Notas de Topologia, Mujica

Notas de Topologia Geral

Jorge Mujica

Disciplina ministrada no IMECC-UNICAMP

durante o primeiro semestre de 2005

Sumario

1. Teoria de conjuntos................................................................1

2. Espacos metricos....................................................................4

3. Espacos topologicos................................................................7

4. Aderencia e interior de um conjunto......................................9

5. Sistemas de vizinhancas........................................................12

6. Bases para os abertos............................................................16

7. Subespacos............................................................................18

8. Funcoes contınuas.................................................................20

9. Produtos infinitos e o axioma da escolha.............................23

10. O espaco produto...............................................................25

11. O espaco quociente.............................................................29

12. Convergencia de sequencias................................................32

13. Convergencia de redes........................................................34

14. O lema de Zorn e o teorema de Zermelo............................38

15. Convergencia de filtros.......................................................42

16. Espacos de Hausdorff..........................................................47

17. Espacos regulares................................................................50

18. Espacos normais.................................................................52

19. Espacos completamente regulares.......................................58

20. Primeiro e segundo axioma de enumerabilidade.................63

21. Espacos compactos.............................................................69

22. Espacos localmente compactos...........................................76

23. A compactificacao de Alexandroff......................................79

24. A compactificacao de Stone-Cech.......................................81

25. Espacos metrizaveis............................................................84

26. Espacos conexos..................................................................8727. Componentes conexas.........................................................91

28. Espacos conexos por caminhos............................................93

29. Homotopia...........................................................................96

30. O grupo fundamental..........................................................99

31. O grupo fundamental do cırculo unitario..........................103

Bibliografia..............................................................................108

1. Teoria de conjuntos

Dados dois conjuntos A e B, diremos que A e subconjunto de B, e escrever-emos A ⊂ B, se cada elemento de A pertence a B, ou seja se x ∈ A implicax ∈ B.

Diremos que A e igual a B, e escreveremos A = B, se A e B tem os mesmoselementos, ou seja se A ⊂ B e B ⊂ A.

A uniao, a intersecao, e a diferenca de dois conjuntos A e B e definida por

A ∪B = x : x ∈ A ou x ∈ B,

A ∩B = x : x ∈ A e x ∈ B,

A \B = x : x ∈ A e x /∈ B.

Se estamos considerando subconjuntos de um conjunto fixo X, entao o conjuntoX \A e chamado de complementar de A em X, e e denotado por Ac.

A uniao e a intersecao de uma famılia de conjuntos Ai (i ∈ I) e definida por⋃i∈I

Ai = x : x ∈ Ai para algum i ∈ I,

⋂i∈I

Ai = x : x ∈ Ai para todo i ∈ I.

Dado um conjunto X, P(X) denota o conjunto formado pelos subconjuntosde X, ou seja

P(X) = A : A ⊂ X.

∅ denota o conjunto vazio. N denota o conjunto dos numeros naturais, ouseja o conjunto dos inteiros positivos. Z denota o conjunto dos inteiros. Qdenota o conjunto dos numeros racionais. R denota o conjunto dos numerosreais. C denota o conjunto dos numeros complexos.

O produto cartesiano X×Y de dois conjuntos X e Y e o conjunto dos paresordenados (x, y) tais que x ∈ X e y ∈ Y . O produto cartesiano X1 × ... ×Xn

de n conjuntos X1,...,Xn e o conjunto das n-tuplas (x1, ..., xn) tais que xi ∈ Xi

para i = 1, ..., n. Escreveremos Xn em lugar de X × ...×X (n vezes).Uma funcao ou aplicacao f de X em Y , denotada por f : X → Y , e

uma regra que associa a cada elemento x ∈ X um unico elemento f(x) ∈Y . O conjunto X e chamado de domınio de f . O conjunto Y e chamado decontradomınio de f .

f e dita injetiva se f(x1) = f(x2) implica x1 = x2. f e dita sobrejetiva separa cada y ∈ Y existe x ∈ X tal que f(x) = y. f e dita bijetiva se e injetiva esobrejetiva. Se f : X → Y e bijetiva, a funcao inversa f−1 : Y → X e definidapor f−1(y) = x se f(x) = y.

O grafico de f e o conjunto

Gf = (x, y) ∈ X × Y : y = f(x).

1

Dados A ⊂ X e B ⊂ Y , a imagem de A e a imagem inversa de B sao osconjuntos

f(A) = y ∈ Y : y = f(x) para algum x ∈ A,

f−1(B) = x ∈ X : f(x) ∈ B.

Dadas duas aplicacoes f : X → Y e g : Y → Z, a aplicacao compostag f : X → Z e definida por g f(x) = g(f(x)) para todo x ∈ X.

Uma relacao R num conjunto X e um subconjunto R de X × X. Comfrequencia escreveremos xRy se (x, y) ∈ R.

Uma relacao R em X e dita reflexiva se xRx para todo x ∈ X. R e ditasimetrica se xRy implica yRx. R e dita transitiva se xRy e yRz implicamxRz. Diremos que R e uma relacao de equivalencia se R e reflexiva, simetricae transitiva.

Exercıcios

1.A. Se Ai ⊂ X para cada i ∈ I, prove las leis de De Morgan:

(a) X \⋃i∈I

Ai =⋂i∈I

(X \Ai).

(b) X \⋂i∈I

Ai =⋃i∈I

(X \Ai).

1.B. Seja f : X → Y uma aplicacao. Dados B ⊂ Y e Bi ⊂ Y para cadai ∈ I, prove que:

(a) f−1(⋃i∈I

Bi) =⋃i∈I

f−1(Bi).

(b) f−1(⋂i∈I

Bi) =⋂i∈I

f−1(Bi).

(c) f−1(Y \B) = X \ f−1(B).

1.C. Seja f : X → Y uma aplicacao. Dados A ⊂ X e Ai ⊂ X para cadai ∈ I, prove que:

(a) f(⋃i∈I

Ai) =⋃i∈I

f(Ai).

(b) f(⋂i∈I

Ai) ⊂⋂i∈I

f(Ai), com igualdade se f for injetiva.

(c) f(X \A) ⊂ Y \ f(A) se f for injetiva.

(c′) f(X \A) ⊃ Y \ f(A) se f for sobrejetiva.

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1.D. (a) De exemplo de uma aplicacao f : X → Y e conjuntos A1, A2 ⊂ Xtais que f(A1 ∩A2) 6= f(A1) ∩ f(A2).

(b) De exemplo de uma aplicacao f : X → Y e um conjunto A ⊂ X tal quef(X \A) 6= Y \ f(A).

1.E. Seja f : X → Y uma aplicacao. Dados A ⊂ X e B ⊂ Y , prove que:

(a) A ⊂ f−1(f(A)), com igualdade se f for injetiva.

(b) f(f−1(B)) ⊂ B, com igualdade se f for sobrejetiva.

1.F. (a) De exemplo de uma aplicacao f : X → Y e um conjunto A ⊂ X talque A 6= f−1(f(A)).

(b) De exemplo de uma aplicacao f : X → Y e um conjunto B ⊂ Y tal quef(f−1(B)) 6= B.

1.G. Sejam f : X → Y e g : Y → X aplicacoes tais que g f(x) = x paratodo x ∈ X. Prove que f e injetiva e g e sobrejetiva.

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2. Espacos metricos

2.1. Definicao. Seja X um conjunto. Uma funcao d : X × X → R echamada de metrica se verifica as seguintes propriedades para x, y, z ∈ X:

(a) d(x, y) ≥ 0;(b) d(x, y) = 0 se e so se x = y;(c) d(x, y) = d(y, x);(d) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z);A desigualdade (d) e chamada de desigualdade triangular. O par (X, d) e

chamado de espaco metrico. Com frequencia falaremos do espaco metrico X emlugar do espaco metrico (X, d).

2.2. Exemplos.(a) X = R, d(x, y) = |x− y|.

(b) X = Rn, d(x, y) =√∑n

j=1(xj − yj)2. Esta e a metrica euclideana.

(c) X = Rn, d(x, y) =∑n

j=1 |xj − yj |.

(d) X = Rn, d(x, y) = max|x1 − y1|, ..., |xn − yn|.

Em (b),(c) e (d), x = (x1, ..., xn), y = (y1, ..., yn).

(e) Se X e um conjunto qualquer, entao a metrica d : X ×X → R definidapor d(x, y) = 1 se x 6= y e d(x, y) = 0 se x = y, e chamada de metrica discreta.

(f) Seja (X, d) um espaco metrico, e seja S ⊂ X. Entao S e um espacometrico com a metrica induzida dS , ou seja dS(x, y) = d(x, y) para todo x, y ∈ S.

2.3. Definicao. Seja X um espaco metrico. Dados a ∈ X e r > 0,consideremos os conjuntos

B(a; r) = x ∈ X : d(x, a) < r,

B[a; r] = x ∈ X : d(x, a ≤ r.O conjunto B(a; r) e chamado de bola aberta de centro a e raio r. O conjuntoB[a; r] e chamado de bola fechada de centro a e raio r.

2.4. Definicao. Seja X um espaco metrico. Um conjunto U ⊂ X e ditoaberto em X se para cada a ∈ U existe r > 0 tal que B(a; r) ⊂ U . Um conjuntoF ⊂ X e dito fechado em X se X \ F e aberto.

2.5. Exemplos. (a) Cada bola aberta e um subconjunto aberto.(b) Cada bola fechada e um subconjunto fechado.

Demonstracao. (a) Seja x ∈ B(a; r). Usando a desigualdade triangular efacil verificar que

B(x; r − d(x, a)) ⊂ B(a; r),

e portanto B(a; r) e aberto.

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(b) Para provar que B[a; r] e fechado, basta provar que X \B[a; r] e aberto.Seja x ∈ X \B[a; r]. Usando a desigualdade triangular nao e dificil provar, porabsurdo, que

B(x; d(x, a)− r) ⊂ X \B[a; r],

e portanto X \B[a; r] e aberto.

2.6. Proposicao. Seja X um espaco metrico. Entao:(a) ∅ e X sao abertos.(b) A uniao de uma famılia arbitraria de abertos e um aberto.(c) A intersecao de uma famılia finita de abertos e um aberto.

Demonstracao. (a) e claro.(b) Seja Ui aberto em X para cada i ∈ I, e seja a ∈

⋃i∈I Ui. Entao a ∈ Ui0

para algum i0 ∈ I. Como Ui0 e aberto, existe r > 0 tal que B(a; r) ⊂ Ui0 . LogoB(a; r) ⊂

⋃i∈I Ui e

⋃i∈I Ui e aberto.

(c) Seja Ui aberto em X para cada i ∈ I, sendo I finito. Seja a ∈⋂

i∈I Ui, ouseja a ∈ Ui para cada i ∈ I. Para cada i ∈ I existe ri > 0 tal que B(a; ri) ⊂ Ui.Seja r = mini∈Iri. Segue que B(a; r) ⊂

⋂i∈I Ui e

⋂i∈I Ui e aberto.

2.7. Corolario. Seja X um espaco metrico. Entao:(a) X e ∅ sao fechados.(b) A intersecao de uma famılia arbitraria de fechados e um fechado.(c) A uniao de uma famılia finita de fechados e um fechado.

Demonstracao. Basta aplicar a Proposicao 2.6 e as leis de De Morgan.

2.8. Definicao. Seja f : X → Y , sendo X e Y espacos metrico. Diremosque f e contınua num ponto a ∈ X se dado ε > 0, podemos achar δ > 0 tal que

dX(x, a) < δ implica dY (f(x), f(a)) < ε,

ou sejaf(BX(a; δ)) ⊂ BY (f(a); ε).

Diremos que f e contınua se for contınua em cada ponto de X. Denotaremospor C(X;Y ) o conjunto de todas as funcoes contınuas f : X → Y . Se Y = R,escreveremos C(X) em lugar de C(X;R).

2.9. Proposicao. Seja f : X → Y , sendo X e Y espacos metricos. Entaof e contınua num ponto a ∈ X se e so se, para cada aberto V de Y contendof(a), existe um aberto U de X contendo a tal que f(U) ⊂ V .

Demonstracao. (⇒): Seja V um aberto de Y contendo f(a). Seja ε > 0tal que BY (f(a); ε) ⊂ V . Por hipotese existe δ > 0 tal que f(BX(a; δ)) ⊂BY (f(a); ε). Logo basta tomar U = BX(a; δ).

(⇐): Dado ε > 0, seja V = BY (f(a); ε). Por hipotese existe um aberto Ude X contendo a tal que f(U) ⊂ V . Seja δ > 0 tal que BX(a; δ) ⊂ U . Segueque f(BX(a; δ)) ⊂ BY (f(a); ε).

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2.10. Proposicao. Seja f : X → Y , sendo X e Y espacos metricos. Entaoas seguintes condicoes sao equivalentes:

(a) f e contınua.(b) f−1(V ) e aberto em X para cada aberto V de Y .(c) f−1(B) e fechado em X para cada fechado B de Y .

Demonstracao. (a) ⇒ (b): Seja V um aberto de Y . Pela Proposicao 2.9,para cada a ∈ f−1(V ), existe um aberto Ua de X contendo a tal que f(Ua) ⊂ V ,ou seja Ua ⊂ f−1(V ). Segue que

f−1(V ) =⋃Ua : a ∈ f−1(V )

e aberto em X.(b) ⇒ (a): Basta provar que f e contınua em cada a ∈ X. Seja a ∈ X, e

seja V um aberto de Y contendo f(a). Por hipotese f−1(V ) e um aberto deX contendo a, e f(f−1(V )) ⊂ V pelo Exercıcio 1.G. Pela Proposicao 2.9 f econtınua em a.

A equivalencia (b) ⇔ (c) e consequencia direta do Exercıcio 1.B(c).

Exercıcios

2.A. Prove que as seguintes funcoes sao metricas em C[a, b]:(a) d(f, g) = sup|f(x)− g(x)| : a ≤ x ≤ b.(b) d(f, g) =

∫ b

a|f(x)− g(x)|dx.

2.B. Seja X um espaco metrico.(a) Prove a desigualdade

|d(x, a)− d(y, a)| ≤ d(x, y) para todo x, y, a ∈ X.

(b) Prove que, para cada a ∈ X a funcao x ∈ X → d(x, a) ∈ R e contınua.(c) Prove que a esfera

S(a; r) = x ∈ X : d(x, a) = r

e um subconjunto fechado.

2.C. Seja X um espaco metrico, e seja S ⊂ X, com a metrica induzida.(a) Dados a ∈ S e r > 0, prove que BS(a; r) = S ∩BX(a; r).(b) Prove que um conjunto U ⊂ S e aberto em S se e so se existe um aberto

V de X tal que U = S ∩ V .

2.D. Seja X = R, e seja S = Z, com a metrica induzida. Prove que cadasubconjunto de S e aberto em S.

2.E. (a) De exemplo de uma sequencia de abertos de R cuja intersecao naoseja um aberto.

(b) De exemplo de uma sequencia de fechados de R cuja uniao nao seja umfechado.

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3. Espacos topologicos

3.1. Definicao. Seja X um conjunto. Chamaremos de topologia em Xuma famılia τ de subconjuntos de X com as seguintes propriedades:

(a) ∅ e X pertencem a τ .(b) A uniao de uma famılia arbitraria de membros de τ pertence a τ .(c) A intersecao de uma famılia finita de membros de τ pertence a τ .Os membros de τ sao chamados de abertos. O par (X, τ) e chamado de

espaco topologico. Com frequencia diremos que X e um espaco topologico.

3.2. Exemplos.(a) Se (X, d) e um espaco metrico, entao segue da Proposicao 2.6 que os

abertos de (X, d) formam uma topologia τd em X.

(b) Se X = Rn, entao a topologia τd dada pela metrica euclideana

d(x, y) =

√√√√ n∑j=1

(xj − yj)2

e chamada de topologia usual.

(c) Seja X um conjunto qualquer, e seja τ a famılia de todos os subconjuntosde X. Claramente τ e uma topologia em X, chamada de topologia discreta.

(d) Seja X um conjunto qualquer, e seja τ = ∅, X. Claramente τ e umatopologia em X, chamada de topologia trivial.

3.3. Definicao. Diremos que um espaco topologico (X, τ) e metrizavel seexistir uma metrica d em X tal que τ = τd.

Notemos que a topologia discreta e sempre metrizavel, e vem dada pelametrica discreta.

3.4. Definicao. Dadas duas topologias τ1 e τ2 num conjunto X, diremosque τ1 e mais fraca que τ2, ou que τ2 e mais forte que τ1, ou que τ2 e mais finaque τ1 se τ1 ⊂ τ2.

A topologia trivial em X e mais fraca que qualquer outra topologia em X.A topologia discreta em X e mais fina que qualquer outra topologia em X.

3.5. Definicao. Seja X um espaco topologico. Diremos que um conjuntoF ⊂ X e fechado se X \ F e aberto.

3.6. Proposicao. Seja X um espaco topologico. Entao:(a) X e ∅ sao fechados.(b) A intersecao de uma famılia arbitraria de fechados e um fechado.(c) A uniao de uma famılia finita de fechados e um fechado.

Demonstracao. Basta aplicar as leis de de Morgan.

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Reciprocamente temos:

3.7. Proposicao. Seja X um conjunto, e seja F uma famılia de subcon-juntos de X com as seguintes propriedades:

(a) X e ∅ pertencem a F .(b) A intersecao de uma famılia arbitraria de membros de F pertence a F .(c) A uniao de uma famılia finita de membros de F pertence a F .Seja τ = X \ F : F ∈ F. Entao τ e uma topologia em X, e F coincide

com a famılia dos fechados de (X, τ).

Demonstracao. Basta aplicar as leis de De Morgan.

Exercıcios

3.A. Prove que as metricas dos Exemplos 2.2(b), 2.2(c) e 2.2(d) definem amesma topologia em Rn.

3.B. Seja X = a, b, com a 6= b, e seja

τ = ∅, a, X.

Prove que τ e uma topologia em X. O espaco (X, τ) e chamado de espaco deSierpinski.

3.C. Seja X um conjunto, e seja

F = X ∪ F ⊂ X : F e finito.

Prove que F e a famılia de fechados de uma topologia em X, conhecida comotopologia cofinita. Voce reconhece esta topologia quando X e finito?

3.D. Seja X um conjunto, e seja

F = X ∪ F ⊂ X : F e enumeravel.

Prove que F e a famılia de fechados de uma topologia em X, conhecida comotopologia coenumeravel. Voce reconhece esta topologia quando X e enume-ravel?

3.E. Seja X um conjunto, seja A ⊂ X, e seja

τA = ∅ ∪ U : A ⊂ U ⊂ X.

(a) Prove que τA e uma topologia em X.(b) Descreva os fechados de (X, τA).(c) Voce reconhece τA quando A = ∅ e quando A = X?

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4. Aderencia e interior de um conjunto

4.1. Definicao. Seja X um espaco topologico, e seja A ⊂ X. Chamaremosde aderencia de A o conjunto

A =⋂F ⊂ X : F e fechado e F ⊃ A.

Claramente A e o menor subconjunto fechado de X que contem A.

4.2. Proposicao. Seja X um espaco topologico. Entao a aplicacao A → Atem as seguintes propriedades:

(a) A ⊂ A.(b) A = A.(c) ∅ = ∅.(d) A ∪B = A ∪B.(e) A e fechado se e so se A = A.

Demonstracao. (a) e obvio.

(b) Por (a) A ⊂ A. E como A e um fechado contendo A, segue que A ⊂ A.

(c) Como ∅ e um fechado contendo ∅, segue que ∅ ⊂ ∅.

(d) Antes de provar (d) notemos que

A ⊂ B implica A ⊂ B.

Como A ⊂ A ∪ B e B ⊂ A ∪ B, segue que A ⊂ A ∪B e B ⊂ A ∪B. LogoA ∪ B ⊂ A ∪B. Por outro lado A ∪ B e um fechado contendo A ∪ B. LogoA ∪B ⊂ A ∪B.

(e) e obvio.


4.3. Proposicao. Seja X um conjunto, e seja A ∈ P(X) → A ∈ P(X)uma aplicacao com as seguintes propriedades:

(a) A ⊂ A.(b) A = A.(c) ∅ = ∅.(d) A ∪B = A ∪B.Seja F = A ⊂ X : A = A. Entao F e a famılia de fechados de uma

topologia τ em X. A e a aderencia de A para cada A ⊂ X.

Demonstracao. Utilizaremos a Proposicao 3.7. E claro que X ∈ F . Esegue de (c) que ∅ ∈ F .

Segue de (d) que a uniao de dois membros de F pertence a F .

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Antes de provar que qualquer intersecao de membros de F pertence a F ,provemos que

(∗) A ⊂ B implica A ⊂ B.

De fato usando (d) vemos que:

A ⊂ B ⇒ B = A ∪ (B \A) ⇒ B = A ∪ (B \A) ⇒ B ⊃ A.

Seja Ai ∈ F para cada i ∈ I. Entao⋂

i∈I Ai ⊂ Ai, e portanto⋂

i∈I Ai ⊂Ai = Ai para cada i ∈ I. Logo

⋂i∈I Ai ⊂

⋂i∈I Ai, e segue que

⋂i∈I Ai ∈ F .

Assim F e a famılia de fechados para uma topologia τ em X. Para provarque A e a aderencia de A com relacao a τ , fixemos A ⊂ X. Segue de (*) que

A ⊂ F = F para cada F ∈ F tal que F ⊃ A,

e portantoA ⊂

⋂F ∈ F : F ⊃ A.

Por outro lado segue de (a) e (b) que A ∈ F e A ⊃ A. Logo⋂F ∈ F : F ⊃ A ⊂ A.

Isto prova que A e a aderencia de A.

4.4. Definicao. Seja X um espaco topologico, e seja A ⊂ X. Chamaremosde interior de A o conjunto

A =⋃U ⊂ X : U e aberto e U ⊂ A.

Claramente A e o maior subconjunto aberto de X que esta contido em A. Asvezes escreveremos

A em lugar de A.

4.5. Proposicao. Seja X um espaco topologico, e seja A ⊂ X. Entao:

X \A = (X \A) e X \A = (X \A).

Demonstracao. Basta aplicar as leis de De Morgan.

Deixamos como exercıcio as demonstracoes das duas proposicoes seguintes.Elas podem ser demonstradas diretamente, ou podem ser deduzidas das Proposicoes4.2 e 4.3 utilizando a Proposicao 4.5 e as leis de De Morgan.

4.6. Proposicao. Seja X um espaco topologico. Entao a aplicacao A → A

tem as seguintes propriedades:(a) A ⊂ A.(b) A = A.(c) X = X.(d) (A ∩B) = A ∩B.

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(e) A e aberto se e so se A = A.

4.7. Proposicao. Seja X um conjunto, e seja A ∈ P(X) → A ∈ P(X)uma aplicacao com as seguintes propriedades:

(a) A ⊂ A.(b) A = A.(c) X = X.(d) (A ∩B) = A ∩B.Seja τ = A ⊂ X : A = A. Entao τ e uma topologia em X. A e o

interior de A para cada A ⊂ X.

Exercıcios

4.A. Seja X um espaco topologico, com a topologia cofinita do Exercıcio3.C.

(a) Descreva A para cada A ⊂ X.(b) Descreva A para cada A ⊂ X.

4.B. Seja X um conjunto, seja A ⊂ X, e seja τA a topologia do Exercıcio3.E.

(a) Descreva B para cada B ⊂ X.(b) Descreva B para cada B ⊂ X.

4.C. Seja X um espaco topologico.(a) Prove que (A ∩B) ⊂ A ∩B para todo A,B ⊂ X.

(b) De exemplo de conjuntos A,B ⊂ R tais que (A ∩B) 6= A ∩B.

4.D. Seja X um espaco topologico.(a) Prove que (A ∪B) ⊃ A ∪B para todo A,B ⊂ X.

(b) De exemplo de conjuntos A,B ⊂ R tais que (A ∪B) 6= A ∪B.

4.E. Dado A ⊂ X, chamaremos de fronteira de A o conjunto

∂A = A ∩ (X \A).

(a) Prove que A = A ∪ ∂A.

(b) Prove que A = A \ ∂A.

4.F. Para cada A ⊂ N seja

A = kn : n ∈ A, k ∈ N.

(a) Prove que a aplicacao A → A tem as propriedades da Proposicao 4.3, edefine portanto uma topologia τ em N.

(b) Descreva os fechados de (N, τ).(c) Descreva os abertos de (N, τ).

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5. Sistemas de vizinhancas

5.1. Definicao. Seja X um espaco topologico nao vazio, e seja x ∈ X.Diremos que um conjunto U ⊂ X e uma vizinhanca de x se x ∈ U. Ux denotao conjunto de todas as vizinhancas de x.

5.2. Proposicao. Seja X um espaco topologico nao vazio. Entao os con-juntos Ux tem as seguintes propriedades:

(a) x ∈ U para cada U ∈ Ux.(b) Se U, V ∈ Ux, entao U ∩ V ∈ Ux.(c) Dado U ∈ Ux, existe V ∈ Ux, V ⊂ U , tal que U ∈ Uy para cada y ∈ V .(d) Se U ∈ Ux e U ⊂ V ⊂ X, entao V ∈ Ux.(e) Um conjunto U ⊂ X e aberto se e so se U ∈ Ux para cada x ∈ U .

Demonstracao. (a) Se U ∈ Ux, entao x ∈ U ⊂ U .

(b) Se U, V ∈ Ux, entao x ∈ U ∩ V = (U ∩ V ). Logo U ∩ V ∈ Ux.

(c) Dado U ∈ Ux, seja V = U. Se y ∈ V = U, entao U ∈ Uy.

(d) Se U ∈ Ux e U ⊂ V ⊂ X, entao x ∈ U ⊂ V . Logo V ∈ Ux.

(e) Se U e aberto, entao U = U. Segue que U ∈ Ux para cada x ∈ U .Reciprocamente suponhamos que U ∈ Ux para cada x ∈ U . Segue que U = U.Logo U e aberto.


5.3. Proposicao. Seja X um conjunto nao vazio. Para cada x ∈ X sejaUx uma famılia nao vazia de subconjuntos de X com as seguintes propriedades:

(a) x ∈ U para cada U ∈ Ux.(b) Se U, V ∈ Ux, entao U ∩ V ∈ Ux.(c) Dado U ∈ Ux, existe V ∈ Ux, V ⊂ U , tal que U ∈ Uy para cada y ∈ V .(d) Se U ∈ Ux e U ⊂ V ⊂ X, entao V ∈ Ux.Seja

τ = U ⊂ X : U ∈ Ux para cada x ∈ U.

Entao τ e uma topologia em X, e Ux e o sistema de vizinhancas de x em (X, τ)para cada x ∈ X.

Demonstracao. Primeiro provaremos que τ e uma topologia em X.E claro que ∅ ∈ τ . Para provar que X ∈ τ , seja x ∈ X, e seja U ∈ Ux. Como

U ⊂ X, segue de (d) que X ∈ Ux. Logo X ∈ τ .

Seja Ui ∈ τ para cada i ∈ I, e seja x ∈⋃

i∈I Ui. Entao x ∈ Ui para algumi ∈ I. Como Ui ∈ τ , temos que Ui ∈ Ux. Como Ui ⊂

⋃i∈I Ui, segue de (d) que⋃

i∈I Ui ∈ Ux. Logo⋃

i∈I Ui ∈ τ .

Sejam U, V ∈ τ , e seja x ∈ U ∩ V . Entao U, V ∈ Ux, e segue de (b) queU ∩ V ∈ Ux. Logo U ∩ V ∈ τ .

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A seguir provaremos que cada vizinhanca de x pertence a Ux. Seja U umavizinhanca de x. Entao x ∈ U. Como U ∈ τ , segue que U ∈ Ux. ComoU ⊂ U , segue de (d) que U ∈ Ux.

Finalmente provaremos que cada U ∈ Ux e uma vizinhanca de x. SejaU ∈ Ux, e seja V = y ∈ U : U ∈ Uy. Segue de (a) que x ∈ U , e como U ∈ Ux,vemos que x ∈ V .

A seguir veremos que V ∈ τ . Dado y ∈ V , temos que U ∈ Uy. Por (c) existeW ∈ Uy, W ⊂ U , tal que U ∈ Uz para todo z ∈ W . Segue entao de (a) queW ⊂ V . Segue de (d) que V ∈ Uy. Logo V ∈ τ .

Como x ∈ V e V ∈ τ , segue que x ∈ U. Logo U e uma vizinhanca de x.

5.4. Definicao. Seja X um espaco topologico nao vazio, e seja x ∈ X.Diremos que uma famılia Bx ⊂ Ux e uma base de vizinhancas de x se cadaU ∈ Ux contem algum V ∈ Bx.

5.5. Exemplos.(a) Seja X um espaco topologico, seja x ∈ X, e seja

Bx = U ∈ Ux : U e aberto.

Entao Bx e uma base de vizinhancas de x.

(b) Seja X um espaco metrico, seja x ∈ X, e seja

Bx = B(x; r) : r > 0.

Ent ao Bx e uma base de vizinhancas de x.

(c) Seja X um espaco metrico, seja x ∈ X, e seja

Bx = B[x; r] : r > 0.

Entao Bx e uma base de vizinhancas de x.

5.6. Proposicao. Seja X um espaco topologico nao vazio, e seja Bx umabase de vizinhancas de x, para cada x ∈ X. Entao:

(a) x ∈ U para cada U ∈ Bx.(b) Dados U, V ∈ Bx, existe W ∈ Bx tal que W ⊂ U ∩ V .(c) Dado U ∈ Bx, existe V ∈ Bx, V ⊂ U , tal que para cada y ∈ V existe

W ∈ By tal que W ⊂ U .(d) Um conjunto U ⊂ X e aberto se e so se para cada x ∈ U existe V ∈ Bx

tal que V ⊂ U .

Demonstracao. As afirmac oes (a), (b), (c) e (d) seguem diretamente dasafirmacoes (a), (b), (c) e (e) na Proposicao 5.2.


5.7. Proposicao. Seja X um conjunto nao vazio. Para cada x ∈ X sejaBx uma famılia nao vazia de subconjuntos de X com as seguintes propriedades:

13

(a) x ∈ U para cada U ∈ Bx.(b) Dados U, V ∈ Bx, existe W ∈ Bx tal que W ⊂ U ∩ V .(c) Dado U ∈ Bx, existe V ∈ Bx, V ⊂ U , tal que para cada y ∈ V existe

W ∈ By tal que W ⊂ U .Seja

τ = U ⊂ X : para cada x ∈ U existe V ∈ Bx tal que V ⊂ U.

