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MecânicaMecânicaMecânicaMecânica dos Fluidos dos Fluidos dos Fluidos dos Fluidos (SEM5749) – Prof. Oscar M. H. Rodriguez

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULOESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS Núcleo de Engenharia Térmica e Fluidos

Escoamentos InternosOs escoamentos internos e incompressíveis, onde os efeitos da viscosidade são consideráveis, são de extrema importância para os engenheiros! Exemplos,

• Escoamento em tubo circular:

• veias e artérias de um corpo;

• sistema de saneamento e abastecimento de água da cidade;

• sistema de irrigação do agricultor;

• sistemas de tubulações que transportam fluidos em uma fábrica;

• linhas hidráulicas de uma aeronave, e

• jato de tinta da impressora do computador.

• Escoamentos em dutos não-circulares e canais abertos

µρVl=Re

Vimos que efeitos viscosos resultam no número de Reynolds:

Quando as áreas de superfície, tais como a área da parede de um tubo, são relativamente grandes os efeitos viscosos tornam-se bastante importantes



Região de entrada e Escoamento Totalmente Desenvolvido

( ) o turbulentescoamento para , Re4,4

laminar escoamento para , Re065,0

61=

=

DLDL

M

M

(LM)

• Da Eq. 1: LM = 0,65D se Re = 10,

LM = 130D se Re = 2000 (lembrando que, grosso modo, o escoamento laminar em tubos ocorre para números de Reynolds até 2000).

Nós encontramos muitos problemas da engenharia em que 104 < Re < 105,

• Da Eq. 2: 20D < LM < 30D.

(1)

(2)



Tensão de cisalhamento e Pressão

• No escoamento plenamente desenvolvido, em regime permanente e num tubo horizontal com diâmetro constante, os efeitos viscosos oferecem a força de resistência que equilibra exatamente a força de pressão, sendo

• Na região de entrada existe um equilíbrio entre as forças de pressão, as viscosas e as de inércia. Assim, o módulo do gradiente de pressão é maior na região de entradaxp ∂∂ /

lpxp // ∆−=∂∂

Pgm 3 (09:25)



Exemplo 1:

Um tubo horizontal de diâmetro pequeno é conectado a um reservatório, como mostra a Fig. Se 6600 mm3 são capturados na saída em 10 s, estime a viscosidade da água. Verificar:

a- se a hipótese de carga de velocidade desprezível éválida,

b- se a hipótese de escoamento laminar é aceitável

c- se a hipótese de escoamento totalmente desenvolvido éválida.

(Quadro negro)



“Nas situações práticas, a maioria dos escoamentos em tubos encontrados são turbulentos”

A título de ilustração, podemos dizer que:

Em um escoamento turbulento totalmente desenvolvido as três componentes da velocidade são diferentes de zero, podendo ser escritas em termos de uma quantidade média e uma parte flutuante no tempo:

• Re < 2000 , regime laminar• 2000 < Re < 4000, escoamento oscila ao acaso entre regime laminar e regime turbulento (zona crítica)• Re > 4000, regime turbulento ou eventualmente regime completamente turbulento, este último independente do número de Reynolds.

, , wwwvvvuuu ′+=′+=′+=

Neste caso: 0 e 0 ==≠ wvu

Tensões Tangenciais nos Escoamentos Turbulentos Totalmente Desenvolvidos

Pgm3 (13:00)



Utiliza-se a abordagem de partícula fluida.Em um instante de tempo dado, uma partícula do fluido move-se através de uma área incremental dA, devido à flutuação de velocidade v’ ; ela entra em uma camada vizinha de fluido, que está se movendo a uma velocidade mais alta na direção x e, assim, fornece um efeito retardador sobre a camada vizinha

A componente x da força resultante seria:

��

velocidade da x comp. na

negativa variação

mássica vazão

mássico fluxo

udAvdF ′′′′′′′′−−−−====��

ρ

Dividindo ambos os lados pela área dA, e tomando a média temporal, temos:

vuturb ′′′′′′′′−−−−==== ρτ

a qual é a tensão de cisalhamento turbulenta aparente ou Tensão de Reynolds

Obs. u’v’ é, na média, uma quantidade negativa, pois v’positivo produz um u’negativo.



A tensão cisalhante total em uma localização particular seria devida a ambas, à viscosidade e à troca de quantidade de movimento descrita acima, ou seja:

vuyu

turbvisc ′′−∂∂=+= ρµτττ

A tensão cisalhante total pode ser relacionada ao gradiente de pressão somando-se as forças sobre o elemento cilíndrico horizontal mostrado à direita na figura acima:

Lpr

dxpdr

22∆====−−−−====τ (3)

Nota: perceba a distribuição linear da tensão de cisalhamento em um escoamento turbulento, assim como em um escoamento laminar.

