Novo

Eletrostática

Me. Herbert Sousa

Sumário

1 Eletrostática: Cargas 2

1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Carga elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Conservação da Carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Quantização da Carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Lei de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.6 Princípio da Superposição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.7 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Campos Elétricos 11

2.1 Conceitos Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Linhas de Força . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Distribuições Contínuas de Carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.1 Fio Uniformemente Carregado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3.2 Anel Uniformemente Carregado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3.3 Disco Uniformemente Carregado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

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~ 2 Herbert Sousa

1Eletrostática: Cargas

1.1 Introdução

A física do eletromagnetismo foi estudada pela primeira vez pelos filósofos da Grécia

antiga, no início no século VI a.C., quando o filósofo Thales de Mileto, após descobrir

uma resina vegetal fóssil petrificada chamada âmbar (elektron em grego), que quando

esfregada com pele e lã de animais, adquiria a propriedade de atrair objetos leves como

palhas, fragmentos de madeira e penas.

Os estudos de Thales foram continuados por diversas personalidades, como o médico

da rainha da Inglaterra Willian Gilbert, que, em 1600, denominou o evento de atração

dos corpos de eletricidade.

Já no século XVIII, o físico inglês Stephen Gray identificou que, além da eletrização

por atrito, também era possível eletrizar corpos por contato. A partir destas observações

ele dividiu os materiais como condutores e isolantes elétricos. Com isso, Gray viu a

possibilidade de canalizar a eletricidade e levá-la de um corpo a outro.

Ainda no século XVIII o químico francês Charles Dufay, propôs a existência de dois

tipos de eletricidade, a vítrea e a resinosa, que fomentaram a hipótese de existência de

fluidos elétricos.

3

CAPÍTULO 1. ELETROSTÁTICA: CARGAS 1.1. INTRODUÇÃO

Em seguida, Benjamin Franklin, já em 1750, propôs uma teoria na qual a eletricidade

seria um fluido que saía de um corpo para o outro, podendo ser negativo ou positivo.

A teoria do fluido predominou até o século XIX, quando, em uma experiência com raios

catódicos, J. J. Thompson descobriu a existência dos elétrons.

As contribuições para o então entendimento sobre a natureza da eletricidade tem se

aprofundado desde o século XIX, quando a ideia do átomo como elemento constituinte

da matéria foi aceita e, com ela, a convicção de que a eletricidade é uma propriedade de

partículas elementares que compõem o átomo (elétrons, prótons e nêutrons).

Por volta de 1960, foi proposta a existência de seis pares de partículas elementares

dotadas de carga elétrica – os quarks, que compõem outras particularidades como os

prótons que, então, deixam de ser elementares.

Desde então os estudos sobre eletricidade assumiram uma enorme dimensão. Atual-

mente é impossível imaginar nossa vida sem ela. Lâmpadas, computadores, aparelhos de

TV, geladeiras, entre tantos outros, proporcionam nosso conforto. Os meios de comuni-

cação não existiriam sem os avanços nessa área.

O estudo da eletricidade pode ser dividida em duas partes:

Eletrostática: Refere-se ao comportamento das cargas elétricas em repouso e seu

estudo engloba os processos de eletrização, campo elétrico, força eletrostática e potencial

elétrico.

Eletrodinâmica: É a parte da eletricidade responsável pelo estudo das cargas elétri-

cas em movimento. O foco dessa área é a corrente elétrica e os componentes de circuitos

elétricos, como capacitores e resistores.

~ 4 Herbert Sousa

CAPÍTULO 1. ELETROSTÁTICA: CARGAS 1.2. CARGA ELÉTRICA

1.2 Carga elétrica

Nesse capítulo vamos introduzir o estudo da eletrostática, ramo da Física que trata

da interação elétrica gerada por cargas em repouso.

