8/7/2019 Notas sobre relaes mtricas no tringulo - entre alturas e lados - at frmula de Heron.

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Notas sobre relaes mtricas num tringulo- entre alturas e lados -

at frmula de Heron

Arslio Martins (adapt.)

Maro de 2011

Muitas relaes mtricas entre lados dos tringulos so bsicas e merecem anossa ateno de professores, quer como coisas interessantes em si mesmasque poderiam ser abordadas no ensino bsico e no so, quer como exemplosde demonstraes elementares que poderiam servir para estabelecer cadeiasbsicas de raciocnios demonstrativos para compreender a deduo matemtica,tambm bsica, que, ao nvel do ensino bsico, se mantm presa a um ou outroresultado mais significativo e nunca ampliada em aplicaes puras.

As relaes mtricas aqui abordadas e demonstradas, com recurso a matemticaelementar, tm como consequncia a frmula de Heron que, deste modo, ficademonstrada. 1

1segue-se a abordagem de Cluzel, R.; Robert, J-P. La Gomtrie et ses applications,Librairie Delagrave, Paris:1964

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Teorema. Num tringulo ABC em que o ngulo B agudo e Ha o p da

altura relativa a A,

AC2

= AB2

+ BC2 2BC.BHa

Demonstrao:

Aplicando o teorema de Pitgoras ao tringulo rectngulo [ACHa] temos

AC2

= AHa2

+ HaC2

(1)

Ora, como podemos ver pela figura acima, para um tringulo acutngulo HaC =BC BHa, enquanto para um obtusngulo HaC = BHa BC. E, por isso,

em qualquer dos casos HaC2

= BHa2

+ BC2 2BC.BH e, substituindo em

(1) HaC2

por este valor, temos

AC2

= AHa

2+ BHa

2+BC

2 2BC.BHa. (2)

Aplicando ao teorema de Pitgoras agora ao tringulo rectngulo [AHaB],

AHa2

+ BHa2

= AB2

e, substituindo em (2), conclui-se:

AC2

= AB2

+ BC2 2BC.BHa,

como queramos.

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Teorema. Num tringulo ABC em que o ngulo B obtuso e Ha o p da

altura relativa a A,

AC2

= AB2

+ BC2

+ 2BC.BHa

Demonstrao:

Seguindo um raciocnio inteiramente anlogo ao usado para o teorema ante-rior,

AC2

= AHa2

+ HaC2

= AHa2

+ (BC + BHa)2

AC2

= AHa2

+ BHa2 +BC2 + 2BC.BHa

AC2

= AB2

+ BC2

+ 2BC.BHa

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O teroema de Pitgoras e os dois teoremas que demonstrmos, permitem-nosconcluir que, para um tringulo ABC em que os comprimentos dos lados soa,b,c,

1. Se B agudo , ento b2 < a2 + c2

2. Se B recto, ento b2 = a2 + c2

3. Se B obtuso, ento b2 > a2 + c2

e reciprocamente, claro. Absurdo seria que o no fosse.

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Podemos sempre calcular a altura ha = AHa, por exemplo, conhecidos que

sejam os lados a,b,c de um tringulo ABC. Um dos outros ngulos B ou Cser forosamente agudo.

Seja B o ngulo agudo e apliquemos o teorema (1):

b2 = c2 + a2 2a.BHa

de onde se tira que

BHa =c2 + a2 b2

2a

Por aplicao do teorema de Pitgoras ao tringuloAHaB:

AHa2

= AB2BHa

2= c2

c2 + a2 b2

2a

2=

4a2c2 (c2 + a2 b2)2

4a2=

=(2ac + c2 + a2 b2).(2ac c2 a2 + b2)

4a2=

=[(a + c)2 b2].[b2 (a c)2]

4a2=

=(a + b + c).(a + c b)(b + a c)(b a + c)

4a2=

=(a + b + c)(a + b + c 2b)(a + b + c 2c)(a + b + c 2a)

4a2

E designando por p o semipermetro do tringulo

a + b + c = 2p a + c b = a + b + c 2b = 2p 2b = 2(p b)

b + a c = a + b + c 2c = 2p 2c = 2(p c)

c + b a = a + b + c 2a = 2p 2a = 2(p a)

podemos escrever

AHa2

=2p 2(p b) 2(p c) 2(p a)

4a2=

4p.(p a).(p b).(p c)

a2

e concluindo

AHa =

2

ap.(p a).(p b).(p c).que o resultado que procurvamos - altura de um tringulo em funo doscomprimentos dos seus lados.

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Do mesmo modo se procederia para as outras duas alturas.

Resumindo: Designando por ha, hb, hc as alturas relativas aos lados a,b,c re-spectivamente:

ha =2

a

p.(p a).(p b).(p c)

hb =2

b

p.(p a).(p b).(p c)

hc =2

c

p.(p a).(p b).(p c)

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A rea de um tringulo ABC, de altura ha relativa a a, dada pora ha

2,

como sabemos.

Dos resultados que do a altura em funo dos comprimentos dos lados ( dosemipermetro ou semi-soma dos lados do tringulo p e dos lados), sai imedia-tamente uma frmula para o clculo da rea A do tringulo dado pelos seuslados, a saber

A[ABC] =a ha

2=

p.(p a).(p b).(p c)

conhecida porfrmula de Hron

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2A sua descoberta atribuda a Heron (10a.C.-70 d.C, Alexandria) - mecnico ematemtico. H quem a atribua antes a Arquimedes (grego de Siracusa, 287 a.C. - 212a.C.).

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