Entao τ e uma topologia em X e Bx e uma base de vizinhancas de x em(X, τ) para cada x ∈ X.

Demonstracao. Para cada x ∈ X seja

Ux = U ⊂ X : U ⊃ V para algum V ∈ Bx.

E claro que as famılias Ux verificam as propriedades (a), (b), (c) e (d) daProposicao 5.3, e que

τ = U ⊂ X : U ∈ Ux para cada x ∈ U.

Pela Proposicao 5.3 τ e uma topologia em X e Ux e o sistema de vizinhancasde x em (X, τ) para cada X ∈ X. Segue que Bx e uma base de vizinhancas dex em (X, τ) para cada x ∈ X.

A proposicao seguinte e muito util. Ela caracteriza abertos, fechados, aderenciade um conjunto e interior de um conjunto em termos de bases de vizinhancas.

5.8. Proposicao. Seja X um espaco topologico nao vazio, seja A ⊂ X, eseja Bx uma base de vizinhancas de x, para cada x ∈ X.Entao:

(a) A e aberto se e so se para cada x ∈ A existe V ∈ Bx tal que V ⊂ A.(b) A e fechado se e so se para cada x /∈ A, existe V ∈ Bx tal que V ∩A = ∅.(c) A = x ∈ X : V ∩A 6= ∅ para cada V ∈ Bx.(d) A = x ∈ X : V ⊂ A para algum V ∈ Bx.

Demonstraccao. Ja vimos (a) na Proposicao 5.6(d). (b) e consequenciaimediata de (a).

(c) Lembremos que

A =⋂F ⊂ X : F fechado, F ⊃ A.

Se x /∈ A, entao por (b) existe V ∈ Bx tal que V ∩ A = ∅. Reciprocamentesuponhamos que exista V ∈ Bx tal que V ∩A = ∅. Entao x ∈ V e A ⊂ X \V ⊂X \ V . Como X \ V e fechado, segue que A ⊂ X \ V . Logo x /∈ A.

(d) Pela Proposicao 4.5, X \ A = (X \A). Se B denota o conjunto dadireita em (d), entao usando (c) segue que

x /∈ A ⇔ x ∈ (X \A) ⇔ V ∩ (X \A) 6= ∅ para cada V ∈ Bx

14

⇔ V 6⊂ A para cada V ∈ Bx ⇔ x /∈ B.

5.9. Definicao. Seja X um espaco topologico. Diremos que X satisfazo primeiro axioma de enumerabilidade se cada x ∈ X admite uma base devizinhancas Bx que e enumeravel.

5.10. Exemplo. Cada espaco metrico satisfaz o primeiro axioma de enu-merabilidade.

Exercıcios

5.A. Seja X um espaco topologico, seja A ⊂ X, e seja Bx uma base devizinhancas de x para cada x ∈ X. Prove que

∂A = x ∈ X : V ∩A 6= ∅ e V ∩ (X \A) 6= ∅ para cada V ∈ Bx.

5.B. Dados f ∈ C[a, b] e r > 0, seja

U(f, r) = g ∈ C[a, b] : |g(x)− f(x) < r para todo x ∈ [a, b].

Prove que os conjuntos U(f, r), com r > 0 formam uma base de vizinhancas def no espaco metrico C[a, b] do Exercıcio 2.A(a).

5.C. Dados f ∈ C[a, b], A ⊂ [a, b], A finito, e r > 0, seja

V (f,A, r) = g ∈ C[a, b] : |g(x)− f(x)| < r para todo x ∈ A.

Prove que os conjuntos V (f,A, r), com A ⊂ [a, b], A finito, e r > 0, formam umabase de vizinhancas de f para uma certa topologia em C[a, b]. Esta topologia emais fraca que a topologia do exercıcio anterior.

5.D. Seja X um espaco topologico e seja A ⊂ X. Diremos que um pontox ∈ X e um ponto de acumulacao de A se dado U ∈ Ux existe a ∈ U ∩ A,com a 6= x. A′ denota o conjunto dos pontos de acumulacao de A. Prove queA = A ∪A′.

5.E. De exemplo de um conjunto A ⊂ R tal que os seguintes conjuntossejam todos diferentes entre si:

A, A,A,

A,

A,

A,

A .

15

6. Bases para os abertos

6.1. Definicao. Seja (X, τ) um espaco topologico. Diremos que umafamılia B ⊂ τ e uma base para τ se dado U ∈ τ existe C ⊂ B tal que

U =⋃V : V ∈ C.

6.2. Exemplos.(a) Os intervalos (a, b), com a < b em R, formam uma base para a topologia

usual em R.

(b) Se (X, d) e um espaco metrico, entao as bolas B(a; r), com a ∈ X er > 0, formam uma base para a topologia τd.

(c) Se (X, τ) e um espaco topologico discreto, entao B = x : x ∈ X euma base para τ .

6.3. Proposicao. Seja (X, τ) um espaco topologico. Uma famılia B ⊂ τe uma base para τ se e so se, dados U ∈ τ e x ∈ U , existe V ∈ B tal quex ∈ V ⊂ U .

Esta proposicao e consequencia imediata da definicao.

6.4. Proposicao. Seja (X, τ) um espaco topologico. Uma famılia B ⊂ τ euma base para τ se e so se, para cada x ∈ X, a famılia

Bx = V ∈ B : x ∈ V

e uma base de vizinhancas de x.

Esta proposicao e consequencia facil da proposicao anterior.

6.5. Proposicao. Seja (X, τ) um espaco topologico, e seja B uma basepara τ . Entao:

(a) X =⋃V : V ∈ B.

(b) Dados x ∈ X e U, V ∈ B tais que x ∈ U ∩ V , existe W ∈ B tal quex ∈ W ⊂ U ∩ V .

Demonstracao. (a) e consequencia imediata da definicao de base. (b) econsequencia da Proposicao 6.4, junto com a Proposicao 5.6.


6.6. Proposicao. Seja X um conjunto, e seja B uma famılia de subcon-juntos de X com as seguintes propriedades:

(a) X =⋃V : V ∈ B.

(b) Dados x ∈ X e U, V ∈ B tais que x ∈ U ∩ V , existe W ∈ B tal quex ∈ W ⊂ U ∩ V .

Seja τ a famılia de todos os conjuntos da forma

U =⋃V : V ∈ C, com C ⊂ B.

16

Entao τ e uma topologia em X, e B e uma base para τ .

Demonstracao. E claro que ∅ =⋃V : V ∈ ∅ ∈ τ . E X ∈ τ por (a).

Seja Ui ∈ τ para cada i ∈ I, ou seja

Ui =⋃V : V ∈ Ci, com Ci ⊂ B

para cada i ∈ I. Entao ⋃i∈I

Ui =⋃V : V ∈

⋃i∈I

Ci ∈ τ.

Finalmente sejam U1, U2 ∈ τ , ou seja

Ui =⋃V1 : V1 ∈ C1, U2 =

⋃V2 : V2 ∈ C2,

com C1, C2 ⊂ B. Entao

U1 ∩ U2 =⋃V1 ∩ V2 : V1 ∈ C1, V2 ∈ C2.

Segue de (b) que cada intersecao V1 ∩ V2 e uniao de membros de B. Segue queU1 ∩ U2 ∈ τ .

Temos provado qur τ e uma topologia em X. E claro que B e uma base paraτ .

6.7. Definicao. Seja (X, τ) um espaco topologico. Diremos que (X, τ)satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade se existe uma base B para τ quee enumeravel.

6.8. Exemplo. R satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade: os inter-valos (a, b) com a < b racionais, formam uma base para os abertos.

Exercıcios

6.A. Prove que o segundo axioma de enumerabilidade implica o primeiro.

6.B. Prove que os intervalos (a,∞), com a ∈ R, formam uma base parauma topologia τ1 em R, mais fraca que a topologia usual. Prove que (R, τ1)satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade.

6.C. Prove que os intervalos [a, b), com a < b em R, formam uma base parauma topologia τ2 em R, mais fina que a topologia usual. (R, τ2) e conhecidocomo a reta de Sorgenfrey.

6.D. Seja (X, τ) um espaco topologico. Diremos que uma famılia C ⊂ τ euma subbase para τ se as intersecoes finitas de membros de C formam uma basepara τ . Prove que os intervalos (a,∞), com a ∈ R, junto com os intervalos(−∞, b), com b ∈ R, formam uma subbase para a topologia usual em R.

17

7. Subespacos

7.1. Definicao. Seja (X, τ) um espaco topologico, e seja S ⊂ X. E claroque a famılia

τS = S ∩ U : U ∈ τ

e uma topologia em S, que chamaremos de topologia induzida. Diremos que(S, τS) e um subespaco de (X, τ), ou simplesmente que S e um subespaco de X.

7.2. Exemplos.(a) Z, com a topologia induzida por R, e um espaco topologico discreto.

(b) R e um subespaco de R2.

7.3. Proposicao. Seja S um subespaco de um espaco topologico X. Entao:(a) U e aberto em S se e so se U = S ∩ U1, sendo U1 aberto em X.(b) F e fechado em S se e so se F = S ∩ F1, sendo F1 fechado em X.(c) Se A ⊂ S, entao A

S= S ∩A

X.

(d) Se x ∈ S, entao U e vizinhanca de x em S se e so se U = S ∩U1, sendoU1 uma vizinhanca de x em X.

Demonstracao. (a) e a propria definicao.

(b) Usando (a) vemos que: F e fechado em S ⇔ S \ F e aberto em S ⇔S \ F = S ∩ U1, com U1 aberto em X ⇔ F = S ∩ (X \ U1), com U1 aberto emX ⇔ F = S ∩ F1, com F1 fechado em X.

(c) Usando (b) vemos que:

AS

=⋂F : F fechado em S, F ⊃ A

=⋂S ∩ F1 : F1 fechado em X, F1 ⊃ A = S ∩A

X.

(d) Seja U1 uma vizinhanca de x em X. Entao existe um aberto V1 em Xtal que x ∈ V1 ⊂ U1. Logo x ∈ S ∩ V1 ⊂ S ∩ U1. Como S ∩ V1 e aberto em S,segue que S ∩ U1 e uma vizinhanca de x em S.

Reciprocamente seja U uma vizinhanca de x em S. Entao existe um abertoV de S tal que x ∈ V ⊂ U . Entao V = S ∩ V1, com V1 aberto em X. Seja

U1 = V1 ∪ (U \ V ).

EntaoS ∩ U1 = V ∪ (U \ V ) = U.

Como x ∈ V1 ⊂ U1, segue que U1 e uma vizinhanca de x em X.

18

Exercıcios

7.A. Seja X um espaco topologico, e seja S um subespaco de X.(a) Se X tem a topologia discreta, prove que S tambem tem a topologia

discreta.(b) Se X tem a topologia trivial, prove que S tambem tem a topologia trivial.

7.B. Seja X um espaco topologico, e seja S um subespaco de X. Se X emetrizavel, prove que S e metrizavel tambem.

Sugestao: Use o Exercıcio 2.C.

7.C. Seja X um espaco topologico, seja S um subespaco de X, e seja x ∈ S.(a) Se Bx e uma base de vizinhancas de x em X, prove que a famılia S∩U :

U ∈ Bx e uma base de vizinhancas de x em S.(b) Se X satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade, prove que S satisfaz

o mesmo axioma.

7.D. Seja X um espaco topologico, e seja S um subespaco de X.(a) Se B e uma base para a topologia de X, prove que a famılia S ∩ U :

U ∈ B e uma base para a topologia de S.(b) Se X satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade, prove que S satisfaz

o mesmo axioma.

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8. Funcoes contınuas

8.1. Definicao. Seja f : X → Y , sendo X e Y espacos topologicos. Diremosque f e contınua num ponto a ∈ X se para cada aberto V de Y contendo f(a),existe um aberto U de X contendo a tal que f(U) ⊂ V . Diremos que f econtınua se for contınua em cada pontos de X. Denotaremos por C(X;Y ) oconjunto de todas as funcoes contınuas f : X → Y . Se Y = R, escreveremosC(X) em lugar de C(X;R).

8.2. Proposicao. Seja f : X → Y , sendo X e Y espacos topologicos.Seja Ba uma base de vizinhancas de um ponto a ∈ X, e seja Bf(a) uma base devizinhancas de f(a). Entao as seguintes condicoes sao equivalentes:

(a) f e contınua em a.(b) Para cada V ∈ Uf(a), existe U ∈ Ua tal que f(U) ⊂ V .(c) Para cada V ∈ Bf(a), existe U ∈ Ba tal que f(U) ⊂ V .

Demonstracao. (a) ⇒ (b): Seja V ∈ Uf(a). Seja V1 um aberto de Ycontendo f(a) tal que V1 ⊂ V . Por (a) existe um aberto U1 de X contendo atal que f(U1) ⊂ V1 ⊂ V . E claro que U1 ∈ Ua.

(b) ⇒ (c): Seja V ∈ Bf(a). Por (b) existe U ∈ Ua tal que f(U) ⊂ V . SejaU1 ∈ Ba tal que U1 ⊂ U . Entao f(U1) ⊂ f(U) ⊂ V .

(c) ⇒ (a): Seja V um aberto de Y contendo f(a). Seja V1 ∈ Bf(a) tal queV1 ⊂ V . Por (c) existe U1 ∈ Ba tal que f(U1) ⊂ V1. Seja U um aberto de Xcontendo a tal que U ⊂ U1. Entao f(U) ⊂ f(U1) ⊂ V1 ⊂ V .

8.3. Proposicao. Seja f : X → Y , sendo X e Y espacos topologicos.Entao as seguintes condicoes sao equivalentes:

(a) f e contınua.(b) f−1(V ) e aberto em X para cada aberto V de Y .(c) f−1(B) e fechado em X para cada fechado B de Y .

Demonstracao. Basta repetir a demonstracao da Proposicao 2.10.

8.4. Proposicao. Sejam f : X → Y e g : Y → Z, sendo X, Y e Z espacostopologicos. Se f e contınua num ponto a ∈ X e g e contınua em f(a), entaog f e contınua em a.

Demonstracao. Utilizaremos a Proposicao 8.2. Seja W ∈ Ugf(a). Comog e contınua em f(a), existe V ∈ Uf(a) tal que g(V ) ⊂ W . Como f e contınuaem a, existe U ∈ Ua tal que f(U) ⊂ V . Segue que g(f(U)) ⊂ g(V ) ⊂ W .

8.5. Corolario. Sejam f : X → Y e g : Y → Z, sendo X, Y e Z espacostopologicos. Se f e g sao contınuas, entao g f e contınua tambem.

8.6. Proposicao. Sejam X e Y espacos topologicos, e seja S um subespacode X. Se f : X → Y e contınua, entao a restricao f |S : S → Y e contınuatambem.

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Demonstracao. Seja V um aberto de Y . Como f e contınua, f−1(V ) eaberto em X. Segue que (f |S)−1(V ) = S ∩ f−1(V ) e aberto em S.

8.7. Proposicao. Sejam X e Y espacos topologicos. Suponhamos que X =S1 ∪ S2, onde S1 e S2 sao ambos abertos ou ambos fechados. Seja f : X → Yuma funcao tal que f |S1 : S1 → Y e f |S2 : S2 → Y sao contınuas. Entao f econtınua.

Demonstracao. Suponhamos S1 e S2 abertos. Seja V um aberto de Y .Como f |S1 e contınua, (f |S1)−1(V ) = S1 ∩ f−1(V ) e aberto em S1. Como f |S2

e contınua, (f |S2)−1(V ) = S2 ∩ f−1(V ) e aberto em S2. Segue que

S1 ∩ f−1(V ) = S1 ∩ U1 e S2 ∩ f−1(V ) = S2(V ) ∩ U2,

sendo U1 e U2 abertos em X. Como X = S1 ∪ S2, segue que

f−1(V ) = (S1 ∩ f−1(V )) ∪ (S2 ∩ f−1(V )) = (S1 ∩ U1) ∪ (S2 ∩ U2)

e aberto em X.Deixamos como exercıcio a demonstracao do caso em que S1 e S2 sao fecha-

dos.

8.8. Definicao. Sejam X e Y espacos topologicos.(a) Diremos que f : X → Y e um homeomorfismo se f e bijetiva e f e f−1

sao contınuas.(b) Diremos que f : X → Y e um mergulho se f e um homeomorfismo entre

X e o subespaco f(X) de Y .(c) Diremos que f : X → Y e aberta se f(U) e aberto em Y para cada aberto

U de X.(d) Diremos que f : X → Y e fechada se f(A) e fechado em Y para cada

fechado A de X.

O resultado seguinte e consequencia facil das definicoes e resultados anteri-ores.

8.9. Proposicao. Sejam X e Y espacos topologicos, e seja f : X → Yuma funcao bijetiva. Entao as seguintes condicoes sao equivalentes:

(a) f e um homeomorfismo.(b) f e contınua e aberta.(c) f e contınua e fechada.

Exercıcios

X e Y denotam espacos topologicos.

8.A. Seja B uma base para a topologia de Y . Prove que uma funcao f :X → Y e contınua se e so se f−1(V ) e aberto em X para cada V ∈ B.

8.B. Prove que uma funcao f : X → Y e contınua se e so se f(A) ⊂ f(A)para cada A ⊂ X.

21

8.C. Prove que cada funcao constante f : X → Y e contınua.

8.D. Prove que se f : X → R e g : X → R sao contınuas num ponto a ∈ X,entao as funcoes f + g e fg sao tambem contınuas em a.

8.E. Dado A ⊂ X, a funcao caracterıstica χA : X → R e definida porχA(x) = 1 se x ∈ A e χA(x) = 0 se x /∈ A. Prove que a funcao χA e contınua see so se A e aberto e fechado.

8.F. Seja X = N, com a topologia do Exercıcio 4.F. Prove que uma funcaof : X → X e contınua se e so se, cada vez que m divide n, tem-se que f(m)divide f(n).

8.G. Diremos que um conjunto D ⊂ X e denso em X se D = X. Sejaf : X → R uma funcao contınua tal que f(x) = 0 para todo x num subconjuntodenso D ⊂ X. Prove que f(x) = 0 para todo x ∈ X.

8.H. Prove que os seguintes pares de intervalos sao homeomorfos entre si:(a) (a, b) e (0, 1).(b) (1,∞) e (0, 1).(c) (−π/2, π/2) e (−∞,∞).Use (a), (b) e (c) para provar que todos os intervalos abertos de R sao

homeomorfos entre si.

8.I. Seja f : X → R. Diremos que f e semicontınua inferiormente sef−1(a,∞) e aberto em X para cada a ∈ R. Diremos que f e semicontınuasuperiormente se f−1(−∞, b) e aberto em X para cada b ∈ R. Prove que f econtınua se e so se f e semicontınua inferiormente e semicontınua superiormente.

8.J. Seja A ⊂ X.(a) Prove que χA : X → R e semicontınua inferiormente se e so se A e

aberto.(b) Prove que χA : X → R e semicontınua superiormente se e so se A e

fechado.

22

9. Produtos infinitos e o axioma da escolha

9.1. Definicao. Seja Xi : i ∈ I uma famılia nao vazia de conjuntos.Chamaremos de produto cartesiano da famılia Xi : i ∈ I o conjunto∏

i∈I

Xi = x : I →⋃i∈I

Xi : x(i) ∈ Xi para cada i ∈ I.

Escreveremos xi em lugar de x(i) para cada x ∈∏

i∈I e i ∈ I. Para cada j ∈ Ia projecao πj e definida por

πj : x ∈∏i∈I

Xi → xj ∈ Xj .

Cada x ∈∏

i∈I Xi e usualmente denotado por (xi)i∈I .

Mesmo que cada Xi seja nao vazio, nao e claro que o produto∏

i∈I Xi sejanao vazio. Isto e consequencia do axioma seguinte.

9.2. Axioma da escolha. Seja Xi : i ∈ I uma famılia nao vazia deconjuntos disjuntos nao vazios. Entao existe uma funcao f : I →

⋃i∈I Xi tal

que f(i) ∈ Xi para cada i ∈ I. A funcao f e chamada de funcao escolha.

9.3. Proposicao. Seja Xi : i ∈ I uma famılia nao vazia de conjuntosnao vazios. Entao o produto cartesiano

∏i∈I Xi e nao vazio.

Demonstracao. Se os conjuntos Xi fossem disjuntos, a conclusao seriaconsequencia imediata do axioma da escolha. No caso geral definamos Yi =Xi × i para cada i ∈ I. E claro que Yi : i ∈ I e uma famılia nao vazia deconjuntos disjuntos nao vazios. Pelo axioma da escolha existe uma funcao f :I →

⋃i∈I Yi tal que f(i) ∈ Yi para cada i ∈ I. Podemos escrever f(i) = (xi, i),

com xi ∈ Xi para cada i ∈ I. Se definimos x(i) = xi para cada i ∈ I, entaox ∈

∏i∈I Xi.

Temos provado que o axioma da escolha implica a Proposicao 9.3. Mas eclaro que a Proposicao 9.3 implica o axioma da escolha. Assim o axioma daescolha e a Proposicao 9.3 sao equivalentes.

Vamos ilustrar o uso do axioma da escolha com um exemplo do dia a dia.Seja I um conjunto infinito, e seja Xi um par de sapatos para cada i ∈ I. Nestecaso nao precisamos do axioma da escolha para garantir que o produto

∏i∈I Xi

e nao vazio. Se definimos x(i) como sendo aquele sapato em Xi que correspondeao pe direito para cada i ∈ I, entao e claro que a funcao x : I →

⋃i∈I Xi assim

definida pertence a∏

i∈I Xi. Por outro lado seja Yi um par de meias paracada i ∈ I. Como em geral nao ha como distinguir entre as duas meias de ummesmo par, nao temos como definir uma funcao y : I →

⋃i∈I Yi que pertenca

ao produto∏

i∈I Yi sem usar o axioma da escolha.

23

Exercıcios

9.A. Prove que o axioma da escolha e equivalente a afirmacao seguinte: SejaXi : i ∈ I uma famılia nao vazia de conjuntos disjuntos nao vazios. Entaoexiste um conjunto Y ⊂

⋃i∈I Xi tal que Y ∩Xi contem um unico elemento para

cada i ∈ I.

O exercıcio seguinte mostra como conciliar a definicao usual de produtoscartesianos finitos, que vimos na Secao 1, com a definicao de produtos carte-sianos infinitos.

9.B. Sabemos que, dados n conjuntos X1, ..., Xn, o produto cartesiano X1×...×Xn e dado por

X1 × ...×Xn = (x1, ..., xn) : xi ∈ Xi para i = 1, ..., n.

Seja

(X1× ...×Xn)∗ = x : 1, ..., n → X1 ∪ ...∪Xn : x(i) ∈ Xi para i = 1, ..., n.

Ache uma aplicacao bijetiva entre X1 × ...×Xn e (X1 × ...×Xn)∗.

24

10. O espaco produto

10.1. Proposicao. Seja Xi : i ∈ I uma famılia nao vazia de espacostopologicos nao vazios, e seja X =

∏i∈I Xi. Seja

B = ∏i∈I

Ui : Ui e aberto em Xi para cada i ∈ I.

Entao B e base para uma topologia em X, que chamaremos de topologia dascaixas.

Demonstracao. E claro que B verifica as condicoes (a) e (b) da Proposicao6.6.

Se I = 1, ..., n e Xi = R para cada i ∈ I, entao e claro que a topologiadas caixas coincide com a topologia usual em Rn. Mas se I e um conjuntoinfinito, entao a topologia das caixas, mesmo sendo bastante natural, e poucoconveniente. Mais adiante veremos varias propriedades P tais que, embora cadaXi tenha a propriedade P, o produto

∏i∈I Xi, com a topologia das caixas, nao

tem a propriedade P. Por essa razao a topologia usual no produto∏

i∈I Xi vemdada pela proposicao seguinte.


∏i∈I Xi. Seja B a famılia de todos os

produtos∏

i∈I Ui tais que:(a) Ui e aberto em Xi para cada i ∈ I;(b) Ui = Xi para cada i ∈ I \ J , com J ⊂ I, J finito.Entao B e base para uma topologia em X, que chamaremos de topologia

produto.

Demonstracao. E facil verificar que B verifica as condicoes (a) e (b) daProposicao 6.6. E conveniente notar que cada U ∈ B pode ser escrito na forma

U = (∏j∈J

Uj)× (∏

i∈I\J

Xi) =⋂j∈J

π−1j (Uj).


∏i∈I Xi. A topologia produto e a topologia

mais fraca em X tal que todas as projecoes πj : X → Xj sao contınuas.

Demonstracao. Seja τp a topologia produto. Se Uj e aberto em Xj , entaoπ−1

j (Uj) pertence a B, e e portanto aberto em (X, τp). Logo πj : X → Xj econtınua para cada j ∈ I.

Seja τ uma topologia em X tal que πj : (X, τ) → Xj e contınua para cadaj ∈ I. Provaremos que τp ⊂ τ . Para isso basta provar que cada U ∈ B pertencea τ . Se U ∈ B, entao

U =⋂j∈J

π−1j (Uj),

25

com J finito e Uj aberto em Xj para cada j ∈ J . Segue que π−1j (Uj) e aberto

em (X, τ) para cada j ∈ J , e dai U e aberto em (X, τ).

A menos que digamos o contrario, sempre consideraremos o produto carte-siano

∏i∈I Xi com a topologia produto.

10.4. Proposicao. Seja Xi : i ∈ I uma famılia nao vazia de espacostopologicos, e seja X =

∏i∈I Xi. Seja Y um espaco topologico, e seja g : Y →

X. Entao a funcao g e contınua se e so se a funcao composta πj g : Y → Xj

e contınua para cada j ∈ I.

Demonstracao. A implicacao ⇒ e imediata.(⇐) Suponhamos que πj g : Y → Xj seja contınua para cada j ∈ I. Para

provar que g : Y → X e contınua, basta provar que g−1(U) e aberto em Y paracada U ∈ B. Se U ∈ B, entao

U =⋂j∈J

π−1j (Uj),

com J finito e Uj aberto em Xj para cada j ∈ J . Logo

g−1(U) =⋂j∈J

g−1(π−1j (Uj)) =

⋂i∈I

(πj g)−1(Uj).

Como πj g : Y → Xj e contınua para cada j, segue que g−1(U) e aberto emY .

Os resultados anteriores motivam o conceito seguinte:

10.5. Proposicao. Seja X um conjunto, seja Xi : i ∈ I uma famılia deespacos topologicos, e seja fi : X → Xi para cada i ∈ I. Seja

B = ⋂j∈J

f−1j (Uj) : J finito, Uj aberto em Xj.

Entao:(a) B e base para uma topologia τw em X.(b) τw e a topologia mais fraca em X tal que fi : X → Xi e contınua para

cada i ∈ I.(c) Se Y e um espaco topologico, entao uma funcao g : Y → X e contınua

se e so se fi g : Y → Xi e contınua para cada i ∈ I.Diremos que τw e a topologia fraca em X definida pela famılia de funcoes

fi : i ∈ I.

Demonstracao. Nao e difıcil adaptar as demonstracoes dos resultadosanteriores.

10.6. Proposicao. Seja X um espaco topologico, que tem a topologiafraca definida por uma famılia de funcoes fi : X → Xi (i ∈ I). Seja S um

26

subespaco topologico de X. Entao S tem a topologia fraca definida pela famıliade restricoes fi|S : S → Xi (i ∈ I).

Demonstracao. Nos sabemos que

BX = ⋂j∈J

f−1j (Uj) : J finito, Uj aberto em Xj

e base para a topologia de X, e que

BS = S ∩⋂j∈J


e base para a topologia de S. Como

S ∩⋂j∈J

f−1j (Uj) =

⋂j∈J

S ∩ f−1j (Uj =

⋂j∈J

(fj |S)−1(Uj),

vemos que S tem a topologia fraca definida pela famılia de restricoes fi|S : S →Xi (i ∈ I).

10.7. Definicao. Seja fi : X → Xi para cada i ∈ I. Diremos que a famıliafi : i ∈ I separa os pontos de X se dados x 6= y em X, existe i ∈ I tal quefi(x) 6= fi(y).

A proposicao seguinte da condicoes necessarias e suficientes para que umespaco topologico seja homeomorfo a um subespaco de um espaco produto.

10.8. Proposicao. Seja fi : X → Xi para cada i ∈ I, sendo X e cada Xi

espacos topologicos. Seja

ε : x ∈ X → (fi(x))i∈I ∈∏i∈I

Xi.

Entao ε e um mergulho se e so se se verificam as seguintes condicoes:(a) A famılia fi : i ∈ I separa os pontos de X.(b) X tem a topologia fraca definida pela famılia fi : i ∈ I.A aplicacao ε e chamada de avaliacao.

Demonstracao. Notemos que πi ε = fi, para cada i.

(⇒) Por hipotese ε e um homeomorfismo entre X e o subespaco ε(X) de∏i∈I Xi.Como ε e injetivo, e claro que fi : i ∈ I separa os pontos de X.Pela Proposicao 10.6 ε(X) tem a topologia fraca definida pela famılia de

restricoesπi|ε(X) : ε(X) → Xi.

Como ε : X → ε(X) e um homeomorfismo, segue que X tem a topologia fracadefinida pela famılia de funcoes

(πi|ε(X)) ε = fi : X → Xi.

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(⇐) Como fi : i ∈ I separa os pontos de X, e claro que ε e injetivo.Segue de (b) que πi ε = fi : X → Xi e contınua para cada i ∈ I. Logo

ε : X →∏

i∈I Xi e contınua. Para provar que ε e um mergulho provaremos queε : X → ε(X) e aberta. Por (b) a famılia

B = ⋂j∈J


e uma base para X. Seja U =⋂

j∈J f−1j (Uj) ∈ B. Entao

U =⋂j∈J

(πj ε)−1(Uj) =⋂j∈J

ε−1(π−1j (Uj)).

Como ε e injetiva,

ε(U) =⋂j∈J

ε(ε−1(π−1j (Uj))) =

⋂j∈J

ε(X) ∩ π−1j (Uj) = ε(X) ∩

⋂j∈J

π−1j (Uj).