A carga elétrica é a entidade física responsável pelos fenômenos eletromagnéticos. A

matéria de modo geral é composta por átomos e estes formados por um núcleo (prótons

e neutrons)em torno do qual gravitam os elétrons. A eletricidade está associada a uma

característica íntreseca da matéria denominada carga elétrica.

Existem dois tipos de cargas elétricas observadas na natureza, que designamos como

cargas positivas e negativas. A convenção foi derivada de experimentos de Benjamin

Franklin. Benjamin baseou-se em suas experiências, que o convenceram de que o processo

de eletrização não cria cargas, apenas transfere de um corpo a outro. Cargas iguais se

repelem e cargas opostas se atraem. Essa transferência é compreendida pelo fato de que

Figura 1.1: Acúmulo de cargas elétricas.

elétrons podem ser removidos dos átomos de um objeto e ligados aos átomos de outro

objeto. Existem basicamente três processos de eletrização: Eletrização por atrito, contato

e indução.

~ 5 Herbert Sousa

CAPÍTULO 1. ELETROSTÁTICA: CARGAS 1.3. CONSERVAÇÃO DA CARGA

1.3 Conservação da Carga

A carga total, em um sistema isolado, nunca varia. Um sistema isolado é aquele no

qual nenhuma matéria atravessa os limites do sistema. Para que a carga se conserve,

basta que não haja troca de cargas entre o sistema e seu ambiente. O sistema pode ser

aquecido, acelerado, iluminado, enfim se nenhuma dessas influências altera o número de

cargas de um sistema, exceto se houver troca de partículas carregadas entre o sistema e

o meio externo.

Essa hipótese da conservação da carga foi estabelecida tanto para objetos em grande

escala quanto para átomos, núcleos e partículas elementares. Nenhuma exceção foi en-

contrada.

De maneira semelhante ao que ocorre com outras leis de conservação, pode-se explicitar

a conservação da carga elétrica como,

∑q = constante (1.1)

1.4 Quantização da Carga

Uma grandeza física é denominada de quantizada, quando ela não pode variar conti-

nuamente, mas apenas assumir valores discretos. A carga elétrica é uma grandeza quan-

tizada, na qual só pode assumir valores que correspondem a um número inteiro da carga

elementar.

~ 6 Herbert Sousa

CAPÍTULO 1. ELETROSTÁTICA: CARGAS 1.4. QUANTIZAÇÃO DA CARGA

No Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade de carga é o Coulomb. O

quantum de carga é a carga do próton, que possui valor de

e = 1, 602× 10−19C. (1.2)

Como 1C é uma quantidade de carga elétrica muito grande, é comum a utilização dos

seus submúltiplos.

Símbolo Nome Valor

1 mC milicoulomb 10−3

1 µC microcoulomb 10−6

1 nC nanocoulomb 10−9

A carga do elétron possui mesmo valor que a do próton só que com sinal negativo.

Corpos neutros são aqueles que apresentam mesma quantidade de cargas negativas e

positivas. Já um corpo carregado pode conter excesso de elétrons, nesse caso ele está

carregado negativamente, ou está com déficit de elétrons nessa situação ele está carregado

positivamente. Assim, pela quantização da carga, temos que a carga de um corpo tem o

valor,

q = ne, n = (0,±1,±2,±3, ...) (1.3)

Corpo Neutro np = ne

Corpo Positivo np > ne cedeu elétrons

Corpo Negativo np < ne recebeu elétrons

~ 7 Herbert Sousa

CAPÍTULO 1. ELETROSTÁTICA: CARGAS 1.5. LEI DE COULOMB

1.5 Lei de Coulomb

No campo da eletrostática, tem-se uma configuraçãos de cargas em repouso, ou seja,

elas não variam com o tempo. Se considerarmos as dimensões de dois corpos carregados

como sendo desprezíveis em comparação com a distância que os separa, podemos tratá-los

como cargas puntiformes. A interação eletrostática ocorre com cargas puntiformes em

repouso.

