um onibus emsentido contrario, obstruindo a visao do garoto de forma que quando ele voltoua ver a numeracao, ja estava em 22.(a) Pode-se afirmar que esta e uma sequencia aritmetica? Por que?(b) Quantos numeros o garoto deixou de ver?

10. Um operador de maquina chegou 30 minutos atrasado no seu posto de trabalho,mas como a maquina que ele monitora e automatica, ela comecou a trabalhar nahora programada.(a) Se a maquina produz 10n pecas por minuto em n minutos, quantas pecas a

maquina produziu ate a chegada do operador?(b) Se depois de 1 hora, a maquina produz a mesma quantidade de pecas, quantas

pecas tera feito a maquina ao final do expediente de 4 horas?11. Exiba uma sequencia numerica em que cada termo e a media harmonica do

antecedente e do consequente?12. Construir um trabalho sobre aplicacoes da Matematica Financeira envolvendo

juros compostos.


VI.14. PROPRIEDADES DAS SEQUENCIAS 99

VI.14. P

95 Teorema. Se lim f (n) = A, lim g(n) = B e c = e uma constante, entao

1. lim{ f (n) + g(n)} = lim f (n) + lim g(n) = A + B2. lim{ f (n) − g(n)} = lim f (n) − lim g(n) = A − B3. (Para o produto) Existe n0 ∈ N tal que | f (n)| ≤ 1 + |A| para todo n > n0.4. lim{ f (n).g(n)} = lim f (n). lim g(n) = A.B5. lim{c. f (n)} = c. lim f (n) = c.A

6. (Para a divisao) Se B , 0, existe n1 ∈ N tal que |g(n)| >12|B| para todo n > n1.

7. Se B , 0:

limf (n)g(n)

=lim f (n)lim g(n)

=AB

VI.15. S C

123 Definicao. (Sequencia de Cauchy) Uma sequencia real f = f (n) e de Cauchy (oufundamental) se, dado ε > 0, existe n0 ∈ N, tal que se m > n0 e n > n0, entao | f (m)− f (n)| < ε.

Esta definicao garante que dois termos genericos da sequencia f (m) e f (n) ficammuitos proximos um do outro a medida que os ındices m e n se tornam arbitraria-mente grandes.

74 Exemplo. (A sequencia mais importante) Para a sequencia f (n) = 1/n, tome a tabelacom valores de f = f (n) para n = 10p e os valores absolutos das diferencas entre dois valoresda sequencia com ındices grandes. Observe a evolucao dos valores absolutos das diferencasentre dois termos quando os ındices ficam muito grandes. Pela tabela, parece claro que estasequencia e de Cauchy.

n f (n) D = | f (m) − f (n)|100 100

101 10−1| f (101) − f (100)| = 0, 9

102 10−2| f (102) − f (101)| = 0, 09

103 10−3| f (103) − f (102)| = 0, 009

104 10−4| f (104) − f (103)| = 0, 0009

105 10−5| f (105) − f (104)| = 0, 00009

54 Observacao. (Convergencia sem conhecer o limite) Se uma sequencia e de Cauchy,podemos estudar a convergencia desta sequencia mesmo sem conhecer o limite da mesma, poisnem sempre se pode calcular facilmente este valor.

96 Teorema. Uma sequencia f = f (n) e de Cauchy se, e somente se, para cada ε > 0, existeum intervalo fechado I tal que m(I) < ε e um numero n0 = n0(ε) tal que f (n) ∈ I para todon > n0.


VI.15. SEQUENCIAS DE CAUCHY 100

97 Teorema. Seja f = f (n) uma sequencia real. Se f = f (n) e de Cauchy, entao f = f (n) elimitada.

Demonstracao. Se f = f (n) e de Cauchy, entao, para ε = 1, existe n0 ∈ N tal que sem,n > n0 entao | f (m)− f (n)| < ε. Em particular, se m = n0, segue que para todo n ≥ n0

vale a desigualdade| f (n0) − f (n)| < 1

e como |p| − |q| ≤ |p − q|, segue que | f (n)| − | f (n0)| < 1, ou seja

| f (n)| ≤ 1 + | f (n0)|

Tomando M = max(| f (1)|, | f (2)|, | f (3)|, ..., | f (n0 − 1)|, 1 + | f (n0)|), segue que

−M ≤ −| f (1)| ≤ f (1) ≤ | f (1)| ≤M−M ≤ −| f (2)| ≤ f (2) ≤ | f (2)| ≤M−M ≤ −| f (3)| ≤ f (3) ≤ | f (3)| ≤M

...−M ≤ −| f (n0 − 1)| ≤ f (n0 − 1) ≤ | f (n0 − 1)| ≤M−M ≤ −1 − | f (n0)| ≤ f (n) ≤ 1 + | f (n0)| ≤M

Desse modo −M ≤ f (n) ≤M para todo n ∈ N e segue que f = f (n) e limitada. �

98 Teorema. Uma sequencia real f = f (n) e convergente se, e somente se, f = f (n) e deCauchy.

Demonstracao. (Direta) (Direta) Se f = f (n) e convergente para L, entao, para ε > 0,existe n0 ∈ N tal que se n > n0 entao | f (n)−L| < ε/2 e se m > n0 entao | f (m)−L| < ε/2.Usando a desigualdade triangular, segue que

| f (m) − f (n)| ≤ | f (m) − L + L − f (n)| ≤ | f (m) − L| + |L − f (n)| <ε2+ε2= ε

garantindo que f = f (n) e de Cauchy. �

Demonstracao. (Recıproca) (Recıproca) Se f = f (n) e de Cauchy, entao f = f (n) elimitada, logo f = f (n) possui uma subsequencia fi = f (ni) convergente para umvalor L, isto e, L = lim f (ni). Assim, dado ε > 0, existe ni0 ∈ N tal que se ni > ni0 entao| f (ni) − L| < ε. Como ni0,ni ∈ N, entao existe n0 = ni0 ∈ N tal que se n > ni0 entao

| f (n) − L| < ε

e a sequencia f = f (n) e convergente. �

124 Definicao. (Conjunto completo) Um conjunto A ⊂ R e denominado completo se, todasequencia de Cauchy em A converge para um elemento que pertence ao conjunto A.

Exercıcio: Pela definicao acima, existem subconjuntos da reta que nao sao completos.Exiba um subconjunto da reta que nao e completo.


Cı VII

“Pelo que tambem Deus o exaltou soberanamente, e lhe deu onome que e sobre todo nome; para que ao nome de Jesus se dobretodo joelho dos que estao nos ceus, e na terra, e debaixo da terra,e toda lıngua confesse que Jesus Cristo e Senhor, para gloria deDeus Pai.” A Bıblia Sagrada, Filipenses 2:9-11

VII.1. I

Um intervalo real e um subconjunto de R definido pelos valores de suas extremidades.Se as duas extremidades sao finitas, o intervalo e finito, mas se uma das extremidadese +∞ ou −∞, o intervalo e infinito. Cada intervalo real possui um unico pedaco.

125 Definicao. (Intervalo aberto) Um intervalo aberto em R e um conjunto da forma (a, b)onde a e b sao numeros reais, sendo que podemos ter a = −∞ ou b = +∞. Nao tem sentidoescrever um intervalo aberto na forma (a, a).

75 Exemplo. (Intervalos abertos)

À (3, 10) = {x ∈ R : 3 < x < 10} (limitado)

Á (3,+∞) = {x ∈ R : 3 < x < +∞} e (−∞, 10) = {x ∈ R : −∞ < x < 10} (ilimitados)

Â R = (−∞,∞) = {x ∈ R : −∞ < x < ∞} (ilimitado)

126 Definicao. (Intervalo fechado) Intervalo fechado em R e um conjunto da forma [a, b]onde a e b sao numeros reais, sendo que a pode ser -∞ se b for bem determinado e b pode ser+∞ se a for bem determinado. Tem sentido escrever um intervalo fechado na forma [a, a].

76 Exemplo. (Intervalos fechados)

À [3, 10] = {x ∈ R : 3 ≤ x ≤ 10} (limitado)

Á [3,∞) = {x ∈ R : 3 ≤ x < ∞} (ilimitado)

Â (−∞, 10] = {x ∈ R : −∞ < x ≤ 10} (ilimitado)

127 Definicao. (Medida de um intervalo) Se as extremidades de um intervalo J sao osnumeros a e b, com a < b, definimos a medida do intervalo J por m(J) = b − a.


VII.2. CONCEITOS TOPOLOGICOS 102

128 Definicao. (Intervalos encaixantes decrescentes) Uma colecao de intervalos encaixantesdecrescentes e uma colecao {In}n∈N nao vazia de intervalos reais tal que In+1 ⊂ In para todon ∈ N. Para cada n ∈ N: m(In+1) ≤ m(In).

77 Exemplo. Intervalos encaixantes.

À A colecao de intervalos fechados In = [−1/n, 2+1/n]. Para cada n ∈ N: m(In) = 2+2/n.O intervalo aberto I = (0, 2) esta contido em todos os intervalos In.

Á A colecao de intervalos fechados Jn = [−1/n, 1/n]. Para cada n ∈ N: m(Jn) = 2/n. Oconjunto {0} ⊂ Jn para todo n ∈ N.

Â A colecao de intervalos abertos Kn = (−1/n, 1/n). Para cada n ∈ N: m(Kn) = 2/n. Oconjunto {0} ⊂ Kn para todo n ∈ N.

Ã A colecao de intervalos abertos Un = (0, 1/n). Para cada n ∈ N: m(Un) = 1/n. Naoexiste qualquer numero real que pertenca a todos os intervalos Un.

99 Teorema. (Intervalos encaixantes) Seja {In}∞

n=1 uma colecao nao vazia de intervalos fecha-dos encaixantes cuja sequencia das medidas m(In) dos intervalos converge para 0. Entao, aintersecao de todos os intervalos In e formada por exatamente um numero real.

Demonstracao. Seja a colecao C = {[an, bn], an ≤ bn}∞

n=1. Como esta e uma colecao C enao vazia e formada por intervalos fechados encaixantes (decrescentes), segue que

a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... ≤ an < bn ≤ ... ≤ b3 ≤ b2 ≤ b1

O conjunto A = {an : n ∈ N} das extremidades a esquerda dos intervalos da colecaoC e limitado superiormente por b1 e o conjunto B = {bn : n ∈ N} das extremidadesa direita da colecao C e limitado inferiormente por a1, assim existem p = inf(B) eq = sup(A).

Como nenhum elemento de A pode ser maior que algum elemento de B, entao p ≤ q.Para todo intervalo In, segue que an ≤ p ≤ q ≤ bn assim [p, q] ⊂ [an, bn], logo

m([p, q]) = q − p ≤ m(In) = bn − an

Como m(In) = bn − an → 0, segue pelo teorema da compressao (sanduıche) quem([p, q]) = 0. Desse modo, p = q e garantimos que existe um unico ponto em todosestes intervalos fechados e limitados. �

Exercıcio importante: Utilize o Teorema dos intervalos encaixantes para demonstrarque o intervalo fechado [0, 1] e nao-enumeravel (demonstracao de Cantor) e entaoconclua que o conjunto R dos numeros reais tambem e nao-enumeravel.

VII.2. C

129 Definicao. (Vizinhanca de um ponto) Seja x ∈ R. Um conjunto V ⊂ R e uma vizinhancade x se existe um intervalo aberto (a, b) tal que x ∈ (a, b) ⊂ V.


VII.2. CONCEITOS TOPOLOGICOS 103

78 Exemplo. Os conjuntos V = (−1, 2] e W = (−1, 1) sao vizinhancas do ponto x = 0, poisV e W sao conjuntos que contem intervalos abertos contendo x = 0.

130 Definicao. (Ponto interior) Seja A ⊂ R. Um ponto p e ponto interior de A se existe umintervalo aberto Ip = (p − r, p + r) inteiramente contido em A. E necessario que r > 0. Ointerior de um conjunto A, denotado por A◦ e o conjunto de todos os pontos interiores de A.

79 Exemplo. Pontos interiores.

À 3, π e 4 sao pontos interiores de (2,5).

Á os numeros 2, 5 e 8 nao sao pontos interiores nem de (2,5), nem de (2,5].

131 Definicao. (Interior de um conjunto) Seja A um subconjunto da reta real. O interiordo conjunto A, denotado por A◦ e o conjunto de todos os pontos interiores de A.

55 Observacao. O interior de um conjunto A e a reuniao de todos os conjuntos U quepossuem pontos interiores de A, ou seja

A◦ =⋃U⊂A

U (U aberto)

80 Exemplo. O conjunto (2, 5) e o interior dos conjuntos: (2, 5), (2, 5], [2, 5) e [2, 5]

100 Teorema. Se A e B sao subconjuntos da reta real, entao:

1. A◦ ⊂ A.

Demonstracao. Se x ∈ A◦, entao existe um intervalo Ix = (x − r, x + r) tal quex ∈ Ix ⊂ A, logo x ∈ A. �

2. Se A ⊂ B entao A◦ ⊂ B◦.

Demonstracao. Se x ∈ A◦, entao existe um intervalo Ix = (x − r, x + r) tal quex ∈ Ix ⊂ A. Como A ⊂ B, entao x ∈ Ix ⊂ B e segue que x ∈ B◦. �

3. (A ∩ B)◦ = A◦ ∩ B◦.

Demonstracao. Como A ∩ B ⊂ A e A ∩ B ⊂ B, segue pelo ıtem anterior que,(A ∩ B)◦ ⊂ A◦ e (A ∩ B)◦ ⊂ B◦ e temos que (A ∩ B)◦ ⊂ A◦ ∩ B◦.Mostraremos agora que A◦ ∩ B◦ ⊂ (A ∩ B)◦. Se x ∈ A◦ ∩ B◦, entao existe umintervalo Ix = (x − r, x + r) tal que x ∈ Ix ⊂ A ∩ B, logo x ∈ Ix ⊂ A e x ∈ Ix ⊂ B,garantindo que x ∈ A◦ e x ∈ B◦ e segue que x ∈ A◦ ∩ B◦. �

4. Se A ⊂ A◦ entao A = A◦.

Demonstracao. Exercıcio para casa. �


VII.3. CONJUNTOS ABERTOS 104

VII.3. C

132 Definicao. (Conjunto aberto) Um conjunto A ⊂ R e aberto em R, se todos os seus pontossao pontos interiores, ou seja, A e aberto em R se, para cada x ∈ A, existe um intervalo abertoIx = (x − r, x + r) tal que x ∈ Ix ⊂ A.

56 Observacao. O interior de um conjunto A e o “maior” conjunto aberto contido em A,no sentido que a palavra “maior” com aspas significa que o interior de A e o conjunto quecontem todos os conjuntos abertos U contidos em A ou seja

A◦ =⋃U⊂A

U (U aberto)

101 Teorema. Seja A ⊂ R. A e aberto se, e somente se, A ⊂ A◦.

57 Observacao. Se existe um ponto de um conjunto que nao seja ponto interior, o conjuntonao e aberto.

81 Exemplo. (Conjuntos abertos)

À A = (3, 10) e um conjunto aberto.

Á B = (3, 10] nao e um conjunto aberto.

Â C = (3, 10) ∪ (10, 15) e um conjunto aberto.

Ã D = (3, 10) ∪ [10, 15] nao e um conjunto aberto.

Ä R e um conjunto aberto pois todo ponto de R e um ponto interior.

Å O conjunto vazio e aberto pois nao possui ponto que nao seja interior.

102 Teorema. Propriedades dos conjuntos abertos.

1. O conjunto vazio e R sao conjuntos abertos em R.2. A reuniao de qualquer quantidade de conjuntos abertos em R e um aberto em R.3. A intersecao de um numero finito de conjuntos abertos em R e um aberto em R.

82 Exemplo. Conjuntos abertos.

À Para cada n ∈ N, os conjuntos An = (−n,n) sao abertos em R, a reuniao deles e umconjunto aberto, a intersecao de qualquer quantidade deles e um conjunto aberto.

Á Para cada n ∈ N, os conjuntos An = (−1/n, 1/n) sao abertos em R, a reuniao dessesconjuntos e um conjunto aberto, a intersecao finita deles e um conjunto aberto mas aintersecao infinita deles e o conjunto {0} que nao e um conjunto aberto.

VII.4. C

133 Definicao. (Conjunto fechado) Um conjunto F ⊂ R e fechado se o seu complementar Fc

e aberto.


VII.4. CONJUNTOS FECHADOS 105

83 Exemplo. (Conjuntos fechados)

À A = [3, 10] e um conjunto fechado.

Á B = (3, 10] nao e um conjunto fechado.

Â C = [3, 10) ∪ [10, 15] e um conjunto fechado.

Ã D = (3, 10) ∪ [10, 15] nao e um conjunto fechado.

Ä O conjunto R e fechado.

Å O conjunto vazio e fechado pois o seu complementar e aberto.

103 Teorema. (Propriedades dos conjuntos fechados)

1. O conjunto vazio e R sao conjuntos fechados em R.2. A reuniao de um numero finito de conjuntos fechados em R e um fechado em R.3. A intersecao de qualquer numero de conjuntos fechados em R e um fechado em R.

84 Exemplo. (Conjuntos fechados)

À Para cada n ∈ N, os conjuntos da forma An = [−n,n] sao fechados em R, a reuniaofinita deles e um conjunto fechado, a intersecao qualquer deles e um conjunto fechado.

Á Para cada n ∈ N, os conjuntos da forma An = [−1/n, 1/n] sao fechados em R, a reuniaofinita desses conjuntos e um conjunto fechado, a intersecao qualquer deles e um conjuntofechado, mesmo a intersecao infinita deles que e o conjunto fechado {0}

134 Definicao. (Ponto de aderencia) Um ponto p e ponto de aderencia de um subconjuntoA da reta real se, TODO intervalo real da forma Ip = (p − r, p + r) possui algum ponto de A.

85 Exemplo. (Pontos de aderencia)

À Todos os pontos de (2, 5) sao pontos de aderencia de (2, 5).

Á 2 e 5 nao pertencem a (2, 5) mas sao pontos de aderencia de (2, 5).

Â Todos os pontos de [2, 5] sao pontos de aderencia de [2, 5].

Ã 2 e 5 sao pontos de aderencia de [2, 5] e pertencem a [2, 5].