Logo ε(U) e aberto em ε(X), como queriamos.

Exercıcios

10.A. Seja Xi : i ∈ I uma famılia de espacos topologicos, e seja X =∏i∈I Xi. Prove que cada projecao πi : X → Xi e uma funcao aberta.

10.B. Prove que as projecoes canonicas em R2 nao sao funcoes fechadas.

10.C. Seja Xi : i ∈ I uma famılia nao vazia de espacos topologicos naovazios, e seja X =

∏i∈I Xi. Prove que cada Xi e homeomorfo a um subespaco

de X.

10.D. Um espaco topologico X e dito nao trivial se tiver pelo menos doispontos, e trivial em caso contrario. Seja Xi : i ∈ I uma famılia nao vazia deespacos topologicos nao vazios. Suponhamos que exista J , ∅ 6= J ⊂ I tal queXi e trivial para todo i ∈ I \ J . Prove que

∏i∈I Xi e homeomorfo a

∏j∈J Xj .

10.E. Se αi < βi para cada i ∈ I, prove que o produto∏

i∈I [αi, βi] ehomeomorfo ao produto [0, 1]I .

10.F. Seja S um subespaco de um espaco topologico X. Prove que a topolo-gia de X coincide com a topologia fraca definida pela inclusao S → X.

28

11. O espaco quociente

11.1. Proposicao. Seja X um espaco topologico, seja Y um conjunto, eseja π : X → Y uma aplicacao sobrejetiva. Entao a colecao

τπ = V ⊂ Y : π−1(V ) e aberto em X

e uma topologia em Y , que chamaremos de topologia quociente definida por π.

A demonstracao e simples e e deixada como exercıcio.

11.2. Definicao. Diremos que π : X → Y e uma aplicacao quociente seX e um espaco topologico, π : X → Y e uma aplicacao sobrejetiva e Y tem atopologia quociente definida por π.

11.3. Proposicao. Seja π : X → Y uma aplicacao quociente. Entaoa topologia quociente e a topologia mais fina em Y tal que a aplicacao π econtınua.

A proposicao e consequencia imediata da definicao de τπ.

11.4. Proposicao. Seja π : X → Y uma aplicacao quociente e seja Z umespaco topologico. Entao uma funcao g : Y → Z e contınua se e so se a funcaocomposta g π : X → Z e contınua.

Demonstracao. A implicacao ⇒ e imediata. Para provar a implicacaooposta, seja W um aberto de Z. Como gπ e contınua, temos que (gπ)−1(W ) =π−1(g−1(W )) e aberto em X. Segue que g−1(W ) e aberto em Y .

11.5. Proposicao. Sejam X e Y espacos topologicos, e seja π : X → Yuma aplicacao sobrejetiva e contınua. Se π e aberta ou fechada, entao a topologiaτ de Y coincide com a topologia quociente τπ.

Demonstracao. Suponhamos que π seja aberta. Como π e contınua, eclaro que τ ⊂ τπ. Para provar que τπ ⊂ τ , seja V ∈ τπ. Entao π−1(V ) e abertoem X. Como π e aberta e sobrejetiva, segue que V = π(π−1(V )) ∈ τ .

Quando π e fechada, a demonstracao e parecida.

11.6. Exemplo. Seja

S1 = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1

e sejaπ : t ∈ [0, 2π] → (cost, sent) ∈ S1.

Claramente π e sobrejetiva e contınua. Usando resultados de compacidade emRn nao e difıcil provar que π e fechada. Logo S1 tem a topologia quocientedefinida por π.

11.7. Proposicao. Seja X um espaco topologico. Seja D uma famılia desubconjuntos disjuntos de X cuja uniao e X. Seja

τD = A ⊂ D :⋃A : A ∈ A e aberto em X.

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Entao τD e uma topologia em D. Diremos que D e uma decomposicao de X.Dado x ∈ X seja P (x) o unico elemento de D que contem x. A aplicacaoP : X → D assim definida e chamada de aplicacao decomposicao.

Demonstracao. E claro que ∅,D ∈ τD.Se Ai ∈ τD para cada i ∈ I, entao

⋃i∈I Ai ∈ τD, pois⋃

A : A ∈⋃i∈I

Ai =⋃i∈I

⋃A : A ∈ Ai

e aberto em X.Se A,B ∈ τD, entao A ∩ B ∈ τD, pois⋃

C : C ∈ A ∩ B = (⋃A : A ∈ A) ∩ (

⋃B : B ∈ B

e aberto em X. Para provar a igualdade anterior e necessario observar que seA,B ∈ D e A ∩B 6= ∅, entao A = B.

11.8. Proposicao. Toda aplicacao decomposicao P : X → D e umaaplicacao quociente.

Demonstracao. Se A ⊂ D, e claro que

P−1(A) = x ∈ X : P (x) ∈ A =⋃A : A ∈ A.

Segue queτD = A ⊂ D : P−1(A) e aberto em X.

Logo τD e a topologia quociente definida por P .

Reciprocamente temos o resultado seguinte.

11.9. Proposicao. Seja π : X → Y uma aplicacao quociente. Entao existeuma aplicaao decomposicao P : X → D e existe um homeomorfismo f : Y → Dtal que f π = P .

Demonstracao. Seja

D = π−1(y) : y ∈ Y .

Como π e sobrejetiva, e claro que D e uma decomposicao de X. Seja P : X → Da aplicacao canonica. Seja f : Y → D definida por f(y) = π−1(y) para caday ∈ Y . E claro que f e bijetiva. Como f(π(x)) = π−1(π(x)) contem x, segueque f(π(x)) = P (x) para cada x ∈ X.

Como f π = P e contınua, segue que f e contınua. E como f−1 P = π econtınua, segue que f−1 e contınua.

11.10. Definicao. Seja X um espaco topologico, e seja ∼ uma relacao deequivalencia em X. A decomposicao D formada pelas classes de equivalenciadefinidas pela relacao ∼ e denotada por X/ ∼ e e chamada de espaco de iden-tificacao de X modulo ∼.

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11.11. Exemplos.(a) Ja vimos que o cırculo unitario S1 e um quociente do intervalo [0, 2π].

AquiD = x : 0 < x < 2π ∪ 0, 2π.

Para x, y ∈ [0, 2π], tem-se que x ∼ y se x− y e um multiplo inteiro de 2π.

(b) Seja X = [0, 2π] × [0, 2π]. Dados (x1, y1), (x2, y2) ∈ X, definamos(x1, y1) ∼ (x2, y2) se x1 − x2 e um multiplo inteiro de 2π e y1 = y2. Entao∼ e uma relacao de equivalencia em X e o espaco de identificacao X/ ∼ ehomeomorfo ao cilindro S1 × [0, 2π]. A aplicacao quociente vem dada por

π : (x, y) ∈ [0, 2π]× [0, 2π] → ((cosx, senx), y) ∈ S1 × [0, 2π].

(c) Seja X = [0, 2π]×[0, 2π]. Dados (x1, y1), (x2, y2) ∈ X definamos (x1, y1) ∼(x2, y2) se x1−x2 e um multiplo inteiro de 2π e y1 = y2 ou se x1 = x2 e y1− y2

e um multiplo inteiro de 2π. Neste caso X/ ∼ e homeomorfo ao toro S1 × S1.A aplicacao quociente vem dada por

π : (x, y) ∈ [0, 2π]× [0, 2π] → ((cosx, senx), (cosy, seny)) ∈ S1 × S1.

(d) Seja X = [0, 2π] × [0, 2π]. Dados (x1, y1), (x2, y2) ∈ X definamos(x1, y1) ∼ (x2, y2) se x1 − x2 e um multiplo inteiro de 2π e y1 + y2 = 2π.Neste caso X/ ∼ e homeomorfo a fita de Mobius.

Exercıcios

11.A. Sejam X e Y espacos topologicos, e seja π : X → Y uma aplicacaosobrejetiva. Prove que e condicao necessaria e suficiente para que π seja umaaplicacao quociente que B seja fechado em Y se e so se π−1(B) e fechado emX.

11.B. Sejam X e Y espacos topologicos, e seja π : X → Y uma aplicacaocontınua. Se existir uma aplicacao contınua σ : Y → X tal que π σ(y) = ypara todo y ∈ Y , prove que π e uma aplicacao quociente.

11.C. Sejam X e Y espacos topologicos, e seja π : X → Y uma aplicacaoquociente.

(a) Prove que π e aberta se e so se π−1(π(U)) e aberto em X para cadaaberto U de X.

(b) Prove que π e fechada se e so se π−1(π(A)) e fechado em X para cadafechado A de X.

11.D. Seja X = [0, 1], com a topologia induzida por R. Seja Y = 0, 1, eseja π : X → Y a funcao caracterıstica do intervalo [1/2, 1].

(a) Prove que a topologia quociente τπ em Y vem dada por τπ = ∅, Y, 0.Y e o espaco de Sierpinski, que encontramos no Exercıcio 3.B.

(b) Prove que π nao e aberta nem fechada.

31

12. Convergencia de sequencias

12.1. Definicao. Seja X um espaco metrico. Diremos que uma sequencia(xn)∞n=1 ⊂ X converge a um ponto x ∈ X se dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal qued(xn, x) < ε para todo n ≥ n0. Neste caso escreveremos xn → x.

12.2. Proposicao. Seja X um espaco metrico, e sejam A ⊂ X e x ∈ X.Tem-se que x ∈ A se e so se existe uma sequencia (xn)∞n=1 ⊂ A que converge ax.

Demonstracao. Pela Proposicao 5.8 x ∈ A se e so se A ∩B(x; ε) 6= ∅ paracada ε > 0.

(⇒) Se x ∈ A, entao existe xn ∈ A∩B(x; 1/n) para cada n ∈ N. Segue quexn → x.

(⇐) Suponhamos que exista (xn)∞n=1 ⊂ A tal que xn → x. Entao, dado ε > 0existe n0 ∈ N tal que d(xn, x) < ε para todo n ≥ n0. Segue que A∩B(x; ε) 6= ∅para todo ε > 0. Logo x ∈ A.

12.3. Corolario. Seja X um espaco metrico, e seja A ⊂ X. Entao A efechado se e so se, cada vez que (xn)∞n=1 ⊂ A e xn → x, entao x ∈ A.

12.4. Proposicao. Seja f : X → Y , sendo X e Y espacos metricos. Entaof e contınua num ponto a ∈ X se e so se, cada vez que xn → a em X, entaof(xn) → f(a) em Y .

Demonstracao. (⇒) Se f e contınua em a, entao, dado ε > 0, existe δ > 0tal que f(B(a; δ)) ⊂ B(f(a); ε). Se xn → a, existe n0 ∈ N tal que d(xn, a) < δpara todo n ≥ n0. Segue que d(f(xn), f(a)) < ε para todo n ≥ n0. Logof(xn) → f(a).

(⇐) Se f nao e contınua em a, entao existe ε > 0 tal que para cada δ > 0tem-se que f(B(a; δ)) 6⊂ B(f(a); ε). Em particular para cada n ∈ N existexn ∈ B(a; 1/n) tal que f(xn) /∈ B(f(a); ε). Segue que xn → a em X, masf(xn) 6→ f(a) em Y .

12.5. Definicao. Seja X um espaco topologico. Diremos que uma sequencia(xn)∞n=1 ⊂ X converge a um ponto x ∈ X se dado U ∈ Ux existe n0 ∈ N talque xn ∈ U para todo n ≥ n0. Neste caso escreveremos xn → x.

Na definicao anterior podemos trocar o sistema de vizinhancas Ux por qual-quer base de vizinhancas Bx.

12.6. Definicao. Seja (xn)∞n=1 uma sequencia em X. Chamaremos desubsequencia de (xn)∞n=1 qualquer sequencia da forma (xnk

)∞k=1, sendo (nk)∞k=1

uma sequencia estritamente crescente em N.

Exercıcios

X e Y denotam espacos topologicos.

12.A. Se (xn)∞n=1 converge a x, prove que qualquer subsequencia (xnk)∞k=1

32

tambem converge a x.

12.B. Seja A ⊂ X.(a) Prove que, se existir uma sequencia (xn)∞n=1 ⊂ A tal que xn → x, entao

x ∈ A.(b) Suponhamos que X verifique o primeiro axioma de enumerabilidade.

Prove que, se x ∈ A, entao existe uma sequencia (xn)∞n=1 ⊂ A tal que xn → x.

12.C. Seja f : X → Y , e seja a ∈ X.(a) Prove que, se f e contınua em a, entao, cada vez que xn → a em X,

tem-se que f(xn) → f(a) em Y .(b) Suponhamos que X verifique o primeiro axioma de enumerabilidade.

Prove que, se cada vez que xn → a em X tem-se que f(xn) → f(a) em Y , entaof e contınua em a.

12.D. Seja X =∏

i∈I Xi o produto cartesiano de uma famılia de espacostopologicos. Prove que xn → x em X se e so se πi(xn) → πi(x) em Xi paracada i ∈ I.

12.E. Seja X = RR. Prove que fn → f em X se e so se fn(t) → f(t) emR para cada t ∈ R.

12.F. Seja X = RR e seja M = χA : A ⊂ R, A finito ⊂ X.(a) Prove que χR ∈ M .(b) Prove que nao existe nenhuma sequencia (χAn

)∞n=1 ⊂ M tal que χAn→

χR.(c) Prove que X nao satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade.

12.G. Seja (xn)∞n=1 uma sequencia em X e seja x ∈ X. Se cada subsequenciade (xn)∞n=1 admite uma subsequencia que converge a x, prove que (xn)∞n=1

converge a x.

33

13. Convergencia de redes

13.1. Definicao. Um conjunto Λ, junto com uma relacao ≤, e chamado deconjunto dirigido se verifica as seguintes propriedades:

(a) λ ≤ λ para todo λ ∈ Λ.(b) Se λ ≤ µ e µ ≤ ν, entao λ ≤ ν.(c) Dados λ, µ ∈ Λ, existe ν ∈ Λ tal que ν ≥ λ e ν ≥ µ.

13.2. Exemplos.(a) N, com a relacao de ordem usual, e um conjunto dirigido.

(b) Seja X um espaco topologico, e seja x ∈ X. Se definimos U ≤ V quandoU ⊃ V , entao o sistema de vizinhancas Ux e um conjunto dirigido. De maneiraanaloga, qualquer base de vizinhancas Bx e um conjunto dirigido.

13.3. Definicao. Seja X um espaco topologico.(a) Chamaremos de rede em X qualquer funcao da forma x : Λ → X, sendo

Λ um conjunto dirigido. Escreveremos xλ em lugar de x(λ), e falaremos da rede(xλ)λ∈Λ.

(b) Diremos que a rede (xλ)λ∈Λ converge a um ponto x ∈ X se dada U ∈ Ux,existe λ0 ∈ I tal que xλ ∈ U para todo λ ≥ λ0. Neste caso escreveremos xλ → x.

E claro que a definicao em (b) nao muda se trocamos o sistema de vizinhancasUx por qualquer base de vizinhancas Bx.

13.4. Exemplos. Seja X um espaco topologico.(a) Qualquer sequencia em X e uma rede, e a convergencia de redes gener-

aliza a convergencia de sequencias.

(b) Seja x ∈ X. Se escolhemos xU ∈ U para cada U ∈ Ux, entao (xU )U∈Ux

e uma rede em X que converge a x.

(c) Seja x ∈ X, e seja Bx uma base de vizinhancas de x. Se escolhemosxU ∈ U para cada U ∈ Bx, entao (xU )U∈Bx

e uma rede em X que converge a x.

Notemos que, nos Exemplos 13.4(b) e 13.4(c) estamos usando a Proposicao9.3, ou seja o axioma da escolha.

O resultado seguinte generaliza a Proposicao 12.2.

13.5. Proposicao. Seja X um espaco topologico, e sejam A ⊂ X e x ∈ X.Tem-se que x ∈ A se e so se existe uma rede (xλ)λ∈Λ ⊂ A que converge a x.

Demonstracao. Pela Proposicao 5.8, x ∈ A se e so se U ∩A 6= ∅ para cadaU ∈ Ux.

(⇒) Se x ∈ A, podemos escolher xU ∈ U ∩ A para cada U ∈ Ux. Entao arede (xU )U∈Ux

esta contida em A e converge a x.

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(⇐) Seja (xλ)λ∈Λ uma rede em A que converge a x. Dado U ∈ Ux, existeλ0 ∈ Λ tal que xλ ∈ U para todo λ ≥ λ0. Em particular xλ0 ∈ U ∩ A. Segueque x ∈ A.

O resultado seguinte generaliza a Proposicao 12.4.

13.6. Proposicao. Seja f : X → Y , sendo X e Y espacos topologicos.Entao f e contınua num ponto x ∈ X se e so se, para cada rede (xλ)λ∈Λ queconverge a x em X, a rede (f(xλ))λ∈Λ converge a f(x) em Y .

Demonstracao. Pela Proposicao 8.2, f e contınua em x se e so se, dadoV ∈ Uf(x), existe U ∈ Ux tal que f(U) ⊂ V .

(⇒) Suponhamos que f seja contınua em x. Seja (xλ)λ∈Λ uma rede em Xque converge a x. Entao, dada V ∈ Uf(x), existe U ∈ Ux tal que f(U) ⊂ V .Seja λ0 ∈ Λ tal que xλ ∈ U para todo λ ≥ λ0. Entao f(xλ) ∈ f(U) ⊂ V paratodo λ ≥ λ0. Logo f(xλ) → f(x).

(⇐) Suponhamos que f nao seja contınua em x. Entao existe V ∈ Uf(x) talque f(U) 6⊂ V para todo U ∈ Ux. Se escolhemos xU ∈ U tal que f(xU ) /∈ Vpara cada U ∈ Ux, entao xU → x, mas f(xU ) 6→ f(x).


∏i∈I Xi. Entao uma rede (xλ)λ∈Λ converge

a x em X se e so se a rede (πi(xλ))λ∈Λ converge a πi(x) em Xi para cada i ∈ I.

Demonstracao. (⇒) Se xλ → x em X, entao πi(xλ) → πi(x) em Xi, paracada i ∈ I, pois cada πi e contınua.

(⇐) Suponhamos que πi(xλ) → πi(x) para cada i ∈ I. Seja U uma vizin-hanca aberta basica de x em X, ou seja

x ∈ U =⋂j∈J

π−1j (Uj), com J finito, Uj aberto em Xj .

Para cada j ∈ J πj(x) ∈ Uj . Logo existe λj ∈ Λ tal que

πj(xλ) ∈ Uj para todo λ ≥ λj .

Como Λ e um conjunto dirigido existe λ0 ∈ Λ tal que λ0 ≥ λj para cada j ∈ J .Segue que

xλ ∈⋂j∈J

π−1j (Uj) para todo λ ≥ λ0.

Logo xλ → x.

13.8. Definicao. Seja X um espaco topologico, e seja (xλ)λ∈Λ uma redeem X. Diremos que x ∈ X e um ponto de acumulacao de (xλ)λ∈Λ se dadosU ∈ Ux e λ0 ∈ Λ, existe λ ∈ Λ, λ ≥ λ0, tal que xλ ∈ U .

Se (xλ)λ∈Λ converge a x, e claro que x e ponto de acumulacao de (xλ)λ∈Λ.

35

13.9. Definicao. Seja X um espaco topologico, e seja x : Λ → X umarede em X. Chamaremos de subrede de x : Λ → X qualquer rede da formax φ : M → X, sendo M um conjunto dirigido, e sendo φ : M → Λ uma funcaocom as seguintes propriedades:

(a) µ1 ≤ µ2 implica φ(µ1) ≤ φ(µ2) (φ e crescente);(b) dado λ ∈ Λ, existe µ ∈ M tal que φ(µ) ≥ λ (φ e cofinal).A subrede x φ : M → X sera denotada por (xφ(µ))µ∈M .

13.10. Proposicao. Seja X um espaco topologico, e seja (xλ)λ∈Λ umarede em X. Entao x ∈ X e um ponto de acumulacao de (xλ)λ∈Λ se e so seexiste uma subrede de (xλ)λ∈Λ que converge a x.

Demonstracao. (⇐) Seja (xφ(µ))µ∈M uma subrede de (xλ)λ∈Λ que con-verge a x. Sejam U ∈ Ux e λ0 ∈ Λ dados. Por um lado existe µ1 ∈ M tal queφ(µ1) ≥ λ0. Por outro lado existe µ2 ∈ M tal que xφ(µ) ∈ U para todo µ ≥ µ2.Seja µ ∈ M tal que µ ≥ µ1 e µ ≥ µ2. Segue que φ(µ) ≥ φ(µ1) ≥ λ0 e xφ(µ) ∈ U .Logo x e ponto de acumulacao de (xλ)λ∈Λ.

(⇒) Seja x um ponto de acumulacao de (xλ)λ∈Λ. Seja

M = (λ, U) ∈ Λ× Ux : xλ ∈ U.

Definamos (λ1, U1) ≤ (λ2, U2) se λ1 ≤ λ2 e U1 ⊃ U2. Claramente M e umconjunto dirigido. Definamos φ : M → Λ por φ(λ, U) = λ. Claramente(xφ(µ))µ∈M e uma subrede de (xλ)λ∈Λ. Provaremos que xφ(µ) → x. SejaU0 ∈ Ux. Como x e ponto de acumulacao de (xλ)λ∈Λ, existe λ0 ∈ Λ tal quexλ0 ∈ U . Entao (λ0, U0) ∈ M e e claro que xλ ∈ U0 para todo (λ, U) ∈ M talque (λ, U) ≥ (λ0, U0). Ou seja xφ(µ) → x.

13.11. Definicao. Diremos que uma rede (xλ)λ∈Λ em X e uma redeuniversal ou ultrarede se dado A ⊂ X existe λ0 ∈ Λ tal que

xλ : λ ≥ λ0 ⊂ A ou xλ : λ ≥ λ0 ⊂ X \A.

E claro que toda rede constante e uma rede universal, chamada de redeuniversal trivial.

13.12. Proposicao. Seja X um espaco topologico, e seja (xλ)λ∈Λ uma redeuniversal em X. Se x e um ponto de acumulacao de (xλ)λ∈Λ, entao (xλ)λ∈Λ

converge a x.

Demonstracao. Seja U ∈ Ux. Como (xλ)λ∈Λ e rede universal, existeλ0 ∈ Λ tal que

xλ : λ ≥ λ0 ⊂ U ou xλ : λ ≥ λ0 ⊂ X \ U.

Como x e ponto de acumulacao de (xλ)λ∈Λ, existe λ ≥ λ0 tal que xλ ∈ U . Segueque

xλ : λ ≥ λ0 ⊂ U.

36

Logo xλ → x.

Exercıcios

13.A. Se uma rede (xλ)λ∈Λ converge a x, prove que qualquer subrede de(xλ)λ∈Λ tambem converge a x.

13.B. Se x e ponto de acumulacao de uma subrede de (xλ)λ∈Λ, prove que xe ponto de acumulacao de (xλ)λ∈Λ.

13.C. Seja x um ponto de acumulacao de uma rede (xλ)λ∈Λ no produtoX =

∏i∈I Xi. Prove que πi(x) e ponto de acumulacao da rede (πi(xλ))λ∈Λ em

Xi para cada i ∈ I.

13.D. Seja (xλ)λ∈Λ uma rede em X, e seja x ∈ X. Se cada subrede de(xλ)λ∈Λ admite uma subrede que converge a x, prove que (xλ)λ∈Λ converge ax.

13.E. Prove que cada subrede de uma rede universal e uma rede universal.

13.F. Seja f : X → Y . Se (xλ)λ∈Λ e uma rede universal em X, prove que(f(xλ))λ∈Λ e uma rede universal em Y .

37

14. O lema de Zorn e o teorema de Zermelo

14.1. Definicao. Chamaremos de relacao de ordem parcial num conjuntoX uma relacao ≤ em X com as seguintes propriedades:

(a) x ≤ x para todo x ∈ X (≤ e reflexiva);(b) se x ≤ y e y ≤ x, entao x = y (≤ e antisimetrica);(c) se x ≤ y e y ≤ z, entao x ≤ z (≤ e transitiva).Neste caso diremos que X e um conjunto parcialmente ordenado.

Diremos que ≤ e uma relacao de ordem total se alem de verificar (a), (b) e(c), tambem verifica

(d) dados x, y ∈ X, tem-se que x ≤ y ou y ≤ x.Neste caso diremos que X e um conjunto totalmente ordenado.

14.2. Exemplos.(a) Se X e um conjunto, entao a relacao de inclusao e uma relacao de ordem

parcial em P(X).

(b) A relacao de ordem usual em R e uma relacao de ordem total.

14.3. Definicao. Seja X um conjunto parcialmente ordenado, e seja A ⊂X.

(a) Se existir a0 ∈ A tal que a0 ≤ a para todo a ∈ A, diremos que a0 e oelemento mınimo de A. De maneira analoga definimos elemento maximo.

(b) Se existir a0 ∈ A tal que a = a0 sempre que a ∈ A e a ≤ a0, diremosque a0 e um elemento minimal de A. De maneira analoga definimos elementominimal.

(c) Se existir c ∈ X tal que c ≤ a para todo a ∈ A, diremos que A e limitadoinferiormente e que c e uma cota inferior de A. De maneira analoga definimosconjunto limitado superiormente e cota superior.

(d) Diremos que A e uma cadeia em X se A e totalmente ordenado sob arelacao de ordem parcial induzida por X.

(e) Diremos que A e bem ordenado se cada subconjunto nao vazio de Apossui um elemento mınimo.

14.4. Exemplos.(a) N, com a ordem usual, e um conjunto bem ordenado.(b) R, com a ordem usual, e um conjunto totalmente ordenado, que nao e

bem ordenado: o intervalo aberto (a, b) nao possui elemento mınimo.

14.5. Lema de Zorn. Seja X um conjunto parcialmente ordenado naovazio tal que cada cadeia em X e limitada superiormente. Entao X possui pelomenos um elemento maximal.

14.6. Teorema de Zermelo. Cada conjunto nao vazio pode ser bemordenado.

38

14.7. Teorema. As seguintes afirmacoes sao equivalentes:(a) O axioma da escolha.(b) O lema de Zorn.(c) O teorema de Zermelo.

Demonstracao. (b) ⇒ (c): Seja X um conjunto nao vazio. Seja F a famıliade todos os pares (A,≤A) tais que ∅ 6= A ⊂ X e (A,≤A) e um conjunto bemordenado. E facil verificar que F e um conjunto parcialmente ordenado naovazio se definimos (A,≤A) ≤ (B,≤B) quando:

(i) A ⊂ B;(ii) se x, y ∈ A, entao x ≤A y se e so se x ≤B y;(iii) se x ∈ A e y ∈ B \A, entao x ≤B y.Provaremos que cada cadeia em F e limitada superiormente. De fato, seja

(Ai,≤Ai) : i ∈ I uma cadeia em F , e seja A =

⋃i∈I Ai. Dados x, y ∈ A

definamos x ≤A y se x, y ∈ Ai e x ≤Aiy. E facil verificar que a relacao ≤A esta

bem definida, e e uma relacao de ordem parcial em A. Afirmamos que (A,≤A)e um conjunto bem ordenado. Seja ∅ 6= B ⊂ A, e seja

J = j ∈ I : B ∩Aj 6= ∅.

Notemos que ≤A coincide com ≤Aiem Ai para cada i ∈ I. Como (Ai,≤Ai

)e bem ordenado para cada i ∈ I, segue que todos os conjuntos B ∩ Aj , comj ∈ J , tem o mesmo elemento mınimo, que denotaremos por b0. Segue que b0 eo elemento mınimo de B. Logo (A,≤A) e bem ordenado, ou seja pertence a F .Agora e claro que (A,≤A) e uma cota superior da cadeia (Ai,≤Ai) : i ∈ I.

Pelo lema de Zorn, F possui pelo menos um elemento maximal (A,≤A).Segue da maximalidade de (A,≤A) que A = X. Logo (X,≤X) e um conjuntobem ordenado.

(c) ⇒ (a): Seja Xi : i ∈ I uma famılia nao vazia de conjuntos nao vazios.Pelo teorema de Zermelo, existe uma boa ordenacao para

⋃i∈I Xi. Para cada

i ∈ I seja f(i) o elemento mınimo de Xi. Entao f ∈∏

i∈I Xi.

(a) ⇒ (b): Esta e a implicacao mais difıcil de provar. Seja X um conjuntoparcialmente ordenado nao vazio no qual cada cadeia e limitada superiormente.

Seja X a famılia de todas as cadeias de X. Entao X e um conjunto parcial-mente ordenado nao vazio, por inclusao de conjuntos.

A estrategia da demonstracao e trabalhar com a famılia de conjuntos X , quee parcialmente ordenada por inclusao, em lugar de trabalhar com o conjuntoparcialmente ordenado abstrato X. Depois de provar que X possui um elementomaximal, sera facil provar que X possui um elemento maximal.

O primeiro passo e caracterizar os elementos maximais de X . Para cadaC ∈ X seja

C = x ∈ X : C ∪ x ∈ X.

E claro que C ⊂ C. Alem disso, C e maximal em X se e so se C = C.

39

Pelo axioma da escolha, existe uma funcao f : P(X) \ ∅ → X tal quef(A) ∈ A para cada A ∈ P(X) \ ∅.

Seja g : X → X definida por:

g(C) = C se C = C,

g(C) = C ∪ f(C \ C) se C 6= C.

A funcao g esta bem definida, pois se C 6= C, entao f(C \C) ∈ C \C, e portantoC ∪ f(C \ C) ∈ X . Alem disso, C e maximal em X se e so se g(C) = C.

Diremos que uma famılia T ⊂ X e uma torre se:(i) ∅ ∈ T ;(ii) se C ∈ T , entao g(C) ∈ T ;(iii) se C e uma cadeia em T , entao

⋃C ∈ T .

E claro que X e uma torre. E claro que a intersecao de uma famılia de torrese uma torre. Seja T0 a intersecao de todas as torres de X . Entao T0 e a menortorre de X . Nosso proximo objetivo e provar que T0 e uma cadeia em X . Istovai nos dar muito trabalho.

Diremos que C ∈ T0 e comparavel se dado D ∈ T0, tem-se que C ⊂ D ouD ⊂ C.

Para provar que T0 e cadeia, basta provar que cada C ∈ T0 e comparavel.Para provar que cada C ∈ T0 e comparavel, basta provar que os conjuntos

comparaveis em T0 formam uma torre.