−→F (r) =

1

4πε0

q1q2r2

r̂, (1.4)

em que r̂ é um vetor unitário na direção da reta que liga as duas partículas (o vetor

unitário r̂ têm módulo 1 e é adimensional, sua única função é indicar a orientação no

espaço), r é a distância entre as duas partículas e constante ε0, está associada ao meio

no qual estão as cargas, no caso o vácuo, e ela é denominada permissividade elétrica do

meio. Seu valor no SI é dado por,

ε0 = 8, 8541× 10−10C2/N.m2 (1.5)

Figura 1.2: Interação ente duas cargas puntiformes

~ 8 Herbert Sousa

CAPÍTULO 1. ELETROSTÁTICA: CARGAS 1.6. PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO

1.6 Princípio da Superposição

A lei de Coulomb aplica-se a qualquer par de cargas pontuais. Quando estão presentes

mais de duas cargas, a força resultante sobre qualquer uma das cargas é simplesmente a

soma vetorial das forças exercidas sobre ela pela ação das outras cargas.

−→F (r) =

1

4πε0

q1q2r212

r̂12 +1

4πε0

q1q3r213

r̂13 +1

4πε0

q1q4r214

r̂14 + ...+1

4πε0

q1qnr21n

ˆr1n (1.6)

−→F (r) =

q14πε0

n∑i=1

qir21ir̂1i (1.7)

Exemplo - Três cargas

Três cargas estão colocadas como na figura abaixo. Encontre a força sobre a carga q1

assumindo que q1 = 6, 0µC, q2 = −6, 0µC, q3 = 3, 0µC e a = 20, 0mm.

~ 9 Herbert Sousa

CAPÍTULO 1. ELETROSTÁTICA: CARGAS 1.7. APLICAÇÕES

1.7 Aplicações

Problema 01 Uma carga puntiforme de −2, 0µC e uma carga puntiforme de 4, 0µC

estão separadas por uma distância L. Onde deveria ser colocada uma terceira carga

puntiforme para que a força elétrica nesta terceira carga fosse igual a zero?

Problema 02 "Um bastão plástico é esfregado contra um bastão de lã, adquirindo

uma carga de −0, 80µC. Quantos elétrons são transferidos do bastão de lã para o bastão

plástico?"

Problema 03 Uma certa carga fixa Q deve ser dividida em duas partes, Q − q e q.

Mostre que a relação entre Q e q para que a repulsão coulombiana seja máxima é q = Q/2.

Problema 04 A carga total de duas pequenas esferas positivamente carregadas vale

5.10−5C. Determine a carga total de cada esfera, sabendo que quando a distância entre

as esferas é de 2m, a força de repulsão possui módulo igual a 0, 9N .

Problema 05 Em cada vértice de um triângulo equilátero de lado igual a l, existe

uma carga q. Determine o módulo da força que atua sobre qualquer uma das três cargas

em função de l e de q.

Problema 06 Uma certa carga Q deve ser dividida em duas: q e Q − q. Qual a

relação entre Q e q, para que a repulsão Coulombiana entre as duas partes seja máxima?

~ 10 Herbert Sousa

CAPÍTULO 1. ELETROSTÁTICA: CARGAS 1.7. APLICAÇÕES

Problema 07 Duas bolas iguais, de massa m e carga q, estão

penduradas por fios de seda de comprimento l,como mostra a

figura. Admita que o ângulo θ é tão pequeno que a tan θ possa

ser substituída por sin θ sem erro apreciável. Mostre, que dentro

dessa aproximação temos,

x =

(q2.l

2πε0.m.g

) 13

onde x é a separação entre as duas bolas. Se l = 120cm, m = 10g e x = 5, 0cm, qual

o valor de q?