135 Definicao. (Aderencia de um conjunto) Seja A um subconjunto da reta real. O conjuntode todos os pontos de aderencia de A, recebe o nome de aderencia de A ou fecho de A e e denotadopor A.

58 Observacao. O fecho ou aderencia de um conjunto A e o “menor” conjunto fechadocontendo A, no sentido que esta palavra “menor” com aspas significa que o fecho de A estacontido em todos os conjuntos fechados F contendo A, ou seja,

A =⋂A⊂F

F (F fechado)

86 Exemplo. O conjunto [2, 5] e o fecho dos conjuntos: (2, 5), (2, 5], [2, 5) e [2, 5].




1. A ⊂ A.

Demonstracao. Se p < A, existe um intervalo Ip = (p − r, p + r) contendo p tal queIp ∩ A = ∅, assim, p < A. �

2. Se A ⊂ B entao A ⊂ B.

Demonstracao. Se p ∈ A, entao todo intervalo Ip = (p − r, p + r) contendo p possuiintersecao com o conjunto A, isto e, Ip∩A , ∅. Como A ⊂ B, entao ∅ , Ip∩A ⊂ Ip∩B,logo Ip ∩ B , ∅, garantindo que p ∈ B. �

3. A ∪ B = A ∪ B.

Demonstracao. Como A ⊂ A ∪ B e A ⊂ A ∪ B, entao, pelo ıtem anterior, segue queA ⊂ A ∪ B e B ⊂ A ∪ B, assim A ∪ B ⊂ A ∪ B.Mostraremos que A ∪ B ⊂ A∪B. Se p ∈ A ∪ B, entao todo intervalo Ip = (p−r, p+r)possui intersecao com o conjunto A∪ B, isto e, Ip ∩ (A∪ B) , ∅, logo Ip ∩A , ∅ ouIp ∩ B , ∅, ou seja, p ∈ A ou p ∈ B, isto e, p ∈ A ∪ B. �

4. Se A ⊂ A entao A = A.

Demonstracao. Exercıcio para casa. �

105 Teorema. Um subconjunto A da reta real e fechado se, e somente se, A ⊂ A, isto e, A efechado se, e somente se, A contem todos os seus pontos de aderencia.

Demonstracao. Se A e um conjunto fechado e p um ponto de aderencia de A, mostraremosque p ∈ A.

Suponhamos que p < A. Como p e ponto de aderencia de A, todo intervalo Ip deveconter pelo menos um ponto de A. Como A e fechado e estamos assumindo quep ∈ Ac, entao existe um conjunto aberto, que e Ac contendo apenas p e este conjuntonao tem intersecao com A, o que e um absurdo. Concluımos entao que p ∈ A.

Reciprocamente, vamos supor que A ⊃ A e mostrar que A e fechado, ou equivalen-temente, que Ac e aberto, o que garante que Ac

⊂ Ac.

Se p ∈ Ac entao p ∈ Ac, o que significa que existe um intervalo Ip que nao tem

intersecao com A, assim:p ∈ Ip ⊂ Ac

e este fato garante que Ac e um conjunto aberto, isto e, A e fechado. �

136 Definicao. (Ponto de acumulacao) Um ponto p e ponto de acumulacao de um subcon-junto A da reta real se, TODO intervalo real da forma Ip = (p − r, p + r) possui pelo menosalgum ponto de A que e diferente de p.



87 Exemplo. (Pontos de acumulacao)

À −1 e um ponto de acumulacao de V = (−1, 1) e tambem de W = [−1, 1).

Á 0 e um ponto de acumulacao de C = {1, 1/2, 1/3, ..., 1/n, ...}, mas 0 < C.

Â Todos os pontos de (2, 5) sao pontos de acumulacao de (2, 5).

Ã 2 e 5 nao pertencem a (2, 5) mas sao pontos de acumulacao de (2, 5).

Ä Todos os pontos de [2,5] sao pontos de acumulacao de [2, 5].

Å 2 e 5 pertencem a [2, 5] e sao pontos de acumulacao de [2, 5].

137 Definicao. (Ponto isolado) Um ponto p e isolado se p nao e ponto de acumulacao de umsubconjunto da reta, isto e, existe um intervalo aberto Ip contendo apenas o ponto p.

88 Exemplo. Pontos isolados versus pontos de acumulacao.

À 1 ∈ C e e um ponto isolado de C = {1, 1/2, 1/3, ..., 1/n, ...}.

Á Todo ponto do conjunto C = {1/n : n ∈ N} e um ponto isolado.

Â Um conjunto finito so possui pontos isolados, logo nao possui pontos de acumulacao,como e o caso de F = {a, e, i, o,u}.

Ã O conjunto Z dos numeros inteiros e um conjunto infinito que nao tem pontos deacumulacao, pois todos os seus pontos sao isolados.

Ä Existem conjuntos infinitos que possuem pontos de acumulacao, mas estes conjuntossao limitados, como e o caso de [a, b].

Å Existem conjuntos infinitos que nao sao limitados e que possuem pontos de acumulacao,como e o caso do conjunto R dos numeros reais.

106 Teorema. Um ponto p e ponto de acumulacao de um conjunto K, se todo conjunto abertocontendo p, contem infinitos pontos de K.

Demonstracao. Suponhamos que a afirmacao seja falsa, isto e, que existe um conjuntoaberto contendo p e contendo somente um numero finito de elementos p1, p2, ..., pno

de K que sao diferentes de p. As distancias entre p e cada pn sao positivas, logotomando

r = min{|p − p1|, |p − p2|, |p − p3|, ..., |p − pno|}

e o intervalo (p− r2 , p+

r2 ) segue que somente o ponto p ∈ K pertence a este intervalo,

assim, p e um ponto isolado e p nao pode ser ponto de acumulacao. Provamos assimo resultado desejado. �

107 Teorema. (Pontos de acumulacao sao pontos de aderencia) Se p e ponto de acumulacaode A, entao p e ponto de aderencia de A, ou seja, A′ ⊂ A.



89 Exemplo. Pontos de aderencia e de acumulacao.

À Todos os pontos de (2, 5) sao pontos de aderencia de (2, 5).

Á Todos os pontos de (2, 5) sao pontos de acumulacao de (2, 5).

Â Os pontos 2 e 5 nao pertencem a (2, 5), assim (2, 5) nao e fechado.

Ã Todos os pontos de [2, 5] sao pontos de aderencia de [2, 5].

Ä Todos os pontos de [2, 5] sao pontos de acumulacao de [2, 5].

Å [2, 5] e fechado pois contem todos os seus pontos de aderencia.

Æ [2, 5] e fechado pois contem todos os seus pontos de acumulacao.

Exercıcio

1. Exibir um ponto de aderencia de C que nao e ponto de acumulacao de C.2. Mostrar que 0 < A mas 0 e um ponto de acumulacao de A = {1/n : n ∈ N}.3. Mostrar que todo numero racional e um ponto de aderencia do conjunto R.4. Mostrar que todo numero racional e um ponto de acumulacao do conjunto R.5. Usando o conjunto Z dos numeros inteiros, mostrar que nem todo conjunto

infinito possui pontos de acumulacao em R.

138 Definicao. (Derivado de um conjunto) Derivado de A, denotado por A′, e o conjunto detodos os pontos de acumulacao de A.


1. A′ ⊂ A.2. A ∪ A′ = A.3. Se A′ ⊂ A entao A = A.4. A e fechado se, e somente se, A′ ⊂ A.5. A◦ ⊂ A ⊂ A.

109 Teorema. Um conjunto K e fechado se, e somente se, K contem todos os seus pontos deacumulacao.

Demonstracao. (Direta) Vamos assumir que K e fechado e tomar p um ponto deacumulacao de K. Mostraremos que p pertence ao conjunto K. Se p < K, entaop ∈ Kc. Como K fechado entao Kc e aberto, assim existe um intervalo (p− r, p+ r) ⊂ Kc

contendo somente p, logo p e um ponto isolado, e este fato garante que p nao podeser ponto de acumulacao de K, contrario a hipotese. �

Demonstracao. (Recıproca) Vamos assumir que K contem todos os seus pontos deacumulacao e mostraremos que K e fechado. Se p ∈ Kc, entao p nao pode ser pontode acumulacao de K, assim existe um intervalo aberto (p − δ, p + δ) ⊂ Kc, garantindoque Kc e aberto, ou seja K e fechado. �



110 Teorema. Um ponto p e ponto de acumulacao de um conjunto K, se existe uma sequenciade pontos (xn) ⊂ K tal que lim xn = p.

Demonstracao. Se p e ponto de acumulacao de K, entao, pelo Teorema anterior, todoconjunto aberto contendo p, contem infinitos pontos de K. Em particular, para cada

intervalo aberto (conjunto aberto) In = (p −1n, p +

1n

) podemos escolher numerospn ∈ In. Assim temos uma sequencia (pn) ⊂ K tal que

p −1n< pn < p +

1n

logo, p = lim pn. �

111 Teorema. (Bolzano-Weierstrass) Todo conjunto infinito e limitado de numeros reaispossui pelo menos um ponto de acumulacao.

Demonstracao. Seja K um conjunto na reta real que e infinito e limitado. Como K elimitado, existem um intervalo da forma [a, b] contendo K.

Calculamos o ponto medio m = (a+ b)/2 dos extremos do intervalo [a, b] e decompo-mos este intervalo em dois subintervalos com a mesma medida:

[a, b] = [a,m] ∪ [m, b]

Pelo menos um deles deve conter um conjunto infinito de elementos de K. Identifi-camos este intervalo com [a1, b1].

Calculamos o ponto medio m1 = (a1 + b1)/2 dos extremos do intervalo [a1, b1] edecompomos este intervalo em dois subintervalos com a mesma medida do anterior:

[a1, b1] = [a1,m1] ∪ [m1, b1]

Pelo menos um deles deve conter um conjunto infinito de elementos de K. Identifi-camos este intervalo com [a2, b2].

Continuamos este processo, para obter uma colecao [an, bn] de intervalos encaixantescom as seguintes caracterısticas:

1. bn − an = (b − a)/2n

2. [an, bn] contem infinitos elementos de K.3. a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an < bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Como todos os intervalos [an, bn] estao contidos em [a, b], as duas colecoes com asextremidades an e bn desses intervalos, formam dois conjuntos

A = {an : n ∈ N}, B = {bn : n ∈ N}

O conjunto A e limitado superiormente por b e o conjunto B e limitado inferiormentepor a, assim, A possui supremo e B possui ınfimo.


VII.5. CONJUNTOS COMPACTOS 110

O Teorema dos intervalos encaixantes, garante que sup(A) = inf(B), pois

limn→∞

(bn − an) = limn→∞

b − a2n = 0

e segue que lim bn = lim an.

Com a notacao p = sup(A) = inf(B), mostraremos que p e um ponto de acumulacaode K.

Pela definicao de supremo de a, dado um ε > 0, existe am1 ∈ A tal que

p − ε < am1 ≤ p

Pela definicao de ınfimo de B, dado o mesmo ε > 0, existe bm2 ∈ B tal que

p ≤ bm2 < p + ε

Como a sequencia de intervalos [an, bn] e encaixante, podemos garantir que existeum m ∈ N de modo que m > m1 e m > m2, tal que

p − ε < am < bm < p + ε

Como bm − am = (b − a)/2m, entao tomando m suficientemente grande para que(b − a)/2m < ε, garantimos as desigualdades acima.

Assimp − ε < am ≤ p ≤ bm = am + (b − a)/2m < p + ε

Segue que o intervalo (p − ε, p + ε) contem o intervalo [am, bm] que possui infinitoselementos de K.

Estas ultimas desigualdades podem ser simplificadas na forma:

am ≤ p ≤ am + (b − a)/2m

assim p = lim am, logo p e um ponto de acumulacao de K. �

VII.5. C

139 Definicao. (Compacto) Um conjunto K na reta real e compacto se K e fechado e limitado.

140 Definicao. (Cobertura) Uma cobertura (aberta) para um conjunto K e uma colecao deconjuntos (abertos) {Cλ}λ∈Λ onde Λ e um conjunto de ındices e alem disso

K ⊂⋃λ∈Λ

Cλ

141 Definicao. (Subcobertura) Uma subcobertura (aberta) de uma cobertura {Cλ} para umconjunto K e uma colecao de subconjuntos (abertos) de {Cλ} que cobre K.



112 Teorema. (Heine-Borel) Se {Cλ} e uma cobertura aberta de um conjunto K fechado elimitado, entao existe uma subcobertura finita aberta de {Cλ} que ainda cobre K.

113 Teorema. (Compacto atraves de sequencia) Um conjunto K e compacto se, e somente se,TODO subconjunto infinito de K possui um ponto de acumulacao em K.

Demonstracao. (Direta) Se K compacto e S um subconjunto infinito de K, mostraremosque S possui um ponto de acumulacao no conjunto K. Se K e compacto entao K elimitado e S tambem e limitado como subconjunto de K. Como S e infinito e limitado,pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass, segue que S possui um ponto de acumulacaop e desse modo este ponto p e um ponto de aderencia de S, isto e, p ∈ S. Como S ⊂ K,entao S ⊂ K e como K e fechado, entao S = K, assim p ∈ K. �

Demonstracao. (Recıproca) Agora, assumiremos que, todo subconjunto infinito de Kpossui um ponto de acumulacao em K e mostraremos que: (a) K e limitado e (b) K efechado.

Prova que K e limitado: Se K nao e limitado superiormente (ou inferiormente),construımos uma sequencia f = f (n) de pontos em K definida por

f (1) > 1, f (n + 1) > 1 + f (n)

Como todos os termos desta sequencia sao pontos isolados, o conjunto C = f (n) naotem pontos de acumulacao. Acontece que o conjunto f (N) e infinito e nao contempontos de acumulacao como informa a hipotese, assim, concluımos que o conjuntoK deve ser limitado.

Prova que K e fechado: Se p e um ponto de acumulacao do conjunto K entao, peloTeorema (2), todo conjunto aberto contendo p, possui infinitos pontos de K. Comoum caso particular, tomando εn = 1/n, segue que existem elementos yn ∈ K tal que

yn ∈ (p −1n, p +

1n

)

Construımos assim um conjunto com tais elementos yn:

D = {yn ∈ K : |yn − p| < 1/n, n ∈ N}

O conjunto D e um subconjunto infinito de K tendo o ponto de acumulacao p. Vamosmostrar que este ponto de acumulacao e unico para este conjunto D. Se existe umnumero real r , p com a distancia d = |r − p|/2, entao, como d > 0 e R e um corpoarquimediano, existe pelo menos um numero natural n0 tal que 1/n0 < d e para todon > n0 segue que 1/n < d.

Pela construcao do conjunto D, para estes n ∈ N segue que

|yn − p| < 1/n < d

garantindo que d < 2d − |yn − p| e pela desigualdade triangular:

2d = |r − p| = |r − yn + yn − p| ≤ |r − yn| + |yn − p|



assimd < |r − p| − |yn − p| ≤ |yn − r|

garantindo que existem infinitos pontos fora do intervalo (r − d, r + d), assim existeapenas um numero finito de elementos dentro deste intervalo (r−d, r+d), garantindoque tais pontos nao podem ser pontos de acumulacao do conjunto D. Temos entaoque p e o unico ponto de acumulacao de D, garantindo que p ∈ K.

Concluımos que todos os pontos de acumulacao de K devem pertencer a K e segueque K e fechado. Concluımos finalmente que K e um conjunto compacto. �

114 Teorema. Todo conjunto compacto na reta assume os seus valores extremos (maximo emınimo).

Demonstracao. (K compacto e finito) Se K e compacto e finito, entao K e da formaK = {k1, k2, ..., kn}. Assim, existem ki, ks ∈ K tal que ki = min(K) e ks = max(K). �

Demonstracao. (K compacto e infinito) Se K e compacto (fechado e limitado) e in-finito, entao K e limitado superiormente, assim, existe s = sup(K). Pela definicao desupremo, dado ε > 0 existe k0 ∈ K tal que

s − ε < k0 ≤ s

Assim, para cada εn =1n > 0, existe kn ∈ K tal que

s −1n< kn ≤ s

e como s ≤ s + 1n para todo n ∈ N, segue que

s −1n< kn ≤ s ≤ s +

1n

que e equivalente a

|kn − s| ≤1n

Desse modo, s = lim kn e segue que s e um ponto de acumulacao de K, logo s e pontode aderencia de K, assim s ∈ K. Como K e fechado, temos que K = K, garantindo ques ∈ K. Concluımos que

s = sup(K) = max(K)

O mesmo argumento pode ser usado para mostrar que existe i ∈ K tal que

i = inf(K) = min(K)

�

Exercıcio:

1. Exibir subconjuntos da reta que nao sao completos.2. Explicitar a relacao entre conjuntos compactos e completos de R?3. Exibir as formas gerais que pode assumir um conjunto completo na reta real.


Cı VIII

“Ai dos que decretam leis injustas; e dos escrivaes que es-crevem perversidades; para privarem da justica os necessitados, earrebatarem o direito aos aflitos do meu povo; para despojaremas viuvas e roubarem os orfaos! Mas que fareis vos no dia davisitacao, e na desolacao, que ha de vir de longe? A quem recor-rereis para obter socorro, e onde deixareis a vossa riqueza? Nadamais resta senao curvar-vos entre os presos, ou cair entre os mor-tos. Com tudo isso nao se apartou a sua ira, mas ainda estaestendida a sua mao.” A Bıblia Sagrada, Isaıas 10:1-4

VIII.1. S

142 Definicao. (Serie numerica real) Seja a : N → R uma sequencia de numeros reais cujaimagem e dada por a(N) = {a1, a2, a3, ..., an, ...}. Uma serie de numeros reais e uma somainfinita dos termos de a = a(N), indicada por qualquer uma das formas abaixo:

∞∑k=1

ak = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...

90 Exemplo. Algumas series de numeros reais sao:

1.∞∑

k=0

1k!

2.∞∑

k=0

15k

3.∞∑

k=0

k!2k


VIII.2. SERIES CONVERGENTES 114

VIII.2. S

143 Definicao. (Sequencia das reduzidas) Seja a : N → R uma sequencia de numeros reaiscuja imagem seja dada por a(N) = {a1, a2, a3, ..., an, ...}. A partir desta e possıvel definir umaoutra sequencia de numeros, indicada por

(Sk)k∈N = (Sn) = {S1,S2,S3, ...,Sn, ...}

denominada a sequencia das reduzidas (somas parciais) da serie∞∑

k=1

ak definida por:

S1 = a1

S2 = a1 + a2

S3 = a1 + a2 + a3

... = ...