E claro que ∅ e comparavel. E claro tambem que se C e uma cadeia deconjuntos comparaveis, entao

⋃C e comparavel. O mais difıcil vai ser provar

que se C e comparavel, entao g(C) e comparavel tambem.

Fixemos C ∈ T0, C comparavel.Afirmamos que se D ∈ T0 e D ⊂ C, D 6= C, entao g(D) ⊂ C. Como T0 e

torre, g(D) ∈ T0. Como C e comparavel, tem-se que g(D) ⊂ C ou C ⊂ g(D),C 6= g(D). Mas C ⊂ g(D), C 6= g(D) e impossıvel, pois D ⊂ C, D 6= C eg(D) = D ou g(D) = D ∪ x.

SejaU = D ∈ T0 : D ⊂ C ou g(C) ⊂ D.

Afirmamos que U e uma torre. E claro que ∅ ∈ U . E claro tambem quese D e uma cadeia em U , entao

⋃D ∈ U . Falta provar que se D ∈ U , entao

g(D) ∈ U . Ha tres possibilidades:(i) D ⊂ C, D 6= C. Neste caso ja sabemos que g(D) ⊂ C, e portanto

g(D) ∈ U .(ii) D = C. Neste caso g(D) = g(C), e portanto g(D) ∈ U .(iii) g(C) ⊂ D. Neste caso g(D) ⊃ D ⊃ g(C), e portanto g(D) ∈ U .

Como U e torre e U ⊂ T0, segue que U = T0. Logo, dado D ∈ T0 = U ,tem-se que D ⊂ C ⊂ g(C) ou g(C) ⊂ D. Logo g(C) e comparavel.

40

Temos provado assim que os conjuntos comparaveis de T0 formam uma torre.Segue que cada C ∈ T0 e comparavel, e dai T0 e uma cadeia em X .

Como T0 e torre, temos que C0 :=⋃T0 ∈ T0. Como T0 e torre, temos que

g(C0) ∈ T0, e portanto g(C0) = C0. Logo C0 e maximal em X .

Por hipotese existe m ∈ X tal que c ≤ m para todo c ∈ C0. Como C0 e umacadeia maximal, e claro que m ∈ C0.

Afirmamos que m e um elemento maximal em X. De fato seja n ∈ X, comm ≤ n. Como C0 e uma cadeia maximal, segue que n ∈ C0. Logo n ≤ m, eportanto n = m. Isto completa a demonstracao.

Exercıcios.

14.A. Seja X = n ∈ N : n ≥ 2. Dados m,n ∈ X, definamos m ≤ n se mdivide n.

(a) Prove que ≤ e uma relacap de ordem parcial em X.(b) Prove que, dada uma cadeia C ⊂ X e um elemento n ∈ C, existe apenas

um numero finito de elementos n1, ..., nk ∈ C que dividem n.(c) Prove que cada cadeia C ⊂ X e limitada inferiormente.(d) Identifique os elementos minimais de X.

14.B. Seja (X,≤) um conjunto totalmente ordenado com pelo menos doiselementos. Dados x, y ∈ X, escreveremos x < y se x ≤ y e x 6= y.

(a) Prove que os conjuntos x ∈ X : a < x, com a ∈ X, junto com osconjuntos x ∈ X : x < b, com b ∈ X, formam uma sub-base para umatopologia em X, chamada de topologia da ordem.

(b) Prove que a topologia usual em R coincide com a topologia da ordemusual em R.

14.C. Seja E um espaco vetorial, E 6= 0. Usando o lema de Zorn proveque cada subconjunto linearmente independente de E esta contido em algumabase de E.

14.D. Sejam E e F espacos vetoriais sobre o mesmo corpo, seja E0 umsubespaco vetorial de E, e seja T0 : E0 → F uma aplicacao linear. Use o lemade Zorn para provar a existencia de uma aplicacao linear T : E → F tal queTx = T0x para todo x ∈ E0.

14.E. Seja A um anel comutativo com elemento unidade. Um conjuntoI ⊂ A e chamado de ideal se verifica as seguintes condicoes:

(a) x− y ∈ I para todo x, y ∈ I;(b) xy ∈ I para todo x ∈ I, y ∈ A.Um ideal I 6= A e chamado de ideal proprio. Um ideal proprio que nao esta

contido em nenhum outro ideal proprio e chamado de ideal maximal. Use o lemade Zorn para provar que cada ideal proprio de A esta contido em algum idealmaximal.

41

15. Convergencia de filtros

15.1. Definicao. Seja X um conjunto nao vazio. Diremos que uma famılianao vazia F ⊂ P(X) e um filtro em X se verifica as seguintes condicoes:

(a) A 6= ∅ para todo A ∈ F ;(b) se A,B ∈ F , entao A ∩B ∈ F ;(c) se A ∈ F e A ⊂ B ⊂ X, entao B ∈ F .

15.2. Definicao. Seja X um conjunto nao vazio. Diremos que uma famılianao vazia B ⊂ P(X) e uma base de filtro em X se a famılia

F = A ⊂ X : A ⊃ B para algum B ∈ B

e um filtro em X. Neste caso diremos que F e o filtro gerado por B.

E claro que todo filtro em X e uma base de filtro em X.

15.3. Proposicao. Seja X um conjunto nao vazio. Uma famılia naovazia B ⊂ P(X) e uma base de filtro em X se e so se se verificam as seguintescondicoes:

(a) A 6= ∅ para todo A ∈ B;(b) dados A,B ∈ B, existe C ∈ B tal que C ⊂ A ∩B.

Demonstracao. (⇒) Suponhamos que a famılia


seja um filtro em X. E claro que B ⊂ F , e portanto (a) vale. Para provar (b)sejam A,B ∈ B ⊂ F . Entao A ∩B ∈ F , e dai A ∩B ⊃ C para algum C ∈ B.

(⇐) Supondo (a) e (b) queremos provar que a famılia


e um filtro em X.Seja A ∈ F . Entao A ⊃ B para algum B ∈ B. Como B 6= ∅, segue que

A 6= ∅.Sejam A1, A2 ∈ F . Entao A1 ⊃ B1 e A2 ⊃ B2, com B1, B2 ∈ B. Existe

B3 ∈ B tal que B3 ⊂ B1 ∩B2. Segue que A1 ∩A2 ⊃ B1 ∩B2 ⊃ B3, e portantoA1 ∩A2 ∈ F .

Finalmente sejam A1 ∈ F e A1 ⊂ A2 ⊂ X. A1 ⊃ B1 para algum B1 ∈ B.Segue que A2 ⊃ A1 ⊃ B1, e portanto A2 ∈ F .

15.4. Exemplos.(a) Seja X um conjunto, seja ∅ 6= B ⊂ X, e seja B = B. E claro que B e

uma base de filtro em X. O filtro gerado por B e a famılia F = A : B ⊂ A ⊂X.

(b) Seja X um espaco topologico, e seja x ∈ X. Entao o sistema de vizin-hancas Ux e um filtro em X. Qualquer base de vizinhancas Bx e uma base defiltro em X que gera o filtro Ux.

42

(c) A famılia B = (a,∞) : a ∈ R e uma base de filtro em R.

15.5. Definicao. Uma base de filtro B em X e dita fixa se⋂B 6= ∅, e livre

se⋂B = ∅.

Seja F o filtro gerado por B. E claro que F e fixo se e so se B e fixa.Os filtros ou bases de filtro dos Exemplos 15.4 (a) e 15.4 (b) sao fixos. A

base de filtro do Exemplo 15.4 (c) e livre.

15.6. Definicao. Seja X um espaco topologico, e seja B uma base de filtroem X. Diremos que B converge a um ponto x ∈ X, e escreveremos B → x, sedado U ∈ Ux, existe B ∈ B tal que B ⊂ U .

E claro que um filtro F converge a x se e so se Ux ⊂ F . E claro tambem queuma base de filtro B converge a x se e so se o filtro gerado por B converge a x.

Trabalhar com filtros ou com bases de filtro e equivalente. Em geral, escolher-emos um ou outro, de maneira que os enunciados fiquem maissimples.

15.7. Exemplos. Seja X um espaco topologico, e seja x ∈ X. Entaoo sistema de vizinhancas Ux converge a x. Qualquer base de vizinhancas Bx

converge a x.

15.8. Proposicao. Seja X um espaco topologico, e sejam E ⊂ X e x ∈ X.Tem-se que x ∈ E se e so se existe um filtro F em X tal que E ∈ F e F → x.

Demonstrac ao. Sabemos que x ∈ E se e so se U ∩ E 6= ∅ para todoU ∈ Ux.

(⇐) Seja F um filtro em X tal que E ∈ F e F → x. Como F → x, tem-seque Ux ⊂ F . Segue que U ∩ E ∈ F , e portanto U ∩ E 6= ∅ para todo U ∈ Ux.Logo x ∈ E.

(⇒) Suponhamos que x ∈ E. Seja

B = U ∩ E : U ∈ Ux.

E claro que B e uma base de filtro em X, e que B → x. Seja F o filtro geradopor B. E claro que E ∈ F e F → x.

15.9. Proposicao. Seja B uma base de filtro em X, e seja f : X → Y umafuncao qualquer. Entao a famılia

f(B) = f(B) : B ∈ B

e uma base de filtro em Y .

Demonstracao: exercıcio.

15.10. Proposicao. Sejam X e Y espacos topologicos, e seja f : X → Y .Entao f e contınua num ponto x ∈ X se e so se f(B) → f(x) para cada basede filtro B em X que converge a x.

43

Demonstracao. Sabemos que f e contınua em x se e so se, dado V ∈ Uf(x),existe U ∈ Ux tal que f(U) ⊂ V .

(⇒) Suponhamos que f seja contınua em x, e seja B uma base de filtro emX que converge a x. Dada V ∈ Uf(x), existe U ∈ Ux tal que f(U) ⊂ V . ComoB → x, existe B ∈ B tal que B ⊂ U . Segue que f(B) ⊂ f(U) ⊂ V , e portantof(B) → f(x).

(⇐) Suponhamos que f(B) → f(x) para cada base de filtro B que convergea x. Como em particular Ux → x, tem-se que f(Ux) → f(x). Logo, dadaV ∈ Uf(x), existe U ∈ Ux tal que f(U) ⊂ V . Logo f e contınua em x.

15.11. Proposicao. Seja Xi : i ∈ I uma famılia nao vazia de espacostopologicos nao vazios, seja X =

∏i∈I Xi, e seja B uma base de filtro em X.

Entao B converge a x em X se e so se πi(B) converge a πi(x) em Xi para cadai ∈ I.

Demonstracao. (⇒) Se B → x em X, entao πi(B) → πi(x) em Xi, paracada i ∈ I, pois cada πi e contınua.

(⇐) Suponhamos que πi(B) → πi(x) em Xi para cada i ∈ I. Seja U umavizinhanca aberta basica de x em X, ou seja

x ∈ U =⋂j∈J

π−1j (Uj), com J finito, Uj aberto em Xj .

Como πj(B) → πj(x), existe Bj ∈ B tal que πj(Bj) ⊂ Uj , para cada j ∈ J . SejaB ∈ B tal que B ⊂

⋂j∈J Bj . Entao

B ⊂⋂j∈J

Bj ⊂⋂j∈J

π−1j (Uj) = U.

Logo B → x.

15.12. Definicao. Seja X um espaco topologico, e seja B uma base defiltro em X. Diremos que x ∈ X e um ponto de acumulacao de B se U ∩B 6= ∅para todo U ∈ Ux e B ∈ B, ou seja se x ∈

⋂B : B ∈ B.

Se B converge a x, e claro que x e ponto de acumulacao de B. E claro que xe ponto de acumulacao de B se e so se x e ponto de acumulacao do filtro geradopor B.

15.13. Proposicao. Seja X um espaco topologico, e seja F um filtro emX. Entao x e um ponto de acumulacao de F se e so se existe um filtro G ⊃ Fque converge a x.

Demonstracao. (⇐) Seja G um filtro em X tal que G ⊃ F e G → x. EntaoUx ⊂ G, e dai segue que U ∩A 6= ∅ para todo U ∈ Ux e A ∈ F . Logo x e pontode acumulacao de F .

(⇒) Suponhamos que x seja ponto de acumulacao de F . Seja

B = U ∩A : U ∈ Ux, A ∈ F.

44

E claro que B e uma base de filtro em X que converge a x. Seja G o filtro geradopor B. E claro que G ⊃ F e G → x.

15.14. Definicao. Diremos que F e um ultrafiltro em X se F e um filtromaximal em X, ou seja, cada vez que existir um filtro G em X tal que F ⊂ G,tem-se que F = G.

15.15. Proposicao. Um filtro F em X e um ultrafiltro se e so se, dadoE ⊂ X, tem-se que E ∈ F ou X \ E ∈ F .

Demonstracao. (⇐) Suponhamos que, dado E ⊂ X, tem-se que E ∈ Fou X \ E ∈ F . Suponhamos que exista um filtro G em X tal que F ⊂ G eF 6= G. Seja E ∈ G \ F . Segue que X \E ∈ F ⊂ G. Logo ∅ = E ∩ (X \E) ∈ G,absurdo.

(⇒) Seja F um ultrafiltro em X, e seja E ⊂ X. Dado A ∈ F , e claro queA ∩ E 6= ∅ ou A ∩ (X \ E) 6= ∅. Consideremos dois casos.

Primeiro suponhamos que A ∩ E 6= ∅ para todo A ∈ F . Seja

B = A ∩ E : A ∈ F.

E claro que B e uma base de filtro em X. Seja G o filtro gerado por B. E claroque F ⊂ G e E ∈ G. Como F e ultrafiltro, tem-se que F = G. Segue que E ∈ F .

A seguir suponhamos que A0∩E = ∅ para algum A0 ∈ F . Entao A0 ⊂ X\E,e segue que X \ E ∈ F .

15.16. Proposicao. Seja X um espaco topologico, e seja F um ultrafiltroem X. Se x e um ponto de acumulacao de F , entao F converge a x.

Demonstracao. Suponhamos que x seja ponto de acumulacao de F , ouseja U ∩A 6= ∅ para todo U ∈ Ux e A ∈ F .

Afirmamos que Ux ⊂ F . De fato, suponhamos que exista U ∈ Ux, comU /∈ F . Teriamos que X \ U ∈ F , e portanto U ∩ (X \ U) 6= ∅, absurdo. LogoUx ⊂ F , e portanto F → x.

15.17. Proposicao. Cada filtro em X esta contido em algum ultrafiltro.

Demonstracao. Seja P a famılia de todos os filtros G em X tais queG ⊃ F . P e um conjunto parcialmente ordenado por inclusao de conjuntos.Seja Gi : i ∈ I uma cadeia em P. E claro que

⋃i∈I Gi e um filtro em X, e

e portanto uma cota superior para a cadeia Gi : i ∈ I. Pelo lema de Zorn Ppossui pelo menos um elemento maximal G. Segue que G e um ultrafiltro em Xque contem F .

Exercıcios

15.A. Seja B uma base de filtro em X e seja f : X → Y uma funcaoqualquer. Prove que a famılia

f(B) = f(B) : B ∈ B

45

e uma base de filtro em Y .

15.B. Seja A uma base de filtro em X e seja B uma base de filtro em Y .(a) Prove que a famılia

C = A×B : A ∈ A, B ∈ B

e uma base de filtro em X × Y .(b) Prove que C → (x, y) se e so se A → x e B → y.

15.C. SejaB = (a,∞) : a ∈ R.

Pelo Exercıcio 6.D B e base para uma topologia τ em R. Pelo Exemplo 15.4 Be uma base de filtro em R. Prove que B → x para cada x ∈ R.

15.D. Seja X um conjunto infinito, com a topologia cofinita do Exercıcio3.C. Seja

G = A ⊂ X : X \A e finito.

(a) Prove que G e um filtro em X.(b) Prove que G → x para cada x ∈ X.

15.E. Seja (xλ)λ∈Λ uma rede em X, e seja B = Bλ : λ ∈ Λ, onde Bλ =xµ : µ ≥ λ para cada λ ∈ Λ.

(a) Prove que B e uma base de filtro em X, que chamaremos de base de filtrogerada por (xλ)λ∈Λ.

(b) Prove que xλ → x se e so se B → x.(c) Prove que x e ponto de acumulacao de (xλ)λ∈Λ se e so se x e ponto de

acumulacao de B.(d) Prove que (xλ)λ∈Λ e uma rede universal se e so se o filtro gerado por B

e um ultrafiltro.

15.F. Seja B uma base de filtro em X, e seja

Λ = (a,A) : a ∈ A ∈ B.

(a) Prove que Λ e um conjunto dirigido se definimos (a,A) ≤ (b, B) quandoA ⊃ B. A rede x : Λ → X definida por x(a,A) = a e chamada de rede geradapor B, e e denotada por (xλ)λ∈Λ.

(b) Prove que B → x se e so se xλ → x.(c) Prove que x e ponto de acumulacao de B se e so se x e ponto de acu-

mulacao de (xλ)λ∈Λ.(d) Prove que o filtro gerado por B e um ultrafiltro se e so se (xλ)λ∈Λ e uma

rede universal.

46

16. Espacos de Hausdorff

16.1. Definicao. Diremos que um espaco topologico X e um espaco T0 sedados dois pontos distintos em X, existe uma vizinhanca de um deles que naocontem o outro.

16.2. Exemplos.(a) Cada espaco topologico discreto e um espaco T0.(b) Seja X um espaco topologico trivial, com pelo menos dois pontos. Entao

X nao e um espaco T0.

16.3. Proposicao. Um espaco topologico X e um espaco T0 se e so se,dados a, b ∈ X, com a 6= b, tem-se que a 6= b.

Demonstracao. (⇒) Seja X um espaco T0, e sejam a, b ∈ X, a 6= b. Seexistir U ∈ Ua tal que b /∈ U , entao a ∈ a, mas a /∈ b. Se existir V ∈ Ub talque a /∈ V , entao b ∈ b, mas b /∈ a. Em ambos casos a 6= b.

(⇐) Suponhamos que X nao seja um espaco T0. Entao existem a, b ∈ X,com a 6= b, tais que b ∈ U para cada U ∈ Ua, e a ∈ V para cada V ∈ Ub. Logoa ∈ b e b ∈ a. Segue que a = b.

16.4. Definicao. Diremos que um espaco topologico X e um espaco T1 sedados dois pontos distintos em X, existe uma vizinhanca de cada um deles quenao contem o outro.

E claro que cada espaco T1 e um espaco T0.

16.5. Exemplos.(a) Cada espaco topologico discreto e um espaco T1.(b) O espaco de Sierpinski e um espaco T0, mas nao e um espaco T1.

16.6. Proposicao. Um espaco topologico X e um espaco T1 se e so se cadasubconjunto unitario de X e fechado.

Demonstracao. (⇒) Seja X um espaco T1, e seja a ∈ X. Para cada b ∈ X,com b 6= a, existe V ∈ Ub tal que a /∈ V . Segue que X \ a e aberto, ou sejaa e fechado.

(⇐) Suponhamos que a seja fechado para cada a ∈ X. Dados a, b ∈ X,com a 6= b, sejam U = X \ b e V = X \ a. Entao U e V sao abertos, a ∈ U ,b /∈ U , b ∈ V , a /∈ V .

16.7. Definicao. Diremos que um espaco topologico X e um espaco deHausdorff ou um espaco T2 se dados a, b ∈ X, com a 6= b, existem U ∈ Ua eV ∈ Ub, com U ∩ V = ∅.


16.8. Exemplos.(a) Cada espaco topologico discreto e um espaco de Hausdorff.(b) Cada espaco metrico e um espaco de Hausdorff.

47

(c) Seja X um conjunto infinito, com a topologia cofinita. Entao X e umespaco T1, mas nao e um espaco T2. Deixamos a demonstracao como exercıcio.

16.9. Proposicao. Para um espaco topologico X as seguintes condicoessao equivalentes:

(a) X e Hausdorff.(b) Cada rede convergente em X tem um limite unico.(c) Cada filtro convergente em X tem um limite unico.

Demonstracao. (a) ⇒ (b): Suponhamos que X seja Hausdorff, e seja(xλ)λ∈Λ uma rede em X que converge a x e a y, com x 6= y. Sejam U ∈ Ux eV ∈ Uy, com U ∩V = ∅. Como xλ → x, existe λ1 ∈ Λ tal que xλ ∈ U para todoλ ≥ λ1. Como xλ → y, existe λ2 ∈ Λ tal que xλ ∈ V para todo λ ≥ λ2. Sejaλ ∈ Λ tal que λ ≥ λ1 e λ ≥ λ2. Entao xλ ∈ U ∩ V , contradicao.

(b) ⇒ (a): Suponhamos que X nao seja Hausdorff. Entao existem x, y ∈ X,com x 6= y, tais que U ∩ V 6= ∅ para todo U ∈ Ux e V ∈ Uy. Seja xUV ∈ U ∩ Vpara cada U ∈ Ux e V ∈ Uy. Segue que (xUV )(U,V )∈Ux×Uy

e uma rede em Xque converge a x e a y, com x 6= y.

(a) ⇒ (c): Suponhamos que X seja Hausdorff, e seja F um filtro em X queconverge a x e a y, com x 6= y. Sejam U ∈ Ux e V ∈ Uy, com U ∩ V = ∅. ComoF → x, tem-se que U ∈ Ux ⊂ F . Como F → y, tem-se que V ∈ Uy ⊂ F . LogoU ∩ V ∈ F , absurdo, pois U ∩ V = ∅.

(c) ⇒ (a): Suponhamos que X nao seja Hausdorff. Entao existem x, y ∈ X,com x 6= y, tais que U ∩ V 6= ∅ para todo U ∈ Ux e V ∈ Uy. Seja

B = U ∩ V : U ∈ Ux, V ∈ Uy.

E claro que B e uma base de filtro em X. Seja F o filtro gerado por B. E claroque Ux ⊂ F e Uy ⊂ F . Logo F converge a x e a y, com x 6= y.

16.10. Proposicao. Cada subespaco de um espaco de Hausdorff e umespaco de Hausdorff.

Demonstracao. Seja X um espaco de Hausdorff, e seja S um subespacode X. Sejam a, b ∈ S, com a 6= b. Como X e Hausdorff, existem abertos U1 eV1 em X tais que a ∈ U1, b ∈ V1 e U1∩V1 = ∅. Sejam U = S∩U1 e V = S∩V1.Entao U e V sao abertos em S, a ∈ U , b ∈ V e U ∩ V = ∅.

16.11. Proposicao. Seja Xi : i ∈ I uma famılia nao vazia de espacostopologicos nao vazios. Entao o produto X =

∏i∈I Xi e Hausdorff se e so se

cada Xi e Hausdorff.

Demonstracao. (⇒) Esta implicacao segue da Proposicao 16.10 e doExercıcio 10.C.

(⇐) Suponhamos que cada Xi seja Hausdorff, e sejam a, b ∈ X, com a 6= b.Escrevamos a = (ai)i∈I , b = (bi)i∈I . Como a 6= b, existe i ∈ I tal que ai 6= bi.Como Xi e Hausdorff, existem abertos Ui e Vi em Xi tais que ai ∈ Ui, bi ∈ Vi e

48

Ui ∩ Vi = ∅. Sejam U = π−1i (Ui) e V = π−1

i (Vi). Entao U e V sao abertos emX, a ∈ U , b ∈ V e U ∩ V = ∅.

16.12. Proposicao. Sejam X e Y espacos topologicos, com Y Hausdorff.Sejam f e g duas funcoes contınuas de X em Y tais que f(x) = g(x) para todox num subconjunto denso D ⊂ X. Entao f(x) = g(x) para todo x ∈ X.

Demonstracao. Como X = D, para cada x ∈ X, existe uma rede (xi)i∈I ⊂D tal que xi → x. Como f e g sao contınuas, segue que f(xi) → f(x) e g(xi) →g(x). Como f(xi) = g(xi) para todo i ∈ I, e Y e Hausdorff, a Proposicao 16.9garante que f(x) = g(x).

Exercıcios

16.A. Seja X = N, com a topologia do Exercıcio 4.F. Prove que X e umespaco T0, mas nao e um espaco T1.

16.B. Prove que cada subespaco de um espaco T0 (resp. T1) e um espacoT0 (resp. T1).

16.C. Seja Xi : i ∈ I uma famılia nao vazia de espacos topologicos naovazios. Prove que o produto X =

∏i∈I Xi e um espaco T0 (resp. T1) se e so se

cada Xi e um espaco T0 (resp. T1).

16.D. Sejam X e Y espacos topologicos, e seja f : X → Y uma aplicacaosobrejetiva e fechada. Prove que se X e um espaco T1, entao Y tambem e umespaco T1.

16.E. Seja X um conjunto infinito, com a topologia cofinita. Prove que Xe um espaco T1, mas nao e um espaco T2.

16.F. Seja X um espaco de Hausdorff. Dados n pontos distintos x1, ..., xn ∈X, prove que existem n abertos disjuntos U1, ..., Un ⊂ X tais que xj ∈ Uj paraj = 1, ..., n.

16.G. Seja X um espaco topologico.(a) Prove que X e um espaco T1 se e so se, para cada a ∈ X tem-se que⋂U : U ∈ Ua = a.

(b) Prove que X e um espaco T2 se e so se, para cada a ∈ X tem-se que⋂U : U ∈ Ua = a.

16.H. Prove que um espaco topologico X e Hausdorff se e so se o conjuntoD = (x, x) : x ∈ X e fechado em X ×X.

16.I. Sejam X e Y espacos topologicos, com Y Hausdorff. Sejam f e g duasfuncoes contınuas de X em Y .

(a) Prove que o conjunto x ∈ X : f(x) = g(x) e fechado em X.(b) Use (a) para dar outra demonstracao da Proposicao 16.12.

49

17. Espacos regulares

17.1. Definicao. Diremos que um espaco topologico X e regular se dadosum fechado A em X e um ponto b /∈ A, existem abertos disjuntos U , V em Xtais que A ⊂ U e b ∈ V . Diremos que X e um espaco T3 se X e um espaco T1

que e regular.


17.2. Exemplos.(a) Cada espaco discreto e um espaco T3.

(b) Cada espaco metrico e um espaco T3. A demonstracao e deixada comoexercıcio.

(c) Seja X um espaco topologico trivial, com pelo menos dois pontos. EntaoX e regular, mas nao e um espaco T3.

(d) O espaco de Sierspinski nao e regular. A demonstracao e deixada comoexercıcio.

17.3. Proposicao. Para um espaco topologico X as seguintes condicoessao equivalentes:

(a) X e regular.(b) Dados um aberto U ⊂ X e um ponto a ∈ U , existe um aberto V ⊂ X tal

que a ∈ V ⊂ V ⊂ U .(c) Cada ponto de X admite uma base de vizinhancas fechadas.

Demonstracao. (a) ⇒ (b): Seja a ∈ U , sendo U aberto em X. Entaoa /∈ X \ U , e X \ U e fechado. Como X e regular, existem abertos disjuntos V ,W em X tais que a ∈ V e X \U ⊂ W . Logo a ∈ V ⊂ X \W ⊂ U . Como X \We fechado, segue que

a ∈ V ⊂ V ⊂ X \W ⊂ U.

(b) ⇒ (c): imediato.(c) ⇒ (a): Seja b /∈ A, sendo A fechado em X. Entao b ∈ X \ A, e X \ A e

aberto. Por (c) existe V ∈ Ub, V fechado, tal que b ∈ V ⊂ X \A. Segue que

A ⊂ X \ V, b ∈ V , (X \ V ) ∩ V = ∅.

17.4. Proposicao. Cada subespaco de um espaco regular e um espacoregular.

Demonstracao. Seja X um espaco regular e seja S um subespaco de X.Seja A um subconjunto fechado de S, e seja b ∈ S \A. Sabemos que A = S∩A1,sendo A1 um subconjunto fechado de X. Como b /∈ A1 e X e regular, existemabertos disjuntos U1, V1 em X tais que A1 ⊂ U1 e b ∈ V1. Sejam U = S ∩ U1 eV = S ∩ V1. Entao U e V sao dois abertos disjuntos de S, A ⊂ U e b ∈ V .

17.5. Corolario. Cada subespaco de um espaco T3 e um espaco T3.

50


∏i∈I Xi e regular se e so se cada

Xi e regular.

Demonstracao. (⇒) Esta implicacao segue da Proposicao 17.4 e do Ex-ercıcio 10.C.

(⇐) Suponhamos que cada Xi seja regular, e sejam a ∈ X e U ∈ Ua. Entao

U ⊃⋂j∈J

π−1j (Uj),

sendo J ⊂ I, J finito, e Uj aberto em Xj para cada j ∈ J . Como Xj e regularcada Uj contem uma vizinhanca fechada Vj de πj(a). Segue que

a ∈⋂j∈J

π−1j (Vj) ⊂

⋂j∈J

π−1j (Uj) ⊂ U.

Logo X e regular.

17.7. Corolario. Seja Xi : i ∈ I uma famılia nao vazia de espacostopologicos nao vazios. Entao o produto X =

∏i∈I Xi e um espaco T3 se e so

se cada Xi e um espaco T3.

Exercıcios

17.A. Prove que cada espaco metrico e um espaco T3.

17.B. Prove que o espaco de Sierpinski nao e regular.

17.C. Seja X um conjunto infinito, com a topologia cofinita. Prove que Xnao e regular.

17.D. Prove que a reta de Sorgenfrey do Exercıcio 6.C e um espaco T3.

17.E. (a) Prove que a famılia

B = (a, b) : a, b ∈ R, a < b ∪ (a, b) ∩Q : a, b ∈ R, a < b

e uma base para uma topologia τ em R.(b) Prove que (R, τ) e Hausdorff.(c) Prove que (R, τ) nao e regular.

17.F. Seja X um espaco regular. Prove que, dados um fechado A em Xe um ponto b /∈ A, existem abertos U e V em X tais que A ⊂ U , b ∈ V eU ∩ V = ∅.

51

18. Espacos normais

18.1. Definicao. Diremos que um espaco topologico X e normal se dadosdois fechados disjuntos A e B em X, existem dois abertos disjuntos U e V emX tais que A ⊂ U e B ⊂ V . Diremos que X e um espaco T4 se X e um espacoT1 que e normal.