Problema 08 Cinco cargas puntiformes idênticas, cada uma

com carga Q, estão igualmente espaçadas em um semicírculo de

raio R como mostra a figura. Determine a força (em termos de

k,Q e R) em uma carga q localizada em um ponto equidistante

das cinco outras cargas

~ 11 Herbert Sousa

2Campos Elétricos

2.1 Conceitos Fundamentais

A força eletrostática, assim como a força gravitacional, é uma força que age à distância.

Para justificar essa ação a distância dizemos que uma carga elétrica cria ao redor do seu

espaço um campo.

A interação entre duas ou mais cargas elétricas quaisquer, ocorre pela troca de fó-

tons entre as cargas. No entanto, cada carga tem sua própria "nuvem"de fótons, que é

totalmente independente da existência ou não de outra carga na sua vizinhaça. Essa "nu-

vem"é uma caracterítica inerente da carga e o seu "tamanho"é proporcional á intensidade

da carga que a gera.

Figura 2.1: "Nuvem de fótons"

12

CAPÍTULO 2. CAMPOS ELÉTRICOS 2.1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS

Quando uma carga é colocada na vizinhaça de outra, suas "nuvens"interagem provo-

cando assim a força elétrica. A pertubação causada por essas "nuvens de fótons", está

associada com o valor da carga que a gera, logo se uma carga tiver um valor bastante

pequeno, a pertubação causada por ela também será pequena.

Desse modo, se deseja-se estudar a interação elétrica entre cargas, deve-se ter no

mínimo duas cargas. A carga de prova que geralmente possui um valor bastante pequeno,

e a carga geradora que é aquela que terá sua "nuvem"pertubada. Essa propriedade é

conhecida como campo elétrico, desse modo, conhecendo as "nuvens"das cargas geradoras,

o efeito delas em uma carga de prova qualquer seria automaticamente conhecido.

Operacionalmente, a intensidade do campo elétrico é determinado por,

| ~E| = limq0→0

~F

q0(2.1)

Utilizando a lei de Coulomb e a definição de campo elétrico acima, temos que,

~E(~r) =1

4πε0

q

r2r̂, (2.2)

e assim, a força exercida sobre uma carga de prova q0 qualquer é,

~F = q0 ~E (2.3)

~ 13 Herbert Sousa

CAPÍTULO 2. CAMPOS ELÉTRICOS 2.2. LINHAS DE FORÇA

Caso o campo elétrico seja gerado por várias cargas pontuais, deve-se realizar a soma

vetorial dos campo elétricos individuais.

~E(~r) =1

4πε0

q1r21r̂1 +

1

4πε0

q2r22r̂2 +

1

4πε0

q3r23r̂3 + ...+

1

4πε0

qnr2nr̂n (2.4)

~E(~r) =1

4πε0

n∑i=1

qir2ir̂i (2.5)

2.2 Linhas de Força

Sabemos que existe um campo elétrico em uma região do espaço quando uma carga

de prova colocada nesse ponto detecta a existência de uma força. Define-se linha de força

como sendo uma linha tangente em cada ponto à direção do campo neste ponto. Assim,

conhecendo a linha de força, podemos determinar a direção e o sentido do campo em

cada um dos seus pontos. Logo campo elétrico é sempre tangente as linhas de força

naquele dado ponto.

Figura 2.2: Linhas de força em cargas pontuais

As linhas de campo se afastam das cargas positivas (onde começam) e se

aproximam das cargas negativas (onde terminam).

~ 14 Herbert Sousa

CAPÍTULO 2. CAMPOS ELÉTRICOS 2.3. DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA

Figura 2.3: Linhas de força em cargas pontuais

2.3 Distribuições Contínuas de Carga

Se ao invés de cargas puntiformes bem localizadas, passarmos a uma descrição macros-

cópica em termos de cargas distribuídas sobre um volume V , com densidade volumétrica

ρ(−→r ), o cálculo do campo elétrico se dá através de uma integração do tipo,

−→E (r) =

1

4πε0

∫dq

r2r̂ (2.6)

Figura 2.4: Elementode carga dq, produzindoum elemento de campod ~E

A figura a seguir mostra um elemento de carga dq = ρdV , que é

pequeno o bastante para ser tratado como uma carga puntiforme.