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an

Em geral, a n-esima reduzida (soma parcial) e dada por:

Sn =

n∑k=1

ak

144 Definicao. (Soma de uma serie convergente real) Uma serie de numeros reais∞∑

k=1

ak e

convergente para um numero real S se a sequencia {Sn} das reduzidas e convergente para S,isto e Sn → S quando n→∞. Quando isto acontece, diz-se que esta serie e convergente paraS que e a soma da serie e escrevemos:

S =∞∑

k=1

ak

Quando a serie nao e convergente, diz-se que a serie e divergente.

O processo para obter a soma S e determinar a sequencia das reduzidas Sn e mostrar que

limn→∞

Sn = S

91 Exemplo. Para mostrar que∞∑

k=1

1k(k + 1)

= 1, devemos obter as n-esimas reduzidas,

dadas por:

S1 = a1 =1

1(1 + 1)=

12

S2 = (a1) + a2 =12+

16=

23

S3 = (a1 + a2) + a3 =23+

112=

34

... parece que = ...

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an =n

n + 1


VIII.2. SERIES CONVERGENTES 115

Para completar o exemplo, demonstre que

Sn =

n∑k=1

1k(k + 1)

=n

n + 1, lim

n→∞Sn = lim

n→∞

nn + 1

= 1 e∞∑

k=1

1k(k + 1)

= 1

145 Definicao. (Resto de ordem n de uma serie) Define-se o resto de ordem n de uma serie

de numeros reais∞∑

k=1

ak por

Rn =

∞∑k=n+1

ak

e este resto e entendido da seguinte forma: Se a serie acima converge para o numero S, entao:

S =∞∑

k=1

ak

logo S = Sn + Rn e a sequencia dos restos convergira para 0, pois:

Rn = S − Sn → 0

115 Teorema. Se ak ≥ 0 entao, ou a serie∞∑

k=1

ak converge ou∞∑

k=1

ak = +∞.

92 Exemplo. (A importantıssima serie geometrica) Uma das mais importantes series numericasreais e a serie definida para cada |a| < 1 por:

11 − a

=

∞∑k=0

ak

Com a troca a = −b, obtemos:1

1 + b=

∞∑k=0

(−1)k bk

Com a troca b = c2, obtemos:1

1 − c2 =

∞∑k=0

c2k

59 Observacao. Existe um interessante metodo para obter a divisao longa de um numeropor uma expressao polinomial. Voce podera obter mais informacoes no link Sequencias deFibonacci em http://mat.uel.br/matessencial

116 Teorema. (Linearidade de series convergentes) Se∞∑

k=1

ak e∞∑

k=1

bk sao series convergentes

e µ ∈ R, entao

1.∞∑

k=1

(ak + bk) =∞∑

k=1

ak +

∞∑k=1

bk

2.∞∑

k=1

(µak) = µ∞∑

k=1

ak


http://mat.uel.br/matessencial

VIII.3. CRITERIOS DE CONVERGENCIA DE SERIES 116

VIII.3. C

117 Teorema. (Criterio de Cauchy para series) Uma serie∞∑

k=1

ak converge se, e somente se,

para todo ε > 0, existe n0 ∈ N tal que |Sm − Sn| < ε para todos os m,n > n0.

Demonstracao. Se∞∑

k=1

ak converge, entao existe um numero real S tal que lim Sn = S,

que equivale a afirmar que a sequencia (Sn) converge, o que e equivalente a afirmarque, a sequencia (Sn) e de Cauchy. �

118 Teorema. (Criterio do termo geral) Se uma serie∞∑

k=1

ak e convergente, entao, o termo

geral converge a 0, isto e:limn→∞

an = 0

Demonstracao. Se a serie converge, entao pelo criterio de Cauchy, dado ε > 0, existen0 ∈ N tal que se m > n > n0 entao

|Sm − Sn| < ε

Se escolhermos m = n + 1, obteremos

am = Sm − Sm−1 = Sm − Sn

o que garante que |am| < ε e como ε > 0 e arbitrario, segue que

limn→∞

an = 0

�

3 Corolario. (do criterio do termo geral) Se limn→∞

an , 0, entao a serie∞∑

k=1

ak e divergente.

146 Definicao. (Convergencia condicional) Uma serie∞∑

k=1

ak converge condicionalmente se

a serie converge, mas a serie dos valores absolutos∞∑

k=1

|ak| nao converge.

93 Exemplo. A serie∞∑

k=1

(−1)k

kconverge, mas a serie

∞∑k=1

1k

nao converge.

147 Definicao. (Convergencia absoluta) Uma serie∞∑

k=1

ak converge absolutamente se a serie

dos valores absolutos∞∑

k=1

|ak| e convergente.



94 Exemplo. A serie∞∑

k=1

(−1)k

k2 converge absolutamente e a serie∞∑

k=1

1k2 tambem converge.

119 Teorema. (Convergencia absoluta) Se uma serie∞∑

k=1

ak e absolutamente convergente,

entao ela e convergente.

120 Teorema. (Criterio da comparacao de series) Se para todo n ∈ N: |an| ≤ bn e a serie∞∑

k=1

bk converge, entao a serie∞∑

k=1

ak tambem converge.

Demonstracao. Sejam SN =

N∑k=1

ak e TN =

N∑k=1

bk. Como∞∑

k=1

bk converge, entao a

sequencia (TN) e de Cauchy, logo

|TM − TN| = |

M∑k=N+1

bk| → 0

e desse modo

|SM − SN| = |

M∑k=N+1

ak| ≤

M∑k=N+1

|ak| ≤

M∑k=N+1

bk → 0

garantindo que a sequencia (SN) e de Cauchy, logo, a serie∞∑

k=1

ak e absolutamente

convergente, logo convergente. �

121 Teorema. (Criterio da razao) Seja a serie∞∑

k=1

ak tal que an , 0 para todo n ∈ N e

L = limn→∞

∣∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣∣. Assim,

1. Se L < 1, a serie converge;2. Se L > 1, a serie diverge;3. Se L = 1, o criterio nao garante a convergencia da serie.

Demonstracao. Suponhamos que L < 1. Tomemos r =12

(1 + L) e bn = |an+1

an|. Como

por hipotese bn → L, entao existe um n0 ∈ N tal que 0 < bn < r < 1 para todo n > n0,assim

Rn0 = |an0+1| + |an0+2| + ... + |an0+k| + ...

e pondo o termo |an0+1| em evidencia, teremos:

Rn0 = |an0+1|(1 +|an0+2|

|an0+1|+|an0+3|

|an0+1|+ ... +

|an0+k|

|an0+1|+ ...)



expressao que pode ser escrita na forma:

Rn0 = |an0+1|(1 +|an0+2|

|an0+1|+|an0+3|

|an0+2|.|an0+2|

|an0+1|+|an0+4|

|an0+3|.|an0+3|

|an0+2|.|an0+2|

|an0+1|+ ...)

ou ainda na forma

Rn0 = |an0+1|(1 + bn0+1 + bn0+1.bn0+2 + bn0+1.bn0+2.bn0+3 + ...)

e usando o fato inicial que 0 < bn < r < 1, segue que

Rn0 ≤ |an0+1|(1 + r + r2 + r3 + ...)

e a soma dentro dos parenteses e uma soma geometrica, logo

Rn0 ≤ |an0+1|1

1 − r< ∞

e a serie∞∑

k=1

ak absolutamente convergente (convergente).

Se tomarmos L > 1, teremos que para n suficientemente grande:

|an| ≤ |an+1| ≤ |an+2| ≤ |an+3| ≤ ...

e como esses termos crescem em valor absoluto e nenhum deles e igual a zero, segueque a serie dada e divergente.

Se L = 1, podemos exibir series convergentes e divergentes com esta propriedade. �

122 Teorema. (Criterio para series alternadas) Consideremos uma serie alternada:

∞∑k=1

(−1)k+1 ak = a1 − a2 + a3 − a4 + a5 − a6 + ...

Esta serie e convergente, se valem as tres caracterısticas:

1. ak > 0 para todo k = 1, 2, 3, ...;2. ak+1 ≤ ak para todo k = 1, 2, 3, ...;3. lim

k→∞ak = 0

Demonstracao. Tomemos a n-esima reduzida da serie como:

S = a1 − a2 + a3 − a4 + a5 − a6 + ... + an

Observamos que S1 = a1, S2 = a1 − a2 < S1 e S3 = a1 − a2 + a3 = S1 − (a2 − a3) < S1, logo

S3 = a1 − a2 + a3 = S2 + a3 > S2

o que nos garante ate o momento que:

S2 < S3 < S1



Temos tambem que

S4 = a1 − a2 + a3 − a4 = S1 − (a2 − a3 + a4) < S1

mas tambem temos que S4 = S3 − a4 < S3, garantindo ate o momento que

S2 < S4 < S3 < S1

Se continuarmos este processo, obteremos:

S2 < S4 < S6 < S5 < S3 < S1

e logo apos:S2 < S4 < S6 < S8 < S7 < S5 < S3 < S1

A sequencia de ındices pares {S2k} e crescente e limitada quando k→∞ e a sequenciade ındices ımpares {S2k−1} e decrescente e limitada quando k → ∞. Assim, estassequencias convergem, respectivamente, para Sp e Si, isto e:

Sp = limk→∞

S2k e Si = limk→∞

S2k−1 = limk→∞

S2k+1

Como a2k+1 = S2k+1 − Sk, o criterio do termo geral garante que:

0 = limk→∞

a2k+1 = limk→∞

S2k+1 − limk→∞

Sk = Si − Sp

garantindo que Si = Sp = S. Concluımos que a serie estudada converge para S. �

123 Teorema. (Criterio da raiz) Seja a serie∞∑

k=1

ak e L = limk→∞n√|ak|. Assim

1. se L < 1, a serie∞∑

k=1

ak converge;

2. se L > 1, a serie∞∑

k=1

ak diverge;

3. se L = 1, o criterio nao garante a convergencia.

Demonstracao. Suponhamos que L < 1. Pela definicao de L, podemos escolher r < 1e k0 ∈ N tal que para todo k > k0:

n√|ak| < r

Dessa forma, para k > k0, teremos que:

|ak| < rk

e∞∑

k=n0+1

|an| <∞∑

k=n0+1

rn =rn0+1

1 − r< ∞

Concluımos que a serie sob analise e absolutamente convergente, logo tambem con-vergente.Se L > 1, entao para k suficiente grande |ak| > 1, assim lim

k→∞|ak| ≥ 1 logo pelo criterio

do termo geral, a serie e divergente. �


VIII.4. OPERACOES COM SERIES REAIS 120

VIII.4. O

148 Definicao. (Igualdade de series reais) Sejam as series reais∞∑

k=0

ak e∞∑

k=0

bk. Estas series

sao iguais se, para todo k = 0, 1, 2, 3, ... temos que ak = bk.

149 Definicao. (Produto de Cauchy) O produto de Cauchy entre as series reais∞∑

k=0

ak e

∞∑k=0

bk e uma outra serie de numeros reais∞∑

k=0

ck tal que para cada k = 0, 1, 2, 3, ..., se tem que:

ck =

k∑j=0

a jbk− j = a0bk + a1bk−1 + ... + akb0

Exercıcio: Usando o produto de Cauchy, eleve ao quadrado a serie de numeros reais:

S =∞∑

k=0

12k

Exercıcio: Usando o produto de Cauchy, multiplique as series de numeros reais:

S =∞∑

k=1

1k

T =∞∑

k=1

1k + 1

124 Teorema. (Convergencia do produto de series reais) Se∞∑

k=1

ak e∞∑

k=1

bk sao series conver-

gentes, entao a serie-produto (de Cauchy) tambem sera convergente.

Exercıcio: Exiba exemplos de duas series divergentes cujo produto de Cauchy delasseja uma serie convergente.


Cı IX

“O que atende a instrucao esta na vereda da vida; mas o querejeita a repreensao anda errado. O que encobre o odio tem labiosfalsos; e o que espalha a calunia e um insensato. Na multidao depalavras nao falta transgressao; mas o que refreia os seus labiose prudente. A lıngua do justo e prata escolhida; o coracao dosımpios e de pouco valor. Os labios do justo apascentam a muitos;mas os insensatos, por falta de entendimento, morrem.” A BıbliaSagrada, Proverbios 10:17-21

IX.1. L

150 Definicao. (Limite de uma funcao em um ponto) Seja f : D → R e a um ponto deacumulacao de D. Um numero real L e o limite de f = f (x) no ponto x = a se, dado ε > 0,existe um δ = δ(ε) > 0 tal que

| f (x) − L| < ε

se x ∈ D e 0 < |x − a| < δ. Se o limite L existe, usamos a notacao

limx→a

f (x) = L

60 Observacao. Detalhes sobre a definicao de limite.

1. A notacao δ = δ(ε) significa que para cada ε que exibido, deve ser possıvel construir umnumero δ que talvez seja diferente mas dependente do ε.

2. A funcao f = f (x) nao precisa estar definida em x = a, razao pela qual usamos o sımbolo0 < |x − a| < δ.

3. O conceito de limite de uma funcao estende o conceito de limite de uma sequencia real.4. O limite de uma funcao f = f (x) no ponto x = a e obtido pelo comportamento da funcao

f nas vizinhancas do ponto, considerando os valores de x a esquerda e a direita de a.

95 Exemplo. Uma funcao simples. Seja f : R→ R definida por f (x) = x+ 1. Para calcularo limite de f no ponto x = 1, basta analisar o comportamento desta funcao nas proximidadesdeste ponto e e facil observar que

limx→1

f (x) = limx→1

(x + 1) = 2


IX.1. LIMITES DE FUNCOES REAIS 122

Realmente, dado ε > 0, podemos construir δ = ε > 0 tal que se 0 < |x − 1| < δ, entao

| f (x) − 2| = |(x + 1) − 2| = |x − 1| < δ = ε

96 Exemplo. Uma funcao racional. Seja f : R − {1} → R definida por f (x) =x2− 1

x − 1. Esta

funcao nao esta definida no ponto x = 1, mas para valores de x , 1, construiremos duastabelas para mostrar alguns valores que a funcao f assume nas vizinhancas de x = 1, tanto adireita como a esquerda de x = 1.

x > 1 1, 1 1, 01 1, 001 1, 0001 1, 00001 ... x→ 1f (x) 2, 1 2, 01 2, 001 2, 0001 2, 00001 ... f (x)→ 2

x < 1 0, 9 0, 99 0, 999 0, 9999 0, 99999 ... x→ 1f (x) 1, 9 1, 99 1, 999 1, 9999 1, 99999 ... f (x)→ 2

Quando x , 1, e possıvel realizar a divisao para obter a funcao fd(x) = x + 1.

As funcoes f e fd coincidem para todo x , 1 assim, seria melhor definir a funcao original comf (1) = 2, atraves da funcao fd obtida na divisao. Podemos mostrar que

limx→1

f (x) = 2

Realmente, dado ε > 0, e possıvel construir δ = ε > 0 tal que se 0 < |x − 1| < δ, entao

| f (x) − 2| = |x2− 1

x − 1− 2| = |(x + 1) − 2| = |x − 1| < δ = ε

97 Exemplo. Usando a definicao de limite. Para a funcao f : R → R definida por f (x) =3x + 7, mostraremos que lim

x→5f (x) = 22. Usando a definicao, temos que dado ε > 0, podemos

construir δ = ε/3 > 0 tal que se 0 < |x − 5| < δ entao

| f (x) − 22| = |(3x + 7) − 22| = 3|x − 5| < 3δ = ε

98 Exemplo. Usando a definicao de limite. Para f : R → R definida por f (x) = x2,mostraremos que lim

x→2f (x) = 4. Aqui, a construcao de δ e muito mais complicada. Como:

| f (x) − 4| = |x2− 4| = |(x − 2)(x + 2)| = |x − 2|.|x + 2|

poderıamos assumir ε > 0 e construir δ1 > 0 tal que se 0 < |x − 2| < δ1 entao:

| f (x) − 4| < δ1|x + 2| < δ1(|x| + 2)

Se para nos faltasse o rigor e tomassemos

δ1 =ε

|x| + 2

resolverıamos o nosso problema, mas acontece que x ∈ R, o que significa que este δ1 dependede ε mas tambem depende de x. Esta nao e uma boa escolha.Devemos trabalhar com desigualdades e considerar que estamos calculando o limite de uma


IX.2. LIMITES LATERAIS 123

funcao nas vizinhancas de x = 2. Trabalhando em um pequeno conjunto 0 < |x − 2| < 1,ficariam mais faceis as nossas estimativas e poderıamos garantir que neste caso 1 < x < 3,logo |x| > 1 e assim

δ1 =ε

|x| + 2<ε

1 + 2=ε3

Demonstramos entao que dado ε > 0, existe δ = min{1, δ1} sendo δ1 = ε/3 tal que se0 < |x − 2| < δ, entao

| f (x) − 4| = |(x − 2)(x + 2)| < δ(|x| + 2) < 3δ1 = ε

Forma alternativa: Dado ε > 0, podemos construir δ = ε/5, tal que se 0 < |x − 2| < δ < 1,entao

| f (x) − 4| = |(x − 2)(x + 2)| < δ|x + 2|

Acontece que, pela desigualdade triangular:

|x + 2| = |x − 2 + 4| ≤ |x − 2| + 4 < δ + 4

assim| f (x) − 4| < δ|x + 2| < δ(δ + 4) = δ2 + 4δ

Como 0 < δ < 1, entao 0 < δ2 < δ < 1, logo:

| f (x) − 4| < δ2 + 4δ < δ + 4δ = 5δ = ε

125 Teorema. (Unicidade do limite) Se uma funcao f = f (x) tem limite quando x→ a, estelimite deve ser unico, isto e, se lim

x→af (x) = L1 e lim

x→af (x) = L2 entao L1 = L2.