18.2. Exemplos.(a) Cada espaco discreto e um espaco T4.

(b) Cada espaco metrico e um espaco T4. A demonstracao e deixada comoexercıcio.

(c) O espaco de Sierpinski e normal, mas nao e regular nem Hausdorff. Ademonstracao e deixada como exercıcio.

18.3. Proposicao. Um espaco topologico X e normal se e so se, dados umfechado A e um aberto U , com A ⊂ U , existe um aberto V tal que A ⊂ V ⊂V ⊂ U .

Demonstracao. (⇒) Suponhamos que A ⊂ U , sendo A fechado e U aberto.Entao A e X \ U sao dois fechados disjuntos de X. Como X e normal, existemabertos disjuntos V e W tais que A ⊂ V e X \U ⊂ W . Logo V ⊂ X \W . ComoX \W e fechado, segue que

A ⊂ V ⊂ V ⊂ X \W ⊂ U.

(⇐) Sejam A e B dois fechados disjuntos de X. Entao A ⊂ X \B, e X \Be aberto. Por hipotese existe um aberto U tal que

A ⊂ U ⊂ U ⊂ X \B.

Segue queA ⊂ U, B ⊂ X \ U, U ∩ (X \ U) = ∅.

18.4. Proposicao. Cada subespaco fechado de um espaco normal enormal.

Demonstracao. Seja X um espaco normal, e seja S um subespaco fechadode X. Sejam A e B dois subconjuntos fechados disjuntos de S. Entao A = S∩A1

e B = S∩B1, sendo A1 e B1 dois subconjuntos fechados de X. Como S e fechadoem X, vemos que A e B sao fechados em X. Como X e normal, existem abertosU1 e V1 em X tais que

A ⊂ U1, B ⊂ V1, U1 ∩ V1 = ∅.

Seja U = S ∩ U1 e V = S ∩ V1. Entao U e V sao abertos em X e

A ⊂ U, B ⊂ V, U ∩ V = ∅.

52

18.5. Corolario. Cada subespaco fechado de um espaco T4 e um espacoT4.

18.6. Proposicao. A imagem contınua e fechada de um espaco normal enormal.

Demonstracao. Seja X um espaco normal, seja Y um espaco topologico, eseja f : X → Y uma aplicacao sobrejetiva, contınua e fechada. Provaremos queY e normal. Sejam B1 e B2 dois fechados disjuntos de Y . Como f e contınua,f−1(B1) e f−1(B2) sao dois fechados disjuntos de X. Como X e normal, existemdois abertos disjuntos U1 e U2 de X tais que f−1(B1) ⊂ U1 e f−1(B2) ⊂ U2.

Sejam V1 e V2 definidos por

Vi = Y \ f(X \ Ui) para i = 1, 2.

Como f e fechada, vemos que cada Vi e aberto em Y .Notemos que

f−1(Vi) = X \ f−1(f(X \ Ui)) ⊂ X \ (X \ Ui) = Ui para i = 1, 2.

Como U1 e U2 sao disjuntos, vemos que f−1(V1) e f−1(V2) sao disjuntos tambem.Dai segue que V1 e V2 sao disjuntos.

Finalmente provaremos que B1 ⊂ V1 e B2 ⊂ V2. Suponhamos que existay ∈ Bi tal que y /∈ Vi. y /∈ Vi implica que y ∈ f(X \ Ui), ou seja y = f(x), comx /∈ Ui. Por outro lado f(x) = y ∈ Bi implica que x ∈ f−1(Bi) ⊂ Ui, absurdo.Isto completa a demonstracao.

18.7. Corolario. A imagem contınua e fechada de um espaco T4 e umespaco T4.

Demonstracao. Basta aplicar a Proposicao 18.6 e o Exercıcio 16.E.

Em um espaco normal, dois fechados disjuntos podem ser separados por meiode abertos. A seguir veremos que dois fechados disjuntos podem ser separadospor meio de funcoes contınuas.

18.8. Lema de separacao de Urysohn. Um espaco topologico X enormal se e so se, dados dois fechados disjuntos A e B de X, existe uma funcaocontınua f : X → [0, 1] tal que f(A) ⊂ 0 e f(B) ⊂ 1.

Demonstracao. (⇐) Sejam A e B dois fechados disjuntos de X, e sejaf : X → [0, 1] uma funcao contınua tal que f(A) ⊂ 0 e f(B) ⊂ 1. Sejam

U = f−1([0, 1/2)), V = f−1((1/2, 1]).

Entao U e V sao abertos, A ⊂ U , B ⊂ V e U ∩ V = ∅. Logo X e normal.

(⇒) Seja X um espaco normal, e sejam A e B dois fechados disjuntos de X.Como A ⊂ X \B, existe um aberto U1/2 tal que

A ⊂ U1/2 ⊂ U1/2 ⊂ X \B.

53

Logo existem abertos U1/4 e U3/4 tais que

A ⊂ U1/4 ⊂ U1/4 ⊂ U1/2 ⊂ U1/2 ⊂ U3/4 ⊂ U3/4 ⊂ X \B.

SejaD = k/2n : n ∈ N, k = 1, 2, ..., 2n − 1.

Notemos que D e denso em [0, 1]. Procedendo por inducao podemos achar, paracada r ∈ D um aberto Ur tal que

A ⊂ U1/2n ⊂ U1/2n ⊂ U2/2n ⊂ U2/2n ⊂ ... ⊂ U(2n−1)/2n ⊂ U(2n−1)/2n ⊂ X \B.

Notemos que:A ⊂ Ur para todo r ∈ D,

B ⊂ X \ Us para todo s ∈ D,

Us ⊂ Ur para todo s, r ∈ D com s < r.

Seja f : X → [0, 1] definida por

f(x) = infr ∈ D : x ∈ Ur se x ∈⋃Ur : r ∈ D,

f(x) = 1 se x /∈⋃Ur : r ∈ D.

Notemos que:

f(x) ≤ r se x ∈ Ur,

f(x) ≥ s se x /∈ Us,

s ≤ f(x) ≤ r se x ∈ Ur \ Us.

E claro que0 ≤ f(x) ≤ 1 para todo x ∈ X,

f(x) = 0 para todo x ∈ A,

f(x) = 1 para todo x ∈ B.

Para completar a demonstracao provaremos que f e contınua em cada pontoa ∈ X. Seja ε > 0 dado.

Se f(a) = 0, entao a ∈ Ur para todo r ∈ D. Seja r ∈ D tal que r < ε. Entaopara cada x ∈ Ur tem-se que f(x) ≤ r < ε.

Se f(a) = 1, entao a /∈ Us para todo s ∈ D. Seja s ∈ D tal que s > 1 − ε.Entao para cada x /∈ Us tem-se que f(x) ≥ s > 1− ε.

Se 0 < f(x) < 1, sejam r, s ∈ D tais que

f(a)− ε < s < f(a) < r < f(a) + ε.

E facil ver que a ∈ Ur \ Us. Alem disso, para cada x ∈ Ur \ Us tem-se que

f(a)− ε < s ≤ f(x) ≤ r < f(a) + ε.

54

Logo f e contınua em cada ponto de X.

18.9. Teorema de extensao de Tietze. Para um espaco topologico Xas seguintes condicoes sao equivalentes:

(a) X e normal.

(b) Dados um conjunto fechado A ⊂ X e uma funcao contınua f : A → [c, d],com c < d, existe uma funcao contınua F : X → [c, d] tal que F |A = f .

(c) Dados um conjunto fechado A ⊂ X e uma funcao contınua f : A → R,existe uma funcao contınua F : X → R tal que F |A = f .

Demonstracao. (a) ⇒ (b): Como [c, d] e homeomorfo a [−1, 1], podemossupor que f : A → [−1, 1]. Sejam

A1 = x ∈ A : f(x) ≤ −1/3, B1 = x ∈ A : f(a) ≥ 1/3.

Pelo Lema de Urysohn existe uma funcao contınua

f1 : X → [−1/3, 1/3]

tal quef1(A1) ⊂ −1/3, f1(B1) ⊂ 1/3.

Entao|f(x)− f1(x)| ≤ 2/3 para todo x ∈ A.

Sejag1 = f − f1 : X → [−2/3, 2/3],

e sejam

A2 = x ∈ A : g1(x) ≤ −2/32, B2 = x ∈ A : g1(x) ≥ 2/32.


f2 : X → [−2/32, 2/32]

tal quef2(A2) ⊂ −2/32, f2(B2) ⊂ 2/32.

Entao|f(x)− f1(x)− f2(x)| ≤ (2/3)2 para todo x ∈ A.

Sejag2 = f − f1 − f2 : X → [−(2/3)2, (2/3)2

e sejam

A3 = x ∈ A : g2(x) ≤ −22/33, B3 = x ∈ A : g2(x) ≥ 22/33.


f3 : X → [−22/33, 22/33]

55

tal quef3(A3) ⊂ −22/33, f3(B3) ⊂ 22/33.

Entao

|f(x)− f1(x)− f2(x)− f3(x)| ≤ (2/3)3 para todo x ∈ A.

Procedendo por inducao vamos achar uma sequencia de funcoes contınuas

fk : X → [−2k−1/3k, 2k−1/3k]

tais que

(∗) |f(x)−n∑

k=1

fk(x)| ≤ (2/3)n para todo x ∈ A,n ∈ N

Seja

F (x) =∞∑

k=1

fk(x) para todo x ∈ X.

Notemos que

∞∑k=1

|fk(x)| ≤ 12

∞∑k=1

(23)k = 1 para todo x ∈ X.

Segue do Exercıcio 18.D que F : X → [−1, 1] esta bem definida e e contınua. Esegue de (*) que f(x) = F (x) para todo x ∈ A.

(b) ⇒ (c): Como R e homeomorfo a (−1, 1), podemos supor que f : A →(−1, 1). Por (b) existe uma funcao contınua G : X → [−1, 1] tal que G|A = f .Seja

B = x ∈ X : |G(x)| = 1.

Entao A e B sao dois fechados disjuntos de X. Seja h : A ∪B → [0, 1] definidopor

h(x) = 1 para todo x ∈ A,

h(x) = 0 para todo x ∈ B.

Pela Proposicao 8.7 h e contınua. Por (b) existe uma funcao contınua H : X →[0, 1] tal que H|A ∪B = h. Seja

F (x) = G(x)H(x) para todo x ∈ X.

Entao F e uma funcao contınua de X em (−1, 1) e F |A = f .

(c) ⇒ (a): Sejam A e B dois fechados disjuntos de X. Seja f : A∪B → [0, 1]definida por

f(x) = 0 para todo x ∈ A,

f(x) = 1 para todo x ∈ B.

56

Pela Proposicao 8.7 f e contınua. Por (c) existe uma funcao contınua F : X → Rtal que F |A ∪ B = f . Seja G : X → [0, 1] definida por G = (F ∨ 0) ∧ 1. PeloExercıcio 18.E G e contınua, e claramente G|A ∪ B = f . Logo G(x) = 0 paratodo x ∈ A e G(x) = 1 para todo x ∈ B.

Exercıcios

18.A. Prove que cada espaco metrico e um espaco T4.

18.B. Prove que o espaco de Sierpinski e normal, mas nao e regular nemHausdorff.

18.C. Seja X um espaco normal. Prove que, dados dois fechados disjuntosA e B em X, existem dois abertos U e V em X tais que A ⊂ U , B ⊂ V eU ∩ V = ∅.

18.D. Seja X um espaco topologico, e seja (fn)∞n=1 uma sequencia em C(X)que converge uniformemente a uma funcao f . Prove que f e contınua.

18.E. Seja X um espaco topologico. Dadas f : X → R e g : X → R, sejamf ∨ g : X → R e f ∧ g : X → R definidas por

(f ∨ g)(x) = maxf(x), g(x) para todo x ∈ X,

(f ∧ g)(x) = minf(x), g(x) para todo x ∈ X.

Prove que, se f e g sao contınuas, entao f ∨ g e f ∧ g sao contınuas tambem.

18.F. Prove que um espaco topologico X e normal se e so se, dados doisfechados disjuntos A e B em X, existe uma funcao contınua f : X → R tal quef(A) ⊂ α e f(B) ⊂ β, com α 6= β.

18.G. Seja X um espaco metrico, e seja A um subconjunto nao vazio de X.Para cada x ∈ X, seja

d(x,A) = infa∈Ad(x, a).

(a) Prove que d(x,A) = 0 se e so se x ∈ A.(b) Prove que

|d(x, A)− d(y, A)| ≤ d(x, y) para todo x, y ∈ X.

(c) Prove que a a funcao x ∈ X → d(x, A) ∈ R e contınua.

18.H. Seja X um espaco metrico, e sejam A e B dois subconjuntos fechadosdisjuntos de X. Usando o Exercıcio 18.G ache uma funcao contınua f : X →[0, 1] tal que f(x) = 0 para todo x ∈ A e f(x) = 1 para todo x ∈ B. Isto daoutra demonstracao de que cada espaco metrico e normal.

57

19. Espacos completamente regulares

O Lema de Urysohn motiva a seguinte definicao.

19.1. Definicao. Diremos que um espaco topologico X e completamenteregular se dados um fechado A em X e um ponto b /∈ A existe uma funcaocontınua f : X → [0, 1] tal que f(A) ⊂ 0 e f(b) = 1. Diremos que X e umespaco de Tychonoff se X e um espaco T1 que e completamente regular.

19.2. Proposicao. Cada espaco T4 e um espaco de Tychonoff.

Demonstracao. Basta aplicar o lema de Urysohn.

19.3. Proposicao. Cada espaco completamente regular e regular.

Demonstracao. Seja X um espaco completamente regular. Dados umfechado A em X e um ponto b /∈ A, seja f : X → [0, 1] uma funcao contınua talque f(A) ⊂ 0 e f(b) = 1. Sejam

U = f−1([0, 1/2)), V = f−1(1/2, 1]).

Entao U e V sao dois abertos disjuntos de X, A ⊂ U e b ∈ V . Logo X e regular.

19.4. Corolario. Cada espaco de Tychonoff e um espaco T3.

19.5. Exemplos.(a) Cada espaco discreto e um espaco de Tychonoff.

(b) Cada espaco metrico e um espaco de Tychonoff.

(c) O espaco de Sierpinski nao e completamente regular.

19.6. Proposicao. Cada subespaco de um espaco completamente regular ecompletamente regular.

Demonstracao. Seja X um espaco completamente regular, e seja S umsubespaco de X. Seja A um fechado de S, e seja b ∈ S \ A. Sabemos queA = S ∩ A1, sendo A1 un fechado de X. Como b /∈ A1, e X e completamenteregular, existe uma funcao contınua g : X → [0, 1] tal que g(A1) ⊂ 0 eg(b) = 1. Seja f = g|S : S → [0, 1]. Entao f e contınua, f(A) ⊂ 0 e f(b) = 1.

19.7. Corolario. Cada subespaco de um espaco de Tychonoff e um espacode Tychonoff.


∏i∈I Xi e completamente regular

se e so se cada Xi e completamente regular.

Demonstracao. (⇒) Esta implicacao segue da Proposicao 19.7 e do Ex-ercıcio 10.C.

58

(⇐) Suponhamos que cada Xi seja completamente regular, e sejam A umfechado de X, e b ∈ X \A. Entao

b ∈⋂j∈J

π−1j (Uj) ⊂ X \A,

sendo J ⊂ I, J finito, e Uj aberto em Xj para cada j ∈ J . Notemos que

πj(b) ∈ Uj para cada j ∈ J,

eA ⊂ X \

⋂j∈J

π−1j (Uj) =

⋃j∈J

(X \ π−1j (Uj)) =

⋃j∈J

π−1j (Xj \ Uj).

Como Xj e completamente regular, para cada j ∈ J existe uma funcao contınuagj : Xj → [0, 1] tal que

gj(Xj \ Uj) ⊂ 0, gj(πj(b)) = 1.

Sejaf = minj∈Jgj πj : X → [0, 1].

Entao f e contınua, f(A) ⊂ 0 e f(b) = 1.

19.9. Corolario. Seja Xi : i ∈ I uma famılia nao vazia de espacostopologicos nao vazios. Entao o produto X =

∏i∈I Xi e um espaco de Tychonoff

se e so se cada Xi e um espaco de Tychonoff.

Lembremos que, se X e um espaco topologico, entao C(X) denota o conjuntode todas as funcoes contınuas f : X → R. Denotaremos por Cb(X) o subcon-junto de todas as f ∈ C(X) que sao limitadas, ou seja supx∈X |f(x)| < ∞.

19.10. Teorema. Um espaco topologico X e completamente regular se eso se X tem a topologia fraca definida por Cb(X).

Demonstracao. Denotemos por τ a topologia de X e por τw a topologiafraca em X definida por Cb(X). A inclusao τw ⊂ τ vale sempre. Devemosprovar que X e completamente regular se e so se τ ⊂ τw.

(⇒) Sejam U ∈ τ e a ∈ U . Como X e completamente regular, existe umafuncao contınua fa : X → [0, 1] tal que fa(a) = 0 e fa(x) = 1 para todox ∈ X \ U . Seja

Va = x ∈ X : fa(x) < 1.

Entao Va ∈ τw e a ∈ Va ⊂ U . Segue que

U =⋃Va : a ∈ U ∈ τw.

(⇐) Seja A um fechado de X, e seja b ∈ X \A. Como τ ⊂ τw, temos que

b ∈ V ⊂ X \A,

59

onde

V =n⋂

j=1

f−1j (Wj),

com fj ∈ Cb(X) e Wj aberto em R para j = 1, ..., n. Como cada aberto deR e uma uniao de intervalos abertos, podemos supor que Wj = (αj , βj) paraj = 1, ..., n. Notemos que

f−1j (Wj) = x ∈ X : αj < fj(x) < βj

= x ∈ X : fj(x) > αj ∩ x ∈ X : −fj(x) > −βj.

Logo podemos supor que Wj = (αj ,∞) para j = 1, ..., n. Seja

gj = (fj − αj) ∨ 0 para j = 1, ...n.

Entao gj ∈ Cb(X), gj ≥ 0 e

f−1j (Wj) = f−1

j ((αj ,∞)) = g−1j ((0,∞)).

Logo

b ∈ V =n⋂

j=1

f−1j (Wj) =

n⋂j=1

g−1j ((0,∞)) ⊂ X \A.

Seja g = g1g2...gn. Entao g ∈ Cb(X) e g ≥ 0. Alem disso,

g(b) = g1(b)g2(b)...gn(b) > 0,

g(x) = g1(x)g2(x)...gn(x) = 0 para todo x ∈ A.

Logo X e completamente regular.

19.11. Teorema. Para um espaco topologico X as seguintes condicoes saoequivalentes:

(a) X e um espaco de Tychonoff.

(b) X e homeomorfo a um subespaco do produto [0, 1]Cb(X).

(c) X e homeomorfo a um subespaco do produto [0, 1]I , para algum I.

Demonstracao.(a) ⇒ (b): Seja X um espaco de Tychonoff. Para cada f ∈ Cb(X) seja If

um intervalo fechado e limitado que contem f(X). Consideremos a aplicacaoavaliacao

εX : x ∈ X → (f(x))f∈Cb(X) ∈∏

f∈Cb(X)

If .

E claro que Cb(X) separa os pontos de X. Pelo Teorema 19.10 X tem a topologiafraca definida por Cb(X). Pela Proposicao 10.8 a aplicacao εX e um mergulho.Pelo Exercıcio 10.E o produto

∏f∈Cb(X) If e homeomorfo ao produto [0, 1]Cb(X).

Segue que X e homeomorfo a um subespaco do produto [0, 1]Cb(X).

60

(b) ⇒ (c): obvio.

(c) ⇒ (a): O produto [0, 1]I e um espaco de Tychonoff, e qualquer subespacode [0, 1]I e um espaco de Tychonoff.

Mais adiante vamos precisar de uma versao mais refinada do teorema ante-rior. Com esse proposito introduzimos a seguinte definicao.

19.12. Definicao. Sejam X e Xi (i ∈ I) espacos topologicos, e sejafi : X → Xi para cada i ∈ I. Diremos que a famılia fi : i ∈ I separa pontosde fechados se dados um fechado A ⊂ X e um ponto b ∈ X \A, existe i ∈ I talque fi(b) /∈ fi(A).

19.13. Proposicao. Sejam X e Xi (i ∈ I) espacos topologicos, e sejafi : X → Xi contınua para cada i ∈ I. Entao a famılia fi : i ∈ I separapontos de fechados se e so se os conjuntos f−1

i (Vi), com i ∈ I e Vi aberto emXi, formam uma base para a topologia de X.

Demonstracao. (⇒) Seja U aberto em X, e seja a ∈ U . Como a /∈ X \U ,existe i ∈ I tal que fi(a) /∈ fi(X \ U). Se definimos

Vi = Xi \ fi(X \ U),

entao e facil ver quea ∈ f−1

i (Vi) ⊂ U.

(⇐) Seja A fechado em X, e seja b ∈ X \A. Por hipotese temos que

b ∈ f−1i (Vi) ⊂ X \A,

sendo i ∈ I e Vi aberto em Xi. Segue que fi(b) ∈ Vi e Vi ∩ fi(A) = ∅. Logofi(b) /∈ fi(A).

19.14. Corolario. Sejam X e Xi (i ∈ I) espacos topologicos, e sejafi : X → Xi contınua para cada i ∈ I. Se a famılia fi : i ∈ I separa pontosde fechados, entao X tem a topologia fraca definida pela famılia fi : i ∈ I.

Demonstracao. Basta aplicar as Proposicoes 19.13 e 10.5.

19.15. Corolario. Sejam X e Xi (i ∈ I) espacos topologicos, e sejafi : X → Xi contınua para cada i ∈ I. Suponhamos que X seja um espaco T1 eque a famılia fi : i ∈ I separe pontos de fechados. Entao a avaliacao

ε : x ∈ X → (fi(x))i∈I ∈∏i∈I

Xi

e um mergulho.

Demonstracao. Basta aplicar o Corolario 19.14 e a Proposicao 10.8.

61

Exercıcios

19.A. Se X e um espaco topologico, prove que as seguintes condicoes saoequivalentes:

(a) X e completamente regular.

(b) Dados um fechado A ⊂ X e um ponto b /∈ A, existe uma funcao contınuaf : X → R tal que f(A) ⊂ α e f(b) = β, sendo α < β.

(c) Dados um fechado A em X e um ponto b /∈ A, existe uma funcao contınuaf : X → R tal que f(x) ≤ α para todo x ∈ A e f(b) ≥ β, sendo α < β.

19.B. Seja X um espaco metrico, e seja A ⊂ X. Use a funcao distanciax ∈ X → d(x, A) ∈ R para provar diretamente que cada espaco metrico ecompletamente regular.

19.C. Sejam X e Y dois espacos de Tychonoff. Para cada f ∈ Cb(X) seja If

um intervalo fechado e limitado que contem f(X). Dada uma funcao contınuah : X → Y , prove que existe uma funcao contınua

H :∏

f∈Cb(X)

If −→∏

g∈Cb(Y )

Ig

tal que o seguinte diagrama e comutativo:

Xh−→ Y

εX ↓ ↓ εY∏f∈Cb(X)

IfH−→

∏g∈Cb(Y )

Ig

62

20. Primeiro e segundo axioma de enumerabilidade

Lembremos que um espaco topologico X satisfaz o primeiro axioma de enu-merabilidade se existe uma base enumeravel de vizinhancas de x para cadax ∈ X. Lembremos que X satisfaz o segundo axioma de enumerabilidadese existe uma base enumeravel para os abertos de X. Nesta secao estudare-mos os espacos que satisfazem estes axiomas. Estudaremos tambem os espacosseparaveis e os espacos de Lindelof, que definiremos a seguir.

20.1. Definicao. Um espaco topologico X e dito separavel se existir em Xum subconjunto denso enumeravel.

20.2. Definicao. Seja X um espaco topologico. Diremos que Ui : i ∈ Ie uma cobertura aberta de X se Ui : i ∈ I e uma famılia de abertos de Xtal que

⋃Ui : i ∈ I = X. Diremos que X e um espaco de Lindelof se cada

cobertura aberta de X admite uma subcobertura enumeravel, ou seja, paracada cobertura aberta Ui : i ∈ I de X, existe J ⊂ I, J enumeravel, tal que⋃Ui : i ∈ J = X.

20.3. Proposicao. Seja X um espaco topologico que satisfaz o segundoaxioma de enumerabilidade. Entao:

(a) X satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade.

(b) X e separavel.

(c) X e um espaco de Lindelof.

Demonstracao. Seja B uma base enumeravel para os abertos de X.

(a) Para cada x ∈ X seja

Bx = V ∈ B : x ∈ V .

E claro que Bx e uma base enumeravel de vizinhancas de x.

(b) Seja xV ∈ V para cada V ∈ B, e seja

D = xV : V ∈ B.

E claro que D e um conjunto enumeravel que e denso em X.

(c) Seja U uma cobertura aberta de X. Para cada x ∈ X seja Ux ∈ U talque x ∈ Ux, e seja Vx ∈ B tal que x ∈ Vx ⊂ Ux. Seja

B′ = Vx : x ∈ X.

Como B′ ⊂ B, B′ e enumeravel. Escrevamos

B′ = Vn : n ∈ N.

Para cada n ∈ N, seja Un ∈ U tal que Vn ⊂ Un. Seja

U ′ = Un : n ∈ N.

63

Entao U ′ e um subconjunto enumeravel de U , e

∞⋃n=1

Un ⊃∞⋃

n=1

Vn = X.

Logo U ′ e uma subcobertura enumeravel de U .

20.4. Proposicao. Para um espaco metrico X, as seguintes condicoes saoequivalentes:

(a) X satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade.

(b) X e separavel.

(c) X e Lindelof.

Demonstracao. Ja sabemos que (a) ⇒ (b) e (a) ⇒ (c).

(b) ⇒ (a): SejaD = xm : m ∈ N

um subconjunto enumeravel denso de X, e seja

B = B(xm; 1/n) : m,n ∈ N.

B e enumeravel. Provaremos que B e uma base para os abertos de X. Seja Uum aberto nao vazio de X, e seja x ∈ U . Como U e aberto, existe n ∈ N tal queB(x; 1/n) ⊂ U . Como D e denso em X, existe m ∈ N tal que xm ∈ B(x; 1/2n).Segue que

x ∈ B(xm; 1/2n) ⊂ B(x; 1/n) ⊂ U.

Logo B e uma base para os abertos de X.

(c) ⇒ (a): Para cada n ∈ N seja

Un = B(x; 1/n) : x ∈ X.

Entao Un e uma cobertura aberta de X. Como X e Lindelof, Un admite umasubcobertura enumeravel Vn. Seja

B =⋃Vn : n ∈ N.

B e enumeravel. Provaremos que B e uma base para os abertos de X. Seja Uum aberto nao vazio de X, e seja x ∈ U . Como U e aberto, existe n ∈ N tal queB(x; 1/n) ⊂ U . Como V2n e uma cobertura de X, existe B(a; 1/2n) ∈ V2n ⊂ Btal que x ∈ B(a; 1/2n). Segue que

x ∈ B(a; 1/2n) ⊂ B(x; 1/n) ⊂ U.

Logo B e uma base para os abertos de X.

64

Vimos nos Exercıcios 7.A e 7.B que se um espaco topologico X satisfaz oprimeiro ou o segundo axioma de enumerabilidade, entao cada subespaco de Xsatisfaz o mesmo axioma.

Veremos nos Exercıcios 20.A e 20.B que a imagem contınua e aberta de umespaco topologico que satisfaz o primeiro ou o segundo axioma de enumerabili-dade, tambem satisfaz o mesmo axioma.

20.5. Proposicao. Seja Xi : i ∈ I uma famılia nao vazia de espacosT1 nao triviais. Entao o produto X =

∏i∈I Xi satisfaz o primeiro axioma de

enumerabilidade se e so se cada Xi satisfaz o mesmo axioma e I e enumeravel.

Demonstracao. (⇒) Suponhamos que X satisfaz o primeiro axioma deenumerabilidade. Como cada Xi e homeomorfo a um subespaco de X, segueque cada Xi tambem satisfaz o mesmo axioma.

Suponhamos que I nao seja enumeravel. Seja a = (ai)i∈I ∈ X, e sejaUn : n ∈ N uma base enumeravel de vizinhancas de a em X. Para cadan ∈ N temos que

a ∈ Vn =⋂

j∈Jn

π−1j (Vnj) ⊂ Un,

sendo Jn ⊂ I, Jn finito, e sendo Vnj uma vizinhanca aberta de aj em Xj paracada j ∈ Jn. E claro que Vn : n ∈ N tambem e uma base de vizinhancas dea em X. Seja J =

⋃Jn : n ∈ N, e seja k ∈ I \ J . Seja bk 6= ak, seja bi = ai

para cada i 6= k, e seja b = (bi)i∈I . Como Xk e um espaco T1, existe um abertoWk em Xk tal que ak ∈ Wk, mas bk /∈ Wk. Seja W = π−1

k (Wk). Notemosque b ∈ Vn para cada n ∈ N, mas b /∈ W . Logo Vn 6⊂ W para cada n ∈ N,contradicao. Logo I e enumeravel.

(⇐) Suponhamos que Xi satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidadepara cada i ∈ I, e que I seja enumeravel. Sem perda de generalidade podemossupor que I = N. Seja a = (an)n∈N ∈ X, e seja Vnk : k ∈ N uma baseenumeravel decrescente de vizinhancas de an em Xn para cada n ∈ N. Segueque os conjuntos da forma

N⋂n=1

π−1n (Vn,kn

) (N ∈ N, kn ∈ N)

formam uma base enumeravel de vizinhancas de a em X.

De maneira analoga podemos provar o resultado seguinte. Deixamos ademonstracao detalhada como exercıcio.

20.6. Proposicao. Seja Xi : i ∈ I uma famılia nao vazia de espacosT1 nao triviais. Entao o produto X =

∏i∈I Xi satisfaz o segundo axioma de

enumerabilidade se e so se cada Xi satisfaz o mesmo axioma e I e enumeravel.

65

Veremos no Exercıcio 20.C que cada subespaco aberto de um espaco topologicoseparavel e separavel. Veremos no Exercıcio 20.E que a imagem contınua de cadaespaco topologico separavel e separavel.