Em que:

( ) ( ) 1 e 1

00

dttvuT

vudttT

TT

∫∫ ′′=′′= ττ

Pgm3 (14:10)



Distribuição da tensão de cisalhamento em um escoamento turbulento totalmente desenvolvido em um tubo:



Perfil de Velocidade Turbulento

Se a espessura da subcamada viscosa δv é suficientemente grande, ela sobrepõe os elementos da rugosidade da parede. Esta condição é citada como hidraulicamente lisa. Se a subcamada viscosa é relativamente fina, os elementos rugosos projetam-se para além dessa camada e a parede érugosa. A rugosidade relativa e/D e o número de Reynolds podem ser usados para determinar se um tubo é liso ou rugoso

Obs. para tubo liso, 5/ =νδτ vu

O perfil da velocidade média em um tubo é muito sensível à magnitude da altura média da rugosidade da parede, e.



onde é a velocidade de atritoρττ ou =

subca-mada

viscosa

zona interme-

diária

região da parede

região externa

Na região externa ou central, onde a tensão turbulenta predomina, os dados do perfil das velocidades são bem correlacionados pela equação

8,0ln44,2 +=−yr

uuu omáx

τ

(Fig. A)

Tubo liso

Tubo rugoso: 5,8ln44,2 +=ey

uu

τ

15,0/ ≤ory



Lei de potência ou exponencialUma forma alternativa mais simples que descreve adequadamente a distribuição da velocidade do escoamento turbulento em um tubo é o perfil da lei de potência

n

o

n

omáx rr

ry

uu

11

1

−=

=

Limitações:

1. falha ao prever a tensão de cisalhamento na parede

2. falha ao fornecer declividade zero na linha de centro

(3.1)



O expoente n ,em alguns casos, pode ser relacionado ao fator de atrito, f, pela expressão empírica:

( )

( )( ) máxo

r

o unn

nr

rdrruV

o

1212

22

2 ++==

∫

π

π

Da lei de potência, a velocidade média é dada por:

fn 1=

n varia de 5 a 10, dependendo do no. de Reynolds e da rugosidade da parede do tubo e/D. O valor 7 é comumente usado (“perfil exponencial um sétimo”)

(3.2)

(3.4)

Introduzimos o fator de atrito, f, que é uma tensão de cisalhamento adimensional na parede, definido por:

2

81 V

f o

ρ

τ= (3.3)



A água a 20 oC escoa em um tubo de 10 cm de diâmetro a uma velocidade média de 1,6 m/s. Se os elementos de rugosidade têm 0,046 mm de altura, a parede é considerada lisa ou rugosa?

Exemplo 2

(Quadro negro)



O tubo horizontal de 4 cm de diâmetro da Fig. transporta 0,004 m3/s de água a 20 oC. Usando o perfil da lei de potência, faça uma aproximação para: (a) o fator de atrito, (b) a velocidade máxima, (c) a posição radial em que u = V, (d) o cisalhamento na parede, e (e) a queda de pressão sobre um comprimento de 10 m

Exemplo 3

(Quadro negro)



Avaliação Energética do Escoamento em TubosSupondo um escoamento permanente num tubo de seção variável, a equação da energia seria:

( ) ( )∫ ∫ ⋅++∂∂=++−

CV SCoutrotocisalhameneixo AdVpveVde

tWWWQ

�� ρρ

Supondo que não há trabalho de nenhuma espécie, escoamento permanente, incompressível e que a energia interna e pressão são uniformes nas seções (1) e (2):

( ) ( )

−+−+

−+−=22

211

222

1212

12VVmzzgmppmuumQ αα

ρρ��

onde a é o coeficiente cinético de energia. Dividindo a Eq. acima pela vazão mássica e organizando os termos, temos:

( )dmQuugzVpgzVp δα

ρα

ρ−−+

++=

++ 122

22

22

1

21

11

22

Os últimos dois termos do lado direito da Eq. acima são identificados como sendo a perda de carga total; então:

lThgzVpgzVp=

++−

++ 2

22

22

1

21

11

22α

ρα

ρ(4)

Escoamentos Internos (cont.)

Obs: grosso modo, escoamento laminar, a= 2; turbulento, a = 1



Cálculo da perda de cargaA perda de carga total é a soma das perdas de carga contínuas e das perdas de carga locais:

lmllT hhh +=

A- Perda de carga contínua: Fator de Atrito

Através de tubo horizontal de seção constante, hlm = 0,

e z1 = z2, portanto a Eq. (4) se torna:

( ) ( )22 222

211 VV αα =

lhppp

=∆=−

ρρ21

Assim, as perdas de carga contínuas podem ser expressas pela perda de pressão para escoamentos plenamente desenvolvidos através de tubos horizontais de área constante

(5)Da conservação da energia



A.1. Escoamento Laminar

A perda de pressão pode ser computada analiticamente para escoamento laminar plenamente desenvolvido em tubo horizontal. Assim, da Lei de Poiseuille, temos:

(((( ))))DV

DL

DDVL

DLQ

RLQp µ

ππµ

πµ

πµ 3241281288

4

2

44 ================∆ (6)

Substituindo (6) em (5):

2Re6464

232

22 VDL

DVV

DL

DV

DLhl

=

==ρ

µρµ

(7)

Da conservação da q.d.m.