IX.2. L

151 Definicao. (Limite lateral a direita) Tomemos f : D→ R e a um ponto de acumulacaode D. Um numero real Ld e o limite lateral de f = f (x) a direita no ponto x = a se, dadoε > 0, existe um δ = δ(ε) > 0 tal que | f (x) − Ld| < ε se x ∈ D e a < x < a + δ. Quando estelimite lateral a direita Ld existe, usamos a notacao

limx→a+

f (x) = Ld

152 Definicao. (Limite lateral a esquerda) Um numero real Le e o limite lateral de f = f (x)a esquerda no ponto x = a se, dado ε > 0, existe um δ = δ(ε) > 0 tal que | f (x) − Le| < ε sex ∈ D e a − δ < x < a. Quando este limite Le existe, usamos a notacao

limx→a−

f (x) = Le

99 Exemplo. A funcao f : R→ R definida por

f (x) = sinal(x) =

1 se x > 00 se x = 0−1 se x < 0


IX.3. LIMITES INFINITOS 124

nao possui limite em x = 0, embora possua limites laterais neste ponto. Em todos os outrospontos de R − {0}. Se tomarmos x→ 0 com x > 0 a funcao tera o limite:

f (0+) = limx→0+

f (x) = +1

Se tomarmos x→ 0 com x < 0 a funcao tera o limite

f (0−) = limx→0−

f (x) = −1

126 Teorema. (Unicidade do limite lateral pela direita) Se uma funcao f tem limite lateral adireita quando x→ a, este limite lateral e unico.

127 Teorema. (Unicidade do limite lateral pela esquerda) Se uma funcao f tem limite laterala esquerda quando x→ a, este limite lateral e unico.

128 Teorema. (Limite em funcao de limites laterais) Seja f : D → R e a um ponto deacumulacao de D a direita de x = a e tambem a esquerda de x = a. isto e, a e um ponto deacumulacao de D ∩ (−∞, a) e de D ∩ (a,∞). Entao

limx→a

f (x) = L

se, e somente se,limx→a+

f (x) = L e limx→a−

f (x) = L

61 Observacao. (Importante) Para mostrar que uma funcao nao tem limite em um pontox = a, basta mostrar que os dois limites laterais sao diferentes, isto e,

f (a−) = limx→a−

f (x) , limx→a+

f (x) = f (a+)

100 Exemplo. A funcao caracterıstica KS : R→ R definida por

KS(x) ={

1 e x ∈ S0 e x < S

nao possui limite em cada extremidade do conjunto S mas possui limites laterais em todos ospontos de R e podemos mostrar que

sinal(x) = K(0,∞)(x) − K(−∞,0)(x)

IX.3. L

153 Definicao. (Limite +infinito) Seja f : D → R e a um ponto de acumulacao de D. Afuncao f tem limite infinito (+∞) no ponto x = a se, dado qualquer numero real P, existe umδ = δ(P) > 0 tal que se x ∈ D e 0 < |x − a| < δ, entao f (x) > P.

154 Definicao. (Limite -infinito) Uma funcao f tem limite -infinito (−∞) no ponto x = ase, dado qualquer numero real N, existe um δ = δ(N) > 0 tal que f (x) < N se x ∈ D e0 < |x − a| < δ.


IX.4. TEOREMAS SOBRE LIMITES DE FUNCOES 125

62 Observacao. Para denotar os limites infinitos em x = a, escrevemos:

limx→a

f (x) = +∞ e limx→a

f (x) = −∞

101 Exemplo. Seja a funcao f : R − {0} → R definida por f (x) = 1/x. Neste caso

limx→0+

f (x) = +∞ e limx→0−

f (x) = −∞

mas nao existe lim f (x) quando x→ 0.

IX.4. T

155 Definicao. (Funcao limitada superiormente) Um funcao f definida sobre um subcon-junto S de numeros reais e limitada superiormente se existe um numero M ∈ R tal quef (x) ≤M.

156 Definicao. (Funcao limitada inferiormente) Um funcao f definida sobre um subconjuntoS de numeros reais e limitada inferiormente se existe um numero N ∈ R tal que N ≤ f (x).

157 Definicao. (Funcao limitada) Um funcao f definida sobre um subconjunto S de numerosreais e limitada se existem numeros reais M ∈ R e N ∈ R tal que N ≤ f (x) ≤ M oualternativamente, se existe K > 0 tal que | f (x)| ≤ K.

63 Observacao. (Funcao ser limitada e diferente de funcao ter limite) A funcao f : R→ Rdefinida por f (x) = sinal(x) e limitada em R mas nao tem limite no ponto x = 0 e a funcaog(x) = x2 tem limite em x = 0 mas nao e limitada em R.

64 Observacao. Nas situacoes seguintes, tomaremos D como os domınios das funcoesenvolvidas e x = a um ponto de acumulacao de D. Para uma vizinhanca de x = a sem o pontocentral x = a, usaremos a notacao

Va′ = {x ∈ D : 0 < |x − a| < δ} = (a − δ, a + δ) − {a}

2 Lema. (Para o proximo teorema)

1. Se limx→a

f (x) = L, entao existe uma vizinhanca Va′ na qual f e limitada.

2. Se limx→a

f (x) = L , 0, entao existe uma vizinhanca Va′ e um numero m > 0 tal que| f (x)| ≥ m para todo x ∈ Va′ .

129 Teorema. Se existem os limites limx→a

f (x) e limx→a

g(x), entao valem as propriedades

1. limx→a

( f + g)(x) = limx→a

f (x) + limx→a

g(x).

2. limx→a

( f − g)(x) = limx→a

f (x) − limx→a

g(x).

3. limx→a

( f .g)(x) = limx→a

f (x). limx→a

g(x).

4. limx→a

( f/g)(x) = limx→a

f (x)/ limx→a

g(x), desde que limx→a

g(x) , 0.


IX.5. FUNCOES CONTıNUAS 126

130 Teorema. (Limites versus sequencias) Seja f : D→ R e a um ponto de acumulacao deD. Assim, lim

x→af (x) = L se, e somente se, para toda sequencia xn → a, com xn ∈ D − {a}

tivermos que f (xn)→ L.

65 Observacao. Se existem duas sequencias xn e yn tal que xn → a e yn → a mas quef (xn)→ L1 e f (yn)→ L2, com L1 , L2 entao a funcao f nao tem limite em x = a.

158 Definicao. (Funcoes monotonas reais) Uma funcao f : D→ R e x ∈ D e y ∈ D e

1. Crescente (nao decrescente) se x < y implica que f (x) ≤ f (y).2. Decrescente (nao crescente) se x < y implica que f (x) ≥ f (y).3. Estritamente crescente se x < y implica que f (x) < f (y).4. Estritamente decrescente se x < y implica que f (x) > f (y).

66 Observacao. A palavra monotona substitui qualquer uma das quatro caracterısticasacima.

131 Teorema. (Limites de funcoes monotonas) Se f : [a, b] → R e uma funcao monotona,entao f tem limites laterais em todos os pontos do intervalo aberto (a, b) e alem disso, existemos limites laterais lim

x→a+f (x) e lim

x→b−f (x).

IX.5. F ı

159 Definicao. (Funcao contınua em um ponto) Seja f : D → R e a ∈ D. A funcao f econtınua em x = a se, dado ε > 0, existe um δ = δ(ε) > 0 tal que | f (x) − f (a)| < ε sempreque x ∈ D e |x − a| < δ.

67 Observacao. Sobre a continuidade num ponto.

1. A notacao δ = δ(ε) significa que para cada ε exibido, devemos construir um numero δque possivelmente seja diferente mas que depende de ε.

2. A funcao f = f (x) precisa estar definida em x = a.3. O intervalo utilizado e |x − a| < δ.4. A continuidade de uma funcao f = f (x) no ponto x = a e obtida pelo comportamento da

funcao f nas vizinhancas do ponto, inclusive no ponto x = a.

Exercıcio: Pesquise nos livros de Analise sobre a forma de definir a continuidade deuma funcao em um ponto x = a isolado.

160 Definicao. (Funcao contınua em um conjunto) Diz-se que uma funcao f : S → R econtınua em um conjunto S se f e contınua para todo x ∈ S.

102 Exemplo. Seja f : R→ R, f (x) = x + 1. Para mostrar que f e contınua em um pontox = a, basta observar que dado ε > 0, podemos tomar δ = ε tal que se |x − a| < δ, entao

| f (x) − f (a)| = |(x + 1) − (a + 1)| = |x − a| < δ = ε



103 Exemplo. A funcao f : R → R definida por f (1) = 2 e por f (x) =x2− 1

x − 1para x , 1,

esta definida no ponto x = 1, mas construiremos uma tabela para mostrar o comportamentoda funcao f nas vizinhancas de x = 1.

x > 1 f (x) x < 1 f (x)1, 1 1, 1 0, 9 1, 91, 01 2, 01 0, 99 1, 991, 001 2, 001 0, 999 1, 9991, 0001 2, 0001 0, 9999 1, 9999... ... ... ...1 2 1 2

Quando x , 1, a funcao f se comporta como a funcao fd(x) = x + 1. As funcoes f e fd

coincidem para todo x ∈ R, assim, dado um ε > 0, existe δ = ε > 0 tal que se 0 < |x− 1| < δ,entao

| f (x) − 2| = |x2− 1

x − 1− 2| = |(x + 1) − 2| = |x − 1| < δ = ε

104 Exemplo. A funcao f : R→ R, f (x) = C (constante) e contınua para cada a ∈ R, poisdado ε > 0, podemos tomar δ = ε tal que se |x − a| < δ entao

| f (x) − f (a)| = |C − C| = 0 < ε

105 Exemplo. A funcao f : R → R, f (x) = 3x + 7 e contınua para cada a ∈ R, pois dadoε > 0, existe δ = ε/3 tal que se |x − a| < δ entao

| f (x) − f (a)| = |(3x + 7) − (3a + 7)| = 3|x − a| < 3δ = ε

106 Exemplo. A funcao f : R→ R, f (x) = x2 e contınua para cada a ∈ R. A construcao deδ e mais complicada do que no caso anterior. Como:

| f (x) − f (a)| = |x2− a2| = |(x − a)(x + a)|

Como analisamos a continuidade de f no ponto x = a e nas suas vizinhancas, consideraremoso intervalo |x − a| < δ < 1. Pela desigualdade triangular, os valores de x satisfazem asdesigualdades:

|x + a| = |x − a + 2a| ≤ |x − a| + |2a| ≤ 1 + 2|a|

assim| f (x) − f (a)| = |(x − a)(x + a)| < δ(1 + 2|a|)

Se tomarmosδ = min{1,

ε1 + 2|a|

}

o problema estara resolvido pois| f (x) − f (a)| < ε




f (x) =

x · sin(1x

) se x , 0

0 se x = 0

e contınua para todo a , 0, mas tambem e contınua em x = 0, pois dado ε > 0, podemostomar δ = ε tal que se |x| = |x − 0| < δ, entao

| f (x) − f (0)| = |x · sin(1x

)| ≤ |x| · | sin(1x

)| ≤ |x| < δ = ε


f (x) =

x2· sin(

1x

) se x , 0

0 se x = 0

e contınua para todo a , 0, mas tambem f e contınua em 0 ∈ R, pois dado ε > 0 existeδ = min(1, ε) tal que se |x| = |x − 0| < δ < 1, entao

| f (x) − f (0)| = |x2· sin(

1x

)| ≤ |x2| · | sin(

1x

)|

assim, se 0 < δ < 1 entao 0 < δ2 < δ < 1 e

| f (x) − f (0)| ≤ |x|2 < δ2 < δ = ε


sinal(x) =

1 se x > 00 se x = 0−1 se x < 0

nao e contınua em x = 0, mas e contınua a direita e a esquerda de x = 0.

132 Teorema. (Continuidade e limite) Seja f : D→ R e a um ponto de acumulacao de D. fe contınua em x = a se

limx→a

f (x) = f (a)

68 Observacao. Para mostrar que uma funcao f nao e contınua em um ponto x = a, bastamostrar que vale uma das situacoes (ou ambas) abaixo:

1. f nao esta definida em x = a, ou2. lim

x→a−f (x) , lim

x→a+f (x)

161 Definicao. (Modulo de uma funcao) Dada uma funcao real f = f (x), define-se o moduloda funcao f , denotada por | f |, por

| f |(x) = | f (x)|




f (x) ={

1 se x ∈ Q−1 se x < Q

nao e contınua mas o modulo desta funcao f = f (x), definido por | f |(x) = 1 e uma funcaocontınua sobre R.

3 Lema. Sobre o valor absoluto de uma funcao. Seja f : D → R uma funcao e a ∈ D. Sef e contınua em x = a, demonstre que a funcao | f | : D → R definida por | f |(x) = | f (x)| econtınua no ponto x = a.

4 Lema. Sobre a limitacao em uma vizinhanca.

1. Se f e contınua em x = a, entao existe uma vizinhanca (a− δ, a+ δ) na qual f e limitada.2. Se f e contınua em x = a e f (a) , 0, entao existe uma vizinhanca Vδ(a) = (a − δ, a + δ)

do ponto x = a e existe m > 0 tal que | f (x)| ≥ m > 0.

133 Teorema. (Operacoes com funcoes contınuas) Sejam f : D → R e g : D → R funcoescontınuas em x = a ∈ D e k ∈ R. Entao f + g, f − g, k. f , f .g, f/g se g(a) , 0, max( f , g)e min( f , g) sao tambem contınuas. As duas ultimas funcoes sao, respectivamente, definidaspor:

max( f , g)(x) =f (x) + g(x) + | f (x) − g(x)|

2

min( f , g)(x) =f (x) + g(x) − | f (x) − g(x)|

2134 Teorema. (Continuidade e sequencias) Seja f : D → R uma funcao e a ∈ D. f econtınua no ponto x = a se, e somente se, para toda sequencia (xn) ⊂ D tal que xn → a, temosque f (xn)→ f (a).

69 Observacao. Se existem duas sequencias (xn) e (yn) tal que xn → a e yn → a tal quef (xn)→ L1 e f (yn)→ L2, com L1 , L2 entao a funcao f nao e contınua em x = a.


f (x) =

sin(1x

) se x , 0

0 se x = 0

nao e contınua em x = 0, pois existem duas sequencias que convergem para 0 de modo queas imagens dessas sequencias pela funcao f = f (x) sao duas sequencias que convergem paravalores diferentes. Realmente,

xn =1

nπ→ 0 e yn =

1(n + 1/2)π

→ 0

masf (xn) = sin(

1xn

) = sin(nπ) = 0→ 0

ef (yn) = sin(

1yn

) = sin(nπ +π2

) = 1→ 1


IX.6. PROPRIEDADES IMPORTANTES DAS FUNCOES CONTıNUAS 130

A definicao de funcao contınua em um ponto pode ser reescrita com o auxılio deintervalos.

162 Definicao. (Funcao contınua por intervalos) Seja f : D → R e a um ponto deacumulacao de D. A funcao f : D → R e contınua em a ∈ D se, para cada intervaloIε = ( f (a) − ε, f (a) + ε), existe um intervalo Iδ = (a − δ, a + δ) tal que f (Iδ) ⊂ Iε

135 Teorema. (Imagem inversa de aberto) Seja f : D → R uma funcao contınua sobre D.Se B e um conjunto aberto em R, entao f −1(B) e um conjunto aberto em D.

Demonstracao. Se x ∈ f −1(B), entao f (x) ∈ B. Como B e aberto, existe um intervaloIr = ( f (x) − rx, f (x) + rx), com rx > 0, tal que f (x) ∈ Ir ⊂ B.

Como f e contınua em x, existe Ix = (x − dx, x + dx), com dx > 0, tal que

x ∈ Ix ⊂ f −1(B)

Masf −1(B) =

⋃x∈ f−1(B)

{x} ⊂⋃

x∈ f−1(B)

Ix ⊂ f −1(B)

e segue quef −1(B) =

⋃x∈ f−1(B)

Ix

ou seja, f −1(B) e a reuniao de conjuntos abertos, logo f −1(B) tambem e um conjuntoaberto. �

4 Corolario. (Imagem inversa de fechado) Seja X um conjunto fechado em R, Y ⊂ R ef : X → Y uma funcao contınua sobre X. Se F e um conjunto fechado em Y, entao f −1(F) eum conjunto fechado em X.

Demonstracao. Consequencia imediata do Teorema anterior com B = Fc. �

136 Teorema. (Continuidade com sequencias) Seja p um ponto de acumulacao de D. f :D → R e uma funcao contınua em p se, e somente se, toda sequencia (xn) ⊂ D − {p} tal quelim xn = p implica que lim f (xn) = f (p).

Demonstracao. Ver teorema semelhante a este no capıtulo de Limites e use L = f (p).�

IX.6. P ı

137 Teorema. (Imagem compacta) Se f : K → R e uma funcao contınua e K um conjuntocompacto, entao a imagem f (K) e um conjunto compacto.



Demonstracao. Lembremos o Teorema 113 da pagina 111. Para mostrar que o conjuntof (K) e compacto, devemos mostrar que todo subconjunto infinito de f (K) possui umponto de acumulacao em f (K).Seja (yn) uma sequencia em f (K). Para cada yn ∈ f (K), existe xn ∈ K tal que yn = f (xn).A sequencia (xn) e um conjunto infinito e limitado, assim, o conjunto (xn) possui umponto de acumulacao p em K, ou seja, p = lim xn.Como f e contınua, segue que f (p) = lim f (xn) e como yn = f (xn), entao existe umasequencia (yn) em f (K) tal que f (p) = lim yn, garantindo que f (p) e um ponto deacumulacao de f (K). �

138 Teorema. (Valores extremos) Se f : K → R e uma funcao contınua sobre um conjuntocompacto (fechado e limitado) K, entao a funcao f assume o seu maximo M = max( f ) e o seumınimo m = min( f ) em K, isto e, existem u, v ∈ K tal que

m = f (u) ≤ f (x) ≤ f (v) =M

Demonstracao. Se K e compacto e f : K → R e contınua, entao f (K) tambem e umconjunto compacto. Pelo Teorema anterior o conjunto f (K) possui mınimo e maximo,garantindo que existem u, v ∈ K tal que

min( f ) = f (u) ≤ f (x) ≤ f (v) = max( f )

�

163 Definicao. (Conjunto conexo) Um conjunto C da reta real e conexo se nao pode estarcontido na reuniao C ⊂ A ∪ B, sendo que A e B sao abertos, nao vazios e disjuntos.

112 Exemplo. O conjunto C = R − {0} NAO e conexo pois C = A ∪ B e os conjuntosA = (−∞, 0) e B = (0,+∞) sao abertos, nao vazios e disjuntos.