20.7. Proposicao. Seja Xi : i ∈ I uma famılia nao vazia de espacos deHausdorff nao triviais. Entao o produto X =

∏i∈I Xi e separavel se e so se

cada Xi e separavel e |I| ≤ |R|.

Demonstracao. (⇒) Suponhamos que X seja separavel. Como Xi = πi(X)para cada i ∈ I, segue que cada Xi e separavel.

Para provar que |I| ≤ |R|, seja D um subconjunto denso enumeravel de X.Para cada i ∈ I sejam Ui e Vi dois abertos disjuntos nao vazios em Xi, e sejaDi = D ∩ π−1

i (Ui). Como D e denso em X, segue que cada Di e nao vazio.Afirmamos que Di 6= Dj sempre que i 6= j. De fato, se i 6= j, e claro que

π−1i (Ui) ∩ π−1

j (Vj) 6= ∅,

e portantoD ∩ π−1

i (Ui) ∩ π−1j (Vj) 6= ∅.

Sejaa ∈ D ∩ π−1

i (Ui) ∩ π−1j (Vj) ⊂ Di.

Como Uj ∩ Vj = ∅, segue que

a /∈ D ∩ π−1j (Uj) = Dj ,

provando a afirmacao.Logo a aplicacao

f : i ∈ I → Di ∈ P(D)

e injetiva, e portanto|I| ≤ |P(D)| ≤ 2|N| = |R|.

(⇐) Suponhamos que cada Xi seja separavel, e que |I| ≤ |R|. Seja Di =xin : n ∈ N um subconjunto denso enumeravel de Xi para cada i ∈ I. Como|I| ≤ |R|, podemos supor que I ⊂ R.

Para cada conjunto T1, ..., Tp de intervalos fechados disjuntos com ex-tremos racionais, e cada conjunto n1, ..., np ⊂ N, definamos um ponto y =y(T1, ..., Tp, n1, ..., np) ∈ X da maneira seguinte:

yi = xinkse i ∈ Tk,

yi = xi1 se i /∈ T1 ∪ ... ∪ Tp.

Seja D o conjunto formado pelos pontos y = y(T1, ..., Tp, n1, ..., np). E claro queD e enumeravel. Provaremos que D e denso em X. Seja U um aberto basicoem X, ou seja

U =⋂j∈J

π−1j (Uj),

66

com J ⊂ I, J finito, e Uj aberto nao vazio em Xj para cada j ∈ J . Paracada j ∈ J seja xjnj

∈ Dj ∩ Uj , e seja Ti um intervalo fechado, com extremosracionais, contendo j. Se escrevemos J = i1, ..., ip, entao

y = y(Ti1 , ...Tip , ni1 , ..., nip) ∈ U,

pois πik(y) = yik

= xik,nik∈ Uik

para k = 1, ..., p. Logo D∩U 6= ∅, completandoa demonstracao.

Veremos no Exercıcio 20.F que cada subespaco fechado de um espaco deLindelof e um espaco de Lindelof. Veremos no Exercıcio 20.G que a imagemcontınua de cada espaco de Lindelof e um espaco de Lindelof.

20.8. Teorema. Cada espaco de Lindelof regular e normal.

Demonstracao. Seja X um espaco de Lindelof regular, e sejam A e B doisfechados disjuntos nao vazios de X. Como X e regular, para cada a ∈ A existeum aberto Ua tal que a ∈ Ua e Ua ∩ B = ∅. De maneira analoga, para cadab ∈ B existe um aberto Vb tal que b ∈ Vb e Vb ∩ A = ∅. Como A e Lindelof,a cobertura aberta Ua : a ∈ A de A admite uma subcobertura enumeravelUaj

: j ∈ N. De maneira analoga, a cobertura aberta Vb : b ∈ B de Badmite uma subcobertura enumeravel Vbk

: k ∈ N.Sejam (Cj)∞j=1 e (Dj)∞k=1 duas sequencias de abertos definidos da maneira

seguinte:C1 = Ua1 , D1 = Vb1 \ C1,

C2 = Ua2 \D1, D2 = Vb2 \ (C1 ∪ C2),

C3 = Ua3 \ (D1 ∪D2), D3 = Vb3 \ (C1 ∪ C2 ∪ C3),

..............................................................

Sejam C =⋃∞

j=1 Cj e D =⋃∞

k=1 Dk. Para completar a demonstracao provare-mos que A ⊂ C, B ⊂ D e C ∩D = ∅.

Para provar que A ⊂ C, seja a ∈ A. Entao a /∈ Vbk, e portanto a /∈ Dk para

cada k. Seja j tal que a ∈ Uaj. Entao a ∈ Cj ⊂ C, e portanto A ⊂ C. De

maneira analoga podemos provar que B ⊂ D.Para provar que C ∩D = ∅, suponhamos que exista x ∈ Cj ∩Dk. Se j > k,

entao x ∈ Cj implica que x /∈ Dk, contradicao. E se j ≤ k, entao x ∈ Dk

implica que x /∈ Cj , contradicao tambem. Logo C ∩D = ∅.

Exercıcios

20.A. Prove que a imagem contınua e aberta de um espaco topologico quesatisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade, tambem satisfaz o mesmo ax-ioma.

20.B. Prove que a imagem contınua e aberta de um espaco topologico quesatisfaz o segundo axioma de enumerabilidade, tambem satisfaz o mesmo ax-ioma.

67

20.C. Prove que cada subespaco aberto de um espaco topologico separavele separavel.

20.D. Prove que cada subespaco de um espaco metrico separavel e separavel.

20.E. Prove que a imagem contınua de cada espaco topologico separavel eseparavel.

20.F. Prove que cada subespaco fechado de um espaco de Lindelof e umespaco de Lindelof.

20.G. Prove que a imagem contınua de cada espaco de Lindelof e um espacode Lindelof.

68

21. Espacos compactos

21.1. Definicao. Seja X um espaco topologico, e seja K ⊂ X. Diremosque X e um espaco topologico compacto se cada cobertura aberta de X admiteuma subcobertura finita. Diremos que K e um subconjunto compacto de X seK, com a topologia induzida por X, e um espaco topologico compacto. Diremosque K e um subconjunto relativamente compacto de X se K e um subconjuntocompacto de X.

21.2. Exemplos.(a) R nao e compacto. Deixamos a demonstracao como exercıcio.(b) Se X e um espaco topologico qualquer, entao cada subconjunto finito de

X e compacto. Deixamos a demonstracao como exercıcio.

21.3. Proposicao. Cada intervalo fechado e limitado em R e compacto.

Demonstracao. Seja U uma cobertura aberta de [a, b], com a < b. Seja Co conjunto dos pontos c ∈ [a, b] tais que [a, c] ⊂

⋃V para alguma famılia finita

V ⊂ U . Para completar a demonstracao basta provar que b ∈ C.Seja Ua ∈ U tal que a ∈ Ua, e seja δ > 0 tal que a + 2δ < b e

[a, b] ∩ (a− 2δ, a + 2δ) ⊂ Ua.

Isto implica que [a, a + δ] ⊂ Ua, e portanto a + δ ∈ C.Seja s = supC. Entao s ≥ a + δ > a. Seja Us ∈ U tal que s ∈ Us, e seja

ε > 0 tal que s− 2ε > a e

[a, b] ∩ (s− 2ε, s + 2ε) ⊂ Us.

Seja c ∈ C ∩ (s− 2ε, s], e seja V ⊂ U , V finita, tal que

[a, c] ⊂⋃V.

Segue que[a, s] ⊂ [a, c] ∪ (s− 2ε, s] ⊂ (

⋃V) ∪ Us.

Isto prova que s ∈ C. Se fosse s < b, poderiamos supor que s+2ε < b e teriamosque

[0, s + ε] ⊂ [a, c] ∪ (s− 2ε, s + 2ε) ⊂ (⋃V) ∪ Us.

Mas isto implicaria que s + ε ∈ C, e s nao seria o supremo de C. Logo s = b, eportanto b ∈ C.

21.4. Definicao. Seja X um conjunto nao vazio, e seja A uma famılia naovazia de subconjuntos de X. Diremos que A tem a propriedade da intersecaofinita se

⋂F 6= ∅ para cada famılia finita F ⊂ A.

21.5. Exemplos. Seja X um conjunto nao vazio.(a) Cada filtro em X tem a propriedade da intersecao finita.(b) Cada base de filtro em X tem a propriedade da intersecao finita.

69

O teorema seguinte da varias caracterizacoes de espacos compactos.

21.6. Teorema. Seja X um espaco topologico nao vazio. Entao asseguintes condicoes sao equivalentes:

(a) X e compacto.(b) Cada famılia de fechados de X com a propriedade da intersecao finita

tem intersecao nao vazia.(c) Cada filtro em X tem pelo menos um ponto de acumulacao.(d) Cada filtro em X esta contido em algum filtro convergente.(e) Cada ultrafiltro em X e convergente.(f) Cada rede em X tem pelo menos um ponto de acumulacao.(g) Cada rede em X admite uma subrede convergente.(h) Cada rede universal em X e convergente.

Demonstracao. (a) ⇒ (b): Seja X compacto, e seja Ai : i ∈ I umafamılia de fechados de X com a propriedade da intersecao finita. Suponhamosque

⋂i∈I Ai = ∅. Entao X =

⋃i∈I(X \ Ai), e X \ Ai e aberto para cada i ∈ I.

Como X e compacto, existe um conjunto finito J ⊂ I tal que X =⋃

i∈J Ai.Segue que

⋂i∈J Ai = ∅, contradicao. Isto prova que

⋂i∈I Ai 6= ∅.

(b) ⇒ (a): Seja Ui : i ∈ I uma cobertura aberta de X, e suponhamos que⋃i∈J Ui 6= X para cada conjunto finito J ⊂ I. Segue que X \ Ui : i ∈ I e

uma famılia de fechados de X tal que⋂

i∈J(X \ Ui) 6= ∅ para cada conjuntofinito J ⊂ I. Segue de (b) que

⋂i∈I(X \Ui) 6= ∅. Isto implica que

⋃i∈I Ui 6= X,

contradicao. Logo existe um conjunto finito J ⊂ I tal que⋃

i∈J Ui = X.

(b) ⇒ (c): Seja F um filtro em X. Entao A : A ∈ F e uma famıliade fechados de X com a propriedade da intersecao finita. Segue de (b) que⋂A : A ∈ F 6= ∅. Entao cada x ∈

⋂A : A ∈ F e um ponto de acumulacao

de F .

(c) ⇒ (b): Seja A uma famılia de fechados de X com a propriedade daintersecao finita. Seja B a famılia de todas as intersecoes finitas de membrosde A. E claro que B e uma base de filtro em X. Seja F o filtro gerado porB. Segue de (c) que F tem pelo menos um ponto de acumulacao, ou seja⋂A : A ∈ F 6= ∅. Como A ⊂ B ⊂ F , e cada A ∈ A e fechado, segue que⋂A =

⋂A : A ∈ A 6= ∅.

(c) ⇔ (d): Basta aplicar a Proposicao 15.13.

(d) ⇔ (e): A implicacao (d) ⇒ (e) e imediata, e a implicacao (e) ⇒ (d)segue da Proposicao 15.17.

(b) ⇒ (f): Seja (xλ)λ∈Λ uma rede em X. Seja Aλ = xµ : µ ≥ λ paracada λ ∈ Λ, e seja A = Aλ : λ ∈ Λ. Entao A e uma famılia de fechadosde X com a propriedade da intersecao finita. Segue de (b) que

⋂A 6= ∅. Se

x ∈⋂A =

⋂Aλ : λ ∈ Λ, entao, para cada U ∈ Ux tem-se que U ∩ Aλ 6= ∅

para cada λ ∈ Λ. Logo x e um ponto de acumulacao da rede (xλ)λ∈Λ.

70

(f) ⇒ (b): Seja A uma famılia de fechados de X com a propriedade daintersecao finita. Seja B a famılia de toas as intersecoes finitas de membros deA. E claro que B e um conjunto dirigido se definimos A ≤ B quando A ⊃ B.Seja xB ∈ B para cada B ∈ B. Segue de (f) que a rede (xB)B∈B tem pelo menosum ponto de acumulacao x. Logo, dados U ∈ Ux e A ∈ B, existe B ∈ B, B ⊂ A,tal que xB ∈ U , e portanto xB ∈ U ∩B ⊂ U ∩A. Como A ⊂ B, segue que

x ∈⋂A : A ∈ B =

⋂B ⊂

⋂A.

(f) ⇔ (g): Basta aplicar a Proposicao 13.10.

(f) ⇒ (h): Basta aplicar a Proposicao 13.12.

(h) ⇒ (e): Seja F um ultrafiltro em X, e seja

Λ = (a,A) : a ∈ A ∈ F.

E claro que Λ e um conjunto dirigido se definimos (a,A) ≤ (b, B) quando A ⊃ B.Denotaremos por (xλ)λ∈Λ a rede x : Λ → X definida por x(a,A) = a para cada(a,A) ∈ Λ. Afirmamos que (xλ)λ∈Λ e uma rede universal. De fato, como F eum ultrafiltro, dado E ⊂ X, tem-se que E ∈ F ou X \ E ∈ F . Se E ∈ F , sejae ∈ E. Entao

x(a,A) : (a,A) ≥ (e,E) ⊂ E.

De maneira analoga, se X \ E ∈ F , seja d ∈ X \ E. Entao

x(a,A) : (a,A) ≥ (d, X \ E) ⊂ X \ E.

Logo (xλ)λ∈Λ e uma rede universal. Segue de (h) que (xλ)λ∈Λ converge a umponto x. Logo dado U ∈ Ux, existe (a,A) ∈ Λ tal que b = x(b, B) ∈ U paratodo (b, B) ≥ (a,A). Segue que U ⊃ A, e portanto F converge a x.

21.7. Proposition. (a) Cada subespaco fechado de um espaco compacto ecompacto.

(b) Cada subespaco compacto de um espaco de Hausdorff e fechado.

Demonstracao. (a) Seja X um espaco compacto e seja S um subespacofechado de X. Seja Ui : i ∈ I uma cobertura aberta de S. Para cada i ∈ Iexiste um aberto Vi de X tal que Ui = S ∩ Vi. Segue que Vi : i ∈ I ∪ X \ Se uma cobertura aberta de X. Como X e compacto, existe um conjunto finitoJ ⊂ I tal que X = X \ S ∪

⋃i∈J Vi. Segue que S =

⋃i∈J Ui, e portanto S e

compacto.

(b) Seja X um espaco de Hausdorff e seja S um subespaco compacto deX. Para provar que S e fechado em X, seja x ∈ S. Entao existe uma rede(xλ)λ∈Λ ⊂ S que converge a x. Como S e compacto, a rede (xλ)λ∈Λ admiteuma subrede (xφ(µ))µ∈M que converge a um ponto y ∈ S. Como (xφ(µ))µ∈M

converge a x tambem, e X e Hausdorff, segue que x = y ∈ S. Logo S e fechadoem X.

71

21.8. Proposicao. A imagem contınua de um espaco compacto e compacto.

Demonstracao. Sejam X e Y espacos topologicos, com X compacto, eseja f : X → Y uma aplicacao sobrejetiva e contınua. Para provar que Y ecompacto, seja Vi : i ∈ I uma cobertura aberta de Y . Entao f−1(Vi) : i ∈ Ie uma cobertura aberta de X. Como X e compacto, existe um conjunto finitoJ ⊂ I tal que X =

⋃i∈J f−1(Vi). Como f e sobrejetivo, segue que Y =

⋃i∈J Vi.

Logo Y e compacto.

21.9. Corolario. Seja X um espaco compacto, seja Y um espaco de Haus-dorff, e seja f uma aplicacao contınua. Entao:

(a) f e fechada.(b) Se f e sobrejetiva, entao f e uma aplicacao quociente.(c) Se f e bijetiva, entao f e um homeomorfismo.

Demonstracao. (a) Seja A fechado em X. Pela Proposicao 21.8 f(A) ecompacto em Y . Pela Proposicao 21.7 f(A) e fechado em Y .

(b) segue de (a) pela Proposicao 11.5.(c) segue de (a) pela Proposicao 8.9.

21.10. Teorema de Tychonoff. Seja Xi : i ∈ I uma famılia nao vaziade espacos topologicos nao vazios. Entao o produto X =

∏i∈I Xi e compacto se

e so se cada Xi e compacto.

Demonstracao. (⇒) Se X e compacto, entao Xi = πi(X) e compacto paracada i ∈ I, pela Proposicao 21.8.

(⇐) Suponhamos que cada Xi seja compacto, e seja (xλ)λ∈Λ uma rede uni-versal em X. Pelo Exercıcio 13.F (πi(xλ))λ∈Λ e uma rede universal em Xi,para cada i ∈ I. Pelo Teorema 21.6, a rede (πi(xλ∈Λ)λ∈Λ converge a um pontoxi ∈ Xi para cada i ∈ I. Seja x = (xi)i∈I ∈ X. Entao (xλ)λ∈Λ converge a x.Pelo Teorema 21.6 X e compacto.

21.11. Corolario. O produto [0, 1]I e compacto para cada conjunto naovazio I.

21.12. Corolario. Um conjunto K ⊂ Rn e compacto se e so se K efechado e limitado.

Demonstracao. (⇒) Suponhamos K compacto. Como Rn e Hausdorff, Ke fechado em Rn, pela Proposicao 21.7. Por outro lado

K ⊂ Rn =∞⋃

j=1

B(0; j).

Como K e compacto, existe k ∈ N tal que

K ⊂k⋃

j=1

B(0; j) = B(0; k).

72

Logo K e limitado.

(⇐) Suponhamos K fechado e limitado. Sendo K limitado, existe k ∈ N talque

K ⊂ B(0; k) ⊂ [−k, k]n.

Sendo K fechado em Rn, segue que K e fechado em [−k, k]n. Pelo Corolario21.11 [−k, k]n e compacto. Pela Proposicao 21.7 K e compacto.

21.13. Teorema. Cada espaco de Hausdorff compacto e um espaco T4.

Demonstracao. Sabemos que cada espaco de Lindelof regular e normal.Como cada espaco compacto e claramente Lindelof, basta provar que cadaespaco de Hausdorff compacto e regular.

Seja X um espaco de Hausdorff compacto. Seja A um fechado de X, e sejab /∈ A. Para cada a ∈ A sejam Ua e Va dois abertos disjuntos de X tais quea ∈ Ua e b ∈ Va. Como A ⊂

⋃a∈A Ua e A e compacto, existem a1, ..., an ∈ A

tais que

A ⊂n⋃

j=1

Uaj .

Sejam

U =n⋃

j=1

Uaj , V =n⋂

j=1

Vaj .

Entao U e V sao abertos disjuntos em X, A ⊂ U e b ∈ V .

21.14. Corolario. O produto [0, 1]I e um espaco T4 para cada conjuntonao vazio I.

Agora podemos complementar o Teorema 19.11 da maneira seguinte.

21.15. Teorema. Para um espaco topologico X as seguintes condicoes saoequivalentes:

(a) X e um espaco de Tychonoff.(b) X e homeomorfo a um subespaco do produto [0, 1]I , para algum I.(c) X e homeomorfo a um subespaco de um espaco de Hausdorff compacto.(d) X e homeomorfo a um subespaco de um espaco T4.

Demonstracao. A implicacao (a) ⇒ (b) segue do Teorema 19.11. A im-plicacao (b) ⇒ (c) segue do Corolario 21.11. A implicacao (c) ⇒ (d) segue doTeorema 21.13. E a implicacao (d) ⇒ (a) segue do Corolario 19.7.

Exercıcios

21.A. Seja X um espaco topologico, e seja K ⊂ X. Prove que K e compactose e so se, dada uma famılia Ui : i ∈ I de abertos de X tal que K ⊂

⋃Ui :

i ∈ I, existe uma famılia finita J ⊂ I tal que K ⊂⋃Ui : i ∈ J.

73

21.B. Prove que R nao e compacto.

21.C. Prove que cada subconjunto finito de um espaco topologico qualquere compacto.

21.D. Prove que um espaco topologico discreto X e compacto se e so se Xe finito.

21.E. Usando a Proposicao 21.8 prove que o cırculo unitario

S1 = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1

e compacto.

21.F. Seja X um espaco compacto, e seja f : X → R uma funcao contınua.Prove que existem a, b ∈ X tais que f(a) ≤ f(x) ≤ f(b) para todo x ∈ X.

21.G. Sejam X e Y espacos topologicos, e seja f : X → Y .(a) Se Y e Hausdorff, e f e contınua, prove que o grafico de f e fechado em

X × Y .(b) Se Y e compacto, e o grafico de f e fechado em X × Y , prove que f e

contınua.

21.H. Seja X um espaco de Hausdorff.(a) Seja K um subconjunto compacto de X, e seja b /∈ K. Prove que existem

abertos disjuntos U e V de X tais que K ⊂ U e b ∈ V .(b) Sejam K e L dois subconjuntos compactos disjuntos de X. Prove que

existem abertos disjuntos U e V de X tais que K ⊂ U e L ⊂ V .

21.I. Seja X um espaco de Hausdorff, seja K um subconjunto compacto deX, e sejam U1 e U2 dois abertos de X tais que K ⊂ U1 ∪U2. Prove que existemdois subconjuntos compactos K1 e K2 de X tais que K = K1 ∪K2, K1 ⊂ U1 eK2 ⊂ U2.

Sugestao: Primeiro prove que existem abertos disjuntos V1 e V2 de X taisque K \ U1 ⊂ V1 e K \ U2 ⊂ V2. A seguir defina K1 = K \ V1 e K2 = K \ V2.

21.J. Sejam X e Y espacos topologicos, sejam K e L subconjuntos com-pactos de X e Y , respectivamente, e seja W um aberto de X × Y tal queK × L ⊂ W . Prove que existem abertos U ⊂ X e V ⊂ Y tais que K ⊂ U ,L ⊂ V e U × V ⊂ W .

21.K. Sejam X, Y e Z espacos topologicos, e seja f : X × Y → Z umaaplicacao contınua. Sejam K e L subconjuntos compactos de X e Y , respecti-vamente, e seja W um aberto de Z tal que f(K × L) ⊂ W . Prove que existemabertos U ⊂ X e V ⊂ Y tais que K ⊂ U , L ⊂ V e f(U × V ) ⊂ W .

21.L. Seja X um espaco compacto.(a) Prove que a funcao

d(f, g) = sup|f(x)− g(x)| : x ∈ X

74

e uma metrica em C(X).(b) Prove que uma sequencia (fn) converge a f no espaco metrico (C(X), d)

se e so se (fn) converge a f uniformemente sobre X. Por essa razao a topologiaτd definida pela metrica d e chamada de topologia da convergencia uniforme.

21.M. Seja X um espaco topologico qualquer. Dados f ∈ C(X), A ⊂ Xfinito e ε > 0, seja

V (f,A, ε) = g ∈ C(X) : |g(x)− f(x)| < ε para todo x ∈ A.

(a) Prove que os conjuntos V (f,A, ε), com A ⊂ X finito e ε > 0, formamuma base de vizinhancas de f para uma topologia em C(X), que denotaremospor τp.

(b) Prove que uma sequencia (fn) converge a f em (C(X), τp) se e so sefn(x) → f(x) para cada x ∈ X. Por essa razao a topologia τp e chamada detopologia da convergencia pontual.

(c) Prove que a inclusao (C(X), τp) → RX e um mergulho.

21.N. Seja X um espaco topologico qualquer, e seja F ⊂ C(X). Diremosque F e equicontınua num ponto a ∈ X se dado ε > 0, existe U ∈ Ua tal que|f(x) − f(a)| < ε para todo f ∈ F e x ∈ U . Diremos que F e equicontınua sefor equicontınua em cada ponto de X.

(a) Se F e equicontınua, prove que Fτp e equicontınua tambem.(b) Se F e equicontınua e X e compacto, prove que as topologias τp e τd

coincidem em F .

21.O. Seja X um espaco topologico qualquer, e seja F ⊂ C(X). Diremosque F e pontualmente limitada se sup|f(a)| : f ∈ F < ∞ para cada a ∈ X.Diremos que F e localmente limitada se para cada a ∈ X existe U ∈ Ua tal quesup|f(x)| : f ∈ F , x ∈ U < ∞.

(a) Se F e pontualmente limitada, prove que Fτp e pontualmente limitadatambem.

(b) Se F e equicontınua e pontualmente limitada, prove que F e localmentelimitada.

21.P. Seja X um espaco compacto, e seja F ⊂ C(X) equicontınua e pon-tualmente limitada. Prove que F e um subconjunto relativamente compacto de(C(X), τd). Este e o teorema de Arzela-Ascoli.

75

22. Espacos localmente compactos

22.1. Definicao. Diremos que um espaco topologico X e localmente com-pacto se cada x ∈ X admite uma base de vizinhancas compactas.

22.2. Proposicao. Um espaco de Hausdorff X e localmente compacto se eso se cada x ∈ X tem pelo menos uma vizinhanca compacta.

Demonstracao. Para provar a implicacao nao trivial, seja x ∈ X, e seja U0

uma vizinhanca compacta de x. Seja U ∈ Ux, e seja V = (U0 ∩ U). Entao V euma vizinhanca aberta de x em X e V ⊂ U0. Logo V e uma vizinhanca abertade x em U0. Notemos que U0 e um espaco de Hausdorff compacto, e portantoregular. Logo existe um subconjunto aberto W de U0 tal que

x ∈ W ⊂ WU0 ⊂ V ⊂ U.

Temos que W = U0 ∩W1, sendo W1 aberto em X. Segue que

W = V ∩W = V ∩ U0 ∩W1 = V ∩W1.

Logo W e aberto em X. Segue que WU0 e uma vizinhanca compacta de x em

X e WU0 ⊂ U .

22.3. Exemplos.(a) Cada espaco de Hausdorff compacto e localmente compacto.(b) Rn e um espaco de Hausdorff localmente compacto que no e compacto.(c) Seja X um conjunto infinito, com a topologia discreta. X e um espaco

de Hausdorff localmente compacto que nao e compacto.

Segue da definicao que cada espaco de Hausdorff localmente compacto eregular. Mas podemos provar mais.

22.4. Teorema. Cada espaco de Hausdorff localmente compacto e umespaco de Tychonoff.

Demonstracao. Seja X um espaco de Hausdorff localmente compacto.Provaremos que X e completamente regular. Seja A um fechado de X, e sejab ∈ X \ A. Por hipotese X \ A contem uma vizinhanca compacta U de b.Seja V = U. Temos que U e um espaco de Hausdorff compacto, e portantocompletamente regular. Como V e aberto em U , e b ∈ V , existe uma funcaocontınua φ : U → [0, 1] tal que φ(U \ V ) ⊂ 0 e φ(b) = 1. Notemos queX = U ∪ (X \ V ). Seja f : X → [0, 1] definida por f = φ em U e f = 0 emX \ V . A funcao f esta bem definida, pois φ = 0 em U ∩ (X \ V ) = U \ V . Afuncao f e contınua, pois U e X \ V sao fechados. E como A ⊂ X \ V , segueque f(A) ⊂ 0 e f(b) = 1.

Nos exercıcios veremos que a intersecao de um subespaco aberto e um sube-spaco fechado de um espaco de Hausdorff localmente compacto e um subespacolocalmente compacto. Reciprocamente temos o resultado seguinte.

76

22.5. Proposicao. Seja C um subespaco localmente compacto de um espacode Hausdorff X. Entao existem subespacos A e B de X, com A aberto e Bfechado, tais que C = A ∩B.

A demonstracao esta baseada no lema seguinte.

22.6. Lema. Seja C um subespaco localmente compacto de um espaco deHausdorff X. Entao C e aberto em C

X.

Demonstracao. Seja c ∈ C, e seja U uma vizinhanca aberta de c em C talque U

Ce compacto. Seja V um aberto de X tal que U = C ∩ V . Entao

C ∩ C ∩ VX

= C ∩ UX

= UC

.

Esse conjunto e compacto, e portanto fechado em X. Esse conjunto contemU = C ∩ V , e portanto C ∩ V

X. Logo

C ∩ VX ⊂ C ∩ C ∩ V

X ⊂ C.

Afirmamos queC

X ∩ V ⊂ C.

De fato seja x ∈ CX ∩ V . Logo existe uma rede (xλ)λ∈Λ ⊂ C que converge a x.

Como x ∈ V , existe λ0 ∈ Λ tal que xλ ∈ V para todo λ ≥ λ0. Logo xλ ∈ C ∩ V

para todo λ ≥ λ0, e dai x ∈ C ∩ VX ⊂ C.

Como CX ∩V e aberto em C

X, segue que C e uma vizinhanca de c em C

X.

Logo C e aberto em CX

.

Demonstracao da Proposicao 22.5. Pelo Lema 22.6 C e aberto em CX

.Logo existe um aberto A de X tal que C = A∩C

X. Assim basta tomar B = C

X

para completar a demonstracao.

No Exercıcio 22.F veremos que a imagem contınua e aberta de um espacolocalmente compacto e um espaco localmente compacto.


∏i∈I Xi e localmente compacto se

e so se se verificam as seguintes condicoes:(a) Cada Xi e localmente compacto.(b) Existe um conjunto finito J ⊂ I tal que Xi e compacto para cada i ∈ I\J .

Demonstracao. (⇒) Suponhamos que X seja localmente compacto. EntaoXi = πi(X) e localmente compacto para cada i ∈ I, pelo Exercıcio 22.F. Istoprova (a).

Para provar (b) seja x ∈ X e seja U uma vizinhanca compacta de x em X.Entao U contem uma vizinhanca basica V , ou seja

U ⊃ V =∏j∈J

Vj ×∏

i∈I\J

Xj ,

77

sendo J ⊂ I, J finito, e sendo Vj uma vizinhanca aberta de πj(x) em Xj , paracada j ∈ J . Segue que πi(U) = Xi para todo i ∈ I \ J , e (b) segue.

(⇐) Suponhamos que cada Xi seja localmente compacto, e que Xi sejacompacto para cada i ∈ I \J , com J finito. Seja x ∈ X, e seja U uma vizinhancabasica de x em X. Sem perda de generalidade podemos supor que

U =∏j∈J1

Uj ×∏

i∈I\J1

Xi,

sendo J ⊂ J1 ⊂ I, J1 finito, e sendo Uj uma vizinhanca aberta de πj(x) em Xj

para cada j ∈ J1. Para cada j ∈ J1 seja Vj uma vizinhanca compacta de πj(x)em Xj , com Vj ⊂ Uj , e seja

V =∏j∈J1

Vj ×∏

i∈I\J1

Xi.