Quando lidamos com distribuições contínuas de cargas, é convini-

ente expressar a carga de um objeto em termos de uma densidade

de cargas ao invés da carga total.

Densidade Símbolo Unidade (SI)

Linear λ Cm

Superficial σ Cm2

Volumétrica ρ Cm3

~ 15 Herbert Sousa


2.3.1 Fio Uniformemente Carregado

Vamos calcular o campo elétrico em um ponto P, que está localizado a uma distância

R do centro do fio, que possui uma distribuição uniforme de cargas.

dq = λdx

d~E =1

4πε0

dq

r2

d ~E =1

4πε0

λdx

x2 + y2

~Ey =1

4πε0

λL

y√y2 + (L

2)2

(2.7)

É comum uqe as linhas de cargas estejam proximas do ponto de observação, de modo

que y é pequeno quando comparado col L. Logo para L � y, têm-se o campo elétrico

devido a uma linha de cargas infinitamente longa:

~Ey =λ

2πε0y(2.8)

~ 16 Herbert Sousa


Figura 2.5: Variação de um campo elétrico em um fio carregado

2.3.2 Anel Uniformemente Carregado

Vamos calcular o campo elétrico em um ponto P, que está localizado a uma distância

z do centro do anel, que possui uma distribuição uniforme de cargas.

dq = λds

~ 17 Herbert Sousa


d ~E =1

4πε0

dq

r2

d ~E =1

4πε0

λds

z2 +R2

E =1

4πε0

qz

(z2 +R2)3/2(2.9)

Da equação acima, pode-se verificar que para grandes distâncias z � R a expressão

z2 +R2 se aproxima de z2, logo o anel se comporta como uma carga puntiforme.

E =q

4πε0z2(2.10)

Figura 2.6: Variação de um campo elétrico em um anel carregado

2.3.3 Disco Uniformemente Carregado

Agora se analisarmos um disco de raio R, carregado com uma distribuição contínua

de cargas. A ideia é dividir o disco em anéis concêntricos e calcular em seguida o campo

elétrico em um ponto P situado a uma distância z do centro do disco.

~ 18 Herbert Sousa


dq = σdA = σ(2πrdr)

d ~E =zσ2πrdr

4πε0(z2 +R2)3/2

E =σ

2ε0

(1− z√

z2 + r2

)(2.11)

Figura 2.7: Variação de um campo elétrico em um disco carregado

~ 19 Herbert Sousa


Fazendo R→∞, temos o campo para uma placa infinita,

E =σ

2ε0(2.12)

Figura 2.8: Variação de um campo elétrico em uma placa infinita

~ 20 Herbert Sousa

CAPÍTULO 2. CAMPOS ELÉTRICOS 2.4. APLICAÇÕES

2.4 Aplicações

Problema 01 Na figura, as linhas de campo elétrico do lado

esquerdo têm uma separação duas vezes maior que as linhas do

lado direito.

a) Se o módulo do campo elétrico no ponto A é 40N/C, qual é o módulo da força a

que é submetido um próton no ponto A?

b) Qual é o módulo do campo elétrico no ponto B?

Problema 02 Na figura, a partícula 1, de carga q1 = −5, 00q,

e a partícula 2, de carga q2 = −2, 00q, são mantidas fixas no eixo

x.

a) Em que ponto do eixo, em termos da distância L, o campo elétrico total é nulo?

b) Faça um esboço das linhas de campo elétrico.

Problema 03 Duas cargas puntiformes, cada uma com carga

q, estão na base de um triângulo equilátero cujos lados têm com-

primento L, como mostra a figura. Uma terceira carga puntiforme

tem carga igual a 2q e está no ápice do triângulo. Onde deve ser

colocada uma carga puntiforme q para que o campo elétrico no

centro do triângulo seja igual a zero?