164 Definicao. (Intervalo na reta) Um conjunto C da reta real e um intervalo se, dadosx, y ∈ C tal que x < u < y, entao u deve pertencer ao conjunto C. Intuitivamente, umintervalo e um conjunto formado por apenas um pedaco.

113 Exemplo. (Conexos na reta) Sao conjuntos conexos os seguintes intervalos

(−∞, b), (−∞, b], (a, b), (a, b], [a, b], [a, b), (a,∞), [a,∞), R

e todo conjunto conexo em R deve ter uma destas formas.

139 Teorema. (Conexao de um intervalo) Um conjunto C da reta real e um conjunto conexose, e somente se, C e um intervalo.

Demonstracao. (Direta) Negaremos a tese e chegaremos a negacao da hipotese. Se Ce um conjunto conexo, mostraremos que C e um intervalo.

Se C nao e um intervalo, existem elementos x, y ∈ C e u < C tal que x < u < y.

Tomando os conjuntos A = {a ∈ C : a < u} e B = {b ∈ C : u < b}, segue que A e Bsao abertos, disjuntos e nao sao vazios, e alem disso, C ⊂ A ∪ B, garantindo que oconjunto C nao e conexo. �



Demonstracao. (Recıproca) Vamos negar a tese e assumir a hipotese para obter umacontradicao. Se o conjunto C nao e conexo e se x, y ∈ C com x < u < y entao u ∈ C.Se C nao e conexo, existem conjuntos A e B abertos, nao vazios e disjuntos tal queC ⊂ A ∪ B, sendo que x ∈ A e y ∈ B.Tomaremos um conjunto S = A ∩ [x, y] e assumiremos que u = sup(S).Se y ∈ B e B e aberto, entao u < y e se x ∈ A e A e aberto, entao x < u.Como A e aberto, se tomarmos u ∈ A, segue que u nao pode ser cota superior de S,assim, temos que u < A.Como B e aberto, se tomarmos u ∈ B, segue que u nao pode ser cota inferior de S, edesse modo u < B.Como C ⊂ A∪B, segue que u < C, contra a hipotese assumida, logo C e um conjuntoconexo. �

140 Teorema. (Valor intermediario) Se f : [a, b] → Y e uma funcao contınua tal quef (a) < c < f (b), entao existe um ponto u ∈ (a, b) tal que f (u) = c.

Demonstracao. Consideremos f (a) < c < f (b) e definamos os conjuntos

E = {x ∈ [a, b] : f (x) < c}

1. E , ∅ pois a ∈ E.2. E ⊂ R.3. E e limitado superiormente por b.4. E possui supremo.

D = {x ∈ [a, b] : f (x) > c}

1. D , ∅ pois b ∈ D.2. D ⊂ R.3. D e limitado inferiormente por a.4. D possui ınfimo.

Devemos mostrar que existe u ∈ (a, b) tal que f (u) = c. Negando a tese, obteremosduas situacoes: (a) f (u) < c ou (b) f (u) > c.

1. (a) Consideremos f (u) < c e u = sup(K). Pela continuidade de f em u, segue quedado ε1 = c − f (s) > 0 existe um δ1 > 0 tal que se |x − u| < δ1 entao

| f (x) − f (u)| < ε1 = c − f (u)

que equivale a 2 f (u) − c < f (x) < c garantindo que para todo x ∈ (u − δ1,u + δ1)temos que

f (x) < c

Como o ponto u1 = u + δ2 ∈ (u − δ1,u + δ1), entao

f (u1) < c

Assim, existe um valor u1 maior que u satisfazendo a desigualdade f (x) < 0, oque e uma contradicao, pois u = sup(E).

2. (b) Seja agora f (u) > c e u = inf(D). Pela continuidade de f em s, segue que dadoε2 = f (s) − c > 0 existe um δ2 > 0 tal que se |x − u| < δ2 entao

| f (x) − f (u)| < ε2 = f (u) − c


IX.7. CONTINUIDADE UNIFORME 133

que equivale a f (u) − ( f (u) − c) < f (x) < 2 f (u) − c para todo x ∈ (u − δ2,u + δ2)assim

c < f (x)

Como o ponto u2 = u − δ2 ∈ (u − δ2,u + δ2), segue que

f (s2) > c

Desse modo, existe um valor u2 menor do que u satisfazendo a desigualdadef (x) > c, o que e uma contradicao, pois u = inf(D).

Como nao podemos ter f (u) > c e nem f (u) < c, segue que f (u) = c. �

5 Corolario. (Imagem direta de um intervalo) Se f : [a, b]→ R e uma funcao contınua sobreo intervalo [a, b], entao a imagem f [a, b]) e tambem um intervalo real.

141 Teorema. (Imagem direta de conexo) Seja f : D→ R uma funcao contınua sobre D. SeA e um conjunto conexo em D, entao f (A) e um conjunto conexo em R.

IX.7. C

165 Definicao. (Funcao uniformemente contınua) Uma funcao f : D→ R e uniformementecontınua sobre o conjunto D se, dado ε > 0, existe um δ = δ(ε) > 0 tal que

| f (x) − f (y)| < ε

sempre que x, y ∈ D e |x − y| < δ.

70 Observacao. Continuidade uniforme versus continuidade.1. Na continuidade uniforme o δ nao pode depender do especıfico x ∈ D, o que significa que

o mesmo δ deve valer para todos os x ∈ D.2. Se f : D → R e uniformemente contınua, entao f e contınua sobre todo o conjunto D,

como e o caso de f : R→ R definida por f (x) = sin(x).3. Existem funcoes f : D→ R que sao contınuas mas que nao sao uniformemente contınuas,

como e o caso de f : R→ R definida por f (x) = x2.

142 Teorema. (Continuidade uniforme e compacto) Se f : D → R e uma funcao contınuasobre o conjunto um conjunto compacto D, entao f e uniformemente contınua sobre D.

166 Definicao. (Funcao Lipschitziana) Uma funcao f : D→ R e dita lipschitziana sobre Dse existe uma constante L > 0 tal que

| f (x) − f (y)| ≤ L|x − y|

para todos os elementos x, y ∈ D.

71 Observacao. Este tipo de funcao desempenha um importante papel na demonstracao doteorema de existencia e unicidade de solucao para uma equacao diferencial ordinaria com umacondicao inicial.

Exercıcio: Se uma funcao f : D → R e lipschitziana sobre D, mostre que ela euniformemente contınua sobre D.


Cı X

“Por esta razao te lembro que despertes o dom de Deus, que haem ti pela imposicao das minhas maos. Porque Deus nao nos deuo espırito de covardia, mas de poder, de amor e de moderacao.Portanto nao te envergonhes do testemunho de nosso Senhor,nem de mim, que sou prisioneiro seu; antes participa comigo dossofrimentos do evangelho segundo o poder de Deus, que nossalvou, e chamou com uma santa vocacao, nao segundo as nossasobras, mas segundo o seu proprio proposito e a graca que nos foidada em Cristo Jesus antes dos tempos eternos, e que agora semanifestou pelo aparecimento de nosso Salvador Cristo Jesus, oqual destruiu a morte, e trouxe a luz a vida e a imortalidade peloevangelho, do qual fui constituıdo pregador, apostolo e mestre.”A Bıblia Sagrada, II Timoteo 1:6-11

X.1. D

167 Definicao. (Derivada em um ponto) Uma funcao f : D→ R possui derivada no pontoa ∈ D, se a e um ponto de acumulacao de D, e, existe e e finito o limite

limx→a

f (x) − f (a)x − a

Quando este limite existe e e finito, ele e denominado a derivada de f no ponto a e denotadopor f ′(a), isto e:

f ′(a) = limx→a

f (x) − f (a)x − a

168 Definicao. (Derivada em um conjunto) Uma funcao f : D→ R possui derivada sobreo conjunto D se f possui derivada em todo ponto x ∈ D.

114 Exemplo. Derivadas de algumas funcoes.

À A funcao f : R→ R definida por f (x) = 2x, possui derivada em a ∈ R, pois:

f ′(a) = limx→a

f (x) − f (a)x − a

= limx→a

2x − 2ax − a

= limx→a

2 = 2


X.1. DERIVADAS E FUNCOES DIFERENCIAVEIS 135

Á f : R→ R definida por f (x) = x2, possui derivada em a ∈ R, pois:

f ′(a) = limx→a

f (x) − f (a)x − a

= limx→a

x2− a2

x − a= lim

x→a(x + a) = 2a

Â A funcao f : (0,∞) → (0,∞) definida por f (x) = 1x , possui derivada em cada ponto

a ∈ (0,∞), pois:

f ′(a) = limx→a

f (x) − f (a)x − a

= limx→a

1x − 1/ax − a

= limx→a

−1ax= −

1a2

169 Definicao. (Funcao diferenciavel em um ponto) Uma funcao f : D→ R e diferenciavelem um a ∈ D, se podemos escrever

f (a + h) = f (a) + f ′(a) h + R(a, h)

exigindo que

limh→0

|R(a, h||h|

= 0

143 Teorema. (Diferenciabilidade garante a continuidade) Se uma funcao f : D → R ediferenciavel sobre D, entao f e contınua sobre D,

170 Definicao. (Derivada lateral a direita) Uma funcao f : D→ R e diferenciavel a direitaem a ∈ D, se a e um ponto de acumulacao de D ∩ (a,∞) e existe (e finito) o limite

limx→a

f (x) − f (a)x − a

, (x > a)

Tal limite e denominado a derivada lateral de f a direita no ponto x = a e denotado por

f ′+(a) = limx→a

f (x) − f (a)x − a

, (x > a)

171 Definicao. (Derivada lateral a esquerda) Uma funcao f : D → R e diferenciavel aesquerda em a ∈ D, se a e um ponto de acumulacao de D ∩ (−∞, a) e existe (e finito) o limite

limx→a

f (x) − f (a)x − a

, (x < a)

Tal limite e denominado a derivada lateral de f a esquerda no ponto x = a e denotado por

f ′−(a) = lim

x→a

f (x) − f (a)x − a

, (x < a)

172 Definicao. (Derivada versus derivadas laterais) Uma funcao f : D→ R e diferenciavelem um ponto de acumulacao a de D, se as duas derivadas laterais a esquerda e a direita ema ∈ D existem e coincidem. Quando isto acontece

f ′(a) = f ′−(a) = f ′+(a)


X.1. DERIVADAS E FUNCOES DIFERENCIAVEIS 136

115 Exemplo. (Derivadas laterais)

1. Seja f : R→ R a funcao definida por f (x) = x.χ[0,∞), que pode ser escrita como:

f (x) ={

x se x ≥ 00 se x < 0

Assim:

f ′+(0) = limx→0

x − 0x − 0

= 1 (x > 0), f ′−(0) = lim

x→0

0 − 0x − 0

= 0 (x < 0)

Esta funcao e contınua em toda a reta, mas nao e diferenciavel em x = 0, embora sejadiferenciavel para todo a , 0.

2. Seja a funcao modular f : R→ R, definida por:

f (x) =

x se x > 00 se x = 0−x se x < 0

Para esta funcao, temos que:

f ′+(0) = limx→0

x − 0x − 0

= 1 (x > 0), f ′−(0) = lim

x→0

−x − 0x − 0

= −1 (x < 0)

Esta funcao e contınua em toda a reta, mas nao e diferenciavel em x = 0, embora sejadiferenciavel para todo a , 0.

144 Teorema. (Derivadas e sequencias) Uma funcao f : D → R e diferenciavel em a ∈ D,onde a e um ponto de acumulacao de D se, para cada sequencia xn ⊂ D tal que xn → a exn , a, a sequencia dos quocientes de Newton

f (xn) − f (a)xn − a

e convergente.

Exercıcio: Usando sequencias reais, mostrar que a funcao real contınua f : R → Rdefinida por

f (x) =

x. sin(1x

) se x , 0

0 se x = 0

nao e diferenciavel em x = 0.

Dica: Exibir sequencias distintas xn → 0 e yn → 0 tal que

f (xn) − f (0)xn − 0

→ L1f (yn) − f (0)

yn − 0→ L2

sendo L1 , L2.


X.2. APLICACOES DAS FUNCOES DIFERENCIAVEIS 137

145 Teorema. (Operacoes com funcoes diferenciaveis) Sejam f : D → R e g : D → Rfuncoes diferenciaveis em a ∈ D, e c ∈ R uma constante. Entao, f + g, f − g, c. f , f .g e f/gsao diferenciaveis em a ∈ D, desde que para g(x) , 0 para todo x ∈ D.

Exercıcio: Usando o Princıpio da Inducao Matematica, mostrar que a derivada dafuncao f : R→ R definida por f (x) = xn para cada n ∈ N e dada por:

f ′(x) = n.xn−1

146 Teorema. (Regra da cadeia) Se f : A → B e uma funcao diferenciavel em a ∈ Ae g : B → C e uma funcao diferenciavel em b = f (a) ∈ B, entao a funcao compostag ◦ f : A→ C e uma funcao diferenciavel em a ∈ A e alem disso:

(g ◦ f )′(a) = g′( f (a)). f ′(a)

Exercıcio: Obter a primeira derivada da funcao h : R → R definida por h(x) =(1 + x2)206.

X.2. A

173 Definicao. (Maximo local) Um ponto p ∈ D e um ponto de maximo local para f = f (x)se existe uma vizinhanca de p, denotada por Vp tal que se x ∈ D ∩ Vp, entao f (x) ≤ f (p). Ovalor f (p) e um maximo local de f .

174 Definicao. (Mınimo local) Um ponto p ∈ D e um ponto de mınimo local para f = f (x)se existe uma vizinhanca de p, denotada por Vp tal que se x ∈ D ∩ Vp, entao f (x) ≥ f (p). Ovalor f (p) e um mınimo local de f .

147 Teorema. (Derivadas, maximos e mınimos) Seja f : [a, b] → R. Se p ∈ (a, b) e umponto de maximo (mınimo) local de f e alem disso f e diferenciavel em p, entao f ′(p) = 0.

148 Teorema. (Rolle) Seja f : [a, b] → R. Se f e contınua sobre [a, b] e diferenciavel sobre(a, b) e alem disso f (a) = f (b) = 0, entao existe pelo menos um ponto c, entao f ′(c) = 0.

149 Teorema. (Rolle) Seja f : [a, b] → R. Se f e contınua sobre [a, b] e diferenciavel sobre(a, b) e alem disso f (a) = f (b), entao existe pelo menos um ponto c, entao f ′(c) = 0.

150 Teorema. (Valor Medio) Seja f : [a, b]→ R. Se f e contınua sobre [a, b] e diferenciavelsobre (a, b) entao existe pelo menos um ponto c ∈ (a, b) tal que

f ′(c) =f (b) − f (a)

b − a

6 Corolario. Do teorema do Valor Medio.

1. Se f : [a, b]→ R e uma funcao contınua sobre [a, b], diferenciavel sobre (a, b) e f ′(x) > 0para cada x ∈ (a, b), entao f e crescente sobre [a, b].


X.2. APLICACOES DAS FUNCOES DIFERENCIAVEIS 138

2. Se f : [a, b]→ R e uma funcao contınua sobre [a, b], diferenciavel sobre (a, b) e f ′(x) < 0para cada x ∈ (a, b) entao f e decrescente sobre [a, b].

Exercıcio: Usando o teorema do valor medio, mostre que sin(x) ≤ x se x ≥ 0. Dica:Defina a diferenca d(x) = x − sin x (x ≥ 0) e use o TVM para a funcao d.

Exercıcio: Mostrar que para todo x ∈ R, vale a desigualdade | sin x| ≤ |x|.

7 Corolario. (do Teorema do Valor Medio de Cauchy) Se f : [a, b] → R e g : [a, b] → Rsao funcoes contınuas sobre [a, b], diferenciaveis sobre (a, b) e alem disso g′(x) , 0 para cadax ∈ (a, b), entao existe pelo menos um ponto c ∈ (a, b) tal que

f ′(c)g′(c)

=f (b) − f (a)g(b) − g(a)

Se tomarmos g(x) = x neste teorema, obteremos o teorema do valor medio.

8 Corolario. (do Teorema da funcao constante) Se f : [a, b] → R e uma funcao contınuasobre [a, b] e f ′(x) = 0 para todo x ∈ (a, b), entao f e constante.

9 Corolario. Se f : [a, b] → R e g : [a, b] → R sao funcoes contınuas sobre [a, b] ef ′(x) = g′(x) para cada x ∈ (a, b), entao f (x) = g(x) + K, onde K e uma constante.

10 Corolario. (Regra de L’Hopital do tipo zero/zero) Se f : [a, b] → R e g : [a, b] → R saofuncoes diferenciaveis sobre um intervalo D que contem uma vizinhanca de um ponto p noqual valem as propriedades:

1. limx→p

f (x) = limx→p

g(x) = 0;

2. g′(x) , 0 nas vizinhancas de p

3. o limite limx→p

f ′(x)g′(x)

existe

entao:

limx→p

f (x)g(x)

= limx→p

f ′(x)g′(x)

11 Corolario. (Regra de L’Hopital do tipo infinito/infinito) Se f : [a, b]→ R e g : [a, b]→ Rsao funcoes diferenciaveis sobre um intervalo D que contem uma vizinhanca de um ponto pno qual valem as propriedades:

1. limx→p

f (x) = limx→p

g(x) = +∞;

2. g′(x) , 0 nas vizinhancas de p

3. limx→p

f ′(x)g′(x)

existe

entao:

limx→p

f (x)g(x)

= limx→p

f ′(x)g′(x)


X.3. DERIVADAS SUCESSIVAS 139

X.3. D

175 Definicao. Classes de diferenciabilidade.

1. Se uma funcao f : D→ R e contınua sobre D, escrevemos que f ∈ C0(D).2. Se uma funcao f : D → R e diferenciavel sobre D, entao f ′ : D → R e uma funcao

contınua sobre D.3. Se e possıvel realizar a derivada da primeira derivada de uma funcao f , usamos a notacao

f ′′ : D→ R para indicar a funcao obtida que recebe o nome de segunda derivada.4. Se a funcao f possui a primeira derivada sobre D e esta primeira derivada e uma funcao

contınua sobre D, diz-se que f e de classe C1 sobre D, denotando isto por f ∈ C1(D).5. Se a funcao f possui a primeira derivada sobre D, a segunda derivada sobre D e todas

elas sao funcoes contınuas sobre D, diz-se que f e de classe C2 sobre D, denotado porf ∈ C2(D).