Nota: perceba o acoplamento das eqs. da energia e q.d.m.



Fator de AtritoDa Eq. (3), temos, na parede do tubo, que:

o

o

rL

pτ2

=∆

Se introduzirmos o fator de atrito f (que é uma tensão de cisalhamento adimensional na parede de substancial interesse em escoamentos em tubos), definido por:

2

81 V

f o

ρ

τ=

vemos que:

2

2VDLfp

====ρ

∆

Essa equação é muito conhecida e é chamada de equação de Darcy-Weisbach. Substituindo (8) em (5) e comparando com (7), temos que:

(8)

22Re64 22 V

DLfV

DLhl =

=

ou seja, para escoamento laminar o fator de atrito, f, é dado por:

=Re64

laminarf



A.2. Escoamento Turbulento

No escoamento turbulento plenamente desenvolvido não podemos avaliar analiticamente a queda de pressão. Porém, sabemos da observação que a queda de pressão ∆p devida ao atrito em tubo horizontal de seção constante depende do diâmetro D, do comprimento L, da velocidade média V, da densidade ρ e da viscosidade do fluido µ, e da altura da rugosidade e.

“Talvez a quantidade mais desejada em um escoamento em um tubo seja a perda de carga. Se a perda de carga éconhecida, a mudança de pressão pode ser calculada.”



Aplicando a análise dimensional a um escoamento totalmente desenvolvido em um tubo, temos:

=∆De

DL

Vp ,Re,2 φ

ρ(9)

Substituindo a Eq. (5) em (9), temos:

=De

DL

Vhl ,Re,2 φ

Experiências mostram que hl é diretamente proporcional a L/D, assim:

=De

DL

V

hl Re,

21 2

2φ

Obs. perda de carga adimensionalizadapela energia cinética do fluido escoante

A função desconhecida φ2 (Re, e/D) é definida como o fator de atrito, f.

Dedução do fator de atrito por análise dimensional

2

2VDLfhl = (10)



rugosidade relativa e/D

Dia

gram

a de

Moo

dy(1

944)



Analisando o diagrama de Moody, percebe-se que:

1. No regime de escoamento laminar, o fator de atrito decresce com o aumento do no. de Reynolds.

2. Na zona crítica, f aumenta acentuadamente.

3. No regime de escoamento turbulento, o fator de atrito decresce gradualmente ao longo da curva dos tubos lisos

4. No regime de escoamento completamente turbulento, o fator de atrito torna-se independente do no. de Reynolds

Há uma série de correlações semi-empíricas que representam o diagrama de Moody; alguns exemplos:

• Correlação de Blasius (tubos lisos e Re < 105):25,0Re3164,0 −=f

• Correlação de Colebrook (Re > 4000):

+−= 5,05,0 Re

51,27,3

/log0,21f

Def

Obs.: Na correlação de Colebrook, se e = 0, tem-se uma expressão para escoamento em tubo liso (nos moldes da correlação de Blasius); se Re → ∞ , tem-se uma equação para a região completamente turbulenta



Uma alternativa ao diagrama de Moody, que evita qualquer processo de tentativa e erro, torna-se possível através de correlações explicitas como as apresentadas por Swamee e Jain (1976) para o escoamento em um tubo. Elas podem ser aplicadas para cada uma das três categorias de problemas que são identificadas para um escoamento turbulento totalmente desenvolvido em um tubo de comprimento L:

Correlações de Swamee e Jain:



B- Perdas Locais

Quando o escoamento passa por uma variedade de acessórios, curvas ou abruptas mudanças de seção, ocorrem perdas de carga adicionais, resultantes principalmente do descolamento do fluxo. As perdas de carga locas podem ser expressas por:

2

2VKhlm =ou

2

2VDLfh e

lm =

onde Le é o comprimento equivalente de tubo reto.



Exemplo 4

Uma queda de pressão de 700 kPa é medida sobre um comprimento de 300 m de um tubo em ferro forjado de 10 cm de diâmetro que transporta óleo (densidade = 0,9, viscosidade = 10-5 m2/s). Calcule a vazão usando (a) o diagrama de Moody e (b) correlações empíricas.

(Quadro negro)



Exemplo 5

Ar, nas condições normais, está para ser transportado através de 500 m de um duto retangular horizontal e liso medindo 30 cm X 20 cm, a uma vazão de 0,24 m3/s. Calcular a queda de pressão.

(Quadro negro)



Exemplo 6

Se a vazão através de um tubo de ferro forjado de 10 cm de diâmetro é de 0,04 m3/s, encontre a diferença de elevação H para os dois reservatórios.

(Quadro negro)

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