Entao V e uma vizinhanca compacta de x em X, contida em U .

22.8. Corolario. RI e localmente compacto se e so se I e finito.

Exercıcios

22.A. Prove que o conjunto Q dos numeros racionais, com a topologia in-duzida por R, nao e localmente compacto.

22.B. Prove que o conjunto R \Q dos numeros irracionais, com a topologiainduzida por R, nao e localmente compacto.

22.C. Seja X um espaco localmente compacto. Prove que cada subespacoaberto de X e localmente compacto.

22.D. Seja X um espaco localmente compacto. Prove que cada subespacofechado de X e localmente compacto.

22.E. Seja X um espaco de Hausdorff. Prove que a intersecao de doissubespacos localmente compactos de X e localmente compacto.

22.F. Prove que a imagem contınua e aberta de um espaco localmente com-pacto e um espaco localmente compacto.

22.G. Seja X um espaco localmente compacto, seja Y um espaco de Haus-dorff, e seja f : X → Y uma funcao sobrejetiva, contınua e aberta. Prove que,dado um compacto L ⊂ Y , existe um compacto K ⊂ X tal que f(K) = L.

22.H. Seja X um espaco localmente compacto. Prove que um conjuntoA ⊂ X e aberto em X se e so se A ∩ K e aberto em K para cada compactoK ⊂ X.

78

23. A compactificacao de Alexandroff

23.1. Definicao. Seja X um espaco de Hausdorff. Chamaremos de com-pactificacao de X um par (Y, φ) tal que:

(a) Y e um espaco de Hausdorff compacto;(b) φ e um homeomorfismo entre X e um subespaco denso de Y .

23.2. Teorema. Seja X um espaco de Hausdorff localmente compacto, quenao e compacto. Seja p /∈ X, e seja X∗ = X ∪ p. Para cada x ∈ X sejaBx(X) uma base de vizinhancas abertas de x em X, e seja Bx(X∗) = Bx(X).Seja

Bp(X∗) = p ∪ (X \K) : K e compacto em X.

Entao:(a) As familias Bx(X∗) (x ∈ X) e Bp(X∗) definem uma topologia em X∗

que induz em X a sua topologia original.(b) X∗ e um espaco de Hausdorff compacto.(c) X e um subespaco aberto denso de X∗.

Demonstracao. (a) Para provar (a) devemos verificar as condicoes daProposicao 5.7:

(i) x ∈ U para cada U ∈ Bx(X∗).(ii) Dados U, V ∈ Bx(X∗), existe W ∈ Bx(X∗) tal que W ⊂ U ∩ V .(iii) Dado U ∈ Bx(X∗), existe V ∈ Bx(X∗), V ⊂ U , tal que para cada y ∈ V

existe W ∈ By(X∗) tal que W ⊂ U .Se x ∈ X, entao Bx(X) satisfaz (i), (ii) e (iii), pela Proposicao 5.6. Logo

Bx(X∗) satisfaz (i), (ii) e (iii).Verifiquemos que Bp(X∗) satisfaz (i), (ii) e (iii).(i) Se U = p ∪ (X \K), entao p ∈ U .(ii) Se U = p∪(X\K), e V = p∪(X\L), entao U∩V = p∪(X\(K∪L)).(iii) Seja U = p ∪ (X \K), e seja V = U . Se y = p, seja W = U . Entao

W ∈ Bp(X∗) e W ⊂ U . Se y ∈ V , com y 6= p, entao y ∈ X \K. Como X \K eaberto em X, existe W ∈ By(X) = By(X∗) tal que y ∈ W ⊂ X \K ⊂ U .

Se U e aberto em X, e claro que U e aberto em X∗. Em particular X eaberto em X∗. E se V e aberto em X∗, e claro que X ∩ V e aberto em X.

(b) Provemos que X∗ e Hausdorff. Dados x, y ∈ X, com x 6= y, existem U eV abertos em X, e portanto em X∗, tais que x ∈ U , y ∈ V e U ∩ V = ∅.

Dado x ∈ X, seja U uma vizinhanca compacta de x em X, e seja V =p ∪ (X \ U). Entao U ∈ Ux(X∗), V ∈ Up(X∗) e U ∩ V = ∅. Logo X∗ eHausdorff.

Para provar que X∗ e compacto, seja U uma cobertura aberta de X∗. SejaU0 ∈ U tal que p ∈ U0. Entao existe um compacto K ⊂ X tal que

p ∪ (X \K) ⊂ U0.

K e compacto em X, e portanto em X∗. Logo existem U1, ..., Un ∈ U tais que

K ⊂ U1 ∪ ... ∪ Un.

79

Segue queX∗ = U0 ∪ U1 ∪ ... ∪ Un.

Logo X∗ e compacto.(c) Ja sabemos que X e aberto em X∗. Para provar que X e denso em X∗,

seja U = p ∪ (X \K) ∈ Bp(X∗). Como X nao e compacto, X \K 6= ∅. Logo

U ∩X ⊃ X \K 6= ∅.

Logo X∗ e compacto.

23.3. Definicao. Seja X e um espaco de Hausdorff localmente compactoque nao e compacto. Entao o espaco X∗ construido no teorema anterior echamado de compactificacao de Alexandroff de X.

Exercıcios

23.A. Seja X um espaco de Hausdorff. Suponhamos que exista uma com-pactificacao (Y, φ) de X tal que Y \ φ(X) contem um unico ponto. Prove queX e localmente compacto, mas nao e compacto.

23.B. (a) Prove que o intervalo (0, 1] e um espaco de Hausdorff localmentecompacto, que nao e compacto.

(b) Prove que o intervalo [0, 1] e a compactificacao de Alexandorff do inter-valo (0, 1].

23.C. (a) Prove que N, com a topologia discreta, e um espaco de Hausdorfflocalmente compacto, que nao e compacto.

(b) Prove que a compactificacao de Alexandroff de N e homeomorfa aosubespaco S = 1/n : n ∈ N ∪ 0 de R.

23.D. Seja

Sn = (x1, ..., xn+1) ∈ Rn+1 :n+1∑j=1

x2j = 1,

e sejam C = (0, ..., 0, 1/2) e N = (0, ..., 0, 1).(a) Prove que a projecao estereografica

(x1, ..., xn+1) ∈ (C +12Sn) \ N →

(x1

1− xn+1, ...,

xn

1− xn+1

)∈ Rn

e um homeomorfismo.(b) Conclua que a compactificacao de Alexandroff de Rn e homeomorfa a

Sn.

80

24. A compactificacao de Stone-Cech

Se um espaco topologico X admite uma compactificacao, segue do Teorema21.15 que X e um espaco de Tychonoff. A seguir veremos que vale a recıproca.

Seja X um espaco de Tychonoff. Para cada f ∈ Cb(X) seja If um intervalofechado e limitado que contem f(X). Segue da demonstracao do Teorema 19.11que a aplicacao

εX : x ∈ X → (f(x))f∈Cb(X) ∈∏

f∈Cb(X)

If

e um mergulho.

24.1. Definicao. Dado um espaco de Tychonoff X, denotaremos por βXa aderencia do conjunto εX(X) no produto

∏f∈Cb(X) If . E claro que o par

(βX, εX) e uma compactificacao de X. Diremos que βX e a compactificacao deStone-Cech de X.

A compactificacao de Stone-Cech tem a seguinte propriedade:

24.2. Teorema. Seja X um espaco de Tychonoff, e seja Y um espaco deHausdorff compacto. Entao, para cada funcao contınua h : X → Y , existe umafuncao contınua h : βX → Y tal que h = h εX , ou seja o seguinte diagrama ecomutativo:

Xh−→ Y

εX h

βX

Demonstracao. Como Y e um espaco de Tychonoff, a aplicacao

εY : y ∈ Y → (g(y))g∈Cb(Y ) ∈∏

g∈Cb(Y )

Ig

e um mergulho. Consideremos a aplicacao

H : (ξf )f∈Cb(X) ∈∏

f∈Cb(X)

If → (ξgh)g∈Cb(Y ) ∈∏

g∈Cb(Y )

Ig.

E facil ver queπg H = πgh para todo g ∈ Cb(Y ),

e portanto H e contınua. E facil ver que

H(εX(x)) = εY (h(x)) para todo x ∈ X,

ou seja o seguinte diagrama e comutativo:

81

Xh−→ Y

εX ↓ ↓ εY∏f∈Cb(X)

IfH−→

∏g∈Cb(Y )

Ig

Em particularH(εX(X)) = εY (h(X)) ⊂ εY (Y ).

Como βX = εX(X) e Y e compacto, segue que

H(βX) = H(εX(X)) ⊂ H(εX(X)) ⊂ εY (Y ) = βY = εY (Y ).

Assim temos o seguinte diagrama comutativo:

Xh−→ Y

εX ↓ ↓ εY

βXH|βX−→ βY = εY (Y )

Se definimosh = ε−1

Y (H|βX) : βX → Y,

entao e claro que h εX = h.

Exercıcios

24.A. Seja X um espaco de Tychonoff. Prove que, para cada f ∈ Cb(X),existe f ∈ Cb(βX) tal que f = f εX .

24.B. Considerando a funcao f(t) = sen(1/t) (0 < t ≤ 1), prove que ointervalo [0, 1] nao e a compactificacao de Stone-Cech do intervalo (0, 1].

24.C. Seja `∞ o conjunto de todas as sequencias (xn) em R que sao limi-tadas. Dadas x = (xn) e y = (yn) em `∞, seja d(x, y) = supn|xn − yn|.

(a) Prove que `∞ e um espaco vetorial sobre R, e que d e uma metrica em`∞

(b) Prove que existe um isomorfismo entre os espacos vetoriais `∞ e C(βN),que e tambem uma isometria, ou seja d(T (x), T (y)) = d(x, y) para todo x, y ∈`∞.

24.D. Seja X um espaco de Tychonoff, e seja (Y, φ) uma compactificacao deX.

(a) Se φ(X) e aberto em Y , prove que X e localmente compacto.(b) Se x ∈ X, e se U e uma vizinhanca compacta de x em X, prove que

φ(U) e uma vizinhanca de φ(x) em Y .(c) Prove que φ(X) e aberto em Y se e so se X e localmente compacto.

82

24.E. Identifiquemos N com sua imagem canonica em βN.(a) Prove que N e aberto em βN.(b) Prove que cada n ∈ N e um ponto isolado de βN, ou seja n e aberto

em βN.(c) Prove que os unicos pontos isolados de βN sao os pontos de N.

24.F. Seja X um espaco de Tychonoff, e seja (Y, φ) uma compactificacao deX tal que, dados um espaco de Hausdorff compacto Z, e uma funcao contınuah : X → Z, existe uma funcao contınua h : Y → Z tal que h φ = h. Prove queexiste um homeomorfismo φ : βX → Y tal que φ εX = φ. Isto nos diz que acompactificacao de Stone-Cech esta caracterizada pela propriedade de extensaodada pelo Teorema 24.2.

83

25. Espacos metrizaveis

Lembremos que um espaco topologico X e metrizavel se existe uma metricaem X que define a topologia de X. E claro que cada subespaco de um espacometrizavel e metrizavel.

25.1. Proposicao. Seja Xi : i ∈ I uma famılia nao vazia de espacostopologicos nao triviais. Entao o produto X =

∏i∈I Xi e metrizavel se e so se

cada Xi e metrizavel e I e enumeravel.

Demonstracao. (⇒) Suponhamos que X seja metrizavel. Como cada Xi

e homeomorfo a um subespaco de X, segue que cada Xi e metrizavel. Como Xsatisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade, I e enumeravel, pela Proposicao20.5.

(⇐) Suponhamos que cada Xi seja metrizavel, e que I seja enumeravel.Sem perda de generalidade podemos supor que I = N. Para cada n ∈ N sejadn uma metrica em Xn que define a topologia de Xn. Pelo Exercıcio 25.Bpodemos supor que cada dn e limitada por 1. Dados x = (xn)∞n=1 e y = (yn)∞n=1

em X =∏∞

n=1 Xn, definamos

d(x, y) =∞∑

n=1

2−ndn(xn, yn).

E claro que d e uma metrica em X. Provemos que d define a topologia de X.Por um lado, dado ε > 0, seja N ∈ N tal que

∞∑n=N+1

2−n <ε

2,

e seja

V =N∏

n=1

Bdn(xn;ε

2N)×

∞∏n=N+1

Xn.

Entao V e uma vizinhanca de x em X e e facil ver que V ⊂ Bd(x; ε).Por outro lado, seja U uma vizinhanca aberta basica de x em X, ou seja

U =N∏

n=1

Bdn(xn; δn)×∞∏

n=N+1

Xn.

Se definimosδ = min2−nδn : n = 1, ..., N,

entao e facil verificar que Bd(x; ε) ⊂ U .

84

25.2. Teorema de metrizabilidade de Urysohn. Para um espaco T1

as seguintes condicoes sao equivalentes:(a) X e metrizavel e separavel.(b) X e regular e satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade.(c) X e homeomorfo a um subespaco do produto [0, 1]N.

Demonstracao. As implicacoes (a) ⇒ (b) e (c) ⇒ (a) sao imediatas. Aprimeira segue da Proposicao 20.4, e a segunda segue das Proposicoes 25.1 e20.7.

Para provar que (b) ⇒ (c), seja B uma base enumeravel para a topologia deX, e seja

C = (U, V ) ∈ B × B : U ⊂ V .

Pela Proposicao 20.3 X e um espaco de Lindelof. Pelo Teorema 20.8 X eum espaco normal. Dai para cada (U, V ) ∈ C existe uma funcao contınuafUV : X → [0, 1] tal que

fUV (U) ⊂ 0 e fUV (X \ V ) ⊂ 1.

SejaF = fUV : (U, V ) ∈ C.

Afirmamos que F separa pontos de fechados. De fato seja A um fechado em X,e seja b ∈ X \A. Seja V ∈ B tal que b ∈ V ⊂ X \A. Como X e regular, existeum aberto U1 em X tal que

b ∈ U1 ⊂ U1 ⊂ V ⊂ X \A.

Seja U ∈ B tal que b ∈ U ⊂ U1. Segue que

b ∈ U ⊂ U ⊂ V ⊂ X \A

e portanto (U, V ) ∈ C. Segue que

fUV (b) ∈ fUV (U) ⊂ 0 e fUV (A) ⊂ fUV (X \ V ) ⊂ 1.

Pelo Corolario 19.15 a avaliacao

ε : x ∈ X → (f(x))f∈F ∈ [0, 1]F

e um mergulho. Como F e enumeravel, temos provado (c).

25.3. Corolario. A imagem contınua de um espaco metrico compacto emum espaco de Hausdorff e metrizavel.

Demonstracao. Seja X um espaco metrico compacto, seja Y um espacode Hausdorff, e seja f : X → Y contınua e sobrejetiva. Entao Y e compactoe portanto regular. Pelo Teorema 25.2, para provar que Y e metrizavel, bastaprovar que Y satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade.

85

Seja B uma base enumeravel para a topologia de X. Seja C a famılia dasunioes finitas de membros de B, e seja

D = Y \ f(X \ U).

D e uma famılia enumeravel de abertos de Y . Provaremos queD e uma base paraa topologia de Y . Seja V aberto em Y , e seja y ∈ V . Entao f−1(y) ⊂ f−1(V ),f−1(y) e compacto, e f−1(V ) e aberto em X. Usando a compacidade de f−1(y)podemos achar U1, ..., Un ∈ B tais que

f−1(y) ⊂ U1 ∪ ... ∪ Un ⊂ f−1(V ).

Seja U = U1 ∪ ... ∪ Un. Entao U ∈ C e e facil verificar que

y ∈ Y \ f(X \ U) ⊂ V.

Logo D e uma base enumeravel para a topologia de Y .

O teorema de Urysohn caracteriza os espacos topologicos que sao metrizaveise separaveis. Ha outro teorema, mais geral, que caracteriza os espacos topologicosque sao apenas metrizaveis. Nao veremos esse teorema aqui.

Exercıcios

25.A. Prove que as seguintes funcoes sao crescentes:

(a) f(t) = t/(1 + t) (t ≥ 0).

(b) g(t) = t/(1− t) (0 ≤ t < 1).

25.B. Seja d uma metrica em um conjunto X, e seja d1 : X × X → Rdefinida por

d1(x, y) =d(x, y)

1 + d(x, y).

(a) Prove que d1 e uma metrica em X.

(b) Prove que as metricas d e d1 definem os mesmos abertos em X.

Sugestao: Use o exercıcio anterior.

25.C. Seja X um espaco metrico localmente compacto, e seja X∗ acompactificacao de Alexandroff de X. Prove que as seguintes condicoes saoequivalentes:

(a) X e separavel.(b) X =

⋃∞n=1 Kn, com Kn compacto e Kn ⊂ (Kn+1) para cada n.

(c) X∗ e metrizavel.

86

26. Espacos conexos

26.1. Definicao. Um espaco topologico X e dito desconexo se existem doisabertos disjuntos nao vazios A e B em X tais que X = A ∪ B. Caso contrarioX e dito conexo. Um conjunto S ⊂ X e dito desconexo se S, com a topologiainduzida por X, e um espaco desconexo. Caso contrario S e dito conexo

26.2. Exemplos.(a) Cada espaco topologico discreto, com pelo menos dois pontos, e

desconexo.(b) O espaco de Sierpinski e conexo.

26.3. Proposicao. Cada intervalo fechado e limitado em R e conexo.

Demonstracao. Suponhamos que [a, b] seja desconexo, sendo a < b. Entao[a, b] = A ∪ B, sendo A e B dois abertos disjuntos nao vazios de [a, b]. Semperda de generalidade podemos supor que b ∈ B. Como B e aberto, segue que(b − ε, b] ⊂ B para algum ε > 0. Seja c = supA. Entao c < b e (c, b] ⊂ B. Sec ∈ A, entao, como A e aberto, existiria ε > 0 tal que [c, c+ε) ⊂ A, absurdo, poisc = supA. Logo c ∈ B. Se c > a, entao, como B e aberto, existiria ε > 0 tal que(c−ε, c] ⊂ B, absurdo, pois c = supA. Logo c = a, e portanto [a, b] = [c, b] ⊂ B,absurdo de novo. Logo [a, b] e conexo.

Deixamos como exercıcio as demonstracoes dos dois resultados seguintes.

26.4. Proposicao. Um espaco topologico X e conexo se e so se X e ∅ saoos unicos subconjuntos de X que sao abertos e fechados.

26.5. Proposicao. A imagem contınua de um espaco conexo e conexo.

26.6. Proposicao. Seja X um espaco topologico, e seja S um subconjuntoconexo de X. Entao S tambem e conexo.

Demonstracao. Suponhamos que

S = A ∪B,

sendo A e B dois subconjuntos abertos nao vazios de S. Segue que

S = (S ∩A) ∪ (S ∩B),

sendo S ∩A e S ∩B dois subconjuntos abertos nao vazios de S. Isto e absurdo,pois S e conexo.

26.7. Corolario. Seja X um espaco topologico, seja S um subconjuntoconexo de X, e seja S ⊂ T ⊂ S. Entao T e conexo.

Demonstracao. Basta aplicar a proposicao anterior com X = T .

26.8. Definicao. Seja X um espaco topologico. Diremos que dois conjuntosA,B ⊂ X sao mutuamente separados se A ∩B = A ∩B = ∅.

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26.9. Proposicao. Um espaco topologico X e desconexo se e so se existemdois conjuntos mutuamente separados nao vazios A e B tais que X = A ∪B.

Demonstracao. (⇒) Se X e desconexo, entao existem dois abertos disjun-tos nao vazios A e B tais que X = A ∪B. Como A e B sao abertos e fechados,e claro que A e B sao mutuamente separados.

(⇐) Suponhamos que X = A∪B, sendo A e B dois conjuntos mutuamenteseparados nao vazios. Como

X = A ∪B e A ∩B = ∅,

vemos que B = X \A e aberto. De maneira analoga segue que A e aberto. LogoX e desconexo.

26.10. Corolario. Seja X um espaco topologico. Um subconjunto S ⊂ Xe desconexo se e so se existem dois conjuntos nao vazios A e B, mutuamenteseparados em X, tais que S = A ∪B.

Demonstracao. (⇐) Suponhamos que S = A ∪ B, sendo A e B doisconjuntos nao vazios, mutuamente separados em X. Entao e claro que A e Bsao mutuamente separados em S.

(⇒) Suponhamos que S = A ∪ B, sendo A e B dois conjuntos nao vazios,mutuamente separados em S. Entao

AX ∩B = A

X ∩ S ∩B = AS ∩B = ∅.

De maneira similar podemos provar que A ∩ BX

= ∅. Logo A e B sao mutua-mente separados em X.

26.11. Corolario. Seja X um espaco topologico, sejam A e B dois conjun-tos mutuamente separados, e seja S um subconjunto conexo de A ∪ B. EntaoS ⊂ A ou S ⊂ B.

Demonstracao. E claro que

S = (S ∩A) ∪ (S ∩B),

e os conjuntos S ∩ A e S ∩ B sao mutuamente separados em X. Como S econexo, segue da proposicao anterior que S ∩A = ∅ ou S ∩B = ∅. Logo S ⊂ Bou S ⊂ A.

26.12. Proposicao. Seja X um espaco topologico. Suponhamos que X =⋃i∈I Si, onde cada Si e conexo e

⋂i∈I Si 6= ∅. Entao X e conexo.

Demonstracao. Suponhamos que X = A∪B, sendo A e B dois conjuntosmutuamente separados. Segue do corolario anterior que Si ⊂ A ou Si ⊂ B paracada i ∈ I. Seja s ∈

⋂i∈I Si. Se s ∈ A, entao Si ⊂ A para cada i ∈ I, e portanto

B = ∅. De maneira analoga, se s ∈ B, entao A = ∅. Logo X e conexo.

88

26.13. Proposicao. Seja X um espaco topologico. Suponhamos que cadapar de pontos x, y ∈ X pertence a um conjunto conexo Sxy ⊂ X. Entao X econexo.

Demonstracao. Fixemos a ∈ X. Segue da hipotese que

X =⋃

x∈X

Sax e a ∈⋂

x∈X

Sax.

Pela proposicao anterior X e conexo.

26.14. Proposicao. Seja X um espaco topologico. Suponhamos que X =⋃∞n=1 Sn, onde cada Sn e conexo e Sn ∩ Sn+1 6= ∅ para cada n ∈ N. Entao X

e conexo.

Demonstracao. Seja Tn =⋃n

k=1 Sk para cada n ∈ N. Usando a Proposicao26.12 e inducao segue que cada Tn e conexo. Como

X =∞⋃

n=1

Tn e∞⋂

n=1

Tn 6= ∅,

outra aplicacao da Proposicao 26.12 implica que X e conexo.

26.15. Exemplos.

(a) R e conexo pela Proposicao 26.12, pois

R =∞⋃

n=1

[−n, n] e∞⋂

n=1

[−n, n] = [−1, 1].

(b) Rn e conexo pela Proposicao 26.12, pois Rn e a uniao de todas as retasque passam pela origem.


∏i∈I Xi e conexo se e so se cada

Xi e conexo.

Demonstracao. (⇒) Se X e conexo, entao Xi = πi(X) e conexo para cadai ∈ I.

(⇐) Fixemos a ∈ X e denotemos por S o conjunto de todos os x ∈ X taisque existe um conjunto conexo Sax ⊂ X contendo a e x. Como

S =⋃x∈S

Sax e a ∈⋂x∈S

Sax,

vemos que S e conexo., pela Proposicao 26.12. Pela Proposicao 26.5, para provarque X e conexo basta provar que X = S. Seja b ∈ X e seja U um aberto basicocontendo b, ou seja

U =n⋂

k=1

π−1ik

(Uik),

89

com Uikaberto em Xik

para k = 1, ..., n. Seja T1,...,Tn definidos da maneiraseguinte. Tk e o conjunto dos x = (xi)i∈I ∈ X tais que:

xik∈ Xik

e arbitrario;xij

= bijse j < k;

xij = aij se j > k;xi = ai se i 6= i1, ...in.

E claro que Tk e homeomorfo a Xik, que e conexo, e Tk ∩ Tk+1 6= ∅ para

k = 1, ..., n−1. Pela Proposicao 26.14 T =⋃n

k=1 Tk e conexo. Como a ∈ T1 ⊂ T ,segue que T ⊂ S. Por outro lado

S ∩ U ⊃ T ∩ U ⊃ Tn ∩ U 6= ∅.

Isto prova que b ∈ S, e portanto X = S.

Exercıcios

26.A. Prove que um espaco topologico X e conexo se e so se X e ∅ sao osunicos subconjuntos de X que sao abertos e fechados.

26.B. Prove que a imagem contınua de um espaco conexo e conexo.

26.C. Seja S um subconjunto conexo de R. Prove que, dados a < b em S,tem-se que [a, b] ⊂ S.

26.D. Prove que cada subconjunto enumeravel de R, com pelo menos doispontos, e desconexo.

26.E. Seja X um conjunto infinito, com a topologia cofinita. Prove que Xe conexo.

26.F. Seja f : [0, 1] → [0, 1] uma funcao contınua. Prove que existe x ∈ [0, 1]tal que f(x) = x. .

26.G. Prove que o cırculo unitario S1 e conexo.

26.H. Prove que a esfera

Sn = (x1, ..., xn+1) ∈ Rn+1 :n+1∑j=1

x2j = 1

e conexa para cada n ∈ N.

90

27. Componentes conexas

27.1. Definicao. Seja X um espaco topologico. Dado x ∈ X, denotaremospor Cx a uniao dos subconjuntos conexos de X que contem x. Entao Cx e omaior subconjunto conexo de X que contem x. Diremos que Cx e a componenteconexa de X que contem x.

27.2. Proposicao. Seja X um espaco topologico. Dados x, y ∈ X, tem-seque Cx = Cy ou Cx ∩ Cy = ∅.

Demonstracao. Se Cx ∩ Cy 6= ∅, entao Cx ∪ Cy e conexo, e portanto

Cx = Cx ∪ Cy = Cy.

27.3. Proposicao. As componentes conexas de um espaco topologico saosempre fechadas.

Demonstracao. Como Cx e conexo, segue que Cx e conexo tambem. LogoCx = Cx.

27.4. Definicao. Um espaco topologico X e dito localmente conexo se cadax ∈ X admite uma base de vizinhancas abertas e conexas.

27.5. Exemplo. O espaco [0, 1) ∪ (1, 2] e localmente conexo, mas nao econexo.

27.6. Proposicao. Um espaco topologico X e localmente conexo se e so seas componentes conexas de cada aberto de X sao abertas em X.

Demonstracao. (⇒) Suponhamos que X seja localmente conexo. Seja Uum aberto de X, e seja C uma componente conexa de U . Por hipotese para cadax ∈ C existe um aberto conexo V tal que x ∈ V ⊂ U . Segue que x ∈ V ⊂ C, eportanto C e aberto em X.

(⇐) Suponhamos que as componentes conexas de cada aberto de X sejamabertas em X. Seja x ∈ X, e seja U uma vizinhanca aberta de x em X. SejaC a componente conexa de U que contem x. Como por hipotese C e aberto emX, concluimos que X e localmente conexo.

27.7. Corolario. As componentes conexas de um espaco localmente conexosao abertas e fechadas.

27.8. Proposicao. Cada quociente de um espaco localmente conexo elocalmente conexo.

Demonstracao. Seja X um espaco localmente conexo e seja π : X → Yuma aplicacao quociente. Provaremos que as componentes conexas de cadaaberto de Y sao abertas em Y .

Seja V um aberto nao vazio em Y , e seja D uma componente conexa deV . Para provar que D e aberta em Y basta provar que π−1(D) e aberto emX. Seja x ∈ π−1(D), e seja Cx a componente conexa de π−1(V ) que contem x.

91

π(Cx) e conexo e π(x) ⊂ π(Cx) ⊂ V . Como π(x) ∈ D, segue que π(Cx) ⊂ D, eportanto Cx ⊂ π−1(D). Como Cx e aberto em X, segue que π−1(D) e abertoem X, como queriamos.

Exercıcios

27.A. Se X = Q, prove que Cx = x para cada x ∈ Q.

27.B. Seja X um espaco topologico discreto, com pelo menos dois pontos.(a) Prove que X e localmente conexo, mas nao e conexo.(b) Prove que Cx = x para cada x ∈ X.

27.C. Prove que um espaco topologico X e localmente conexo se e so se atopologia de X admite uma base formada por conjuntos abertos e conexos.

27.D. Se um espaco topologico X e compacto e localmente conexo, proveque X tem apenas um numero finito de componentes conexas.

27.E. Sejam X e Y espacos topologicos, e seja f : X → Y uma aplicacaocontınua. Prove que a imagem de cada componente conexa de X esta contidanuma componente conexa de Y .

27.F. Se X e Y sao homeomorfos, prove que cada componente conexa de Xe homeomorfa a uma componente conexa de Y .

92

28. Espacos conexos por caminhos

28.1. Definicao. Um espaco topologico X e dito conexo por caminhos sedados a, b ∈ X, existe uma funcao contınua f : [0, 1] → X tal que f(0) = a ef(1) = b. Diremos que f e um caminho em X entre a e b.

28.2. Proposicao. Cada espaco conexo por caminhos e conexo.

Demonstracao. Seja X um espaco conexo por caminhos. Suponhamos queexistam dois abertos disjuntos nao vazios A e B tais que X = A ∪ B. Sejama ∈ A e b ∈ B, e seja f : [0, 1] → X um caminho em X entre a e b. Segue que

[0, 1] = f−1(A) ∪ f−1B,

e [0, 1] nao seria conexo.

28.3. Exemplos.

(a) Rn e conexo por caminhos. De fato, dados a, b ∈ Rn, seja f : [0, 1] → Rn

definida por f(t) = (1− t)a + tb.

(b) R2 \E e conexo por caminhos para cada conjunto enumeravel E ⊂ R2.De fato, para cada a ∈ R2 \ E, existe uma famılia nao enumeravel de retas emR2 \ E que passam por a. Dai, dados a, b ∈ R2 \ E, existem duas retas L1 eL2 em R2 \E que passam por a e b, respectivamente, e que tem intersecao naovazia. Essa retas fornecem um caminho em R2 \ E entre a e b.