6. Em geral, pode-se escrever:

Cn(D) = { f : D→ R : f (k)∈ C0(D) (k = 0, 1, 2, ...,n)}

7. Se podemos realizar todas as derivadas possıveis de uma funcao f sobre D, diz-se que f einfinitamente diferenciavel sobre D e denotamos isto por f ∈ C∞(D). 100

116 Exemplo. Classes de diferenciabilidade.

À A funcao f : R→ R definida por f (x) = |x| e contınua sobre R mas nao e diferenciavelem x = 0.

Á A funcao f : R → R definida por f (x) = x2 e contınua sobre R e infinitamentediferenciavel sobre R.

Â A funcao f : R→ R definida por f (x) = |x|3 e diferenciavel ate a segunda ordem sobreR mas a terceira derivada nao existe em x = 0.

151 Teorema. (Taylor) Seja f : [a, b]→ R. Se f ∈ Cn([a, b]) e f ∈ Cn+1((a, b)), entao existep ∈ (a, b) tal que

f (b) = f (a) + (b − a) f ′(a) +(b − a)2

2!f (2)(a) +

(b − a)3

3!f (3)(a) + ...

+(b − a)n

n!f (n)(a) +

(b − a)n+1

(n + 1)!f (n+1)(p)

Substituindo b por x e a por 0, obtemos a formula de Taylor com resto:

f (x) = f (0) + x f ′(0) +x2

2!f (2)(0) + ... +

xn

n!f (n)(0) + Rn(x)

onde 0 < p < x e

Rn(x) =xn+1

(n + 1)!f (n+1)(p)


X.3. DERIVADAS SUCESSIVAS 140

A formula de Taylor tambem pode ser escrita na forma:

f (x) =n∑

k=0

f (k)(0)xk

k!+ Rn(x)

Para muitas funcoes, e possıvel escrever um somatorio infinito, garantido pelo fatoque quando n → ∞ o resto Rn(x) → 0 e dessa forma temos a serie de MacLaurin dafuncao desenvolvida em torno do ponto x = 0:

f (x) =∞∑

k=0

f (k)(0)xk

k!

Se o desenvolvimento ocorre em torno do ponto x = a, escrevemos:

f (x) =∞∑

k=0

f (k)(a)(x − a)k

k!

Se uma funcao f possui desenvolvimento de Taylor em uma regiao D, diz-se que f eanalıtica sobre D o que e garantido, em grande parte pelo fato de f ser infinitamentediferenciavel, mas nem todas as funcoes infinitamente diferenciaveis sao analıticas,como e o caso da funcao f : R→ R definida por:

f (x) ={

e−1/x2 se x , 00 se x = 0


Cı XI

“No princıpio era o Verbo, e o Verbo estava com Deus, e o Verboera Deus. Ele estava no princıpio com Deus. Todas as coisasforam feitas por intermedio dele, e sem ele nada do que foi feitose fez. Nele estava a vida, e a vida era a luz dos homens; a luzresplandece nas trevas, e as trevas nao prevaleceram contra ela.”A Bıblia Sagrada, Joao 1:1-5

A derivada e a integral de uma funcao real formam a essencia do Calculo Diferenciale Integral e tambem da Analise na reta. Neste capıtulo tratamos das integrais deGeorg F. B. Riemann (1866-1926), que foi um matematico alemao que primeiramentedefiniu a integral de uma funcao de modo a dar consistencia para a definicao usadano Calculo Integral.

XI.1. P

176 Definicao. (Particao de um intervalo) Um conjunto P = {x0, x1, x2, ..., xn} com umnumero finito de pontos e uma particao do intervalo [a, b] se

a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b

Exercıcio: Mostre que os conjuntos P = {0, 1/8, 1/6, 1/2, 1}, Q = {0, 1/4, 1/3, 1}, P ∩ Qe P ∪Q sao particoes do intervalo [0, 1].

72 Observacao. ( Sobre uma particao) A cada particao P = {x1}ni=0 de um intervalo [a, b],

podemos associar n sub-intervalos fechados da forma Ii = [xi−1, xi] com comprimento ∆xi =xi − xi−1. Assim, a soma dos comprimentos desses sub-intervalos e o comprimento de [a, b],isto e:

n∑i=1

∆xi = b − a

177 Definicao. (Norma de uma particao) A norma de uma particao P = {x1}ni=0 de um

intervalo [a, b], denotada por ‖P‖, e definida como sendo:

‖P‖ = max{∆xi : i = 1, 2, 3, ...,n}


XI.1. PARTICOES DE INTERVALOS 142

Exercıcio: Usando as particoes P, Q, P ∩ Q e P ∪ Q do exercıcio anterior, calcular asnormas dessas particoes e constatar que

‖P ∪Q‖ ≤ min{‖P‖, ‖Q‖} ≤ ‖P ∩Q‖

178 Definicao. (Particao mais fina) Sejam P e Q particoes de [a, b]. P e mais fina do que Qse P ⊃ Q. Quando P e mais fina do que Q, diz-se que P e um refinamento de Q.

179 Definicao. (Particao menos fina) Sejam P e Q particoes de [a, b]. P e menos fina do queQ se P ⊂ Q.

152 Teorema. Sejam P e Q sao particoes de [a, b]. Assim

1. P ∪Q e mais fina do que P;2. P e mais fina do que P ∩Q.

180 Definicao. (Somas de Darboux de uma funcao) Seja f : [a, b] → R uma funcao reallimitada e P = {xi}

ni=0 uma particao de [a, b]. Para cada i = 1, 2, ...,n, tomamos

mi = inf{ f (x) : x ∈ [xi−1, xi]

eMi = sup{ f (x) : x ∈ [xi−1, xi]}

Definimos a soma superior S( f ,P) e a soma inferior I( f ,P) de Darboux de f para a particaoP, por:

S( f ,P) =n∑

i=1

Mi(xi − xi−1)

e

I( f ,P) =n∑

i=1

mi(xi − xi−1)

Exercıcios:

1. Seja a funcao real definida por

f (x) =

3 − x se −1 ≤ x < 0x2 + 1 se 0 ≤ x < 13 se 1 ≤ x ≤ 2

e a particao P = {−1,−1/2, 0, 1/2, 1, 3/2, 2}. Obtenha as somas de Darboux S( f ,P)e I( f ,P) e observe que

I( f ,P) ≤ S( f ,P)

2. Seja a funcao f : [0, 5] → R definida por f (x) = x + 3, P = {0, 1, 3, 5} e Q ={0, 1, 2, 3, 4, 5} particoes de [0, 5]. Observa-se que Q e mais fina do que P. Calculeas quatro somas de Darboux I( f ,P), I( f ,Q), S( f ,Q) e S( f ,P), observando que

I( f ,P) ≤ I( f ,Q) ≤ S( f ,Q) ≤ S( f ,P)



153 Teorema. (Comparacao entre as somas de Darboux) Para toda particao P de um intervalo[a, b], tem-se

I( f ,P) ≤ S( f ,P)

154 Teorema. (Comparacao de somas de Darboux e particoes) Se P e Q sao particoes de umintervalo [a, b], sendo Q mais fina que P, entao

I( f ,P) ≤ I( f ,Q) ≤ S( f ,Q) ≤ S( f ,P)

Dica: A demonstracao pode ser encontrada na pag.123 de [13].

155 Teorema. (Comparacao de somas e particoes gerais) Quaisquer que sejam as particoesP e Q de um intervalo [a, b], tem-se:

I( f ,P) ≤ S( f ,Q)

Dica: A demonstracao pode ser encontrada na pag.124 de [13].

181 Definicao. (Integral de uma funcao real) Seja f : [a, b] → R uma funcao limitada eP[a, b] o conjunto de todas as particoes do intervalo [a, b]. Definimos as integrais superior einferior de f no intervalo [a, b], respectivamente por∫ b

af = inf{S( f ,P) : P ∈ P[a, b]}

e ∫ b

a

f = sup{I( f ,P) : P ∈ P[a, b]}

73 Observacao. Tais integrais sao consistentes, pois o conjunto de todas as somas infe-riores (superiores) de f e um subconjunto nao vazio de R que e limitados superiormente(inferiormente), assim concluımos que existe supremo (ınfimo) para estes subconjuntos de R.

156 Teorema. (Integral superior versus integral inferior] Se f : [a, b] → R e uma funcaolimitada, entao ∫ b

a

f ≤∫ b

af

157 Teorema. (Funcao integravel) Uma funcao real f : [a, b] → R e integravel segundoRiemann, se valem as duas afirmacoes:1. f e limitada sobre [a, b];

2.∫ b

af =

∫ b

a

f

74 Observacao. Quando f e integravel sobre [a, b], a integral de f segundo Riemann esimplesmente denotada por ∫ b

af =

∫ b

af (x) dx

onde a letra x que aparece na integral faz o papel de variavel muda, o que significa que setrocarmos esta letra por outra, o valor da integral sera o mesmo.



Exercıcio: Mostrar que a funcao f : [a, b]→ R definida por f (x) = c e integravel.

117 Exemplo. (Funcao que nao e integravel segundo Riemann) A funcao f : [0, 1] → Rdefinida por

f (x) ={

0 se x ∈ Q1 se x < Q

nao e Riemann-integravel sobre [0, 1].

182 Definicao. (Area de uma regiao) Quando a funcao real f : [a, b] → R satisfaz adesigualdade f ≥ 0, a integral de f sobre [a, b] representa a area da regiao compreendida entreas retas y = 0, x = a, x = b e o grafico de y = f (x).

158 Teorema. (Funcao integravel) Seja f : [a, b]→ R uma funcao limitada. f e integravelsegundo Riemann se, e somente se, para cada ε > 0, existir uma particao P ∈ P[a, b] tal que

S( f ,P) − I( f ,P) < ε

Demonstracao. Suponhamos que para cada ε > 0, exista uma particao P ∈ P[a, b] talque

S( f ,P) − I( f ,P) < ε

Levando em consideracao que∫ b

af = inf{S( f ,P) : P ∈ P[a, b]} ≤ S( f ,P)

I( f ,P) ≤∫ b

a

f = sup{I( f ,P) : P ∈ P[a, b]}

entao, ja mostramos que ∫ b

af −

∫ b

a

f ≤ S( f ,P) − I( f ,P) < ε

o que significa que ∫ b

af ≤

∫ b

a

f

mas ja sabemos do Teorema [156], que:∫ b

a

f ≤∫ b

af

Assim ∫ b

af ≤

∫ b

a

f ≤∫ b

af



o que garante que ∫ b

af =

∫ b

a

f

isto e, f e integravel sobre [a, b].

Reciprocamente, consideremos f integravel sobre [a, b], isto e:∫ b

af =

∫ b

a

f

Esta igualdade e o mesmo que

inf{S( f ,Q) : Q ∈ P[a, b]} = sup{I( f ,Q) : Q ∈ P[a, b]}

Pela definicao de supremo, temos que dado ε > 0 e arbitrario, existe uma particaoP2 ∈ P[a, b] tal que

sup{I( f ,Q) : Q ∈ P[a, b]} − ε < I( f ,P2)

e pela hipotese formulada, temos que

inf{S( f ,Q) : Q ∈ P[a, b]} < I( f ,P2) + ε

Pela definicao de ınfimo, existe uma particao P1 ∈ P[a, b] tal que

S( f ,P1) < I( f ,P2) + ε

Tomando a particao P = P1 ∪ P2, seguira que P e mais fina do que P1 e P2, logo:

S( f ,P) ≤ S( f ,P1)

eI( f ,P2) ≤ I( f ,P)

assim, dado ε > 0, existe uma particao P ∈ P[a, b] tal que

S( f ,P) − I( f ,P) < ε

�

159 Teorema. (Funcao crescente e limitada e integravel) Se f : [a, b] → R e uma funcaocrescente e limitada, entao f e integravel.

Dica: A demonstracao esta na pag.126 de [13].

160 Teorema. (Funcao contınua sobre [a,b] e integravel). Se f : [a, b] → R e uma funcaocontınua, entao f e integravel.



Demonstracao. Neguemos a tese. Se f nao e uma funcao integravel e e contınua sobre[a, b], entao ∫ b

af −

∫ b

a

f = d > 0

Seja um conjunto de particoes (Pn)n∈N do intervalo [a, b], construıda da forma:

P1 = {a,a + b

2, b}

ePn+1 = Pn ∪Mn

onde Mn e o conjunto dos pontos medios dos subintervalos obtidos em Pn.

Como f : [a, b] → R e contınua e definida sobre um conjunto compacto, segue quef e uniformemente contınua sobre [a, b], logo, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que se|x1 − x2| < δ entao

| f (x1) − f (x2)| < ε

Em particular, escolhendo ε = d/(b − a), teremos que

| f (x1) − f (x2)| <d

b − a

para quaisquer x1 ∈ [a, b] e x2 ∈ [a, b] tal que |x1 − x2| < δ.

Como construımos as particoes Pn, segue que as suas normas ‖Pn‖ → 0 quandon→∞, existira um ındice natural n0 ∈ N tal que

‖Pn0‖ < δ

sendo que Pn0 = {a = x0 < x1 < ... < xi < xi+1 < ... < xk = b}, Mi − mi < ε em cadasubintervalo Ii = [xi−1, xi], uma vez que Mi = max

x∈Iif (x) e mi = min

x∈Iif (x). Dessa forma:

S( f ,Pn0) − I( f ,Pn0) =k∑

i=1

(Mi −mi)(xi − xi−1) < εk∑

i=1

(xi − xi−1) = ε(b − a) = d

e desse modo, pelas definicoes de ınfimo e supremo, segue que∫ b

af −

∫ b

a

f < d

o que e um absurdo, pois a diferenca entre estas duas integrais foi suposta inicial-mente igual a d. Assim, garantimos que se f e uma funcao contınua e definida sobreum conjunto compacto [a, b], entao f e integravel sobre este conjunto [a, b]. �


XI.2. PROPRIEDADES DAS FUNCOES INTEGRAVEIS 147

XI.2. P

161 Teorema. Sejam f : [a, b] → R e g : [a, b] → R funcoes integraveis e k ∈ R. Entao,valem as seguintes propriedades:

1. Para c ∈ [a, b], tem-se∫ c

cf = 0.

2. Para cada c ∈ [a, b], tem-se∫ b

af =

∫ c

af +

∫ b

cf .

3. Troca dos limitantes:∫ a

bf = −

∫ b

af .

4. Aditividade:∫ b

a( f + g) =

∫ b

af +

∫ b

ag.

5. Homogeneidade:∫ b

a(k. f ) = k

∫ b

af .

6. Se f ≤ g sobre [a, b], entao∫ b

af ≤

∫ b

ag.

7. Desigualdade: |∫ b

af | ≤

∫ b

a| f |.

8. Se m ≤ f ≤M sobre [a, b], m,M ∈ R, entao m(b − a) ≤∫ b

af ≤M(b − a).

Exercıcio: Mostre que para cada y ∈ R fixo, as funcoes f : [0, y] → R definida porf (x) = x e g : [0, y] → R definida por g(x) = x2 sao integraveis. Dica: Calcular asintegrais de Riemann, usando as somas de Darboux.

Exercıcio com Integral como um limite: Definir a integral de Riemann de umafuncao atraves de limites. Dica: Ver a pag.130 de [13].

XI.3. O T F C

Este teorema e fundamental, exatamente porque faz a conexao entre as integrais deRiemann (definidas) e as primitivas (indefinidas) para uma funcao real.

162 Teorema. (da Primitiva) Seja f : [a, b]→ R uma funcao integravel e para cada x ∈ [a, b]definamos:

F(x) =∫ x

af (t) dt

Entao:

1. F : [a, b]→ R e contınua sobre [a, b]. F e uma primitiva (integral indefinida) para f .2. Para cada p ∈ [a, b] onde f e contınua, a funcao F e diferenciavel e F′(p) = f (p).


XI.3. O TEOREMA FUNDAMENTAL DO CALCULO 148

163 Teorema. (Fundamental do Calculo) Seja f : [a, b] → R uma funcao contınua eG : [a, b]→ R tal que G′(x) = f (x) para cada x ∈ [a, b]. Entao∫ b

af (t) dt = G(b) − G(a)

12 Corolario. (do Teorema Fundamental do Calculo) Se e f : [a, b] → R uma funcaodiferenciavel tal que f ′ e uma funcao integravel sobre [a, b], entao∫ b

af ′(t) dt = f (b) − f (a)

164 Teorema. (Integracao por partes) Se e f : [a, b] → R e g : [a, b] → R sao funcoesdiferenciaveis e f ′ e g′ sao integraveis sobre [a, b], entao∫ b

af (x).g′(x) dx = [ f (x).g(x)]b

a −

∫ b

af ′(x).g(x) dx

165 Teorema. (Integral por substituicao) Se e f : [a, b]→ R e contınua e u : [a, b]→ [c, d]e uma funcao com a primeira derivada contınua, tal que u(a) = c, u(c) = d e para cadax ∈ [a, b], entao ∫ b

af (t) dt =

∫ d

cf (u(x)).u′(x) dx

166 Teorema. (Valor medio para integrais) Se f : [a, b]→ R e uma funcao contınua, entaoexiste p ∈ (a, b) tal que ∫ b

af (x) dx = f (p) · (b − a)


Cı XII

“Ao Senhor, nosso Deus, pertencem a misericordia e o perdao;pois nos rebelamos contra ele, e nao temos obedecido a voz doSenhor, nosso Deus, para andarmos nas suas leis, que nos deu porintermedio de seus servos, os profetas.” A Bıblia Sagrada, Daniel9:9-10

XII.1. S

183 Definicao. (sequencia de funcoes reais) Uma sequencia de funcoes reais e uma funcaoϕ : N → R, que associa a cada n ∈ N uma funcao fn : I → R, onde I e um conjunto da retareal. Podemos escrever o conjunto imagem de uma tal sequencia de funcoes como:

ϕ(N) = { f1, f2, f3, ..., fn, ...}

75 Observacao. Algumas vezes usaremos o proprio conjunto imagem ϕ(N) como sendo asequencia e neste caso denotamos a sequencia de funcoes por uma das formas:

ϕ(N) = { fn}n∈N = ( fn)n∈N = ( fn)

118 Exemplo. Sequencias de funcoes reais.

1. fn(x) = xn 2. fn(x) =xn

3. fn(x) = 10 4. fn(x) =sin(nx)

n

76 Observacao. (Sobre uma sequencia em um ponto) Seja ( fn) uma sequencia de funcoesreais definidas sobre um intervalo I da reta real. Para cada a ∈ I fixado, a sequencia de funcoes( fn) se transformara em uma sequencia numerica ( fn(a))n∈N.