Problema 04 Uma partícula carregada de 2,00 g é liberada a partir do repouso em

uma região que tem um campo elétrico uniforme ~E = (300N/C )̂i. Depois de percorrer

uma distância de 0,500 m nesta região, a partícula tem uma energia cinética de 0,120 J.

Determine a carga da partícula.

~ 21 Herbert Sousa


Problema 05 Uma haste de comprimento L tem uma densidade de carga uniforme

e positiva λ e uma carga total Q. Calcule o campo elétrico em um ponto P que está

localizado ao longo do eixo da haste e a uma distância x de sua extremidade.

Problema 06 Uma carga de 20 nC está uniformemente distribuída ao longo de uma

barra retilínea de 4,0 m de comprimento que é encurvada para formar um arco de circun-

ferência com 2,0 m de raio. Qual é o módulo do campo elétrico no centro de curvatura

do arco?

Problema 07 Um anel de raio R de raio contém uma distribuição uniforme de cargas

e o módulo do campo elétrico ~E resultante é medida ao longo do eixo central do anel

(perpendicular ao plano do anel). A que distância do centro do anel o campo ~E é máximo?

Problema 08 A figura mostra uma barra não condutora com uma carga + Q dis-

tribuída uniformemente. A barra forma uma semicircunferência de raio R e produz um

campo elétrico de módulo ~E no centro de curvatura P. Se a barra é substituída por uma

carga pontual situada a uma distância R do ponto P, qual é a razão entre o novo valor de

~E e o antigo valor?

Problema 09 Um elétron (e) é liberado a partir do repouso no eixo central de um

disco uniformemente carregado de raio R. A densidade superficial de cargas do disco

é 4,00 µC/m2. Determine o módulo da aceleração inicial do elétron se for liberado a

uma distância (a)R,(b) R/100,(c) R/1000 do centro do disco e (d) Por que o módulo da

aceleração quase não varia quando o elétron está próximo do disco?

~ 22 Herbert Sousa


Problema 10 Um fio retilíneo de comprimento l está uniformemente carregado com

densidade linear λ. Calcule o campo elétrico num ponto situado sobre o prolongamento

do fio, a uma distância d da usa extremidade.

Problema 11 Dois fios retilíneos de mesmo comprimento a,

separados por uma distância b, estão uniformemente carregados

com densidades lineares de carga λ e−λ. Calcule o campo elétrico

no centro P do retângulo de ladoas a e b.

Problema 12 Dois planos estão uniformemente carregados, com densidades superfí-

ciais de carga σ e −σ, respectivamente. Calcule o campo elétrico em pontos acima de

ambos, abaixo de ambos, e entre os dois. Represente as linhas de força nas três regiões.

Problema 13 Uma carga Q é distribuída uniformente sobre

um fio semicircular de raio a. Calcule a força com que atua sobre

uma carga de sinal oposto −q colocada no seu centro.

Problema 14 Um fio muito longo está elitrizado com uma

densidade linear de carga λ. Calcule a força com que atua sobre

uma carga puntiforme q colocada a uma distância ρ do fio.

~ 23 Herbert Sousa


Referências

• NUSSENZVEIG, M. Curso de Física Básica: Eletromagnetismo. 3.ed. Editora

Edgard Blucher, 2003;

• David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker: Fundamentos de física, volume 3:

eletromagnetismo. 9a edição. LTC, 2012;

• Allen, TIPLER, P., MOSCA, Gene. Física para Cientistas e Engenheiros - Vol. 2 -

Eletricidade e Magnetismo, Ótica, 6a edição. LTC, 07/2009;

• REGO, Ricardo do. Eletromagnetismo Básico. LTC, 06/2010.

~ 24 Herbert Sousa

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