(c) Se n ≥ 2, entao Rn \ E e conexo por caminhos para cada conjuntoenumeravel E ⊂ Rn. De fato, dados a, b ∈ Rn \ E, seja S um subespacovetorial de Rn de dimensao 2 que contem a e b. Segue de (b) que existe umcaminho em S ∩ (Rn \ E) = S \ (S ∩ E) entre a e b.

28.4. Definicao. Seja X um espaco topologico, seja f : [0, 1] → X umcaminho entre a e b, e seja g : [0, 1] → X um caminho entre b e c. Sejaf ∗ g : [0, 1] → X o caminho entre a e c definido por

(f ∗ g)(t) = f(2t) (0 ≤ t ≤ 12),

(f ∗ g)(t) = g(2t− 1) (12≤ t ≤ 1).

28.5. Definicao. Um espaco topologico X e dito localmente conexo porcaminhos se cada x ∈ X admite uma base de vizinhancas abertas e conexas porcaminhos.

28.6. Proposicao. Se X e conexo e localmente conexo por caminhos, entaoX e conexo por caminhos.

Demonstracao. Seja a ∈ X, e seja S o conjunto dos x ∈ X tais que existeum caminho em X entre a e x. Claramente a ∈ S. Para provar que S = X,basta provar que S e aberto e fechado.

93

Para provar que S e aberto, seja b ∈ S, e seja U uma vizinhanca aberta de bque e conexa por caminhos. Seja f um caminho em X entre a e b, e seja g umcaminho em X entre b e c ∈ U . Entao f ∗ g e um caminho em X entre a e c, eportanto U ⊂ S. Logo S e aberto.

Para provar que S e fechada, seja c ∈ S, e seja U uma vizinhanca aberta dec que e conexa por caminhos. Seja b ∈ U ∩ S, seja f um caminho em X entrea e b, e seja g um caminho em X entre b e c. Entao f ∗ g e um caminho em Xentre a e c, e portanto c ∈ S. Logo S e fechado.

Exercıcios

28.A. Um conjunto S ⊂ Rn e dito convexo se (1 − t)a + tb ∈ S para todoa, b ∈ S e t ∈ [0, 1]. Prove que cada conjunto convexo em Rn e conexo porcaminhos.

28.B. Prove que a imagem contınua de um espaco conexo por caminhos econexo por caminhos.

28.C. Seja Xi : i ∈ I uma famılia nao vazia de espacos topologicos naovazios. Prove que o produto X =

∏i∈I Xi e conexo por caminhos se e so se

cada Xi e conexo por caminhos.

28.D. (a) Prove que S1 e conexo por caminhos.(b) Prove que Sn e conexo por caminhos para cada n ∈ N.

28.E. Prove que os espacos R e Rn nao sao homeomorfos se n ≥ 2.

28.F. Prove que os espacos [0, 1] e S1 nao sao homeomorfos.

28.G. Prove que os espacos S1 e Sn nao sao homeomorfos se n ≥ 2.

28.H. Prove que cada subconjunto aberto e conexo de Rn e conexo porcaminhos.

28.I. Consideremos os conjuntos

S = (x, y) ∈ R2 : 0 < x ≤ 1, y = sen(1/x),

T = S ∪ (0, y) : −1 ≤ y ≤ 1.

(a) Prove que S e conexo.(b) Prove que T e conexo.(c) Prove que S e conexo por caminhos.(d) Prove que T nao e conexo por caminhos.

Sugestao: Para provar (d) suponha que f = (f1, f2) : [0, 1] → T seja umcaminho em T entre (0, 0) e (1/π, 0). Prove que f1 toma todos os valores 1/nπ,com n ∈ N. A seguir prove que, em cada vizinhanca de 0 em [0, 1] f2 toma osvalores 1 e −1. Conclua que f2 nao e contınua em 0.

94

28.J. Seja X um espaco topologico, e sejam f , g e h caminhos em X entrea e b, entre b e c, e entre c e d, respectivamente.

(a) Prove que

[(f ∗ g) ∗ h](t) = f(4t) (0 ≤ t ≤ 14),

[(f ∗ g) ∗ h](t) = g(4t− 1) (14≤ t ≤ 1

2),

[(f ∗ g) ∗ h](t) = h(2t− 1) (12≤ t ≤ 1).

(b) Prove que

[f ∗ (g ∗ h)](t) = f(2t) (0 ≤ t ≤ 12),

[f ∗ (g ∗ h)](t) = g(4t− 2) (12≤ t ≤ 3

4),

[f ∗ (g ∗ h)](t) = h(4t− 3) (34≤ t ≤ 1).

95

29. Homotopia

29.1. Definicao. Sejam X e Y espacos topologicos, e sejam f, g ∈ C(X;Y ).Diremos que f e g sao homotopicas, e escreveremos f ' g, se existir uma funcaocontınua

H : X × [0, 1] → Y

tal queH(x, 0) = f(x) (x ∈ X),

H(x, 1) = g(x) (x ∈ X).

Diremos que H e uma homotopia entre f e g, e escreveremos H : f ' g.

Se definimosft(x) = H(x, t) (x ∈ X, 0 ≤ t ≤ 1).

vemos que H representa uma famılia de funcoes contınuas ft : X → Y (0 ≤ t ≤1) tais que f0 = f e f1 = g.

29.2. Exemplo. Seja X um espaco topologico qualquer, e seja Y umsubconjunto convexo de Rn. Entao qualquer par de funcoes f, g ∈ C(X;Y ) saohomotopicas entre si. Basta definir

H(x, t) = (1− t)f(x) + tg(x) (x ∈ X, 0 ≤ t ≤ 1).

29.3. Proposicao. A relacao f ' g e uma relacao de equivalencia emC(X;Y ).

Demonstracao. Se f ∈ C(X;Y ), entao H : f ' f , onde

H(x, t) = f(x) (x ∈ X, 0 ≤ t ≤ 1).

Se H1 : f ' g, entao H2 : g ' f , onde

H2(x, t) = H1(x, 1− t) (x ∈ X, 0 ≤ t ≤ 1).

Se H1 : f ' g e H2 : g ' h, entao H3 : f ' h, onde

H3(t) = H1(x, 2t) (x ∈ X, 0 ≤ t ≤ 12),

H3(t) = H2(x, 2t− 1) (x ∈ X,12≤ t ≤ 1).

29.4. Proposicao. Sejam X, Y , Z espacos topologicos, e sejam f1, g1 ∈C(X;Y ) e f2, g2 ∈ C(Y ;Z). Se f1 ' g1 e f2 ' g2, entao f2 f1 ' g2 g1.

Demonstracao. Sejam

H1 : f1 ' g1, H2 : f2 ' g2,

e seja H3 : X × [0, 1] → Z definida por

H3(x, t) = H2(H1(x, t), t) (x ∈ X, 0 ≤ t ≤ 1).

96

Entao

H3(x, 0) = H2(H1(x, 0), 0) = H2(f1(x), 0) = f2 f1(x) (x ∈ X),

H3(x, 1) = H2(H1(x, 1), 1) = H2(g1(x), 1) = g2 g1(x) (x ∈ X),

e portantoH3 : f2 f1 ' g2 g1.

29.5. Definicao. Um espaco topologico X e dito contratil se a funcaoidentidade iX(x) = x e homotopica a uma funcao constante c(x) = x0.

29.6. Proposicao. Um espaco topologico X e contratil se e so se, para cadaespaco topologico Y , qualquer par de funcoes f, g ∈ C(Y ;X) sao homotopicasentre si.

Demonstracao. Para provar a implicacao nao trivial, suponhamos queX seja contratil, ou seja iX ' c, e sejam f, g ∈ C(Y ;X). Entao, usando aproposicao anterior, segue que

f = iX f ' c f = c g ' i g = g.

29.7. Exemplo. Segue do Exemplo 29.2 que cada subconjunto convexo deRn e contratil.

Sabemos que dois espacos topologicos X e Y sao homeomorfos se e so seexistem f ∈ C(X;Y ) e g ∈ C(Y ;X) tais que g f = iX e f g = iY .

29.8. Definicao. Diremos que dois espacos topologicos X e Y sao ho-motopicamente equivalentes se existem f ∈ C(X;Y ) e g ∈ C(Y ;X) tais queg f ' iX e f g ' iY .

Se X e Y sao homeomorfos, e claro que X e Y sao homotopicamente equiv-alentes, mas a recıproca e falsa em geral.

29.9. Proposicao. Um espaco topologico X e contratil se e so se X ehomotopicamente equivalente a um espaco unitario.

Demonstracao. (⇒) Suponhamos que a identidade em X seja homotopicaa uma funcao constante c(x) = x0. Seja Y = x0, e seja j : Y → X a aplicacaoinclusao. Entao j c = c ' iX e c j = iY .

(⇐) Suponhamos que X seja homotopicamente equivalente a Y = y0.Sejam f ∈ C(X;Y ) e g ∈ C(Y ;X) tais que g f ' iX e f g ' iY . Como g fe uma funcao constante, vemos que X e contratil.

Na proxima secao precisaremos de uma variante da nocao de homotopia,conhecida como homotopia relativa.

29.10. Definicao. (a) Diremos que (X, A) e um par topologico se X e umespaco topologico, e A ⊂ X.

97

(b) Diremos que f : (X, A) → (Y, B) e uma funcao contınua se f : X → Ye uma funcao contınua tal que f(A) ⊂ B.

(c) Diremos que (X, A) e (Y,B) sao homeomorfos se existem funcoes contınuasf : (X, A) → (Y,B) e g : (Y, B) → (X, A) tais que g f = iX e f g = iY .Notemos que neste caso f : X → Y e um homeomorfismo e f(A) = B.

(d) Diremos que duas funcoes contınuas f, g : (X, A) → (Y,B) sao ho-motopicas se existir uma funcao contınua

H : X × [0, 1] → Y

tal queH(x, 0) = f(x) (x ∈ X),

H(x, 1) = g(x) (x ∈ X),

H(x, t) = f(x) = g(x) (x ∈ A, 0 ≤ t ≤ 1).

Neste caso diremos que H e uma homotopia entre f e g relativa a A, e escrever-emos H : f ' g[A].

(e) Diremos que (X, A) e (Y, B) sao homotopicamente equivalentes se existemfuncoes contınuas f : (X, A) → (Y, B) e g : (Y, B) → (X, A) tais que g f 'iX [A] e f g ' iY [B].

Exercıcios

29.A. Prove que cada espaco contratil e conexo por caminhos.

29.B. Prove que a relacao f ' g[A] e uma relacao de equivalencia no con-junto de todas as funcoes contınuas f : (X, A) → (Y, B).

29.C. Prove que, se (X, A) e (Y, B) sao homotopicamente equivalentes, entaoX e Y sao homotopicamente equivalentes.

29.D. Prove que, se (X, A) e (Y,B) sao homotopicamente equivalentes, entaoA e B sao homeomorfos.

29.E. Seja X um espaco topologico, e sejam a, b, c ∈ X. Sejam f1 e g1 doiscaminhos em X entre a e b, e sejam f2 e g2 dois caminhos em X entre b e c. Se

f1 ' g1[0, 1] e f2 ' g2[0, 1],

prove quef1 ∗ f2 ' g1 ∗ g2[0, 1].

98

30. O grupo fundamental

30.1. Definicao. Seja X um espaco topologico, e seja x0 ∈ X.

(a) Diremos que f : [0, 1] → X e um laco com base em x0 se f e contınua ef(0) = f(1) = x0. Denotaremos por Ω(X,x0) o conjunto de todos os lacos emX com base em x0.

(b) Diremos que f, g ∈ Ω(X,x0) sao homotopicos se f ' g[0, 1]. Nestecaso escreveremos f 'x0 g. Denotaremos por Π1(X,x0) o conjunto das classesde equivalencia em Ω(X,x0) sob a relacao 'x0 .

30.2. Teorema. O conjunto Π1(X,x0), com a operacao

[f ] ∗ [g] = [f ∗ g],

e um grupo, chamado de grupo fundamental de X, com base em x0.

Demonstracao. Se f1 'x0 f2 e g1 'x0 g2, segue do Exercıcio 29.E que

f1 ∗ g1 'x0 f2 ∗ g2.

Logo a operacao esta bem definida.

Para provar que a operacao e associativa basta provar que

(1) (f ∗ g) ∗ h 'x0 f ∗ (g ∗ h)

para todo f, g, h ∈ Ω(X,x0). Pelo Exercıcio 28.G, por um lado temos que

[(f ∗ g) ∗ h](s) = f(4s) (0 ≤ 4s ≤ 1),

[(f ∗ g) ∗ h](s) = g(4s− 1) (1 ≤ 4s ≤ 2),

[(f ∗ g) ∗ h](s) = h(2s− 1) (2 ≤ 4s ≤ 4).

E por outro lado

[f ∗ (g ∗ h)](s) = f(2s) (0 ≤ 4s ≤ 2),

[f ∗ (g ∗ h)](s) = g(4s− 2) (2 ≤ 4s ≤ 3),

[f ∗ (g ∗ h)](s) = h(4s− 3) (3 ≤ 4s ≤ 4).

DefinamosH(s, t) = f(

4s1 + t

) (0 ≤ 4s ≤ 1 + t),

H(s, t) = g(4s− 1− t) (1 + t ≤ 4s ≤ 2 + t),

H(s, t) = h(4s− 2− t

2− t) (2 + t ≤ 4s ≤ 4).

Nao e difıcil verificar que H e contınua e que

H(s, 0) = [(f ∗ g) ∗ h](s) (0 ≤ s ≤ 1),

99

H(s, 1) = [f ∗ (g ∗ h)](s) (0 ≤ s ≤ 1),

H(0, t) = [(f ∗ g) ∗ h](0) = [f ∗ (g ∗ h)](0) (0 ≤ t ≤ 1),

H(1, t) = [(f ∗ g) ∗ h](1) = [f ∗ (g ∗ h)](1) (0 ≤ t ≤ 1).

Isto prova (1).

Seja e(s) = x0 para todo s ∈ [0, 1]. Para provar que [e] e o elementoidentidade de Π1(X,x0), basta provar que

(2) f ∗ e 'x0 f

e(3) e ∗ f 'x0 f

para todo f ∈ Ω(X,x0). Notemos que

(f ∗ e)(s) = f(2s) (0 ≤ 2s ≤ 1),

(f ∗ e)(s) = x0 (1 ≤ 2s ≤ 2).

DefinamosH(s, t) = f(

2s1 + t

) (0 ≤ 2s ≤ 1 + t),

H(s, t) = x0 (1 + t ≤ 2s ≤ 2).


H(s, 0) = (f ∗ e)(s) (0 ≤ s ≤ 1),

H(s, 1) = f(s) (0 ≤ s ≤ 1),

H(0, t) = (f ∗ e)(0) = f(0) (0 ≤ t ≤ 1),

H(1, t) = (f ∗ e)(1) = f(1) (0 ≤ t ≤ 1).

Isto prova (2). A demonstracao de (3) e analoga.

Dado f ∈ Ω(X,x0), seja f−1 ∈ Ω(X,x0) definido por f−1(s) = f(1−s) paratodo s ∈ [0, 1]. Para provar que [f−1] e o inverso de [f ] basta provar que

(4) f ∗ f−1 'x0 e

e(5) f−1 ∗ f 'x0 e

Notemos que(f ∗ f−1)(s) = f(2s) (0 ≤ 2s ≤ 1),

(f ∗ f−1)(s) = f(2− 2s) (1 ≤ 2s ≤ 2).

DefinamosH(s, t) = f(t) (0 ≤ 2s ≤ 2t),

100

H(s, t) = f(2s− t) (2t ≤ 2s ≤ 1 + t),

H(s, t) = f(2− 2s+ t) (1 + t ≤ 2s ≤ 2).


H(s, 0) = (f ∗ f−1)(s) (0 ≤ s ≤ 1),

H(s, 1) = e(s) (0 ≤ s ≤ 1),

H(0, t) = (f ∗ f−1)(0) = e(0) (0 ≤ t ≤ 1),

H(1, t) = (f ∗ f−1)(1) = e(1) (0 ≤ t ≤ 1).

Isto prova (4) A demonstracao de (5) e analoga.

30.3. Proposicao. Seja φ : [0, 1] → X um caminho em X entre x0 e x1.Entao a funcao

φ∗ : [f ] ∈ Π1(X,x0) → [φ−1 ∗ f ∗ φ] ∈ Π1(X,x1)

e um isomorfismo de grupos.

Demonstracao. Usando o Exercıcio 29.E segue que, se f1 'x0 f2, entao

φ−1 ∗ f1 ∗ φ 'x0 φ−1 ∗ f2 ∗ φ.

Isto prova que φ∗ esta bem definida. E facil ver que φ∗ e um homomorfismo degrupos, e que (φ−1)∗ e seu inverso. Deixamos a demonstracao detalhada comoexercıcio.

30.4. Corolario. Se X e conexo por caminhos, entao todos os gruposΠ1(X,x0), com x0 ∈ X, sao isomorfos entre si.

30.5. Definicao. Um espaco topologico X e dito simplesmente conexo seX e conexo por caminhos e o grupo Π1(X,x0) e trivial para algum, e portanto,para todo x0 ∈ X.

30.6. Exemplo. Cada subconjunto convexo de Rn e simplesmente conexo.

Com efeito basta provar que f 'x0 g para todo f, g ∈ Ω(X,x0). SejaH : [0, 1]× [0, 1] → X definida por

H(s, t) = (1− t)f(s) + tg(s).

EntaoH(s, 0) = f(s) (0 ≤ s ≤ 1),

H(s, 1) = g(s) (0 ≤ s ≤ 1),

H(0, t) = x0 (0 ≤ t ≤ 1),

H(1, t) = x0 (0 ≤ t ≤ 1).

101

Isto prova que f 'x0 g.

Exercıcios

30.A. Sejam X e Y espacos topologicos, e seja φ : (X,x0) → (Y, y0) umafuncao contınua. Prove que a funcao

φ∗ : [f ] ∈ Π1(X,x0) → [φ f ] ∈ Π1(Y, y0)

e um homomorfismo de grupos.

30.B. Se φ e a identidade em X, prove que φ∗ e a identidade em Π1(X,x0).

30.C. Sejam X, Y e Z espacos topologicos, e sejam φ : (X,x0) → (Y, y0) eψ : (Y, y0) → (Z, z0) funcoes contınuas. Prove que

(ψ φ)∗ = ψ∗ φ∗.

30.D. Se φ : (X,x0) → (Y, y0) e um homeomorfismo, prove que a funcao

φ∗ : Π1(X,x0) → Π1(Y, y0)

e um isomorfismo de grupos.

30.E. Sejam X e Y espacos topologicos, e sejam φ, ψ : (X,x0) → (Y, y0)funcoes contınuas tais que φ ' ψ[x0]. Prove que φ f 'y0 ψ f para todof ∈ Ω(X,x0), ou seja φ∗ = ψ∗.

30.F. Se (X,x0) e (Y, y0) sao homotopicamente equivalentes, prove que osgrupos Π1(X,x0) e Π1(Y, y0) sao isomorfos.

30.G. Sejam X e Y espacos topologicos, e sejam x0 ∈ X e y0 ∈ Y . Proveque o grupo Π1(X × Y, (x0, y0)) e isomorfo ao grupo Π(X,x0)×Π(Y, y0).

102

31. O grupo fundamental do cırculo unitario

Consideremos o cırculo unitario

S1 = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1 = z ∈ C : |z| = 1.

Nesta secao provaremos o teorema seguinte.

31.1. Teorema. O grupo Π1(S1, 1) e isomorfo a Z.

Para provar este teorema vamos precisar de dois lemas auxiliares. Antes deenunciar esses lemas, consideremos a funcao

p : t ∈ R → e2πti ∈ S1.

E claro que:(a) p e sobrejetiva, contınua e aberta, com p(0) = 1.

(b) A restricao p|(− 12 , 1

2 ) : (− 12 , 1

2 ) → S1 \ −1 e um homeomorfismo, cominversa q.

(c) p(s + t) = p(s)p(t) para todo s, t ∈ R.

(d) p(t) = 1 se e so se t ∈ Z.

E claro que R e um grupo abeliano sob adicao de numeros reais, S1 e umgrupo abeliano sob multiplicacao de numeros complexos, e p : R → S1 e umhomomorfismo de grupos cujo nucleo e Z.

31.2. Lema. Seja g um caminho em S1, com g(0) = 1. Entao existe umunico caminho f em R tal que f(0) = 0 e p f = g.

R

f ↓ p

[0, 1] −→ S1

g

Demonstracao. Como [0, 1] e compacto, a funcao g : [0, 1] → S1 euniformemente contınua. Logo existe δ > 0 tal que se |s − t| < δ, entao|g(s) − g(t)| < 2. Entao g(s)/g(t) 6= −1 e q(g(s)/g(t)) esta bem definida.Seja n ∈ N tal que 1/n < δ, e seja f : [0, 1] → R definida por

f(t) =n∑

k=1

q

(g( k

n t)g(k−1

n t)

).

103

Entao f e contınua, f(0) = 0 e

p f(t) =n∏

k=1

g( kn t)

g(k−1n t)

= g(t),

provando existencia. Para provar unicidade, suponhamos que exista uma funcaocontınua f1 : [0, 1] → R tal que f1(0) = 0 e p f1 = g. Entao

p (f1 − f)(t) = 1 (0 ≤ t ≤ 1),

e portanto(f1 − f)(t) ∈ Z (0 ≤ t ≤ 1).

Como [0, 1] e conexo, segue que

(f1 − f)(t) = 0 (0 ≤ t ≤ 1).

31.3. Lema. Sejam g1 e g2 caminhos em S1 tais que g1(0) = g2(0) = 1, esejam f1 e f2 os unicos caminhos em R tais que f1(0) = f2(0) = 0, p f1 = g1

e p f2 = g2.(a) Dada uma funcao contınua G : [0, 1] × [0, 1] → S1 tal que G(0) = 1,

existe uma unica funcao contınua F : [0, 1] × [0, 1] → R tal que F (0) = 0 ep F = G.

(b) Se G : g1 ' g2[0, 1], entao F : f1 ' f2[0, 1].

R

F ↓ p

[0, 1]× [0, 1] −→ S1

G

Demonstracao. (a) A demonstracao de (a) e similar a demonstracao dolema anterior. Como G e uniformemente contınua, existe δ > 0 tal que se|z − w| < δ, entao |G(z) − G(w)| < 2, e portanto q(G(z)/G(w)) esta bemdefinida. Seja n ∈ N tal que 1/n < δ, e seja F : [0, 1]× [0, 1] → R definida por

F (z) =n∑

k=1

q

(G( k

nz)G(k−1

n z)

).

Entao F e contınua, F (0) = 0 e p F = G. Se existir uma funcao contınuaF1 : [0, 1] × [0, 1] → R tal que F1(0) = 0 e p F1 = G, entao podemos provarcomo antes que F1 = F .

104

(b) Suponhamos que G : g1 ' g2[0, 1]. Entao

p F (s, 0) = G(s, 0) = g1(s) = p f1(s) (0 ≤ s ≤ 1).

Pela unicidade no lema anterior, segue que

F (s, 0) = f1(s) (0 ≤ s ≤ 1).

De maneira analoga podemos provar que

F (s, 1) = f2(s) (0 ≤ s ≤ 1).

Por outro lado temos que

p F (0, t) = G(0, t) = g1(0) = g2(0) = p f1(0) = p f2(0) (0 ≤ t ≤ 1).

Pela unicidade do lema anterior segue que

F (0, t) = f1(0) = f2(0) (0 ≤ t ≤ 1).

De maneira analoga podemos provar que

F (1, t) = f1(1) = f2(1) (0 ≤ t ≤ 1).

Logo F : f1 ' f2[0, 1].

Demonstracao do Teorema 31.1. Se g ∈ Ω(S1, 1), entao segue do Lema31.2 que existe um unico caminho f : [0, 1] → R tal que f(0) = 0 e p f(1) =g(1) = 1. Entao f(1) ∈ Z. Definamos

σ : [g] ∈ Π1(S1, 1) → f(1) ∈ Z.

Dados g1, g2 ∈ Ω(S1, 1), sejam f1 e f2 os unicos caminhos em R tais que f1(0) =f2(0) = 0, p f1 = g1 e p f2 = g2. Se G : g1 ' g2[0, 1], entao segue do Lema31.3 que F : f1 ' f2[0, 1]. Em particular F (1, t) = f1(1) = f2(1). Isto provaque a funcao σ esta bem definida.

Para provar que σ e um homomorfismo de grupos, sejam g1, g2 ∈ Ω(S1, 1), esejam f1 e f2 os unicos caminhos em R tais que f1(0) = f2(0) = 0, p f1 = g1

e p f2 = g2. Sejamn1 = f1(1), n2 = f2(1).

Seja f : [0, 1] → R definido por

f(s) = n1 + f2(s) (0 ≤ s ≤ 1).

Entao

f(0) = n1 + f2(0) = n1 = f1(1), f(1) = n1 + f2(1) = n1 + n2,

p(f(s)) = p(n1)p(f2(s) = g2(s) (0 ≤ s ≤ 1).

105

Segue quep (f1 ∗ f) = (p f1) ∗ (p f) = g1 ∗ g2,

(f1 ∗ f)(0) = f1(0) = 0, (f1 ∗ f)(1) = f(1) = n1 + n2.

Assim f1∗f e o unico caminho em R tal que (f1∗f)(0) = 0 e φ(f1∗f) = g1∗g2.Segue que

σ([g1] ∗ [g2]) = σ([g1 ∗ g2]) = (f1 ∗ f)(1)

= n1 + n2 = f1(1) + f2(1) = σ([g1]) + σ([g2]).

Isto prova que σ e um homomorfismo de grupos.

Para provar que σ e sobrejetiva, seja n ∈ Z, e sejam f : [0, 1] → R eg : [0, 1] → S1 definidos por

f(s) = ns (0 ≤ s ≤ 1), g = p f.

Entao f(0) = 0 e g(0) = g(1) = 1, e dai segue que

σ([g]) = f(1) = n.

Para provar que σ e injetiva, seja g ∈ Ω(S1, 1) tal que σ([g]) = 0. Seja f ounico caminho em R tal que f(0) = 0 e φ f = g. Entao f(1) = σ([g]) = 0,e portanto f ∈ Ω(R, 0). Como R e simplesmente conexo, temos que f '0 0, edai segue que

g = p f '1 p(0) = 1.

Isto completa a demonstracao.

Exercıcios

31.A. Usando o Exercıcio 30.G prove que o grupo Π1(S1 × S1, (1, 1)) eisomorfo a Z× Z.

31.B. SejaB2 = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1,

e seja j : S1 → B2 a inclusao. Usando o Exercıcio 30.C prove que nao existeuma aplicacao contınua r : B2 → S1 tal que r j seja a identidade.

31.C. Seja f : B2 → B2 uma funcao contınua. Usando o exercıcio anteriorprove que existe x ∈ B2 tal que f(x) = x.

Sugestao: Se f(x) 6= x para cada x ∈ B2, seja r(x) o ponto onde a reta def(x) a x intercepta S1.

31.D. Prove que o homomorfismo de grupos p : R → S1 induz um isomor-fismo de grupos p : R/Z → S1 que e tambem um homeomorfismo.

31.E. Seja G um grupo topologico, ou seja G e um grupo, G e tambem umespaco topologico, e a aplicacao (x, y) ∈ G×G → xy−1 ∈ G e contınua.

106

(a) Prove que a aplicacao (x, y) ∈ G×G → xy ∈ G e contınua.(b) Prove que a aplicacao x ∈ G → x−1 ∈ G e um homeomorfismo.(c) Prove que a aplicacao y ∈ G → xy ∈ G e um homeomorfismo para cada

x ∈ G.(d) Prove que U e uma vizinhanca aberta de 1 em G se e so se xU e uma

vizinhanca aberta de x em G.

31.F. Seja G um grupo topologico abeliano, e seja H um subgrupo de G.Prove que a aplicacao quociente π : G → G/H e aberta.

31.G. Seja G um grupo topologico abeliano, e seja H um subgrupo discretode G. Seja π : G → G/H a aplicacao quociente, e seja g : [0, 1] → G/H umcaminho com g(0) = 1.

(a) Prove que existe uma vizinhanca aberta U de 1 em G tal que π(U) euma vizinhanca aberta de 1 em G/H e a restricao π|U : U → π(U) e umhomeomorfismo.

(b) Adaptando a demonstracao do Lema 31.2 prove que existe um unicocaminho f : [0, 1] → G tal que f(0) = 1 e π f = g.

De maneira analoga podemos adaptar as demonstracoes do Lema 31.3 e doTeorema 31.1 para provar o teorema seguinte:

Teorema. Seja G um grupo topologico abeliano simplesmente conexo, e sejaH um subgrupo discreto de G. Entao o grupo Π1(G/H, 1) e isomorfo a H.

31.H. Sejam E e X espacos topologicos, e seja p : E → X uma funcaocontınua. Diremos que p : E → X e um espaco de recobrimento se cada x ∈ Xadmite uma vizinhanca aberta V tal que p−1(V ) e uma uniao disjunta de abertosUi tais que a restricao p|Ui : Ui → V e um homeomorfismo para cada i.

Se p(t) = e2πti para cada t ∈ R, prove que p : R → S1 e um espaco derecobrimento.

31.I. Seja p : E → X um espaco de recobrimento. Seja G o conjunto detodos os homeomorfismos φ : E → E tais que p φ = p.

(a) Prove que p e sobrejetiva e aberta, em particular p e uma aplicacaoquociente.

(b) Prove que p−1(x) e um subconjunto discreto de E para cada x ∈ X.(c) Prove que G e um grupo sob composicao, que chamaremos de grupo de

transformacoes do recobrimento.

31.J. Prove que o grupo de transformacoes do recobrimento p : R → S1 eisomorfo a Z.

Adaptando as demonstracoes dos Lemas 31.2 e 31.3 e do Teorema 31.1,podemos provar o teorema seguinte:

Teorema. Seja p : E → X um espaco de recobrimento, e seja G o grupode transformacoes do recobrimento. Se E e simplesmente conexo e localmenteconexo por caminhos, entao o grupo Π1(X, x0) e isomorfo a G para cada x0 ∈ X.

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Bibliografia

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