119 Exemplo. Para fn : [−1, 1] → R, definida por fn(x) = xn, se tomarmos a = 1/2,obteremos a sequencia real fn(1/2) = (1/2)n = 2−n.

184 Definicao. (Convergencia simples) Uma sequencia ( fn) de funcoes reais definidas sobreum intervalo I ⊂ R converge (pontualmente) em x = a para o valor `a ∈ R se, para cada ε > 0e arbitrario, existe um ındice n0 = n0(ε, a) ∈ N tal que para todo n > n0, vale:

| fn(a) − La| < ε


XII.1. SEQUENCIAS DE FUNCOES 150

Indicamos este fato por:La = lim

n→∞fn(a)

185 Definicao. (Convergencia simples em um intervalo) Diz-se que uma sequencia ( fn) econvergente (ou converge) para uma funcao f : I → R sobre um intervalo I da reta se ela econvergente para todo x ∈ I. Neste caso:

f (x) = limn→∞

fn(x)

186 Definicao. (Convergencia uniforme) Seja ( fn) uma sequencia de funcoes reais definidassobre um intervalo I da reta. Diz-se que esta sequencia e uniformemente convergente em Ipara a funcao f : I → R (limite uniforme) se, para todo x ∈ I e para cada ε > 0 arbitrario,existe N0 = N0(ε) ∈ N (nao depende de x) tal que para todo n > N0 tem-se que:

| fn(x) − f (x)| < ε

Tambem indicamos este fato por:f (x) = lim

n→∞fn(x)

Exercıcio: Se uma sequencia ( fn) converge uniformemente, entao ( fn) converge.

77 Observacao. Se uma sequencia ( fn) converge para uma funcao f , todas as ( fn) definidassobre um intervalo I da reta, escrevemos:

f (x) = limn→∞

fn(x)

78 Observacao. (Problema principal com a convergencia) Se a sequencia ( fn) e formada,respectivamente, por funcoes contınuas, diferenciaveis e integraveis, e verdade que a funcaolimite f tambem tem a mesma propriedade?

79 Observacao. (Troca dos limites, continuidade e sequencias) Afirmar que a funcaocontınua f e o limite de uma sequencia de funcoes reais contınuas ( fn) num ponto x = a e omesmo que garantir a troca dos limites na relacao abaixo:

f (a) = limx→a

f (x) = limx→a

limn→∞

fn(x) = limn→∞

limx→a

fn(x)

120 Exemplo. (Uma sequencia dupla) Seja a sequencia real dupla, definida por

f (m,n) =m

m + n

Para cada n ∈ N fixado, tem-se que limm→∞ f (m,n) = 1, logo limn→∞

limm→∞

f (m,n) = 1 e paracada m ∈ N fixado limn→∞ f (m,n) = 0, logo lim

m→∞limn→∞

f (m,n) = 0. Desse modo:

1 = limn→∞

limm→∞

f (m,n) , limm→∞

limn→∞

f (m,n) = 0

80 Observacao. O exemplo apresentado mostra que, nem sempre podemos trocar a ordem noslimites duplos de sequencias de numeros reais, quanto mais quando estivermos trabalhandocom sequencias de funcoes, que sao objetos matematicos mais complexos.


XII.1. SEQUENCIAS DE FUNCOES 151

121 Exemplo. Situacoes interessantes.

À A funcao limite e contınua: Seja a sequencia de funcoes ( fn) definida por fn(x) = xn

onde n = 1, 2, 3, ..., x ∈ (0, 1). Esta e uma sequencia de funcoes contınuas cujo limite fe a funcao contınua definida por f (x) = 0.

Á A funcao limite nao e contınua: Seja a sequencia de funcoes ( fn) definida porfn(x) = xn onde n = 1, 2, 3, ..., x ∈ (0, 1]. Esta e uma sequencia de funcoes contınuascujo limite f nao e uma funcao contınua. f e definida por:

f (x) ={

0 se 0 < x < 11 se x = 1

Â Convergencia simples mas nao uniforme: Consideremos a sequencia de funcoesdefinida por:

fn(x) ={

n−|x|n se |x| < n

0 se |x| ≥ nEsta e uma sequencia de funcoes contınuas que, para cada x fixado, converge para afuncao f (x) = 1, mas a convergencia nao e uniforme em toda a reta real.

Ã Soma de funcoes contınuas nao e uma funcao contınua: Seja a sequencia ( fn)definida por:

fn(x) =x2

(1 + x2)n

onde n = 1, 2, 3, ..., x ∈ R e a serie que define a funcao

f (x) =∞∑

n=0

x2

(1 + x2)n

Esta e uma serie geometrica. E facil observar que fn(0) = 0 logo

f (x) ={

0 se x = 01 + x2 se x , 0

167 Teorema. Uma sequencia de funcoes ( fn) definida sobre o conjunto I ⊂ R e uniforme-mente convergente para uma funcao f definida sobre I se, e somente se, a sequencia de numerosreais (Mn) definida abaixo convergir para 0, isto e, quando n→∞:

Mn = supx∈I| fn(x) − f (x)| → 0

Esta ultima expressao nos garante que a maior distancia entre as funcoes fn e f deve convergirpara 0, quando n→∞.

122 Exemplo. A sequencia de funcoes definida sobre [0, 1] por fn(x) = xn converge simples-mente para a funcao (descontınua)

f (x) ={

0 se 0 ≤ x < 11 se x = 1

Aqui, a convergencia nao e uniforme pois, se tomarmos x proximo de 1, teremos que

Mn = supn→∞| fn(x) − f (x)| → 1


XII.2. CONVERGENCIA UNIFORME E CONTINUIDADE 152

123 Exemplo. Interpretacao geometrica da convergencia uniforme. A convergencia uniformede fn → f , admite uma interpretacao geometrica interessante. Para cada ε > 0, existe umafaixa de altura 2ε construıda em torno da funcao f de modo que a partir de um certo N0, todasas funcoes da sequencia ( fn) com ındice n > N0 estao contidas entre os graficos das funcoesf + ε e f − ε.

124 Exemplo. Seja a sequencia de funcoes definida para x ∈ R, por:

fn(x) =sin(nx)

n

Esta sequencia converge uniformemente para f ≡ 0, definida sobre a reta real. Dado ε = 1/10,existe o ındice natural N0 = 10 tal que para todo n > 10, tem-se que os graficos das funcoesfn estao entre os graficos de y = −1/10 e y = 1/10.

168 Teorema. (Criterio de Cauchy para sequencias de funcoes) Uma sequencia de funcoes( fn) converge uniformemente para uma funcao f sobre um conjunto I ⊂ R, se para todo ε > 0,existe No = No(ε) tal que para n > No e para todo m > No tem-se que:

| fm(x) − fn(x)| < ε

para todo x ∈ I.

XII.2. C

169 Teorema. (Troca dos limites) Se ( fn) e uma sequencia de funcoes uniformementeconvergente para f sobre um conjunto I ⊂ R, a e um ponto de acumulacao de I e An =limx→a fn(x). Entao:

1. (An) e convergente.2. limx→a f (x) = limn→∞An.3. limx→a limn→∞ fn(x) = limn→∞ limx→a fn(x).

170 Teorema. (Continuidade do limite) Se ( fn) e uma sequencia de funcoes contınuasdefinidas sobre I ⊂ R que converge uniformemente para f , entao f e contınua.

XII.3. S

187 Definicao. (Serie de funcoes) Seja ϕ : N → R uma sequencia de funcoes reais cujaimagem e dada por

ϕ(N) = { f1, f2, f3, ..., fn, ...}

Uma serie de funcoes e uma soma infinita dos termos ϕ, indicada por uma das formas:

∞∑k=1

fk = f1 + f2 + f3 + ... + fn + ...


XII.4. CONVERGENCIA DE SERIES DE FUNCOES 153

onde essas funcoes sao definidas sobre um intervalo I da reta. Por abuso de notacao escrever-emos a variavel x na serie de funcoes, assim para cada x ∈ I, escrevemos:

f1(x) + f2(x) + f3(x) + ... + fn(x) + ...

188 Definicao. (n-esima reduzida de uma serie) Seja ϕ : N → R uma sequencia de funcoesreais cuja imagem seja dada por ϕ(N) = { f1, f2, f3, ..., fn, ...}. A partir daı e possıvel definiroutra sequencia de funcoes, indicada por

(Sk)k∈N = (Sn) = {S1,S2,S3, ...,Sn, ...}

que e a sequencia das reduzidas (n-esima soma parcial) da serie∞∑

k=1

fk(x) definida por:

S1(x) = f1(x)S2(x) = f1(x) + f2(x)S3(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x)S4(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) + f4(x)... = ...

Sn(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) + ... + fn(x)

Em geral, a n-esima reduzida e dada por:

Sn(x) =n∑

k=1

fk(x)

XII.4. C

189 Definicao. (Convergencia simples de serie de funcoes) Uma serie de funcoes∞∑

k=1

fk(x)

definida sobre um conjunto I ⊂ R converge para a funcao S : I → R se, a sequencia dasreduzidas e convergente para S, isto e:

Sn(x)→ S(x)

para cada x ∈ I. Quando isto acontece, escrevemos:

S(x) =∞∑

k=1

fk(x)

e a funcao S e a soma desta serie de funcoes.

190 Definicao. (Convergencia uniforme de serie de funcoes) Uma serie de funcoes∞∑

k=0

fk(x)

definida sobre um conjunto I ⊂ R e uniformemente convergente para a funcao S : I → Rse, a sequencia das reduzidas e uniformemente convergente para S sobre o conjunto I.


XII.5. CRITERIOS PARA CONVERGENCIA UNIFORME 154

191 Definicao. (Resto de uma serie de funcoes) Define-se o resto de uma serie de funcoes∞∑

k=1

fk(x) todas elas definidas sobre um conjunto I ⊂ R, como

Rn(x) =∞∑

k=n+1

fk(x)

e este resto pode ser entendido da seguinte forma: Se a serie acima converge uniformementepara a funcao S, entao:

S(x) =∞∑

k=1

fk(x)

logoS(x) = Sn(x) + Rn(x)

e a sequencia dos restos convergira uniformemente para 0, pois:

Rn(x) = S(x) − Sn(x)→ 0

81 Observacao. (Convergencia uniforme versus absoluta) Nem sempre a convergencia uni-forme de uma serie de funcoes garante a convergencia da serie com os valores absolutos dasfuncoes, como e o caso da serie definida para x ∈ R, por:

S(x) =∞∑

k=1

(−1)k−1

x2 + k

XII.5. C

Tendo em vista a importancia das series uniformemente convergentes, apresentare-mos dois criterios faceis para analisar a convergencia uniforme: 1. Criterio dosmajorantes de Weierstrass, 2. Criterio de Cauchy.

192 Definicao. (Series majorantes) Uma serie numerica de termos nao negativos∞∑

k=1

Mk e

majorante para uma serie de funcoes∞∑

k=1

fk(x) se para todo x ∈ I e para todo k ∈ N, vale

| fk(x)| ≤Mk

171 Teorema. (Majorantes de Weierstrass) Se existe uma serie majorante convergentepara uma serie de funcoes, definida sobre um conjunto I ⊂ R, entao a serie de funcoes serauniformemente convergente sobre I. A demonstracao segue da desigualdade triangular.

125 Exemplo. A serie de funcoes∞∑

k=1

sin(kx)k2


XII.5. CRITERIOS PARA CONVERGENCIA UNIFORME 155

e uniformemente convergente em todo R, pois ela e majorada pela serie numerica convergente:∞∑

k=1

1k2 =

π2

6

172 Teorema. (Criterio de Cauchy para convergencia uniforme de series) Uma serie de

funcoes∞∑

k=1

fk(x) converge uniformemente sobre um conjunto I se, para todo x ∈ I e para todo

ε > 0, existe N0 = N0(ε) tal que para todo n > N0 e para todo m > N0, tem-se que:

|Sm(x) − Sn(x)| < ε

82 Observacao. (Sobre a continuidade do limite) Na topologia dos espacos usuais de funcoes,a soma de um numero finito de funcoes contınuas e uma funcao contınua, mas a soma de umnumero infinito de funcoes contınuas podera nao ser uma funcao contınua. Isto se estendepara a diferenciabilidade e integrabilidade de funcoes.

173 Teorema. (Propriedades das series uniformemente convergentes) Seja uma serie dasfuncoes ( fn) que converge uniformemente para a funcao S sobre o conjunto I ⊂ R, isto e:

S(x) =∞∑

k=1

fk(x)

1. Se cada fn = fn(x) e contınua em x = a ∈ I, entao a soma S = S(x) tambem e contınua emx = a.

2. Se cada fn = fn(x) e integravel em um intervalo J ⊂ I, entao a soma S = S(x) tambem eintegravel em J ⊂ I.

3. Se cada fn = fn(x) e continuamente diferenciavel sobre um intervalo J ⊂ I, a serie dasderivadas

∞∑k=1

fk′(x)

e uniformemente convergente no intervalo J, entao a soma S = S(x) tambem e diferenciavelem J ⊂ I e

S′(x) =∞∑

k=1

fk′(x)

126 Exemplo. Integracao termo a termo Seja a sequencia de funcoes uk(x) = kx.e−kx2

definida sobre x ∈ [0, 1]. Construindo a serie

S(x) =∞∑

k=1

[uk(x) − uk−1(x)]

observamos que∫ 1

0S(x)dx = 0 mas temos que a sequencia de reduzidas (Sn) desta serie e

dada por Sn(x) = nx.e−nx2 assim∫ 1

0

n∑k=1

[uk(x) − uk−1(x)]dx =∫ 1

0nx e−nx2

dx =1 − en

2→

12


XII.6. SERIES DE POTENCIAS 156

A serie apresentada nao e uniformemente convergente no intervalo [0, 1] mas se cada funcaofn fosse contınua entao terıamos garantido a integrabilidade da soma S desta serie.

XII.6. S P

193 Definicao. (Serie de potencias reais) Uma serie de potencias reais e uma serie de funcoesda forma

∞∑k=0

ck(x − a)k = c0 + c1(x − a) + c2(x − a)2 + ... + cn(x − a)n + ...

sendo que x = a e o ponto em torno do qual a serie esta desenvolvida e os expoentes saonumeros inteiros nao negativos.

83 Observacao. Uma serie de potencias generaliza o conceito de polinomio real e dependendoda regiao onde os valores de x estao definidos, a serie podera convergir ou nao. Estasinformacoes valem para series de numeros reais ou complexos.

127 Exemplo. A serie de potencias∞∑

k=0

xk

k!converge em toda a reta real, a serie

∞∑k=0

xk

5k

converge no intervalo (−5, 5) e a serie∞∑

k=0

k!xk e converge somente no ponto x = 0.

194 Definicao. (Regiao e raio de convergencia) O conjunto de todos os valores x onde umaserie de potencias converge e denominado regiao (ou intervalo) de convergencia e o maior raiodo intervalo contido nesta regiao e o raio de convergencia desta serie.

84 Observacao. Nos exemplos acima, os raios de convergencia das series, sao respectiva-mente: +∞, 5 e 0.

128 Exemplo. A serie∑∞

k=0(x − 3)k

5kconverge absolutamente no intervalo I = {x ∈ R :

|x − 3| < 5}, converge em x = −2 e nao converge em x = 8.

85 Observacao. Toda serie de potencias construıda em torno do ponto x = a, converge nesteponto que e denominado o centro do intervalo de convergencia.

174 Teorema. (Criterio de convergencia para series de potencias) Se uma serie de potenciasconstruıda em torno do ponto x = a:

∞∑k=0

ck(x − a)k

converge em um ponto x = x0, entao esta serie converge para todo ponto x que satisfaz adesigualdade:

|x − a| < |x0 − a|

A demonstracao deste criterio segue da comparacao de duas series numericas.



175 Teorema. (Raio de convergencia) Seja uma serie de potencias construıda em torno doponto x = a:

∞∑k=0

ck(x − a)k

eL = lim

n→∞‖

cn+1

cn‖

Entao, o raio de convergencia desta serie e dado por

r =1L= lim

n→∞‖

cn

cn+1‖

A demonstracao deste fato segue do criterio da razao para series numericas.

176 Teorema. (Produto de Cauchy para series de potencias) O produto de Cauchy de duasseries de potencias

∞∑k=0

Ak(x − a)k e∞∑

k=0

Bk(x − a)k

e uma outra serie de potencias∞∑

k=0

Ck(x − a)k

tal que para cada k = 0, 1, 2, 3, ..., se tem que:

Ck =

k∑j=0

A jBk− j = A0Bk + A1Bk−1 + ... + AkB0

Exercıcio sobre produto de series: Sabendo que para todo |x| < 1 vale:

11 − x

=

∞∑k=0

xk

realizar o produto de Cauchy desta serie por ela mesma.

86 Observacao. Se definirmos

f (x) =∞∑

k=0

ck (x − a)k

ficara claro que o domınio de f devera ser a regiao de convergencia da serie de potencias,mostrando assim que f esta bem definida.

195 Definicao. (Igualdade de series de potencias) Sejam duas series de potencias∞∑

k=0

Ak (x − a)k e∞∑

k=0

Bk (x − a)k

Dizemos que estas series sao iguais se, para todo k = 0, 1, 2, 3, ... temos que

Ak = Bk



177 Teorema. (Propriedades das series de potencias) Seja a serie de potencias e definida por

f (x) =∞∑

k=0

ck (x − a)k

em sua regiao de convergencia.

1. A funcao f e contınua em x = a, limx→a

f (x) = f (a) = c0 e f e uniformemente contınua naregiao de convergencia.

Demonstracao. Como

f (x) − f (a) =∞∑

k=1

ck (x − a)k = (x − a)∞∑

k=1

ck (x − a)k−1

e como esta ultima serie converge absolutamente na regiao de convergencia daserie original, entao existe um numero real finito M > 0 tal que

∞∑k=1

ck (x − a)k−1 <M

logo| f (x) − f (a)| ≤M|x − a|

donde segue a continuidade em x = a e tambem a continuidade uniforme emtoda a regiao de convergencia da serie. �

2. A derivada da funcao f e igual a derivada termo a termo da serie, i.e.

f ′(x) =∞∑

k=1

k ck (x − a)k−1

e a nova serie converge uniformemente na mesma regiao de convergencia que a serie dada.3. A integral da funcao f coincide com a integral termo a termo da serie, isto e:∫ y=x

y=af (y)dy =

∞∑k=0

ck

k(x − a)k+1

e a nova serie converge uniformemente na mesma regiao de convergencia que a serie dada.

87 Observacao. Muitas vezes o centro x = a do intervalo de convergencia pode ser tomadocomo x = 0, uma vez que ocorrera apenas uma translacao do intervalo de convergencia, masas propriedades das series transladadas serao as mesmas.

129 Exemplo. A importante serie geometrica.

À Uma das mais importantes series de potencias e a serie definida para todo |t| < 1 como:

11 − t

=

∞∑k=0

tk


XII.7. SERIES DE TAYLOR E DE MACLAURIN 159

Á Com a troca t = −x, obtemos:

11 + x

=

∞∑k=0

(−1)k xk

Â Com a troca t = x2, obtemos:1

1 − x2 =

∞∑k=0

x2k

Ã Integrando termo a termo a serie

11 + t

=

∞∑k=0

(−1)ktk

entre t = 0 e t = x, obtemos:

ln(1 + x) =∞∑

k=0

(−1)k

k + 1xk+1

Ä Derivando termo a termo a serie

11 − x

=

∞∑k=0

xk

obtemos:1

(1 − x)2 =

∞∑k=1

k xk−1

88 Observacao. (Analiticidade versus Serie de potencias) Se uma serie de potencias estabem definida sobre um intervalo e R > 0 e o raio de convergencia da serie, entao esta serierepresenta uma funcao analıtica em todos os pontos do interior deste intervalo e convergencia.Alem disso, a derivada da funcao soma pode ser obtida pelo somatorio das derivadas dostermos da serie.

XII.7. S T ML

As series de Taylor e de MacLaurin sao ferramentas fundamentais no Calculo Difer-encial e Integral, bem como nas suas aplicacoes.

196 Definicao. (Series de Taylor e de MacLaurin) Seja f uma funcao infinitamente difer-enciavel de forma que

f (x) =∞∑

k=0

ck(x − a)k

sendo a serie desenvolvida em torno de x = a. Esta e a serie de Taylor da funcao f se paratodo k = 0, 1, 2, 3, ...:

ck =f (k)(a)

k!


XII.7. SERIES DE TAYLOR E DE MACLAURIN 160

Se a = 0 na serie de Taylor, temos a serie de MacLaurin de f :

f (x) =∞∑

k=0

ck xk

onde para todo k = 0, 1, 2, 3, ...:

ck =f (k)(0)

k!

178 Teorema. (Existencia da Serie de MacLaurin) Uma condicao para que exista a serie deMacLaurin de uma funcao f infinitamente diferenciavel nos pontos da regiao de convergenciada serie, e que todas as derivadas sejam limitadas na regiao, isto e, deve existir um numeroreal finito M > 0 tal que para todo k = 0, 1, 2, 3, ..., tem-se:

‖ f (k)(x)‖ ≤M

para todo x na regiao de convergencia da serie.

197 Definicao. (Desenvolvimento binomial) Seja α ∈ R e a funcao real f , definida porf (x) = (1 + x)α com a condicao que (1 + x) > 0. Se calcularmos os coeficientes da serie deMacLaurin desta funcao, obteremos:

ck =

(αk

)=

α!k!(α − k)!

=(α)(α − 1)(α − 2)...(α − k + 1)

1 2 3 ... k

para k = 0, 1, 2, 3, ....

A partir desses calculos, poderemos escrever:

(1 + x)α =∞∑

k=0

(αk

)xk

que representa uma serie se |x| < 1 extremamente util no contexto cientıfico e principalmentenas aplicacoes.

89 Observacao. (Metodo pratico para obter a serie de MacLaurin) Existe um metodo bastantesimples para obter a serie de MacLaurin de uma funcao racional atraves da divisao longa.Voce pode obter mais informacoes sobre o assunto no link “Sequencias de Fibonacci” emhttp://mat.uel.br/matessencial


http://mat.uel.br/matessencial

Cı XIII

“Ora, a fe e o firme fundamento das coisas que se esperam, ea prova das coisas que nao se veem. Porque por ela os antigosalcancaram bom testemunho. Pela fe entendemos que os mundosforam criados pela palavra de Deus; de modo que o visıvel naofoi feito daquilo que se ve.” A Bıblia Sagrada, Hebreus 11:1-3

O sımbolo∫ b

af e usado para a integral de uma funcao sobre um intervalo com

extremidades a e b, mas nem sempre a funcao e limitada e nem mesmo o intervalotem extremidades finitas. Construımos as integrais improprias para resolver estesproblemas. Tais integrais sao importantes aplicacoes da Matematica as ciencias ealguns exemplos sao as transformadas de Laplace e as funcoes Gama e Beta.

XIII.1. I

198 Definicao. (Integrais improprias) Integrais improprias sao integrais da forma∫ b

af , onde

ou f nao e limitada ou as extremidades a e b do intervalo sobre a qual se calcula a integralnao sao finitos. Tais integrais sao calculadas atraves de limites e existem dois tipos.

• 1a. ordem: Funcoes nao sao limitadas sobre intervalos limitados.

• 2a. ordem: Funcoes limitadas sobre intervalos nao limitados.

130 Exemplo. Algumas integrais improprias.

1.∫ 1

0

dxx

2.∫∞

1

dxx

3.∫∞

0e−xdx 4.

∫∞

0e−x2

dx 5.∫∞

−∞

e−x2dx

199 Definicao. (Integrais improprias de 1a. ordem) Se f nao e limitada sobre um intervalo|a, b|, sao possıveis duas situacoes:

1.∫ b

a+f realizada a direita de a no intervalo |a, b|.

Consideramos f limitada sobre cada intervalo [r, b] para cada r > ae definimos a integral


XIII.1. INTEGRAIS IMPROPRIAS 162

impropria a direita de a, por ∫ b

a+f = lim

r→a

∫ b

rf

2.∫ b−

af realizada a esquerda de b no intervalo |a, b|.

Consideramos f limitada sobre cada intervalo [a,R] para cada R < b e definimos a integralimpropria a esquerda de b, por ∫ b−

af = lim

R→b

∫ R

af

131 Exemplo. Integrais improprias de primeira ordem.

À Funcao nao limitada, intervalo com extremidades finitas.∫ 1

0

1x

dx = limr→0

∫ 1

r

1x

dx = limr→0

[ln(x)]1r = +∞

Á Funcao nao limitada, intervalo com extremidades finitas.∫ 1

0

1x2 dx = lim

r→0

∫ 1

r

1x2 dx = lim

r→0[−1x

]1r = +∞

200 Definicao. (Integrais improprias de 2a. ordem) Se f e limitada sobre um intervalo cujasextremidades nao sao limitadas, ha duas possibilidades para as integrais improprias atravesde limites: ∫

∞

af = lim

R→∞

∫ R

af

e ∫ b

−∞

f = limr→−∞

∫ b

rf

132 Exemplo. Integrais improprias de segunda ordem.

À Funcao limitada, intervalo com uma extremidade infinita.∫∞

1

1x

dx = limR→∞

∫ R

1

1x

dx = limr→∞

[ln(x)]R1 = +∞

Á Funcao limitada, intervalo com uma extremidade infinita.∫∞

1

1x2 dx = lim

R→∞

∫ R

1

1x2 dx = lim

R→∞

[−1x

]R

1= 1

Â Funcao limitada, intervalo com extremidades infinitas.∫∞

−∞

11 + x2 dx = 2

∫∞

0

11 + x2 dx = π

pois a funcao f (x) = 1/(1 + x2) e par e alem disso∫∞

0

11 + x2 dx = lim

R→∞[arctan(x)]R

0 = π/2


XIII.2. INTEGRAIS IMPROPRIAS E SERIES REAIS 163

201 Definicao. (Convergencia de integrais improprias) Diz-se que uma integral impropriaconverge se, o valor numerico do calculo do limite apos realizar a integral interna resultar emum numero finito. Se a integral nao converge, diz-se que ela diverge.

Exercıcio: Para cada n ∈ N, obtenha uma relacao recursiva para as funcoes reaisdefinidas por

fn(x) =∫∞

0xne−x dx

XIII.2. I

Seja f : [a,∞) → R uma funcao contınua tal que f ≥ 0 sobre o intervalo [a,∞) econsideremos para cada n ∈ N:

an =

∫ a+n

a+n−1f (x) dx

A integral impropria ∫∞

af (x) dx

sera convergente se, e somente se, a serie∞∑

n=1

an for convergente.

133 Exemplo. Integrais improprias versus series.

À A serie∞∑

n=1

1n

e divergente porque∫∞

11x dx = ∞.

Á Seja p < 1. A serie∞∑

n=1

1np e divergente.

Â Seja p > 1. A serie∞∑

n=1

1np e convergente porque

∫∞

11xp dx < ∞.

XIII.3. A

202 Definicao. (Transformada de Laplace) Se a funcao f satisfaz a algumas condicoes delimitacao de tipo exponencial sobre o intervalo (0,∞), e possıvel obter a transformada deLaplace de f , que e uma outra funcao que depende de um parametro s ∈ (0,∞), sendo estatransformada definida por:

F(s) = L( f )(s) =∫∞

0f (x)e−s.x dx


XIII.3. APLICACOES DAS INTEGRAIS IMPROPRIAS 164

90 Observacao. A transformada de Laplace e muito usada no contexto de Equacoes Dife-renciais Ordinarias e nas aplicacoes para resolver um Problema com valor inicial (PVI).

134 Exemplo. Para a funcao f (x) = xk, onde x ∈ R e k = 0, 1, 2, 3, ..., obtemos

L(xk)(s) =∫∞

0xke−s.xdx =

k!sk+1

e como esta integral impropria e convergente para s > 0, entao em particular, para s = 1,temos que: ∫

∞

0xke−x dx = k!

e aqui temos a definicao do fatorial de um numero inteiro nao negativo e a justificativa parao fato (nao justificado antes), que

0! = 1

Com a transformada de Laplace de f (x) = xk+1 podemos mostrar que, para s = 1, vale arelacao recursiva

k! = k · (k − 1)!

que e a definicao recursiva de fatorial de um numero inteiro nao negativo.

203 Definicao. (Funcao Gama) A funcao Gama e uma funcao util em diversos ramoscientıficos e estende a definicao de fatorial a numero real x exceto para os numeros inteirosnegativos, para os quais a integral impropria e divergente. Esta funcao e definida por:

Γ(x) =∫∞

0ux−1e−u du

Da forma como foi definida, e possıvel mostrar que para k = 0, 1, 2, 3, ..., vale:

Γ(k + 1) = k.Γ(k)

o que justifica a afirmacao anterior.

Nas aplicacoes, e de grande interesse o calculo da funcao Gama quando o parametrox e muito grande e uma aproximacao nesse caso e dada pela formula de Stirling

x! = Γ(x + 1) ≈ xx e−x√

2πx

204 Definicao. (Funcao Beta) A funcao Beta e muito util em Estatıstica e e definida paradois parametros p > 0 e q > 0 atraves de:

B(p, q) =∫ 1

0xp−1(1 − x)q−1 dx

Esta funcao pode ser expressa atraves da funcao Gama, como:

B(p, q) =Γ(p) Γ(q)Γ(p + q)


B

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I

Area de uma regiao, 144Infimo de um conjunto, 69

Aderencia de um conjunto, 105Aplicacao, 32

bijetiva, 34binaria, 44composta, 34identidade, 34injetiva, 34inversa, 35inversa a direita, 35inversa a esquerda, 35sobrejetiva, 34

Classe de equivalencia, 39Classes de diferenciabilidade, 139Cobertura, 110Compacto, 110Conectivos, 13Conjunto

aberto, 104bem ordenado, 56complementar, 29completo, 100conexo, 131contavel, 40de numeros positivos, 48denso, 68dos numeros pares, 32enumeravel, 40fechado, 104finito, 40imagem de uma sequencia, 74indutivo, 50limitado, 59N dos dos numeros naturais, 50Q dos numeros naturais, 65R dos numeros reais, 44, 68

Z dos numeros inteiros, 59Conjuntos

diferentes, 28disjuntos, 20, 29equivalentes, 38iguais, 20, 28

Contradicao, 16Contradomınio, 32Convergencia, 74

absoluta, 116condicional, 116integral impropria, 163simples, 149, 150, 153uniforme, 150, 153

Corpo, 47arquimediano, 66ordenado, 49ordenado completo, 70

CriterioCauchy, 116Comparacao de series, 117Raiz, 119Razao, 117Series alternadas, 118Termo geral, 116

Derivadaem um conjunto, 134em um ponto, 134lateral, 135lateral a direita, 135lateral a esquerda, 135

Derivado de um conjunto, 108Desenvolvimento binomial, 160Desigualdade de Bernoulli, 76Distancia entre pontos na reta, 49Distributividade, 46Divergencia para +∞, 80Divergencia para −∞, 80


INDICE 168

Domınio, 32

Extensao de uma aplicacao, 33Extremos e Meios em uma PA, 90

Formula do termo geral da PG, 93Funcao

Beta, 164crescente, 84diferenciavel em um ponto, 135Gama, 164limitada, 125limitada inferiormente, 125limitada superiormente, 125Lipschitziana, 133Raiz quadrada, 84Uniformemente contınua, 133

Funcao contınuaem um conjunto, 126em um ponto, 126por intervalos, 130

Funcoes monotonas reais, 126

Grafico de uma sequencia, 73Grupo, 45

Harmonico global, 83

Igualdadeseries de potencias, 157series reais, 120

Imagemde uma aplicacao, 32direta de conjunto, 36inversa de conjunto, 36

Integrais improprias, 161Integral de uma funcao real, 143Interior de um conjunto, 103Interpolacao

aritmetica, 91geometrica, 94

Intersecao de conjuntos, 29Intervalo

aberto, 101fechado, 101na reta, 131

Intervalos encaixantes decrescentes, 102Isomorfismo, 46

entre corpos, 47entre grupos, 46

Limitante, 59inferior em R, 68inferior em Z, 59superior em R, 68superior em Z, 59

Limiteda potencia n-esima C, 77da potencia n-esima de n, 78da raiz n-esima de C, 77de uma funcao em um ponto, 121lateral a direita, 123lateral a esquerda, 123

Limites infinitos, 124

Maximo, 50de um conjunto, 56em um conjunto de inteiros, 60entre numeros inteiros, 26local, 137

Mediaaritmetica, 82geometrica, 82harmonica, 82

Modulo, 49Modulo de uma funcao, 128Mınimo, 50

de um conjunto, 56em um conjunto de inteiros, 60entre numeros inteiros, 26local, 137

Maior inteiro menor ou igual a x, 62Medida de um intervalo, 101

n-esima reduzida de uma serie, 153Numero

de Euler, 85e de Euler, 87inteiro, 59irracional, 66natural, 51racional, 66

Norma de uma particao, 141

Operacoes binarias, 45


INDICE 169

PA, 83Par ordenado, 31Particao, 141PG, 83PH, 83Ponto

de acumulacao, 106de aderencia, 105interior, 103isolado, 107

Potencias com expoentes naturais, 57Potencias com expoentes negativos, 63Princıpio da Boa Ordem, 60Princıpio de Inducao Matematica, 51Princıpio fraco de inducao, 51Produto cartesiano, 31Produto de Cauchy, 120Produto de numero por conjunto, 32Progressao Aritmetica finita, 88Progressao Geometrica finita, 92Progressoes Aritmeticas finitas, 88Progressoes Aritmeticas monotonas, 89Progressoes geometricas finitas, 93Progressoes Geometricas monotonas, 94Proposicao, 12Proposicao logica, 12Propriedades das potencias, 58Propriedades das sequencias, 99Propriedades do modulo, 50

Quantificadores, 22

Raiz quadrada, 66Regiao e raio de convergencia, 156Regra da cadeia, 137Regra de L’Hopital, 138Regra do sanduıche, 75Relacao, 32Relacao de equivalencia, 39Relacao de ordem, 40Relacao de ordem em um corpo, 48Relacao de Stifel, 75Resto de ordem n de uma serie, 115Resto de uma serie de funcoes, 154Restricao de uma aplicacao, 33Reuniao de conjuntos, 29

Serie de funcoes, 152Serie de potencias reais, 156Serie numerica real, 113Series de Taylor e de MacLaurin, 159Segundo Princıpio de Inducao Matematica,

51, 57Sentencas equivalentes, 18Sequencia

Cauchy, 99convergente, 74das reduzidas, 114de Fibonacci, 73funcoes reais, 149limitada, 74, 80monotona, 78oscilante, 80real, 72recursiva, 73

Soma de uma serie convergente real, 114Soma de uma serie geometrica, 95Somas de Darboux de uma funcao, 142Somas dos termos em uma PG, 95Somatorios ou Somas finitas, 53Subcobertura, 110Subconjunto, 20, 28

proprio, 20, 29Subsequencia, 79Superconjunto, 28

proprio, 29Supremo de um conjunto, 69

Tabelas-verdade com valores numericos,27

Tautologia, 16Teorema

Arquimedes, 61binomial, 76Bolzano-Weierstrass, 109Confronto, 75Continuidade do limite, 152Convergencia absoluta, 117Convergencia do produto, 120De Morgan, 21, 30Fundamental do Calculo, 148Heine-Borel, 111Integracao por partes, 148


INDICE 170

Integral por substituicao, 148Intervalos Encaixantes, 102Majorantes de Weierstrass, 154Rolle, 137Taylor, 139Troca dos limites, 152Unicidade do limite, 123Valor intermediario, 132Valor medio, 137Valor medio de Cauchy, 138Valor medio para integrais, 148Valores extremos, 131

Termo geral da PA, 88Termos equidistantes dos extremos, 90Transformada de Laplace, 163Tricotomia, 49

Unicidadedo limite, 75do maximo, 56do mınimo, 56

Validade daBicondicional, 15Condicional, 14Conjuncao, 13Disjuncao, 14Negacao, 14

Vizinhanca de um ponto, 102


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